Skript zur Algebra I + II -...

Skript zur Algebra I + II

Prof. Dr. F. Heß

Technische Universitat Berlin

Inhaltsverzeichnis

1 Gruppen 3

1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9 Direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Operationen von Gruppen auf Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.12 Sylowsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.13 Anwendungen auf endliche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.14 Weitere Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.14.1 Gruppenerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.14.2 Kompositionsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.14.3 Einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.14.4 Auflosbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.14.5 Freie Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Ringe I 45

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Ideale und Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Faktorringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Nullteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Schiefkorper, Korper und einfache Ringe . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6 Direkte Produkte und orthogonale Idempotente . . . . . . . . . . 55

2.7 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.8 Charakteristik und Primringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

III

IV INHALTSVERZEICHNIS

2.9 Noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.10 Maximale Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.11 Integritatsringe und Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.12 Teilbarkeit in Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.13 Lokale Ringe und Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 Polynomringe 81

3.1 Univariate Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Polynomringe uber Korpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4 Basissatz von Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6 Irreduzibilitat von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.7 Multivariate Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.8 Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.9 Resultanten und Diskriminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.10 Potenzreihen- und Laurentreihenringe . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.11 Monoid- und Gruppenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4 Moduln I 111

4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Noethersche und Artinsche Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3 Matrizen uber Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.4 Moduln und Matrizen uber Hauptidealringen . . . . . . . . . . . . 122

4.5 Grobnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5 Algebraische Korpererweiterungen 141

5.1 Endliche, algebraische und transzendente Korpererweiterungen . . 141

5.2 Zerfallungskorper und algebraischer Abschluß . . . . . . . . . . . 151

5.3 Homomorphismen und ihre Fortsetzungen . . . . . . . . . . . . . 154

5.4 Normale Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.5 Separable Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.6 Rein inseparable Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.7 Weitere Eigenschaften von normalen, separablen und rein insepa-

rablen Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.8 Endliche Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.9 Kreisteilungskorper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.10 Charakteristisches Polynom, Spur und Norm . . . . . . . . . . . . 176

INHALTSVERZEICHNIS 1

6 Galoistheorie 183

6.1 Galoiserweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.2 Beziehungen zwischen Galoiserweiterungen . . . . . . . . . . . . . 188

6.3 Galoisgruppen spezieller Korpererweiterungen . . . . . . . . . . . 191

6.4 Permutationsdarstellungen und Galoisgruppen von Polynomen . . 192

6.5 Symmetrische Polynome und das Umkehrproblem der Galoistheorie 196

6.6 Lineare Unabhangigkeit von Charakteren . . . . . . . . . . . . . . 199

6.7 Normalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.8 Kummertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.9 Auflosbarkeit durch Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.10 Reduktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7 Transzendente Korpererweiterungen 217

7.1 Transzendenzbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.2 Separable Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.3 Regulare Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8 Moduln II 225

8.1 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.2 Induzierte und koinduzierte Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.3 Lokalisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.4 Flache Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.5 Freie Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.6 Projektive Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.7 Satz von Cayley-Hamilton und Lemma von Nakayama . . . . . . 243

8.8 Beziehungen zwischen den Moduleigenschaften und lokal-global Aus-

sagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

9 Ringe II 251

9.1 Tensorprodukt von Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.2 Gebrochene und invertierbare Ideale, Primidealfaktorisierung . . . 252

9.3 Lokale Charakterisierungen invertierbarer Ideale . . . . . . . . . . 257

9.4 Ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

9.5 Globale Charakterisierung von Dedekindringen . . . . . . . . . . . 267

9.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

2 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Gruppen

1.1 Notation

Die Symbole Z,Q,R,C bezeichnen die ganzen, rationalen, reellen und komple-

xen Zahlen. Die positiven ganzen Zahlen werden mit Z≥1 bezeichnet. Weitere

Variationen dieser Schreibweise erklaren sich von selbst.

Ist R ein Korper (oder auch nur ein Ring), so bezeichnet Rn×m die Menge der

n×m Matrizen mit Eintragen aus R.

Bei den Machtigkeiten von Mengen unterscheiden wir nur endliche Machtigkei-

ten und unendlich (∞). Zum Rechnen mit∞ beziehungsweise in der Teilerrelation

verwenden wir folgende Konvention:

n · ∞ =∞ ·m =∞ und n|∞ fur alle n,m ∈ Z≥1 ∪ {∞}. (1.1)

Ebenso nehmen wir n|0 fur alle n ∈ Z\{0} ∪ {∞} an. Das Minimum einer leeren

Menge ist ∞. Die weitere Verwendung von ∞ in Formeln geschieht dann auf

entsprechend sinnvolle Weise.

Der großte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache ganzer

Zahlen wird mit gcd beziehungsweise lcm bezeichnet (greatest common divisor

und least common multiple).

Wir schreiben pr||n, wenn p eine Primzahl ist und pr die großte Potenz von p

ist, welche n teilt.

Sind G,H Mengen, f : G → H eine Abbildung, A ⊆ G, und B ⊆ H , so

schreiben wir f(A) = {f(a) | a ∈ A} fur das Bild von A unter f und f−1(B) =

{a ∈ G | f(a) ∈ B} fur das Urbild von B unter f .

Seien X, I Mengen und Ui ⊆ X Teilmengen von X fur i ∈ I. Dann bezeichnen

wir mit ∪i∈IUi = ∪{Ui | i ∈ I} die Vereingung und mit ∩i∈IUi = ∩{Ui | i ∈ I} den

Durchschnitt der Ui. Die Notation.∪i∈IUi bedeutet, daß zusatzlich Ui ∩ Uj = ∅

3

4 KAPITEL 1. GRUPPEN

fur alle i, j ∈ I mit i 6= j gilt. Die Notation.∪{Ui | i ∈ I} hingegen bedeutet, daß

fur U, V ∈ {Ui | i ∈ I} mit U 6= V auch U ∩ V = ∅ gilt.

Mit δi,j bezeichnen wir das Kronecker-Delta, fur welches δi,j = 1 fur i 6= j und

δi,i = 0 fur i = j gilt.

Ist X eine Menge, so bezeichnen wir mit idX die Funktion idX : X → X mit

idX(x) = x fur alle x ∈ X.

1.2 Halbgruppen

Seien X, Y Mengen. Eine Verknupfung ◦ auf X mit Operatorbereich Y ist eine

Funktion ◦ : Y ×X → X. Die Funktionsanwendung ◦(a, b) wird in Infixnotation

a◦b geschrieben. Fur Y = X sprechen wir auch einfach nur von einer Verknupfung

auf X. Beispiele fur Verknupfungen sind + und · auf Z oder die Hintereinander-

ausfuhrung von Abbildungen auf der Menge X der Abbildungen einer Menge in

sich selbst. Fur A ⊆ Y und B ⊆ X definieren wir A ◦ B = {a ◦ b | a ∈ A, b ∈ B}sowie a ◦B = {a} ◦B und A ◦ b = A ◦ {b} fur a ∈ A und b ∈ B.

Eine Verknupfung ◦ auf X heißt assoziativ, wenn a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c fur

alle a, b, c ∈ X gilt. Fur eine assoziative Verknupfung braucht man daher nicht

zu klammern, Ausdrucke der Form a1 ◦ · · · ◦ an werden mit Hilfe einer beliebigen

Klammerung definiert. Eine Verknupfung heißt kommutativ, wenn a ◦ b = b ◦ afur alle a, b ∈ X gilt.

Eine Halbgruppe G ist ein Tupel (X, ◦) bestehend aus einer Menge X und einer

assoziativen Verknupfung ◦ auf X. Ist ◦ zusatzlich kommutativ, so heißt (X, ◦)kommutativ oder abelsch. Die Ordnung #G einer Halbgruppe ist #X.

Seien G = (X, ◦X) und H = (Y, ◦Y ) Halbgruppen. Ein Homomorphismus

f : G → H der Halbgruppen G und H besteht aus einer Funktion g : X → Y

mit g(a ◦X b) = g(a) ◦Y g(b) fur alle a, b ∈ X. Man sagt, daß f strukturerhaltend

sei. Notationsweise nimmt man es hier normalerweise nicht so genau (die genaue

Bedeutung ist meist vom Kontext her klar) und benutzt die gleichen Symbole fur

G und X beziehungsweise H und Y , und fur f und g.

Fur Homomorphismen wird die folgende Standardnomenklatur verwendet:

f : G → H ist ein Monomorphimus :⇔ f : G → H ist ein injektiver Homo-

morphismus. f : G → H ist ein Epimorphimus :⇔ f : G → H ist ein surjektiver

Homomorphismus. f : G→ H ist ein Isomorphimus :⇔ f : G→ H ist ein bijek-

tiver Homomorphismus. f : G → H ist ein Endomorphimus :⇔ f : G → H ist

ein Homomorphismus und es gilt G = H . f : G→ H ist ein Automorphimus :⇔f : G→ H ist ein Endomorphismus und Isomorphismus.

Die Hintereinanderausfuhrung von Homomorphismen ist wieder ein Homo-

morphismus. Die inverse Abbildung eines Isomorphismus ist wieder ein Isomor-

1.2. HALBGRUPPEN 5

phismus. Zwei Halbgruppen G und H heißen isomorph (strukturgleich), wenn es

einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt, in Zeichen G ∼= H . Isomomorphie ist

eine Aquivalenzrelation.

Sei G eine Halbgruppe mit Verknupfung ◦. Ein Element e ∈ G heißt linksneu-

trales Element von G, wenn e◦x = x fur alle x ∈ G gilt. Ein Element e ∈ G heißt

rechtsneutrales Element von G, wenn x ◦ e = x fur alle x ∈ G gilt. Ein neutrales

Element von G ist ein links- und rechtsneutrales Element von G.

Falls es in G ein neutrales Element gibt, so ist es eindeutig bestimmt: Sind

e1, e2 ∈ G neutrale Elemente, so gilt nach Voraussetzung e1 = e1 ◦ e2 = e2. Eine

Halbgruppe G mit neutralem Element heißt Monoid.

Sei G ein Monoid mit Verknupfung ◦ und neutralem Element e. Sind a, b ∈ Gmit a ◦ b = e, so heißt a Linksinverses von b und b Rechtsinverses von a. Ist

b Linksinverses von a und Rechtsinverses von a, so heißt b Inverses von a. Ein

Element a ∈ G heißt invertierbar, wenn es ein Inverses b ∈ G von a gibt. Das

neutrale Element e ist invertierbar mit Inversem e.

1.2 Lemma. Sei G ein Monoid mit Verknupfung ◦ und neutralem Element e.

(i) Links- und zugleich rechtsinvertierbare Elemente sind invertierbar und das

Inverse ist eindeutig bestimmt.

(ii) Ist a ∈ G invertierbar mit Inversem b ∈ G, so ist auch b invertierbar und

besitzt das Inverse a.

(iii) Sind a, b ∈ G invertierbar mit Inversen c, d ∈ G, also a ◦ c = c ◦ a = e und

b ◦ d = d ◦ b = e, so ist auch a ◦ b invertierbar und besitzt das Inverse d ◦ c.

Beweis. (i): Sei b ∈ G links- und rechtsinvertierbar mit Linksinversem a und

Rechtsinversem c. Dann gilt a = a ◦ e = a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c = e ◦ c = c. Also

ist a = c zugleich Links- und Rechtsinverses, und daraus folgt die Aussage.

(ii): Es gilt a ◦ b = b ◦ a = e aufgrund der Definition von b. Damit erfullt a

aber auch die Definition eines Inversen von b.

(iii): Es gilt (a◦b)◦(d◦c) = a◦(b◦d)◦c = a◦c = e und analog (d◦c)◦(a◦b) = e,

also ist d ◦ c das Inverse von a ◦ b.

1.3 Beispiel. Sei G = {f | f : Z → Z} mit ◦ = Komposition von Abbildungen.

Dann ist G zusammen mit ◦ ein Monoid mit neutralem Element id. Wir wollen

ein Beispiel linksinvertierbarer, aber nicht rechtsinvertierbarer Elemente finden.

Finde also f, g ∈ G mit f ◦ g = id und g ◦ f 6= id, also g injektiv und nicht

surjektiv, und f surjektiv und nicht injektiv. Wir konnen damit zum Beispiel

g : x 7→ 2x und f : x 7→ x div 2


wahlen. Die Abbildung

h : x 7→{

x div 2 fur x gerade,

0 sonst.

ist ebenfalls ein Linksinverses von g, also sind Linksinverse linksinvertierbarer

Elemente im algemeinen nicht eindeutig bestimmt.

Sei G ein Monoid mit Verknpupfung ◦ und neutralem Element e. Fur ein

linksinvertierbares a ∈ G und b ∈ G besitzt die Gleichung a ◦ x = b hochstens

eine Losung x ∈ G: Durch Multiplikation der Gleichung von links mit einem

Linksinversen c ∈ G von a erhalten wir x = e ◦ x = (c ◦ a) ◦ x = c ◦ (a ◦ x) = c ◦ b.Ist c sogar ein Inverses von a, so liefert x = c ◦ b auch stets eine Losung der

Gleichung a ◦ x = b.

Die Kurzungsregel ist eine Variante dieser Aussage: Ist a ∈ G linksinvertierbar

und gilt a ◦ x1 = a ◦ x2 fur x1, x2 ∈ G, so folgt x1 = x2. Ein aquivalente Formu-

lierung der Kurzungsregel ist die folgende: Die Abbildung G → G, x 7→ a ◦ x ist

injektiv. Diese Aussagen gelten analog fur rechtsinverse Elemente.

Besitzt G endliche Ordnung, so sind linksinvertierbare (oder rechtsinvertierba-

re) Elemente bereits invertierbar: Ist a ∈ G linksinvertierbar, so ist die Abbildung

x 7→ a ◦ x nach der Kurzungsregel injektiv und wegen #G < ∞ auch surjektiv.

Also gibt es c ∈ G mit a◦ c = e. Die Behauptung folgt damit aus Lemma 1.2, (i).

Entsprechend besitzt dann die Gleichung a ◦ x = b immer genau eine Losung.

Wir untersuchen nun kurz, inwieweit neutrale Elemente durch Homomorphis-

men wieder auf neutrale Elemente, und inverse Elemente wieder auf inverse Ele-

mente angebildet werden. Seien G,H Monoide mit den neutralen Elementen eGund eH . Sei f : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt nicht notwendigerweise

f(eG) = eH , obwohl man dies vielleicht erwarten wurde.

1.4 Beispiel. Als Beispiel fur dieses Verhalten betrachten wir G = (R\{0}, ·),H = (R2×2, ·) und

f : G→ H, x 7→(

x 0

0 0

)

.

Man rechnet leicht nach, daß f ein Homomorphismus ist und f(1) 6=(

1 00 1

)

gilt.

Ist f jedoch ein Isomorphismus von Monoiden, so gilt naturlich f(eG) = eH .

1.5 Lemma. Seien G,H Monoide mit den neutralen Elementen eG und eH und

f : G→ H ein Homomorphismus.

(i) Ist f(eG) invertierbar, so gilt f(eG) = eH .

1.3. GRUPPEN 7

(ii) Es gelte f(eG) = eH . Ist a ∈ G invertierbar mit Inversem b ∈ G, so ist f(a)

invertierbar mit Inversem f(b).

Beweis. (i): Es gilt f(eG)2 = f(e2G) = f(eG). Verknupfung beider Seiten der

Gleichung mit dem Inversen von f(eG) liefert f(eG) = eH .

(ii): Es gilt f(a)f(b) = f(ab) = f(eG) = eH und analog f(b)f(a) = eH . Also

ist f(b) das Inverse von f(a).

Die obige Notation unter Verwendung des Symbols ◦ ist teilweise etwas um-

standlich. Zur Vereinfachung betrachten wir die Symbole · und + und fuhren ein

paar Konventionen ein.

Verwenden wir das Symbol · anstelle von ◦, so lassen wir · auch haufig aus:

Dann bedeutet ab also eigentlich a · b. Das neutrale Element bezeichnen wir mit

1 anstelle von e. Ist a invertierbar, so bezeichnen wir das Inverse von a mit a−1.

Die Formeln des Lemmas 1.2 sehen dann recht eingangig so aus:

(a−1)−1 = a und (ab)−1 = b−1a−1.

Die Kurzungsregel lautet ebenfalls eingangiger: ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2. Sind

ai ∈ G fur 1 ≤ i ≤ n und n ∈ Z≥1, so definieren wir∏n

i=1 ai = a1 · · ·an. Falls es

das neutrale Element 1 gibt, definieren wir das leere Produkt als 1 (Fall n = 0).

Damit setzen wir an =∏n

i=1 a fur n ∈ Z≥0. Ist a invertierbar, so definieren wir

zusatzlich a−n = (an)−1. Nach Lemma 1.2, (iii) gilt (an)−1 = (a−1)n.

Das Symbol + verwenden wir nur fur kommutative Verknupfungen. Das neu-

trale Element bezeichnen wir dann mit 0 anstelle von e. Ist a invertierbar, so

bezeichnen wir das Inverse von a mit −a. Die Formeln des Lemmas 1.2 sehen

dann so aus:

−(−a) = a und −(a + b) = (−a) + (−b).Die Kurzungsregel lautet: a + x1 = a+ x2 ⇒ x1 = x2. Sind ai ∈ G fur 1 ≤ i ≤ n

und n ∈ Z≥1, so definieren wir∑n

i=1 ai = a1 + · · · + an. Falls es das neutrale

Element 0 gibt, definieren wir die leere Summe als 0 (Fall n = 0). Damit setzen

wir na =∑n

i=1 a fur n ∈ Z≥0. Ist a invertierbar, so definieren wir zusatzlich

(−n)a = −(na). Nach Lemma 1.2, (iii) gilt −(na) = n(−a).Die Abbildungen (n, a) 7→ an und (n, a) 7→ na liefern Beispiele fur Ver-

knupfungen auf G mit Operatorbereich Z≥1.

1.3 Gruppen

1.6 Definition. Eine Gruppe G ist ein Monoid, in welchem jedes Element inver-

tierbar ist.


In diesem Abschnitt und den nachfolgenden Abschnitten schreiben wir die

Verknupfung aller auftretenden Gruppen als ·.Will man (kleine) Gruppen explizit beschreiben, so kann man ihre Gruppenta-

fel, also den Graph der Verknupfung, angeben. Die Verknupfung in einer Gruppe

wird auch Gruppengesetz genannt.

Eine aquivalente Charakterisierung einer Gruppe mit”minimalen Axiomen“

ist die folgende.

1.7 Satz. Fur eine Halbgrupe G sind aquivalent.

(i) G ist eine Gruppe.

(ii) G besitzt ein linksneutrales Element e, und fur jedes a ∈ G gibt es ein b ∈ Gmit ba = e.

Beweis. (i)⇒ (ii): Ist klar.

(ii) ⇒ (i): Sei a ∈ G. Es gibt b ∈ G und c ∈ G mit ba = e und cb = e.

Dann gilt bab = eb = b. Multiplikation dieser Gleichung von links mit c liefert

ab = eab = cbab = ceb = e. Damit gilt weiter ae = aba = ea = a. Da a beliebig

war, ist e folglich ein neutrales Element von G und a invertierbar.

1.8 Beispiel. Beispiele fur abelsche Gruppen sind (R,+), (R\{0}, ·) oder die

Menge der Vektoren eines Vektorraums zusammen mit der Vektoraddition.

Mengen von Endomorphismen zusammen mit der Verknupfung ◦ = Kompo-

sition von Abbildungen liefern im allgemeinen nichtabelsche Gruppen: Beispiele

sind die Menge der Endomorphismen eines Vektorraums beziehungsweise die Men-

ge der invertierbaren Matrizen uber einem Korper (zusammen mit der Matrixmul-

tiplikation), oder die Menge der Permutationen S(X) = {f : X → X | f bijektiv}fur eine Menge X.

Ist H ein Monoid und G die Menge der invertierbaren Elemente von H , so

ist G zusammen mit der (eingeschrankten) Verknupfung von H nach Lemma 1.2

eine Gruppe.

1.9 Definition. Sei G eine Gruppe und U ⊆ G. Dann heißt U eine Untergruppe

von G, wenn U mit der (eingeschrankten) Verknupfung von G eine Gruppe bildet.

In Zeichen schreiben wir hierfur U ≤ G.

Speziell besitzen U und G das gleiche neutrale Element und die gleichen In-

versen (also das Inverse von a ∈ U in U ist gleich dem Inversen von a in G). Dies

folgt aus Lemma 1.5 unter Verwendung des Inklusionshomomorphismus U → G.

Ist V eine Untergruppe von G und U eine Untergruppe von V , so ist U auch eine

Untergruppe von G. Sind U, V Untergruppen von G mit U ⊆ V , so ist U auch

eine Untergruppe von V .

1.3. GRUPPEN 9

Fur A ⊆ G sei A−1 = {a−1 | a ∈ A}. Ist B ⊆ G, so gilt (AB)−1 = B−1A−1.

Ist U eine Untergruppe von G, so gilt U−1 = U , da jedes Element von U in U

invertierbar ist, und UU = U , unter Beachtung von 1 ∈ U und U = 1U ⊆ UU ⊆U .

Zum Uberprufen der Untergruppeneigenschaft einer Teilmenge U ⊆ G ist

folgendes Lemma mitunter hilfreich:

1.10 Lemma. Sei G eine Gruppe und U ⊆ G mit U 6= ∅. Dann sind aquivalent.

(i) U ist eine Untergruppe von G.

(ii) UU−1 ⊆ U .


(ii) ⇒ (i): Mit a = 1 gilt b ∈ U ⇒ b−1 ∈ U , also enthalt U Inverse. Sind

a, b ∈ U , so gilt b−1 ∈ U und ab = a(b−1)−1 ∈ U , also liefert · von G auch

eine Verknupfung auf U . Mit a = b ∈ U gilt 1 = ab−1 ∈ U , also enthalt U das

neutrale Element von G. Damit sind die Eigenschaften einer Untergruppe wie in

der Definition nachgewiesen.

Sei G eine Gruppe und M ⊆ G. Dann definieren wir

〈M〉 =

{

s∏

i=1

arii∣

∣ s ∈ Z≥0, ai ∈M, ri ∈ Z

}

,

wobei das leere Produkt das neutrale Element 1 von M und 〈∅〉 = {1} sei. Fur

M = {g1, . . . , gn} schreiben wir kurz 〈M〉 = 〈g1, . . . , gn〉.

1.11 Satz. Ist G eine Gruppe und M ⊆ G, so ist 〈M〉 eine Untergruppe von G

und es gilt 〈M〉 = ∩{U |M ⊆ U ≤ G}.

Beweis. Da 1 ∈ 〈M〉 gilt, und 〈M〉 Produkte und Inverse von Elementen aus 〈M〉enthalt, ist 〈M〉 eine Untergruppe von G.

Fur Untergruppen U von G ist die Bedingung M ⊆ U aquivalent zu 〈M〉 ⊆ U .

Daher folgt 〈M〉 ⊆ ∩{U |M ⊆ U ≤ G}. Da ein U im Schnitt gleich 〈M〉 ist, folgt

⊇ und damit die Gleichheit.

1.12 Definition. Die Untergruppe 〈M〉 heißt die von M in G erzeugte Unter-

gruppe. Gilt G = 〈M〉, so heißen die Elemente aus M Erzeuger von G und M ein

Erzeugendensystem von G.

Gilt G = 〈g〉 fur ein g ∈ G, so heißt G zyklisch. Die Ordnung eines g ∈ G ist

definiert als ord(g) = #〈g〉. Der Exponent von G ist m = lcm {ord(g) | g ∈ G}.

Desweiteren sind zyklische Gruppen offensichtlich auch abelsch.


1.13 Beispiel. Es gilt M ⊆ 〈M〉, und M = 〈M〉 genau dann, wenn M eine

Untergruppe von G ist. Es gilt (Z,+) = 〈1〉 und (Q,+) = 〈{1/n |n ∈ Z>0}〉.Speziell ist Z zyklisch, und (Q,+) nicht endlich erzeugbar.

Die Ordnung eines Elements ist entweder eine positive ganze Zahl oder un-

endlich. Der Exponent von G ist ebenfalls entweder eine positive ganze Zahl oder

unendlich. Es gibt Gruppen, in denen jedes g ∈ G eine endliche Ordnung besitzt,

aber der Exponent unendlich ist (Beispiel ist einfach, kommt aber spater, siehe

Beispiel 1.34).

1.14 Lemma. Sei G eine Gruppe.

(i) Fur die Ordnung von g ∈ G gilt ord(g) = min{n ≥ 1 | gn = 1}.

(ii) Sei g ∈ G und s ∈ Z. Dann ist gs = 1 genau dann, wenn ord(g)|s gilt.

(iii) Fur den Exponenten m von G gilt m = min{n ≥ 1 | gn = 1 fur alle g ∈ G}.

Beweis. (i): Es gilt 〈g〉 = {1, g, g−1, g2, g−2, . . . }. Nehmen wir zunachst an, daß

das Minimum unendlich ist, es also kein n ≥ 1 mit gn = 1 gibt. Dann sind die

g-Potenzen in 〈g〉 paarweise verschieden: Denn ware dies nicht der Fall, so gabe

es a, b ∈ Z mit a < b und ga = gb. Dann folgt gb−a = 1 und b − a ≥ 1, im

Widerspruch zur Annahme. Also ist ord(g) unendlich.

Wir nehmen nun an, daß das Mimimum endlich ist und bezeichnen es mit s.

Es gilt also gs = 1. Dann folgt 〈g〉 = {1, g, . . . , gs−1}. Denn fur a ∈ Z gibt es λ ∈ Z

mit 0 ≤ a + λs ≤ s − 1 und ga = ga(gs)λ = ga+λs. Die Elemente 1, g, . . . , gs−1

sind aber auch paarweise verschieden, wie man wegen der Minimalitat von s wie

eben sieht. Es folgt ord(g) = s.

(ii): Es gelte ord(g)|s. Fur ord(g) = ∞ folgt s = 0 und es gilt gs = 1. Fur

ord(g) <∞ gilt gs = (gord(g))s/ord(g) = 1 nach (i).

Es gelte nun gs = 1. Fur s = 0 ergibt sich in jedem Fall ord(g)|s. Wir nehmen

daher s 6= 0 an, es folgt ord(g) < ∞. Division mit Rest liefert s = q ord(g) + r

mit 0 ≤ r ≤ ord(g) − 1 und gs = gqord(g)+r = (gord(g))qgr = gr = 1. Da ord(g)

minimal ≥ 1 mit dieser Eigenschaft ist, folgt r = 0.

(iii): Sei s das Minimum. Nach der Definition des Exponenten und (i) ist m

unendlich oder es gilt gm = 1 fur alle g ∈ G. Nach der Definition von s folgt

m ≥ s. Ist s unendlich, so ist (iii) gultig. Ist s endlich, so folgt ord(g)|s fur alle

g ∈ G wegen (ii), also m|s und damit m = s.

1.4. NEBENKLASSEN 11

1.4 Nebenklassen

Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Fur a, b ∈ G definieren wir

eine Relation ∼ durch a ∼ b :⇔ ab−1 ∈ U . Wir erinnern an die Definition von

AB, aB und Ab aus dem ersten Absatz von Abschnitt 1.2.

Fur A,B ⊆ G und c ∈ G gilt A ⊆ B ⇔ Ac ⊆ Bc ⇔ cA ⊆ cB, wegen der

Invertierbarkeit von c.

1.15 Lemma. (i) Die Relation ∼ ist eine Aquivalenzrelation.

(ii) Fur a, b ∈ G gelten die Aquivalenzen:

a ∼ b ⇔ ab−1 ∈ U ⇔ a ∈ Ub ⇔ Ua ⊆ Ub ⇔ Ua = Ub.

(iii) Die Aquivalenzklassen von ∼ sind von der Form Ub fur b ∈ G und haben

alle die gleiche Kardinalitat #U .

(iv) Wir erhalten eine Partition von G in der Form G = ∪ {Ub | b ∈ G}.

Beweis. (i): Seien a, b, c ∈ G beliebig. Es gilt a ∼ a, denn aa−1 = 1 ∈ U . Fur

a ∼ b gilt auch b ∼ a, denn ab−1 ∈ U impliziert ba−1 = (ab−1)−1 ∈ U nach

Lemma 1.2. Fur a ∼ b und b ∼ c gilt auch a ∼ c. denn ab−1 ∈ U und bc−1 ∈ Uimplizieren ac−1 = (ab−1)(bc−1) ∈ U .

(ii): Die erste Aquivalenz gilt per Definition. Die zweite Aquivalenz folgt durch

Multiplikation von rechts mit b beziehungsweise mit b−1. Die dritte Aquivalenz

folgt in der Richtung ⇒ durch Multiplikation von links mit U unter Beachtung

von U(Ub) = (UU)b = Ub wegen der Assoziativitat und 1 ∈ U , und in der

Richtung ⇐ wegen a ∈ Ua wegen 1 ∈ U . Die vierte Aquivalenz folgt aus der

Symmetrie von ∼ durch Vertauschen von a und b.

(iii): Wegen (ii) sind die Aquivalenzklassen in der Tat von der Form Ub.

Die Abbildung U → Ub, x 7→ xb ist bijektiv, da b invertierbar ist. Also gilt

#U = #Ub.

(iv): Gilt allgemein, jede Aquivalenzrelation liefert eine Partition der unter-

liegenden Menge (und umgekehrt).

1.16 Definition. Die Aquivalenzklassen Ub fur b ∈ G heißen Rechtsnebenklassen

von U . Eine Teilmenge R ⊆ G heißt Rechtsnebenklassenreprasentantensystem

von U in G, wenn R aus jeder Rechtsnebenklasse genau ein Element enthalt.

Analog erhalten wir durch a ∼ b :⇔ a−1b ∈ U Linksnebenklassen aU und

Linksnebenklassenreprasentantensysteme. Lemma 1.15 und Definition 1.16 gel-

ten entsprechend fur Linksnebenklassen. Fur abelsche Gruppen besteht zwischen

Links- und Rechtsnebenklassen kein Unterschied, es gilt aU = Ua.


1.17 Lemma. Die Menge der Rechtsnebenklassen und die Menge der Linksne-

benklassen sind gleichmachtig.

Beweis. Betrachte die Abbildung φ : Ua 7→ a−1U . Man sieht mit Lemma 1.2

leicht, daß φ wohldefiniert und surjektiv ist. Gilt a−1U = b−1U , so folgt U =

ab−1U , also ab−1 ∈ U und Ua = Ub nach Lemma 1.15, (ii). Daher ist φ auch

injektiv.

1.18 Definition. Der Index von U in G ist die Machtigkeit der Nebenklassen-

mengen,

(G : U) = #{Ub | b ∈ G} = #{aU | a ∈ G}.

Gilt (G : U) = 1 fur eine Untergruppe U von G, so folgt G = U . Bezeichnen

wir mit 1 auch die Einheitsgruppe {1}, so gilt (G : 1) = #G.

Fur den folgenden Satz erinnern wir an die Konvention (1.1).

1.19 Satz (Lagrange). Seien G eine Gruppe und U, V Untergruppen von G mit

U ⊆ V . Dann gilt

(G : V )(V : U) = (G : U).

Beweis. Wir beweisen die Aussage zuerst fur den Fall U = 1, da es hier etwas

anschaulicher ist. Nach Lemma 1.15, (iv) gilt G = ∪ {V b | b ∈ G}. Dies ist ei-

ne disjunkte Vereinigung von (G : V ) Mengen, welche nach Lemma 1.15, (iii)

gleichmachtig von der Kardinalitat #V = (V : 1) sind. Dies zeigt die Aussage des

Satzes fur den Fall U = 1.

Fur den allgemeinen Fall seien RG,V ein Linksnebenklassensystem von V in G

und RV,U ein Linksnebenklassensystem von U in V . Dann gilt G = ∪ {xV | x ∈RG,V } und V = ∪ {yU | y ∈ RV,U}. Außerdem gilt xV = ∪ {xyU | y ∈ RV,U}fur alle x ∈ G, da Multiplikation mit x von links injektiv ist. Daher folgt G =

∪ {xyU | x ∈ RG,V , y ∈ RV,U}, wobei die xyU fur verschiedene x ∈ RG,V oder

y ∈ RV,U paarweise disjunkt und insbesondere verschieden sind. Dies zeigt, daß

RG,U := RG,VRV,U ein Linksnebenklassenreprasentantensystem von U in G ist

und daß #RG,U = #RG,V #RV,U gilt. Wegen #RG,U = (G : U), #RG,V = (G : V )

und #RV,U = (V : U) ergibt sich die Aussage des Satzes.

1.20 Korollar. Sei G eine endliche Gruppe. Fur jedes a ∈ G gilt ord(a) |#Gund a#G = 1. Der Exponent von G ist ein Teiler von #G.

Beweis. Per Definition gilt ord(a) = #〈a〉. Nach Satz 1.19 angewendet mit V =

〈a〉 und U = 1 folgt #〈a〉 |#G.

Nach Lemma 1.14, (i) gilt aord(a) = 1. Dann ist #G/ord(a) eine ganze Zahl mit

#G = ord(a)(#G/ord(a)) und es gilt a#G = (aord(a))#G/ord(a) = 1#G/ord(a) = 1.

1.5. NORMALTEILER 13

Die Aussage uber den Exponenten folgt direkt aus der Definition des Expo-

nenten, denn das kleinste gemeinsame Vielfache von Teilern einer Zahl ist wieder

ein Teiler der Zahl.

Die erste Aussage von Korollar 1.20 heißt kleiner Satz von Fermat.

1.21 Beispiel. Sei m ∈ Z≥0. Wir betrachten die abelsche Gruppe (Z,+) und

ihre Untergruppe mZ. Die Menge der Nebenklassen von mZ in Z wird mit Z/mZ

bezeichnet. Es gilt a ∼ b⇔ a− b ∈ mZ⇔ a ≡ b mod m fur a, b ∈ Z.

Ein Reprasentantensystem wird durch R = {0, . . . , m − 1} gegeben, ein an-

deres durch {⌊−m/2⌋ + 1, . . . , ⌊m/2⌋}. Es gilt #(Z/mZ) = m fur m 6= 0 und

#(Z/mZ) =∞ fur m = 0.

Wir konnen Z/mZ sogar zu einer abelschen Gruppe machen, indem wir die

Addition zweier Nebenklassen vertreterweise definieren, (a+mZ) + (b+mZ) :=

(a + b) + mZ. Das neutrale Element ist mZ, und das zu a + mZ inverse Ele-

ment ist (−a) +mZ. Diese Addition entspricht der Addition modulo m auf dem

Vertretersystem R = {0, . . . , m− 1}.Wegen Z = 〈1〉 gilt auch Z/mZ = 〈1 +mZ〉, also ist (Z/mZ,+) zyklisch.

1.5 Normalteiler

1.22 Definition. Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann heißt U

Normalteiler von G und U normal in G, wenn xU = Ux fur alle x ∈ G gilt. In

Zeichen schreiben wir hierfur U EG.

Die Bedeutung von Normalteilern liegt darin, daß die Links- und Rechtsne-

benklassen gleich sind und damit ein Gruppengesetz auf den Nebenklassen durch

vertreterweise Anwendung des Gruppengesetzes von G definiert werden kann,

ahnlich wie im Beispiel 1.21. Diese Konstruktion wird im Abschnitt 1.7 beschrie-

ben.

Das folgende Lemma enthalt zunachst ein paar einfache Aussagen uber Nor-

malteiler.


(i) Eine Untergruppe U von G ist genau dann ein Normalteiler, wenn xUx−1 ⊆U fur alle x ∈ G gilt.

(ii) Die Untergruppen {1} und G sind Normalteiler von G.

(iii) Ist G abelsch, so ist jede Untergruppe ein Normalteiler.


(iv) Ist I eine Indexmenge und Ni ein Normalteiler von G fur alle i ∈ I, so ist

∩i∈INi ein Normalteiler von G.

(v) Ist N ein Normalteiler von G und U eine Untergruppe von G, so ist UN =

NU eine Untergruppe von G. Ist U zusatzlich Normalteiler von G, so ist

UN ebenfalls Normalteiler von G.

(vi) Ist U eine Untergruppe von G mit (G : U) = 2, so ist U ein Normalteiler

von G.

Beweis. (i): Multiplikation von rechts mit x−1 beziehungsweise mit x ergibt die

Aquivalenz der Bedingungen xU = Ux fur alle x ∈ G und xUx−1 = U fur

alle x ∈ G. Sei x ∈ G mit xUx−1 ⊆ U . Fur y = x−1 gilt dann y−1Uy ⊆ U ,

also U ⊆ yUy−1. Da y mit x alle Gruppenelemente annimmt, ergibt sich aus

xUx−1 ⊆ U fur alle x ∈ G auch yUy−1 ⊇ U fur alle y ∈ G, also xUx−1 = U fur

alle x ∈ G.

(ii): Fur {1} gilt x1x−1 = xx−11 = 1, also x{1}x−1 ⊆ {1} fur alle x ∈ G. Fur

G gilt xgx−1 ∈ G, also xGx−1 ⊆ G fur alle x ∈ G.

(iii): Ist U eine Untergruppe von G und g ∈ U , so gilt xgx−1 = xx−1g = g ∈ Ufur alle x ∈ G, also xUx−1 ⊆ U fur alle x ∈ G.

(iv): Sei g ∈ ∩iNi. Dann gilt g ∈ Ni fur alle i ∈ I und xgx−1 ∈ Ni fur alle

i ∈ I und fur alle x ∈ G. Also folgt xgx−1 ⊆ ∩iNi fur alle x ∈ G. Da g beliebig

war, folgt x(∩iNi)x−1 ⊆ ∩iNi fur alle x ∈ G.

(v): Sei nu ∈ NU mit n ∈ N und u ∈ U . Wegen Nu = uN gibt es ein

n′ ∈ N mit nu = un′ ∈ UN . Also folgt NU ⊆ UN , und analog UN ⊆ NU ,

zusammen UN = NU . Wegen 1 ∈ U und 1 ∈ N gilt 1 ∈ UN . Weiter ergibt

sich UN(UN)−1 = UNN−1U−1 = UNNU = UNU = UUN = UN . Nach

Lemma 1.10 ist UN eine Untergruppe von G.

(vi): Es gilt G = U∪xU = U∪Ux fur jedes x ∈ G\U . Also folgt xU = Ux.

Ist V ein Normalteiler von G und U ein Normalteiler von V , so ist U zwar

eine Untergruppe von G, im allgemeinen jedoch kein Normalteiler von G.

1.24 Beispiel. Sei G = GL2(R) und U = 〈(

1 00 2

)

〉. Sei x =(

0 11 0

)

, so daß

x2 = 1 und x−1 = x ist. Dann gilt x(

1 00 2

)

x−1 =(

2 00 1

)

6∈ U . Folglich ist U

eine Untergruppe, aber kein Normalteiler von G.

1.25 Definition. Eine Gruppe G heißt einfach, wenn {1} und G die einzigen

Normalteiler von G sind.

1.6. HOMOMORPHISMEN 15

1.6 Homomorphismen

Ein Homomorphismus der Gruppen G und H ist ein Homomorphismus der un-

terliegenden Halbgruppen, wie in Abschnitt 1.2 definiert. Zusatzlich zu den Be-

zeichnungen von Abschnitt 1.2 fuhren wir folgende Notation ein.

Die Menge der Homomorphismen von G nach H wird mit Hom(G,H) be-

zeichnet. Die Menge der Endomorphismen von G wird mit End(G) bezeichnet.

Die Menge der Automorphismen von G wird mit Aut(G) bezeichnet.

Die Menge End(G) zusammen mit der Hintereinanderausfuhrung von Abbil-

dungen ist ein Monoid. Die Untergruppe der invertierbaren Elemente von End(G)

ist gerade Aut(G).

Sei φ ∈ Hom(G,H). Das Bild von φ ist φ(G) = {φ(x) | x ∈ G} und wird auch

mit im(φ) bezeichnet. Der Kern von φ ist φ−1({1}) = {x ∈ G |φ(x) = 1} und

wird mit ker(φ) bezeichnet.

1.26 Lemma. Sei φ ∈ Hom(G,H).

(i) Es gilt φ(1) = 1 und φ(a−1) = φ(a)−1 fur alle a ∈ G.

(ii) Fur eine Untergruppe V von H ist φ−1(V ) eine Untergruppe von G. Ist V

ein Normalteiler von H, so ist φ−1(V ) ein Normalteiler von G.

(iii) Fur eine Untergruppe U von G ist φ(U) eine Untergruppe von H. Ist φ

surjektiv und U ein Normalteiler von G, so ist φ(U) ein Normalteiler von H.

(iv) Der Kern ker(φ) ist ein Normalteiler von G.

(v) φ ist genau dann ein Monomorphismus, wenn ker(φ) = {1} gilt.

(vi) φ ist auf den Nebenklassen von ker(φ) in G konstant.

(vii) Ist G einfach, so ist φ konstant (gleich 1) oder injektiv.

Beweis. (i): Folgt direkt aus Lemma 1.5.

(ii): Nach (i) gilt 1 ∈ φ−1(V ). Fur a, b ∈ φ−1(V ) folgt b−1 ∈ φ−1(V −1) =

φ−1(V ) und ab−1 ∈ φ−1(V )φ−1(V ) ⊆ φ−1(V V ) = φ−1(V ). Also ist φ−1(V ) nach

Lemma 1.10 eine Untergruppe von G. Sei V ein Normalteiler und a ∈ φ−1(V ).

Dann gilt φ(xax−1) = φ(x)φ(a)φ(x)−1 ∈ V fur alle x ∈ G. Also folgt xax−1 ∈φ−1(V ) und xφ−1(V )x−1 ⊆ φ−1(V ) fur alle x ∈ G.

(iii): Es gilt 1 ∈ φ(U). Fur a, b ∈ φ(U) folgt b−1 ∈ φ(U−1) = φ(U) und

ab−1 ∈ φ(U)φ(U) ⊆ φ(UU) = φ(U). Also ist φ(U) eine Untergruppe von H . Sei

U ein Normalteiler und φ surjektiv. Sei b ∈ φ(U) und y ∈ H . Dann gibt es a ∈ U


und x ∈ G mit yby−1 = φ(x)φ(a)φ(x)−1 = φ(xax−1) ∈ φ(U) wegen xax−1 ∈ U .

Es folgt yφ(U)y−1 ⊆ φ(U) fur alle y ∈ H .

(iv): Folgt aus (ii) und Lemma 1.23, (ii).

(v): Seien a, b ∈ G. Dann gilt φ(a) = φ(b) ⇔ φ(ab−1) = 1 ⇔ ab−1 ∈ ker(φ).

Fur ker(φ) = 1 folgt aus φ(a) = φ(b) damit a = b. Ist umgekehrt φ injektiv, so

folgt aus a ∈ ker(φ) beziehungsweise φ(a) = 1 wegen φ(1) = 1 bereits a = 1.

(vi): Fur a ∈ G und n ∈ ker(φ) gilt φ(an) = φ(a) = φ(na). Also nimmt φ fur

alle Elemente der Nebenklasse a ker(φ) = ker(φ)a den Wert φ(a) an.

(vii): Folgt aus (iv) und der Definition von einfach.

Fur Monoide gilt die Aussage (i) von Lemma 1.26 im allgemeinen nicht mehr.

1.27 Lemma. Sei φ : G → H ein Epimorphismus der Gruppen G und H. Fur

eine Untergruppe U von G ist φ(U) eine Untergruppe von H. In dieser Weise

liefert φ eine inklusionserhaltende Bijektion der Menge der Untergruppen U von

G mit ker(φ) ⊆ U auf die Menge der Untergruppen von H. Fur eine Untergruppe

U von G mit ker(φ) ⊆ U gilt dabei:

(i) (G : U) = (H : φ(U)).

(ii) U ist genau dann ein Normalteiler von G, wenn φ(U) ein Normalteiler von

H ist.

Beweis. Nach Lemma 1.26, (iii) ist φ(U) eine Untergruppe von H . Ebenfalls

klar ist, daß φ inklusionserhaltend ist. Mit U ker(φ) = U wegen ker(φ) ⊆ U gilt

φ−1(φ(U)) = U und wegen der Surjektivitat von φ auch φ(φ−1(V )) = V fur jede

Untergruppe V von H . Also liefert φ eine Bijektion der besagten Untergruppen.

Zum Beweis von (i) beachten wir die folgende Aquivalenz: Fur a, b ∈ G gilt

ab−1 ∈ U ⇔ φ(a)φ(b)−1 ∈ φ(U). Die Richtung⇒ ist klar. Gilt φ(a)φ(b)−1 ∈ φ(U),

so folgt ab−1 ∈ U ker(φ) = U wegen ker(φ) ⊆ U . Weil φ surjektiv ist, uberfuhrt φ

mit dieser Aquivalenz die Linksnebenklassenzerlegung von G bezuglich U in die

Linksnebenklassenzerlegung von H bezuglich φ(U) (analog fur Rechtsnebenklas-

sen). Es folgt (G : U) = (H : φ(U)).

Die Aussage (ii) folgt aus Lemma 1.26, (ii) und (iii).

Die Aussage von Lemmas 1.27 kann man sich sehr gut anhand einer graphi-

schen Darstellung des Untergruppengitters der U mit ker(φ) ≤ U ≤ G und der

V = φ(U) mit {1} ≤ V ≤ H veranschaulichen beziehunsgweise merken.

1.7. FAKTORGRUPPEN 17

1.7 Faktorgruppen

Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Sei G/N die Menge {gN | g ∈G} der Nebenklassen von N in G. Wir definieren eine Verknupfung · auf G/N

durch gN · hN := (gh)N .

1.28 Satz. Die Menge G/N zusammen mit · ist eine Gruppe. Die Abbildung

g 7→ gN definiert einen Epimorphimus π : G→ G/N mit ker(π) = N .

Beweis. Zunachst ist · wohldefiniert: Seien g, h ∈ G und n1, n2 ∈ N . Wegen der

Normalteilereigenschaft von N gibt es n1 ∈ N mit n1h = hn1. Damit gilt

gn1hn2N = gn1hN = ghn1N = ghN.

Die Assoziativitat, Existenz des neutralen Elements und der Inversen folgt direkt

aus den entsprechenden Eigenschaften von G.

Die Homomorphieeigenschaft gilt per Definition von · und die Surjektivitat

ist klar. Weiter gilt π(g) = N ⇔ gN = N ⇔ g ∈ N , also ker(π) = N .

1.29 Definition. Die Gruppe G/N heißt die Faktorgruppe von G nach dem

Normalteiler N . Der Epimorphismus π : G → G/N heißt kanonischer Epimor-

phismus.

Eine alternative Form der Definition von · ist gN · hN := gNhN , denn es gilt

gNhN = ghN aufgrund von Nh = hN .

Ist ∼ eine Aquivalenzrelation auf G, so konnen die Klassen in G/∼ genau

dann durch vertreterweise Multiplikation zu einer Gruppe gemacht werden, wenn

∼ mit der Multiplikation in G vertraglich ist, d.h. wenn fur alle a, b, c, d ∈ G die

Implikation (a ∼ b und c ∼ d) ⇒ ac ∼ bd gilt. Diese Aquivalenzrelationen ∼entsprechen aber genau den durch Normalteiler erhaltenen Aquivalenzrelationen.

Aus Lemma 1.26, (iv) und Satz 1.28 erhalten wir, daß Normalteiler und Kerne

von Homomorphismen das gleiche sind.

1.30 Satz (Homomorphiesatz). Sei

φ : G→ H

ein Homomorphismus der Gruppen G und H und N ein Normalteiler von G mit

N ⊆ ker(φ). Sei

π : G→ G/N

der kanonische Epimorphismus. Dann gibt es genau einen Homomorphismus

ψ : G/N → H

mit ψ ◦ π = φ. Ferner gilt ψ(G/N) = φ(G) und ker(ψ) = ker(φ)/N .


Beweis. Wenn der Satz stimmen soll, muß notwendigerweise ψ(gN) = φ(g) gel-

ten. Also definieren wir ψ : G/N → H durch gN 7→ φ(g). Wegen Lemma 1.26,

(vi) ist ψ wohldefiniert und erfullt per Definition ψ ◦ π = φ. Da π surjektiv ist,

kann es nur eine Abbildung ψ mit ψ ◦ π = φ geben (Kurzungsregel von rechts),

und da π und φ Homomorphismen sind, muß auch ψ ein Homomorphismus sein:

Sind x, y ∈ G/N , so gibt es a, b ∈ G mit π(a) = x und π(b) = y. Dann gilt

ψ(xy) = ψ(π(a)π(b)) = ψ(π(ab))

= φ(ab) = φ(a)φ(b)

= ψ(π(a))ψ(π(b)) = ψ(x)ψ(y).

Die Aussage ψ(G/N) = φ(G) folgt aus ψ ◦ π = φ. Schließlich gilt ker(ψ) =

{gN |φ(g) = 1} = {gN | g ∈ ker(φ)} = ker(φ)/N .

1.31 Korollar. Sei φ : G → H ein Homomorphismus der Gruppen G und H.

Dann gilt

G/ ker(φ) ∼= φ(G)

unter g ker(φ) 7→ φ(g).

Beweis. Wahle N = ker(φ) in Satz 1.30. Dann ker(ψ) = N/N = {N} und

im(ψ) = φ(G). Also G/N ∼= φ(G) unter ψ.

Korollar 1.31 zeigt, daß die Betrachtung beliebiger Epimorphismen G → H

und die Betrachtung kanonischer Epimorphismen G → G/N bis auf Isomorphie

das gleiche ist.

1.32 Satz (Erster Isomorphiesatz). Sei G eine Gruppe, U eine Untergruppe von

G und N ein Normalteiler von G. Dann gilt

NU/N ∼= U/(N ∩ U).

Speziell ist NU eine Untergruppe von G und N ∩ U ein Normalteiler von U .

Beweis. Nach Lemma 1.23, (v) ist NU eine Untergruppe von G. Wegen N ⊆ NU

ist N auch ein Normalteiler von NU . Betrachte den Homomorphismus φ : U →NU/N , u 7→ uN , der durch Einschrankung von π : G→ G/N auf U erhalten wird.

Die Surjektivitat von φ ist klar. Fur den Kern gilt ker(φ) = ker(π) ∩U = N ∩U .

Daher ist N ∩ U ein Normalteiler von U und Satz 1.30 liefert U/(N ∩ U) ∼=NU/N .

1.33 Satz (Zweiter Isomorphiesatz). Sei G eine Gruppe und U, V Normalteiler

von G mit U ⊆ V . Dann ist V/U ein Normalteiler von G/U und es gilt

(G/U)/(V/U) ∼= G/V.

1.8. ZYKLISCHE GRUPPEN 19

Beweis. Sei ψ : G/U → G/V , gU 7→ gV . Wir erhalten ψ auch durch Anwendung

von Satz 1.30 auf φ : G→ G/V und π : G→ G/U . Daraus ergibt sich, daß ψ ein

Epimorphismus ist. Fur den Kern gilt ker(ψ) = ker(φ)/U = V/U nach Satz 1.30.

Also ist V/U ein Normalteiler von G/U und Satz 1.30 liefert die gewunschte

Isomorphieaussage.

1.34 Beispiel. Wir betrachten (Z,+) beziehungsweise Untergruppen und Fak-

torgruppen. Seien n,m ∈ Z≥1. Zunachst stimmt die Konstruktion von (Z/nZ,+)

aus Beispiel 1.21 mit der Konstruktion der Faktorgruppe von (Z,+) und ihrer

Untergruppe (nZ,+) uberein.

Sei [m] die Multiplikation mit m in (Z,+). Dies liefert einen Isomorphismus

Z→ mZ. Sei π : mZ→ mZ/nmZ der kanonische Epimorphismus. Dann ist π◦[m]

ein Epimorphismus mit ker(π◦[m]) = nZ. Nach Satz 1.30 folgt Z/nZ ∼= mZ/nmZ.

Nach Satz 1.33 gilt (Z/nmZ)/(nZ/nmZ) ∼= Z/nZ.

Wir betrachten als weiteres Beispiel die Gruppe (Q,+), ihre Untergruppe Z

und die Faktorgruppe Q/Z. Jedes Element aus Q/Z hat endliche Ordnung, und

jede Zahl aus Z≥1 wird als Ordnung angenommen. Daher ist der Exponent von

Q/Z unendlich.

Seien φi : Gi → Gi+1 Homomorphismen der Gruppen Gi und Gi+1 fur n ≤ i ≤m und n,m ∈ Z. Man nennt dies eine Sequenz von Gruppenhomomorphismen.

Die Sequenz heißt exakt bei i mit n+ 1 ≤ i ≤ m, wenn φi−1(Gi−1) = ker(φi) gilt.

Die Sequenz heißt exakt, wenn sie bei allen i exakt ist.

Ist π : G → G/N der kanonische Epimorphismus und i : N → G der Inklu-

sionsmonomorphismus, so ist die Sequenz 1 → Ni→ G

π→ G/N → 1 exakt. Die

außeren Abbildungen konnen hierbei nur auf eine Weise definiert werden und sind

daher klar. Ist allgemeiner eine exakte Sequenz 1→ Mj→ G

φ→ H → 1 gegeben,

so gilt M ∼= ker(φ) und H ∼= G/ ker(φ) nach Korollar 1.31.

Solche Sequenzen kommen in vielen Bereichen der Algebra, insbesondere in

der homologischen Algebra, vor. Man betrachtet dort naturlich kompliziertere (als

die genannten) Sequenzen und Diagramme von Homomorphismen.

1.8 Zyklische Gruppen

Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen. Wir wenden jetzt die bisher

behandelte Theorie auf sie an.

1.35 Satz. Eine Gruppe G von Primzahlordnung ist zyklisch.

Beweis. Sei g ∈ G mit g 6= 1. Dann ist ord(g) > 1 und nach Korollar 1.20 ein

Teiler von #G. Also folgt ord(g) = #G und daher G = 〈g〉.



(i) Sei g ∈ G und n = ord(g). Dann gilt

ord(gk) =

{

n/ gcd(n, k) fur n <∞,∞ sonst.

(ii) Sei G zyklisch mit G = 〈g〉. Dann gilt

G = 〈gk〉 ⇔{

gcd(#G, k) = 1 fur #G <∞,k = ±1 sonst.

Beweis. (i): Fur n =∞ ist ord(gk) =∞ nach Lemma 1.14, (i) klar. Fur n <∞ist ord(gk) nach Lemma 1.14, (ii) gleich der kleinsten ganzen Zahl m > 0 mit

mk ≡ 0 mod n. Es gilt m = n/ gcd(n, k).

(ii): Gelte #G <∞. Dann ist G = 〈gk〉 genau dann, wenn ord(gk) = #G ist,

und dies ist nach (i) genau dann der Fall, wenn gcd(#G, k) = 1 ist.

Gelte #G =∞. Die Implikation⇐ ist klar. Fur⇒ gibt es nach Annahme ein

n ∈ Z mit g = (gk)n. Dann gilt gkn−1 = 1, also kn = 1 wegen ord(g) = ∞. Es

folgt k = ±1.

1.37 Definition. Fur n ∈ Z≥1 ist die Eulersche Phi-Funktion definiert als

φ(n) = #{m | 1 ≤ m ≤ n, gcd(m,n) = 1}.

Nach Lemma 1.36, (ii) ist φ(n) gleich der Anzahl der Erzeuger einer endlichen

zyklischen Gruppe der Ordnung n. Fur eine Primzahl p gilt φ(p) = p−1. In diesem

Fall ist jedes Element 6= 1 ein Erzeuger, wie auch im Beweis von Theorem 1.35

gesehen. Eine unendliche zyklische Gruppe hat nach Lemma 1.36, (ii) dagegen

genau zwei Erzeuger.

1.38 Lemma. Die Untergruppen von (Z,+) sind genau von der Form dZ fur ein

d ∈ Z, wobei d bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt ist.

Beweis. Es ist klar, daß dZ eine Untergruppe von Z ist. Sei umgekehrt U eine

Untergruppe von Z und d = (Z : U). Mit Z ist Z/U ebenfalls zyklisch, es gilt

Z/U = 〈1+U〉 und ord(1+U) = #(Z/U) = d. Sei s ∈ Z. Nach der Konstruktion

der Faktorgruppe gilt s ∈ U genau dann, wenn s + U = 0 in Z/U ist. Nach

Lemma 1.14, (ii) gilt s + U = s · 1 + U = 0 genau dann, wenn ord(1 + U)|s. Es

folgt, daß s ∈ U genau dann ist, wenn d|s gilt. Also ergibt sich U = dZ.

Die Eindeutigkeit von d bis auf das Vorzeichen folgt aus Lemma 1.36, (ii).

1.8. ZYKLISCHE GRUPPEN 21

Man kann Lemma 1.38 auch direkter zeigen. Eine Moglichkeit ist, sich d ∈ Umit d ≥ 1 minimal zu wahlen (wir nehmen hier U 6= 0 an, fur U = 0 ist das

Lemma klar). Dann gilt bereits U = dZ. Denn ist a ∈ U , so erhalten wir nach

Division durch d die Gleichung a = qd+ r und den Rest r mit 0 ≤ r ≤ d− 1. Es

folgt r = a− qd ∈ U . Da d minimal in U mit d ≥ 1 ist, folgt r = 0 und a ∈ dZ.

1.39 Satz. Sei G zyklisch.

(i) Es gilt G ∼= (Z/nZ,+) fur genau ein n ≥ 0, namlich n = #G fur #G <∞und n = 0 fur #G =∞. Die Isomorphieklasse von G ist damit bereits durch

#G eindeutig bestimmt.

(ii) Sei g ein Erzeuger von G. Die Zuordnung d 7→ 〈gd〉 liefert eine Bijektion der

Menge der Teiler d ≥ 1 von #G auf die Menge der Untergruppen von G.

Es gilt (G : 〈gd〉) = d.

(iii) Jede Untergruppe und jede Faktorgruppe einer zyklischen Gruppe ist zy-

klisch.

Beweis. (i): Sei g ∈ G ein Erzeuger von G. Wir definieren eine Abbildung φ :

Z → G durch x 7→ gx. Man sieht direkt, daß φ ein Epimorphismus ist. Nach

Korollar 1.31 gilt dann Z/ ker(φ) ∼= G. Sei n = #G fur #G < ∞ und n = 0

fur #G = ∞. Nach Lemma 1.38 und Beispiel 1.21 ist ker(φ) = nZ. Also gilt

Z/nZ ∼= G.

Die Eindeutigkeit von n in Abhangigkeit von #G ergibt sich aus #G =

#(Z/nZ) aufgrund der Isomorphie. Fur #G <∞ folgt #G = #(Z/nZ) = n 6= 0

und fur #G = ∞ folgt n = 0 nach Beispiel 1.21. Also ist n durch #G eindeutig

bestimmt. Sind schließlich G und H zyklische Gruppen mit #G = #H , so folgt

G ∼= (Z/nZ,+) ∼= H .

(iii): Die Aussage uber die Untergruppen folgt aus (ii). Die Surjektivitat des

kanonischen Epimorphismus zeigt, daß die Klassen eines Erzeugendensystems der

Gruppe ein Erzeugendensystem der Faktorgruppe liefern. Damit sind Faktorgrup-

pen zyklischer Gruppen ebenfalls zyklisch. Oder anders ausgedruckt sind homo-

morphe Bilder zyklischer Gruppen zyklisch.

(ii): Sei D die Menge der Teiler d ≥ 1 von #G und d ∈ D. Wir betrachten

zuerst #G =∞. In diesem Fall ist D = Z≥1 per Definition. Nach (i) konnen wir

G = Z annehmen. Nach Lemma 1.36, (ii) gilt g = ±1 und 〈gd〉 = dZ. Damit folgt

(G : 〈gd〉) = (Z : dZ) = #(Z/dZ) = d. Außerdem ergibt sich aus Indexgrunden,

daß d 7→ 〈gd〉 injektiv ist. Die Surjektivitat folgt aus Lemma 1.38.

Wir nehmen nun n = #G < ∞ an. Es gibt einen Epimorphismus φ : Z →G mit φ(1) = g und ker(φ) = nZ, und dieser liefert nach Lemma 1.27 eine

indexerhaltende Bijektion U 7→ φ(U) der Untergruppen U von Z mit U ⊇ nZ auf


die Menge der Untergruppen von G. Nach dem bereits Bewiesenen von (ii) ist

U = dZ mit d |n wegen U ⊇ nZ und wir erhalten durch Einschrankung von d 7→dZ von Z≥1 auf D eine Bijektion von D auf die Menge der Untergruppen U von Z

mit U ⊇ nZ. Durch Komposition beider Bijektionen erhalten wir schließlich eine

Bijektion d 7→ φ(dZ) = 〈gd〉 von D auf die Menge der Untergruppen von G.

1.40 Bemerkung. Die algorithmischen Verhaltnisse der Isomorphie in Satz 1.39,

(i) sind nicht so klar wie die Theorie, und hierauf beruhen Anwendungen in der

Computersicherheit und speziell Kryptographie. Konkret betrachtet man Situa-

tionen, in denen Bilder unter dem Isomorphismus φ aus dem Beweis leicht, aber

Urbilder (vermutlich) nur sehr schwer berechnet werden konnen. Die Urbildbe-

rechnung nennt man auch das diskrete Logarithmusproblem, denn zu b ∈ G sucht

man x ∈ Z mit b = gx. Die Untersuchung der Komplexitat dieses Problems zahlt

zu den aktuellen Forschungsgebieten in der Kryptographie.

1.9 Direkte Produkte

1.41 Definition. Seien I eine Indexmenge und Gi Gruppen. Das direkte Produkt∏

i∈I Gi der Gi wird wie folgt definiert. Als Menge gilt∏

i∈I Gi = {f : I →∪i∈IGi | f(i) ∈ Gi fur alle i ∈ I}, also das kartesische Produkt der Mengen Gi.

Das Gruppengesetz wird koordinatenweise definiert, das heißt fur f, g ∈ ∏i∈I Gi

sei h = fg ∈∏i∈I Gi durch h(i) = f(i)g(i) fur alle i ∈ I definiert.

Das neutrale Element e von∏

i∈I Gi ist dann durch e(i) = 1 fur alle i ∈ I

gegeben. Ist I = {1, . . . , n} so schreiben wir auch G1 × · · · × Gn statt∏

i∈I Gi.

Die Definition des Produkts stimmt mit der”ublichen“ Definition von Tupeln

uberein, wenn man die Tupel als (f(i))i∈I oder (f1, . . . , fn) schreibt.

Das direkte Produkt besitzt die Projektionen πi :∏

i∈I Gi → Gi, πi(f) = f(i)

und Injektionen ιi : Gi →∏

i∈I Gi, a 7→ f mit f(i) = a und f(j) = 1 fur alle

j ∈ I mit j 6= i. Die Projektionen sind Epimorphismen und die Injektionen sind

Monomorphismen. Es gilt πi ◦ ιi = id.

Die direkte Summe der Gi wird definiert als∐

i∈I Gi = {f ∈ ∏i∈I Gi | f(i) =

1 fur fast alle i ∈ I} und ist eine Untergruppe von∏

i∈I Gi. Es besitzt die ein-

geschrankten Injektionen ιi und Projektionen πi. Fur endliche Indexmengen gilt∐

i∈I Gi =∏

i∈I Gi.

Das direkte Produkt und die direkte Summe konnen unter ausschließlicher

Verwendung von Homomorphismen bis auf Isomorphie eindeutig charakterisiert

werden. Dies fuhrt in die Kategorientheorie. Es ist hilfreich, sich die Aussagen

der folgenden Definition in Diagrammform zu zeichnen. Man erkennt, daß die

Begriffe direktes Produkt und direkte Summe”dual“ sind. Dies motiviert auch

1.9. DIREKTE PRODUKTE 23

die Notation∐

als umgekehrtes∏

(entsprechend nennt man die direkte Summe

auch Koprodukt).

Eine Gruppe G zusammen mit Homomorphismen πi : G → Gi heißt uni-

verselles direktes Produkt, wenn es fur jede Gruppe H und Homomorphismen

φi : H → Gi genau einen Homomorphismus ψ : H → G mit φi = πi ◦ ψ fur alle

i ∈ I gibt.

Eine GruppeG zusammen mit Homomorphismen ιi : Gi → G heißt universelle

direkte Summe, wenn es fur jede Gruppe H und Homomorphismen φi : Gi → H

genau einen Homomorphismus ψ : G→ H mit φi = ψ ◦ ιi fur alle i ∈ I gibt.

1.42 Satz. Universelle direkte Produkte und Summen sind bis auf Isomorphie

eindeutig bestimmt.

Das direkte Produkt zusammen mit den Projektionen ist ein universelles direk-

tes Produkt. Die direkte Summe zusammen mit den Injektionen ist eine universelle

direkte Summe.

Beweis. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei G′ zusammen mit den π′i ein weiteres

universelles direktes Produkt. Dann gibt es Homomorphismen ψ : G′ → G mit

π′i = πi ◦ ψ und ψ′ : G → G′ mit πi = π′i ◦ ψ′. Wir erhalten πi = πi ◦ ψ ◦ ψ′ und

π′i = π′i◦ψ′◦ψ. Aufgrund der Eindeutigkeitsaussage der universellen Eigenschaften

folgt ψ ◦ ψ′ = id und ψ′ ◦ ψ = id, denn die Identitaten erfullen πi = πi ◦ id und

π′i = π′i ◦ id. Also sind G und G′ isomorph. Der Beweis fur die universelle direkte

Summe erfolgt analog.

Zum Beweis der zweiten Aussage. Die Bedingungen πi ◦ ψ = φi zeigen, daß

notwendigerweise ψ(x) = (φi(x))i∈I gelten muß. Man sieht sofort, daß dadurch ein

Homomorphismus ψ definiert wird. Also besitzt das direkte Produkt die univer-

selle Eigenschaft. Die Bedingungen ψ ◦ ιi = φi und die Homomorphieeigenschaft

von ψ zeigen, daß notwendigerweise ψ(f) =∏

i∈I φi(f(i))) gelten muß. Dies macht

Sinn, da in dem Produkt nur endlich viele Faktoren 6= 1 sind. Man pruft leicht

nach, daß dadurch in der Tat ein Homomorphismus ψ definiert wird. Also besitzt

auch die direkte Summe die universelle Eigenschaft.

Eine Anwendung von Satz 1.42 ist die folgende, die man naturlich auch leicht

direkt nachweisen kann: Sind fi : Gi → Hi fur i ∈ I Homomorphismen, dann

gibt es einen Produkthomomorphismus f =∏

i∈I fi :∏

i∈I Gi →∏

i∈I Hi mit

f(g)(i) = fi(g(i)) beziehungsweise πi ◦ f ◦ ιi = fi fur alle i ∈ I, wobei ιi : Gi →∏

iGi die i-te Injektion und πi :∏

iHi → Hi die i-te Projektion ist.

Es folgen einige Rechenregeln fur direkte Produkte.

1.43 Lemma. Seien Gi, Hi fur i ∈ I Gruppen.

(i) #∏

i∈I Gi =∏

i∈I #Gi.


(ii)∏

i∈I Gi ist genau dann abelsch, wenn Gi fur alle i ∈ I abelsch ist.

(iii) Fur σ ∈ S(I) gilt∏

i∈I Gi∼=∏

i∈I Gσ(i) unter f 7→ f ◦ σ.

(iv) Fur I = I1 ∪ I2 gilt (∏

i∈I1Gi)× (

∏

i∈I2Gi) ∼=

∏

i∈I Gi.

(v)∏

i∈I fi :∏

i∈I Gi →∏

i∈I Hi ist genau dann ein Homomorphismus (Iso-

morphismus, Epimorphismus, Monomorphismus) wenn fi fur alle i ∈ I ein

Homomorphismus (Isomorphismus, Epimorphismus, Monomorphismus) ist.

(vi) Ist Ni Normalteiler von Gi fur alle i ∈ I, so ist∏

i∈I Ni ein Normalteiler

von∏

i∈I Gi und es gilt∏

i∈I Gi/∏

i∈I Ni∼=∏

i∈I Gi/Ni.

Beweis. Die Aussagen sind klar. Wir beweisen nur (v).

Die Sequenz

1→ Ni → Gi → Gi/Ni → 1

ist exakt fur alle i ∈ I. Durch Anwenden von∏

i∈I (und nach (vi)) erhalten wir

die exakte Sequenz

1→∏

i∈I

Ni →∏

i∈I

Gi →∏

i∈I

Gi/Ni → 1.

Daraus folgt (v).

Lemma 1.43, (iii) kann also als”Kommutativitat“ und (iv) als

”Assoziati-

vitat“ des direkten Produkts aufgefaßt werden.

Der folgende Satz liefert ein Kriterium, wann eine Gruppe isomorph zu einem

endlichen direkten Produkt ist.

1.44 Satz.

(i) Fur das endliche direkte Produkt G =∏n

i=1Gi sei Ni = ιi(Gi) fur alle

1 ≤ i ≤ n. Dann sind die Ni Normalteiler von G und es gilt

G = N1 · · ·Nn,

Ni ∩(

N1 · · ·Ni−1Ni+1 · · ·Nn

)

= 1 fur alle 1 ≤ i ≤ n.(1.45)

Ferner gilt xixj = xjxi fur alle xi ∈ Ni, xj ∈ Nj und 1 ≤ i, j ≤ n mit i 6= j.

(ii) Eine Gruppe G ist genau dann isomorph zu einen endlichen direkten Pro-

dukt, wenn es Normalteiler Ni von G gibt, welche die Bedingung (1.45)

erfullen.

Ist dies der Fall, so gibt es einen Isomorphismus φ : G → ∏ni=1Ni mit

φ|Ni= ιi fur alle 1 ≤ i ≤ n, wobei die ιi die Inklusionen Ni →

∏ni=1Ni

sind.

1.9. DIREKTE PRODUKTE 25

Beweis. (i): Die Aussage (i) des Satzes ist einfach und kann direkt nachgerechnet

werden.

(ii): Die Implikation”⇒“ der zweiten Aussage folgt direkt aus (i). Sind fur

”⇐“ die Ni Normalteiler von G mit den angegebenen Eigenschaften, so definiere

ψ :∏

iNi → G durch (x1, . . . , xn) 7→ x1 · · ·xn. Dies ist ein Homomorphismus: Es

gelte 1 ≤ i, j ≤ n mit i 6= j. Wegen der Normalteilereigenschaft von Ni und Nj

gibt es x′i ∈ Ni und x′j ∈ Nj mit xixj = xjx′i und xixj = x′jxi. Es folgt xjx

′i = x′jxi,

also x′ix−1i = x−1

j x′j ∈ Ni ∩Nj = 1. Es ergibt sich x′ix−1i = x−1

j x′j = 1, also x′i = xiund x′j = xj . Damit folgt xixj = xjxi fur alle xi ∈ Ni und xj ∈ Nj und ψ ist in

der Tat ein Homomorphismus. Wegen G = N1 · · ·Nn ist ψ dazu surjektiv. Aus

x1 · · ·xn = 1 folgt x−11 = x2 · · ·xn ∈ N1 ∩ (N2 · · ·Nn) = 1. Also x1 = 1 und

induktiv xi = 1 fur alle 1 ≤ i ≤ n. Daher ist ψ auch injektiv und insgesamt also

ein Isomorphismus.

Ist G isomorph zu einen Produkt, so gibt es die Ni. Gibt es die Ni, so liefert

φ = ψ−1 den gewunschten Isomorphismus, wobei ψ wie eben konstruiert wird.

Trifft die Bedingung von Satz 1.44 zu, so sagen wir auch, daß G das innere

direkte Produkt der Ni sei.

Wir betrachten jetzt zwei Anwendungen direkter Produkte.

1.46 Satz. Fur n,m ∈ Z\{0} mit gcd(n,m) = 1 gilt die Isomorphie (additiver

abelscher Gruppen)

Z/nmZ ∼= Z/nZ× Z/mZ.

Sei G = G1 × G2 mit G1, G2 zyklisch von endlicher Ordnung. Dann ist G

genau dann zyklisch, wenn G1 und G2 zyklisch von teilerfremder Ordnung sind.

Beweis. Wir betrachten den Homomorphismus φ : Z → Z/nZ × Z/mZ, x 7→(x + nZ, x + mZ). Es gilt ker(φ) = lcm(n,m)Z = nmZ. Dann ist Z/nmZ zu

einer Untergruppe von Z/nZ × Z/mZ isomorph. Aus Anzahlgrunden muß diese

Untergruppe aber bereits ganz Z/nZ× Z/mZ sein.

Die Implikation”⇐“ folgt aus der ersten Aussage. Fur

”⇒“ nehmen wir d =

gcd(#G1,#G2) > 0 an. Dann gibt es in G1 eine Untergruppe der Ordnung d

und in G2 eine Untergruppe der Ordnung d. Dann gibt es in G = G1 × G2 zwei

verschiedene Untergruppen der gleichen Ordnung, also kann G nach Satz 1.39,

(ii) nicht zyklisch sein.

Als Ubungsaufgabe betrachte man in Satz 1.46 auch die Falle, in denen min-

destens eine Gruppe zyklisch von unendlicher Ordnung ist.

Der folgende Satz heißt Hauptsatz fur endlich erzeugte abelsche Gruppen.


1.47 Satz. Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gibt es r, n ∈ Z≥0,

Primzahlen pi und Exponenten ei ∈ Z≥1 fur 1 ≤ i ≤ n <∞ mit

G ∼= Zr ×n∏

i=1

Z/peii Z.

Die Zahlen r, n und pi, ei sind (bis auf Reihenfolge) eindeutig durch die Isomor-

phieklasse von G bestimmt.

Beweis. Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes uber endlich erzeugte Moduln uber

Hauptidealringen, den wir spater beweisen.

1.10 Semidirekte Produkte

Bei direkten Produkten kommutieren die Elemente aus den einzelnen Faktoren.

Semidirekte Produkte sind eine Verallgemeinerung von direkten Produkten, bei

denen dies im allgemeinen nicht mehr der Fall ist.

1.48 Lemma. Sei x ∈ G. Durch φx(a) = xax−1 fur a ∈ G wird ein Automor-

phismus φx ∈ Aut(G) definiert.

Durch x 7→ φx wird ein Homomorphismus φ : G→ Aut(G) definiert.

Beweis. Es gilt φx(ab) = xabx−1 = xax−1xbx−1 = φx(a)φx(b), also ist φx ein

Homomorphismus. Wie man direkt nachrechnet, gilt φx−1 ◦ φx = φx ◦ φx−1 = id,

also ist φx ein Isomorphismus.

Es gilt φxy(a) = xya(xy)−1 = xyay−1x−1 = (φx ◦ φy)(a) fur alle a ∈ G. Dies

zeigt φxy = φx ◦ φy, also ist φ ein Homomorphismus.

1.49 Definition. Die Automorphismen φx heißen innere Automorphismen von

G. Die Anwendung von φx auf a nennt man auch Konjugation von a mit x. Zwei

Elemente a, b ∈ G heißen konjugiert, wenn es x ∈ G mit b = φx(a) gibt.

Wir merken kurz an, daß die durch Konjugation gegebene Relation auf G

eine Aquivalenzrelation ist. Dies folgt direkt aus der Homomorphieeigenschaft

von x 7→ φx gemaß Lemma 1.48.

Ist N ein Normalteiler von G und φx ein innerer Automorphismus, so gilt

φx(N) = N .

Zur Definition des semidirekten Produkts ist es eingangiger, zuerst das innere

semidirekte Produkt zu betrachten. Sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler von G

und U eine Untergruppe von G. Es gelte G = NU und N ∩U = 1. Dann nennen

wir G das innere semidirekte Produkt von N und U . Fur n1, n2 ∈ N und u1, u2 ∈

1.10. SEMIDIREKTE PRODUKTE 27

U gilt n1u1n2u2 = n1u1n2u−11 u1u2 = (n1φu1(n2))(u1u2) mit n1φu1(n2) ∈ N wegen

der Normalteilereigenschaft und u1u2 ∈ U . Dies motiviert die folgende Definition

des (außeren) semidirekten Produkts.

1.50 Definition. Seien N und U Gruppen und ψ : U → Aut(N), x 7→ ψx ein

Homomorphismus. Das semidirekte Produkt N ⋊ψ U von N und U bezuglich ψ

wird wie folgt definiert. Als Menge gilt N ⋊ψ U = N ×U . Die Gruppenoperation

ist (n1, u1) · (n2, u2) = (n1ψu1(n2), u1u2).

Es ist eine Ubungsaufgabe, zu zeigen, daß das semidirekte Produkt N ⋊ψ U

eine Gruppe ist. Das semidirekte Produkt kommt mit zwei Injektionen ι1 : N →N ⋊ψ U , x 7→ (x, 1) und ι2 : U → N ⋊ψ U, x 7→ (1, x) sowie einer Projektion

π2 : N ⋊ψ U → U , (x, y) 7→ y. Die Injektionen sind Monomorphismen und die

Projektion ist ein Epimorphismus. Es gilt ker(π2) = ι1(N), so daß ι1(N) ein

Normalteiler von N ⋊ψ U ist.

Ist ι2(U) sogar ein Normalteiler von G, so folgt (n, 1)(1, u)(n, 1)−1 = (n, u)·(n−1, 1) = (nψu(n)−1, 1) ∈ ι2(U) fur alle n ∈ N und u ∈ U , also nψu(n)−1 = 1,

ψ(u) = id fur alle u ∈ U und G ∼= N × U .

Eine exakte Sequenz

1→ Ni→ G

π→ U → 1

heißt rechts zerfallend, wenn es (einen”Schnitt“) χ : U → G mit π ◦ χ = id gibt.

1.51 Satz. Fur eine Gruppe G sind aquivalent.

(i) G ist isomorph zu einem semidirekten Produkt N ⋊ψ U .

(ii) Es gibt einen Normalteiler N von G und eine Untergruppe U von G mit

G = NU und N ∩ U = 1.

(iii) Es gibt Gruppen N und U und eine rechts zerfallende exakte Sequenz

1→ Ni→ G

π→ U → 1.

Hierbei entsprechen sich die Gruppen N und U aus (i), (ii) und (iii) sowie die

Homomorphismen ψ : U → Aut(N) aus (i) und φ : U → Aut(N), x 7→ φx aus

(ii) (wie in Lemma 1.48) in naturlicher Weise.

Beweis. (i)⇒ (ii): Folgt aus den oben genannten Eigenschaften des semidirekten

Produkts, indem fur N und U aus (ii) die Gruppen N ′ = ι1(N) und U ′ = ι2(U)

verwendet werden.


Seien (1, u) ∈ U ′ und (n, 1) ∈ N ′. Dann gilt (1, u)−1 = (1, u−1) und weiter

(1, u)(n, 1)(1, u)−1 = (ψu(n), u)(1, u−1) = (ψu(n), 1). Insofern entspricht Konju-

gation von Elementen aus N ′ mit Elementen aus U ′ also der Anwendung von ψ.

(ii)⇒ (i): Wir definieren ψ = φ, wobei φ : U → Aut(N), x 7→ φx wie in Lem-

ma 1.48 ist. Weiter definieren wir f : N ⋊ψ U → G durch (n, u) 7→ nu. Nach der

Motivation zur Definition des semidirekten Produkts ist f ein Homomorphismus.

Wegen G = NU ist f surjektiv und wegen N ∩ U = 1 injektiv.

(ii)⇒ (iii): Es gilt G/N ∼= NU/N ∼= U/U ∩N ∼= U nach Satz 1.32, wobei wir

G = NU und N ∩U = 1 verwenden. Wir definieren i als die Inklusionsabbildung

N → G und π : G→ U als kanonischen Epimorphismus gefolgt vom Isomorphis-

mus G/N ∼= U . Die Abbildung χ : U → G definieren wir als die Inklusion. Dann

gilt π(χ(u)) = u fur alle u ∈ U , also folgt (iii).

(iii)⇒ (ii): Wir definieren N ′ = i(N) und U ′ = χ(U). Sei g ∈ G beliebig. Wir

setzen u = χ(π(g)) ∈ U ′. Es folgt π(gu−1) = π(g)π(u−1) = π(g)π(χ(π(g))−1) =

π(g)((π ◦ χ)(π(g)−1)) = π(g)π(g)−1 = 1, also gu−1 ∈ ker(π) = N ′ nach Voraus-

setzung. Mit n = gu−1 ∈ N ′ folgt g = nu, also G = N ′U ′.

Sei g ∈ N ′ ∩ U ′. Wegen g ∈ U ′ gilt g = χ(h) und π(g) = π(χ(h)) = h fur

ein h ∈ U . Wegen g ∈ N ′ gilt π(g) = h = 1. Also folgt g = χ(h) = 1 und damit

N ′ ∩ U ′ = 1.

Eine Folgerung aus dem Satz ist, daß fur nicht-triviales φ : U → Aut(N)

das semidirekte Produkt N ⋊φ U nicht abelsch ist, da ι2(U) auf ι1(N) durch

Konjugation nicht-trivial operiert.

Trifft die Bedingung (ii) aus Satz 1.51 zu, so nennen wir U auch ein Komple-

ment von N in G.

1.52 Beispiel. Die Symmetriegruppe Dn eines regelmaßigen n-Ecks mit n ≥ 3

wird von der Drehung d um 360/n Grad und der Spiegelung s erzeugt. Formal

gilt dn = 1, s2 = 1 und ds = sd−1 beziehungsweise sds−1 = d−1. Die Gruppe Dn

heißt auch Diedergruppe.

Sei N = 〈d〉 und U = 〈s〉. Dann gilt #N = n und #U = 2. Außerdem gilt

Dn = NU und N ∩ U = 1, da keine Drehung eine Spiegelung darstellt. Wegen

sds−1 = d−1 ∈ N ist N dann ein Normalteiler von Dn. Mit Satz 1.51 folgt

Dn∼= N ⋊φ U , wobei φ wie in Lemma 1.48 definiert ist.

Der folgende Satz enthalt noch ein paar einfache Beobachtungen uber semidi-

rekte Produkte endlicher Gruppen.

1.53 Satz. Seien N und U endliche Gruppen und ψ : U → Aut(N) ein Homo-

morphismus.

1.11. OPERATIONEN VON GRUPPEN AUF MENGEN 29

(i) Gilt gcd(#U,#Aut(N)) = 1, so folgt

N ⋊ψ U = N × U.

(ii) Sei U einfach und φ : U → Aut(N) ein Monomorphismus. Fur jeden Ho-

momorphismus ψ : U → Aut(N) mit ψ(U) ⊆ φ(U) gilt dann

N ⋊ψ U = N × U oder N ⋊ψ U ∼= N ⋊φ U.

(iii) Gilt gcd(#N,#U) = 1, so gibt es in N ⋊ψ U genau eine zu N isomorphe

Untergruppe.

Beweis. (i): Wegen gcd(#U,#Aut(N)) = 1 folgt ψ(U) = {id} nach Satz 1.19.

Daraus ergibt sich direkt N ⋊ψ U = N × U .

(ii): Da U einfach ist, gilt ψ(U) = {id} oder ψ ist injektiv. Fur ψ(U) = {id}folgt N ⋊ψ U = N × U wie in (i). Ist ψ injektiv, so folgt ψ(U) = φ(U) wegen

ψ(U) ⊆ φ(U) und #U <∞. Wir erhalten einen Automorphismus σ von U durch

σ(u) = φ−1(ψ(u)) fur alle u ∈ U , so daß mit der Indexschreibweise φu = φ(u) von

oben ψu = φσ(u) fur alle u ∈ U gilt. Damit definieren wir f : N ⋊ψ U → N ⋊φ U

durch (n, u) 7→ (n, σ(u)). Dies ist ein Homomorphismus, denn es gilt

f((n1, u1)(n2, u2)) = f((n1ψu1(n2), u1u2)) = (n1ψu1(n2), σ(u1u2))

= (n1φσ(u1)(n2), σ(u1)σ(u2)) = (n1, σ(u1))(n2, σ(u2))

= f((n1, u1))f((n2, u2))

fur alle n1, n2 ∈ N und u1, u2 ∈ U . Außerdem ist f offenbar bijektiv, also ein

Isomorphismus.

(iii): Sei f : N → N ⋊ψ U ein Monomorphismus. Wegen gcd(#N,#U) = 1

gilt dann π2(f(n)) = 1 fur alle n ∈ N und folglich f(N) = ι1(N).

1.11 Operationen von Gruppen auf Mengen

Gruppen treten haufig als Automorphismengruppen auf, sie operieren also zum

Beispiel auf Mengen (Algebra 1, im folgenden), Vektorraumen (Darstellungstheo-

rie, Jordan Normalform, letztere spater), auf Korpern (Algebra 2, Galoistheorie),

auf topologischen Raumen oder auf Riemannschen Flachen (Topologie, Geome-

trie) und so weiter. In jedem dieser Falle soll die Operation die Struktur der

unterliegenden Objekte erhalten. Da Mengen keine zusatzliche Struktur haben,

werden hier die schwachsten beziehungsweise nur die allgemeinsten Anforderun-

gen gestellt.


1.54 Definition. Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Operation von

G auf X ist eine Verknupfung ◦ : G × X → X, (g, x) 7→ g ◦ x auf X mit

Operatorbereich G, so daß

(i) (gh) ◦ x = g ◦ (hx) fur alle g, h ∈ G und x ∈ X,

(ii) 1 ◦ x = x fur alle x ∈ X

gilt. Wir nennen X dann auch eine G-Menge.

Anstelle von g ◦ x schreiben wir meistens wieder g · x = gx. Das folgende

Lemma liefert eine alternative, kompaktere Definition einer Operation von G auf

X. Man erinnere sich daran, daß S(X) die Automorphismen (strukturerhaltende

Bijektionen) von X sind.

1.55 Lemma. Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Operation von G auf

X liefert einen Homomorphismus φ : G→ S(X), g 7→ (x 7→ gx).

Ist umgekehrt φ : G → S(X) ein Homomorphismus, so erhalten wir eine

Operation von G auf X durch gx = φ(g)(x).

Beweis. Durch einfaches Nachrechnen.

Wir nennen φ aus Lemma 1.55 die zur Operation von G auf X gehorige Per-

mutationsdarstellung von G.

Besitzt X eine zusatzliche (algebraische) Struktur, so kann man eine Opera-

tion von G auf X durch einen Homomorphismus G → Aut(X) wie im Lemma

definieren und erspart sich somit die explizite Angabe der Axiome fur die Opera-

tion.

1.56 Beispiel. Drehungen und Spiegelungen liefern eine Operation von Dn auf

einem n-Eck.

Die Permutationsgruppe S(X) operiert auf X.

Ist X ein Normalteiler von G, so operiert G auf X durch Konjugation g ◦n =

gng−1. Entsprechend haben wir φ : G → Aut(X), g 7→ φg mit Hilfe von inneren

Automorphismen. Durch diese Operation wird sogar die Gruppenstruktur von X

respektiert.

Sei U eine Untergruppe von G. Dann operiert G auf den Linksnebenklassen

durch Multiplikation von links, g ◦ hU = ghU . Entsprechend erhalten wir die

Permutationsdarstellung φ : G → S(X) mit X = {gU | g ∈ U}. Fur U = {1} ist

φ injektiv.

Der Strukturvergleich von G-Mengen X und Y erfolgt mit G-equivarianten

Abbildungen oder G-Abbildungen: Dieses sind Abbildungen f : X → Y mit

gf(x) = f(gx) fur alle g ∈ G und x ∈ X.

1.11. OPERATIONEN VON GRUPPEN AUF MENGEN 31

Sei X eine G-Menge. Wir definieren eine Relation ∼ auf X wie folgt. Es gelte

x ∼ y genau dann, wenn es g ∈ G mit y = gx gibt. Dies ist eine Aquivalenz-

relation, wie man leicht nachrechnet. Die Aquivalenzklasse von x bezeichnen wir

mit Gx. Es gilt Gx = {gx | g ∈ G}.

1.57 Definition. Die Aquivalenzklassen Gx heißen Bahnen (Orbits) von x ∈ Xunter G. Der Stabilisator von x in G ist StabG(x) = {g ∈ G | gx = x}. Die

Menge der Fixpunkte der Operation von G auf X ist FixG(X) = {x ∈ X | gx =

x fur alle g ∈ G}.Die Gruppe G operiert transitiv auf X, wenn es fur jedes x, y ∈ X ein g ∈ G

mit y = gx gibt. Die Gruppe G operiert treu auf X, wenn aus gx = x fur alle

x ∈ X die Gleichung g = 1 folgt. Die Gruppe G operiert frei auf X, wenn aus

gx = x fur ein x ∈ X bereits g = 1 folgt.

Die G-Menge X heißt homogener Raum, wenn G auf X transitiv operiert.

Die G-Menge X heißt prinzipal-homogener Raum oder G-Torsor, wenn G auf X

transitiv und frei operiert.

Man sieht leicht, daß G genau dann transitiv auf X operiert, wenn X = Gx

fur ein (jedes) x ∈ X gilt. Ebenso leicht sieht man, daß G genau dann treu auf

X operiert, wenn die zugehorige Permutationsdarstellung φ : G→ S(X) injektiv

ist. Allgemein gilt ker(φ) = ∩x∈XStabG(x).

1.58 Satz. Sei X eine G-Menge.

(i) StabG(x) ist eine Untergruppe von G und es gilt StabG(gx) = gStabG(x)g−1

fur alle g ∈ G und x ∈ X.

(ii) Es gilt #Gx = (G : StabG(x)) und #Gx |#G.

(iii) Ist V ⊆ X ein Vertretersystem der Bahnen von X unter G, so gilt

#X = #FixG(X) +∑

x ∈ V,(G : StabG(x)) 6= 1

(G : StabG(x)).

Beweis. (i): Die Untergruppeneigenschaft von StabG(x) ist klar. Außerdem sieht

man sofort gStabG(x)g−1 ⊆ StabG(gx) fur alle g ∈ G. Mit g durchlauft auch

g−1 ganz G. Fur y = gx folgt g−1StabG(y)g ⊆ StabG(g−1y), also StabG(gx) ⊆gStabG(x)g−1 fur alle g ∈ G.

(ii): Definiere φ : Gx → {gStabG(x) | g ∈ G} durch gx 7→ gStabG(x). Die

Abbildung φ ist wohldefiniert und injektiv: Fur g, h ∈ G gilt gx = hx⇔ h−1gx =

x ⇔ h−1g ∈ StabG(x) ⇔ gStabG(x) = hStabG(x). Die Surjektivitat von φ ist


offensichtlich. Es folgt #Gx = (G : StabG(x)), und daraus ergibt sich schließlich

#Gx |#G.

(iii): Es gilt X = ∪x∈VGx und daher #X =∑

x∈V (G : StabG(x)) nach

(ii). Nun gilt x ∈ FixG(X) genau dann, wenn #Gx = (G : StabG(x)) = 1 ist.

Aufspalten der Summe liefert (iii).

1.59 Definition. Sei G eine Gruppe und M ⊆ G. Der Zentralisator von M in G

ist definiert als

ZG(M) = {g ∈ G | gm = mg fur alle m ∈M}

und der Normalisator NG(M) von M in G ist definiert als

NG(M) = {g ∈ G | gM = Mg}.

Das Zentrum von G ist Z(G) = ZG(G).

Der Zentralisator ZG(M) ist immer eine Untergruppe von G. Eine Gruppe

G ist genau dann abelsch, wenn Z(G) = G gilt. Der Normalisator NG(M) ist

immer eine Untergruppe von G, und zwar die großte Untergruppe von G, in der

〈M〉 ein Normalteiler ist. Fur U ≤ G gilt ZG(U) ≤ NG(U). Fur M = {x} gilt

ZG(M) = NG(M).

Wir betrachten die Operation von G durch Konjugation auf sich selbst. Es ist

also X = G und die Operation wird durch φ : G→ S(X), g 7→ φg beziehungsweise

durch g ◦ x = gxg−1 fur g ∈ G und x ∈ X beschrieben.

1.60 Lemma. Das Zentrum Z(G) von G ist ein Normalteiler von G und es gilt

Z(G) = ker(φ) = FixG(X).

Beweis. Es gilt φg = 1 genau dann, wenn φg(x) = gxg−1 = x fur alle x ∈ X

ist. Dies zeigt ker(φ) = Z(G) und Z(G) ist ein Normalteiler von G. Weiter gilt

FixG(X) = {x ∈ X | gxg−1 = x fur alle g ∈ G} = {g ∈ G | xgx−1 = g fur alle

x ∈ G} = Z(G).

Die Anzahl der einelementigen Konjugationsklassen von G ist also durch

#Z(G) gegeben.

Wir betrachten jetzt die Operation von G durch Konjugation auf der Menge

X der Untergruppen von G. Fur U ∈ X gilt also g◦U = gUg−1. Die Menge Y der

zu einer gegebenen Untergruppe U von G konjugierten Untergruppen ist gleich

dem Orbit G ◦ U .

1.61 Lemma. Fur den Normalisator NG(U) gilt NG(U) = StabG(U).

Die Anzahl der zu U konjugierten Untergruppen von G ist gleich (G : NG(U)).

1.12. SYLOWSATZE 33

Beweis. Die erste Aussage folgt direkt aus der Definition von NG(U). Die zwei-

te Aussage folgt aus Theorem 1.58, (ii) unter Beachtung von Y = G ◦ U und

NG(U) = StabG(U).

1.12 Sylowsatze

Wir beweisen jetzt zwei Satze uber die Existenz und Anzahl gewisser Untergrup-

pen einer endlichen Gruppe.

1.62 Lemma. Seien n,m, e ∈ Z≥1 und p eine Primzahl mit n = pem und m 6≡0 mod p. Dann gibt es fur alle d ∈ Z mit 0 ≤ d ≤ e ein x ∈ Z≥1 mit x ≡ 1 mod p

und(

n

pd

)

= pe−dmx.

Beweis. Es gilt

(

n

pd

)

=n(n− 1) · · · (n− (pd − 1))

pd(pd − 1) · · · (pd − (pd − 1))=

n

pd

pd−1∏

i=1

n− ipd − i .

Wir setzen x =∏pd−1

i=1n−ipd−i

, so daß x ∈ Z≥1 und(

npd

)

= pe−dmx gilt, und nur noch

x ≡ 1 mod p zu zeigen ist. Dazu schreiben wir i = peixi mit xi 6≡ 0 mod p und

0 ≤ ei ≤ d− 1. Dann gilt

x =

pd−1∏

i=1

n− ipd − i =

pd−1∏

i=1

pem− peixipd − peixi

=

pd−1∏

i=1

pe−eim− xipd−ei − xi

=λp+ α

µp+ α

mit λ, µ, α ∈ Z und α ≡∏pd−1i=1 (−xi) mod p wegen ei < d ≤ e. Es folgt (µp−α)x =

λp− α, also αx ≡ α mod p und x ≡ 1 mod p, wegen α 6≡ 0 mod p.

1.63 Definition. Sei G eine Gruppe und p eine Primzahl. Dann heißt G eine

p-Gruppe, wenn #G = pe mit e ∈ Z≥0 ist.

Sei U eine weitere Gruppe. Dann heißt U eine p-Untergruppe von G, wenn U

eine Untergruppe vonG und eine p-Gruppe ist. Ferner heißt U eine p-Sylowgruppe

von G, wenn U eine p-Untergruppe von G ist und (G : U) 6≡ 0 mod p gilt.

1.64 Satz (1. Satz von Sylow). Sei G eine endliche Gruppe mit #G = pem und

m 6≡ 0 mod p fur eine Primzahl p. Sei N(d) = #{U |U ≤ G und #U = pd}.Dann gilt N(d) ≡ 1 mod p. Speziell gibt es daher fur jedes 0 ≤ d ≤ e minde-

stens eine p-Untergruppe U von G mit #U = pd.


Beweis. Sei X = {T | T ⊆ G und #T = pd}. Wir zeigen unten, daß

#X = λpe−d+1 +N(d)pe−dm (1.65)

fur ein λ ∈ Z gilt. Nach Lemma 1.62 gilt andererseits #X =(

#Gpd

)

= pe−dmx mit

x ≡ 1 mod p. Division von (1.65) durch pe−d liefert damit mx = λp+N(d)m, also

N(d) ≡ x ≡ 1 mod p, wie gewunscht.

Zum Beweis von (1.65) definieren wir eine Operation ◦ von G auf X durch

g ◦ T = gT . Damit gilt zunachst StabG(T )g ⊆ T und #StabG(T ) = #StabG(T )g

fur alle T ∈ X und g ∈ T . Wegen #T = pd erhalten wir daraus

#StabG(T ) ≤ pd fur alle T ∈ X. (1.66)

Fur jede Untergruppe U von G mit #U = pd gilt

{T | T ∈ X mit StabG(T ) = U} = {Ug | g ∈ G}. (1.67)

Zum Beweis der Inklusion ⊆ in (1.67) sei g ∈ T . Wegen StabG(T )g ⊆ T und

#StabG(T )g = #StabG(T ) = pd = #T gilt T = StabG(T )g = Ug. Zum Be-

weis der Inklusion ⊇ in (1.67) bemerken wir Ug ∈ X wegen #U = pd, und

StabG(Ug) = U wegen hUg = Ug ⇔ h ∈ U fur alle h ∈ G.

Aufgrund von (1.66) definieren die Mengen X1 und X2 mit

X1 = {T | T ∈ X mit #StabG(T ) < pd},X2 = {T | T ∈ X mit #StabG(T ) = pd}

eine Partition von X. Fur X1 erhalten wir

X1 = {T | T ∈ X mit #StabG(T ) < pd}= {T | T ∈ X mit pe−d+1|(G : StabG(T ))}= {T | T ∈ X mit pe−d+1|#(G ◦ T )}= ∪ {G ◦ T | T ∈ X, pe−d+1|#(G ◦ T )} (1.68)

unter Verwendung von Theorem 1.58, (ii). Fur X2 erhalten wir

X2 = {T | T ∈ X mit #StabG(T ) = pd}= ∪U≤G,#U=pd {T | T ∈ X mit StabG(T ) = U}= ∪U≤G,#U=pd {Ug | g ∈ G}, (1.69)

wobei (1.69) aus (1.67) folgt.

1.12. SYLOWSATZE 35

Fur U ≤ G mit #U = pd gilt nun #{Ug | g ∈ G} = (G : U) = pe−dm. Aus

(1.68) und (1.69) erhalten wir damit (1.65) wie folgt:

#X = #(X1∪X2) = #X1 + #X2

= λpe−d+1 +N(d)#{Ug | g ∈ G}= λpe−d+1 +N(d)pe−dm

fur ein λ ∈ Z.

1.70 Korollar. Sei G eine endliche Gruppe.

(i) Zu jedem Primteiler p von #G gibt es ein g ∈ G mit ord(g) = p.

(ii) Die Gruppe G ist genau dann eine p-Gruppe, wenn es fur jedes g ∈ G ein

r ∈ Z mit ord(g) = pr gibt.

Beweis. (i): Zunachst gibt es nach Satz 1.64 ein U ≤ G mit #U = p. Dann ist U

nach Satz 1.35 zyklisch. Fur g ∈ U mit U = 〈g〉 gilt dann ord(g) = p.

(ii): Die Implikation”⇒“ folgt aus Satz 1.19. Fur die Implikation

”⇐“ nehmen

wir an, daß G keine p-Gruppe ist. Dann gibt es einen Primteiler q 6= p von #G

und nach (i) auch ein Element g ∈ G mit ord(g) = q, im Widerspruch zur

Annahme.

Korollar 1.70, (i) heißt auch Satz von Cauchy.

1.71 Lemma. Sei G eine p-Gruppe. Ist X eine G-Menge, so gilt

#X ≡ #FixG(X) mod p.

Beweis. Folgt aus Theorem 1.58, (iii) wegen (G : StabG(x)) ≡ 0 mod p fur (G :

StabG(x)) 6= 1.

1.72 Satz (2. Satz von Sylow). Sei G eine endliche Gruppe mit #G = pem und

m 6≡ 0 mod p fur eine Primzahl p.

(i) Jede p-Untergruppe von G ist in einer p-Sylowgruppe von G enthalten.

(ii) Je zwei p-Sylowgruppen von G sind konjugiert.

(iii) Die Anzahl der p-Sylowgruppen von G teilt m.

Beweis. Sei X = {U |U ≤ G mit #U = pe} die Menge der p-Sylowgruppen von

G. Wir definieren eine Operation von G auf X durch Konjugation, also g ◦ U =

gUg−1. Hier ist gUg−1 wegen #gUg−1 = #U wieder eine p-Sylowgruppe von G.


Sei P ∈ X. Dann gilt P ≤ NG(P ) und (G : P ) = m 6≡ 0 mod p. Nach

Theorem 1.58, (ii) und Lemma 1.61 folgt damit #(G ◦ P ) = (G : StabG(P )) =

(G : NG(P ))|(G : P ) = m. Wir erhalten #(G ◦ P )|m fur alle P ∈ X.

Fur jedes P ∈ X und jede p-Untergruppe H von G gibt es g ∈ G mit H ≤gPg−1. Zum Beweis dieser Aussage betrachten wir die Operation von H auf G◦Pdurch Konjugation. Aufgrund von Lemma 1.71 (angewendet mit H = G und

X = G◦P ) und #(G◦P )|m wie eben bewiesen gilt #FixH(G◦P ) ≡ #(G◦P ) 6≡0 mod p. Daher gibt es Q ∈ G ◦P mit hQh−1 = Q fur alle h ∈ H . Also folgt H ≤NG(Q) und QH ≤ NG(Q). Nun ist QH/Q eine p-Gruppe, da QH/Q ∼= H/Q∩Hgilt und H/Q∩H mit H eine p-Gruppe ist. Daher ist QH eine p-Gruppe und mit

Q ≤ QH gilt QH = Q aus Indexgrunden. Daher folgt H ≤ Q. Wegen Q ∈ G ◦ Pgibt es g ∈ G mit Q = gPg−1, also auch H ≤ gPg−1, was zu beweisen war.

(i): SeiH eine p-Untergruppe vonG. Nach Satz 1.64 gibt es eine p-Sylowgruppe

P von G undX ist nicht leer. Nach dem bereits Bewiesenen gibt es dann ein g ∈ Gmit H ≤ gPg−1, und gPg−1 ist ebenfalls eine p-Sylowgruppe von G.

