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Seite 1IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Quellen:Zum Teil aus den Unterlagen „Digitale Systeme“, Prof. Schimmler, Prof. Loogen
Technische Informatik IITechnische Informatik II(für Bachelor)(für Bachelor)
Vorlesung 3:Vorlesung 3: Kombinatorische SchaltungenKombinatorische Schaltungen
21.04.2008 , v1621.04.2008 , v16
Themen:1. Beschreibung kombinatorischer Logik2. Minimierung von Schaltfunktionen
Seite 2IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:
Ein Schaltnetz ist eine technische Realisierung einer Boole‘schen Funktion. Schaltnetze können durch Zusammenschalten von Gattern und Leitungen aufgebaut werden.
SchaltnetzeSchaltnetze
Schaltfunktion
y = f(X)..
x1
x2
.
.
xn
y
Anz. Funktionen = 22n
Schaltnetz mit einem Ausgang:
Seite 3IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
SchaltfunktionSchaltfunktion
Eingangswerte
Ausgangswerte
Seite 4IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
SchaltfunktionenSchaltfunktionen
f(X) fxn m
Seite 5IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Beispiel des Schaltnetzes:
&
&
1≥1 y0
x0
≠
x1
x2
x3
Seite 6IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Logische Funktionen von einer VariablenLogische Funktionen von einer Variablen
1 1
Seite 7IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Logische Funktionen von Logische Funktionen von zweizwei Variablen(1) Variablen(1)
f
Anz. Funktionen = 2 =1622
Seite 8IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Logische Funktionen von Logische Funktionen von zweizwei Variablen(2) Variablen(2)
Anz. Funktionen = 2 =1622
Seite 9IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Verbreiteten Funktionen bis Verbreiteten Funktionen bis zweizwei Variablen Variablen
grafische Darstellung der verschalteten Logik
Seite 10IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Rechengesetze der SchaltalgebraRechengesetze der Schaltalgebra
Grafische Darstellung der verschalteten Logik
Seite 11IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Rechengesetze der SchaltalgebraRechengesetze der Schaltalgebra
Seite 12IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:
Ein Produktterm ist eine UND-Verknüpfung von Eingabevariablen, wobei jede Eingabevariable höchstens einmal in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen kann.
Beispiele für Produktterme:
210 xxx
0x
320 xxx
24 xx
Seite 13IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:
Eine Boole‘sche Funktion ist in Disjunktiver Normalform (DNF), wenn sie aus einer ODER-Verknüpfung von Produkttermen besteht.(Sum Of Products: SOP)
Beispiele für Funktionen in DNF:
)()()( 210210210 xxxxxxxxx
0x
020 xxx
4023124 xxxxxxx
Seite 14IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:Ein Minterm (Vollkonjunktion, minimaler Produktterm) ist ein Produktterm, bei dem alle Eingabevariablen entweder in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen. Ein Minterm entspricht einer Zeile in der Wertetabelle der Funktion.
Beispiele für Minterme:
210 xxx
0x
20 xx hingegen ist kein Minterm, wenn es auch noch eine Eingabevariable x1 gibt.
( x0 x1 x2 sind alle Eingangsvariablen)
( x0 ist die einzige Eingangsvariable)
Seite 15IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:
Die Kanonische Disjunktive Normalform (KDNF) einer Boole‘schen Funktion ist eine ODER-Verknüpfung aller Minterme, für die die Funktion den Wert 1 annimmt.
Beispiele für Funktionen in KDNF:
)()()( 210210210 xxxxxxxxx
0x
)()()( 21020210 xxxxxxxx
Die folgende Funktion ist nicht in KDNF;
im zweiten Produktterm taucht das x1 nicht auf, daher ist es kein Minterm.
