Algebra 2 - Universit'at Bielefeld - Markus Rost ...dotten/files/sonstiges/Algebra2.pdf · Vorwort...

Universitat Bielefeld

Skript zur Vorlesung

Algebra 2

Prof. Dr. Markus Rost

Wintersemester 2006/2007, Universitat Bielefeld

Getext und uberarbeitet

von

Denny Otten

FAKULTAT FUR MATHEMATIK

Datum: 3. Juni 2007

Vorwort

Bei diesem Skript handelt es sich um eine uberarbeitete Mitschrift zur Vorlesung Algebra 2, die Prof.Dr. Markus Rost im Wintersemester 2006/2007 an der Universitat Bielefeld hielt.

Dieses Skript gleicht in weiten Zugen dem, was in der Vorlesung behandelt wurde. Ich empfand esjedoch unerlasslich, an einigen Stellen (zum Teil aus Wiederholungsgrunden) zusatzliche Definitioneneinzufuhren, die in der Vorlesung in dieser Ausfuhrlichkeit nicht an die Tafel geschrieben und vielmehrals elementares Grundwissen vorausgesetzt wurden. Ebenso wurden einige Beweise von mir uberar-beitet und etwas ausfuhrlicher veranschaulicht, andere hingegen wurden weggelassen. Des Weiterenhabe ich die Vorlesungsmitschrift an zahlreichen Stellen erganzt (stellvertretend seien die Einfuhrungdes Tensorproduktes und die Adjungierte genannt). Aus diesen Grunden weise ich an dieser Stelleausfuhrlich daraufhin, dass ich die Richtigkeit bis ins Einzelne nicht garantieren kann und daher keineHaftung fur eventuelle Fehler trage. Fur Fehlerbenachrichtigungen konnen Sie sich jedoch sehr gernean denny [email protected] wenden. Ich versuche diese dann umgehend auszubessern.

Fur diejenigen unter Ihnen die uber diese Themen hinaus interessiert sind, speziell zur thematischenFortsetzung der Brauergruppe, kann ich Ihnen das Skript von Prof. Dr. Ina Kersten nur von Herzennahe legen.

Bielefeld, Mai 2007 Denny Otten

INHALTSVERZEICHNIS II

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis II

Abbildungsverzeichnis IV

1 Quaternionen-Algebra 1

2 Ruckblick in die Lineare Algebra 7

3 Symmetrische Bilinearformen 13

4 Quadratische Formen, Ideale und R-Moduln 16

5 Summe von Quadraten, Radikale und Kreisteilungspolynom 27

6 Tensorprodukt von R-Moduln und universelle Eigenschaft 36

7 Tensorprodukt von abelschen Gruppen 46

8 Tensorprodukt von R-Algebren und universelle Eigenschaft 49

9 Tensoralgebra 53

10 Symmetrische Algebra 57

11 Außere Algebra 62

12 Graduierte Algebra 68

13 Mobiusband 75

14 Außere Potenz, Determinante, Adjungierte 80

15 Clifford-Algebra 86

16 Struktur der Clifford-Algebra 92

INHALTSVERZEICHNIS III

17 Oppositionelle-Algebra und Einfache-Algebren 97

18 Einfache Algebren und der Struktur-Satz von Wedderborn 102

19 Halbeinfache Algebren 110

20 Azumaya-Algebra 115

21 Brauergruppe 123

22 Satz von Skolem-Noether 131

23 Innerer Automorphismus, Außerer Automorphismus und Involution 134

Literaturverzeichnis A

Indexverzeichnis B

ABBILDUNGSVERZEICHNIS IV

Abbildungsverzeichnis

1 Mobiusband, Mobiusschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2 Copy and paste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1 QUATERNIONEN-ALGEBRA 1

1 Quaternionen-Algebra

In diesem ersten Kapitel werden wir uns mit den Quaternionen beschaftigen. Ihre Bezeichnung kommtaus dem lateinischen von dem Wort quaterni, was soviel wie

”je vier“oder auch

”Vierheit“bedeutet.

Dies liegt daran, dass die Quaternionen sich mit den Vektoren aus dem R4 identifizieren lassen, wobeidie Multiplikation gemaß den Hamilton-Regeln gilt. Die Quaternionen, die nun eingefuhrt und imgesamten Skript mit H bezeichnet werden, wurden erstmals 1843 von Sir William Rowan Hamilton(1805-1865) erdacht.

Definition 1: (Quaternionen)

H := R⊕ i · R⊕ j · R⊕ k · R = {x0 + i · x1 + j · x2 + k · x3 | x0, x1, x2, x3 ∈ R}

heißen Quaternionen (oder: hamiltonsche Quaternionen, Hamilton Zahlen)Bemerke: (1): R ⊂ C ⊂ H, (2): Ein Element x ∈ H heißt Quaternion, (3): Fur die Elemente i, j, kgelte die folgende Regel:

i2 = j2 = k2 = i · j · k = −1 (Hamilton-Regeln)

(4): Die Quaternionen H sind eine vierdimensionale R-Algebra, H ist ein R-Vektorraum mit Basis{1, i, j, k}. (5): Die Quaternionen H sind ein Schiefkorper.

Lemma 2

(H1): i · j = k, j · k = i, k · i = j

(H2): j · i = −k, k · j = −i, i · k = −j

Dann gilt: (H1) und (H2) sind zusammen aquivalent zu i2 = j2 = k2 = i · j · k = −1.

Beweis: (Lemma 2)⇐=:k2 = ijk ⇐⇒ k = ij,i2 = ijk ⇐⇒ i = jk,j2 = ijk ⇐⇒ j2 = ijij ⇐⇒ j = iji⇐⇒ j = ki.Damit ist (H1) gezeigt. Nun zu (H2):k2 = −1 ⇐⇒ ijij = −1 ⇐⇒ ijijj = −j ⇐⇒ −iji = −j ⇐⇒ −ijii = −ji ⇐⇒ ij = −ji ⇐⇒ −ij =ji⇐⇒ ji = k,j2 = −1⇐⇒ kiki = −1⇐⇒ kikii = −i⇐⇒ −kik = −i⇐⇒ −kikk = −ik ⇐⇒ ki = −ik ←→ −ki =ik ⇐⇒ −j = ik,i2 = −1 ⇐⇒ jkjk = −1 ⇐⇒ jkjkk = −k ⇐⇒ −jkj = −k ⇐⇒ −jkjj = −kj ⇐⇒ jk = −kj ⇐⇒−jk = kj ⇐⇒ −i = kj=⇒: ohne Beweis


Bemerkung 3:(1): Die Elemente i, j, k antikommutieren, d.h.

i · j = −j · i (denn: i · j = k = −(−k) = −j · i)j · k = −k · j (denn: j · k = i = −(−i) = −k · j)k · i = −i · k (denn: k · i = j = −(−j) = −i · k)

(2): Die Quaternionen sind somit ein Schiefkorper, d.h. die Multiplikation in H ist im Allgemeinennicht kommutativ, womit einige bekannte Rechenregeln aus dem Reellen nicht gelten, wie zumBeispiel die binomische Formel (a + b)(a− b) = a2 − b2, da hierbei ab = ba vorausgesetzt wird.(3): Die Addition und Multiplikation in H sind definiert durch:

+ : H×H −→ H mit (x0 + i · x1 + j · x2 + k · x3, y0 + i · y1 + j · y2 + k · y3)

7−→ (x0 + y0) + i · (x1 + y1) + j · (x2 + y2) + k · (x3 + y3)

· : H×H −→ H mit (x0 + i · x1 + j · x2 + k · x3, y0 + i · y1 + j · y2 + k · y3)

7−→ (x0y0 − x1y1 − x2y2 − x3y3) + i · (x0y1 + x1y0 + x2y3 + x3y2)

+ j · (x0y2 − x1y3 + x2y0 + x3y1) + k · (x0y3 + x1y2 − x2y1 + x3y0)

Definition 4: (Quaternionen-Algebra)K Korper mit char(K) 6= 2, K∗ = K\{0}, L ⊃ K Korpererweiterung von K, a, b ∈ K∗ und α2 = a.Dann:

Q(a, b) := K ⊕(

α 00 −α

)

︸︷︷︸

=:x

·K ⊕(

0 b1 0

)

︸︷︷︸

=:y

·K ⊕(

0 αb−α 0

)

︸︷︷︸

=xy

·K

heißt Quaternionen-Algebra von K, a und b.Bemerke: Q(a,b) ist eine Unteralgebra der Matrizenalgebra M2(L) = L2×2 und zudem assoziativ.

Lemma 5:Es gilt:

(1): x2 = a · E2

(2): y2 = b · E2

(3): xy = −yx

wobei E2 die 2-dimensionale Einheitsmatrix ist.

Beweis: (Lemma 2)

(1): x2 =

(α 00 −α

)

·(

α 00 −α

)

=

(α2 00 α2

)

=

(a 00 a

)

= a

(2): y2 =

(0 b1 0

)

·(

0 b1 0

)

=

(b 00 b

)

= b

(3): xy =

(α 00 −α

)

·(

0 b1 0

)

=

(0 αb−α 0

)

= −(

0 −αbα 0

)

= −(

0 b1 0

)

·(

α 00 −α

)

= −yx


Corollar 6:{1, x, y, xy} bildet eine Basis der Quaternionen-Algebra Q(a, b).

Beweis: (Corollar 6)Zum einen sind 1, x, y, xy K-linear unabhangig

1 =

(1 00 1

)

, x =

(α 00 −α

)

, y =

(0 b1 0

)

, xy =

(0 αb−α 0

)

,

und zum anderen gilt: K + x · K + y · K + xy · K ⊂ M2(L) ist abgeschlossen unter Multiplikation.

Beispiel 7:K = R, L = C, a, b ∈ R∗ mit a = b = −1. Dann erzeugen die sogenannten Pauli-Matrizen

σ1 :=

(1 00 −1

)

, σ2 :=

(0 11 0

)

, σ3 :=

(0 −iCiC 0

)

die Quaternionen-Algebra Q(−1,−1) durch die Kombination von den −iC · σ1, −iC · σ2, −iC · σ3:

Q(−1,−1) = R⊕(−iC 00 iC

)

︸︷︷︸

=−iC·σ1=:i

·R⊕(

0 −iC−iC 0

)

︸︷︷︸

=−iC·σ2=:j

·R⊕(

0 −11 0

)

︸︷︷︸

=−iC·σ3=:k

·R⊕

Damit enthalt Q(−1− 1) die Pauli-Matrizen und H = Q(−1,−1).

Lemma 8:u ∈ Q(a, b) mit u =

(1 00 1

)

· u0 +

(α 00 −α

)

· u1 +

(0 b1 0

)

· u2 +

(0 αb−α 0

)

· u3, wobei

u0, u1, u2, u3 ∈ K. Dann gilt:

(1): det(u) = u20 − a · u2

1 − b · u22 + ab · u2

3

Bemerke: Speziell fur u ∈ Q(−1,−1) gilt:

(2): det(u) = u20 + u2

1 + u22 + u2

3

Beweis: (Lemma 8)(1):

det(u) = det

((u0 00 u0

)

+

(αu1 00 −αu1

)

+

(0 bu2

u2 0

)

+

(0 αbu3

−αu3 u0

))

= det

(u0 + αu1 bu2 + αbu3

u2 − αu3 u0 − αu1

)

= (u0 + αu1)(u0 − αu1)− (u2 − αu3)(bu2 + αbu3)

= u20 − α2u2

1 − bu22 + α2bu2

3 = u20 − au2

1 − bu22 + abu2

3

(2): Setze a = b = −1 in (1) ein.


Satz 9:K Korper mit char(K) 6= 2, K∗ = K\{0}, a, b, c ∈ K∗ mit a·b·c = −1, Q = 1·K⊕x·K⊕y·K⊕z ·K.Dann gilt fur den K-Vektorraum Q:

∃1 µ : Q×Q −→ Q mit (α, β) 7−→ µ(α, β) := α · β K-bilinear

so dass die folgenden zwei Bedingungen erfullt sind:

(1): (Q, · ) ist eine assoziative K-Algebra mit 1

(2): x · y · z = 1

x2 = a

y2 = b

z2 = c (wobei c = (−ab)−1)

Beweis: (Satz 9)ohne Beweis

Bemerkung 10:Es sind folgende zwei Aussagen aquivalent:

(1): x · y · z = 1, x2 = a, y2 = b, z2 = c

(2): z = x · y · c, x2 = a, y2 = b, xy + yx = 0

Beweis: (Bemerkung 10)=⇒:

1 = xyz =⇒ 1 = xyxyzz =⇒ 1 = xyxyc =⇒ −ab = xyxy =⇒ ab = −xyxy =⇒ ay2 = −xyxy

=⇒ ay = −xyx =⇒ x2y = −xyx =⇒ xy = −yx =⇒ xy + yx = 0

Wir verwenden nun x−1 = xa−1 und y−1 = yb−1:

xyz = 1 =⇒ yz = xa−1 =⇒ z = yb−1xa−1 =⇒ z = yxb−1a−1 bereits gezeigt=⇒ z = −xy(ab)−1

=⇒ z = −xyc

⇐=:zur Ubung


Lemma 11: (Isomorphieeingenschaften der Quaternionen-Algebra)

(1): Q(a, b) ∼= Q(b, a)

(2): Q(a, b) ∼= Q(ae2, b) ∀ e ∈ K∗ = K\{0}(3): Q(a, b) ∼= Q(a,−ab)

(4): Q(1, b) ∼= M2(K) = K2×2

(5): Q(a, b) ∼= Q(a, b(1− a)) ∀ 1 6= a ∈ K∗ = K\{0}(6): Q(a, b) ∼= Q(a, b(e2 − af2)) ∀ e, f ∈ K mit e2 − af2 6= 0

Beweis: (Lemma 11)zu (1):Der Isomorphismus ist gegeben durch

Q(a, b) −→ Q(b, a) mit x 7−→ y und y 7−→ x

Die Umkehrabbildung ist Q(b, a) −→ Q(a, b) mit y 7−→ x und x 7−→ y. Es sei bemerkt, dass esausreicht, die Abbildung fur die Erzeuger zu definieren.zu (2):

Q(a, b) −→ Q(ae2, b) mit x 7−→ x′e−1 und y 7−→ y′

wobei x2 = a, y2 = b, yx = −xy und (x′)2 = ae2, (y′)2 = b, y′x′ = −x′y′.zu (3):

Q(a,−ab) −→ Q(a, b) mit x′ 7−→ x und y′ 7−→ xy

wobei (xy)2 = −ab. Alternativ wegen der Symmetrie aus (1) gilt: Q(a, b) ≡ Q(b, c) ≡ Q(c, a), wobeic = (−ab)−1 = (−ab) · e2 und e = (−ab)−1.zu (4):

Q(1, b) =⟨x, y | x2 = 1, y2 = b, xy = −yx

⟩ ∼= M2(K)

x 7−→(

1 00 −1

)

und y 7−→(

0 b1 0

)

zu (5):Mit dem folgenden Satz 12(3) speziell fur e = f = 1 folgt die Behauptung.zu (6):Dies ist prazise die Aussage aus dem folgenden Satz 12(3).

Satz 12: (Ketten-Lemma)Q(a, b) ∼= Q(c, d) mit (a, b), (c, d) ∈ K∗×K∗. Dann gilt: (c, d) lasst sich aus (a, b) durch Operationender folgenden Form herleiten:

(1): (a, b) 7−→ (ag2, bh2) ∀ g, h ∈ K mit eg2 6= 0 und bh2 6= 0

(2): (a, b) 7−→ (b, a)

(3): (a, b) 7−→ (a, b(e2 − af2)) ∀ e, f ∈ K mit e2 − af2 6= 0


Beweis: (Satz 12)ohne Beweis.

2 RUCKBLICK IN DIE LINEARE ALGEBRA 7

2 Ruckblick in die Lineare Algebra

Definition 1: (Charakteristisches Polynom)A ∈Mn(K) = Kn×n. Dann:

χA(λ) := det(λ · En −A) = λn − c1 · λn−1 + c2 · λn−2 − · · ·+ (−1)n · cn

heißt charakteristisches Polynom von A

wobei c1, . . . , cn ∈ K und En die n-dimensionale Einheitsmatrix sind. Bemerke:

(1): χA(λ) ∈ K[λ]

(2): c1 = spur(A) =n∑

i=1

aii und cn = det(A) =n∑

j=1

[(−1)1+j · aij · det(A1j)

]

Satz 2: (Cayley-Hamilton)A ∈Mn(K). Dann gilt:

χA(A) = 0

Bemerke: D.h. jede quadratische Matrix ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms.

Beweis: (Satz 2)ohne Beweis (siehe Lineare Algebra)

Definition 3: (Adjungierte Matrix)A ∈Mn(K). Dann:

A∗ ist definiert durch 〈Av, w〉 = 〈v, A∗w〉 ∀ v, w ∈ Kn heißt die zu A adjungierte Matrix

Hierbei bezeichnet 〈 · , · 〉 das kanonische Skalarprodukt. Oder anders ausgedruckt: Sei λn − c1 ·λn−1 + · · ·+ (−1)n · cn das charakteristische Polynom von A. Dann:

A∗ := cn−1 − cn−2 ·A + cn−3 ·A2 − · · · − (−1)n−2 · c1 ·An−2 + (−1)n−1 ·An−1


Satz 4:A, B ∈Mn(K). Dann gilt:

(1): A∗ = AT ⇐⇒ K = R (6): (A ·B)∗ = B∗ ·A∗

(2): A∗ = AT ⇐⇒ K = C (7): (A ·B)−1 = B−1 ·A−1

(3): (A + B)∗ = A∗ + B∗ (8): (A∗)∗ = A

(4): A ·A∗ = det(A) · E (9): det(A∗) = det(A)

(5): (A−1)∗ = (A∗)−1

Bemerke: In (4) und (5) wird zusatzlich vorausgesetzt, dass A invertierbar ist, und in (7), dasssowohl A als auch B invertierbar ist.

Beweis: (Satz 4)ohne Beweis (siehe Lineare Algebra)

Beispiel 5:A ∈M2(K) mit A =

(a bc d

)

. Dann ist A∗ =

(d −b−c a

)

. Insbesondere gilt:

A ·A∗ = (ad− bc) ·(

1 00 1

)

= det(A) · E und

A + A∗ = (a + d) ·(

1 00 1

)

= spur(A) · E

Bemerkung 6:Kommen wir nun zuruck zu den Quaternionen-Algebren und betrachte die folgende Situation:α ∈ Q(a, b) und L sei im Folgenden wieder eine Korpererweiterung des Korpers K:

ϕ : Q(a, b) →M2(L) mit 1 7−→(

1 00 1

)

, x 7−→(

α 00 −α

)

,

y 7−→(

0 b1 0

)

, xy 7−→(

0 αb−α 0

)

Bemerkung 7:Es sei darauf hingewiesen, dass Definition 3 analog fur Abbildungen ϕ, ϕ∗ ∈ End(V ) (wobei VK-Vektorraum, z.B.: V = Kn) festgelegt ist (ϕ∗ heißt dann der zu ϕ adjungierte Operator). Indiesem Zusammenhang gilt:

(ϕ(α))∗ ∈ ϕ (Q(a, b))

Beweis: (Bemerkung 7)(ϕ(1))∗ = ϕ(1), (ϕ(u))∗ = −ϕ(u) fur u = x, y, xy (weil: spur(ϕ(u)) = 0.


Definition 8: (Konjugation der Quaternionen-Algebra)

− : Q(a, b) −→ Q(a, b) mit 1 7−→ 1 := 1, x 7−→ x := −x,

y 7−→ y := −y, xy 7−→ xy := −xy

heißt Konjugation und ist K-linear. Bemerke: Es gilt

ϕ(α) = (ϕ(α))∗

Lemma 9:

α · β = β · α ∀α, β ∈ Q(a, b)

Beweis: (Lemma 9)Dies folgt aus (A · B)∗ = B∗ · A∗ fur A, B ∈ M2(L), lasst sich mit Hilfe von Bemerkung 1.3 (3) undLemma 1.5 aber auch mit ein wenig Rechenaufwand nachrechnen:α = α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3 ∈ Q(a, b), β = β0 + x · β1 + y · β2 + xy · β3 ∈ Q(a, b). Dann:

α · β = (α0β0 + aα1β1 + bα2β2 − abα3β3) + x(α1β0 + α0β1 + bα3β2 − bα2β3)

+ y(α2β0 − aα3β1 + α0β2 + aα1β3) + xy(α3β0 − α2β1 + α1β2 + α0β3)

= (β0 + (−x) · β1 + (−y) · β2 + (−xy) · β3) · (α0 + (−x) · α1 + (−y) · α2 + (−xy) · α3)

= β · α

Lemma 10:α ∈ Q(a, b). Dann gilt:

(1): α = α (3): α · α = α · α ∈ K · 1(2): α + α ∈ K · 1

Beweis: (Lemma 10)α = 1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3 ∈ Q(a, b). Dann:zu(1):

α = 1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3 = 1 · α0 + (−x) · α1 + (−y) · α2 + (−xy) · α3

= 1 · α0 + (−x) · α1 + (−y) · α2 + (−xy) · α3 = 1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3 = α

zu(2):

α + α = (1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3) + (1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3)

= (1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3) + 1 · α0 + (−x) · α1 + (−y) · α2 + (−xy) · α3

= 1 · (α0 + α0) + x · (α1 − α1) + y · (α2 − α2) + xy · (α3 − α3) = (α0 + α0) · 1 ∈ K · 1


zu(3):

α · α = (1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3) · (1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3)

= (1 · α0 + x · α1 + y · α2 + xy · α3) · (1 · α0 + (−x) · α1 + (−y) · α2 + (−xy) · α3)

= (α20 − aα2

1 − bα22 + abα2

3) · 1 ∈ K · 1

Definition 11: (Reduzierte Spur, Reduzierte Norm)

(1): Trd : Q(a, b) −→ K mit α 7−→ Trd(α) := α + α = 2 ·Re(α)

heißt reduzierte Spur von Q(a, b)

(2): Nrd : Q(a, b) −→ K mit α 7−→ Nrd(α) := α · α = |α|2

heißt reduzierte Norm von Q(a, b)

Die folgenden Diagramme kommutieren:

α Q(a, b)ϕ−→M2(L) A Q(a, b)

ϕ−→M2(L)

↓ − ↓ ↓ ∗ ↓ und Trd ↓ Nrd spur ↓ det

α Q(a, b)ϕ−→M2(L) A∗ K

ϕ−→ L

Definition 12: (Schiefkorper)

S heißt Schiefkorper ⇐⇒{

(1) : S ist Ring mit 1 6= 0

(2) : ∀ 0 6= a ∈ S ∃1 a−1 ∈ S : a · a−1 = a−1 · a = 1

Bemerke: Es Schiefkorper S unterscheidet sich von einem Korper nur darin, dass S alle Korperei-genschaften bis auf die Kommutativitat der Multiplikation erfullt.

Beispiel 13:Die Hamilton-Quaternionen H sind ein Schiefkorper.