(ii): Folgt aus (i) mit H einer p-Sylowgruppe und aus Indexgrunden.

(iii): Sei P ∈ X. Nach (ii) ist G ◦ P die Menge der p-Sylowgruppen von G.

Dann folgt (iii) aus #(G ◦ P )|m, was oben bewiesen wurde.

1.13 Anwendungen auf endliche Gruppen

In diesem Abschnitt wenden wir die Ergebnisse der vorhergehenden Abschnitte

exemplarisch zur Strukturbestimmung einiger endlicher Gruppen an, und zwar in

Abhangigkeit der Primfaktorisierung ihrer Ordnung.

Bisher wissen wir bereits das folgende: Fur #G = 1 gilt G = {1}, und fur

#G = p mit p Primzahl gilt G ∼= Z/pZ. Im folgenden Satz wird der Fall #G = p2

geklart.

1.73 Satz. Sei G eine Gruppe.

(i) Ist G eine p-Gruppe mit G 6= 1, so gilt Z(G) 6= 1.

(ii) Ist G/Z(G) zyklisch, so ist G abelsch.

(iii) (G : Z(G)) ist keine Primzahl.

(iv) Fur #G = p2 ist G abelsch und es gilt G ∼= Z/p2Z oder G ∼= Z/pZ×Z/pZ.

Beweis. (i): Ist X = G und operiert G durch Konjugation auf X, so ergibt sich

#Z(G) = #FixG(X) ≡ #X ≡ 0 mod p nach Lemma 1.60 und nach Lemma 1.71.

Es folgt #Z(G) 6= 1.

1.13. ANWENDUNGEN AUF ENDLICHE GRUPPEN 37

(ii): Sei h ∈ G mit G/Z(G) = 〈hZ(G)〉. Dann gibt es fur alle g1, g2 ∈ G

ein r1, r2 ∈ Z und z1, z2 ∈ Z(G) mit g1 = hr1z1 und g2 = hr2z2. Dann gilt

g1g2 = hr1z1hr2z2 = hr1hr2z2z1 = hr2hr1z2z1 = hr2z2h

r1z1 = g2g1.

(iii): Ist (G : Z(G)) Primzahl, so ist G/Z(G) nach Satz 1.35 zyklisch, daher

G abelsch und Z(G) = G, also (G : Z(G)) = 1, im Widerspruch zur Annahme.

(iv): Wegen #Z(G) ∈ {p, p2} nach (i) gilt #Z(G) = p2 nach (iii), also ist

G = Z(G) abelsch und es ergibt sich eine der beiden Isomorphien aufgrund von

Satz 1.47.

Als nachstes betrachten wir den Fall #G = pq mit Primzahlen p, q und p < q.

1.74 Satz. Sei G eine endliche Gruppe mit G 6= 1 und p der kleinste Primteiler

von #G. Ist U eine Untergruppe von G mit (G : U) = p, so ist U ein Normalteiler

von G.

Beweis. Es gilt NG(U) = U oder NG(U) = G. Im zweiten Fall ist U aufgrund der

Definition des Normalisators ein Normalteiler von G.

Sei also NG(U) = U . Die Gruppe G operiere auf ihren Untergruppen mittels

◦ durch Konjugation. Es gilt NG(U) = StabG(U) nach Lemma 1.61 und #(G ◦H) = (G : StabG(U)) = (G : NG(U)) = (G : U) = p nach Satz 1.58, (ii). Sei

φ : G→ S(G◦H), g 7→ (x 7→ g ◦x) die zu ◦ gehorige Permutationdarstellung von

G auf G◦H . Es gilt ker(φ) = ∩H∈G◦UStabG(H) ≤ StabG(U) = U . Weiter gilt (G :

ker(φ))|#S(G ◦H) = p! und (G : ker(φ)) = (G : U)(U : ker(φ)) = p(U : ker(φ)).

Da p! von p genau einmal geteilt wird, ergibt sich (U : ker(φ))|(p− 1)!. Da p der

kleinste Primteiler von #G ist, folgt daraus (U : ker(φ)) = 1, also U = ker(φ)

und U ist ein Normalteiler von G.

1.75 Lemma. Ist G zyklisch von Primzahlordnung p, so ist Aut(G) zyklisch von

der Ordnung p− 1.

Beweis. Der Beweis ist zwar einfach, verwendet aber Begriffe aus der Ringtheorie,

die erst spater eingefuhrt werden.

( Wir konnen G = Z/pZ annehmen. Dann ist Aut(G) ∼= (Z/pZ)×, der multi-

plikativen Gruppe des endlichen Korpers Z/pZ. Diese hat Ordnung p− 1 und ist

nach Satz 3.11 zyklisch. )

1.76 Satz. Sei G eine Gruppe mit #G = pq, wobei p, q Primzahlen mit p < q

sind. Fur q 6≡ 1 mod p gilt

G ∼= Z/pqZ.

Fur q ≡ 1 mod p existiert ein nicht-trivialer Homomorphismus φ : Z/pZ →Aut(Z/qZ). Damit gilt

entweder G ∼= Z/pqZ oder G ∼= Z/qZ ⋊φ Z/pZ


Beweis. Sei P eine p-Sylowgruppe von G und Q eine q-Sylowgruppe von G, welche

nach Satz 1.64 existieren. Es gilt #P = p und #Q = q. Nach Satz 1.35 gilt ferner

P ∼= Z/pZ und Q ∼= Z/qZ und beide Gruppen sind einfach.

Nach Satz 1.74 ist Q ein Normalteiler von G. Dies konnen wir auch mit

Satz 1.64 und Satz 1.72 sehen: Ist nq die Anzahl der q-Sylowgruppen, so gilt

nq|p und nq = 1 + λq, also λ = 0 und nq = 1 wegen p < q.

Wegen Q ∩ P = {1} aufgrund der teilerfremden Ordnungen folgt G = QP ,

denn QP ist semidirektes Produkt von Q und P und damit #QP = #Q#P =

#G. Also ist G semidirektes Produkt von Q und P . Es gibt daher ein ψ : Z/pZ→Aut(Z/qZ) mit G ∼= Z/qZ ⋊ψ Z/pZ.

Fur q 6≡ 1 mod p gilt gcd(#(Z/pZ),#Aut(Z/qZ)) = gcd(p, q − 1) = 1 nach

Lemma 1.75 und es folgt G ∼= Z/qZ ⋊ψ Z/pZ ∼= Z/pZ × Z/qZ ∼= Z/pqZ nach

Satz 1.53, (i) und Satz 1.46.

Fur q ≡ 1 mod p existiert φ nach Lemma 1.75 und Satz 1.39. Dann gilt

ψ(Z/pZ) ⊆ φ(Z/pZ) aufgrund von Satz 1.39 (ii), da Aut(Z/qZ) nach Lemma 1.75

zyklisch und φ injektiv ist. Nach Satz 1.53, (ii) folgt G ∼= Z/pqZ wie zuvor oder

G ∼= Z/qZ ⋊φ Z/pZ.

Schließlich gilt Z/pqZ 6∼= Z/qZ⋊φ Z/pZ, denn Z/pqZ ist abelsch und Z/qZ⋊φ

Z/pZ ist nicht abelsch, da φ nicht-trivial ist.

Wir betrachten jetzt Gruppen G der Ordnung 8 = 23.

1.77 Lemma. Sei G eine 2-Gruppe vom Exponenten 2. Dann ist G abelsch und

es gilt G ∼= (Z/2Z)log2(#G).

Beweis. Seien a, b ∈ G. Dann gilt a−1 = a, b−1 = b und (ab)−1 = ab. Es folgt

ab = (ab)−1 = b−1a−1 = ba, und G ist abelsch. Die Isomorphieaussage folgt aus

Satz 1.47.

Wir bemerken, daß das Lemma fur 3-Gruppen vom Exponenten 3 bereits fur

#G = 27 falsch ist.

Seien a =

(

0 1

−1 0

)

und b =

(

0 i

i 0

)

mit i2 = −1. Wir definieren die

Quaternionengruppe Q8 als die durch a und b erzeugte Untergruppe von GL2(C).

1.78 Satz. Die D4 und die Q8 sind bis auf Isomorphie die einzigen nicht abelschen

Gruppen der Ordnung 8.

Beweis. Hausaufgabe.

Fur die Quaternionengruppe gibt man ublicherweise die Erzeuger i, j, k mit

i2 = j2 = k2 = −1 und ij = k, jk = i und ki = j anstelle von a und b an. Es gilt

zum Beispiel i = a, j = b, k = ab.

1.14. WEITERE THEMEN 39

Mit Ausnahme des Falls #G = 12 haben wir damit alle Isomorphietypen

von Gruppen G mit #G ≤ 15 bestimmt. Das Ergebnis ist in Abbildung 1.1

zusammengefaßt (wir schreiben dort Cn = Z/nZ).

#G G

1 C1

2 C2

3 C3

4 C4, C2 × C2

5 C5

6 C6, D3

7 C7

8 C8, C2 × C4, C2 × C2 × C2, D4, Q8

9 C9, C3 × C3

10 C10, D5

11 C11

12 C12, C2 × C6, D6, A4, weitere Gruppe

13 C13

14 C14, D7

15 C15

Tabelle 1.1: Vertreter der Isomorphieklassen endlicher Gruppen

Wie die obige Diskussion schon andeutet, ist der Fall #G = 2r recht unange-

nehm. Fur #G = 16 gibt es zum Beispiel 14 Gruppen und fur #G = 512 bereits

10 494 213 Gruppen.

1.14 Weitere Themen

Wir wollen kurz auf einige weitere Themen in der Gruppentheorie eingehen.

1.14.1 Gruppenerweiterungen

Gruppenerweiterungen sind eine Verallgemeinerung von semidirekten Produkten.

Wir betrachten eine exakte Sequenz

1→ Ni→ G

π→ U → 1 (1.79)

und nennen G eine Erweiterung von N und U mit den Strukturhomomorphismen

i und π. Wir wollen Gruppenerweiterungen”strukturerhaltend“ vergleichen: Seien


G1 und G2 Erweiterungen von N und U mit den Strukturhomomorphismen ij :

N → Gj und πj : Gj → U fur 1 ≤ j ≤ 2. Ein Homomorphismus φ : G1 → G2

der Erweiterungen G1 und G2 ist ein Gruppenhomomorphismus φ : G1 → G2 mit

φ ◦ i1 = i2 und π1 = π2 ◦ φ.

Der Erweiterungshomomorphismus φ ist ein (Erweiterungs)isomorphismus,

wenn es einen Erweiterungshomomorphismus ψ : G2 → G1 mit φ ◦ ψ = id und

ψ◦φ = id gibt. Das ist genau dann der Fall, wenn φ als Gruppenhomomorphismus

ein Isomorphismus ist.

Die Fragestellung ist nun, wie das Gruppengesetz einer Gruppenerweiterung

G von N und U anhand der Strukturhomomorphismen i und π bestimmt werden

kann und wie die Isomorphieklassen der Gruppenerweiterungen von N und U

aussehen. Beschranken wir uns auf den Fall, daß (1.79) rechts zerfallt, so ist G

semidirektes Produkt von N und U und das Gruppengesetz auf G wird durch

φ : U → Aut(N) wie beschrieben gegeben.

Der allgemeine Fall in (1.79) ist komplizierter, aber im Prinzip ahnlich zum

Fall eines semidirekten Produkts: Mit Hilfe zweier Abbildungen, die nur von N

und U abhangen, definiert man ein Gruppengesetz auf N × U , und auf diese

Weise werden alle Gruppenerweiterungen G von N und U erhalten. Zwei solche

Gruppenerweiterungen sind isomorph, wenn die zugehorigen Abbildungen eine

(technische, aber konkrete) Bedingung erfullen. Diese Aussagen sind Inhalt des

Satzes von Schreier uber Gruppenerweiterungen.

Der Satz von Schur-Zassenhaus sagt aus, daß die exakte Sequenz (1.79) fur

#G < ∞ und gcd{#N,#U} = 1 rechts zerfallt. Daruberhinaus sind die mogli-

chen Bilder von U in G konjugiert.

Ist N abelsch, so vereinfacht sich die Situation im Satz von Schreier etwas.

In diesem Fall stehen die Isomorphieklassen der Erweiterungen von N und U in

Bijektion zu einer abelschen Gruppe, die mit H2(U,N) bezeichnet wird (das ist

eine Kohomologiegruppe).

Wir nennen (1.79) eine zentrale Erweiterung, wenn i(N) ≤ Z(G) gilt.

1.14.2 Kompositionsreihen

Eine Normalreihe ist eine Kette (oder Filtrierung) der Form

N0 = 1 EN1 E · · ·ENr = G. (1.80)

Die Faktorgruppen Ni+1/Ni sind genau dann einfach, wenn sich zwischen Ni und

Ni+1 keine echte Zwischengruppe und Normalteiler von Ni+1 einfugen laßt. Ist

das der Fall und gilt Ni+1 6= Ni fur alle i, so ist die Normalreihe maximal und

heißt Kompositionsreihe.


Der Satz von Jordan Holder sagt aus, daß zwei solche Kompositionsreihen

mit den Gliedern Ni und N ′i bis auf die Reihenfolge isomorphe Faktorgruppen

Ni+1/Ni und N ′i+1/N′i besitzen. Es gibt also eine Permutation π der Indizes mit

Ni+1/Ni∼= N ′π(i)+1/N

′π(i).

Man kann sich diese Aussage gut an dem Beispiel Z/nZ mit n =∏

i peii klar-

machen (beachte qZ/pqZ ∼= Z/pZ). Der Satz von Jordan-Holder liefert in diesem

Fall die Eindeutigkeit der Primfaktorisierung ganzer Zahlen.

1.14.3 Einfache Gruppen

Ausgehend von endlichen Gruppen N und U konnen wir mit Hilfe von Grup-

penerweiterungen und dem Satz von Schreier bis auf Isomorphie jede endliche

Gruppe G mit (1.79) bestimmen. Ist umgekehrt eine endliche Gruppe G gegeben,

so betrachten wir konkret einen Normalteiler N von G und die Faktorgruppe

U = G/N . Interessant ist dies allerdings nur fur N 6= 1. Wir konnen dabei N

auch maximal wahlen, so daß U = G/N einfach ist.

Wenden wir dieses Verfahren iterativ auf N und so weiter an, so werden wir

auf die Betrachtung von Kompositionsreihen gefuhrt.

Die Bestimmung aller endlichen Gruppen kann damit durch die Betrach-

tung sukzessiver Gruppenerweiterungen mit einfachen U (Reihenfolge egal nach

Jordan-Holder) erfolgen. Die einfachen endlichen Gruppen konnen somit als ein-

fachste Bausteine beliebiger endlicher Gruppen angesehen werden.

Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen war von Mitte der 50er

bis Mitte der 80er Jahre des letzten Jahrhunderts ein großes Problem, welches

nun gelost scheint. Man gibt eine Reihe von (Matrix)Gruppentypen an, welche

bis auf Isomorphie alle erfassen. Der”Beweis“ ist ungefahr 15000 Seiten lang.

Eine interessante Beschreibung findet sich unter

http://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups

1.14.4 Auflosbare Gruppen

Eine endliche Gruppe heißt auflosbar, wenn sie eine Kompositionsreihe mit zy-

klischen Faktorgruppen (notwendigerweise von Primzahlordnung) besitzt. Eine

auflosbare Gruppe setzt sich also aus den einfachsten einfachen Gruppen mittels

Gruppenerweiterung zusammen.

Sei f ein Polynom uber einem Korper K. Die Bedeutung auflosbarer Gruppen

liegt in der Beschreibung der Losungen x ∈ K von f(x) = 0 in Form von Wur-

zelausdrucken wie bei der pq-Formel im quadratischen Fall (dies motiviert auch

den Namen”auflosbar“, wird in der VL Algebra 2 behandelt).


Der Satz von Feit-Thompson besagt, daß jede endliche Gruppe mit ungerader

Gruppenordnung auflosbar ist (ca. 300 Seiten lang, 1963).

Als Beispiel fur einfache und auflosbare Gruppen betrachten wir Permuta-

tionsgruppen Sn = S({1, . . . , n}) und die alternierenden Gruppen An = {g ∈Sn | sign(g) = 1}.1.81 Satz. Die alternierende Gruppe An ist genau dann einfach und nicht abelsch,

wenn n ≥ 5 gilt.

Die symmetrische Gruppe Sn ist genau dann nicht auflosbar, wenn n ≥ 5 gilt.

Beweis. Der Beweis besteht im wesentlichen aus detaillierten Rechnungen und

ist ansonsten nicht sonderlich erhellend. Siehe die Lehrbucher von Meyberg oder

Fischer/Sacher.

Die Kommutatorgruppe von G ist K(G) = {aba−1b−1 | a, b ∈ G} und ist ein

Normalteiler von G. Die Abelianisierung von G ist Gab = G/K(G). Dies ist eine

abelsche Gruppe mit der folgenden Eigenschaft. Sei π : G→ Gab der kanonische

Epimorphismus. Ist H eine abelsche Gruppe und φ : G → H ein Homomorphis-

mus, so gilt ker(φ) ⊆ K(G) und nach Satz 1.30 gibt es ein eindeutig bestimmtes

ψ : Gab → H mit φ = ψ ◦ π.

Die i-te Kommutatorgruppe von G wird rekursiv definiert durch K0(G) = G

und Ki(G) = K(Ki−1(G)). Es gilt der folgende Satz, der nicht schwer zu beweisen

ist: Eine Gruppe G ist genau dann auflosbar, wenn es n ∈ Z mit Kn(G) = 1 gibt.

1.14.5 Freie Gruppen

Bei der Beschreibung der Dn gehen wir von Erzeugern s und d und gewissen

Relationen zwischen den Erzeugern aus, konkret s2 = 1, dn = 1 und dsds = 1.

Freie Gruppen formalisieren eine solche informelle Beschreibung.

Wir betrachten ein AlphabetX und endliche WorteX∗ = ∪n∈Z≥0Xn bestehend

aus Zeichen aus dem Alphabet X. Dann ist X∗ bezuglich der Aneinanderhangung

von Worten ein Monoid, wobei das neutrale Element durch das leere Wort ()

gegeben wird. Der Monoid X∗ heißt der von X erzeugte freie Monoid.

Fur Gruppen benotigen wir noch Inverse. Seien X−1 eine zu X disjunkte

Menge und f : X → X−1, g : X−1 → X Bijektionen. Wir scheiben auch f(x) =

x−1 und g(y) = y−1.

Wir nennen ein Wort aus (X ∪ X−1)∗ reduziert, wenn es kein Teilwort der

Form xx−1 fur ein x ∈ X ∪X−1 enthalt. Die Menge der reduzierten Worte sei mit

F (X) bezeichnet.

Wir definieren eine Reduktionabbildung r : (X ∪ X−1)∗ → F (X) wie folgt.

Entferne aus w ∈ (X ∪X−1)∗ alle Teilworte der Form xx−1. Wiederhole dies, bis

keine solchen Teilworte mehr in w auftreten.


Man kann dann per Induktion zeigen, daß r eine wohldefinierte Abbildung

r : (X ∪X−1)∗ → F (X) ist, daß r(vw) = r(r(v)r(w)) fur alle v, w ∈ (X ∪X−1)∗

gilt, und daß r mit der Monoidoperation in (X∪X−1)∗ vertraglich ist, daß also aus

r(v1) = r(v2) und r(w1) = r(w2) auch r(v1w1) = r(v2w2) fur alle v1, v2, w1, w2 ∈(X ∪X−1)∗ folgt.

Durch v ◦ w = r(vw) wird damit ein Gruppengesetz auf F (X) definiert. Wir

nennen (F (X), ◦) zusammen mit der Inklusion i : X → F (X) die von X erzeugte

freie Gruppe. Eine Gruppe G heißt frei, wenn G ∼= F (X) fur eine Menge X gilt.

Es gilt die folgende universelle Eigenschaft fur freie Gruppen: Ist G eine Grup-

pe und j : X → G eine Abbildung, so gibt es genau einen Homomorphismus

f : F (X) → G mit f ◦ i = j. Gilt G = 〈j(X)〉, so ist f ein Epimorphismus und

es gilt G ∼= F (X)/ ker(f).

Sei R ⊆ F (X). Dann heißt G = F (X)/NF (X)(R) die Gruppe mit den Erzeu-

gern X und den Relationen R (die durch X und R prasentierte Gruppe). Eine

Gruppe heißt endlich prasentierbar, wenn es eine Menge X und R ⊆ F (X) mit

#X <∞, #R <∞ und G ∼= F (X)/NF (X)(R) gibt.

Als Beispiel betrachten wir X = {s, d} und R = {s2, d3, dsds}. Dies liefert

D3∼= F (X)/NF (X)(R).

Fur eine endliche Menge X und R = {xyx−1y−1 | x, y ∈ X} erhalten wir die

von X erzeugte freie abelsche Gruppe F (X)/NF (X)(R) ∼= Z#X .

Das Wortproblem fur F (X) und R besteht darin, fur gegebenes w ∈ F (X)

zu entscheiden, ob w ∈ NF (X)(R) gilt. Hierfur gibt es keinen allgemeingultigen

Algorithmus, das Wortproblem ist unentscheidbar.

Fur eine Untergruppe U einer freien Gruppe gilt der Untergruppensatz von

Schreier, daß U ebenfalls frei ist.

Kapitel 2

Ringe I

In diesem Kapitel wird die Ringtheorie einfuhrend behandelt.

2.1 Grundlagen

In diesem Abschnitt und den folgenden Abschnitten gehen wir ganz analog wie

bei Gruppen bezuglich Untergruppen, Homomorphismen, Normalteiler, Homo-

morphiesatz und den Isomorphiesatzen vor.

Ein Halbring R ist eine Menge R mit zwei Verknupfungen + und ·, so daß

(R,+) eine abelsche Gruppe und (R, ·) eine Halbgruppe ist und die Distributiv-

gesetze x · (y + z) = x · y + x · z und (x+ y) · z = x · z + y · z fur alle x, y, z ∈ Rgelten.

Ist (R, ·) ein Monoid, so heißt R ein Ring.

Ist (R, ·) kommutativ, so heißt R kommutativ.

Die Konventionen aus Kapitel 1, Abschnitt 1.2 gelten auch hier fur (R,+)

und (R, ·). Speziell schreiben wir 0 fur das eindeutig bestimmte neutrale Element

von (R,+) (genannt das Nullelement) und 1 fur das eindeutig bestimmte neutrale

Element von (R, ·) (genannt das Einselement), sofern R ein Ring ist. Auch lassen

wir · in den meisten Fallen wieder aus.

Aufgrund des Distributivgesetzes gilt 0x = x0 = 0 fur alle x ∈ R. Denn es

gilt beispielsweise 0x = (0 + 0)x = 0x+ 0x, und mit der additiven Kurzungsregel

folgt 0 = 0x fur alle x ∈ R.

Der Nullring R = {0} ist ein Ring mit Einselement 1 = 0. Gilt umgekehrt fur

einen Ring 1 = 0, so ist R bereits der Nullring, denn fur x ∈ R gilt x = 1x =

0x = 0. Ist R ungleich dem Nullring, so gilt also 1 6= 0.

Sei R ein Ring. Ein Element x ∈ R heißt invertierbar mit Inversem y ∈ R,

wenn x in (R, ·) invertierbar mit Inversem y ist. Wir erinnern an Lemma 1.2

und schreiben wieder y = x−1. Das Nullelement 0 von R ist dann und nur dann

45

46 KAPITEL 2. RINGE I

invertierbar, wenn R der Nullring ist. Ein invertierbares Element von R heißt

auch eine Einheit von R. Die Menge der Einheiten von R zusammen mit der

Verknupfung · bildet eine Gruppe, die Einheitengruppe R× von R.

Ein Ring mit 1 6= 0 heißt Schiefkorper, wenn R× = R\{0} gilt. Ist R kommu-

tativ, so heißt R Korper.

2.1 Beispiel. Wir geben ein paar grundlegende Beispiele fur Ringe an, an denen

man die nachfolgenden Definition und Satze ausprobieren kann. Weitere Ringe

werden spater definiert.

Der wohl grundlegendste Ring ist Z. Dies ist ein kommutativer Ring, in dem

nur die Elemente −1, 1 invertierbar sind. Weitere Beispiele fur Ringe sind die

Korper Q,R,C. Diese Ringe sind ebenfalls kommutativ, nun ist aber jedes Ele-

ment 6= 0 invertierbar.

Die Menge der quadratischen n × n Matrizen Rn×n bildet mit der Matrix-

addition und Matrixmultiplikation einen Ring. Die Menge der Endomorphismen

End(V ) eines n-dimensionalen Vektorraums V bildet mit der punktweisen Ad-

dition und der Hintereinanderausfuhrung von Funktionen einen Ring, den En-

domorphismenring von V . Analog bildet die Menge der Endomorphismen einer

abelschen Gruppe G einen Ring. Diese Ringe sind im allgemeinen nicht kommu-

tativ.

Eine weitere wichtige Klasse von kommutativen Ringen sind die Polynom-

ringe, die erst spater formal eingefuhrt werden. Eine informelle, aber eigentlich

fast ausreichende Definition geht wie folgt. Man wahlt sich einen kommutativen

Ring R und Variablen (Unbekannte) x1, . . . , xn. Der Polynomring R[x1, . . . , xn]

in x1, . . . , xn uber R besteht dann aus allen Polynomen in den x1, . . . , xn mit

Koeffizienten aus R. Dieses sind formale Ausdrucke der Form∑r

i=1 aixei,1

1 · · ·xei,nn

fur r ∈ Z≥0, ai ∈ R und ei,j ∈ Z≥0. Die Addition, Multiplikation sowie der Test

auf Gleichheit werden so ausgefuhrt, wie man es beim Rechnen mit Variablen

gewohnt ist.

In der Geometrie treten Ringe der folgenden Art auf. Sei X eine Menge und

R ein Ring. Die Menge der Funktionen RX = {f | f : X → R} bildet mit der

punktweisen Addition und Multiplikation einen Ring. Je nach Bereich stellt man

weitere Anforderung an die Funktionen wie zum Beispiel Stetigkeit oder Differen-

zierbarkeit.

Seien R und S Halbringe (mit den Verknupfungen + und ·, die im allgemeinen

fur R und S verschieden sind, die wir aber mit denselben Symbolen bezeichnen,

da jeweils klar sein wird, welche Verknupfung gemeint ist, ebenso fur die Null-

und Einselemente). Ein Homomorphismus der Halbringe R und S wird durch eine

Abbildung f : R→ S gegeben, fur die f : (R,+)→ (S,+) und f : (R, ·)→ (S, ·)

2.1. GRUNDLAGEN 47

Homomorphismen sind (in anderen Worten, f ist additiv und multiplikativ, es

gilt f(x + y) = f(x) + f(y) und f(xy) = f(x)f(y) fur alle x, y ∈ R). Analog

wie bei Halbgruppen werden wieder Monomorphismen, Epimorphismen, Endo-

morphismen, Isomorphismen und Automorphismen definiert.

Ist f : R→ S ein Homomorphismus der Halbringe R und S, so gilt f(0) = 0

nach Lemma 1.5 beziehungsweise Lemma 1.26, (i). Sind R und S Ringe, so gilt

dann allerdings nicht unbedingt f(1) = 1, wie das folgende Beispiel zeigt.

2.2 Beispiel. Definieren wir G = (R,+, ·), H = (R2×2,+, ·) und f : G→ H wie

in Beispiel 1.4, so erhalten wir einen Ringhomomorphismus f mit f(1) 6= 1.

Durch koordinatenweise Addition und Multiplikation wird Z × Z zu einem

Ring mit Einselement 1 = (1, 1). Definieren wir f : Z→ Z× Z durch x 7→ (x, 0),

so ist f ein Ringhomomorphismus mit f(1) = (1, 0) 6= 1.

Unter einem Homomorphismus der Ringe R und S verstehen wir daher einen

Homomorphismus f der Halbringe R und S mit f(1) = 1.

In der Literatur herrscht bei den Definitionen von Halbring, Ring und den

entsprechenden Homomorphismen allerdings kein Standard. Mitunter wird Halb-

ring auch Ring und ein Ring auch Ring mit Einselement genannt. Man muß daher

stets nachschauen, was der Autor eines Texts unter einem Ring und unter Homo-

morphismen eines Rings genau versteht.

Seien R, S Halbringe mit R ⊆ S. Ist die Inklusionsabbildung R → S ein

Homomorphismus der Halbringe R und S, so nennen wir R einen Unterhalbring

von S. Umgekehrt nennen wir S auch Erweiterungshalbring von R und das Paar

(R, S) eine Halbringerweiterung, in Zeichen S/R.

Seien R, S Ringe mit R ⊆ S. Ist die Inklusionsabbildung R → S ein Ho-

momorphismus der Ringe R und S, so nennen wir R einen Unterring von S.

Umgekehrt nennen wir S auch Erweiterungsring von R und das Paar (R, S) eine

Ringerweiterung, in Zeichen S/R. Manche Autoren nennen S/R auch eine unitare

Ringerweiterung, denn hier stimmen die Einselemente von R und S per Definition

uberein.

2.3 Lemma. Seien R, S Ringe und φ : R→ S ein Homomorphismus. Dann gilt

φ(R×) ⊆ S× und φ(x−1) = φ(x)−1 fur alle x ∈ R×.

Beweis. Folgt aus Lemma 1.5.

Homomorphismen von Schiefkorpern und Korpern sind Homomorphismen der

unterliegenden Ringe (hier genugte auch Halbringe zu fordern, da Einselemen-

te automatisch auf Einselemente abgebildet werden). Entsprechend werden Teil-

(schief)korper, Erweiterungs(schief)korper und (Schief)Korpererweiterung defi-

niert.


2.2 Ideale und Homomorphismen

Ideale spielen fur Ringe die gleiche Rolle, die Normalteiler fur Gruppen einneh-

men.

Sei R ein Halbring und A,B ⊆ R. Dann definieren wir AB = {∑ni=1 aibi |n ∈

Z≥0 und ai ∈ A, bi ∈ B fur 1 ≤ i ≤ n}. Weiter definieren wir aB = {a}B und

Ab = A{b} fur a ∈ A und b ∈ B.

2.4 Definition. Sei R ein Halbring und I eine Untergruppe von (R,+). Gilt

RI ⊆ I, so heißt I ein Linksideal von R. Gilt IR ⊆ I, so heißt I ein Rechtsideal.

Ist I ein Links- und Rechtsideal von R, so heißt I ein Ideal von R. Die Menge der

Ideale von R wird mit I(R) bezeichnet.

Wegen II ⊆ RI ⊆ I sind Linksideale I Unterhalbringe von R. Das gleiche gilt

fur Rechtsideale. Beispiel fur Ideale sind I = {0} und I = R, wobei wir I = R

das triviale Ideal von R nennen. Ist R ein Ring, so sind Ideale I im allgemeinen

keine Unterringe von R, denn im allgemeinen gilt nicht mehr 1 ∈ I. Als Beispiel

betrachten wir R = Z und I = 3Z.

Ist R ein Ring, so impliziert die Bedingung RIR ⊆ I bereits, daß I eine Unter-

gruppe von (R,+) ist. Ist R kommutativ, so genugt hierfur die Bedingung RI ⊆ I.

In der Definition eines Ideals brauchen wir fur Ringe daher nicht vorauszusetzen,

daß I eine additive Untergruppe von R ist.

Sei R ein Halbring und M ⊆ R. Wir definieren das von M erzeugte Ideal (M)

als (M) = ∩II, wobei der Schnitt uber Ideale I von R mit I ⊇ M geht. Es gilt

(M) = RMR+RM+MR+〈M〉, wobei 〈M〉 die von M erzeugte additive Gruppe

bezeichnet. Ist R ein Ring, so vereinfacht sich dieser Ausdruck zu (M) = RMR.

Ist R kommutativ, so erhalten wir (M) = RM + 〈M〉. Ist R ein kommutativer

Ring, so gilt schließlich (M) = RM . Zum Beweis dieser Aussagen stellt man fest,

daß die definierten Mengen Ideale sind und auch in jedem Ideal J mit M ⊆ J

enthalten sind.

Sei f : R→ S ein Homomorphismus der Halbringe R und S. Dann sind Kern

und Bild von f definiert als ker(f) = {x ∈ R | f(x) = 0} und im(f) = f(R) =

{f(x) | x ∈ R}.Es folgen ein paar elementare Eigenschaften von Idealen und Homomorphis-

men. Die folgenden Lemmata gelten sowohl fur Halbringe als auch fur Ringe.

2.5 Lemma. Sei f : R→ S ein Homomorphismus der (Halb)Ringe R und S.

(i) Urbild und Bild von Unter(halb)ringen von R und S bezuglich f sind wieder

Unter(halb)ringe.

(ii) Ist J ein Ideal von S, so ist f−1(J) ein Ideal von R. Ist f ein Epimorphismus

und I ein Ideal von R, so ist f(I) ein Ideal von S.

2.3. FAKTORRINGE 49

(iii) ker(f) ist ein Ideal von R.

(iv) Sind I, J Ideale von R, so sind auch I + J = {x+ y | x ∈ I, y ∈ J}, IJ und

I ∩ J Ideale von R.

(v) Ist I Ideal von R und I ∩ R× 6= ∅, so folgt I = R.

(vi) Ist U ein Unter(halb)ring von R und I ein Ideal von R, so ist U + I ein

Unter(halb)ring von R.


2.6 Lemma. Sei f : R → S ein Epimorphismus der Halbringe R und S.

Dann liefert U 7→ f(U) eine inklusionserhaltende Bijektion der Menge der Un-

ter(halb)ringe U von R mit U ⊇ ker(f) auf die Menge der Unter(halb)ringe von S.

Hierbei ist U genau dann ein Ideal von R, wenn f(U) ein Ideal von S ist.


Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus. Es ist eine ubliche Operation,

Ideale von S zu Idealen von R und umgekehrt zu machen. Dies geschieht mit den

Abbildungen f ∗ : I(S) → I(R) durch J 7→ f−1(J) und f∗ : I(R) → I(S) durch

I 7→ Sf(I)S.

2.7 Satz. Die Abbildungen f ∗ und f∗ besitzen die folgenden Eigenschaften.

(i) Ist f surjektiv, so gilt f∗(f∗(J)) = J und f∗(I) = f(I).

(ii) f ∗ erhalt Summen, Produkte und Schnitte von Idealen.

(iii) f∗ erhalt Summen und Produkte von Idealen.


2.3 Faktorringe

Wir kommen zur Konstruktion des Faktorrings. Sei R ein Halbring und I ein

Ideal von R. Wir definieren zunachst die abelsche Gruppe R/I = (R,+)/(I,+)

als Faktorgruppe der abelschen Gruppen (R,+) und (I,+). Dann fuhren wir auf

R/I eine Multiplikation · durch (x+ I) · (y + I) = (xy + I) ein.

2.8 Satz. Die abelsche Gruppe R/I zusammen mit · ist ein Halbring. Der kano-

nische Epimorphismus x 7→ x+I der additiven Gruppen von R und R/I definiert

einen Epimorphismus π : R→ R/I der Halbringe R und R/I.

Ist R ein Ring, so ist R/I ebenfalls ein Ring und π ein Ringhomomorphismus.


Beweis. Zum Nachweis der Halbringeigenschaft von R/I ist nur die Wohldefiniert-

heit von · zu zeigen. Die Assoziativitat und Distributivitat folgen dann sofort aus

den entsprechenden Eigenschaften der Multiplikation von R.

Seien x1, x2, y1, y2 ∈ R mit x1 + I = x2 + I und y1 + I = y2 + I. Dann gibt es

u, v ∈ I mit x2 = x1 +u und y2 +y1 +v. Es folgt x2y2 + I = (x1 +u)(y1 +v)+ I =

x1y1 + uy1 + x1v + uv + I = x1y1 + I, wegen uy1, x1v, uv ∈ I aufgrund der

Idealeigenschaft von I.

Die Epimorphismuseigenschaft von π ergibt sich direkt aus der Definition der

Multiplikation · von R/I.

Ist R ein Ring, so ist auch R/I ein Ring und π ein Ringhomomorphismus,

denn das Einselement von R/I ist 1 + I und es gilt π(1) = 1 + I.

Wir nennen R/I den Faktorring oder auch Restklassenring von R nach I und

π : R → R/I den kanonischen Epimorphismus. Ist R kommutativ, so ist auch

R/I kommutativ.

Wir fuhren die allgemeine modulo-Schreibweise ein: Fur x, y ∈ R schreiben

x ≡ y mod I genau dann, wenn x− y ∈ I gilt.

Aus Lemma 2.5, (iii) und Satz 2.8 erhalten wir, daß Ideale und Kerne im

Prinzip das gleiche sind.

Die folgenden Satze gelten sowohl fur Halbringe als auch fur Ringe.

2.9 Satz. Sei φ : R→ S ein Homomorphismus der (Halb)Ringe S und R und I

ein Ideal von R mit I ⊆ ker(φ). Sei

π : R→ R/I

der kanonische Epimorphismus. Dann gibt es genau einen Homomorphismus

ψ : R/I → S

mit ψ ◦ π = φ. Ferner gilt ψ(R/I) = φ(R) und ker(ψ) = ker(φ) + I.

Beweis. Der Satz gilt fur die unterliegenden abelschen Gruppen von R, S und

R/I. Die Homomorphieeigenschaft ergibt sich aus der Multiplikativitat von φ und

ψ (wie im Beweis von Satz 1.30) sowie φ(1) = 1 und π(1) = 1 im Fall, daß R und

S Ringe sind.

2.10 Korollar. Sei φ : R→ S ein Homomorphismus der (Halb)Ringe R und S.

Dann gilt

R/ ker(φ) ∼= φ(R)

unter x+ ker(φ) 7→ φ(x).

2.4. NULLTEILER 51

Korollar 2.10 zeigt, daß die Betrachtung beliebiger Epimorphismen R → S

und die Betrachtung kanonischer Epimorphismen R → R/N bis auf Isomorphie

das gleiche ist.

2.11 Satz (Erster Isomorphiesatz). Sei R ein (Halb)Ring, U ein Unter(halb)ring

von R und I ein Ideal von R. Dann gilt

(U + I)/I ∼= U/(U ∩ I).

Speziell ist U + I ein Unter(halb)ring von R und U ∩ I ein Ideal von U .

Beweis. Folgt aus Satz 2.9 analog wie im Gruppenfall.

2.12 Satz (Zweiter Isomorphiesatz). Seien R ein (Halb)Ring und I, J Ideale von

R mit I ⊆ J . Dann ist J/I ein Ideal von R/I und es gilt

(R/I)/(J/I) ∼= R/J.

Beweis. Folgt aus Satz 2.9 analog wie im Gruppenfall.

2.13 Beispiel. Bezuglich der vertreterweisen Addition und Multiplikation wird

Z/nZ ein Ring. Fur a ∈ Z und n ∈ Z≥1 sei a = qn + r mit q, r ∈ Z und

0 ≤ r ≤ n − 1. Wir definieren a mod n = r. Damit konnen wir auch auf M =

{0, . . . , n − 1} eine Addition durch x ⊕ y = (x + y) mod n und Multiplikation

durch x⊙y = (xy) mod n definieren. Die Abbildung φ : M → Z/nZ, x 7→ x+nZ

ist dann ein Ringisomorphismus.

2.4 Nullteiler

Wir untersuchen nun die nicht invertierbaren Elemente eines Rings etwas genauer.

Sei R ein Ring. Sind a, b ∈ R mit a 6= 0, b 6= 0 und ab = 0, so heißen a

(linker) und b (rechter) Nullteiler von R. Der Ring R heißt nullteilerfrei, wenn

es keine Nullteiler von R gibt. Ist a ∈ R und n ∈ Z≥0 mit an = 0, so heißt a

nilpotent. Fur einen kommutativen Ring R definieren wir das (Nil-)Radikal von

R als Rad(R) = {x ∈ R | x ist nilpotent}. Ist Rad(R) = {0}, so heißt R reduziert.

Es folgen einfache Eigenschaften von Nullteilern und des Radikals von R.

2.14 Lemma. Sei R ein Ring.

(i) Fur jedes a ∈ R\{0} gilt: Die Abbildungen R → R, x 7→ ax und R → R,

x 7→ xa sind genau dann injektiv, wenn a kein Nullteiler ist.


(ii) Nullteiler sind keine Einheiten. Sind a, b ∈ R keine Nullteiler, so ist auch

ab kein Nullteiler. Der Ring R ist genau dann nullteilerfrei, wenn R\{0}bezuglich · eine Halbgruppe ist.

(iii) Nilpotente Elemente ungleich Null sind Nullteiler. Fur R kommutativ ist

Rad(R) ein Ideal von R.

Beweis. (i): Sind die Abbildungen injektiv, so gilt ax = 0 ⇒ x = 0 und xa =

0 ⇒ x = 0 fur beliebiges x ∈ R, also ist a kein Nullteiler. Ist umgekehrt a kein

Nullteiler, so gilt ax = ay ⇒ a(x − y) = 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y fur beliebige

x, y ∈ R, wegen a 6= 0. Analog fur xa = ya. Also sind die Abbildungen injektiv.

(ii): Sei a ∈ R×. Fur b ∈ R folgt aus ab = 0, daß a−1(ab) = (a−1a)b = 0 ist.

Also ist a kein linker Nullteiler. Analog fur ba = 0 und a ist auch kein rechter

Nullteiler.

Seien a, b ∈ R beide keine Nullteiler. Fur a = 0 oder b = 0 gilt ab = 0, und

ab ist kein Nullteiler. Fur a 6= 0 und b 6= 0 sind die Abbildungen aus (i) und ihre

Hintereinanderausfuhrungen x 7→ (ab)x, x 7→ x(ab) injektiv. Folglich ist ab kein

Nullteiler.

Die letzte Aussage ist nur eine Umformulierung der Definition eines Nullteilers

und der zweiten Aussage.

(iii): Sei x ∈ Rad(R), x 6= 0. Sei n ∈ Z≥0 minimal mit xn = 0. Es gilt

n ≥ 2. Dann folgt xn−1x = xxn−1 = 0 mit xn−1 6= 0, also ist x linker und rechter

Nullteiler. Fur die Idealeigenschaft siehe Hausaufgaben.

2.15 Beispiel. Sei R = Z. Es gibt keine nilpotenten Elemente außer 0. Es gibt

keine Nullteiler.

2.16 Beispiel. Sei n ∈ Z≥1 und R = Z/nZ. Sei a ∈ Z mit a 6≡ 0 mod n. Es gilt

daher a + nZ 6= 0 in R. Sei d = gcd(a, n).

Fur d > 1 ist a ein Nullteiler von R. Denn mit b = n/d gilt b 6≡ 0 mod n, also

b+ nZ 6= 0 und (a+ nZ)(b + nZ) = 0 wegen ab ≡ 0 mod n.

Fur d = 1 ist a eine Einheit von R. Denn aus (a + nZ)(b + nZ) = 0 folgt

ab ≡ 0 mod n, dann b ≡ 0 mod n wegen d = 1 und damit b + nZ = 0. Daher ist

x 7→ (a + nZ)x nach Lemma 2.14, (i) injektiv und wegen #(Z/nZ) < ∞ auch

surjektiv. Es gibt also ein x = λ+nZ ∈ R mit (a+nZ)x = λa+nZ = 1+nZ = 1.

Daher ist a invertierbar.

Die letzte Aussage zeigt, daß es zu a, n ∈ Z mit gcd(a, n) = 1 ganze Zahlen

λ, µ ∈ Z mit λa + µn = 1 gibt. Dies ist auch die Aussage des Satzes von Bezout

beziehungsweise die Ausgabe des erweiterten euklidischen Algorithmus, wobei

allgemeiner λa+ µn = gcd(a, n) erhalten werden kann.

2.4. NULLTEILER 53

Indem wir umgekehrt λa + µn = 1 modulo n betrachten, sehen wir, daß

λ + nZ das Inverse von a + nZ ist. Die Bedeutung des erweiterten euklidischen

Algorithmus liegt darin, daß λ, µ damit konkret ausgerechnet werden konnen.

Aus diesen Uberlegungen folgt (Z/nZ)× = {a+nZ | a ∈ Z, gcd(a, n) = 1} und

#(Z/nZ)× = φ(n).

Die Elemente aus Z/nZ sind fur n 6= 0 also entweder Null, Einheiten oder

Nullteiler. In Z gibt es daruberhinaus Elemente, die weder Null, Einheiten oder

Nullteiler sind.

2.17 Beispiel. Sei p eine Primzahl. Da gcd(a, p) = 1 fur jedes a ∈ Z mit

a 6≡ 0 mod p gilt, sind alle Elemente ungleich Null von Z/pZ invertierbar und

Z/pZ daher ein Korper. Fur eine Primzahl p heißt Fp der endliche Korper mit p

Elementen.

2.18 Beispiel. Sei R = Kn×n fur K = Q oder K = R etc. Obere Dreiecksmatri-

zen A ∈ Kn×n mit 0 auf der Diagonalen sind nilpotent (denn das charakteristische

Polynom einer solchen Matrix A ist xn, und nach dem Satz von Cayley-Hamilton

gilt An = 0). Matrizen A ∈ Kn×n mit det(A) 6= 0 sind Einheiten (invertierbar,

denn die inverse Matrix existiert). Matrizen A ∈ Kn×n mit det(A) = 0 sind Null-

teiler (wahle v ∈ Kn, v 6= 0 mit Av = 0 und setze B = (v, . . . , v) ∈ Kn×n. Dann

gilt AB = 0).

Wir erweitern die Definition des Radikals wie folgt. Ist I ein Ideal des kom-

mutativen Rings R und πI : R → R/I der kanonische Epimorphismus, so setzen

wir Rad(I) = π−1I (Rad(R/I)) = {x ∈ R | ∃n ≥ 1 : xn ∈ I}. Diese Definition paßt

formal nicht zur vorigen Definition, das Radikal von R ist gleich dem Radikal des

Nullideals von R (und nicht gleich dem Radikal des trivialen Ideals R). Man muß

also das Radikal eines Rings und das Radikal eines Ideals unterscheiden.

2.19 Lemma. Sei f : R→ S ein Homomorphismus der Ringe R und S und seien

I ein Ideal von R und J ein Ideal von S. Es gilt f−1(Rad(J)) = Rad(f−1(I)). Ist

f surjektiv, so gilt auch f(Rad(I)) = Rad(f(I)) fur I ⊇ ker(f).

Beweis. Fur x ∈ f−1(Rad(J)) gibt es n ≥ 1 mit f(x)n ∈ J . Also folgt xn ∈ f−1(J)

und x ∈ Rad(f−1(J)). Gilt umgekehrt x ∈ Rad(f−1(J)), so gibt es n ≥ 1 mit

xn ∈ f−1(J). Dann ergibt sich f(x)n ∈ f(f−1(J)) ⊆ J , also f(x) ∈ Rad(J).

Ist f surjektiv, so gilt f(f−1(J)) = J und f−1(f(I)) = I wegen I ⊇ ker(f).

Setze J = f(I). Nach dem bereits Gezeigten gilt f−1(Rad(J)) = Rad(f−1(J)) =

Rad(I). Durch Anwendung von f ergibt sich mit f(f−1(Rad(J))) = Rad(J) =

Rad(f(I)) die zu zeigende Aussage Rad(f(I)) = f(Rad(I)).


Wegen Lemma 2.14 ist Rred = R/Rad(R) definiert. Es gilt Rad(Rred) = {0},also ist Rred reduziert. Fur einen Homomorphismus f : R → S kommutativer

Ringe erhalten wir mit dem Homomorphiesatz in naturlicher Weise einen eindeu-

tig bestimmten Homomorphismus f red : Rred → Sred. Ist g : S → T ein weiterer

Homomorphismus kommutativer Ringe, so gilt (g ◦ f)red = gred ◦ f red. Außerdem

gilt idredR = idRred .

2.5 Schiefkorper, Korper und einfache Ringe

In diesem Abschnitt betrachten wir die Situationen, daß es in einem Ring R keine

Nullteiler und keine Ideale I mit I 6= {0} und I 6= R gibt.

Sei R ein Ring. Besitzt R nur {0} und R als Ideale, so heißt R einfach.

2.20 Satz. Sei R ein Ring.

(i) Schiefkorper und Korper sind einfache Ringe.

(ii) Ist R einfach und φ : R→ S ein Halbringhomomorphismus, so ist φ entwe-

der konstant gleich 0 oder injektiv.

(iii) Ist R 6= 0 kommutativ und einfach, so ist R ein Korper.

(iv) Ist R 6= 0 endlich und nullteilerfrei, so ist R ein Korper.

Beweis. (i): Fur jedes Ideal I 6= 0 gilt I ∩ R× 6= ∅, also I = R.

(ii): Klar, da ker(φ) = {0} oder ker(φ) = R gelten muß. Ist φ ein Ringhomo-

morphismus, so ist φ wegen φ(1) = 1 immer injektiv.

(iii): Sei x ∈ R, x 6= 0. Dann ist Rx ein Ideal von R, da R kommutativ ist,

und es gilt Rx 6= {0}, da R ein Einselement besitzt und somit x ∈ Rx gilt. Es

folgt Rx = R, da R einfach ist. Daher gilt 1 ∈ Rx, es gibt also y ∈ R mit 1 = yx,

also x ∈ R×. Wegen 1 6= 0 folgt, daß R\{0} = R× gilt.

(iv): Die Schiefkorpereigenschaft wird analog zu Beispiel 2.16 gezeigt. Man

kann sie sogar folgern, wenn nur vorausgesetzt wird, daß R ein Halbring ist.

Der schwierige (und recht lange) Teil des Beweises besteht dann darin, zu

zeigen, daß jeder endliche Schiefkorper kommutativ ist (siehe Meyberg 2).

2.21 Beispiel. Wir geben ein Beispiel eines nicht-kommutativen einfachen Rings

R 6= 0, der kein Schiefkorper ist. Wir betrachten R = Kn×n fur einen Korper K.

Ist M ∈ R und M 6= 0, so ist es nicht schwer zu sehen, daß es Ai, Bi ∈ R mit∑

iAiMBi = 1 gibt. Folglich enthalt jedes Ideal ungleich 0 eine Einheit und ist

gleich R. Daher ist R einfach. Fur n ≥ 2 enthalt R aber auch nicht invertierbare

Matrizen und ist daher kein Schiefkorper (Details siehe Meyberg 1, Seite 120).

Die vollen Matrixringe R = Kn×n sind also stets einfache Ringe.

2.6. DIREKTE PRODUKTE UND ORTHOGONALE IDEMPOTENTE 55

2.22 Beispiel. Wir geben ein Beispiel eines nicht-kommutativen Schiefkorpers

an. Wir betrachten dazu einen Unterring des nicht-kommutativen, einfachen Rings

C2×2.

Sei

R =

{(

u v

−v u

)

| u, v ∈ C

}

,

wobei u, v die konjugiertkomplexen Zahlen von u, v bezeichnen. Nachrechnen

zeigt, daß R unter Addition, Negierung und Multiplikation abgeschlossen ist. Au-

ßerdem enthalt R die Einheitsmatrix. Daher ist R ein Ring mit Eins. Daruber-

hinaus gilt

det

(

u v

−v u

)

= |u|2 + |v|2,

damit ist jede von Null verschiedene Matrix invertierbar, und die Inversen haben

die Form(

u v

−v u

)−1

=(

|u|2 + |v|2)−1(

u −vv u

)

,

liegen also wieder in R. Damit ist R also ein Schiefkorper. Da R die Erzeuger der

Gruppe Q8 enthalt, diese waren

(

0 1

−1 0

)

und

(

0 i

−i 0

)

,

ist R nicht kommutativ und heißt Quaternionenschiefkorper.

2.6 Direkte Produkte und orthogonale Idempo-

tente

Seien I eine Indexmenge und Ri Halbringe (Ringe) fur i ∈ I. Das direkte Produkt∏

i∈I Ri wird zunachst als das direkte Produkt der abelschen Gruppen (Ri,+)

definiert. Wir fuhren auf∏

i∈I Ri eine Multiplikation durch (fg)(i) = f(i)g(i) fur

alle i ∈ I und f, g ∈ ∏i∈I Ri ein. Man sieht sofort, daß∏

i∈I Ri ein Halbring

beziehungsweise ein Halbring ist, wobei das Einselement gegebenenfalls gleich e

mit e(i) = 1 fur alle i ∈ I ist. Das leere direkte Produkt ist der Nullring.

Mit dieser Definition ziehen sich die Aussagen aus Abschnitt 1.9 analog durch,

wenn man”Gruppe“ durch

”Halbring“ (

”Ring“),

”Normalteiler“ durch

”Ideal“

und”+“durch

”·“ ersetzt (dies liegt im wesentlichen daran, daß die Aussagen und

Beweise mittels Homomorphismen, Kernen und Erzeugnissen mehr oder weniger

allgemein formuliert werden konnen). Wir uberlassen es daher dem Leser, sich

die entsprechenden Ergebnisse klarzumachen. Wir heben nur folgendes hervor:


Ist R =∏n

i=1Ri und fassen wir die Ri mittels ιi als Teilmengen von R auf, so

sind die Ri Ideale von R. Ein Element e ∈ R ist genau dann Einselement von R,

wenn die i-te Projektion von e ein Einselement von Ri fur alle i ist.

2.23 Lemma. Es sei R isomorph zu einem direkten Produkt von Ringen Ri,

also R ∼=∏

i∈I Ri. Dann gilt R× ∼=∏

i∈I R×i . Fur endliches I gilt Rad(R) ∼=

∏

i∈I Rad(Ri).

Beweis. Sei φ : R → ∏

iRi der Isomorphismus. Elemente in∏

iRi sind genau

dann Einheiten, wenn in jeder Koordinate eine Einheit steht. Daher φ(R×) =

(∏

iRi)× =

∏

iR×i . Weiter gilt Rad(

∏

iRi) ⊆∏

i Rad(Ri) durch koordinatenweise

Betrachtung. Sei x = (x1, . . . , xn) ∈∏

i Rad(Ri) mit n = #I, und seien ni ∈ Z≥0

mit xnii = 0 fur alle 1 ≤ i ≤ n. Setze m =

∏

i ni. Dann gilt xm = 0, also

x ∈ Rad(∏

iRi) und damit Rad(∏

iRi) =∏

i Rad(Ri). Es folgt φ(Rad(R)) =

Rad(∏

iRi) =∏

i Rad(Ri).

Als ringtheoretische Erganzung von Abschnitt 1.9 betrachten wir jetzt noch

orthogonale Idempotente. Sei R ein Ring. Ist a ∈ R mit a2 = a, so heißt a ein

idempotentes Element von R. Seien e1, . . . , en ∈ R\{0} idempotente Elemente

von R mit eiej = 0 fur alle i 6= j und rei = eir fur alle i und r ∈ R. Dann heißen

e1, . . . , en orthogonale Idempotente von R. Gilt außerdem 1 =∑n

i=1 ei, so spre-

chen wir von einer Zerlegung des Einselements von R in orthogonale Idempotente.

Orthogonale Idempotente sind Nullteiler.

Ist R =∏n

i=1Ri ein Produkt der Ringe Ri, so erhalten wir eine Zerlegung

des Einselements von R in die orthogonalen Idempotenten ei = (δi,j)1≤j≤n fur

1 ≤ i ≤ n, wie man leicht nachrechnet. Fassen wir Ri mittels der Injektion ιi als

Teilmenge von R auf, so gilt Ri = Rei und Ri ist ein Ideal von R. Hiervon gilt

auch die Umkehrung:

2.24 Satz. Sei R ein Ring. Fur eine Zerlegung des Einselements von R in ortho-

gonale Idempotente e1, . . . , en sind die Rei Ringe mit den Einselementen ei und

Ideale von R, und φ : R→ ∏ni=1Rei, x 7→ (xei)1≤i≤n liefert einen Isomorphismus

mit Inversem ψ :∏n

i=1Rei → R, (xi)1≤i≤n 7→∑

i xi.

Beweis. Seien die ei eine Zerlegung des Einselements 1 von R in orthogonale

Idempotente. Wegen rei = eir fur alle r ∈ R folgt R(Rei)R ⊆ Rei und Rei ist

ein Ideal von R. Wegen (rei)ei = re2i = rei und ei ∈ Rei wegen 1 ∈ R (und

andersherum analog) ist ei Einselement von Rei und Rei damit ein Ring. Also ist

auch∏

iRei ein Ring mit Einselement e = (ei)i.

Die Additivitat von φ ist klar. Wegen (r1ei)(r2ei) = (r1r2)ei fur alle r1, r2 ∈ Rund alle i sowie φ(1) = (ei)i = e ist φ ein Homomorphismus.

2.7. CHINESISCHER RESTSATZ 57

Die Additivitat von ψ ist ebenfalls klar. Weiter gilt ψ(e) = ψ((ei)i) =∑

i ei =

1. Sind ri, si ∈ R beliebig, so gilt ψ((riei)i(siei)i) = ψ((risiei)i) =∑

i risiei wegen

rei = eir und e2i = ei. Andererseits gilt ψ((riei)i)ψ((siei)i) =∑

i riei∑

i siei =∑

i risiei wegen rei = eir, eiej = 0 fur i 6= j und e2i = ei. Damit ist ψ auch

multiplikativ und ein Homomorphismus.

Schließlich gilt ψ(φ(x)) =∑

i xei = x∑

i ei = x wegen 1 =∑

i ei, und

φ(ψ((rjej)j)) = ((∑

j rjej)ei)i = (riei)i, wegen ejei = 0 fur j 6= i und e2i = ei.

Also ist φ ein Isomorphismus mit Inversem ψ.

Gemaß unseren Definitionen sind die Rei allerdings keine Unterringe von R.

2.25 Beispiel. Sei R ein Ring und X eine Menge. Wir betrachten den Funk-

tionsring RX aus Beispiel 2.1. Das Einselement e von RX erfullt e(x) = 1 fur

alle x ∈ X. Sei X = ∪iXi eine endliche Partition von X und seien χi ∈ RX

die charakteristischen Funktionen von Xi. Es gilt also χi(x) = 1 fur x ∈ Xi und

χi(x) = 0 fur x ∈ X\Xi. Dann bilden die χi eine Zerlegung des Einselements von

RX in orthogonale Idempotente. Satz 2.24 liefert RX ∼=∏

iRXi wegen Rχi ∼= RXi

mittels fχi 7→ f |Xi.

2.7 Chinesischer Restsatz

Der Isomorphismus in Satz 1.46 ist auch multiplikativ und liefert daher einen

Ringisomorphismus Z/nmZ ∼= Z/nZ × Z/mZ fur teilerfremde n,m ∈ Z≥1. Der

chinesische Restsatz ist eine Verallgemeinerung dieser Aussage.

Sei R ein Ring. Zwei Ideale I, J von R heißen komaximal, wenn I + J = R

gilt.

Im folgenden Satz ist∏

i Ii das Produkt von Idealen, wahrend∏

iR/Ii das

direkte Produkt der Ringe R/Ii ist.

2.26 Satz (Chinesischer Restsatz). Sei R ein Ring und seien I1, . . . , In Ideale von

R. Sei φ : R → ∏ni=1R/Ii der Homomorphismus mit x 7→ (x + I1, . . . , x + In).

Dann gilt:

(i) ker(φ) = ∩ni=1Ii.

(ii) φ ist genau dann surjektiv, wenn die Ii paarweise komaximal sind.

(iii) Sind die Ii paarweise komaximal mit IiIj = IjIi, so gilt ∩ni=1Ii =∏n

i=1 Iiund φ liefert eine Isomorphie

R/

n∏

i=1

Ii ∼=n∏

i=1

R/Ii.


Beweis. Es ist klar, daß φ ein Homomorphismus ist (denn φ ist koordinatenweise

gleich dem kanonischen Epimorphismus R→ R/Ii).

(i): Es gilt ker(φ) = {x ∈ R | x ∈ Ii fur alle 1 ≤ i ≤ n} = ∩ni=1Ii.

(ii): Seien die Ii paarweise komaximal. Dann gibt es di,j ∈ Ii mit 1 = di,j +dj,ifur alle i 6= j. Setze ei =

∏

j 6=i dj,i. Dann gilt

ei ≡{

0 mod Ij fur alle j 6= i,

1 mod Ii.

Sei (x1 + I1, . . . , xn + In) ∈∏

iR/Ii beliebig. Setze x =∑

i xiei. Dann gilt x =∑

i xiei ≡ xi mod Ii fur alle i, also φ(x) = (x1+I1, . . . , xn+In) und φ ist surjektiv.

Sei nun umgekehrt φ surjektiv. Sei bi = (δi,j+Ij)j . Nach Voraussetzung gibt es

b′i ∈ φ−1({bi}). Setze a′i = 1− b′i und sei πj die j-te Projektion. Wegen πj(φ(b′i)) =

πj(bi) = 0 fur alle j 6= i gilt b′i ∈ Ij fur alle j 6= i. Wegen πi(φ(a′i)) = πi(1−bi) = 0

gilt a′i ∈ Ii. Fur j 6= i erhalten wir also 1 = a′i + b′i mit a′i ∈ Ii und b′i ∈ Ij . Somit

sind Ii und Ij komaximal.

(iii): Die Isomorphie folgt aus (i), (ii), dem Homomorphiesatz und ∩iIi =∏

i Ii.

Zum Beweis von ∩iIi =∏

i Ii verwenden wir eine Hilfsaussage: Fur paarweise

komaximale Ideale I, J1, . . . , Jn sind I und J1 · · ·Jn paarweise komaximal. Die

Hilfsaussage ergibt sich wie folgt:

R =n∏

i=1

R =n∏

i=1

(I + Ji) ⊆ I(. . . ) +n∏

i=1

Ji ⊆ I +n∏

i=1

Ji ⊆ R.

Der Beweis von ∩iIi =∏

i Ii erfolgt per Induktion. Der Fall n = 1 ist klar. Fur

n = 2 ergibt sich

I1 ∩ I2 ⊆ (I1 ∩ I2)R ⊆ (I1 ∩ I2)(I1 + I2) ⊆ I2I1 + I1I2 ⊆ I1I2 ⊆ I1 ∩ I2.

Fur den Schluß von n auf n + 1 ergibt sich unter Verwendung der Hilfsaussage

und des Falls n = 2:

n+1∏

i=1

Ii =

(

n∏

i=1

Ii

)

In+1 =

(

n∏

i=1

Ii

)

∩ In+1 = (∩ni=1Ii) ∩ In+1 = ∩n+1i=1 Ii.

Wir wollen den chinesischen Restsatz mit Satz 2.24 vergleichen. Indem wir

R durch R/∩iIi ersetzen, konnen wir ohne Einschrankung aufgrund des zweiten

Isomorphiesatzes annehmen, daß ∩iIi = {0} gilt. Die im Beweis des chinesischen

2.7. CHINESISCHER RESTSATZ 59

Restsatzes konstruierten ei stellen eine Zerlegung der 1 von R in orthogonale

Idempotente dar und Multiplikation mit ei liefert einen Epimorphismus R→ Reimit Kern Ii. Somit gilt R/Ii ∼= Rei und wir erhalten Isomorphismen

R→∏

i

R/Ii →∏

i

Rei.

Wir bemerken, daß das Bild von Ii im Produkt∏

iR/Ii beziehungsweise im Pro-

dukt∏

iRei gleich dem Ideal {(xj)j | xj beliebig und xi = 0} ist.

In der Situation von Satz 2.24 erhalten wir umgekehrt paarweise komaximale

Ideale Ii mit ∩iIi = {0} als Kerne der Multiplikationsabbildung R→ Rei mit ei.

2.27 Beispiel. Fur teilerfremde Zahlen n,m ∈ Z sind die Ideale nZ und mZ

komaximal. Daher gilt Z/nmZ ∼= Z/nZ× Z/mZ.

Der chinesische Restsatz wird fur das Losen simultaner Kongruenzen verwen-

det. Zu paarweise teilerfremden Zahlen ni ∈ Z und beliebigen x1, . . . , xn ∈ Z kann

man nach Satz 2.26 ein x ∈ Z mit x ≡ xi mod ni fur alle i finden. Außerdem ist

x modulo∏

i ni eindeutig bestimmt.

2.28 Beispiel. R = Z/12Z ∼= Z/4Z×Z/3Z. Es ist leichter, im direkten Produkt

zu rechnen: (2, 0) ist nilpotent, denn (2, 0)2 = (0, 0). (1, 0) ist nicht nilpotent, aber

ein Nullteiler, denn (1, 0)(0, 1) = (0, 0). (1, 2) ist eine Einheit (sogar idempotent),

denn (1, 2)(1, 2) = 1. Ebenso ist (3, 2) eine Einheit.

Sei φ : Z/12Z→ Z/4Z×Z/3Z der Isomorphismus aus dem chinesischen Restsatz.

Was sind die Urbilder der obigen Elemente in Z/12Z? Orthogonale Idempotente

in Z/4Z×Z/3Z sind (1, 0) und (0, 1), und in Z/12Z sind es e1 = −3 und e2 = 4.

Damit φ(e1) = (1, 0) und φ(e2) = (0, 1). Weiter φ−1((2, 0)) = 2e1 + 0e2 = 6,

62 = 36 = 0 mod 12, φ−1((1, 2)) = e1 + 2e2 = 5, 52 = 25 = 1 mod 12.

2.29 Bemerkung. Die Interpolation von Polynomen kann ebenfalls als Anwen-

dung des chinesischen Restsatzes (genauer als Anwendungen der Urbildberech-

nung im chinesischen Restsatz) angesehen werden. Das im Beweis von Satz 2.26

gegebene Verfahren entspricht der Langrangeschen Interpolation, wohingegen das

nachfolgende Newtonverfahren die Newtonschen Interpolation liefert. Wenn wir

spater Polynomringe behandeln, gehen wir hierauf noch einmal ein.

Das Newtonverfahren liefert eine Methode, mit der Urbilder unter dem Iso-

morphismus im chinesischen Restsatz effizienter als mit dem im Beweis angegeben

Verfahren berechnet werden konnen.

Setze ei =∏i−1

j=1 dj,i mit den dj,i aus dem Beweis von Satz 2.26. Dann setze

y1 = x1 und induktiv yi+1 = yi + (xi+1 − yi)ei+1 fur 1 ≤ i ≤ n − 1. Dann gilt

yn ≡ xj mod Ij fur 1 ≤ j ≤ n. Dieses Verfahren benotigt weniger Multiplikationen

als das Verfahren aus dem Beweis von Satz 2.26.

Der Beweis der Korrektheit dieses Verfahrens ist eine Hausaufgabe.


2.8 Charakteristik und Primringe

Ist R ein Ring, so gibt es genau einen Homomorphismus φ : Z→ R mit φ(1) = 1.

Fur n ∈ Z ist namlich φ(n) = φ(n · 1) = n · 1, wobei n · 1 = 1 + · · · + 1 mit

jeweils n Einsen (einmal aus Z und einmal aus R). Die Homomorphieeigenschaft

rechnet man direkt man. Fur n ∈ Z und x ∈ R gilt außerdem n · x =∑n

i=1 x =

(∑n

i=1 1)x = φ(n)x.

Nach Lemma 1.38 gibt es ein eindeutig bestimmtes c ∈ Z≥0, so daß ker(φ) =

cZ, und wir erhalten eine Einbettung von Z/cZ in R.

2.30 Definition. Wir definieren die Charakteristik von R als char(R) = c.

2.31 Satz. Sei R ein Ring.

(i) Es gilt char(R)x = 0 fur alle x ∈ R. Fur char(R) > 0 ist char(R) der

Exponent von (R,+).

(ii) Fur R nullteilerfrei und R 6= 0 ist char(R) = 0 oder char(R) eine Primzahl.

Beweis. (i): Mit n = char(R) gilt n · 1 =∑n

i=1 1 = 0. Fur x ∈ R ergibt sich

n · x =∑n

i=1 x = (∑n

i=1 1)x = 0x = 0. Fur n > 0 hat also jedes x in (R,+) eine

Ordnung kleiner gleich n und 1 hat Ordnung genau n.

(ii): Sei n = char(R). Fur n 6= 0 gilt zunachst n ≥ 2 wegen R 6= 0. Weiter

wird Z/nZ injektiv nach R durch φ eingebettet. Da R nullteilerfrei ist, gilt dies

auch fur Z/nZ. Also muß n eine Primzahl sein.

Sei R ein Ring. Wir definieren den Primring von R als

∩{U |U Unterring von R}.

Sei R ein Schiefkorper. Wir definieren den Primkorper von R als

∩{U |U Unterschiefkorper von R }.

2.32 Satz. Sei R Ring und φ : Z→ R wie oben.

(i) φ(Z) ist gleich dem Primring von R.

(ii) Ist R nullteilerfrei und R 6= 0, so ist der Primring isomorph zu Z oder Z/pZ

fur p eine Primzahl.

(iii) Fur einen Schiefkorper R ist der Primkorper isomorph zu Q oder Z/pZ fur

p eine Primzahl.

2.9. NOETHERSCHE RINGE 61

Beweis. (i): Fur einen Unterring U von R folgt φ(Z) ⊆ U . Da φ(Z) ein Unterring

ist, folgt die Behauptung.

(ii): Folgt aus (i), φ(Z) ∼= Z/char(R)Z und weil char(R) = 0 oder eine Prim-

zahl ist.

(iii): Der Primkorper enthalt den Primring. Ist char(R) eine Primzahl, so ist

der Primring bereits Korper und die Behauptung folgt. Ist char(R) = 0 und ist

U ein Unterschiefkorper mit φ(Z) ⊆ U , so liefert Q → U , n/m 7→ φ(n)/φ(m)

einen wohldefinierten Monomorphismus, woraus sich der Rest der Behauptung

ergibt.

2.33 Satz. Sei R ein kommutativer Ring der Charakteristik p, wobei p eine Prim-

zahl ist. Dann gilt (x + y)p = xp + yp fur alle x, y ∈ R. Ferner definiert x 7→ xp

einen Endomorphismus von R, welcher Frobeniusendomorphismus (zur Potenz p)

genannt wird.

Beweis. Die erste Aussage folgt durch Anwendung des binomischen Satzes und

weil die binomischen Koeffizienten außer dem ersten und dem letzten alle durch

p teilbar und daher hier Null sind. Die Teilbarkeit ergibt sich aus Lemma 1.62.

Wegen (xy)p = xpyp und 1p = 1 handelt es sich bei x 7→ xp tatsachlich um

einen Endomorphismus.

Iterieren liefert Frobeniusendomorphismen x 7→ xpk

zu Potenzen pk. Wir spre-

chen auch von Frobeniusautomorphismen, wenn die Frobeniusendomorphismen

injektiv und surjektiv sind.

2.9 Noethersche Ringe

Wir kommen zu einer Definition, die in gewisser Weise der Endlichdimensionalitat

von Vektorraumen entspricht.

2.34 Definition. Ein Halbring R, in dem jede nicht leere Menge von Idealen ein

bezuglich der Inklusionsrelation maximales Element besitzt, heißt noethersch.

2.35 Satz. Sei R ein Halbring. Dann sind aquivalent:

(i) Jedes Ideal von R kann durch endlich viele Elemente aus R erzeugt werden.

(ii) Jede aufsteigende Kette von Idealen I1 ⊆ I2 ⊆ . . . von R wird stationar, es

gibt also n ∈ Z≥1 mit Im = In fur alle m ∈ Z≥n.

(iii) R ist noethersch.


Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei I = ∪i≥1Ii. Dann ist I ein Ideal von R welches nach

Voraussetzung endlich erzeugt werden kann. Da die Erzeuger Elemente der Iisind, gibt es ein n ∈ Z≥1, so daß alle Erzeuger in In liegen. Damit gilt Im = Infur alle m ∈ Z≥n.

(ii)⇒ (iii): Beweis durch Widerspruch. Falls es eine nicht-leere Menge M von

Idealen ohne maximales Element gibt, so gibt es zu jedem I ∈M ein J ∈M mit

I ( J . Induktiv erhalten wir die Existenz einer aufsteigenden Kette I1 ( I2 ( . . . ,

im Widerspruch zu (ii).

(iii)⇒ (i): Sei I ein Ideal von R undM die Menge der Ideale von R, die jeweils

durch endlich viele Elemente aus I erzeugt werden konnen. Dann gibt es in M

ein maximales Ideal J , und aufgrund der Konstruktion von M folgt J = I.

2.36 Beispiel. Der Ring Z ist noethersch, da jedes Ideal nach Lemma 1.38 sogar

von nur einem Element erzeugt werden kann. Einfache Ringe (also auch Korper)

sind noethersch.

2.37 Beispiel. Sei I = Z und R =∏

i∈I Z. Dann ist R nicht noethersch. Die

Mengen Ii = {f ∈ R | f(j) = 0 fur j 6∈ {1, . . . , i}} bilden eine echt aufsteigende

Kette von Idealen von R, die nicht stationar wird.

2.38 Satz. Faktorringe noetherscher Halbringe sind noethersch. Epimorphe Bil-

der noetherscher Ringe sind noethersch.

Beweis. Ist f : R → S ein Epimorphismus und J ein Ideal von S, so ist f−1(J)

ein Ideal von R und nach Voraussetzung endlich erzeugt. Damit ist dann auch

f(f−1(J)) = J endlich erzeugt.

2.39 Bemerkung. Unterringe noetherscher Ringe sind nicht unbedingt noeth-

ersch. Als Beispiel (Begriffe werden spater eingefuhrt) kann man einen Polynom-

ring R in unendlich vielen Variablen und dessen Quotientenkorper K betrachten.

Dann ist K als Korper noethersch, aber R ist nicht noethersch.

2.10 Maximale Ideale

2.40 Definition. Sei R ein Halbring. Ein Ideal m von R heißt maximales Ideal

von R, wenn m 6= R ist und fur alle Ideale I von R mit m ⊆ I ⊆ R bereits I = m

oder I = R gilt.

2.41 Lemma. Sei R ein Halbring und m ein Ideal von R.

(i) Ist m ein maximales Ideal und I ein beliebiges Ideal von R mit I 6⊆ m, so

gilt I + m = R.

2.10. MAXIMALE IDEALE 63

(ii) m ist genau dann maximales Ideal von R, wenn R/m 6= 0 und einfach ist.

(iii) Ist R kommutativ mit Einselement, so ist m genau dann maximal, wenn

R/m ein Korper ist.

Beweis. (i): Da I + m ein Ideal von R mit m ( I + m ist, folgt I + m = R.

(ii): Folgt aus Lemma 2.6.

(iii): Folgt aus (i) und Satz 2.20, da R/m 6= 0 ein einfacher kommutativer

Ring ist.

2.42 Beispiel. Die maximalen Ideale von Z sind genau die Ideale pZ, wobei p

eine Primzahl ist.

2.43 Definition. Sei M eine Menge und ≤ eine Relation auf M . Dann heißt ≤eine Halbordnung auf M , wenn die Eigenschaften

x ≤ x, (x ≤ y und y ≤ x) ⇒ x = y, (x ≤ y und y ≤ z) ⇒ x ≤ z

fur alle x, y, z ∈M gelten. Gilt dazu x ≤ y oder y ≤ x fur alle x, y ∈M , so heißt

≤ eine Ordnung auf M .

Sei ≤ eine Halbordnung auf M . Fur jede Teilmenge X von M schrankt sich

≤ zu einer Halbordnung auf X ein. Eine Kette von M ist eine Teilmenge X von

M , auf der ≤ eine Ordnung definiert.

Sei ≤ eine Halbordnung auf M . Ein Element m ∈M mit m ≤ x⇒ x = m fur

alle x ∈ M heißt maximales Element von M . Sei X ⊆ M . Ein Element s ∈ Mmit x ≤ s fur alle x ∈ X heißt obere Schranke von X in M . Die Menge M heißt

induktiv geordnet, wenn jede nicht leere Kette X von M eine obere Schranke in

M besitzt.

2.44 Satz (Lemma von Zorn). Sei M eine bezuglich ≤ induktiv geordnete, nicht

leere Menge. Dann gibt es ein maximales Element m von M .

Das Lemma von Zorn ist aquivalent zum Auswahlaxiom, welches von den

ublichen Axiomen der Mengenlehre unabhangig ist. Es handelt sich hierbei also

eher um eine Annahme, die man treffen oder auch nicht treffen kann. Es ist

fur gewohnlich praktisch, das Auswahlaxiom anzunehmen (haben wir schon fur

(ii)⇒ (iii) in Satz 2.35 getan).

2.45 Satz. Sei R ein Ring und I ein Ideal von R mit I 6= R. Dann gibt es ein

maximales Ideal m von R mit I ⊆ m.

Beweis. Wir definieren M = {J | J Ideal von R mit J 6= R und I ⊆ J }. Die In-

klusionsrelation ⊆ liefert eine Halbordnung auf M , wie man unmittelbar sieht.


Wir behaupten, daßM sogar induktiv geordnet ist. Sei dazuX ⊆M eine nicht

leere Kette. Wir mussen zeigen, daß X eine obere Schranke in M besitzt, daß es

also ein Ideal mX ∈M mit J ⊆ mX fur alle J ∈ X gibt. Definiere mX := ∪J∈XJ .

Wie im Beweis von Lemma 2.41 ist dies ein Ideal ein Ideal von R. Es bleibt

mX 6= R zu zeigen, um mX ∈M zu erhalten. Nun gilt aber 1 6∈ J fur alle J ∈ X,

folglich 1 6∈ mX , also mX 6= R.

Wegen I ∈M ist M nicht leer. Nun wenden wir das Lemma von Zorn an und

erhalten die Existenz eines Ideals m ∈ M , welches bezuglich ⊆ in M maximal ist.

Es gilt also m 6= R und m ( J ⇒ J = R fur jedes Ideal von R, und somit ist m

ein maximales Ideal von R.

Die Aussage des Satzes gilt entsprechend fur Links- und Rechtsideale. Nach

dem Lemma von Zorn besitzt jede nicht-leere, bezuglich ⊆ induktiv geordnete

Menge M von Idealen ein maximales Element. Fur einen noetherschen Ring ist

jede nicht-leere Menge von Idealen bezuglich ⊆ induktiv geordnet. Dies ist eine

Konsequenz von Satz 2.35, (ii) (und ist fur nicht-noethersche Ringe im allgemei-

nen falsch). Damit erhalten wir die Implikation (ii)⇒ (iii) in Satz 2.35 auch mit

Hilfe des Zornschen Lemmas.

2.46 Lemma. Seien R, S Halbringe und sei φ : R → S Epimorphismus. Ist m

ein maximales Ideal von S, so ist φ−1(m) ein maximales Ideal von R.

Beweis. Wir bekommen durch φ einen Isomorphismus R/φ−1(m) → S/m. Da

R/φ−1(m) mit S/m einfach ist, muß φ−1(m) maximal sein.

2.47 Beispiel. Die Aussage gilt im allgemeinen nicht, wenn φ nur ein Homo-

morphimus ist. Betrachte R = Z, S = Q und φ den Inklusionshomomorphismus.

Wahle m = {0}. Dann ist m maximales Ideal von Q, aber φ−1(m) = {0} ist kein

maximales Ideal von Z.

Die Aussage gilt aber fur endlich erzeugte k-Algebren, wobei k ein Korper

ist. Diese Klasse von Ringen spielen in der algebraischen Geometrie eine wichtige

Rolle.

2.11 Integritatsringe und Primideale

Wir betrachten im folgenden nur noch kommutative Halbringe und Ringe.

2.48 Definition. Sei R ein kommutativer Halbring.

Ein Ideal p von R heißt Primideal von R, wenn p 6= R ist und fur alle a, b ∈ Raus ab ∈ p bereits a ∈ p oder b ∈ p folgt.

Gilt R 6= 0 und ist R nullteilerfrei, so heißt R Integritatshalbring. Besitzt R

daruberhinaus ein Einselement, so heißt R Integritatsring (englisch: Domain).

2.11. INTEGRITATSRINGE UND PRIMIDEALE 65

2.49 Satz. Sei R ein kommutativer Halbring und p ein Ideal von R mit p 6= R.

Dann sind aquivalent:

(i) p ist Primideal,

(ii) Sind a, b Ideale von R, so folgt aus ab ⊆ p bereits a ⊆ p oder b ⊆ p.

(iii) R\p mit der Multiplikation aus R ist eine Halbgruppe,

(iv) R/p ist Integritatshalbring,

(v) p ist Kern eines Homomorphismus φ : R → S, wobei S ein Integritatshal-

bring ist.

Beweis. (i)⇒ (ii): Gilt a 6⊆ p, so gibt es a ∈ a\p. Fur b ∈ b gilt dann ab ∈ ab ⊆ p,

und aus (i) ergibt sich b ∈ p. Da b beliebig war, folgt b ⊆ p.

(ii) ⇒ (i): Seien a, b ∈ R mit ab ∈ p. Fur a = (a), b = (b) gilt ab ⊆ p, wegen

a = Ra + Za, b = Rb + Zb und folglich ab = Rab + Zab = (ab) ⊆ p. Also ergibt

sich nach Voraussetzung a ⊆ p oder b ⊆ p, und daraus a ∈ p oder b ∈ p.

(i) ⇒ (iii): Seien a, b ∈ R\p. Da p nach Annahme Primideal ist, muß ab 6∈ p

gelten, denn sonst ware a ∈ p oder b ∈ p.

(iii)⇒ (iv): R/p ist genau dann nullteilerfrei, wenn Bedingung (iii) gilt.

(iv) ⇒ (v): Wahle S = R/p und den Restklassenepimorphismus. Nach Vor-

aussetzung p 6= R ist S 6= 0 und daher ein Integritatshalbring.

(v)⇒ (i): Seien a, b ∈ R und ab ∈ p = ker(φ). Dann gilt φ(ab) = φ(a)φ(b) = 0.

Da S nullteilerfrei ist, folgt φ(a) = 0 oder φ(b) = 0, also a ∈ p oder b ∈ p. Wegen

p 6= R nach Voraussetzung ist p Primideal.

2.50 Beispiel. Die Primideale von Z sind genau die Ideale pZ, wo p eine Primzahl

ist.

2.51 Beispiel. Sei R kommutativ mit R 6= 0. Das Ideal {0} ist genau dann

Primideal, wenn R nullteilerfrei ist. Der Nullring R = 0 besitzt kein Primideal.

2.52 Satz. Sei R ein kommutativer Ring.

(i) Jedes maximale Ideal von R ist ein Primideal von R.

(ii) Zu jedem Ideal I von R mit I 6= R gibt es ein Primideal p von R mit I ⊆ p.

Beweis. (i): Sei m maximales Ideal von R. Dann gilt 1 6= 0 und R/m ist ein

Korper. Da Korper auch Integritatsringe sind, ist m ein Primideal.

(ii): Wegen I 6= R gilt 1 6= 0. Wahle p als ein maximales Ideal m mit I ⊆ m,

welches nach Satz 2.45 existiert. Nach (i) ist m ein Primideal.


2.53 Satz. Seien R, S kommutative Halbringe und sei φ : R → S ein Homo-

morphismus mit (φ(R)) = S. Ist dann p ein Primideal von S, so ist φ−1(p) ein

Primideal von R.

Beweis. Wir bekommen durch φ einen Monomorphismus R/φ−1(p) → S/p. Der

Halbring R/φ−1(p) ist mit S/p nullteilerfrei. Ferner gilt (φ(φ−1(p))) ⊆ p 6= S und

daher nach Annahme φ−1(p) 6= R.

Die Bedingung (φ(R)) = S ist beispielsweise erfullt, wenn R und S kommu-

tative Ringe sind (wegen φ(1) = 1).

2.54 Beispiel. Die Aussage gilt nicht, wenn die Voraussetzung (φ(R)) = S nicht

gemacht wird. Zum Beispiel sei R = p Primideal von S und φ die Inklusions-

abbildung. Dann ist R = φ−1(p) kein Primideal. Speziell kann p selbst auch ein

Einselement besitzen: Man wahle zum Beispiel R = Q, S = Q × Q und φ die

Einbettung von Q in die erste Koordinate von Q×Q. Das Ideal Q × {0} ist ein

Primideal (sogar maximales Ideal) von Q × Q, aber φ−1(Q × {0}) = Q ist kein

Primideal von Q.

Homomorphe Bilder von Primidealen sind im allgemeinen keine Primideale

mehr.

2.12 Teilbarkeit in Ringen

Die gewohnte Teilbarkeitslehre von Z kann verallgemeinert werden. Man setzt

ublicherweise voraus, daß die zu betrachtenden Ringe kommutativ mit 1 6= 0 sind

und keine Nullteiler besitzen.

2.55 Definition. Sei R ein Integritatsring und a, b ∈ R.

Das Element a heißt Teiler von b, wenn es c ∈ R mit b = ca gibt. Entsprechend

sagt man, daß a das Element b teilt, oder daß b ein Vielfaches von a ist, in Zeichen

a | b.Das Element a heißt assoziiert zu b, wenn c ∈ R mit b = ca eine Einheit von

R ist, wenn also aquivalenterweise a | b und b | a gilt (in Zeichen a ∼ b).

Ein Element c ∈ R heißt großter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn fur

alle d ∈ R aus d | a und d | b bereits d | c folgt. Wir schreiben c = gcd(a, b), obwohl

c nur bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig bestimmt ist. Die Elemente

a, b heißen teilerfremd, wenn gcd(a, b) eine Einheit von R ist.

Ein Element c ∈ R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn

fur alle d ∈ R aus a | d und b | d bereits c | d folgt. Wir schreiben d = lcm(a, b),

obwohl c nur bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig bestimmt ist.

2.12. TEILBARKEIT IN RINGEN 67

Ein Element p ∈ R\R× mit p 6= 0 heißt Primelement von R, wenn aus p | (ab)fur alle a, b ∈ R bereits p | a oder p | b folgt.

Ein Element q ∈ R\R× mit q 6= 0 heißt irreduzibel, wenn aus q = ab fur alle

a, b ∈ R bereits a ∈ R× oder b ∈ R× folgt.

Ein Ideal heißt Hauptideal, wenn es von einem Element erzeugt werden kann.

Die Definition von Teiler und assozierten Elementen verwendet man so auch

fur nicht notwendigerweise nullteilerfreie, kommutative Ringe.

2.56 Beispiel. Die Definition stimmt mit den bekannten Definitionen fur Z ube-

rein. Primelemente und irreduzible Elemente in Z stimmen uberein.

2.57 Beispiel. Sei R = Z[√

2] = {a + b√

2 | a, b ∈ Z} als Teilring von R. Wegen

(1 +√

2)(1−√

2) = −1 ist ε = 1 +√

2 eine Einheit in R. Da εk fur k ∈ Z≥0 eine

streng monoton wachsende Folge in R definiert, gilt #R× =∞.

Man kann zeigen, daß in Z[√

2] die Menge der Primelemente mit der Menge

der irreduziblen Elemente ubereinstimmt.

2.58 Beispiel. Sei R = Z[√−5] = {a + b

√−5 | a, b ∈ Z} als Teilring von C.

Man kann zeigen, daß hier R× = {−1, 1} gilt und beispielsweise 21 = 3 · 7 =

(4+√−5)(4−

√−5) = (1+2

√−5)(1−2

√−5) eine Zerlegung von 21 in irreduzible,

aber nicht prime Elemente ist.

2.59 Lemma. Sei R ein Integritatsring.

(i) Es gilt 1 | a, a | 0 und a | a fur alle a ∈ R. Aus a | b und b | c folgt a |c fur alle

a, b, c ∈ R.

(ii) Es gilt a | 1 genau dann, wenn a ∈ R×. Es gilt a | b fur alle a ∈ R× und

b ∈ R.

(iii) Fur a | b gilt auch ax | bx fur alle x ∈ R. Fur a | xi gilt a | ∑i rixi fur alle

ri, xi ∈ R.

(iv) Es gilt a | b genau dann, wenn Ra ⊇ Rb fur alle a, b ∈ R. Es gilt a ∼ b

genau dann, wenn Ra = Rb ist.

(v) Sind ai ∈ R und c ∈ R mit Rc =∑

iRai, so gilt c = gcd(a1, . . . , an).

(vi) Sind ai ∈ R und c ∈ R mit Rc = ∩iRai, so gilt c = lcm(a1, . . . , an).

Beweis. Die meisten Punkte sind einfach und werden ausgelassen.

(v): Wegen ai ∈ Rc gilt c | ai fur alle i. Sei d ∈ R mit d | ai fur alle i. Dann

folgt Rd ⊇∑iRai = Rc, also d | c.(vi): Es gilt c ∈ Rai, also ai | c fur alle i. Sei d ∈ R mit ai | d fur alle i. Dann

gilt Rd ⊆ ∩iRai = Rc, also c | d.


2.60 Satz. Sei R Integritatsring und a ∈ R\R×, a 6= 0. Dann gilt:

(i) Das Element a ist genau dann Primelement von R, wenn Ra Primideal von

R ist.

(ii) Das Element a ist genau dann irreduzibel, wenn Ra maximal in der Menge

der von R verschiedenen Hauptideale ist.

(iii) Jedes Primelement ist irreduzibel.

(iv) Je zwei irreduzible Elemente sind entweder assoziiert oder teilerfremd.

Beweis. (i): Ergibt sich aus den Definitionen von Primideal und Primelement

sowie aus Lemma 2.59, (iv): Fur x, y ∈ R gilt die Aquivalenz x|y ⇔ y ∈ Rx. Damit

ist die Implikation p|ab ⇒ p|a ∨ p|b aquivalent zur Implikation ab ∈ Rp ⇒ a ∈Rp∨b ∈ Rp, und diese ist die definierende Implikation fur die Primidealeigenschaft

von Rp.

(ii): a ist genau dann irreduzibel, wenn fur alle b ∈ R\R× die Implikation

b|a ⇒ b ∼ a gilt. Diese Implikation ist aber aquivalent zu Rb ⊇ Ra⇒ Rb = Ra.

Die Menge der von R verschiedenenen Hauptideale ist gleich {Rb | b ∈ R\R×}.Zusammen ergibt sich (ii).

(iii): Sei p ∈ R Primelement und p = ab mit a, b ∈ R. Wegen p | ab folgt p | aoder p | b. Gilt beispielsweise a = cp mit c ∈ R, so folgt p = ab = cpb, und daraus

1 = cb durch Kurzen von p (p 6= 0 und R nullteilerfrei), also b ∈ R×. Analog fur

b = cp, und p ist also irreduzibel.

(iv): Seien a, b ∈ R irreduzibel und sei c = gcd(a, b). Dann gibt es e, d ∈ Rmit a = dc und b = ec. Da a irreduzibel ist, folgt c ∈ R× oder d ∈ R×. Im ersten

Fall sind a, b teilerfremd. Im zweiten Fall gilt b = ed−1a und wegen a 6∈ R× ergibt

sich ed−1 ∈ R×, da b irreduzibel ist. Folglich sind a und b assoziiert.

Im folgenden verstehen wir unter einem Produkt von Elementen eines Rings

(wie auch zuvor) immer ein Produkt von endlich vielen Elementen. Unendliche

Produkte von Elementen sind in der Algebra zunachst nicht definiert, hierfur

braucht man noch einen Konvergenzbegriff.

2.61 Definition. Ein Integritatsring R heißt faktorieller Ring (oder ZPE Ring),

wenn sich jedes a ∈ R, a 6= 0 bis auf Einheiten und die Reihenfolge der Fakto-

ren auf genau eine Weise als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben laßt

(englisch: Unique Factorisation Domain, UFD).

2.62 Beispiel. Der Ring Z ist ein faktorieller Ring. Es gilt zum Beispiel −6 =

2 · (−3) = (−1) ·2 ·3 mit den irreduziblen Elementen 2,−3, 3 und der Einheit −1.

2.12. TEILBARKEIT IN RINGEN 69

2.63 Satz. Sei R ein Integritatsring. Dann sind aquivalent:

(i) R ist faktorieller Ring.

(ii) Jedes a ∈ R, a 6= 0 ist Produkt irreduzibler Elemente, und jedes irreduzible

Element ist Primelement.

(iii) Jedes a ∈ R, a 6= 0 ist Produkt von Primelementen.

Beweis. (i)⇒ (ii): Sei q irreduzibel und a, b ∈ R mit q | (ab), also ab = cq fur ein

c ∈ R. Das Element q kommt daher wegen der Eindeutigkeit in der Faktorisie-

rung von ab in irreduzible Elemente vor. Diese setzt sich wegen der Eindeutigkeit

aus der Faktorisierung von a und von b in irreduzible Elemente zusammen. Also

kommt q in einer dieser Faktorisierungen vor, daher q | a oder q | b.(ii)⇒ (iii): Klar.

(iii) ⇒ (ii). Ist q irreduzibel, so besteht die Faktorisierung von q in Primele-

mente aus nur einem Element, namlich q selbst.

(ii)⇒ (i): Seien εq1 · · · qr = ε′q′1 · · · q′s zwei Faktorisierungen in Primelemente

qi, q′j und Einheiten ε, ε′ mit r ≤ s. Fur r = 0 muß auch s = 0 gelten, da Produkte

von Primelementen keine Einheiten sind. Fur r ≥ 1 gilt s ≥ 1 und q′s | qi fur ein i.

Da qi irreduzibel ist, ist q′s assoziiert zu qi. Vertauschen von qi und qr und Kurzen

von q′s liefert εq1 . . . qr−1 = ε′′q′1 · · · q′s−1 mit ε′′ ∈ R×. Per Induktion folgt die

Eindeutigkeitsaussage.

Sei P ⊆ R ein Vetretersystem der Aquivalenzklassen der Primelemente von

R unter Assoziation (zum Beispiel die Menge der Primzahlen anstelle der Menge

der Primelemente von Z).

Fur a ∈ R, a 6= 0 und p ∈ R bezeichnen wir mit vp(a) die Vielfachheit, mit

der p in der Faktorisierung von a in Primelemente aus P vorkommt. Es gilt also

a = ε∏

p∈P

pvp(a),

wobei fast alle vp(a) gleich Null sind und ε ∈ R× ist.

2.64 Korollar. Sei R ein Integritatsring und a1, . . . , an ∈ R.

1. Es gilt gcd(a1, . . . , an) =∏

p∈P pmin{vp(ai) | 1≤i≤n}.

2. Es gilt lcm(a1, . . . , an) =∏

p∈P pmax{vp(ai) | 1≤i≤n}.

3. Fur a, b ∈ R, a, b 6= 0 ist ab assoziiert zu gcd(a, b)lcm(a, b).

Beweis. Klar.


2.65 Satz. Sei R ein noetherscher Integritatsring. Dann laßt sich jedes Element

von R ungleich Null als Produkt von irreduziblen Elementen von R schreiben.

Beweis. Sei M = {Rx | x ∈ R\{0}, x laßt sich nicht als Produkt irreduzibler

Elemente schreiben}. Es ist zu zeigen, daß M leer ist. Falls M nicht leer ist, gibt

es nach Satz 2.35 ein maximales Ideal Ra in M . Dann ist a nicht irreduzibel, es

gibt also b, c ∈ R\R× mit a = bc. Wegen Rb ) Ra und Rc ) Ra gilt Rb,Rc 6∈Mund b und c lassen sich als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben. Damit

laßt sich auch a = bc als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben, im

Widerspruch zu Ra ∈M .

Ein direkterer Beweis geht wie folgt: Jedes a ∈ R\R× mit a 6= 0 besitzt

einen irreduziblen Teiler. Fur a irreduzibel ist nichts zu zeigen. Anderfalls gibt

einen Teiler b ∈ R\R× mit b 6= 0 und b 6∼ a beziehungsweise Rb ) Ra. Jeder

irreduzible Teiler von b ist auch ein irreduzibler Teiler von a. Induktiv erhalten

wir eine Kette von echten Teilern beziehungsweise eine Kette echt aufsteigender

Hauptideale, welche nach Voraussetzung nach endlich vielen Schritten abbricht.

Dann ist das letzte Element der Kette ein irreduzibler Teiler von a.

Sei a ∈ R\R× mit a 6= 0. Ist a irreduzibel, sind wir fertig. Andernfalls gibt

es einen irreduziblen Teiler q von a, so daß fur b ∈ R mit a = qb und b 6= 0

gilt b 6∈ R× und Rb ) Ra. Induktiv erhalten wir eine echt aufsteigende Kette,

die nach Voraussetzung nach endlichen vielen Schritten mit einem irreduziblen

Element q abbricht. Dann ist a das Produkt der gefundenen, irreduziblen q.

2.66 Definition. Ein Integritatsring R heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal

von R Hauptideal ist (englisch: Principal Ideal Domain, PID).

2.67 Beispiel. Der Ring Z ist Hauptidealring. Korper sind Hauptidealringe.

2.68 Satz. Sei R ein Hauptidealring. Dann gilt:

(i) R ist noethersch und faktoriell.

(ii) Sind ai ∈ R, so gibt es λi ∈ R mit gcd(a1, . . . , an) =∑

λiai.

Beweis. (i): Die erste Aussage ist klar, da jedes Ideal nur einen Erzeuger benotigt.

Fur die zweite Aussage zeigen wir zuerst, daß jedes irreduzible Element von R

ein Primelement von R ist: Sei a ∈ R\R×, a 6= 0 irreduzibel. Dann ist Ra 6= R

und maximal in der Menge der Hauptideale. Da jedes Ideal Hauptideal ist, ist

Ra also maximales Ideal von R, und somit Primideal. Nach Lemma 2.60, (i) ist

a ein Primelement. Die zweite Aussage folgt nun damit aus der ersten Aussage,

Satz 2.65 und Satz 2.63.

(ii): Folgt aus der Hauptidealeigenschaft und Lemma 2.59, (v).

2.13. LOKALE RINGE UND LOKALISIERUNG 71

Die Aussage (ii) des Satzes nennt man auch Satz von Bezout.

2.69 Definition. Ein Integritatshalbring R heißt euklidischer Ring, wenn es eine

Abbildung d : R\{0} → Z≥0 mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zu a, b ∈ R,

b 6= 0 gibt es h, r ∈ R mit a = hb+ r und r = 0 oder d(r) < d(b).

Die in der Definition verlangte Abbildung d heißt Gradfunktion. Die Zerlegung

a = hb+ r mit r = 0 oder d(r) < d(b) heißt Division mit Rest r.

2.70 Beispiel. Der Ring Z wird mit x 7→ |x| als Gradfunktion zum euklidischen

Ring.

2.71 Satz. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

Beweis. Sei I ein Ideal von R und a ∈ I, a 6= 0 ein Element mit d(a) =

min{d(b) | b ∈ I\{0}}. Sei b ∈ I. Division mit Rest liefert b = ha + r, also

r = b − ha ∈ I. Nach Wahl von a ist d(r) < d(a) nicht moglich, also gilt r = 0.

Es folgt I = Ra.

Fur I = R folgt speziell R = Rc mit einem c ∈ R. Es gibt e ∈ R mit

c = ec = ce, und zu jedem x ∈ R gibt es y ∈ R mit x = yc. Nun ist xe = (yc)e =

y(ce) = yc = x, also ist e Einselement (wegen R 6= 0 nach Voraussetzung gilt

e 6= 0).

Damit ist R ein Integritatsring, in dem jedes Ideal Haupideal ist.

In euklidischen Ringen konnen großte gemeinsame Teiler mit dem euklidischen

Algorithmus berechnet werden. Genauer liefert der euklidische Algorithmus an-

gewendet auf a, b ∈ R Elemente λ, µ ∈ R mit gcd(a, b) = λa+ µb.

2.13 Lokale Ringe und Lokalisierung

2.72 Definition. Sei R ein kommutativer Ring. Wenn R genau ein maximales

Ideal besitzt, dann heißt R lokaler Ring.

2.73 Satz. Ein kommutativer Ring R mit Einselement ist genau dann lokal, wenn

R\R× ein Ideal von R ist.

Fur einen lokalen Ring R ist R\R× das maximale Ideal von R.

Beweis.”⇒“: Bezeichne m das maximale Ideal von R und sei x ∈ R\R×. Dann

gilt R 6= Rx, da x keine Einheit ist. Da es ein maximales Ideal von R gibt, welches

Rx enthalt, folgt Rx ⊆ m, also x ∈ m und R\R× ⊆ m. Da m keine Einheiten

enthalten kann, gilt sogar R\R× = m.

”⇐“: Ist m = R\R× ein Ideal, so ist es aus dem eben genannten Grund

maximal und enthalt auch jedes weitere Ideal 6= R von R. Daher besitzt R nur

dieses eine maximale Ideal m.


Sei R 6= 0 ein kommutativer Halbring und U eine nicht-leere, multiplikativ

abgeschlossene Teilmenge vonR. Wir wollen eine”Bruchrechnung“ mit Elementen

aus R im Zahler und Elementen aus U im Nenner definieren. Dazu fuhren wir

auf der Menge R×U eine Aquivalenzrelation ∼ ein. Fur (r1, u1), (r2, u2) ∈ R×Ugelte (r1, u1) ∼ (r2, u2) genau dann, wenn es ein t ∈ U mit t(r1u2 − r2u1) = 0

gibt.

2.74 Lemma. Die Relation ∼ ist eine Aquivalenzrelation.

Beweis. Reflexivitat und Symmetrie sind unmittelbar einsichtig. Fur die Tran-

sitivitat muß etwas gerechnet werden. Es gelte (r1, u1) ∼ (r2, u2) und (r2, u2) ∼(r3, u3). Wir konnen also schreiben

t(r1u2 − r2u1) = 0,

s(r2u3 − r3u2) = 0

mit t, s ∈ U . Wir multiplizieren die erste Gleichung mit su3 und die zweite mit

tu1 und erhalten

st(r1u2u3 − r2u1u3) = 0

st(r2u1u3 − r3u1u2) = 0.

Addition dieser Gleichungen und Ausklammern von u2 liefert

stu2(r1u3 − r3u1) = 0

mit stu2 ∈ U .

