Schriittumsehau

Giornale dell' Istituto Italiano degli kttuari, Band XXXIII, 1970 ~)

EUG~NIO AgTO~: Le A s s i e u r a z i o n i p r i v a t e e la e o m u n i t k economiea e u r o p e a (S. 1--9). Mit deutlich ausgesproehener Entt~usehung stellt der Verfasser fest, dab die bereits 1956 in den RSmisehen Vertr~gen formulierten Ziele auf dem Gebiete der Versicherungswirtschaft innerhalb der EWG immer noch nicht erreicht worden sind. Die Niederlassungsfreiheit, die Dienstleistungs- freiheit und ~hnliche Begriffe bleiben vorerst nut ein Wunsehtraum der Einigung.

HA~s AMMETV, R: La d i s t r i b u t i o n du s i n i s t r e le p lus 61ev~ et son a p p l i c a t i o n au p ro - b l ame des g r a n d s r i sques (S. 10--29).

Die Verteilung der hSchsten Seh~den innerhalb eines Zeitabschnitts bei einer Versieherungs- gesellschaft wird zun~chst theoretiseh nach der Formel yon Franckx unter der Annahme der Pareto-Verteilung fiir die SchadenhShe und der Poisson-Verteilung fiir die Schadenh~ufigkeit abgeleitet. Alsdann werden die Formeln fiir den absolut hSehsten Schaden, ffir den zweithSchsten Schaden sowie die fiir die Folgeseh~den angegeben. Die besprochenen Beispiele zeigen ansehau- lich die Abh~ngigkeit dieser Spitzenseh~iden yore Bestand, yon der allgemeinenSchadenh~ufig- keit and yon der Wahl des Parameters der Pareto-Verteilung. Interessant ist die Relation zwi- schen dem absolut h6ehsten Sehaden trod dem n-h6chsten Sehaden. Ein Beispiel aus der ameri- kanischen Feuerversieherung best~tigt die Anwendbarkeit der Formeln. SchlieBlieh empfiehlt der Verfasser die Bereclmung und Bildung einer besonderen Ausgleiehsrfiekstellung fiir die Spitzen- seh~den naeh den yon ibm angegebenen Formeln; die Realisierung dieses zweifellos erstrebens- werten Vorsehlags stSflt auf manehertei Schwierigkeiten, vor allem steuerlicher Art.

BRV~O TV, DESCr~I: Nec ro log io di Luig i Lord i (S. 30--37).

REMO CACCIA_VESTA: Su l l a d e t e r m i n a z i o n e de l le e l ass i di r i s ch io (S. 38--48) Mit elementaren Mitteln, doch auf eine recht fiberzeugende Art wird gezeigt, dab die Erhebung yon naeh Risikoklassen differenzierten Beitriigen fiir die Versieherungsgesellsehaft gfinstiger ist als die Annahme yon z.B. normalen and ersehwerten Risiken auf der Grundlage einer Einheits- pr~mie. Die in der Naehfragefunktion implizit enthaltene Antiselektion spielt dabei naturgem~ll die entscheidende Rolle.

C ~ L o S x ~ T ~ I : C o n s i d e r a z i o n i su l le funz ion i di s o p r a v v i v e n z a del Q u i q u e t (S.49 - 58).

Das bekannte Sterbegesetz yon Quiquet wird noch starker verallgemeinert; ffir diskrete ganz- zahlige Werte yon zwei dabei auftretenden Parametern ergeben sich zahlreiehe klassische Sterbe- gesetze, darunter aueh das verallgemeinerte yon Makeham.