Seite 16IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Beispiel einer Wertetabelle einer Funktion y1:
x2x1x0 y1
000 0
001 0
010 0
011 1
100 0
101 1
110 1
111 1
Minterm
210 xxx
210 xxx210 xxx210 xxx210 xxx
210 xxx210 xxx210 xxx
y1 = 210 xxx + 210 xxx 210 xxx 210 xxx++
Seite 17IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Beispiel des Schaltbildes einer Funktion in KDNF:
1 1 1
&
&
&
&
x0 x1 x2
≥1 y1
y1 = 210 xxx + 210 xxx 210 xxx 210 xxx++
Seite 18IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:Ein Summenterm ist eine ODER-Verknüpfung von Eingabevariablen, wobei jede Eingabevariable höchstens einmal in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen kann.
Beispiele für Summenterme:
210 xxx
0x
20 xx
Seite 19IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:Eine Boole‘sche Funktion ist in Konjunktiver Normalform (KNF), wenn sie aus einer UND-Verknüpfung von Summentermen besteht.(Product Of Sums: POS )
Beispiele für Funktionen in KNF:
)()()( 210210210 xxxxxxxxx
0x
)( 020 xxx
))(()( 4023124 xxxxxxx
Seite 20IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:Ein Maxterm (Volldisjunktion) ist ein Summenterm, bei dem alle Eingabevariablen entweder in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen. Es gibt für jede Zeile i in einer Wertetabelle der Funktion einen Maxterm, der der Menge aller Zeilen außer seiner Zeile i entspricht.
Beispiele für Maxterme:
210 xxx
0x
20 xx hingegen ist kein Maxterm, wenn es auch noch eine Eingabevariable x1 gibt.
Seite 21IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Definition:Die Kanonische Konjunktive Normalform (KKNF) einer Boole‘schen Funktion ist eine UND-Verknüpfung aller Maxterme, für deren Zeile die Funktion den Wert 0 annimmt.
Beispiele für Funktionen in KKNF:
)()()( 210210210 xxxxxxxxx
0x
)( 2100 xxxx
Die folgende Funktion ist nicht in KKNF;
im ersten Summenterm tauchen x1 und x2 nicht auf, daher ist es kein Maxterm.
Seite 22IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Beispiel einer Wertetabelle einer Funktion:
Maxterm
210 xxx
210 xxx
210 xxx
210 xxx
210 xxx
210 xxx
210 xxx
210 xxx
x2x1x0 y1
000 0
001 0
010 0
011 1
100 0
101 1
110 1
111 1
Einzelvariablen werden invertiertim Maxterme!
. ..y1 = 210 xxx 210 xxx
210 xxx 210 xxx
y1 = x0 x1 x2 + x0 x1 x2 + x0 x1 x2 + x0 x1 x2
Seite 23IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Beispiel des Schaltbildes einer Funktion in KKNF:
1 1 1
≥1
≥1
≥1
≥1
x0 x1 x2
& y1
. ..y1 = 210 xxx 210 xxx
210 xxx 210 xxx
Seite 24IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Beispiel einer Funktion im Auto:Zündung: Z=1 : Zündung anHitze: H=1 : Temperatur>95o
Pegel: P=1 : ausreichend WasserAusgangsfunktion Warnleuchte W
Z H P W
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Minterm
PHZ
PZHZHP
Seite 25IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Warnleuchten-Funktion in KDNF:
1 1 1
&
&
&
Z H P
≥1 W
ZHPPZHPHZW
Seite 26IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
)()( PPZHHHPZ
Minimierung durch Hilfe der SchaltalgebraMinimierung durch Hilfe der Schaltalgebra
ZHPPZHPZHPHZ ZHPPZHPHZW
ZHPPZHHPZHPZ
)()( PZHPZHHPZHPZ
)1()1( ZHPZ ZHPZ
Seite 27IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Warnleuchten-Funktion in DMF:
1
&
&
Z H P
≥1 W
ZHPZW
Seite 28IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Beispiel: Darstellung der Funktion f (x1, x2) = m(1, 2, 3)
01
00
11
10
x 2
x 1
-1
1-
x 1
0 0 1 1
0 1 0 1
f
0 1 1 1
x 2
Hintergrund der logischen MinimierungHintergrund der logischen Minimierung„ „ Unit Distance Code“Unit Distance Code“
Brawn Figure 4.33. Ref. Brown
A B + A B A (B + B) A
123 Die Stelle des
Bitwechselswird gekürzt
1221
2121
)(
xxxx
xxxx
2112
2121
)(
xxxx
xxxx
21 xxf
Schlüsseloperation:
Seite 29IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Hintergrund „ Unit Distance Code“Hintergrund „ Unit Distance Code“
Ref.: Brawn Figure 4.33.