Die Verwendung von t in der Definition von ∼ ist deswegen erforderlich, da

wir aus u2(r1u3 − r3u1) = 0 zum Schluß nicht ohne weiteres auf r1u3 − r3u1 = 0

schließen konnen. Enthalt U keine Nullteiler von R, so ware dies moglich.

Fur r ∈ R und u ∈ U schreiben wir die Aquivalenzklasse von (r, u) bezuglich ∼in der Form r/u. Um die Menge der Aquivalenzklassen R×U/∼= { r/u | (r, u) ∈R × U } zu einem Ring zu machen, definieren wir Addition und Multiplikation

vertreterweise wie in der Bruchrechnung.

r1/u1 + r2/u2 := (r1u2 + r2u1)/(u1u2)

r1/u1 · r2/u2 := (r1r2)/(u1u2),

fur alle (r1, u1), (r2, u2) ∈ R× U .

2.75 Definition. Wir bezeichen R[U−1] := (R×U/∼,+, ·) als die Lokalisierung

von R bezuglich U .


2.76 Satz. Sei R ein kommutativer Halbring und U eine nicht-leere, multiplikativ

abgeschlossene Teilmenge von R. Dann ist R[U−1] ein kommutativer Ring.

Beweis. Zur Wohldefiniertheit der oben definierten Operationen. Seien (r1, u1),

(r′1, u′1) ∈ R × U mit r1/u1 = r′1/u

′1, also tr1u

′1 = tr′1u1 fur ein t ∈ U . Es genugt

zu zeigen, daß (r′1u2 + r2u′1)/(u

′1u2) = (r1u2 + r2u1)/(u1u2) und (r′1r2)/(u

′1u2) =

(r1r2)/(u1u2) fur alle (r2, u2) ∈ R×U gilt. Dann sind die Definitionen unabhangig

von der Wahl der Vertreter auf der linken Seite, per Symmetrie dann auch auf

der rechten Seite, und zusammen dann auf der linken und rechten Seite simultan.

Fur die Addition ergibt sich

t(r1u2 + r2u1)(u′1u2) = tr1u2u

′1u2 + tr2u1u

′1u2

= tr′1u2u1u2 + tr2u1u′1u2

= t(r′1u2 + r2u′1)(u1u2)

und fur die Multiplikation ergibt sich

tr′1r2u1u2 = tr1r2u′1u2.

Dies sind genau die Bedingungen fur die Klassengleichheit und somit ist die Wohl-

definiertheit bewiesen.

Die Assoziativitat und Distributivitat von + und · lassen sich aufgrund der

Wohldefiniertheit direkt fur die Vertreter (r, u) verifizieren.

Es gilt offenbar (r1u)/(u1u) = (r1/u1) fur alle (r1, u1) ∈ R × U und u ∈ U .

Das Nullelement von R[U−1] ist 0/u fur beliebiges u ∈ U , denn 0/u + r1/u1 =

(r1u)/(u1u) = r1/u1. Das Einselement von R[U−1] ist u/u fur beliebiges u ∈ U ,

denn (u/u) · (r1/u1) = (r1u)/(u1u) = r1/u1.

Fur die Summe r1/u + r2/u mit gleichem Hauptnenner gilt r1/u + r2/u =

(r1u+ r2u)/u2 = ((r1 + r2)u)/(uu) = (r1 + r2)/u, wie gewohnt.

2.77 Definition. Wir definieren eine außere Verknupfung R×R[U−1]→ R[U−1]

durch r · (r1/u1) := (rr1)/u1.

Mit der Definition gilt zum Beispiel r ·1 = (ru)/u fur jedes u ∈ U . Gilt 1 ∈ U ,

so erhalten wir r · 1 = r/1.

Die folgenden Satze sind wieder fur Halbringe als auch Ringe richtig.

2.78 Satz. Sei R ein kommutativer (Halb)Ring. Die Abbildung

ιU : R→ R[U−1], r 7→ r · 1

ist ein (Halb)Ringhomomorphismus mit den folgenden Eigenschaften.


(i) ιU (U) ⊆ R[U−1]× und ιU(R)R[U−1] = R[U−1].

(ii) ker(ιU ) = {r ∈ R | ur = 0 fur ein u ∈ U}.

(iii) Fur r ∈ R und u ∈ U gilt r/u = ιU (r)ιU(u)−1.

Beweis. Sei u ∈ U . Fur die Additivitat beachten wir mit obiger Bemerkung uber

den Hauptnenner ιU (r1 + r2) = ((r1 + r2)u)/u = (r1u + r2u)/u = (r1u)/u +

(r2u)/u = ιU(r1) + ιU (r2) fur alle r1, r2 ∈ R. Fur die Multiplikativitat beachten

wir ιU(r1r2) = (r1r2u)/u = (r1ur2u)/(u2) = (r1u)/u · (r2u)/u = ιU(r1)ιU(r2) fur

alle r1, r2 ∈ R. Besitzt R ein Einselement, so gilt ferner ιU (1) = (1u)/u = u/u = 1.

(i): Die Elemente u1/u2 fur u1, u2 ∈ U besitzen offenbar die Inversen u2/u1 und

sind daher Einheiten in R[U−1]. Da U nicht-leer st, enthalt das Ideal ιU(R)R[U−1]

Einheiten, es gilt also ιU (R)R[U−1] = R[U−1].

(ii): Sei r ∈ ker(ιU ). Dann gibt es u′ ∈ U mit ru′/u′ = 0. Also gibt es ein

u′′ ∈ U mit ru′/u′ = 0/u′′. Schließlich gibt es ein t ∈ U mit tu′u′′r = 0tu′ = 0 in

R. Wegen u = tu′u′′ ∈ U gilt also ur = 0. Gelte umgekehrt ur = 0 fur ein u ∈ U .

Mit ιU (ur) = ιU (u)ιU(r) = 0 und ιU(u) ∈ R[U−1]× nach (i) folgt ιU (r) = 0, also

r ∈ ker(ιU).

(iii): Es gilt ιU(r) = ru′/u′ und ιU (u) = uu′′/u′′ fur u′, u′′ ∈ U . Dann folgt

ιU (r)ιU(u)−1 = (ru′u′′)/(uu′u′′) = r/u.

Aus Aussage (i) oder (ii) folgt, daß R[U−1] = {0} fur 0 ∈ U gilt. In einem

Integritatsring R gilt ker(ιU ) = 0 falls 0 6∈ U , und ιU : R → R[U−1] ist ein

Monomorphismus.

Wir kommen jetzt zur universellen Eigenschaft der Lokalisierung. Eine uni-

verselle Eigenschaft ist informell folgendes. Mit Hilfe von Strukturabbildungen

formalisiert man die wesentlichen Eigenschaften einer Konstruktion, wie zum Bei-

spiel beim direkten Produkt (Projektionen), der direkten Summe (Injektionen)

oder auch des Faktorrings (kanonischer Epimorphismus). Dann stellt man noch

eine Minimalitatsforderung (die Universalitat) an die Konstruktion.

Die wesentliche Eigenschaft der Lokalisierung ist die folgende. Seien R ein kom-

mutativer (Halb)Ring und U ⊆ R eine nicht-leere, multiplikativ abgeschlossene

Menge. Sei ι : R → S ein Homomorphismus. Wir nennen S eine schwache Lo-

kalisierung von R bezuglich U mit Strukturhomomorphismus ι, wenn ι(U) ⊆ S×

gilt (diese Terminologie ist nicht Standard und wir verwenden sie nur in diesem

Abschnitt). Wir nennen S eine Lokalisierung von R bezuglich U mit Struktur-

homomorphismus ι, wenn die folgende universelle Bedingung erfullt ist: Fur jede

weitere schwache Lokalisierung T von R bezuglich U mit Strukturhomomorphis-

mus φ gibt es genau einen Homomorphismus ψ : S → T mit φ = ψ ◦ ι.


2.79 Satz. Der Ring R[U−1] ist eine Lokalisierung von R mit Strukturhomo-

morphismus ιU . Lokalisierungen S von R bezuglich U sind bis auf Isomorphie

eindeutig bestimmt.

Beweis. Zunachst gilt wie erforderlich ιU(U) ⊆ R[U−1]×, so daß R[U−1] eine

schwache Lokalisierung von R bezuglich U mit Strukturhomomorphismus ιU ist.

Sei φ : R → T mit φ(U) ⊆ T×. Wir definieren ψ : R[U−1] → T durch

r/u 7→ φ(r)φ(u)−1. Aufgrund der Homomorphieeigenschaft von φ ist ψ zunachst

wohldefiniert: Fur r/u = r′/u′ gibt es t ∈ U mit tru′ = tr′u. Daraus folgt durch

Anwendung von φ die Gleichung φ(t)φ(r)φ(u′) = φ(t)φ(r′)φ(u) und wegen φ(t) ∈S× bereits φ(r)φ(u′) = φ(r′)φ(u). Da φ(u), φ(u′) ∈ S× ergibt sich φ(r)φ(u)−1 =

φ(r′)φ(u′)−1.

Multiplikativitat und Additivitat folgen direkt aus den Rechenregeln inR[U−1],

die gerade so gemacht sind.

Wegen ψ(ιU(r)) = ψ((ru)/u) = φ(ru)φ(u)−1 = φ(r) fur u ∈ U und wegen

ψ(1) = ψ(u/u) = φ(u)φ(u)−1 = 1 ist ψ ein Homomorphismus mit ψ ◦ ιU = φ.

Sei ψ′ ein anderer Homomorphismus mit ψ′ ◦ ιU = φ, und sei r/u ∈ R[U−1]

beliebig. Dann gilt r/u = ιU(r)ιU(u)−1, und damit ψ′(r/u) = ψ′(ιU(r)ιU(u)−1) =

ψ′(ιU(r))ψ′(ιU(u))−1 = φ(r)φ(u)−1. Daher gilt ψ′ = ψ und ψ ist eindeutig be-

stimmt.

Zur zweiten Aussage. Sei S eine Lokalisierung von R bezuglich U mit Struk-

turhomomorphismus ι. Nach der ersten Aussage ist R[U−1] ebenfalls eine solche

Lokalisierung, mit Strukturhomomorphismus ιU .

Wenn wir die universelle Eigenschaft von S auf R[U−1] anwenden, erhalten wir

den Homomorphismus ψ1 : S → R[U−1] mit ιU = ψ1 ◦ ι. Wenn wir die universelle

Eigenschaft von R[U−1] auf S anwenden, erhalten wir den Homomorphismus ψ2 :

R[U−1]→ S mit ι = ψ2 ◦ ιU . Damit folgt ι = ψ2 ◦ ψ1 ◦ ι und ιU = ψ1 ◦ ψ2 ◦ ιU .

Wenn wir die universelle Eigenschaft von S auf S anwenden, erhalten wir

den Homomorphismus idS : S → S mit ι = idS ◦ ι. Wenn wir die universelle

Eigenschaft von R[U−1] auf R[U−1] anwenden, erhalten wir den Homomorphismus

idR[U−1] : R[U−1]→ R[U−1] mit ιU = idR[U−1] ◦ ιU .

Aufgrund der obigen Gleichungen fur ι = ψ2 ◦ψ1 ◦ ι und ιU = ψ1 ◦ψ2 ◦ ιU folgt

wegen der Eindeutigkeitsaussage in der universellen Eigenschaft ψ2 ◦ ψ1 = idSund ψ1 ◦ ψ2 = idR[U−1].

Man kann die Lokalisierungen R[U−1] bis auf Isomorphie also auch durch eine

universelle Eigenschaft definieren. Fur die Existenz ist aber noch das Konstruk-

tionsverfahren anzugeben.

Der nachfolgende Satz gibt Rechenregeln fur Lokalisierungen an, ahnlich dem

zweiten Isomorphiesatz fur Faktorringe. Insbesondere liefern mehrfache Lokalisie-

rungen mit dem”gleichen“ U nichts Neues.


2.80 Satz. Sei R kommutativer (Halb)Ring.

(i) Ist U ⊆ R× eine nicht-leere, multiplikativ abgeschlossene Teilmenge, so gilt

R[U−1] ∼= R.

(ii) Sind U ⊆ V ⊆ R nicht-leere, multiplikativ abgeschlossene Teilmengen, so

gilt R[V −1] ∼= R[U−1][ιU (V )−1].

(iii) Ist U ⊆ R eine nicht-leere, multiplikativ abgeschlossene Teilmenge, so gilt

R[U−1] ∼= ιU (R)[ιU(U)−1].

Beweis. Aufgabe. Folgt leicht aus der universellen Eigenschaft.

Ist R ein kommutativer Ring, U eine nicht-leere Teilmenge mit 1 6∈ U und V =

U ∪ {1}, so gilt wegen ιU (1) = 1 nach Aussage (ii) trotzdem R[U−1] = R[V −1].

Daher setzen wir fur den Fall, daß R ein Einselement hat, ublicherweise 1 ∈ Uvoraus.

Man wendet Lokalisierung an, wenn man einen Ring”vereinfachen“ mochte.

Die guten Eigenschaften von R ubertragen sich auf R[U−1], und weitere konnen

hinzukommen.

Wir vergleichen die Idealtheorie in R und R[U−1] fur einen kommutativen

Ring R und eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge U von R mit 1 ∈ U . Die

Idealtheorie in R[U−1] stellt sich dabei als Vereinfachung der Idealtheorie in R

heraus. Seien I(R) und I(R[U−1]) die Mengen der Ideale von R beziehungsweise

R[U−1]. Im folgenden schreiben wir zur Vereinfachung der Notation ι fur ιU . Wir

betrachten die ublichen Abbildungen

ι∗ : I(R)→ I(R[U−1]), I 7→ ι(I)R[U−1],

ι∗ : I(R[U−1])→ I(R), J 7→ ι−1(J).

Sei I ein Ideal von R. Sei I = {r ∈ R | ∃u ∈ U mit ur ∈ I}. Man pruft leicht

nach, daß I ein Ideal von R mit I ⊇ I ist und daß ¯I = I gilt. Wir nennen I (nur

hier) den Abschluß von I bezuglich U . Gilt I = I, so nennen wir I bezuglich U

abgeschlossen. Bei der Berechnung von I muß man also aus den Elementen von

I soweit moglich alle Elemente von U herausdividieren, um das abgeschlossene

Ideal I aus I zu erhalten.

Im folgenden sei sei IU die Menge der abgeschlossenen Ideale von R und

πI : R→ R/I der kanonische Epimorphismus.

2.81 Satz. Mit den eingefuhrten Bezeichnungen gelten

(i) ι∗(ι∗(J)) = J und ι∗(ι∗(I)) = I fur alle J ∈ I(R[U−1]) und alle I ∈ I(R).


(ii) Es gilt im(ι∗) = IU , so daß ι∗ und ι∗ zueinander inverse, inklusionserhal-

tende Bijektionen der Mengen IU und I(R[U−1]) liefern.

(iii) Fur I ∈ I(R) gilt (R/I)[πI(U)−1] ∼= R[U−1]/ι∗(I).

(iv) ι∗ erhalt Inklusionen, Summen, Schnitte, Produkte und Radikale etc. Das-

selbe gilt fur ι∗ eingeschrankt auf IU .

Beweis. (i): Fur J ∈ I(R[U−1]) gilt allgemein ι∗(ι∗(J)) = ι(ι−1(J))R[U−1] ⊆ J .

Fur r/u ∈ J ist aber auch r/1 ∈ J nach Multiplikation mit u/1 ∈ R[U−1], und

damit r ∈ ι−1(r/1). Daher r/1 ∈ ι(ι−1(J)) und r/u ∈ ι(ι−1(J))R[U−1] nach Mul-

tiplikation mit 1/u ∈ R[U−1]. Wir haben damit ι∗(ι∗(J)) = ι(ι−1(J))R[U−1] = J

gezeigt.

Fur I ∈ I(R) gilt ι∗(ι∗(I)) = ι−1(ι(I)R[U−1]) = {r ∈ R | ∃u ∈ U mit ur ∈I} = I. Zum Beweis der zweiten Gleichung beachten wir zuerst ι(I)R[U−1] =

{x/u′ | x ∈ I, u′ ∈ U}, wie man leicht sieht. Weiter gilt r ∈ ι−1(ι(I)R[U−1]) fur

r ∈ R genau dann, wenn ι(r) = r/1 ∈ ι(I)R[U−1] = {x/u′ | x ∈ I, u′ ∈ U} ist,

wenn also r/1 = x/u′ fur ein x ∈ I und u′ ∈ U gilt. Dies ist aber aquivalent dazu,

daß es u ∈ U mit ur ∈ I gibt.

(ii): Fur J ∈ I(R[U−1]) gilt nach Aussage (i) nun ι∗(J) = ι∗(ι∗(ι∗(J))) =

ι∗(J), also im(ι∗) ⊆ IU . Fur I ∈ IU gilt nach Aussage (i) aber auch I = I =

ι∗(ι∗(I)), also I ∈ im(ι∗) und somit im(ι∗) = I(R[U−1]). Daher sind ι∗ und ι∗

nach Aussage (i) zueinander inverse Bijektionen der Mengen IU und I(R[U−1]).

(iii): Wir betrachten S = (R/I)[πI(U)−1] und φ = ιπI(U) ◦ πI : R→ S. Wegen

φ(U) ⊆ S× gibt es ψ : R[U−1]→ S nach Satz 2.79 mit ψ(r/u) = (r + I)/(u+ I).

Dies zeigt, daß ψ surjektiv ist. Die Inklusion ker(ψ) ⊇ ι∗(I) ist wegen ι∗(I) =

{x/u | x ∈ I, u ∈ U} klar. Sei nun r/u ∈ R[U−1] mit ψ(r/u) = 0. Dann gibt

es u′ ∈ U mit (u′ + I)(r + I) = 0 + I beziehungsweise mit u′r ∈ I (nach dem

Kriterium, wann Elemente in einer Lokalisierung Null sind). Also gilt r ∈ I und

r/u ∈ ι∗(I) = ι∗(I) nach Aussage (i). Dies zeigt ker(ψ) = ι∗(I).

(iv): Die Aussagen fur ι∗ gelten allgemein, wenn ι nur irgendein Homomorphis-

mus von Ringen ist. Wegen der Bijektivitat von ι∗ und ι∗ auf IU und I(R[U−1])

folgen die Aussagen hier dann auch fur ι∗ (vergleiche Satz 2.7). Zusatz zum Ra-

dikal: Es gilt zunachst ebenfalls ganz allgemein ι∗(Rad(J)) = Rad(ι∗(J)) fur alle

J ∈ I(R[U−1]), siehe Lemma 2.19. Mit I = ι∗(J), J = ι∗(I) und durch Anwenden

von ι∗ ergibt sich Rad(ι∗(I)) = ι∗(Rad(I)) fur alle I ∈ I(R).

Wenn die Definitionen etwas modifiziert werden, kann Aussage (iii) auch in der

hubschen Form (R/I)[U−1] ∼= R[U−1]/I[U−1] geschrieben werden. Die Merkregel

ist: Lokalisierung und Faktorisierung kommutieren!


Sei I = ker(ι). Dann konnen wir den Strukturhomomorphismus ι : R →R[U−1] nach dem Homomorphiesatz in πI : R → R/I und einen Monomor-

phismus φ : R/I → R[U−1] faktorisieren. Hierbei ist R[U−1] eine schwache

Lokalisierung von R/I bezuglich πI(U) mit Strukturhomomorphismus φ. Wei-

ter gilt I = ι∗(ι∗({0})) = {0} und ι∗(I) = ι∗({0}) = {0}. Nach (iii) folgt

(R/I)[πI(U)−1] ∼= R[U−1]/ι∗(I) ∼= R[U−1]. Dies zeigt, daß R[U−1] auch eine Lo-

kalisierung von R/I bezuglich πI(U) mit injektivem Strukturhomomorphismus φ

ist. Eine Lokalisierung mit beliebigem Strukturhomomorphismus kann also im-

mer als eine Faktorisierung und eine anschließende Lokalisierung mit injektivem

Strukturhomomorphismus aufgefaßt werden.

2.82 Satz. Sei R kommutativer Ring und U eine multiplikativ abgeschlosse-

ne Teilmenge von R mit 1 ∈ U und 0 6∈ U . Dann ubertragen sich die Ei-

genschaften Ring, Integritatsring, einfach, noethersch, faktoriell, Hauptidealring

und euklidisch auf R[U−1]. Die Nullteiler von R[U−1] sind genau die Bilder der

Nullteiler von R, bis auf Multiplikation mit Einheiten. Es gilt Rad(R[U−1]) =

Rad(R)R[U−1].

Beweis. Aufgabe, nachrechnen und die Abbildungen ι, ι∗ und ι∗ verwenden. Gilt

zum Beispiel R[U−1] = 0, so folgt 1 ∈ ker(ιU), also gibt es u ∈ U mit u1 = 0,

das heißt 0 ∈ U . Fur 0 6∈ U folgt also R[U−1] 6= 0. Die Primelemente von R[U−1]

werden fur R faktoriell durch Primelemente π von R mit π ∤ u fur alle u ∈U gegeben. Die euklidische Gradfunktion δU auf R[U−1] wird durch δU(r/u) =

min{δ(x) | x ∈ (r)} gegeben.

Ist (a/r)(b/s) = 0 mit a/r 6= 0 und b/s 6= 0, so gibt es ein t ∈ U mit tab = 0

und es gilt ta 6= 0 wegen a/r 6= 0 und tb 6= 0 wegen b/s 6= 0. Also sind a und b

Nullteiler in R.

2.83 Korollar. Unter der Voraussetzung 0 6∈ U (und mit den Bezeichnungen von

Satz 2.81 gilt):

(i) Ein Primideal p von R ist genau dann abgeschlossen, wenn p ∩ U = ∅ gilt.

(ii) Die Abbildungen ι∗ und ι∗ bilden die Menge der abgeschlossenen Primideale

von R und die Menge der Primideale von R[U−1] bijektiv aufeinander ab.

(iii) Nicht abgeschlossene Primideale werden durch ι∗ auf das triviale Ideal von

R[U−1] abgebildet.

(iv) Abgeschlossene maximale Ideale von R werden durch ι∗ auf maximale Ideale

von R[U−1] abgebildet.


Beweis. (i): Gilt p∩U = ∅, so folgt aus ur ∈ p fur u ∈ U und r ∈ R wegen u 6∈ p

bereits r ∈ p, also p = p. Gilt p ∩ U 6= ∅, so gibt es u ∈ p ∩ U und es gilt ur ∈ p

fur alle r ∈ R, also p = R 6= p.

(ii): Die Abbildung ι∗ bildet Primideale auf abgeschlossene Primideale ab,

nach Satz 2.53 und Satz 2.81, (ii). Sei p ein abgeschlossenes Primideal von R. Nach

(i) gilt p∩U = ∅. Betrachte R[U−1]/ι∗(p). Nach Satz 2.81, (iii) giltR[U−1]/ι∗(p) ∼=(R/p)[πp(U)−1]. Da p ein Primideal ist, ist (R/p)[πp(U)−1] mit R/p wegen 0 6∈πp(U) wegen p∩U = ∅ nach Satz 2.82 ein Integritatsring. Dann ist auch ι∗(p) ein

Primideal.

(iii): Ist p nicht abgeschlossen, so gilt p∩U 6= ∅ nach (i). Fur u ∈ p∩U folgt

u/1 ∈ ι∗(p), also enthalt ι∗(p) eine Einheit ist ist daher gleich R[U−1].

(iv): Sei m ein abgeschlossenes maximales Ideal von R. Da m ein Primideal

ist, ist auch ι∗(m) nach (ii) ein Primideal von R. Weiter ist (R/m)[πm(U)−1] mit

R/m wegen 0 6∈ πm(U) nach Satz 2.82 ein Korper. Wie in (ii) schließen wir, daß

R[U−1]/ι∗(m) ein Korper und ι∗(m) damit ein maximales Ideal ist.

2.84 Beispiel. Sei R = Z, R[U−1] = Z[1/2] und I = nZ[1/2] mit n ∈ Z≥1. Wir

zerlegen n = 2vn1 mit n1 ungerade. Dann gilt I = n1Z[1/2], da 1/2 eine Einheit

in Z[1/2] ist. Unter Verwendung von ι∗ fur die Ideale von Z[1/2] und Z wie oben

sieht man ebenfalls ι∗(nZ[1/2]) = n1Z nach Aussage (i). Nach Aussage (ii) und

Aussage (iii) ergibt sich dann beispielsweise Z[1/2]/nZ[1/2] ∼= Z/n1Z.

Zusammenfassend schließlich ein paar typische Situationen.

2.85 Definition. Sei R ein kommutativer Ring. Fur ein Primideal p ist U = R\pnicht-leer und multiplikativ abgeschlossen. Der Ring R[U−1] wird Lokalisierung

von R an p genannt und mit Rp bezeichnet.

2.86 Satz. Sei R ein kommutativer Ring. Fur ein Primideal p von R ist Rp ein

lokaler Ring mit maximalem Ideal pRp.

Ist R ein Integritatsring, so ist das Nullideal {0} ein Primideal von R und

R{0} ein Korper.

Beweis. Wegen 1 6∈ pRp ist pRp ein echtes Ideal von R. Sei x/y ∈ Rp\pRp. Dann

gilt x ∈ R\p = U und somit y/x ∈ Rp nach Definition von Rp. Folglich x/y ∈ R×p ,

so daß nach Satz 2.73 der Ring Rp lokal mit maximalem Ideal pRp ist.

Der Ring Rp ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal {0}. Also gilt R×p =

Rp\{0} und Rp ist damit nach Satz 2.73 ein Korper.

2.87 Definition. Sei R ein kommutativer Ring und U die multiplikativ abge-

schlossene Menge aller Elemente von R, die keine Nullteiler sind. Der Ring R[U−1]

heißt voller Quotientenring von R und wird mit Quot(R) bezeichnet.


Fur einen Integritatsring R ist Quot(R) ein Korper und wird Quotientenkorper

von R genannt.

Der Homomorphismus ιU : R → Quot(R) mit U wie in der Definition ist

injektiv. Daher konnen wir R als einen Teilring von Quot(R) auffassen. Fur einen

Integritatsring R gilt Quot(R) = R{0}.

2.88 Beispiel. Sei R = Z. Der Quotientenkorper von Z ist Q. Fur eine Primzahl

p und das Primideal p = pZ gilt Rp = {x/y | x, y ∈ Z und p ∤ y}. Das maximale

Ideal ist pRp = {x/y | x, y ∈ Z und p ∤ y, p | x}.Ein weiteres Beispiel ist Z[1/3] = {x/3i | i ∈ Z≥0, x ∈ Z} oder Z[1/2, 1/3] =

{x/(2i3j) | i, j ∈ Z≥0, x ∈ Z}. In beiden Ringen ist 3 eine Einheit mit unendlicher

Ordnung. In Z[1/2, 1/3] sind die Einheiten 2 und 3 sogar unabhangig, das heißt

2i3j = 1 geht nur fur i = 0 und j = 0.

2.89 Beispiel. SeiR = Z/3Z×Z/5Z und U = 〈(1, 0)〉. UmR[U−1] zu bestimmen,

berechnen wir zuerst das Bild von R in R[U−1] unter ιU . Es gilt ker(ιU) = {r ∈R | ur = 0 fur ein u ∈ U} = {0} × Z/5Z. Also ist ιU (R) ∼= R/ ker(ιU ) ∼= Z/3Z.

Da ιU(U) ⊆ ιU(R)× gilt hier bereits R[U−1] = ιU (R). Fur R = Z × Z/5Z und

U = 〈3, 0〉 ergabe sich beispielsweise R[U−1] ∼= Z[1/3].

2.90 Beispiel. Enthalt U ein nilpotentes Element, so folgt 0 ∈ U und es gilt

R[U−1] = 0.

2.91 Bemerkung. Fur U = ∅ definieren wir noch R[U−1] = R. Alle Satze dieses

Abschnitts gelten dann trivialerweise, wenn R ein kommutativer Ring ist (aber

nicht alle gelten, wenn R nur ein kommutativer Halbring ist).

2.92 Bemerkung. Die meisten Aussagen dieses Abschnitts konnen fur nicht

kommutative Ringe R geeignet verallgemeinert werden, wenn man U stets aus

dem Zentrum Z(R) = {x ∈ R | xy = yx fur alle y ∈ R} von R wahlt, wenn also

die Elemente aus U mit allen Elementen von R kommutieren.

Kapitel 3

Polynomringe

Wir betrachten in diesem Kapitel kommutative Ringe R (mit Einselement) und

die zugehorigen Polynomringe R[t]. Eine Ubersicht uber die behandelten bezie-

hungsweise zu behandelnden Ringeigenschaften und Beziehungen wird in der fol-

genden Abbildung gegeben.

R Korper

R euklidisch

R Hauptidealring

R noethersch

R Integritatsring

R Dedekindring

R[t] euklidisch

R[t] Hauptidealring

R[t] Integritatsring

R[t] noetherschBasissatz von Hilbert

R faktoriell R[t] faktoriellSatz v. Gauß

Die vertikalen Implikationen wurden im wesentlichen schon bewiesen. Wir

beschaftigen uns jetzt speziell mit den horizontalen Implikationen.

3.1 Univariate Polynomringe

3.1 Definition. Seien R, S kommutative Ringe und φ : R → S ein Homomor-

phismus. Wir definieren außere Verknupfungen · : R×S → S durch r ·x = φ(r)x

sowie + : R × S → S durch r + x = φ(r) + x und + : S × R → S durch

x + r = x + φ(r), und nennen S mit diesen außeren Verknupfungen die durch φ

definierte R-Algebra. Als Schreibweise verwenden wir wie ublich rx = r · x.

81

82 KAPITEL 3. POLYNOMRINGE

Sind S und T R-Algebren bezuglich der Homomorphismen φ : R → S und

ψ : R → T , so verstehen wir unter einem R-Algebrahomomorphismus einen

Ringhomomorphismus f : S → T mit f ◦ φ = ψ. Analog werden R-Algebra

Mono-, Epi-, Iso-, Endo- und Automorphismen definiert.

Eine zu f ◦ φ = ψ aquivalente Bedingung ist die R-Linearitat von f , f(rx) =

rf(x) fur alle r ∈ R und x ∈ S: Es gilt φ(r) = r · 1S, ψ(r) = r · 1T und

f(φ(r)) = f(r · 1S) = rf(1S) = r · 1T = ψ(r) und umgekehrt f(rx) = f(φ(r)x) =

f(φ(r))f(x) = ψ(r)f(x) = rf(x).

Die Homomorphieeigenschaft von φ impliziert die ublichen bzw. erwarteten

Assoziativitats- und Distributivitatseigenschaften von ·, die zur Grundlage einer

allgemeineren Definition von R-Algebra gemacht werden konnen. In unserem spe-

ziellen Fall stimmen die Definition aber uberein.

Bei den lokalen Ringen haben wir R[U−1] in ahnlicher Weise als R-Algebra

aufgefaßt.

Nun zur Definition des (univariaten) Polynomrings. Sei R ein kommutativer

Ring. Wir setzen

R[t] = {f | f : Z≥0 → R mit f(i) = 0 fur fast alle i ∈ Z≥0}.

Fur f, g ∈ R[t] definieren wir f + g ∈ R[t] durch

(f + g)(i) = f(i) + g(i)

und f · g ∈ R[t] durch

(f · g)(i) =∑

ν+µ=i

f(ν)g(µ),

wobei ν, µ uber alle Zahlen in Z≥0 laufen. Man sieht leicht, daß R[t] mit den

inneren Verknupfungen + und · ein Ring ist. Das Nullelement von R[t] wird

durch die Funktion gegeben, welche jedes i auf 0 abbildet. Das Einselement von

R[t] wird durch die Funktion gegeben, welche i = 0 auf das Einselement 1 von R

und i 6= 0 auf 0 abbildet. Mit t bezeichnen wir die Funktion, die i = 1 auf 1 und

i 6= 1 auf 0 abbildet.

Wir erhalten auch einen Monomorphismus φ : R → R[t], r 7→ hr mit hr(i) =

rδ0,i (Kronecker-Delta). Damit kann R als Teilring von R[t] aufgefaßt werden und

R[t] wird zu einer R-Algebra. Es gilt φ(1) = 1.

3.2 Definition. Sei R kommutativer Ring. Die eben definierte R-Algebra R[t]

zusammen mit dem Element t heißt Polynomring in der Variablen t uber R. Die

Elemente von R[t] heißen Polynome in der Variablen t uber R.

3.1. UNIVARIATE POLYNOMRINGE 83

Zur Veranschaulichung ist es besser, die Elemente von R[t] mittels t auszu-

drucken. Man sieht aufgrund der Definitionen sofort, daß fur f ∈ R[t] folgendes

gilt: f =∑n

i=0 aiti =

∑ni=0 φ(ai)t

i mit ai = f(i) ∈ R und n ∈ Z≥0, so daß f(j) = 0

fur alle j > n. Zwischen ai und ti steht hier die außere Multiplikation. Die obigen

Verknupfungen sind gerade so gemacht, daß sich die erwarteten Rechenregeln fur

Polynome ergeben.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn alle vor den ti auftretenden

Koeffzienten gleich sind. Speziell soll hier hervorgehoben werden, daß Polynome

nicht als Funktionen aufgefaßt werden, wie vielleicht aus der Analysis gewohnt. Ist

k der endliche Korper mit zwei Elementen, so liefern t 7→ 1 und t 7→ t2 + t+1 die

gleichen Funktionen k → k, die Polynome 1 und t2 + t+ 1 sind aber verschiedene

Elemente von k[t].

Wir definieren noch ein paar grundlegene Begriffe im Zusammenhang mit Po-

lynomringen und Polynomen. Die Polynome ti heißen Monome. Die Polynome ati

heißen Terme. Sei f ∈ R[t] mit f =∑n

i=0 aiti. Die ai heißen die Koeffizienten von

f . Der Grad von f ist deg(f) = max{i | 0 ≤ i ≤ n und ai 6= 0}. Es gilt insbeson-

dere deg(0) = −∞ fur 0 ∈ R[t]. Fur deg(f) ≥ 0 heißt adeg(f) Leitkoeffizient von

f . Der Term adeg(f)tdeg(f) heißt fuhrender Term von f . Der Koeffizient a0 heißt

Absolutkoeffizient. Das Polynom f heißt normiert, wenn der Leitkoeffizient gleich

1 ist. Gilt deg(f) ≤ 0, so heißt das Polynom konstant. Gilt deg(f) = 1, so heißt

das Polynom linear (weiter quadratisch, kubisch, quartisch, quintisch, sextisch,

septisch, oktisch, nonisch etc.).

Sind f, g ∈ R[t] so gilt deg(f + g) ≤ max{deg(f), deg(g)} und deg(fg) ≤deg(f)+deg(g) unter Nachverfolgen der fuhrenden Terme und unter Verwendung

von”sinnvollen“ Rechenregeln fur −∞. Die zweite Ungleichung wird hier zur

Gleichung, wenn R nullteilerfrei ist.

3.3 Satz. Sei R ein kommutativer Ring. Der Polynomring R[t] ist genau dann

nullteilerfrei, wenn R nullteilerfrei ist. In diesem Fall gilt R[t]× = R×.

Beweis. Ist R[t] nullteilerfrei, so ist auch R als Teilring nullteilerfrei. Sind umge-

kehrt f, g ∈ R[t]\{0} mit deg(f) ≥ 1, so gilt deg(fg) = deg(f) + deg(g) ≥ 1, also

fg 6= 0, also ist R[t] mit R nullteilerfrei.

Gilt fg = 1, so folgt deg(f) + deg(g) = 0. Wegen deg(f) ≥ 0 und deg(g) ≥ 0

gilt deg(f) = deg(g) = 0, also f, g ∈ R.

Als Zusatz zur Aussage des Satzes bemerken wir, daß ein Polynom f 6= 0,

dessen Leitkoeffizient kein Nullteiler ist, ebenfalls kein Nullteiler in R[t] ist, denn

es gilt deg(fg) = deg(f) + deg(g) fur alle g ∈ R[t].

In (Z/4Z)[t] gilt (2t+ 1)2 = 1, also 2t+ 1 ∈ (Z/4Z)[t]× als Gegenbeispiel zur

zweiten Aussage von Satz 3.3, falls R nicht nullteilerfrei ist.


Sei S eine R-Algebra. Sei f =∑

i aiti ∈ R[t] fest gewahlt. Fur x ∈ S definieren

wir f(x) =∑

i aixi und erhalten die Polynomfunktion S → S, x 7→ f(x). Wir

sprechen von der Auswertung von f an x. Fur S = R[t] und x = t gilt f(t) = f .

Sei nun x ∈ S fest gewahlt. Dann erhalten wir einen R-Algebrahomomorphis-

mus φx : R[t] → S durch φx(f) = f(x) =∑

i aixi, wo f =

∑

i aiti ∈ R[t] mit

ai ∈ R ist. Dieser R-Algebrahomomorphismus wird als Einsetzhomomorphismus

bezeichnet.

Sei S eine R-Algebra und x ∈ S. Wir nennen S einen Polynomring uber R in

der Variablen x, wenn S die folgende universelle Eigenschaft besitzt: Fur jede R-

Algebra T und jedes Element y ∈ T gibt es genau einen R-Algebrahomomorphis-

mus ψ : S → T mit ψ(x) = y.

3.4 Satz. Die R-Algebra R[t] ist ein Polynomring uber R in der Variablen t.

Je zwei Polynomringe uber R sind isomorph.

Beweis. Die R-Algebra R[t] zusammen mit t ∈ R[t] erfullt die universelle Ei-

genschaft: Der Einsetzhomomorphismus φy : R[t] → T , f 7→ f(y) liefert ge-

rade den gesuchten R-Algebrahomomorphismus ψ : R[t] → T . Aufgrund der R-

Algebrahomomorphieeigenschaft ist auch klar, daß ψ durch die Vorgabe von t 7→ y

eindeutig bestimmt wird, denn es gilt notwendigerweise ψ(∑

i aiti) =

∑

i aiψ(t)i =∑

i aiyi.

Seien S1, S2 zwei kommutative R-Algebren, die jeweils die universelle Eigen-

schaft mit x1 ∈ S1 und x2 ∈ S2 erfullen. Dann gibt es R-Algebrahomomorphismen

ψ1 : S1 → S2 mit ψ1(x1) = x2 und ψ2 : S2 → S1 mit ψ2(x2) = x1. Folglich gilt

ψ2 ◦ψ1 : S1 → S2 mit ψ2(ψ1(x1)) = x1 und ψ1 ◦ψ2 : S2 → S2 mit ψ1(ψ2(x2)) = x2.

Da auch die Identitaten auf S1 und S2 diese Eigenschaften haben, folgt aus

der Eindeutigkeitsaussage der universellen Eigenschaft, daß ψ2 ◦ ψ1 = id und

ψ1 ◦ ψ2 = id, also S1∼= S2 als R-Algebren gilt.

Man kann die universelle Eigenschaft also als alternative Definition des Po-

lynomrings nehmen. Aus der universellen Eigenschaft folgt, daß Polynomringe

bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind. Fur die Existenz ist aber noch das

Konstruktionsverfahren anzugeben.

3.5 Satz (Polynomdivision). Sei R ein kommutativer Ring. Seien f, g ∈ R[t] und

g habe invertierbaren Leitkoeffizienten. Dann gibt es eindeutig bestimmte q, r ∈R[t] mit f = qg + r und deg(r) < deg(g).

Beweis. Beweis der Existenz induktiv uber deg(f). Fur deg(f) < deg(g) wahle

q = 0 und r = f . Es gelte jetzt deg(f) ≥ deg(g). Wahle c ∈ R mit deg(f −ctdeg(f)−deg(g)g) < deg(f). Dies ist moglich, da der Leitkoeffizient von g inver-

tierbar ist. Induktiv gibt es q′, r ∈ R[t] mit f − ctdeg(f)−deg(g)g = q′g + r und

3.2. POLYNOMRINGE UBER KORPERN 85

deg(r) < deg(g). Setze q = q′ + ctdeg(f)−deg(g). Dann gilt f = qg + r, wie erforder-

lich.

Zur Eindeutigkeit bildet man die Differenz von f = q1g+ r1 und f = q2g+ r2und erhalt (q1−q2)g = r1−r2. Da g einen invertierbaren Leitkoeffizienten hat, muß

q1 − q2 = 0 gelten, weil die linke Seite sonst einen Grad ≥ deg(g) > deg(r1 − r2)hatte. Dann folgt aber r1 − r2 = 0 und die Eindeutigkeit ist bewiesen.

Bei der Polynomdivision haben wir die Kommutativitat von R gar nicht ausge-

nutzt. Man kann in der Tat Polynomringe und Polynomdivision geeignet fur nicht

kommutative Ringe definieren. Man muß dann beispielsweise zwischen Links- und

Rechtsdivision unterscheiden. In der Vorlesung gehen wir hier aber nicht naher

darauf ein.

3.2 Polynomringe uber Korpern

3.6 Satz. Sei R ein kommutativer Ring. Dann sind aquivalent:

(i) R ist ein Korper,

(ii) R[t] ist ein euklidischer Ring,

(iii) R[t] ist ein Hauptidealring.

Beweis. (i) ⇒ (ii): R[t] ist offenbar ein Integritatsring. Daruberhinaus ist Pro-

position 3.5 fur alle g 6= 0 anwendbar, und deg erfullt die Bedingungen einer

euklidischen Gradfunktion. (ii)⇒ (iii): Wurde bereits bewiesen. (iii) ⇒ (i): Wir

betrachten den Einsetzhomomorphismus φ0 : R[t] → R, der durch t 7→ 0 defi-

niert wird. Als Teilring von R[t] ist R selbst Integritatsring. Daher ist ker(φ) ein

Primideal und als solches im Hauptidealring R[t] maximal. Da φ surjektiv ist, ist

folglich R ∼= R[t]/ ker(φ) ein Korper.

Aufgrund von Satz 3.6 sehen wir, daß Z[t] kein Hauptidealring ist. Ein (ma-

ximales) Ideal, welches kein Hauptideal ist, wird zum Beispiel durch 2Z[t] + tZ[t]

gegeben. Die Ergebnisse des Abschnitts 3.5 zeigen, daß Z[t] immerhin ein fakto-

rieller Ring ist, und daß 2, t Primelemente in Z[t] sind.

3.7 Korollar. Sei K ein Korper. Jedes f ∈ K[t]\{0} besitzt eine eindeutige

Faktorisierung f = c∏

pnp mit c ∈ K×, normierten irreduziblen p ∈ K[t] und

np ≥ 0.

Wir bemerken, daß irreduzible Polynome in K[t] einen Grad ≥ 1 besitzen und

daß lineare Polynome irreduzibel sind. Als Beispiel eines nicht-linearen, irredu-

ziblen Polynoms betrachte man f = t2 + 1 in R[t]. Allerdings ist f in C[t] nicht

mehr irreduzibel, es gilt f = (t− i)(t+ i) mit i2 = −1.


3.8 Korollar. Sei K ein Korper und f ∈ K[t] irreduzibel. Dann ist K[t]/fK[t]

ein Korper, welcher K als Teilkorper enthalt.

Beweis. Fur die letzte Aussage beachten wir K∩fK[t] = {0}. Indem wir K dann

mit den Klassen {x + fK[t] | x ∈ K} identifizieren, wird K ein Teilkorper von

K[t]/fK[t].

Mit dem letzten Korollar kann man sich aus gegebenen Korpern neue konstru-

ieren. Diese Methode wird sehr oft verwendet. Zum Beispiel gilt C ∼= R[t]/(x2+1).

3.3 Nullstellen von Polynomen

3.9 Definition. Sei R kommutativer Ring und S eine kommutative R-Algebra.

Sei f ∈ R[t]. Ein Element b ∈ S heißt Nullstelle (oder Wurzel) von f in S wenn

f(b) = 0 gilt.

Sei b ∈ R. Wird f ∈ R[t] von t − b in R[t] geteilt, so gilt f(b) = 0. Denn es

gibt g ∈ R[t] mit f = (t− b)g, und Einsetzen von b liefert f(b) = (b− b)g(b) = 0.

Hiervon gilt auch die Umkehrung:

3.10 Satz. Sei R ein kommutativer Ring und f ∈ R[t] vom Grad n ≥ 0. Fur jede

Nullstelle b ∈ R wird f von t− b geteilt.

Ist R ein Integritatsring, so besitzt f hochstens n Nullstellen in R.

Beweis. Division mit Rest durch g = t − b liefert q ∈ R[t] und r ∈ R mit

f = q(t − b) + r. Daraus folgt f(b) = r = 0, folglich ist f durch t − b teilbar.

Ist nun R Integritatsring und a 6= b eine weitere Nullstelle von f in R, so gilt

f(a) = q(a)(a−b) und folglich q(a) = 0, da R Integritatsring ist. Wegen deg(q) =

deg(f)− 1 erhalt man induktiv, daß es hochstens n Nullstellen von f in R geben

kann.

Die zweite Aussage in Satz 3.10 wird falsch, wenn R kein Integritatsring ist.

Als Gegenbeispiel betrachte man R = Z×Z. Fur das Polynom f = (t−(1, 1))(t−(2, 2)) gilt namlich auch f = (t − (1, 2))(t − (2, 1)), so daß f vier verschiedene

Nullstellen in R hat und daruberhinaus sich nicht eindeutig faktorisieren laßt.

3.11 Satz. Jede endliche Untergruppe U der multiplikativen Gruppe K× eines

Korpers K ist zyklisch.

Beweis. Sei n = #U und m der Exponent von U . Dann gilt m ≤ n und jedes

der n Elemente von U ist Nullstelle des Polynoms tm − 1 in K. Da tm − 1 nach

Satz 3.10 maximal m Nullstellen haben kann, folgt n = m. Eine abelsche Gruppe

der Ordnung n und des Exponenten n ist jedoch zyklisch.

3.3. NULLSTELLEN VON POLYNOMEN 87

Ist R ein Integritatsring, f ∈ R[t] mit deg(f) ≥ 0 und b ∈ R, so gibt es nach

wiederholter Anwendung von Satz 3.10 ein eindeutig bestimmtes m ∈ Z≥1 und

g ∈ R[t] mit f = (t− b)mg und g(b) 6= 0.

3.12 Definition. Die Zahl m heißt die Vielfachheit von b in f . Fur m > 1 nennen

wir b eine mehrfache Nullstelle.

Wir konnen R in seinen Quotientenkorper K = Quot(R) einbetten und erhal-

ten eine Einbettung R[t] → K[t]. Unter Verwendung von Satz 3.10 und Korol-

lar 3.7 konnen wir also f ∈ R[t] mit deg(f) ≥ 0 in der Form

f = g∏

b

(t− b)vt−b(f) (3.13)

schreiben, wobei das Produkt uber alle Nullstellen von f in R geht, insbesondere

endlich ist, und g ∈ R[t] mit g(b) 6= 0 fur jede Nullstelle b von f in R erfullt.

Die Exponenten vt−b sind dabei wie nach Satz 2.63 definiert und stimmen mit

der Vielfachheit von b uberein. Als Verscharfung von Satz 3.10 ergibt sich, daß f

auch mit Vielfachheiten gezahlt hochstens deg(f) Nullstellen besitzt.

Die Einfachheit oder Mehrfachheit einer Nullstelle kann wie folgt festgestellt

werden.

3.14 Definition. Die Ableitung des Polynoms f ∈ R[t] mit f =∑n

i=0 aiti ist

definiert als f ′ =∑n

i=1 iaiti−1.

Die Ableitung erfullt die (ublichen) Rechenregeln (f + g)′ = f ′ + g′, (fg)′ =

f ′g + fg′, (af)′ = af ′ fur f, g ∈ R[t] und a ∈ R.

3.15 Satz. Sei R ein Integritatsring und f ∈ R[t] mit deg(f) ≥ 0. Das Element

b ∈ R ist mehrfache Nullstelle von f genau dann, wenn f(b) = 0 und f ′(b) = 0.

Beweis. Wir schreiben f wie oben f = (t − b)mg. Durch Ableiten erhalten wir

f ′ = (x− b)mg′+m(x− b)m−1g. Ist m > 1 so gilt offenbar f(b) = 0 und f ′(b) = 0.

Ist umgekehrt m = 1 so gilt f ′ = (x− b)g′ + g und folglich f ′(b) = g(b) 6= 0. Fur

f ′(b) = 0 muß daher m > 1 gelten.

3.16 Korollar. Sei K ein Korper, f ∈ K[t] irreduzibel und F ein Erweite-

rungskorper von K.

(i) Gilt char(K) = 0, so hat f nur einfache Nullstellen in F .

(ii) Hat f mehrfache Nullstellen in F , so gilt char(K) = p > 0 und f ist von

der Form f = g(tp) mit g ∈ K[t].


Beweis. (i): Wegen char(K) = 0 und deg(f) ≥ 1 gilt f ′ 6= 0. Daher folgt aus

deg(f ′) < deg(f) und der Irreduzibilitat von f , daß gcd{f, f ′} = 1 und somit

1 = λf + µf ′ mit geeigneten λ, µ ∈ K[t] ist. Dies gilt dann auch in F [t], und

f und f ′ haben folglich keine gemeinsamen Nullstellen in F . Wegen Satz 3.15

besitzt f also keine mehrfachen Nullstellen in F .

(ii): Es muß f ′ = 0 gelten, da sonst wie eben gcd{f, f ′} = 1 ware und es keine

mehrfachen Nullstellen in F geben konnte. Wegen f ′ = 0 muß char(K) > 0 gelten

und die Monome in f haben nur durch p teilbare Exponenten. Also ist f von der

Gestalt f = g(tp).

Ist R ein Integritatsring mit char(R) = p und hat das Polynom f = tp−c eine

Nullstelle b ∈ R, so gilt f = tp − bp = (t − b)p. Also hat f genau eine Nullstelle,

und die mit Vielfachheit p.

3.4 Basissatz von Hilbert

3.17 Satz. Sei R ein kommutativer Ring. Der Polynomring R[t] ist genau dann

noethersch, wenn R noethersch ist.

Beweis. Sei R[t] noethersch und I ein Ideal von R. Das von I in R[t] erzeugte

Ideal J ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, J =∑n

i=1R[t]fi mit geeigneten

fi ∈ R[t]. Sei φ0 : R[t] → R, f 7→ f(0) der Einsetzhomomorphismus bezuglich 0.

Wegen I ⊆ J folgt I = φ0(I) ⊆ φ0(J) durch Anwendung von φ0. Auf der anderen

Seite gilt wegen J = R[t]I auch φ0(J) ⊆ I, zusammen also φ0(J) = I. Es folgt

I = φ0(J) =∑n

i=1Rfi(0) und I ist ebenfalls endlich erzeugt.

Sei nun R noethersch und J ein Ideal von R[t]. Wir weisen die Existenz einer

endlichen Menge M ⊆ J mit der folgenden Eigenschaft nach: Fur jedes f ∈ J

mit f 6= 0 gibt es e ∈ Z≥0, λ1, . . . , λn ∈ R und f1, . . . , fn ∈ M mit

deg(

f − ten∑

i=1

λifi

)

< deg(f). (3.18)

Wenn wir dies iteriert deg(f) + 1 mal anwenden, reduzieren wir f modulo dem

Ideal R[t]M zu Null. Daraus folgt f ∈ R[t]M , also J = R[t]M und J ist endlich

erzeugt.

Sei Ji = {f ∈ J | deg(f) ≤ i} und Ii = {ai |∑i

j=0 ajtj ∈ Ji} fur i ∈ Z≥0. Da Ji

additiv und unter Multiplikation mit Elementen aus R abgeschlossen ist, handelt

es sich bei Ii um ein Ideal von R. Wegen tJi ⊆ Ji+1 gilt Ii ⊆ Ii+1. Da R noethersch

ist, gibt es m ∈ Z≥0 mit Ii = Im fur alle i ≥ m und die I0, . . . , Im sind jeweils

endlich erzeugt. Fur 0 ≤ i ≤ m gibt es daher endliche Mengen Mi ⊆ Ji derart,

3.5. SATZ VON GAUSS 89

daß die Leitkoeffizienten der Polynome eines jeden Mi die zugehorigen Leitkoef-

fizientenideale Ii erzeugen. Wir setzen M = ∪mi=0Mi. Aufgrund der Konstruktion

von M und wegen Ii = Im fur i ≥ m sieht man direkt, daß jeder fuherende Term

eines f ∈ J als fuhrender Term eines Polynoms der Form te∑n

i=0 λifi mit e ∈ Z≥0,

λi ∈ R und fi ∈M auftritt, daß also (3.18) gilt.

Der Basissatz von Hilbert liefert eine reine Existenzaussage fur endliche Er-

zeugendensysteme von Idealen, jedoch kein sinnvolles Verfahren, wie diese zu kon-

struieren sind. Als Hilbert diesen Satz Ende des 19. Jahrhunderts bewies, sorgte

dieser auch aufgrund seiner nicht konstruktiven Natur fur erhebliches Aufsehen.

Die Invariantentheorie war zu dieser Zeit ein großes und wichtiges Forschungsge-

biet in der Mathematik und man schlug sich darin mit der expliziten Berechnung

von Erzeugern gewisser Ideale herum. Von Gordan, einem Hauptvertreter der In-

variantentheorie, stammt die Aussage, es handele sich beim Basissatz von Hilbert

nicht um Mathematik, sondern um Theologie. In der Folge wurde die Axioma-

tisierung der Algebra vorangetrieben und man gewohnte sich an formale, nicht

konstruktive Beweise.

3.5 Satz von Gauß

Sei R ein faktorieller Ring. Wir wollen im folgenden das Faktorisierungsverhalten

von Polynomen aus R[t] uber dem Quotientenkorper K = Quot(R) von R und

uber R selbst untersuchen. Als Hilfsmittel verwenden wir dazu Bewertungen.

Wir beginnen zuerst mit einer allgemeinen Aussage.

3.19 Proposition. Sei φ : R → S ein Homomorphismus der kommutativen

Ringe R und S. Dann laßt sich φ zu einem Homomorphimus ψ : R[t] → S[t]

fortsetzen, welcher durch koeffizientenweise Anwendung von φ definiert ist. Ist φ

surjektiv, so ist auch ψ surjektiv. Ferner gilt ker(ψ) = ker(φ)R[t].

Beweis. Kann man direkt nachrechnen. Eine andere Argumentation ist die fol-

gende. Wir verknupfen φ mit dem Einbettungshomomorphismus S → S[t] und

erhalten so S[t] als R-Algebra. Der Einsetzhomomorphismus φt : R[t] → S[t]

wendet dann φ koeffizientenweise auf die Elemente von R[t] an. Wir setzen also

ψ = φt. Die Aussagen uber die Surjektivitat und den Kern sind dann klar.

3.20 Proposition. Sei R ein kommutativer Ring und a ⊆ R ein Ideal. Durch ko-

effizientenweise Reduktion modulo a erhalten wir einen Epimorphismus φ : R[t]→(R/a)[t]. Folglich gilt R[t]/aR[t] ∼= (R/a)[t] und aR[t] ist genau dann ein Prim-

ideal in R[t], wenn a ein Primideal in R ist.


Beweis. Folgt aus Proposition 3.19, angewendet auf den Reduktionshomomor-

phismus R → R/a, und dem Homomorphiesatz. Ferner gilt, daß aR[t] genau

dann Primideal ist, wenn R[t]/aR[t] ein Integritatsring ist, und daß a genau dann

Primideal ist, wenn R/a und damit (R/a)[t] ein Integritatsring ist. Die bereits

bewiesene Isomorphie liefert daher die zu beweisende Aquivalenz.

Wir kommen nun zu den Bewertungen. Sei P ein Reprasentantensystem der

Primelemente von R. Jedes x ∈ R\{0} besitzt eine eindeutige Faktorisierung

x = ε∏

p∈P pnp, wobei ε ∈ R× sowie np ∈ Z≥0 mit np = 0 fur fast alle p ∈ P .

Wir setzen vp(x) = nP und vP (0) = ∞ und erhalten damit fur jedes p ∈ P

eine Abbildung vp : R → Z ∪ {∞}. Fur x, y ∈ R gilt dann offenbar vp(xy) =

vp(x) + vp(y) und vp(x + y) ≥ min{vp(x), vp(y)} unter Beachtung”sinnvoller“

Rechenregeln mit ∞. Dies motiviert die folgende, allgemeine Definition.

3.21 Definition. Sei R ein Integritatsring. Unter einer (nicht-archimedischen,

exponentiellen) Bewertung auf R verstehen wir eine Abbildung v : R→ R∪{∞}mit den folgenden Eigenschaften fur alle x, y ∈ R.

(i) v(x) =∞ genau dann, wenn x = 0,

(ii) v(xy) = v(x) + v(y),

(iii) v(x+ y) ≥ min{v(x), v(y)}.

Ein weiteres Beispiel einer Bewertung wird durch die negierte Gradfunk-

tion − deg auf R[t] gegeben.

Normalerweise betrachtet man solche Bewertungen fur den Fall, daß R ein

Korper ist. Daher ist das folgende Lemma nutzlich.

3.22 Lemma. Eine Bewertung auf dem Integritatsring R laßt sich auf eindeutige

Weise zu einer Bewertung auf K = Quot(R) fortsetzen.

Beweis. Man definiert v(x/y) = v(x) − v(y). Die Bedingungen (i)-(iii) ergeben

sich durch direktes Nachrechnen. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus Bedingung (ii):

Fur v(x/y) muß gelten: v(x/y)+v(y) = v(x), wodurch v(x/y) eindeutig festgelegt

wird.

Ist R ein faktorieller Ring, so erhalten wir nun durch die Fortsetzung der vpauf K fur jedes x ∈ K× eine eindeutige Faktorisierung x = ε

∏

p∈P pvp(x) mit

geeignetem ε ∈ R×. Fur nicht faktorielle Ringe kann man sich die Bewertungen

v als Exponenten in verallgemeinerten Faktorisierungen vorstellen.

3.23 Definition. Sei v eine Bewertung auf einem Korper K.

3.5. SATZ VON GAUSS 91

(i) Die Menge Rv = {x ∈ K | v(x) ≥ 0} heißt Bewertungsring von v.

(ii) Die Menge pv = {x ∈ K | v(x) > 0} heißt Bewertungsideal von v.

3.24 Lemma. Der Bewertungsring Rv ist ein Ring und das Bewertungsideal pvist ein Primideal in Rv.

Beweis. Ergibt sich unmittelbar aus Definition 3.21, (i)-(iii).

Man kann daruberhinaus zeigen, daß pv das einzige Primideal von Rv und

somit maximal ist. Außerdem sind genau die Elemente in Rv\pv Einheiten in Rv,

kurz Rv ist ein lokaler Ring. Wir benotigen diese Aussagen fur das folgende aber

nicht.

3.25 Satz. Eine Bewertung v des Integritatsrings R laßt sich zu einer Bewertung

w auf R[t] durch w(f) = mini v(ai) fur f =∑

i aiti ∈ R[t] fortsetzen.

Beweis. Die Bedingungen (i) und (iii) aus Definition 3.21 ergeben sich direkt

aus der Definition von w: Es gilt w(f) = ∞ genau dann, wenn alle v(ai) =

∞, also f = 0. Fur g =∑

i biti sehen wir weiterhin w(f + g) = mini v(ai +

bi) ≥ mini min{v(ai), v(bi)} = min{mini v(ai),mini v(bi)} = min{w(f), w(g)}.Bedingung (ii) ist der Inhalt des nachfolgenden Lemmas von Gauß.

3.26 Lemma (Gauß). Fur alle f, g ∈ R[t] gilt w(fg) = w(f) + w(g).

Beweis. Die Aussage gilt im Fall f = 0 oder g = 0. Wir nehmen daher f 6= 0

und g 6= 0 an. Wir setzen v auf K = Quot(R) fort und betrachten die Aussage

von Lemma 3.26 in K[t]. Allgemein gilt w(ch) = v(c) + w(h) fur c ∈ K und

h ∈ K[t]. Wir verwenden dies fur die folgende Normierung. Seien r, s Indizes, fur

die w(f) = v(ar) und w(g) = v(bs) gilt, wobei f =∑

i aiti und g =

∑

i biti. Wir

setzen f = f/ar und g = g/bs. Die Ungleichung v(ai/ar) = v(ai) − v(ar) ≥ 0

ist scharf. Daher gilt w(f) = 0 und analog w(g) = 0. Zum Beweis des Lemmas

genugt nun also w(f g) = 0 zu zeigen, da hieraus

w(fg) = w(arf bsg) = v(arbs) + w(f g) = v(arbs) + w(f) + w(g)

= v(ar) + v(bs) + w(f) + w(g) = w(arf) + w(bsg) = w(f) + w(g)

folgt.

Offenbar gilt f , g ∈ Rv[t]. Sei φ : Rv[t]→ (Rv/pv)[t] wie in Proposition 3.20 der

Homomorphismus, der die Koeffizienten reduziert. Fur h ∈ Rv[t] gilt w(h) = 0

genau dann, wenn φ(h) 6= 0. Wir haben also φ(f) 6= 0 und φ(g) 6= 0 wegen

w(f) = 0 und w(g) = 0. Da (Rv/pv)[t] mit Rv/pv ein Integritatsring ist, ergibt

sich φ(f g) = φ(f)φ(g) 6= 0 und daraus w(f g) = 0.


3.27 Satz. Sei V eine Menge von Bewertungen des Korpers K und R = ∩v∈VRv.

Sei f ∈ R[t] normiert. Sind g, h ∈ K[t] normiert mit f = gh, so gilt g, h ∈ R[t].

Beweis. Wir setzen v ∈ V wie in Satz 3.25 zur Bewertung w auf K[t] fort. Dann

gilt w(f) = 0, w(g), w(h) ≤ 0 und w(f) = w(g)+w(h). Es folgt w(g) = w(h) = 0,

also g, h ∈ Rv[t]. Da dies fur jedes v ∈ V gilt, ergibt sich g, h ∈ R[t].

Satz 3.27 ist ein Beispiel fur das Lokal-Global Prinzip. Der Ring R wird global

durch alle v ∈ V definiert. Wir beweisen die Aussage lokal, daß heißt bezuglich

Rv fur jedes v ∈ V einzeln, und konnen dann durch Kombination der lokalen

Aussagen die globale Aussage fur R erhalten.

Nach diesen allgemeinen Uberlegungen kehren wir nun zu dem Fall zuruck,

daß R faktoriell ist.

3.28 Korollar. Sei R faktoriell, K = Quot(R) und f ∈ R[t] normiert. Sind

g, h ∈ K[t] normiert mit f = gh, so gilt g, h ∈ R[t].

Beweis. Sei V = {vp | p ∈ P} die Menge der auf K fortgesetzten Bewertungen

vp. Fur x ∈ K gilt dann x ∈ R genau dann, wenn vp(x) ≥ 0 fur alle p ∈ P . Dies

heißt R = ∩v∈VRv. Die Aussage folgt nun mit Satz 3.27.

Das Faktorisierungsverhalten normierter Polynome in R[t] entspricht also dem

in K[t]. Wir wenden uns jetzt auch nicht normierten Polynomen zu. Wir bezeich-

nen mit wp die Fortsetzungen von vp auf K[t] wie oben.

3.29 Definition. Der Inhalt I(f) eines Polynoms f ∈ K[t]\{0} ist definiert als

I(f) =∏

p∈P pwp(f). Das Polynom f heißt primitiv, wenn I(f) = 1 ist.

Der Inhalt von f ist offenbar gleich dem großten gemeinsamen Teiler der Koef-

fizienten von f . Ferner gilt f ∈ R[t] genau dann, wenn I(f) ∈ R. Aus Lemma 3.26

folgt I(fg) = I(f)I(g). Ahnlich wie im Beweis von Lemma 3.26 konnen wir jedes

Polynom f ∈ R[t]\{0} primitiv machen, indem wir seinen Inhalt I(f) herausdi-

vidieren: Das Polynom f = f/I(f) liegt in R[t] und ist primitiv. Wir bemerken,

daß I(f) und f , aber nicht jedoch die Eigenschaft, primitiv zu sein, von der Wahl

von P abhangen.

3.30 Satz (Gauß). Sei R kommutativ. Dann ist R[t] genau dann faktoriell, wenn

R faktoriell ist. In diesem Fall bestehen die Primelemente von R[t] genau aus den

Primelementen von R und den primitiven Polynomen in R[t], welche in K[t] fur

K = Quot(R) irreduzibel sind.

3.6. IRREDUZIBILITAT VON POLYNOMEN 93

Beweis. Ist R[t] faktoriell, so muß auch R faktoriell sein, denn da R[t] nullteilerfrei

ist, enthalt jede Faktorisierung von Elementen aus R in Primelemente aus R[t] nur

solche Faktoren, welche aus R stammen. Diese Faktoren sind auch Primelemente

von R, wie man direkt an der Definition sehen kann.

Sei nun umgekehrt R faktoriell. Die Primelemente von R bleiben Primelemente

in R[t]. Ist namlich p ein solches, so ist R/pR und damit auch R[t]/pR[t] ∼=(R/pR)[t] unter Verwendung von Proposition 3.20 ein Integritatsring.

Sei nun q ∈ R[t] primitiv und irreduzibel in K[t]. Wir wollen zeigen, daß

q Primelement ist. Seien f, g ∈ R[t], so daß q | fg gilt. Da q Primelement in

K[t] ist, gibt es h ∈ K[t], so daß etwa f = qh gilt. Mit Lemma 3.26 sehen wir

I(q)I(h) = I(f) ∈ R. Wegen I(q) = 1 folgt also I(h) ∈ R und somit h ∈ R[t].

Daher gilt q | f in R[t].

Sei f ∈ R[t]\{0}. Wir wollen zeigen, daß f in die bereits diskutierten Prim-

elemente von R[t] faktorisiert. Wir schreiben zunachst f = af mit a = I(f) und

f ∈ R[t]. Das Element a faktorisiert in R, und dies liefert auch eine Faktorisie-

rung in Primelemente in R[t]. Fur deg(f) = 0 gilt f = 1 und wir sind fertig. Fur

deg(f) ≥ 1 sei f = c∏

i fi eine Faktorisierung in irreduzible Polynome fi in K[t]

mit c ∈ K×. Wir konnen durch geeignete Skalierung mit dem Inhalt annehmen,

daß die fi primitiv sind und somit auch in R[t] liegen. Da f ebenfalls primitiv

ist, folgt durch Anwendung von I(·) und aus der Multiplikativitat von I(·), daß

c ∈ R× gilt. Daher faktorisiert f in die Primelemente cf1 von R[t] und fi von R[t]

fur i > 1.

Beispiele fur Primelemente in Z[t] sind t, −t, t+ 3, 2t− 1, t2− 3, 5t2− 2, . . . .

3.6 Irreduzibilitat von Polynomen

Es ist im allgemeinen nicht einfach, die Irreduzibilitat eines Polynoms festzustel-

len oder seine Faktorisierung anzugeben. Es gibt keine expliziten Formeln, mit

denen diese Fragen direkt beantwortet werden konnten, und man greift daher

auf Algorithmen bzw. Rechenverfahren zuruck. Die Entwicklung solcher Algo-

rithmen ist ein Forschungsgebiet der Computeralgebra. Im folgenden geben wir

zwei Irreduzibilitatskriterien an und beschreiben die Faktorisierungsmethode von

Kronecker fur Polynome uber Z.

3.31 Satz (Reduktionssatz). Sei φ : R → S ein Homomorphismus der Inte-

gritatsringe R und S und ψ : R[t] → S[t] seine Fortsetzung wie in Propositi-

on 3.19. Sei f ∈ R[t] mit deg(ψ(f)) = deg(f) und ψ(f) irreduzibel in S[t]. Sind

dann g, h ∈ R[t] mit f = gh, so folgt g ∈ R oder h ∈ R.


Beweis. Es gilt deg(g) + deg(h) = deg(f) = deg(ψ(f)) = deg(ψ(g)) + deg(ψ(h)).

Wegen deg(ψ(g)) ≤ deg(g) und deg(ψ(h)) ≤ deg(h) ergibt sich deg(ψ(g)) =

deg(g) und deg(ψ(h)) = deg(h). Es ist daher nicht moglich, daß deg(g) ≥ 1 und

deg(h) ≥ 1 gilt, weil sonst ψ(f) das Produkt der nicht konstanten Polynome ψ(g)

und ψ(h) und somit nicht irreduzibel ware.

Als Beispiel betrachten wir das Polynom f = t3 + 6t2 + 8t+ 4 ∈ Z[t] und den

Reduktionshomomorphismus φ : Z→ Z/3Z. Es gilt ψ(f) = t3−t+1 ∈ (Z/3Z)[t].

Da ψ(f) keine Nullstelle in Z/3Z besitzt, ist es irreduzibel. Folglich ist auch f

irreduzibel.

Dieses Beispiel konnte den Gedanken nahelegen, daß es fur jedes irreduzible

Polynom f ∈ Z[t] eine Primzahl p gabe, so daß ψ(f) ∈ (Z/pZ)[t] irreduzibel

ware. Dies ist jedoch nicht richtig. Das Polynom f = t4 − 16t2 + 4 ist irreduzibel

in Z[t] und faktorisiert beispielsweise modulo jeder Primzahl entweder in zwei

irreduzible Polynome vom Grad zwei oder vier Linearfaktoren. Der Beweis die-

ses Faktorisierungsverhaltens kann unter Verwendung der Galoistheorie gefuhrt

werden.

Satz 3.31 kann jedoch auch nutzbringend eingesetzt werden, wenn ψ(f) nicht

unbedingt als irreduzibel vorausgesetzt wird, sondern wenn nur Geeignetes uber

die moglichen Zerlegungen von ψ(f) bekannt ist. Dieser Ansatz wird in dem

folgenden Satz benutzt.

3.32 Satz (Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein). Sei R ein faktorieller Ring

und f =∑n

i=0 aiti ∈ R[t] ein primitives Polynom. Gibt es ein Primelement p ∈ R

mit p | ai fur 0 ≤ i ≤ n − 1, p ∤ an und p2 ∤ a0, so ist f irreduzibel in K[t] mit

K = Quot(R).

Beweis. Wir nehmen an, daß f nicht irreduzibel in K[t] ist. Wegen der Primiti-

vitat von f gibt es dann nach Satz 3.30 Polynome g, h ∈ R[t] mit f = gh, deg(g) ≥1 und deg(h) ≥ 1. Sei S = R/pR und ψ : R[t] → S[t] der koeffizientenweise Re-

duktionshomomorphismus. Weil p ein Primelement ist, ist S ein Integritatsring.

Wegen p ∤ an gilt nun deg(ψ(g)) = deg(g) und deg(ψ(h)) = deg(h) wie im Be-

weis von Satz 3.31. Wegen p | ai gilt weiterhin ψ(f) = ψ(an)tn = ψ(g)ψ(h). Sei

L = Quot(S). Da L[t] faktoriell ist, sind ψ(g) und ψ(h) von der Form ψ(g) = btr

und ψ(h) = cts mit b, c ∈ S. Wegen r, s ≥ 1 ist dann ψ(g)(0) = ψ(h)(0) = 0,

also p | g(0) und p | h(0). Damit ist p2 ein Teiler von g(0)h(0) = f(0) = a0, im

Widerspruch zur Voraussetzung.

Satz 3.32 kann zum Beispiel auf die Polynome f = tn − p ∈ Z[t] und g =

tp−1 + · · ·+ t + 1 ∈ Z[t] angewendet werden, wo n ≥ 1 und p eine Primzahl ist.

Fur g benotigt man allerdings zuerst noch einen Trick. Als Hinweis betrachte man

g = (tp − 1)/(t− 1) und die durch t 7→ t+ 1 definierte Abbildung.

3.6. IRREDUZIBILITAT VON POLYNOMEN 95

Wir beschreiben nun das Verfahren von Kronecker zur Faktorisierung von

Polynomen uber Z. Nach Satz 3.30 konnen wir uns dabei auf primitive Polynome

beschranken.

3.33 Proposition. Sei K ein Korper. Sind a0, . . . , an ∈ K paarweise verschieden

und b0, . . . , bn ∈ K, so gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom f ∈ K[t] mit

deg(f) ≤ n und f(ai) = bi fur 0 ≤ i ≤ n.

Beweis. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei g ∈ K[t] ein weiteres Polynom mit

g(ai) = bi. Wir setzen h = f − g. Dann gilt deg(h) ≤ n und h(ai) = 0 fur

0 ≤ i ≤ n. Nach Satz 3.10 muß dann h = 0 gelten. Fur die Existenz verwenden

wir den chinesischen Restsatz. Die Polynome t − ai sind irreduzibel und nach

Voraussetzung paarweise teilerfremd. Daher gibt es ein g ∈ K[t] mit g ≡ bi mod

(t − ai) und folglich g(ai) = bi fur 0 ≤ i ≤ n. Wir konnen das gesuchte f mit

deg(f) ≤ n dann als den Rest der Division von g durch∏n

i=0(t−ai) definieren.

Die Berechnung des Polynoms f ∈ K[t] kann mit dem Lagrangeschen Inter-

polationspolynom oder dem Newtonschen Interpolationsverfahren erfolgen.

Sei nun f ∈ Z[t] primitiv und g, h ∈ Z[t] mit f = gh. Dann ist g = ±1

oder deg(g) ≥ 1. Fur paarweise verschiedene ai ∈ Z mit 0 ≤ i ≤ deg(g) gilt

f(ai) = g(ai)h(ai), also g(ai) | f(ai). Das Polynom g ist durch die Werte g(ai)

eindeutig bestimmt. Sind die f(ai) 6= 0, so gibt es fur g(ai) nur endlich viele

Moglichkeiten. Hieraus ergibt sich folgende Strategie, um alle Teiler von f vom

Grad r zu bestimmen:

1. Bestimme paarweise verschiedene a0, . . . , ar ∈ Z mit f(ai) 6= 0.

2. Berechne B = {(bi) ∈ Zr+1 : bi | f(ai) fur 0 ≤ i ≤ r}.3. Konstruiere g ∈ Q[t] fur jedes (bi) ∈ B unter Benutzung von Proposition 3.33.

4. Teste deg(g) = r, g ∈ Z[t] und g | f .

Es ist klar, daß dies ein endliches Verfahren zur Faktorisierung von primitiven

Polynomen uber Z liefert:

1. Ist f 6= ±1, so gibt es nichts (mehr) zu tun.

2. Bestimme einen Teiler g 6= ±1 von f kleinsten Grades.

3. Setze f← f/g und fahre mit 1. fort.

Der Teiler in Schritt 2 ist wegen der Minimalitat irreduzibel. Gegebenenfalls

verwendet man aus Normierungsgrunden nur Teiler g mit positiven Leitkoeffizi-

enten.

Als einfaches Beispiel betrachten wir f = t3 − 15t2 + 71t − 105 und wollen

alle Linearfaktoren in f bestimmen. Da f normiert ist, mussen die Linearfaktoren

ebenfalls normiert sein. Durch Auswertung bei t = 0 ersehen wir, daß nur t − b


mit b | 105 in Frage kommen kann. Wir haben 105 = 3 · 5 · 7. Nachrechnen ergibt,

daß f(3) = f(5) = f(7) = 0 ist. Also gilt f = (t− 3)(t− 5)(t− 7).

Abschließend bemerken wir, daß sich das Verfahren von Kronecker rekursiv

zur Faktorisierung von Polynomen uber Z[t1, . . . , tn] (Definition im nachsten Ab-

schnitt) und den entsprechenden Quotientenkorpern verallgemeinern laßt.

Moderne Algorithmen zur Polynomfaktorisierung verwenden andere, effizien-

tere Ansatze als das Verfahren von Kronecker.

3.7 Multivariate Polynomringe

Sei R ein kommutativer Ring. Iterieren wir die Konstruktion eines univariaten

Polynomrings, so erhalten wir multivariate Polynomringe.

3.34 Definition. Sei R ein kommutativer Ring und n ∈ Z≥0. Die R-Algebra

R[t1] · · · [tn] zusammen mit den Elementen t1, . . . , tn heißt Polynomring in den

Variablen t1, . . . , tn uber R. Wir verwenden die Schreibweise R[t1, . . . , tn].

Die Elemente von R[t1, . . . , tn] heißen Polynome in den Variablen t1, . . . , tnuber R.

Jedes Element f ∈ R[t1, . . . , tn] laßt sich in der Form

f =m∑

i1,...,in=0

ai1,...,inxi11 · · ·xinn

mit eindeutig bestimmten ai1,...,in ∈ R schreiben. Die Polynome xi11 · · ·xinn heißen

Monome, die Polynome ai1,...,inxi11 · · ·xinn heißen Terme und die ai1,...,in heißen die

Koeffizienten von f . Man kann jetzt verschiedene Gradfunktionen definieren. Zu

Gewichten w1, . . . , wn kann man beispielsweise deg(xe11 · · ·xenn ) =

∑

i wiei setzen

und diese Gradfunktion per Maximumsbildung auf R[t1, . . . , tn] fortsetzen. Fur

f, g ∈ R[t1, . . . , tn] gilt wieder deg(f + g) ≤ max{deg(f), deg(g)} und deg(fg) ≤deg(f) + deg(g) mit Gleichheit, falls R nullteilerfrei ist. Der Totalgrad ist durch

wi = 1 fur 1 ≤ i ≤ n gegeben. Polynomdivision bezuglich dieser allgemeinerer

Gradfunktionen ist im allgemeinen jedoch nicht mehr moglich (wenn nicht alle

wi bis auf ein wj gleich Null sind). Ein Polynom f heißt homogen vom Grad d,

wenn alle darin auftretenden Terme den gleichen Totalgrad d haben.

Eine R-Algebra S mit Elementen x1, . . . , xn ∈ S heißt ein Polynomring uber

R in den Variablen x1, . . . , xn, wenn es fur jede R-Algebra T und Elemente

y1, . . . , yn ∈ T genau einen R-Algebrahomomorphismus ψ : S → T mit ψ(xi) = yigibt.

3.7. MULTIVARIATE POLYNOMRINGE 97

Die Aussagen uber univariate Polynomringe ubertragen sich iterativ auf multi-

variate Polynomringe, soweit keine speziellen Annahmen uber R getroffen wurden,

die sich nicht iterativ fortsetzen.

3.35 Satz. Sei R kommutativer Ring.

(i) R[t1, . . . , tn] ist genau dann nullteilerfrei, wenn R nullteilerfrei ist. In diesem

Fall gilt R[t1, . . . , tn]× = R×.

(ii) R[t1, . . . , tn] ist ein Polynomring in t1, . . . , tn uber R und ist bis auf Isomor-

phie eindeutig bestimmt.

(iii) R[t1, . . . , tn] ist genau dann noethersch, wenn R noethersch ist.

(iv) R[t1, . . . , tn] ist genau dann faktoriell, wenn R faktoriell ist.

Beweis. Per Induktion unter Verwendung der entsprechenden Aussagen fur den

univariaten Fall.

Die Homomorphismen ψ aus der universellen Eigenschaft heißen wieder Ein-

setzhomomorphismen. Aufgrund von Aussage (ii) ist R[t1, . . . , tn] fur σ ∈ Sn auch

ein Polynomring uber R in den Variablen tσ(1), . . . , tσ(n).

Ist S eine R-Algebra, f ∈ R[t1, . . . , tn] und sind y1, . . . , yn ∈ S, so schreiben

wir f(y1, . . . , yn) fur das Bild von f unter dem durch ti 7→ yi definierten Ein-

setzhomomorphismus R[t1, . . . , tn] → S. Gilt f(y1, . . . , yn) = 0, so nennen wir

(y1, . . . , yn) eine Nullstelle von f in S. Fur n > 1 entsprechen Nullstellen von f

in R keinen besonderen Faktoren von f , wie das bei n = 1 und Linearfaktoren

der Fall ist.

Lineare Abbildungen von k-Vektorraumen konnen durch Angabe der Werte

auf einer Basis (uber k linear unabhangiges Erzeugendensystem) eindeutig de-

finiert werden. Die Situation hier ist ganz analog: R-Algebrahomomorphismen

mit Definitionsbereich R[t1, . . . , tn] und Bildbereich eine R-Algebra konnen durch

die Angabe der Werte auf t1, . . . , tn eindeutig definiert werden. Der von R und

den t1, . . . , tn erzeugte Teilring von R[t1, . . . , tn] ist bereits ganz R[t1, . . . , tn]. Die

t1, . . . , tn bilden daher ein”Erzeugendensystem von R[t1, . . . , tn] uber R“. Fur ein

Polynom f =∑m

i1,...,in=0 ai1,...,inxi11 · · ·xinn ∈ R[t1, . . . , tn] mit f = 0 folgt, daß alle

ai1,...,in = 0 sind. In diesem Sinn sind die t1, . . . , tn also auch”uber R algebraisch

unabhangig“. Dies motiviert folgende Definition.

3.36 Definition. Sei R ein kommutativer Ring und S eine kommutative R-

Algebra mit R ⊆ S. Die Elemente y1, . . . , yn ∈ S heißen algebraisch unabhangig

uber R, wenn der Einsetzhomomorphimus ψ : R[t1, . . . , tn] → S mit ψ(ti) = yiinjektiv ist.


Die t1, . . . , tn aus R[t1, . . . , tn] sind stets algebraisch unabhangig uber R.

Fur uber R algebraisch unabhangige y1, . . . , yn ∈ S und den Einsetzhomo-

morphismus ψ : R[t1, . . . , tn] → S mit ψ(ti) = yi ist ψ(R[t1, . . . , tn]) eine zu

R[t1, . . . , tn] isomorphe R-Teilalgebra von S. Die yi verhalten sich also uber R wie

Variablen. Zum Beispiel konnen wir S = R[t1, . . . , tn] und yi = t2i wahlen.

3.37 Definition. Sei R ein Integritatsring und n ≥ 1. Der Quotientenkorper von

R[t1, . . . , tn] heißt Korper der rationalen Funktionen in t1, . . . , tn uber R und wird

mit R(t1, . . . , tn) bezeichnet.

Es gilt offenbar R(t1, . . . , tn) ∼= Quot(R[t1, . . . , ti])(ti+1, . . . , tn) fur 0 ≤ i < n.

Wir fassen R(t1, . . . , tn) wieder als R-Algebra mit den ausgezeichneten Elementen

t1, . . . , tn auf.

3.8 Symmetrische Polynome

Sei R kommutativer Ring und AutR(R[t1, . . . , tn]) die Automorphismengruppe der

R-Algebra R[t1, . . . , tn]. Wir wollen einen Monomorphismus φ : Sn → AutR(R[t1,

. . . , tn]) und somit eine Operation von Sn auf R[t1, . . . , tn] durch σ · f = φ(σ)(f)

definieren.

Sei σ ∈ Sn. Wir betrachten den Einsetzhomomorphismus φ(σ) : R[t1, . . . , tn]→R[t1, . . . , tn], f 7→ f(tσ(1), . . . , tσ(tn)). Offenbar gilt φ(σ) ∈ AutR(R[t1, . . . , tn]), da

φ(σ) ∈ EndR(R[t1, . . . , tn]) und da φ(σ) bijektiv ist. Ferner ist leicht einsehbar,

daß φ : Sn → AutR(R[t1, . . . , tn]), σ 7→ φ(σ) ein Homomorphismus und injektiv

ist. Damit gilt σ(f + g) = σf + σg, σ(fg) = (σf)(σg) und σ(rf) = r(σf) fur alle

f, g ∈ R[t1, . . . , tn], r ∈ R und σ ∈ Sn.Sei G ≤ Sn und R[t1, . . . , tn]

G = {f | f ∈ R[t1, . . . , tn] und σf = f}. Dann ist

R[t1, . . . , tn]G ein Teilring von R[t1, . . . , tn], genannt Invariantenring von R[t1, . . . ,

tn] bezuglich G, und die Elemente von R[t1, . . . , tn]G heißen G-invariante Poly-

nome . Wir sind speziell an G = Sn interessiert, und in diesem Fall heißen die

G-invarianten Polynome auch symmetrische Polynome und R[t1, . . . , tn]G Ring

der symmetrischen Polynome.

Sei f ∈ R[t1, . . . , tn][t]. Wir definieren si ∈ R[t1, . . . , tn] durch

f =n∏

i=1

(t− ti) =n∑

i=0

(−1)isitn−i. (3.38)

Es gilt beispielsweise s0 = 1, s1 =∑n

i=1 ti und sn =∏n

i=1 ti. Allgemein gilt

si =∑

j1<···<ji

tj1 · · · tji . (3.39)

3.8. SYMMETRISCHE POLYNOME 99

Wir konnen die Operation von Sn auf R[t1, . . . , tn] auf R[t1, . . . , tn][t] durch

σt = t fortsetzen.

3.40 Lemma. Die si sind symmetrisch und homogen vom Grad i, fur 0 ≤ i ≤ n.

Beweis. Es gilt σf =∏n

i=1(t − tσ(i)) =∏n

i=1(t − ti) = f . Wegen σt = t folgt

σ(si) = si fur 0 ≤ i ≤ n nach (3.38). Die Aussage uber die Homogenitat und den

Grad folgt aus (3.39).

3.41 Definition. Das Polynom si heißt das i-te elementar-symmetrische Poly-

nom in t1, . . . , tn, fur 1 ≤ i ≤ n.

3.42 Satz. Jedes symmetrische Polynom in t1, . . . , tn laßt sich als Polynom in

s1, . . . , sn schreiben. Die s1, . . . , sn sind algebraisch unabhangig uber R.

Beweis. Wir schicken eine Definition und eine Bemerkung uber elementar-sym-

metrische Polynome voraus.

Zu Beweiszwecken definieren wir das Gewicht des Monoms te11 · · · tenn als w(te11

· · · tenn ) =

∑ni=1 iei und das Gewicht von f ∈ R[t1, . . . , tn] als das Maximum der

Gewichte der in f vorkommenden Monome. Dies ist gerade die durch die Gewichte

wi = i definierte Gradfunktion. Dann folgt aus w(f) ≤ d fur den Totalgrad

deg(f(s1, . . . , sn)) ≤ d.

Sei si = si(t1, . . . , tn−1, 0). Ersetzen von tn durch 0 und Kurzen von t in Glei-

chung (3.38) zeigt, daß si fur 1 ≤ i ≤ n−1 die elementar-symmetrischen Polynome

in den Variablen t1, . . . , tn−1 sind (man kann dies auch an (3.39) direkt sehen).

Sei f ∈ R[t1, . . . , tn]Sn mit deg(f) = d. Wir zeigen die folgende, genauere

Aussage:

Es gibt g ∈ R[t1, . . . , tn] mit w(g) ≤ d und f = g(s1, . . . , sn). (3.43)

Der Beweis von (3.43) erfolgt per Induktion uber n. Fur n = 1 gilt s1 = t1,

w = deg und (3.43) ist mit g = f trivialerweise korrekt. Wir nehmen nun an,

(3.43) sei korrekt fur n−1 Variablen fur n ≥ 2 und fuhren eine weitere Induktion

uber d durch.

Fur d = 0 ist f konstant und (3.43) ist mit g = f wiederum trivialerweise kor-

rekt. Sei nun d > 0. Wir nehmen an, daß (3.43) fur kleinere Grade als d gultig ist.

Dann ist f(t1, . . . , tn−1, 0) als Polynom in R[t1, . . . , tn−1] symmetrisch vom Grad

≤ d und nach der Induktionsannahme gibt es g1 ∈ R[t1, . . . , tn−1] mit w(g1) ≤ d

und f(t1, . . . , tn−1, 0) = g1(s1, . . . , sn−1). Wegen deg(si) = deg(si) und obiger Be-

merkung uber w gilt deg(g1(s1, . . . , sn−1)) ≤ d. Setze f1 = f − g1(s1, . . . , sn−1).

Dann gilt deg(f1) ≤ d und f1 ist symmetrisch. Weiter ist f1(t1, . . . , tn−1, 0) = 0,

unter Verwendung obiger Bemerkung uber die si. Also gilt tn|f1 und wegen der


Symmetrie sn|f1 in R[t1, . . . , tn]. Daher gibt es f2 ∈ R[t1, . . . , tn] mit f1 = snf2,

f2 symmetrisch und deg(f2) ≤ d − n < d. Nach der Induktionsannahme gibt es

g2 ∈ R[t1, . . . , tn] mit w(g2) ≤ d− n und f2 = g2(s1, . . . , sn). Mit g = g1 + tng2 ∈R[t1, . . . , tn] folgt f = g(s1, . . . , sn) und w(g) ≤ d. Damit ist (3.43) gezeigt.

Der Beweis der algebraischen Unabhangigkeit erfolgt wieder mit Induktion

uber n. Fur n = 1 ist die Aussage wegen s1 = t1 trivialerweise korrekt. Sei f ∈R[t1, . . . , tn] ein Polynom ungleich Null kleinsten Totalgrads mit f(s1, . . . , sn) = 0.

Schreibe f =∑m

i=0 fitin mit fi ∈ R[t1, . . . , tn−1]. Hier gilt f0 6= 0, da sonst

f = tng, sng(s1, . . . , sn) = 0 und damit g(s1, . . . , sn) = 0 mit g 6= 0 galte,

im Widerspruch zur Minimalitat von deg(f). Wir erhalten 0 = f(s1, . . . , sn) =∑m

i=0 fi(s1, . . . , sn−1)sin inR[t1, . . . , tn] und nach tn 7→ 0 ergibt sich f0(s1, . . . , sn−1) =

0 mit f0 6= 0, im Widerspruch zur Induktionsannahme.

Mit Galoistheorie, Aussagen uber ganze Ringerweiterungen und uber tran-

szendente Korpererweiterungen laßt sich dieser Satz relativ gesehen leichter und

kurzer, aber nicht konstruktiv beweisen. Die Relevanz des angegebenen Beweises

liegt daher vornehmlich darin, daß er ein Verfahren zur Berechnung der g liefert.

Das Polynom g ist im ubrigen eindeutig bestimmt, was aus der algebraischen

Unabhangigkeit der si folgt.

3.44 Korollar. Sei ψ : R[t1, . . . , tn] → R[t1, . . . , tn] der durch ti 7→ si definierte

Einsetzhomomorphismus. Dann gilt im(ψ) = R[t1, . . . , tn]Sn und ker(ψ) = {0}.

Beweis. Die Inklusion im(ψ) ⊆ R[t1, . . . , tn]Sn ist klar. Der Rest ist genau die

Aussage des Satzes, nur anders formuliert.

Fur g1, . . . , gr ∈ R[t1, . . . , tn] setzen wir R[g1, . . . , gr] = {f(g1, . . . , gr) | f ∈R[t1, . . . , tr]}. Dann ist R[g1, . . . , gr] die von g1, . . . , gr erzeugte R-Unteralgebra

von R[t1, . . . , tn]. Damit konnen wir Satz 3.42 auch so formulieren:

R[t1, . . . , tn]Sn = R[s1, . . . , sn].

Die elementar-symmetrischen Polynome si sind nicht die einzigen algebraisch

unabhangigen Polynome, mit denen dies geht. Eine andere, gebrauchliche Wahl

sind die Potenzsummen Si der Nullstellen von f =∏n

i=1(t− ti), also

Si =

n∑

j=1

tij . (3.45)

Da die Si symmetrisch sind, gilt R[S1, . . . , Si] ⊆ R[s1, . . . , sn] fur alle i ≥ 1.

3.9. RESULTANTEN UND DISKRIMINANTEN 101

3.46 Proposition. Es gelten die Newtonschen Relationen

(−1)kksk +

k−1∑

i=0

(−1)isiSk−i = 0 fur 1 ≤ k ≤ n,

n∑

i=0

(−1)isiSk−i = 0 fur k ≥ n.

Beweis. Ein direkter Beweis kann induktiv durch Nachrechnen relativ leicht gefuhrt

werden. Fur einen mehr konzeptuellen Beweis siehe Satz 3.61.

3.47 Korollar. Ist n! ∈ R×, so gilt

R[S1, . . . , Sn] = R[s1, . . . , sn].

Wir betrachten jetzt eine Anwendung, in der symmetrische Polynome vorkom-

men.

3.48 Definition. Sei f = c∏n

i=1(t− ti). Die Diskriminante von f ist definiert als

D(f) = c2n−2∏

i<j

(ti − tj)2 = (−1)n(n−1)/2c2n−2∏

i6=j

(ti − tj).

Fur c = 1 handelt es sich hierbei um ein symmetrisches Polynom in den

Variablen t1, . . . , tn, welches folglich als Polynom gf in den Koeffizienten von f

geschrieben werden kann. Daher gilt fur f ∈ K[t] stets D(f) ∈ K.

3.49 Beispiel. Fur f = t2 + bt+ c gilt D(f) = b2 − 4c. Fur f = x3 + at+ b gilt

D(f) = −4a3 − 27b2.

Diskriminanten kann man von jedem (normierten) Polynom uber einem kom-

mutativen Ring bilden, indem man die die Koeffizienten von f fur die Variablen

in gf einsetzt.

Eine Anwendung von Diskriminanten ist es, nur anhand der Koeffizienten eines

Polynoms (und der Formel fur die Diskriminante) festzustellen, ob das Polynom

mehrfache Nullstellen besitzt oder nicht.

3.9 Resultanten und Diskriminanten

Sei R ein Integritatsring und seien f =∑n

i=0 an−iti, g =

∑mj=0 bm−jt

j Polynome

vom Grad n beziehungsweise m uber R mit n,m ≥ 1. Wir wollen eine Formel in

den Koeffizienten von f und g angeben, mit der wir feststellen konnen, ob f und

g einen gemeinsamen Teiler in K[t] besitzen.


Sei V = {h ∈ K[t] | deg(h) ≤ n + m − 1} (zusammen mit der Addition und

Multiplikation mit Skalaren) der K-Vektorraum der Polynome uber K vom Grad

kleiner gleich n+m−1. Wir erhalten einen Isomorphismus φ : V → Kn+m durch∑n+m−1

i=0 cn+m−1−iti 7→ (c0, . . . , cn+m−1) und definieren die Sylvestermatrix S(f, g)

als die Matrix mit den Zeilen φ(f), φ(xf), . . . , φ(xm−1f), φ(g), φ(xg), . . . , φ(xn−1g).

Es gilt S(f, g) ∈ R(n+m)×(n+m).

3.50 Definition. Die Resultante von f und g ist definiert als

Res(f, g) = det(S(f, g)).

3.51 Satz. Sei R ein Integritatsring und K = Quot(R). Seien f, g ∈ R[t] nicht

konstante Polynome. Die Resultante Res(f, g) von f und g besitzt die folgenden

Eigenschaften:

(i) Res(g, f) = (−1)nmRes(f, g) und

Res(fh, g) = Res(f, g)Res(h, g)

fur h ∈ R[t].

(ii) Res(f, g) = 0 genau dann, wenn gcd(f, g) 6= 1 in K[x].

(iii) Res(f, g) ∈ R ∩ (fR[t] + gR[t]).

(iv) Seien f = a0

∏ni=1(t − αi) und g = b0

∏mj=1(t − βj) mit a0, b0 6= 0 und

αi, βj ∈ K. Dann gilt

Res(f, g) = am0 bn0

n∏

i=1

m∏

j=1

(αi − βj)

Beweis. (i): Die Matrix S(g, f) geht aus der Matrix S(f, g) durch nm Zeilenver-

tauschungen hervor. Dies zeigt die erste Aussage. Fur die zweite Aussage verwen-

den wir ohne Beweis, daß es zu f, g, h stets einen Korper gibt, uber dem f, g, h

in Linearfaktoren zerfallen. Dann folgt die Gleichung direkt aus (iii).

(ii): Es gilt gcd(f, g) = 1 in K[t] genau dann, wenn lcm(f, g) = fg in K[t]

gilt. Letzeres gilt genau dann, wenn es keine u, v ∈ K[t]\{0} mit deg(u) ≤ m−1,

deg(v) ≤ n − 1 und uf + vg = 0 gibt. Dies aber bedeutet gerade, daß die Zeilen

von S(f, g) linear unabhangig sind, also Res(f, g) = det(S(f, g)) 6= 0 gilt.

(iii): Nach den Entwicklungsregeln fur Determinanten gilt Res(f, g) ∈ R. Fur

Res(f, g) = 0 ist nichts weiter zu zeigen. Gelte also Res(f, g) 6= 0. Da S(f, g) vollen

Rang hat, gibt es eine eindeutig bestimmte Linearkombination der Zeilen von

3.9. RESULTANTEN UND DISKRIMINANTEN 103

S(f, g), welche (0, . . . , 0, 1) liefert. In Polynomschreibweise (also nach Anwenden

von φ−1) erhalten wir die Existenz von eindeutig bestimmten u, v ∈ K[t] mit

deg(u) ≤ m − 1, deg(v) ≤ n − 1 und 1 = uf + vg, wobei die Koeffizienten

von u und v gerade die Koeffizienten der besagten Linearkombination sind. Nach

der Cramerschen Regel sind die Koeffizienten von u und v daher von der Form

x/Res(f, g) fur x ∈ R. Es gilt also Res(f, g)u ∈ R[t] und Res(f, g)v ∈ R[t] und

somit Res(f, g) = (Res(f, g)u)f + (Res(f, g)v)g ∈ fR[t] + gR[t].

(iv): Wir schicken eine Vorbemerkung voraus. Sei φ : R → S ein Homomor-

phismus mit φ(a0), φ(b0) 6= 0, den wir koeffizientenweise zu φ : R[t] → S[t] fort-

setzen. Dann gilt φ(Res(f, g)) = Res(φ(f), φ(g)), aufgrund der Entwicklungssatze

fur Determinanten. Sind αi, βj ∈ R und gilt

Res(f, g) = am0 bm0

n∏

i=1

m∏

j=1

(αi − βj),

so erhalten wir daher auch

Res(φ(f), φ(g)) = φ(a0)mφ(b0)

m

n∏

i=1

m∏

j=1

(φ(αi)− φ(βj))

mit φ(f) = φ(a0)∏n

i=1(t−φ(αi)) und g = φ(b0)∏m

j=1(t−φ(βj)). Es genugt daher,

(iv) nur fur den Polynomring

R = Z[c, d, x1, . . . , xn, y1, . . . , ym] (3.52)

und f = c∏n

i=1(t − xi), g = d∏m

j=1(t − yj) zu zeigen, da daraus der allgemeine

Fall mittels des Einsetzhomomorphismus φ(c) = a0, φ(d) = b0, φ(xi) = αi und

φ(yj) = βj erhalten wird.

Sei nun R besagter Ring aus (3.52) und φ : R→ R der Einsetzhomomorphis-

mus, der xi nach yj abbildet und ansonsten alle Variablen in sich selbst uberfuhrt.

Wir setzen φ zu φ : R[t]→ R[t] koeffizientenweise fort. Dann gilt Res(φ(f), g) = 0

nach (ii), da φ(f) und g die gemeinsame Nullstelle yj ∈ R besitzen. Sei R0 der

Polynomring uber Z in den Variablen von R außer xi. Wir setzen R0[xi] und R

gleich. Fassen wir nun Res(f, g) als Element des Polynomrings R0[xi] auf, so be-

sitzt Res(f, g) wegen Res(f, g)(yj) = φ(Res(f, g)) = Res(φ(f), g) = 0 die Nullstel-

le yj ∈ R0. Nach Satz 3.10 gibt es ein h ∈ R0[xi] = R mit Res(f, g) = (xi − yj)h.Da R faktoriell ist und die Elemente xi − yj fur 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m

paarweise nicht assoziierte Primelemente von R sind, folgt

Res(f, g) = w

n∏

i=1

m∏

j=1

(xi − yj) (3.53)


mit einem w ∈ R.

Die Absolutkoeffizienten von f und g sind an = a0(−1)nx1 · · ·xn und bm =

b0(−1)my1 · · · ym. Die Anwendung der Leibnizregel auf die Berechnung der Resul-

tante zeigt

Res(f, g) = am0 bnm + (−1)nmbn0a

mn + · · ·

= am0 bm0 (−1)nm(y1 · · · ym)n + bn0a

m0 (x1 · · ·xn)m + · · · . (3.54)

Auf der anderen Seite gilt

wn∏

i=1

m∏

j=1

(xi − yj) = w(x1 · · ·xn)m + (−1)nmw(y1 · · · ym)n + · · · . (3.55)

Aus (3.53), (3.54) und (3.55) ergibt sich wie gewunscht w = am0 bn0 .

Die Definition der Resultante liefert eine Formel fur Res(f, g) in den Koeffi-

zienten von f und g. Auf der anderen Seite liefert Satz 3.51, (iii) eine Formel

fur Res(f, g) in den Nullstellen von f und g. Diese kann auch noch wie folgt

geschrieben werden:

Res(f, g) = am0

n∏

i=1

g(αi) = bn0

m∏

j=1

f(βj).

3.56 Korollar. Sei R ein Integritatsring und f = c∏n

i=1(t−ti) ∈ R[t] mit n ≥ 1.

Dann gilt

D(f) = (−1)n(n−1)/2cn−deg(f ′)−2Res(f, f ′).

Beweis. Es gilt f ′(ti) = c∏

j 6=i(ti − tj). Daher ergibt sich

Res(f, f ′) = cdeg(f ′)n∏

i=1

f ′(ti) = cdeg(f ′)+nn∏

i=1

∏

j 6=i

(ti − tj)

= (−1)n(n−1)/2cdeg(f ′)+n∏

i<j

(ti − tj)2

= (−1)n(n−1)/2cdeg(f ′)+n−(2n−2)D(f).

Das Korollar liefert eine Moglichkeit, Diskriminanten von Polynomen nur aus

ihren Koeffizienten zu berechnen (vergleiche Beispiel 3.49).

Will man gemeinsamen Nullstellen zweier univariater Polynome berechnen,

so bildet man mittels des euklidischen Algorithmus ihren großten gemeinsamen

Teiler und findet dessen Nullstellen. Fur Polynome in mehreren Variablen ist

dieses Vorgehen nicht mehr moglich. Man kann dafur aber die Resultante wie

folgt verwenden.