M ) , s s n ~ m ~ o OTrXVL~NI: Su l l a p robab l i t& di f a l l i m e n t o di una i m p r e s a di a s s i e u r a - z ione nel easo in cui il c a r i c a m e n t o pe r il r i s ch io va r i in funz ione d e l l ' a m m o n - t a r e del fondo di g a r a n z i a (S. 59--70)

Die Ruinwahrseheinlichkeit einer Versieherungsgesellschaft wird unter der Annahme abgeleitet, dab der Risikoaufsehlag in Abhi~ngigkeit yore Garantiefonds steht. Bei vorgegebener Risiko- aufsehlagsfunktion ergibt sieh die gesuehte Wahrscheinlichkeit durch Aufl6sung einer Volterra- schen Integralgleichung zweiter Art. Das Verhalten der L6sungen wird in Abh~ngigkeit yon der Aufschlagsfunktion fox einige Sondeff~lle formelm~iflig dargestellt.

BRV~O RIzzI: A s p e t t i dei e o n e e t t i di e n t r o p i a e d ' i n f o r m a z i o n e (S. 71--116). Diese begriiBenswerte einfiihrende Zusammenfassung des Entropiebegriffs ist besonders ffir die- jenigen Mathematiker geeignet, deren Studium ohne theoretische Thermodynamik verlaufen ist.

*) Vgl. diese Zeitsehrift, Band X, S. 435ff.

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Der Veffasser beleuchtet die Entropie zunEchst auf rein physikalischer Basis, ffihrt sie aber an- schlieBend in das Informationsmal] iiber. Ausblicke auf philosophiseh-metaphysische Aspekte besehliel]en den empfehlenswerten Artikel.

ALVARO TOMASSETTI: Su l l a p e r e q u a z i o n e de l le t a v o l e s e l e z i o n a t e di mor t a l i t& (S. 117 --122).

Die Ausgleichung einer Sterbet~fel w~hrend der Selektionsperiode nach der Methode yon King]Hardy wird unter etwas abgegnderten Annahmen hinsichtlich des Verlaufs der Sterblieh- keit w~hrend der Selektionsperiode durehgefiihrt.

(]OFFREDO PACIO~I: Sul g r a d o di m u t u a l i t ~ ne l le A s s i c u r a z i o n i (S. 123--133).

Wird das Prinzip der individuellen ~quivalenz auf die kollektive _~quivalenz, also die Solidari~t, erweitert, so entsteht bekanntlich das Problem, wie die einzelnen Untergruppen der betraehteten Personen die Versorgungseinrichtung belasten oder entlasten. Dies ist besonders deutlich bei Systemen, die mit der teehnischen Durchschnittspr~mie arbeiten und unter Umst~nden den kfinftig zu erwartenden Neuzugang berficksichtigen. Der Veffasser versucht, einen Index zu konstruieren, der den ,,Gegenseitigkeitsbeitrag" einer jeden Untergruppe zu der Solidarit~t de- finiert. Es besteht eine formale Analogie zu den Eintrittsgewinnen bzw. -verlusten des erw~ihnten Systems; wenn man sie auf eine geeignete Gr6Be bezieht, entsteht in der Tat eine relative MaB- zahl mit einem gewissen Aussagewert. Die Erweiterung der gesuchten MaBzahl stellt der in letzter Zeit mehrfaeh angestrebte Index der Umverteilung der Einkommen dar.

ROBERTO •RCOLI: Q u a n t i f i c a z i o n e eeonomiea de l d a n n o a l i a p e r s o n a a t t r a v e r s o I 'uso di t e c n i c h e a t t u a r i a l i (S. 134--170)

Dieser Artikel stellt eine logisehe Fortsetzung der drei Abhandlungen im vorhergehenden Jahr- gang dar; dort wurde der wirtschaftliche Schaden im Falle des Todes, hier dagegen im Falle der Invalidit~t eines Menschen betraehtet. Interessant ist der Versuch des Verfassers, die Schwierig- keiten bei der Definition des Invalidit~tsbegriffs dadureh umgehen zu wollen, dab der Begriff der ,,Validit~t" im weitesten Sinne des Wortes eingefiihrt wird. Zahlreiche Tabellen illustrieren die verschiedenen besprochenen Verfahren.