Lemma 14:

Nrd(α · β) = Nrd(α) ·Nrd(β) ∀α, β ∈ Q(a, b)

Beweis: (Lemma 14)Dies folgt aus det(A · B) = det(A) · det(B) fur A, B ∈ M2(L), lasst sich mit Hilfe von Lemma 10 (3)aber auch mit ein wenig Rechenaufwand nachrechnen:

Nrd(α) ·Nrd(β) = ααββLemma 10 (3)

= (α20 − aα2

1 − bα22 + abα2

3) · (β20 − aβ2

1 − bβ22 + abβ2

3)

= (αβ) · (αβ) = Nrd(αβ)


Corollar 15:

α ∈ Q(a, b) invertierbar ⇐⇒ Nrd(α) 6= 0

Beweis: (Corollar 15)=⇒:Sei α ∈ Q(a, b) invertierbar, dann gibt es α−1 ∈ Q(a, b) mit α · α−1 = 1. Dann gilt:

1 = Nrd(1) = Nrd(α · α−1)Lemma 14

= Nrd(α) ·Nrd(α−1) =⇒ Nrd(α) 6= 0

⇐=:Sei Nrd(α) 6= 0. Dann gilt:

Nrd(α) = α · α Nrd(α) 6= 0=⇒ 1 = α · α ·Nrd(α)−1 =⇒ α−1 = α ·Nrd(α)−1

Corollar 16:

(1): Nrd : Q(a, b)∗ −→ K∗ mit α 7−→ Nrd(α) := α · α ist Gruppenhomomorphismus

(2): det : GL(n, k) −→ K∗ mit A 7−→ det(A) ist Gruppenhomomorphismus

Beweis: (Corollar 16)zu(1): Dies folgt mit Hilfe von Lemma 14.zu(2): ohne Beweis.

Beispiel 17:K ⊆ R Korper (z.B.: K = R oder K = Q). Dann ist

H = Q(−1,−1) =⟨x, y | x2 = −1, y2 = −1, (xy)2 = −1

⟩= 〈1, i, j, k〉K

ein Schiefkorper (i↔ x, j ↔ y, k = ij).

Satz 18:

Q(a, b) ist kein Schiefkorper ⇐⇒ ∃u, v ∈ K : b = u2 = v2

⇐⇒ Q(a, b) ∼= M2(K)



Definition 19: (Korpernorm)K Korper, L ⊃ K endliche Korpererweiterung von K (in Zeichen: L/K), a ∈ L fest. Dann ist diefolgende Abbildung durch a definiert

L −→ L mit x 7−→ a · x ist K-linear

Ihre Determinante ist definiert durch

NL/K : L −→ K mit a 7−→ NL/K(a) =

a[L:K] , a ∈ K

(−1)dr · ar0 , a ∈ L, f ∈ K[X] Minimalpolynom

vom Grad d, a0 ∈ K Absolutglied

von f, r = [L : K(a)]

und heißt Korpernorm von a

3 SYMMETRISCHE BILINEARFORMEN 13

3 Symmetrische Bilinearformen

In diesem Kapitel werden wir uns mit Bilinearformen beschaftigen. Darunter versteht man Abbil-dungen, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnen und in beiden Argumenten linear sind. DieArgumente konnen aus verschiedenen K-Vektorraumen V und W (bzw. allgemeiner: aus verschiednenR-Moduln M und N) stammen, wobei K ein Korper (bzw. R ein Ring) ist.

Definition 1: (Bilinearform)K Korper, V, W K-Vektorraume. Dann:(1): Eine Abbildung b : V × W −→ K heißt Bilinearform, falls sie die folgenden Eigenschaftenerfullt:

(i): b(v1 + v2, w) = b(v1, w) + b(v2, w) ∀ v1, v2 ∈ V ∧ ∀w ∈W

(ii): b(v, w1 + w2) = b(v, w1) + b(v, w2) ∀ v ∈ V ∧ ∀w1, w2 ∈W

(iii): b(α · v, w) = α · b(v, w) ∀ v ∈ V ∧ ∀w ∈W ∧ ∀α ∈ K

(iv): b(v, α · w) = α · b(v, w) ∀ v ∈ V ∧ ∀w ∈W ∧ ∀α ∈ K

Sei b eine Bilinearform auf V (d.h. W = V ). Dann:

(2): b heißt symmetrisch :⇐⇒ b(x, y) = b(y, x) ∀x, y ∈ V

(3): b heißt alternierend :⇐⇒ b(x, x) = 0 ∀x ∈ V

Man sagt anstelle von alternierend auch schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch. Analog gilt diegesamte Definition allgemeiner fur R-Moduln.

Wir werden spater in Kapitel 6 noch sehen, dass die Bilinerarformen

V ×W −→ K

genau den linearen Abbildungen

V ⊗K W −→ K

entsprechen, wobei wie gewohnt V und W K-Vektorraume und K ein Korper (oder allgemeiner: Vund W R-Moduln und R ein Ring) sind.


Bemerkung 2:e1, . . . , en K-Basis von V , b Bilinearform. Dann:

B := Mb :=

b(e1, e1) · · · b(e1, en)...

. . ....

b(en, e1) · · · b(en, en)

∈Mn(K)

heißt darstellende Matrix von b bzgl. e1, . . . , en. Weiter lasst sich jedes x, y ∈ V eindeutig als eineLinearkombination x =

∑ni=1 xiei schreiben, wobei x1, . . . , xn ∈ K. Damit gilt:

b(x, y) = b(n∑

i=1

xiei,n∑

j=1

yjej) =n∑

i=1

n∑

j=1

[b(ei, ej)xiyj ] = xT ·B · y

Wir erhalten somit:

b symmetrisch ⇐⇒ B symmetrisch ⇐⇒ B = BT

b alternierend ⇐⇒ B schiefsymmetrisch ⇐⇒ B = −BT

e′1, . . . , e′n weitere K-Basis von V , C ∈ GL(n, K) Ubergangsmatrix. Dann gilt:

B′ = CT ·B · C

Bemerkung 3:b : V × V −→ K Bilinearform, B darstellende Matrix von b. Dann:

det(b) := det(B) heißt Determinante von b

Weiter ist nun mit B′ = CT BC aus Bemerkung 2:

det(B′) = det(CT BC) = det(CT )︸︷︷︸

=det(C)

·det(B) · det(C) = [det(C)]2︸︷︷︸

6=0, da C Basiswechselmatrix

·det(B)

Zusammengefasst erhalten wir die Determinantenabbildung:

det : {b : V × V −→ K | b Bilinearform} −→ K∗/(K∗)2 ∪ {0} mit det(b) := det(B)

wobei (K∗)2 = {a2 | a ∈ K∗ = K\{0}} ⊂ K.

Beispiel 4:

(1): Q(K) := K∗/(K∗)2 heißt Quadratklassengruppe

(2): Q(C) = {1}(3): Q(R) = {1,−1} ∼= Z/2Z

(4): Q(Q) = {±p1 · · · · · pn | p1, . . . , pn ∈ P, pi 6= pj ∀ i, j = 1, . . . , n mit i 6= j, n > 0}

Hierbei bezeichnet P die Menge aller Primzahlen.


Definition 5: (entartet, nicht-entartet, regular)b : V × V −→ K Bilinearform. Dann:

(1): b heißt entartet :⇐⇒ det(b) = 0 (⇐⇒ det(B) = 0)

(2): b heißt nicht-entartet (oder: regular) :⇐⇒ det(b) 6= 0

⇐⇒ det(B) 6= 0 ⇐⇒ B invertierbar

Definition 6: (isomorph)b : V × V −→ K, b′ : V ′ × V ′ −→ K Bilinearformen. Dann:

b und b′ heißen isomorph :⇐⇒ ∃Φ : V −→ V ′ K-linearer Isomorphismus :

b′(Φ(x), Φ(y)) = b(x, y) ∀x, y ∈ V

Wir schreiben dann kurz: b ∼= b′. In diesem Fall gilt nun, dass ihre Determinanten ubereinstimmen:

det(b) = det(b′)

Beispiel 7:Die beiden Bilinearformen

B1 =

(1 00 5

)

und B2 =

(0 34 0

)

sind uber Q nicht isomorph.

4 QUADRATISCHE FORMEN, IDEALE UND R-MODULN 16

4 Quadratische Formen, Ideale und R-Moduln

K Korper, V K-Vektorraum

Definition 1: (Quadratische Form)K Korper, V K-Vektorraum, b : V × V −→ K symmetrische Bilinearform. Dann:

q : V −→ K mit x 7−→ q(x) := b(x, x) heißt quadratische Form auf V

Satz 2:K Korper, V K-Vektorraum, q : V −→ K quadratische Form auf V , 1 + 1 6= 0 in K. Dann gilt:

(1): q(α · x) = α2 · q(x) ∀x ∈ V ∧ ∀α ∈ K

(2): b(x, y) :=1

2(q(x + y)− q(x)− q(y)) ∀x, y ∈ V ist symmetrische Bilinearform

(3): A ∈Mn(K) symmetrisch =⇒ q(x) := xT Ax ist quadratische Form

Bemerke: Den Vorgang in (2) nennt man Polarisierung. Hierbei konstruiert man sich aus einerquadratischen Form eine symmetrische Bilinearform.

Beweis: (Satz 2)zu(1):

q(αx) = b(αx, αx) = α2 · b(x, x) = α2 · q(x)

zu(2):

1

2(q(x + y)− q(x)− q(y)) =

1

2(b(x + y, x + y)− b(x, x)− b(y, y))

=1

2(b(x, x) + b(x, y) + b(y, x) + b(y, y)− b(x, x)− b(y, y))

=1

2(b(x, y) + b(y, x))

b symmetrisch= b(x, y)

zu(3): zur Ubung

Definition 3: (Bilinearform einer quadratischen Form)q : V −→ K quadratische Form auf V . Dann:

bq : V × V −→ K mit (x, y) 7−→ bq(x, y) := q(x + y)− q(x)− q(y)

heißt quadratische Form auf V .


Bemerkung 4:(1): bq ist eine Bilinearform(2): bq ist symmetrisch(3): e1, . . . , en K-Basis von V . Dann gilt:

q

(n∑

i=1

xiei

)

=n∑

i=1

(x2

i · q(ei))

(4): f : V −→ K Funktion. Dann:

f heißt polynomial vom Grad 6 n :⇐⇒ ∀x ∈ V : fx : V −→ K mit fx(y) := f(x + y)− f(y)

ist polynomial vom Grad 6 n− 1

Bemerke: Zusammengefasst besagen die Aussagen (1) und (2), dass bq eine symmetrische Bilinear-form ist.

Beweis: (Bemerkung 4)zu(1):

bq(x + y, z) = q((x + y) + z)− q(x + y)− q(z)Satz 2(2)

= 2 · b(x + y, z) = 2 · (b(x, z) + b(y, z))

Satz 2(2)= q(x + z)− q(x)− q(z) + q(y + z)− q(y)− q(z) = bq(x, z) + bq(y, z)

bq(x, y + z) = q(x + (y + z))− q(x)− q(y + z)Satz 2(2)

= 2 · b(x, y + z) = 2 · (b(x, y) + b(x, z))

Satz 2(2)= q(x + y)− q(x)− q(y) + q(x + z)− q(x)− q(z) = bq(x, y) + bq(x, z)

bq(αx, y) = q((αx) + y)− q(αx)− q(y)Satz 2(2)

= 2 · b(αx, y) = α · (2 · b(x, y))

Satz 2(2)= α(q(x + y)− q(x)− q(y)) = α · bq(x, y)

bq(x, αy) = q(x + (αy))− q(x)− q(αy)Satz 2(2)

= 2 · b(x, αy) = α · (2 · b(x, y))

Satz 2(2)= α(q(x + y)− q(x)− q(y)) = α · bq(x, y)

zu(2):

bq(x, y) = q(x + y)− q(x)− q(y) = bq(y, x)

zu(3): zur Ubung (Hinweis: Induktion uber n und verwende sowohl Definition 3 als auch Satz 2(1).)

Definition 5: (nicht-entartet, regular)q : V −→ K quadratische Form, bq Bilinearform von q. Dann:

q heißt nicht-entartet (oder: regular) :⇐⇒ bq ist nicht-entartet


Definition und Bemerkung 6:(1): q : V −→ K quadratische Form, bq Bilinearform von q. Dann:

det(q) := det(bq) heißt Determinante der quadratischen Form q

Bemerke: bq(x, x) = 2 · q(x).(2): q(

∑ni=1 xiei) =

∑

i6j aijxixj , bq Bilinearform von q, dann besitzt bq die darstellende Matrix

B =

2a11 aij

. . .

aij 2ann

mit aij = aji (also B symmetrisch)

(3): Weiter definieren wir nun die Dimensionen einer Bilinearform und einer quadratischen Formdurch

dim(b) := dim(V ) heißt Dimension der Bilinearform b

dim(q) := dim(V ) heißt Dimension der quadratischen Form q

Bemerke: Falls dim(q) = 2, so spricht man von einer binaren quadratischen Form.(4): q : V −→ K nicht-entartete binare quadratische Form uber Z. Dann gilt:

dim(q) =

3 mod 4

oder

0 mod 4

Satz 7:K Korper mit char(K) 6= 2, a, b, c, d ∈ K∗ Einheiten. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

(1): ax2 + by2 ∼= cu2 + dv2

(2):

{

(i): ab/cd ∈ (K∗)2

(ii): Q(a, b) ∼= Q(c, d)


Definition 8:

Quod(V/K) := {q : V −→ K | q quadratische Form}SymBil(V/K) := {b : V × V −→ K | b symmetrische Bilinearform}


Bemerkung 9:(1): Quod(V/K) und SymBil(V/K) sind K-Vetorraume(2): Falls dim(V ) = n, dann ist die Dimension dieser K-Vektorraume:

dim (Quod(V/K)) =n(n− 1)

2und dim (SymBil(V/K)) =

n(n− 1)

2

Bemerkung 10:Betrachte

Quod(V/K)α−→ SymBil(V/K)

β−→ Quod(V/K)γ−→ SymBil(V/K)

q 7−→ bq b 7−→ qb

(hierbei qb := q wie in Definition 1) und

β ◦ α : Quod(V/K) −→ Quod(V/K) entspricht der Multiplikation mit 2

γ ◦ β : SymBil(V/K) −→ SymBil(V/K) entspricht der Multiplikation mit 2

wobei

q = xT Ax =∑

i,j

aijxixj und bq = B =

2a11 aij

. . .

aij 2ann

Es gilt:• char(K) 6= 2:

α, β bijektiv

• char(K) = 2:

rang(α) =n(n− 1)

2, β ◦ α = 0, α ◦ β = 0, kern(β) = bild(α), kern(α) = bild(β)

und rang(β) = n.

Definition 11: (Orthogonales Komplement)(1): b : V × V −→ K symmetrische Bilinearform, U ⊂ V K-linearer Unterraum. Dann:

U⊥ := U⊥,b := {y ∈ V | b(y, x) = 0 ∀x ∈ U}

heißt orthogonales Komplement von U bzgl. b.(2): q : V −→ K quadratische Form. Dann:

U⊥,q := U⊥,bq

heißt orthogonales Komplement von U bzgl. q.

Beispiel 12:b : V × V −→ K nicht-entartete symmetrische Bilinearform. Dann: V ⊥ = V ⊥,b = {0}


Definition 13: (Einschrankung)b : V × V −→ K symmetrische Bilinearform, U ⊂ V K-linearer Unterraum, q : V −→ K quadrati-sche Form. Dann:

b|U : U × U −→ K mit b|U (x, y) := b(x, y) heißt Einschrankung von b auf U

q|U : U −→ K mit q|U (x) := q(x) heißt Einschrankung von q auf U

Definition 14: (Orthogonale Summe)(1): b : V × V −→ K, b′ : V ′ × V ′ −→ K symmetrische Bilinearformen. Dann:

b⊥b′ = b⊕ b′ :(V ⊕ V ′)×

(V ⊕ V ′) −→ K mit

((x, x′), (y, y′)) 7−→ (b⊥b′)((x, x′), (y, y′)) := b(x, y) + b′(x′, y′)

heißt orthogonale Summe von b und b′.(2): q : V −→ K, q′ : V ′ −→ K quadratische Formen. Dann:

q⊥q′ = q ⊕ q′ : V ⊕ V ′ −→ K mit (x, x′) 7−→ (q⊥q′)(x, x′) := q(x) + q′(x′)

heißt orthogonale Summe von q und q′.

Definition 15: (nicht-entarteter Unterraum)(1): b : V × V −→ K symmetrische Bilinearform, U ⊂ V K-linearer Unterraum. Dann:

U heißt nicht-entarteter Unterraum bzgl. b :⇐⇒ b|U ist nicht-entartet

(2): q : V −→ K quadratische Form, U ⊂ V K-linearer Unterraum. Dann:

U heißt nicht-entarteter Unterraum bzgl. q :⇐⇒ q|U ist nicht-entartet

Beispiel 16:W K-Vektorraum, V = W ⊕ W ∗, wobei W ∗ = HomK(W, K) = {f : W −→ K |f ist Gruppenhomomorphismus} der Dualraum von W ist. Dann ist durch

hW : V × V −→ K mit ((x, α), (y, β)) 7−→ hW ((x, α), (y, β)) := α(y) + β(x)

hW : V −→ K mit (x, α) 7−→ hW (x, α) := α(x)

sowohl eine symmetrische Bilinearform (oben) als auch eine quadratische Form (unten) definiert.hW heißt im Ubrigen hyperbolischer Raum in W. Weiter ist hW nicht entartet, denn

det(hW ) = (−1)n , wobei n = dim(W )

Beispiel 17:W = K. Dann:

q = hW : K ⊕K −→ K mit (x, y) 7−→ x · y

heißt hyperbolische Ebene.


Bemerkung 18:

hW⊕W ′∼= hW ⊥hW ′

Satz 19:b : V ×V −→ K symmetrische Bilinearform, U ⊂ V K-linearer Unterraum, b|U nicht-entartet (d.h.U nicht-entarteter Unterraum bzgl. b). Dann gilt:

b ∼= b|U ⊥ b|U⊥

Beweis: (Satz 19)Wir fuhren den Beweis in vier Schritten durch:(1): z.z.: U ∩ U⊥ = {0}Angenommen U ∩ U⊥ 6= {0}. Sei x ∈ U ∩ U⊥. Dann gilt (da x ∈ U⊥):

b(x, y) = 0 ∀ y ∈ U

Sei nun B eine darstellende Matrix von b|U , dann gilt:

xT By = 0 ∀ y ∈ U =⇒ xT B = 0 =⇒ det(B) = 0

Dies bedeutet aber, dass b|U entartet ist, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ware. Also giltU ∩ U⊥ = {0}.(2): z.z.: dim(U⊥) + dim(U) > dim(V )Wahle eine Basis e1, . . . , er von U (also dim(U) = r) und erganze Sie zu einer Basis e1, . . . , er, er+1, . . . , en

von V (also dim(V ) = n). Sei B die darstellende Matrix von b, dann ist:

U⊥ = {x ∈ V | b(x, y = 0 ∀ y ∈ U)} = {x ∈ V | xT B

∗...

0...0

= 0} = {x ∈ V | xT

(BU

AT

)

= 0}

wobei die Anzahl der Sterne gleich r und die Anzahl der Nullen gleich n− r sind. Weiter ist

(BU

AT

)

eine r × n-Matrix und B =

(BU AA C

)

. Somit ist dim(U⊥) > n− r.

(3): z.z.: ϕ : U ⊕ U⊥ −→ V mit (x, y) 7−→ x + y ist IsomorphismusDie Injektivitat folgt aus (1) und die Surjektivitat aus (1) und (2).(4): z.z.: b(ϕ(x, y), ϕ(x′, y′)) = b(x, x′) + b(y, y′) ∀x, y ∈ U ∧ ∀x′, y′ ∈ U⊥

b(ϕ(x, y), ϕ(x′, y′)) = b(x + y, x′ + y′) = b(x, x′) + b(x, y′)︸︷︷︸

=0

+ b(x′, y)︸︷︷︸

=0

+b(y, y′)

= b(x, x′) + b(y, y′)


Satz 20:q : V −→ K quadratische Form, U ⊂ V K-linearer Unterraum, q|U nicht-entartet (d.h. U nicht-entarteter Unterraum bzgl. q). Dann gilt:

q ∼= q|U ⊥ q|U⊥

Beweis: (Satz 20)ohne Beweis (Hinweis: Der Beweis verlauft ahnlich zu dem aus Satz 19)

Definition 21: (isotrop, antitrop)q : V −→ K quadratische Form. Dann:

(1): x ∈ V heißt isotrop :⇐⇒ q(x) = 0

(2): x ∈ V heißt antitrop (oder: anisotrop) :⇐⇒ q(x) 6= 0

(3): q heißt isotrop :⇐⇒ ∃x ∈ V : x ist isotrop

Beispiel 22:(1): V K-Vektorraum mit dim(V ) = 2, q : V −→ K mit (x, y) 7−→ q(x, y) := x · y. Dann:

(10

)

,

(01

)

sind isotrop

(2): K = R, V R-Vektorraum mit dim(V ) = n, q : V −→ R mit (x, y) 7−→ q(x1, . . . , xn) :=x2

1 + · · ·+ x2n. Dann:

∀x 6= 0 : x ist antitrop

(3): K = R, V R-Vektorraum mit dim(V ) = 3, q : V −→ R mit (x, y, z) 7−→ q(x, y, z) := y2+z2−x2.Dann haben wir als Abbildung zwei Kegel, wobei die Vektoren innerhalb dieser Kegel isotrop unddie außerhalb antitrop sind.

Corollar 23:char(K) 6= 2, dim(V ) = 2, q : V −→ K quadratische Form. Dann gilt:

∃ a1, . . . , an ∈ K : q ∼= a1x21 + · · ·+ anx2

n

Beweis: (Corollar 23)1.Fall: q ≡ 0Dann setze: a1 = · · · = an = 02.Fall: q 6≡ 0Man wahle ein x ∈ V mit q(x) 6= 0. Sei nun U = xK ⊂ V , dann ist U bzgl. bq nicht-entartet, denn:

bq(x, x) = 2 · q(x)︸︷︷︸

6=0

6= 0


Nach Satz 20 gilt:

q ∼= q|U ⊥ q|U⊥

Beweis nach Induktion uber dim(V ).

q ∼= (a1x21)

︸︷︷︸∼=q|U

⊥ (a2x22 + · · ·+ anx2

n)︸︷︷︸

∼=q|U⊥

a1 = q(x)

Bemerkung 24:Falls in Corollar 23 char(K) = 2 ist, so gilt:

x21 + · · ·+ x2

n = (x1 + · · ·+ xn)2 ∼= y21

Definition 25: (Ideal)R Ring mit 1, I ⊂ R additive Untergruppe von R. Dann:

(1): I heißt Linksideal :⇐⇒ r · x ∈ I ∀ r ∈ R ∧ ∀x ∈ I

(2): I heißt Rechtsideal :⇐⇒ x · r ∈ I ∀ r ∈ R ∧ ∀x ∈ I

(3): I heißt Ideal (oder: zweiseitiges Ideal) :⇐⇒

I ist Linksideal

und

I ist Rechtsideal

Beispiel 26:(1): R = Z Ring mit 1. Dann ist 2Z Ideal in Z

(2): R = Z Ring mit 1. Dann ist 2Z + 1 kein Ideal in Z

(3): R Ring mit 1. Dann sind {0} und R stets Ideale in R(4): V K-Vektorraum mit dim(V ) = n, W ⊂ V Untervektorraum mit dim(W ) = m 6 n. Setze:

R := End(V ) ∼= Mn(K)

Dann:

IW := {f ∈ End(V ) | bild(f) ⊂W} ist Rechtsideal

JW := {f ∈ End(V ) |W ⊂ kern(f)} ist Linksideal


Definition 27: (Modul, Quotientengruppe)(1): R Ring mit 1, (M,+) abelsche additive Gruppe versehen mit · : R×M −→M mit (r, m) 7−→r ·m Skalarmultiplikation. Dann:

M heißt R-Modul :⇐⇒

r · (m1 + m2) = r ·m1 + r ·m2 ∀ r ∈ R ∧ ∀m1, m2 ∈M

(r1 + r2) ·m = r1 ·m + r2 ·m ∀ r1, r2 ∈ R ∧ ∀m ∈M

r1 · (r2 ·m) = (r1 · r2) ·m ∀ r1, r2 ∈ R ∧ ∀m ∈M

1 ·m = m ∀m ∈M

Anstelle von einem R-Modul spricht man auch von einem R-Linksmodul. Die Sklarmultiplikationbezeichnet man auch haufig als R-Linksmodul-Struktur auf M .(2): R Ring mit 1, (M,+) abelsche additive Gruppe versehen mit · : M ×R −→M mit (m, r) 7−→m · r Skalarmultiplikation. Dann:

M heißt R-Rechtsmodul :⇐⇒

(m1 + m2) · r = m1 · r + m2 · r ∀ r ∈ R ∧ ∀m1, m2 ∈M

m · (r1 + r2) = m · r1 + m · r2 ∀ r1, r2 ∈ R ∧ ∀m ∈M

(m · r1) · r2 = m · (r1 · r2) ∀ r1, r2 ∈ R ∧ ∀m ∈M

m · 1 = m ∀m ∈M

Die Sklarmultiplikation bezeichnet man auch haufig als R-Rechtsmodul-Struktur auf M .(3): R Ring mit 1, M R-Modul, N ⊂M additive Untergruppe von M . Dann:

N heißt Untermodul von M :⇐⇒ ∀ r ∈ R ∧ ∀n ∈ N : r · n ∈ N

(4): R Ring mit 1, I ⊂ R Ideal. Dann heißt R/I Quotientengruppe.