3.10. POTENZREIHEN- UND LAURENTREIHENRINGE 105

3.57 Beispiel. Das erste Beispiel liefert eine Anwendung der Resultante in der al-

gebraischen Geometrie. Seien f, g ∈ R[x, y] nicht konstant. Die Punkte (x0, y0) ∈R×R mit f(x0, y0) bilden eine sogenannte affine algebraische Kurve. Das Auffin-

den gemeinsamer Nullstellen von f und g in R×R bedeutet also, die Schnittpunkte

dieser Kurven zu berechnen.

Sei r = Resy(f, g). Diese Notation soll bedeuten, daß f, g als univariate Po-

lynome in y uber R[x] angesehen werden. Daher gilt r ∈ R[x]. Sei x0 ∈ R. Falls

f(x0, y) und g(x0, y) als Polynome in R[y] mindestens eine gemeinsame Nullstelle

besitzen, so folgt r(x0) = 0 nach Satz 3.51, (ii). Die Berechnung der gemeinsa-

men Nullstellen von f und g kann daher durch die Berechnung der Nullstellen x0

von r und die Berechnung der gemeinsamen Nullstellen von f(x0, y) und g(x0, y)

erfolgen (fur r = 0 liegen die Kurven zumindest teilweise ubereinander, f und g

haben einen gemeinsamen Faktor).

Dieses Verfahren laßt sich im Prinzip fur die Nullstellenberechnung von Poly-

nomen f1, . . . , fn ∈ K[t1, . . . , tn], K ein Korper, (in geeigneten Situationen) durch

mehrfache, iterierte Berechnung von Resultanten verallgemeinern.

3.58 Beispiel. Die Diskriminante eines Polynoms ist eine Invariante, mit Hilfe

derer man feststellen kann, ob f mehrfache Nullstellen uber dem Grundring R

oder einem Erweiterungsring S von R besitzt. Ist das Polynom f beispielsweise

uber Z gegeben, so gilt D(f) ∈ Z und die Primfaktoren p von D(f) liefern genau

die Charakteristiken der endlichen Korper Fq mit q = pm (und m ≤ deg(f)),

uber denen das Polynom mehrfache Nullstellen hat. Dies findet Anwendung in

der algebraischen Zahlentheorie.

3.59 Beispiel. Ein weiteres, einfaches Beispiel aus der algebraischen Geometrie:

Wenn man die Nullstellenmenge eines Polynoms als geometrische Struktur be-

trachtet, dann faßt man mehrfache Nullstellen als irregulare (singulare) Punkte

der geometrischen Struktur auf. Sei beispielsweise f = (y−x)(y+x) = y2−x2 ∈R[x, y]. Die Nullstellenmenge von f in R2 ist gleich der Vereinigung der Geraden

mit Steigung 1 und −1 durch den Ursprung. Fur die Diskriminante von f als

Polynom in y gilt nach obiger Formel D(f) = 4x2. Daher hat f dann und nur

dann eine doppelte Nullstelle in y, wenn x = 0 ist. Dies ist offenbar richtig, da

sich die beiden Geraden genau im Ursprung x = 0, y = 0 schneiden.

3.10 Potenzreihen- und Laurentreihenringe

Sei R ein kommutativer Ring. Die Definition des (univariaten) Potenzreihenring

R[[t]] in der Variablen t uber R erfolgt ganz analog zu der von R[t], nur daß fur

die Funktionen f : Z≥0 → R die Bedingung f(i) = 0 fur fast alle i ∈ Z≥0 fallen


gelassen wird. Es handelt sich bei den Elementen von R[[t]] also um”Polynome

mit unendlich vielen Koeffizienten“. Die Operationen + und · werden genauso

definiert, wobei die Summe in der Definition von · stets endlich ist und daher

Sinn macht. Der Potenzreihenring R[[t]] ist wie R[t] eine R-Algebra.

Der (multivariate) Potenzreihenring R[[t1, . . . , tn]] wird dann alsR[[t1]] · · · [[tn]]definiert. Wir fassen R[[t1, . . . , tn]] alsR-Algebra mit den ausgezeichneten Elemen-

ten t1, . . . , tn auf.

Die Elemente von R[[t1, . . . , tn]] heißen Potenzreihen in t1, . . . , tn uber R. Jedes

f ∈ R[[t1, . . . , tn]] kann in der Form

f =∑

i1,...,in≥0

ai1,...,inti11 · · · tinn

mit ai1,...,in ∈ R geschrieben werden.

3.60 Lemma. Sei R kommutativ.

(i) Es gilt R[[t1, . . . , tn]]× = {f | f ∈ R[[t1, . . . , tn]] und f(0, . . . , 0) ∈ R×}.

(ii) Ist R ein Korper, so ist R[[t1, . . . , tn]] ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

m =∑n

i=1 tiR[[t1, . . . , tn]].

Beweis. (i): Die Inklusion”⊆“ ist unmittelbar einsichtig. Fur

”⊇“ sei f ein

Element der rechten Seite. Ohne Einschrankung konnen wir nach Normierung

f(0, . . . , 0) = 1 annehmen. Setze g = 1 − f . Dann konnen wir h =∑∞

i=0 gi ∈

R[[t1, . . . , tn]] definieren (wie und warum?) und es gilt wie bei der geometrischen

Reihe h(1− g) = hf = 1.

(ii): Folgt direkt aus Aussage (i) und Satz 2.73.

Wir konnen in den Reihen auch endliche Hauptteile erlauben: Die Lauren-

treihenringe R((t1, . . . , tn)) in den Variablen t1, . . . , tn uber R bestehen aus den

Laurentreihen

f =∑

i1,...,in≥m

ai1,...,inti11 · · · tinn

mit ai1,...,in ∈ R und m ∈ Z. Addition und Multiplikation werden wie erwartet de-

finiert und involvieren fur jeden Koeffizienten des Ergebnis nur endlich viele Ope-

rationen in R. Der Laurentreihenring R((t1, . . . , tn)) wird wieder als R-Algebra

mit den ausgezeichneten Elementen t1, . . . , tn aufgefaßt.

Fur einen Korper k kann man mit dem Lemma leicht sehen, daß k((t)) eben-

falls ein Korper ist und daß speziell k((t)) ∼= Quot(k[[t]]) gilt.

Als Anwendung dieses Abschnitts und des Abschnitts uber symmetrische Po-

lynome betrachten wir die Beziehung zwischen den Koeffizienten si eines Poly-

noms und den Potenzsummen Si seiner Nullstellen, welche ebenfalls symmetrische

3.10. POTENZREIHEN- UND LAURENTREIHENRINGE 107

Polynome sind. Sei K = Q(t1, . . . , tn) der Korper der rationalen Funktionen in

t1, . . . , tn uber Q. Im folgenden verwenden wir stillschweigend die Einbettungen

K[t]→ K(t)→ K((t)).

3.61 Satz. Fur g =∏n

i=1(1− tit), sj =∑

i1<···<ijti1 · · · tij und Sj =

∑ni=1 t

ji gilt:

(i) g = exp(

−∑∞j=1 Sjtj/j)

.

(ii) g′/g = −∑∞j=1 Sjtj−1.

(iii) (−1)kksk +∑k−1

i=0 (−1)isiSk−i = 0 fur 1 ≤ k ≤ n und∑n

i=0(−1)isiSk−i = 0 fur k ≥ n.

Beweis. (i): Wir rechnen mit log(1− t) = −∑∞j=1 tj/j und exp(t) =

∑∞j=0 t

j/j!.

Es gilt log((1 − t1)(1 − t2)) = log(1 − t1) + log(1 − t2) und exp(log(1 − t)) =

1 − t. Wir erhalten log(g) = −∑∞j=1 Sjtj/j wegen der Regel fur log und g =

exp(−∑∞j=1 Sjtj/j) durch Anwenden von exp.

(ii): Ableiten beider Seiten von log(g) = −∑∞j=1 Sjtj/j liefert Aussage (ii).

(iii): Wegen g =∑n

i=0(−1)isiti und g′ =

∑ni=0 i(−1)isit

i−1 folgt Aussage (iii)

durch Koeffizientenvergleich in der Gleichung g′+ g∑∞

j=1 Sjtj−1 = 0, welche nach

Aussage (ii) gilt.

Die Aussagen des Satzes konnen nun spezialisiert werden: Aussage (i) ist in

Q[t1, . . . , tn][[t]] gegeben und bleibt daher fur jeden Korper K mit char(K) = 0

und t1, . . . , tn ∈ K wahr. Die Aussagen (ii) und (iii) sind uber Z[t1, . . . , tn][t]

gegeben (fur (iii) noch mit g multiplizieren) und gelten daher fur jeden Ring R

und t1, . . . , tn ∈ R.

Die Zuordnung K[t]\{0} → K((t)), f 7→ f ′/f fur einen beliebigen Korper K

heißt im ubrigen logarithmische Ableitung und erfullt (fg)′/(fg) = f ′/f + g′/g.

Mittels Aussage (iii) kann man die Koeffizienten eines Polynoms und die Po-

tenzsummen ineinander umrechnen, sofern die Charakteristik großer als n ist.

Diese Relationen heißen wie schon erwahnt Newtonsche Relationen.

Der Satz kann fur Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorraume ange-

wendet werden. Ist f das charakteristische Polynom eines Endomorphismus φ, so

wird f durch die Spuren der Potenzen von φ eindeutig bestimmt, vorausgesetzt,

die Charakteristik ist groß genug. Das ist vorteilhaft, wenn die Spuren besser

zuganglich sind als die Koeffizienten von f . Eine Anwendung in diese Richtung

erfolgt bei den Zetafunktionen von algebraischen Kurven uber endlichen Korpern

bzw. den charakteristischen Polynomen der zugehorigen Frobeniusendomorphis-

men.


3.11 Monoid- und Gruppenringe

Sei R ein Ring und G ein Monoid. Wir setzen

R[G] = {f | f : G→ R und f(x) = 0 fur fast alle x ∈ G }.

Fur f, h ∈ R[G] definieren wir f + h ∈ R[G] durch

(f + h)(x) = f(x) + h(x)

und f · h ∈ R[G] durch

(f · h)(x) =∑

uv=x

f(u)h(v)

fur alle x ∈ G, wobei die Summe uber alle u, v ∈ G mit uv = x lauft. Die Summe

erstreckt sich nur uber endlich viele von Null verschiedene Summanden, so daß

die Definition Sinn macht.

Man sieht leicht, daß R[G] mit den inneren Verknupfungen + und · ein Ring

ist. Das Nullelement von R[G] wird durch die Funktion f mit f(x) = 0 fur alle

x ∈ G gegeben. Das Einselement von R[G] wird durch die Funktion f mit f(1) = 1

und f(x) = 0 fur x 6= 1 gegeben.

Seien g ∈ G und r ∈ R. Mit fr,g bezeichnen wir die durch fr,g(g) = r und

fr,g(x) = 0 fur x 6= g definierte Funktion. Dies liefert einen Monomorphismus

R→ R[G], r 7→ fr,1, so daß wir R als Teilring von R[G] auffassen konnen und R[G]

zu einer R-Algebra wird. Daruberhinaus erhalten wir einen Monomorphismus

G→ R[G]×, g 7→ f1,g und fassen G als Untergruppe von R[G]× auf. Entsprechend

schreiben wir auch g statt f1,g.

3.62 Definition. Sei R ein Ring. Die eben definierte R-Algebra R[G] zusammen

mit dem Monomorphismus G → R[G]× heißt Monoidring von G uber R. Ist G

eine Gruppe, so heißt R[G] auch Gruppenring von G uber R.

Zur Veranschaulichung ist es besser, die Elemente von R[G] mittels der g

auszudrucken. Man sieht aufgrund der Definitionen sofort, daß fur f ∈ R[G]

folgendes gilt:

f =∑

g∈G

agg,

mit ag = f(g) fast alle Null. Zwischen ag und g steht hier die außere Multiplikati-

on. Die obigen Verknupfungen sind gerade so gemacht, daß sich die”erwarteten“

Rechenregeln ergeben.

3.11. MONOID- UND GRUPPENRINGE 109

3.63 Beispiel. Fur einen kommutativen Ring R und den Monoid G = (Z≥0,+)

ergibt sich R[G] ∼= R[t] und R[Gn] ∼= R[t1, . . . , tn]. Fur G = (Z/nZ,+) ergibt sich

R[G] ∼= R[t]/(tn − 1)R[t].

Bei diesen Isomorphismen wird das Einselement von G auf t beziehungsweise

der i-te Einheitsvektor ei auf ti abgebildet.

Motiviert durch das Beispiel konnen Polynomringe in beliebig vielen Variablen

wie folgt definiert werden.

3.64 Definition. Sei R ein kommutativer Ring und I eine Menge. Sei G ≤∏

j∈I(Z≥0,+) der Untermonoid des Produkt der Monoide (Z≥0,+), welcher aus

allen Elementen des Produkts besteht, deren Koordinaten fast alle Null sind.

Seien ti ∈ G mit ti(j) = δi,j und T = {ti | i ∈ I}. Dann heißt T die durch I

indizierte Variablenmenge.

Der Polynomring R[T ] mit der durch I indizierten Variablenmenge T uber R

ist die R-Algebra R[G] zusammen mit den ti ∈ T fur i ∈ I.

3.65 Bemerkung. Fur unendliches I ist R[T ] nicht mehr noethersch, auch wenn

R noethersch ist. R[T ] ist aber immer noch faktoriell, wenn R faktoriell ist.

3.66 Bemerkung. Analog zu den multivariaten Polynomringen konnen wir auch

R[[G]] fur einen Monoid definieren, wenn es fur jedes g ∈ G nur endlich viele

ν, µ ∈ G mit νµ = g gibt, damit die Summe in der Definition von · wieder nur

endlich ist.

3.67 Bemerkung. Mit Gruppenringen konnen interessante, nicht kommutative

Ringe definiert werden.

Kapitel 4

Moduln I

Ein Modul ist ein”Vektorraum“ uber K, wobei K nicht unbedingt ein Korper,

sondern nur noch ein Ring zu sein braucht. Die Modultheorie kann als gemeinsame

Verallgemeinerung der Ringtheorie und der linearen Algebra angesehen werden.

Da die Theorie sehr umfangreich ist, konnen hier im wesentlichen nur grundle-

gende Definitionen und Satze angefuhrt werden.

4.1 Grundlagen

Im folgenden bezeichnet R immer einen (nicht notwendigerweise kommutativen)

Ring mit Eins. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab.

4.1 Definition. Sei M eine abelsche Gruppe. Wir betrachten eine Multiplikation

· : R ×M →M mit

r · (x+ y) = r · x+ r · y, (r + s) · x = r · x+ s · x (Distributivgesetze)

(sr) · x = s · (r · x) (Assoziativitatsgesetz)

fur alle r, s ∈ R und x, y ∈ M . Außerdem gelte 1 · x = x fur alle x ∈ M . Dann

heißt M zusammen mit · ein R-Linksmodul.

Wie bei der Multiplikation in Ringen lassen wir · fort und schreiben nur rx

statt r · x.4.2 Beispiel. Jeder Vektorraum uber einem Korper K ist ein K-Linksmodul. Je-

der Ring R und jedes Linksideal von R ist ein R-Linksmodul. Umgekehrt ist jedes

Linksideal von R ein R-Linksmodul. Abelsche Gruppen M sind Z-Linksmoduln.

Ist M ein R-Linksmodul und r ∈ R, so ist die Abbildung x 7→ rx ein En-

domorphismus der abelschen Gruppe M , entsprechend erhalten wir einen Ho-

momorphismus φ : R → End(M). Ist umgekehrt M eine abelsche Gruppe und

111

112 KAPITEL 4. MODULN I

φ : R → End(M) ein Homomorphismus, so definieren wir rx = φ(r)(x) fur alle

r ∈ R und x ∈ M und erhalten so einen R-Linksmodul M . Dies liefert also auch

eine alternative Definition von R-Linksmodul.

Bei Linksmoduln wird R von links anM multipliziert. Analog zu Definition 4.1

definiert man R-Rechtsmoduln.

Fur nicht kommutative Ringe ist es im allgemeinen nicht moglich, einen R-

Linksmodul M zu einem R-Rechtsmodul zu machen, indem man xr := rx de-

finiert. Wegen der Assoziativgesetze mußte sonst gelten (r1r2)x = x(r1r2) =

(xr1)r2 = r2(xr1) = r2(r1x) = (r2r1)x fur r1, r2 ∈ R und x ∈ M . Fur kom-

mutative Ringe ergibt sich jedoch kein Problem und man laßt die Unterscheidung

in Links- und Rechtsmoduln ublicherweise fallen.

IstM ein R-Linksmodul, so kann manM auf die offensichtliche Weise zu einem

Ropp-Rechtsmodul machen, wobei der Ring Ropp aus R entsteht, indem man die

Multiplikation in R andersherum definiert bzw. ausfuhrt. Entsprechend sind die

Begriffe Linksmodul und Rechtsmodul symmetrisch und es genugt, sich nur auf

Linksmoduln zu konzentrieren. Daher soll im folgenden ein R-Modul immer einen

R-Linksmodul bezeichnen.

Bei Moduln M ist es haufig praktisch, zuerst an die additive Struktur und

dann an die R-lineare Struktur zu denken.

4.3 Definition. Ein Homomorphismus f : M → N der R-Moduln M und N ist

ein Homomorphismus der abelschen Gruppen M und N , welcher R-linear ist, fur

den also f(rx) = rf(x) fur alle x ∈M und r ∈ R gilt.

Die Menge der Homomorphismen von M nach N wird mit HomR(M,N) be-

zeichnet. Fur f, g ∈ HomR(M,N) definieren wir f + g ∈ HomR(M,N) durch

(f + g)(x) = f(x) + g(x). Damit wird HomR(M,N) zu einer abelschen Gruppe.

Wir benotigen weitere Definitionen, die auf der Hand liegen: Ist U eine Teil-

menge von M und I ein Ideal von R, so definieren wir IU = {∑ni=1 rixi |n ∈

Z≥0, ri ∈ I, xi ∈ U}. Ist U ⊆ M eine Untergruppe des R-Moduls M und gilt

RU ⊆ U , so heißt U ein Untermodul von M . Fur jedes Ideal I von R und eine

beliebige Teilmenge U ⊆ M ist IU ein Untermodul von M . Fur zwei Untermo-

duln U, V von M ist die Summe abelscher Gruppen U + V wieder ein Unter-

modul von M (also unter Multiplikation mit R abgeschlossen), ebenso U ∩ V .

Analog wie fur (abelsche) Gruppen definieren wir das direkte Produkt und die

direkte Summe von Moduln. Wie bei Vektorraumen definieren wir Linearkom-

bination, Erzeugendensystem, endlich erzeugt, linear unabhangig uber R, Basis,

innere und außere direkte Summe, Mono-, Epi-, Iso-, Endo- und Automorphis-

men. Hintereinanderausfuhrung von Abbildungen liefert einen Homomorphismus

HomR(M,N)×HomR(N,P )→ HomR(M,P ). Die zu einem Isomorphismus inver-

se Abbildung ist wieder ein Isomorphismus. Sei f ∈ HomR(M,N). Dann sind der

4.1. GRUNDLAGEN 113

Kern ker(f) und das Bild im(f) als abelsche Gruppen wegen der R-Linearitat von

f Untermoduln von M bzw. N . Fur einen Untermodul U von M konnen wir M/U

als Faktorgruppe abelscher Gruppen betrachten. Wegen RU ⊆ U konnen wir auf

den Klassen vertreterweise eine Multiplikation mit R definieren, dies macht M/U

zu einem R-Modul, dem Faktormodul von M nach U . Der kanonische Epimor-

phismus abelscher Gruppen π : M → M/U ist dann (per Definition) R-linear,

also π ∈ HomR(M/U,N). Der Kokern eines f ∈ HomR(M,N) ist als N/im(f)

definiert.

Es gelten wieder Homomorphie- und Isomorphiesatze:

4.4 Satz. Seien M , N R-Moduln.

(i) Fur f ∈ HomR(M,N) und U einen Untermodul von M mit U ⊆ ker(f) gibt

es genau ein g ∈ HomR(M/U,N) mit f = g ◦π, wobei π ∈ HomR(M,M/U)

der kanonische Epimorphismus ist.

(ii) Fur f ∈ HomR(M,N) gilt M/ ker(f) ∼= im(f).

(iii) Fur Untermoduln U, V von M gilt (U + V )/V ∼= U/(U ∩ V ).

(iv) Fur Untermoduln U, V von M mit U ⊆ V gilt (M/U)/(V/U) ∼= M/V .

Beweis. Fur die unterliegenden abelschen Gruppen wurden diese Aussagen be-

reits in der Gruppentheorie gezeigt.

Zu (i) und (ii). Es gibt es zu jedem x ∈M/U ein y ∈ π−1({x}). Ist auch r ∈ Rbeliebig, so gilt g(rx) = g(rπ(y)) = g(π(ry)) = f(ry) = rf(y) = rg(π(y)) =

rg(x). Daher ist g R-linear, also g ∈ HomR(M/U,N), und Aussage (i) ist bewie-

sen. Aussage (ii) ist dann eine direkte Folgerung aus (i).

Die Isomorphismen aus (iii) und (iv) werden jeweils durch einen kanonischen

Epimorphismus abelscher Gruppen induziert. Da diese kanonischen Epimorphis-

men hier zusatzlich R-linear sind, sind auch die induzierten Isomorphismen R-

linear.

Wir kommen jetzt zu ein paar grundlegenden Begriffen, die bei Vektorraumen

nur trivial auftreten oder zusammenfallen.

4.5 Definition. Sei M ein R-Modul. Fur einen Untermodul U von M heißt

Ann(U) = {r ∈ R | rx = 0 fur alle x ∈ U} der Annulator von U . Ferner heißt M

treu, wenn Ann(M) = {0} gilt.

Die Menge der Torsionselemente (oder Nullteiler) von M ist Tor(M) = {x ∈M |Ann(Rx) 6= {0}} = {x ∈ M | ∃r ∈ R\{0} mit rx = 0}. Der Modul M heißt

ein Torsionsmodul, wenn Tor(M) = M ist, und torsionsfrei, wenn Tor(M) = {0}gilt.


Fur einen K-Vektorraum V gilt Tor(V ) = {0}. Falls V 6= {0} gilt auch

Ann(V ) = {0}, ansonsten Ann(V ) = K. Der Annulator ist ein Untermodul

des R-Moduls R, also ein Linksideal von R. Fur einen kommutativen Ring R

ist Ann(M) ein Ideal und jeder R-Modul M in naturlicher Weise auch ein treuer

R/Ann(M)-Modul.

Fur einen torsionsfreien R-Modul 6= {0} ist R notwendigerweise nullteilerfrei,

denn fur a, b ∈ R\{0} und x ∈ M\{0} ist nach Voraussetzung bx 6= 0 und

a(bx) 6= 0, also (ab)x 6= 0 und daher ab 6= 0. Ein typisches Beispiel erhalten wir

mit M = R/I, wobei I ein Ideal in R ist. Hier gilt Ann(M) = I und Tor(M) = M .

4.6 Satz. Sei R ein Integritatsring und M ein R-Modul. Dann ist Tor(M) ein

Untermodul von M und M/Tor(M) ist torsionsfrei.

Beweis. Fur x, y ∈ Tor(M) gibt es r, s ∈ R\{0} mit rx = sy = 0. Dann gilt

rs 6= 0, da R nullteilerfrei ist, und rs(x− y) = 0. Daher x− y ∈ Tor(M). Ferner

gilt fur s ∈ R beliebig r(sx) = s(rx) = 0, also sx ∈ Tor(M). Daher ist Tor(M)

ein Untermodul von M .

Sei x ∈ M und r ∈ R\{0} mit rx ∈ Tor(M). Dann gibt es s ∈ R\{0} mit

sx = 0 und s(rx) = r(sx) = 0, folglich (sr)x = 0 und sr 6= 0. Es folgt x ∈ Tor(M)

und M/Tor(M) ist daher torsionsfrei.

4.7 Definition. Sei M ein R-Modul. Der Rang von M ist das Supremum der

Kardinalitaten von uber R linear unabhangigen Teilmengen von M und wird mit

rank(M) bezeichnet.

Die Lange von M ist die Lange, also das Supremum der Anzahl der Inklusio-

nen, von echt absteigenden Ketten · · · ) Mi ) Mi+1 ) · · · von Untermoduln von

M mit i ∈ Z und wird mit len(M) bezeichnet.

Zum Beispiel hat (Z/3Z)×Z den Rang eins und unendliche Lange. Der Nullm-

odul {0} hat Rang Null und Lange Null. Fur Vektorraume stimmen Rang und

Lange uberein. Rang und Lange sind unterschiedliche Verallgemeinerungen des

Dimensionsbegriffs von Vektorraumen auf Moduln.

4.8 Definition. Der Modul M heißt frei, wenn er eine Basis besitzt.

Der Begriff”frei“ soll heißen, daß es ein Erzeugendensystem von M gibt,

welches frei von nicht trivialen R-linearen Relationen ist. Die Moduln Rn sind

frei, die Einheitsvektoren liefern eine Basis. Besitzt ein Modul M eine endliche

Basis mit n Elementen, so gilt M ∼= Rn, wobei der Isomorphismus durch die

Abbildung gegeben ist, die den Elementen von M die Koordinaten in R bezuglich

der Basiselemente zuordnet.

4.1. GRUNDLAGEN 115

Nicht jeder Modul ist frei: Als Beispiel betrachte man den Z-Modul Z/3Z. Fur

einen Integritatsring R konnen im allgemeinen nur torsionsfreie R-Moduln frei sei.

Ist R nicht nullteilerfrei, so ist R als R-Modul zwar frei, aber nicht torsionsfrei,

denn Nullteiler sind hier Torsionselemente.

Eine Basis eines R-Moduls M ist eine maximale Menge von R-linear un-

abhangigen Elementen aus M , durch Hinzunahme eines Elements geht die lineare

Unabhangigkeit verloren. Trotzdem brauchen Basen nicht die gleiche Kardinalitat

zu besitzen. Es gibt beispielsweise einen (nicht-kommutativen) Ring R mit 1, fur

den Rn ∼= Rm fur alle n,m ∈ Z≥1 gilt (siehe Abschnitt 8.5 oder Meyberg 1,

Seite 178).

4.9 Satz. Sei M ein R-Modul.

(i) Seien xi ∈ M mit i ∈ I und I eine Indexmenge. Dann ist M genau dann

frei und die xi sind eine Basis, wenn es fur jeden Modul N und beliebige

Elemente yi ∈ N genau einen Homomorphismus f : M → N mit f(xi) = yifur alle i ∈ I gibt.

(ii) Sei R kommutativ. Seien die xi fur i ∈ I eine Basis von M und die yj fur

j ∈ J ein Erzeugendensystem von M . Dann gilt #I ≤ #J . Insbesondere

hat jede Basis von M die gleiche Kardinalitat.

Beweis. Zu (i). Beweis ist einfach und vom Prinzip ahnlich wie bei den Polynom-

ringen.

Zu (ii). Fur R = {0} ist der Satz korrekt: Alle Basen sind leer, so daß #I =

0 ≤ #J gilt.

Fur R 6= {0} gibt es ein maximales Ideal m von R. Dann ist mM ein Un-

termodul von M und M/mM ein R/m-Modul. Es ist klar, daß die xi + mM fur

i ∈ I und die yj + mM fur j ∈ J Erzeugendensysteme von M/mM sind. Wir

zeigen, daß die xi + mM auch R/m-linear unabhangig sind: Denn fur λi ∈ R

mit∑

i∈I λixi ∈ mM gibt es µi ∈ m mit∑

i∈I λixi =∑

i∈I µixi, da die xi ein

Erzeugendensystem von M bilden. Die lineare Unabhangigkeit der xi liefert dann

λi = µi ∈ m fur alle i ∈ I.Da R/m ein Korper ist, handelt es sich bei M/mM um einen R/m-Vektorraum

mit der Basis xi+mM fur i ∈ I und dem Erzeugendensystem yj +mM fur j ∈ J .

Es folgt dimR/m(M/mM) = #I ≤ #J .

Sind die yj ebenfalls eine Basis, so ergibt sich #I = #J und alle Basen haben

die gleiche Kardinalitat.

Aus (i) folgt, daß jeder endlich erzeugte R-Modul N epimorphes Bild eines

freien Moduls Rn ist.


Wir bemerken, daß fur einen kommutativen Ring R zusatzlich zur Aussage

von (ii) folgendes gilt: Ist M frei vom endlichen Rang n, so ist jedes Erzeugen-

densystem bestehend aus n Elementen eine Basis von M (Korollar 8.26).

Eine andere als die oben erwahnte Situation nicht freier Moduln tritt bei-

spielsweise fur Integritatsringe R auf, die keine Hauptidealringe sind. Ist I ein

Ideal, welches nur von mindestens zwei Elementen erzeugt werden kann, so ist I

als R-Modul nicht frei. Man sieht dies wie folgt: Ware I frei, so mußte I wegen

rank(I) = 1 eine einelementige Basis besitzen. Dies aber bedeutet gerade, daß I

ein Hauptideal ist.

Auch ist I dann zwar ein Untermodul von R, aber kein direkter Summand

von R (wie das bei Untermoduln von Vektorraumen der Fall ware). Dies gilt, weil

aus R ∼= I ⊕ N zunachst N = {0} folgen wurde, denn der Rang von R ist eins

und der von I ⊕N fur N 6= {0} großer gleich zwei, da N mit R torsionsfrei sein

muß. Gilt nun aber R ∼= I und bezeichnet φ : R → I den Isomorphismus, so ist

I = φ(R) = Rφ(1) und I ist ein von φ(1) erzeugtes Hauptideal, im Widerspruch

zur Annahme. Entsprechend ist auch nicht jeder (torsionsfreie) R-Modul von der

Form Rn.

4.2 Noethersche und Artinsche Moduln

In diesem Abschnitt sind aufsteigende und absteigende Ketten von Untermoduln

von Interesse.

4.10 Definition. Ein Modul heißt noethersch, wenn jede nicht leere Menge von

Untermoduln von M ein bezuglich der Inklusionsrelation maximales Element

enthalt.

Ein Modul heißt artinsch, wenn jede nicht leere Menge von Untermoduln von

M ein bezuglich der Inklusionsrelation minimales Element enthalt.

Zum Beispiel ist jeder Hauptidealring R als R-Modul noethersch, aber im

allgemeinen nicht artinsch. Ist I 6= {0} ein Ideal von R, so ist R/I dann auch

artinsch.

4.11 Satz. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Dann sind aquivalent.

(i) Jede aufsteigende Kette von Untermoduln von M wird stationar.

(ii) M ist noethersch.

(iii) Fur jede Familie von Untermoduln Mi mit i ∈ I gibt es ein endliches I0 ⊆ I

mit∑

i∈IMi =∑

i∈I0Mi.

4.2. NOETHERSCHE UND ARTINSCHE MODULN 117

(iv) Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Wenn (ii) nicht gilt, dann gibt es eine nicht-leere Menge X,

die keinen maximalen Untermodul enthalt. Zu jedem Modul aus X gibt es dann

stets einen umfassenderen Modul ausX. Man kann daher (mittels Auswahlaxiom)

eine aufsteigende, nicht stationare Kette definieren.

(ii) ⇒ (iii): In der Menge aller Summen endlich vieler Mi gibt es ein maxi-

males Element N =∑

i∈I0Mi, wobei I0 ⊆ I endlich ist. Wegen der Maximalitat

folgt N +Mi = N fur alle i ∈ I, also∑

i∈IMi = N .

(iii)⇒ (i): Bilden die Mi eine aufsteigende Kette, so gibt es ein j fur welches∑

iMi = Mj . Daher ist die Kette stationar.

(iv)⇒ (iii): Seien aj endlich viele Erzeuger von∑

i∈IMi. Fur jedes j gibt es

ein endliches Ij ⊆ I mit aj ∈∑

i∈IjMi. Dann leistet I0 = ∪jIj das Gewunschte.

(iii) ⇒ (iv): Sei U ein Untermodul. Zu I = U definiere Mi = Ri fur i ∈ I.Dann gilt U =

∑

i∈IMi =∑

i∈I0Mi fur ein endliches I0 ⊆ I. Also ist I0 endliches

Erzeugendensystem von U .

Man beachte, daß in der Definition eines noetherschen Rings R Ideale, al-

so R-Links- und Rechtsmoduln betrachtet werden. Die R-Untermoduln von R

sind aber genau die Linksideale von R. Mit unserer Definition braucht daher ein

noetherscher Ring nicht als R-Modul noethersch zu sein, umgekehrt ist dies aber

der Fall.


(i) Ist M noethersch, so auch U und M/U fur alle Untermoduln U von M .

(ii) Sind U und M/U noethersch fur einen Untermodul U von M , so ist auch

M noethersch.

(iii) Ist M endlich erzeugt und R als R-Modul noethersch, so ist M noethersch.

Beweis. (i): Aufsteigende Ketten von Untermoduln in U sind auch aufsteigende

Ketten von Untermoduln von M und werden daher stationar. Analoges gilt fur

aufsteigendene Ketten von Untermoduln in M/U und ihre Urbilder in M .

(ii): Sei Ui eine aufsteigende Kette in M und U ′i = U ∩ Ui, U ′′i = (Ui + U)/U .

Es gibt ein n, so daß U ′t = U ′n und U ′′t = U ′′n fur alle t ≥ n gilt. Wir zeigen nun

Ut = Un fur t ≥ n. Sei x ∈ Ut. Wegen U ′′t = U ′′n gibt es y ∈ Un mit x − y ∈ U .

Folglich x− y ∈ U ∩ Ut = U ′t = U ′n ⊆ Un. Es ergibt sich x ∈ Un.(iii): Zunachst ist Rn nach (ii) noethersch, indem man Rn/R ∼= Rn−1 beachtet

und Induktion anwendet. Als epimorphes Bild von Rn ist dann auch M wiederum

nach (ii) noethersch.


Es folgen die zu den beiden vorstehenden Satzen analogen Satze fur artinsche

Moduln.

4.13 Satz. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Dann sind aquivalent.

(i) Jede absteigende Kette von Untermoduln von M wird stationar.

(ii) M ist artinsch.

(iii) Fur jede Familie von Untermoduln Mi mit i ∈ I gibt es ein endliches I0 ⊆ I

mit ∩i∈IMi = ∩i∈I0Mi.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Wenn (ii) nicht gilt, dann gibt es eine nicht-leere Menge

X, die keinen minimalen Untermodul enthalt. Zu jedem Modul aus X gibt es

dann stets einen darin echt enthaltenen Modul aus X. Man kann daher (mittels

Auswahlaxiom) eine absteigende, nicht stationare Kette definieren.

(ii) ⇒ (iii): In der Menge aller Durchschnitte endlich vieler Mi gibt es ein

minimales Element N = ∩i∈I0Mi. Wegen der Minimalitat folgt N ∩Mi = N fur

alle i ∈ I, also ∩i∈IMi = N .

(iii)⇒ (i): Bilden die Mi eine absteigende Kette, so gibt es ein j fur welches

∩iMi = Mj . Daher ist die Kette stationar.


(i) Ist M artinsch, so auch U und M/U fur alle Untermoduln U von M .

(ii) Sind U und M/U artinsch fur einen Untermodul U von M , so ist auch M

artinsch.

(iii) Ist M endlich erzeugt und R als R-Modul artinsch, so ist M artinsch.

Beweis. (i): Absteigende Ketten von Untermoduln in U sind auch absteigende

Ketten von Untermoduln von M und werden daher stationar. Analoges gilt fur

absteigendene Ketten von Untermoduln in M/U und ihre Urbilder in M .

(ii): Sei Ui eine absteigende Kette in M und U ′i = U ∩ Ui, U ′′i = (Ui + U)/U .

Es gibt ein n, so daß U ′t = U ′n und U ′′t = U ′′n fur alle t ≥ n gilt. Wir zeigen nun

Ut = Un fur t ≥ n. Sei x ∈ Un. Wegen U ′′t = U ′′n gibt es y ∈ Ut mit x − y ∈ U .

Folglich x− y ∈ U ∩ Un = U ′n = U ′t ⊆ Ut. Es ergibt sich x ∈ Ut.(iii): Zunachst ist Rn nach (ii) artinscher Modul, indem man Rn/R ∼= Rn−1

betrachet und Induktion anwendet. Als epimorphes Bild von Rn ist dann auch M

wiederum nach (ii) artinsch.

4.2. NOETHERSCHE UND ARTINSCHE MODULN 119

Wir nennen eine echt absteigende Kette wie in Definition 4.7 maximal oder

eine Kompositionsreihe, wenn sich die Kette durch Einfugen bzw. Voranstellen

oder Anhangen von weiteren Untermoduln (lokal) nicht verlangern laßt. Eine not-

wendige Bedingung ist also, daß Mi+1 maximal in Mi fur alle i ist. Eine endliche

Kompositionsreihe (also eine Kompositionsreihe endlicher Lange) besitzt daruber-

hinaus notwendigerweise M und {0} als Anfangs- und Endpunkt. Eine beliebige,

echt absteigende Kette mit Anfangs- und Endpunkt M und {0} und mit Mi+1

maximal in Mi ist umgekehrt eine endliche Kompositionsreihe.

Der folgende Satz steht im Zusammenhang mit dem Satz von Jordan-Holder-

Schreier. Das wird in der Algebra 2 noch einmal genauer und allgemeiner aufge-

griffen und bewiesen.

4.15 Satz. Sei M ein Modul. Die Kompositionsreihen von M besitzen alle die

gleichen, maximalen Langen len(M).

Beweis. Lassen wir aus.

Wir vergleichen nun die Eigenschaften noethersch und artinsch mit der Lange

len(M).

4.16 Satz. Sei M ein R-Modul. Dann sind aquivalent:

(i) M ist noethersch und artinsch.

(ii) M besitzt eine endliche Kompositionsreihe.

(iii) len(M) <∞.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Zu jedem Untermodul U 6= {0} von M sei XU die Menge

aller von U verschiedener Untermoduln von U . Da M noethersch ist und XU 6= ∅gilt, gibt es darin ein bezuglich Inklusion maximales Element V , so daß V also

ein maximaler Untermodul von U ist.

Wir definieren mit dieser Beobachtung induktiv eine echt absteigende Kette

M = M0 ) M1 ) . . . . Da M artinsch ist, muß diese Kette nach endlich vielen

Schritten abbrechen, es muß also Mn = {0} fur ein n ∈ Z≥0 gelten. Dies liefert

eine endliche Kompositionsreihe.

(ii) ⇒ (iii): Nach Satz 4.15 stimmen len(M) und die Lange der endlichen

Kompositionsreihe uberein, also gilt len(M) <∞.

(iii) ⇒ (i): Ist M nicht noethersch oder nicht artinsch, so gibt es eine un-

endliche echt auf- oder absteigende Kette von Untermoduln von M . Daher gilt

len(M) =∞.


Als Folgerung aus diesem Satz bemerken wir: Sind die Langen echt absteigen-

der, endlicher Ketten von Untermoduln in M unbeschrankt, so enthalt M auch

eine echt absteigende Kette von Untermoduln unendlicher Lange.

4.17 Satz. Sei M ein R-Modul und U ein Untermodul. Dann gilt len(M) =

len(U) + len(M/U).

Beweis. Ketten von Untermoduln von U sind auch Ketten von Untermoduln

von M . Urbilder von Ketten von Untermoduln von M/U unter dem kanoni-

schen Epimorphismus sind wieder Ketten von Untermoduln von M , welche U

enthalten. Gilt daher len(U) = ∞ oder len(M/U) = ∞, so folgt len(M) =

len(U) + len(M/U) =∞.

Sei nun len(U) < ∞ und len(M/U) < ∞. Die von Kompositionsreihen in

U und M/U herruhrenden Ketten endlicher Lange in M mit den Anfangs- und

Endpunkten {0}, U und U , M konnen aneinandergehangt werden und liefern

eine Kompositionsreihe von M der Lange len(U) + len(M/U). Nach Satz 4.15

folgt len(M) = len(U) + len(M/U).

Aus dem Satz ergibt sich auch len(M1 ⊕M2) = len(M1) + len(M2).

4.3 Matrizen uber Ringen

Ahnlich wie in der linearen Algebra sind Matrizen auch in der Modultheorie

nutzliche Objekte. Wir wollen nun Matrizen uber Ringen betrachten.

Wir befassen uns zunachst mit Determinanten von Matrizen uber beliebi-

gen, kommutativen Ringen. Sei S = Z[x1,1, . . . , xn,n, y1,1, . . . , yn,n], M = (xi,j)i,jund N = (yi,j)i,j, so daß M,N ∈ Sn×n gilt. Dann konnen wir M auch als Ma-

trix uber dem Quotientenkorper Quot(S) von S auffassen und es ist det(M) =∑

σ∈Snsign(σ)x1,σ(1) · · ·xn,σ(n) ∈ S, wie man es aus der linearen Algebra uber

Korpern gewohnt ist. Analoges gilt fur N . Fur Determinanten gilt wie ublich

det(MN) = det(M) det(N) und, daß det eine alternierende Multilinearform ist.

Man beachte, daß dies Gleichungen im Polynomring S = Z[x1,1, . . . , xn,n, y1,1, . . . ,

yn,n] sind, da Determinanten hier nichts anderes als Polynome in den Koeffizi-

enten von M und N sind. Ist Mi,j ∈ S(n−1)×(n−1) die Matrix, die durch Strei-

chen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von M entsteht, so gilt ferner det(M) =∑n

i=1(−1)i+jxi,j det(Mi,j).

Sei nun R ein beliebiger, kommutativer Ring. Da es einen kanonischen Ho-

momorphismus Z → R gibt und die xi,j und yi,j nirgends im Nenner auftreten,

konnen wir sie auch durch spezielle Werte aus R ersetzen. Daher gelten die ge-

nannten Eigenschaften aufgrund der Homomorphieeigenschaft des Einsetzhomo-

morphismus auch fur Matrizen uber R.

4.3. MATRIZEN UBER RINGEN 121

Wir arbeiten auch haufig uber Integritatsringen R. Hier kann man alles in

K = Quot(R) einbetten und so lineare Algebra uber K anwenden. Zum Beispiel

sind die Spalten- und Zeilenvektoren von M ∈ Rn×n genau dann uber R linear

unabhangig, wenn det(M) 6= 0 gilt. Man beachte, daß linear unabhangig uber

R und linear unabhangig uber K fur K = Quot(R) aquivalent sind (man kann

Nenner rausmultiplizieren).

4.18 Satz. Sei R ein kommutativer Ring.

(i) Sei A ∈ Rn×n, x = (xi)t ∈ Rn und b = (bi)

t ∈ Rn mit Ax = b. Ist Bi die

Matrix, deren i-te Spalte gleich b ist und die ansonsten mit A ubereinstimmt,

so gilt det(Bi) = xi det(A).

(ii) Sei M ∈ Rn×n und M ′ = ((−1)i+j det(Mj,i))i,j ∈ Rn×n, wobei Mi,j die Ma-

trix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von M entsteht.

Dann gilt MM ′ = M ′M = det(M)In.

(iii) Eine Matrix M ∈ Rn×n ist genau dann invertierbar, wenn det(M) in R

invertierbar ist.

Beweis. (i): Die i-te Spalte b in Bi ist gleich der Linearkombination der Spalten

von A mit den Koeffizienten xi. Sei Ai,j die Matrix, die an der i-ten Spalte die

j-Spalte von A hat und ansonsten mit A ubereinstimmt. Dann gilt det(Ai,j) =

δi,j det(A) (Kronecker-Delta) und aufgrund der Linearitat der Determinante in

der i-ten Spalte ergibt sich det(Bi) =∑n

j=1 xj det(Ai,j) = xi det(A).

(ii): Fur S statt R folgt die Behauptung als Polynomidentitat, indem man die

Eintrage von M ′ nach (i) unter Verwendung der obigen Entwicklung fur Deter-

minanten und durch Kurzen von det(M) berechnet. Fur M ′ = (xi,j)i,j ergibt sich

genauer xi,j det(M) = det(Mi,j), wobei Mi,j die Matrix ist, die aus M entsteht,

wenn wir die i-te Spalte von M durch den j-ten Einheitsvektor multipliziert mit

det(M) ersetzen. Dann gilt det(Mi,j) = (−1)i+j det(M) det(Mj,i) nach der Ent-

wicklungsformel, da die i-te Spalte in Mi,j Null ist außer in der j-ten Zeile, wo

det(M) steht. Folglich xi,j det(M) = (−1)i+j det(M) det(Mj,i). Da S nullteilerfrei

ist und det(M) 6= 0 gilt, folgt durch Kurzen xi,j = (−1)i+j det(Mj,i) als Polyno-

midentitat.

Durch Spezialisierung der Variablen folgt die Behauptung dann auch fur R.

(iii): Ist M invertierbar, so gilt 1 = det(MM−1) = det(M) det(M−1). Wegen

M−1 ∈ Rn×n folgt auch det(M−1) ∈ R und det(M) ist invertierbar in R.

Umgekehrt sei M ∈ Rn×n und M ′ wie in (ii). Ist det(M) invertierbar, so ist

M ′/ det(M) uber R definert und invers zu M .


Satz 4.18, (i) ist als Cramersche Regel bekannt. Die Matrix M ′ in (ii) nennt

man haufig Pseudoinverse von M .

Invertierbare Matrizen uber Ringen heißen auch unimodular. Ist T ∈ Rn×n,M

ein R-Modul und a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈M mit (a1, . . . , an)T = (b1, . . . , bn), so ist

jedes bi eine Linearkombination der ai und der von den bi erzeugte Untermodul U2

von M ist also ein Untermodul des von den ai erzeugten Moduls U1. Umgekehrt

gilt fur unimodulares T aber auch (a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn)T−1, so daß sich

jedes bi als Linearkombination der ai schreiben laßt und somit U1 = U2 gilt.

Sind die ai und die bi Basen von M , so gibt es ein unimodulares T ∈ Rn×n mit

(a1, . . . , an)T = (b1, . . . , bn).

4.19 Satz. Fur beliebiges T gilt mit obiger Notation det(T )U1 ⊆ U2 und det(T ) ∈Ann(U1/U2).

Beweis. Mit Satz 4.18, (ii) und der Pseudoinversen T ′ von T gilt TT ′ = det(T )In.

Daraus folgt det(T )(a1, . . . , an) = (a1, . . . , an)TT′ = (b1, . . . , bn)T

′ ∈ Un2 , also

det(T )U1 ⊆ U2. Die Aussage uber den Annulator folgt daraus direkt.

Typische unimodulare, elementare Transformationen sind durch folgende Ope-

rationen gegeben: Mit Einheit multiplizieren, Vertauschen, Vielfaches eines Ele-

ments zu einem anderen addieren. Uber euklidischen Ringen laßt sich jede unimo-

dulare Transformation in diese elementaren Transformationen faktorisieren, wie

in Abschnitt 4.4 gezeigt wird.

4.4 Moduln und Matrizen uber Hauptidealringen

In diesem Abschnitt bezeichnet R einen Hauptidealring. Wir leiten zuerst Aussa-

gen uber Matrixnormalformen her und wenden diese dann an, um Aussagen uber

endlich erzeugte Moduln uber Hauptidealringen zu erhalten.

4.20 Lemma. (i) Seien a1, . . . , an ∈ R. Dann gibt es eine unimodulare Matrix

U in Rn×n mit (a1, . . . , an)U = (d, 0, . . . , 0), wobei d = gcd{a1, . . . , an} ist.

(ii) Seien a1, . . . , an ∈ R. Dann gibt es eine Matrix A in Rn×n, deren erste Zeile

gleich (a1, . . . , an) ist und fur die det(A) = gcd{a1, . . . , an} gilt.

Beweis. (i): Fur i < j gibt es λ, µ ∈ R mit λai + µaj = c und c = gcd{ai, aj}.Die Matrix

T ′ =

(

λ −aj/cµ ai/c

)

4.4. MODULN UND MATRIZEN UBER HAUPTIDEALRINGEN 123

ist in R2×2, unimodular und erfullt (ai, aj)T′ = (c, 0). Wir konnen T ′ zu einer

unimodularen Matrix T ∈ Rn×n machen, indem wir T ′ als (erweiterten) Diago-

nalblock in In einbetten, so daß gilt:

(a1, . . . , ai−1, ai,ai+1, . . . , aj−1, aj, aj+1, . . . , an)T

= (a1, . . . , ai−1, c, ai+1, . . . , aj−1, 0, aj+1, . . . , an).

Indem wir diese Schritte wiederholen und die so erhaltenen, unimodularen Trans-

formationsmatrizen T aufmultiplizieren, erhalten wir schließlich ein unimodulares

U ∈ Rn×n mit (a1, . . . , an)U = (d, 0, . . . , 0).

(ii): Sei U unimodular mit (a1, . . . , an)U = (d, 0, . . . , 0), d = gcd{a1, . . . , an}und det(U) = 1 (andernfalls eine Spalte von U durch det(U) dividieren). Sei B die

Matrix, deren erste Zeile (d, 0, . . . , 0) ist und die ansonsten mit In ubereinstimmt.

Dann gilt det(B) = d und die Matrix A = BU−1 erfullt die Bedingungen.

4.21 Definition. Sei M = (mi,j) ∈ Rn×m und Ij = { i | 1 ≤ i ≤ n und mi,j 6= 0}.Wir setzen j0 = max{ j | 1 ≤ j ≤ m und Ij 6= ∅}, ij = min Ij und definieren: M

ist in unterer Spalten-Stufenform, wenn i1 < · · · < ij0.

Sei P ⊆ R ein Vertretersystem nicht-assoziierter Elemente von R und Rb ⊆ R

ein Vertretersystem fur die Restklassen R/Rb fur jedes b ∈ P . Die Matrix M in

unterer Spalten-Stufenform heißt in unterer Spalten-Hermite-Normalform, wenn

fur jedes j = 1, . . . , j0 gilt: mij ,j ∈ P und mij ,k ∈ Rmij ,jfur 1 ≤ k < j.

Entsprechend konnen obere Spalten- und untere, obere Zeilen-Stufenformen

fur M definiert werden.

4.22 Satz. Zu einer Matrix M ∈ Rn×m gibt es eine unimodulare Matrix T ∈Rm×m, so daß MT in unterer Spalten-Stufenform ist. Sind Vertretersysteme P

und Rb gegeben, so kann T so gewahlt werden, daß MT in unterer Spalten-

Hermite-Normalform ist. In diesem Fall ist MT eindeutig durch M bestimmt.

Beweis. Fur M = 0 ist der Satz korrekt. Sei nun M 6= 0 und (a1, . . . , am) 6= 0

die i-te Zeile von M fur 1 ≤ i ≤ n minimal. Nach Lemma 4.20, (i) gibt es ein

unimodulares U1 ∈ Rm×m, so daß die i-te Zeile vonMU1 von der Form (d, 0, . . . , 0)

mit d = gcd{a1, . . . am} ist. Alle Zeilen uber der i-ten Zeile von MU1 sind Null.

Sei M ′ die Matrix, die aus M durch Streichen der ersten i Zeilen von M

und durch Streichen der ersten Spalte von M entsteht. Per Induktion gibt es

eine unimodulare Matrix U ′ ∈ R(m−1)×(m−1), so daß M ′U ′ in unterer Spalten-

Stufenform ist. Wir definieren

U2 =

(

1 0

0 U ′

)

∈ Rm×m


und U = U1U2. Die Matrix U ist unimodular. Dann gilt

MU =

0 0

d 0

∗ M ′U ′

∈ Rn×m

(die ersten Nullzeilen konnen auch wegfallen) undMU ist daher in unterer Spalten-

Stufenform.

Durch Multiplikation der Spalten mit Einheiten erreichen wir die Bedingung

mij ,j ∈ P , durch Addieren von Vielfachen der j-ten Spalte zu den k-ten Spalten

mit k < j fur j = 1, . . . , j0 erreichen wir die Bedingung mij ,k ∈ Rmij ,j. Aufgrund

der Spalten-Stufenform bleibt die Matrix oberhalb der ij-ten Zeile unverandert.

Diese Transformationen entsprechen ebenfalls der Multiplikation mit einer uni-

modularen Matrix und liefern die untere Spalten-Hermite-Normalform von M .

Die Eindeutigkeitsaussagen erhalt man am leichtesten aus der Interpretation

der Spalten vonMU als Modulbasis: Sei V der von den Spalten vonM erzeugte R-

Untermodul von Rn. Aufgrund der Spalten-Stufenform sind die Spalten ungleich

Null von MU linear unabhangig und bilden daher eine Basis von V .

Wir betrachten zunachst die Eindeutigkeit der Zeilenindizes der Stufen und

die Eindeutigkeit bis auf Assoziation der Elemente auf den Stufen. Sei Vi der

Untermodul von V , dessen Elemente an den ersten i−1 Koordinaten Nulleintrage

haben. Fur die Menge I = {ij | 1 ≤ j ≤ j0} der Zeilenindizes der Stufen in MU

gilt dann I = {i | 1 ≤ i ≤ n und Vi 6= Vi+1}. Also ist I unabhangig von U und

eindeutig durch M bestimmt. Ferner liefert die Menge der i-ten Koordinaten

der Elemente aus Vi ein Ideal von R, welches gerade durch das Element auf der

Stufe in Zeile i erzeugt wird. Daher sind diese Elemente unabhangig von U und

bis auf Assoziation eindeutig durch M bestimmt. Die Spalten bj von MU fur

1 ≤ j ≤ j0 sind dann ebenfalls bis auf Multiplikation mit Einheiten aus R und

modulo∑j0

ν=j+1Rbν unabhangig von U und eindeutig durch M bestimmt. Hieraus

folgt auch die Eindeutigkeit der Hermite-Normalform unter weiterer Reduktion

fur j = 1, . . . , j0 nach links.

4.23 Satz. Sei M ein Untermodul von Rn. Dann ist M frei vom Rang ≤ n.

Beweis. Mit Rn ist auch M noethersch und daher endlich erzeugt. Durch An-

wendung der Hermite-Normalform auf die durch die Erzeuger gebildete Matrix

erhalten wir eine Basis von M in unterer Spalten-Stufenform mit ≤ n Elemen-

ten.

Der Eindeutigkeitsbeweis in Satz 4.22 liefert ebenfalls die Existenz einer Basis

bestehend aus ≤ n Elementen jedes Untermoduls von Rn. Wir brauchen dabei


nicht zu verwenden, daß M noethersch oder endlich erzeugt ist. Dies ergibt sich

als Konsequenz der Uberlegung.

Eine unimodulare Matrix M ∈ Rn×n kann nach dem Satz in eine untere Drei-

ecksmatrix mit Einheiten bzw. Einsen auf der Diagonalen transformiert werden.

Indem noch noch links reduziert (Hermite-Normalform bilden), erhalt man In.

Dies zeigt, daß sich jede unimodulare Matrix uber R in ein Produkt der ele-

mentaren, unimodularen Matrizen T ′ bzw. T aus dem Beweis von Lemma 4.20

zerlegen laßt. Fur einen euklidischen Ring R sind diese Matrizen selbst wieder

Produkte der am Ende von Abschnitt 4.1 erwahnten elementaren Matrizen, da

im euklidischen Algorithmus wechselseitig Vielfache von Elementen bzw. Spalten

voneinander abgezogen werden.

Will man Hermite-Normalformen uber einem euklidischen Ring “von Hand”

ausrechnen, kann man wie folgt vorgehen. Man fuhrt den euklidischen Algorith-

mus bezuglich der Elemente der ersten Zeile aus, rechnet aber mit den ganzen

Spalten. Hierbei addiert man also in jedem Schritt ein Vielfaches einer Spalte zu

einer anderen Spalte. Bei Bedarf multipliziert man Spalten mit Einheiten. Zum

Schluß sind in der ersten Zeile alle Elemente bis auf das erste Null. Das erste ist

der großte gemeinsame Teiler der Ausgangszeilenelemente und kann auch Null

sein. Dann fahrt man induktiv mit der zweiten Spalte ab dem zweiten Element

fort. Komplexitatstechnisch gibt es wesentlich effizientere Verfahren zur Hermite-

Normalformberechnung.

Typische, praktische Verwendungszwecke der Hermite-Normalform sind in et-

wa die Berechnung einer Basis eines durch ein Erzeugendensystem gegebenen

Moduls M ⊆ Rn, Test auf Gleichheit, Test auf Inklusion, Summen- und Schnitt-

berechnung zweier solcher Moduln.

Eine r-Minore der Matrix M ∈ Rn×m fur r ≤ min{n,m} ist die Determinante

einer (r × r)-Matrix, die durch Streichen von n − r Zeilen und m − r Spalten

aus M entsteht. Wir definieren dr(M) als den großten gemeinsamen Teiler aller

r-Minoren von M (ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt).

Wir nennen M ∈ Rn×m im folgenden diagonal, wenn M außerhalb der Diago-

nalen nur Nulleintrage besitzt (M muß also nicht unbedingt quadratisch sein).

4.24 Lemma. (i) Sei M ∈ Rn×m eine Diagonalmatrix mit den Diagonalein-

tragen a1, . . . , ad fur d = min{n,m}. Dann gibt es unimodulare Matrizen

U ∈ Rn×n und V ∈ Rm×m, so daß UMV diagonal mit den Diagonalein-

tragen b1, . . . , bd ist und b1 | · · · | bd gilt.

(ii) Seien M ∈ Rn×m und U ∈ Rn×n, V ∈ Rm×m unimodulare Matrizen. Dann

gilt dr−1(M) | dr(M) und dr(M) ∼ dr(UMV ).

Beweis. (i): Sei M ′ die Diagonalmatrix mit ai, aj auf der Diagonalen und gelte


i < j. Die unimodularen Transformationen gehen wie folgt: Addiere die zweite

Zeile von M ′ zur ersten. Wende T ′ aus Lemma 4.20, (i) von rechts auf M ′ an.

Dies liefert(

c 0

µaj d

)

mit c = gcd{ai, aj} und d = aiaj/c = lcm{ai, aj}. Nun ziehen wir das µaj/c-fache

der ersten Zeile von der zweiten Zeile ab und erhalten die Diagonalmatrix mit

c = gcd{ai, aj}, d = lcm{ai, aj} auf der Diagonalen und es gilt c | d. Durch sukzes-

sives Vorgehen fur (i, j) = (1, 2), (1, 3), . . . , (2, 3), (2, 4), . . . , (n−1, n) und Aufmul-

tiplizieren der entsprechenden unimodularen Transformationsmatrizen folgt (i).

(ii): Eine r-Minore kann nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz als Line-

arkombination von (r − 1)-Minoren geschrieben werden. Daher ist das von den

r-Minoren erzeugte Hauptideal I in dem von den (r−1)-Minoren erzeugten Haupt-

ideal J enthalten. Wegen I = Rdr(M) und J = Rdr−1(M) folgt dr−1(M) | dr(M).

Eine r-Minore von MV kann als R-Linearkombination von r-Minoren von M

geschrieben werden, wegen der Linearitat der Determinante in den Spalten und

da jede Spalte von MV eine Linearkombination der Spalten von M ist. Daher

folgt wie eben dr(M) | dr(MV ). Weil V unimodular ist, gilt auch dr(MV ) | dr(M)

fur MV und M = (MV )V −1. Analog folgt die Aussage fur UM und UMV .

4.25 Satz. Sei M ∈ Rn×m und d = min{n,m}. Dann gibt es unimodulare Matri-

zen U ∈ Rn×n und V ∈ Rm×m, so daß UMV diagonal ist und fur die Diagonalele-

mente b1 | · · · | bd gilt. Die bi sind bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig

bestimmt.

Beweis. Wir wenden Lemma 4.20, (i) abwechselnd auf die erste Zeile (unimodu-

lare Transformation von rechts) und erste Spalte (unimodulare Transformation

von links) an. Die auftretenden Elemente in Position (1, 1) erzeugen eine aufstei-

gende Kette von Idealen, welche stationar wird. Dann gilt aber, daß in der ersten

Zeile und Spalte außer dem Element an Position (1, 1) alle Elemente Null sind

(das Element an Position (1, 1) darf auch Null sein). Induktiv diagonalisieren wir

dann die Matrix, die aus M durch Streichen der ersten Zeile und Spalte entsteht,

durch unimodulare Transformationen von links und von rechts. Mit Lemma 4.24,

(i) erreichen wir die aufsteigende Teilerbedingung.

Es gilt dr(UMV ) ∼∏ri=1 bi und somit nach Lemma 4.24, (ii) wegen dr(UMV )

∼ dr(M) auch br ∼ dr(UMV )/dr−1(UMV ) ∼ dr(M)/dr−1(M) fur dr−1(M) 6= 0.

Gilt dr(M) = 0 fur r minimal, so folgt wegen der Teilerbedingung bi 6= 0 fur

1 ≤ i ≤ r − 1 und bi = 0 fur r ≤ i ≤ d. Folglich sind die br unabhangig von U, V

und bis auf Assoziation eindeutig durch M bestimmt.


4.26 Definition. Matrizen UMV in der Diagonalform von Satz 4.25 nennt man

auch in Smith-Normalform oder Elementarteilerform. Die Eintrage bi nennt man

Elementarteiler von M . Man kann zusatzlich fordern, daß die bi in einem Vertre-

tersystem P liegen.

Will man die Smith-Normalform “von Hand” ausrechnen, kann man wie im

Beweis vorgehen. Man tut so, als wollte man die Spalten-Hermite-Normalform

ausrechnen und transformiert die erste Zeile in die Form (∗, 0, . . . , 0). Dann fahrt

man fort, die Zeilen-Hermite-Normalform auszurechen und transformiert die erste

Spalte in die Form (∗, 0, . . . , 0)tr. Dadurch wird im allgemeinen die erste Zeile wie-

der durcheinandergebracht, aber ∗ wird “kleiner”, bis ∗ alle Elemente der ersten

Zeile und Spalte teilt, und diese dann ohne etwas wieder durcheinanderzubringen

zu Null gemacht werden konnen. Komplexitatstechnisch gibt es wieder wesentlich

effizientere Verfahren zur Smith-Normalformberechnung.

Wir verwenden jetzt den Satz uber die Smith-Normalform, um Aussagen uber

endlich erzeugte Moduln uber Hauptidealringen zu erhalten. Der Satz uber die

Smith-Normalform kann als Aussage uber die Existenz und”diagonale“ Lage von

Erzeugendensystemen von Moduln und Untermoduln gesehen werden.

4.27 Satz. Sei M ein endlich erzeugter Modul uber dem Hauptidealring R. Dann

gibt es bi ∈ R\R× mit b1 | · · · | br und

M ∼= R/b1R⊕ · · · ⊕ R/brR.

Hierbei sind r und die Elemente bi bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig

durch M bestimmt.

Beweis. Beweis der Existenz. Da M endlich erzeugt ist, gibt es n ∈ Z≥1 und einen

Epimorphismus f : Rn → M . Der Untermodul N = ker(f) ist nach Satz 4.23

endlich erzeugt und besitzt eine Basis wi mit m ≤ n Elementen. Wir erganzen

diese Basis um n − m Nullspalten wm+1, . . . , wn zu einem Erzeugendensystem

und bezeichnen die resultierende Matrix mit A ∈ Rn×n. Die Einheitsvektoren eiin Rn bilden eine Basis von M , und es gilt (e1, . . . , en)A = (w1, . . . , wn). Nach

Satz 4.25 angewendet auf A erhalten wir eine andere Basis e′i von Rn und ein

anderes Erzeugendensystem w′i von N , so daß w′i = aie′i mit ai ∈ R und ai | ai+1

gilt. Daraus ergibt sich M ∼= Rn/N ∼= R/a1⊕ · · ·⊕R/anR. Durch Fortlassen von

Einheiten unter den ai erhalten wir die gewunschten b1, . . . , br ∈ R\R×.

Den Beweis der Eindeutigkeit verschieben wir auf Bemerkung 4.29 und ver-

wenden bis dahin nur die Existenzaussage von Satz 4.27.

4.28 Korollar. Sei M ein endlich erzeugter Modul uber dem Hauptidealring R.

(i) Es gibt einen freien Modul F , so daß M ∼= Tor(M)⊕ F .


(ii) Ist M torsionsfrei, so ist M frei.

(iii) Mit den Bezeichnungen von Satz 4.27 gilt Ann(M) = Rbr.

Beweis. Mit Satz 4.27 gilt Tor(M) ∼= ⊕bi 6=0R/Rbi und F = ⊕bi=0R. Daraus folgen

(i) und (ii). Aussage (iii) ist aufgrund der aufsteigenden Teilerbedingung auch

klar.

Wir merken an, daß die bi auch Null sein konnen. Die Anzahl der bi mit bi = 0

ist gleich dem Rang von M (Beweis Hausaufgabe),

4.29 Bemerkung. Die Eindeutigkeit der bi in Satz 4.27 wird mit folgenden,

modultheoretischen Uberlegungen erhalten und liefert einen alternativen Beweis

der Eindeutigkeitsaussage von Satz 4.25.

Sei M ∼= R/b1R⊕ · · · ⊕R/brR mit bi ∈ R und bi | bi+1. Zunachst ist br bis auf

Multiplikation mit Einheiten eindeutig durch brR = Ann(M) gegeben. Fur br = 0

gilt br−s+1 = · · · = br = 0, wobei s = rank(M) eindeutig durch M bestimmt wird.

Ohne Einschrankung konnen wir daher br 6= 0 annehmen. Sei p ein Primfaktor

von br. Fur b ∈ R gilt p(R/bR) = R/bR fur p ∤ b und p(R/bR) ∼= R/(b/p)R fur

p | b. Es folgt pM ∼= R/b′1R⊕· · ·⊕R/b′rR mit b′i ∈ R und bi = b′i fur 1 ≤ i ≤ r−dund bi = pb′i fur r− d+ 1 ≤ i ≤ r fur ein d sowie b′i | b′i+1. Per Induktion uber die

Anzahl der Teiler von br konnen wir annehmen, daß die b′i bis auf Multiplikation

mit Einheiten eindeutig durch pM bestimmt sind. Sei M [p] = {x ∈ M | px = 0}.Dann ist M [p] ein R/pR-Vektorraum und die Anzahl der durch p teilbaren bi ist

gleich d = dimM [p]. Dies zeigt, daß die bi nur durch M und die aufsteigende

Teilerbedingung eindeutig bestimmt sind.

Die Eindeutigkeitsaussage von Satz 4.25 ergibt sich dann aus der Interpreta-

tion von M als Transformationsmatrix einer Basis von Rt zu einem Erzeugenden-

system eines Untermoduls U sowie der Isomorphie Rt/U ∼= ⊕iR/biR, wobei die

bi die Diagonalelemente der Smith-Normalform von M sind.

Ein typischer, praktischer Verwendungszweck der Smith-Normalform ist da-

mit, die Struktur bzw. Isomorphieklasse eines durch Erzeuger und R-Relationen

gegebenen Moduls M (also eines Faktormoduls) explizit zu bestimmen. Die Ele-

mente b1, . . . br aus Satz 4.27 sind bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig

bestimmt und heißen Elementarteiler des Moduls M .

Der folgende Satz ist die Primelementpotenzvariante des Hauptsatzes fur end-

lich erzeugte Moduln uber Hauptidealringen.

4.30 Satz. Sei M ein endlich erzeugter Modul uber dem Hauptidealring R. Dann

gibt es Primelemente πi ∈ R, Exponenten ei ∈ Z≥1 und n ∈ Z≥0 mit

M ∼= R/πe11 R⊕ · · · ⊕ R/πerr R⊕ Rn.


Die Isomorphieklasse von M ist durch die (πi, ei) und durch n bis auf die Reihen-

folge oder Multiplikation der πi mit Einheiten eindeutig bestimmt.

Beweis. Sind a, b ∈ R teilerfremd, so gilt nach dem chinesischen Restsatz R/Rab ∼=R/Ra⊕R/Rb auch als R-Moduln. Dies erlaubt es, die direkte Summe in Satz 4.27

weiter zu zerlegen, so daß die bi nur noch Potenzen von Primelementen sind. Dies

liefert die Existenz der πi, ei und von n.

Umgekehrt kann man mit dem chinesischen Restsatz R/πe11 R⊕ · · · ⊕R/πerr R

auch wieder zu R/b1R⊕ · · · ⊕R/bmR mit bi ∈ R\R× und bi | bi+1 auf genau eine

Weise zusammenfassen (fur jedes Primelement die Potenzen aufsteigend in eine

Zeile schreiben und rechtsbundig anordnen. Die bi sind dann die Produkte der

Primelementpotenzen in den Spalten). Die Eindeutigkeit der bi nach Satz 4.27

impliziert dann die Eindeutigkeit der πi und ei wie behauptet. Die Zahl n ist als

Rang von M eindeutig bestimmt.

4.31 Bemerkung. Fur R = Z liefert der Satz den Struktursatz uber endlich

erzeugte, abelsche Gruppen.

Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gibt es n ∈ Z≥1 und

einen Epimorphismus φ : Zn → G. Die Bilder der Einheitsvektoren φ(ei) sind

Erzeuger von G, und die Elemente in ker(φ) die Relationen. Ist M ∈ Zn×n eine

Matrix, deren Spalten Erzeuger von ker(φ) bilden, so kann die Struktur von G

wie in Satz 4.27 mittels der Smith-Normalform M ′ = (biδi,j)i,j von M ermittelt

werden: Es gilt G ∼= Z/b1Z⊕ · · · ⊕ Z/brZ. Fur det(M) 6= 0 folgt #G = |∏i bi| =| det(M ′)| = |det(M)|. Fur det(M) = 0 folgt #G =∞. Der betragsmaßig großte

Eintrag in M ′ ist gleich dem Exponenten von G. Der Annulator von G ist gleich

dem vom Exponenten erzeugten Ideal von Z.

Analoges gilt fur einen endlich erzeugten Modul V uber einem Polynomring

R = k[t], wobei k ein Korper ist. Die Anzahlaussagen werden hier am besten

durch Dimensionsaussagen ersetzt. Jeder R-Modul ist auch ein k-Vektorraum.

Speziell gilt dimk(R) = ∞ und dimk(R/Rb) = deg(b) fur b ∈ R\{0} nach der

Eindeutigkeit der Reste der Polynomdivision. Eine Basis von R/Rb wird durch

1, t, . . . , tdeg(b)−1 gegeben. Beschreibt M ∈ Rn×n den Kern eines Epimorphismus

Rn → V wie eben und ist M ′ = (biδi,j)i,j die Smith-Normalform von M , so gilt

V ∼= R/b1R ⊕ · · · ⊕ R/Rbr als R-Moduln. Daraus folgt dimk(V ) =∑

i deg(bi) =

deg(∏

i bi) = deg(det(M ′)) = deg(det(M)) fur det(M) 6= 0 und dimk(V ) = ∞fur det(M) = 0 nach Satz 4.27. Der Annulator von V ist das vom gradgroßten

Eintrag von M ′ erzeugte Hauptideal von R.

Wir fuhren diese Uberlegungen weiter und betrachten damit eine Anwen-

dung von Satz 4.27 in der linearen Algebra. Sei V ein endlich dimensionaler


k-Vektorraum und φ ∈ Endk(V ). Wir machen V zu einem endlich erzeugten Mo-

dul uber dem Hauptidealring R = k[t] durch die Festlegung tx = φ(x). Ein Er-

zeugendensystem des R-Moduls V ist dann durch die Basis des k-Vektorraums V

gegeben, wobei die Basiselemente im allgemeinen nicht mehr R-linear unabhangig

sind. Nach Satz 4.27 gilt V ∼= R/Rb1 ⊕ · · · ⊕ R/Rbr mit bi ∈ R und bi | bi+1.

Seien v1, . . . , vr ∈ V die Urbilder der Einheitsvektoren der rechten Seite in V .

Mit Vi = Rvi gilt Vi ∼= R/Rbi und V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr. Eine k-Basis von Viwird durch vi, tvi, t

2vi, . . . , tni−1vi mit ni = deg(bi) gegeben, welches die Urbil-

der der k-Basis 1, t, . . . , tni−1 von R/Rbi in Vi sind. Ist bi =∑ni

j=0 bi,jtj , so gilt

tni = −∑ni−1j=0 bi,jt

jvi in R/Rbi und tnivi = −∑ni−1j=0 bi,j(t

jvi) in Vi. Die k-Basen

der Vi liefern zusammen also eine k-Basis von V , so daß die Darstellungsmatrix

von φ bezuglich dieser Basis in rationaler kanonischer Form ist.

Wir konnen V entsprechend Satz 4.30 auch noch in kleinere Bestandteile zer-

legen, wenn wir die bi faktorisieren. Wir ziehen uns gleich auf den Fall V ∼=R/R(t− a)n zuruck und betrachten das Urbild v der Eins von R/R(t− a)n in V .

Eine Basis von V wird wie eben betrachtet durch v, tv, . . . , tn−1v gegeben. Eine

andere Basis von V erhalten wir mit v, (t − a)v, (t − a)2v, . . . , (t − a)n−1v, denn

die t-Potenzen und die (t − a)-Potenzen bilden beide k-Basen von R/R(t − a)n.Wegen t(t− a)i = (t− a)i+1 + a(t− a)i und t(t− a)n−1 = (t− a)n + a(t− a)n−1 ≡a(t − a)n−1 mod (t − a)n erhalten wir fur die Operation von φ auf der Basis

v, (t−a)v, (t−a)2v, . . . , (t−a)n−1v die ublichen Jordankastchen. Eine solche Zer-

legung der Operation von φ in mehrere Jordankastchen ist somit fur allgemeine

V nach Satz 4.30 immer moglich, wenn k algebraisch abgeschlossen ist (also jedes

Polynom aus k[t] in Linearfaktoren aus k[t] faktorisiert werden kann, zum Beispiel

k = C). Wir erhalten in diesem Fall daruberhinaus eine Zerlegung der Darstel-

lungsmatrix M von φ in der Form M = M1 +M2, wobei M1 eine Diagonalmatrix

und M2 eine strikt untere Dreiecksmatrix (also nilpotent) ist. Entsprechend zer-

legt sich φ in φ = φ1 + φ2.

Wir wollen die Jordan-Normalform mittels der Smith-Normalform wie in den

Uberlegungen nach Bemerkung 4.31 berechnen. Dazu mussen wir die Matrix M

bestimmen. Ist A die Darstellungsmatrix von φ bezuglich einer Basis vi von V

(also (φ(v1), . . . , φ(vn)) = (v1, . . . , vn)A), so bilden die Spalten von M = tIn − Aeine Basis der Kerns N des Epimorphismus f : Rn → V , welcher ei nach viabbildet. Die Spalten sind namlich einerseits im Kern N enthalten, wie man direkt

nachrechnet: Ist A = (ai,j)i,j und mj =∑n

i=1(δi,jt− ai,j)ei die j-te Spalte von M ,

so folgt f(mj) =∑n

i=1(δi,jt − ai,j)vi = φ(vj) −∑n

i=1 ai,jvi = 0. Auf der anderen

Seite gilt deg(det(tIn −M)) = n und fur den von den Spalten von M erzeugten

Untermodul N ′ von N die Gleichung dimk(Rn/N ′) = deg(det(tIn −M)) = n wie

oben dargelegt. Wegen dimk(Rn/N) = n und N ′ ⊆ N folgt N ′ = N . Mit Hilfe von

4.5. GROBNERBASEN 131

M = tIn−A und der Smith-Normalform kann man also die rationale kanonische

Form oder die Jordan-Normalform von M berechnen. In der obigen Notation ist

br (der Erzeuger des Annulators) das Minimalpolynom und det(tIn −A) =∏

i bidas charakteristische Polynom von φ.

Darstellungsmatrizen A1, A2 von φ bezuglich verschiedener Basen von V lie-

fern verschiedene charakteristische Matrizen tIn−A1, tIn−A2 und Kerne N1, N2

von Rn. Es gilt aber, daß Rn/N1 und Rn/N2 als R-Moduln isomorph sind. Wegen

der Eindeutigkeit der Elementarteiler stimmen daher die Smith-Normalformen

von tIn−A1 und tIn−A2 uberein. Gleichsetzen zeigt, daß tIn−A1 und tIn−A2

als Matrizen aquivalent uber R sind. Daher sind A1 und A2 genau dann ahnlich

uber k, wenn tIn−A1 und tIn−A2 uber R aquivalent sind (Satz von Frobenius).

Nach Satz 4.19 gilt det(tIn−A)Rn ⊆ N und aquivalenterweise det(tIn−A)V =

{0}. Das ist der Satz von Cayley-Hamilton: Wenn man φ beziehungsweise M in

sein charakteristisches Polynom det(tIn − A) einsetzt, kommt die Nullabbildung

beziehungsweise die Nullmatrix heraus.

Hausaufgabe: Wie findet man ausgehen von M = tIn−A die Basen, bezuglich

derer die Darstellungsmatrix von φ in rationaler kanonischer Form oder in Jordan-

Normalform ist?

4.5 Grobnerbasen

Groberbasen sind spezielle Erzeugendensysteme von Moduln uber multivariaten

Polynomringen und ermoglichen Algorithmen fur eine Vielzahl von Berechnungs-

problemen wie zum Beispiel den Test auf Zugehorigkeit von Elementen eines

Moduls zu einem Untermodul. Sie stellen eine weitreichende Verallgemeinerung

von Basen eines Untermoduls von k[x]n in Hermite-Normalform uber einem uni-

variaten Polynomring k[x] uber einem Korper dar. Im folgenden gehen wir nur

auf die Grundidee ein, dies allerdings in einer recht allgemeinen Formulierung.

4.32 Definition. Sei R ein Integritatsring. Wir definieren eine”Theorie des Leit-

terms“ fur R wie folgt.

Sei G ein abelscher Monoid mit Kurzungsregel und einer mit der Addition in

G vertraglichen Wohlordnung ≥ sowie d ≥ 0 fur alle d ∈ G. Wir nennen G in

diesem Abschnitt einen Gradbereich.

Fur jedes d ∈ G sei Rd eine Untergruppe der additiven Gruppe von R, so daß

R =∐

d∈G

Rd

ist. Fur die Multiplikation in R soll gelten RdRe ⊆ Rd+e sowie 1 ∈ R0.


Wir nennen die Elemente aus Rd\{0} Terme oder homogene Elemente von R

des Grads d. Jedes f ∈ R ist also auf eindeutig bestimmte Weise eine endliche

Summe f =∑

d∈G fd von Termen fd von R. Ist f 6= 0 und d maximal in G mit

fd 6= 0, so definieren wir den Leitterm von f als lt(f) = fd und den Grad von f

als deg(f) = d. Fur f = 0 definieren wir lt(f) = 0 und deg(f) = −∞.

Wir nennen R zusammen mit diesen Definitionen einen G-graduierten Ring.

Ein Homomorphimus der G-graduierten Ringe R und G ist ein Ringhomomor-

phismus φ : R→ G mit φ(Rd) ⊆ Gd fur alle d ∈ G.

Ist R ein G-graduierter Ring, so dehnen wir diese Definitionen auf einen R-

Modul wie folgt aus.

4.33 Definition. Sei H ein Gradbereich und G ⊆ H ein abelscher Untermonoid,

so daß G bezuglich der Ordnung von H ebenfalls ein Gradbereich ist. Sei R ein G-

graduierter Ring und M ein R-Modul. Fur jedes d ∈ H sei Md eine Untergruppe

der additiven Gruppe von M , so daß

M =∐

d∈T

Md

ist. Fur die Multiplikation mit Elementen aus R soll gelten RdMe ⊆Md+e fur alle

d ∈ G und e ∈ H .

Wir nennen die Elemente aus Md\{0} Terme oder homogene Elemente von M

des Grads d. Jedes f ∈ M ist also auf eindeutig bestimmte Weise eine endliche

Summe f =∑

d∈G fd von Termen fd von M . Ist f 6= 0 und d maximal in H mit

fd 6= 0, so definieren wir den Leitterm von f als lt(f) = fd und den Grad von f

als deg(f) = d. Fur f = 0 definieren wir lt(f) = 0 und deg(f) = −∞.

Wir nennen M zusammen mit diesen Definitionen einen H-graduierten R-

Modul. Ein Homomorphismus der H-graduierten R-Moduln M und N ist ein

R-Modulhomomorphismus φ : M → N mit φ(Md) ⊆ Nd fur alle d ∈ H .

Fur d ∈ H definieren wir M(−d) = M als R-Modul und und M(−d)e = Me−d,

falls e−d ∈ H , und M(−d)e = 0 sonst. Da mit e auch e−d uber alle Elemente aus

H lauft, gilt M(−d) =∐

e∈HM(−d)e und M(−d) ist ebenfalls ein H-graduierter

Modul. Ist f ein Term von M(−d) vom Grad n, so ist f auch ein Term von M

vom Grad n− d.

In der Definition 4.33 werden nur Elemente aus G und aus H , nicht jedoch

zwei Elemente aus H addiert. Es wurde daher genugen, H als wohlgeordnete

Menge zu definieren, auf der G mit den Ordnungsrelationen vertraglich durch

eine Verknupfung + operiert.

Aufgrund der Definitionen sind die Md auch R0-Moduln.


4.34 Beispiel. Sei 0 der Nullmonoid. Ist R ein Ring und M ein R-Modul, so

setzen wir R0 = R und M0 = M und erhalten R und M als 0-graduierten Ring

beziehungsweise als 0-graduierten Modul.

4.35 Beispiel. Seien G1, G2 zulassige abelsche Monoide. Dann konnen wir den

abelschen Monoid G1×G2 zu einem zulassigen abelschen Monoid machen, in dem

wir (x1, y1) ≤ (x2, y2) :⇔ y1 < y2 oder (y1 = y2 und x1 ≤ x2) fur x1, x2 ∈ G1 und

y1, y2 ∈ G2 definieren.

Ist R ein G-graduierter Ring, so konnen wir damit R[t] zu einem G × Z≥0-

graduierten Ring machen, indem wir R[t](d,n) = {atn | a ∈ Rd} definieren.

Ist k[t1, . . . , tn] und ist k ein 0-graduierter Korper wie in Beispiel 4.34, so

wird k[t1, . . . , tn] induktiv zu einem (Z≥0)n-graduierten Ring, wobei die Elemente

aus (Z≥0)n lexikographisch angeordnet sind. Die k[t1, . . . , tn]d sind hier auch ein-

dimensionale k-Vektorraume, die jeweils von einem Monom in t1, . . . , tn erzeugt

werden.

Fur k[t] erhalten wir einen Z≥0-graduierten Ring, Md = {atd | a ∈ k} und

deg(td) = d, wie gewohnt.

4.36 Beispiel. Ist R ein G-graduierter Ring und sind M1, . . . ,Mn H-graduierte

R-Moduln, so konnen wir M =∐n

i=1Mi wie folgt zu einem H-graduierten R-

Modul machen. Wir definieren Md =∐n

i=1(Mi)d. Wir man leicht sieht, gilt M =∐

d∈HMd und M ist ein H-graduierter R-Modul.

4.37 Beispiel. Fuhren wir die Konstruktion aus Beispiel 4.36 mitR = k[t1, . . . , tn]

und Mi = R wie in Beispiel 4.35 durch, so erhalten wir dimk(Rd) = 1 und

dimk((Rn)d) = n. Es ist aber mitunter wunschenswert, dimk((R

n)d) = 1 zu ha-

ben. Dies kann mit der folgenden Konstruktion erreicht werden.

Sei R ein G-graduierter Ring und H = G × Z≥0 wie in Beispiel 4.35. Wir

identifizieren G mit dem Untermonoid G × {0}. Sei ιi : Mi → M =∐n

i=1Mi

die i-te Einbettung. Fur e ∈ H mit e = (d, i) definieren wir Me = ιi(Md) fur

1 ≤ i ≤ n und Me = 0 sonst. Damit wird M zu einem H-graduierten R-Modul.

Die Terme aus M werden durch deg wieder lexikographisch angeordnet.

4.38 Beispiel. SeiM einH-graduierterR-Modul undN ein Untermodul, welcher

von Termen fi ∈ M erzeugt wird. Dann ist N ein H-graduierter R-Untermodul

von M , wie man sich leicht uberlegt: Ist Nd = N ∩Md, so gilt N =∐

d∈H Nd.

Daher wird auch M/N =∐

d∈HMd/Nd zu einem H-graduierten Modul, indem

wir (M/N)d = Md/Nd definieren.

4.39 Beispiel. Grobnerbasen werden haufig nur fur R = k[t1, . . . , tn] und mit Hil-

fe von Monomordnungen, also mit der Multiplikation von Monomen vetraglichen

Ordnungen der Monome von k[t1, . . . , tn], behandelt. Die Verbindung zu unseren


allgemeinen Definitionen ist dabei wie folgt. Ist ≤ eine solche Monomordnung, so

definieren wir eine Termordnung ≤ fur Terme a, b durch a ≤ b, wenn dies fur die

unterliegenden Monome gilt. Streng genommen ist dies keine Ordnung mehr, da

fur Terme a, b aus a ≤ b und b ≤ a nicht mehr a = b folgt. Wir konnen jedoch eine

Aquivalenzrelation ≈ fur Terme a, b durch a ≈ b :⇔ (a ≤ b und b ≤ a) definieren.

(Gilt a ≈ b, so gibt es c ∈ k× mit a = cb.) Die Aquivalenzklasse von a sei mit [a]

bezeichnet. Damit definieren wir G = {[a] | a Term von R}, [a] + [b] = [ab] sowie

[a] ≤ [b] ⇔ a ≤ b. Dann ist G ein Gradbereich und es gilt k[t1, . . . , tn]d = {a | aTerm von R mit [a] = d } ∪ {0}, sowie deg(a) = [a] fur Terme a von R.

Umgekehrt erhalten wir fur einen G-graduierten Ring mit a ≤ b :⇔ deg(a) ≤deg(b) eine Termordnung im obigen Sinn. Unsere Definition ist jedoch allgemeiner,

da zum Beispiel fur R = k[t1, . . . , tn] und G = Z≥0 auch homogene Polynome vom

Grad d ∈ Z≥0 als Terme vom Grad d aufgefaßt werden konnen.

In praktischen Situation geht man von Monomordnungen wie oben aus, und

erhalt daraus die graduierten Ringe beziehungsweise graduierten Moduln.

Im folgenden sei R ein G-graduierter Ring und M ein H-graduierter Modul.

Die Grundidee ist nun, Berechnungen mit Elementen aus M auf Berechnungen

mit Elementen aus Md fur d ∈ H zuruckzufuhren. Die Annahme hierbei ist, daß

letzteres relativ einfach ein soll, was aber von der konkreten Situation abhangt

(zum Beispiel besteht fur 0-graduierte Modul kein Unterschied in Berechnungen

in M oder in den Md, da M0 = M und es keine weiteren d gibt). Im folgenden

ist es oft hilfreich, sich M als∐

d∈HMd vorzustellen.

4.40 Lemma. Seien f, g1, . . . , gm ∈ M und λi ∈ R mit lt(f) =∑m

i=1 λilt(gi).

Dann gibt es µi ∈ R mit lt(f) =∑m

i=1 µilt(gi) und µi = 0 oder µi ein Term von

R mit deg(µigi) = deg(f) fur 1 ≤ i ≤ m.

Beweis. Gilt d = deg(λigi) > deg(f) fur ein i, und ist d maximal mit dieser

Eigenschaft, so addiert sich lt(λi)lt(gi) mit anderen lt(λj)lt(gj) gleichen Grads

innerhalb Md zu Null. Wir konnen daher die entsprechenden lt(λi) und lt(λj) aus

λi beziehungsweise λj entfernen, ohne das Ergebnis der Summe∑

i λilt(gi) zu

andern, da die lt(gi) Terme sind. Da G wohlgeordnet ist, bricht dieser Redukti-

onsprozeß nach endlichen vielen Schritten mit λ′i ∈ R mit lt(f) =∑

i λ′ilt(gi)

und deg(λ′igi) ≤ deg(f) fur alle i ab. Da lt(f) =∑

i λ′ilt(gi) ein Term ist,

folgt lt(f) =∑

deg(λ′igi)=deg(f) lt(λ′i)lt(gi) durch Einschrankung der Betrachtung

auf Mdeg(f). Also gibt es µi wie behauptet.

In Anwendungen gehen wir davon aus, daß wir effektiv feststellen konnen,

ob es zu f und den gi Elemente µi wie in Lemma 4.40 gibt, und daß wir diese

gegebenenfalls effektiv berechnen konnen. Die Idee hierbei ist, daß dies leicht


moglich sein sollte, da wir nur mit Termen arbeiten mussen. Wir bemerken, daß

die µi im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sind.

Der folgende Satz liefert eine verallgemeinerte Polynomdivision mit Rest.

4.41 Satz. Seien f, g1, . . . , gm ∈M . Dann gibt es λi ∈ R und r ∈M mit

f =

m∑

i=1

λigi + r

sowie deg(λigi) ≤ deg(f) fur 1 ≤ i ≤ m und r = 0 oder lt(r) 6∈∑mi=1R lt(gi).

Beweis. Fur lt(f) 6∈∑mi=1R lt(gi) ist der Satz mit λi = 0 und r = f wahr. Es gelte

also lt(f) ∈∑mi=1R lt(gi). Nach Lemma 4.40 gibt es µi ∈ Rmit lt(f) =

∑

i µilt(gi)

und deg(µigi) ≤ deg(f). Sei h = f −∑i µigi. Dann gilt deg(h) < deg(f), da sich

der Leitterm von f weghebt. Da G wohlgeordnet ist, muß dieser Reduktionsprozeß

mit h = 0 oder h 6∈∑mi=1R lt(gi) enden.

Der Beweis liefert aufbauend auf Lemma 4.40 ein Verfahren, wie die λi und

r zu berechnen sind. Allerdings hangen die λi und r von den Wahlen der µi in

den einzelnen Schritten des Verfahrens ab und sind somit im allgemeinen nicht

eindeutig bestimmt.

Satz 4.41 motiviert folgende Definition.

4.42 Definition. Sei N ein Untermodul von M . Elemente g1, . . . , gm ∈ N heißen

eine Grobnerbasis von N , wenn lt(f) ∈∑mi=1R lt(gi) fur alle f ∈ N gilt.

Ist N ein Untermodul von M , g1, . . . , gm eine Grobnerbasis von N und f ∈M ,

so konnen wir mit Satz 4.41 leicht feststellen, ob f ∈ N gilt oder nicht. Wir

berechnen dazu ein r wie in Satz 4.41, und dann gilt aufgrund der Grobnerbasis-

eigenschaft f ∈ N genau dann, wenn r = 0 gilt. Speziell sind die g1, . . . , gm auch

ein Erzeugendensystem von N .

4.43 Satz. Sei M noethersch. Dann besitzt jeder Untermodul N eine Grobner-

basis.

Beweis. Seien g1, . . . , gm ∈ N ein endliches Erzeugendensystem von N und Tm =∑m

i=1R lt(gi). Sind die gi keine Grobnerbasis von N , so gibt es f ∈ N mit lt(f) 6∈Tm. Wir setzen gm+1 = f , Tm+1 =

∑m+1i=1 R lt(gi) und erhalten Tm ( Tm+1.

Da M noethersch ist, muß diese Konstruktion abbrechen, es muß also ein n mit

lt(f) ∈ Tn fur alle f ∈ N geben. Dann ist g1, . . . , gn eine Grobnerbasis von N .

Wir wollen im folgenden eine Charakterisierung von Grobnerbasen angeben,

die es erlaubt, ein Konstruktionsverfahren fur Grobnerbasen anzugeben.


4.44 Satz. Seien g1, . . . , gm ∈ M ein Erzeugendensystem von N . Die gi sind

genau dann eine Grobnerbasis von N , wenn es fur f =∑m

i=1 λigi mit beliebigen

λi ∈ R Elemente µi ∈ R mit f =∑m

i=1 µigi und deg(µigi) ≤ deg(f) gibt.

Beweis.”⇒“: Ergibt sich aus Satz 4.41, da dort nur r = 0 moglich ist.

”⇐“: Es folgt lt(f) =

∑

deg(µigi)=deg(f) lt(µi)lt(gi), also lt(f) ∈∑iR lt(gi).

Unser Ziel ist es, die Bedingung von Satz 4.44 nur fur gewisse, endlich viele

Vektoren (λ1, . . . , λm) mit deg(λigi) > deg(f) fur ein mindestens ein i uberprufen

zu mussen, um auf die Grobnerbasiseigenschaft der gi schließen zu konnen.

Sei F =∐m

i=1R(− deg(gi)) der G-graduierte R-Modul, der wie in Beispiel 4.36

fur die G-graduierten Moduln R(− deg(gi)) definiert wird. Damit kann die Grad-

aussage deg(µigi) ≤ deg(f) vereinfacht als deg((µi)i) ≤ deg(f) geschrieben wer-

den, wobei (µi)i als Element von F aufgefaßt wird. Fur die unterliegenden R-

Moduln (das heißt, wenn wir die Graduierung außer acht lassen) gilt F = Rn.

4.45 Satz. Sei R noethersch und seien g1, . . . , gm ∈ M ein Erzeugendensy-

stem von N . Es gibt endlich viele Terme (λ1,j, . . . , λm,j) von F mit der fol-

genden Eigenschaft. Sei fj =∑m

i=1 λi,jgi. Dann sind die gi genau dann eine

Grobnerbasis von N , wenn es (µ1,j, . . . , µm,j) ∈ F mit fj =∑m

i=1 µi,jgi und

deg((µ1,j, . . . , µm,j)) ≤ deg(fj) fur alle j gibt.

Beweis.”⇒“: Folgt aus Satz 4.44.

”⇐“: Wir brauchen uns nur auf (λi,j)i mit deg((λi,j)i) > deg(fj) zu be-

schranken. Wir betrachten den von allen Termen (λi)i ∈ F mit deg((λi)i) >

deg(∑

i λigi) erzeugten Untermodul V von F . Da F mit R noethersch ist, genugen

zur Erzeugung von V endliche viele solcher (λi)i, und diese seien mit (λi,j)i be-

zeichnet. Zu den (λi,j)i seien die fj und die (µi,j)i wie in der Voraussetzung.

Seien (λi)i ∈ F und f =∑

i λigi mit deg((λi)i) > deg(f). Nach Satz 4.44

genugt es zu zeigen, daß es (µi)i ∈ F mit f =∑

i µigi und deg((µi)i) ≤ deg(f)

gibt. Sei d = deg((λi)i) und (λ′i)i = (λi)i − lt((λi)i). Es gilt deg((λ′i)i) < d und

lt((λi)i) ∈ V . Daher gibt es wj ∈ R mit lt((λi)i) =∑

j wj(λi,j)i. Nach Lemma 4.40

konnen wir ohne Einschrankung annehmen, daß wj = 0 oder deg(wj(λi,j)i) =

deg(lt((λi)i)) = d gilt. Wir erhalten (λi)i = lt((λi)i) + (λ′i)i =∑

j wj(λi,j)i +

(λ′i)i und f =∑

i λigi =∑

i

∑

j wjλi,jgi +∑

i λ′igi. Wegen fj =

∑

i λi,jgi =∑

i µi,jgi erhalten wir weiter f =∑

j

∑

i wjµi,jgi +∑

i λ′igi =

∑

i λ′′i gi mit (λ′′i )i =

∑

j wj(µi,j)i+(λ′i)i ∈ F . Wegen deg((µi,j)i) < deg((λi,j)i) nach Voraussetzung gilt

auch deg(wj(µi,j)i) < deg(wj(λi,j)i) = d. Mit deg((λ′i)i) < d ergibt sich zusammen

deg((λ′′i )) < d.

Gilt also f =∑

i λigi fur (λi)i ∈ F mit deg((λi)i) > deg(f), so gibt es aufgrund

der Voraussetzungen (λ′′i )i ∈ F mit f =∑

i λ′′i gi und deg((λ′′i )i) < deg((λi)i).


Wegen der Wohlordnungseigenschaft erhalten wir nach endlich vielen Schritten

(µi)i = (λ′′i )i ∈ F mit f =∑

i µigi und deg((µi)i) ≤ deg(f).

Satz 4.45 wird auch (verallgemeinertes) Kriterium von Buchberger genannt.

Es liefert eine Moglichkeit, Grobnerbasen in endlichen vielen Schritten zu kon-

struieren.

4.46 Algorithmus. (Buchberger)

Input: Ein endliches Erzeugendensystem G des R-Untermoduls N 6= 0 von M ,

wobei M endlich erzeugt und R noethersch ist.

Output: Eine Grobnerbasis von N .

1. Berechne die (λg,j)g aus Satz 4.45 und fj =∑

g∈G λg,jg.

2. Berechne fj =∑

g∈G µg,jg + rj fur alle j wie in Satz 4.41.

3. Sind alle rj = 0, so gebe G aus und terminiere.

4. Fuge die rj mit rj 6= 0 zu G hinzu und gehe zu Schritt 1.

Beweis. Wir mussen zeigen, daß der Algorithmus nach endlichen vielen Schritten

mit einer Grobnerbasis von N terminiert.

Sei TG =∑

g∈GR lt(g). Fur rj 6= 0 gilt lt(rj) 6∈ TG nach Satz 4.41. Durch

die Hinzunahme von diesen rj zu G vergroßern wir also TG. Da M noethersch

ist (M ist endlich erzeugt und R ist noethersch), kann Schritt 4 nur endlich

oft durchlaufen werden. Sind aber alle rj = 0, so ist G nach Satz 4.45 eine

Grobnerbasis von N .

4.47 Beispiel. Wir betrachten eine konkrete Form von Satz 4.45 furR = k[t1, . . . ,

tn] und M = R. Wir wahlen G so, daß Md fur alle d ∈ G ein von einem Monom er-

zeugter, eindimensionaler k-Vektorraum wird (wie in Beispiel 4.35 zum Beispiel).

Seien g1, . . . , gm ∈ M . Gilt f =∑

i λigi mit d = maxi deg(λigi) > deg(f).

Dann besitzen alle λigi mit deg(λigi) = d, hiervon gibt es mindestens zwei, bis

auf Vielfache aus k× den gleichen Leitterm v. Daher ist v durch das kleinste ge-

meinsame Vielfache der Leitterme der zugehorigen gi teilbar. Seien konkret g1

und g2 unter diesen gi und seien σ1,2, σ2,1 Terme mit σ1,2lt(g1) = σ2,1lt(g2) =

lcm{lt(g1), lt(g2)}. Wir verwenden hier, daß k ein Korper ist und es ein kleinstes

gemeinsames Vielfaches von Termen gibt. Wegen σ1,2lt(g1) | lt(λ1g1) und σ2,1lt(g2) |lt(λ1g1) gibt es Terme w1, w2 mit lt(λ1g1) = w1σ1,2lt(g1) = w2σ2,1lt(g2). Also

gilt auch lt(λ1) = w1σ1,2. Gibt es nun µi ∈ R mit σ1,2g1 − σ2,1g2 =∑

i µigiund deg(µigi) ≤ deg(

∑

i µigi) < d, so definieren wir: λ′1 = λ1 − w1σ1,2 + w1µ1,


λ′2 = λ2+w1σ2,1+w1µ2, λ′i = λi+w1µi fur i > 2. Dann gilt f =

∑

i λigi =∑

i λ′igi,

deg(λ′igi) ≤ deg(λigi) und in der zweiten Summe gilt deg(λ′igi) = d mindestens

einmal weniger als deg(λigi) = d in der ersten Summe.

Iterieren wir diese Reduktion, so erhalten wir zwei Aussagen. Erstens: Seien

die σi,j Terme mit σi,jlt(gi) = σj,ilt(gj) und die ei Einheitsvektoren in Rm. Dann

bilden die σi,jei − σj,iej fur alle i 6= j eine Familie von (λ1,j, . . . , λm,j) wie in

Satz 4.45. Zweitens: Die Reduktionsprozedur liefert einen alternativen Beweis

von Satz 4.45.

Sei N ein Untermodul von M . Wir definieren deg(N) = {deg(f) | f ∈ N}.Der Einfachheit halber nehmen wir nun an, daß R0 ein Korper ist und daß Rd

und Me freie R0-Moduln vom Rang eins fur alle d ∈ G und e ∈ H sind. Dies ist

in vielen Anwendungen der Fall. Fur jedes d ∈ H wahlen wir einen Erzeuger md

von Md.

4.48 Definition. Seien die g1, . . . , gm ∈ M eine Grobnerbasis von N . Dann

heißen die gi eine minimale Grobnerbasis, wenn kein gi fortgelassen werden kann,

so daß die restlichen gj eine Grobnerbasis von N bilden.

Sind die g1, . . . , gm ∈ M eine minimale Grobnerbasis von N , so heißen die

gi eine reduzierte Grobnerbasis, wenn (gi)deg(gi) = mdeg(gi) und (gi)d = 0 fur alle

d ∈ H mit d < deg(gi) und d ∈ deg(M) sowie alle i gilt.

Die Existenz minimaler Grobnerbasen ist klar. Eine Grobnerbasis g1, . . . , gmvon N ist genau dann minimal, wenn die lt(g1), . . . , lt(gm) ein minimales Erzeu-

gendensystem von lt(N) bilden.

4.49 Satz. Sei N ein Untermodul von M . Besitzt N eine Grobnerbasis, so gibt

es mit den obigen Definitionen genau eine reduzierte Grobnerbasis von N .

Beweis. Sei g1, . . . , gm ∈ M eine minimale Grobnerbasis von M , wobei wir ohne

Einschrankung deg(gi) < deg(gi+1) annehmen durfen. Durch Multiplikation mit

Elementen aus R×0 konnen wir (gi)deg(gi) = mdeg(gi) fur alle i erreichen. Wir zeigen

nun per Induktion uber i, daß es eine minimale Grobnerbasis g1, . . . , gm von N

gibt, in der g1, . . . , gi den Reduktionsbedingungen genugen. Fur i = 1 ist die Aus-

sage klar, da deg(g1) minimal in deg(N) ist. Fur den Schritt i−1 nach i bemerken

wir, daß wir gi durch ein Element der Form gi−∑i−1

j=1 λjgj mit deg(λjgj) < deg(gi)

ersetzen konnen, so daß (gi)d = 0 fur alle d < deg(gi) und d ∈ deg(N) gilt. Die

resultierenden Elemente sind dann immer noch eine minimale Grobnerbasis. Fur

i = n erhalten wir per Induktion schließlich eine reduzierte Grobnerbasis.