BRUNO TEDESCHI: Equi tK ed e q u i v a l e n z a in campo f i n a n z i a r i o - a t t u a r i a l e (S. 171 -- 179).

Der Verfasser untersucht die Begriffe der Aquivalenz und der Gerechtigkeit im finanzmathema~i- schen und insbesondere versicherungsmathematischen Sinne. Er geht yon der geschichtlichen Entwicklung aus und erweitert die Begriffe Schritt fiir Schritt je nach den stattgefundenen Er- weiterungen des Versicherungswesens/iberhaupt, bis er sehlieBlich zum modernen Konzept der Umverteilung der Einkommen gelangt. Hier macht er zwangsweise halt, da zahlreiche Fragen dieses Begriffs noch einer Beantwortung harren.

~ASSIMILIANO OTTAVIANI: C a r i c a m e n t i pe r il r i s ch io d i p e n d e n t i d a l l ' a m m o n t a r e del fondo pe r il r i s ch io e p r o b a b i l i t ~ di f a l l i m e n t o (S. 180--189).

Die gegenseitige Abh~ngigkeit der Ruinwahrscheinliehkeit, des Risikoaufschtags und des Garan- tiefonds auf der Grundlage der kollektiven Risikotheorie ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit, die zum Thema des oben besproehenen Aufsatzes desselben Verfassers geh6rt.

l~ikolaus M/iller (M/inchen)

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Unternehmensforschung, Band 15, 1971~)

K. WENDLER: Die e - S t S r u n g l i n e a r e r und q u a d r a t i s c h e r O p t i m i e r u n g s a u f g a b e n und ih re A n w e n d u n g a u f das H i l d r e t h - V e r f a h r e n (S. 1--14).

Einige Verfahren zur LSsung yon quadratischen Programmen setzen voraus, dab die Matrix C in der zu minimierenden Zielfunktion

z(x) = p~x + x~Cx

positiv definit ist. Quadratische Programme mit positiv semidefinierter Matrix C kSnnen durch eine sogenannte e-StSrung dadurch definit gemacht werden, dab man C dutch C ~- eE (E ~- Ein- heitsmatrix) ersetzt. Der Verfasser untersucht in seinem Beitrag Eigenschaften e-gestSrter linearer und quadratischer Programme und berichtet fiber numerische LSsungsveftahren, die er mit Hilfe des Veftahrens yon HrLn~ETH gewonnen hat.

K. 0PFERMANN; Die 0 p t i m i e r u n g der S y s t e m z u v e r l i t s s i g k e i t d u r e h K o m p o n e n t e n - r e d u n d a n z mi t Hi l f e des d i s k r e t e n M a x i m u m - P r i n z i p s (S. 15--29).

C. ROVED~. and R. SCHMID : Two A l g o r i t h m s for a P l a n t - S t o r e h o u s e L o c a t i o n P r o b l e m (S. 30--44).

M. H~.~K~.: Gene re l l e N u t z e n r e l a t i o n e n in R a n g - A u s w a h l p r o z e s s e n (S. 45--54).

T. L. VLACH: F u r t h e r R e s u l t s Concern ing the S imple Queue ing Loss S y s t e m (S. 55-- 57).

M. J. BECK~ANI~: No te on: The O p t i m u m S t r a t e g y for Choos ing the M a x i m u m of N I n d e p e n d e n t R a n d o m V a r i a b l e s (S. 58--59).

E. G. E~rss: Reply to M. J. BV, CKM).NN'S "Note on: The O p t i m u m S t r a t e g y for Choosing the M a x i m u m of h r I n d e p e n d e n t R a n d o m V a r i a b l e s " (S. 60--61).

H. ALBACH-" A P l a n n i n g Model for U r b a n Hous ing D e v e l o p m e n t s (S. 73--102).

M. R/JSSLER: Eine M e t h o d e zur B e r e c h n u n g des o p t i m a l e n P r o d u k t i o n s p r o g r a m m s bei k o n k a v e r Z i e l f u n k t i o n (S. 103--111).