Die folgende Definition gilt fur beliebige R-Moduln. Wir fuhren sie jedoch lediglich fur zwei R-Linksmoduln ein:

Definition 28: (R-Modulhomomorphismus, R-linear)R Ring mit 1, M und N zwei R-Linksmoduln. Dann:

ϕ : M −→ N heißt R-Modulhomomorphismus (oder: R-linear)

:⇐⇒{

(1): ϕ(m1 + m2) = ϕ(m1) + ϕ(m2) ∀m1, m2 ∈M

(2): ϕ(r ·m) = r · ϕ(m) ∀m ∈M ∧ ∀ r ∈ R

Ist ϕ zusatzlich bijektiv, so nennt man ϕ einen R-Modulisomorphismus und schreibt M ∼= N .Falls der Definitionsbereich von ϕ 2-dimensional ist und ϕ sowohl bzgl. der ersten als auch bzgl.der zweiten Komponente R-linear ist, so nennt man ϕ auch R-bilinear. Allgemeiner: Falls derDefinitionsbereich von ϕ n-dimensional ist (n > 2) und ϕ bzgl. jeder Komponente R-linear ist, sonennt man ϕ auch R-multilinear.

Beispiel 29:Kn ist ein Mn(K)-Linksmodul bezuglich der folgenden Abbildung:

· : Mn(K)×Kn −→ Kn mit (A, x) 7−→ A · x

Es handelt sich hierbei um eine Matrix-Vektormultiplikation.


Lemma 30:R Ring mit 1. Dann gilt:

(1): I ⊂ R Linksideal =⇒ R/I ist R-Linksmodul

(2): I ⊂ R Rechtsideal =⇒ R/I ist R-Rechtsmodul

(3): I ⊂ R Ideal =⇒ R/I ist Ring mit (a + I) · (b + I) = ab + I

Beweis: (Lemma 30)zu(1):Betrachte

· : R×R/I −→ R/I mit (r, (a + I)) 7−→ r · (a + I) := ra + I

Dann uberprufen wir die R-Linksmoduleigenschaften:

r · ((a + I) + (b + I)) = r · ((a + b) + I) = (ra + rb) + I = (ra + I) + (rb + I)

= r · (a + I) + r · (b + I)

(r1 + r2) · (a + I) = ((r1 + r2)a) + I = (r1a + r2a) + I = (r1a + I) + (r2a + I)

= r1 · (a + I) + r2 · (a + I)

r1 · (r2 · (a + I)) = r1 · (r2a + I) = (r1(r2a)) + I = ((r1 · r2)a) + I = (r1 · r2) · (a + I)

1 · (a + I) = (1 · a) + I = (a + I)

zu(2): analog wie in (1)zu(3): ohne Beweis

Definition 31: (einfacher Ring)R Ring mit 1. Dann:

R heißt einfach :⇐⇒ {0} und R sind die einzigen Ideale in R

Beispiel 32:(1): Korper K sind einfach(2): Schiefkorper D sind einfach(3): K Korper. Dann: Die Matrizen-Algebren Mn(K) sind einfach ∀n ∈ N

(4): Q(a, b) ist einfach (Die Quaternionen-Algebren sind einfach)

Beweis: (Beispiel 32)zu(1): klar, denn Korper besitzen nur die trivialen Ideale I = (0) = {0} und I = (1) = Kzu(2): Zunachst ist D als Schiefkorper naturlich auch ein Ring. Sei nun I ⊂ D ein beliebiges zweiseitigesIdeal in D und 0 6= x ∈ I. Da I ein zweiseitiges Ideal ist, gilt nun nach Definition 25:

∀ r ∈ D : x · r ∈ I (da I Linksideal)

∀ r ∈ D : r · x ∈ I (da I Rechtsideal)

Insbesondere gilt dies fur x−1 ∈ D. Der Grund weswegen das Inverse von x in D enthalten ist, ist der,dass D ein Schiefkorper ist. Damit gilt:

x−1 · x = x · x−1 = 1 ∈ I


und damit ist I = D. Da I beliebig gewahlt wurde, ist D als Schiefkorper nun ein einfacher Ring.zu(3): Ubungsaufgabezu(4): Wir unterscheiden zwei Falle:1. Fall: (Q(a, b) Schiefkorper)

(2)=⇒ Q(a, b) ist einfach

2. Fall: (Q(a, b) kein Schiefkorper)

Satz 2.18=⇒ Q(a, b) ∼= M2(K)

(3)=⇒ Q(a, b) ist einfach

5 SUMME VON QUADRATEN, RADIKALE UND KREISTEILUNGSPOLYNOM 27

5 Summe von Quadraten, Radikale und Kreisteilungspolynom

R kommutativer Ring mit 1, K Korper, V K-Vektorraum

Bemerkung 1: (Summe von 2 Quadraten)R kommutativer Ring mit 1, x, y, u, v ∈ R. Dann gilt:

(x2 + y2) · (u2 + v2) = (xu− yv)2 + (xv + yu)2 (Summe von 2 Quadraten)

Beweis: (Bemerkung 1)

(x2 + y2) · (u2 + v2) = x2u2 + y2u2 + x2v2 + y2v2

R kommutativ= xuxu− yvxu− xuyv + yvyv + xvxv + yuxv + xvyu + yuyu

= (xu− yv)2 + (xv + yu)2

Definition 2: (Summe von n Quadraten)R kommutativer Ring mit 1. Dann:

Qn := {x21 + · · ·+ x2

n | x1, . . . , xn ∈ R}

heißt Menge aller Elemente in R, die sich als Summe von n Quadraten schreiben lassen.

Bemerkung 3: (Summe von 4 Quadraten)R = Z. Dann gilt:

∀x, y ∈ Q4 : x · y ∈ Q4

d.h. Q4 ist multiplikativ abgeschlossen.

Beweis: (Bemerkung 3)Seien x = x2

1 + x22 + x2

3 + x24, y = y2

1 + y22 + y2

3 + y24 ∈ Q4. Dann gilt:

x · y = (x21 + x2

2 + x23 + x2

4) · (y21 + y2

2 + y23 + y2

4) = A2 + B2 + C2 + D2

mit

A = (x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4)

B = (x1y2 − x2y1 + x3y4 − x4y3)

C = (x1y3 − x3y1 + x4y2 − x2y4)

D = (x1y4 − x4y1 + x2y3 − x3y4)


Definition 4: (Radikal, Nullraum, Reduktion)K Korper, V K-Vektorraum, b : V × V −→ K symmetrische Bilinearform. Dann:

(1): Rad(b) := {x ∈ V | b(x, y) = 0 ∀ y ∈ V } heißt Radikal von b (oder: Nullraum von b)

(2): b : V/V ⊥ × V/V ⊥ −→ K mit (x + V ⊥, y + V ⊥) 7−→ b(x + V ⊥, y + V ⊥) := b(x, y)

heißt Reduktion von b

Bemerke: Es gilt nach Definition Rad(b) = V ⊥.

Bemerkung 5:

(1): Rad(b) ist ein Untervektorraum von V

(2): b nicht-entartet ⇐⇒ V ⊥ = {0}(3): b ist nicht-entartet

Beweis: (Bemerkung 5)zu(1):(i): z.z.: 0 ∈ Rad(b)

b(0, y) = b(0 + 0, y) = b(0, y) + b(0, y) =⇒ b(0, y) = 0 ∀ y ∈ V

also 0 ∈ Rad(b).(ii): z.z.: x, y ∈ Rad(b) =⇒ (x + y) ∈ Rad(b)Seien x, y ∈ Rad(b), dann gilt: b(x, z) = 0 ∀ z ∈ V und b(y, z) = 0 ∀ z ∈ V . Damit folgt

b(x + y, z) = b(x, z)︸︷︷︸

=0

+ b(y, z)︸︷︷︸

=0

= 0 ∀ z ∈ V

also (x + y) ∈ Rad(b).(iii): z.z.: α ∈ K ∧ x ∈ Rad(b) =⇒ (α · x) ∈ Rad(b)Seien α ∈ K und x ∈ Rad(b), also b(x, y) = 0 ∀ y ∈ V , dann gilt:

b(α · x, y) = α · b(x, y)︸︷︷︸

=0

= 0

also (α · x) ∈ Rad(b). Damit ist Rad(b) ein Untervektorraum von V .zu(2): Ubungsaufgabe

zu(3): Ubungsaufgabe

Definition 6: (Diagonalform)K Korper, a1, . . . , an ∈ K. Dann bezeichnen wir mit 〈a1, . . . , an〉 die folgende quadratische Form:

〈a1, . . . , an〉 : Kn −→ K mit (x1, . . . , xn) 7−→ a1x21 + · · ·+ anx2

n

Diese spezielle quadratische Form 〈a1, . . . , an〉 heißt Diagonalform.


Definition 7: (Konjugation)K Korper mit char(K) 6= 2, a ∈ K. Dann:

Ka := K[t]/(t2 − a)

dimK(Ka) = 2, Ka = K + t ·K mit t2 = a. Weiter ist ein K-Automorphismus von Ringen gegebendurch

σ : Ka −→ Ka mit σ(t) := −t heißt Konjugation von Ka

Satz 8:

(1): σ(x · y) = σ(x) · σ(y) ∀x, y ∈ Ka

(2): σ(x + y) = σ(x) + σ(y) ∀x, y ∈ Ka

Beweis: (Satz 8)x, y ∈ K mit x = x0 + t · x1, y = y0 + t · y1, wobei x0, x1, y0, y1 ∈ K.zu(1):

σ(x · y) = σ((x0 + tx1) · (y0 + ty1)) = σ(x0y0 + t(x1y0 + x0y1) + t2x1y1)

= x0y0 + σ(t)(x1y0 + x0y1) + σ(t2)x1y1 = x0y0 − t(x1y0 + x0y1) + t2x1y1

= (x0 − tx1) · (y0 − ty1) = (x0 + σ(t)x1) · (y0 + σ(t)y1) = σ(x0 + tx1) · σ(y0 + ty1)

= σ(x) · σ(y)

zu(2):

σ(x + y) = σ(x0 + y0 + t(x1 + y1)) = x0 + y0 + σ(t) · (x1 + y1) = x0 + y0 + (−t) · (x1 + y1)

= (x0 + σ(t)x1) + (y0 + σ(t)y1) = σ(x0 + tx1) + σ(y0 + ty1) = σ(x) + σ(y)

Definition 9: (Norm, Spur)

(1): NKa/K : Ka −→ K mit x 7−→ NKa/K(x) := x · σ(x)

heißt Norm einer quadratischen Form.

(2): TKa/K : Ka −→ K mit x 7−→ TKa/K(x) := x + σ(x)

heißt Spur einer quadratischen Form.


Corollar 10: (Spur- und Normeigenschaften)

(1): NKa/K(x · y) = NKa/K(x) ·NKa/K(y) ∀x, y ∈ Ka

(2): NKa/K(σ(x)) = NKa/K(x) ∀x ∈ Ka

TKa/K(σ(x)) = TKa/K(x) ∀x ∈ Ka

(3): NKa/K(x + y) = NKa/K(x) + NKa/K(y) + TKa/K(x · σ(y))

(4): NKa/K(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 , falls Ka Korper

(5): x = u + tv ∈ Ka mit u, v ∈ K. Dann gilt:

NKa/K(x) = u2 − av2

TKa/K(x) = 2u

Beweis: (Corollar 10)zu(1):

NKa/K(x · y) = xy · σ(xy)Satz 8(1)

= x · σ(x) · y · σ(y) = NKa/K(x) ·NKa/K(y)

zu(2):

NKa/K(σ(x)) = σ(x) · σ(σ(x))︸︷︷︸

=x

= x · σ(x) = NKa/K(x)

TKa/K(σ(x)) = σ(x) + σ(σ(x))︸︷︷︸

=x

= x + σ(x) = TKa/K(x)

zu(3):

NKa/K(x + y) = (x + y) · σ(x + y)Satz 8(2)

= (x + y) · (σ(x) + σ(y))

= xσ(x) + yσ(y) + xσ(y) + yσ(x)Satz 8(1)

= xσ(x) + yσ(y) + xσ(y) + σ(xσ(y))

= NKa/K(x) + NKa/K(y) + TKa/K(x · σ(y))

zu(4):=⇒:

0 = NKa/K(x) = x · σ(x) =⇒ x = 0

denn σ(x) = 0⇐⇒ x = 0, da σ ein K-Automorphismus und Ka Korper ist.⇐=:x = 0 =⇒ NKa/K(0) = 0 · σ(0) = 0.zu(5):x = u + tv ∈ Ka mit u, v ∈ K

NKa/K(x) = (u + tv) · σ(u + tv) = (u + tv) · (u + σ(t)v) = (u + tv)(u− tv) = u2 − t2v2

= u2 − av2

TKa/K(x) = (u + tv) + σ(u + tv) = (u + tv) + (u + σ(t)v) = (u + tv) + (u− tv) = 2u


Beispiel 11:(1): Die Norm der komplexen Zahlen C uber den reellen Zahlen R bildet jede komplexe Zahl aufdas Quadrat ihres Absolutbetrags ab:

NC/R : C −→ R mit (a + ib) 7−→ NC/R(a + ib) := a2 + b2 (a, b ∈ R)

(2): Die Norm von Q(√

2) uber Q ist gegeben durch:

NQ(

√2)/Q

: Q(√

2) −→ Q mit (a +√

2b) 7−→ NQ(

√2)/Q

(a +√

2b) := a2 − 2b2 (a, b ∈ Q)

Lemma 12:K Korper, a, b ∈ K∗ = K\{0}. Dann gilt:

〈1,−a,−b, ab〉 isotrop ⇐⇒ 〈1,−a,−b〉 isotrop

Beweis: (Lemma 12)Betrachte die quadratischen Formen

q := 〈1,−a,−b, ab〉 : V −→ K mit (x1, x2, x3, x4) 7−→ x21 − ax2

2 − bx33 + abx2

4

p := 〈1,−a,−b〉 : W −→ K mit (y1, y2, y3) 7−→ y21 − ay2

2 − by33

⇐=:Sei p isotrop, d.h.

∃ (0, 0, 0) 6= (y1, y2, y3) ∈W : p(y1, y2, y3) = y21 − ay2

2 − by23 = 0

Setze nun (x1, x2, x3, x4) := (y1, y2, y3, 0), dann ist (0, 0, 0, 0) 6= (x1, x2, x3, x4) ∈ V und es gilt:

q(x1, x2, x3, x4) = y21 − ay2

2 − by23

︸︷︷︸

=0, da (y1, y2, y3) isotrop

+ ab · 0︸︷︷︸

=0

= 0

Damit ist q isotrop.=⇒:q ist gegeben durch

q(u, v) = NKa/K(u)− b ·NKa/K(v) , wobei u, v ∈ Ka

Da q nach Voraussetzung isotrop ist, gilt:

∃u, v ∈ Ka mit u 6= 0 oder v 6= 0 : NKa/K(u) = b ·NKa/K(v)

Beachte: p schreibt sich als

p(w, z) = NKa/K(w)− b · z2 , wobei w ∈ Ka und z ∈ K

1.Fall: NKa/K(v) 6= 0 und v 6= 0


Da NKa/K 6= 0 gilt:

b =NKa/K(u)

NKa/K(v)

Corollar 10(1)= NKa/K

(u

v

)

=u

v· σ(u

v

)Satz 8(1)

=u · v · σ(u) · σ(v)

v · v · σ(v) · σ(v)

=uv · σ(uv)

NKa/K(v) ·NKa/K(v)

Corollar 10(2)=

uv · σ(uv)

NKa/K(v) ·NKa/K(σ(v))

Corollar 10(1)=

NKa/K(uv)

NKa/K(NKa/K(v)︸︷︷︸

=v·σ(v)

)

Corollar 10(1)= NKa/K(

uv

NKa/K(v))

und damit:

p(uv, NKa/K(v)) = NKa/K(uv)− b ·(NKa/K(v)

)2

Zeile zuvor= NKa/K(uv)−NKa/K

(uv

NKa/K(v)

)

·NKa/K(v) ·NKa/K(v)

Corollar 10(1)= NKa/K(uv)−NKa/K

(u · v3

NKa/K(v)

)

= NKa/K(uv)−NKa/K(u · v2

σ(v))

Corollar 10(1)= NKa/K(uv)−NKa/K(uv) · NKa/K

(v

σ(v)

)

︸︷︷︸

Corollar 10(1)=

NKa/K (v)

NKa/K (σ(v))

Corollar 10(2)=

NKa/K (v)

NKa/K (v)=1

= 0

=⇒ p isotrop.2.Fall: NKa/K(v) = 0 und v = 0Dann muss u 6= 0 sein (denn (u, v) 6= (0, 0)) und es gilt:

p(u, 0) = NKa/K(u)− b · 02 = NKa/K(u) = b ·NKa/K(v)︸︷︷︸

=0

= 0

=⇒ p isotrop.3.Fall: NKa/K(v) = 0 und v 6= 0In diesem Fall lasst sich jedes c ∈ K durch x2 − ay2 darstellen (q stellt c dar: ∃x ∈ W : q(x) = c),denn a = e2 fur ein e ∈ K. Dann gilt:

x2 − ay2 = x2 − e2y2 = x2 − (ey)2 ∼= x2 − z2 ∼= u · v

Dies gilt insbesondere fur c = b also ist p isotrop.

Satz 13:K Korper, a, b ∈ K∗ = K\{0}. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

(1): Q(a, b) ist kein Schiefkorper

(2): Q(a, b) ∼= M2(K)

(3): 〈1,−a,−b, ab〉 ist isotrop

(4): 〈1,−a,−b〉 ist isotrop


Beweis: (Satz 13)(2)=⇒(1):

Betrachte die Matrix 0 6=(

0 10 0

)

∈ M2(K). Diese besitzt kein multiplikatives Inverses. Folglich

kann M2(K) kein Schiefkorper sein. Da nach Voraussetzung Q(a, b) ∼= M2(K), kann auch Q(a, b) keinSchiefkorper sein.(1)=⇒(3):Betrachte die quadratische Form

〈1,−a,−b, ab〉 : V −→ K mit (x1, x2, x3, x4) 7−→ x21 − ax2

2 − bx23 + abx2

4

Gesucht wird nun ein 0 6= x ∈ V mit x21−ax2

2−bx23+abx2

4 = 0. Dazu: Sei Q(a, b) kein Schiefkorper, danngibt es ein Element 0 6= x ∈ V , dass nicht invertierbar ist. Die Negation der Aussage aus Corollar 2.15besagt

x ∈ Q(a, b) nicht invertierbar ⇐⇒ Nrd(x) = 0

=⇒ ∃ 0 6= x ∈ V : 0 = Nrd(x) = x21− ax2

2− bx23 + abx2

4, wobei die letzte Gleichung aus der Definitionvon Nrd hervorgeht.(3)⇐⇒(4): nach Lemma 12(4)=⇒(2):Betrachte die quadratische Form (Diagonalform)

〈1,−a,−b〉 : V −→ K mit (x1, x2, x3) 7−→ x21 − ax2

2 − bx33

Sei 〈1,−a,−b〉 isotrop, dann gilt definitionsgemaß

∃ 0 6= x ∈ V : x21 − ax2

2 − bx23 = 0 (x1, x2, x3 ∈ K)

=⇒ x21 − ax2

2 = bx23. Wir unterscheiden nun zwei Falle:

1.Fall: x3 = 0Dann gilt: a = e2 mit e ∈ K∗ = K\{0} und damit

Q(a, b) = Q(e2, b)Lemma 1.11(2)∼= Q(1, b)

Lemma 1.11(4)∼= M2(K)

2.Fall: x3 6= 0Sei o.B.d.A. x3 = 1. Dann gilt:

Q(a, b) = Q(a, x21 − ax2

2)Lemma 1.11(6)∼= Q(a, 1)

Lemma 1.11(1)∼= Q(1, a)Lemma 1.11(4)∼= M2(K)

Definition 14: (n-te Einheitswurzel)K Korper, n ∈ N, L Zerfallungskorper von Xn − 1 ∈ K[X]. Dann:

(1): ζ ∈ L heißt n-te Einheitswurzel :⇐⇒ ζn = 1 (d.h. ζ ist Nullstelle von Xn − 1 ∈ K[X])

(2): ζ ∈ L heißt primitive n-te Einheitswurzel :⇐⇒

(i): ζ ist n-te Einheitswurzel

und

(ii): ∀ 1 6 j < n : ζj 6= 1

(d.h. ζ hat Ordnung n in K∗)

(3): L heißt n-ter Einheitswurzelkorper uber K

Bemerke: Falls K = Q, so nennt man L auch n-ter Kreisteilungskorper.


Definition 15: (n-tes Kreisteilungspolynom)n ∈ N, K Korper mit char(K) 6 |n, L n-ter Einheitswurzelkorper uber K, ζ(1), . . . , ζϕ(n) primitiven-te Einheitswurzeln in L, wobei ϕ die Eulersche-ϕ-Funktion ist. Zur Widerholung:

ϕ : N −→ N ∪ {0} mit n 7−→ ϕ(n)

wobei ϕ(n) die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen aus {1, . . . , n} angibt. Unter den obigenVoraussetzungen definieren wir nun das n-te Kreisteilungpolynom durch:

Φn(X) :=

ϕ(n)∏

k=1

(

X − ζ(k))

heißt n-tes Kreisteilungpolynom uber K

Bemerke: Die primitiven n-ten Einheitswurzeln sind gerade die Nullstellen von Φn(X).