Darstellung der 3-Variablen Funktion f (x1, x2, x3) = m(0, 2, 4, 5, 6)
- - 0
1 0 -
f (x1, x2, x3) = x3 + x1 x2
(0)
(2) (6)
(5)
(4)
Seite 30IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Hintergrund „ Unit Distance Code“Hintergrund „ Unit Distance Code“
Brawn Figure 4.33.
Darstellung der 4-Variablen Funktion f (x1, x2, x3 , x4)
f (x1, x2, x3 , x4) = x2 x4 + x1 x3 + x2 x3 x4
Seite 31IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Karnaugh-Vieth KV-Diagramm:
• Rechteckiges Schema
• bei n Eingabevariablen 2n innere Felder.
• Ränder so beschriften, dass jede Variable genau die Hälfte des Diagramms abdeckt.
• Jede Variable deckt genau den halben Bereich jeder anderen Variablen ab.
• Jeder Minterm ist eindeutig durch ein inneres Feld repräsentiert.
Seite 32IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
c
Beispiele:
a
b
ab baba ba
dcab
a
b
abc cba
cba bca cba cba
b
c
a
d
dabc dcba
dcab abcd cdba dcba
dcba bcda cdba dcba
dcba dbca dcba dcba
dcba
cab cba
Karnaugh-Veith KV-DiagrammKV-Diagramm:
Für Funktionen mit 2 Variablen
xyxxy Minimierungsregel
Unit-Distance Kodierungfür benachbarte Felder!Gray Code Zähler: 00 → 01 →11 →10(Nur ein Bit wechselt!)
Für Funktionen mit 3 Variablen
Für Funktionen mit 4 Variablen
Seite 33IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
C
D
C
B
A 1
1
1
1
1
B
1 1 11 1 11 11 1 1
A
A
1
1
B
2 Variablen 3 Variablen
4 Variablen
A
BACA
BCABC
CBAB
CB
DB
Beispiele:
D
C
B
1 1 11 1 11 11 1 1
A
CBAB
CB
CD
4 Variablen-Alternativ
Seite 34IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Z
H
Beispiel: Warnleuchte:
0 1
0 0
1 1
0 0
P
Z H P W
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1ZH PZW
Beispiel für ein KV-DiagrammKV-Diagramm mit 3 Variablen
xyxxy
ZPZPH+ZPH=
ZPH+ZPH = ZH
Seite 35IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Zusammenfassung:
Die Einsen im KV-Diagramm werden zu Blöcken maximaler Größe
zusammengefasst. Dabei müssen die Blöcke immer im Raster der
Zweierpotenzen beginnen und enden. Eine Zusammenfassung von zwei Blöcken
zu einem Block doppelter Größe entspricht einer Anwendung der
Vereinfachungsregel: Wenn ein Block (x0x1) und ein zweiter Block (x0x1) beide
nur aus Einsen bestehen, liegen diese beiden Blöcke im KV-Diagramm
nebeneinander und können zu einem doppelt so großen Block x0
zusammengefasst werden. Die gegenüberliegenden Ränder eines KV-
Diagramms sind zu identifizieren. Man kann sich das Diagramm als Torus
vorstellen.
Wenn mehr als 4 Eingabevariablen vorliegen, muss ein 2-dimensionales KV-
Diagramm so dargestellt werden, dass einzelne Variablen Bereiche überdecken,
die nicht zusammenhängend in der Ebene sind. Dabei sind aber die zueinander
zeigenden Ränder dieser Bereiche als identisch anzusehen.