Der Verfasser geht bei der Ermittlung eines optimalen Produktionsprogramms davon aus, dab die Grenzkosten ffir einzelne Kostenarten bei der Fertigung verschiedener Produktarten mit wachsender Ausbringungsmenge fallen. Dies ffihrt zu einem Modellansatz mit konkaver Ziel- funktion, die zu minimieren ist, wenn als Zielfunktion die negative Differenz zwischen ErlSs als linearer Funktion und Kosten gew~hlt wird. Nachdem RSssler diesen Modellansatz einer linearen Transformation unterzogen hat, beschreibt er ffir den transformierten Programmierungsansatz einen LSsungsalgorithmus, der im Prinzip darin besteht, die Eckpunkte des transformierten LSsungsraumes auf ihre Optimalit~t hin zu untersuchen.

J. K. SE~GUPTA: A S y s t e m R e l i a b i l i t y A p p r o a c h to L i n e a r P r o g r a m m i n g (S. 112--129).

Beim Chance-Constrained-Ansatz der stoehastischen Programmierung muB der Entscheidungs- trKger ffir jede Nebenbedingung angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Nebenbedingung yon einer LSsung nicht verletzt werden daft. Der Verfasser stellt sich die Frage, ob man auf die Angabe dieser Wahrseheinlichkeiten verzichten kann. Seine Antwort besteht in dem System

*) Vgl. diese Zeitsehrift, Band IX, S. 483ff.

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Reliability Approach, der im wesentlichen darin besteht, dab die Angabe der erwghnten Wahr- scheinlichkeiten iiberfifissig wird, wenn der Entscheidungstr~ger die Wahrscheinlichkeit R0, dab eine LSsung zul~ssig ist, als zu maximierendes ZuverlgssigkeitsmaB definiert. Dieses Zuverl~ssig- keitsmal~ Re ist nunmehr mit der Zielfunktion des Programms zu einer Nutzenfunktion zusammen- zufassen. Die auf diese Weise definierten Ersatzprogramme werden u.a. ftir mehrere spezielle Verteilungen analysiert.

H. LAUX: E x p e c t e d U t i l i t y M a x i m i z a t i o n and C a p i t a l B u d g e t i n g S u b g o a l s (S. 130 --146).

C~. ScH~.~wmss: L a g e r h a l t u n g s - P r o d u k t i o n s - M o d e l l e m i t d e t e r m i n i s t i s c h e r Nach- f r age (S. 157--166).

CH. HAEItLING YON LANZENAUER" Zur P r o b l e m a t i k de r F a h r z e u g v o l l v e r s i c h e r u n g (S. 167-- 178).

Unter Berticksichtigung der Struktur der Fahrzeugversicherung der BRD entwickelt der Ver- fasser ein Modell, das den Versicherangsnehmern dazu dienen sell, optimale Entscheidungen beztiglich der folgenden Alternativen zu treffen:

1. Fahrzeugvollversicherung ja odor nein ? 2. Wenn Fahrzeugvollversicherang, dann

a) welche Selbstbeteiligungsklasse ? b) Schadenselbstregulierung bis zu welcher HShe ?