Bemerkung 16:(1): Die ersten funf Kreisteilungpolynome sind:

Φ1(X) = X − 1 Φ2(X) =X2 − 1

X − 1= X + 1

Φ3(X) = X2 + X + 1 Φ4(X) =X4 − 1

Φ1(X) · Φ2(X)= X2 + 1

Φ5(X) = X4 + X3 + X2 + X + 1 u.s.w.

(2): p ∈ P Primzahl. Dann:

Φp(X) =Xp − 1

X − 1= Xp−1 + · · ·+ X2 + X + 1

(3): n ∈ N. Dann:

Φn(X) | (Xn − 1)

(4): Falls K ⊂ C, dann:

ζ = e2πik

n k ∈ {0, 1, . . . , n− 1}


Beispiel 17:(1): n = 2. Dann: ζ = −1(2): a, b ∈ K∗ = K\{0}, ζ primitive n-te Einheitswurzel. Dann definiert man die zyklische AlgebraAζ(a, b) als diejenige K-Unteralgebra von Mn(K(α)) (wobei αn = a), die von den Elementen

x = α ·

1 0 · · · · · · 0

0 α. . .

......

. . . α2 . . ....

.... . .

. . . 00 · · · · · · 0 αn−1

und y =

0 · · · · · · · · · 0 b1 0 0 · · · 0 0

0 1. . .

. . ....

......

. . .. . .

. . . 0...

.... . .

. . .. . .

...0 · · · · · · 0 1 0

erzeugt wird. Es gilt:

(1): xn = a · 1 (2): yn = b · 1(3): xy = ζ−1xy

wobei 1 stellvertretend fur die Einheitsmatrix steht.

Satz 18: (Satz von Merkurjev-Suslin, 1982)D Schiefkorper, Z(D) := {x ∈ D | xy = yx ∀ y ∈ D} = K, dimK(D) < ∞, K enthalte alleEinheitswurzeln ζ1, . . . , ζr. Dann gilt:

∃N ∈ N ∧ ∃n1, . . . , nr ∈ N ∧ ∃ a1, . . . , ar ∈ N ∧ ∃ b1, . . . , br ∈ N :

MN (D) ∼= Aζn1(a1, b1)⊗K · · · ⊗K Aζnr

(ar, br)


6 TENSORPRODUKT VON R-MODULN UND UNIVERSELLE EIGENSCHAFT 36

6 Tensorprodukt von R-Moduln und universelle Eigenschaft

Idee des Tensorproduktes:K Korper, V und W K-Vektorraume. Unser Wunsch ist es nun aus einer bilinearen Abbildung

β : V ×W −→ Z mit (v, w) 7−→ β(v, w)

eine lineare Abbildung

V ⊗K W −→ Z

zu konstruieren, die zusatzlich die universelle Eigenschaft erfullt, die im Laufe des Kapitels eingefuhrtwird.

Konstruktion des Tensorproduktes (uber Vektorraume):K Korper, V und W K-Vektorraume. Dann ist das Tensorprodukt von V und W uber K V ⊗K W(=HomK(V, W )) ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann:{ei | i ∈ I} Basis von V , {fj | j ∈ J} Basis von W . Dann:

V ⊗K W hat Basis {ei ⊗ fj | i ∈ I, j ∈ J}x⊗ y ∈ V ⊗K W heißt Tensor von x und y

d.h. die Elemente eines Tensorproduktes heißen Tensoren.Betrachte nun den endlich dimensionalen Fall: I = {1, . . . , n} und J = {1, . . . , m}. Dann kann mansich das Tensorprodukt als den Raum der n×m-Matrizen vorstellen, deren Eintrag an der Stelle (i,j)dem Koeffizienten des Basisvektors ei ⊗ fj entspricht.

v =

v1...

vn

∈ V und w =

w1...

wn

∈W. Dann:

v ⊗ w = v1 · w1 · (e1 ⊗ f1) + · · ·+ vi · wj · (ei ⊗ fj) + · · ·+ vn · wm · (en ⊗ fm)

=n∑

i=1

m∑

j=1

vi · wj · (ei ⊗ fj)

Weitere Veranschaulichung als Matrix: Der Eintrag an der Stelle (i,j) ist die i-te Koordinate von vmal der j-ten Koordinate von w. Die Spalten sind Vielfache von v und die Zeilen Vielfache von w.Beispiel: V = W = R3 mit Einheitsvektoren als Basis, dann:

v =

123

, w =

101

=⇒ v ⊗ w =

1 0 12 0 23 0 3

Rechenregeln fur Tensoren:

(1): (v1 + v2)⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w ∀ v1, v2 ∈ V ∧ ∀w ∈W

(2): v ⊗ (w1 + w2) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2 ∀ v ∈ V ∧ ∀w1, w2 ∈W

(3): (λ · v)⊗ w = λ · (v ⊗ w) = v ⊗ (λ · w) ∀ v ∈ V ∧ ∀w ∈W ∧ ∀λ ∈ K


Bemerke: v ⊗w und w ⊗ v haben im Allgemeinen nichts miteinander zu tun, selbst wenn V = W ist.Sie gehoren sogar unterschiedlichen Vektorraumen an.

Konstruktion des Tensorproduktes (uber Ringe):Im Folgenden: R Ring mit 1, M R-Rechtsmodul, N R-Linksmodul

Beispiele 1:(1): 〈x, y, u, v | x2 = a, y2 = b, xy = −yx, xu = ux, yu = uy, u2 = c, v2 = d, uv = −vu, xv = vx,yv = vy〉 ∼= Q(a, b)⊗Q(c, d)(2): R[X]⊗R C ∼= C[X](3): Q⊗Z Q ∼= Q

(4): Z/nZ⊗Z Z/mZ ∼= Z/ggT (n, m)Z(5): R kommutativer Ring mit 1. Dann gilt:

R[X]⊗R R[Y ] ∼= R[X, Y ]

Satz 2: (Dimensionsformel fur das Tensorprodukt)K Korper, V und W K-Vektorraume. Dann gilt:

dimK(V ⊗K W ) = dimK(V ) · dimK(W ) ∈ N0 ∪ {∞}


Definition 3: (endlicher und freier Modul)R Ring mit 1, M R-Linksmodul (analog fur M R-Rechtsmodul), (xi)i∈I ⊂M Erzeugendensystemvon M . Dann:

(1): M heißt endlicher R-Modul :⇐⇒ I ist endlich (d.h. M ist endlich erzeugt)

(2): (xi)i∈I heißen frei (oder: linear unabhangig) :⇐⇒(∑

i∈I

rixi = 0 =⇒ ri = 0 ∀ i ∈ I

)

(3): (xi)i∈I heißen Basis :⇐⇒ (xi)i∈I ist freies Erzeugendensystem

(4): M heißt freier R-Linksmodul :⇐⇒ ∀m ∈M ∃ eindeutige (ri)i∈I ⊂ R : m =∑

i∈I

rixi

Analog definiert man fur M als R-Rechtsmodul

(5): M heißt freier R-Rechtsmodul :⇐⇒ ∀m ∈M ∃ eindeutige (ri)i∈I ⊂ R : m =∑

i∈I

xiri


Definition 4: (freier Modul mit Basis)R Ring mit 1, M eine Menge. Dann bezeichnet

R[M ] :=⊕

m∈M

R =⊕

m∈M

mR =⊕

m∈M

emR

den freien R-Modul mit Basis M .Bemerke: (em)m∈M ist Basis von R[M ]. Die Elemente x ∈ R[M ] haben eine Darstellung x =∑

m∈M xmem, wobei xm ∈ R mit xm = 0 fur fast alle m. Die xm in dieser Darstellung sindeindeutig bestimmt.

Bemerkung 5:(1): R = K Korper. Dann besitzt jeder K-Modul N (= Vektorraum) eine Basis, d.h. N = R[X]fur eine Menge X.(2): R = Z. Die Z-Moduln sind gerade die abelschen Gruppen. (A, +) abelsche Gruppe, danndefiniert

Z×A −→ A mit (n, a) 7−→

a + · · ·+ a , n > 0

0 , n = 0

(−a) + · · ·+ (−a) , n < 0

eine Z-Modulstruktur auf A. Weiter:

Zn = Z[{1, . . . , n}] =n⊕

i=1

Z · ei sind die freien Z-Moduln

Z/nZ (n > 0) sind die nicht-freien Z-Moduln

(3): R = Z. Dann:

HomZ(Z/2Z, Z/3Z) = 0

HomZ(M, N) = Homabelsche Gruppen(M, N)

HomZ(Z/2Z, Z/4Z) ∼= Z/2Z

HomZ(Z/4Z, Z/4Z) ∼= Z/4Z

Allgemeiner:

HomZ(Z/nZ, Z/mZ) ∼= Z/ggT (n, m)Z


Definition 6: (Tensorprodukt, Universelle Eigenschaft)R Ring mit 1, M R-Rechtsmodul, N R-Linksmodul. Ein Tensorprodukt ist ein Tupel (T, τ) (oderkurz: T ), welches gegeben ist durch ein R-Modul T und einer R-bilinearen Abbildung τ : M×N −→T , so dass die folgende universelle Eigenschaft gilt:

∀Φ : M ×N −→ E R-bilinear mit E R-Modul ∃1 ϕ : T −→ E R-linear : Φ = ϕ ◦ τ

Mit anderen Worten existiert fur jeden R-Modul E und fur jede R-bilineare Abbildung Φ genauein R-Modulhomomorphismus ϕ, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

M ×Nτ−→ T

Φ ↓ ւ ∃1 ϕ

E

Satz 7: (Eindeutigkeit des Tensorproduktes)Die Tensorprodukte (T, τ) eines R-Rechtsmoduls M und eines R-Linksmoduls N sind bis auf Iso-morphie eindeutig bestimmt. Wir schreiben daher M ⊗R N anstelle von T . Außerdem ist fur dieR-bilineare Abbildung τ folgende Notation ublich:

τ : M ×N −→M ⊗R N mit (x, y) 7−→ τ(x, y) := x⊗ y

Die Elemente des Typs x⊗ y heißen Tensoren in M ⊗R N .

Beweis: (Satz 7)Seien (T1, τ1), (T2, τ2) zwei Tensorprodukte. Dann gilt definitionsgemaß nach der universellen Eigen-schaft:

M ×Nτ1−→ T1 M ×N

τ2−→ T2

Φ1 ↓ ւ ∃1 ϕ1 Φ2 ↓ ւ ∃1 ϕ2

E F

wobei E, F R-Moduln und Φ1, Φ2 beliebige R-bilineare Abbildungen sind. Durch Hintereinander-schaltung erhalten wir:

T1

τ1 ր ↓ ∃1 ϕ1

M ×Nτ2−→ T2

τ1 ց ↓ ∃1 ϕ2

T1

Hierbei haben wir E = T2 und Φ1 = τ2 sowie F = T1 und Φ2 = τ1 gesetzt. Wegen der universellenEigenschaft gilt nun aber τ1 = ϕ2 ◦ τ2 und τ2 = ϕ1 ◦ τ1 und damit gilt ϕ2 ◦ ϕ1 = idT1 (genauer auch:ϕ1 ◦ ϕ2 = idT2) womit T1

∼= T2.

Satz 8: (Existenz des Tensorproduktes)Das Tensorprodukt T = M ⊗R N existiert fur beliebige R-Rechtsmoduln M und R-LinksmodulnN .


Beweis: (Satz 8)Kommen wir zunachst zur Konstruktion des Tensorproduktes. Seien dazu R ein Ring mit 1, M einR-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul. Weiter sei I derjenige R-Modul, der erzeugt wird von

e(m1+m2,n) − e(m1,n) − e(m2,n)

e(m,n1+n2) − e(m,n1) − e(m,n2)

e(ma,n) − a · e(m,n)

e(m,an) − a · e(m,n)

wobei m, m1, m2 ∈M , n, n1, n2 ∈ N und a ∈ R. Dann definiere

T := R[M ×N ]/I

wobei

R[M ×N ] =⊕

m∈M

⊕

n∈N

e(m,n)R

ist. (Bemerke: T ist freier R-Modul mit Basis M × N , denn: R[M × N ] ist R-Modul und I ist R-Untermodul von R[M ×N ] also ist T = R[M ×N ]/I R-Modul).Kommen wir nun zur Existenz des Tensorproduktes. Wir werden nun zeigen, dass (T, τ) ein Tensor-produkt ist, wobei

τ : M ×N −→ T mit (m, n) 7−→ τ(m, n) := e(m,n) + I

Dazu: Wir betrachten vorweg folgende Abbildung:

(m, n) 7−→ e(m,n)

M ×N −→ R[M ×N ]proj.−→ R[M ×N ]/I =: T

Φց ↓ ∃1ϕ ւ ∃1ϕ

E

Hierbei ist E ein R-Modul und Φ eine bilineare Abbildung. Wir definieren nun:

ϕ : R[M ×N ] −→ E mit e(m,n) 7−→ ϕ(e(m,n)) := Φ(m, n)

Beachte dabei, dass ϕ(I) = 0 ist, denn:

Φ(m1 + m2, n)− Φ(m1, n)− Φ(m2, n)Φ bilinear

= Φ(m1, n) + Φ(m2, n)− Φ(m1, n)− Φ(m2, n) = 0

Φ(m, n1 + n2)− Φ(m, n1)− Φ(m, n2)Φ bilinear

= Φ(m, n1) + Φ(m, n2)− Φ(m, n1)− Φ(m, n2) = 0

Φ(ma, n)− a · Φ(m, n)Φ bilinear

= a · Φ(m, n)− a · Φ(m, n) = 0

Φ(m, an)− a · Φ(m, n)Φ bilinear

= a · Φ(m, n)− a · Φ(m, n) = 0

Daher faktorisiert ϕ zu ϕ. Weiter ist ϕ nun mit Φ = ϕ ◦ τ eindeutig bestimmt, weil die Elemente

τ(m, n) = e(m,n) + I

ganz T erzeugen und

ϕ(τ(m, n)) = Φ(m, n)

ist.


Notation 9:R Ring mit 1, M R-Rechtsmodul, N R-Linksmodul. Das Tensorprodukt wird definiert durch dasTupel (M ⊗R N, τ) (oder kurz: M ⊗R N) mit

τ : M ×N −→M ⊗R N := R[M ×N ]/I mit (m, n) 7−→ τ(m, n) := m⊗ n := e(m,n) + I

wobei τ eine R-bilineare Abbildung ist.Bemerke: Das Tensorprodukt M ⊗R N ist wieder ein R-Modul.

Satz 10: (Rechenregeln fur das Tensorprodukt)

(1): (m1 + m2)⊗ n = m1 ⊗ n + m2 ⊗ n ∀m1, m2 ∈M ∧ ∀n ∈ N

(2): m⊗ (n1 + n2) = m⊗ n1 + m⊗ n2 ∀m ∈M ∧ ∀n1, n2 ∈ N

(3): (m · a)⊗ n = a · (m⊗ n) = m⊗ (a · n) ∀m ∈M ∧ ∀n ∈ N ∧ ∀ a ∈ R

Beweis: (Satz 10)Alle Rechenregeln folgen unmittelbar aus der Bilinearitat der Abbildung τ vom Tensorprodukt:zu(1):

(m1 + m2)⊗ n = τ(m1 + m2, n)τ bilinear

= τ(m1, n) + τ(m2, n) = m1 ⊗ n + m2 ⊗ n

zu(2):

m⊗ (n1 + n2) = τ(m, n1 + n2)τ bilinear

= τ(m, n1) + τ(m, n2) = m⊗ n1 + m⊗ n2

zu(3):

(m · a)⊗ n = τ(m · a, n)τ bilinear

= a · τ(m, n) = a · (m⊗ n)

und

a · (m⊗ n) = a · τ(m, n)τ bilinear

= τ(m, a · n) = m⊗ (a · n)

Lemma 11:R Ring mit 1, M , M1 und M2 R-Rechtsmodul, N R-Linksmodul. Dann gilt:

(1): M ⊗R N ∼= N ⊗R M

(2): (M1 ⊕M2)⊗R N ∼= (M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N)

(3): (M ⊗R N)⊗R U ∼= M ⊗R (N ⊗R U)

Speziell fur das Tensorproduk mit dem Grundring R gilt:

(4): M ⊗R R ∼= M

(5): R⊗R N ∼= N

(6): R⊗R R ∼= R


Beweis: (Lemma 11)Man geht in allen drei Fallen nahezu analog vor. Wir werden aus Ubungszwecken die ersten beidenBeweise ausfuhrlich behandeln und lassen den verbleibenden Teil zur Ubung:zu(1):Seien die Tensorprodukte M⊗R N und N⊗R M gegeben. Wir betrachten zunachst das TensorproduktM ⊗R N mit der bilinearen Abbildung

τ1 : M ×N −→M ⊗R N mit (m, n) 7−→ τ1(m, n) := m⊗ n

Da M ⊗R N ein Tensorprodukt ist, gilt die universelle Eigenschaft, d.h. zu dem R-Modul N ⊗R Mmit der bilinearen Abbildung

Φ1 : M ×N −→ N ⊗R M mit (m, n) 7−→ Φ1(m, n) := n⊗m

existiert genau eine lineare Abbildung

ϕ1 : M ⊗R N −→ N ⊗R M mit m⊗ n 7−→ ϕ1(m⊗ n) := n⊗m

so dass Φ1 = ϕ1 ◦ τ1 gilt. Letzteres gilt, denn Φ1(m, n) = n ⊗m = ϕ1(m ⊗ n) = ϕ1(τ1(m, n)). Mitanderen Worten kommutiert folgendes Diagramm:

M ×Nτ1−→M ⊗R N

Φ1 ↓ ւ ∃1 ϕ1

N ⊗R M

Analog erhalt man eine Abbildung in die andere Richtung: Wir betrachten nun das TensorproduktN ⊗R M mit der bilinearen Abbildung

τ2 : M ×N −→ N ⊗R M mit (m, n) 7−→ τ2(m, n) := n⊗m

Da N ⊗R M ein Tensorprodukt ist, gilt wieder die universelle Eigenschaft, d.h. zu dem R-ModulM ⊗R N mit der bilinearen Abbildung

Φ2 : M ×N −→M ⊗R N mit (m, n) 7−→ Φ2(m, n) := m⊗ n


ϕ2 : N ⊗R M −→M ⊗R N mit n⊗m 7−→ ϕ2(n⊗m) := m⊗ n

so dass Φ2 = ϕ2 ◦ τ2 gilt. Letzteres gilt, denn Φ2(m, n) = m ⊗ n = ϕ2(n ⊗m) = ϕ2(τ2(m, n)). Mitanderen Worten kommutiert folgendes Diagramm:

M ×Nτ2−→ N ⊗R M

Φ2 ↓ ւ ∃1 ϕ2

M ⊗R N

Weiter sind nun ϕ1 und ϕ2 zueinander invers, denn:

ϕ1(ϕ2(n⊗m)) = ϕ1(m⊗ n) = n⊗m =⇒ ϕ1 ◦ ϕ2 = idN⊗RM

ϕ2(ϕ1(m⊗ n)) = ϕ2(n⊗m) = m⊗ n =⇒ ϕ2 ◦ ϕ1 = idM⊗RN

und damit sind M ⊗R N und N ⊗R M zueinander isomorph (oder gleich), also M ⊗R N ∼= N ⊗R M .zu(2):


Seien die Tensorprodukte (M1 ⊕M2) ⊗R N und (M1 ⊗R N) ⊕ (M2 ⊗R N) gegeben. Wir betrachtenzunachst das Tensorprodukt (M1 ⊕M2)⊗R N mit der bilinearen Abbildung

τ1 : (M1 ⊕M2)×N −→ (M1 ⊕M2)⊗R N mit

((m1, m2), n) 7−→ τ1((m1, m2), n) := (m1, m2)⊗ n

Da (M1 ⊕M2) ⊗R N ein Tensorprodukt ist, gilt die universelle Eigenschaft, d.h. zu dem R-Modul(M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N) mit der bilinearen Abbildung

Φ1 : (M1 ⊕M2)×N −→ (M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N) mit

((m1, m2), n) 7−→ Φ1((m1, m2), n) := (m1 ⊗ n, m2 ⊗ n)


ϕ1 : (M1 ⊕M2)⊗R N −→ (M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N) mit

((m1, m2)⊗ n) 7−→ ϕ1((m1, m2)⊗ n) := (m1 ⊗ n, m2 ⊗ n)

so dass Φ1 = ϕ1◦τ1 gilt. Letzteres gilt, denn Φ1((m1, m2), n) = (m1⊗n, m2⊗n) = ϕ1((m1, m2)⊗n) =ϕ1(τ1((m1, m2), n)). Mit anderen Worten kommutiert folgendes Diagramm:

(M1 ⊕M2)×Nτ1−→ (M1 ⊕M2)⊗R N

Φ1 ↓ ւ ∃1 ϕ1

(M1 ⊗R N)⊕ (m2 ⊗R N)

Analog erhalt man eine Abbildung in die andere Richtung: Wir betrachten nun das Tensorprodukt(M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N) mit der bilinearen Abbildung

τ2 : (M1 ⊕M2)×N −→ (M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N) mit

((m1, m2), n) 7−→ τ2((m1, m2), n) := (m1 ⊗ n, m2 ⊗ n)

Da (M1 ⊗R N) ⊕ (M2 ⊗R N) ein Tensorprodukt ist, gilt wieder die universelle Eigenschaft, d.h. zudem R-Modul (M1 ⊕M2)⊗R N mit der bilinearen Abbildung

Φ2 : (M1 ⊕M2)×N −→ (M1 ⊕M2)⊗R N mit

((m1, m2), n) 7−→ Φ2((m1, m2), n) := (m1, m2)⊗ n


ϕ2 : (M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N) −→ (M1 ⊕M2)⊗R N mit

(m1 ⊗ n, m2 ⊗ n) 7−→ ϕ2(m1 ⊗ n, m2 ⊗ n) := (m1, m2)⊗ n

so dass Φ2 = ϕ2 ◦ τ2 gilt. Letzteres gilt, denn Φ2((m1, m2), n) = (m1, m2)⊗n = ϕ2(m1⊗n, m2⊗n) =ϕ2(τ2((m1, m2), n)). Mit anderen Worten kommutiert folgendes Diagramm:

(M1 ⊕M2)×Nτ2−→ (M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N)

Φ2 ↓ ւ ∃1 ϕ2

(M1 ⊕M2)⊗R N

Weiter sind nun ϕ1 und ϕ2 zueinander invers, denn:

ϕ1(ϕ2(m1 ⊗ n, m2 ⊗ n)) = ϕ1((m1, m2)⊗ n) = (m1 ⊗ n, m2 ⊗ n) =⇒ ϕ1 ◦ ϕ2 = id(M1⊗RN)⊕(M2⊗RN)

ϕ2(ϕ1((m1, m2)⊗ n)) = ϕ2(m1 ⊗ n, m2 ⊗ n) = (m1, m2)⊗ n =⇒ ϕ2 ◦ ϕ1 = id(M1⊕M2)⊗RN


und damit sind (M1 ⊗R N) ⊕ (M2 ⊗R N) und (M1 ⊕M2) ⊗R N zueinander isomorph (oder gleich),also (M1 ⊗R N)⊕ (M2 ⊗R N) ∼= (M1 ⊕M2)⊗R N .zu(3):Hinweis: Betrachte die zueinander inversen Abbildungen

(M ⊗R N)⊗R U −→M ⊗R (N ⊗R U) mit (m⊗ n)⊗ u 7−→ m⊗ (n⊗ u)

M ⊗R (N ⊗R U) −→ (M ⊗R N)⊗R U mit m⊗ (n⊗ u) 7−→ (m⊗ n)⊗ u

zu(4):Hinweis: Betrachte die zueinander inversen Abbildungen

M ⊗R R −→M mit m⊗ a 7−→ m · aM −→M ⊗R R mit m 7−→ 1⊗m

zu(5):Hinweis: Betrachte die zueinander inversen Abbildungen

R⊗R N −→ N mit a⊗ n 7−→ a · nN −→ R⊗R N mit n 7−→ n⊗ 1

zu(6):Dies ist ein Spezialfall von (4) und (5).

