Simulationstechnik Präsentation im Rahmen der VorlesungUnternehmensplanung FH-Mannheim.

SimulationstechnikSimulationstechnik

Präsentation

im Rahmen der Vorlesung

UnternehmensplanungUnternehmensplanung

FH-Mannheim

Simulationstechnik

Simulationstechnik

Thomas Vogt & Kai H. Tilger

• Ziele / Verfahren / Zweck der Simulation

• Stochastische Simulation / Monte Carlo Technik

• Zufallszahlen bei manueller /digitaler Simulation

• Beispiel zur manuellen stochstischer Simulation

Ziele / Verfahren / Zweck / Anwendung der Simulation

Wann wird simuliert?

• Lösung ist weder mathematisch noch experimentell exakt

bestimmbar

• Simulation technisch nicht möglich oder nicht erwünscht

• Es gibt keine mathematische bzw. zu aufwendige Verfahren

Simulationstechnik


Zweck der Simulation

• Leicht modifizierbare Modelle für Konzepterprobung

• Kostengünstige Realisierung vor Erprobungsbedingungen

• Verhaltungsstudium bei veränderteren Einflussgrößen

Vorteile einer Simulation

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• Kosten und Zeitersparnis

• Leichte Veränderung von Varianten

• Möglichkeit der Realitätsnahen Simulation


Simulationstechnik



Arten und Anwendungen der Simulation• Simulation zur Anschauungszwecken

• Simulation zu Schulungs- und Übungszwecken

• Simulation mit mathematisch-numerischen Modellen

- determistische Simulation

- stochachstische Simulation Monte-Carlo-Simulation

- Warteschlangenproblemen

- Lagerhaltungsproblemen

- Wartung & Instandhaltungsproblemen

- Reihenfolgeproblemen

Simulationstechnik


Stochastische Simulation mit der Monte Carlo Technik

Stochastische Simulation mit der Monte Carlo Technik:

• Künstliche Stichproben zur Untersuchung von Problemen

• Notwendigkeit von Zufallszahlen

• Genauigkeit abhängig von der Anzahl der Simulationsdurchläufe

- Will man Genauigkeit verzehnfachen muss man

die Simulationsdurchläufe verhundertfachen.

Zufallszahlen bei digitaler Simulation:

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I X X2 Pseudo-Zufallszahl

1

2

3

4

5

6

6543

8108

7396

7008

1120

2544

42810849

65739664

54700816

49112064

1254400

6471936

8108

7396

7008

1120

2544

4719

1. Beliebige vierstellige Anfangszahl

2. Quadrieren und streichen der ersten / letzen beiden Stellen der Quadratzahl

Simulationstechnik



Beispiel manueller stochastischer Simulation

Koordinaten

X Y

Lage im Feld

A B

24 94

01 41

98 20

63 81

48 82

00 98

90 63

......

+ +

+ -

+ -

+ +

+ +

+ -

+ -

.......

Aufgabe: Bestimmung des Flächeninhaltes einer unregelmäßigen begrenzten Fläche.

Lösung:

Das Verhältnis Fläche A / Fläche B entspricht dem Verhältnis der Punkte A / Punkte B.

100 X

100

Y

BA

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Beispiel manuelle stochastischen SimulationAufgabe: Bestimmung des Flächeninhaltes einer unregelmäßigen begrenzten Fläche.

Lösung:

Der Flächeninhalt von B ist ca. 0.667 von A

100 X

100

Y

BA

Ergebnis: a) bei 30 Punkten n = 30 in A m = 19 in B 19/30 = 0,633 für B

b) bei 90 Punkten n = 90 in A m = 60 in B 60/90 = 0,667 für B

Anwendung der manuellen stoch. Simulation

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• Elektronikindustrie

Prüfen von z.B. Kondensatoren

• Automobilindustrie

Prüfen von Getriebeteilen

In der Qualitätskontrolle für Bauteile

Anwendung der manuellen stoch. Simulation

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• Geographische Messungen

z.B. Oberflächen von Seen

100 X

100

Y

BA

Bsp. man. stoch. Simulation mit Zufallszahlen

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Ein Zeitungsverkäufer interessiert den durchschnittlichen Absatz.