Als Zielfunktion des ModeIls wird der Erwartungswert der ktinftigen Kosten bis zum N-ten Jahr gew~hlt. Da zu Beginn jedes Versicherangsjahres der Versicherangsnehmer sich jeweils neu ent- scheidcn muB, liege ein sequentieller EntscheidungsprozeI3 vor, der mit Hilfe der dynamischen Programmierang zu 15sen ist. Auf Grand des gew~hlten Modellansatzes lassen sich die ktinftigen Kosten durch eine rekursive Formel erfassen, die als Parameter die Schadenswahrscheinlichkeit, die Verteilungsfunktion der SchadenshShe bis zum N-ten Jahr und die strakturbedingten ,,~ber- gangsfunktionen" yon einer Schadensfreiheit- bzw. Beitragsrtickvergtitungsklasse zu einer ande- ten erfaBt. Zum Abschlu~ seines Aufsatzes hat tier Verfasser den Modellansatz ftir eine Fahrzeugklasse in Abh~ngigkeit yon der Schadenswahrscheinlichkeit bei gegebener Dichtefunktion der Schadena- hShe durchgcrechnet. Diese Rechnung erbrachte einige interessante Ergebnisse hinsichtlich kriti- scher Schadensh5hen und optimaler Selbstbeteiligungsklassen.

H. HmDEN: Der V e r l u s t p r o z e B in G e f e c h t e n (S. 179--195).

A. O. DE MAIO and C. A. ROVSDA: The Min ima l Cost M a x i m u m M a t c h i n g of a G r a p h (S. 196--210).

H. MiJLLER-MERBACH: The Min ima l Cost M a x i m u m M a t c h i n g of a G r a p h (Supplementary Remarks) (S. 211--213).

H. AMATO and G. M~SCH: R a n k R e s t r i c t i o n s on t h e Q u a d r a t i c F o r m in I n d e f i n i t e Q u a d r a t i c P r o g r a m m i n g (S. 214-216).

Die Verfasser greffen in ihrem Aufsatz eine Idee yon Swarap auf, um mit ihrer Hilfe Optimierungs- ansgtze mit indefiniten quadratischen Zielfunktionen und linearen Nebenbedingungen auf kon- vexe Programme zurtickzuftihren. Sic beweisen, dab die Transformation ihres Optimicrungs- ansatzes auf Grand der ~berlegungen yon Swarup in einen Ansatz mit konvexer Zielfunktion nur unter ~uBerst einschr~nkenden Voraussetzungen tiber die Matrix in der Zielfunktion mSglich ist.

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H. S c m r ~ A A s : Ein Algor i thmus ffir das ze i tabh~ngige Verha l t en e ingebe t t e t e r M a r k o f f - K e t t e n bei den W a r t e s y s t e m e n M(Y)/~n]I und GImfM(Y)]I (S. 229--239).

I'i. SCHNEEBERGER: 0 p t i m i e r u n g in der S t i c h p r o b e n t h e o r i e du rch Sch ich tung und Auf te i lung (S. 240--254).

J. K. SE~GUPTA: A S ta t i s t i ca l Re l i ab i l i t y A p p r o a c h to Linear P r o g r a m m i n g (S. 255 --278).

Mit diesem Beitrag erg~nzt der Verfasser seinen oben referierten Aufsatz fiber A System Reliability Approach to Linear Programming. Er wiederholt und erweitert sein Zuverl~ssigkeitskonzept und deutet verschiedene AnwendungsmSglichkeiten an. Der Beitrag enth~lt viele anregende Ideen, ohne jedoch allzu konkret zu werden.

U. EcKHARDT: R e d u n d a n t e Ung le iehungen bei l inearen Ung le i chungs sys t emen (S. 279--286).

Der Verfasser besch~ftigt sich in seinem Aufsatz mit dem Problem redundanter Ungleichungen in linearen Optimierungsmodellen. Er entwickelt ein allgemeines hinreiehendes Kriterium, das die Identifikation redundanter Ungleiehungen erm6glieht, und zeigt, wie zu jeder redundanten Ungleichung eine zul~ssige Basis des Ungleichungssystems gefunden werden kann, so dab die Ungleichung im System dieser Basis das Kriterium erffillt. Infolgedessen wird die Identifikation einer redundanten Ungleichung einem linearen Optimierungsproblem ~quivalent, was bedingt, dab das Kriterium nicht alle redundanten Ungleiehungen eines Systems simultan angibt.