Bemerkung 12:R Ring mit 1, Mi R-Rechtsmoduln ∀ i ∈ I, Nj R-Linksmoduln ∀ j ∈ J . Dann gilt:

(⊕

i∈I

Mi

)

⊗R

⊕

j∈J

Nj

∼=⊕

i∈I

⊕

j∈J

(Mi ⊗R Nj)

Beweis: (Bemerkung 12)Folgt unmittelbar durch iterative Anwendung aus Lemma 11(2).

Bemerkung 13:(1): K Korper, M K-Rechtsmodul, N K-Linksmodul, dimKM <∞, dimKN <∞. Dann gilt:

HomK(M, N) ∼= M∗ ⊗K N

(2): K Korper, V und W K-Vektorraume mit dimK(V ) <∞. Dann: HomK(V, W ) ∼= V ∗ ⊗K W(3): R Ring mit 1, M R-Rechtsmodul, N K-Linksmodul. Dann: M ⊗R N freier R-Modul(4): R Ring mit 1. Dann: R[X]×R[Y ] ∼= R[X × Y ](5): R Ring mit 1, I, J ⊂ R Ideale von R. Dann:

(R/I)⊗R (R/J) ∼= R/(I + J)

Beweis: (Bemerkung 13)zu(1):


Seien K Korper, M K-Rechtsmodul mit dimKM <∞ und N K-Linksmodul mit dimKN <∞. Wirbetrachten vorweg zuachst folgende Abbildung:

M∗ ×Nτ−→M∗ ⊗K N

Φ ↓ Ψրւ ϕ

HomK(M, N)

Sei

f : M∗ ×N −→ HomK(M, N) mit f(g, n)(m) := g(m) · n

Dann ist f biliner und es gilt die universelle Eigenschaft, d.h.

∃ lineare Abbildungϕ : M∗ ×N −→ HomK(M, N) : Φ = ϕ ◦ τ

Seien nun {m1, . . . , mn} eine Basis von M und {m1, . . . , mn} die zugehorige duale Basis von M∗. Danndefinieren wir:

Ψ : HomK(M, N) −→M∗ ⊗K N mit g 7−→ Ψ(g) :=n∑

i=1

mi ⊗ g(mi)

Diese Abbildung ist K-linear, denn:

Ψ(g1 + λ · g2) =n∑

i=1

mi ⊗ (g1(mi) + λ · g2(mi)) =n∑

i=1

mi ⊗ g1(mi) + λ ·n∑

i=1

mi ⊗ g2(mi)

= Ψ(g1) + λ ·Ψ(g2)

Weiter sind ϕ und Ψ zueinander inverse, denn:

ϕ(Ψ(g))(n) =n∑

i=1

Φ(mi, g(mi))(n) =n∑

i=1

mi(n)g(mi) = g(n)

und

Ψ(ϕ(g ⊗ n)) = Ψ(Φ(g, n)) =n∑

i=1

mi ⊗ g(mi)n = (n∑

i=1

g(mi)mi)⊗ n = g ⊗ n

Und damit sind HomK(M, N) und M∗ ⊗K N zueinander isomorph, also HomK(M, N) ∼= M∗ ⊗K N .zu(2): Ubungsaufgabe




Beispiel 14:R = Z, I = nZ, J = mZ ⊂ Z Ideale in Z. Dann gilt:

(Z/nZ)⊗Z (Z/mZ) ∼= Z/(nZ + mZ) = Z/ggT (n, m)Z

7 TENSORPRODUKT VON ABELSCHEN GRUPPEN 46

7 Tensorprodukt von abelschen Gruppen

In diesem Abschnitt betrachten wir den Ring R = Z und weiter seien A und B im Folgenden stetsabelsche Gruppen von Z. Wir interessieren uns nun fur das spezielle Tensorprodukt zweier abelscherGruppen

A⊗Z B

und erinnern an die Rechenregeln fur Tensoren:

(1): (a1 + a2)⊗ b = a1 ⊗ b + a2 ⊗ b ∀ a1, a2 ∈ A ∧ ∀ b ∈ B

(2): a⊗ (b1 + b2) = a⊗ b1 + a⊗ b2 ∀ a ∈ A ∧ ∀ b1, b2 ∈ B

(3): (a · z)⊗ b = z · (a⊗ b) = a⊗ (z · b) ∀ a ∈ A ∧ ∀ b ∈ B ∧ ∀ z ∈ Z

Frage: Wie sieht eine endlich erzeugte abelsche Gruppe aus?

Satz 1: (Hauptsatz uber endlich erzeugte abelsche Gruppen)A endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gilt:

A ∼= Zr ⊕ (Z/pe11 Z)⊕ · · · ⊕ (Z/pen

n Z)

wobei r ∈ Z mit r > 0 ist, die pi ∈ P Primzahlen sind (nicht notwendigerweise verschieden) undei ∈ N.


Bemerkung 2:n ∈ N, B abelsche Gruppe von Z. Dann gilt:

Z/nZ⊗Z B ∼= B/nB

Beweis: (Bemerkung 2)Betrachte die Abbildungen

(a + nZ)⊗ x 7−→ ax + nB (aus universeller Eigenschaft)

x 7−→ (1 + nZ)⊗ x (aus Linearitat in der ersten Variablen)

Bemerkung 3:

Zn ⊗Z Zm ∼= Zn·m ∀n, m ∈ N


Bemerkung 4:G Gruppe. Dann gilt:

∀U ⊂ G endlich erzeugte Untergruppe von G : U ist zyklisch

Beweis: (Bemerkung 4)⟨m1

n, . . . ,

mr

n

⟩

· Z =

[ggT (m1, . . . , mr)

n

]

· Z

Frage: Was ist Q⊗Z Q?Man betrachte dazu folgende Untergruppen:

nZ ⊂ Z ⊂ 1

n· Z ⊂ 1

n ·m · Z ⊂ · · · ⊂ Q

wobei n, m ∈ N (also mit n, m > 1) und

Q =⋃

n>1

n∈N

(1

n· Z)

Lemma 5:

Q⊗Z Q ∼= Q

Beweis: (Lemma 5)Wir betrachten die Abbildungen

ϕ1 : Q⊗Z Q −→ Q mit x⊗ y 7−→ ϕ1(x⊗ y) := x · yϕ2 : Q −→ Q⊗Z Q mit x 7−→ ϕ2(x) := 1⊗ x = x⊗ 1

Die zweite Richtung gilt, denn seien n, m ∈ Z, dann folgt mithilfe der Rechenregeln fur Tensoren:

1⊗ n

m=

(1

m·m)

⊗ n

m=

1

m⊗m · n

m=

1

m⊗ n =

n

m⊗ 1

Bemerkung 6:Am Rande erwahnen wir den direkten Limes lim

−→speziell fur Q. Er ist dazu da, um aus endlich

vielen Teilen ein Ganzes zu machen:

Q = lim−→

n∈N

(1

n· Z)

:=⋃

n>1

n∈N

(1

n· Z)

Bemerke: Der direkte Limes ist vertraglich mit dem Tensorprodukt, es gilt also:

A⊗Z lim−→

i∈I

Bi∼= lim

−→

i∈I

(A⊗Z Bi)


Beispiele 7:(1):

Q⊗Z Q =

(

lim−→

n∈N

1

n· Z)

⊗Z

(

lim−→

m∈N

1

m· Z)

∼= lim−→

n∈N

lim−→

m∈N

((1

n· Z)

⊗Z

(1

m· Z))

= lim−→

n∈N

lim−→

m∈N

(1

n ·m · Z)

= Q

(2):

Q/Z =

(

lim−→

n∈N

1

n· Z)

/Z =

(⋃

n∈N

1

n· Z)

/Z =⋃

n∈N

((1

nZ

)

/Z

)

=⋃

n∈N

(Z/nZ)

= lim−→

n∈N

(Z/nZ)

Corollar 8:

(1): Q⊗Z Z/nZ = 0 ∀n ∈ N

(2): Q⊗Z C/Z = 0

(3): Q/Z⊗Z Q/Z = 0

Beweis: (Corollar 8)Ubungsaufgabe

Lemma 9:µn := {ζ ∈ C | ζn = 1} Menge aller n-ten Eineitswurzeln. Dann gilt:

(µn ⊗Z µn)Aut(Q(µn)/Q) ≡ Z/ggT (n, 24)Z

Beweis: (Lemma 9)Ubungsaufgabe

Bemerkung 10:K Korper, V K-Vektorraum mit dimK(V ) <∞. Dann gilt:

End(V )⊗K End(V ) ∼= End(V ⊗K V )

8 TENSORPRODUKT VON R-ALGEBREN UND UNIVERSELLE EIGENSCHAFT 49

8 Tensorprodukt von R-Algebren und universelle Eigenschaft

Zuvor haben wir das Tensorprodukt von R-Moduln und die universelle Eigenschaft dieser Tensorpro-dukte betrachtet. Das Ziel dieses kurzen Abschnittes soll es sein, das Tensorprodukt von R-Algebrensowie die universelle Eigenschaft fur das Tensorprodukt von R-Algebren einfuhren. Dazu vorweg einigeDefinitionen:

Definition 1: (Ringhomomorphismus)R1, R2 Ringe mit 1. Dann:

f : R1 −→ R2 heißt Ringhomomorphismus :⇐⇒

(1): f(x + y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ R1

(2): f(x · y) = f(x) · f(y) ∀x, y ∈ R1

(3): f(1R1) = 1R2

Bemerke: Anstelle von Ringhomomorphismus ist auch die Bezeichnung Homomorphismus von Rin-gen gebrauchlich.

Definition 2: (R-Algebra)R Ring mit 1. Dann:

A heißt R-Algebra :⇐⇒

(1): A ist Ring mit 1

(2): ∃ · : R×A −→ A mit (r, a) 7−→ r · a :

(r · a1) · a2 = a1 · (r · a2) = r · (a1 · a2)

∀ r ∈ R ∧ ∀ a1, a2 ∈ A

Bemerke: Anstelle der expliziten Angabe einer Funktion in (2) sagt man haufig auch: A besitzt eineR-Modul-Struktur, die die nachfolgende Bedingung erfullt.

Definition 3: (R-Algebrenhomomorphismus)R Ring mit 1, A, B zwei R-Algebren mit Ringhomomorphismen f : R −→ A und g : R −→ B.Dann:

ϕ : A −→ B heißt R-Algebrenhomomorphismus von A und B :⇐⇒ g = ϕ ◦ f

Mit anderen Worten ist ϕ : A −→ B derjenige Ringhomomorphismus, so dass das folgende Dia-gramm kommutiert:

Aϕ−→ B

f տ ր g

R

Ist ϕ zusatzlich bijektiv, so nennt man ϕ einen R-Algebrenisomorphismus und schreibt A ∼= B.Bemerke: Ein R-Algebrenhomomorphismus ist definitionsgemaß mehr als ein R-Modulhomomorphismus.


Von nun an: R kommutativer Ring mit 1, A und B zwei R-Algebren (assoziativ, nicht-notwendigkommutativ).

Die Kommutativitat von R hingegen ist sehr wichtig. Denn so wird eine R-Algebra durch ganz na-heliegende Definitionen zu einem R-Linksmodul und auch zu einem R-Rechtsmodul. Nur wenn A einR-Rechtsmodul und B ein R-Linksmodul ist, ist die kommutative Gruppe A⊗RB uberhaupt definiert.

Wir betrachten zunachst A als R-Rechtsmodul, B als R-Linksmodul und A⊗RB als das Tensorproduktvon R-Moduln.

Bemerkung und Corollar 4:(1): A⊗R B ist eine R-Algebra mit Multiplikation

µ : (A⊗R B)× (A⊗R B) −→ (A⊗R B) mit

((a1 ⊗ b1), (a2 ⊗ b2)) 7−→ µ((a1 ⊗ b1), (a2 ⊗ b2)) := (a1 · a2)⊗ (b1 · b2)

(2): A⊗R B ist assoziativ (als R-Algebra)(3): A und B sind Unteralgebren von A⊗R B(4): Die Abbildungen

τA : A −→ A⊗R B mit a 7−→ τA(a) := a⊗ 1

τB : B −→ A⊗R B mit b 7−→ τB(b) := 1⊗ b

sind kanonische R-Algebrenhomomorphismen. Insbesondere gilt:

τA(a1 · a2) = τA(a1) · τA(a2)

τB(b1 · b2) = τB(b1) · τB(b2)

τA(a) · τB(b) = τB(b) · τA(a)

Beweis: (Bemerkung und Corollar 4)zu(1): klarzu(2):

((a1 ⊗ b1) · (a2 ⊗ b2)) · (a3 ⊗ b3) = ((a1a2)a3)⊗ ((b1b2)b3) = (a1(a2a3))⊗ (b1(b2b3))

= (a1 ⊗ b1) · ((a2 ⊗ b2) · (a3 ⊗ b3))

zu(3): klarzu(4):

τA(a1 · a2) = (a1a2)⊗ 1 = (a1 ⊗ 1) · (a2 ⊗ 1) = τA(a1) · τA(a2)

τB(b1 · b2) = 1⊗ (b1b2) = (1⊗ b1) · (1⊗ b2) = τB(b1) · τB(b2)

τA(a) · τB(b) = (a⊗ 1) · (1⊗ b) = a⊗ b = (1⊗ b) · (a⊗ 1) = τB(b) · τA(a)

Von nun an ist mit A⊗R B ein Tensorprodukt von R-Algebren gemeint.


Definition 5: (Tensorprodukt, Universelle Eigenschaft)R kommutativer Ring mit 1, A, B zwei R-Algebren. Ein Tensorprodut ist ein Tupel (A ⊗R

B, τA, τB) (kurz: A ⊗R B), welches gegeben ist durch eine R-Algebra A ⊗R B und zwei R-Algebenhomomorphismen

τA : A −→ A⊗R B mit a 7−→ τA(a) := a⊗ 1

τB : B −→ A⊗R B mit b 7−→ τB(b) := 1⊗ b

so dass die folgende universelle Eigenschaft gilt:

∀ΦA : A −→ C ∧ ∀ΦB : B −→ C R-Algebrenhomomorphismen mit C R-Algebra

∃1 ϕ : A⊗R B −→ C R-Algebrenhomomorphismus :

(1): ΦA = ϕ ◦ τA

(2): ΦB = ϕ ◦ τB

(3): ΦA(a) · ΦB(b) = ΦB(b) · ΦA(a) in C

Mit anderen Worten existiert fur jede R-Algebra C und fur jeden R-Algebrenhomomorphismus ΦA

und ΦB genau ein R-Algebrenhomomorphismus ϕ, so dass beide Teile des folgenden Diagrammsgleichzeitig kommutieren (d.h. so dass das gesamte Diagramm kommutiert):

AτA−→ A⊗R B

τB←− B

ΦA ց ↓ ∃1 ϕ ւ ΦB

C

Bemerke: Besitzen ΦA und ΦB die gleiche universelle Eigenschaft wie τA und τB, so ist ϕ einIsomorphismus.

Beweis: (Definition 5)Wir beweisen nun die Existenz und Eindeutigkeit einer solchen Abbildung ϕ : A⊗R B −→ C:Eindeutigkeit von ϕ:Wir erinnern dazu an die Definition der Multiplikation in A⊗R B. Dann erhalten wir:

ϕ(a⊗ b) = ϕ((a⊗ 1) · (1⊗ b)) = ϕ(τA(a) · τB(b)) = ϕ(τA(a)) · ϕ(τB(b)) = ΦA(a) · ΦB(b)

Da ΦA, ΦB aber eindeutig vorgegeben sind, ist ϕ eindeutig bestimmt.Existenz von ϕ:Wir betrachten die Abbildung

A×B −→ C mit (a, b) 7−→ ΦA(a) · ΦB(b)

Diese Abbildung ist R-bilinear (da ΦA und ΦB R-Algebrenhomomorphismen sind). Somit gilt nachder universellen Eigenschaft fur R-Moduln:

∃1 ϕ : A⊗R B −→ C R-Modulhomomorphismus mit a⊗ b 7−→ ϕ(a⊗ b) = ΦA(a) · ΦB(b)

Dass dieser R-Modulhomomrphismus sogar ein R-Algebrenhomomorphismus ist, lasst sich leicht nach-rechnen:

ϕ((a1 ⊗ b1) · (a2 ⊗ b2)) = ϕ((a1 · a2)⊗ (b1 · b2)) = ΦA(a1 · a2) · ΦB(b1 · b2)

= ΦA(a1) · ΦA(a2) · ΦB(b1) · ΦB(b2)

= ΦA(a1) · ΦB(b1) · ΦA(a2) · ΦB(b2) = ϕ(a1 ⊗ b1) · ϕ(a2 ⊗ b2)


Satz 6:R kommutativer Ring mit 1, B R-Algebra, K Korper, V , W zwei K-Vektorraume. Dann gilt:

(1): Mn(R)⊗R Mm(R) ∼= Mn·m(R) ∀n, m ∈ N

(2): End(V )⊗K End(W ) ∼= End(V ⊗K W )

(3): Mn(R)⊗R B ∼= Mn(B)

(4): Mn(R)⊗R Mm(R) ∼= Mn(Mm(R)) ∼= Mm(Mn(R))

Beweis: (Satz 6)zu(1): Ubungzu(2): ahnlich wie in (1)

zu(3): Ubungzu(4): ist Konsequenz aus (1)

Die folgenden drei R-Algebren tauchen spater in einigen Beispielen in Kapitel 21 wieder auf.

Satz 7:Bis auf Isomorphie gibt es genau drei endlich-dimensionale R-Algebren, die Schiefkorper sind. Diesesind: R, C und H.


9 TENSORALGEBRA 53

9 Tensoralgebra

In diesem Kapitel wollen wir uns der Tensoralgebra anvertrauen, die in vielen Bereichen der Mathe-matik wie der Linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendetwird. Dazu ist es eleganter vorab eine Notation fur das n-fache Tensorprodukt von R-Moduln ein-zufuhren:

Notation 1:R Ring mit 1, M R-Modul. Dann:

M⊗0 := R

M⊗n := M ⊗R · · · ⊗R M︸︷︷︸

n-Faktoren

∀n ∈ N

Die folgende Definition der Tensoralgebra lasst sich analog fur Vektorraume einfuhren. Man ersetze indiesem Fall R durch einen Korper K und M durch einen K-Vektorraum V .

Definition 2: (Tensoralgebra)R Ring mit 1, M R-Modul. Dann:

TM := T •M = TRM :=⊕

n>0

M⊗n = R⊕M ⊕ (M ⊗R M)⊕ (M ⊗R M ⊗R M)⊕ · · ·

heißt Tensoralgebra von M uber R.

Beispiel 3:R Ring, M R-Modul, M frei vom Rang 1, M = X · R. Dann ist die Tensoralgebra TM von Mgegeben durch

TM = T (X ·R) = R⊕X ·R⊕X⊗2 ·R⊕ · · · ⊕X⊗n ·R = R[X]

Die Tensoralgebra TM ist also der Polynomring in X uber R. Dies gilt, da

M⊗n = (X ⊗R · · · ⊗R X)︸︷︷︸

n-Faktoren

·R

R⊗n ∼= R

Um Letzteres einzusehen betrachte man die beiden Abbildungen:

R⊗n −→ R mit a1 ⊗ · · · ⊗ an 7−→ a1 · · · · · an

R −→ R⊗n mit a 7−→ 1⊗ · · · ⊗ 1⊗ a

9 TENSORALGEBRA 54

Beispiel 4: (Dimension der Tensoralgebra)R Ring, M R-Modul, M frei vom Rang 1.(1): M = X ·R⊕ Y ·R = 〈X, Y 〉. Dann:

M⊗1 = M = X ·R⊕ Y ·R = 〈X, Y 〉M⊗2 = 〈X ⊗X, X ⊗ Y, Y ⊗X, Y ⊗ Y 〉 =

⟨X2, XY, Y X, Y 2

⟩

M⊗3 =⟨X3, X2Y, XY X, XY 2, Y X2, Y XY, Y 2X, Y 3

⟩

Damit konnen wir folgende (auch korrekte) Vermutung uber den Rang aufstellen:

rang(M⊗n) = 2n

Eine Basis von M⊗n bilden die nicht kommutativen Monome X und Y .(2): (Verallgemeinerung von (1)) M =

⊕ki=1 Xi ·R. Dann gilt:

rang(M⊗n) = kn

Weiter bilden in diesem Fall die nicht kommutativen Monome Xi1 , . . . , Xin (mit 1 6 ij 6 n) eineBasis von M⊗n.

Definition 5: (Assoziative R-Algebra)R Ring mit 1, M R-Modul und ∗ bilineare Abbildung gegeben durch

∗ : M ×M −→M mit (m1, m2) 7−→ m1 ∗m2

Dann:

(M, ∗) (kurz: M) heißt assoziative R-Algebra :⇐⇒ m1 ∗ (m2 ∗m3) = (m1 ∗m2) ∗m3

∀m1, m2, m3 ∈M

Bemerke: Eine assoziative R-Algebra ist eine spezielle R-Algebra und insbesondere ein Ring.

Beispiele 6:(1): Die Quaternionen H sind eine assoziative R-Algebra (also uber den reellen Zahlen)(2): Die Quaternionen H sind keine assoziative C-Algebra (also uber den komplexen Zahlen)

Bemerkung 7:(1): Die Tensoralgebra TM wird zusammen mit der Abbildung

⊗ : M⊗n ×M⊗m −→M⊗(n+m) mit

(u1 ⊗ · · · ⊗ un, v1 ⊗ · · · ⊗ vm) 7−→ u1 ⊗ · · · ⊗ un ⊗ v1 ⊗ · · · ⊗ vm

zu einer R-Algebra, insbesondere zu einer assoziativen R-Algebra.(2): Die Tensoralgebra TM ist im Allgemeinen nicht kommutativ (denn: i.A. gilt x⊗ y 6= y ⊗ x).(3): Die Tensoralgebra TM definiert mit der Abbildung aus (1) und zusammen mit der universellenEigenschaft ein Tensorprodukt.

9 TENSORALGEBRA 55

Satz 8: (Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra)R Ring mit 1, M R-Modul, A R-Algebra,

τ : M −→ TM mit x 7−→ (0, x, 0, 0, . . .)

Dann gilt die universelle Eigenschaft fur die Tensoralgebra TM :

∀Φ : M −→ A R-linear ∃1 ϕ : TM −→ A R-Algebrenhomomorphismus : Φ = ϕ ◦ τ

Mit anderen Worten existiert fur jede R-Algebra A und fur jede R-lineare Abbildung Φ genau einR-Algebrenhomomorphismus ϕ, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Mτ−→ TM

Φ ↓ ւ ∃1 ϕ

A

Bemerke: Die Abbildung τ entspricht einer Inklusionsabbildung (also der Einbettung) von M indie Tensoralgebra TM und ist daher injektiv.


