Serie 9

© Peter Buob Geometrie-Lehrgang Oberstufe Geometrie 2 - Serie 9

1Serie 9


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Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen 2.09.081

a) b) c)

d) e)

Benenne die folgenden Kreiswinkel.


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Lösung 2.09.081

a) Peripheriewinkel

b) Zentriwinkel

c) Sehnenwinkel

d) Sehnentangentenwinkel

e) Tangentenwinkel


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a) b)

c) d)

1. Benenne die folgenden schraffierten Flächen. 2. Benenne die Begrenzungslinien dieser Flächen.


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Lösung 2.09.082

a) Kreisfläche begrenzt durch Kreislinie/Kreisperipherie

b) Kreissektor begrenzt durch 2 Kreisradien und 1 Kreisbogen

c) Kreissegment begrenzt durch 1 Kreissehne und 1 Kreisbogen

d) Kreisring begrenzt durch 2 konzentrische Kreislinien


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a

b

c

d

e

f

g

T

Benenne die Geraden a bis c, die Strecken d bis g und den Punkt T.


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Lösung 2.09.083

a Sekante

b Zentrale

c Tangente

d Berührungsradius

e Sehne

f Durchmesser

g Radius

T (Tangenten-) Berührungspunkt


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a) b)

c) d) e)

Wie heissen die Winkelsätze zu den folgenden Schau-figuren?


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Lösung 2.09.084

a) Sehnen-Tangentenwinkelsatz: Der Sehnentangentenwin-kel ist gleich gross wie die Peripheriewinkel über der Sehne.

b) Zentriwinkelsatz: Zentriwinkel über gleich langen Bogen (oder Sehnen) sind im gleichen Kreis gleich gross.

c) Peripheriewinkelsatz: Peripheriewinkel über gleich langen Bogen (oder Sehnen) sind im gleichen Kreis gleich gross.

d) Peripherie - Zentriwinkelsatz: In einem Kreis ist der Zentriwinkel doppelt so gross wie der Peripheriewinkel über gleichem Bogen.

e) Innenwinkelsatz im Sehnenviereck: Im Sehnenviereck messen zwei gegenüberliegende Innenwinkel zusammen 180°.


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1. Zeichne im Kreis k mit r = 20 mm fünf Sehnen mit der Länge 25 mm.

2. Was lässt sich über die Grösse von gleich langen Sehnen vom Kreiszentrum Z aussagen?

3. Beschreibe den geometrischen Ort der Seitenmit-ten gleich langer Sehnen.


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Lösung 2.09.085

Z

k

M 2

M 1

M 5

M 3

M 4

g.O.

1. 2. Gleich lange Sehnen im gleichen Kreis haben gleich lange Abstände vom Kreiszentrum.

3. Der geom. Ort aller Mittelpunkte M von gleich langen Sehnen im gleichen Kreis k mit dem Zentrum Z liegen auf einem konz. Kreis zu k mit r = ZM .


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Z

k gGegeben sind Kreis k und Sekante g. Kon-struiere alle Sekanten s, welche g unter einem Winkel von 60° schnei-den, und aus denen der Kreis k Sehnen von 30 mm Länge heraus-schneidet.


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Lösung 2.09.086

Z

60°

s'

s 3

1s

2s

4s

M'2M

3M4M

1M

k g

h

1. Sehne s’ mit Länge 30 mm konstruieren.

2. Rechtwinklige zu s’ durch Z M’

3. Kreis um Z mit r = ZM'

4. 60° Winkel an g antragen h

5. Rechtwinklige zu h durch Z M1, M2

6. Parallele zu h durch Z M3, M4

7. Sekanten durch M1 bis M4 zeichnen


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k

t 1

t 2

66°

z

xy

w

w

y

z

x

M

A

B

k

M

17°

Z

Aufgabe 1: t1 und t2 sind Tangenten an Kreis k. Berechne die Winkel w, x, y und z.

Aufgabe 2: Das Dreieck MAB ist gleichseitig. Berechne die Winkel w, x, y und z.


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Lösung 2.09.087

Aufgabe 1:

w = 81°

x = 24°

y = 57°

z = 33°

Aufgabe 2:

w = 30°

x = 13°

y = 45°

z = 75°


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w

x

y

z65°

81°

xy

z

Aufgabe 1: w ist Winkelhalbierende. Berechne die Winkel x, y und z.

Aufgabe 2: Berechne die Winkel x, y und z.


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Lösung 2.09.088

Aufgabe 1:

x = 22.5°

y = 97.5°

z = 60°

Aufgabe 2:

x = 15.5°

y = 40.5°

z = 25°


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xy

z

32°

65°

w

t 58°

vw

x

y z

Aufgabe 1: Berechne die Winkel w, x, y und z.

Aufgabe 2: t ist Tangente. Berechne die Winkel v, w, x, y und z.


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Lösung 2.09.089

Aufgabe 2:

v = 32°

w = 128°

x = 96°

y = 26°

z = 58°

Aufgabe 1:

w = 97°

x = 58°

y = 25°

z = 33°


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x

y z

33°

xy

z

62°




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Lösung 2.09.090

Aufgabe 1:

x = 24°

y = 33°

z = 57°

Aufgabe 2:

x = 34°

y = 124°

z = 62°

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