C. P. BAJAJ: Some Cons t ra ined S h o r t e s t - R o u t e P rob lems (S. 287--301). Werner Dinkelbach (Saarbrficken) und Josef Kloock (KSln)

K. HINDERER: Grundbegr i f f e der Wahrsehe in l i chke i t s theo r i e , Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York: 1972, 247 Seiten, DM 19,80.

Das in der Reihe ,,Hochschultext" des Springer-Verlages erschienene Buch ,,Grundbegriffe der Wahrscheinliehkeitstheorie" des durch seine VerSffentliehungen fiber stoehastische Entsehei- dungsmodelle wohlbekannten Autors K. Hinderer bietet eine Stoffauswahl ffir eine vierstiindige, einsemestrige Einffihrungsvorlesung fiber Wahrseheinliehkeitstheorie ffir Mathematiker und mathematisch interessierte HSrer anderer Fachrichtungen. Im ersten Kapitel werden diskrete Wahrscheinlichkeitsr~ume betraehtet; hier werden die fiblichen grundlegenden Begriffe wie Experiment, Wahrscheinlichkeit, Unabh~ngigkeit, Erwartungswert und Varianz eingeffihrt und durch zahlreiehe, teilweise anwendungsnahe Beispiele und durch Hinweise auf AnwendungsmSgliehkeiten erl~utert; auBerdem werden die wichtigsten diskreten Verteilungen behandelt und wie in den folgenden Kapi~eln zahlreiehe Hinweise auf weiter- ffihrende Literatur gegeben. Im zweiten Kapitel werden die ffir die Behandlung allgemeiner Wahrscheinlichkeitsr~ume un- erl~Bliehen Hilfsmittel aus der Mal~- und Integrationstheorie behandelt; es werden die fibliehen Sittze fiber a-Algebren, Dynkinsysteme, MaBe, meBbare Funktionen, Integrale und MaBe auf Produktr~umen teilweise ausffihrlich und teilweise skizzenhaft bewiesen und dutch Beispiele und zahlreiche Bemerkungen verst~ndlich gemacht. Im dritten Kapitel werden zun~chst weiter eine Reihe yon maB- und wahrscheinlichkeitstheoreti- schen Hilfsmitteln bereitgestellt; es werden einige Bemerkungen fiber den allgemeinen Dichte- begriff gemacht, der Transformationssatz ffir Lebesgue-Dichten erw~hnt, im Rahmen des Buches unmotivierte Definitionen und Eigenschaften bedingter Verteilungen und bedingter Erwartungs- werte angegeben und charakteristische Funktionen eingeffihrt. AnsehlieBend werden einige Ver- teilungen mit Lebesgue-Dichten wie z.B. die Normalverteilung, die Exponentialverteilung, die Gamma- und die Beta-Verteilung und einige Lebensdauer-Verteilungen behandelt. SchlieBlich werden in diesem Kapitel aueh einige wahrscheinlichkeitstheoretisehe Probleml~reise -- wie z.B. die Irrfahrt, der Grenzwertsatz ffir endliehe homogene Markovsche Ketten, Verzweigungs-

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prozesse, der Poisson-Prozel3, die Gesetze der groBen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz -- ber/ihrt, die Begriffe werden durch Bemerkungen erl~iutert und einige S~itze werden ganz oder teilweise bewiesen. Und ganz am Sehlul3 (Seite 231 f.) wird auf viele ausf/ihrlicher gehaltene Lehr- b/icher hingewiesen, welche die in diesem Buch skizzierten Probleme eingehender behandeln.

Ulrich G. Oppel

DIETER FARNY, GUSTAV BRAUN, LOTHAR LANGSCH, LOTHAR MEYEB und HARRY WOLF: Die Behandlung der Betriebskosten in der Kostenrechnung der Kompositver- sicherer; Heft 6 der VerSffentliehungen des Instituts fSr Versieherungswissensehaft der Universit~t Mannheim; Verlag Versicherungswissenschaft e.V., Karlsruhe 1972, 122 S., DM 23,00.