Definition 9: (Freie assoziative R-Algebra)R Ring, X1, . . . , Xn Symbole. Dann:

R · 〈X1, . . . , Xn〉 := T

(n⊕

i=1

Xi ·R)

heißt freie assoziative R-Algebra erzeugt von X1, . . . , Xn (oder: nicht kommutativer Polynomringin X1, . . . , Xn).

Kommen wir nun zu einer weiteren Definition der Quaternionen-Algebra:

9 TENSORALGEBRA 56

Definition 10: (Quaternionen-Algebra)K Korper mit char(K) 6= 2, a, b ∈ K∗ = K\{0}, V K-Vektorraum mit V = X ·K + Y ·K. Dann:

Q(a, b) := (TK(X ·K + Y ·K)) /I = TKV/I heißt Quaternionen-Algebra

wobei I das zweiseitige Ideal von TKV ist, das erzeugt wird von

X ⊗X − a · 1 ∈ V ⊗0 ⊕ V ⊗2

Y ⊗ Y − b · 1 ∈ V ⊗0 ⊕ V ⊗2

(X ⊗ Y + Y ⊗X) ∈ V ⊗2

Kurz-Notation:

Q(a, b) =⟨X, Y | X2 = a, Y 2 = b, XY = Y X

⟩

Bemerke: Nimmt man als vierten Erzeuger (X ⊗ Y − Y ⊗ X) ∈ V ⊗2 hinzu, so erhalt man diesogenannte Null-Algebra.

Lemma 11:

dimK (Q(a, b)) = 4

fur eine Basis 1, X, Y, XY .

Beweis: (Lemma 11)(i): 1, X, Y, XY erzeugen Q(a, b): wurde bereits im ersten Kapitel gezeigt.(ii): 1, X, Y, XY sind linear unabhangig. Dazu: Man bekommt:

Q(a, b)Algebrenhom.−→ M2

(K(√

a))

↑ ϕրTV

↑ ր Φ

V

Weiter gilt: ϕ(I) = 0 (muss man nachrechnen). Mit dem Faktorisierungssatz faktorisiert dies.

10 SYMMETRISCHE ALGEBRA 57

10 Symmetrische Algebra

In diesem wie auch im nachsten Abschnitt werden wir zwei spezielle Formen der Tensoralgebra ken-nenlernen, die sogenannte symmetrische Algebra S•M und die außere Algebra Λ•M , wobei M stetsein R-Modul und R ein kommutativer Ring mit 1 ist. Wie wir gleich sehen werden sind sie beidedadurch charakterisiert, dass sie jeweils der Quotient der Tensoralgebra T •M nach einem bestimmtenIdeal I sind. Beschaftigen wir uns zunachst mit der symmetrischen Algebra:

Sei I das zweiseitige Ideal, das von den Elementen der Form x⊗ y− y⊗x ∈M ⊗R M = M⊗2 = T 2M(x, y ∈M) erzeugt wird, also

I := 〈x⊗ y − y ⊗ x〉

Betrachten wir I als R-Modul, so wird I von allen Elementen der Form

z1 ⊗ · · · ⊗ zm ⊗ x⊗ y ⊗ zm+1 ⊗ · · · ⊗ zn ∈M⊗(n+2)

− z1 ⊗ · · · ⊗ zm ⊗ x⊗ y ⊗ zm+1 ⊗ · · · ⊗ zn ∈M⊗(n+2)

(zi, x, y ∈M) erzeugt.

Definition 1: (Symmetrische Algebra)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, I wie oben. Dann:

SM := S•M := SRM := T •M/I =⊕

n>0

SnM = R︸︷︷︸

=S0M

⊕ M︸︷︷︸

=S1M

⊕S2M ⊕ S3M ⊕ · · ·

heißt symmetrische Algebra von M , wobei

SnM := M⊗n/In

In := I ∩M⊗n

Bemerke: Die symmetrische Algebra S•M ist der Quotient der Tensoralgebra T •M nach den zwei-seitigen Ideal I.

Definition 2: (n-fache symmetrische Potenz)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul. Dann:

SnM heißt n-fache symmetrische Potenz von M

Bemerke: SnM = SnRM = Sn(M/R).

Bemerkung 3:(1): Die symmetrische Algebra S•M ist eine R-Algebra.(2): Die symmetrische Algebra S•M ist kommutativ.(3): Die symmetrische Algebra S•M ist eine Teilalgebra der Tensoralgebra T •M , welche alle sym-metrischen Tensoren enthalt.


Beweis: (Bemerkung 3)zu(1):Der Quotient einer R-Algebra (hier: T •M) nach einem zweiseitigen Ideal (hier: I) ist stets wieder eineR-Algebra (hier: S•M).zu(2):ohne Beweis

Satz 4: (Universelle Eigenschaft der symmetrischen Algebra)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, A kommutative R-Algebra,

τ : M −→ S•M mit x 7−→ (0, x, 0, 0, . . .)

Dann gilt die universelle Eigenschaft fur die symmetrische Algebra S•M :

∀Φ : M −→ A R-linear ∃1ϕ : S•M −→ A R-Algebrenhomomorphismus : Φ = ϕ ◦ τ

Mit anderen Worten existiert zu jeder kommutativen R-Algebra A und zu jeder R-linearen Abbil-dung Φ genau ein R-Algebrenhomomorphismus ϕ, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Mτ−→ S•M

Φ ↓ ւ ∃1 ϕ

A

Bemerke: Die Abbildung τ entspricht einer Inklusionsabbildung (also der Einbettung) von M indie symmetrische Algebra S•M und ist daher injektiv.


Satz 5:R kommutativer Ring mit 1, M1, M2 zwei R-Moduln. Dann gilt:

(1): S•(M1 ⊕M2) ∼= S•M1 ⊗R S•M2

(2):

⊕

r>0

SrM1

⊗R

⊕

k>0

SkM2

∼=⊕

r>0

⊕

k>0

(

SrM1 ⊗R SkM2

)

Beweis: (Satz 5)zu(1):Wir wollen zeigen, dass

S•(M1 ⊕M2) ∼= S•M1 ⊗R S•M2

als R-Algebrenhomomorphismus ist. Dazu betrachten wir zunachst die Abbildungen

f : S•M1 ⊗R S•M2 −→ S•(M1 ⊕M2)

g : S•(M1 ⊕M2) −→ S•M1 ⊗R S•M2


zu f:Wir wissen, dass f : S•M1⊗RS•M2 −→ S•(M1⊕M2) das gleiche ist, wie zwei R-Algebrenhomomorphismen

f1 : S•M1 −→ S•(M1 ⊕M2)

f2 : S•M2 −→ S•(M1 ⊕M2)

mit den Eigenschaften

f1(t) · f2(t) = f2(t) · f1(t) und f(t⊗ s) = f1(t) · f2(s)

Zur Veranschaulichung betrachte

S•(M1)τS•(M1)−→ S•(M1)⊗R S•(M2)

τS•(M2)←− S•(M2)

f1 ց ↓ ∃1 f ւ f2

S•(M1 ⊕M2)

Geschenkt: S•(M1 ⊕M2) ist kommutativ.

f1 := S•(M1

τM1−→M1 ⊕M2) , wobei τM1(m) = (m, 0)

f2 := S•(M2

τM2−→M1 ⊕M2) , wobei τM2(m′) = (0, m′)

Somit sind

f1 : S•M1 −→ S•(M1 ⊕M2) mit m1 · · · · ·mr 7−→ (m1, 0) · · · · · (mr, 0)

f2 : S•M2 −→ S•(M1 ⊕M2) mit m′1 · · · · ·m′

s 7−→ (0, m′1) · · · · · (0, m′

s)

Damit ist

f = f1 · f2 : S•M1 ⊗R S•M2 −→ S•(M1 ⊕M2) mit

(m1 · · · · ·mr)⊗ (m′1 · · · · ·m′

s) 7−→ (m1, 0) · · · · · (mr, 0) · (0, m′1) · · · · · (0, m′

s)

zu g:Die geht ahnlich wie bei f und bleibt zur Ubung.zu(2):

Ubungsaufgabe

Bemerkung 6:Betrachten wir die Situation aus Satz 5(1) fur die Tensoralgebra T •M , so stellen wir fest:

T •(M1 ⊕M2) 6∼= T •M1 ⊗R T •M2

Der Grund, weswegen sie nicht isomorph zueinander sind, ist der, dass die Elemente auf der rechtenSeite (also in T •M1 ⊗R T •M2) kommutieren, auf der linken Seite hingegen (also in T •(M1 ⊕M2)kommutieren die Elemente nicht.


Bemerkung 7:M −→ S•M ist ein Funktor der Kategorie der R-Moduln in die Kategorie der kommutativenR-Algebren, d.h.

∀M R-Modul : S•M ist kommutative R-Algebra

und

∀ f : M −→M ′ R-Modulhomomorphismus

∃S•f : S•M −→ S•M R-Algebrenhom. :

(1): S•(idM ) = idS•M

(2): S•(h ◦ g) = S•(h) ◦ S•(g)

(3): S•f(x1, . . . , xr) = f(x1) · · · · · f(xr)

Hierbei verwenden wir folgende Notation:

SrM ∋ x1 · · · · · xr = x1 ⊗ · · · ⊗ xr mod I ∈ T rM

Satz 8: (Dimension der Symmetrischen Algebra)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul frei vom Rang n (also dim(M) = n). Dann gilt:

SrM ist frei vom Rang

(n + r − 1

r

)

=

(n + r − 1

n− 1

)

, also dim(SrM) =

(n + r − 1

n− 1

)

Bemerke: Der Rang von T rM ist nr.

Beweis: (Satz 8)Sei e1, . . . , en eine Basis von M . Dann gilt:

SrM hat die Basis ei1 , . . . , eir (1 6 i1 6 · · · 6 ir 6 n)

T rM hat die Basis ei1 , . . . , eir (1 6 i1 6 · · · 6 ir 6 n)

wobei

1 6 i1︸︷︷︸

=:j1

< i2 + 1︸︷︷︸

=:j2

< i3 + 2︸︷︷︸

=:j3

< · · · < ir + r − 1︸︷︷︸

=:jr

6 n + r − 1

damit ist der Rang

(n + r − 1

r

)

=

(n + r − 1

n− 1

)

(= Anzahl an homogenen Monomen vom Grad r in n Variablen)


Beispiel 9:Voraussetzungen wie in Satz 8.(1): n=1. Dann:

dim(SrM) =

(1 + r − 1

r

)

=

(rr

)

= 1

(2): n=2. Dann:

dim(SrM) =

(2 + r − 1

r

)

=

(r + 1

r

)

=(r + 1)!

r! · ((r + 1)− r)!= r + 1

Definiton 10: (Symmetrische Funktion)R kommutativer Ring mit 1, M und N zwei R-Moduln, Sr symmetrische Gruppe, f : M r −→ NR-multilinear. Dann:

f : M r −→ N heißt symmetrisch :⇐⇒{

∀ (x1, . . . , xr) ∈M r ∧ ∀σ ∈ Sr :

f(x1, . . . , xr) = f(xσ(1), . . . , xσ(r))

Anstelle von symmetrisch ist auch die Bezeichnung r-fach symmetrisch gebrauchlich. Die Symmetriesagt also aus, dass man die Argumente der Funktion beliebig vertauschen darf, ohne dass sich derFunktionswert verandert. Bemerke: M r = M × · · · ×M (r-mal). Weiter definieren wir:

Symr(M, N) := {f : M r −→ N | f R-multilinear und symmetrisch}

heißt Menge der symmetrischen Funktionen.

In diesem Zusammenhang macht die universelle Eigenschaft der symmetrischen Algebra folgende Aus-sage:

Bemerkung 11:

HomR(SrM, N) = Symr(M, N)

11 AUSSERE ALGEBRA 62

11 Außere Algebra

R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul

Sei J das zweiseitige Ideal, das von den Elementen der Form x⊗x ∈M⊗2 (x ∈M) erzeugt wird, also

J := 〈x⊗ x〉

Definition 1: (Außere Algebra, Graßmann-Algebra)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, J wie oben. Dann:

ΛM := Λ•M := ΛRM := T •M/J =⊕

n>0

ΛnM = R︸︷︷︸

=Λ0M

⊕ M︸︷︷︸

=Λ1M

⊕Λ2M ⊕ Λ3M ⊕ · · ·

heißt außere Algebra (oder: Graßmann-Algebra) von M , wobei

ΛnM := M⊗n/Jn

Jn := J ∩M⊗n

Bemerke: Die außere Algebra Λ•M ist der Quotient der Tensoralgebra T •M nach den zweiseitigenIdeal J .

Definition 2: (n-fache außere Potenz)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul. Dann:

ΛnM heißt n-fache außere Potenz von M

Die Elemente der n-fachen außeren Potenz schreiben wir als

x1 ∧ x2 ∧ · · · ∧ xn := x1 ⊗ x2 ⊗ · · · ⊗ xn mod Jn ∈ ΛnM

wobei x1, x2, . . . , xn ∈M (also homogene Elemente) sind.

Beispiel 3:

Λ2M = (M ⊗R M)/ 〈x⊗ x | x ∈M〉R

Bemerkung 4:(1): Die außere Algebra Λ•M ist eine freie R-Algebra erzeugt von den Elementen x ∈ M mitx ∧ x = 0 (also x⊗ x mod Jn = 0).(2): Die außere Algebra Λ•M ist eine Teilalgebra der Tensoralgebra T •M , welche alle alternierendenTensoren enthalt.


Satz 5: (Universelle Eigenschaft der außeren Algebra)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, A (kommutative) R-Algebra,

τ : M −→ Λ•M mit x 7−→ (0, x, 0, 0, . . .)

Dann gilt die universelle Eigenschaft fur die außere Algebra Λ•M :

∀Φ : M −→ A R-linear mit (Φ(x))2 = 0 (∀x ∈M)

∃1ϕ : Λ•M −→ A R-Algebrenhomomorphismus : Φ = ϕ ◦ τ

Mit anderen Worten existiert zu jeder (kommutativen) R-Algebra A und zu jeder R-linearen Abbil-dung Φ mit der Eigenschaft (Φ(x))2 = 0 (fur jedes x ∈M) genau ein R-Algebrenhomomorphismusϕ, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Mτ−→ Λ•M

Φ ↓ ւ ∃1 ϕ

A

Bemerke: Die Abbildung τ entspricht einer Inklusionsabbildung (also der Einbettung) von M indie symmetrische Algebra S•M und ist daher injektiv.


Lemma 6:x, y ∈M . Dann gilt:

(y ∧ x) = −(x ∧ y) (in Λ2M)

Beweis: (Lemma 6)

0Beispiel 3

= (x + y)⊗ (x + y)Definition 2

= (x + y) ∧ (x + y)

= (x ∧ x)︸︷︷︸

=0 (in Λ2M)

+(x ∧ y) + (y ∧ x) + (y ∧ y)︸︷︷︸

=0 (in Λ2M)

=⇒ (x ∧ y) + (y ∧ x) = 0 =⇒ (y ∧ x) = −(x ∧ y)

Corollar 7:x1, . . . , xr ∈ M (damit also x1 ∧ · · · ∧ xr ∈ ΛrM), σ ∈ Sr (symmetrische Gruppe) eine beliebigePermutation. Dann gilt:

xσ(1) ∧ · · · ∧ xσ(r) = sgn(σ) · x1 ∧ · · · ∧ xr

Beweis: (Corollar 7)


Algebra 1: Sei σ = τ1 ◦ · · · ◦ τl mit Nachbarschaftstraspositionen τ1, . . . , τl. Dann ist

σ−1 = τl ◦ · · · ◦ τ1

sgn(σ) = (−1)l

Permutiere nun xσ(1) ∧ · · · ∧ xσ(r) mit τ1, . . . , τl, dann erhalten wir

(−1)l

︸︷︷︸

=sgn(σ)

·x1 ∧ · · · ∧ xr

Satz 8:Die Abbildung

Λ•M1⊗RΛ•M2 −→ Λ•(M1 ⊕M2) mit

(x1 ∧ · · · ∧ xr)⊗ (y1 ∧ · · · ∧ ys) 7−→ x1 ∧ · · · ∧ xr ∧ y1 ∧ · · · ∧ ys

ist ein Isomorphismus.Bemerke: (1): xi ∈M1 und yi ∈M2, (2): ⊗R bezeichnet hierbei das graduierte Tensorprodukt, daswir im nachsten Abschnitt kennenlernen werden.

Beweis: (Satz 8)ohne Beweis. (Hinweis: Man fasse M1 und M2 als Unterraume von M1 ⊕M2 auf.)

Lemma 9:α ∈ ΛrM , β ∈ ΛsM . Dann gilt:

α · β = (−1)r·s · β · α

Bemerke: (1): deg(α) = r und deg(β) = s. (2): Wir haben hiermit gezeigt, dass die außere Algebraeine antikommutative Algebra ist.

Beweis: (Lemma 9)ohne Beweis

Analog zu Definition 10.10 definieren wir nun die alternierenden Funktionen:


Definition 10: (Alternierende Funktion)R kommutativer Ring mit 1, M und N zwei R-Moduln, Sr symmetrische Gruppe, f : M r −→ NR-multilinear. Dann:

f : M r −→ N heißt alternierend :⇐⇒

∀ (x1, . . . , xr) ∈M r mit xi = xj fur ein Paar

(xi, xj) aus (x1, . . . , xr) mit i 6= j :

f(x1, . . . , xr) = 0

Anstelle von alternierend ist auch die Bezeichnung r-fach alternierend gebrauchlich. Die Eigenschaftalternierend sagt also aus, dass sobald zwei der Argument ubereinstimmen, der Funktionswert 0sein muss. Bemerke: M r = M × · · · ×M (r-mal). Weiter definieren wir:

Altr(M, N) := {f : M r −→ N | f R-multilinear und alternierend}

heißt Menge der alternierenden Funktionen.

In diesem Zusammenhang macht die universellen Eigenschaft der außeren Algebra folgende Aussage:

Beispiel 11:R kommutativer Ring mit 1, M = Rn (also M ist R-Modul). Dann ist die Funktion

f : M × · · · ×M︸︷︷︸

n-mal

−→ R mit (x1, . . . , xn) 7−→ f(x1, . . . , xn) := det(x1, . . . , xn)

alternierend.

Bemerkung 12:

HomR(ΛrM, N) = Altr(M, N)

Fassen wir nun zunachst nocheinmal die verschiedenen universellen Eigenschaften zusammen:

Bemerkung 13:Sei R wie in dem jeweiligen Kapitel vorausgesetzt und M, N, M1, . . . , Mr allesamt R-Moduln. Dann:

(1): HomR(M1 ⊗R M2, N) = Bil(M1, M2; N)

(wobei Bil(M1, M2; N) := {f : M1 ×M2 −→ N | f R-bilinear})(2): HomR(M1 ⊗R · · · ⊗R Mr, N) = Mult(M1, . . . , Mr; N)

(wobei Mult(M1, . . . , Mr; N) := {f : M1 × · · · ×Mr −→ N | f R-multilinear})(3): HomR(SrM, N) = Symr(M, N)

(wobei Symr(M, N) := {f : M × · · · ×M︸︷︷︸

r-mal

−→ N | f multilinear und symmetrisch})

(4): HomR(ΛrM, N) = Altr(M, N)

(wobeiAltr(M, N) := {f : M × · · · ×M︸︷︷︸

r-mal

−→ N | f multilinear und alternierend})

Ebenso wie bei der symmetrischen Algebra in Satz 10.8 lassen sich auch fur die außere Algebra folgende


Aussagen bezuglich des Ranges machen:

Satz 14: (Dimension der Außeren Algebra)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul frei vom Rang n (also dim(M) = n). Dann gilt:

ΛrM ist frei vom Rang

(nr

)

, also dim(ΛrM) =

(nr

)

Damit ist die Gesamtdimension der außeren Algebra Λ•M =⊕n

r=0 ΛrM gegeben durch:

dim(Λ•M) = 2n


Lemma 15:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul erzeugt von e1, . . . , en (d.h. M = e1R+ · · ·+ enR). Danngilt:

(1): ΛrM wird als R-Modul erzeugt von ei1 ∧ · · · ∧ eir mit 1 6 i1 < · · · < ir 6 n

(2): ΛrM =∑

i6i1<···<ir6n

ei1 ∧ · · · ∧ eir

Beweis: (Lemma 15)ΛrM wird erzeugt von den Elementen der Form

x1 ∧ · · · ∧ xr

wobei xi ∈M sind. Schreibe nun

xi =n∑

j=1

aijej

mit aij ∈ R. Einsetzen ergibt nun

x1 ∧ · · · ∧ xr =∑

j1,...,jr=1

a1j1 · · · · · arjr︸︷︷︸

∈R

·(ej1 ∧ · · · ∧ ejr)

Corollar 16:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul erzeugt von e1, . . . , en (d.h. M = e1R+ · · ·+ enR). Danngilt:

ΛrM = 0 ∀ r > n


Beweis: (Corollar 16)ohne Beweis

Satz 17:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, M frei mit Basis e1, . . . , en. Dann gilt:

ei1 ∧ · · · ∧ eir (1 6 i1 < · · · < ir 6 n) ist Basis von ΛrM

Beweis: (Satz 17)Wir fuhren den Beweis uber Induktion nach n:Induktionsanfang: n = 1Dann ist M = Re1 und damit

Λ•M = R⊕M

der Rest lasst sich rauskurzen.Induktionsschluss: n− 1 7−→ nDann ist M =

⊕ni=1 Rei und damit

Λ•(

n⊕

i=1

Rei

)

noch zu zeigen=

n⊗

i=1

Λ• (Rei) =n⊗

i=1

(R⊕Rei) = · · ·

Corollar 18:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, M =

⊕ni=1 Rei. Dann gilt:

ΛnM ist frei mit e1, . . . , en


Bemerkung 19:Sei f : M −→M . Betrachte die Funktion

Λnf : ΛnM −→ ΛnM mit

(e1 ∧ · · · ∧ en) 7−→ f(e1) ∧ · · · ∧ f(en) = det(f)︸︷︷︸

∈R

·e1 ∧ · · · ∧ en

Beachte: det(f) liegt im Grundring. Wir definieren: det(f) := Λnf . Hierbei ist Λn−1f die Adjun-gierte, wozu wir spater noch kommen werden.

12 GRADUIERTE ALGEBRA 68

12 Graduierte Algebra

In diesem Kapitel beschaftigen wir uns mit graduierten Algebren. Unter einer Graduierung verstehtman allgemein die Zerlegung einer abelschen Gruppe in Teile von einem bestimmten Grad. Zunachstzu einem einfuhrenden Beispiel:

Beispiel 1:R kommutativer Ring mit 1, R[X] Polynomring in einer Unbestimmten. Betrachte das Polynom

X5 + 3 ·X2 −X + 4 ∈ R[X]

Dieses Polynom ist nichts anderes als die Summe der Monome X5 (Grad 5), 3 · X2 (Grad 2),−X (Grad 1) und 4 (Grad 0). Umgekehrt konnen wir endlich viele Monome verschiedenen Gradesvorgeben und erhalten als Summe ein Polynom f ∈ R[X].

Fur diesen Zweck sein von nun an: Z feste abelsche Gruppe. Es sei am Rande vermerkt, dass manublicherweise Z = Z, Z = Z/2Z oder Z = N0 betrachtet.