Der Beweis der Eindeutigkeit ist eine Hausaufgabe.


4.50 Bemerkung. Minimale Grobnerbasen entsprechen der Spalten-Stufenform

aus Definition 4.21, wohingegen reduzierte Grobnerbasen der Hermite-Normalform

entsprechen. Die Grade der Elemente einer minimalen Grobnerbasis entsprechen

den Zeilenindizes der Stufen in der Spalten-Stufenform und stellen (in aufsteigen-

der Reihenfolge sortiert) eine Invariante des graduierten Moduls dar. Das Reduk-

tionsverfahren in Satz 4.49 ist dem im Satz 4.22 nachempfunden.

4.51 Bemerkung. Reduzierte Grobnerbasen lassen sich auch allgemein definie-

ren, wenn man kanonische Erzeugendensysteme (zum Beispiel wieder reduzierte

Grobnerbasen) der R0-Untermoduln lt(N)d der Md sowie Vertretersysteme der

Md/lt(N)d definiert, wobei lt(N) =∑

f∈N R lt(f) ist. Zum Beispiel sollen die

(gi)deg(gi) mit deg(gi) = e kanonische Erzeuger von lt(N)e sein und die (gi)d aus

den Vertretersystemen von Md/lt(N)d stammen. Der Beweis von Satz 4.49 kann

dann im Prinzip relativ ahnlich gefuhrt werden.

Kapitel 5

Algebraische

Korpererweiterungen

Die zentralen Objekte dieses Kapitels sind algebraische Korpererweiterungen. Sol-

che Erweiterungen ergeben sich bei der naheren Untersuchung algebraischer Ei-

genschaften von Nullstellen von Polynomen und treten heute in vielen, auch an-

wendungsbezogenen Bereichen der Mathematik auf.

Sei zum Beispiel f ∈ Q[t] ein irreduzibles Polynom und a ∈ C mit f(a) = 0.

Man kann zeigen, daß alle algebraischen Ausdrucke in a der Form g1(a)/g2(a) mit

g1, g2 ∈ Q[t] und g2(a) 6= 0 Nullstellen von Polynomen h ∈ Q[t] mit deg(h) ≤deg(f) sind und einen Korper Q(a) bilden, welcher Q enthalt. Wir werden so

auf eine algebraische Korpererweiterung Q(a)/Q gefuhrt. Man kann dann bei-

spielsweise schließen, daß fur ein irreduzibles h ∈ Q[t] mit deg(h) > deg(f) die

Gleichung h(b) = 0 keine Losung b ∈ Q(a) haben kann. In ahnlicher Weise laßt

sich die Nichtlosbarkeit einiger klassischer Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und

Lineal nach geeigneter Algebraisierung beweisen.

5.1 Endliche, algebraische und transzendente

Korpererweiterungen

Im folgenden bezeichnet E einen Korper und K einen Teilkorper. Wir bemerken,

daß also per Definition K ⊆ E gilt und K bezuglich der Addition und Multiplika-

tion und bezuglich der Elemente 0, 1 von E ein Korper ist. Insbesondere haben E

und K den gleichen Primkorper. Ferner kann E auch als K-Vektorraum aufgefaßt

werden. Dies ermoglicht, Methoden aus der linearen Algebra anzuwenden.

5.1 Definition. Das Paar (E,K) heißt Korpererweiterung und wird als E/K

geschrieben. Der Korper E heißt ein Erweiterungskorper von K. Ein Teilkorper

141

142 KAPITEL 5. ALGEBRAISCHE KORPERERWEITERUNGEN

F von E mit K ⊆ F heißt Zwischenkorper der Erweiterung E/K.

5.2 Definition. Der Grad der Korpererweiterung E/K wird als die Dimension

des K-Vektorraums E definiert und mit [E : K] bezeichnet. Die Korpererweite-

rung E/K heißt endlich, wenn [E : K] endlich ist.

Fur [E : K] = 2, 3, usw. nennt man E/K quadratisch, kubisch, usw. Es gilt

[E : K] = 1 genau dann, wenn E = K. Fur [E : K] = 1 ist 1 ∈ E linear

unabhangig uber K und damit eine Basis von E als K-Vektorraum. Es folgt

E = {λ · 1 | λ ∈ K} = K.

Als Beispiele betrachte man C/R und R/Q. Da sich jedes Element von C

eindeutig als R-Linearkombination von 1 und i schreiben laßt, folgt [C : R] = 2.

Jeder endlich-dimensionale Q-Vektorraum ist abzahlbar. Daher ergibt sich [R :

Q] =∞.

5.3 Lemma. Sei V ein E-Vektorraum. Dann ist V auch ein K-Vektorraum und

es gilt dimK(V ) = [E : K] dimE(V ).

Beweis. Es ist klar, daß V ein K-Vektorraum ist. Sei vi ∈ V eine E-Basis von

V und ej ∈ E eine K-Basis von E. Die Aussage des Lemmas ergibt sich, wenn

wir zeigen, daß ejvi eine K-Basis von V ist. Zum Beweis sei v ∈ V . Dann gibt

es λi ∈ E und µi,j ∈ K fast alle gleich Null mit v =∑

i λivi und λi =∑

j µi,jej .

Zusammengenommen ergibt dies v =∑

i,j µi,jejvi, also sind die ejvi ein Erzeu-

gendensystem. Seien nun die µi,j ∈ K fast alle gleich Null mit∑

i,j µi,jejvi = 0.

Mit λi =∑

j µi,jej ∈ E gilt dann∑

i λivi = 0. Es folgt λi = 0 fur alle i und dann

µi,j = 0 fur alle i, j wegen der Basiseigenschaft der vi und ej .

5.4 Satz (Gradsatz). Ist F ein Zwischenkorper von E/K, so gilt

[E : K] = [E : F ][F : K].

Beweis. Folgt direkt aus Lemma 5.3.

Sei E/K eine endliche Korpererweiterung und F ein Zwischenkorper von

E/K. Gilt [F : K] = [E : K], so folgt F = E. Aus [E : F ] = [E : K] er-

gibt sich [F : K] = 1 unter Verwendung von Satz 5.4 und damit F = K. Ist

ferner [E : K] eine Primzahl, so folgt F = E oder F = K.

5.5 Definition. Sei R ein Teilring des Rings S und A ⊆ S. Dann heißt

R[A] = ∩{T | T Teilring von S mit R ∪ A ⊆ T}der durch Adjunktion von A an R erzeugte Teilring von S. Ist S ein Korper, so

heißt

R(A) = ∩{T | T Teilkorper von S mit R ∪ A ⊆ T}der durch Adjunktion von A an R erzeugte Teilkorper von S.

5.1 ENDLICHE, ALGEBRAISCHE UND TRANSZENDENTE KORPER-

ERWEITERUNGEN143

Es ist klar, daß es sich bei R[A] und R(A) um einen Teilring bzw. Teilkorper

von S handelt. Außerdem ist R(A) der Quotientenkorper von R[A]. Fur A =

{a1, . . . , an} schreiben wir auch R[a1, . . . , an] und R(a1, . . . , an).

Sei φ : R[t1, . . . tn]→ S der durch ti 7→ ai definierte Einsetzhomomorphismus.

Dann haben wir φ(g) = g(a1, . . . , an) fur g ∈ R[t1, . . . tn] und es ist nicht schwer

zu zeigen, daß

R[a1, . . . , an] = { g(a1, . . . , an) | g ∈ R[t1, . . . , tn] }= im(φ) ∼= R[t1, . . . , tn]/ ker(φ),

R(a1, . . . , an) = { g(a1, . . . , an)/h(a1, . . . , an) | g, h ∈ R[t1, . . . , tn]

und h(a1, . . . , an) 6= 0 }.

Fur A ⊆ B ist R[A] ein Teilring von R[B] und R(A) ein Teilkorper von R(B).

Desweiteren gilt R[A1 ∪ A2] = R[A1][A2] und R(A1 ∪A2) = R(A1)(A2).

Sei I ein Integritatsring und K ein Korper, welcher ein Teilring von I ist. Es

ist klar, daß I auch als K-Vektorraum aufgefaßt werden kann.

5.6 Lemma. Ist die Dimension von I als K-Vektorraum endlich, so ist I ein

Korper.

Beweis. Sei a ∈ I, a 6= 0. Die Abbildung φ : I → I, x 7→ ax ist K-linear und

injektiv, weil I ein Integritatsring ist. Dann ist φ auch surjektiv, weil I endlich

dimensionaler K-Vektorraum ist. Also gibt es b ∈ I mit ab = 1.

Aufgrund von Lemma 5.6 ist es nicht allgemeiner, Integritatsringe anstelle

von Korpern als endliche Erweiterungen von Korpern zu betrachten. Ist E/K

eine endliche Korpererweiterung und A ⊆ E, so folgt mit Hilfe von Lemma 5.6

auch K[A] = K(A).

5.7 Definition. Eine Korpererweiterung E/K heißt endlich erzeugbar, falls es

a1, . . . , ar ∈ E mit E = K(a1, . . . , ar) gibt. Eine Korpererweiterung E/K heißt

einfach, wenn es ein a ∈ E mit E = K(a) gibt. Das Element a heißt dann

primitives Element der Korpererweiterung E/K.

Zum Beispiel gilt C = R(i) = R[i], so daß i ein primitives Element der

Korpererweiterung C/R ist.

5.8 Definition. Ein Element a ∈ E heißt algebraisch uber K, wenn es ein f ∈K[t] ungleich Null mit f(a) = 0 gibt. Ein Element a ∈ E heißt transzendent uber

K, wenn es nicht algebraisch uber K ist.


Die uber Q algebraischen Elemente von C heißen algebraische Zahlen und

sind Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Ohne Beweis merken wir an,

daß zum Beispiel e und π transzendent uber Q sind. Da es nur abzahlbar viele

algebraische Zahlen gibt, enthalt R uberabzahlbar viele transzendente Zahlen.

5.9 Definition. Eine Korpererweiterung E/K heißt algebraisch, wenn jedes a ∈E algebraisch uber K ist. Andernfalls heißt E/K transzendent.

Wir wenden uns zunachst den algebraischen oder transzendenten Elementen

zu. Zur Untersuchung eines solchen Elements a ∈ E zieht man den Einsetzho-

momorphismus φa : K[t] → E, t 7→ a heran. Nach dem Homomorphiesatz gilt

k[a] = im(φa) ∼= K[t]/ ker(φa), und a ist offensichtlich genau dann algebraisch

uber K, wenn ker(φa) 6= {0}. Eine andere Sichtweise ist, daß a ∈ E genau dann

algebraisch ist, wenn die Potenzen 1, a, a2, . . . linear abhangig uber K sind.

5.10 Satz. Sei a ∈ E transzendent uber K. Es gilt

(i) K[a] ∼= K[t],

(ii) K(a) ∼= K(t), wobei K(t) = Quot(K[t]) der Korper der rationalen Funktio-

nen in t uber K ist,

(iii) [E : K] = [K(a) : K] =∞.

Beweis. Ware a algebraisch, so ware ker(φa) 6= 0. Nun giltK[a] ∼= K[t]/ ker(φa) ∼=K[t], was (i) beweist. (ii) ergibt sich aus K(a) = Quot(K[a]). (iii) folgt, da die

Potenzen 1, a, a2, . . . linear unabhangig uber K sind.

5.11 Definition. Sei a ∈ E algebraisch uber K und f ∈ K[t] normiert mit

ker(φa) = fK[t]. Dann heißt f das Minimalpolynom von a uber K und wird mit

ma,K bezeichnet.

5.12 Satz. Sei a ∈ E algebraisch uber K. Das Minimalpolynom ist das eindeutig

bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades uber K, welches a als Nullstelle

in E hat. Es ist irreduzibel in K[t]. Weiter gilt

(i) K[a] ∼= K[t]/ma,KK[t],

(ii) K(a) = K[a],

(iii) [K(a) : K] = deg(ma,K).

Die Potenzen 1, a, a2, . . . , adeg(ma,K)−1 bilden eine K-Basis von K(a).


ERWEITERUNGEN145

Beweis. Die Isomorphie in (i) gilt nach dem Homomorphiesatz angewendet auf φa,

wegen ker(φa) = ma,KK[t]. Weiter ist K[a] als Teilring des Korpers E ein In-

tegritatsring. Daher ist ker(φa) ein Primideal. Da K[t] Hauptidealring ist, ist

ker(φa) auch maximal und K[a] ∼= K[t]/ ker(φa) ein Korper. Es folgt K(a) =

Quot(K[a]) = K[a], also (ii). Die angegebenen a-Potenzen bilden dann eine K-

Basis vonK[a], weil die entsprechenden t-Potenzen inK[t]/ma,KK[t] eineK-Basis

des Quotientenrings bilden. Daraus und aus (ii) folgt (iii) und die letzte Aussage.

Da ker(φa) = ma,KK[t] ein Primideal ist, ist ma,K irreduzibel. Weil ker(φa)

aus allen Polynomen uber K besteht, die a als Nullstelle in E haben, und ma,K

der normierte Erzeuger von ker(φa) ist, hat ma,K minimalen Grad und ist eindeu-

tig bestimmt. Ein weiteres solches normiertes Polynom g hat namlich zunachst

den gleichen Grad wie ma,K , da sich g und ma,K gegenseitig teilen mussen. Die

Differenz g − ma,K ist dann ein Element von ker(φa) echt kleineren Grads als

ma,K , und muß daher gleich Null sein. Also gilt g = ma,K .

Das Minimalpolynom von i uber R ist zum Beispiel mi,R = t2 +1. Minimalpo-

lynome werden auch in anderen Zusammenhangen analog definiert, mussen aber

nicht mehr unbedingt irreduzibel sein. Siehe beispielsweise Minimalpolynome von

Endomorphismen von endlich dimensionalen Vektorraumen.

Ein zweiter, konstruktiverer Beweis fur Lemma 5.6 kann wie folgt gefuhrt

werden. Sei a ∈ I, a 6= 0. Die Potenzen 1, a, a2, . . . sind K-linear abhangig,

da I ein endlich dimensionaler K-Vektorraum ist. Sei f ∈ K[t] ein Polynom

kleinsten Grads ≥ 1 mit f(a) = 0. Da I ein Integritatsring ist, muß f irreduzibel

sein und es gilt insbesondere f(0) 6= 0. Mit c = −f(0) gibt es ein g ∈ K[t],

so daß f = gt − c und gt/c = f/c + 1. Fur b = g(a)/c ∈ I ergibt sich dann

ab = g(a)a/c = f(a)/c+ 1 = 1.

5.13 Satz. Eine einfache transzendente Erweiterung E/K ist isomorph zu K(t).

Beweis. Ist a ∈ E ein primitives Element, so ist a transzendent uber K. An-

dernfalls ware [E : K] = [K(a) : K] < ∞ nach Satz 5.12, im Widerspruch zu

[E : K] =∞ nach Satz 5.10. Es gilt daher E = K(a) ∼= K(t) nach Satz 5.10.

Wir betrachten jetzt algebraische und endliche Korpererweiterungen. Ist E/K

eine Korpererweiterung und a ∈ E algebraisch uber K, so ist a auch algebraisch

uber jedem Zwischenkorper F von E/K, dama,K ∈ F [t],ma,K 6= 0 undma,K(a) =

0 gilt.

5.14 Satz. Fur eine Korpererweiterung E/K sind aquivalent:

(i) E/K ist endlich,

(ii) E/K ist algebraisch und endlich erzeugbar,


(iii) E/K ist endlich erzeugbar mit uber K algebraischen Erzeugern.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei E/K endlich. Jedes Element a ∈ E ist algebraisch, weil

die Potenzen 1, a, a2, . . . linear abhangig uber K sind. Ist e1, . . . , en ∈ E eine K-

Basis von E, so gilt E = K(e1, . . . , en). Daher ist E/K algebraisch und endlich

erzeugbar.

(ii)⇒ (iii): Ist klar.

(iii) ⇒ (i): Sei nun E/K endlich erzeugbar mit den uber K algebraischen

Erzeugern a1, . . . , ar ∈ E, also E = K(a1, . . . , ar). Setze Ei = K(a1, . . . , ai),

so daß Ei = Ei−1(ai). Weil jedes ai algebraisch uber K und somit nach der

Bemerkung vor dem Satz auch algebraisch uber Ei−1 ist, gilt [Ei : Ei−1] < ∞nach Satz 5.12. Daraus folgt [E : K] =

∏

i[Ei : Ei−1] <∞ nach Satz 5.4.

5.15 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung und A ⊆ E. Sind die Elemente in

A algebraisch uber K, so ist K(A)/K algebraisch und es gilt K[A] = K(A).

Beweis. Wir fuhren die Situation zunachst auf endliche Erweiterungen zuruck.

Es gilt K(A) = ∪MK(M), wobei M die endlichen Teilmengen von A durchlauft.

Zunachst ist namlich K(M) ⊆ K(A) fur alle M und somit ∪MK(M) ⊆ K(A).

Es genugt nun zu zeigen, daß ∪MK(M) ein Korper ist, welcher K und A enthalt.

Seien dazu a, b ∈ ∪MK(M). Es gibt endliche Mengen M1,M2 ⊆ Amit a ∈ K(M1)

und b ∈ K(M2). Dann gilt weiter, daß a, b ∈ K(M1∪M2), wobei M1∪M2 ebenfalls

endlich ist. Somit sind a + b, a − b, ab, a/b ∈ K(M1 ∪M2) ⊆ ∪MK(M) (sofern

gegebenenfalls b 6= 0 ist). Wegen A = ∪MM gilt K,A ⊆ ∪MK(M). Es folgt

K(A) = ∪MK(M).

Fur endliches M ⊆ A ist K(M)/K nach Satz 5.14 endlich und algebraisch.

Also besteht K(A) = ∪MK(M) nur aus uber K algebraischen Elementen. Fur

a ∈ K[A] mit a 6= 0 gilt a−1 ∈ K[a] nach Satz 5.12, (ii). Wegen K[a] ⊆ K[A]

folgt also a−1 ∈ K[A] und damit K[A] = K(A).

5.16 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung und F ein Zwischenkorper. Dann

ist E/K genau dann algebraisch, wenn E/F und F/K algebraisch sind.

Beweis. Ist E/K algebraisch, so auch F/K. Außerdem gilt fur a ∈ E, daß ma,K ∈F [t] und somit a auch algebraisch uber F ist. Umgekehrt sei a ∈ E algebraisch

uber F und bezeichne L den Zwischenkorper von E/K, der durch Adjunktion der

Koeffizienten von ma,F an K entsteht. Dann ist a wegen ma,F ∈ L[t] algebraisch

uber L. Weiter sind L(a)/L und L/K endlich wegen Satz 5.14 und weil F/K

algebraisch ist. Folglich ist L(a)/K endlich nach Satz 5.4 und damit algebraisch

nach Satz 5.14. Es ergibt sich, daß a algebraisch uber K ist.

Die Eigenschaft”algebraisch“ ist also transitiv. Dies gilt nach Satz 5.4 auch

fur die Eigenschaft”endlich“.


ERWEITERUNGEN147

5.17 Definition. Sei E/K eine Korpererweiterung und A ⊆ E die Menge der

uber K algebraischen Elemente von E. Dann heißt K(A) der algebraische Ab-

schluß von K in E. Gilt K(A) = K, so nennt man K algebraisch abgeschlossen

in E.

5.18 Satz. Der algebraische Abschluß von K in E ist ein Teilkorper von E und

ist algebraisch abgeschlossen in E.

Beweis. Die erste Aussage folgt direkt aus Theorem 5.15 und die zweite aus

Satz 5.16.

5.19 Definition. Seien E/K eine Korpererweiterung und F1, F2 Zwischenkorper.

Dann wird F1F2 = F1(F2) = F2(F1) als das Kompositum von F1 und F2 in E

bezeichnet. Das Kompositum einer beliebigen Menge F von Zwischenkorpern von

E/K definieren wir als K(∪F).

Etwas spezieller nennen wir auch F1F2/K das Kompositum von F1/K und

F2/K und F1F2/F2 die Translation von F1/K um F2 in E. Typischerweise stellt

man solche Korpererweiterungen graphisch dar. Die Abbildung 5.1 enthalt eine

Zwischenkorpersituation, eine Translation und ein Kompositum.

K

F

E

F2

K

F1F2

E

F1F2

F1F2

E

F1

K

Abbildung 5.1: Zwischenkorper, Translation und Kompositum

Es ist nun naturlich, zu fragen, wie sich die Eigenschaften”endlich“ und

”al-

gebraisch“ innerhalb der Diagramme in Abbildung 5.1 fortsetzen. Die relevanten

Korpererweiterungen sind hierbei mit durchgezogenen Linien markiert. Fur das

linke Diagramm haben wir oben bereits die Transitivitat von”algebraisch“ und

”endlich“ gesehen.

5.20 Satz. Seien E/K eine Korpererweiterung und F1, F2 Zwischenkorper. Fur

die Translation F1F2/F2 gilt:

(i) Ist F1/K algebraisch, so auch F1F2/F2. Ist B1 ein K-Erzeugendensystem

von F1, so ist B1 auch ein F2-Erzeugendensystem von F1F2.


(ii) Ist F1/K endlich, so auch F1F2/F2 und es gilt [F1F2 : F2] ≤ [F1 : K].

Fur das Kompositum F1F2/K gilt:

(iii) Sind F1/K und F2/K algebraisch, so auch F1F2/K. Ist B1 ein K-Erzeugen-

densystem von F1 und B2 ein K-Erzeugendensystem von F2, so ist B1B2 =

{b1b2 | b1 ∈ B1, b2 ∈ B2} ein K-Erzeugendensystem von F1F2.

(iv) Sind F1/K und F2/K endlich, so auch F1F2/K und es gilt [F1F2 : K] ≤[F1 : K][F2 : K].

Beweis. Die erste Aussage von (i) folgt aus Satz 5.15 angewendet auf F2(F1)/F2,

da die Elemente von F1 auch algebraisch uber F2 sind. Genauer gilt F2(F1) =

F2[F1]. Da F1 multiplikativ abgeschlossen ist, gibt es fur jedes x ∈ F2[F1] Elemente

ai ∈ F1 und λi ∈ F2 mit x =∑

i λiai. Die ai lassen sich wiederum als K-

Linearkombinationen von Elementen aus B1 schreiben. Also ist jedes x ∈ F2[F1]

auch eine F2-Linearkombination von Elementen aus B1. Dies beweist die zweite

Aussage in (i).

(ii) folgt aus (i). (iii) folgt aus (i) und Satz 5.16, sowie dem Argument im

Beweis von Satz 5.4. (iv) folgt aus (ii) und der Gradformel [F1F2 : K] = [F1F2 :

F2][F2 : K] ≤ [F1 : K][F2 : K].

5.21 Definition. Seien E/K eine Korpererweiterung und F1, F2 Zwischenkorper

von E/K. Dann heißen F1/K und F2/K linear disjunkt und F1 und F2 linear

disjunkt uber K, wenn jede uber K linear unabhangige Menge von Elementen

von F1 uber F2 linear unabhangig bleibt.

Der folgende Satz zeigt unter anderem, daß die Eigenschaft”linear disjunkt“

symmetrisch ist.

5.22 Satz. Seien E/K eine Korpererweiterung und F1, F2 Zwischenkorper von

E/K. Dann sind aquivalent.

(i) F1 und F2 sind linear disjunkt uber K.

(ii) F2 und F1 sind linear disjunkt uber K.

(iii) Sind {ai | i ∈ I} und {bj | j ∈ J} Mengen uber K linear unabhangiger Ele-

mente von F1 beziehungsweise F2, so ist {aibj | i ∈ I, j ∈ J} eine Menge

uber K linear unabhangiger Elemente von F1F2.

Beweis. (i) ⇒ (iii): Es gelte∑

i,j µi,jaibj = 0 mit µi,j ∈ K. Wir setzen λi =∑

j µi,jbj , so daß λi ∈ F2 und∑

i,j µi,jaibj =∑

i λiai = 0 gilt. Nach Voraussetzung


ERWEITERUNGEN149

ergibt sich λi = 0 fur alle i ∈ I, und aus λi =∑

j µi,jbj = 0 dann auch µi,j = 0

fur alle j ∈ J .

(iii) ⇒ (i): Sei {ai | i ∈ I} eine Menge uber K linear unabhangiger Elemente

von F1 und {bj | j ∈ J} eine K-Basis von F2. Es gelte∑

i λiai = 0 mit λi ∈ F2.

Es gibt µi,j ∈ K mit λi =∑

j µi,jbj. Dann gilt∑

i λiai =∑

i,j µi,jaibj = 0 und

nach Voraussetzung µi,j = 0. Es ergibt sich λi = 0.

(ii)⇔ (iii): Aussage (iii) ist symmetrisch in F1 und F2, daher folgt der Beweis

analog.


E/K.

(i) Sind F1 und F2 linear disjunkt uber K, so gilt [F1F2 : F2] = [F1 : K]. Gilt

umgekehrt [F1F2 : F2] = [F1 : K] und [F1 : K] < ∞, so sind F1 und F2

linear disjunkt uber K.

(ii) Sind F1 und F2 linear disjunkt uber K, so gilt F1 ∩ F2 = K.

(iii) Bleibt eine K-Basis von F1 uber F2 linear unabhangig, so sind F1 und F2

linear disjunkt uber K.

(iv) Sei L ein weiterer Zwischenkorper von E/K und gelte F1 ⊆ F2. Dann sind

L/K und F2/K genau dann linear disjunkt, wenn L/K und F1/K sowie

LF1/F1 und F2/F1 linear disjunkt sind.

(v) F1 und F2 sind genau dann linear disjunkt uber K, wenn F ′1 und F2 uber K

linear disjunkt sind fur alle Teilkorper F ′1 von F1 mit [F ′1 : K] <∞.

Beweis. (i):”⇒“: Enthalt F1 ein uber K transzendentes Element a, so ist a

nach Voraussetzung auch uber F2 transzendent. Es folgt [F1F2 : F2] = [F1 :

K] = ∞. Andernfalls ist F1/K algebraisch. Da eine K-Basis von F1 nach der

Voraussetzung und nach Satz 5.20, (i) auch eine F2-Basis von F1F2 ist, folgt

[F1 : K] = [F1F2 : F2]. ”⇐“: Jede uber K linear unabhangige Teilmenge T von

F1 kann zu einer Basis von F1 uber K erganzt werden. Diese ist nach Satz 5.20,

(i) ein Erzeugendensystem von F1F2 uber F2 und wegen der Gradgleichheit auch

eine Basis von F1F2 uber F2. Somit ist T ebenfalls uber F2 linear unabhangig.

(ii): Gibt es a ∈ F1 ∩F2\K, so sind 1, a ∈ F1 zwar linear unabhangig uber K,

aber nicht linear unabhangig uber F2.

(iii): Ubung. (iv): Ubung. (v): Ubung.

Aussage (iii) ist eine Verallgemeinerung von Aussage (i). Aussage (iv) kann

man auch als Transitivitat von”linear disjunkt“ auffassen. Zur Verdeutlichung

zeichne man das zugehorige Diagramm analog zu Abbildung 5.1.


Als Beispiel betrachte man K = Q, F1 = Q(√

2) und F2 = Q(i) mit i2 = −1

als Teilkorper von C. Dann gilt F1F2 = Q(√

2, i) und [F1F2 : F1] = 2. Also sind

F1 und F2 linear disjunkt uber K.

Ein einfaches hinreichendes Kriterium fur lineare Disjunktheit ist die Tei-

lerfremdheit der Korpergrade: Sind [F1 : K] und [F2 : K] teilerfremd, so gilt

[F1F2 : K] = [F1 : K][F2 : K] wegen [F1 : K] | [F1F2 : K] und [F2 : K] | [F1F2 : K]

nach Satz 5.4 und wegen Satz 5.20, (iv). Es gilt dann auch [F1F2 : F2] = [F1 : K].

In Satz 5.20, (i) geht in diesem Fall eine K-Basis B1 von F1 also in eine F2-Basis

von F1F2 uber, und in (iii) ist B1B2 eine K-Basis von F1F2, wenn B1 und B2

jeweils eine K-Basis von F1 beziehungsweise F2 sind.

5.24 Lemma. Sei E/K eine einfache algebraische Erweiterung mit primitivem

Element a und F ein Zwischenkorper. Dann entsteht F durch Adjunktion der

Koeffizienten von ma,F an K.

Beweis. Sei L der durch die Adjunktion entstehende Korper. Da ma,F ∈ F [t]

folgt L ⊆ F . Es gilt ma,F ∈ L[t] und ma,F erfullt die Eigenschaften des Mini-

malpolynoms ma,L. Daher ergibt sich ma,L = ma,F und [E : L] = [L(a) : L] =

deg(ma,L) = deg(ma,F ) = [F (a) : F ] = [E : F ]. Es folgt L = F .

5.25 Satz. Die Korpererweiterung E/K ist genau dann einfach und algebraisch,

wenn E/K nur endlich viele Zwischenkorper hat.

Beweis. Lassen wir aus.

Als Anwendung dieses Abschnitts betrachten wir kurz Konstruktionsprobleme

mit Zirkel und Lineal. Unter Vorgabe zweier Punkte mit Abstand 1 konstruiert

man weitere Punkte als Schnittpunkte von Geraden und Kreisen. Geraden mussen

durch zwei verschiedene, bereits konstruierte bzw. die vorgegebenen Punkte gelegt

werden. Bei Kreisen muß der Mittelpunkt ein bereits konstruierter bzw. vorge-

gebener Punkt und der Radius gleich dem Abstand zweier bereits konstruierter

bzw. der vorgegebenen Punkte sein. Wir nennen eine Zahl a ∈ R konstruierbar,

wenn sie als Abstand zweier konstruierter Punkte erhalten werden kann.

Da Kreise quadratischen Gleichungen genugen, werden im Konstruktions-

prozeß koordinatenweise gedacht neben dem Losen von linearen Gleichungen

”hochstens“ Quadratwurzeln gezogen. Daher gilt fur eine konstruierbare Zahl a ∈

R notwendigerweise a ∈ Q(√b1, . . . ,

√bn) ⊆ R mit geeigneten bi ∈ Q(

√b1, . . . ,

√

bi−1) und bi ≥ 0. Fur konstruierbares a ist

[Q(a) : Q] = 2r (5.26)

fur ein r ∈ Z≥1, also [Q(a) : Q] gleich einer Potenz von 2. Man kann daruberhinaus

zeigen, daß jedes a ∈ Q(√b1, . . . ,

√bn) ⊆ R mit beliebigen bi ∈ Q(

√b1, . . . ,

√

bi−1)

und bi ≥ 0 konstruierbar ist.

5.2. ZERFALLUNGSKORPER UND ALGEBRAISCHER ABSCHLUSS 151

Beim Delischen Problem geht es um die Verdoppelung des Volumens eines

vorgegebenen Wurfels. Nach Normierung soll also zu einem Wurfel des Volumens

und der Kantenlange 1 ein Wurfel des Volumens 2 mit Kantenlange a = 3√

2

konstruiert werden. Wegen [Q( 3√

2) : Q] = 3 ist dies nach Satz 5.4 und (5.26)

nicht moglich.

Bei der Quadratur des Kreises soll ein Quadrat bestimmt werden, dessen

Flacheninhalt mit dem eines Kreises vom Radius 1 ubereinstimmt. Gesucht ist

also eine Kantenlange a mit a2 = π. Da π transzendent ist, muß a nach Satz 5.15

ebenfalls transzendent sein und ist daher nicht konstruierbar.

Die Winkeldreiteilung ist ebenfalls nicht moglich. Das Problem kann mittels

Rechenregeln fur sin und cos darauf zuruckgefuhrt werden, eine Nullstelle eines

irreduziblen Polynoms vom Grad drei uber Q zu konstruieren.

5.2 Zerfallungskorper und algebraischer Ab-

schluß

In diesem Abschnitt zeigen wir, daß es erstens zu jedem Korper K und jedem

nicht konstanten Polynom f ∈ K[t] einen Erweiterungskorper gibt, uber dem f

in Linearfaktoren zerfallt, und daß es zweitens einen Erweiterungskorper von K

gibt, uber dem jedes nicht konstante f ∈ K[t] in Linearfaktoren zerfallt.

5.27 Satz (Kronecker). Sei K ein Korper und f ∈ K[t] irreduzibel. Dann gibt es

einen Erweiterungskorper E von K und a ∈ E, so daß f(a) = 0, E = K(a) und

[E : K] = deg(f).

Beweis. Wir definieren E = K[t]/fK[t]. Nach Korollar 3.8 kann E als Erweite-

rungskorper von K aufgefaßt werden. Bezeichnet a = t+fK[t] die Klasse von t in

K[t]/fK[t], so gilt E = K[a] und f(a) = 0. Ist namlich x ∈ a, so gilt x ≡ t mod f

und f(x) ≡ f(t) ≡ 0 mod f . Die Gradaussage folgt nach Satz 5.12.

In anderen Worten erzwingt man also durch die Quotientenbildung in K[t] die

algebraische Relation f(t) = 0. Man kann Satz 5.27 auf auch reduzible Polynome

f ∈ K[t] anwenden, indem man einen irreduziblen Faktor von f betrachtet. So

erhalt man also stets eine Korpererweiterung von K, indem ein nicht konstantes

f ∈ K[t] eine Nullstelle besitzt.

5.28 Definition. Sei K ein Korper, M ⊆ K[t] eine Menge von nicht konstanten

Polynomen und E ein Erweiterungskorper vonK. Dann heißt E Zerfallungskorper

von M uber K, wenn jedes Polynom f ∈ M uber E in Linearfaktoren zerfallt

und E durch Adjunktion der Nullstellen der f ∈M aus E an K entsteht.


Der Zerfallungskorper ist also der kleinste Erweiterungskorper von K, in dem

die f ∈M alle ihre Nullstellen haben. Bei einer endlichen MengeM = {f1, . . . , fn}sprechen wir auch vom Zerfallungskorper der f1, . . . , fn uber K.

5.29 Satz. Zu jedem Korper K und nicht konstantem Polynom f ∈ K[t] gibt es

einen Zerfallungskorper E von f uber K mit [E : K] ≤ deg(f)!.

Beweis. Sei E0 = K und f0 = f . Wir gehen nun induktiv vor. Sei i ≥ 0 und

gi ∈ K[t] ein irreduzibler Faktor von fi. Nach Satz 5.27 gibt es einen Erwei-

terungskorper Ei+1 von Ei und ai+1 ∈ Ei+1 mit Ei+1 = Ei(ai+1), gi(ai+1) =

fi(ai+1) = f(ai+1) = 0 und [Ei(ai+1) : Ei] = deg(gi) ≤ deg(fi). Wir set-

zen fi+1 = fi/(t − ai+1) ∈ Ei+1[t]. Nach n = deg(f) Schritten erhalten wir

En = K(a1, . . . , an) und mit c = fn ∈ K gilt f = c∏

i(t − ai) in En[t]. Die

Gradaussage folgt aus deg(fi+1) = deg(fi)− 1.

Die im Beweis durchgefuhrte Konstruktion eines Zerfallungskorpers von f

hangt von der Wahl der irreduziblen Polynome gi ab. Im nachsten Abschnitt

zeigen wir jedoch, daß alle Zerfallungskorper von f uber K isomorph sind. Man

spricht daher auch manchmal von dem Zerfallungskorper von f uber K.

Als Beispiel betrachten wir f = t2 − 2 ∈ Q[t] und g = t3 − 2 ∈ Q[t]. In

E = Q[t]/fQ[t] gibt es eine Nullstelle von f , die wir mit√

2 bezeichnen. Dann

gilt f = (t−√

2)(t+√

2) uber E, und E ist bereits ein Zerfallungskorper von f

uber Q, vom Grad 2 uber Q.

In C gilt g = (t − 3√

2)(t − exp(2πi/3) 3√

2)(t − exp(4πi/3) 3√

2). Dann ist

Q( 3√

2, exp(2πi/3)) ein in C gelegener Zerfallungskorper von f uber Q, und zwar

vom Grad 6 uber Q. Alternativ erhalten wir einen Zerfallungskorper von f uber

Q mit Q[t, s]/(t3 − 2, s2 + ts + t2). In Q[t]/(t3 − 2)[s] gilt hierbei s3 − 2 =

(s − t)(s2 + ts + t2). Dieser Zerfallungskorper hat den Vorteil, daß man in ihm

mittels eines Computers exakt rechnen kann, wohingegen dies bei dem anderen

Zerfallungskorper nicht moglich ist, wenn die komplexen Zahlen als Fließkomma-

zahlen mit endlicher Prazision dargestellt werden.

5.30 Definition. Ein Korper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn aus E/K

algebraisch E = K folgt. Ist E/K algebraisch und E algebraisch abgeschlossen,

so heißt E algebraischer Abschluß von K. Wir bezeichnen ein solches E mit K

oder Ka.

Im Hinblick auf Satz 5.29 faktorisiert jedes nicht konstante Polynom uber

einem algebraisch abgeschlossenen Korper K in Linearfaktoren, hat also alle seine

Nullstellen in K. Iterativ sieht man, daß umgekehrt ein Korper K algebraisch

abgeschlossen ist, wenn jedes nicht konstante Polynom f ∈ K[t] eine Nullstelle

in K besitzt. Ist E ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskorper von K,

5.2. ZERFALLUNGSKORPER UND ALGEBRAISCHER ABSCHLUSS 153

so ist der algebraische Abschluß von K in E nach Satz 5.16 selbst algebraisch

abgeschlossen und daher ein algebraischer Abschluß von K.

5.31 Satz. Jeder Korper besitzt einen algebraischen Abschluß.

Beweis. Wir gehen im Prinzip wie in Satz 5.29 vor, nur daß wir alle nicht konstan-

ten Polynome ausK[t] simultan betrachten. Wie in Satz 5.29 mussen wir geeignete

irreduzible Faktoren wahlen. Da wir es nun mit unendlich vielen Polynomen zu

tun haben, benotigen wir dazu das Auswahlaxiom. Fur die Konstruktion ist es

zweckmaßig, Polynomringe in unendlich vielen Variablen zu betrachten und das

Auswahlaxiom in der Form der Existenz von maximalen Idealen zu verwenden.

Sei M die Menge aller nicht konstanten Polynome in K[t]. Wir konstruieren

zuerst einen Erweiterungskorper von K, in dem jedes f ∈ M eine Nullstelle

besitzt. Fur jedes f ∈M bezeichne Xf eine eigene Variable und sei X = {Xf | f ∈M}. Wir betrachten den PolynomringK[X] und darin das von den f(Xf) erzeugte

Ideal a. Wir nehmen nun an, daß a 6= K[X] ist (Beweis folgt gleich). Dann gibt

es ein maximales Ideal b von K[X] mit a ⊆ b, und K[X]/b ist ein Korper. Wegen

K ∩ b = {0} kann K[X]/b als Erweiterungskorper von K aufgefaßt werden. Die

von Xf in K[X]/b erzeugte Klasse ist dann eine Nullstelle von f , weil f(Xf) ∈ b

gilt. Also ist K[X]/b der gesuchte Korper. Der Beweis von a 6= K[X] erfolgt

durch Widerspruch. Ist namlich a = K[t], dann gibt es endlich viele gi ∈ K[X]

und fi ∈ M mit 1 =∑

i gifi(Xfi). Satz 5.29 angewendet auf

∏

i fi zeigt, daß es

einen Erweiterungskorper E von K gibt, in dem jedes fi eine Nullstelle ai besitzt.

Sei φ : K[X]→ E der durch Xfi7→ ai und Xf 7→ 0 fur f 6= fi fur alle i definierte

Einsetzhomomorphismus. Dann gilt in E, daß φ(fi(Xfi)) = 0 und folglich 1 =

∑

i φ(gi)φ(fi(Xfi)) = 0 ist. Dies ist ein Widerspruch zur Korpereigenschaft von

E, und daher kann a = K[X] nicht gelten.

Durch Iteration dieses Verfahrens erhalten wir eine aufsteigende Kette K =

E0 ⊆ E1 ⊆ . . . von Korpern, so daß jedes nicht konstante Polynom in Ei[t]

eine Nullstelle in Ei+1 besitzt. Wir setzen E = ∪∞i=0Ei. Je zwei Elemente a, b ∈ Eliegen bereits in einem Ei. Wir machen E zu einem Korper, indem wir die Summe,

Produkt usw. von a, b durch Ei definieren. Wegen der Teilkorpereigenschaft von

Ei ⊆ Ej fur j ≥ i ist dies unabhangig von der Wahl von i.

Ist f ∈ E[t] ein nicht konstantes Polynom, so gilt bereits f ∈ Ei[t], da f

nur endlich viele Koeffizienten ungleich Null hat. Dann hat f eine Nullstelle in

Ei und somit auch in E. Nach den Bemerkungen vor dem Satz ist E algebra-

isch abgeschlossen und der algebraische Abschluß Ka von K in E ist daher ein

algebraischer Abschluß von K.

Im nachsten Abschnitt zeigen wir, daß je zwei algebraische Abschlusse von


K isomorph sind. Man spricht daher auch manchmal von dem algebraischen Ab-

schluß von K.

Aufgrund des nachsten Satzes befindet sich ein algebraischer Abschluß von Q

in C.

5.32 Satz (Fundamentalsatz der Algebra). Der Korper der komplexen Zahlen ist

algebraisch abgeschlossen.

Beweis. Erfolgt ublicherweise in der Funktionentheorie I.

Vom Standpunkt der Computeralgebra aus laßt sich ein algebraischer Ab-

schluß eines Korpers K trotz der impliziten Verwendung des Auswahlaxioms zu-

mindest zum Teil simulieren, wenn man nur Polynome uber endlichen Erweite-

rungen von K faktorisieren kann. Man stellt Ka als abstrakten Datentyp dar,

der zu jedem Zeitpunkt durch eine endliche Erweiterung F von K reprasentiert

wird. Anfanglich gilt F = K. Sollen nun die Nullstellen eines nicht konstanten

Polynoms f ∈ Ka[t] berechnet werden, so gilt zunachst f ∈ F [t] und man be-

stimmt einen Zerfallungskorper E von f uber F mittels der Vorgehensweise im

Beweis von Satz 5.29. Man ersetzt dann F in der Darstellung von Ka durch E

und liefert die Nullstellen als Elemente von E zuruck. Im Endeffekt wird die un-

endliche Operation, die mittels des Auswahlaxioms ausgefuhrt wird, durch einen

unbegrenzten dynamischen Prozeß modelliert.

5.33 Korollar. Sei K ein Korper und M ⊆ K[t] eine Menge nicht konstanter

Polynome. Dann gibt es einen Zerfallungskorper von M uber K.

Beweis. Sei Ka ein algebraischer Abschluß von K und A = {a ∈ Ka | f(a) =

0 und f ∈M}. Dann leistet E = K(A) das Gewunschte.

5.3 Homomorphismen und ihre Fortsetzungen

Bei der Untersuchung mathematischer Objekte ist es wesentlich, auch die struk-

turerhaltenden Abbildungen zwischen ihnen zu betrachten. Fur (endliche) Korper-

erweiterungen ist dies zentraler Bestandteil der Galoistheorie und soll in diesem

Abschnitt begonnen werden. Als Anwendung beweisen wir, daß Zerfallungskorper

und algebraische Abschlusse bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind.

5.34 Definition. Ein Homomorphismus σ : E1 → E2 der Korper E1 und E2 ist

ein Ringhomomorphismus der Ringe E1 und E2. Die Menge dieser Homomorphis-

men wird mit Hom(E1, E2) bezeichnet.

Sind E1/K1 und E2/K2 Korpererweiterungen und σ ∈ Hom(K1, K2), so be-

zeichnen wir die Menge aller Fortsetzungen τ ∈ Hom(E1, E2) von σ mit Homσ(E1,

5.3. HOMOMORPHISMEN UND IHRE FORTSETZUNGEN 155

E2). Gilt K1 = K2 und σ = id, so schreiben wir dafur auch HomK(E1, E2), wobei

K = K1, und sprechen von K-Homomorphismen der Korper E1 und E2 oder von

Homomorphismen der Korpererweiterungen E1/K und E2/K.

Weiter verwenden wir die Begriffe Isomorphismus, Endomorphismus und Au-

tomorphismus wie erwartet und schreiben End(E), Aut(E) usw. Zwei Erweite-

rungskorper E1 und E2 von K konnen dann beispielsweise nur isomorph oder

auch isomorph uber K sein.

Ist σ ∈ HomK(E1, E2), so gilt also σ(x) = x fur alle x ∈ K und σ ist K-linear.

Ist allgemeiner σ ∈ Hom(E1, E2), so gilt definitionsgemaß σ(1) = 1. Wegen 1 6= 0

in Korpern ist σ nicht die Nullabbildung. Daher muß ker(σ) = {0} gelten, da

dies das einzige Ideal von E1 ungleich E1 ist, und σ ist ein Isomorphismus auf

den Teilkorper σ(E1) von E2. Außerdem ergibt sich, daß E1 und E2 isomorphen

Primkorper haben. Haben E1 und E2 den gleichen Primkorper K, so ist jedes

σ ∈ Hom(E1, E2) automatisch K-linear, also gilt σ ∈ HomK(E1, E2).

Fur σ ∈ Hom(K1, K2) erhalten wir durch koeffizientenweises Anwenden einen

ebenfalls mit σ bezeichneten Ringhomomorphismus K1[t] → K2[t]. Es ist prak-

tisch, fσ = σ(f) zu schreiben.

5.35 Lemma. Seien E1/K1 und E2/K2 Korpererweiterungen, σ ∈ Hom(K1, K2),

f ∈ K1[t] und a eine Nullstelle von f in E1.

(i) Fur τ ∈ Homσ(E1, E2) ist τ(a) eine Nullstelle von fσ ∈ K2[t] in E2.

(ii) Sei σ ein Isomorphismus und f irreduzibel in K1[t]. Ist dann b ∈ E2 ei-

ne beliebige Nullstelle von fσ, so gibt es ein τ ∈ Homσ(K1(a), K2(b)) mit

τ(a) = b, und τ ist ein Isomorphismus.

Beweis. (i): Es gilt fσ(τ(a)) = τ(f(a)) = 0. (ii): Ohne Einschrankung konnen

wir f und damit fσ als normiert annehmen. Da σ ein Isomorphismus ist, muß

fσ irreduzibel in K2[t] sein. Nach Satz 5.12 folgt ma,K1 = f , mb,K2 = fσ und

K1(a) ∼= K1[t]/fK1[t], K2(b) ∼= K2[t]/fσK2[t] mit K1- bzw. K2-linearen Isomor-

phismen. Die FaktorringeK1[t]/fK1[t] undK2[t]/fσK2[t] sind aber offenbar unter

vertreterweise Anwendung von σ isomorph. Die Kombination der Isomorphismen

ergibt τ mit τ(a) = b.

Auf die Voraussetzung der Irreduzibilitat von f kann nicht verzichtet werden

(Gegenbeispiel: f = (t− 1)(t − 2) ∈ Q[t], σ = idQ, a = 1, b = 2 und 1 = τ(a) =

b = 2).

5.36 Satz. Sei σ ∈ Hom(K1, K2) ein Isomorphismus, f ∈ K1[t] ein nicht kon-

stantes Polynom, E1 der Zerfallungskorper von f uber K1 und E2 der Zerfallungs-

korper von fσ uber K2. Dann gibt es einen Isomorphismus τ ∈ Homσ(E1, E2).


Beweis. Der Satz folgt im Prinzip auch aus den untenstehenden, allgemeineren

Uberlegungen. Der folgende Beweis dient nur der Konkretheit.

Ausgehend von E1 und E2 fuhren wir die Konstruktion von E1 und E2 im

Beweis von Satz 5.29 noch einmal simultan fur f und fσ durch, wobei die auf-

tretenden, irreduziblen Faktoren von fσ die gσi sein sollen. Hierbei wurde E2

moglicherweise zwar anders konstruiert, aber jedes gσi zerfallt dennoch uber E2 in

Linearfaktoren. Wir definieren also induktiv E1,i+1 = E1,i(ai+1) mit gi(ai+1) = 0

wie gehabt und E2,i+1 = E2,i(bi+1) mit gσi (bi+1) = 0 fur ein bi+1 ∈ E2. Un-

ter Verwendung von Lemma 5.35 konnen wir σi ∈ Hom(E1,i, E2,i) zu σi+1 ∈Homσi

(E1,i+1, E2,i+1) durch σi+1(ai+1) = bi+1 fortsetzen. Schließlich erhalten wir

τ = σn ∈ Homσ(E1, E2).

5.37 Korollar. Seien E1 und E2 Zerfallungskorper des nicht konstanten Poly-

noms f ∈ K[t] uber K. Dann sind E1/K und E2/K isomorph.

Jeder K-Isomorphismus von E1 und E2 bildet die Nullstellen von f in E1 auf

die Nullstellen von f in E2 ab. Die Untersuchung aller solcher K-Isomorphismen

fur E1 = E2 ist Inhalt der Galoistheorie.

Als Beispiel betrachten wir die Zerfallungskorper Q(√

2) von f = t2 − 2 und

E = Q( 3√

2, exp(2πi/3)) von g = t3 − 2 uber Q. Durch σ :√

2 7→ −√

2 be-

kommen wir einen Q-Automorphismus von Q(√

2), nach Lemma 5.35 der einzig

weiter mogliche außer der Identitat. Weil g irreduzibel uber Q ist und drei ver-

schiedene Nullstellen in E hat, gibt es nach Lemma 5.35 genau drei Elemente σ in

HomQ(Q( 3√

2), E). Das Minimalpolynom von exp(2πi/3) uber Q( 3√

2) ist t2+t+1.

Dies ist also irreduzibel uber Q( 3√

2) und hat zwei Nullstellen in E. Folglich gibt

es zu jedem σ zwei Elemente τ in Autσ(E). Damit besteht AutQ(E) aus genau 6

Elementen.

5.38 Satz. Sei σ ∈ Hom(K1, K2) ein Isomorphismus, E/K1 eine algebraische

Erweiterung und C ein algebraischer Abschluß von K2. Dann gibt es ein τ ∈Homσ(E,C).

Beweis. Sei A die Menge der Paare (F, τ), wobei F ein Zwischenkorper von E/K1

und τ ∈ Homσ(F,C) ist. Wegen (K1, σ) ∈ A ist A nicht leer. Wir schreiben

(F1, τ1) ≤ (F2, τ2), wenn F1 ⊆ F2 und τ2 eine Fortsetzung von τ1 ist. Dies definiert

eine Halbordnung auf A. Wir zeigen, daß A durch ≤ induktiv geordnet wird. Sei

dazu L eine Kette in A. Wir definieren den Korper F ′ als die Vereinigung der

in L vorkommenden Korper. Ist x ∈ F ′, so gibt es ein (F1, τ1) ∈ A mit x ∈ F1.

Wir konnen durch τ ′(x) = τ1(x) ein Element τ ′ ∈ Homσ(F′, C) definieren. Das

Paar (F ′, τ ′) ∈ A wird damit zur oberen Schranke von L. Nach dem Zornschen

Lemma gibt es ein maximales Element (F, τ) ∈ A und es bleibt F = E zu zeigen.

5.4. NORMALE ERWEITERUNGEN 157

Ist F 6= E, so gibt es ein a ∈ E\F und nach Voraussetzung eine Nullstelle b ∈ Cvon τ(ma,F ). Nach Satz 5.35 gibt es ein Element in Homτ (F (a), τ(F )(b)) bzw.

Homτ (F (a), C). Wegen F (a) 6= F steht dies im Widerspruch zur Maximalitat

von (F, τ) und es folgt F = E.

5.39 Satz. Seien C1 und C2 algebraische Abschlusse des Korpers K. Dann sind

C1/K und C2/K isomorph.

Beweis. Nach Satz 5.38 angewendet mit σ = id gibt es ein τ ∈ HomK(C1, C2)

und τ(C1) ist ein algebraischer Abschluß von K in C2. Da jedes Element von C2

auch algebraisch uber τ(C1) ist, folgt τ(C1) = C2.

5.40 Satz. Seien M ⊆ K[t] eine Menge nicht konstanter Polynome und E1, E2

Zerfallungskorper von M uber K. Dann sind E1/K und E2/K isomorph.

Beweis. Sei C ein algebraischer Abschluß von E2. Dann ist C wegen Satz 5.16

auch ein algebraischer Abschluß von K. Ist E3 neben E2 ein weiterer Zerfallungs-

korper von M uber K in C, so gilt E3 = E2, weil E2 und E3 durch Adjunk-

tion derselben Nullstellen an K in C entstehen. Nach Satz 5.38 gibt es ein

σ ∈ HomK(E1, C), und σ(E1) ist ein Zerfallungskorper von M uber K in C.

Es folgt σ(E1) = E2.

5.41 Satz. Sei E/K algebraisch. Dann ist EndK(E) = AutK(E).

Beweis. Zu zeigen ist, daß jedes σ ∈ EndK(E) surjektiv ist. Sei b ∈ E und N die

Menge der Nullstellen von mb,K in E. Dann bewirkt σ eine Permutation von N ,

da Nullstellen nach Lemma 5.35 durch σ wieder in Nullstellen uberfuhrt werden

und N endlich und σ injektiv ist. Also gibt es a ∈ N mit σ(a) = b.

5.4 Normale Erweiterungen

Zerfallungskorper sind bezuglich Nullstellen von nicht notwendigerweise in M

gelegenen Polynomen und bezuglich von Homomorphismen im folgenden Sinn

abgeschlossen.

5.42 Definition. Eine algebraische Erweiterung E/K heißt normal und E nor-

mal uber K, wenn jedes irreduzible f ∈ K[t], welches eine Nullstelle in E hat,

uber E bereits vollstandig in Linearfaktoren zerfallt.

Als Beispiel bemerken wir, daß K/K und C/K normal sind, wo C einen

algebraischen Abschluß von K bezeichnet. Auch sind quadratische Erweiterungen

immer normal. Auf der anderen Seite ist Q( 3√

2)/Q zum Beispiel nicht normal.


5.43 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung. Dann sind die folgen-

den Bedingungen aquivalent.

(i) E/K ist normal.

(ii) E ist ein Zerfallungskorper uber K.

(iii) Fur jede Korpererweiterung L/K und fur jedes σ, τ ∈ HomK(E,L) gilt

σ(E) = τ(E), es gibt also auch ein eindeutig bestimmtes ρ ∈ AutK(E) mit

τ = σ ◦ ρ.

Beweis. Der Homomorphismus ρ in (iii) ist zunachst immer eindeutig bestimmt,

da σ injektiv ist.

(i) ⇒ (ii): E ist offenbar der Zerfallungskorper der Menge M = {ma,K ∈K[t] | a ∈ E} uber K.

(ii) ⇒ (iii): Seien E Zerfallungskorper der Menge M ⊆ K[t] uber K, und L,

σ, τ wie in (iii). Die Korper σ(E) und τ(E) sind dann ebenfalls Zerfallungskorper

von M uber K und entstehen durch Adjunktion der gleichen Nullstellen aus L an

K, woraus σ(E) = τ(E) folgt. Also ist ρ = σ−1 ◦ τ ∈ EndK(E) = AutK(E) nach

Satz 5.41 der gesuchte Homomorphismus.

(iii) ⇒ (i): Es existiert ein algebraischer Abschluß L von K und ein σ ∈HomK(E,L). Sei f ∈ K[t] irreduzibel und a ∈ E mit f(a) = 0. In L gilt f =

c∏

i(t − bi) mit c ∈ K und bi ∈ L. Nach Lemma 5.35 und Satz 5.38 gibt es

τi ∈ HomK(E,L) mit τi(a) = bi fur alle i. Nach (iii) gilt bi ∈ τi(E) = σ(E)

und es gibt ρi ∈ AutK(E) mit τi = σ ◦ ρi. Dann ist ρi(a) = σ−1(bi), so daß

f = fσ−1

= c∏

i(t− ρi(a)) in E durch Anwendung von σ−1 auf f = c∏

i(t− bi)folgt.

In Satz 5.43, (iii) ergibt sich ein wichtiger Spezialfall, wenn σ = id und die

betrachteten Korper alle in L liegen:

5.44 Korollar. Sei L/K eine Korpererweiterung und E ein uber K normaler

Zwischenkorper von L/K. Fur τ ∈ HomK(E,L) gilt dann bereits τ ∈ AutK(E).

Sei L/K eine Korpererweiterung und seien E1, E2 uber K normale Zwischen-

korper von L/K. Ist φ ∈ HomK(E1, E2) ein Isomorphismus, so gilt E1 = E2.

Beweis. Folgt aus Satz 5.43, (iii).

Sei E/K algebraisch und C ein algebraischer Abschluß von E. Jedes Element

von HomK(E,C) laßt sich nach Satz 5.38 und Satz 5.41 zu einem Element von

AutK(C) fortsetzen. Eine zu Satz 5.43, (iii) ahnliche und aquivalente Bedingung

ist dann, daß jedes Element von AutK(C) durch Einschrankung ein Element von

AutK(E) vermittelt.

5.4. NORMALE ERWEITERUNGEN 159

Wir wenden uns jetzt wieder der Abbildung 5.1 zu und untersuchen, wie sich

die Eigenschaft”normal“ vererbt.

5.45 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung.

(i) Fur einen Zwischenkorper F von E/K ist E/F normal, wenn E/K normal

ist.

(ii) Sind F1, F2 Zwischenkorper von E/K und ist F1/K normal, so ist F1F2/F2

normal.

(iii) Ist zusatzlich F2/K normal, so sind auch F1F2/K und F1 ∩ F2/K normal.

Beweis. (i): Nach Voraussetzung ist E Zerfallungskorper einer Menge M ⊆ K[t]

uber K. Wegen M ⊆ F [t] ist E auch Zerfallungskorper von M uber F .

(ii): Dasselbe Argument gilt fur F1F2/F2.

(iii): Ist F1 Zerfallungskorper von M1 uber K und F2 Zerfallungskorper von

M2 uber K, so ist F1F2 Zerfallungskorper von M1∪M2 uber K. Dies gilt, da jedes

Polynom in M1 ∪M2 uber F1F2 zerfallt und ein Zerfallungskorper von M1 ∪M2

somit in F1F2 enthalten ist. Auf der anderen Seite muß dieser Zerfallungskorper

nach Voraussetzung auch F1 und F2 enthalten, woraus die Gleichheit folgt.

Die Normalitat von F1∩F2/K ergibt sich wie folgt: Ist f ∈ K[t] normiert und

irreduzibel, und besitzt f eine Nullstelle in F1 ∩ F2, so zerfallt f nach Vorausset-

zung uber F1 und uber F2 in Linearfaktoren. Da F1, F2 Teilkorper von E sind und

E[t] faktoriell ist, stimmen diese beiden Faktorisierungen von f bs auf die Rei-

henfolge der Linearfaktoren uberein und liefern daher bereits eine Faktorisierung

von f in Linearfaktoren aus (F1 ∩ F2)[t].

Wir bemerken, daß Komposita und Schnitte uber beliebige Mengen von uber

K normalen Zwischenkorpern von E/K wieder normal uber K sind.

5.46 Definition. Sei E/K normal und F ein Zwischenkorper von E/K. Dann

heißt E normale Hulle von F/K, wenn es keinen Zwischenkorper von E/F außer

E gibt, der uber K normal ist.

In anderen Worten ist E also ein bezuglich Inklusion minimaler Erweite-

rungskorper von F , der uber K normal ist. Bis auf F -Isomorphie ist er aber

auch der kleinste, wie der folgende Satz zeigt.

5.47 Satz. Sei F/K eine algebraische Korpererweiterung, E eine normale Hulle

von F/K und L ein uber K normaler Erweiterungskorper von F . Dann existiert

ein σ ∈ HomF (E,L). Insbesondere ist E/K bis auf F -Isomorphie eindeutig be-

stimmt.


Beweis. Sei C ein algebraischer Abschluß von L. Nach Satz 5.38 gibt es dann ein

σ ∈ HomF (E,C) und σ(E) ist ebenfalls eine normale Hulle von F/K. Weiter ist

σ(E)∩L ein Zwischenkorper von σ(E)/F , der nach Satz 5.45 normal uber K ist.

Es folgt σ(E) ∩ L = σ(E) und damit σ(E) ⊆ L.

Sei L eine weitere normale Hulle von F/K. Dann gibt es auch ein τ ∈HomF (L,E) und es gilt τ ◦σ ∈ EndF (E) = AutF (E), σ◦τ ∈ EndF (L) = AutF (L)

nach Satz 5.41. Folglich sind E und L isomorph uber K.

5.48 Satz. Sei F/K eine algebraische Korpererweiterung, L ein uber K normaler

Erweiterungskorper von F und A ⊆ F mit F = K(A). Dann enthalt L genau eine

normale Hulle E von F/K, und es gilt

(i) E = ∩{T | T Zwischenkorper von L/F und T/K normal }.

(ii) E ist der Zerfallungskorper von M = {ma,K | a ∈ A} uber F .

(iii) E = K(∪{τ(F ) | τ ∈ HomK(F, L)}).Ist F/K endlich, so ist auch E/K endlich.

Beweis. Ist E eine normale Hulle von F/K in L, so ist E nach Korollar 5.44 und

Satz 5.47 eindeutig bestimmt.

Der Schnitt in (i) ist nicht leer, da mindestens T = L darin vorkommt. Daher

wird durch den Schnitt ein Zwischenkorper E von L/F definiert. Es ist klar, daß

E dann eine normale Hulle von F/K ist.

Jeder uber K normale Erweiterungskorper T von F enthalt einen Zerfal-

lungskorper Z von M uber K, da jedes f ∈ M eine Nullstelle in F und damit

alle Nullstellen in T hat. Außerdem gilt Z ⊇ F wegen F = K(A) und Z ist nach

Satz 5.43 normal uber K. Mit (i) folgt E = Z und damit (ii).

Sei a ∈ F . Dann ist a eine Nullstelle von ma,K in L und ma,K zerfallt uber L

in Linearfaktoren. Sei b ∈ L eine beliebige Nullstelle von ma,K . Es gibt dann ein

τ ∈ HomK(F, L) mit τ(a) = b. Die Menge B = ∪{τ(F ) | τ ∈ HomK(F, L)} enthalt

also alle Nullstellen von ma,K . Da a beliebig war und B nicht von a abhangt, ist

K(B) der Zerfallungskorper von M uber K in L und es gilt E = K(B) nach (ii).

Damit ist (iii) bewiesen.

Ist F/K endlich, so kann auch A endlich gewahlt werden. Nach (ii) entsteht

E dann durch Adjunktion endlich vieler Nullstellen an K und ist daher endlich

uber K.

5.49 Definition. Seien F/K und L/K algebraisch. Die Elemente τ(a) mit τ ∈HomK(F, L) und a ∈ F heißen die Konjugierten von a uber K in L. Die Korper

τ(F ) mit τ ∈ HomK(F, L) heißen die zu F uber K konjugierten Korper in L.

Die Konjugierten von a uber K in L sind also genau die Nullstellen von ma,K

in L.

5.5. SEPARABLE ERWEITERUNGEN 161

5.5 Separable Erweiterungen

5.50 Definition. Ein Polynom f ∈ K[t] heißt separabel, wenn es nur einfache,

also deg(f) verschiedene Nullstellen in einem algebraischen Abschluß C von K

besitzt.

Die Definition hangt nicht vom gewahlten algebraischen Abschluß C ab, da

C bis auf K-Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Nach Satz 3.15 sind die mehrfa-

chen Nullstellen von f in C gleich den Nullstellen von gcd{f, f ′} in C und f ist

genau dann separabel, wenn gcd{f, f ′} = 1 gilt. Insofern sieht man auch, daß die

Separabilitatseigenschaft eines Polynoms nicht vom betrachteten Grundkorper K

abhangt, da der großte gemeinsame Teiler von f und f ′ bezuglich aller Korperer-

weiterungen von K gleich ist.

Nach Korollar 3.16 sind irreduzible Polynome in Charakteristik Null immer

separabel, wohingegen dies in positiver Charakteristik p nicht unbedingt der Fall

sein muß. Zum Beispiel ist das Polynom tp − x uber Fp(x) irreduzibel aber nicht

separabel.

5.51 Definition. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung. Das Element

a ∈ E heißt separabel uber K, wenn ma,K separabel ist. Die Erweiterung E/K

heißt separabel und E separabel uber K, wenn jedes Element aus E separabel

uber K ist. Sei C ein algebraischer Abschluß von K. Der Separabilitatsgrad von

E/K wird definiert als [E : K]s = #HomK(E,C).

Anstelle von”nicht separabel“ benutzen wir

”inseparabel“. In Charakteri-

stik Null treten nur separable irreduzible Polynome, Elemente und Korperer-

weiterungen auf. Ist C algebraisch abgeschlossen und σ ∈ Hom(K,C), so gilt

#Homσ(E,C) = [E : K]s, indem wir K mit σ(K) identifizieren. Ein Homomor-

phismus σ ∈ Hom(K,C) besitzt also genau [E : K]s Fortsetzungen auf E.

Bei den Uberlegungen dieses Abschnitts konnten wir C auch durch einen

Korper ersetzen, welcher E enthalt und uber K normal ist.

5.52 Lemma. Sei F ein Zwischenkorper der algebraischen Erweiterung E/K

und sei C ein algebraischer Abschluß von E. Dann gibt es eine Bijektion

HomK(F,C)×HomF (E,C)→ HomK(E,C).

Beweis. Durch die Wahl beliebiger, aber fest gewahlter Fortsetzungen definieren

wir mit Hilfe von Satz 5.38 und Satz 5.41 eine injektive Abbildung HomK(F,C)→AutK(C), σ 7→ σ. Wir erhalten dann die Abbildung φ : HomK(F,C)×HomF (E,C)

→ HomK(E,C) mit (σ, τ) 7→ σ ◦ τ .


Zum Beweis der Injektivitat von φ gelte σ1◦τ1 = σ2◦τ2. Durch Einschrankung

auf F ergibt sich σ1 = (σ1)F = (σ1 ◦ τ1)F = (σ2 ◦ τ2)F = (σ2)F = σ2 und somit

σ1 = σ2. Da σi injektiv ist, folgt schließlich τ1 = τ2.

Zum Beweis der Surjektivitat von φ sei ρ ∈ HomK(E,C). Wir definieren

σ = (ρ)F und τ = σ−1 ◦ ρ. Es gilt τ ∈ HomF (E,C), so daß also (σ, τ) das Urbild

von ρ unter φ ist.

5.53 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung und F ein Zwischenkor-

per. Dann gilt

[E : K]s = [E : F ]s[F : K]s.

Beweis. Folgt direkt aus Lemma 5.52.

5.54 Lemma. Sei E/K eine einfache algebraische Korpererweiterung mit pri-

mitivem Element a und C ein algebraischer Abschluß von K. Dann gilt

[E : K]s = #{b ∈ C |ma,K(b) = 0} ≤ [E : K].

Insbesondere ist a genau dann separabel uber K, wenn [E : K]s = [E : K] gilt.

Beweis. Folgt direkt aus Lemma 5.35: Fur jede Nullstelle b von ma,K in C gibt

es genau ein τ ∈ HomK(E,C) mit τ(a) = b.

5.55 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung. Dann gilt [E : K]s ≤[E : K] und es sind aquivalent:

(i) E/K ist separabel.

(ii) Es gibt A ⊆ E mit E = K(A) und jedes a ∈ A ist separabel uber K.

(iii) Fur jeden Zwischenkorper F von E/K gilt [F : K]s = [F : K].

Wird E/K endlich vorausgesetzt, so kann (iii) durch folgende Bedingung ersetzt

werden:

(iii)′ Es gilt [E : K]s = [E : K].

Beweis. Wir beweisen zuerst [E : K]s ≤ [E : K]. Diese Aussage ist fur [E : K] =

∞ richtig. Fur [E : K] < ∞ entsteht E als die Vereinigung eines Turms von

endlich vielen, einfachen und algebraischen Erweiterungen. Mit anderen Worten

gibt es Zwischenkorper Ei von E/K mit E0 = K, En = E und Ei ⊆ Ei+1,

so daß Ei+1/Ei einfach und algebraisch ist. Nach Lemma 5.54, Satz 5.53 und

dem Gradsatz gilt daher [E : K]s =∏n−1

i=0 [Ei+1 : Ei]s ≤∏n−1

i=0 [Ei+1 : Ei] =

[E : K]. Ist jede dieser einfachen Erweiterungen Ei+1/Ei separabel, so ergibt sich

daruberhinaus die Gleichheit.


Wir beweisen nun die Aquivalenz (iii) ⇔ (iii)′ fur eine endliche Erweiterung

E/K. Aus (iii) folgt (iii)′ mit F = E. Gilt umgekehrt (iii)′, also [E : K]s =

[E : K] fur eine endliche Erweiterung E/K, so folgt [F : K]s = [F : K] fur alle

Zwischenkorper von E/K wegen [F : K]s ≤ [F : K] und der Multiplikativitat

von [ : ]s und [ : ].

(i)⇒ (ii): Ist klar.

(iii) ⇒ (i): Fur a ∈ E gilt [K(a) : K]s = [K(a) : K], also ist a nach Lem-

ma 5.54 separabel uber K.

(ii)⇒ (iii): Wir stellen die Bemerkung voran, daß ein uber K separables a ∈E auch separabel uber Zwischenkorpern F von E/K ist, da ma,F ein Teiler von

ma,K ist. Wir nehmen nun zuerst an, daß E/K endlich ist. Durch die sukzessive

Adjunktion endlich vieler, geeigneter Elemente aus A erhalten wir damit einen

Turm endlich vieler, einfacher und separabler Erweiterungen, deren Vereinigung

gleich E ist, und nach der Schlußweise im ersten Abschnitt des Beweises gilt

[E : K]s = [E : K]. Ist F ein Zwischenkorper, so folgt [F : K]s = [F : K]

nach der bereits bewiesenen Aquivalenz (iii) ⇔ (iii)′. Dies beweist Satz 5.55 fur

endliche Erweiterungen.

Sei nun E/K beliebig. Ist F/K endlich, so gibt es a1, . . . , an ∈ A mit F ⊆K(a1, . . . , an) und es folgt [F : K]s = [F : K] nach dem bereits Bewiesenen.

Ist F/K unendlich, so gilt [F : K]s ≥ [F1 : K]s = [F1 : K] nach Satz 5.53 fur

alle endlichen Zwischenkorper F1 von F/K. Da [F1 : K] beliebig groß wird, folgt

[F : K]s =∞ = [F : K].

Eine endliche, separable Erweiterung E/K gestattet also nach Satz 5.55 die

maximal mogliche Anzahl von [E : K] Fortsetzungen τ ∈ Homσ(E,C) fur σ ∈Hom(K,C) und C algebraisch abgeschlossen.

Wir wenden uns wieder der Abbildung 5.1 zu und untersuchen, wie sich die

Eigenschaft”separabel“ vererbt.

5.56 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung.

(i) Fur einen Zwischenkorper F von E/K ist E/K genau dann separabel, wenn

E/F und F/K separabel sind.

(ii) Sind F1, F2 Zwischenkorper von E/K und ist F1/K separabel, so ist auch

F1F2/F2 separabel.

(iii) Ist zusatzlich F2/K separabel, so sind F1F2/K und F1 ∩ F2/K separabel.

Beweis. (i): Ist E/K separabel, so folgt unmittelbar, daß F/K separabel ist.

Außerdem gilt fur a ∈ E, daß ma,K ∈ F [t] ist und somit von ma,F geteilt


wird. Daher ist ma,F ebenfalls separabel und a separabel uber F (dies wur-

de bereits im Beweis von Satz 5.55 gesehen). Umgekehrt sei a ∈ E separabel

uber F und bezeichne L den Zwischenkorper von E/K, der durch Adjunkti-

on der Koeffizienten von ma,F an K entsteht. Dann ist a wegen ma,L = ma,F

separabel uber L und L(a)/L und L/K sind endlich und separabel. Es folgt

[L(a) : K]s = [L(a) : L]s[L : K]s = [L(a) : L][L : K] = [L(a) : K]. Daher ist a ist

separabel uber K und folglich E/K separabel.

(ii): Die Separabilitat von F1F2/F2 folgt aus Satz 5.55, (ii) angewendet auf

die Korpererweiterung F2(F1)/F2, da die Elemente von F1 auch separabel uber

F2 sind.

(iii): Die Separabilitat von F1F2/K folgt aus der Separabilitat von F1F2/F2

und F2/K und der Transitivitat von”separabel“. Die Separabilitat von F1∩F2/K

ist klar.


K separablen Zwischenkorpern von E/K wieder separabel uber K sind.

5.57 Definition. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung und A = {a ∈E | a ist separabel uber K}. Dann heißt K(A) der separable Abschluß von K in

E. Gilt K(A) = K, so nennt man K separabel abgeschlossen in E.

Ist E ein algebraischer Abschluß vonK, so heißtK(A) ein separabler Abschluß

von K und wird mit Ks bezeichnet. Gilt Ks = K, so nennt man K separabel

abgeschlossen.

Separable Abschlusse Ks sind bis auf K-Isomorphie eindeutig bestimmt. We-

gen der Transitivitat von”separabel“ sind separable Abschlusse separabel abge-

schlossen.

5.58 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung und F der separable

Abschluß von K in E. Dann gilt

[F : K] = [E : K]s.

Beweis. Siehe Satz 5.67.

5.59 Satz (Primitives Element). Sei E/K eine algebraische Erweiterung und

a, b ∈ E. Ist a separabel uber K, so besitzt K(a, b) ein primitives Element.

Beweis. Da a, b algebraisch uber K sind, ist K(a, b)/K endlich. Fur einen end-

lichen Korper K ist dann auch K(a, b) ein endlicher Korper. Nach Satz 3.11 ist

K(a, b)× zyklisch und wird von einem Element c ∈ K(a, b) erzeugt. Dann gilt of-

fenbarK(a, b) = K(c). Fur beliebigesK und a ∈ K gilt außerdemK(a, b) = K(b).

5.6. REIN INSEPARABLE ERWEITERUNGEN 165

Wir nehmen nun an, daß #K unendlich ist und a nicht in K liegt. Seien C ein

Zerfallungskorper von ma,Kmb,K und a1, a2, . . . , ar ∈ C die Nullstellen von ma,K

und b1, b2, . . . , bs die Nullstellen von mb,K in C. Wir nehmen ohne Einschrankung

a = a1 und b = b1 an. Fur x ∈ K setzen wir W (x) = {aix + bj | 2 ≤ i ≤ r, 1 ≤j ≤ s}. Durch Auflosen nach x und unter Verwendung der Separabilitat von a

sehen wir, daß es nur endlich viele x ∈ K gibt, fur die ax + b ∈ W (x) gilt. Da

#K = ∞ ist, gibt es ein y ∈ K mit ay + b 6∈ W (y). Wir zeigen, daß c = ay + b

ein primitives Element von K(a, b)/K ist.

Wir setzen h = gcd{ma,K , mb,K(c−yt)} in K(c)[t]. Wegen ma,K(a) = mb,K(c−ya) = 0 ist t − a ein Teiler von h in C[t]. Uber C zerfallt ma,K in die paarweise

verschiedenen Linearfaktoren t − ai und mb,K in die Linearfaktoren t − bj . Fur

i ≥ 2 gilt c − yai 6= bj fur alle j nach Wahl von y. Daher ist mb,K(c − yai) 6= 0

und h = t − a. Wegen h ∈ K(c)[t] nach Definition von h ergibt sich a ∈ K(c),

dann b = c− ya ∈ K(c) und schließlich K(a, b) = K(c).

Induktiv erhalten wir

5.60 Korollar. Jede endliche, separable Korpererweiterung ist einfach.

5.6 Rein inseparable Erweiterungen

Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, daß K ein Korper positiver Charakteristik

p = char(K) > 0 ist.

Sei f ∈ K[t] ein irreduzibles Polynom. Durch wiederholte Anwendung von

Korollar 3.16 kann f in der Form f = g(tpr) geschrieben werden, wobei g ∈

K[t] irreduzibel und separabel ist, wenn r maximal gewahlt wird. Uber einem

algebraischen Abschluß C von K gibt es dann ein separables h ∈ C[t] mit f =

g(tpr) = hp

r, indem man pr-te Wurzeln aus den Koeffizienten von g zieht. Die

Nullstellen von f treten daher mit der genauen Vielfachheit pr auf.

Im vorigen Abschnitt haben wir irreduzible Polynome f betrachtet, fur die

g = f gilt, die also nur einfache Nullstellen besitzen. Wir betrachten jetzt den

Fall, daß g ein Linearfaktor ist, so daß f nur eine einzige Nullstelle besitzt.

5.61 Definition. Ein Polynom f ∈ K[t] heißt rein inseparabel, wenn es nur eine

einzige Nullstelle in einem algebraischen Abschluß C von K besitzt.

Mit der obigen Zerlegung ist es klar, daß ein rein inseparables Polynom eine

Potenz eines Polynoms der Form tpr − c ∈ K[t] ist.

5.62 Definition. Sei E/K eine algebraische Erweiterung. Ein Element a ∈ E

heißt rein inseparabel uber K, wenn ma,K rein inseparabel ist. Die Erweiterung


E/K heißt rein inseparabel und E rein inseparabel uber K, wenn jedes a ∈ E\Kinseparabel uber K ist.

Die Erweiterung K/K ist die einzige Erweiterung, die separabel und rein in-

separabel ist. Eine Erweiterung E/K, in der jedes a ∈ E rein inseparabel uber K

ist, ist selbst rein inseparabel. Die Umkehrung dieser Aussage wird im folgenden

Lemma bewiesen, wodurch auch die Abweichung der Definition 5.62 im Analogie-

vergleich zu Definition 5.51 und zu den Definitionen fur”algebraisch“ behoben

wird. Wir fassen ∞ auch als Potenz von p = char(K) auf.

5.63 Lemma. Sei E/K eine rein inseparable Korpererweiterung.

(i) Jedes a ∈ E ist rein inseparabel uber K. Genauer gibt es ein r ∈ Z≥0 mit

apr ∈ K. Fur das kleinste solche r ist ma,K = tp

r − apr.

(ii) Der Grad [E : K] ist eine Potenz von p.

Beweis. (i): Ist f = ma,K das Minimalpolynom eines Elements a ∈ E, so ist

g mit r wie aus der obigen Zerlegung das Minimalpolynom von apr

uber K und

separabel, folglich ist aprseparabel uber K und nach Voraussetzung folgt ap

r ∈ K.

Also gilt g = t−aprund f = tp

r −apr. Da f irreduzibel uber K ist, muß r bereits

minimal mit apr ∈ K sein.

(ii): Fur [E : K] = ∞ ist die Aussage richtig. Gelte nun also [E : K] < ∞.

Fur einfache rein inseparable Erweiterungen ist die Aussage wegen Lemma 5.63

ebenfalls richtig.

Ist F ein Zwischenkorper von E/K und a ∈ E, so ist a auch rein insepara-

bel uber F , denn es gilt ma,F |ma,K und ma,F ist mit ma,K rein inseparabel. Die

Erweiterung E/K entsteht durch einen endlichen Turm von einfachen Erweite-

rungen, die wegen der vorstehenden Bemerkung alle rein inseparabel sind. Daher

folgt die Aussage uber [E : K] unter Verwendung des Gradsatz.

5.64 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung. Dann sind aquivalent.

(i) E/K ist rein inseparabel.

(ii) Es gibt A ⊆ E mit E = K(A) und jedes a ∈ A ist rein inseparabel uber K.

(iii) Fur jeden Zwischenkorper F von E/K gilt [F : K]s = 1.

Beweis. (i)⇒ (ii): Folgt aus Lemma 5.63, (i).

(iii) ⇒ (i): Wenn es ein uber K separables Element b ∈ E\K gibt, so ist

[K(b) : K]s 6= 1.

(ii) ⇒ (iii): Seien σ, τ ∈ HomK(F,C), wo C einen algebraischen Abschluß

von K bezeichnet, und b ∈ F beliebig. Wir wollen σ(b) = τ(b) und somit σ = τ

5.6. REIN INSEPARABLE ERWEITERUNGEN 167

zeigen. Es gibt zunachst a1, . . . , an ∈ A, so daß b ∈ Ln mit Li = K(a1, . . . , ai) ist.

Die Elemente a ∈ A sind rein inseparabel uber jedem echten Zwischenkorper von

E/K. Daher sind die Li+1/Li einfach und rein inseparabel. Nach Lemma 5.54 gilt

[Li+1 : Li]s = 1. Nach Satz 5.53 gilt folglich [Ln : K]s =∏

i[Li+1 : Li]s = 1 und

somit [K(b) : K]s = 1. Dies ergibt σ(b) = τ(b) und σ = τ , da b beliebig war.

Der Beweis verdeutlicht wieder die allgemeine Strategie, Aussagen zuerst fur

einfache Korpererweiterungen zu untersuchen und zu beweisen, und dann auf

endliche und schließlich auf algebraische Erweiterungen zu verallgemeinern.

In Satz 5.64, (iii) genugt es, wegen Satz 5.53 im Grunde nur die Gleichheit

[E : K]s = 1 zu fordern. Eine rein inseparable Erweiterung E/K gestattet also

nur die minimale Anzahl von genau einer Fortsetzung τ ∈ Homσ(E,C) fur σ ∈Hom(K,C) und C algebraisch abgeschlossen.

Wir wenden uns wieder der Abbildung 5.1 zu und untersuchen, wie sich die

Eigenschaft”rein inseparabel“ vererbt.


(i) Fur einen Zwischenkorper F von E/K ist E/K genau dann rein inseparabel,

wenn E/F und F/K rein inseparabel sind.

(ii) Sind F1, F2 Zwischenkorper von E/K und ist F1/K rein inseparabel, so ist

auch F1F2/F2 rein inseparabel.

(iii) Ist zusatzlich F2/K rein inseparabel, so sind auch F1F2/K und F1 ∩ F2/K

rein inseparabel.

Beweis. Der Beweis erfolgt wegen Satz 5.64 und Satz 5.67 fur”rein inseparabel“

analog wie fur”separabel“.


K rein inseparablen Zwischenkorpern von E/K wieder rein inseparabel uber K

sind.

5.66 Definition. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung und A = {a ∈E | a ist rein inseparabel uber K}. Dann heißt K(A) der rein inseparable Abschluß

von K in E. Gilt K(A) = K, so nennt man K rein inseparabel abgeschlossen in E.

Ist E ein algebraischer Abschluß von K, so heißt K(A) ein rein inseparabler

Abschluß von K und wird mit Kp−∞bezeichnet. Gilt Kp−∞

= K, so nennt man

K rein inseparabel abgeschlossen.

Die Bezeichnung Kp−∞ruhrt daher, daß wir sukzessive p-te Wurzeln an K

adjungieren, um Kp−∞zu erhalten. Rein inseparable Abschlusse Kp−∞

sind sind

bis auf K-Isomorphie eindeutig bestimmt. Wegen der Transitivitat von”rein in-

separabel“ sind rein inseparable Abschlusse rein inseparabel abgeschlossen.


5.67 Satz. Sei E/K algebraisch und F der separable Abschluß von K in E.

Dann ist E/F rein inseparabel, [F : K] = [E : K]s und [E : F ] eine Potenz

von p = char(K).

Beweis. Fur jedes a ∈ E gibt es ein r ∈ Z≥0, so daß apr

separabel uber F ist.

Wegen der Transitivitat von”separabel“ folgt ap

r ∈ F , also ist a rein inseparabel

uber F . Daher ist E/K rein inseparabel.

Nach Satz 5.55, Satz 5.64 und Satz 5.53 gilt [E : F ]s = 1 und damit [F :

K] = [F : K]s = [E : F ]s[F : K]s = [E : K]s. Die Aussage uber [E : F ] folgt aus

Lemma 5.63.

5.68 Definition. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung und F der se-

parable Abschluß von K in E. Der Inseparabilitatsgrad von E/K wird als [E :

K]i = [E : F ] definiert.

Der Inseparabilitatsgrad ist also nach Satz 5.67 stets eine nicht negative Potenz

der Charakteristik p und es gilt [E : K] = [E : K]i[E : K]s. Zur Vereinheitlichung

definieren wir [E : K]i = 1 fur Korper in Charakteristik Null.

Der Inseparabilitatsgrad besitzt ahnliche Eigenschaften wie der Separabilitats-

grad:


(i) Fur jeden Zwischenkorper F von E/K gilt [E : K]i = [E : F ]i[F : K]i.

(ii) Ist E/K normal und F der rein inseparable Abschluß von K in E, so ist

E/F separabel und es gilt [E : K]i = [F : K].

Beweis. (i): Sei F ′ der separable Abschluß von K in F , E ′ der separable Abschluß

von F in E und L der separable Abschluß von F ′ in E ′. Nach Satz 5.73 sind F und

L uber F ′ linear disjunkt mit E ′ = FL. Weiter ist L/K separabel und E/L rein

inseparabel. Daher ist L der separable Abschluß von K in E. Es folgt [E : K]i =

[E : L] = [E : E ′][E ′ : L] = [E : F ]i[E′ : L] = [E : F ]i[F : F ′] = [E : F ]i[F : K]i.

(ii): Folgt aus Satz 5.73.

Fur endliche Erweiterungen E/K kann man die Multiplikativitat von [ : ]i auch

mit Hilfe der Multiplikativitat von [ : ], [ : ]s und mit [E : K] = [E : K]i[E : K]sleicht beweisen.

Der Satz vom primitiven Element gilt fur (rein) inseparable Erweiterungen im

allgemeinen nicht. Sei zum Beispiel K = Fp(x, y) und E = K(x1/p, y1/p). Dann

gilt [E : K] = p2, aber fur jedes a ∈ E ist ma,K = tp − ap. Also kann E/K nicht

einfach sein.

5.7 WEITERE EIGENSCHAFTEN 169

5.7 Weitere Eigenschaften von normalen, sepa-

rablen und rein inseparablen Erweiterungen

Wir bezeichnen mit K jetzt wieder einen beliebigen Korper. Wird das Symbol p

verwendet, so nehmen wir p = char(K) > 0 an.

5.70 Definition. Ein KorperK heißt vollkommen, wenn jede algebraische Korper-

erweiterung E/K separabel ist.

Fur einen Korper K schreiben wir Kp = {ap | a ∈ K}. Man kann die Definition

offensichtlich auf hohere p-Potenzen und unter Verwendung eines algebraischen

Abschluß von K auch auf negative Potenzen erweitern.

5.71 Satz. (i) Jeder Korper der Charakteristik Null ist vollkommen.

(ii) Ein Korper der Charakteristik p > 0 ist genau dann vollkommen, wenn

Kp = K gilt.

(iii) Jeder algebraische Erweiterungskorper eines vollkommenen Korpers ist voll-

kommen.

Beweis. (i): Die uber K irreduziblen Polynome sind separabel.

(ii): Ist Kp 6= K, so gibt es ein a ∈ K\Kp und f = tp − a hat keine Nullstelle

in K, aber nur eine Nullstelle in einem algebraischen Abschluß von K. Damit

besitzt f einen irreduziblen, nicht separablen Faktor vom Grad ≥ 2 (Aufgabe:

f ist sogar irreduzibel). Sei nun Kp = K und f ∈ K[t] irreduzibel. Ist f nicht

separabel, so gibt es wegen Kp = K Polynome g, h ∈ K[t] mit f = g(tp) = hp,

im Widerspruch zur Irreduzibilitat von f .

(iii): Sei K vollkommen und L/K algebraisch. Ist dann E/L algebraisch, so

ist auch E/K algebraisch und daher nach Voraussetzung separabel. Dann ist auch

E/L separabel.

Sei K ein Korper mit endlichen vielen Elementen, und sei p = char(K) > 0.

Da der Frobeniusendomorphismus x 7→ xp von K injektiv ist, ist er wegen der

Endlichkeit von K auch surjektiv und es gilt Kp = K. Korper mit endlich vielen

Elementen sind somit vollkommen. Algebraische Abschlusse und rein inseparable

Abschlusse sind ebenfalls vollkommen. Auf der anderen Seite ist zum Beispiel

Fp(t) nicht vollkommen.

5.72 Lemma. Die normale Hulle einer separablen Korpererweiterung E/K ist

separabel. Der separable Abschluß von K in einer normalen Korpererweiterung

E/K ist normal. Eine rein inseparable Korpererweiterung E/K ist normal.


Beweis. Die ersten zwei Aussagen ergeben sich aus der Tatsache, daß die zu einem

uber K separablen Element konjugierten Elemente ebenfalls separabel sind, da

sie das gleiche Minimalpolynom haben. Die dritte Aussage folgt direkt aus der

Definition von”normal“ und Lemma 5.63.

Im Abschnitt 5.6 haben wir gesehen, daß sich eine algebraische Korperer-

weiterung E/K in eine separable Erweiterung F1/K und eine rein inseparable

Erweiterung E/F1 aufteilen laßt. Ist E/K normal, so kann E/K auch in eine rein

inseparable Erweiterung F2/K und eine separable Erweiterung E/F2 aufgeteilt

werden. Hierbei sind F1 und F2 der separable bzw. rein inseparable Abschluß von

K in E.

5.73 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung. Sei F1 der separable

Abschluß von K in E und F2 der rein inseparable Abschluß von K in E.

(i) F1 und F2 sind linear disjunkt uber K.

(ii) Ist E separabel uber F2, so gilt E = F1F2 sowie [E : K]s = [F1 : K] = [E :

F2] und [E : K]i = [F2 : K] = [E : F1].

(iii) Ist E normal uber K, so ist E separabel uber F2.

Beweis. (i): Fur die lineare Disjunktheit genugt es wegen Satz 5.23, (v) und

Satz 5.59 zu zeigen, daß fur jedes separable a ∈ E die Erweiterungen K(a)/K und

F2/K linear disjunkt sind. Nach Lemma 5.63 gibt es s ∈ Z≥0 mit ma,F2ps ∈ K[t].

Dann gilt ma,K |ma,F2ps

in K[t] und folglich auch in F2[t]. Da ma,F2 irreduzibel ist,

gibt es also d ∈ Z≥1 mit ma,K = ma,F2d. Weil ma,K aber separabel ist, folgt d = 1

und ma,K = ma,F2 . Es ergibt sich [F2(a) : F2] = [K(a) : K] und nach Satz 5.23,

(i) sind K(a)/K und F2/K linear disjunkt.

(ii): Die Erweiterung E/F1F2 ist nach Satz 5.65, (i) rein inseparabel und nach

Satz 5.56, (i) und separabel. Daher gilt E = F1F2.

(iii): Sei a ∈ E und ma,K = g(tpr) mit g ∈ K[t] separabel. Da E/K normal

ist, gibt es paarweise verschiedene ai ∈ E mit ma,K =∏n

i=1(t − ai)pr

und g =∏n

i=1(t− apr

i ). Das Polynom h =∏n

i=1(t− ai) erfullt hpr

= g und daher h ∈ F2[t].

Schließlich gilt h(a) = 0 und h ist separabel, so daß a separabel uber F2 ist.

5.74 Korollar. Sei E/K eine einfache Erweiterung mit primitivem Element a

und C ein algebraischer Abschluß von E. Sei F1 der separable Abschluß von K

in E und F2 der rein inseparable Abschluß von K in E. Sei r ∈ Z≥0 maximal, so

daß es ein g ∈ K[t] mit ma,K = g(tpr) gibt. Sei h ∈ C[t] mit hp

r= g(tp

r) = ma,K.

Ist E/F2 separabel, so gilt:

(i) ma,F1 = tpr − apr

und ma,F2 = h (insbesondere ist h ∈ F2[t] irreduzibel).

5.7 WEITERE EIGENSCHAFTEN 171

(ii) F1 = K(apr) und mapr ,K = g. F2 = K(cp

−r

0 , . . . , cp−r

n ) mit g =∑n

i=0 citi.

Beweis. (i): Die Aussage ma,F1 = tpr − ap

rfolgt aus Lemma 5.63. Nach Lem-

ma 5.63 gibt es auch ein s ∈ Z≥0 minimal mit ma,F2ps ∈ K[t]. Dann gilt ma,K =

hpr |ma,F2

ps. Das Polynom h ist nach Definition separabel. Wegen Satz 5.73, (i)

ist aber auch ma,F2 separabel. Die Betrachtung der Faktorisierungen dieser Poly-

nome uber C zeigt r = s und h |ma,F2. Wegen deg(ma,F2) = [K(a) : K]s = deg(h)

folgt h = ma,F2.

(ii): Das Polynom g ist separabel und irreduzibel uberK und es gilt g(apr) = 0.

Daher folgt mapr ,K = g und K(apr) ⊆ F1. Da E/K(ap

r) rein inseparabel ist, folgt

F1 = K(apr). Weiter gilt h =

∑

i cp−r

i ti und aus Aussage (i) und Lemma 5.24 folgt

F2 = K(cp−r

0 , . . . , cp−r

n ).

Fur normale Erweiterungen ist das notwendige Kriterium fur lineare Disjunkt-

heit aus Satz 5.23, (ii) unter gewissen Bedingungen auch hinreichend, wie der

folgende Satz zeigt.


E/K mit F1/K normal und F1 ∩ F2 = K. Ist F1/K einfach oder separabel, oder

ist F2/K separabel, so sind F1 und F2 linear disjunkt uber K.

Beweis. Sei zuerst F1/K einfach mit primitivem Element a. Dann ist ma,K irre-

duzibel in F2[t]: Seien g, h ∈ F2[t] normiert mit ma,K = gh. Die Koeffizienten von

g und h sind Polynomausdrucke in den Nullstellen von ma,K , welche wegen der

Normalitat von F1/K alle in F1 liegen. Wegen F1 ∩ F2 = K folgt g, h ∈ K[t]. Da

ma,K irreduzibel in K[t] ist, folgt g = 1 oder h = 1. Also ist ma,K auch in F2[t]

irreduzibel. Damit folgt [F1 : K] = [K(a) : K] = [F2(a) : F2] = [F1F2 : F2], und

die lineare Disjunktheit ergibt sich aus Satz 5.23, (i).

Sei nun F1/K separabel. Die lineare Disjunktheit ergibt sich dann aus dem

bereits bewiesenen Fall mit Hilfe von Satz 5.23, (v) und Satz 5.59.

Sei schließlich F2/K separabel. Sei L der separable Abschluß von K in F1.

Dann ist L/K separabel und normal und nach dem bereits bewiesenen Fall sind

L/K und F2/K linear disjunkt. Nach Satz 5.73, (i) sind aber auch F1/L und

F2L/L linear disjunkt, so daß sich die lineare Disjunktheit von F1/K und F2/K

mit Satz 5.23, (iv) ergibt.

5.76 Satz. Sei E/K eine endliche Korpererweiterung mit p = char(K) > 0.

Dann ist E/K genau dann separabel, wenn EpK = E gilt. Aus EpK = E folgt

EpnK = E fur alle n ≥ 0.

Beweis. Wir beweisen die letzte Aussage zuerst. Es gelte EpK = E. Dann folgt

induktiv Epn+1K = (Epn

)p(KpK) = (EpnK)pK = EpK = E.


Sei nun E/K separabel. Dann ist E/EpK separabel und rein inseparabel, denn

fur a ∈ E gilt ap ∈ EpK. Es folgt E = EpK. Gelte nun EpK = E und sei L der

separable Abschluß von K in E. Dann ist E/L nach Satz 5.67 rein inseparabel.

Es gibt a1, . . . ar ∈ E mit E = K(a1, . . . , ar), und fur jedes ai gibt es ein mi ≥ 0

mit apmi

i ∈ L. Dann folgt mit m = maximi, daß Epm ⊆ L. Wegen K ⊆ L ergibt

sich E = EpmK ⊆ L, folglich E = L und E/K ist separabel.

Satz 5.76 wird falsch, wenn auf die Endlichkeitsvoraussetzung von E/K ver-

zichtet wird. Zum Beispiel gilt Ep = E fur einen rein inseparablen Abschluß

E = Kp−∞von K, und E/K ist nicht separabel.

5.8 Endliche Korper

Ein endlicher Korper ist ein Korper mit endlich vielen Elementen. Endliche Korper

sind in gewisser Weise die”einfachsten“ Korper, die es gibt. Sie spielen eine wich-

tige Rolle in der Mathematik und in praktischen Anwendungen wie zum Beispiel

Kryptographie und Kodierungstheorie.

Ist p eine Primzahl, so ist zum Beispiel der Faktorring Fp = Z/pZ ein endlicher

Korper der Charakteristik p. Ist K ein endlicher Korper, so ist sein Primkorper

von der Form Fp fur eine geeignete Primzahl p. Da K ein Vektorraum der Dimen-

sion n = [K : Fp] uber Fp ist, folgt #K = pn.

5.77 Satz. Sei K ein endlicher Korper mit q Elementen. Dann ist K× eine

endliche zyklische Gruppe und fur x ∈ K gilt xq = x.

Beweis. Folgt direkt aus Satz 3.11, da K× eine endliche Gruppe ist. Es gilt weiter

#K× = q − 1, und folglich ist xq−1 = 1 fur x ∈ K×. Daraus folgt xq = x fur alle

x ∈ K.

5.78 Satz. Sei K ein Erweiterungskorper von Fp. Dann sind aquivalent.

(i) K ist ein endlicher Korper mit q = pn Elementen.

(ii) K ist Zerfallungskorper des Polynoms tq − t uber Fp mit q = pn.

Insbesondere existiert also fur jedes q = pn ein endlicher Korper K mit q Ele-

menten.

Beweis. (i)⇒ (ii): Aus Satz 5.77 folgt, daß die Elemente von K genau die Null-

stellen von tq − t sind.

(ii) ⇒ (i): Sind a, b ∈ K und b 6= 0 zwei Nullstellen von tq − t, so sind auch

a + b, ab,−a, 1/b Nullstellen von tq − t. Aus aq = a und bq = b folgt namlich

5.8. ENDLICHE KORPER 173

aq + bq = (a + b)q = a + b, (ab)q = ab, (−a)q = −a und (1/b)q = 1/b unter

Beachtung von Satz 2.33. Damit bilden die Nullstellen von tq − t bereits einen

Korper, und K besteht wegen der Zerfallungskorpereigenschaft aus genau diesen

Nullstellen. Wegen gcd{tq−t, qtq−1−1} = 1 ist tq−t separabel und daher #K = q.

Die Existenz von K folgt aus der Existenz von Zerfallungskorpern.

5.79 Satz. Je zwei endliche Korper mit q Elementen sind isomorph. Jede Erwei-

terung E/K von endlichen Korpern ist normal, separabel und einfach. Endliche

Korper sind vollkommen.

Beweis. Die Isomorphie folgt, weil Zerfallungskorper isomorph sind. Die Norma-

litat folgt, weil E als Zerfallungskorper uber Fp und uber K normal ist. Die

Separabilitat folgt, weil die Polynome tq − t separabel sind. Nach dem Satz vom

primitiven Element ist E/K dann einfach. Ein primitives Element wird zum Bei-

spiel durch einen Erzeuger von E× gegeben. Daß endliche Korper vollkommen

sind, wurde bereits auf Seite 169 gezeigt. Man kann auch so argumentieren: Ist

a ein uber K separables Element, so ist K(a) ein endlicher Korper und ma,K ein

Teiler eines Polynoms der Form tq − t und somit separabel.

5.80 Definition. Innerhalb eines fest gewahlten, algebraischen Abschlusses Fpvon Fp bezeichnen wir mit Fq den eindeutig bestimmten endlichen Korper mit q

Elementen in Fp.

5.81 Satz. Seien Fpn und Fpm endliche Korper (in einem gemeinsamen Erwei-

terungskorper Fp). Dann ist Fpm ⊆ Fpn genau dann, wenn m |n gilt.

Beweis. Gilt Fpm ⊆ Fpn, so folgt #Fpn = (#Fpm)[Fpn :Fpm ], also pn = pm[Fpn :Fpn ].

Gelte umgekehrt m |n. Fur x ∈ Fpm ergibt sich xpm

= x, xp2m

= (xpm)p

m= x usw.

und schließlich xpn

= x(pm)n/m= x unter Verwendung von m |n. Dies wiederum

bedeutet x ∈ Fpn.

5.82 Korollar. Es gilt FpnFpm = Fplcm(n,m) und Fpn ∩ Fpm = Fpgcd(n,m) .

Beweis. Ubung.

Die explizite Darstellung von endlichen Korpern kann wieder mit irreduziblen

Polynomen erfolgen. Ist Fq endlicher Korper mit q Elementen und f ∈ Fq[t]

normiert und irreduzibel vom Grad n, so ergibt Fq[t]/fFq[t] eine Erweiterung von

Fq vom Grad n. Wahlt man ein anderes irreduzibles Polynom vom Grad n, so

erhalt man einen Fq-isomorphen Korper. Die Existenz von Fqn bzw. primitiver

Elemente von Fqn uber Fq zeigt auch, daß es fur jedes n ∈ Z≥1 mindestens ein

irreduzibles Polynom f ∈ Fq[t] mit deg(f) = n gibt.


5.9 Kreisteilungskorper

5.83 Definition. Sei K ein Korper und f = tn−1. Die Nullstellen von f in einem

algebraischen Abschluß K von K heißen n-te Einheitswurzeln und die Menge der

n-ten Einheitswurzeln von f in K wird mit µn bezeichnet. Der Zerfallungskorper

K(µn) von f uber K heißt n-ter Kreisteilungskorper.

Offenbar gilt #µn ≤ n und µm ⊆ µn fur m |n. Der Name Kreisteilungskorper

ergibt sich daraus, daß die n-ten Einheitswurzeln in C von der Form exp(2πir/n)

sind, daher auf dem Einheitskreis liegen und ihn in gleiche Teile teilen. Ist E als

weiteres Beispiel ein endlicher Korper mit q Elementen, so gilt E = K(µq−1).