Er möchte möglichst viele Kunden bedienen, aber auch nicht unnötig viele Zeitungen einkaufen.

Folgende Informationen liegen vor

Verkaufte Zeitungen/Minute

Wahrscheinlichkeit

Mittelwert x= 0*1/3 + 1*1/3 + 2*1/6 + 3*1/6 + 0*4 + 5*0 = 7/6

xj 0 1 2 3 4 5pj 1/3 1/3 1/6 1/6 0 0

Bsp. man. stoch. Simulation mit Zufallszahlen

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Mittelwert x= 7/6

Daraus ergibt sich ein Absatz von 11.67 Zeitungen in 10 Minuten

Wann tritt welches Ereignis ein?

Hierzu nimmt man Zufallszahlen die per Zufallsgenerator oder aus Zufallszahlentabellen abgelesen werden.

Zufallszahlen 01-33 34-66 67-83 84-00

Veräufe/Minute 0 1 2 3

Wahrscheinlichkeit 1/3 1/3 1/6 1/6

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Bsp. man. stoch. Simulation mit ZufallszahlenBestimmung der durchschnittlichen verkauften Zeitungen für 10 Stichproben.

Zufallszahlen 1 2 3 4 ... Zufallszahlen 1 2 3 4 ...

1 824 194 405 350 1 24 94 5 502 801 441 562 559 2 1 41 62 593 898 620 464 325 3 98 20 64 254 363 981 361 897 4 63 81 61 975 248 182 12 381 5 48 82 12 81

6 900 968 32 46 6 00 68 32 467 490 163 384 672 7 90 63 84 728 259 562 549 114 8 59 62 49 149 912 90 964 803 9 12 90 64 3

10 88 895 535 652 10 88 95 35 52

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Bsp. man. stoch. Simulation mit ZufallszahlenBestimmung der durchschnittlichen verkauften Zeitungen für 10 Stichproben.

Zeitungen gl. Mittelwert

Stichprobe kum.

i 0 1 2 3 1 2 3 fjxj1 III III IIII 3 12 15 15 152 I III II IIII 3 4 12 19 34 173 III IIIII I I 6 3 9 43 14,34 III IIII II I 4 4 3 11 55 13,85 IIIII III II 3 4 7 62 12,46 II III III II 3 6 6 15 77 12,87 IIIII I I III 1 9 10 87 12,48 II III III II 3 6 6 15 102 12,79 IIII IIII II 4 4 8 110 12,2

10 III IIII III 4 6 10 120 12

Anzahl der Zeitungen

fj*xj pro Sichprobe

Häufigkeit fj

Verkäufe/min xj

n

1i

f1

jj xn

x

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Bsp. man. stoch. Simulation mit ZufallszahlenAb wann sind die Ergebnisse der Stichproben repräsentativ?

Aus einem Stichprobenumfang von 10 ist noch kein repräsentatives Ergebnis zu ziehen.

In unserem Beispiel könnte die Simulation nach i = 100 Stichproben abgebrochen werden.

Stichprobe i 10 20 40 60 80 100Mittelwert x 12,0 11,7 11,2 11,4 11,6 11,6

Die Änderungen von gl. Mittelwert x können abgebrochen werden, wenn sich das Ergebnis nur noch unwesentlich ändert.

Abweichung < 0,5 % häufig benutzte Größe

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Fazit:

Die Techniken der Monte Carlo- Technik sind nicht neu, aber

• bei den Wahrscheinlichkeitsexperimenten sollen Zusammenhänge simuliert ermittelt werden,

• bei denen die Größen als zufällige Variablen auftreten. Verwendung von Zufallszahlen !

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Sind noch Fragen offen ?

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