Definition 2: (Z-Graduierte R-Algebra)R Ring mit 1, A R-Algebra. Dann versteht man unter einer Z-Graduierung auf A eine Zerlegungder Form

A =⊕

i∈Z

Ai

so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

(1): Ai ⊂ A ist Untermodul von A ∀ i ∈ Z

(2): Ai ·Aj ⊂ Ai+j ∀ i, j ∈ Z

Man sagt in diesem Fall auch: A ist Z-graduiert. Bemerke: Die zweite Eigenschaft ist gleichbedeu-tend mit

ai · aj ∈ Ai+j ∀ ai ∈ Ai ∧ ∀ aj ∈ Aj

Bezeichnungen 3:Wir betrachten die Situation aus Definition 2, dann sind folgende Bezeichnungen ublich:

(1): Ai heißt graduierter Bestandteil (oder: Komponente) von A

(2): a ∈ Ai heißt homogenes Element vom Grad i

(3): Falls Z = Z ist, so spricht man haufig schlichtweg von einer Graduierung anstelle

von einer Z-Graduierung


Bemerkung 4:Wir betrachten erneut die Situation aus Definition 2, dann lasst sich jedes a ∈ A eindeutig als Sum-me homogener Elemente verschiedenen Grades schreiben. Diese verschiedenen homogenen Elementezur Darstellung eines Elements a ∈ A werden als homogene Bestandteile (oder: Komponenten) vona bezeichnet.

Kommen wir nun zu einigen Beispielen, die unter anderem zeigen, dass es mehrere Graduierungen aufeiner R-Algebra geben kann:

Beispiele 5:(1): R Ring mit 1, A = R[X1, . . . , Xn] Polynomring in n Unbestimmten. Dann ist A Z-graduiert,denn:

R[X1, . . . , Xn] =⊕

i∈Z

Ai , wobei Ai :=

{

homogene Polynome vom Grad i , i > 0

0 , i < 0

(2): R Ring mit 1, A = R[X1, . . . , Xn] Polynomring in n Unbestimmten. Dann ist A Zn-graduiert,denn:

R[X1, . . . , Xn] =⊕

(i1,...,in)∈Zn

A(i1,...,in) , wobei A(i1,...,in) :=

{

R ·Xi11 · · · · ·Xin

n , ij > 0

0 , ij < 0

wobei naturlich (i1, . . . , in) ∈ Zn ist.

Bemerkung 7:(1): 1A ∈ A0 (Dies folgt unmittelbar aus Definition 2(2)). Bemerke: (Z,+) abelsche Gruppe, daher0 ∈ Z neutrales Element.(2): A0 ist eine Unteralgebra von A, d.h.

(i) a · b ∈ A0 ∀ a, b ∈ A0

(ii) a + b ∈ A0 ∀ a, b ∈ A0

(iii) λ · a ∈ A0 ∀λ ∈ R ∧ ∀ a ∈ A0

Bemerke: Die Eigenschafte (ii) und (iii) sind die Untermoduleigenschaften. Weiter mussen die an-deren Ai’s (i 6= 0) keine Unteralgebren von A sein.(3): Z ′ ⊂ Z Untergruppe. Dann ist AZ Z ′-graduiert, denn:

AZ =⊕

i∈Z′

Ai

(4): Z, Z ′ zwei abelsche Gruppen, A Z-graduiert, ϕ : Z −→ Z ′ Gruppenhomomorphismus vonabelschen Gruppen. Dann ist A auch Z ′-graduiert, denn:

A =⊕

i∈Z

Ai =⊕

j∈Z′

⊕

i∈ϕ−1(j)

Ai

︸︷︷︸

=:Aj

=⊕

j∈Z′

Aj


Beweis: (Bemerkung 7)zu(2):Die Eigenschaft (ii) und (iii) gilt, da A0 nach Voraussetzung in Definition 2(1) ein Untermodul von Aist und diese beiden gerade die Untermoduleigenschaften sind. Eigenschaft (i) folgt aus Definition 2(2),denn:

A0 ·A0 ⊂ A0+0 = A0

also ist A0 abgeschlossen unter Multiplikation.

Beispiele 8:(1): Prazisierung von Beispiel 1: R kommutativer Ring mit 1, A = R[X] Polynomring in einerUnbestimmten. Dann ist A Z-graduiert, denn:

A =⊕

i∈Z

Ai , wobei Ai =

{

R ·Xi , i > 0

0 , i < 0

(2): R kommutativer Ring mit 1, Z ′ = 2Z ⊂ Z = Z, A = R[X] Z-graduiert (wie in (1)). Dann istA Z ′-graduiert, denn:

AZ′ = R[X2]

(3): (Verallgemeinerung von (2)): R kommutativer Ring mit 1, Z ′ = nZ ⊂ Z = Z, A = R[X]Z-graduiert (wie in (1)). Dann ist A Z ′ graduiert, denn

AZ′ = R[Xn]

(4): R kommutativer Ring mit 1, Z = Z, Z′ = Z/2Z = {0, 1}, A = R[X]. Dann ist A Z/2Z-graduiert, denn:

A = R[X] =⊕

i>0

R ·Xi =⊕

i>0

R ·X2i

︸︷︷︸

=:A0

⊕⊕

i>0

R ·X2i+1

︸︷︷︸

=:A1

= A0 ⊕A1 =⊕

i∈Z/2Z

Ai

(5): R Ring mit 1, a ∈ R, A = R[X]/(Xn − a) hat R-Basis 1, X, X2, . . . , Xn−1. Dann ist A Z/nZ-graduiert, denn:

A =⊕

i∈Z/nZ

R ·Xi

(6): C ist Z/2Z-graduiert, denn:

C = R + iR =⊕

i∈Z/2Z

Ai , wobei Ai =

{

R , i = 0

iR , i = 1


Beispiele 9:(1): (Graduierung der Tensoralgebra T •M)R Ring mit 1, M R-Modul. Dann ist die Tensoralgebra T •M N0-graduiert (ebenso ist sie Z-graduiert), denn:

T •M =⊕

i>0

M⊗i , wobei M⊗i :=

i-mal︷︸︸︷

M ⊗R · · · ⊗R M , i > 0

R , i = 0

0 , i < 0

(2): (Graduierung der symmetrischen Algebra S•M)R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, I Ideal aus Kapitel 10. Dann ist die symmetrischeAlgebra S•M N0-graduiert (ebenso ist sie Z-graduiert), denn:

S•M =⊕

i>0

SiM , wobei SiM :=

{

M⊗i/Ii , i > 0

0 , i < 0

(3): (Graduierung der außeren Algebra Λ•M)R komutativer Ring mit 1, M R-Modul, J Ideal aus Kapitel 11. Dann ist die außere Algebra Λ•MN0-graduiert (ebenso ist sie Z-graduiert), denn:

Λ•M =⊕

i>0

ΛiM , wobei ΛiM :=

{

M⊗i/Ji , i > 0

0 , i < 0

Bemerkung 10:Meistens betrachtet man Z = Z, Z = N0 und Z = Z/2Z.

Kommen wir nun nocheinmal zu einer Spezialform der Definition 2 fur Z = Z/2Z:

Definition 11: (Z/2Z-Graduierte Algebra)R Ring mit 1, A R-Algebra. Dann versteht man unter einer Z/2Z-Graduierung auf A eine Zerlegungder Form

A = A0 ⊕A1

so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

(1): A0 ⊂ A ist Unteralgebra von A

(2): A0 ·A1 ⊂ A1

A1 ·A0 ⊂ A1

A1 ·A1 ⊂ A0

Damit ist:

A = A0 ⊕A1 = Aeven ⊕Aodd

wobei even fur gradzahlig und odd fur ungeradzahlig stehen.


Definition 12: (Antikommutative Z/2Z-graduierte R-Algebra)R Ring mit 1, A = A0 ⊕A1 Z/2Z-graduierte R-Algebra. Dann:

A heißt antikommutativ :⇐⇒{

xi · yj = (−1)i·j · xi · yj

∀xi ∈ Ai ∧ ∀ yj ∈ Aj mit i, j ∈ Z/2Z und xi 6= yj

Anstelle von A ist antikommutativ sind auch die Bezeichnungen A ist Z/2Z-kommutativ sowie Aist super-kommutativ gebrauchlich.Man bemerke: Die Antikommutativitatseigenschaft ist gleichbedeutend mit

x · y = (−1)(deg x)·(deg y) · y · x , wobei x bzw. y homogen vom Grad (deg x) bzw. (deg y))

Definition 13: (Antikommutative Z-graduierte R-Algebra)R Ring mit 1, A =

⊕

i∈Z Z-graduierte R-Algebra. Dann:

A heißt antikommutativ :⇐⇒{

x · y = (−1)(deg x)·(deg y) · y · x ∀x, y ∈ A

wobei x bzw. y homogen vom Grad (deg x) bzw. (deg y)

Beispiel 14:Die außere Algebra Λ•M ist eine antikommutative Algebra nach Lemma 11.9, denn:

(x1 ∧ · · · ∧ xr) · (y1 ∧ · · · ∧ ys) = (−1)r·s · (y1 ∧ · · · ∧ ys) · (x1 ∧ · · · ∧ xr) ∀xi, yj ∈M

Definition 15: (Z/2Z-graduiertes Tensorprodukt)R Ring mit 1, A, B zwei Z/2Z-graduierte R-Algebren mit A = A0 ⊕ A1 und B = B0 ⊕ B1. Dannist A⊕RB diejenige R-Algebra mit

A⊕RB = A⊗R B als Modul

mit der Z/2Z-Graduierung

(A⊕RB)0 = (A0 ⊗R B0)⊕ (A1 ⊗R B1)

(A⊕RB)1 = (A0 ⊗R B1)⊕ (A1 ⊗R B0)

und dem Produkt

x · y = (−1)i·j · y · x

A⊕RB heißt Z/2Z-graduiertes Tensorprodukt. Bemerke: Mit dem Dachsymbol bezeichnet man imAllgemeinen beliebige Z-graduierte Tensorprodukte und nennt die dann Z-graduiertes Tensorpro-dukt. Mit Bemerkung 10 ist diese Definition somit ein Spezialfall.


Corollar 16:R Ring mit 1, A, B zwei R-Algebren. Dann gilt:

(1): A⊗RB ist assoziative R-Algebra

(2): A, B antikommutativ =⇒ A⊗RB ist antikommutativ



S•(M1 ⊕M2) ∼= S•M1⊗RS•M2



Λ•(M1 ⊕M2) ∼= Λ•M1⊗RΛ•M2


Bemerkung 19:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, M frei vom Rang n (d.h. M =

⊕ni=1 eiR). Dann gilt:

Λ•(

n⊕

i=1

eiR

)

=⊗n

i=1Λ• (eiR) =

⊗n

i=1(R⊕ eiR)

Definition 20: (Invertierbarer R-Modul)R Ring mit 1, L R-Modul. Dann:

L heißt invertierbar :⇐⇒ ∃K R-Modul : L⊗R K ∼= R

Hierbei ist von Isomorphie als R-Moduln die Rede.


Beispiele 21:(1): R Ring mit 1, M R-Modul, L invertierbarer R-Modul mit L⊗R K ∼= R. Dann gilt:

(M ⊗R L)⊗R K = M ⊗R (L⊗R K) ∼= M ⊗R R = M

(2): R Ring mit 1, L R-Modul, L frei vom Rang 1. Dann gilt:

L ist invertierbar

(3): R Ring mit 1, L = R und K = R. Dann gilt:

L = R ist invertierbar, denn: R⊗R R ∼= R

(4): R Ring mit 1, L R-Modul, L frei vom Rang 1, setze K := L∗ = Hom(L, R). Dann gilt:

L ist invertierbar

Um dies einzusehen betrachte man:

L⊗R L∗ ∼= R mit x⊗ α 7−→ α(x)

L = e ·R, L∗ = f ·R mit f(e) = 1

13 MOBIUSBAND 75

13 Mobiusband

Mit diesem Kapitel machen wir einen kurzen Abstecher zum Mobiusband. Vorstellen kann man sichdarunter folgendes: Man nehme ein langeren Streifen Papier und klebe ihn, nachdem man eines derEnden um 180◦ gedreht hat, an beiden Enden ringformig zusammen. Eine kurze Veranschaulichungfur ein Mobiusband (oder auch Mobiusschleife genannt) bietet die 1. Abbildung:

Abbildung 1: Mobiusband, Mobiusschleife

Die folgenden Definitionen fur R und L gelten fur das gesamte Kapitel 13:

Definition 1:

(1): S1 := {z ∈ C | |z| = 1} heißt Einheitskreislinie

(2): R := C∞(S1) := {f : R −→ R | f stetig und f(x + 1) = f(x) ∀x ∈ R}= {f : [0, 1] −→ R | f stetig und f(0) = f(1)}

(3): L := {f : R −→ R | f stetig und f(x + 1) = −f(x) ∀x ∈ R}= {f : [0, 1] −→ R | f stetig und f(1) = −f(0)}

Satz 2:Die Exponentialfunktion

exp : R −→ S1 mit t 7−→ exp(t) := e2πit = cos(2πt) + i · sin(2πt)

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis: (Satz 2)Wir betrachten dazu die Gruppen (R, +) und (S1, ·).

13 MOBIUSBAND 76

z.z.: exp(a + b) = exp(a) · exp(b) ∀ a, b ∈ R

Seien a, b ∈ R beliebig. Dann gilt:

exp(a + b) = e2πi(a+b) = e2πia+2πib = e2πia · e2πib = exp(a) · exp(b)

Damit ist exp ein Gruppenhomomorphismus.

Insbesondere ergibt sich somit:

exp(0) = exp(0 + 0) = exp(0) · exp(0) = 1 · 1 = 1

wobei 0 neutrales Element von (R, +) und 1 neutrales Element von (S1, ·).

Satz 3:Fur die Exponentialfunktion exp aus Satz 2 gilt:

(1): kern(exp) = Z

(2): R/Z ∼= S1

Beweis: (Satz 3)zu(1): Hinweis:

kern(exp) := {x ∈ R | exp(x) = 1} = Z

Rest: Ubungsaufgabe.zu(2):Dies folgt unmittelbar aus dem 1. Homomorphiesatz, den wir in Algebra 1 kennengelernt haben.

Bemerkung 4:(1): Betrachte f : [0, 1] −→ R, wobei f ∈ R := C∞(S1). In Abbildung 2 wird mittels copy andpaste (kopieren und einfugen) gezeigt, wie man eine solche Funktion auf ganz R fortsetzt, so dassdie Funktion weiterhin in R := C∞(S1) liegt.(2): Betrachte f : [0, 1] −→ R, wobei f ∈ L. In Abbildung 3 wird mittels einer Spiegelung gezeigt,wie man eine solche Funktion auf ganz R fortsetzt, so dass die Funktion weiterhin in L liegt.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Abbildung 2: Copy and paste

13 MOBIUSBAND 77

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abbildung 3: Spiegelung

Bemerkung 5:Betrachte nun die folgenden Mengen:

S1 × R = ([0, 1]× R) / ((0, x) ∼ (1, x))

M : = ([0, 1]× R) / ((0, x) ∼ (1,−x))

Damit erhalt man unter Verwendung der Abbildungen

πS1×R : S1 × R −→ S1

πM : M −→ S1

folgende Darstellung der Mengen R und L:

R = {f : [0, 1] −→ R | f stetig und f(0) = f(1)}L = {f : S1 −→M | f stetig und (πM ◦ f)(z) = z}

Satz 6:R, L wie in Definition 1. Dann gilt:

(1): C([0, 1]) := {f : [0, 1] −→ R | f stetig} ist ein Ring mit 1

(2): R ist ein Unterring von C([0, 1])

(3): L ist ein kein Unterring von C([0, 1])

Bemerke: R ist somit insbesondere ein Ring mit 1 und L lediglich eine Teilmenge von C([0, 1]).

Beweis: (Satz 6)zu(1):Aus der Analysis wissen wir, dass die Summe und das Produkt zweier stetiger Funktionen wiederstetig ist. Das Nullelement f0 ist gegeben durch

f0 : [0, 1] −→ R mit x 7−→ f0(x) := 0

Diese Funktion ist als konstante Funktion insbesondere stetig, also somit in der Menge C([0, 1]) ent-halten. Das Einselement f1 ist gegeben durch

f1 : [0, 1] −→ R mit x 7−→ f1(x) := 1

Auch diese Funktion ist wegen ihrer Konstantheit insbesondere stetig und somit in der Menge C([0, 1])enthalten. Damit ist C([0, 1]) ein Ring.

13 MOBIUSBAND 78

zu(2):(i): z.z: (R, + |R) ⊂ (C([0, 1]), +) ist Untergruppe:Das Nullelement f0 ∈ C([0, 1]) (wie in (1) definiert) ist stetig (da ∈ C([0, 1])) und erfullt die Eigenschaft

f0(1) = 0 = f0(0)

Damit gilt: f0 ∈ R. Seien nun f, g ∈ R, also gilt insbesondere f(1) = f(0) und g(1) = g(0). Dann istf + g als Summe zweier stetiger Funktionen stetig und erfullt:

(f + g)(1) = f(1) + g(1)f, g ∈ R

= f(0) + g(0) = (f + g)(0)

Damit: f + g ∈ R. Sei nun f ∈ R. Da f stetig und die konstante Funktion f-1 stetig sind, ist ihrProdukt stetig und erfullt

(−f)(1) : = (f-1 · f)(1) = f-1(1) · f(1) = (−1) · f(1)f ∈ R= (−1) · f(0)

= f-1(0) · f(0) = (f-1 · f)(0) =: (−f)(0)

Dieses Produkt −f ist invers zu f und existiert ∀ f ∈ R. Damit ist (R, + |R) eine Untergruppe von(C([0, 1]), +).(ii): z.z.: f1 ∈ RDa (wie in (1) gezeigt) f1 ∈ C([0, 1]), gilt, dass f1 stetig ist. Weiter erfullt f1

f1(1) = 1 = f1(0)

also f1 ∈ R.(iii): z.z.: f, g ∈ R =⇒ f · g ∈ RDas Produkt zweier Funktionen ist stetig und fur f, g mit f(1) = f(0) und g(1) = g(0) gilt:

(f · g)(1) = f(1) · g(1)f, g ∈ R

= f(0) · g(0) = (f · g)(0)

also f · g ∈ R. Damit ist R ein Unterring von C([0, 1]).zu(3):Ware L ein Unterring, so musste fur f, g ∈ L auch deren Produkt in L liegen, aber

(f · g)(1) = f(1) · g(1)f, g ∈ L

= (−f(0)) · (−g(0)) = f(0) · g(0) = (f · g)(0)

Damit kann L kein Unterring von C([0, 1]) sein.

Satz 7:R, L wie in Definition 1. Dann gilt:

L ist ein R-Modul

Bemerke: Als Produkt verwende man dasjenige von C([0, 1]).

Beweis: (Satz 7)Dass R ein Ring mit Einselement (dazu siehe: Satz 6) und dass (L,+) eine abelsche Gruppe ist, durf-te ohne Weiteres ersichtlich sein. Das Produkt zweier Funktionen, das wir zur Konstruktion einesR-Moduls benotigen, ist durch das Produkt zweier Funktionen aus C([0, 1]) definiert. Da die Produk-tabbildung im Bereich · : R× L −→ L ist, mussen wir noch Folgendes zeigen:

13 MOBIUSBAND 79

z.z.: ∀ f ∈ R ∧ ∀ g ∈ L : f · g ∈ LDazu seien f ∈ R (also gilt: f(1) = f(0)) und g ∈ L (also gilt: g(1) = −g(0)) beliebig. Dann gilt:

(f · g)(1) = f(1) · g(1)f ∈ R,g ∈ L

= f(0) · (−g(0)) = − (f(0) · g(0)) = −(f · g)(0)

und als Produkt stetiger Funktionen ist f · g wieder stetig. Damit ist f · g ∈ L. Zu zeigen bliebennoch die R-Moduleigenschaften aus Definition 4.27(1). Diese gelten jedoch trivialerweise. Damit ist Ltatsachlich ein R-Modul.

Bemerkung 8:Mit anderen Worten sagt Satz 7 nichts anderes aus als

R⊗ L ist eine Z/2Z-graduierte Algebra mit Produkt in C([0, 1])

Lemma 9:L wie in Definition 1. Dann gilt:

L ist frei vom Rang 1

Beweis: (Lemma 9)Wir fuhren den Beweis mittels Widerspruch. Angenommen ∃L ∋ g : [0, 1] −→ R mit L = g · R (d.h.L ist frei vom Rang 1). Dann ist die Funktion g zunachst einmal stetig. Sei nun o.B.d.A. g(0) > 0.Dann gilt wegen g(1) = −g(0) (da g ∈ L), dass g(1) < 0. Somit sind alle Voraussetzungen fur denZwischenwertsatz erfullt. Demnach gilt nun:

∃ p ∈ [0, 1] : g(p) = 0

d.h. die Funktion g besitzt bei p eine Nullstelle. Sei nun L ∋ g′ : [0, 1] −→ R mit g′(p) 6= 0, dann giltaber:

g′ /∈ R · g

und wir haben ein g′ ∈ L gefunden, dass sich nicht durch g darstellen lasst, was ein Widerspruch zurAnnahme ist. Damit ist das Lemma bewiesen. Aber warum gilt nun g′ /∈ R ·g? Angenommen g′ ∈ R ·g,dann gilt:

∃ f ∈ R : g′ = f · g =⇒ 0 6= g′(p) = (f · g)(p) = f(p) · g(p)︸︷︷︸

=0

= f(p) · 0 = 0

womit wir einen Widerspruch zu g′ = f · g haben.

14 AUSSERE POTENZ, DETERMINANTE, ADJUNGIERTE 80

14 Außere Potenz, Determinante, Adjungierte

Wir knupfen an dieser Stelle wieder bei der außeren Potenz an, die wir bereits in Kapitel 11 kennen-gelernt haben.

Erinnerung:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, M frei vom Rang n. Dann gilt (nach Satz 11.15):

ΛrM ist frei von Rang

(nr

)

Sei e1, . . . , en eine Basis von M . Dann gilt (nach Lemma 11.16):

ei1 ∧ · · · ∧ ein ist Basis von ΛrM , wobei (1 6 i1 < · · · < ir 6 n)

Seien N ein R-Modul und h : M −→ N R-linear. Dann betrachte die Abbildung

Λrh : ΛrM −→ ΛrN mit

(x1 ∧ · · · ∧ xr) 7−→ Λrh(x1 ∧ · · · ∧ xr) := h(x1) ∧ · · · ∧ h(xr)

Hierbei seien naturlich xi ∈ M . Seien U ein R-Modul und h′ : N −→ U R-linear. Dann setzen wirbezuglich der Komposition:

Λr(h′ ◦ h) := Λr(h′) ◦ Λr(h)

Seien M, N beide frei vom Rang n, e1, . . . , en Basis von M , f1, . . . , fn Basis von N . Dann definiere

Λnh : ΛnM −→ ΛnN mit h(ei) :=n∑

j=1

hijfj

Lemma 1:R kommutativer Ring mit 1, M, N zwei R-Moduln, M, N beide frei vom Rang n, e1, . . . , en Basisvon M , f1, . . . , fn Basis von N , h : M −→ N R-linear. Dann gilt:

Λnh(e1 ∧ · · · ∧ en) = det(hij) · f1 ∧ · · · ∧ fn

Beweis: (Lemma 1)Seien R ein kommutativer Ring mit 1, M, N zwei R-Moduln, M, N beide frei vom Rang n, e1, . . . , en

Basis von M und f1, . . . , fn Basis von N . Weiter sei (hij)ij ∈ Rn×n eine n×n Matrix. Dann definierenwir:

h : M −→ N mit h(ei) :=

n∑

j=1

hijfj

Sei nun δ(hij) ∈ R das eindeutig bestimmte Element mit

Λnh(e1 ∧ · · · ∧ en) = δ(hij) · f1 ∧ · · · ∧ fn


Nun ist zu zeigen: δ(hij) = det(hij). Um dies zu beweisen, uberprufen wir die Eigenschaften derDeterminante. Anschließend folgt mit der Eindeutigkeit der Determinante, dass δ = det sein muss.Also:

(i): z.z.δ

1 0. . .