5.84 Satz. Die Menge µn ist eine zyklische Untergruppe von K(µn)×. Es gilt

µpn = µn fur p = char(K) > 0. Aus p ∤ n oder char(K) = 0 folgt #µn = n.

Beweis. Die erste Aussage folgt aus Satz 3.11. Die zweite folgt, weil tmp − 1 =

(tm − 1)p ist. Die dritte folgt, weil gcd{tn − 1, ntn−1} = 1 unter den gemachten

Voraussetzungen gilt.

5.85 Satz. Die Korpererweiterungen K(µn)/K sind normal und separabel.

Beweis. Sei p = char(K). Dann ist K(µn) Zerfallungskorper des separablen Po-

lynoms tn − 1 fur p = 0 beziehungsweise tn/vp(n) − 1 fur p > 0.

Wir nehmen fur den Rest des Abschnitts an, daß n nicht von der Charakteri-

stik geteilt wird bzw. daß die Charakteristik Null ist.

5.86 Definition. Die Erzeuger von µn heißen primitive n-te Einheitswurzeln.

Fur eine primitive n-te Einheitswurzel heißt das Polynom

Φn =∏

1 ≤ i ≤ ngcd{i, n} = 1

(t− ζ i)

das n-te Kreisteilungspolynom.

Eine zyklische Gruppe der Ordnung n hat φ(n) verschiedene Erzeuger. Daher

gibt es also genau φ(n) primitive n-te Einheitswurzeln. Ferner hat Φn genau die

primitiven n-ten Einheitswurzeln als Nullstellen und es gilt deg(Φn) = φ(n). Ist

d die Ordnung einer Einheitswurzel ζ ∈ µn, so ist ζ eine primitive d-te Einheits-

wurzel.

5.87 Satz. Fur die Kreisteilungspolynome gilt die Beziehung tn − 1 =∏

d |n Φd.

Beweis. Ist klar, weil wir alle primitiven Einheitswurzeln erfassen.

5.9. KREISTEILUNGSKORPER 175

Der Satz liefert ein Rekursionsverfahren zur Berechnung der Kreisteilungspo-

lynome, mittels Φn = (tn − 1)/∏

d |n,d6=n Φd. Ist n zum Beispiel prim, gilt also

Φn = (tn−1)/(t−1) =∑n−1

i=0 ti. Fur eine Reihe weiterer Rekursionsformeln siehe

Lang, Algebra, S. 208.

5.88 Satz. Die Kreisteilungspolynome sind bereits uber Z bzw. den jeweiligen

Primkorpern Fp definiert. Die Reduktion des Kreisteilungspolynoms uber Z mo-

dulo einer Primzahl p liefert das Kreisteilungspolynom uber Fp.

Beweis. Folgt induktiv aus der Rekursionsformel Φn = (tn − 1)/∏

d |n,d6=n Φd. Da

Zahler und Nenner der rechten Seite uber Z bzw. uber dem jeweiligen Primkorper

definiert und die Nenner normiert sind, ist auch Φd uber Z bzw. uber dem jewei-

ligen Primkorper definiert (Polynomdivision liefert Quotienten uber Z bzw. Fpund es bleibt kein Rest ubrig). Sei · : Z[t]→ Fp[t] der kanonische Epimorphismus

bezuglich koeffizientenweiser Reduktion modulo p. Gilt tn − 1 = Φn

∏

d |n,d6=n Φd,

so erhalten wir auch tn − 1 = Φn

∏

d |n,d6=n Φd. Dies zeigt, daß das n-te Kreistei-

lungspolynom uber Fp gleich Φn ist.

5.89 Satz. Das n-te Kreisteilungspolynom Φn ist irreduzibel uber Q.

Beweis. Sei f ein normierter irreduzibler Faktor von Φn uber Q. Dann gilt bereits

f ∈ Z[t] nach Korollar 3.28. Sei p eine Primzahl mit p ∤ n und ζ eine Nullstelle von

f . Dann ist ζp ebenfalls eine primitive n-te Einheitswurzel. Wir zeigen gleich, daß

ζp auch eine Nullstelle von f ist. Durch die Verwendung moglicherweise verschie-

dener, jedoch zu n teilerfremder Primzahlen pi konnen wir dann jede primitive

n-te Einheitswurzel ξ in der Form ξ = ζQ

i pi schreiben. Damit ist jede primitive

n-te Einheitswurzel eine Nullstelle von f , es gilt Φn = f und Φn ist irreduzibel.

Sei h ∈ Z[t] normiert mit fh = Φn. Es gilt f(ζp) = 0 oder h(ζp) = 0.

Nehmen wir f(ζp) 6= 0 an. Dann ist ζp eine Nullstelle von h und ζ eine Nullstelle

von h(tp). Folglich gilt f | h(tp) und es gibt g ∈ Z[t] normiert mit fg = h(tp).

Sei · : Z[t] → Fp[t] der kanonische Epimorphismus bezuglich koeffizientenweiser

Reduktion modulo p. Fur alle x ∈ Fp gilt xp = x. Daher folgt h(t)p = h(tp) = fg.

Wegen deg(f) ≥ 1 haben dann h und f einen gemeinsamen Faktor vom Grad

≥ 1 und sind nicht teilerfremd. Auf der anderen Seite sind aber die Polynome

tn − 1 ∈ Fp[t] und damit φn = f h ∈ Fp[t] wegen p ∤ n separabel. Daraus ergibt

sich ein Widerspruch, und es muß also f(ζp) = 0 gelten.

Der vorhergehende Satz ist uber endlichen Korpern im allgemeinen falsch.

Wegen #µn = n aufgrund der Annahmen und da µn zyklisch ist, gilt µm ⊆ µngenau dann, wenn m |n. Daraus folgt µn ∩ µm = µgcd(n,m) und µnµm = µlcm(n,m).


5.90 Korollar. Es gilt Q(µn) = Q(ζ) und [Q(ζ) : Q] = φ(n) fur eine primitive

n-te Einheitswurzel ζ ∈ µn. Es gilt Q(µn)Q(µm) = Q(µlcm(n,m)) und Q(µn) ∩Q(µm) = Q(µgcd(n,m)).

Beweis. Der erste Teil ist mit Satz 5.89 klar. Der Rest ist eine Ubung.

5.10 Charakteristisches Polynom, Spur und

Norm

Wir wenden nun eine allgemeine und haufig auftretende Begriffsbildung aus der

linearen Algebra auf endliche Korpererweiterungen an.

Das charakteristische Polynom, die Spur und Norm (Determinante) von Vek-

torraumendomorphismen sind wie folgt definiert. Sei V ein Vektorraum uber dem

Korper K der Dimension n und φ ∈ EndK(V ). Fur eine Basis v1, . . . , vn von V

sei M ∈ Kn×n mit (φ(v1), . . . , φ(vn)) = (v1, . . . , vn)M die Darstellungsmatrix von

φ bezuglich der vi. Dann ist χφ,V/K = det(tIn −M) ∈ K[t] mit deg(χφ,V/K) = n

das charakteristische Polynom von φ, und fur χφ,V/K =∑n

i=0 aitn−i ist die Spur

von φ gleich TrV/K(φ) = Tr(M) = −a1 und die Norm von φ gleich NV/K(φ) =

det(M) = (−1)nan. Das charakteristische Polynom, die Spur und die Norm von

φ hangen nicht von der gewahlten Basis vi ab.

Die Notation V/K zusammen mit φ soll im Zusammenhang mit charakteri-

stischem Polynom, Spur und Norm bedeuten, daß V ein K-Vektorraum ist und

daß φ ∈ EndK(V ) gilt.

Sei E/K eine endliche Korpererweiterung und a ∈ E. Dann ist E auch ein

endlich dimensionaler Vektorraum uber K und die Multiplikation x 7→ ax mit a

liefert einen Vektorraumendomorphismus φa von E (allgemeiner kann man auch

eine endlich dimensionaleK-Algebra E betrachten). Wir erhalten schließlich einen

Ringmonomorphismus φ : E → EndK(E) durch a 7→ φa.

5.91 Definition. Das charakteristische Polynom χa,E/K ∈ K[t] von a bezuglich

der endlichen Korpererweiterung E/K wird als χφa definiert. Die Spur TrE/K(a)

und die Norm NE/K(a) von a bezuglich E/K werden als TrE/K(φa) beziehungs-

weise NE/K(φa) definiert.

Wir wiederholen zunachst die fur uns interessanten, allgemeinen Eigenschaften

charakteristischer Polynome, Spuren und Normen fur Vektorraumendomorphis-

men.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist χφ,V/K(φ) die Nullabbildung auf V .

Sind φ1, φ2 ∈ EndK(V ) und λ ∈ K, so gilt offenbar TrV/K(φ1 +φ2) = TrV/K(φ1)+

5.10. CHARAKTERISTISCHES POLYNOM, SPUR UND NORM 177

TrV/K(φ2) und TrV/K(λφ1) = λTrV/K(φ1). Die Spur ist demnach K-linear. Ferner

gilt NV/K(φ1φ2) = NV/K(φ1)NV/K(φ2), so daß die Norm multiplikativ ist.

Seien V1, V2 ⊆ V Unterraume von V mit V = V1 ⊕ V2 und φ(Vi) ⊆ Vi. Wir

setzen φi = φ|Vi. Dann gilt χφ,V/K = χφ1,V1/K · χφ2,V2/K und folglich TrV/K(φ) =

TrV1/K(φ1) + TrV2/K(φ2) und NV1/K(φ) = NV1/K(φ1)NV2/K(φ2).

Das folgende Lemma ist im wesentlichen eine Aussage aus der linearen Alge-

bra.

5.92 Lemma. Sei F ein Korper und Teilring von Km×m und sei

h : F n×n → Knm×nm, ((ai,j,µ,ν)i,j)µ,ν 7→ (ai,j,µ,ν)(µ−1)n+i,(ν−1)n+j .

Dann ist h ein Ringmonomorphismus, und fur alle M ∈ F n×n gilt

Tr(Tr(M)) = Tr(h(M)) und det(det(M)) = det(h(M)).

Beweis. Es ist zunachst offensichtlich, daß h injektiv ist und h(0) = 0, h(1) = 1

gilt. Seien M,N ∈ F n×n und M = ((ai,j,µ,ν)i,j)µ,ν , N = ((bi,j,µ,ν)i,j)µ,ν . Dann gilt

h(MN) = h

(

(

n∑

c=1

(ai,j,µ,c)i,j(bi,j,c,ν)i,j

)

µ,ν

)

= h

(

(

n∑

c=1

(

m∑

d=1

ai,d,µ,cbd,j,c,ν)

i,j

)

µ,ν

)

= h

(

(

(

n∑

c=1

m∑

d=1

ai,d,µ,cbd,j,c,ν)

i,j

)

µ,ν

)

=(

n∑

c=1

m∑

d=1

ai,d,µ,cbd,j,c,ν

)

(µ−1)n+i,(ν−1)n+j

=(

ai,j,µ,ν)

(µ−1)n+i,(ν−1)n+j

(

bi,j,µ,ν)

(µ−1)n+i,(ν−1)n+j

= h(N)h(M).

Fur die Spur gilt direkt

Tr(Tr(M)) = Tr(

n∑

c=1

(ai,j,c,c)i,j

)

= Tr(

(n∑

c=1

ai,j,c,c)i,j

)

=m∑

d=1

n∑

c=1

ad,d,c,c = Tr(h(M)).

Fur die Determinante gilt zunachst det(det(M)) = det(h(M)), wenn M eine

Dreiecksmatrix oder eine elementare Transformationsmatrix der folgenden Form


ist: Zeile mit Element aus F multiplizieren, Zeile mit Element aus F multiplizieren

und zu einer anderen Zeile addieren, zwei Zeilen vertauschen. Die Aussage fur

Dreiecksmatrizen ist aus der linearen Algebra bekannt. Die Aussage fur die ersten

beiden Transformationsmatrixtypen folgt aus der fur Dreiecksmatrizen. Ist M

eine Transformationsmatrix des dritten Typs, so entsteht h(M) aus Inm durch

Vertauschung von m Zeilen und es gilt

det(det(M)) = det(−1) = det(−Im) = (−1)m = det(h(M)).

Nach dem Gaußalgorithmus gibt es zu beliebigem M ∈ F n×n elementare Trans-

formationsmatrizen Ti ∈ F n×n und eine Dreiecksmatrix N ∈ F n×n mit M =

N∏

i Ti. Dann folgt

det(det(M)) = det(det(N∏

i

Ti)) = det(det(N)∏

i

det(Ti))

= det(det(N))∏

i

det(det(Ti)) = det(h(N))∏

i

det(h(Ti))

= det(h(N)∏

i

h(Ti)) = det(h(N∏

i

Ti))

= det(h(M)).

5.93 Satz. Sei V ein endlich dimensionaler F -Vektorraum und K ein Teilkorper

von F mit [F : K] <∞. Fur φ ∈ EndF (V ) gilt auch φ ∈ EndK(V ) und

(i) TrV/K(φ) = TrF/K(TrV/F (φ)),

(ii) NV/K(φ) = NF/K(NV/F (φ)),

(iii) χφ,V/K = NF (t)/K(t)(χφ,V/F ).

Beweis. Der Beweis beruht auf der”Transitivitat“ der Spur und der Determinante

aus Lemma 5.92.

Sei n = dimF (V ) und m = [F : K]. Es ist gunstig, anstelle von F und K

mit den rationalen Funktionenkorpern F (t) und K(t) zu arbeiten. Eine Basis

von F uber K ist auch eine Basis von F (t) uber K(t) (Ubungsaufgabe, beachte

Satz 5.20, (i) und Satz 7.7).

Wir bezeichnen mit f : F (t) → K(t)m×m den Monomorphismus, der jedem

a ∈ F (t) die Darstellungsmatrix der Muliplikation-mit-a-Abbildung bezuglich

einer festgewahlten Basis e1, . . . , em von F uber K zuordnet. Definitionsgemaß

gilt dann Tr(f(a)) = TrF (t)/K(t)(a) und det(f(a)) = NF (t)/K(t)(a) fur alle a ∈ F (t)

und speziell auch Tr(f(a)) = TrF/K(a) und det(f(a)) = NF/K(a) fur alle a ∈ F .


Die Abbildung fn : F (t)n×n → K(t)nm×nm wird analog zu h in Lemma 5.92 als

der durch koeffizientenweise Anwendung von f erhaltene Monomorphismus defi-

niert. Nach Lemma 5.92 gilt nun Tr(f(Tr(M))) = Tr(fn(M)) und det(f(det(M))) =

det(fn(M)) fur jedes M ∈ F (t)n×n.

Sei v1, . . . , vn eine F -Basis von V . Dann ist ejvν fur 1 ≤ j ≤ m und 1 ≤ν ≤ n eine K-Basis von V . Sei MF = (mµ,ν)µ,ν ∈ F n×n die Darstellungsma-

trix von φ bezuglich (vν)ν und sei MK ∈ Knm×nm die Darstellungsmatrix von

φ bezuglich (ejvν)(ν−1)n+j . Wir wollen MK = fn(MF ) zeigen. Sei fn(MF ) =

(ai,j,µ,ν)(µ−1)n+i,(ν−1)n+j mit ai,j,µ,ν ∈ K. Dann gilt aufgrund der Definitionen

φ(vν) =∑n

c=1mc,νvc und mµ,νej =∑m

d=1 ad,j,µ,νed und zusammen

φ(ejvν) = ejφ(vν) = ej

n∑

c=1

mc,νvc =n∑

c=1

(mc,νej)vc =n∑

c=1

(

m∑

d=1

ad,j,c,νed

)

vc

=

n∑

c=1

m∑

d=1

ad,j,c,νedvc.

Dies heißt aber nichts anderes, als daß (ai,j,µ,ν)(µ−1)n+i,(ν−1)n+j = fn(MF ) die

Darstellungsmatrix von φ bezuglich der K-Basis (ejvν)(ν−1)n+j ist, daß also MK =

fn(MF ) gilt.

Mit der Transitivitat der Spur ergibt sich nun zusammenfassend

TrV/K(φ) = Tr(MK) = Tr(fn(MF )) = Tr(f(Tr(MF )))

= Tr(f(TrV/F (φ))) = TrF/K(TrV/F (φ)).

Mit der Transitivitat der Determinante gilt analog

NV/K(φ) = det(MK) = det(fn(MF )) = det(f(det(MF )))

= det(f(NV/F (φ))) = NF/K(NV/F (φ)),

und abschließend

χφ,V/K = det(tInm −MK) = det(fn(tIn −MF )) = det(f(det(tIn −MF )))

= det(f(χφ,V/F )) = NF (t)/K(t)(χφ,V/F ).

Man kann auch noch das Verhalten von charakteristischen Polynomen, Spu-

ren und Normen auf Tensorprodukten V1 ⊗K V2 und bei Konstantenerweiterung

V ⊗K F (die umgekehrte Richtung von Satz 5.93) untersuchen. Wir benotigen

dies hier aber nicht.

Durch Anwendung beziehungsweise Spezialisierung der obigen Aussagen auf

den Korpererweiterungsfall erhalten wir den folgenden Satz.


5.94 Satz. Sei E/K eine endliche Korpererweiterung und F ein Zwischenkorper

von E/K.

(i) Fur a, b ∈ E und λ ∈ K gilt TrE/K(a+b) = TrE/K(a)+TrE/K(b), TrE/K(λa)

= λTrE/K(a) und NE/K(ab) = NE/K(a)NE/K(b).

(ii) Fur a ∈ F gilt TrE/K(a) = [E : F ] TrF/K(a), NE/K(a) = NF/K(a)[E:F ] und

χa,E/K = χa,F/K[E:F ]. Außerdem ist deg(χa,E/K(a)) = [E : K], χa,E/K(a) =

0 und χa,K(a)/K = ma,K .

(iii) Fur a ∈ E ist TrE/K(a) = TrF/K(TrE/F (a)), NE/K(a) = NF/K(NE/F (a))

und χa,E/K = NF (t)/K(t)(χa,E/F ).

Beweis. (i): Ist klar. (ii): Es gilt E ∼= F [E:F ] als F -Vektorraume. Damit gilt auch

E ∼= F [E:F ] als K-Vektorraume und die Multiplikation mit a bildet die zu den F

unter der Isomorphie gehorigen direkten Summanden von E auf sich selbst ab. Aus

der obenstehenden Bemerkung uber direkte Summen folgt χa,E/K = χa,F/K[E:F ].

Die Aussage uber die Spuren und Normen ergibt sich aus dieser Aussage uber

die charakteristischen Polynome. Per Definition gilt deg(χa,E/K(a)) = [E : K].

Wegen φχa,E/K(a) = χa,E/K(φa) = 0 nach der Homomorphieeigenschaft von φ und

dem Satz von Cayley-Hamilton folgt χa,E/K(a) = 0 aufgrund der Injektivitat von

φ. Gradvergleich zeigt dann χa,K(a)/K = ma,K , da beide Polynome normiert sind.

(iii): Folgt direkt aus Satz 5.93.

Fur a ∈ K gilt also insbesondere TrE/K(a) = [E : K]a, NE/K(a) = a[E:K] und

χa,E/K = (t− a)[E:K].

Wir bringen nun Korperhomomorphismen ins Spiel. Dies liefert eine alterna-

tive Definitionsmoglichkeit fur Spur, Norm und charakteristisches Polynom. Der

Beweis von Satz 5.94, (iii) kann dann auch nur unter Verwendung von Korper-

homomorphismen gefuhrt werden (siehe Lemma 6.36).

5.95 Satz. Sei E/K eine endliche Korpererweiterung, C ein algebraischer Ab-

schluß von K und sei G = HomK(E,C). Fur a ∈ E gilt dann

(i) TrE/K(a) = [E : K]i∑

σ∈G σ(a),

(ii) NE/K(a) =(∏

σ∈G σ(a))[E:K]i,

(iii) χa,E/K =(∏

σ∈G(t− σ(a)))[E:K]i.

Ist [E : K]i > 1, so gilt also TrE/K(a) = 0 fur alle a ∈ E.


Beweis. Die Aussagen (i) und (ii) folgen direkt aus (iii) durch Ausmultiplizieren.

Wenn [E : K]i > 1 ist, gilt außerdem p = char(K) > 0 und [E : K]i ≡ 0 mod p.

Daher folgt TrE/K(a) = 0 fur alle a ∈ E aus (i).

Zum Beweis von (iii): Sei F der separable Abschluß von K in E, so daß [E :

F ] = [E : K]i ist. Dann ist aq mit q = [K(a) : K]i nach Lemma 5.63 (oder auch

Korollar 5.74) separabel uber K und es gilt maq ,K =∏

τ∈HomK(K(aq),C)(t− τ(aq)),da maq ,K separabel ist und es fur jedes b ∈ C mit maq ,K(b) = 0 genau ein τ ∈HomK(K(aq), C) mit τ(aq) = b nach Lemma 5.35 gibt (siehe auch Lemma 5.54).

Nach der Zerlegung am Anfang von Abschnitt 5.6 folgt ma,K = maq ,K(tq). We-

gen deg(maq ,K) = [K(a) : K]s ist K(aq) der separable Abschluß von K in

K(a) und K(a)/K(aq) rein inseparabel (vergleiche auch Korollar 5.74). Da je-

des τ ∈ HomK(K(aq), C) somit nach Satz 5.64, (iii) genau eine Fortsetzung

σ ∈ Homτ (K(a), C) besitzt, ergibt sich also zusammengenommen die allgemeine

Gleichungma,K = maq ,K(tq)

=∏

τ∈HomK(K(aq),C)(tq − τ(aq))

=∏

σ∈HomK(K(a),C)(tq − σ(aq))

=∏

σ∈HomK(K(a),C)(t− σ(a))[K(a):K]i.

Fur das charakteristische Polynom gilt χa,E/K = ma,K[E:K(a)] nach Satz 5.94, (ii),

und weiter

χa,E/K = ma,K[E:K(a)]

=∏

τ∈HomK(K(a),C)(t− τ(a))[E:K(a)][K(a):K]i

=∏

τ∈HomK(K(a),C)(t− τ(a))[E:K(a)]s[E:K]i

=∏

σ∈HomK(E,C)(t− σ(a))[E:K]i.

Die letzte Gleichung ist gultig, da jedes τ ∈ HomK(K(a), C) zu genau [E : K(a)]svielen σ ∈ Homτ (E,C) nach der Bemerkung vor Lemma 5.52 fortgesetzt werden

kann.

Fur beliebiges τ ∈ Hom(E,C) gelten außerdem die Gleichungen TrτE/τK(τ(a)) =

τ(TrE/K(a)), NτE/τK(τ(a)) = τ(NE/K(a)) und χτ(a),τE/τK = τ(χa,E/K).

Kapitel 6

Galoistheorie

Die Galoistheorie liefert eine”funktorielle“ Beziehung von Zwischenkorpern nor-

maler und separabler Erweiterungen zu Untergruppen von Automorphismengrup-

pen, mittels derer Untersuchungen in Korpern auf Untersuchungen von Grup-

pen und Automorphismen zuruckgefuhrt werden konnen. Die Anwendungen er-

strecken sich von der Auflosung von Gleichungen durch Radikale bis zu Fragestel-

lungen in der Geometrie.

6.1 Galoiserweiterungen

Sei E/K eine Korpererweiterung und F ein beliebiger Zwischenkorper. Die Zu-

ordnung

GE/K : F 7→ AutF (E)

liefert eine Abbildung der Menge der Zwischenkorper von E/K in die Menge der

Untergruppen von AutK(E). Sind F1 und F2 zwei Zwischenkorper von E/K mit

F1 ⊇ F2, so gilt GE/K(F1) ⊆ GE/K(F2).

6.1 Definition. Sei E ein Korper, C ein Erweiterungskorper von E und G ⊆Hom(E,C) eine Menge von Homomorphismen. Der Fixkorper EG von G in E

wird als EG = {x ∈ E | σ(x) = x fur σ ∈ G} definiert.

Es ist leicht zu sehen, daß EG ein Teilkorper von E ist. Fur eine Untergruppe

G von AutK(E) liefert die Zuordnung

FE/K : G 7→ EG

eine Abbildung der Menge der Untergruppen von AutK(E) in die Menge der

Zwischenkorper von E/K. Sind G1 und G2 Untergruppen von AutK(E) mit G1 ⊆G2, so gilt FE/K(G1) ⊇ FE/K(G2).

183

184 KAPITEL 6. GALOISTHEORIE

Fuhren wir FE/K und GE/K hintereinander aus, ergibt sich FE/K(GE/K(F )) ⊇F und G ⊆ GE/K(FE/K(G)). Wir untersuchen als nachstes die Eigenschaften von

GE/K und FE/K bezuglich Injektivitat und Surjektivitat.

6.2 Definition. Eine algebraische Korpererweiterung E/K heißt eine Galoiser-

weiterung oder galoissch und E galoissch uber K, wenn E/K normal und separa-

bel ist. Die Automorphismengruppe AutK(E) wird dann Galoisgruppe von E/K

genannt und mit G(E/K) oder GE/K bezeichnet.

6.3 Satz. Sei E/K normal. Der Fixkorper EG von G = AutK(E) ist dann rein

inseparabel uber K. Ist E/K galoissch, so gilt EG = K. Fur jeden Zwischenkorper

F von E/K ist E/F galoissch.

Beweis. Sei C ein algebraischer Abschluß von E und σ ∈ HomK(EG, C) beliebig.

Nach Satz 5.38 gibt es eine Fortsetzung τ ∈ Homσ(E,C). Da E normal uber K

ist, folgt τ(E) = E nach Satz 5.43 und somit τ ∈ G. Sei a ∈ EG. Dann gilt

σ(a) = τ(a) = a. Dies zeigt #HomK(EG, C) = 1, so daß EG/K nach Satz 5.64,

(iii) und Satz 5.53 rein inseparabel ist.

Sei E/K galoissch. Dann ist EG/K separabel und rein inseparabel, also folgt

EG = K.

Sei F ein Zwischenkorper von E/K. Die Erweiterung E/F ist normal nach

Satz 5.45 und separabel nach Satz 5.56, weil E/K normal und separabel ist. Also

ist E/F galoissch.

6.4 Korollar. Sei E/K eine Galoiserweiterung. Fur alle Zwischenkorper F von

E/K gilt FE/K(GE/K(F )) = F . Daher ist GE/K injektiv und FE/K surjektiv.

Beweis. Nach Satz 6.3 ist E/F galoissch und es gilt F = EH mit H = G(E/F ).

In anderen Worten F = FE/K(H) und H = GE/K(F ).

6.5 Definition. Sei E/K eine Galoiserweiterung. Der Abschluß einer Unter-

gruppe G ⊆ G(E/K) wird als G = GE/K(FE/K(G)) definiert. Ferner heißt G

abgeschlossen, wenn G = G gilt.

Fur den Abschluß gilt G ⊇ G und ¯G = G. Letzteres ergibt sich aus ¯G =

G(F(G(F(G)))) = G(F(G)) = G mit G = GE/K und F = FE/K unter der Beruck-

sichtigung, daß F ◦ G nach Korollar 6.4 die Identitat ist.

Sei E/K eine Galoiserweiterung und F ein Zwischenkorper. Sei H eine Un-

tergruppe von G(E/F ). Dann ist H bezuglich E/F genau dann abgeschlossen,

wenn H bezuglich E/K abgeschlossen ist. Daher brauchen wir bei”abgeschlossen“

nicht speziell die Korpererweiterung oder Galoisgruppe anzugeben.

6.1. GALOISERWEITERUNGEN 185

6.6 Satz (Hauptsatz der Galoistheorie – Teil 1). Sei E/K eine Galoiserweite-

rung. Dann werden durch GE/K und FE/K zueinander inverse, inklusionsumkeh-

rende Bijektionen der Menge der Zwischenkorper von E/K und der Menge der

abgeschlossenen Untergruppen von G(E/K) definiert.

Beweis. Das Bild von GE/K besteht genau aus den abgeschlossenen Untergrup-

pen von G(E/K): Denn mit G = GE/K , F = FE/K und G = G(F ) folgt G =

G(F(G)) = G(F(G(F ))) = G(F ) = G wegen F ◦G = id, also ist G abgeschlossen.

Ist umgekehrt G abgeschlossen, so gilt G = G(F(G)), also ist G im Bild von G.Wegen F(G(F ) = F fur alle Zwischenkorper F von E/K und G(F(G)) = G

fur alle abgeschlossenen Untergruppen G sind also G und F zueinander inverse

Bijektionen, die nach den eingangs gemachten Bemerkungen auch inklusionsum-

kehrend sind.

Die Definition von”abgeschlossen“ wurde hier im wesentlichen nur deshalb

eingefuhrt, um bei F und G von zueinander inversen Bijektionen sprechen zu

konnen. Die Konstruktion kann abstrakt fur beliebige Abbildungen g : M → N

und f : N →M mit f ◦ g = id durchgefurt werden.

Wir sind jetzt an einer naheren Beschreibung der abgeschlossenen Untergrup-

pen fur endliche Galoiserweiterungen E/K interessiert.

6.7 Satz. Sei E ein Korper, G ⊆ Aut(E) eine Automorphismengruppe. Ist G

endlich, so ist E/EG galoissch mit G = G(E/EG) und [E : EG] = #G. Ist G

beliebig und E/EG algebraisch, so ist E/EG galoissch mit G ⊆ G(E/EG) und

[E : EG] = #G.

Beweis. Wir schreiben K = EG und n = #G. Sei G endlich oder E/K algebra-

isch. Sei a ∈ E beliebig. Die Menge S = {σ(a) | σ ∈ G} ist dann endlich, da G

endlich ist oder weil S eine Teilmenge der Nullstellen von ma,K ist. Jedes τ ∈ Ginduziert eine injektive Abbildung S → S, die wegen #S <∞ auch surjektiv ist.

Also gilt τ(S) = S und das Polynom f =∏

b∈S(t − b) erfullt f τ = f . Da dies

fur alle τ ∈ G gilt, ergibt sich f ∈ K[t]. Nun ist f(a) = 0, f separabel und alle

Nullstellen von f liegen in E. Da a ∈ E beliebig war, folgt, daß E separabel und

Zerfallungskorper aller solcher f uber K, also normal und folglich galoissch ist.

Fur n = ∞ ist die Aussage [E : K] ≤ n richtig. Fur n < ∞ und a ∈ E

beliebig gilt [K(a) : K] ≤ n, da a nach obiger Schlußweise eine Nullstelle eines

f ∈ K[t] mit deg(f) ≤ n ist. Wegen der Separabilitat von E/K und Satz 5.59 gilt

dann aber bereits [E : K] ≤ n (Ubungsaufgabe!). Es ist klar, daß G ⊆ G(E/K)

gilt. Dann folgt n = #G ≤ #G(E/K) = [E : K]s = [E : K] ≤ n, also #G =

#G(E/K) = [E : K]. Fur n <∞ ergibt sich insbesondere G = G(E/K).


Die Abgeschlossenheitsaussage im folgenden Satz zeigt, daß GE/K fur eine

endliche Galoiserweiterung E/K surjektiv ist, daß also GE/K und FE/K in diesem

Fall zueinander inverse Bijektionen der Menge aller Zwischenkorper von E/K und

der Menge aller Untergruppen von G(E/K) sind.

6.8 Satz (Hauptsatz der Galoistheorie – Teil 2). Sei E/K eine Galoiserweiterung.

(i) Ist E/K endlich, so sind alle Untergruppen von G(E/K) abgeschlossen.

(ii) Sind F1 ⊆ F2 Zwischenkorper von E/K, so gilt (GE/K(F1) : GE/K(F2)) =

[F2 : F1].

Beweis. (i): Sei E/K endlich und H ⊆ G(E/K). Da E/K normal ist, gilt

#G(E/K) = [E : K]s ≤ [E : K] < ∞. Also ist auch H endlich und nach

Satz 6.7 gilt H = G(E/EH) = GE/K(EH) = GE/K(FE/K(H)).

(ii): Es gelten die Gleichungen GE/F1(F1) = GE/K(F1), GE/F1

(F2) = GE/K(F2)

und folglich (GE/F1(F1) : GE/F1(F2)) = (GE/K(F1) : GE/K(F2)). Nach Satz 6.3

ist außerdem E/F1 galoissch. Wir konnen daher ohne Einschrankung von ei-

ner Galoiserweiterung E/K und einem Zwischenkorper F ausgehen und mussen

(GE/K(K) : GE/K(F )) = [F : K] zeigen.

Sei G = GE/K(K) und H = GE/K(F ). Da E/F algebraisch und E/K normal

ist, gilt HomK(F,E) = {σ|F | σ ∈ G} aufgrund von Satz 5.38 und Satz 5.43, (iii).

Fur σ1, σ2 ∈ G gilt dabei σ1|F = σ2|F genau dann, wenn σ1/σ2 ∈ H ist. Sei R ein

Nebenklassenreprasentantensystem von H in G mit G =.∪σ∈RσH . Zusammen

folgt, daß die Abbildung R → HomK(F,E), σ 7→ σ|F bijektiv ist und daher

#HomK(F,E) = #R = (G : H) gilt. Da E/K normal und separabel ist, gilt

[F : K] = #HomK(F,E). Zusammen ergibt sich [F : K] = (G : H), was zu

zeigen war.

Dies schließt die Diskussion der Injektivitat bzw. Surjektivitat der Abbildun-

gen GE/K und FE/K fur endliche Galoiserweiterungen E/K ab. Fur unendliche

Galoiserweiterungen fuhrt man eine geeignete Topologie auf G(E/K) ein, so daß

die abgeschlossenen Untergruppen von G(E/K) gerade mit den im Sinn von

Definition 6.5 abgeschlossenen Untergruppen ubereinstimmen. Außerdem wird

gezeigt, daß und wie sich G(E/K) aus den Galoisgruppen G(F/K) zusammen-

setzt, wobei F die uber K galoisschen (und endlichen) Zwischenkorper von E/K

durchlauft. Wir gehen hierauf nicht weiter ein.

6.9 Satz. Sei E/K eine algebraische Korpererweiterung. Dann sind aquivalent.

(i) E/K ist galoissch,

(ii) GE/K ist injektiv,

6.1. GALOISERWEITERUNGEN 187

(iii) K = EAutK(E).

Beweis. (i) ⇒ (ii): Wurde in Korollar 6.4 bewiesen. (ii) ⇒ (iii): In anderer

Notation ist K = FE/K(GE/K(K)) zu zeigen. Wir kurzen F = FE/K und G =

GE/K ab. Dann kann man leicht allgemein (also ohne (ii) vorauszusetzen) zeigen,

daß F ◦G◦F = F und G◦F ◦G = G gilt. Ist G nun injektiv, so konnen wir G links

aus G ◦ F ◦ G = G kurzen und erhalten F ◦ G = id, also speziell K = F(G(K)).

(iii)⇒ (i): Die Erweiterung E/EAutK(E) = E/K ist algebraisch und nach Satz 6.7

daher galoissch.

Der Satz zeigt also die Aquivalenz zweier weiterer, gebrauchlicher Definitionen

von”galoissch“ zu der hier verwendeten Definition.

Wir fahren mit der Untersuchung der Eigenschaften von GE/K und FE/Kbezuglich Korper- und Gruppenkonstruktionen fort.

6.10 Satz. Seien Fi Zwischenkorper der Korpererweiterung E/K und Gi Unter-

gruppen von AutK(E). Mit∐

i bezeichnen wir das Kompositum von Korpern in

E bzw. die von Gruppen in AutK(E) erzeugte Untergruppe. Dann gilt

(i) GE/K(∐

i Fi) = ∩i GE/K(Fi), FE/K(∐

iGi) = ∩iFE/K(Gi),

(ii) GE/K(∩iFi) ⊇∐

i GE/K(Fi), FE/K(∩iGi) ⊇∐

iFE/K(Gi).

Ist E/K endlich und galoissch, so gilt in (ii) die Gleichheit.

Beweis. (i): Sei F =∐

i Fi. Fur σ ∈ AutK(E) gilt die Aquivalenz σ ∈ AutF (E)⇔σ ∈ AutFi

(E) fur alle i. Dies bedeutet GE/K(F ) = ∩iGE/K(Fi). Sei G =∐

iGi.

Fur x ∈ E gilt die Aquivalenz x ∈ EG ⇔ x ∈ EGi fur alle i. Dies bedeutet

FE/K(G) = ∩iFE/K(Gi).

(ii): Folgt aus GE/K(∩iFi) ⊇ GE/K(Fi) und FE/K(∩iGi) ⊇ FE/K(Gi) fur alle i.

Wir zeigen nun die Gleichheit in (ii) fur E/K endlich und galoissch. Wir lassen

die Indizes von FE/K und GE/K im folgenden aus. Nach Korollar 6.4 ist F◦G = id.

Nach Satz 6.6 und Satz 6.8 ist G ◦ F = id.

Mit dem zweiten Teil von (i) ergibt sich F(∐

i G(Fi)) = ∩iF(G(Fi)) = ∩iFiund Anwenden von G liefert G(∩iFi) = G(F(

∐

i G(Fi))) =∐

i G(Fi).Mit dem ersten Teil von (i) ergibt sich G(∐iF(Gi)) = ∩iG(F(Gi)) = ∩iGi

und Anwenden von F liefert F(∩iGi) = F(G(∐iF(Gi))) =∐

iF(Gi).

Der Beweis zeigt, daß die Gleichheit in (ii) auch fur unendliche Galoiserwei-

terungen gilt, wenn man im ersten Teil den Abschluß von∐

i GE/K(Fi) verwendet

und im zweiten Teil nur abgeschlossene Gi betrachtet.


6.2 Beziehungen zwischen Galoiserweiterungen

Wir sind nun an den Beziehungen der Galoisgruppen interessiert, die unter der

Anwendung von Isomorphismen, bei Zwischenkorpersituationen, Translationen

und Komposita auftreten.

6.11 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung, C ein Korper und λ ∈ Hom(E,C)

ein Isomorphismus. Die Abbildung

φ : AutK(E)→ AutλK(λE), σ 7→ λ ◦ σ ◦ λ−1

ist ein Isomorphismus. Daher gilt AutλK(λE) = λAutK(E)λ−1 und GλE/λK(λF ) =

λGE/K(F )λ−1 fur beliebige Zwischenkorper F von E/K.

Beweis. Die Homomorphieeigenschaft von φ ist klar. Außerdem wird durch τ 7→λ−1 ◦ τ ◦ λ ein zu φ inverser Homomorphismus gegeben, so daß φ also bijektiv

ist.

Es wird haufig der Fall betrachtet, daß λE = E, also zum Beispiel λ ∈AutK(E) ist. Dann gilt insbesondere GE/K(λF ) = λGE/K(F )λ−1.

6.12 Satz (Hauptsatz der Galoistheorie – Teil 3). Sei E/K algebraisch und F

ein Zwischenkorper von E/K.

(i) Ist F/K normal, so liefert die Einschrankung von Automorphismen von E

auf F einen Homomorphismus

φ : AutK(E)→ AutK(F )

mit ker(φ) = AutF (E). Ist zusatzlich E/K normal, so ist φ surjektiv und

ergibt eine Isomorphie AutK(E)/AutF (E) ∼= AutK(F ).

(ii) Ist E/K galoissch und F ein beliebiger Zwischenkorper, so ist E/F galoissch

und F/K genau dann galoissch, wenn GE/K(F ) normal in G(E/K) ist.

Beweis. (i): Die Einschrankung von Automorphismen liefert wegen Satz 5.43 in

der Tat einen Homomorphismus φ : AutK(E)→ AutK(F ). Fur σ ∈ AutK(E) gilt

σ ∈ ker(φ) genau dann, wenn σ auf F die Identitat ist, also σ ∈ AutF (E) gilt.

Daher ist ker(φ) = AutF (E). Ist E/K normal, so laßt sich jedes σ ∈ AutK(F ) zu

einem τ ∈ Autσ(E) nach Satz 5.38, Satz 5.43 und Satz 5.41 fortsetzen.

(ii): Sei E/K galoissch. Daß E/F galoissch ist, wurde bereits in Satz 6.3

gezeigt. Außerdem ist F/K separabel, so daß wir nur F/K normal zu betrach-

ten haben. Ist F/K normal, so ist GE/K(F ) = AutF (E) als Kern von φ nor-

mal in G(E/K). Ist umgekehrt GE/K(F ) normal in G(E/K), so gilt GE/K(F ) =

6.2. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN GALOISERWEITERUNGEN 189

σGE/K(F )σ−1 = GσE/σK(σF ) = GE/K(σF ) fur alle σ ∈ G(E/K) nach Satz 6.11.

Die Injektivitat von GE/K ergibt F = σF fur alle σ ∈ G(E/K), also ist F/K nach

Satz 5.43 normal.

Fur E/K und F/K normal sagt man auch, daß die durch die Inklusion und

die Einschrankung φ gegebene Sequenz

1→ AutF (E)→ AutK(E)→ AutK(F )→ 1

exakt ist. Links und rechts außen stehen die nur aus dem Einselement bestehen-

den Gruppen. Exakt bedeutet, daß fur jede Gruppe zwischen den Abbildungs-

pfeilen der Kern der rechten Abbildung gleich dem Bild der linken Abbildung ist.

Dies ist aquivalent zur Isomorphieaussage AutK(F ) ∼= AutK(E)/AutF (E) von

Satz 6.12, (ii).

6.13 Satz. Seien C/K eine Korpererweiterung und E und L uber K linear dis-

junkte Zwischenkorper von C/K. Fur jedes σ ∈ HomK(E,C) gibt es dann genau

eine Fortsetzung τ ∈ HomL(EL,C).

Beweis. Seien die ai eine K-Basis von E. Da E und L uber K linear disjunkt sind,

sind die ai auch eine L-Basis von EL. Sei σ ∈ HomK(E,C). Fur eine Fortsetzung

τ ∈ HomL(EL,C) von σ muß dann τ(∑

i λiai) =∑

i λiσ(ai) mit λi ∈ L gelten.

Daher kann es hochstens eine Fortsetzung geben.

Um die Existenz nachzuweisen, nehmen wir dies nun als Definition von τ . Da

die Darstellung∑

i λiai eindeutig ist, ist τ zunachst wohldefiniert und L-linear.

Seien a, b ∈ EL mit a =∑

i λiai und b =∑

j µjaj. Dann gilt

τ(ab) = τ(

∑

i,j

λiµjaiaj

)

=∑

i,j

λiµjσ(aiaj)

=∑

i,j

λiµjσ(ai)σ(aj) =(

∑

i

λiσ(ai))(

∑

j

µjσ(aj))

= τ(a)τ(b).

Damit ist τ auch multiplikativ.

6.14 Satz. Seien C/K eine Korpererweiterung und E und L Zwischenkorper von

C/K, so daß E/K galoissch ist. Dann ist EL/L galoissch und die Einschrankung

von Automorphismen von EL auf E ergibt einen Monomorphimus

φ : G(EL/L)→ G(E/K)

mit φ(G(EL/L)) = G(E/E ∩ L).


Beweis. Es ist klar, daß E/E ∩ L galoissch ist. Nach Satz 5.45 und Satz 5.56 ist

auch EL/L galoissch. Wir bekommen dann offensichtlich einen Monomorphismus

φ : G(EL/L) → G(E/K) mit φ(G(EL/L)) ⊆ G(E/E ∩ L). Nun sind E/E ∩ Lund L/E ∩ L nach Satz 5.75 linear disjunkt. Nach Satz 6.13 setzt sich daher

jedes σ ∈ G(E/E ∩ L) zu einem τ ∈ G(EL/L) fort. Dies ergibt φ(G(EL/L)) =

G(E/E ∩ L).

6.15 Satz. Seien Fi uber K galoissche Zwischenkorper von C/K. Dann ist E =∐

i Fi galoissch uber K und das Produkt der Einschrankungen von Automorphis-

men von E auf die Fi liefert einen Monomorphismus

ψ : G(E/K)→∏

i

G(Fi/K).

Fur F1 ∩ F2 = K liefert ψ die Isomorphie

G(F1F2/K) ∼= G(F1/K)×G(F2/K).

Beweis. Die Erweiterung E/K ist nach Satz 5.45 und Satz 5.56 galoissch. Au-

ßerdem ist klar, daß ψ : G(E/K) → ∏

iG(Ei/K) ein Monomorphismus ist. Gilt

F1 ∩ F2 = K, so gibt es fur σi ∈ G(Fi/K) nach Satz 6.14 ein τi ∈ G(E/Fj) mit

j 6= i, so daß τi auf Fi mit σi ubereinstimmt. Da τi die Identitat auf Fj ist, gilt

ψ(τ1τ2) = (σ1, σ2) und die Isomorphieaussage folgt.

Im allgemeinen liefert die Einschrankung wirklich nur einen Monomorphismus.

Dies liegt daran, daß vorgegebene σi ∈ G(Fi/K) nicht unbedingt zueinander

passen mussen und es daher nicht notwendigerweise eine gemeinsame Fortsetzung

σ ∈ G(E/K) gibt. Zum Beispiel sind fur die Kompatibilitat der σi neben den

Schnitten Fi∩Fj auch Uberschneidungen von FiFj mit Fk etc. und das Verhalten

von σi, σj und σk darauf zu berucksichtigen.

6.16 Beispiel. Konkret betrachte man K = Q, F1 = Q(√

2), F2 = Q(√

3) und

F1F2 = Q(√

2,√

3). Es gilt G(F1/Q) ∼= G(F2/Q) ∼= Z/2Z und nach dem Satz folgt

G(F1F2/Q) ∼= Z/2Z×Z/2Z. In Z/2Z×Z/2Z gibt es aber drei Untergruppen der

Ordnung 2, und entsprechend ist Q(√

6) der dritte quadratische Teilkorper von

F1F2/Q. Jedes σ ∈ G(F1F2/Q) wird nach dem Satz durch seine Einschrankungen

σ1 = σ|F1 und σ2 = σ|F2 eindeutig bestimmt. Daher ist σ3 = σ|F3 durch σ1 und

σ2 bereits eindeutig bestimmt. Wir konnen also σ3 bei gegebenem σ1 und σ2 nicht

beliebig vorgeben, wenn es ein σ geben soll, so daß die σi als Einschrankungen

von σ erhalten werden. Entsprechend ist ψ im allgemeinen nicht surjektiv.

Sind allerdings die Fi/K alle in E/K enthaltenen endlichen Galoiserweite-

rungen und stimmen σi und σj auf Fi ∩ Fj fur alle i, j uberein, so gibt es eine

gemeinsame Fortsetzung σ ∈ G(E/K). Man definiert einfach σ(a) = σi(a), wobei

i so gewahlt ist, daß a ∈ Fi gilt.

6.3. GALOISGRUPPEN SPEZIELLER KORPERERWEITERUNGEN 191

6.3 Galoisgruppen spezieller Korpererweiterun-

gen

Wir betrachten zunachst die Galoisgruppen einiger spezieller, haufig auftretender

Korpererweiterungen.

6.17 Definition. Eine Galoiserweiterung E/K heißt abelsch bzw. zyklisch, wenn

G(E/K) abelsch bzw. zyklisch ist.

6.18 Satz. Sei E/K abelsch (zyklisch) und F ein Zwischenkorper. Dann sind

E/F und F/K abelsch (zyklisch). Ist C ein Erweiterungskorper von E und L ein

Zwischenkorper von C/K, so ist EL/L abelsch (zyklisch). Fur Zwischenkorper Fivon C/K mit Fi/K abelsch ist

∐

i Fi/K abelsch.

Beweis. Folgt direkt durch die Betrachtung der Homomorphismen in Satz 6.12,

Satz 6.14 und Satz 6.15. Ferner sind Untergruppen und Faktorgruppen abelscher

bzw. zyklischer Gruppen wieder abelsch bzw. zyklisch.

6.19 Definition. Die absolute Galoisgruppe G(K) eines Korpers K ist definiert

als G(Ks/K), wo Ks ein separabler Abschluß von K ist. Der abelsche Abschluß

Kab von K ist das Kompositum aller abelscher Erweiterungen von K in Ks.

Man nennt Kab auch maximale abelsche Erweiterung von K, da jeder abel-

sche Erweiterungskorper von K in Kab eingebettet werden kann. Es gilt Kab =

FKs/K(G(K)ab). Nach Satz 6.18 ist G(Kab/K) abelsch.

6.20 Satz. Sei E/K eine Erweiterung von endlichen Korpern. Dann ist E/K

galoissch mit zyklischer Galoisgruppe G(E/K). Fur q = #K wird G(E/K) vom

Frobeniusautomorphismus x 7→ xq erzeugt.

Beweis. Ubung.

6.21 Satz. Sei char(K) = 0 oder n koprim zu char(K), und sei ζ ∈ µn eine

primitive n-te Einheitswurzel. Dann wird durch

φ : G(K(µn)/K)→ (Z/nZ)×, σ 7→ φ(σ) mit σ(ζ) = ζφ(σ)

ein Monomorphismus definiert. Fur K = Q ist φ auch surjektiv.

Beweis. Ubung.

Man kann Satz 6.21 auch auf Erweiterungen von endlichen Korpern wie in

Satz 6.20 anwenden, denn mit n = [E : K] gilt E = K(µqn−1). Ist ζ ∈ µqn−1 eine

primitive (qn − 1)-te Einheitswurzel, so hat ζ genau n verschiedene Konjugierte

ζqj

uber K und das Bild von φ aus Satz 6.21 ist die von q in (Z/(qn − 1)Z)×

erzeugte, n-elementige Untergruppe.


6.22 Satz. Sei char(K) = 0 oder n koprim zu char(K), und sei ζ ∈ µn ⊆K eine primitive n-te Einheitswurzel. Sei f = tn − a ∈ K[t] irreduzibel. Der

Zerfallungskorper E von f uber K ist galoissch uber K und es gilt E = K(b) mit

f(b) = 0. Durch

φ : G(E/K)→ Z/nZ, σ 7→ φ(σ) mit σ(b) = ζφ(σ)b

wird ein Isomorphismus definiert. Die Erweiterung E/K ist also zyklisch von der

Ordnung n.

Beweis. Ubung.

6.23 Satz. Sei char(K) = p > 0 und f = tp − t − a ∈ K[t] irreduzibel. Der

Zerfallungskorper E von f uber K ist galoissch uber K und es gilt E = K(b) mit

f(b) = 0. Durch

φ : G(E/K)→ Z/pZ, σ 7→ φ(σ) mit σ(b) = b+ φ(σ)

wird ein Isomorphismus definiert. Die Erweiterung E/K ist also zyklisch von der

Ordnung p.

Beweis. Ubung.

Die Erweiterungen E/K aus Satz 6.22 bzw. Satz 6.23 heißen einfache Kumme-

rerweiterungen bzw. einfache Artin-Schreier-Erweiterungen. Sie spielen bei wei-

tergehenden Korperkonstruktionen als einfachste Bausteine eine wichtige Rol-

le. Kummererweiterungen sind ihrer Natur nach multiplikativ, wahrend Artin-

Schreier-Erweiterungen einen additiven Charakter aufweisen. Abgesehen davon

sind sie sich aber recht ahnlich.

Als weitere Ubungsaufgabe bestimme man die Galoisgruppe des Zerfallungs-

korpers Q(µn,√na)/Q fur irreduzibles f = tn−a ∈ Q[t] als semidirektes Produkt

der Galoiserweiterungen Q(µn)/Q und Q(µn, n√a)/Q(µn).

6.4 Permutationsdarstellungen und Galoisgrup-

pen von Polynomen

Sei K ein Korper, f ∈ K[t] ein nicht-konstantes, separables Polynom und E ein

Zerfallungskorper von f uber K. Dann ist E/K galoisch. Fur die Galoisgruppe

von E/K erhalten wir eine Permutationsdarstellung φ : G(E/K)→ Sn wie folgt.

Seien a1, . . . , an ∈ E die paarweise verschiedenen Nullstellen von f , wobei n =

deg(f) ist. Fur σ ∈ G(E/K) gilt fσ = f , daher bewirkt σ eine Permutation

6.4. PERMUTATIONSDARSTELLUNGEN UND GALOISGRUPPEN VON

POLYNOMEN 193

der Nullstellen a1, . . . , an. Bezeichnet Sn die symmetrische Gruppe (die Gruppe

der Permutationen auf den Ziffern 1, . . . , n), so gibt es also ein φ(σ) ∈ Sn mit

σ(ai) = aφ(σ)(i). Fur die Definition von φ(σ) verwenden wir somit eine festgewahlte

Anordnung der Nullstellen ai.

6.24 Satz. Die Abbildung φ : G(E/K)→ Sn, σ 7→ φ(σ) ist ein Monomorphismus

und φ bzw. φ(G(E/K)) sind ohne Angabe einer Nullstellenanordnung nur bis auf

Konjugation in Sn eindeutig bestimmt. Die Permutationsgruppe φ(G(E/K)) ist

genau dann transitiv, wenn f irreduzibel ist.

Beweis. Die Homomorphieeigenschaft ist klar. Wegen E = K(a1, . . . , an) ist σ

durch die Operation auf den ai bereits eindeutig bestimmt, daher ist φ injektiv.

Sei bi eine andere Anordnung der Nullstellen von f und φa, φb die entspre-

chenden Permutationsdarstellungen. Es gibt ein τ ∈ Sn mit bi = aτ(i). Sei σ ∈G(E/K). Dann gilt φb(σ)(i) = j genau dann, wenn φa(σ)(τ(i)) = τ(j). Letzteres

heißt (τ−1φa(σ)τ)(i) = j, so daß wir φb(σ) = τ−1φa(σ)τ erhalten. Folglich gilt

auch φb(G(E/K)) = τ−1φa(G(E/K))τ .

Sei f irreduzibel und 1 ≤ i, j ≤ n. Zu ai, aj gibt es ein σ ∈ HomK(K(ai), K(aj))

mit σ(ai) = aj , und σ laßt sich auf E fortsetzen. Dann gilt σ ∈ G(E/K) und

φ(σ)(i) = j. Also ist φ(G(E/K)) transitiv. Ist umgekehrt f = f1f2 mit nicht-

konstanten Polynomen f1 und f2, so konnen die Nullstellen von f1 wegen der Sepa-

rabilitat von f nicht auf die Nullstellen von f2 abgebildet werden und φ(G(E/K))

ist daher nicht transitiv.

Der Satz gibt Anlaß zu folgender Definition, die historisch vor der Definition

der Galoisgruppe einer Korpererweiterung steht.

6.25 Definition. Sei K ein Korper, f ∈ K[t] ein nicht-konstantes, separables

Polynom und E ein Zerfallungskorper von f uber K. Die Galoisgruppe G(f,K)

von f uber K wird als Bild der Permutationsdarstellung von G(E/K) auf einer

fest gewahlten Anordnung der Nullstellen von f in E definiert.

Die Galoisgruppe G(f,K) eines Polynoms ist also ohne Angabe einer Nullstel-

lenanordnung nur bis auf Konjugation in Sn mit n = deg(f) eindeutig bestimmt.

Fur jede Galoiserweiterung E/K gilt G(E/K) ∼= G(ma,K , K), wobei a ein primi-

tives Element von E/K bezeichnet.

Die Berechnung von G(f,K) kann auf die Berechnung des Zerfallungskorpers

von f uber K zuruckgefuhrt werden. Seien die Ei eine aufsteigende Kette von

Zwischenkorpern von E/K mit Ei+1 = Ei(ai) und f(ai) = 0 wie im Beweis

von Satz 5.29. Fur σi ∈ HomK(Ei, E) sind alle Fortsetzungen auf Ei+1 durch

ai 7→ aj gegeben, wobei aj uber die Nullstellen von mai,Eiσi lauft. Man erhalt


daher alle Elemente von G(f,K), indem man Polynome uber den Ei faktorisiert

und induktiv alle Fortsetzungen der Identitat auf K nach E bestimmt.

Als Beispiel fur dieses Vorgehen betrachten wir f = t3 − 2 ∈ Q[t]. Wir setzen

E0 = K = Q, a1 = 3√

2, a2 = ζ 3√

2 mit ζ = exp(2πi/3) ∈ µ3 und Ei+1 = Ei(ai).

Damit gilt [E1 : K] = 3, [E2 : E1] = 2 und E = E2. Die Identitat auf K hat drei

Fortsetzungen auf E1, und diese drei Fortsetzungen haben jeweils zwei Fortset-

zungen auf E2. Damit besteht G(f,K) aus 6 Elementen. Die Bestimmung dieser

6 Elemente ist allerdings etwas leichter, wenn wir E = K(ζ, 3√

2) beachten. Mit

Satz 6.21 bestimmen wir zunachst G(K(ζ)/K), und setzen diese Automorphis-

men mittels Satz 6.22 und Lemma 5.52 zu allen Automorphismen in G(E/K)

zusammen. Dies ergibt G(E/K) = {σi,j | 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3} mit σi,j definiert

durch σi,j(ζ) = ζ i, σi,j(3√

2) = ζj 3√

2.

Wir betrachten nun die allgemeinen Falle n = 1, 2, 3. Fur n = 1 ist f linear

und G(f,K) = {(1)} als Untergruppe von S1. Fur n = 2 hat f zwei Nullstellen a1

und a2. Gilt ai ∈ K, so folgt G(f,K) = {(1)} als Untergruppe von S2. Ansonsten

gilt G(f,K) = {(1), (1, 2)} = S2.

Der erste nicht vollig triviale Fall ergibt sich fur n = 3. Ist f nicht irreduzi-

bel, so sind wir auf die Falle n = 1 und n = 2 zuruckgefuhrt. Wir nehmen also

an, daß f irreduzibel ist. Sei E der Zerfallungskorper von f uber K. Dann gilt

[E : K] = 3 oder [E : K] = 6. Im ersten Fall ist G(f,K) = A3 zyklisch und

wird beispielsweise von (1, 2, 3) erzeugt. Hier gibt es keine nicht-trivialen Zwi-

schenkorper. Im letzteren Fall [E : K] = 6 gilt G(f,K) = S3 wegen #S3 = 6, und

G(f,K) ist nicht abelsch. Die S3 wird von (1, 2, 3) und (1, 2) erzeugt. Man rechnet

leicht nach, daß es genau drei (zueinander konjugierte) Untergruppen der Ord-

nung zwei gibt, namlich G1 = 〈(1, 2)〉, G2 = 〈(1, 3)〉 und G3 = 〈(2, 3)〉, und genau

eine normale Untergruppe der Ordnung drei, namlich H = 〈(1, 2, 3)〉. Daher gibt

es genau drei (zueinander konjugierte) Zwischenkorper Fi = FE/K(Gi) von E/K

mit [Fi : K] = 3 und einen uber K galoisschen Zwischenkorper L = FE/K(H)

mit [L : K] = 2. Man setze diese allgemeinen Betrachtungen in Beziehung zum

obigen Beispiel f = t3 − 2. Wie lautet der Isomorphismus zwischen den Permu-

tationen und den σi,j , und welchen Zwischenkorpern entsprechen die Fi und L?

Ein allgemeiner Ansatz zur Konstruktion von Erzeugern von Fixkorpern von Au-

tomorphismengruppen wird ubrigens durch Lemma 5.24 und Satz 5.95 gegeben.

Fur hohere Polynomgrade n wird die Diskussion schnell schwieriger. Mit Spe-

zialbetrachtungen kann man aber trotzdem einiges uber G(f,K) herausfinden.

Ein systematisches Vorgehen und der Einsatz von Computern erlauben die expli-

zite Bestimmung von G(f,K) fur geeignete Grundkorper K zur Zeit bis n = 23

und in Einzelfallen bis n = 70. Wir nehmen dieses Thema im folgenden Abschnitt

auf. Auf der anderen Seite kann man die Galoisgruppen von Klassen von spezi-

6.4. PERMUTATIONSDARSTELLUNGEN UND GALOISGRUPPEN VON

POLYNOMEN 195

ellen Polynomen bzw. Galoiserweiterungen wie im Abschnitt 6.3 leicht explizit

bestimmen.

Wir beenden diesen Abschnitt mit einem Reduktionsprinzip der Galoistheorie

(auch Kriterium von van der Waerden oder Frobenius Kriterium genannt). Jede

Permutation σ ∈ Sn lasst sich bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt

σ =∏s

i=1 σi von disjunkten Zykeln σi schreiben. Der Zykeltyp von σ ist dann das

ungeordnete Tupel (ord(σ1), . . . , ord(σs)). Der Zykeltyp einer Permutation σ und

jeder ihrer Konjugierten τστ−1 fur τ ∈ Sn ist gleich. Daher spricht man auch vom

Zykeltyp der Konjugationsklasse von σ.

6.26 Satz. Sei R ein Integritatsring und K = Quot(R). Sei f ∈ R[t] ein nor-

miertes irreduzibles Polynom, welches in K[t] irreduzibel ist. Sei p ein maximales

Ideal von R, so daß R/p ein endlicher Korper ist. Sei · : R[t] → (R/p)[t] der

Reduktionshomomorphismus.

Ist dann f separabel und ist f =∏s

i=i fi die Faktorisierung von f in die

irreduziblen Faktoren fi, so enthalt G(f,K) eine Permutation des Zykeltyps

(deg(f1), . . . , deg(fs)).

Beweis. Siehe Abschnitt 6.10.

Sei f ∈ Z[t] ein normiertes, irreduzibles Polynom vom Grad n. Anhand der

Faktorisierungen von f modulo Primzahlen p kann man mittels des Satzes erken-

nen, welche Zykeltypen fur Permutationen in G(f,Q) vorkommen mussen. Dies

liefert einschrankende Bedingungen an die moglichen, transitiven Untergruppen

von Sn. Allerdings ist es im allgemeinen nicht moglich, G(f,Q) damit eindeutig

zu bestimmen.

Wir betrachten ein Beispiel. Es ist nicht sehr schwer, folgende Aussage zu

zeigen: Ist n eine Primzahl und enthalt eine transitive Permutationsgruppe G

in Sn eine Transposition und ein Element der Ordnung n, so gilt G = Sn. Sei

f = t5 − 5t3 + 4t + 2. Man kann nachrechnen, daß f modulo 3 irreduzibel und

modulo 61 das Produkt dreier verschiedener Linearfaktoren und eines irreduziblen

quadratischen Faktors ist. Nach der Aussage folgt G(f,Q) = S5. Hierfur hatten

wir aber auch wie folgt argumentieren konnen: Man rechnet leicht nach, daß das

Polynom f zwei komplexe Nullstellen und drei reelle Nullstellen besitzt. Daher

enthalt G(f,Q) eine Transposition (die komplexe Konjugation) und wegen 5 =

deg(f) |#G(f,Q) auch ein Element der Ordnung 5.

Betrachten wir g = f − 3, so besitzt g nur reelle Nullstellen, so daß die eben

durchgefuhrte Schlußweise mit den komplexen und rellen Nullstellen nicht moglich

ist. Hier ist g modulo 2 irreduzibel und modulo 79 das Produkt dreier verschiede-

ner Linearfaktoren und eines irreduziblen quadratischen Faktors, so daß wiederum

G(g,Q) = S5 gilt.


Sei f ∈ Z[t] normiert und irreduzibel. Uber Satz 6.26 hinausgehend kann

man zeigen, daß es fur jeden Zykeltyp in G(f,Q) eine Primzahl p gibt, so daß

die Faktorisierung von f modulo p diesen Zykeltyp ergibt. Mann kann sogar zei-

gen, daß die Anzahl solcher p ≤ x im Verhaltnis zu allen Primzahlen p ≤ x fur

x→∞ asymptotisch gleich dem Verhaltnis der Anzahl der Konjugationsklassen

von Permutationen aus G(f,Q) dieses Zykeltyps und der Anzahl aller Konjuga-

tionsklassen von Permutationen aus G(f,Q) ist (Satz von Tschebotarev).

6.5 Symmetrische Polynome und das Umkehr-

problem der Galoistheorie

Wir wollen an die Situation des vorhergehenden Abschnitts anknupfen und fur

allgemeines f kurz”allgemeine“ Betrachtungen anstellen. Sei k ein Korper und

E = k(x1, . . . , xn) der Korper der rationalen Funktionen in x1, . . . , xn. Fur σ ∈ Sndefinieren wir ein ψ(σ) ∈ Autk(E) durch ψ(σ)(xi) = xσ(i). Dies liefert einen

Monomorphismus ψ : Sn → Autk(E), σ 7→ ψ(σ). Wir setzen K = Eψ(Sn). Die

Elemente ausK bleiben unverandert, wenn man die xi permutiert. Es handelt sich

also dabei um genau die symmetrischen Funktionen in E. Da ψ(Sn) endlich ist,

ist E/K nach Satz 6.7 galoissch mit G(E/K) = ψ(Sn). Aufgrund der Isomorphie

ψ(Sn) ∼= Sn identifizieren wir G(E/K) und Sn im folgenden.

Wir setzen nun f =∏n

i=1(t− xi) =∑n

i=0(−1)isitn−i, wobei die si die elemen-

tarsymmetrischen Polynome in den xi sind. Offenbar gilt f ∈ k(s1, . . . , sn)[t], und

E ist Zerfallungskorper von f uber k(s1, . . . , sn). Wegen [E : k(s1, . . . , sn)] ≤ n!,

[E : K] = n! und k(s1, . . . , sn) ⊆ K ergibt sich K = k(s1, . . . , sn). Dies zeigt, daß

sich jede symmetrische Funktion als rationale Funktion in den si erhalten laßt.

Daruberhinaus gibt es zu i, j ein σ ∈ Sn mit σ(xi) = xj . Die xi sind damit alle

konjugiert und f ist irreduzibel uber K. Zusammenfassend erhalten wir folgenden

Satz.

6.27 Satz. Sei E = k(x1, . . . , xn) der Korper der rationalen Funktionen in xi und

K der Teilkorper der symmetrischen Funktionen in E. Dann ist E/K galoissch

mit G(E/K) = Sn und es gilt K = k(s1, . . . , sn), wobei si die elementarsym-

metrischen Polynome in den xi sind. Der Korper E ist Zerfallungskorper des

irreduziblen Polynoms f =∑n

i=0(−1)isitn−i ∈ K[t].

Die folgende Aussage ist an dieser Stelle noch von grundsatzlichem Interesse.

6.28 Satz. Die elementarsymmetrischen Polynome si ∈ k[x1, . . . , xn] sind alge-

braisch unabhangig. Daher kann k[s1, . . . , sn] auch als Polynomring in den Va-

riablen si aufgefaßt werden. Sei K der Korper der symmetrischen Funktionen

6.5. SYMMETRISCHE POLYNOME UND DAS UMKEHRPROBLEM DER

GALOISTHEORIE 197

und R = k[x1, . . . , xn] ∩ K der Ring der symmetrischen Polynome. Dann gilt

R = k[s1, . . . , sn].

Beweis. Wurde in Algebra 1, Satz 3.42 bewiesen. Mit Theorie, die spater behan-

delt wird, kann man wie folgt argumentieren: Die Korpererweiterung k(x1, . . . , xn)/k

hat Transzendenzgrad n, und k(x1, . . . , xn)/k(s1, . . . , sn) ist endlich. Daher hat

auch k(s1, . . . , sn)/k Transzendenzgrad n, und die si sind algebraisch unabhangig.

Die Ringerweiterung k[x1, . . . , xn]/k[s1, . . . , sn] ist ganz. Daher ist auch die Rin-

gerweiterung R/k[s1, . . . , sn] ganz. Da k[s1, . . . , sn] wegen der algebraischen Un-

abhangigkeit ein Polynomring und damit faktoriell ist, ist k[s1, . . . , sn] in seinem

Quotientenkorper K ganz abgeschlossen. Es folgt R = k[s1, . . . , sn].

Das oben verwendete Polynom f =∑n

i=0(−1)isitn−i ∈ R[t] heißt aufgrund

der ersten Aussage des Satzes allgemeines Polynom n-ten Grads, da f nicht nur

”allgemeine“ Nullstellen, sondern auch

”allgemeine“ Koeffizienten hat. Wir mer-

ken an, daß der Beweis von Satz 3.42 ein konstruktives Verfahren angibt, mit dem

man ein symmetrisches Polynom in den xi als Polynom in den si darstellt.

6.29 Satz. Sei E = k(x1, . . . , xn), K = k(s1, . . . , sn), G eine Untergruppe von

Sn und F = FE/K(G). Dann gilt G(E/F ) = G und es gibt ein h ∈ k[x1, . . . , xn]

mit F = K(h).

Beweis. Fordern wir statt h ∈ k[x1, . . . , xn] nur h ∈ k(x1, . . . , xn), so ergibt sich

die Existenz von h direkt aus dem Satz vom primitiven Element. Fur jedes g ∈k[x1, . . . , xn] ist f = NE/K(g) =

∏

σ∈Snσ(g) ∈ k[x1, . . . , xn] ∩ k(s1, . . . , sn) nach

Satz 6.27 (genauer f ∈ k[s1, . . . , sn] nach Satz 6.28). Besitzt h ∈ k(x1, . . . , xn)

einen Nenner g, so konnen wir wegen f ∈ k(s1, . . . , sn) anstelle von h daher auch

fh ∈ k[x1, . . . , xn] als primitives Element verwenden.

Es gelten die Bezeichnungen von Satz 6.29 mit k = Q. Satz 6.29 kann folgen-

dermaßen genutzt werden, um Informationen uber die Galoisgruppe eines Poly-

noms f0 ∈ Q[t] zu erhalten. Wir wahlen eine Anordnung der Nullstellen ai ∈ C

von f0 und betrachten G(f0,Q) als Untergruppe der Sn. Aus G(f0,Q) ≤ G muß

dann h(a1, . . . , an) ∈ Q folgen, weil h unter G und unter G(f0,Q) als Permutati-

onsgruppe, und somit h(a1, . . . , an) unter G(f0,Q) als Gruppe von Korperauto-

morphismen invariant ist. Unter einer Zusatzbedingung gilt auch die Umkehrung

dieser Implikation, aus h(a1, . . . , an) ∈ Q folgt h ∈ FE/K(G(f0,Q)) und daraus

G(f0,Q) ≤ G. Durch systematisches Testen von h(a1, . . . , an) ∈ Q fur die mogli-

chen Kandidatengruppen G kann man so die Galoisgruppe G(f0,Q) genau be-

stimmen. Man kann dabei auch induktiv vorgehen, indem man die G absteigend

durchlauft. Im i-ten Schritt wissen wir G(f0,Q) ≤ Gi, also hj(a1, . . . , an) ∈ Q


fur 1 ≤ j ≤ i. Sei Gi+1 < Gi eine Kandidatengruppe, fur die wir heraus-

finden wollen, ob G(f0,Q) ≤ Gi+1 gilt. Wir definieren hi+1 als primitives Ele-

ment von Fi+1 = FE/K(Gi+1) uber Fi = FE/K(Gi) = K(h1, . . . , hi) und testen

hi+1(a1, . . . , an) ∈ Q (und dazu die oben erwahnte Zusatzbedingung). Fur die

Berechnungen kann man Fließkommazahlen in C benutzen, und die Tests”∈ Q“

kann man bei geeignetem Vorgehen auch durch Tests”∈ Z“ ersetzen. Die Moglich-

keit von Rundungsfehlern in den Berechnungen muß berucksichtigt werden.

Ein anderer Ansatz geht wie folgt. Fur jede Kandidatengruppe G bestimmen

wir mh,K ∈ K[t]. Die Koeffizienten von mh,K sind Ausdrucke in den si und wir

konnen folglich fur die si die Koeffizienten von f0 (unter Beachtung der Vorzeichen

(−1)i) substituieren. Das resultierende Polynom m0 ∈ Q[t] muß dann mindestens

eine Nullstelle in Q haben, welche h(a1, . . . , an) entsprechen wurde. Hat es eine

einfache Nullstelle in Q, so folgt G(f0,Q) ≤ G. Hier brauchen wir nur mit den

Koeffizienten von f0, nicht aber mit seinen Nullstellen zu arbeiten.

Normalerweise verwendet man fur diese Strategien einen Computer, da die h

und mh,K sehr große Ausdrucke werden konnen und es sehr viele Kandidaten G

geben kann (301 Kandidaten fur n = 12, 1954 Kandidaten fur n = 16, 25000

Kandidaten fur n = 23). In Spezialfallen ist es aber moglich, relativ einfache

Formeln anzugeben.

Wir wollen als Beispiel G = An in Charakteristik Null oder > 2 betrachten.

Wir erinnern dazu an die Definition der Diskriminante in Definition 3.48.

Mit h =∏

1≤i<j≤n(xi − xj) gilt fur die Diskriminante D(f) des allgemeinen

Polynoms f nach Satz 6.28, daß D(f) = h2 ∈ k[s1, . . . , sn] ist. Fur konkret

gegebene Polynome f0 gibt es also eine Formel fur D(f0) in den Koeffizienten von

f0. Im Hinblick auf den Unterschied von Sn und An bemerken wir, daß fur σ ∈ Snentweder σ(h) = h oder σ(h) = −h gilt, und der zweite Fall tritt wirklich auf.

Fur σ ∈ An gilt auf der anderen Seite stets σ(h) = h. Aus (Sn : An) = 2 ergibt

sich daher mit den Bezeichnungen von Satz 6.29, daß F = FE/K(G) = K(h) und

mh,K = t2 −D(f) ist.

6.30 Satz. Sei f0 ∈ k[t] ein separables Polynom vom Grad n und char(k) = 0

oder char(k) > 2. Die Diskriminante D(f0) ist ein Quadrat im Zerfallungskorper

von f0 uber k und es gilt G(f0, k) ⊆ An genau dann, wenn D(f0) ein Quadrat in

k ist.

Beweis. Seien ai die Nullstellen von f0 und h0 =∏

1≤i<j≤n(ai − aj). Die erste

Aussage ist wegen D(f0) = h20 klar. Zur zweiten Aussage: Aus G(f0, k) ⊆ An folgt

h0 ∈ k und somit ist D(f0) = h20 ein Quadrat in k. Gilt G(f0, k) 6⊆ An, so gibt

es ein σ ∈ G(f0, k) mit σ(h0) = −h0. Wegen h0 6= 0 wegen der Separabilitat von

f0 und −1 6= 1 wegen char(k) = 0 oder char(k) > 2 folgt σ(h0) 6= h0. Dann gilt

h0,−h0 6∈ k und D(f0) ist kein Quadrat in k.

6.6. LINEARE UNABHANGIGKEIT VON CHARAKTEREN 199

Fur den Fall n = 3 betrachten wir das separable Polynom f = x3+ax2+bx+c

in Charakteristik ungleich 3. Durch die Transformation x 7→ x − a/3 erhalten

wir ein Polynom mit gleicher Galoisgruppe wie f , aber ohne den x2-Term. Wir

nehmen daher ohne Einschrankung a = 0 an. Man kann nachrechnen, daß dann

D(f) = −4b3 − 27c2 gilt, und wir konnen Satz 6.30 anwenden, um zwischen

G(f,K) = A3 und G(f,K) = S3 zu unterscheiden.

Das Umkehrproblem der Galoistheorie fur einen Korper K ist, zu einer end-

lichen Gruppe G ein Polynom f ∈ K[t] mit G(f,K) ∼= G zu finden. Es hat fur

endliche Korper K im allgemeinen keine Losung, da hier nur zyklische Galoisgrup-

pen auftreten. Auf der anderen Seite haben wir mit Satz 6.27 eine Erweiterung

E/K mit Galoisgruppe Sn konstruiert. Da jede endliche Gruppe G isomorph zu

einer Untergruppe von Sn fur geeignetes n ist, erhalten wir durch Fixkorperbil-

dung eine Erweiterung E/F mit Galoisgruppe isomorph zu G. Indem man fur

die xi geeignete Werte einsetzt, erhalt man gegebenenfalls Erweiterungen E0/F0

und kann das Umkehrproblem so auch fur F0 und G losen. Ein wesentliches Pro-

blem stellt sich hier aber, wenn die Bedingung F0 = k fur E = k(x1, . . . , xn)

fest vorgeben ist. Die Korper F sind nach einem Satz von Swan (1969) im all-

gemeinen keine rationalen Funktionenkorper mehr, ein Gegenbeispiel ist k = Q,

n = 47 und G = 〈(1, . . . , n)〉. Daher fallt F0 im allgemeinen echt großer als Q

aus. Das Umkehrproblem der Galoistheorie ist damit fur Q zur Zeit nur fur spe-

zielle Klassen von Gruppen gelost. Nach einem Satz von Shafarevich (1954) sind

beispielsweise alle auflosbaren Gruppen als Galoisgruppen realisierbar. Schreibt

man ein”zufalliges“ Polynom f ∈ Q[t] hin, so gilt mit

”großer“ Wahrscheinlichkeit

G(f,Q) = Sn.

6.6 Lineare Unabhangigkeit von Charakteren

Sei G eine Halbgruppe und K ein Korper. Unter einem Charakter von G in

K verstehen wir in diesem Abschnitt einen Homomorphismus χ : G → K×. Der

triviale Charakter χ = 1 ist der durch χ(a) = 1 fur alle a ∈ G gegebene Charakter.

Charaktere treten in vielen Zusammenhangen auf (zum Beispiel Fourierana-

lysis, Darstellungstheorie endlicher Gruppen). Im Rahmen der Vorlesung werden

sie aber nur eine geringe Rolle spielen.

Sind χ1, χ2 Charaktere und λ ∈ K, so definieren wir wie ublich (χ1 +χ2)(a) =

χ1(a)+χ2(a) und (λχ1)(a) = λχ1(a). Die Charaktere von G in K spannen damit

einenK-Vektorraum von Abbildungen G→ K auf. Die Charaktere χ1, . . . , χn von

G in K sind linear unabhangig uber K, wenn fur λi ∈ K aus λ1χ1+· · ·+λnχn = 0

folgt, daß alle λi = 0 sind. Wir haben folgenden, grundlegenden Satz.


6.31 Satz (Artin). Sei G eine Halbgruppe und K ein Korper. Die Charaktere

χ1, . . . , χn von G in K sind genau dann linear unabhangig uber K, wenn sie

paarweise verschieden sind.

Beweis. Sind die Charaktere linear unabhangig, so sind sie notwendigerweise ver-

schieden. Wir nehmen nun an, daß die χi verschieden sind. Ein einzelner Cha-

rakter ist offenbar linear unabhangig uber K, weil er nicht die Nullabbildung

sein kann. Wir betrachten jetzt eine Relation λ1χ1 + · · · + λnχn = 0 mit mi-

nimalem n ≥ 2. Dann sind alle λi 6= 0. Da χ1 6= χ2 gibt es a ∈ G mit

χ1(a) 6= χ2(a). Wegen χ1 : G → K× gilt χ1(a) 6= 0. Fur alle b ∈ G gilt dann∑

i λiχi(ab) =∑

i λiχi(a)χi(b) = 0, folglich∑

i λiχi(a)χi = 0. Wir dividieren die-

se Relation durch χ1(a) und subtrahieren die ursprungliche Relation∑

i λiχi = 0.

Dies liefert∑

i(λiχi(a)/χ1(a)−λi)χi = 0. Der Koeffizient von χ1 ist Null und der

von χ2 nach Wahl von a ungleich Null. Wir erhalten eine Relation mit weniger

als n Summanden, im Widerspruch zur Wahl von n.

Als Spezialfall konnen wir Korperhomomorphismen eingeschrankt auf die mul-

tiplikativen Gruppen als Charaktere ansehen. Ein anderer, aufwendigerer Beweis

fur die lineare Unabhangigkeit in diesem Fall wurde von Dedekind gegeben.

Man kann Satz 6.31 nach Artin ubrigens zum Ausgangspunkt eines ande-

ren Aufbaus der Galoistheorie als wie behandelt machen (siehe zum Beispiel die

Bucher von Fischer/Sacher und Meyberg).

Als erste Anwendung notieren wir den folgenden Satz uber die Spurabbildung.

6.32 Satz. Sei E/K eine endliche Korpererweiterung. Dann sind aquivalent:


(ii) Die Spurabbildung TrE/K : E → K ist surjektiv.

(iii) Die symmetrische Bilinearform E × E → K, (a, b) 7→ TrE/K(ab) ist nicht

ausgeartet.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Da TrE/K eine Linearform des K-Vektorraums E ist, genugt

es, TrE/K 6= 0 zu zeigen. Sei C ein algebraischer Abschluß von K. Wegen TrE/K =∑

σ∈HomK(E,C) σ nach Satz 5.95 (i), folgt dies aus Satz 6.31.

(ii) ⇒ (iii): Sei a 6= 0. Nach (ii) gibt es ein c ∈ E mit TrE/K(c) 6= 0. Mit

b = c/a folgt TrE/K(ab) 6= 0.

(iii) ⇒ (i): Ist E/K nicht separabel, so folgt aus Satz 5.95, daß TrE/K = 0

gilt und die Bilinearform ist ausgeartet.

6.7. NORMALBASEN 201

6.7 Normalbasen

6.33 Definition. Sei E/K eine endliche Galoiserweiterung und G = G(E/K).

Eine K-Basis B von E heißt eine Normalbasis von E/K, wenn B von der Form

B = {σ(a) | σ ∈ G} fur ein a ∈ E ist.

6.34 Satz. Jede endliche Galoiserweiterung E/K besitzt eine Normalbasis.

Beweis. Fur ein Element a ∈ E mit∑

σ∈G λσσ(a) = 0 und λσ ∈ K folgt∑

σ∈G λσ(τ−1σ)(a) = 0 fur alle τ ∈ G. Es genugt also, ein Element a in E mit

det(((τ−1σ)(a))τ,σ) 6= 0 zu finden. Sei g(t) = mb,K(t)/(t − b) =∏

τ 6=1(t − τ(b))

fur ein primitives Element b von E/K. Genau dann ist gσ(b) 6= 0, wenn σ = 1

ist. Denn fur σ = 1 ist gσ(b) = g(b) 6= 0 aufgrund der Separabilitat von mb,K(t).

Umgekehrt folgt aus gσ(b) 6= 0, daß b 6= σ(τ(b)) fur alle τ 6= 1 gilt, und daraus

ergibt sich σ = 1 wegen E = K(b). Wir betrachten die uber E[t] definierte Matrix

M(t) = (gτ−1σ(t))τ,σ und d(t) = det(M). Fur t = b ist M(b) eine Diagonalma-

trix mit g(b) 6= 0 auf der Diagonalen. Daher gilt d(b) 6= 0 und folglich d(t) 6= 0.

Enthalt K unendlich viele Elemente, so gibt es ein c ∈ K mit d(c) 6= 0. Wegen

gτ−1σ(c) = (τ−1σ)(g(c)) erhalten wir mit a = g(c) das gesuchte Element a. Es

bleibt der Fall zu behandeln, daß K ein endlicher Korper ist. Dann ist E/K zy-

klisch. Sei σ ein Erzeuger von G(E/K). Wir betrachten σ als lineare Abbildung

des Vektorraums E/K. Es gilt σ[E:K] − 1 = 0.

Außerdem sind 1, σ, . . . , σ[E:K]−1 nach Satz 6.31 uber K linear unabhangig.

Daher gilt fur das Minimalpolynommσ,K(t) = t[E:K]−1 und wegen deg(mσ,K(t)) =

[E : K] ist es auch gleich dem charakteristischen Polynom von σ. Aus der linearen

Algebra folgt damit, daß E/K ein σ-zyklischer Vektorraum ist und von einem

Element a ∈ E erzeugt wird. Per Definition liefert a dann eine Normalbasis von

E/K.

6.35 Bemerkung. Die Galoisgruppe operiert auf E, so daß E neben der Struktur

eines K-Vektorraums auch die Struktur eines K[G]-Moduls besitzt ((∑

σ λσσ)a =∑

σ λσσ(a) fur λσ ∈ K und a ∈ E). Die Aussage von Satz 6.34 besitzt dann die

folgende, aquivalente Formulierung: Der K[G]-Modul E ist zyklisch.

Neben der theoretischen Bedeutung spielen Normalbasen zum Beispiel in der

effizienten Computerarithmetik von endlichen Korpern eine wichtige Rolle.

6.8 Kummertheorie

Im Abschnitt 6.3 haben wir gesehen, daß die Galoisgruppen von einfachen Kum-

mer- und Artin-Schreier-Erweiterungen zyklisch sind. In diesem Abschnitt zeigen


wir umgekehrt, daß eine zyklische Erweiterung unter geeigneten Voraussetzungen

wie in Abschnitt 6.3 eine einfache Kummer- oder Artin-Schreier-Erweiterung ist.

Wir betrachten dafur aber allgemeiner gleich”mehrfache“ Kummer- bzw. Artin-

Schreier-Erweiterungen.

Um Kummer- und Artin-Schreier-Erweiterungen gemeinsam behandeln zu

konnen, verwenden wir folgende Abstraktion. Fur eine Galoiserweiterung E/K

mit Galoisgruppe G = G(E/K) betrachten wir eine Teilmenge A ⊆ Em mit

m ∈ Z≥1, die eine mit der koordinatenweise Operation von G auf A vertragliche

abelsche Gruppenstruktur haben soll. Es soll also σ(ab) = σ(a)σ(b) fur alle σ ∈ Gund a, b ∈ A gelten, wobei das Gruppengesetz von A multiplikativ geschrieben

wird. Wir nennen ein solches A einen G-Modul. Die uns hier im wesentlichen

interessierenden Beispiele fur A sind A = E× und A = E+.

Bezuglich G und A haben wir galoistheoretische Operationen und Normab-

bildungen. Zu einer Teilmenge H von G definieren wir AH = {x ∈ A | σ(x) =

x fur alle σ ∈ H}. Ist umgekehrt B eine Teilmenge von A, so sei GB = {σ ∈G | σ(x) = x fur alle x ∈ B}. Diese Definitionen sind ganz analog zu den Defini-

tionen der Abbildungen FE/K und GE/K aus Abschnitt 6.1. Es hangt jedoch von

der Wahl von A ab, ob H 7→ AH und B 7→ GB zueinander invers sind oder nicht.

Zumindest gilt beispielsweise immer GσB = σGBσ−1. Ist ferner H ein Normal-

teiler von G, so operieren G/H und G auf AH in kompatibler Weise und AH ist

sowohl ein G- als auch ein G/H-Modul.

Um eine Verbindung zwischen Zwischenkorpern von E/K und Untergruppen

von A herzustellen, definieren wir zu einem Zwischenkorper F von E/K die Un-

tergruppe AF = AGE/K(F ) und umgekehrt zu einer Untergruppe B von A den

Zwischenkorper K(B) = FE/K(GB). Wegen der Regel F ◦ G = id gilt offenbar

einerseits AF = A∩Fm, und andererseits entsteht K(B) durch Adjunktion der in

den Koordinaten der Elemente von B vorkommenden Elemente aus E an K. Ist

F ein Zwischenkorper von E/K und normal uber K, so wird AF in naturlicher

Weise ein G(F/K)-Modul.

Fur eine Zwischenkorpererweiterung F2/F1 von E/K und x ∈ AF2 definieren

wir schließlich NF2/F1(x) =

∏

σ∈R σ(x), wobei R ein Nebenklassenreprasentanten-

system von GE/K(F2) in GE/K(F1) mit GE/K(F1) =.∪σ∈R σGE/K(F2) ist. Die De-

finition hangt nicht von der Wahl von R ab, da AF2 von GE/K(F2) fixiert wird.

Wir konnten die Norm ubrigens auch nur fur Untergruppen H2, H1 von G ohne

einen Bezug zu Korpern definieren. Wegen der galoistheoretischen Aquivalenz von

Zwischenkorpern und Untergruppen sind diese Varianten im Endeffekt gleichbe-

deutend.

6.36 Lemma. Sei F2/F1 eine Zwischenkorpererweiterung der Galoiserweiterung

E/K. Dann gilt NF2/F1(x) ∈ AF1 und die resultierende Abbildung NF2/F1

: AF2 →

6.8. KUMMERTHEORIE 203

AF1 ist ein Homomorphismus.

Ferner gilt NτF2/τF1(τ(x)) = τ(NF2/F1(x)) fur alle τ ∈ G und x ∈ F2, und

NF3/F1= NF2/F1

◦ NF3/F2fur einen weiteren Zwischenkorper F3 von E/K mit

F2 ⊆ F3.

Beweis. Wir kurzen G = GE/K ab. Mit R ist auch R′ = {τσ | σ ∈ R} fur jedes

τ ∈ G(F1) ein Nebenklassenreprasentantensystem von G(F2) in G(F1). Folglich

gilt τ(NF2/F1(x)) =

∏

σ∈R τσ(x) =∏

σ∈R′ σ(x) = NF2/F1(x) und daher NF2/F1

(x) ∈AF1 . Die Homomorphieeigenschaft folgt, da die σ als Endomorphismen auf AF2

operieren.

Fur jedes τ ∈ G ist das System R′ = {τστ−1 | σ ∈ R} ein Nebenklassenre-

prasentantensystem von τG(F2)τ−1 = G(τF2) in τG(F1)τ

−1 = G(τF1). Daraus

folgt direkt die Behauptung NτF2/τF1(τ(x)) = τ(NF2/F1

(x)).

Schließlich seien RF2/F1 und RF3/F2 Nebenklassenreprasentantensysteme von

G(F2) in G(F1) bzw. von G(F3) in G(F2) wie oben. Dann ist RF3/F1= {στ | σ ∈

RF2/F1 , τ ∈ RF3/F2} ein Nebenklassenreprasentantensystem von G(F3) in G(F1)

und es gilt NF3/F1(x) =

∏

σ,τ σ(τ(x)) =∏

σ σ(∏

τ τ(x)) = NF2/F1(NF3/F2

(x)).

Es sei angemerkt, daß die Normabbildung NF2/F1 nicht von der Galoiserwei-

terung E/K abhangt. Lemma 6.36 liefert einen zu Satz 5.94 alternativen Beweis

fur die Transitivitat von Spur und Norm.

Sei E/K galoissch, G = G(E/K) und A wie oben ein G-Modul. Durch Un-

tergruppen B von A konnen wir Zwischenkorper K(B) von E/K definieren und

umgekehrt. Wir wollen diesen Prozeß genauer untersuchen, wenn es einen surjek-

tiven G-Homomorphismus ℘ : A→ A mit endlichem, zyklischem Kern µ℘ ⊆ AKgibt. G-Homomorphismus bedeutet, daß σ(℘(a)) = ℘(σ(a)) fur alle σ ∈ G und

a ∈ A gilt. Wir setzen n = #µ℘ und machen folgende, axiomatische Annahme:

6.37 Annahme. Sei F/K eine endliche, zyklische Erweiterung mit F ⊆ E und

σ ein Erzeuger von G(F/K). Fur a ∈ AF gilt NF/K(a) = 1 genau dann, wenn es

ein b ∈ AF mit a = b · σ(b)−1 gibt.

Mit Lemma 6.36 ist klar, daß die Implikation”⇐“ in Annahme 6.37 immer

gilt. Wir verwenden Annahme 6.37 nur fur den zweiten Teil des nachfolgenden

Satzes 6.38.

Fur eine Untergruppe ∆ ⊆ A mit ℘(AK) ⊆ ∆ bezeichnet ℘−1(∆) die Men-

ge aller Urbilder der Elemente von ∆ unter ℘. Wir konnen daher den Korper

K(℘−1(∆)) bilden. Ist B ⊆ ℘−1(∆) derart, daß {℘(b)℘(AK) | b ∈ B} ein Er-

zeugendensystem von ∆/℘(AK) bildet, so gilt K(℘−1(∆)) = K(B) wegen der

Homomorphieeigenschaft von ℘ und ℘−1(℘(AK)) = AK .

6.38 Satz. Im folgenden bezeichnet F einen Zwischenkorper von E/K.


(i) Sei ∆ eine Untergruppe von AK mit ℘(AK) ⊆ ∆ ⊆ AK und F = K(℘−1(∆)).

Dann ist F/K galoissch und G(F/K) abelsch vom Exponenten n.

(ii) Ist umgekehrt F/K eine galoissche Erweiterung mit G(F/K) abelsch vom

Exponenten n, so ist ∆ = ℘(AF ) ∩ AK eine Untergruppe von AK mit

℘(AK) ⊆ ∆ ⊆ AK und es gilt F = K(℘−1(∆)).

Beweis. (i): Sei a ∈ AK und b ∈ A mit ℘(b) = a. Das Element b ist modulo µ℘definiert und die Erweiterung K(b)/K ist wegen µ℘ ⊆ AK nach Voraussetzung

eindeutig durch a bestimmt. Wir nennen K(b)/K eine einfache Kummererweite-

rung bezuglich ℘ und a. Wegen ℘(σ(b)) = σ(℘(b)) = σ(a) = a = ℘(b) fur σ ∈ Ggibt es daher fur jedes σ ein ζσ ∈ µ℘ mit σ(b) = ζσb ∈ AK(b), so daß K(b)/K ga-

loissch ist und G(K(b)/K) durch σ 7→ ζσ nach µ℘ eingebettet wird. Insbesondere

ist K(b)/K demzufolge zyklisch vom Exponenten n.

Sei nun ∆ eine Untergruppe von AK mit ℘(AK) ⊆ ∆ ⊆ AK und F =

K(℘−1(∆)). Wegen F =∐

b∈℘−1(∆)K(b) ist F/K galoissch mit einer Galoisgrup-

pe, die sich nach∏

b∈℘−1(∆) µ℘ einbettet. Diese ist daher abelsch vom Exponen-

ten n.

(ii): Sei umgekehrt F/K abelsch vom Exponenten n. Aufgrund der Defini-

tion ist ∆ eine Untergruppe von AK . Da ℘ G-linear ist, gilt ℘(AK) ⊆ AK und

damit ∆ = ℘(AF ) ∩ AK ⊇ ℘(AK) ∩ AK = ℘(AK). Außerdem gilt ℘−1(∆) ⊆℘−1(℘(AF )) = AF wegen µ℘ ⊆ AK , woraus sich K(℘−1(∆)) ⊆ F ergibt.

Wir wollen nun F ⊆ K(℘−1(∆)) zeigen. Jeder endliche Teilkorper F ′ von F/K

ist ebenfalls abelsch vom Exponenten n uber K. Da F das Kompositum solcher

endlicher Teilerweiterungen ist, genugt es zu zeigen, daß F ′ ⊆ K(℘−1(∆)) gilt.

Die Galoisgruppe G(F ′/K) laßt sich in ein Produkt∏

i∈I µ℘ fur eine endliche

Indexmenge I einbetten. Wir definieren den Kern der Komposition dieser Einbet-

tung mit der i-ten Projektion∏

i∈I µ℘ → µ℘ als Hi und setzen F ′i = FF ′/K(Hi).

Wegen ∩iHi = {1} und [F ′ : K] <∞ gilt F ′ =∐

i F′i nach Satz 6.10, (ii), so daß

wir nun nur noch F ′i ⊆ K(℘−1(∆)) fur alle i ∈ I zeigen mussen.

Sei i ∈ I beliebig. Die Erweiterung F ′i/K ist galoissch und G(F ′i/K) ∼=G(F ′/K)/Hi bettet sich nach µ℘ ein, so daß F ′i/K insbesondere zyklisch ist. Sei σ

ein Erzeuger von G(F ′i/K) und ζσ ∈ µ℘ ein Element der Ordnung [F ′i : K]. Dann

gilt NF ′i/K

(ζσ) = ζ[F ′

i :K]σ = 1 und aufgrund der Annahme 6.37 gibt es ein b ∈ AF ′

i

mit σ(b) = ζσb. Da ζσ die Ordnung [F ′i : K] besitzt, gilt GF ′i /K

(K(b)) = {1} und

somit F ′i = K(b). Außerdem ist σ(℘(b)) = ℘(σ(b)) = ℘(ζσb) = ℘(b) und folglich

℘(b) ∈ ℘(AF ) ∩ AK = ∆. Daraus ergibt sich b ∈ ℘−1(∆) und F ′i = K(b) ⊆K(℘−1(∆)).

Fur den Hauptsatz dieses Abschnitts benotigen wir noch eine allgemeine Aus-

sage. Seien C und D abelsche Gruppen. Eine Paarung von C und D in die


additive Gruppe Z/nZ ist eine in beiden Argumenten homomorphe Abbildung

〈·, ·〉 : C ×D → Z/nZ. Eine Paarung definiert (und wird definiert durch) Homo-

morphismen ι1 : C → Hom(D,Z/nZ) bzw. ι2 : D → Hom(C,Z/nZ) und heißt

nicht ausgeartet, wenn ι1 und ι2 injektiv sind.

6.39 Lemma. Sei 〈·, ·〉 : C × D → Z/nZ eine nicht ausgeartete Paarung.

Dann besitzen C und D den Exponenten n und es gilt #C = #D. Gilt zusatz-

lich #C < ∞, so sind die Monomorphismen ι1 : C → Hom(D,Z/nZ) und

ι2 : D → Hom(C,Z/nZ) Isomorphismen und es gibt eine (nicht kanonische)

Isomorphie C ∼= D.

Beweis. Ubung.

Fur C =∐

i∈N Z/2Z und D =∏

i∈N Z/2Z liefert ((ai)i, (bi)i) 7→∑

i aibieine nicht ausgeartete Paarung C × D → Z/2Z. Hier gilt Hom(C,Z/2Z) ∼=Hom(D,Z/2Z) ∼= D 6∼= C.

6.40 Satz. Die Zuordnung

∆ 7→ F = K(℘−1(∆))

ist eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen den Untergruppen ∆ von AK mit

℘(AK) ⊆ ∆ ⊆ AK und den abelschen Erweiterungen F/K vom Exponenten n in

E mit der inversen Bijektion

F 7→ ∆ = ℘(AF ) ∩ AK .

Weiter gilt [F : K] = (∆ : ℘(AK)) und ∆/℘(AK) besitzt den Exponenten n.

Sind ∆ und F einander zugeordnet, gibt es eine kanonische, nicht ausgeartete

Paarung

G(F/K)×∆/℘(AK)→ µ℘,

welche (σ, a℘(AK)) auf b/σ(b) fur b ∈ ℘−1(a) abbildet. Fur [F : K] = (∆ :

℘(AK)) <∞ liefert die Paarung die Isomorphismen

G(F/K) ∼= Hom(∆/℘(AK), µ℘), ∆/℘(AK) ∼= Hom(G(F/K), µ℘).

Beweis. Die Wohldefiniertheit und Homomorphieeigenschaft der Paarung in bei-

den Argumenten folgen im wesentlichen aus der Definition von ℘: Sei ∆ eine

Untergruppe von AK mit ℘(AK) ⊆ ∆ ⊆ AK , F = K(℘−1(∆)), a ∈ ∆ und

σ ∈ G(F/K). Da ℘ : A → A surjektiv ist, gibt es zunachst einmal uber-

haupt ein b ∈ ℘−1(a) ⊆ AF , mit dem die Paarung definiert werden kann. Auß-

dem gilt ℘(b/σ(b)) = ℘(b)/σ(℘(b)) = a/σ(a) = 1, also b/σ(b) ∈ µ℘. Zu b′ ∈


℘−1(a℘(c)) = ℘−1(a)c mit c ∈ AK gibt es ζ ∈ µ℘ ⊆ AK mit b′ = ζbc. Daraus

folgt b′/σ(b′) = (ζbc)/(ζσ(b)c) = b/σ(b) und die Paarung ist wohldefiniert. Zu

a1, a2 ∈ ∆ gibt es bi ∈ ℘−1(ai). Dann gilt b1b2 ∈ ℘−1(a1a2) und (b1b2)/σ(b1b2) =

(b1/σ(b1))(b2/σ(b2)), also die Homomorphieeigenschaft im rechten Argument der

Paarung. Fur σ1, σ2 ∈ G(F/K) gilt b/σ1(σ2(b)) = (b/σ2(b))(σ2(b)/σ1(σ2(b))) =

(b/σ2(b))σ2(b/σ1(b)) = (b/σ2(b))(b/σ1(b)), weil die Galoisgruppe G(F/K) abelsch

ist und b/σ1(b) ∈ µ℘ ⊆ AK gilt. Dies ergibt die Homomorphieeigenschaft im

linken Argument.

Wir zeigen nun, daß die Paarung nicht ausgeartet ist. Gilt b/σ(b) = 1 fur

alle σ ∈ G(F/K), so folgt b ∈ AK . Damit ist a ∈ ℘(AK) und die Paarung ist

im rechten Argument nicht ausgeartet. Sei σ ∈ G. Gilt dann b/σ(b) = 1 fur

b ∈ ℘−1(a) und alle a ∈ ∆, so folgt σ ∈ G℘−1(∆) = GE/K(F ). Somit ist σ auf F

die Identitat und die Paarung im linken Argument nicht ausgeartet.

Da die Paarung nicht ausgeartet ist, konnen wir Lemma 6.39 anwenden. Es

ergibt sich, daß [F : K] = #G(F/K) = #(∆/℘(AK)) = (∆ : ℘(AK)) gilt

und ∆/℘(AK) den Exponenten n besitzt. Fur (∆ : ℘(AK)) < ∞ ergeben sich

außerdem die Isomorphieen G(F/K) ∼= Hom(∆/℘(AK), µ℘) und ∆/℘(AK) ∼=Hom(G(F/K), µ℘).

Wir beweisen nun die Injektivitat der Abbildung ∆ 7→ F . Seien ∆1,∆2 mit

F = K(℘−1(∆1)) = K(℘−1(∆2)) und sei a ∈ ∆1. Wir wollen a ∈ ∆2 zeigen. We-

gen K(℘−1(a)) ⊆ K(℘−1(∆1)) = K(℘−1(∆2)) und #℘−1(a) <∞ gibt es eine end-

liche Menge S ⊆ ℘−1(∆2) mit K(℘−1(a)) ⊆ K(S). Sei ∆a = 〈℘(S)〉℘(AK) die von

℘(S) und ℘(AK) erzeugte Untergruppe von ∆2. Wegen der Homomorphieeigen-

schaft von ℘ und µ℘ ⊆ AK gilt dann auch K(℘−1(a)) ⊆ K(℘−1(∆a)) = K(S). Da

#℘(S) <∞ und ∆2/℘(AK) den Exponenten n besitzt, gilt #(∆a/℘(AK)) <∞.