Im Haus der hundert Berufe gibt es -- wie ein Bliek in die Praxis zeigt -- fiir den Versieherungs- mathematiker neunhundertneunundneunzig T~tigkeiten. So befassen sich Versicherungsmathe- matiker z.B. in Lebensversicherungsunternehmen aueh vielfaeh mit Fragen der Kostenzerlegung und Problemen der Betriebsabreehnung eines LVU. -- Diesen Mathematikem kann das yon Prof. Famy und seinen Mitarbeitern geschriebene Bfichlein nut empfohlen werden. W~ihrend sich der erste Teil mit den Betriebskosten ~md ihrer Abgrenzung im Rahmen des Ge- samtrechnungswesens befaBt, gliedert der zweite Tell die Betriebskosten in Kostenarten, und weist sie den Kostenstellen und Kostentr~gem zu. Der dritte (nach Seitenzahl und Inhalt) wert- vollste Teil enth~lt ein Modell ffir die periodisehe Kostenreehnung eines Komposit-Saeh/HUK- Versicherungsunternehmens. Da dieses Modell sioh ganz an der Praxis orientiert, eingehende Aufgliederungen nach Kostenarten und deren Verrechnung unter Angabe der zweckm~fligen Verteilungssehl/issel enth~lt, fordert es zur Durcharbeit und zum Vergleich mit der Wirklich- keit auf. Auch der in einem Lebensversicherungsunternehmen t~tige Mathematiker wird sicherlich durch diese Schrift eine Bereicherung seines Wissens erfahren -- und zwar auf einem Gebiet, das in der Literatur bislang stiefmfitterlich behandelt worden ist.

Georg Reiehel (GSttingen)

Lucian FERAUD" M a t h 6 m a t i q u e s et theor ies ac tua r i e l l e s , Gauthier-Villars, Paris 1971, 220 Seiten, 75 frs.

Dieses aus der Feder des bekannten Experten der sozialen Sieherhoit stammende Lehrbuch ist bewuBt theoretisch orientiert und zeiehnet sieh u.a. durch eine extrem kurz gehaltene Darstellung der Materie aus. Es wendet sieh offenbar mehr an den Kenner der Materie als an den Studieren- den, dies ungeaehtet der gegenteiligen l~{einung des Verfassers. Der In_halt ist ganz klar in drei Teile eingeteilt. Im ersten Tell, betitelt mit ,,Mathematik der Lebensversicherung", komprimiert der Verfasser die klassischen Formeln nebst ihren Ableitungen auf einen Bruchteil des normalerweise ihnen ge. widmeten Platzes. In kontinuierlicher und diskontinuierlieher Darstellungsweise werden die Bar~ werte einmaliger und periodischer Leistungen bei verschiedenen Zahlungsweisen angegeben. Ein betr~ichtlieher Raum ist den verbundenen Leben reserviert, wobei ihre formale Behandlung nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten dominiert. Eine Einfiihrung in die Differenzen- rechnung angels~chsischer Pr~gung enth~lt das ffir den Praktiker nStige Rfistzeug, leider jedoch ohne numerische Beispiele. ZinsfuBvariationen, ver~nderliche Renten, ratierlieh zahlbare Renten nach versehiedenen Approximationsmethoden sind ebenfalls enthalten. Dagegen sucht man ver- geblich die Begriffe des Deekungskapitals, der Invalidit~t, ja der Sterbetafel oder der Ausscheide- ordnung.