Seite 36IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Einträge in KV-Diagrammen können Nullen und Einsen sein. In diesem Fall kann
man durch Zusammenfassen aller Einsen zu maximalen Blöcken eine DMF
ablesen. (Leider ist sie nicht eindeutig). In solchen Fällen schreibt man meist nur
die Einsen in das Diagramm und lässt die Nullen weg. Zusammenfassen der
Nullen und benutzen der Komplemente der Variablen führt zur KMF.
Wenn einzelne Elemente in der Wertetabelle don‘t cares sind, können diese in
den Blöcken der Einsen bei der DMF (oder Nullen bei der KMF) mit auftauchen.
Sie schaden nichts. Aber es müssen durchaus nicht alle don‘t cares (dargestellt
durch den Buchstaben X oder d) mit in Blöcke aufgenommen werden.
Seite 37IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
n1 n0 m1 m0 p3 p2 p1 p0
0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 1 0 1 1 01 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
Beispiel: 2-Bit Multiplizierer:
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 0 0 00 0 1 00 1 0 0
0 0 0 0
0 1 1 00 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1 1n0
n1
m0
m1
p0
1 11 11 1
n0
n1
m0
m1
p1
1
11
n0
n1
m0
m1
p2
Seite 38IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
1 1 1 1n0
n1
m0
m1
p0
1 11 11 1
n0
n1
m0
m1
p1
1
11
n0
n1
m0
m1
p2
000 mnp
1101010101001 mnnmmnmnnmmnp
1011102 mmnmnnp
10103 mmnnp p3
Seite 39IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
1
&
&
&
m1
≥1
p0
1
m0
1
n1
1
n0
&
&
&
&
& p3
p1
≥1 p2
2-Bit-Multiplizierer2-Bit-Multiplizierer
Seite 40IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Don’t Care
Don’t Care BehandlungDon’t Care Behandlung
Seite 41IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
x3 x2 x1 x0 y3 y2 y1 y0
0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 1 X X X X1 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
4-Bit Codewandler: Dezimal -> Aiken4-Bit Codewandler: Dezimal -> Aiken
0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1X X X X
X X X X
X X X XX X X X
X X X X
Don’t Care
Seite 42IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
1. Aufstellen der Wertetabelle2. Eintragen der Terme „mit 1“ in KV-Diagramm3. Zusammenfassen von benachbarten Einsen zu
Blöcken maximaler Größe4. Ablesen der DMF
KV Minimierung für Disjunktive Minimalform KV Minimierung für Disjunktive Minimalform DMFDMF: :
Zusammenfassung Zusammenfassung
Seite 43IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
1. Aufstellen der Wertetabelle2. Eintragen der Werte „mit 0“ in KV-Diagramm3. Zusammenfassen von benachbarten Nullen zu
Blöcken maximaler Größe4. Ablesen der KMF, indem die Summenterme
gebildet werden, die diese Blöcke von Nullen nicht abdecken. Zu diesem Zweck oder‘t man die invertierten Eingabevariablen, die diese Blöcke von Nullen überdecken.
KV Minimierung für konjunktive Minimalform KV Minimierung für konjunktive Minimalform KMFKMF::Zusammenfassung: Zusammenfassung:
Seite 44IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
KV-Diagramme mit mehr als 4 Variablen (sehr Arbeitsaufwendig)
x0
x3
x4
x1 x1
x2
x0
x1
x2
x3
x4 x4
x5
x5
5 - Variablen 6 - Variablen
Seite 45IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Das Verfahren von Quine und McCluskeyDas Verfahren von Quine und McCluskey(Rechnergestützte Verfahren)(Rechnergestützte Verfahren)
Mit KV-Diagrammen kommen wir nicht weiter, wenn die Anzahl der
Eingabevariablen größer als 6 wird. In diesem Fall empfiehlt sich das Verfahren
von Quine und McCluskey. Es beginnt mit der KDMF und besteht aus zwei
Schritten:
Erstens: Das Verfahren von McCluskey erzeugt durch systematische
Anwendung der Vereinfachungsregeln alle Primterme einer Funktion.
Zweitens: Das Verfahren von Quine wählt aus dieser Menge aller Primterme eine
minimale Teilmenge aus, deren Oder-Verknüpfung die gesamte Funktion
repräsentiert.