Aus K(℘−1(a)) ⊆ K(℘−1(∆a)) ergibt sich K(℘−1(〈a〉∆a)) = K(℘−1(∆a)), wo-

bei 〈a〉∆a die von a und ∆a erzeugte Untergruppe von AK bezeichnet. Nach

der bereits bewiesenen Gleicheit von Korpergrad und Gruppenindex ergibt sich

(〈a〉∆a : ℘(AK)) = [K(℘−1(〈a〉∆a)) : K] = [K(℘−1(∆a)) : K] = (∆a : ℘(AK)).

Wegen (∆a : ℘(AK)) <∞ und ∆a ⊆ 〈a〉∆a folgt ∆a = 〈a〉∆a, also a ∈ ∆a ⊆ ∆2.

Da a beliebig war, folgt ∆1 ⊆ ∆2. Analog ergibt sich ∆2 ⊆ ∆1, so daß ∆1 = ∆2

folgt und die Abbildung ∆ 7→ F injektiv ist.

Die Surjektivitat der Abbildung ∆ 7→ F und die Ausssage uber die inverse

Abbildung folgt direkt aus Satz 6.38, (ii).

Die Paarung von Satz 6.40 wird Kummerpaarung genannt. Ist L/K eine Er-

weiterung von K, so konnen wir die Translation L(℘−1(∆))/L der Erweiterung

K(℘−1(∆))/K betrachten. Diese ist nach Satz 6.14 wieder abelsch vom Expo-

nenten n und gehort zur von ∆ in AL/℘(AL) erzeugten Untergruppe ∆L =

∆℘(AL)/℘(AL) ∼= ∆/(∆ ∩ ℘(AL)). Ahnlich gilt fur Komposita und Schnitte,


daß K(℘−1(∆1))K(℘−1(∆2))/K zu ∆1∆2 und K(℘−1(∆1)) ∩K(℘−1(∆2))/K zu

∆1 ∩∆2 gehoren.

Wir spezialisieren obige Theorie nun auf die Falle A = E× und A = E+,

wo E den separablen Abschluß von K bezeichnet. Im ersten Fall betrachten wir

℘ : A 7→ A, x 7→ xn, wobei char(K) = 0 oder gcd(char(K), n) = 1 gelte. Wir

mussen µ℘ ⊆ AK , also µn ⊆ K× voraussetzen. Die Erweiterungen K(℘−1(∆))/K

entstehen dann also durch Adjunktion aller n-ter Wurzeln der Elemente in ∆ an

K und werden Kummererweiterungen genannt. Im zweiten Fall betrachten wir

den Artin-Schreier Operator ℘ : A 7→ A, x 7→ xp − x, wobei p = char(K) > 0

gelte. Hier ist µ℘ ⊆ AK , also F+p ⊆ K+ automatisch erfullt. Die Erweiterungen

K(℘−1(∆))/K enstehen also durch Adjunktion aller Nullstellen der Polynome

tp− t−a fur a ∈ ∆ an K und werden Artin-Schreier Erweiterungen genannt. Fur

diese beiden Falle gilt die Annahme 6.37:

6.41 Satz (Hilbert 90). Sei F/K eine endliche, zyklische Erweiterung und σ ein

Erzeuger von G(F/K).

(i) Fur a ∈ F× gilt NF/K(a) = 1 genau dann, wenn es ein b ∈ F× mit a =

b · σ(b)−1 gibt.

(ii) Fur a ∈ F+ gilt TrF/K(a) = 0 genau dann, wenn es ein b ∈ F+ mit a =

b− σ(b) gibt.

Beweis. (i),⇐: Es gilt NF/K(a) = NF/K(b)/NF/K(σ(b)) = 1 nach Lemma 6.36.

(i),⇒: Wir setzen n = [F : K]. Die durch

σ0 + aσ1 + aσ(a)σ2 + · · ·+ aσ(a) · · ·σn−2(a)σn−1

definierte Abbildung F× → F ist nach Satz 6.31 nicht die Nullabbildung. Daher

gibt es ein c ∈ F , so daß

b := σ0(c) + aσ1(c) + aσ(a)σ2(c) + · · ·+ aσ(a) · · ·σn−2(a)σn−1(c) 6= 0

ist. Anwenden von σ und Multiplikation mit a ergibt

aσ(b) = aσ1(c) + aσ(a)σ2(c) + · · ·+ aσ(a) · · ·σn−1(a)σn(c) = b,

da σn = 1 und aσ(a) · · ·σn−1(a) = NF/K(a) = 1 nach Voraussetzung gilt.

(ii): Kann ahnlich wie (i) bewiesen werden. Ist c ∈ F mit TrF/K(c) 6= 0 so

erfullt

b =1

TrF/K(c)

(

aσ1(c) + (a+ σ(a))σ2(c) + . . .

+ (a+ σ(a) + · · ·+ σn−2(a))σn−1(c))

die Bedingung a = b− σ(b).


Genauer bezeichnet man eigentlich nur Teil (i) als Satz Hilbert 90. Als Beispiel

betrachten wir die aufsteigende Folge von Primzahlen p1, . . . , pm, K = Q, AK =

Q×, ℘(x) = x2, n = 2, µ2 = {−1, 1} und die von den pi und den Quadraten

Q×2 erzeugte Untergruppe ∆ von Q×. Da die pi die Gruppe ∆/Q×2 erzeugen,

gilt F = K(℘−1(∆)) = K(√p1, . . . ,

√pm). Da die pi multiplikativ unabhangig

sind, gilt ∆/Q×2 ∼= 〈p1, . . . , pm〉/(〈p1, . . . , pm〉 ∩ Q×2) ∼= (Z/2Z)m. Daraus folgt

G(F/K) ∼= Hom(∆/Q×2,Z/2Z) ∼= (Z/2Z)m.

6.42 Korollar. Sei F/K eine algebraische Korpererweiterung und p = char(K).

(i) Es gelte p = 0 oder gcd(p, n) = 1, und K enthalte die n-ten Einheitswurzeln.

Dann ist F/K genau dann zyklisch vom Exponenten n, wenn F = K(b) mit

bn ∈ K gilt.

(ii) Es gelte p > 0. Dann ist F/K genau dann zyklisch vom Exponenten p, wenn

F = K(b) mit bp − b ∈ K gilt.

Beweis. Ist der einfachste Fall in Satz 6.40. Fur die Richtung”⇐“ setzen wir

a = ℘(b) und ∆ = 〈a〉℘(AK) und erhalten F = K(b) = K(℘−1(∆)). Da ∆/℘(AK)

zyklisch ist, muß auch G(F/K) ∼= Hom(∆/℘(AK), µ℘) zyklisch sein. Fur die

Richtung”⇒“ sei F/K zyklisch und ∆ = ℘(AF ) ∩ AK . Dann ist ∆/℘(AK) ∼=

Hom(G(F/K), µ℘) zyklisch. Also gibt es a ∈ AK mit ∆ = 〈a〉℘(AK) und mit

b ∈ ℘−1(a) gilt F = K(℘−1(∆)) = K(b).

Ist ζ eine Einheitswurzel der genauen Ordnung [F : K], so ist das gesuchte

Element b im ubrigen das Element b zu a = ζ aus Satz 6.41.

Abschließend sei bemerkt, daß man fur die Betrachtung von abelschen Erwei-

terungen vom Exponenten pr in Charakteristik p > 0 den G-Modul A als die addi-

tive Gruppe des Rings der Wittvektoren der Lange r uber K wahlt. Eine abelsche

Erweiterung F/K eines beliebigen Exponenten n = n1pr mit gcd(n1, p

r) = 1 und

p = char(K) kann damit auf eine abelsche Erweiterung F1/K vom Exponenten n1

und eine dazu linear disjunkte abelsche Erweiterung F2/K vom Exponenten pr

mit F = F1F2 zuruckgefuhrt werden.

Erganzung

Die Isomorphieen in Satz 6.40 gelten zum Teil auch ohne die Voraussetzung (∆ :

℘(AK)) <∞. Dies soll hier noch nachgetragen werden. Wir benotigen dazu eine

Verscharfung von Lemma 6.39.

Seien C und D abelsche Gruppen und 〈·, ·〉 : C × D → Z/nZ eine Paa-

rung. Fur Untergruppen U von C und V von D definieren wir Abbildungen

φ1 : U 7→ V = {d ∈ D | 〈U, d〉 = {0}} und φ2 : V 7→ U = {c ∈ C | 〈c, V 〉 = {0}}.


Die Abbildungen φ1 und φ2 erfullen analoge Eigenschaften wie F und G in Ab-

schnitt 6.1. Das folgende Lemma kann als eine Art”Galoistheorie“ aufgefaßt

werden.

6.43 Lemma. Sei 〈·, ·〉 : D × C → Z/nZ eine nicht ausgeartete Paarung.

(i) Es gilt #U = #D/φ1(U) und #V = #C/φ2(V ) fur alle Untergruppen U

von C und V von D.

(ii) Der Homomorphismus ι2 : D → Hom(C,Z/nZ) ist ein Monomorphismus,

dessen Bild aus allen h ∈ Hom(C,Z/nZ) besteht, fur die es eine Untergrup-

pe V von D mit ker(h) = φ2(V ) gibt. Analoges gilt fur ι1.

Fur jede Untergruppe V von D und d ∈ D mit φ2(V ) ⊆ φ2(〈d〉) gebe es nun eine

endliche Untergruppe V0 ⊆ V mit φ2(V0) ⊆ φ2(〈d〉). Dann gilt weiter:

(iii) Die Abbildung φ1 ◦φ2 ist die Identitat auf der Menge der Untergruppen von

D.

(iv) Der Homomorphismus ι1 : C → Hom(D,Z/nZ) ist ein Isomorphismus.

Beweis. (i): Ist U eine Untergruppe von C so erhalten wir aus 〈·, ·〉 eine Paarung

U × D/φ1(U) → Z/nZ. Nach Vorausetzung ist die linke zugehorige Abbildung

U → Hom(D/φ1(U),Z/nZ) injektiv. Außerdem hat die rechte Abbildung D →Hom(U,Z/nZ) den Kern φ1(U), so daß D/φ1(U) → Hom(U,Z/nZ) ebenfalls

injektiv ist. Die Paarung ist also nicht entartet. Nach Lemma 6.39 gilt also #U =

#D/φ1(U). Analoges gilt fur Untergruppen V von D und C/φ2(V ).

(ii): Fur d ∈ D gilt ker(ι2(d)) = φ2(〈d〉). Daher besteht das Bild von ι2 nur aus

Elementen der angegebenen Form. Sei umgekehrt h ∈ Hom(C,Z/nZ) beliebig und

ker(h) = φ2(V ). Fassen wir die Gruppe Hom(C/φ2(V ),Z/nZ) mittels Zuruckzie-

hung als Untergruppe von Hom(C,Z/nZ) auf, so gilt h ∈ Hom(C/φ2(V ),Z/nZ).

Da die eingeschrankte Paarung C/φ2(V )× V → Z/nZ nach (i) nicht ausgeartet

ist und #V = #C/φ2(V ) < ∞ gilt, liefert die Einschrankung von ι2 auf V eine

Isomorphie V ∼= Hom(C/φ2(V ),Z/nZ). Also gibt es ein Urbild d ∈ V von h unter

ι2 in D.

(iii): Man sieht wie bei G und F leicht, daß φ2 ◦ φ1 ◦ φ2 = φ2 gilt. Ist φ2

injektiv, ergibt sich daraus φ1 ◦φ2 = id. Zum Beweis der Injektivitat von φ2 seien

V und V ′ Untergruppen von D mit φ2(V ) = φ2(V′). Sei d ∈ V ′. Wir wollen d ∈ V

zeigen.

Es gilt φ2(V ) = φ2(V′) ⊆ φ2(〈d〉). Nach Voraussetzung gibt es eine endliche

Untergruppe V0 von V mit φ2(V0) ⊆ φ2(〈d〉). Dann gilt φ2(V0) = φ2(V0+〈d〉). Wir

wenden (i) fur V = V0 und V = V0 + 〈d〉 an und erhalten #V0 = #C/φ2(V0) =


#C/φ2(V0 + 〈d〉) = #(V0 + 〈d〉). Wegen #V0 <∞ und V0 ⊆ V0 + 〈d〉 ergibt sich

daraus V0 = V0 + 〈d〉 und d ∈ V0 ⊆ V . Da d beliebig war, folgt V ′ ⊆ V . Analog

ergibt sich V ⊆ V ′ und damit V = V ′.

(iv). Die Aussage in (ii) gilt analog auch fur ι1. Jede Untergruppe V von D

ist aber von der Form φ1(U) fur eine Untergruppe U von C. Definiere namlich

U = φ2(V ). Nach (iii) gilt dann φ1(U) = φ1(φ2(V )) = V . Also ist ι1 surjektiv.

6.44 Satz. Sei ∆ eine Untergruppe von AK mit ℘(AK) ⊆ ∆ ⊆ AK und F =

K(℘−1(∆)). Die Kummerpaarung liefert Isomorphismen

G(F/K) ∼= Hom(∆/℘(AK), µ℘), ∆/℘(AK) ∼= Homa(G(F/K), µ℘),

wobei Homa(G(F/K), µ℘) die Gruppe der Homomorphismen mit abgeschlossenem

Kern bezeichnet.

Beweis. Sei E = K(℘−1(AK)). Wir bezeichnen die zugehorige Kummerpaarung

mit 〈·, ·〉 : G(E/K)×AK/℘(AK)→ µ℘. Nach Satz 6.40 existert diese und ist nicht

ausgeartet. Außerdem ist die Bedingung von Lemma 6.43 anD = AK/℘(AK) nach

dem Beweis von Satz 6.40 erfullt.

Seien φ1 : H 7→ ∆/℘(AK) und φ2 : ∆/℘(AK) 7→ H die Abbildungen der

Untergruppen wie in Lemma 6.43. Seien ψ2 : ∆/℘(AK) 7→ F und ψ1 : F 7→∆/℘(AK) die Abbildungen wie in Satz 6.40.

Sei B ⊆ A beliebig. Wegen K(B) = FE/K(GB) gilt ψ2 = FE/K ◦ φ2. Wegen

GB = GL/K(K(B)) gilt φ2 = GE/K ◦ψ2. Damit sind die Bilder von φ2 abgeschlos-

sene Untergruppen von G(E/K). Aus Lemma 6.43, (iii) erhalten wir daher, daß

ψ2 = FE/K ◦ φ2 die inverse Abbildung φ1 ◦ GL/K besitzt, also injektiv ist. Aus

Lemma 6.43, (i) erhalten wir, daß [K(℘−1(∆)) : K] = (∆ : ℘(AK)) gilt. Nach

Satz 6.38, (ii) ist ψ1 die inverse Abbildung von ψ2 und ψ2 ist surjektiv.

Nach Lemma 6.43, (iv) und (ii) gilt G(F/K) ∼= Hom(∆/℘(AK), µ℘) und

∆/℘(AK) ∼= Homa(G(F/K), µ℘). Fur die zweite Isomorphie muß man noch be-

achten, daß der Kern H eines Elements in Homa(G(F/K), µ℘) abgeschlossen ist

und somit eine endliche, abelsche Erweiterung L = FF/K(M) vom Exponenten n

von K definiert. Da ψ2 = FL/K ◦ φ2 surjektiv und FF/K auf der Menge der ab-

geschlossenen Untergruppen von G(F/K) injektiv ist, gehort L zu einem ∆ mit

φ2(∆/℘(AK)) = H . Außerdem ergibt sich, daß Homa(G(F/K), µ℘) tatsachlich

eine Gruppe ist.

Wahlt man K = Q, pi die i-te Primzahl und ∆ = 〈p1, p2, . . . 〉Q×2, so gilt

∆/Q×2 ∼=∐

i∈N Z/2Z und G(Q(√p1,√p2, . . . )/Q) ∼=

∏

i∈N Z/2Z nach der er-

sten Isomorphie in Satz 6.44. In diesem Fall durfen fur die zweite Isomorphie in

Satz 6.44 wirklich nur Homomorphismen mit abgeschlossenen Kern betrachtet

werden, wie das Beispiel nach Lemma 6.39 zeigt.

6.9. AUFLOSBARKEIT DURCH RADIKALE 211

6.9 Auflosbarkeit durch Radikale

6.45 Definition. Eine endliche Korpererweiterung E/K heißt eine Radikaler-

weiterung, wenn es Korper Ei mit K = E0 ⊆ · · · ⊆ Em = E gibt, so daß Ei+1/Eivon der folgenden Gestalt ist.

(i) Ei+1 entsteht aus Ei durch Adjunktion einer Einheitswurzel.

(ii) Ei+1 entsteht aus Ei durch Adjunktion einer Nullstelle von tn−a fur a ∈ Eiund n teilerfremd zur Charakteristik.

(iii) Ei+1 entsteht aus Ei durch Adjunktion einer Nullstelle von tp − t − a fur

a ∈ Ei und p = char(K) > 0.

Eine endliche Korpererweiterung F/K heißt durch Radikale auflosbar, wenn F

ein Zwischenkorper einer Radikalerweiterung E/K ist.

In einer durch Radikale auflosbaren Erweiterung E/K laßt sich jedes Ele-

ment als”Wurzelausdruck“ schreiben. Eine durch Radikale auflosbare Erweite-

rung E/K ist separabel. Wir konnen ohne Beschrankung der Allgemeinheit an-

nehmen, daß n in (ii) eine Primzahl ist.

Das folgende Lemma zeigt, daß sich die Eigenschaft”durch Radikale auflosbar“

analog zu den Eigenschaften”algebraisch“,

”normal“ usw. verhalt.

6.46 Lemma. Die Erweiterung E/K ist genau dann durch Radikale auflos-

bar, wenn E/F und F/K fur jeden Zwischenkorper F von E/K durch Radikale

auflosbar ist.

Sind E, L Zwischenkorper einer Erweiterung C/K und E/K durch Radikale

auflosbar, so ist auch EL/L durch Radikale auflosbar.

Sind E1, E2 Zwischenkorper in C/K und uber K durch Radikale auflosbar, so

ist E1E2/K durch Radikale auflosbar.

Beweis. Folgt ziemlich direkt aus der Definition.

Sei E/K eine galoissche Radikalerweiterung mit G = G(E(K), µ#G(Ka) ⊆ K,

den Zwischenkorpern Ei wie oben und Gi = GE/K(Ei). Dann gilt G = G0 ≥· · · ≥ Gm = {1}. Die Erweiterungen Ei+1/Ei sind nach Korollar 6.42 zyklisch von

Primzahlgrad, daher sind auch die Gi+1 normal in Gi und Gi/Gi+1∼= G(Ei+1/Ei)

ist zyklisch mit Primzahlordnung [Ei+1 : Ei]. Diese Eigenschaft nimmt man zum

Anlaß der folgenden Definition.

Eine endliche Gruppe G heißt auflosbar, wenn es Untergruppen Gi gibt, so

daß G = G0 ≥ · · · ≥ Gm = {1}, Gi+1 normal in Gi und Gi/Gi+1 zyklisch von

Primzahlordnung ist. Die Gi heißen eine Kompositionsreihe von G.


6.47 Satz. Sei G eine endliche Gruppe.

(i) Ist G auflosbar, so ist auch jede Untergruppen und jede Faktorgruppe von G

auflosbar.

(ii) Ist N ≤ G ein Normalteiler und sind N und G/N auflosbar, so ist G

auflosbar.

(iii) Abelsche Gruppen G und p-Gruppen G sind auflosbar.

(iv) Die alternierende Gruppe An ist auflosbar fur n ≤ 4 und ist nicht auflosbar

fur n ≥ 5.

Beweis. (i): Ist Gi eine Kompositionsreihe von G, so liefern Gi ∩ U und GiN/N

nach Auslassung von Wiederholungen Kompositionsreihen von U und G/N : Fur

Gi ∩ U gilt G0 ∩ U = U , Gm ∩ U = {1} und nach dem Homomorphiesatz

gibt es einen Monomorphismus (Gi ∩ U)/(Gi+1 ∩ U) → Gi/Gi+1, so daß (Gi ∩U)/(Gi+1 ∩ U) zyklisch von Primzahlordnung oder trivial ist. Fur GiN/N gilt

G0N/N = G/N , GmN/N = {1} und es gibt einen Epimorphismus Gi/Gi+1 →(GiN/N)/(Gi+1N/N), so daß (GiN/N)/(Gi+1N/N) abermals zyklisch von Prim-

zahlordnung oder trivial ist. Den Epimorphimus erhalten wir wie folgt: Wir star-

ten mit dem kanonischen Epimorphismus Gi → Gi/(Gi ∩N) und verlangern mit

dem Isomorphismus aus dem ersten Isomorphiesatz zum Epimorphismus Gi →GiN/N . Diesen verlangern wir mit dem kanonischen Epimorphismus GiN/N →(GiN/N)/(Gi+1N/N) zum Epimorphismus Gi → (GiN/N)/(Gi+1N/N). Der Kern

umfaßtGi+1, so daß wir nach dem Homomorphiesatz den Epimorphismus Gi/Gi+1

→ (GiN/N)/(Gi+1N/N) erhalten.

(ii): Wir liften die Kompositionsreihe vonG/N durch Urbildbildung unter dem

kanonischen Epimorphimus G→ G/N nach G und hangen die Kompositionsreihe

von N an. Dies liefert eine Kompositionsreihe von G.

(iii): Die Aussage fur abelsche Gruppen ist nach dem Hauptsatz fur endlich

erzeugte abelsche Gruppen klar. Fur die Aussage fur p-Gruppen G beachten wir,

daß das Zentrum Z(G) nicht-trivial ist. Induktiv ist dann G/Z(G) als echt klei-

nere p-Gruppe und Z(G) als abelsche Gruppe auflosbar. Nach (ii) ist damit G

auflosbar.

(iv): Die Gruppen A1, A2 und A3 sind zyklisch und daher auflosbar. Die Grup-

pe A4 ist nach den Sylowsatzen semidirektes Produkt einer abelschen Gruppe der

Ordnung 4 und einer abelschen Gruppe der Ordnung 3 und somit auflosbar (vgl.

die Aufgabe aus der Algebra 1, es gilt A4∼= (Z/2Z×Z/2Z)⋊Z/3Z). Die Gruppe

A5 ist nach einer Ubung in der Algebra 1 einfach, aber nicht abelsch, und daher

nicht auflosbar.

6.9. AUFLOSBARKEIT DURCH RADIKALE 213

Wegen Sn/An ∼= Z/2Z und Satz 6.47, (i) und (ii) gilt (iv) auch fur Sn anstelle

von An.

Nach dem Satz von Burnside sind alle endlichen Gruppen der Ordnung paqb

mit Primzahlen p, q und a, b ∈ Z≥0 auflosbar. Nach dem Satz von Feit-Thompson

sind alle endlichen Gruppen ungerader Ordnung auflosbar.

Durch Radikale auflosbare Erweiterungen lassen sich galoistheoretisch wie

folgt klassifizieren.

6.48 Satz. Eine endliche, separable Korpererweiterung F/K ist genau dann

durch Radikale auflosbar, wenn die Galoisgruppe G(F ′/K) der normalen Hulle

F ′ von F/K auflosbar ist.

Beweis.”⇒“: Wir konnen F/K und F ′/K in eine normale Radikalerweiterung

E ′/K wie folgt einbetten. Wir betrachten die beteiligten Korper als Teilkorper

eines algebraischen Abschluß C. Sei E/K eine Radikalerweiterung mit F ⊆ E.

Fur die normale Hulle E ′ von E gilt E ′ =∐

σ∈HomK(E,C) σ(E), und mit jedem

σ(E)/K ist auch E ′/K eine Radikalerweiterung. Also ist E ′/K eine galoissche

Radikalerweiterung mit F ′ ⊆ E ′. Wir werden zeigen, daß G(E ′/K) auflosbar

ist. Da G(F ′/K) ∼= G(E ′/K)/G(E ′/F ′) gilt, ist G(F ′/K) als Faktorgruppe einer

auflosbaren Gruppe auflosbar.

Sei n der zu char(K) teilerfremde Faktor von [E ′ : K] und L = K(µn). Dann

ist E ′L/L ebenfalls eine normale Radikalerweiterung. Durch mehrfache Anwen-

dung von Korollar 6.42 ersehen wir, daß E ′L/L durch einen Turm von zyklischen

Erweiterungen mit Primzahlgraden entsteht. Also ist G(E ′L/L) auflosbar. Weiter

ist L/K zyklisch und E ′L/K als Kompositum der Galoiserweiterungen L/K und

E ′/K selbst galoissch, so daß G(E ′L/K) den auflosbaren Normalteiler G(E ′L/L)

und auflosbaren Quotienten G(L/K) ∼= G(E ′L/K)/G(E ′L/L) besitzt. Daher ist

auch G(E ′L/K) auflosbar und es folgt, daß G(E ′/K) als Faktorgruppe auflosbar

ist.

”⇐“: Sei n der zu char(K) teilerfremde Faktor von [F ′ : K] und L = K(µn).

Dann sind G(F ′/K) und G(F ′L/L) auflosbar. Daher entsteht F ′L/L durch einen

Turm von zyklischen Erweiterungen mit Primzahlgraden. Durch mehrfache An-

wendung von Korollar 6.42 ersehen wir, daß jede dieser zyklischen Erweiterungen

vom Typ (ii) oder Typ (iii) in Definition 6.45 ist und daß F ′L/L somit eine Radi-

kalerweiterung ist. Weiter ist L/K eine Radikalerweiterung. Es folgt, daß F ′L/K

eine Radikalerweiterung und F/K somit durch Radikale auflosbar ist.

6.49 Definition. Sei f ∈ K[t] normiert und separabel. Dann heißt f durch

Radikale auflosbar, wenn der Zerfallungskorper von f uber K durch Radikale

auflosbar ist.


6.50 Korollar. Ein normiertes und separables Polynom f ∈ K[t] ist genau dann

durch Radikale auflosbar, wenn G(f,K) auflosbar ist.

Ist f durch Radikale auflosbar und gilt bei positiver Charakteristik char(K) ∤

#G(f,K), so konnen die Nullstellen von f als echte, geschachtelte Wurzelaus-

drucke dargestellt werden.

Fur quadratische Polynome t2 + pt+ q erhalt man die Nullstellen in der Form

−p/2 ±√

p2/4− q. Gibt es solche Formeln in den Koeffizienten von f auch fur

hohere Polynomgrade? Hierzu betrachten wir die Auflosbarkeit des allgemeinen

Polynoms n-ten Grads durch Radikale.

6.51 Satz. Sei k ein Korper und K = k(a1, . . . , an) rationaler Funktionenkorper

in den Variablen ai uber K. Das allgemeine Polynom f =∑n

i=0 aiti ∈ K[t] vom

Grad n ist fur n ≥ 5 nicht durch Radikale auflosbar.

Sei K ein beliebiger Korper. Jedes normierte und separable Polynom f ∈ K[t]

vom Grad n ≤ 4 ist durch Radikale auflosbar.

Beweis. Es gilt G(f,K) ∼= Sn nach Satz 6.27. Nach Satz 6.47, (iv) wissen wir,

daß Sn fur n ≤ 4, aber nicht fur n ≥ 5 auflosbar ist. Der Rest ergibt sich aus

Korollar 6.50.

Die Formeln fur n = 3 und n = 4 sind fur Rechnungen mit der Hand im

ubrigen verhaltnismaßig unangenehm.

Die Auflosung von Polynomen durch Radikale spielt in der Robotik eine Rolle.

Hier wird versucht, die Losungen von Bewegungsgleichungen zur Robotersteue-

rung durch Radikale schneller als mit allgemeinen Methoden zu berechnen.

6.10 Reduktionsprinzip

Wir fuhren noch einen fast vollstandigen Beweis von Satz 6.26 an.

6.52 Satz. Sei S/R eine Ringerweiterung der Integritatsringe R und S. Seien

E = Quot(S) und K = Quot(R). Wir nehmen an, daß E/K endlich und galoissch

ist, und daß σ(S) = S fur alle σ ∈ G(E/K) gilt. Weiter sei p maximales Ideal

von R und q ein maximales Ideal von S mit q ∩ R = p.

(i) Fur alle σ ∈ G(E/K) ist σ(q) ein maximales Ideal von S mit σ(q)∩R = p

und aus σ(q) ⊆ q folgt σ(q) = q.

(ii) Die Gruppe G(E/K) operiert transitiv auf der Menge der maximalen Ideale

q′ von S mit q′∩R = p. Insbesondere gibt es hochstens [E : K] verschiedene

solche Ideale.

6.10. REDUKTIONSPRINZIP 215

(iii) Die Menge Gq = {σ | σ ∈ G(E/K) und σ(q) ⊆ q} ist eine Untergrup-

pe von G(E/K). Sei L = S/q, k = R/p und · : S → L der kanoni-

sche Epimorphismus. Dann ist der Homomorphismus φ : Gq → Autk(L),

φ(σ)(x+ q) = σ(x) + q surjektiv.

Beweis. (i): Weil σ ein Automorphismus von S ist, muß σ(q) ebenfalls ein ma-

ximales Ideal sein. Da σ auf R die Identitat ist, gilt σ(p) = p und es folgt

σ(q) ∩ R ⊇ p. Zum Beweis von ⊆ sei sei x ∈ q mit σ(x) ∈ R. Dann gilt x ∈ Rund σ(x) = x ∈ q∩R, also σ(x) ∈ p. Es gelte σ(q) ⊆ q. Da q und σ(q) maximale

Ideale sind, folgt σ(q) = q.

(ii): Wir nehmen an, daß G(E/K) nicht transitiv operiert. Dann gibt es ein

von q verschiedenes maximales Ideal q′ von S mit q′∩R = p und σ(q) 6= q′ fur alle

σ ∈ G(E/K). Nach dem chinesischen Restsatz gibt es a ∈ S mit a ≡ 0 mod q und

a ≡ 1 mod σ−1(q′) fur alle σ ∈ G(E/K) (nur endlich viele Bedingungen, wobei die

σ−1(q′) moglicherweise gleich sein konnen). Anwenden von σ auf die Kongruenzen

liefert σ(a) ≡ 0 mod q fur σ = id und σ(a) ≡ 1 mod q′ fur alle σ ∈ G(E/K).

Sei b = NE/K(a) =∏

σ∈G(E/K) σ(a). Dann gilt b ∈ R sowie b ≡ 0 mod q und

b ≡ 1 mod q′. Wegen p = q ∩R = q′ ∩R folgt daraus der Widerspruch b ∈ p und

b 6∈ p.

Eine endliche Gruppe G kann nicht transitiv auf einer Menge M mit #M >

#G operieren. Dies liefert die letzte Aussage.

(iii): Die Untergruppeneigenschaft folgt nach (i). Sei F der separable Abschluß

von k in L. Dann ist F/k nach dem Satz vom primitiven Element endlich, denn fur

b ∈ S mit b separabel uber k gilt mb,k = g mit einem normierten g ∈ R[t], welches

modulo p irreduzibel und daher in R[t] irreduzibel ist, und es folgt deg(mb,k) =

deg(g) ≤ [E : K]. Da F/k endlich und separabel ist, gibt es ein b ∈ S, so daß

b ein primitives Element von F uber k ist. Wegen σ(S) = S gilt σ(b) ∈ S fur

alle σ ∈ G(E/K). Daher gilt auch mb,K =∏r

i=1(t − bi) mit geeigneten bi ∈ S,

mb,K(b) = mb,K(b) = 0 und mb,k |mb,K. Fur σ0 ∈ Autk(L) gilt σ0(b) = bj fur

ein j, und hierdurch ist σ0 eindeutig bestimmt (L/F ist rein inseparabel). Da

mb,K irreduzibel ist und mb,K(bj) = 0 gilt, gibt es ein σ ∈ HomK(K(b), K(bj))

mit σ(b) = bj . Aufgrund der Konstruktion gilt σ(R[b]) = R[bj ] und σ(R[b] ∩ q) =

R[bj ]∩q (letzteres, da σ ein Lift von σ0 bezuglich · ist bzw. mit Reduktion modulo

q kommutiert). Wir konnen σ zu σ ∈ G(E/K) fortsetzen. Dann gilt σ(S) = S und

σ(q) ist ein maximales Ideal von S mit σ(q)∩R[bj ] = q∩R[bj ]. Da G(E/K(bj)) auf

den maximalen Idealen q′ mit q′ ∩R[bj ] = q ∩R[bj ] nach Satz 6.52, (ii) transitiv

operiert, gibt es ein τ ∈ G(E/K(bj)) mit τ(σ(q)) = q. Zusammenfassend erhalten

wir τ(σ(b)) = bj und τ(σ(q)) = q, also τ ◦ σ ∈ Gq und φ(τ ◦ σ) = σ0.

Aufgrund der transitiven Operation von G(E/K) auf den maximalen Idealen


q′ von S mit q′∩R = p ist (G(E/K) : Gq) gleich der Anzahl dieser verschiedenen

maximalen Ideale.

Beweis von Satz 6.26. Seien a1, . . . , an die Nullstellen von f und E = K(a1, . . . , an)

der Zerfallungskorper von f uber K. Sei S = R[a1, . . . , an] der von R und den

ai in E erzeugte Teilring. Da E ein Korper ist, ist S ein Integritatsring. Jedes

σ ∈ G(E/K) permutiert die ai und ist die Identitat auf R, daher gilt σ(S) = S.

Wir verwenden ohne Beweis, daß S ein maximales Ideal q mit q ⊇ p besitzt

(Beweis erfolgt spater). Dann gilt R 6= q∩R ⊇ p und wegen der Maximalitat von

p folgt q ∩ R = p.

Sei k = R/p und L = S/q. Wegen q ∩ R = p ist L/k eine Korpererweiterung

und L ist der Zerfallungskorper von f uber k. Daher ist L/k nach Voraussetzung

galoissch. Sei Gq = {σ ∈ G(E/K) | σ(q) ⊆ q}. Dann ist Gq eine Untergruppe von

G(E/K) und wir erhalten den Homomorphismus φ : Gq → G(L/k). Aufgrund

der Separabilitat von f ist φ injektiv. Nach Satz 6.52, (iii) ist φ surjektiv. Also

ist φ ein Isomorphismus.

Mit der Nullstellenzuordnung ai 7→ ai und der Separabilitat von f ergibt sich,

daß G(f , k) als Permutationsgruppe eine Untergruppe von G(f,K) ist.

Da L/k eine Erweiterung endlicher Korper ist, ist G(L/k) zyklisch. Sei σ ∈G(E/K) ein Urbild eines Erzeugers σ0 von G(L/k) unter φ. Ist Ni die Nullstellen-

menge von fi in L, so induziert σ0 auf Ni eine zyklische Permutation der Ordnung

#Ni = deg(fi). Daher induziert σ0 auf der Nullstellenmenge a1, . . . , an von f eine

Permutation des Zykeltyps (deg(f1), . . . , deg(fs)). Da f separabel ist, liefert σ

genau die gleiche Permutation auf den Nullstellen a1, . . . , an.

Durch die Verwendung von Lokalisierungen konnen wir die Aussagen auf Prim-

ideale an Stelle von maximalen Idealen (geeignet) verallgemeinern. Wir erhalten

dann zusammenfassend folgenden, allgemeinen Satz. Sei R ein Integritatsring und

f ∈ R[t] normiert. Sei p ein Primideal von R und g das Bild von f in (R/p)[t]

unter koeffizientenweiser Reduktion modulo p. Fur separables g ist die Galois-

gruppe G(g,Quot(R/p)) bei geeigneter Nullstellenanordnung eine Untergruppe

der Galoisgruppe G(f,Quot(R)).

Kapitel 7

Transzendente

Korpererweiterungen

In diesem Kapitel betrachten wir Korpererweiterungen E/K, in denen nicht alle

Elemente algebraisch uber K sind, welche also transzendente Elemente enthalten.

Nach der Diskussion von Transzendenzbasen besprechen wir die Eigenschaften

”separabel“ und

”regular“ fur beliebige Korpererweiterungen nur sehr knapp.

7.1 Transzendenzbasen

Die Begriffe dieses Abschnitts verhalten sich ganz analog zu den Begriffen”linear

unabhangig“ und”Basis“ aus der linearen Algebra.

7.1 Definition. Sei E/K eine Korpererweiterung. Eine Menge A ⊆ E heißt

algebraisch unabhangig uber K, wenn fur alle endlichen Teilmengen {a1, . . . , an}von A und alle f ∈ K[x1, . . . , xn] aus f(a1, . . . , an) = 0 bereits f = 0 folgt.

Wir fassen die leere Menge A = {} als algebraisch unabhangig uber K auf.

”Algebraisch abhangig“ bedeutet

”nicht algebraisch unabhangig“.

7.2 Lemma. Sei E/K eine Korpererweiterung und A ⊆ E.

(i) Sei XA = {xa | a ∈ A} eine Menge von Unbekannten und K[XA] der zu-

gehorige Polynomring. Die Menge A ist genau dann algebraisch unabhangig

uber K, wenn der Einsetzhomomorphismus φA : K[XA] → K[A], xa 7→ a

injektiv ist.

(ii) Ist A ⊆ E algebraisch unabhangig uber K und b ∈ E\A, so ist A ∪ {b}genau dann algebraisch abhangig uber K, wenn b im algebraischen Abschluß

von K(A) in E liegt.

217

218 KAPITEL 7. TRANSZENDENTE KORPERERWEITERUNGEN

Beweis. Teil (i) ist nur eine Umformulierung der Definition. Fur Teil (ii) betrach-

tet man das Minimalpolynom von x uber K(A) und multipliziert Nenner heraus,

um eine algebraische Relation in K[A, x] zu erhalten.

Die Elemente einer algebraisch unabhangigen Menge konnen also nach Lem-

ma 7.2, (i) als Variablen aufgefaßt werden.

7.3 Definition. Sei E/K eine Korpererweiterung. Eine Menge A ⊆ E heißt

Transzendenzbasis von E uber K bzw. von E/K, wenn A algebraisch unabhangig

uber K und E algebraisch uber K(A) ist.

7.4 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung, A ⊆ E algebraisch unabhangig uber

K und C ⊆ E mit E/K(C) algebraisch. Dann gibt es eine Transzendenzbasis B

von E/K mit A ⊆ B ⊆ C.

Alle Transzendenzbasen von E/K haben die gleiche Kardinalitat.

Beweis. Eine uber K algebraisch unabhangige Teilmenge B von E mit A ⊆ B ⊆C ist genau dann eine Transzendenzbasis von E uber K, wenn fur jedes x ∈ C\Bdie Menge B ∪ {x} algebraisch abhangig uber K ist, also wenn B maximal in

C bezuglich Inklusion mit der Eigenschaft”algebraisch unabhangig uber K“ ist:

Zum Beweis dieser Behauptung sei B eine solche Transzendenzbasis und x ∈C\B. Dann ist B ∪ {x} nach Lemma 7.2, (ii) algebraisch abhangig uber K. Sei

umgekehrt B maximal algebraisch unabhangig uber K in C und x ∈ C\B. Dann

ist B∪{x} algebraisch abhangig uberK und nach Lemma 7.2, (ii) ist x algebraisch

uber K(B). Daher ist die Erweiterung K(C)/K(B) algebraisch. Mit E/K(C) ist

dann auch E/K(B) algebraisch und B eine Transzendenzbasis von E uber K.

Die Menge der uber K algebraisch unabhangigen Teilmengen B von E mit

A ⊆ B ⊆ C ist bezuglich Inklusion induktiv geordnet. Nach dem Zornschen

Lemma existiert eine maximale solche Teilmenge B, die nach der Vorbemerkung

eine Transzendenzbasis bildet.

Zum Beweis uber die Gleichheit der Kardinalitat nehmen wir zunachst an, daß

B eine endliche Transzendenzbasis von E/K ist und setzen n = #B. Sei C eine

weitere Transzendenzbasis von E/K mit m = #C und m ≥ n. Wir schreiben B =

{b1, . . . , bn} und C = {cj | j ∈ J}. FurB ⊆ C folgtB = C, da C andernfalls wegen

E/K(B) algebraisch nicht algebraisch unabhangig uber K sein konnte. Dann folgt

n = m wie gewunscht. Fur B 6⊆ C behaupten wir: Fur jedes j gibt es ein i, so

daß bi 6∈ C gilt, wir bi durch cj austauschen konnen und die resultierende Menge

{cj , b1, . . . , bi, . . . , bn} eine Transzendenzbasis bleibt. Denn nach Voraussetzung

gibt es ein Polynom f 6= 0 uber K mit f(cj, b1, . . . , bn) = 0. Da C algebraisch

unabhangig uber K ist, gibt es ein i mit bi 6∈ C, so daß f(x0, x1, . . . , xn) =∑

ν gν(x0, x1, . . . , xi, . . . , xn)xνi = 0 mit gν(x0, x1, . . . , xi, . . . , xn) 6= 0 fur ein ν ≥

7.1. TRANSZENDENZBASEN 219

1 ist (ware dies fur kein i moglich, so ware f(cj, b1, . . . , bn) ein polynomieller

Ausdruck in Werten aus C und daher galte f = 0, im Widerspruch zur Wahl

von f). Damit ist bi algebraisch uber K(B′) fur B′ = {cj, b1, . . . , bi, . . . , bn}. Mit

bi ist dann auch cj nicht algebraisch uber K(b1, . . . , bi, . . . , bn) und B′ somit eine

Transzendenzbasis von E/K.

Durch mehrfache Anwendung der Austauschprozedur erhalten wir, daß C eine

Transzendenzbasis B′ der Kardinalitat n enthalt. Es folgt C = B′ und n = m.

Sind nun B und C unendliche Transzendenzbasen von E/K, so gibt es fur

jedes a ∈ C eine endliche Teilmenge Ba ⊆ B, so daß a algebraisch uber K(Ba)

ist. Dann ist E/K(∪a∈CBa) algebraisch und es folgt B = ∪a∈CBa. Damit ist die

Machtigkeit von B kleiner gleich der Machtigkeit von C. Dies gilt auch umgekehrt,

und B und C besitzen damit die gleiche Machtigkeit.

7.5 Definition. Der Transzendenzgrad trdeg(E/K) einer Korpererweiterung E/K

ist die Kardinalitat #B einer Transzendenzbasis B von E/K.

Eine Korpererweiterung E/K heißt rein transzendent, wenn E = K(B) fur

eine Transzendenzbasis B von E/K gilt.

Eine rein transzendente Erweiterung E/K kann nach Lemma 7.2, (i) als ratio-

naler Funktionenkorper aufgefaßt werden. Wir halten nochmal fest, daß sich jede

Korpererweiterung E/K schreiben laßt als eine algebraische Erweiterung E/F

eines Zwischenkorpers F von E/K, welcher rein transzendent uber K ist.

7.6 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung und F ein Zwischenkorper. Fur Tran-

szendenzbasen B von F/K und B′ von E/F gilt B ∩ B′ = {} und B ∪ B′ist eine Transzendenzbasis von E/K. Ferner gilt trdeg(E/K) = trdeg(E/F ) +

trdeg(F/K).

Beweis. Ubung.

7.7 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung, F ein uber K rein transzendenter

Zwischenkorper von E/K und L ein uber K algebraischer Zwischenkorper von

E/K. Dann sind F/K und L/K linear disjunkt und FL ist rein transzendent

uber L. Ist B eine Transzendenzbasis von F uber K, so ist B auch eine Tran-

szendenzbasis von FL uber L.

Beweis. Ubung.

Die folgende Definition verwendet algebraische Unabhangigkeit analog wie die

Definition von”linear disjunkt“ die lineare Unabhangigkeit benutzt.

7.8 Definition. Seien E/K eine Korpererweiterung und F1, F2 Zwischenkorper

von E/K. Dann heißen F1/K und F2/K algebraisch disjunkt (frei) und F1 und

F2 algebraisch disjunkt (frei) uber K, wenn jede uber K algebraisch unabhangige

Menge von Elementen von F1 uber F2 algebraisch unabhangig bleibt.


Es gilt der zu Satz 5.22 analoge Satz. Insbesondere ist die Definition eigentlich

symmetrisch. Linear disjunkte Erweiterungen sind auch algebraisch disjunkt. Al-

gebraisch disjunkte Erweiterungen mussen jedoch nicht unbedingt linear disjunkt

sein.

7.2 Separable Erweiterungen

In diesem Abschnitt wird die Eigenschaft”separabel“ von algebraischen auf be-

liebige Korpererweiterungen verallgemeinert. Wir gehen jedoch nur kurz auf die

Eigenschaften ein und lassen die Behandlung von Derivationen aus.

7.9 Definition. Eine Transzendenzbasis A der Korpererweiterung E/K heißt

separierend, wenn E/K(A) separabel ist. Eine Korpererweiterung E/K heißt

separabel erzeugt, wenn sie eine separierende Transzendenzbasis besitzt. Eine

Korpererweiterung E/K heißt separabel, wenn fur jeden uber K endlich erzeug-

ten Zwischenkorper F von E/K die Erweiterung F/K separabel erzeugt ist.

Es ist klar, daß diese Definition fur algebraische Erweiterungen E/K mit der

bisherigen Definition ubereinstimmt. Wir werden dann wieder fur verschiedene

Korperkonstruktionen zeigen, wie sich die Eigenschaft separabel fortpflanzt. Die

Verhaltnisse sind aber nicht ganz analog zum Fall algebraischer Erweiterungen.

Mit Kp−∞wird wieder der rein inseparable Abschluß von K fur p = char(K)

bezeichnet. Hat K die Charakteristik Null, so soll Kp−∞= K gelten.

7.10 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung. Dann sind aquivalent.


(ii) E/K und Kp−∞/K sind linear disjunkt.

Beweis. Fur den Fall p = 0 ist die Aussage klar. Es gelte also p > 0.

(i)⇒ (ii): Aussage (ii) gilt genau dann, wenn fur alle endlich erzeugten Zwi-

schenkorper F von E/K die Erweiterungen F/K und Kp−∞/K linear disjunkt

sind. Sei also F ein endlich erzeugter Zwischenkorper von E/K. Da E/K separa-

bel ist, besitzt F/K nach Satz 7.4 eine endliche Transzendenzbasis B, so daß die

Erweiterung F/K(B) algebraisch und separabel ist. Da Kp−∞/K algebraisch ist,

sind K(B)/K und Kp−∞/K nach Satz 7.7 linear unabhangig. Da F/K(B) alge-

braisch und separabel und da K(B)Kp−∞/K(B) nach Satz 5.65 rein inseparabel

ist, sind F/K(B) und K(B)Kp−∞/K(B) nach Satz 5.73 linear disjunkt. Nach

dem Satz uber lineare Disjunktheit in Turmen 5.23, (iv) ergibt sich, daß F/K

und Kp−∞/K linear disjunkt sind.


(ii)⇒ (i): Sei F ein uber K endlich erzeugter Zwischenkorper von E/K und

B = {b1, . . . , bn} ein endliches Erzeugendensystem von F uber K. Es gilt also

F = K(B). Wir zeigen, daß es eine Teilmenge von B gibt, die eine separierende

Transzendenzbasis von F/K bildet. Falls die bi algebraisch unabhangig uber K

sind, ist B bereits eine separierende Transzendenzbasis. Andernfalls gibt es ein

f ∈ K[x1, . . . , xn] von minimalem Grad ≥ 1 mit f(b1, . . . , bn) = 0. Wegen der

Minimalitat des Grads ist f irreduzibel.

Wir behaupten, daß f in mindestens einer Variablen xi separabel ist. Sei

dazu f =∑

i λifi mit paarweise verschiedenen Monomen fi ∈ K[x1, . . . , xn] und

λi ∈ K. Ist f in keiner Variablen separabel, gibt es wegen der Irreduzibilitat von f

unter Berucksichtigung von Korollar 3.16 Monome gi ∈ K[x1, . . . , xn] mit fi = gpi .

Dann gilt f(b1, . . . , bn)1/p =

∑

i λ1/pi gi(b1, . . . , bn) = 0 und die gi(b1, . . . , bn) sind

linear abhangig uber Kp−∞. Wegen (ii) mussen die gi(b1, . . . , bn) dann auch linear

abhangig uber K sein, also muß g(b1, . . . , bn) = 0 mit einem g =∑

i µigi und

µi ∈ K nicht alle Null gelten. Die gi sind mit den fi paarweise verschiedene

Monome und daher linear unabhangig uber K. Daher gilt g 6= 0 und deg(g) ≤deg(f)/p < deg(f). Dies fuhrt zu einem Widerspruch zur Gradminimalitat von

f . Also gilt die Behauptung.

Sei f ohne Einschrankung in der Variablen xn separabel. Dann ist die Erwei-

terung F/K(b1, . . . , bn−1) algebraisch und separabel. Induktiv erhalten wir eine

separierende Transzendenzbasis B′ = {x1, . . . , xr} mit r ≥ 0.

Nach Satz 7.10 konnen wir (ii) auch als Definition von”separabel“ nehmen.

Dies hat den hubschen Aspekt, daß es die beiden, nun etwas technisch anmutenden

Definitionen von”separabel“ vereinheitlicht.


(i) Ist E/K separabel und B ein endliches Erzeugendensystem von E/K, so

gibt es eine separierende Transzendenzbasis A mit A ⊆ B.

(ii) Ist E/K separabel erzeugt, so ist E/K separabel.

(iii) Ist K vollkommen, so ist E/K separabel.

(iv) Ist E/K separabel und F ein Zwischenkorper von E/K, so ist F/K sepa-

rabel.

(v) Ist F ein Zwischenkorper von E/K und sind E/F und F/K separabel, so

ist E/K separabel.

(vi) Sind F und L uber K algebraisch disjunkte Zwischenkorper von E/K und

ist F/K separabel, so ist auch FL/L separabel.


(vii) Sind F und L uber K linear disjunkte Zwischenkorper von E/K und ist

FL/L separabel, so ist auch F/K separabel.

Beweis. (i): Folgt aus dem Beweis von Satz 7.10.

(ii): Sei B eine separierende Transzendenzbasis. Dann sind K(B)/K und

Kp−∞/K nach Satz 7.7 und E/K(B) und K(B)Kp−∞

/K(B) nach Satz 5.75 linear

disjunkt. Nach Satz 5.23, (iv) ergibt sich die lineare Disjunktheit von E/K und

Kp−∞/K.

(iii): Folgt aus Satz 7.10 wegen Kp−∞= K.

(iv): Folgt direkt aus der Definition von”separabel“ oder aus Satz 7.10.

(v): Folgt aus Satz 7.10 und der Transitivitat von”linear disjunkt“ in Korper-

turmen.

(vi): Sei G ein endlich erzeugter Zwischenkorper von FL/L. Dann gibt es

einen endlich erzeugten Zwischenkoper H von F/K mit G ⊆ HL. Sei B eine

separierende Transzendenzbasis von H/K. Dann ist B wegen der Voraussetzung

und nach Satz 7.7 auch eine separierende Transzendenzbasis von HL/L. Nach

(ii) ist HL/L separabel und daher G/L separiert erzeugt.

(vii): Da FL/L separabel ist, sind FL/L und Lp−∞/L und speziell FL/L

und LKp−∞/L nach Satz 7.10 linear disjunkt. Da F/K und L/K nach Vorau-

setzung linear disjunkt sind, mussen auch FL/K und LKp−∞/K aufgrund der

Transitivitat von”linear disjunkt“ in Korperturmen linear disjunkt sein. Dann

sind speziell auch F/K und Kp−∞/K linear disjunkt, so daß F/K nach Satz 7.10

separabel ist.

Die Aussagen (v) und (vi) implizieren auch, daß ein Kompositum algebraisch

disjunkter, separabler Erweiterungen wieder separabel ist.

7.3 Regulare Erweiterungen

Wir verscharfen nun den Begriff”separabel“ und Satz 7.10.

7.12 Definition. Eine Korpererweiterung E/K heißt regular, wenn E/K und

der algebraische Abschluß Ka/K linear disjunkt sind.

7.13 Satz. Sei E/K eine Korpererweiterung. Dann sind aquivalent.

(i) E/K ist regular.

(ii) K ist algebraisch abgeschlossen in E und E/K ist separabel.

7.3. REGULARE ERWEITERUNGEN 223

Beweis. (i) ⇒ (ii): Da E/K und Ka/K linear disjunkt sind, gilt E ∩ Ka = K

und K ist algebraisch abgeschlossen in E. Außerdem sind dann auch E/K und

Kp−∞/K wegen Kp−∞ ⊆ Ka linear disjunkt und E/K nach Satz 7.10 somit

separabel.

(ii)⇒ (i): Aus der Voraussetzung folgt EKp−∞∩Ka = Kp−∞: Die Erweiterung

EKp−∞∩Ka/E∩Ka ist mit Kp−∞/K und EKp−∞

/E rein inseparabel. Wegen E∩Ka = K und der Transitivitat von

”rein inseparabel“ ist dann EKp−∞∩Ka/Kp−∞

rein inseparabel. Diese Erweiterung ist nach Satz 5.73 aber auch separabel. Also

folgt EKp−∞ ∩Ka = Kp−∞.

Die Erweiterung Ka/Kp−∞ist galoissch. Nach Satz 5.75 und der Vorbemer-

kung EKp−∞∩Ka = Kp−∞sind nun EKp−∞

/Kp−∞undKa/Kp−∞

linear disjunkt.

Außerdem sind E/K und Kp−∞/K nach Voraussetzung linear disjunkt. Wegen

der Transitivitat von”linear disjunkt“ in Turmen ergibt sich damit, daß E/K

und Ka/K linear disjkunkt sind, E/K also regular ist.


(i) Ist K algebraisch abgeschlossen, so ist E/K regular.

(ii) Ist E/K regular und F ein Zwischenkorper von E/K, so ist F/K regular.

(iii) Ist F ein Zwischenkorper von E/K und sind E/F und F/K regular, so ist

E/K regular.

(iv) Sind F und L uber K algebraisch disjunkte Zwischenkorper von E/K und

ist F/K regular, so sind F/K und L/K linear disjunkt.

(v) Sind F und L uber K algebraisch disjunkte Zwischenkorper von E/K und

ist F/K regular, so ist auch FL/L regular.

Beweis. (i) und (ii): Folgen direkt aus Satz 7.13 und Satz 7.11, (iii).

(iii): Folgt aus Satz 7.13 und der Transitivitat von”linear disjunkt“ in Korper-

turmen.

(iv): Wird ausgelassen.

(v): Mit F/K und L/K sind auch F/K und La/K algebraisch disjunkt. Nach

(iv) sind F/K und La/K dann auch linear disjunkt. Wegen der Transitivitat von

”linear disjunkt“ in Turmen sind dann auch FL/L und La/L linear disjunkt. Also

ist FL/L regular.

Die Aussagen (iii) und (v) implizieren auch, daß ein Kompositum algebraisch

disjunkter, regularer Erweiterungen wieder regular ist.


7.4 Beispiele

Wir betrachten nun Beispiele verschiedener Korper. Jeder Korper fallt unter einen

der folgenden Typen.

1. Die Primkorper sind gleich Q oder Fp fur eine Primzahl p.

2. Endliche Erweiterungen der Primkorper Q und Fp liefern Zahlkorper und

endliche Korper.

3. Alle weiteren algebraischen Erweiterungskorper der Primkorper sind in den

algebraischen Abschlussen Qa und Fap enthalten.

4. Rein transzendente Erweiterungen von Korpern K aus 1-3, also Korper der

Form K(X), wobei X eine Menge von Variablen bezeichnet.

5. Endliche und algebraische Erweiterungen E der Korper K(X) in 4, wobei

man K je nach Sichtweise beispielsweise als Primkorper von E oder als

algebraischen Abschluß des Primkorpers von E in E wahlen kann.

Sei f = t2 − x3 − 1 ∈ Q(x)[t]. Durch Adjunktion einer Nullstelle y von f an

Q(t) erhalten wir eine separable Erweiterung K = Q(x, y) vom Grad zwei von

Q(x). Daher ist x ein separierendes Element (das heißt, {x} ist eine separierende

Transzendenzbasis). Die Erweiterung K/Q ist separabel.

In Fp(x) ist xp zwar transzendent und {xp} eine Transzendenzbasis, aber xp ist

nicht separierend. Nach Satz 7.11, (iii) muß es ein separierendes Element geben.

Man kann beispielsweise x oder 1/(x+ 1) wahlen. Die Erweiterung Fp(x)/Fp ist

daher ebenfalls separabel.

Eine nicht separable Erweiterung erhalt man unter Benutzung von Satz 7.10

wie folgt. Sei K = Fp(z, x, y) der durch xp + yp + z = 0 definierte Korper. Da

xp + yp + z als Polynom uber Fp(z) irreduzibel ist, hat K/Fp(z, x) den Grad p.

Diese Erweiterung ist jedoch nicht linear disjunkt zu Fp(z1/p, x)/Fp(z, x), da hier

wegen y + x + z1/p = 0 gilt, daß KFp(z1/p)/Fp(z

1/p, x) den Grad eins hat. Nach

der linearen Disjunktheit in Turmen sind auch K/Fp(z) und Fp(z1/p)/F(z) nicht

linear disjunkt und damit K/Fp(z) nicht separabel.

Die Erweiterungen Q(x)/Q und K/Q fur K = Q(x, y) wie oben sind Bei-

spiele fur regulare Erweiterungen. Endliche und algebraische Erweiterungen eines

Korpers in Charakteristik Null und zum Beispiel die Erweiterung Q(x,√

2)/Q

sind separabel aber nach Satz 7.13 nicht regular, da der Grundkorper nicht al-

gebraisch abgeschlossen ist. Auf der anderen Seite ist Fp(z) im obigen Beispiel

in K = Fp(z, x, y) zwar algebraisch abgeschlossen, aber die Erweiterung K/Fp(z)

trotzdem nicht regular, weil sie nicht separabel ist.

Kapitel 8

Moduln II

In diesem Kapitel werden das Tensorprodukt und die Begriffe projektiv, flach und

lokal frei behandelt.

8.1 Tensorprodukte

Wir wollen auch kurz etwas zum Tensorprodukt sagen. Tensorprodukte bildet

man von R-Moduln oder R-Algebren, und sie sind wieder R-Moduln bzw. R-

Algebren. Wir betrachten vornehmlich den ersten Fall. Zur Vereinfachung sei R

ein kommutativer Ring und M , N Moduln uber R (links und rechts). Dies ist

fur das folgende keine wesentliche Einschrankung, spart aber ein paar Falle und

etwas Notation. Beim Tensorprodukt M⊗RN handelt es sich um einen R-Modul,

welcher von formalen Produkten m⊗ n fur m ∈M und n ∈ N erzeugt wird. Die

Elemente sind also von der Form∑

imi⊗ni fur mi ∈M und ni ∈ N . Hierbei soll

sich ⊗ wirklich wie eine Multiplikation verhalten, nur daß sie nicht”ausgefuhrt“

wird sondern nur generisch ausgefuhrt wird (also unter Eingabe von m und n eben

den”abstrakten Wert“ m⊗ n zuruckliefert). Entsprechend wird gefordert (m1 +

m2)⊗n = m1⊗n+m2⊗n und analog fur n1, n2. Die Angabe von R soll bedeuten,

daß mr ⊗ n = m ⊗ rn ist. Außerdem gelte r(m ⊗ n) = rm ⊗ n = m ⊗ rn. Hier

muß man im Nichtkommutativen etwas aufpassen, ob man von links oder rechts

oder innen oder außen multiplizieren will. Beim Tensorprodukt von R-Algebren

M und N soll per Definition auch noch (m1⊗ n1) · (m2 ⊗ n2) = (m1m2)⊗ (n1n2)

gelten, doch dazu spater.

8.1 Definition. Der R-Modul P zusammen mit einer R-bilinearen Abbildung

h : M × N → P heißt Tensorprodukt von M und N uber R, wenn folgendes

gilt. Ist g eine R-bilineare Abbildung M ×N → Q fur einen beliebigen, weiteren

R-Modul Q, so gibt es genau eine R-lineare Abbildung f : P → Q mit g = f ◦ h.

225

226 KAPITEL 8. MODULN II

8.2 Satz. Fur alle R-Moduln M und N existiert ein Tensorprodukt von M und

N uber R. Je zwei Tensorprodukte von M und N uber R sind isomorph.

Beweis. Zunachst zur Existenz. Sei V der von den Paaren (m,n) ∈ M × N

erzeugte, freie R-Modul und I der Untermodul von V , welcher von den Elementen

der Form (m1 + m2, n) − (m1, n) − (m2, n), (m,n1 + n2) − (m,n1) − (m,n2),

(rm, n)−(m, rn) und r(m,n)−(rm, n) erzeugt wird. Wir definieren die Abbildung

h : M × N → V/I durch h(m,n) = (m,n) + I. Die R-Bilinearitat von h folgt

unmittelbar aufgrund der Definition von I. Wir behaupten, daß V/I zusammen

mit h ein Tensorprodukt von M und N uber R ist.

Da V frei ist, konnen wir eine vorgegebene, bilineare Abbildung g : M ×N →Q zu einer linearen Abbildung f ′ : V → Q durch f ′((m,n)) = g(m,n) machen.

Nun gilt I ⊆ ker(f ′) und durch Abspalten des Restklassenhomomorphismus V →V/I erhalten wir f : V/I → Q. Damit gilt f ◦ h = g, und die Existenz von f ist

nachgewiesen. Es gibt aber auch nur einen einzigen Homomorphismus f : V/I →Q mit f ◦ h = g, denn das Bild von h ist ein Erzeugendensystem von V/I. Damit

ist V/I zusammen mit h tatsachlich ein Tensorprodukt von M und N uber R.

Jetzt zur Eindeutigkeit bis auf Isomorphie. Sind B und B′ zwei Tensorproduk-

te von M und N uber R mit den zugehorigen bilinearen Abbildungen h und h′,

so gibt es f ∈ HomR(B,B′) und f ′ ∈ HomR(B′, B) mit h′ = f ◦h und h = f ′ ◦h′,also h = f ′ ◦ f ◦ h. Aufgrund der Eindeutigkeitsaussage fur B folgt f ′ ◦ f = idB,

und durch Symmetrie f ◦ f ′ = idB′ . Also sind B und B′ isomorph.

8.3 Definition. Fur je zwei R-Moduln M und N bezeichne M ⊗R N ein (fest-

gewahltes) Tensorprodukt von M und N uber R mit der bilinaren Abbildung

· ⊗ · : M ×N →M ⊗R N , (x, y) 7→ x⊗ y.

Die Menge der bilinearen Abbildungen M × N → Q bildet einen R-Modul,

welcher in naturlicher Weise isomorph zum R-Modul HomR(M,HomR(N,Q)) ist.

Aufgrund der Eindeutigkeit von f in Definition 8.1 erhalten wir eine Abbildung

φ : HomR(M,HomR(N,Q))→ HomR(M ⊗RN,Q), g 7→ f mit g(x, y) = f(x⊗ y).Diese ist bijektiv: Sind g1 und g2 bilineare Abbildungen und f1, f2 die zugehorigen

linearen Abbildungen und gilt f1 = f2, so ergibt sich auch g1 = f1 ◦ (· ⊗ ·) =

f2 ◦ (· ⊗ ·) = g2. Also ist φ injektiv. Da fur jedes lineare f die Abbildung g =

f ◦ (· ⊗ ·) bilinear ist, ist φ auch surjektiv. Es gilt also HomR(M ⊗R N,Q) ∼=HomR(M,HomR(N,Q)) (in naturlicher Weise als R-Moduln). Die Abbildung ·⊗·ist damit

”die universelle“, auf M ×N definierte bilineare Abbildung.

Die Elemente von M ⊗R N wie im Satz konstruiert sind also von der Form∑

imi ⊗ ni, wobei ⊗ die Axiome einer Multiplikation erfullt und mit der Mul-

tiplikation mit Elementen aus R vertraglich ist. Speziell handelt es sich bei der

Menge {m⊗ n |m ∈M,n ∈ N} um ein Erzeugendensystem von M ⊗R N .

8.1. TENSORPRODUKTE 227

Seien nun M1,M2, N1, N2 Moduln uber R und fi ∈ HomR(Mi, Ni). Wir er-

halten die Produktabbildung f1 × f2 : M1 ×M2 → N1 × N2. Durch Komposi-

tion mit der bilinearen Abbildung hN : N1 × N2 → N1 ⊗R N2 ergibt dies eine

bilineare Abbildung M1 ×M2 → N1 ⊗ N2, und wir konnen die bilineare Abbil-

dung hM : M1 ×M2 → M1 ⊗M2 abspalten. Dies liefert eine lineare Abbildung

M1⊗M2 → N1⊗N2, welche mit T (f1, f2) und als das Tensorprodukt von f1 und

f2 bezeichnet wird. Sie ist durch T (f1, f2)(m1⊗m2) = f1(m1)⊗ f2(m2) eindeutig

bestimmt.

Zusammen erhalten wir eine Abbildung HomR(M1, N1) × HomR(M2, N2) →HomR(M1 ⊗R M2, N1 ⊗R N2), (f1, f2) 7→ T (f1, f2). Wegen T (f1, f2)(m1 ⊗m2) =

f1(m1)⊗ f2(m2) und (f + g)(x) = f(x) + g(x) fur f, g ∈ HomR(Mi, Ni) ist diese

Abbildung bilinear, und somit erhalten wir eine lineare Abbildung

HomR(M1, N1)⊗R HomR(M2, N2)→ HomR(M1 ⊗RM2, N1 ⊗R N2),

welche durch f1 ⊗ f2 7→ T (f1, f2) definiert ist. Mittels dieses Homomorphismus

konnen wir f1 ⊗ f2 also stets auch als Element von HomR(M1 ⊗RM2, N1 ⊗R N2)

auffassen. Unter Verwendung von Satz 8.4, (ii) ist es nicht schwer zu beweisen,

daß dies ein Isomorphismus ist, wenn die Mi und Ni beispielsweise endlich erzeugt

und frei sind.

Die universelle Eigenschaft der Tensorprodukte und etwas”Diagrammjagd“

oder die konkrete Formel T (f1, f2)(m1 ⊗m2) = f1(m1) ⊗ f2(m2) zeigen die fol-

gende, bifunktorielle Eigenschaft von T (·, ·): Sind P1, P2 weitere R-Moduln und

gi ∈ HomR(Ni, Pi), so gilt T (g1 ◦ f1, g2 ◦ f2) = T (g1, g2) ◦ T (f1, f2).

Ein wichtiger Spezialfall ist M2 = N2 = P2 = Q und f2 = g2 = id. Ten-

sorieren mit Q liefert dann einen Funktor in der Kategorie der R-Moduln, ein

Homomorphimus f : M → N wird auf T (f, id) : M ⊗R Q → N ⊗R Q mit

T (f, id)(m⊗ q) = f(m)⊗ q abgebildet. Dieser wird in Satz 8.4, (iii) angewendet.

8.4 Satz. Seien M,N, P,Q R-Moduln und Mi eine Familie von R-Moduln.

(i) (M ⊗R N)⊗R P ∼= M ⊗R (N ⊗R P ) unter (x⊗ y)⊗ z 7→ x⊗ (y ⊗ z).

(ii) M ⊗R N ∼= N ⊗R M unter x⊗ y 7→ y ⊗ x.

(iii) (∐

iMi) ⊗R N ∼=∐

i(Mi ⊗R N) unter (∑

i xi) ⊗ y 7→ ∑

i(xi ⊗ y). Das

Tensorprodukt und die direkte Summenbildung sind also vertauschbar.

(iv) Ist M → N → P → 0 eine exakte Sequenz, dann ist auch die zugehorige,

mit Q tensorierte Sequenz M ⊗R Q→ N ⊗R Q→ P ⊗R Q→ 0 exakt.

Beweis. (i): Wir zeigen die Existenz eines Homomorphismus f : (M⊗RN)⊗RP →M ⊗R (N⊗R P ) mit (x⊗y)⊗z → x⊗ (y⊗z). Wollen wir dies als Definition fur f


nehmen, ergibt sich das Problem, daß wir die Wohldefiniertheit von f nachweisen

mussen. Denn implizit extrahieren wir aus (x⊗y)⊗z das unter Umstanden nicht

eindeutig bestimmte Paar (x, y, z) und definieren damit das Bild x⊗ (y⊗ z). Um

diesem Problem entgegenzutreten, verwendet man standardmaßig die universelle

Eigenschaft des Tensorprodukts.

Fur z ∈ P starten wir zunachst mit gz : M ×N → M ⊗R (N ⊗RP ), gz(x, y) =

x⊗(y⊗z). Dies ist eine wohldefinierte bilineare Abbildung, so daß es fx : M⊗N →M⊗R (N⊗RP ) mit fz(x⊗y) = x⊗(y⊗z) gibt. Nun sei g : (M⊗RN)×P → M⊗R(N⊗RP ), g(x⊗y, z) = fz(x⊗y) = x⊗(y⊗z). Dies ist ebenfalls eine wohldefinierte,

bilineare Abbildung. Damit erhalten wir schließlich den Homomorphismus f :

(M ⊗R N)⊗R P →M ⊗R (N ⊗R P ) mit (x⊗ y)⊗ z → x⊗ (y ⊗ z).Analoge Argumente zeigen die Existenz eines Homomorphismus f ′ : M ⊗R

(N ⊗R P ) → (M ⊗R N) ⊗R P mit x ⊗ (y ⊗ z) → (x ⊗ y) ⊗ z. Da es bei den

Elementen um Erzeugende der Tensorprodukte handelt, ergibt sich f ◦ f ′ = id

und f ′ ◦ f = id.

Ein im Prinzip gleicher, aber kompakterer Beweis kann mit Hilfe des Lemmas

von Yoneda gefuhrt werden (siehe S. ??). Das geht wie folgt:

HomR((M ⊗R N)⊗R P, ·) ∼= HomR(M ⊗R N,HomR(P, ·))∼= HomR(M,HomR(N,HomR(P, ·)))∼= HomR(M,HomR(N ⊗R P, ·))∼= HomR(M ⊗R (N ⊗R P ), ·).

Also gilt auch (M ⊗RN)⊗R P ∼= M ⊗R (N ⊗R P ), und zwar unter (x⊗ y)⊗ z 7→x ⊗ (y ⊗ z), was man durch Nachverfolgen der einzelnen Isomorphismen sehen

kann.

(ii): Geht analog zu (i) (direkt und mit Lemma von Yoneda).

(iii): Wir definieren die bilineare Abbildung g : (∐

iMi)× N →∐

i(Mi ⊗N)

durch ((∑

i xi), y) 7→∑

i(xi ⊗ y), wobei wir die direkte Summeneigenschaft von∐

iMi verwenden. Daraus erhalten wir den Homomorphismus f : (∐

iMi)⊗N →∐

i(Mi⊗N) mit (∑

i xi)⊗y 7→∑

i(xi⊗y). Umgekehrt definieren wir die bilineare

Abbildung g′i : Mi × N → (∐

iMi) ⊗ N durch (xi, y) 7→ xi ⊗ y und erhalten

den Homomorphismus f ′i : Mi ⊗ N → (∐

iMi) ⊗ N mit xi ⊗ y 7→ xi ⊗ y. Die

universelle Eigenschaft der direkten Summe angewendet auf die f ′i liefert jetzt

einen Homomorphismus f ′ :∐

i(Mi ⊗ N) → (∐

iMi) ⊗ N mit∑

i(xi ⊗ y) 7→(∑

i xi) ⊗ y. Die Abbildungsvorschriften fur f und f ′ schreiben die Bilder von

Erzeugendensystemen vor. Es ergibt sich f ◦ f ′ = id und f ′ ◦ f = id.

Die Aussage (iii) wird in Satz 8.5 noch einmal in allgemeinerer Form bewiesen.

(iv): Seien f1 : M → N und f2 : N → P die Homomorphismen aus der

exakten Sequenz und g1 : M ⊗R Q → N ⊗R Q und g2 : N ⊗R Q → P ⊗R Q


die zugehorigen, tensorierten Homomorphismen. Die Aussage 0⊗RQ = 0 wird in

Lemma 8.6, (i) bewiesen.

Wir zeigen zuerst, daß g2 surjektiv ist. Jedes Element aus P ⊗R Q ist eine

endliche Summe von Elementen der Form p⊗ q. Daher genugt es zu zeigen, daß

jedes dieser Elemente im Bild von g2 liegt. Zu p ∈ P gibt es aber n ∈ N mit

f2(n) = p nach Voraussetzung. Dann gilt g2(n ⊗ q) = f(n) ⊗ q = p ⊗ q, was zu

zeigen war. Dies ergibt die Exaktheit bei P ⊗R Q.

Da das Tensorieren der Nullabbildung die Nullabbildung liefert, folgt wegen

f2 ◦ f1 = 0 auch g2 ◦ g1 = 0, also im(g1) ⊆ ker(g2). Sei nun I = im(g1) und

g′2 : N ⊗R Q/I → P ⊗R Q der nach dem Homomorphiesatz eindeutig bestimmte

Homomorphismus mit g′2(n ⊗ q + I) = g2(n ⊗ q). Zum Nachweis der Exaktheit

bei N⊗RQ mussen wir beweisen, daß g′2 injektiv ist. Dazu konstruieren wir einen

Homomorphismus h : P ⊗R Q → N ⊗R Q/I mit h ◦ g′2 = id: Fur p ∈ P und

q ∈ Q sei n ∈ N mit f2(n) = p. Wir definieren h′ : P × Q → N ⊗R Q/I durch

h′(p, q) := n⊗q+I. Dies ist wohldefiniert: Fur n1, n2 ∈ N mit f2(n1) = f2(n2) = p

gilt f2(n1 − n2) = 0, also gibt es m ∈ M mit n1 − n2 = f1(m). Dann folgt

n1 ⊗ q − n2 ⊗ q = (n1 − n2) ⊗ q = f1(m) ⊗ q ∈ I. Außerdem ist h′ bilinear, wie

leicht zu sehen ist. Es gibt also einen Homomorphismus h : P ⊗RQ→ N ⊗RQ/Imit h(p⊗ q) = n⊗ q + I. Nach Konstruktion gilt h ◦ g′2 = id auf der Menge der

Elemente der Form n⊗ q + I und damit auch auf ganz N ⊗R Q/I.Man kann (iv) auch kurzer beweisen. Tensorieren mit Q ist namlich ein links-

adjungierter Funktor des Funktors HomR(Q, ·), denn es besteht die naturliche

Aquivalenz

HomR(· ⊗Q, ·) ∼= HomR(·,HomR(Q, ·)).Aufgrund allgemeiner Uberlegungen ist dann Tensorieren mit Q rechtsexakt, es

gilt also (iv) (siehe Kapitel ??).

Bei nicht-kommutativen Ringen macht (ii) wenig Sinn, da man sonst die Mul-

tiplikationen von links oder rechts oder innen oder außen umordnen muß und

leicht durcheinander kommen kann.

Die Aussage (iii) ist ein Spezialfall der folgenden Aussage fur Kolimites von

Diagrammen von R-Moduln (siehe Seite ??ff.).

8.5 Satz. Sei N ein R-Modul und D ein Diagramm von R-Moduln. Sei D⊗R Ndas Diagramm, welches aus D durch Tensorieren der in D vorkommenden Moduln

mit N entsteht. Dann gilt

(lim−→D)⊗R N ∼= lim

−→(D ⊗R N).

Das Tensorprodukt und die Kolimesbildung sind also vertauschbar.


Beweis. Wir zeigen, daß lim−→

(D⊗RN) ein Tensorprodukt von lim−→D und N ist. Sei

g : (lim−→D)×N → Q bilinear. Fur jedes Di in D sei ιi : Di → lim

−→D die Injektion.

Zuruckziehen entlang ιi liefert bilineare Abbildungen gi : Di×N → Q, und lineare

Abbildungen fi : Di⊗RN → Q. Da Tensorieren ein Funktor ist, bilden dieDi⊗RNdas Diagramm D ⊗R N . Etwas Diagrammjagd und die universelle Eigenschaft

von Tensorprodukten zeigt, daß die fi einen Morphismus D ⊗R N → Q bilden.

Die universelle Eigenschaft vom Kolimes zeigt, daß es eine lineare Abbildung

f : lim−→

(D ⊗R N) → Q gibt. Die Konstruktionsschritte von f sind jeder fur

sich genommen eindeutig umkehrbar, so daß insbesondere f eindeutig durch g

bestimmt ist. Fur Q = lim−→

(D ⊗R N) erhalten wir die Strukurabbildung h :

(lim−→D)×N → lim

−→(D ⊗R N) wie in (i) aus der Identitat auf lim

−→(D ⊗R N).

Alternativ kann man auch allgemein argumentieren, daß linksadjungierte Funk-

toren Kolimites in Kolimites uberfuhren. Das geht unter Verwendung von Satz ??

im wesentlichen so:

HomR((lim−→D)⊗R N, ·) ∼= HomR(lim

−→D,HomR(N, ·))

∼= lim−→

HomR(D,HomR(N, ·))∼= lim−→

HomR(D ⊗R N, ·)∼= HomR(lim

−→(D ⊗R N), ·).

Mit dem Lemma von Yoneda schließt man jetzt (lim−→D)⊗RN ∼= lim

−→(D⊗RN).

Hier sind ein paar einfache Formeln, die bei der Berechnung von vorgelegten

Tensorprodukten hilfreich sind.

8.6 Lemma. Seien M,N Moduln uber R.

(i) Ist N = Rn frei vom Rang eins, so gilt M ⊗RN ∼= M unter m⊗ rn 7→ rm.

Ist N = {0}, so gilt M ⊗R N ∼= {0}.

(ii) Sind die mi und nj ein Erzeugendensystem (eine Basis) von M bzw. N , so

ist mi ⊗ nj ein Erzeugendensystem (eine Basis) von M ⊗R N .

Sind die nj eine Basis von N , so schreibt sich jedes Element aus M ⊗R Nals Summe

∑

j xj ⊗ nj mit eindeutig bestimmten xj ∈M .

(iii) Es gilt (M/I) ⊗R (N/J) ∼= M ⊗R N/(I ⊗ N + M ⊗ J) fur Untermoduln

I ⊆M und J ⊆ N unter (m+ I)⊗ (n+ J) 7→ (m⊗ n) + (I ⊗N +M ⊗ J).

(iv) Es gelte∑

imi ⊗ ni = 0 fur mi ∈ M und ni ∈ N , wobei die ni ein Er-

zeugendensystem von N bilden. Dann gibt es ai,j ∈ R und m′j ∈ M mit

mi =∑

j ai,jm′j und

∑

i ai,jni = 0 fur alle j.


Beweis. (i): Sei N = Ry und h : M ×N →M die durch (x, ry) 7→ rx definierte,

bilineare Abbildung. Jede bilineare Abbildung f : M × N → P liefert mit x 7→f(x, y) eine lineare Abbildung g : M → P mit f = g ◦ h, wobei g wegen der

Surjektivitat von h eindeutig bestimmt ist. Die Eindeutigkeit des Tensorprodukts

ergibt M ∼= M ⊗R N .

Bilineare Abbildungen auf M × {0} sind alles Nullabbildungen, entsprechen

also den linearen Abbildungen auf {0}. Mit der bilinearen Abbildung h : M ×{0} → {0} liefert eine ahnliche Schlußweise wie eben {0} ∼= M ⊗R {0}.

(ii): Fur v =∑

i λimi und w =∑

j µjnj gilt v ⊗ w =∑

i,j λiµj(mi ⊗ nj). Da

jedes Element in M ⊗R N eine Summe von Elementen der Form v ⊗ w ist, folgt

die Aussage uber die Erzeugendensysteme.

Sei N frei mit Basis nj . Aus N = ⊕jRnj folgt M ⊗R N ∼= ⊕j(M ⊗R Rnj) ∼=⊕jM nach Satz 8.4, (ii) und nach (i). Unter den Isomorphismen wird

∑

j xj ⊗nj mit xj ∈ M auf das Element von ⊕jM abgebildet, welches xj an der j-ten

Koordinate enthalt. Die xj sind also durch das Element∑

j xj ⊗ nj eindeutig

bestimmt. Dies zeigt die zweite Aussage in (ii).

Ferner bilden hier die mi⊗nj eine Basis des j-ten Komponentenmodul M , so

daß mi ⊗ nj fur i, j eine Basis von M ⊗R N ist.

(iii): Ergibt sich durch dreimalige Anwendung von Satz 8.4, (iii): Im folgenden

sind die angegebenen”Untermoduln“ geeignet einzubetten. Es gilt M/I⊗N/J ∼=

(M/I⊗N)/(M/I⊗J) (tensorieren mitM/I⊗−) undM/I⊗N ∼= (M⊗N)/(I⊗N)

(tensorieren mit − ⊗ N) und M/I ⊗ J ∼= (M ⊗ J)/(I ⊗ J) (tensorieren mit

− ⊗ J). Wir erhalten M/I ⊗ N/J ∼= ((M ⊗ N)/(I ⊗ N))/((M ⊗ J)/(I ⊗ J)) ∼=(M ⊗N)/(I ⊗N +M ⊗ J), was zu zeigen war.

Eine bilineare Abbildung auf (M/I)× (N/J) entspricht den bilinearen Abbil-

dungen auf M ×N , welche auf I ×N und M × J Null sind, und diese wiederum

entsprechen den linearen Abbildungen auf M ⊗ N , deren Kern I ⊗ N + M ⊗ Jenthalt. Dies verdeutlicht ebenfalls M/I ⊗N/J ∼= M ⊗N/(I ⊗N +M ⊗ J).

(iv): Gibt es solche Elemente ai,j undm′i, so folgt∑

imi⊗ni =∑

i

(∑

j ai,jm′j

)

⊗ni =

∑

jm′j ⊗

(∑

i ai,jni)

= 0.

Fur die Ruckrichtung sei V frei und f : V → N surjektiv, so daß ni = f(gi)

fur eine Basis gi von V gilt. Die Sequenz U → V → N → 0 mit U = ker(f) ist

exakt. Aufgrund von Theorem 8.4, (iii) ist damit auch die Sequenz M ⊗R U →M ⊗R V → M ⊗RN → 0 exakt. Weil das Element

∑

imi⊗gi auf Null abgebildet

wird, gibt es aufgrund der Exaktheit bei V Elemente m′j ∈ M und yj ∈ U

mit∑

imi ⊗ gi =∑

jm′j ⊗ yj. Seien ai,j ∈ R mit yj =

∑

i ai,jgi. Nach dem

Beweis von (ii) folgt aus∑

imi⊗ gi =∑

jm′j ⊗(∑

i ai,jgi)

=∑

i

(∑

j ai,jm′j

)

⊗ gidurch Koeffizientenvergleich, daß

∑

j ai,jm′j = mj ist. Schließlich gilt 0 = f(yj) =

∑

i ai,jni fur alle j.


Die Aussage (iv) fuhrt das Rechnen in Tensorprodukten auf lineare Algebra

zuruck. Die Definition des Tensorprodukts ist dafur nicht besonders geeignet. Die

ai,j konnen nach dem Beweis als”Strukturkonstanten“ gewahlt werden.

Ist R ein Ring und I ein Ideal, so gilt I ⊗R R ∼= I nach (i), denn wegen 1 ∈ Rist R ein freier R-Modul vom Rang eins. Nach (iii) ergibt sich damit speziell

(R/I)⊗R (R/J) ∼= R/(I + J) fur Ideale I, J von R.

Ein paar Beispiele: Z⊗ZZ ∼= Z, Z2⊗ZZ3 ∼= Z6. Weiter Z/6Z⊗ZZ/10Z ∼= Z/2Z

nach der eben gemachten Bemerkung. Ahnlich Z/3Z⊗ 7Z ∼= Z/3Z⊗ Z ∼= Z/3Z.

Es gilt auch 1⊗ 3 = 3⊗ 1 = 0⊗ 1 = 0. Mit diesen Beispielen und Satz 8.4, (ii)

kann man Tensorprodukte von endlich erzeugten Moduln uber Hauptidealringen

nach Satz 4.30 leicht berechnen.

8.7 Satz. Sei M ein R-Modul und I ⊆ R ein Ideal. Dann gilt

(R/I)⊗RM ∼= M/IM

unter der Abbildung (r + I)⊗m 7→ rm+ IM .

Beweis. Wir tensorieren die exakte Sequenz 0→ I → R→ R/I → 0 uber R mit

M und erhalten nach Lemma 8.4, (iii) und Lemma 8.6, (i) die exakte Sequenz

I ⊗R M → M → (R/I) ⊗R M → 0. Das Bild von I ⊗M in M ist hierbei IM .

Die Aussage uber die Abbildung ergibt sich durch Nachverfolgen der einzelnen

Abbildungen in den exakten Sequenzen.

8.2 Induzierte und koinduzierte Moduln

Ist M ein R-Modul und f : R → S ein Ringhomomorphismus (also S eine R-

Algebra), dann ist S auch ein R-Modul und wir konnen S ⊗R M als R-Modul

definieren. Durch s(x ⊗m) = (sx) ⊗m konnen wir S ⊗R M zu einem S-Modul

machen. Dies erlaubt es, den Ring eines Moduls zu wechseln. Eine formalere

Begrundung dieser Konstruktion lautet wie folgt. Durch (s1, s2, m) 7→ (s1s2)⊗mwird eine 3-lineare Abbildung S × S ×M → S ⊗R M definiert. Dies liefert eine

lineare Abbildung S⊗R (S⊗RM)→ S⊗RM und damit eine bilineare Abbildung

S × (S ⊗RM)→ S ⊗RM , (s1, s2 ⊗m) 7→ (s1s2)⊗m.

Eine alternative Konstruktion, welche aus M einen S-Modul macht, geht wie

folgt: Wir betrachten die abelsche Gruppe HomR(S,M) und machen diese fur

f ∈ HomR(S,M) durch (s · f)(x) := f(sx) in einen S-Modul.

Wir bezeichnen S ⊗R M als den entlang f induzierten Modul von M und

HomR(S,M) als den entlang f koinduzierten Modul von M . Die Zuordnungen

M 7→ S ⊗R M und M 7→ HomR(S,M) liefern Funktoren der Kategorie der R-

Moduln in die Kategorie der S-Moduln.

8.2. INDUZIERTE UND KOINDUZIERTE MODULN 233

Wir konnen beide Prozesse in gewissem Sinne auch wieder ruckgangig machen.

Ist N ein S-Modul, so konnen wir N auch als R-Modul mittels r · x := f(r)x fur

x ∈ N auffassen. Diesen Modul bezeichnen wir mitN |R. Die Zuordnung N 7→ N |Rliefert einen Funktor der Kategorie der S-Moduln in die Kategorie der R-Moduln.

8.8 Satz. Sei f : R→ S ein Ringhomomorphismus, M ein R-Modul und N ein

S-Modul. Dann gibt es in M und N funktorielle Isomorphieen abelscher Gruppen

HomS(S ⊗RM,N) ∼= HomR(M,N |R)

HomS(N,HomR(S,M)) ∼= HomR(N |R,M).

Beweis. (Skizze) Die Menge HomS(S⊗RM,N) kann als Menge von R-bilinearen

Abbildungen φ : S ×M → N angesehen werden, fur die zusatzlich φ(s ×m) =

sφ(1 ×m) gilt. So ein φ wird allerdings durch die R-lineare Abbildung ψ(m) =

φ(1×m) definiert, welche ein Element in HomR(M,N |R) ist. Diese Zuordung ist

auch umkehrbar. Daraus ergibt sich die erste Isomorphie.

Die zweite Isomorphie ist wie folgt gegeben. Sei f ∈ HomS(N,HomR(S,M)).

Dann ist das isomorphe Bild g ∈ HomR(N |R,M) von f durch g(x) = f(x, 1)

gegeben. Ist g ∈ HomR(N |R,M), so erhalten wir das isomorphe Urbild f ∈HomS(N,HomR(S,M)) von g durch f(x, s) = g(sx). Man pruft leicht nach, daß

hierdurch ein Isomorphismus gegeben wird.

( Der Satz besagt, daß M 7→ S⊗RM linksadjungierter Funktor zum rechtsad-

jungierten Funktor N 7→ N |R ist, und daß M 7→ HomR(S,M) rechtsadjungierter

Funktor zum linksadjungierten Funktor N 7→ N |R ist. Speziell ist M 7→ S ⊗RMdamit rechtsexakt, M 7→ HomR(S,M) linksexakt und N → N |R exakt.)

Sei S eine R-Algebra, M ein S-Modul und N ein R-Modul. Dann wird M |R⊗RN vermoge s(m ⊗ n) := (sm ⊗ n) zu einem S-Modul, den wir mit M ⊗R Nbezeichnen. Dies ist im allgemeinen ein von S ⊗R (M |R ⊗R N) verschiedener S-

Modul.

8.9 Satz. Sei S eine R-Algebra, M ein S-Modul und N ein R-Modul. Dann gilt

M ⊗S (S ⊗R N) ∼= M ⊗R N

als S-Moduln unter m⊗(s⊗n) 7→ (sm)⊗n. Die Isomorphie ist zudem funktoriell

in M und N .

Beweis. Ahnlich wie bei der Assoziativitat des Tensorprodukts. Die Abbildung

(m, s, n) 7→ (sm)⊗ n ist R-bilinear in s und n und S-bilinear in m und s. Daher

gibt es den S-Homomorphismus m⊗(s⊗n) 7→ (sm)⊗n. Umgekehrt ist (m,n) 7→


m ⊗ (1 ⊗ n) in m und n R-bilinear und in m S-linear. Daher gibt es den S-

Homomorphismus m ⊗ n 7→ m ⊗ (1 ⊗ n). Die beiden S-Homomorphismen sind

invers zueinander, was die Isomorphie beweist.

Die Funktorialitat in M und N ergibt sich aus der konkreten Form der Iso-

morphie zusammen mit den funktoriellen Eigenschaften des Tensorprodukt.

Die Funktoren”Tensorieren“ und

”Induzieren“ vertauschen also in dem im

Satz angegebenen Sinn.

Hier ist noch ein Vergleich induzierter und koinduzierter Moduln furR-Algebren

S, welche als R-Modul frei von endlichem Rang sind.

8.10 Satz. Ist die R-Algebra S als R-Modul frei von endlichem Rang und M ein

R-Modul, so gibt es eine Isomorphie von S-Moduln

S ⊗RM ∼= HomR(S,M).

Beweis. Ubung.

8.3 Lokalisierungen

Sei M ein R-Modul und U eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge mit 1 ∈ Uvon R. Wir definieren die Lokalisierung M [U−1] genau wie R[U−1] als die Menge

der formalen Bruche m/u fur m ∈ M und u ∈ U , wobei m1/u1 = m2/u2 genau

dann gelten soll, wenn es ein v ∈ U mit vu2m1 = vu1m2 gibt. Unter Verwendung

der ublichen Bruchrechentechnik wird M [U−1] ein R[U−1]-Modul. Die Elemente

u/1 mit u ∈ U sind Einheiten in R[U−1], da (u/1)(1/u) = 1 gilt. Wir erhalten

auch eine R-lineare Abbildung h : M → M [U−1], m 7→ m/1. Der Kern von h

besteht genau aus allen denjenigen m ∈M , fur die es ein u ∈ U mit um = 0 gibt.

8.11 Satz. Sei M ein R-Modul und U ⊆ R multiplikativ abgeschlossen. Dann

gilt

R[U−1]⊗RM ∼= M [U−1]

unter der Abbildung (r/u)⊗m 7→ (rm)/u.

Beweis. Sei h : R[U−1]×M →M [U−1] die Multiplikationsabbildung r/u×m 7→(rm)/u und f : R[U−1] ⊗R M → M [U−1] der zugehorige R-lineare Homomor-

phismus (ist auch R[U−1]-linear). Es ist offensichtlich, daß h und f surjektiv sind.

Zum Beweis der Injektivitat von f sei f(∑

i(ri/ui)⊗mi) = 0 mit ri ∈ R, ui ∈ Uund mi ∈M beliebig. Es gibt u ∈ U und m ∈M mit

∑

i(ri/ui)⊗mi = (1/u)⊗m((ri/ui) ⊗ mi = (1/ui)(1 ⊗ rimi) schreiben, ausklammern und auf

”Hauptnen-

ner“ bringen). Da u in R[U−1] eine Einheit ist, folgt aus f((1/u) ⊗ m) = 0

8.3. LOKALISIERUNGEN 235

durch Multiplikation mit u bereits uf((1/u)(1 ⊗ m)) = f(u(1/u)(1 ⊗ m)) =

f(1 ⊗ m) = m/1 = 0 in M [U−1]. Es gibt also v ∈ U mit vm = 0 und daher

v(1⊗m) = 1⊗ (vm) = 1⊗ 0 = 0. Da v in R[U−1] eine Einheit ist, gilt 1⊗m = 0

und auch (1/u)⊗m = 0 in R[U−1]⊗RM .

Lokalisieren entspricht also dem Tensorieren mit R[U−1] uber R und ist da-

mit ein Funktor. Zu einem Homomorphismus f : M → N gibt es also einen

Homomorphismus g : M [U−1]→ N [U−1] mit m/u 7→ f(m)/u.

8.12 Satz. Sei 0 → I → M → N eine exakte Sequenz. Dann ist auch die

zugehorige, lokalisierte Sequenz 0→ I[U−1]→M [U−1]→ N [U−1] exakt.

Beweis. Seien f1 : I → M und f2 : M → N die Homomorphismen aus der

exakten Sequenz und seien g1 : I[U−1]→M [U−1] und g2 : M [U−1]→ N [U−1] die

zugehorigen lokalisierten Homomorphismen.

Wir zeigen zuerst, daß g1 injektiv und die Sequenz somit bei I[U−1] exakt ist.

Ist m/u ∈ ker(g1), so gilt g1(m/u) = f1(m)/u = 0 und daher gibt es ein v ∈ Umit vf1(m) = 0. Es folgt f1(vm) = 0 und wegen der Injektivitat von f1 auch

vm = 0. Somit gilt m/u = 0 und die Sequenz ist bei I[U−1] exakt.

Fur jeden Monomorphismus φ : I → M ist die Sequenz 0 → I → M →M/φ(M) mit der Nullabbildung, φ und dem kanonischen Epimorphismus exakt.

Nach dem vorhergehenden Absatz uberfuhrt Lokalisieren also Monomorphismen

in Monomorphismen.

Die Exaktheit bei M [U−1] ergibt sich durch konkretes Nachrechnen wie oben

oder allgemein aus der Rechtsexaktheit des Lokalisierens bzw. des Tensorprodukts

wie folgt. Wir konnen f2 in der Form i◦f ′2 mit f ′2 : M → f2(M) und i : f2(M)→ N

schreiben. Seien g′2 : M [U−1] → f2(M)[U−1] und j : f2(M)[U−1] → N [U−1]

die lokalisierten Homomorphismen. Dann gilt wegen der Funktoreigenschaft des

Lokalisierens bzw. des Tensorprodukts g2 = j ◦ g′2. Mit i ist auch j nach dem

bereits Bewiesenen ein Monomorphismus. Also folgt ker(g′2) = ker(g2). Die exakte

Sequenz I →M → f2(M)→ 0 mit f1, f′2 und der Nullabbildung geht wegen der

Rechtsexaktheit des Tensorprodukts in die exakte Sequenz I[U−1]→ M [U−1] →f2(M)[U−1] → 0 mit g1, g

′2 und der Nullabbildung uber. Also gilt ker(g2) =

ker(g′2) = im(g1) und wir erhalten die Exaktheit unserer Ausgangssequenz bei

M .

Satz 8.12 und Satz 8.4, (iv) bedeuten, daß Lokalisieren ein exakter Funktor

ist. Ein exakter Funktor erhalt Kerne und Kokerne.

Hier ist eine Anwendung des Lokalisierens: Nach der obigen Aussage uber

den Kern der Lokalisierungsabbildung h kann ein torsionsfreier Modul M uber

einem Integritatsring R in den Vektorraum Quot(R) ⊗R M eingebettet werden.


Bei der Untersuchung von solchen Moduln M konnen wir also bei Bedarf auf

einen umgebenden Vektorraum zuruckgreifen.

Sei M ein R-Modul und p ein Primideal von R. Sei U = R\p. Wir definieren

dann die Lokalisierung von M bei p als Mp = M [U−1]. Dies ist ein Rp-Modul. Ist

N ein weiterer R-Modul und φ : M → N ein Homomorphismus, so erhalten wir

durch Lokalisieren den Homomorphismus φp : Mp→ Np.

Fur f ∈ R sei U = {f i | i ∈ Z≥0}. Wir definieren die Lokalisierung von M

an f als Mf = M [U−1]. Dies ist ein Rf -Modul, wobei Rf = R[U−1]. Ist N ein

weiterer R-Modul und φ : M → N ein Homomorphismus, so erhalten wir durch

Lokalisieren den Homomorphismus φf : Mf → Nf .


(i) Fur m ∈M ist m = 0 genau dann, wenn m/1 = 0 in Mm fur jedes maximale

Ideal m von R gilt.

(ii) Es ist M = 0 genau dann, wenn Mm = 0 fur jedes maximale Ideal m von R

gilt.

Sei φ : M → N ein Homomorphismus der R-Moduln M und N und sei E eine der

Eigenschaften”Isomorphismus“,

”Monomorphismus“,

”Epimorphismus“. Seien

fi, gi ∈ R mit 1 =∑

i figi. Dann sind aquivalent:

(iii) Der Homomorphismus φ besitzt die Eigenschaft E.

(iv) Die Homomorphismen φfibesitzen die Eigenschaft E.

(v) Die Homomorphismen φm besitzen die Eigenschaft E fur alle maximalen

Ideale m von R.

Beweis. (i): Das Element m/1 ist genau dann Null in Mm, wenn es ein u ∈ R\mmit um = 0 gibt, und dies ist aquivalent zur Bedingung AnnR(m) 6⊆ m. Nun gilt

m = 0 genau dann, wenn AnnR(m) = R ist, und dieses gilt genau dann, wenn

AnnR(m) 6⊆ m fur alle maximalen Ideale m gilt.

(ii): Folgt aus (i).

(iii)⇒ (iv): Klar, da Lokalisieren an fi ein exakter Funktor ist.

(iv) ⇒ (v): Fur jedes m gibt es ein fi mit fi ∈ R\m, da das von den fierzeugte Ideal ganz R ist. Sei m′ das von m in Rfi

erzeugte, maximale Ideal.

Dann gilt φm = (φfi)m′ und die Aussage folgt, da Lokalisieren bei m′ ein exakter

Funktor ist.

(v) ⇒ (iii): Sei E =”Monomorphismus“. Der Homomorphimus φ ist genau

dann ein Monomorphismus, wenn ker(φ) = 0 gilt. Da Lokalisieren Kerne in Kerne

8.4. FLACHE MODULN 237

uberfuhrt, gilt 0 = ker(φm) = ker(φ)m fur alle maximalen Ideale m, also ker(φ) = 0

nach (ii).

Sei E =”Epimorphismus“. Der Homomorphimus φ ist genau dann ein Epi-

morphismus, wenn coker(φ) = 0 gilt. Da Lokalisieren Kokerne in Kokerne uberfuhrt,

gilt 0 = coker(φm) = coker(φ)m fur alle maximalen Ideale m, also coker(φ) = 0

nach (ii).

Die Aussage fur E =”Isomorphismus“ folgt aus der fur

”Monomorphismus“

und”Epimorphismus“.

8.4 Flache Moduln

Ist I ⊆ R ein Ideal, so motivieren Satz 8.7 und Satz 8.11 auch die Formel

I ⊗R M ∼= IM , wobei der Isomorphismus durch die Multiplikationsabbildung

i⊗m 7→ im gegeben sein sollte. Dies ist jedoch im allgemeinen falsch, die Abbil-

dung ist zwar immer surjektiv (wegen der Rechtsexaktheit des Tensorprodukts,

oder auch direkt einsichtig), aber nicht unbedingt injektiv. Fur I = Ra gilt zum

Beispiel I ⊗R (R/I) ∼= R ⊗R (R/I) ∼= R/I, aber I(R/I) = {0}. Insbesondere ist

das Bild von I ⊗R (R/I) in R ⊗R (R/I) gleich Null, denn in R ⊗R (R/I) gilt

ra⊗x = r⊗ax = r⊗0 = 0. Man mache sich klar, daß man in I⊗R (R/I) so nicht

rechnen kann und vergleiche mit dem Kriterium in Lemma 8.6, (iv). Die injektive

Abbildung I → R wurde also durch Tensorierung mit R/I in eine nicht injektive

Abbildung uberfuhrt (nach Satz 8.4, (iii) kann dies mit surjektiven Abbildun-

gen nicht passieren). Dieses Verhalten wird zum Anlaß der folgenden Definition

genommen.

8.14 Definition. Sei M ein R-Modul. Dann heißt M flach, wenn injektive Ab-

bildungen zwischen beliebigen R-Moduln durch Tensorieren mit M wieder in in-

jektive Abbildungen uberfuhrt werden.

Anders ausgedruckt: M heißt flach, wenn Tensorieren mitM ein exakter Funk-

tor ist.

Die Aquivalenz der beiden Definitionsvarianten in Definition 8.14 folgt aus der

Rechtsexaktheit des Tensorprodukts.

8.15 Satz. Ein R-Modul M ist genau dann flach, wenn die Multiplikationsabbil-

dung i ⊗m 7→ im einen Isomorphismus I ⊗R M ∼= IM fur alle Ideale I von R

ergibt.

Beweis. Wird ausgelassen.

Ein Ausdruck∑

i λimi in IM mit λi ∈ I und mi ∈ M soll also genau dann

Null sein, wenn dies aufgrund R-bilinearer Relationen der Fall ist. Der Modul IM


soll in diesem Sinn also keine Relationen außer den Relationen der Bilinearitat

zwischen I und M enthalten. Wir verwenden diesen Satz aber nicht weiter.

Ist U ein Untermodul und direkter Summand des R-Moduls M , so erhalten

wir durch Tensorieren der Inklusion U → M mit einem R-Modul N stets eine

Inklusion U ⊗R N → M ⊗R N . Denn nach Lemma 8.4, (ii) erhalten wir fur V

mit M ∼= U ⊕ V einen Isomorphismus (U ⊗R N)⊕ (V ⊗R N)→M ⊗R N , dessen

Einschrankung auf U ⊗RN gerade unsere Abbildung U ⊗RN →M ⊗RN ergibt.