Im zweiten Tell behandelt der Veffasser die ,,Mathematik der Pensionskassen und der Versor- gungswerke". Dieser Teil beginnt mit einer Definition des Deekungskapitals, und zwar in der allgemeinsten Form und unter Verwendung yon besonderen Abkiirzungen ffir die Erwartungs- werte yon Beitr~igen und Leistungen. Dadurch ergibt sieh das eingangs vermiBte individuelle Deckungskapital als ein Sonderfall der behandelten kollektiven J~quivalenz bzw. Solidarit~it. AnsehlieBend wird die Struktur der Personengesamtheiten besproehen und die Begriffe der stabilen und station~ren BevSlkerung eingeffihrt. Der demographische Belastungsfaktor, die

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Erweiterung der Personengesamtheiten auf die monet~ren Gesamtheiten und die Einbeziehmig der Waehstumsrate in die Einkommensverhifltnisse ergeben die Grandiage ffir die Betrachtang der dynamischen Prozesse. In kompakter Form werden alsdann die Barwerte der Beitr~ge and Leistangen unter Berfiek- sichtigung yon Einkommenssteigerungen, der Anpassung der Renten ffir verschiedene F~lle an- gegeben. Die Angaben erstreeken sieh auf die Altersrenten, Witwenrenten nach der kollektiven Methode und in sehr kurzer Form auf die Waisenrenten; die Invalidenrenten fehlen vSllig, somit aueh die aus ihnen resultierenden Hinterbliebenenrenten.

Der dritte Teil des Lehrbuehes ist der interessanteste und der aktuellste, was sehon seine ~'ber- schrfft besagt: ,,Auf der Suehe nach einer versicherungsmathematischen Theorie des Umlage- veffahrens". Der Veffasser geht zun~ehst auf die geschiehtliche Entstehung der Notwendigkeit der Anpassung yon Leistungen ein und erl~utert die Begriffe ad hoe and automatisch. Dann widmet er sieh den Betrachtungen fiber das finanzielle Gleiehgewieht tier Versorgangseinriehtang, wobei selbstversti~ndlieh vorausgesetzt wird, dab diese auf reiner Umlagebasis arbeitet. Sehr detailliert werden das Arbeitsprinzip auf Punkten besproehen und die yore Aktuar dabei zu treffenden Entscheidungen in einen etwas eigenartigen sehweff~lligen Formalismus zusammen- gefallt, woffir allerdings die kaum zu vermeidende dem Leser nieht vertraute Symbolik mit- verantwortlieh ist. Erwi~hnenswert ist der Ausgleieh tier Versorgangswerke untereinander, der offenbar in Frankreieh bereits funktioniert. Schlielllieh entwiekelt der Verfasser eine Art ,,philo- sophy" hinsiehtlieh der Ffihrung yon Versorgangswerken: Keine peffekte auf Ewigkeit geriehtete Stabilisierung, sondern ein gesundes geseh~ftliches Gebaren in der Gegenwart mit allenfalls ein- zubeziehender nahen Zukunft. Da zahlreiche Absehnitte tier Versieherangsmathematik im vorliegenden Lehrbueh wohl ab- siehtlieh nieht enthalten sind -- ersehwerte Risiken, Ausgleiehung der Sterbetafeln, allgemeine Finanzierungsverfahren, Gewinnermittlung und -zerlegung, Risikotheorie u.v.a.m. -- sollte das Lehrbueh eher als ausgew~hlte Kapitel betitelt werden. Dessen ungeaehtet erhi~It es einen ak- tuellen and dauernden Wert allein sehon dutch seinen dritten Teil, n~mlieh die fundamentalen Betrachtungen zu den auf Panktbasis aufgebauten Versorgangswerken naeh dem Umlage- verfahren im Rahmen der gegenwiirtigen Dynamik. Unter diesem Aspekt verschmerzt man die zu knappe Darstellang sowie alas fast vSllige Fehlen yon numerisehen Beispielen, graphisehen Darstellangen and findet sieh ab mit der dem Yerfasser eigenen versieherangsmathematischen Symbolik. Das Lehrbueh kann allen denjenigen, die auf dem Gebief~ der Versorgangswerke and tier Pensionsversieherangsmathematik tatig sind, w~rmstens empfohlen werden.

Nikolaus Mfiller (Miinehen)

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