Seite 46IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Das Verfahren von Quine und McCluskey
1. McCluskey:
Systematische Anwendung der Regel
Konstruktion aller Primterme
2. Quine
Treffen einer minimalen Auswahl von Primtermen, deren Disjunktion die Funktion realisiert.
xyxxy
Edward J. McCluskeyStanford UniversityComputer Science
Seite 47IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Einleitendes BeispielEinleitendes Beispiel
dbcacdbadabcbcdacdbaabcdf 1 2 3 4 5 6
dbcbcacdacdbabcbcdacd A B C D E F G
bcbccdcd
1,2
A,E
1,3 3,61,4 2,5 4,63,5
B,D B,G C,F
bccd
Seite 48IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Das Verfahren von McCluskeyDas Verfahren von McCluskey
Begonnen wird mit der Funktion in DNF1. Für jedes Paar von Produkttermen wird geprüft, ob
die Regel
anwendbar ist. Wenn ja, wird in der nächsten Zeile der Produktterm x aufgenommen. Alle Terme, die nicht zu einem solchen Produktterm beigetragen haben, werden unverändert in die nächste Zeile übernommen.
2. Wenn keine neuen Produktterme in der neuen Zeile entstehen, ist man fertig. Sonst wird bei 1. weitergemacht. Am Ende stehen in der letzten Zeile alle Primterme.
xyxxy
Seite 49IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Zweites BeispielZweites Beispiel
cbabcaabccabf I II III IV
cabcab I,II II,III III,IV
3 Primterme sind generiertbc ist ein redundanter Term, wie man am KV-Diagramm leicht sehen kann. Daher benötigen wir das Verfahren von Quine.
Seite 50IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Das Verfahren von QuineDas Verfahren von Quine
Eine Primterm-Minterm-Tabelle wird aufgestellt: Die Minterme in der Zeile und die Primterme in der Spalte.
1. Alle Spalten, in denen eine 1 aus einer dominanten Zeile (Zeile mit nur einer 1) steht, werden markiert. Alle Zeilen, in denen 1en aus markierten Spalten stehen, werden gestrichen.
2. Wenn keine ungestrichene Zeile mehr vorhanden ist, wird das Verfahren beendet. Die markierten Spalten bilden die Minterme der DMF.
3. Wenn keine dominante Zeile mehr vorhanden ist, aber noch ungestrichene Zeilen existieren, wird eine beliebige Spalte markiert und bei 1. fortgefahren.
Seite 51IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
cab
ab
abc
bca
cba
bc ca
1
1 1
1 1
1
Quine Verfahren, minimaler AbdeckungQuine Verfahren, minimaler Abdeckung
bc ist nicht nötig da die Primterme ab, ac alle Minterme abdecken!
Also f =( ab + ac ) ist die Minimale Implementierung
1. Primterme horizontal, Minterme vertikal einsetzen2. 1 setzen für alle Minterme die einen Primterm enthalten
PrimtermeMinterme
Seite 52IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
BeispielBeispiel zum Verfahren von Quine McCluskey zum Verfahren von Quine McCluskey
10 beteiligte Minterme in Gruppen sortiert nach Anz. von Einsen (Gewicht) (oder Nullen) inklusive den „don‘t cares“ (-)
Gewicht=0
Gewicht=1
Gewicht=2
Gewicht=3
Gewicht=4
Seite 53IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Primterme generierenPrimterme generieren
Alle nicht markierte Terme werden als Primtermefür die weitere Bearbeitung ausgewählt!
Jede Gruppe mit der folgenden Gruppe testen!
Primterme
Seite 54IDA, Technische Universität Braunschweig Technische Informatik II (INF 1211)
Primimplikanten-Tabelle und minimale FunktionsauswahlPrimimplikanten-Tabelle und minimale Funktionsauswahl
Eine andere Lösung ist auch möglich!
123 xxx
013 xxx
1302013 x x x x xxxy
PrimtermeNur Minterme mit 1 (nur 6)