Grob gesagt verlieren beliebige Monomorphismen U → M durch Tensorieren

mit N ihre Injektivitat genau dann, wenn Elemente x ∈ U durch Einbetten nach

M zu Vielfachen x = ry mit y ∈M und r ∈ R werden, wobei y nicht im Bild von

U in M und r im Annulator von Elementen n aus N liegt. Genauer sind x, y durch

xi, yi und r durch eine Matrix (ri,j)i,j und n durch nj zu ersetzen. Vergleiche mit

dem Kriterium aus Lemma 8.6, (iv).

8.16 Definition. Ist S eine R-Algebra und ist S als R-Modul flach, so nennen

wir S eine flache R-Algebra. Ist f : R→ S ein Ringhomomorphismus, so nennen

wir f flach, wenn die zugehorige R-Algebra S flach ist.

8.17 Satz. Es gelten die folgenden Aussagen:

(i) Fur die R-Moduln Mi ist M =∐

iMi genau dann flach, wenn jedes Mi

flach ist.

(ii) Sind M und N flache R-Moduln, dann ist auch M ⊗R N ein flacher R-

Modul.

(iii) Ist S eine R-Algebra und N ein flacher R-Modul, so ist S⊗RN ein flacher

S-Modul.

(iv) Ist S eine flache R-Algebra und N ein flacher S-Modul, so ist N |R ein

flacher R-Modul.

Beweis. (i): Sei h : N → P ein Homomorphismus. Durch Tensorieren erhalten

wir f : N ⊗RM → P ⊗RM und fi : N ⊗RMi → P ⊗RMi. Nach Lemma 8.4, (ii)

gilt N ⊗R M ∼=∐

i(N ⊗R Mi) und P ⊗R M ∼=∐

i(P ⊗R Mi). Fassen wir damit

die N ⊗R Mi und P ⊗R Mi als Untermoduln von N ⊗R M und P ⊗R M auf, so

stimmen f eingeschrankt auf N ⊗R Mi und fi uberein. Dann ist f genau dann

injektiv, wenn alle fi injektiv sind, und dies beweist die Aussage.

(ii): Tensorieren mit M ⊗RN entspricht Tensorieren mit M und anschließend

Tensorieren mit N . Da · ⊗R M und · ⊗R N exakt sind, ist auch · ⊗R (M ⊗R N)

exakt.

8.5. FREIE MODULN 239

(iii): Tensorieren uber S mit S ⊗R N ist nach Satz 8.9 das gleiche wie Tenso-

rieren uber R mit N . Da N flach ist, ist Tensorieren uber R mit N exakt. Also

ist Tensorieren uber S mit S ⊗R N ebenfalls exakt.

(iv): Sei M ein R-Modul. Nach Satz 8.9 gilt dann (mit M und N vertauscht)

die in M funktorielle Isomorphie M ⊗R N ∼= (M ⊗R S)⊗S N als S-Moduln und

somit auch als R-Moduln. Nach Voraussetzung sind ·⊗RS und ·⊗SN exakt, also

ist auch · ⊗R N exakt.

Als Beispiel zu (i) sind alle freien R-Moduln flach, da R als R-Modul flach ist.

Ein endlich erzeugter Modul uber einem Hauptidealring ist damit nach Satz 4.28,

(ii) genau dann flach, wenn er torsionsfrei ist. Nach Satz 8.12 ist eine Lokalisierung

R[U−1] als R-Modul stets flach.

EinR-ModulM heißt endlich prasentiert, wenn es einen Epimorphismus Rn →M mit n <∞ und endlich erzeugtem Kern gibt.

Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus, so daß S eine R-Algebra wird,

und seien M , N zwei R-Moduln. Tensorieren mit S uber R liefert einen R-

Homomorphismus HomR(M,N) → HomS(S ⊗R M,S ⊗R N) mit f 7→ id ⊗ f .

Da der Wertebereich ein S-Modul ist, faktorisiert dieser Homomorphismus nach

Satz 8.8 eindeutig durch den S-Homomorphismus φ : S ⊗R HomR(M,N) →HomS(S ⊗R M,S ⊗R N) mit s⊗ f 7→ s(id⊗ f).

8.18 Satz. Sei S als R-Modul flach und M endlich prasentiert. Dann liefert φ

einen Isomorphismus

S ⊗R HomR(M,N) ∼= HomS(S ⊗R M,S ⊗R N).

Beweis. Soll noch eingegeben werden.

Eine spezielle Anwendung des Satzes ergibt sich fur S = R[U−1], so daß wir

mit φ einen Isomorphismus HomR(M,N)[U−1] ∼= HomR[U−1](M [U−1], N [U−1]) er-

halten. Beispielsweise gibt es damit fur jeden Homomorphismus f : M [U−1] →N [U−1] ein u ∈ U und g : M → N mit uf(m) = g(m) in N [U−1] fur alle

m ∈ M . Es kann also aus der Existenz von Homomorphismen lokalisierter Mo-

duln in gewisser Weise auf die Existenz dazu passender Homomorphismen der

Ausgangsmoduln geschlossen werden.

8.5 Freie Moduln

In diesem Abschnitt diskutieren wir ein paar weitere Aspekte und Eigenschaften

freier Moduln.


Satz 4.9, (ii) hatte zum Inhalt, daß die Kardinalitaten beliebiger Basen eines

R-Moduls fur einen kommutativen Ring R ubereinstimmen. Fur nicht kommuta-

tive Ringe ist dies im allgemeinen nicht richtig. Sei zum Beispiel V ein unendlich

dimensionaler K-Vektorraum. Dann gibt es einen Isomorphismus f : V ⊕V → V .

Wir bezeichnen mit ι1, ι2 : V → V ⊕V die Einbettung in den ersten bzw. zweiten

Summand. Wir erhalten Vektorraumisomomorphismen EndK(V ) ∼= HomK(V ⊕V, V ) durch g 7→ g ◦ f und HomK(V ⊕ V, V ) ∼= EndK(V ) × EndK(V ) durch

h 7→ (h ◦ ι1, h ◦ ι2). Mit R = EndK(V ) liefert dies zusammen einen Vektor-

raumisomorphismus ψ : R → R × R. Werden R und R × R in der naturli-

chen Weise als R-Moduln aufgefaßt, so ist ψ sogar R-linear: Fur r, g ∈ R gilt

rψ(g) = (r ◦ g ◦ f ◦ ι1, r ◦ g ◦ f ◦ ι2) = ψ(rg). Somit besitzt R als R-Modul eine

einelementige und eine zweielementige Basis (”Eilenberg Schwindel“).

Freie Moduln besitzen die folgende Eigenschaft, wie in Satz 4.9, (i) gezeigt

wurde: Sei B eine Basis des R-Moduls M und N irgendein weiterer R-Modul.

Fur jede Abbildung von Mengen f : B → N gibt es genau ein Element in

HomR(M,N), welches f fortsetzt. Ahnlich verhalt es sich ubrigens auch bei Poly-

nomringen (die”frei“ erzeugten Ringen entsprechen) und dem Einsetzhomomor-

phismus. Hier sind zwei weitere Eigenschaften, die darauf aufbauen.

8.19 Satz. Sei N ein R-Modul.

(i) Es gibt einen freien R-Modul M und einen Epimorphimus f : M → N , so

daß N ∼= M/ ker(f).

(ii) Ist M ein freier R-Modul und f : N → M ein Epimorphismus, so gibt es

ein g : M → N mit f ◦ g = idM .

Beweis. (i) : Sei B ein Erzeugendensystem von N und M =∐

b∈B R. Wir de-

finieren f durch f((λb)b∈B) =∑

b∈B λbb. Dies Isomorphie folgt aus dem ersten

Isomorphiesatz.

(ii): Fur jedes Basiselement b ∈ B wahlen wir ein Urbild c ∈ f−1(b) und

definieren g0(b) = c. Dies liefert g0 : B → N und dann g : M → N .

Hier sind die zu Satz 8.17 analogen Aussagen fur”frei“ statt

”flach“.



iMi frei, wenn jedes Mi frei ist.

(ii) Sind M und N freie R-Moduln, dann ist auch M ⊗RN ein freier R-Modul.

(iii) Ist S eine R-Algebra und N ein freier R-Modul, so ist S ⊗R N ein freier

S-Modul.

8.6. PROJEKTIVE MODULN 241

(iv) Ist S eine freie R-Algebra und N ein freier S-Modul, so ist N |R ein freier

R-Modul.

Beweis. (i): Die Vereinigung der Basen der Mi liefert eine Basis von M .

(ii) und (iii): Folgen aus Satz 8.4, (iii) und Lemma 8.6, (ii).

(iv): Analog wie im Gradsatz: Sind die nj eine S-Basis von N und die si eine

R-Basis von S, so sind die sinj eine R-Basis von N .

Die Umkehrung der Aussage (i) ist im allgemeinen falsch. Es gibt Ringe R und

Ideale I, J von R, so daß R⊕R ∼= I⊕J gilt, aber I und J nicht frei sind. Speziell

durfen I, J hier keine Hauptideale sein. Konkrete Beispiele kommen spater.

8.6 Projektive Moduln

Die Definition von”frei“ benotigt explizit Elemente von M . Auf der anderen

Seite wird in Satz 8.19, (ii) eine nutzliche,”elementfreie“ Eigenschaft angegeben.

Diese macht somit auch in allgemeinerem kategoriellen Rahmen Sinn und man

macht sie zur Grundlage einer weiteren Definition. Wie sich herausstellt, ist diese

Eigenschaft echt schwacher als”frei“.

8.21 Definition. Sei M ein R-Modul. Dann heißt M projektiv, wenn es fur jeden

R-Modul N und Epimorphismus f : N →M einen Homomorphismus g : M → N

mit f ◦ g = idM gibt.

Der Homomorphismus g ist wegen f ◦ g = idM injektiv.

8.22 Satz. Sei M ein R-Modul. Dann sind aquivalent.

(i) M ist projektiv.

(ii) Es gibt einen R-Modul U und einen freien R-Modul N mit M ⊕ U ∼= N .

(iii) Es gibt ein Erzeugendensystem B von M und”Koordinatenfunktionale“

λb ∈ HomR(M,R) mit x =∑

b∈B λb(x)b.

(iv) Seien N1, N2 beliebige R-Moduln und f ∈ HomR(N1, N2) ein Epimorphis-

mus. Fur jedes g ∈ HomR(M,N2) gibt es ein h ∈ HomR(M,N1) mit g =

f ◦ h.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Nach Satz 8.19, (ii) gibt es einen freien R-Modul N und

einen Epimorphismus f : N → M . Wegen (i) gibt es einen Monomorphismus

g : M → N mit f ◦ g = idM . Fur den Untermodul U = {x− g(f(x)) | x ∈ N} ⊆


ker(f) gilt dann g(M) + U = N und g(M) ∩ U ⊆ g(M) ∩ ker(f) = {0}, also

N = g(M)⊕ U ∼= M ⊕ U .

(ii) ⇒ (iii): Nach (ii) gibt es einen freien R-Modul N , einen Epimorphis-

mus f : N → M mit ker(f) = U und einen Monomorphismus g : M → N mit

f ◦ g = idM . Seien die ai eine Basis von N . Dann sind die bi = f(ai) ein Er-

zeugendensystem von M , weil f surjektiv ist. Da die ai eine Basis bilden, gibt es

Koordinatenfunktionale µi ∈ HomR(N,R) mit y =∑

i µi(y)ai fur alle y ∈ N . Wir

definieren λi ∈ HomR(M,R) durch λi(x) = µi(g(x)). Wegen g(bi) − ai ∈ ker(f)

gilt dann g(x −∑i λi(x)bi) ∈ g(x) −∑i µi(g(x))ai + ker(f) = ker(f). Wegen

g(M) ∩ ker(f) = {0} folgt g(x −∑i λi(x)bi) = 0. Da g injektiv ist, ergibt sich

x−∑i λi(x)bi = 0 und damit (iii).

(iii) ⇒ (iv): Sei B ein Erzeugendensystem mit Koordinatenfunktionalen λbfur b ∈ B wie in (iii). Wir wahlen fur jedes b ∈ B ein yb ∈ f−1(g(b)). Dies

ist moglich, da f surjektiv ist. Wir definieren dann h ∈ HomR(M,N1) durch

h(x) =∑

b λb(x)yb. Nach Definition sind die λb R-linear und fur fast alle b ∈ Bgilt λb(x) = 0. Daher ist h wohldefiniert und ein Element von HomR(M,N1).

Weiter gilt f(h(x)) =∑

b λb(x)f(yb) =∑

b λb(x)g(b) = g(∑

b λb(x)b) = g(x), also

wie gewunscht f ◦ h = g.

(iv)⇒ (i): Sei f : N →M der Epimorphismus aus (i) bzw. der Definition 8.21.

Wir wenden (iv) mit N1 = N , N2 = M und g = idM an und erhalten direkt

Aussage (i).

Satz 8.22, (iii) ist eine Verallgemeinerung der Aussage fur freie Moduln M ,

daß man einen Homomorphismus f : M → N durch seine Werte auf einer Basis

von M definieren kann.

Ist M ein R-Modul, so ist der Funktor HomR(M, ·) linksexakt. Satz 8.22, (iv)

laßt sich damit folgendermaßen umformulieren:

8.23 Korollar. Ein R-Modul M ist genau dann projektiv, wenn der Funktor

HomR(M, ·) exakt ist.

Beweis. Da HomR(M, ·) linksexakt ist, muß fur Exaktheit nur noch nachgewiesen

werden, daß surjektive Abildungen in surjektive Abbildungen uberfuhrt werden.

Das ist aber genau die Aussage von (iv).

Hier sind die zu Satz 8.17 analogen Aussagen fur”projektiv“ statt

”flach“.



iMi genau dann projektiv, wenn jedes Mi

projektiv ist.

8.7. SATZ VON CAYLEY-HAMILTON UND LEMMA VON NAKAYAMA 243

(ii) Sind M und N projektive R-Moduln, dann ist auch M ⊗RN ein projektiver

R-Modul.

(iii) Ist S eine R-Algebra und N ein projektiver R-Modul, so ist S ⊗R N ein

projektiver S-Modul.

(iv) Ist S eine projektive R-Algebra und N ein projektiver S-Modul, so ist N |Rein projektiver R-Modul.

Beweis. (i): Folgt direkt aus Satz 8.22, (ii) und Satz 8.20, (i).

(ii) und (iii): Folgen aus Satz 8.22, (ii), Satz 8.4, (iii) und Satz 8.20, (ii) und

(iii).

(iv): Ahnlich wie im Gradsatz: Seien die nj ein Erzeugendensystem von N mit

den Koordinatenfunktionalen λj ∈ HomS(N, S) und die si ein Erzeugendensystem

von S mit den Koordinatenfunktionalen µi ∈ HomR(S,R). Dann sind die simj

ein Erzeugendensystem mit den Koodinatenfunktionalen µi ◦ λj ∈ HomR(N,R).

Nach Satz 8.22, (iii) ist N als R-Modul also projektiv.

8.7 Satz von Cayley-Hamilton und Lemma von

Nakayama

Im folgenden bezeichnet R wieder einen kommutativen Ring mit 1.

8.25 Satz (Cayley-Hamilton). Sei M ein von n Elementen erzeugter R-Modul

und I ein Ideal von R. Sei φ ∈ EndR(M) ein Endomorphismus von M . Gilt

φ(M) ⊆ IM, so gibt es ein f =∑n

i=0 λn−ixi ∈ R[x] mit λ0 = 1, λi ∈ I i fur

0 ≤ i ≤ n und f(φ) = 0 in EndR(M).

Beweis. Seien m1, . . . , mn Erzeuger von M . Nach Voraussetzung existiert ein

A = (ai,j)i,j ∈ In×n mit φ(mi) =∑n

j=1 ai,jmj fur alle 1 ≤ i ≤ n. Vermoge

g(x)m := g(φ)(m) wird M zu einem R[x]-Modul. Dann gilt x(m1, . . . , mn)t =

A(m1, . . . , mn)t und (xIn−A)(m1, . . . , mn)

t = 0. Durch Multiplikation dieser Glei-

chung von links mit der Pseudoinversen von xIn−A (siehe Satz 4.18, (ii)) erhalten

wir det(xIn−A)(m1, . . . , mn)t = 0. Setze f =

∑ni=0 λn−ix

i = det(xIn−A) ∈ R[x].

Die mi sind ein Erzeugendensystem von M , es folgt also fM = 0 und damit

f(φ) = 0 in EndR(M). Durch direktes Ausrechnen der Koeffizienten λi von f

mittels der Leibnizregel ergibt sich, daß f in der Tat normiert vom Grad n ist

und daß λi ∈ I i gilt.

Ist M ein freier Modul vom Rang n und sind die yj fur j ∈ J ein Erzeugen-

densystem von M , so gilt #J ≥ n (vgl. Satz 4.9). Das folgende Korollar zeigt,

daß die yj fur #J = n bereits eine Basis von M bilden.


8.26 Korollar. Sei M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann gilt:

(i) Ist ψ ∈ EndR(M) ein Epimorphismus, so ist ψ bereits ein Isomorphismus.

(ii) Ist M frei vom Rang n, so ist jedes Erzeugendensystem von M bestehend

aus n Elementen eine Basis von M .

Beweis. Ubungsaufgabe.

Ist R ein Korper, so ist M ein Vektorraum und ist daher stets frei. Hier gelten

die folgenden beiden Aussagen: Jedes Erzeugendensystem enthalt eine Basis, und

jeder Monomorphismus in EndR(M) eines endlich erzeugten M ist ein Isomor-

phismus. Fur beliebige R-Modul gelten diese Aussagen nicht mehr. Zum Beispiel

ist {2, 3} ein Erzeugendensystem des Z-Moduls Z, enthalt aber keine Basis. Auch

liefert x 7→ 2x einen Monomorphismus aus EndZ(Z), welcher kein Isomorphismus

ist.

8.27 Definition. Das Jacobsonradikal J von R ist der Schnitt aller maximalen

Ideale von R. Das Radikal Rad(R) von R ist der Schnitt aller Primideale von R.

Das Radikal von R wird manchmal auch Nilradikal genannt. Das Jacobson-

radikal J und das Radikal Rad(R) von R sind Ideale von R. Es gilt J = {r ∈R | 1 + rs ∈ R× fur alle s ∈ R} und Rad(R) = {r ∈ R | rn = 0 fur ein n ∈ Z≥1}.

8.28 Lemma (Nakayama). Sei M ein endlich erzeugter Modul und I ein Ideal,

welches im Jacobsonradikal von R enthalten ist. Gilt M = N + IM fur einen

Untermodul N von M , dann folgt M = N .

Beweis. Wir beweisen die Aussage zunachst fur N = 0, es gelte also IM = M .

Wir wenden Satz 8.25 auf φ = idM an und erhalten f(x) = xn − g(x) ∈ R[x] mit

g ∈ I[x] und f(1)M = 0. Fur r = g(1) gilt also r ∈ I und f(1)M = (1−r)M = 0.

Da r nach Voraussetzung in jedem maximalen Ideal von R enthalten ist, gilt

1− r ∈ R×. Es folgt M = (1− r)M = 0.

Sei nun M = N + IM . Faktorisieren nach N liefert M/N = I(M/N), also

M/N = 0 und daher M = N .

Eine mogliche Anwendung von Lemma 8.28 ist die folgende: Sind die Klassen

von n1, . . . , nm ∈ M ein Erzeugendensystem von M/IM , so sind die n1, . . . , nmein Erzeugendensystem von M . Allerdings darf man bei dieser Schlußweise nicht

vergessen, daß M als endlich erzeugt vorauszusetzen ist.

8.8. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN MODULEIGENSCHAFTEN UND

LOKAL-GLOBAL AUSSAGEN 245

8.8 Beziehungen zwischen den Moduleigen-

schaften und lokal-global Aussagen

Sei M ein R-Modul. Fur a ∈ R sei Ia = {b ∈ R | ab = 0}. Dann ist Ia ein Ideal von

R und IaM ist ein Untermodul von M , der durch a annulliert wird. Wir nennen

M im wesentlichen torsionsfrei, wenn fur jedes a ∈ R\{0} und jedes x ∈ M aus

ax = 0 bereits x ∈ IaM folgt. Fur einen Integritatsring R ist M genau dann im

wesentlichen torsionsfrei, wenn M torsionsfrei ist.

8.29 Satz. Sei M ein R-Modul. Dann gilt

M frei ⇒M projektiv ⇒M flach .

Ein projektiver Modul ist torsionsfrei. Ein flacher R-Modul M ist im wesentlichen

torsionsfrei.

Beweis. Die erste Implikation folgt direkt aus Satz 8.22, (ii) mit U = {0}.Die zweite Implikation folgt aus Satz 8.22, (ii) und Satz 8.17, (i). Damit ist

M als direkter Summand eines freien und damit flachen Moduls selbst flach.

Ein freier Modul ist torsionsfrei. Ein projektiver Modul ist als Unternmodul

eines freien Moduls daher dann auch torsionsfrei.

Wir beweisen schließlich, daß flache Moduln im wesentlichen torsionsfrei sind.

Sei a ∈ R. Dann ist Ia der Kern von R→ Ra, x 7→ ax, und es gilt Ra ∼= R/Ia und

Ra ⊗R M ∼= R/Ia ⊗R M ∼= M/IaM . Tensorieren der exakten Inklusionssequenz

0 → Ra → R mit M liefert damit die exakte Sequenz 0 → M/IaM → M nach

Lemma 8.6, (i), wobei der rechte Monomorphismus durch x+ IaM 7→ ax gegeben

ist. Also folgt aus ax = 0 bereits x ∈ IaM , so daß M im wesentlichen torsionsfrei

ist.

Wir wollen im folgenden die Eigenschaften”frei“,

”projektiv“ und

”flach“ glo-

bal und lokal vergleichen, und zwar hauptsachlich unter der Voraussetzung, daß

die Moduln endlich erzeugt oder endlich prasentiert sind.

8.30 Definition. Ein R-Modul M heißt lokal frei, wenn Mp ein freier Rp-Modul

fur alle Primideale p von R ist. Analog definieren wir lokal projektiv und lokal

flach.

8.31 Lemma. Sei M ein R-Modul.

(i) Ein Modul M ist genau dann lokal frei (projektiv, flach), wenn Mm frei

(projektiv, flach) fur alle maximalen Ideale von R ist.

(ii) Ein freier (projektiver, flacher) Modul M ist lokal frei (projektiv, flach).


Beweis. Wir machen eine Vorbemerkung: Die Aussage (iii) der Satze 8.20, 8.24

und 8.17 impliziert, daß die Eigenschaften frei, projektiv und flach unter Lokali-

sieren erhalten bleiben.

(i): Fur jedes Primideal gibt es ein maximales Ideal m, so daß Mp nur eine

weitere Lokalisierung von Mm ist. Aus der Vorbemerkung folgt damit die Aussage.

(ii): Ergibt sich unmittelbar aus der Vorbemerkung.

8.32 Satz. Sei R ein lokaler Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann

gilt

M ist frei⇔ M ist projektiv⇔M ist flach.

Beweis. Wegen Satz 8.29 ist nur zu zeigen, daß aus M flach bereits M frei folgt.

Sei m das maximale Ideal von R und seien x1, . . . , xn ∈M , so daß die Klassen

xi = xi+mM eine Basis des mit M endlich erzeugten R/m-Vektorraums M/mM

bilden. Wir zeigen, daß die xi eine Basis von M sind.

Sei N =∑

iRxi. Dann gilt M = N + mM , und nach dem Lemma 8.28 folgt

M = N , also sind die xi ein Erzeugendensystem von M .

Zum Beweis der Basiseigenschaft zeigen wir jetzt, daß fur in M/mM linear

unabhangige, nicht notwendig erzeugende xi die xi linear unabhangig in M sind.

Wir schicken wir eine Bemerkung voraus. Seien λi ∈ R mit∑n

i=1 λixi = 0. Sei

I =∑n

i=1Rλi. Dann ist das Bild von∑n

i=1 λi ⊗ xi unter dem Homomorphismus

I ⊗R M → R⊗R M = M gleich∑n

i=1 λixi = 0. Da die Inklusion I → R injektiv

und M flach ist, ist dieser Homomorphismus ebenfalls injektiv und es muß bereits∑n

i=1 λi ⊗ xi = 0 gelten. Nach Lemma 8.6, (iv) angewendet fur N = I gibt es

ai,j ∈ R und yj ∈M mit xi =∑m

j=1 ai,jyj und∑n

i=1 ai,jλi = 0 fur alle j.

Um aus dieser Vorbemerkung auf die lineare Unabhangigkeit der xi zu schlie-

ßen, verwenden wir Induktion uber ihre Anzahl n. Fur n = 1 gelte λ1x1 = 0. Nach

der Vorbemerkung gilt dann x1 =∑m

j=1 a1,jyj und a1,jλ1 = 0 fur alle j. Wegen

x1 6∈ mM gibt es ein j mit a1,j 6∈ m. Dann gilt a1,j ∈ R× und aus a1,jλ1 = 0 folgt

λ1 = 0.

Sei nun n > 1. Nach der Vorbemerkung gilt xi =∑m

j=1 ai,jyj und∑n

i=1 ai,jλi =

0 fur alle j und mit yi ∈M , ai,j ∈ R. Da xn 6∈ mM ist, gibt es j mit an,j 6∈ m. Also

ist an,j ∈ R× und es gilt λn =∑n−1

i=1 (−ai,j/an,j)λi =∑n−1

i=1 biλi mit bi = −ai,j/an,j.Dann folgt 0 =

∑ni=1 λixi =

∑n−1i=1 λi(xi + bixn). Die x1 + b1xn, . . . , xn−1 +

bn−1xn sind linear unabhangig in M/mM . Nach Induktionsvoraussetzung sind

x1, . . . , xn−1 also linear unabhangig in M . Daraus folgt λi = 0 fur 1 ≤ i ≤ n − 1

und λn =∑n−1

i=1 biλi = 0. Damit sind die x1, . . . , xn linear unabhangig.

Die Voraussetzung an die endliche Erzeugung ist notwendig: Fur R = Z(p) ist

R zwar lokal und M = Q als R-Modul flach, aber M ist nicht frei.

Der folgende Satz enthalt den lokal-global Vergleich fur die Eigenschaft”flach“.




(i) M ist genau dann flach, wenn M lokal flach ist.

(ii) Ist M endlich erzeugt, so ist M genau dann flach, wenn M lokal frei ist.

Beweis. (i): Die Implikation ⇒ folgt aus Lemma 8.31. Fur die Implikation ⇐sei M lokal flach. Sei φ : N → P ein Monomorphismus und p ein Primideal.

Sei φ1 : N ⊗R M → P ⊗R M . Nach Voraussetzung ist Mp flach uber Rp. Da

Rp flach uber R ist, ist Mp nach Satz 8.17, (ii) auch flach uber R. Daher ist

φ2 : N⊗RMp→ P⊗RMp ein Monomorphismus. Mit Satz 8.4, (i) und (ii) erhalten

wir daraus den Monomorphismus φ3 : (N⊗RM)⊗RRp→ (P⊗RM)⊗RRp, welcher

durch Tensorieren von φ1 mit Rp entsteht. Da p beliebig war, ist φ1 nach Satz 8.13

ein Monomorphismus. Also ist M flach.

(ii): Ergibt sich aus (i) und Satz 8.32.

Wir wollen noch einen lokal-global Vergleich der Eigenschaft”projektiv“ an-

geben und eine Verbindung zwischen”projektiv“ und

”lokal frei“ herstellen. Dazu

mussen wir voraussetzen, daß M nicht nur endlich erzeugt, sondern sogar endlich

prasentiert ist.

Zur Erinnerung: Ein R-Modul M heißt endlich prasentiert, wenn es ein n ∈Z≥1 und einen Epimorphismus φ : Rn →M mit endlich erzeugtem Kern gibt.

8.34 Lemma. Sei M ein endlich prasentierter R-Modul. Fur jedes m ∈ Z≥1 und

jeden Epimorphismus ψ : Rm →M ist dann ker(ψ) endlich erzeugt.

Ist R noethersch und M endlich erzeugt, so ist M endlich prasentiert.

Ist M endlich prasentiert und U eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge

von R mit 1 ∈ U , so ist auch M [U−1] als R[U−1]-Modul endlich prasentiert.

Beweis. Sei φ : Rn → M ein Epimorphismus mit ker(φ) endlich erzeugt und

sei ψ : Rm → M ein weiterer Epimorphismus. Seien (λi,j)j ∈ Rm mit φ(ei) =

ψ((λi,j)j) und (µj,i)i ∈ Rn mit φ((µj,i)i) = ψ(ej) fur alle 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤j ≤ m. Seien (us,i)i ∈ Rn fur endlich viele s ein Erzeugendensystem von ker(φ).

Dann bilden die ((us,i)i, 0) ∈ Rn × Rm zusammen mit den ((µj,i)i, ej) ∈ Rn ×Rm ein endliches Erzeugendensystem U von K = {(x, y) ∈ Rn × Rm |φ(x) =

ψ(y)}. Fur jeden Erzeuger u ∈ U gibt es ein vu ∈ ker(ψ), so daß sich u als

R-Linearkombination der (ei, (λi,j)j) ∈ K und von (0, vu) ∈ K schreiben laßt.

Die (ei, (λi,j)j) zusammen mit den (0, vu) fur jedes u liefern damit ein anderes,

endliches Erzeugendensystem V vonK. Fur y ∈ ker(ψ) konnen keine (ei, (λi,j)j) in

den Darstellungen von (0, y) ∈ K in V auftreten. Also bilden die vu ein endliches

Erzeugendensystem von ker(ψ).


Sei R noethersch und M endlich erzeugt. Da M endlich erzeugt ist, gibt

es einen Epimorphismus ψ : Rn → M . Da R noethersch ist, muß ker(ψ) nach

Satz 4.12, (iii) und Satz 4.11 endlich erzeugt sein. Also ist M endlich prasentiert.

Ist M endlich prasentiert, so haben wir eine exakte Sequenz Rs → Rn →M →0. Durch Lokalisieren geht diese in die exakte Sequenz R[U−1]s → R[U−1]n →M [U−1]→ 0 uber, also ist M [U−1] endlich prasentiert.

8.35 Lemma. Sei M ein endlich prasentierter R-Modul. Dann ist M ist genau

dann lokal frei, wenn es fur jedes Primideal p von R ein f ∈ R\p gibt, so daß

M [f−1] bereits ein freier R[f−1]-Modul ist.

Beweis. Das Lemma ist fur M = {0} richtig, da M frei ist und dies auch fur alle

Lokalisierungen gilt. Es gelte also M 6= {0}.”⇐“: Ist klar, da nur weiter lokalisiert werden muß.

”⇒“: Mit M ist Mp endlich erzeugt, so daß Mp eine endliche Basis besitzt (vgl.

Satz 4.9). Seien m1, . . . , mk ∈ M , so daß die mi in Mp eine Basis bilden. Jeder

Erzeuger vj von M kann aufgrund der Annahme in der Form ujvj =∑k

i=1 λi,jmi

mit uj ∈ R\p und λi,j ∈ R geschrieben werden. Sei f =∏

j uj. Dann gilt f ∈ R\pund vj =

∑ki=1(λ

′i,j/f)mi in M [f−1] mit geeigneten λ′i,j ∈ R. Die mi bilden also

ein Erzeugendensystem von M [f−1].

Aus∑

i(µi/ui)mi = 0 in Mp fur beliebige µi ∈ R und ui ∈ R\p folgt µi/ui = 0

fur alle i nach Voraussetzung, also gibt es fur jedes i ein vi ∈ R\p mit viµi = 0

in R. Der Rp-Modul T aller solcher Tupel (µi/ui)i ∈ Rkp mit

∑

i(µi/ui)mi = 0 in

M [f−1] ist nach Lemma 8.34 endlich erzeugt, da Mp mit M endlich prasentiert

ist. Wir multiplizieren an f die endlich vielen, auftretenden vi (fur jeden Erzeuger

des Tupelraums T sind das k Elemente vi). Jedes Tupel (µi)i wird dann also durch

koordinatenweise Multiplikation mit f annulliert, ist also Null in R[f−1]k. Die mi

sind daher auch linear unabhangig in M [f−1].

Der Satz ist falsch, wenn auf die Voraussetzung der endlichen Erzeugung ver-

zichtet wird. Sei zum Beispiel R = Z und M der von {a/p | a ∈ Z, p Primzahl}erzeugte Z-Untermodul von Q. Dann sind die Mp fur p = Zp isomorph zu den

von 1/p erzeugten Rp-Untermoduln von Q, also frei. Wegen der unbeschrankten

Nenner kann es aber kein einziges f wie im Lemma geben.

Torsion bleibt lokal nicht unbedingt erhalten. Siehe R = K × K und M =

R. Dann ist M nicht torsionsfrei, aber alle Lokalisierungen an Primidealen sind

isomorph zu K, also torsionsfrei.

Der folgende Satz enthalt den angestrebten lokal-global Vergleich fur”projek-

tiv“.

8.36 Satz. Sei M ein endlich prasentierter R-Modul. Dann sind aquivalent:



(i) M ist projektiv.

(ii) M ist flach.

(iii) M ist lokal frei.

(iv) Es gibt f1, . . . , fn ∈ R mit R =∑n

i=1Rfi, so daß M [f−1i ] frei uber R[f−1

i ]

fur alle 1 ≤ i ≤ n ist.

Beweis. (i)⇒ (ii): Folgt aus Satz 8.29. (ii)⇒ (iii): Folgt aus Satz 8.33.

(iii) ⇒ (iv): Nach Lemma 8.35 gibt es fur jedes maximale Ideal m ein fm ∈R\m, so daß M [f−1

m ] ein freier R[f−1m ]-Modul ist. Sei I =

∑

mRfm das von den fm

erzeugte Ideal von R. Dann ist I wegen fm ∈ I und fm 6∈ m in keinem maximalen

Ideal enthalten, also folgt I = R. Wegen 1 ∈ I gibt es daher endlich viele fi unter

den fm und gi ∈ R mit 1 =∑

i gifi. Dann gilt bereits R =∑

iRfi. Es ergibt

sich (iv).

(iv) ⇒ (i): Mit M ist jedes M [f−1i ] endlich erzeugt, besitzt also eine end-

liche Basis (vgl. Satz 4.9). Fur jedes i seien mi,j ∈ M fur endlich viele j, so

daß die Bilder der mi,j in M [f−1i ] eine Basis von M [f−1

i ] bilden. Seien µi,j ∈HomR[f−1

i ](M [f−1i ], R[f−1

i ]) die Koordinatenfunktionale bezuglich der mi,j , so daß

m/f ri =∑

j µi,j(m/fri )mi,j in M [f−1

i ] fur alle m ∈M , r ∈ Z≥0 und i gilt.

Nach Satz 8.18 gibt es λi,j ∈ HomR(M,R) und ki,j ∈ Z≥1 mit fki,j

i µi,j(m/fri ) =

λi,j(m)/f ri in R[f−1i ] fur alle m ∈ M und r ∈ Z≥0. Sei k = maxi,j ki,j. Wir

ersetzen λi,j durch fk−ki,j

i λi,j, so daß nun speziell fki µi,j(m) = λi,j(m) in R[f−1i ]

mit λi,j ∈ HomR(M,R) und fki m =∑

j λi,j(m)mi,j in M [f−1i ] fur alle m ∈ M

gilt. Da M endlich erzeugt ist, gilt fki m =∑

j λi,j(m)mi,j auch in M , wenn wir

zuvor k groß genug wahlen.

Potenzieren wir beide Seiten der Gleichung 1 =∑

i gifi mit einer ausreichend

großen ganzen Zahl, erhalten wir einen Ausdruck 1 =∑

i hifki mit hi ∈ R.

Es ergibt sich m = (∑

i hifki )m =

∑

i,j(hiλi,j(m))mi,j in M fur alle m ∈ M .

Wir erhalten also Erzeuger mi,j und Koordinatenfunktionale m 7→ hiλi,j(m) aus

HomR(M,R), so daß M nach Satz 8.22 projektiv ist.

Kapitel 9

Ringe II

In diesem Kapitel werden das Tensorprodukt von Algebren, ganze Ringerweite-

rungen, gebrochene und invertierbare Ideale, Dedekindringe und die Faktorisie-

rung in Dimension 1 und Kodimension 1 behandelt.

9.1 Tensorprodukt von Algebren

Wir kommen nun auf das Tensorprodukt von (kommutativen) R-Algebren S1, S2

zu sprechen. Die Multiplikation in S1 ⊗R S2 wird durch (x1 ⊗R y1) · (x2 ⊗R y2) =

(x1x2)⊗ (y1y2) definiert. Formal bekommen wir durch (x1, y1, x2, y2) 7→ S1⊗R S2,

(x1, y1, x2, y2) 7→ (x1x2) ⊗R (y1y2) eine 4-lineare Abbildung. Diese faktorisiert

durch S1 ⊗R S2 ⊗R S1 ⊗R S2 und zieht sich zu einer bilinearen Abbildung auf

(S1 ⊗R S2)× (S1 ⊗R S2) zuruck, welche die Multiplikation definiert.

Sei T eine R-Algebra und gi : Si → T zwei R-lineare Ringhomomorphismen.

Dann definieren wir eine bilineare Abbildung g : S1×S2 → T durch g(x, y) = xy,

und diese faktorisiert eindeutig durch eine R-lineare Abbildung f : S1⊗RS2 → T ,

welche aufgrund der Definitionen ebenfalls ein Ringhomomorphismus ist. Daher

erfullt S1⊗RS2 die universelle Eigenschaft einer direkten Summe in der Kategorie

der R-Algebren (deren Morphismen R-lineare Ringhomomorphismen sind).

Der vollstandigkeit halber noch der folgende Satz.

9.1 Satz. Fur ein Diagramm D von R-Algebren existieren lim←−D und lim

−→D als

R-Algebren.

Beweis. Die Aussage fur lim←−D wird ganz analog zu der fur Moduln wie in Satz ??

gezeigt. Fur lim−→D verwendet man eine ring- statt modultheoretische Konstruktion

wie in Satz 8.2. Insbesondere betrachtet man eingeschrankte Tensorprodukte,

deren Elemente · · ·⊗ 1⊗ ai⊗· · ·⊗ aj ⊗ 1⊗· · · an fast allen Stellen eine 1 haben.

Die Prinzipien sind ahnlich wie in Satz ?? und wir lassen die Details aus.

251

252 KAPITEL 9. RINGE II

Sind S1 und S2 R-Algebren und X ein Menge von Variablen, so gilt S1[X]⊗RS2∼= (S1 ⊗R S2)[X]. Ist S1 = R[X]/J fur eine Menge von Variablen X und ein

Ideal J , so gilt S1⊗RS2 = S2[X]/J . Speziell ergibt sich R[X]⊗RR[Y ] ∼= R[X∪Y ]

und (R[X]/I) ⊗R (R[Y ]/J) ∼= R[X ∪ Y ]/〈I, J〉 fur Y eine weitere Menge von

Variablen mit X ∩ Y = {}. Diese Aussagen sind analog zu denen fur Moduln.

Die Charakterisierung linear disjunkter Korpererweiterungen E1/K und E2/K

in einem Erweiterungskorper C zeigt, daß E1 ⊗K E2∼= E1E2 unter Verwendung

der Multiplikationsabbildung genau dann gilt, wenn E1 und E2 linear disjunkt

uber K sind.

9.2 Gebrochene und invertierbare Ideale, Prim-

idealfaktorisierung

Sei R ein kommutativer Ring und Quot(R) der volle Quotientenring von R, also

Quot(R) = R[U−1], wobei U die multiplikativ abgeschlossene Menge der regularen

Elemente von R (Elemente 6= 0 die keine Nullteiler sind) bezeichnet. Der Homo-

morphismus R→ Quot(R), r 7→ r/1 ist injektiv. Daher fassen wir R im folgenden

als Teilring von Quot(R) auf. Die Elemente 6= 0 von Quot(R) sind entweder Ein-

heiten oder Nullteiler.

9.2 Definition. Seien I, J zwei R-Untermoduln von Quot(R). Wir definieren

IJ = {∑i xiyi | xi ∈ I, yi ∈ J },(I : J) = { x ∈ Quot(R) | xI ⊆ J },

I−1 = (I : R).

Ein R-Untermodul I von Quot(R) heißt invertierbares Ideal, wenn es einen

R-Untermodul J von Quot(R) mit IJ = R gibt.

Ein R-Untermodul I von Quot(R) heißt gebrochenes Ideal von R, wenn es ein

a ∈ U mit aI = {ax | x ∈ I} ⊆ R gibt. Ein Ideal von R heißt ganzes Ideal.

Seien I,K gebrochene Ideale von R und J ein ganzes Ideal von R. Gilt IJ = K,

so sagen wir, daß K durch I teilbar und daß I ein Teiler von K ist. Wir schreiben

dann I |K.

Die ganzen Ideale von R sind auch gebrochene Ideale von R. Das folgende

Lemma enthalt im wesentlichen die Grundrechenregeln fur gebrochene und inver-

tierbare Ideale.

9.3 Lemma. Seien I, J,K drei R-Untermoduln von Quot(R). Dann gelten die

folgenden Aussagen.

9.2. GEBROCHENE UND INVERTIERBARE IDEALE,

PRIMIDEALFAKTORISIERUNG 253

(i) IJ und (I : J) sind R-Untermoduln von Quot(R). Sind I, J gebrochene

Ideale von R, so ist IJ ein gebrochenes Ideal von R und (I : J) fur I 6= 0

ein gebrochenes Ideal von R.

(ii) (IJ)K = I(JK), IJ = JI und RI = IR = I. Die R-Untermoduln von

Quot(R) bilden einen abelschen Monoid mit Einselement R, und die gebro-

chenen Ideale bilden einen Untermonoid davon.

(iii) Ist I invertierbar, so ist I endlich erzeugt und ein gebrochenes Ideal von R.

Die invertierbaren Ideale bilden die Untergruppe der im Monoid der gebro-

chenen Ideale von R invertierbaren Elemente.

(iv) Gilt IJ = K und ist K invertierbar, so sind auch I und J invertierbar.

(v) Aus J ⊆ K folgt IJ ⊆ IK. Ist I

invertierbar und gilt IJ ⊆ IK, so folgt auch J ⊆ K.

(vi) Ist I invertierbar, so gilt I 6= 0, II−1 = R und (I : J) = I−1J .

(vii) Aus I |K folgt I ⊇ K. Ist I invertierbar und gilt I ⊇ K, so folgt auch I |K.

(viii) Sind I, J gebrochene Ideale von R, so sind auch I +J und I ∩J gebrochene

Ideale von R.

(ix) Ein gebrochenes Hauptideal Ra mit a ∈ Quot(R) ist genau dann invertier-

bar, wenn a ∈ Quot(R)× gilt.

(x) Jedes gebrochene Ideal I ist von der Form K−1J mit einem ganzen Ideal J

und einem ganzen, invertierbaren (Haupt)Ideal K.

Beweis. (i): Die erste Aussage ist direkt zu sehen, und die zweite wie folgt: Aus

aI ⊆ R und bJ ⊆ R folgt (ab)IJ ⊆ R. Fur c ∈ I\{0} gilt bc(I : J) ⊆ bJ ⊆ R.

(ii): Klar unter Verwendung der Definitionen und von (i).

(iii): Sei J der R-Untermodul von Quot(R) mit IJ = R. Es gibt endlich

viele xi ∈ I und yi ∈ J mit 1 =∑n

i=1 xiyi. Sei x ∈ I beliebig. Dann gilt x =

x∑n

i=1 xiyi =∑n

i=1(xyi)xi, wobei xyi ∈ R fur alle 1 ≤ i ≤ n ist. Also sind die xiein Erzeugendensystem von I. Weiter gibt es ein a ∈ R\{0} mit axi ∈ R fur alle

1 ≤ i ≤ n. Dann gilt auch aI ⊆ R, und I ist ein gebrochenes Ideal von R. Der

Rest der Aussage ist klar mit (i) und (ii).

(iv): Aus IJ = K folgt I(JK−1) = J(IK−1) = R, also sind I und J invertier-

bar (allgemein sind in einem Monoid Teiler von Einheiten wieder Einheiten).

(v): Die erste Implikation folgt direkt aus den Definitionen. Gilt IJ ⊆ IK, so

erhalten wir aus der ersten Implikation J = I−1IJ ⊆ I−1IK = K.


(vi): Fur invertierbare Ideale gilt notwendigerweise I 6= 0. Aufgrund der De-

finition von I−1 gilt II−1 ⊆ R. Ist I invertierbar und J der R-Untermodul von

Quot(R) mit IJ = R, so gilt J ⊆ I−1. Daraus ergibt sich R = IJ ⊆ II−1 ⊆ R,

also II−1 = R. Da Inverse in Monoiden eindeutig bestimmt sind, folgt I−1 = J .

Ist I invertierbar, so gilt (I : J) = I−1J . Die Inklusion ⊇ ist klar und gilt

auch fur nicht-invertierbares I. Auf der anderen Seite gilt (I : J)I ⊆ J , also folgt

durch Multiplikation mit I−1 wie gewunscht (I : J) ⊆ I−1J .

(vii): Fur I |K gibt es ein ganzes Ideal J von R mit IJ = K. Dann gilt

I ⊇ IJ = K, also I ⊇ K. Sind umgekehrt I und K gebrochene Ideale mit

I ⊇ K und ist I invertierbar, so folgt R = II−1 ⊇ KI−1. Mit J = KI−1 gilt also

IJ = IKI−1 = II−1K = K, und K wird von I geteilt.

(viii): Gilt aI ⊆ R und bJ ⊆ R mit a, b ∈ R\{0}, so folgt a(I ∩ J) ⊆ R und

(ab)(I + J) ⊆ R mit ab ∈ R\{0}.(ix): Gilt a ∈ Quot(R)×, so folgt (Ra)(Ra−1) = R, also ist Ra invertierbar.

Sei J ein R-Untermodul von Quot(R) mit (Ra)J = R. Dann gibt es b ∈ J mit

ab = 1. Also folgt a ∈ Quot(R)×.

(x): Folgt direkt aus den Definitionen und aus (ix).

Ist I ein invertierbares Ideal von R, so nennen wir I−1 das inverse Ideal von I.

9.4 Lemma. Seien I, J 6= 0 torsionsfreie R-Untermoduln von Quot(R). Dann

ist φ : (I : J) → HomR(I, J), c 7→ (x 7→ cx) ein Isomorphismus. Hierbei ist φ(c)

genau dann ein Isomorphismus, wenn c ∈ Quot(R)× gilt.

Beweis. Es ist klar, daß φ einen Homomorphismus definiert. Gilt φ(c) = 0, so folgt

cI = 0 und wegen I 6= 0 torsionsfrei auch c = 0. Also ist φ ein Monomorphismus.

Zum Beweis der Surjektivitat sei f ∈ HomR(I, J). Wir zeigen zuerst, daß sich

f zu einem Quot(R)-Homomorphismus f ′′ : Quot(R)→ Quot(R) fortsetzen laßt.

Sei U die Menge der regularen Elemente von R. Der Inklusionsmonomorphismus

I → Quot(R) liefert einen Monomorphismus I[U−1] → Quot(R)[U−1], da Loka-

lisieren nach Satz 8.12 (links)exakt ist. Außerdem gilt Quot(R)[U−1] ∼= Quot(R)

unter (r/u)/(v/1) 7→ r/(uv) nach Satz 2.80. Wegen I 6= 0 torsionsfrei gibt es

a/b ∈ I mit a, b ∈ U beziehungsweise a/b ∈ Quot(R)×. Daher erhalten wir insge-

samt einen Isomorphismus gI : I[U−1]→ Quot(R), (r/u)/(v/1) 7→ r/(uv). Fur J

bekommen wir analog gJ : J [U−1]→ Quot(R). Ist f ′ : I[U−1]→ J [U−1] der lokali-

sierte Homomorphismus, so erhalten wir schließlich den R-Homomorphismus f ′′ =

gJ ◦f ′◦g−1I : Quot(R)→ Quot(R). Dieser ist auch ein Quot(R)-Homomorphismus

(dies gilt allgemein fur einen R-Homomorphismus φ : M → N von R[U−1]-

Moduln M,N).

Da f ′′ : Quot(R)→ Quot(R) ein Quot(R)-Homomorphismus und 1 eine Basis

von Quot(R) ist, folgt f ′′(x/u) = (x/u)f ′′(1) = cx/u mit c := f ′′(1) ∈ Quot(R)

9.2. GEBROCHENE UND INVERTIERBARE IDEALE,

PRIMIDEALFAKTORISIERUNG 255

fur alle x ∈ R und u ∈ U . Speziell folgt f(x) = f ′′(x) = cx fur alle x ∈ I. Also

ist φ surjektiv und damit ein Isomorphismus.

Allgemein gilt: In einem Ring ist x 7→ cx genau dann bijektiv, wenn c ∈ R×gilt (

”⇐“ ist klar, fur

”⇒“ gibt es x ∈ R mit cx = 1, also ist c ∈ R×). Daraus

folgt die letzte Aussage.

9.5 Lemma. Seien p und q invertierbare Primideale mit q ⊇ p. Dann gilt q = p.

Beweis. Wir nehmen p 6= 0 an. Dann gibt es ein ganzes Ideal I mit qI = p. Gilt

q ) p, so folgt I ⊆ p, da p Primideal ist. Dann folgt p = qI ⊆ qp ⊆ p, also

p = qp. Da p invertierbar ist, folgt R = q im Widerspruch zur Annahme. Also

gilt q = p.

9.6 Satz. Sei I ein invertierbares Ideal von R und seien die pi paarweise ver-

schiedene invertierbare Primideale von R mit I =∏n

i=1 peii fur ei ∈ Z\{0}. Dann

sind n und die Paare (pi, ei) bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Sei S eine Menge von invertierbaren Primidealen. Dann ist die Menge IS =

{∏p∈S pep | ep ∈ Z fast alle Null } eine freie abelsche Gruppe von invertierbaren

Primidealen von R mit Basis S.

Beweis. Seien qj paarweise verschiedene invertierbare Primideale von R mit I =∏n

i=1 peii =

∏mj=1 q

fj

j fur fj ∈ Z\{0}. Wir mussen zeigen, daß n = m gilt und die

(pi, ei) mit den (qj, fj) bis auf die Reihenfolge ubereinstimmen. Indem wir beide

Seiten der Gleichung mit allen peii und q

fj

j mit ei < 0 und fj < 0 multiplizieren und

die pi, qj, n, m geeignet neu definieren, konnen wir uns auf das folgende Problem

reduzieren: Es gelte J =∏n

i=1 pi =∏m

j=1 qj mit nicht notwendigerweise paarweise

verschiedenen invertierbaren Primidealen pi und qj. Zu zeigen ist n = m, und daß

die pi mit den qj bis auf die Reihenfolge ubereinstimmen.

Nach Umordnung erhalten wir pn ⊇ qm aus der Primidealeigenschaft von pnund pn = qm nach Lemma 9.5. Multiplikation mit p−1

n liefert∏n−1

i=1 pi =∏m−1

j=1 qj.

Induktiv gelangen wir zu R =∏m′

j=1 qj. Wegen R ) q1 ⊇∏m′

j=1 qj fur m′ ≥ 1 folgt

schließlich m′ = 0.

Die letzte Aussage folgt unmittelbar aus der ersten Aussage und aus Lem-

ma 9.3, (iii).

9.7 Definition. Sei R ein Ring und I eine Menge von invertierbaren Idealen von

R. Laßt sich jedes I ∈ I in Primideale aus I faktorisieren, so sagen wir, daß Idie Primidealfaktorisierungseigenschaft besitzt.

Zum Beispiel besitzt die Menge IS aus Satz 9.6 die Primidealfaktorisierungs-

eigenschaft. Wir wollen jedoch Mengen I mit Primidealfaktorisierungseigenschaft

auch auf andere Weise charakterisieren. Dabei ist die folgende Beobachtung hilf-

reich.


9.8 Satz. Sei R ein noetherscher Ring und I eine Menge von ganzen, invertier-

baren Idealen von R, die bezuglich der Idealmultiplikation abgeschlossen ist und

fur die R ∈ I gilt. Dann besitzt I genau dann die Primidealfaktorisierungseigen-

schaft, wenn es fur jedes I ∈ I mit I 6= R ein Primideal p ∈ I mit p ⊇ I und

p−1I ∈ I gibt.

Beweis.”⇒“: Sei I ∈ I mit I 6= R. Es gilt I =

∏ni=1 pi mit invertierbaren

Primidealen pi ∈ I und n ≥ 1. Wegen p1 ⊇∏n

i=1 pi = I und p−11 I =

∏ni=2 pi ∈ I

aufgrund der multiplikativen Abgeschlossenheit besitzt I die besagte Eigenschaft.

”⇐“: Falls nicht alle Ideale aus I in Primideale aus I faktorisiert werden

konnen, gibt es ein bezuglich Inklusion maximales Ideal I ∈ I mit dieser Eigen-

schaft, da R nach Voraussetzung noethersch ist. Es gilt I 6= R, weil R das leere

Produkt ist. Nach Voraussetzung existiert ein invertierbares Primideal p ∈ I mit

p ⊇ I und p−1I ∈ I. Da I invertierbar ist, gilt I ) pI, denn sonst hatten wirR = p

nach Multiplikation mit I−1. Multiplikation mit p−1 liefert nun R ⊇ p−1I ) I.

Nach Konstruktion gibt es invertierbare Primideale pi ∈ I mit p−1I =∏

i pi.

Daraus folgt I = p∏

i pi, also laßt sich I doch in Primideale faktorisieren.

9.9 Definition. Ein kommutativer Ring mit 1 6= 0, fur den jedes Ideal 6= 0

invertierbar ist, heißt Dedekindring.

Die Eigenschaften invertierbarer Ideale aus Lemma 9.3, (iii) und (ix) zeigen,

daß R ein noetherscher Integritatsring ist (ein Element a ∈ R\{0} erfullt genau

dann a ∈ Quot(R)×, wenn a kein Nullteiler von R ist).

9.10 Korollar. In einem Dedekindring laßt sich jedes gebrochene Ideal 6= 0 ein-

deutig in Primideale faktorisieren.

Beweis. Die Menge aller ganzen Ideale 6= 0 besitzt nach Satz 9.8 die Primidealfak-

torisierungseigenschaft, so daß die Behauptung aus Lemma 9.3, (x) und Satz 9.6

folgt.

Beim einem Dedekindring handelt es sich also um einen bestmoglichen Ring,

was die Primidealfaktorisierung in invertierbare Primideale angeht. Zum Beispiel

sind Hauptidealringe auch Dedekindringe, aber die Umkehrung hiervon gilt nicht.

Es ist jetzt interessant, nach anderen Kriterien fur Ringe und Ideale zu suchen,

mit denen die Eigenschaft in Satz 9.8 und speziell die Dedekindringeigenschaft

uberpruft werden kann.

9.3. LOKALE CHARAKTERISIERUNGEN INVERTIERBARER IDEALE 257

9.3 Lokale Charakterisierungen invertierbarer

Ideale

Wir untersuchen zunachst das Verhalten unter Lokalisierung und machen dazu

eine Vorbemerkung.

Sei V die Menge der regularen Elemente von R und W das Urbild der Menge

der regularen Elemente von R[U−1] unter dem Lokalisierungshomomorphismus

R → R[U−1]. Dann gilt Quot(R) = R[V −1] und Quot(R)[U−1] = R[(UV )−1]. Da

regulare Elemente unter Lokalisierungshomomorphismen nach Satz 2.82 wieder

auf regulare Elemente abgebildet werden, gilt auch Quot(R[U−1]) = R[(UV W )−1].

Wir erhalten R[U−1] ⊆ Quot(R)[U−1] ⊆ Quot(R[U−1]) und den Lokalisierungs-

homomorphismus ι : Quot(R) → Quot(R)[U−1], welcher den Lokalisierungsho-

momorphismus R→ R[U−1] fortsetzt.

Ist I ein R-Untermodul von Quot(R), so sei I[U−1] = R[U−1]ι(I) der zugehori-

ge R[U−1]-Untermodul von Quot(R[U−1]).

9.11 Lemma. Sei R ein kommutativer Ring und U eine multiplikativ abgeschlos-

sene Teilmenge von R mit 1 ∈ U .

(i) Fur R-Untermoduln I, J von Quot(R) gilt (IJ)[U−1] = I[U−1] · J [U−1].

(ii) Fur jedes ganze (gebrochene, invertierbare) Ideal I von R ist I[U−1] ein

ganzes (gebrochenes, invertierbares) Ideal von R[U−1].

(iii) Ist I eine Menge von Idealen mit Primfaktorisierungseigenschaft und ist

I[U−1] := {I[U−1] | I ∈ I}, so besitzt I[U−1] ebenfalls die Primidealfaktori-

sierungseigenschaft.

(iv) Fur einen Dedekindring R ist R[U−1] ebenfalls ein Dedekindring.

(v) Seien I, J zwei R-Untermoduln von Quot(R). Ist I invertierbar oder gilt

Quot(R)[U−1] = Quot(R[U−1]) (zum Beispiel wenn R ein Integritatsring

ist) und ist I endlich erzeugt, so gilt (I : J)[U−1] = (I[U−1] : J [U−1]).

Beweis. (i): Es gilt (IJ)[U−1] = R[U−1]ι(IJ) = R[U−1]ι(I)ι(J) = R[U−1]ι(I)·R[U−1]ι(J) = I[U−1]J [U−1].

(ii): Sei I ⊆ R ein ganzes Ideal von R. Dann folgt ι(I) ⊆ R[U−1] und I[U−1] =

R[U−1]ι(I) ⊆ R[U−1], also ist I[U−1] ein ganzes Ideal von R[U−1].

Sei I ⊆ Quot(R) ein gebrochenes Ideal von R. Ist a ∈ V mit aI ⊆ R, so folgt

aI[U−1] = aR[U−1]ι(I) = R[U−1]ι(aI) ⊆ R[U−1], also ist I[U−1] ein gebrochenes

Ideal von R[U−1].


Sei I ⊆ Quot(R) ein invertierbares Ideal von R. Aus IJ = R folgt I[U−1]·J [U−1] = R[U−1] nach (i), also ist I[U−1] ein invertierbares Ideal von R[U−1].

(iii): Folgt aus (i), (ii) und Satz 2.81, da Lokalisieren einer Primidealfak-

torisierung wie in Satz 9.8, (i) wieder eine solche liefert (unter Umstanden mit

weniger Primidealen, falls Primideale zu R[U−1] lokalisieren).

(iv): Die Ideale von R[U−1] sind nach Satz 2.81 von der Form I[U−1] fur ein

Ideal I von R. Fur I 6= 0 ist nach Voraussetzung II−1 = R und I[U−1] nach (ii)

invertierbar.

(v): Fur I invertierbar gilt (I[U−1] : J [U−1]) = I[U−1]−1J [U−1] = (I−1)[U−1]·J [U−1] = (I−1J)[U−1] = (I : J)[U−1] wegen (i) und (ii).

Es gelte Quot(R)[U−1] = Quot(R[U−1]). Allgemein folgt zunachst aus (I :

J)I ⊆ J auch (I : J)[U−1]I[U−1] ⊆ J [U−1] durch Anwendung von (i), also

(I : J)[U−1] ⊆ (I[U−1] : J [U−1]). Aufgrund der Annahme sind die Elemente aus

(I[U−1] : J [U−1]) von der Form a/u mit a ∈ Quot(R) und u ∈ U (und nicht etwa

noch Nenner ausW ). Fur ein solches a/u gilt auch a ∈ (I[U−1] : J [U−1]). Seien die

bi ein endliches Erzeugendensystem von I. Fur jedes bi gibt es dann ein ci ∈ J und

vi ∈ U mit abi = ci/vi in Quot(R)[U−1]. Also gibt es wi ∈ U mit wiviabi ∈ J in

Quot(R). Sei d =∏

i wivi ∈ U . Es folgt dabi ∈ J fur alle i und daher da ∈ (I : J).

Wir erhalten a ∈ (I : J)[U−1] und schließlich a/u ∈ (I : J)[U−1].

Ist R ein Integritatsring, so gilt UW ⊆ V und Quot(R) = Quot(R)[U−1] =

Quot(R[U−1]).

Fur R = Q[x, y, z]/(xy, zy) und U = 〈x〉 gilt Quot(R)[U−1] ( Quot(R[U−1]),

da z ∈ Quot(R)[U−1] weder eine Einheit noch ein Nullteiler ist, aber in Quot(R[U−1])

invertierbar ist.

9.12 Satz. Sei R ein kommutativer Ring. Fur einen R-Untermodul I 6= 0 von

Quot(R) sind aquivalent:

(i) I ist invertierbar.

(ii) I ist projektiv.

(iii) I ist lokal frei vom Rang 1.

Beweis. (i)⇒ (ii): Sei I invertierbar und die xi, yi wie im Beweis von Lemma 9.3,

(iii). Wir definieren λi ∈ HomR(I, R) durch x 7→ xyi. Dann sind die λi Koordi-

natenfunktionale bezuglich der Erzeuger xi und I ist nach Satz 8.22 projektiv.

(ii)⇒ (iii): Sei nun I projektiv. Dann gibt es nach Satz 8.22 ein Erzeugenden-

system xi (vielleicht unendlich) und Koordinatenfunktionale λi ∈ HomR(I, R).

Nach Lemma 9.4 gibt es yi ∈ Quot(R) mit λi(x) = xyi fur alle x ∈ I. Da I 6= 0

und nach Satz 8.29 torsionsfrei ist, gibt es x ∈ I mit x ∈ Quot(R)×. Dann gilt


x =∑

i λi(x)xi =∑

i xyixi, wobei die Summe endlich ist und daher yixi = 0

fur fast alle i wegen x ∈ Quot(R)× gilt. Also sind die endlich vielen xi mit

xiyi 6= 0 ein endliches Erzeugendensystem von I. Nach Satz 8.29 und Satz 8.33

ist damit I lokal frei. Sei m ein maximales Ideal von R. Dann ist Im also frei. Da Imein Rm-Untermodul von Quot(Rm) ist und daher keine zwei Elemente Rm-linear

unabhangig sein konnen, folgt, daß Im frei vom Rang 1 ist.

(iii) ⇒ (i): Wir betrachten den Inklusionshomomorphismus φ : II−1 → R.

Fur jedes maximale Ideal m von R bekommen wir unter Verwendung von Lem-

ma 9.11 den lokalisierten Monomorphismus φm : ImI−1m → Rm. Da Im frei vom

Rang 1 ist, gibt es a ∈ Quot(Rm) mit Im = aRm. Aus der Definition von I−1m folgt

I−1m = a−1Rm. Es ergibt sich ImI

−1m = Rm, also ist φm surjektiv und nach Satz 8.13

ist φ ein Isomorphismus und daher II−1 = R.

Zusatz: Um den Gebrauch der allgemeinen Satze Satz 8.29 und Satz 8.33 zu

vermeiden, beweisen wir noch (ii)⇒ (i) und (i)⇒ (iii) auf direktem Weg.

(ii) ⇒ (i): Sei I projektiv. Dann gibt es nach Satz 8.22 ein Erzeugendensys-

tem xi (vielleicht unendlich) und Koordinatenfunktionale λi ∈ HomR(I, R). Nach

Lemma 9.4 gibt es yi ∈ Quot(R) mit λi(x) = xyi fur alle x ∈ I. Da I 6= 0

und nach Satz 8.29 torsionsfrei ist, gibt es x ∈ I mit x ∈ Quot(R)×. Dann gilt

x =∑

i λi(x)xi =∑

i xyixi, wobei die Summe endlich ist. Division durch x ergibt

1 =∑

i yixi. Wegen xyi ∈ R fur alle x ∈ I gilt yi ∈ I−1. Also folgt 1 ∈ II−1 und

somit II−1 = R.

(i) ⇒ (iii): Sei I invertierbar. Wegen II−1 = R gibt es xi ∈ I und yi ∈ I−1

mit 1 =∑

i xiyi. Sei m ein maximales Ideal von R. Wir fassen Im und I−1m als

Untermoduln von Quot(Rm) auf. Dann gibt es ein i mit xiyi ∈ Rm\mRm, also

xiyi ∈ R×m. Es folgt (xiyi)−1xi ∈ Im und yi((xiyi)

−1xi) = 1, also yiIm = Rm. Daraus

ergibt sich yi ∈ Quot(Rm)× und Im = Rmy−1i , also ist Im frei vom Rang 1.

9.13 Satz. Ein Integritatsring R ist genau dann ein Dedekindring, wenn Rp fur

jedes Primideal p ein Hauptidealring ist.

Beweis.”⇒“: Sei R ein Dedekindring. Sei J 6= 0 ein Ideal von Rp und ιp : R→ Rp

der Lokalisierungshomomorphismus. Wir setzen I = ι−1p (J). Dann gilt I 6= 0 und

Ip = ιp(I) = J . Da R ein Dedekindring ist, ist I invertierbar. Nach Satz 9.12 ist

dann J = Ip ein Hauptideal.

”⇐“: Sei I 6= 0 ein Ideal von R. Fur jedes Primideal p von R ist Ip ein Haupt-

ideal, da Rp ein Hauptidealring ist, und es gilt Ip 6= 0, da R ein Integritatsring

ist. Daher ist Ip lokal frei vom Rang 1. Nach Satz 9.12 ist I invertierbar.

Da jedes Rp eine Lokalisierung von Rm fur ein maximales Ideal m von R ist und

Lokalisierung von Hauptidealringen wieder Hauptidealringe liefert (Satz 2.82),


genugt es in Satz 9.13 zu fordern, daß Rm fur jedes maximale Ideal von R ein

Hauptidealring ist.

Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Die Lange der echt aufsteigenden Kette

p0 ( · · · ( pn von Primidealen pi von R ist n. Die Dimension dim(R) von R ist

das Supremum uber die Lange aller echt aufsteigenden Ketten von Primidealen

von R.

Zum Beispiel ist die Dimension des Polynomrings k[x1, . . . , xn] uber dem

Korper k gleich n.

Ist p ein Primideal, so nennen wir dim(R/p) die Dimension und dim(Rp) die

Kodimension von R.

Ist R ein Integritatsring mit dim(R) = 0, so ist R ein Korper. Denn {0} ist

ein Primideal, und wegen dim(R) = 0 ist es das einzige Primideal von R. Daher

ist es maximal und jedes Element 6= 0 eine Einheit.

Ist R ein Integritatsring mit dim(R) = 1, so ist {0} ein Primideal und jedes

weitere Primideal ist 6= 0 und maximal.

Fur einen Integritatsring R ist Bedingung dim(R) ≤ 1 also aquivalent dazu,

daß jedes Primideal 6= 0 von R maximal ist.

9.14 Satz. Fur einen Dedekindring R ist dim(R) ≤ 1, wobei R genau dann ein

Korper ist, wenn dim(R) = 0 gilt.

Beweis. Jeder Korper K ist ein Dedekindring, denn K ist das einzige Ideal 6=0 und K ist invertierbar. Fur einen Dedekindring R gilt dim(R) ≤ 1. Denn

entweder ist {0} maximales Ideal und R ein Korper, oder jedes Primideal p 6= 0

ist invertierbar und wegen Lemma 9.5 maximal.

9.15 Definition. Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Hauptidealring der

Dimension 1.

Ist R ein diskreter Bewertungsring, so gibt genau ein maximales Ideal m =

πR 6= 0 von R. Dann ist m das einzige Primideal 6= 0, und π ist ein Primelement.

Da R auch faktoriell ist, gibt es zu jedem a ∈ R\{0} genau ein u ∈ R× und

e ∈ Z≥0 mit a = uπe. Die Zuordnung v : R → Z ∪ {∞} mit v(a) = e und

v(0) =∞ liefert eine surjektive, diskrete Bewertung (siehe Algebra 1).

9.16 Lemma. Sei R ein Ring und p 6= 0 ein Primideal von R, welches mindestens

ein regulares Element enthalt. Dann gilt 1 ≤ dim(Rp) ≤ dim(R).

Beweis. Zunachst ist klar, daß dim(Rp) ≤ dim(R) gilt, da ineinander enthal-

tende Primideale von Rp eindeutig ineinander enthaltenen (bezuglich U = R\pabgeschlossenen) Primidealen von R entsprechen.


Sei d ∈ p das regulare Element. Dann ist auch d/1 ∈ Rp ein regulares Element

und keine Einheit, da es sonst u, v ∈ U = R\p mit ud = v geben mußte und sich

wegen v 6∈ p und v = ud ∈ p ein Widerspruch ergibt. Also ist Rp kein Korper und

es folgt dim(Rp) ≥ 1.

9.17 Lemma. Sei R ein Ring und I 6= 0 ein invertierbares ganzes Ideal von R.

Dann enthalt I mindestens ein regulares Element von R.

Beweis. Seien die xi ∈ I und die yi ∈ I−1 mit 1 =∑n

i=1 xiyi. Nach Definition

von Quot(R) gibt es zi ∈ R und ui ∈ U (U die multiplikativ abgeschlossene

Menge der regularen Elemente von R) mit yi = zi/ui. Nach Multiplikation mit

u =∏

i=1 ui erhalten wir u =∑

i=1 xizi in R und u ∈ I. Also enthalt I das

regulare Element u.

9.18 Satz. Ein Integritatsring R ist genau dann ein Dedekindring, wenn Rp fur

jedes Primideal p 6= 0 ein diskreter Bewertungsring ist.

Beweis. Folgt aus Satz 9.13, Satz 9.14, Lemma 9.16 und Lemma 9.17.

Dedekindringe treten beispielsweise als Maximalordnungen von Zahlkorpern

und als Koordinatenringe nicht-singularer algebraischer Kurven auf. Wir wollen

die Aussage von Satz 9.18 noch etwas detaillierter und allgemeiner untersuchen.

Der Satz 9.23 kann zum Beispiel auf beliebige Ordnungen von Zahlkorpern und

auf die Koordinatenringe algebraischer Varietaten angewendet werden.

9.19 Lemma. Sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Ist R noethersch,

so gilt ∩i∈Z≥0 mi = 0.

Beweis. Sei I = ∩i∈Z≥0 mi. Dann gilt mI ⊆ I. Außerdem haben wir mi ⊇ I und

mi+1 ⊇ mI fur alle i ∈ Z≥0. Es folgt I = ∩i∈Z≥0 mi+1 ⊇ mI, zusammen also

I = mI. Da R noethersch ist, ist ein I endlich erzeugter R-Modul mit mI = I.

Nach Lemma 8.28 folgt I = 0.

9.20 Lemma. Sei R ein lokaler Ring der Dimension 1. Dann sind aquivalent:

(i) R ist ein diskreter Bewertungsring.

(ii) R ist ein noetherscher Ring, dessen maximales Ideal ein Hauptideal ist und

ein regulares Element enthalt.

(iii) R ist ein faktorieller Ring.



(ii)⇒ (iii): Sei m = πR das maximale Ideal von R mit π 6= 0 wegen dim(R) =

1. Dann ist π ein Primelement von R. Fur x ∈ R\{0} gibt es nach Lemma 9.19

ein ein maximales e ∈ Z≥0 mit x ∈ me, also πe | x. Sei u ∈ R mit x = uπe.

Wegen der Maximalitat von e folgt u ∈ R\πR = R×. Es bleibt zu zeigen, daß R

ein Integritatsring ist. Da m ein regulares Element enthalt, muß bereits π regular

sein. Jedes Element 6= 0 von R laßt sich wie gezeigt als Produkt einer Einheit und

einer Potenz des regularen Elements π schreiben, und ist damit selbst regular.

Also enthalt R keine Nullteiler und ist ein Integritatsring.

(iii)⇒ (i): Sei π ein Primelement von R, welches wegen dim(R) ≥ 1 existiert.

Dann ist Rπ ein Primideal und wegen dim(R) = 1 ist Rπ das maximale Ideal

von R. Sei vπ die Exponentenbewertung bezuglich π. Fur jedes x ∈ R\{0} gilt

dann x = uπvπ(x) mit einem u ∈ R\πR = R×. Sei I 6= 0 ein Ideal von R und e =

min{vπ(x) | x ∈ I\{0}} ∈ Z≥0. Dann gilt I = Rπe, und I ist ein Hauptideal.

Lemma 9.20, (ii) trifft fur die Ringe Rp fur alle Primideale p 6= 0 eines Dede-

kindrings zu. Unter Beachtung von Lemma 8.28 heißt das nichts anderes, als daß

dim(Rm) ∼= dimR/m(m/m2) fur alle maximalen Primideale von R gilt. Man sagt,

daß die lokalen Ringe Rm regular seien.

9.21 Satz. Ein Ring R ist genau dann faktoriell, wenn jedes Primideal der Ko-

dimension 1 ein Hauptideal ist.

Beweis.”⇐“: Beweisen und brauchen wir nicht, aber siehe Matsumura ...

”⇒“: Wir machen eine allgemeine Vorbemerkung. Ist R ein faktorieller Ring

und U eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge, so ist R[U−1] ebenfalls fak-

toriell. Sind die πi ein vollstandiges Vertretersystem von Primelementen modu-

lo Assoziation, so liefern die πi, die nicht zu Einheiten in R[U−1] werden, ein

vollstandiges Vertretersystem von Primelementen von R[U−1] modulo Assoziati-

on. Hier ist die Begrundung: Fur x ∈ R ist x ∈ R[U−1]× genau dann, wenn es

y ∈ R und u ∈ U mit x(y/u) = 1 gibt, also wenn xy = u und x | u gilt. Ist πiein Primelement, welches kein Element aus U teilt, so ist πi ein Primelement in

R[U−1]. Denn aus πi(c/w) = (a/u)(b/v) mit a, b, c ∈ R und u, v, w ∈ U folgt

πicuv = abw, und daraus folgt πi | a oder πi | b nach Voraussetzung. Also teilt πiauch a/u oder b/v und ist damit ein Primelement von R[U−1]. Jedes Element aus

R[U−1] kann als Potenzprodukt der πi geschrieben werden, da dies bereits in R

moglich ist. Sind πi und πj assoziiert in R[U−1], so gibt es u, v ∈ U mit uπi = πjv.

Da πi und πj weder u noch v teilen, folgt πi = πj nach Voraussetzung.

Zum Beweis von”⇒“. Sei p ein Primideal von R der Kodimension 1. Wegen

dim(Rp) = 1 ist Rp ein lokaler faktorieller Ring der Dimension 1 und nach Lem-

ma 9.20 ein diskreter Bewertungsring. Nach der obigen Vorbemerkung gibt es ein


Primelement π von R, welches kein Element von U = R\p teilt und fur welches

pRp = πRp gilt. Aus x = (y/u)π ∈ R beziehunsgweise ux = yπ fur x, y ∈ R

mit x 6= 0 und u ∈ U folgt π | x. Daher ergibt sich p = pRp ∩ R = πR mit

Satz 2.81.

9.22 Satz. Sei R ein noetherscher Ring und p ein Primideal von R.

(i) Ist p invertierbar, so ist Rp ein diskreter Bewertungsring und p hat Kodi-

mension 1.

(ii) Hat p Kodimension 1 und ist Rm faktoriell fur jedes maximale Ideal m von

R mit m ⊇ p, so ist p invertierbar.

Beweis. (i): Ist p invertierbar, so gilt p 6= 0 und Rp ist nach Lemma 9.16 und

Lemma 9.17 ein lokaler Ring mit maximalem, invertierbarem Ideal pRp und

dim(Rp) ≥ 1. Wegen Lemma 9.5 gilt auch dim(Rp) ≤ 1. Folglich hat p Kodi-

mension 1. Weiter ist pRp nach Satz 9.12 ein Hauptideal und enthalt mit p ein

regulares Element. Nach Lemma 9.20 ist Rp dann ein diskreter Bewertungsring.

(ii): Nach Satz 9.12 genugt es zu beweisen, daß p lokal ein Hauptideal 6= 0

ist. Dazu konnen wir uns auf Lokalisierungen fur maximale Ideale beschranken.

Ist m ein maximales Ideal von R mit m 6⊇ p, so gilt pRm = Rm, also ist p hier

frei. Sei m also ein maximales Ideal mit m ⊇ p. Dann ist Rm nach Voraussetzung

faktoriell und wir wollen zeigen, daß pRm ein Hauptideal 6= 0 ist. Zur Vereinfa-

chung der Notation und da Rp nur eine weitere Lokalisierung von Rm ist, konnen

wir annehmen: R ist faktoriell und p ist ein Primideal von R der Kodimension 1.

Aus Satz 9.21 folgt, daß p wie gewunscht ein Hauptideal ist. Wegen dim(Rp) = 1

folgt p 6= 0.

9.23 Satz. Sei R ein noetherscher Ring mit 1 6= 0 und S die Menge der maxi-

malen Ideale von R, fur die Rm nicht faktoriell ist. Sei I die Menge der ganzen

invertierbaren Ideale I von R, fur die Im = Rm fur alle maximalen Ideale m ∈ Sgilt. Dann besitzt I die Primidealfaktorisierungseigenschaft.

Beweis. Zunachst gilt R ∈ I und I ist nach Lemma 9.11 multiplikativ abge-

schlossen. Damit sind die Voraussetzungen von Satz 9.8 erfullt.

Wir wollen nun die zur Primidealfaktorisierungseigenschaft aquivalente Ei-

genschaft aus Satz 9.8 fur I verifizieren. Sei I ∈ I mit I 6= R. Dann gibt es ein

maximales Ideal n 6∈ S mit In 6= Rn, wobei Rn faktoriell ist.

Da In wegen der Invertierbarkeit von I ein Hauptideal ist, gibt es ein x ∈ Rmit In = xRn. Wegen In 6= Rn ist x keine Einheit in Rn und es gibt ein Element

π ∈ R, welches in Rn ein Primelement mit π | x ist. Sei p = ι−1n (πRn). Dann ist p

ein Primideal von R mit p ⊇ I.


Nach Konstruktion gilt pRn = πRn und Rp ist ein diskreter Bewertungsring.

Fur jedes maximale Ideal m ⊇ p gilt m 6∈ S wegen Ip 6= Rp und Rm ist ein

faktorieller Ring aufgrund der Definition von S und I (denn fur m ∈ S gilt

Im = Rm, und daraus folgt Ip = Rp, was hier nicht der Fall ist). Nach Satz 9.22,

(ii) ist p daher invertierbar. Schließlich sind p−1 und p−1I invertierbare Ideale,

deren Lokalisierung bei m ∈ S nach Lemma 9.11 gleich Rm ist. Also gilt p−1I ∈ I.Damit erfullt I die Primidealfaktorisierungseigenschaft.

Die Menge S kann als Menge singularer Punkte von R aufgefaßt werden. Ist

m ein maximales Ideal (oder ein Primideal) und gilt Im 6= Rm, so sagen wir, m

sei im Trager von I. Im Satz 9.23 wird also gefordert, daß die Ideale aus I keine

singularen Punkte in ihren Tragern haben sollen.

Wir wollen die beiden voranstehenden Satze hauptsachlich fur dim(R) = 1

anwenden. Hier ist ein dim(R) = 2 Beispiel: Der Polynomring k[x, y] uber einem

Korper ist faktoriell. Das maximale Ideal m = Rx + Ry ist wegen dim(Rm) = 0

nicht invertierbar. Jedes Primideal p von R mit dim(Rp) = 1 ist ein Hauptideal

und invertierbar.

9.4 Ganze Ringerweiterungen

Seien S ein Ring und R ein Teilring von S. Dann nennen wir S auch einen Erwei-

terungsring von R und S/R eine Ringerweiterung. Gemaß unseren Konventionen

gilt 1R = 1S.

Ist S/R eine Ringerweiterung, konnen wir S auch als R-Algebra und R-Modul

auffassen. Dann heißt S von endlichem Typ uber R, wenn S als R-Algebra endlich

erzeugt ist, wenn es also x1, . . . , xn ∈ S mit S = R[x1, . . . , xn] gibt. Weiter heißt S

endlich uber R, wenn S als R-Modul endlich erzeugt ist, wenn es also y1, . . . , ym ∈S mit S = Ry1 + · · ·+Rym gibt.

Ein Element x ∈ S heißt ganz uber R, wenn es ein normiertes Polynom

f ∈ R[t] mit f(x) = 0 gibt. Die Ringerweiterung S/R heißt ganz, wenn jedes

x ∈ S ganz uber R ist. Der ganze Abschluß von R in S ist Cl(R, S) = {x ∈S | x ganz uber R}. Der Ring R heißt ganz abgeschlossen (normal) in S, wenn

Cl(R, S) = R gilt. Ferner heißt R ganz abgeschlossen (normal), wenn R ganz

abgeschlossen in S = Quot(R) ist.

9.24 Lemma. Sei S/R eine Ringerweiterung und x ∈ S. Dann sind aquivalent:

(i) x ist ganz uber R.

(ii) R[x] ist endlich uber R.

9.4. GANZE RINGERWEITERUNGEN 265

(iii) Es gibt einen uber R endlich erzeugten R[x]-Modul M mit AnnR[x](M) = {0}.Beweis. (i)⇒ (ii): Sei f(x) = 0 mit f =

∑ni=0 λit

i und λi ∈ R, λn = 1. Dann gilt

0 = f(x) = xn +∑n−1

i=1 λixi, also xn =

∑n−1i=0 (−λi)xi. Daher bilden 1, x, . . . , xn−1

ein endliches Erzeugendensystem von R[x].

(ii)⇒ (iii): Sei M = R[x]. Nach Voraussetzung ist M endlich erzeugt uber R

und wegen 1 ∈M folgt aus zM = {0} fur z ∈ R[x] bereits z · 1 = z = 0. Also gilt

AnnR[x](M) = {0}.(iii) ⇒ (i): Sei φ ∈ EndR[x](M) mit φ(m) = xm. Nach Satz 8.25 angewendet

auf M , I = R und φ gibt es ein normiertes f ∈ R[t] mit f(φ) = 0, also f(x)M =

{0}. Wegen AnnR[x](M) = {0} folgt f(x) = 0.

9.25 Satz. Seien S/R und T/S Ringerweiterungen.

(i) Ist S endlich uber R, so ist S ganz uber R.

(ii) Wenn T endlich uber S und S endlich uber R ist, so ist T endlich uber R.

Ist T endlich uber R, so ist T endlich uber S.

(iii) Sind die x1, . . . , xn ∈ S ganz uber R, so ist R[x1, . . . , xn] endlich uber R.

(iv) T ist genau dann ganz uber R, wenn T ganz uber S und S ganz uber R ist.

(v) Cl(R, S) ist ein Erweiterungsring von R.

(vi) Cl(R, S) ist ganz abgeschlossen in S.

Beweis. (i): Folgt aus Lemma 9.24, (iii) mit M = S.

(ii): Sind die xi ein Erzeugendensystem von T uber S und die yj ein Erzeu-

gendensystem von S uber R, so sind die xiyj ein Erzeugendensystem von T uber

R, was die erste Aussage beweist.

Sind die xi ein Erzeugendensystem von T uber R, so sind die xi auch ein

Erzeugendensystem von T uber S, was die zweite Aussage beweist.

(iii): Aus Lemma 9.24, (ii) und der zweiten Aussage in (ii) folgt, daß R[x1, . . . ,

xi] endlich uber R[x1, . . . , xi−1] ist. Aus der ersten Aussage in (ii) mehrfach an-

gewendet ergibt sich damit, daß R[x1, . . . , xn] endlich uber R ist.

(iv):”⇒“ folgt direkt aus der Definition von

”ganz“. Fur

”⇐“ sei x ∈ T

und f =∑n

i=0 λiti ∈ S[t] mit λn = 1 und f(x) = 0. Nach (iii) und (ii) ist

R[λ1, . . . , λn, x] endlich uber R und wegen (i) dann auch ganz uber R. Also ist

speziell x ganz uber R.

(v): Es gilt R ⊆ Cl(R, S), da R ganz uber R ist. Fur x, y ∈ Cl(R, S) ist R[x, y]

nach (iii) und (i) ganz uber R. Wegen x + y, xy ∈ R[x, y] sind dann auch x + y

und xy ganz uber R, also gilt x+ y, xy ∈ Cl(R, S).

(vi) Cl(R, S) ist nach (iv) ganz abgeschlossen in S.


9.26 Satz. Jeder faktorielle Ring R ist ganz abgeschlossen.

Beweis. Seien x/u ∈ Quot(R) mit x, u ∈ R teilerfremd und λi ∈ R mit (x/u)n +∑n−1

i=0 λi(x/u)i = 0. Multiplikation mit un liefert xn +

∑n−1i=0 λiu

n−ixi = 0. Wegen

i ≤ n− 1 ist xn durch u teilbar, im Widerspruch zur Annahme.

9.27 Satz. Sei S/R eine Ringerweiterung und U eine multiplikativ abgeschlossene

Teilmenge von R mit 1 ∈ U .

(i) Ist S/R ganz, so ist auch S[U−1]/R[U−1] ganz.

(ii) Es gilt Cl(R, S)[U−1] = Cl(R[U−1], S[U−1]).

(iii) R ist genau dann ganz abgeschlossen in S, wenn Rm fur jedes maximale

Ideal m von R ganz abgeschlossen in Sm = S[(R\m)−1] ist.

Beweis. (i): Sei x/u ∈ S[U−1] mit x ∈ S und u ∈ U . Dann ist x ganz uber R,

es gibt also λi ∈ R mit xn +∑n−1

i=0 λixi = 0. Division durch un liefert (x/u)n +

∑n−1i=0 (λi/u

n−i)(x/u)i = 0 in S[U−1] mit λi/un−i ∈ R[U−1]. Also ist x/u ganz

uber R[U−1].

(ii): Cl(R, S) ist ganz uber R, also ist auch Cl(R, S)[U−1] ganz uber R[U−1]

nach (i). Es folgt Cl(R, S)[U−1] ⊆ Cl(R[U−1], S[U−1]).

Sei x/u ∈ Cl(R[U−1], S[U−1]) mit x ∈ S und u ∈ U . Zum Nachweis von

x/u ∈ Cl(R, S)[U−1] mussen wir zeigen, daß es ein v ∈ U mit xv ganz uber

R gibt. Sei (x/u)n +∑n−1

i=0 (λi/ui)(x/u)i = 0 mit λi ∈ R und ui ∈ U . Sei v =

∏n−1i=0 ui. Multiplikation mit (uv)n liefert (xv)n +

∑n−1i=0 (λiu

n−ivn−i/ui)(xv)i = 0

in S[U−1], wobei λiun−ivn−i/ui ∈ R wegen i ≤ n− 1 gilt. Also gibt es w ∈ U mit

w((xv)n +∑n−1

i=0 (λiun−ivn−i/ui)(xv)

i) = 0 in S. Durch Multiplikation der Glei-

chung in S[U−1] mit wn erhalten wir (xvw)n+∑n−1

i=0 (λiun−ivn−iwn−i/ui)(xvw)i =

0 in S. Also ist xvw ganz uberR und es folgt x/u = (xvw)/(uvw) ∈ Cl(R, S)[U−1],

das heißt Cl(R[U−1], S[U−1]) ⊆ Cl(R, S)[U−1].

(iii): Wir betrachten den Inklusionshomomorphismus φ : R → Cl(R, S) und

die Lokalisierungen φm : Rm → Cl(R, S)m. Wegen Cl(R, S)m = Cl(Rm, Sm) nach

(ii) sind die φm genau dann Isomorphismen, wenn Rm fur alle m ganz abgeschlos-

sen in Sm ist. Ebenso ist φ genau dann ein Isomorphismus, wenn R ganz abge-

schlossen in S ist. Die Aquivalenz dieser Aussagen folgt nun aus Satz 8.13.

Die Aussage (iii) gilt dann naturlich auch wieder fur alle Primideale p von R

anstelle der maximalen Ideale m von R.

9.5. GLOBALE CHARAKTERISIERUNG VON DEDEKINDRINGEN 267

9.5 Globale Charakterisierung von Dedekind-

ringen

Sei M ein R-Modul. Ist p ein Primideal von R mit p = AnnR(m) fur ein m ∈M ,

so heißt p ein assoziiertes Primideal von M . Wegen p 6= R folgt hier m 6= 0. Es

gilt p ⊇ AnnR(M).


(i) Sei J ein maximales Ideal in der Menge I = {AnnR(m) |m ∈ M\{0}}.Dann ist J ein Primideal.

(ii) Jeder R-Modul M 6= 0 mit R noethersch besitzt ein assoziiertes Primideal.

Beweis. (i): Sei m ∈ M\{0} mit J = AnnR(m). Zunachst gilt J 6= R, da m 6= 0.

Seien x, y ∈ R mit xy ∈ J und x 6∈ J . Dann ist xm 6= 0 und (Ry+J)(xm) = {0}.Wegen der Maximalitat von J folgt J = Ry + J , also y ∈ J . Daher ist J ein

Primideal.

(ii): Wegen M 6= 0 gilt I 6= ∅. Da R noethersch ist, gibt es in I ein maximales

Ideal J , welches nach (i) ein Primideal ist.

9.29 Lemma. Sei R ein lokaler noetherscher Integritatsring R der Dimension 1.

Dann sind aquivalent:

(i) R ist ganz abgeschlossen.

(ii) (I : I) = R fur jedes Ideal I 6= 0 von R.

(iii) R ist ein diskreter Bewertungsring.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Wegen RI = I gilt (I : I) ⊇ R. Damit ist (I : I) ist ein

Erweiterungsring von R und I sowohl ein R- als auch ein (I : I)-Modul. Da R

noethersch ist, ist I in beiden Fallen endlich erzeugt. Da (I : I) ein Integritatsring

und I 6= 0 ist, folgt Ann(I:I)(I) = {0}. Nach Satz 9.24, (iii) sind daher die

Elemente aus (I : I) ganz uber R. Da R ganz abgeschlossen ist, folgt (I : I) ⊆ R,

also (I : I) = R.

(ii) ⇒ (iii): Sei p das maximale Ideal von R. Es gilt R ⊆ p−1 und daher ist

p−1p ein Ideal von R mit p ⊆ p−1p ⊆ R. Da p maximal ist, gilt p−1p = p oder

p−1p = R.

Wir nehmen p−1p = p an. Da R Dimension 1 hat, ist p 6= 0. Nach (ii) gilt

dann p−1 ⊆ R, mit oben also p−1 = R. Nach Satz 9.28 gibt es zu x ∈ p\{0} ein

assoziiertes Primideal q ⊆ R von R/Rx. Wegen q ⊇ AnnR(R/Rx) = Rx 6= 0 und

da R Dimension 1 hat, folgt p = q. Nach der Definition von assoziiertem Primideal


gibt es also y ∈ R\Rx mit py ⊆ Rx. Es gilt also (y/x)p ⊆ R und y/x 6∈ R. Daraus

folgt p−1 6⊆ R. Also ist p−1p = p nicht moglich, es gilt p−1p = R. Damit ist p

invertierbar, und nach Satz 9.22, (i) ist R ein diskreter Bewertungsring.

(iii)⇒ (i): Jeder diskrete Bewertungsring ist auch ein faktorieller Ring. Nach

Satz 9.26 ist R ganz abgeschlossen.

9.30 Satz. Sei R ein noetherscher Integritatsring R der Dimension 1. Dann sind

aquivalent:

(i) R ist ganz abgeschlossen.

(ii) (I : I) = R fur jedes Ideal I 6= 0 von R.

(iii) R ist ein Dedekindring.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Nach Satz 9.27, (iii) ist Rp ganz abgeschlossen fur jedes

Primideal p von R. Nach Lemma 9.29 gilt damit (Ip : Ip) = Rp fur alle p. Nach

Satz 8.13 und Lemma 9.11 folgt (I : I) = R.

(ii)⇒ (iii): Fur jedes Primideal p von R und jedes Ideal J von Rp ist I = J∩Rein Ideal von R mit Ip = J . Wegen (I : I) = R gilt (J : J) = (Ip : Ip) = Rp

nach Lemma 9.11. Nach Lemma 9.29 ist Rp ein diskreter Bewertungsring fur alle

p. Nach Satz 9.18 ist R dann ein Dedekindring.

(iii)⇒ (i): Nach Satz 9.18 ist Rp ein diskreter Bewertungsring fur alle Prim-

ideale p von R. Nach Lemma 9.29 ist Rp ganz abgeschlossen fur alle p. Nach

Satz 9.27, (iii) ist damit R ganz abgeschlossen.

Der Satz 9.30 enthalt Lemma 9.29 als Spezialfall, wenn man R lokalisiert. Die

Aquivalenz von (i) und (ii) gilt auch ohne die Voraussetzung dim(R) = 1, und

(iii) wird durch die Aussage ersetzt, daß fur jedes zu R/Rx mit x 6= 0 assoziierte

Primideal p der lokale Ring Rp ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu beweist

man eine Version von Satz 8.13 unter der Voraussetzung R noethersch, in der nur

fur solche assoziierte Primideale lokalisiert werden muß. Dann tauchen im Beweis

von Satz 9.30 nur noch zu R/Rx mit x 6= 0 assoziierte Primideale p auf. Speziell

wird Lemma 9.29 im Beweis von Satz 9.30 nur fur Rp mit zu Rp/xRp assoziierten

Primidealen pRp angewendet. Der Beweis von Lemma 9.29 basiert dann direkt

auf dieser Eigenschaft und benotigt die Voraussetzung dim(R) = 1 nicht mehr.

Fur einen ganz abgeschlossenen, noetherschen Integritatsring R und ein Prim-

ideal p von R mit dim(Rp) = 1 ist Rp nach Satz 9.27, (iii) ganz abgeschlossen und

daher nach Lemma 9.29 ein diskreter Bewertungsring. Ist dann noch Rm faktoriell

fur alle maximalen Ideale m ⊇ p, so ist p nach Satz 9.22 invertierbar. Damit R

nicht singular im Sinn der Bemerkung nach Satz 9.23 ist (Rm faktoriell fur jedes

maximale Ideal m von R), muß R also notwendigerweise ganz abgeschlossen sein.

9.5. GLOBALE CHARAKTERISIERUNG VON DEDEKINDRINGEN 269

Fur dim(R) = 1 ist dies nach Satz 9.30 auch hinreichend, weil jedes Primideal p

mit dim(Rp) = 1 maximal ist. Fur dim(R) ≥ 2 gibt es Beispiele, in denen R ganz

abgeschlossen ist und es dennoch singulare maximale Ideale m von R gibt (also

Rm nicht faktoriell).

Die Aussage (ii) von Satz 9.30 kann fur die Berechnung von Cl(R,Quot(R))

genutzt werden. Fur invertierbare Ideale I gilt stets (I : I) = I−1I = R. Durch

das Aufspuren geeigneter, nicht invertierbarer Ideale I und die Bestimmung der

Erweiterungsringe (I : I) von R konnen wir R sukzessive zu Cl(R,Quot(R))

erweitern. Ist zum Beispiel p ein Primideal 6= 0 mit Rp nicht ganz abgeschlossen,

so gilt p−1p ⊆ pRp ∩ R = p und p−1 6⊆ R nach dem Beweis von Lemma 9.29.

Daraus folgt, daß (p : p) ein uber R ganzer Erweiterungsring von Rmit (p : p) 6= R

ist.

Im folgenden Satz wird das leere Produkt fur I = R mit eingerechnet.

9.31 Satz. Sei R ein Integritatsring mit der Eigenschaft, daß jedes Ideal ein

Produkt von Primidealen ist. Dann ist R ein Dedekindring.

Beweis. Ist zwar nicht so schwer und lang, lassen wir aber aus.

Die klassische Zusammenfassung der aquivalenten Eigenschaften eines Dede-

kindrings liefert nun der folgende Satz.

9.32 Satz. Fur einen Integritatsring R sind aquivalent:

(i) R ist ein Dedekindring.

(ii) Jedes Ideal 6= 0 laßt sich bis auf die Reihenfolge auf genau eine Weise als

Produkt von Primidealen von R schreiben.

(iii) R ist noethersch und Rp ist ein diskreter Bewertungsring fur jedes maximale

Ideal m 6= 0 von R.

(iv) R ist ganz abgeschlossen und noethersch, und jedes Primideal 6= 0 von R ist

maximal.

Beweis. (i)⇒ (ii): Satz 9.8.

(ii)⇒ (i): Satz 9.31.

(i)⇔ (iii): Satz 9.18.

(i)⇔ (iv): Satz 9.30.

Hier ist eine weitere Eigenschaft von Dedekindringen (vgl. das Diagramm auf

Seite 81).


9.33 Satz. Ein noetherscher Integritatsbereich R ist genau dann ein Hauptideal-

ring, wenn R ein Dedekindring und faktoriell ist.

Beweis.”⇒“: Da Hauptideale 6= 0 invertierbar sind, ist diese Aussage klar.

”⇐“: Sei p 6= 0 ein Primideal von R und x ∈ p\{0}. Sei Rx =

∏

i pi die

Faktorisierung in Primideale mit p1 = p. Sei x =∏

j πj eine Faktorisierung in

Primelemente. Die Ideale Rπj sind dann Primideale und es gilt Rx =∏

j Rπj .

Wegen der Eindeutigkeit der Faktorisierung folgt p = Rπj fur ein j. Also ist p ein

Hauptideal. Da p beliebig war, sind alle Primideale und damit alle Ideale von R

Hauptideale.

9.6 Beispiele

Beispiele fur freie Moduln sind die R-Moduln Rn.

Ein Beispiel fur einen projektiven, aber nicht freien Modul ist R = Z[√−5]

und das Ideal M = 2R + (1 +√−5)R. Der Beweis dieser Tatsache fallt in die

algebraische Zahlentheorie (R ist ganzalgebraisch abgeschlossen, also ein Dede-

kindring, und M ist kein Hauptideal. Die Klassenzahl von R ist 2).

Hier sind weitere Details zu diesem Beispiel. Sei ρ =√−5. Dann gilt 6 = 2·3 =

(1 + ρ)(1− ρ). Man kann zeigen, daß 2, 3, 1 + ρ und 1− ρ irreduzible Elemente

in R sind. Also ist R ein Ring, in dem es keine eindeutige Faktorisierung in

Primelemente mehr gibt. Zur Abhilfe wurden von Kummer in der zweiten Halfte

des 19. Jahrhunderts”ideale Zahlen“ eingefuhrt, mit denen dann eine eindeutige

Faktorisierung moglich sein sollte (vergleichbar mit dem Ubergang von Z nach

Q, so daß jede Zahl in Z invertierbar wird). Bei diesen handelt es sich schlicht

um (invertierbare) Ideale von R. Das geht dann wie folgt: Sei p = 2R+ (1 + ρ)R,

q1 = 3R+(1+ρ)R und q2 = 3R+(1−ρ)R. Dann sind p, q1 und q1 Primideale. (

Ein Beweis dieser Tatsache kann im Prinzip wie folgt gehen: Sei p eine Primzahl

und f = t2 + 5 ∈ Z[t] Dann gilt R ∼= Z[t]/(f). Wir betrachten die naturlichen

Homomorphismen φ : R 7→ R⊗Z Fp und ψ : R⊗Z Fp → Fp[t]/(g), wobei g ∈ Fp[t]

die Reduktion von f ∈ Z[t] ist. Nach einer Ubungsaufgabe wissen wir, daß ψ

ein Isomorphismus ist. Der Homomorphismus φ ist surjektiv und hat den Kern

pR. Die Verknupfung ψ ◦ φ ist gerade der kanonische Epimorphismus. Damit

entsprechen sich die Primideale p von R mit p ∈ p und die Primideale von R⊗Z Fpeineindeutig. Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes konnen wir die Primideale von

Fp[t]/(g) bestimmen, dann ihre Urbilder unter ψ und ihre Urbilder unter φ. Die

Primideale von Fp[t]/(g) werden von den irreduziblen Faktoren von g erzeugt. )

9.6. BEISPIELE 271

Weiter gilt

p2 = 2R, q1q2 = 3R

pq1 = (1 + ρ)R, pq2 = (1− ρ)R.

Daraus folgt fur die Faktorisierung von 6:

6R = 2R · 3R = p2q1q2

6R = (1 + ρ)R · (1− ρ)R = pq1pq2 = p2q1q2.

Man sieht hier schon, wie durch die Hinzunahme der Primideale die Elementsi-

tuation erganzt wird. Speziell sind p, q1 und q2 keine Hauptideale, denn sonst

gabe es ja Primelemente, welche 2, 3, 1 + ρ und 1 − ρ teilen wurden und 2, 3,

1 + ρ und 1− ρ konnten nicht irreduzibel sein.

Wegen p2 = 2R und q1q2 = 3R sind diese Ideale invertierbare Ideale, da 2R

und 3R invertierbar sind. Damit sind sie auch projektiv. Sie sind aber nicht frei,

denn sonst mußten sie ja Hauptideale sein.

Typische Beispiele fur flache, aber nicht projektive R-Moduln kann man aus

den Moduln M [U−1], aufgefaßt als R-Moduln, erhalten. Sei R = M = Z, U = 〈3〉und M [U−1] = Z[1/3]. Der Z-Modul Z[1/3] ist einerseits nicht endlich erzeugt,

denn sonst waren die auftretenden Nenner in Z[1/3] beschrankt, andererseits sind

aber je zwei Elemente aus Z[1/3] uber Z linear abhangig. Insbesondere kann es

keine Einbettung von Z[1/3] in einen freien Z-Model geben, da in einem freien

Z-Modul Elemente nicht beliebig durch Potenzen von 3 teilbar sind, was aber

in Z[1/3] der Fall ist. Nach Satz 8.22, (ii) ist Z[1/3] daher nicht projektiv. Ein

weiteres Beispiel fur diesen Effekt ist Q als Z-Modul.

Torsionsfreie, aber nicht flache Moduln sind zum Beispiel das maximale Ideal

M von R = k[[x1, x2]] als R-Modul, oder M = Z[(1 +√

5)/2] als R = Z[√

5]-

Modul.

Skript zur Algebra I + II -...

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