0 1

= 1

Sei (hij)ij die n× n Einheitsmatrix, dann ist also h : M −→ N mit h(ei) = fi. Dann gilt:

Λnh(e1 ∧ · · · ∧ en) = h(e1) ∧ · · · ∧ h(en) = 1 · f1 ∧ · · · ∧ f2

wobei die 1 rechts von δ kommt, d.h.

δ

1 0. . .

0 1

= 1

(ii): Sei (h′ij)ij eine weitere n× n Matrix, die folgendermaßen entsteht:

h′ij = ai · hij fur ai ∈ R

z.z.: δ(h′ij) = a1 · · · · · an · δ(hij)

Sei also

h′ : M −→ N mit h′(ei) =n∑

j=1

h′ijfj

Dann gilt zunachst einmal:

h′(ei) =n∑

j=1

h′ijfj =

n∑

j=1

aihijfj = ai ·n∑

j=1

hijfj

Wir erhalten somit:

Λnh′(e1 ∧ · · · ∧ en) = h′(e1) ∧ · · · ∧ h′(en) = a1h(e1) ∧ · · · ∧ anh(en)

Multilinaritat= (a1 · · · · · an) · (h(e1) ∧ · · · ∧ h(en))

= (a1 · · · · · an) · Λnh(e1 ∧ · · · ∧ en)

= (a1 · · · · · an) · δ(hij)︸︷︷︸

=δ(h′

ij)

·f1 ∧ · · · ∧ fn

(iii): Sei a ∈ R. Weiter seien:

h′ij = hij ∀ j > 2 h′(ei) = h(ei) ∀ i > 2

h′1j = h1j + a · h1j h′(e1) = h(e1) + a · h(e2)

z.z.: δ(h′ij) = δ(hij)

Wir erhalten:

Λnh′(e1 ∧ · · · ∧ en) = [h(e1) + a · h(e2)] ∧ · · · ∧ h(en)h(e2) ∧ h(e2) = 0

= Λnh(e1 ∧ · · · ∧ en)

=⇒ δ(h′ij) = δ(hij).

Mit (i), (ii) und (iii) hat δ also die charakteristischen Eigenschaften von det. Dann gilt:

Eind. von det=⇒ δ = det


Beispiel 2:(1): Betrachte n = 1 in Lemma 1. Dann gilt:

Λ1h(e1) = h(e1) =⇒ Λ1h = h

(2): Betrachte n = 2 in Lemma 1. Dann gilt:

Λ2h(e1 ∧ e2) = h(e1) ∧ h(2e) = (h11f1 + h12f2) ∧ (h21f1 + h22f2)

= (h11f1 ∧ h21f1) + (h12f2 ∧ h21f1) + (h11f1 ∧ h22f2) + (h12f2 ∧ h22f2)

= h11h21 · (f1 ∧ f1)︸︷︷︸

=0

+h21h12 · (f2 ∧ f1) + h11h22(f1 ∧ f2) + h12h22 · (f2 ∧ f2)︸︷︷︸

=0

x ∧ x = 0= h12h21 · (f2 ∧ f1)

︸︷︷︸

Lemma 11.6= −(f1∧f2)

+h11h22 · (f1 ∧ f2)

x ∧ y = −(y ∧ x)= (h11h22 − h12h21) · (f1 ∧ f2) = det

(h11 h12

h21 h22

)

· (f1 ∧ f2)

Corollar 3:R kommutativer Ring mit 1, M, N zwei R-Moduln, M frei vom Rang n, N frei vom Rang n,h : M −→ N R-linear. Dann gilt:

h invertierbar ⇐⇒ Λnh ∈ HomR(ΛnM, ΛnN) ist ein Basiselement

Beweis: (Corollar 3)⇐=:Dies folgt mit Hilfe von Lemma 1, denn:

Λnh = det(hij) · ϕ

Anders ausgedruck bedeutet dies:

Λnh = det(hij) ·f1 ∧ · · · ∧ fn

e1 ∧ · · · ∧ fn

=⇒:Sei h−1 das Inverse von h, also h ◦ h−1 = idN . Dann gilt:

idΛnN = Λn(h ◦ h−1) = (Λnh) ◦ (Λnh−1)

=⇒ Λnh invertierbar


Bemerkung 4:(1): R Ring mit 1, M, N, U drei R-Moduln, f : M × N −→ U R-bilinear. Dann induziert f eineAbbildung

f : M −→ Hom(N, U) mit x 7−→ fx(y) := (y 7−→ f(x, y))

und umgekehrt

f(x, y) := fx(y)

(2): R kommutativer Ring mit 1, M frei von Rang n. Dann liefert das außere Produkt (oder:Dachprodukt)

∧ : ΛrM × Λn−rM −→ ΛrM mit (α, β) 7−→ ∧(α, β) := α ∧ β

eine lineare Abbildung

ϕn,r : ΛrM −→ Hom(Λn−rM, ΛnM) mit α 7−→ (β 7−→ α ∧ β)

Bemerke: Hom(Λn−rM, ΛnM) = (Λn−rM)∗ ⊗R ΛrM .

(3): Falls M in (2) zusatzlich ein R-Modul ist, so ist ϕn,r ein Isomorphismus.

Den Teil aus Bemerkung 4(3) fassen wir in einem seperaten Lemma zusammen:

Lemma 5:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, M frei von Rang n, ϕn,r wie in Bemerkung 4. Dann gilt:

∀ 0 6 r 6 n : ϕn,r ist ein Isomorphismus

Beweis: (Lemma 5)Beweisskizze: Basis-Inspektion: Sei e1, . . . , en Basis von M . Dann:

ϕn,r(ei1 ∧ · · · ∧ eir) =

{

0 , ∅ 6= {i1, . . . , ir} ∩ {j1, . . . , jn−r}±e1 ∧ · · · ∧ en , sonst (d.h. {1, . . . , n} = {il}

•∪ {jk})

wobei i1 < · · · < ir, j1 < · · · < jn−r und•∪ eine disjunkte Vereinigung darstellen soll.

Unser nachstes Ziel soll es sein, die Adjungierte eines Endomorphismus einzufuhren. Dazu erinnereman sich zunachst noch einmal an die R-Linearitat (bzw. an einen R-Modulhomomorphismus), die(bzw. der) in Definition 4.28 eingefuhrt wurde. Weiter benotigen wir:

Definition 6: (Endomorphismus)R kommutativer Ring mit 1, M, N zwei R-Moduln. Dann:

ϕ : M −→ N heißt Endomorphismus :⇐⇒{

(1): ϕ ist R-linear

(2): M = N


Definition 7: (Adjungierte von einem Endomorphismus)R kommutativer Ring mit 1, M, N zwei R-Moduln, g : M −→ M Endomorphismus, f : N −→ NEndomorphismus, 〈 · , · 〉 : N ×M −→ R ein Skalarprodukt. Dann:

g heißt adjungiert zu f bzgl. 〈 · , · 〉 :⇐⇒ 〈f(n), m〉 = 〈n, g(m)〉 ∀n ∈ N ∧ ∀m ∈M

In diesem Fall schreiben wir fad anstelle von g.

Bemerkung 8:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, M frei von Rang n, f : M −→ M Endomorphismus.Dann gilt:

Hom(M, M) ∼= Hom(M∗, M∗) ∼= Hom(M∗ ⊗R ΛnM, M∗ ⊗R ΛnM)

g ←− g∗id(ΛnM)∗←−idΛnM−→

Weiter sollte man bemerken:

Λn−1f ∈ Hom(Λn−1M, Λn−1M)

ϕn,n−1 ◦ Λn−1f ◦ ϕ−1n,n−1 ∈ Hom(M∗ ⊗R ΛnM, M∗ ⊗R ΛnM)

fad ∈ Hom(M, M)

Bemerkung 9:R Ring mit 1, L invertierbarer R-Modul, d.h. L⊗R L −→ R mit x⊗α 7−→ α(x) Homomorphismus.Dann gilt:

λL : Hom(M, N) −→ Hom(M ⊗R L, N ⊗R L) mit f 7−→ f ⊗ idL

ist ein Isomorphismus mit Inversem

λL∗ : Hom(M ⊗R L⊗R L∗︸︷︷︸

∼=R

, N ⊗R L⊗R L∗︸︷︷︸

∼=R

)

(f × g)(x× y) = f(x)× g(y)

wobei die Isomorphie in der vorletzten Zeile aus der Invertierbarkeit des Moduln L folgt.

Lemma 10:R kommutativer Ring mit 1, M R-Modul, M frei vom Rang n

(1): f ◦ fad = fad ◦ f = Λnf ◦ idM

(2): M = Rn, f = (fij)ij . Dann gilt:

fad ist gegeben durch die adjungierte Matrix von (fij)ij

Bemerke: zu (1): f ◦ fad, f, fad ∈ End(M) und Λnf ∈ End(ΛnM)!= R.


Beweis: (Lemma 10)Ubungsaufgabe

15 CLIFFORD-ALGEBRA 86

15 Clifford-Algebra

Definition 1: (Clifford-Algebra)R Ring mit 1, M R-Modul, M frei von Rang n, q : M −→ R quadratische Form (d.h. ∃ b :M ×M −→ R Bilinearform mit b(m, m) = q(m) ∀m ∈M). Betrachte das zweiseitige Ideal

I := I(q) := 〈x⊗ x− q(x)〉 = ({x⊗ x− q(x) | x ∈M})

(Bemerke: x× x− q(x) ∈M ⊕M ⊕R). Dann:

Cl(q) := Cl(M, q) := T •M/I heißt Clifford-Algebra von M und q

Beispiel 2:Sei q ≡ 0 die Nullfunktion, dann gilt:

I = 〈x⊗ x− q(x)〉 q ≡ 0= 〈x⊗ x〉

Dies ist aber gerade das Ideal, das bei der Konstruktion der außeren Algebra aus der Tensoralgebraherausgekurzt wird und damit ist die Clifford-Algebra:

Cl(0) = Cl(M, 0) = T •M/I = T •M/ 〈x⊗ x〉 Def. 11.1= Λ•M

(0 bezeichnet die konstante Nullfunktion)

Bemerkung 3: (Z/2Z-Graduierung der Clifford-Algebra)Die Clifford-Algebra ist Z/2Z-graduiert mit

Cl(q) = Cl0(q)⊕ Cl1(q)

wobei

Cl0(q) = T evenM/I ∩ T evenM

Cl1(q) = T oddM/I ∩ T oddM

(even=gerade, odd=ungerade). Beachte hierbei:

I = (I ∩ T evenM)⊕ (I ∩ T oddM)


Definition 4: (Gerader und Ungerader Teil der Clifford-Algebra)

(1): Cl0(q) heißt gerader Teil der Clifford-Algebra (oder: zweite Clifford-Algebra)

(2): Cl1(q) heißt ungerader Teil der Clifford-Algebra

Bemerkung 5:

(1): Cl0(q) ⊂ Cl(q) ist eine Unteralgebra von Cl(q)

(2): Cl1(q) ⊂ Cl(q) ist (lediglich) ein Bimodul von Cl(q)

Beweis: (Bemerkung 5)ohne Beweis. (Hinweis zu (2): Betrachte

Cl0(q)× Cl1(q)× Cl0(q) −→ Cl1(q) mit (α, β, γ) 7−→ α · β · γCl1(q) ist damit ein Cl0(q)⊗ Cl0(q)-Modul

(α⊗ γ) · β = α · β · γ (α, γ ∈ Cl0(q), β ∈ Cl1(q)) )

Kommen wir nun zur Einebttung von M in die Clifford-Algebra Cl(q). Dazu erinnern wir vorwegan die Einbettung von M in die Tensoralgebra T •M mittels der R-linearen Funktion τ , die wir inBemerkung 9.8 mit behandelt haben. Nun lasst sich M folgendermaßen einbetten:

iq : Mτ−→ T •M

proj.−→ T •M/I = Cl(q)

x 7−→ (0, x, 0, 0, . . .) 7−→ (0, x, 0, 0, . . .)/I

wobei I = 〈x⊗ x− q(x)〉 wie am Anfang des Kapitels festgelegt wurde. Die Projektion ist heirbeidie Abbildung von einem Element aus der Tensoralgebra auf die zugehorige Restklasse modulo demzweiseitigen Ideal I. Diese Abbildung ist R-linear.

Satz 6: (Universelle Eigenschaft der Clifford-Algebra)R Ring mit 1, M R-Modul, iq : M −→ Cl(q) wie zuvor erwahnt. Dann gilt:

∀A R-Algebra ∧ ∀Φ : M −→ A R-linear mit Φ(x)2 = q(x) ∀x ∈M :

∃1 ϕ : Cl(q) −→ AR-Algebrenhomomorphismus : Φ = ϕ ◦ iq

Mit anderen Worten existiert fur jede R-Algebra A und fur jede R-lineare Abbildung Φ mit derEigenschaft Φ(x)2 = q(x) ∀x ∈ M genau ein R-Algebrenhomomorphismus, so dass das folgendeDiagramm kommutiert:

Miq−→ Cl(q)

Φ ↓ ւ ∃1 ϕ

A



Lemma 7:R Ring mit 1, M R-Modul, v, w ∈M mit v⊥w, q : M −→ R quadratische Form. Dann gilt:

iq(v) · iq(w) + iq(w) · iq(v) = 0

Beweis: (Lemma 7)Nach der universellen Eigenschaft der Clifford-Algebra gilt:

iq(v + w)2 = q(v + w)

Damit erhalten wir:

q(v + w)v⊥w= q(v) + q(w) = iq(v)2 + iq(w)2

iq(v + w)2iq R-linear

= (iq(v) + iq(w))2 = iq(v)2 + iq(w) · iq(v) + iq(v) · iq(w) + iq(w)2

Was wegen iq(v + w)2 = q(v + w) aquivalent ist zu:

iq(v) · iq(w) + iq(w) · iq(v) = 0

Corollar 8:K Korper, char(K) 6= 2, V K-Vektorraum, q : V −→ K n-dimensionale quadratische Form (d.h.dimK(V ) = n). Dann gilt:

dim (Cl(q)) = 2n

Beweis: (Corollar 8)q = q1⊥ · · ·⊥qn mit dim(qi) = 1. (Diagonalisiere q). Nach (dem noch folgenden) Satz 11 gilt:

Cl(q) = Cl(q1⊥ · · ·⊥qn) ∼=n⊗

i=1

Cl(qi)︸︷︷︸

hat Rang 2

=⇒ dim(Cl(q)) = 2n

Im folgenden betrachten wir eine Diagonalform von q, die wir bereits in Definition 5.6 kennengelernthaben.


Corollar 9:R Ring mit 1, M R-Modul, M = e1R ⊕ · · · ⊕ enR, a1, . . . , an ∈ M , q = 〈a1, . . . , an〉 Diagonalformauf M , d.h.

q

(n∑

i=1

eixi

)

=n∑

i=1

aix2i

Dann gilt:

Cl(q) ist frei mit Basis ei1 , . . . , eir (mit 1 6 i1 < · · · < ir 6 n, 0 6 r 6 n)

Beweis: (Corollar 9)ohne Beweis. (Hinweis:

Cl(q) =n⊗

i=1

(R⊕ eiR)

Bemerkung 10:R Ring mit 1, M = R, q(x) = ax2. Dann ist:

Cl(q) = R[e]/(e2 − a) = R⊕ e ·R , e2 = a

Satz 11:R Ring mit 1, M, M ′ zwei R-Moduln, q : M −→ R, q′ : M ′ −→ R zwei quadratische Formen,q⊥q′ = q ⊕ q′ : M ⊕M ′ −→ R mit (x, x′) 7−→ (q⊥q′)(x, x′) := q(x) + q′(x′). Dann gilt:

Cl(q⊥q′) ∼= Cl(q)⊗RCl(q′)


Lemma 12:R Ring mit 1, M R-Modul, q : M −→ R quadratische Form, x, y ∈M . Dann gilt:

(1): x2 = q(x) ∈ R

(2): xy + yx = bq(x, y) ∈ R

Beweis: (Lemma 12)Bemerke: Nach Definition 4.3 gilt:

q(x + y) = q(x) + q(y) + bq(x, y)


Damit gilt in Cl(q):

q(x + y) = (x + y)2 = x2︸︷︷︸

=q(x)

+ y2

︸︷︷︸

=q(y)

+xy + yx = q(x) + q(y) + xy + yx

Vorbemerkung=⇒ xy + yx = q(x + y)− q(x)− q(y)

Def. 4.3= bq(x, y)

Beispiel 13:(1): R Ring mit 1, M R-Modul, M frei von Rang 1 (d.h. M := e ·R). Dann ist:

Cl(q) = R⊕ e ·R

(2): R Ring mit 1, M R-Modul, M frei von Rang 2 (d.h. M := e1 ·R⊕ e2 ·R). Dann ist:

Cl(q) = 〈1, e1, e2, e1e2〉 ·R

Insbesondere ist dann:

Cl1(q) = M

Um die Transposition der Clifford-Algebra einzufuhren betrachte man folgenden Sachverhalt: Seien Rein Ring mit 1 und A eine R-Algebra. Dann ist Aop die R-Algebra mit A = Aop als R-Modul und mitdem Produkt ∗, das gegeben ist durch x∗y = y ·x, wobei · das Produkt in A ist. Sei die Transposition

τ : Cl(q) −→ Cl(q)op

der Algebrenhomomorphismus mit τ(x) = x fur x ∈ M . Um eine solche Abbildung zu bekommen,mussen wir zeigen, dass Folgendes gilt:

x ∗ x = q(x)

Dabei ist Cl(q) = Cl(q)op als R-Moduln.

Definition 14: (Transposition der Clifford-Algebra)R Ring mit 1, M R-Modul, q : M −→ R quadratische Form. Dann ist die Transposition derClifford-Algebra gegeben durch die Abbildung

τ : Cl(q) −→ Cl(q) mit

{

τ(x) = x ∀x ∈M

τ(α · β) = τ(β) · τ(α) ∀α, β ∈ Cl(q)

Betrachte wir nun die Abbildung

µq : Cl1(q)× Cl1(q)× Cl1(q) −→ Cl1(q) mit (α, β, γ) 7−→ α · β · γ

Falls nun M frei von Rang 2 ist, dann wissen wir nach Beispiel 13(2), dass Cl1(q) = M ist. Somithaben wir eine Abbildung

µq : M ×M ×M −→M mit (α, β, γ) 7−→ α · β · γ


Lemma 15:R Ring mit 1, M R-Modul, M frei von Rang 2, x, y, z ∈M , q : M −→ R quadratische Form. Danngilt:

q(µq(x, y, z)) = q(x) · q(y) · q(z)

Beweis: (Lemma 15)Wir teilen den Beweis in drei Teile:(i): z.z.: (xyz) · (zyx) = q(x) · q(y) · q(z)

(xyz) · (zyx) = (xy) · (z · z)︸︷︷︸

=q(z)

·(yx) = q(z) ·

x · (y · y)

︸︷︷︸

=q(y)

·x

= q(y) · q(z) · (x · x)

︸︷︷︸

q(x)

= q(x) · q(y) · q(z)

Hierbei sind q(x), q(y) und q(z) Skalare und lassen sich daher vorziehen.(ii): z.z.: xyz = zyxAn dieser Stelle greifen wir auf die Transposition der Clifford-Algebra zuruck:

x · y · z = τ(x · y · z) = τ(y · x) · τ(z) = τ(z · y · x) = z · y · x

(iii): z.z.: q(µq(x, y, z)) = q(x) · q(y) · q(z)

q(µq(x, y, z)) = q(x · y · z) = (x · y · z) · (x · y · z)(ii)= (x · y · z) · (z · y · x)

(i)= q(x) · q(y) · q(z)

16 STRUKTUR DER CLIFFORD-ALGEBRA 92

16 Struktur der Clifford-Algebra

Wir betrachten in diesem Kapitel

M =n⊕

i=1

eiR q = 〈a1, . . . , an〉 : Mn −→M mit (x1, . . . , xn) 7−→ a1x21 + · · ·+ anx2

n

Dann ist die Clifford-Algebra

Cl(q) =⟨e1, . . . , en | e2

i = ai, eiej + ejei = 0 ∀ i 6= j⟩

= T •M/⟨e2i − ai, eiej + ejei (i 6= j)

⟩

= T •M/⟨x2 − q(x) | x ∈M

⟩

Beispiel 1:(1): n=1. Dann: M = e1R, q = 〈a1〉 : M −→M mit x1 7−→ a1x

21 und

Cl(q) =⟨e1 | e2

1 = a1

⟩

(2): n=2. Dann: M = e1R⊕ e2R, q = 〈a1, a2〉 : M2 −→M mit (x1, x2) 7−→ a1x21 + a2x

22 und

Cl(q) =⟨e1, e2 | e2

1 = a1, e22 = a2 und e1e2 + e2e1 = 0

⟩ != Q(a1, a2)

Von nun an betrachten wir R = K ein Korper mit char(K) 6= 2 und schreiben fur diesen abkurzend imFolgenden K. In den folgenden zwei Satzen behandeln wir Isomorphieaussagen der Clifford-Algebren,wobei wir gerad- und ungeradzahlige Dimensionen unterscheiden.

Satz 2:n = 2k mit k ∈ N (d.h. n geradzahlig), ai 6= 0 ∀ i = 1, . . . , n. Dann gilt:

∃ b1, . . . , bk ∈ K∗ ∧ ∃ c1, . . . , ck ∈ K∗ : Cl(q) ∼= Q(b1, c1)⊗K Q(b2, c2)⊗K · · · ⊗K Q(bk, ck)

Bemerke: Die bi’s und ci’s lassen sich konkret bestimmen. Sie sind Produkte der ai’s.

Beweis: (Satz 2)Seien

x1 = e1 , y1 = e2

x2 = (e1e2)e3 , y2 = (e1e2)e4

x3 = (e1e2e3e4)e5 , y3 = (e1e2e3e4)e6

...... ,

......

xk = (e1 · · · e2k−2)e2k−1 , yk = (e1 · · · e2k−2)e2k


Damit erzeugen die xi, yi die Clifford-Algebra Cl(q) (dies haben wir gerade angedeutet, wird jedochnicht weiter ausgefuhrt) mit Relationen

Q(bi, ci)

x2i = bi , y2

i = ci

xiyi + yixi = 0

xi, yi antikommutieren mit xj , yj , falls i 6= j

fur i = 1, . . . , k, wobei bi, ci ∈ K∗ = K\{0}. Und damit folgt:

Cl(q) ∼=k⊗

i=1

Q(bi, ci)

Satz 3:n = 2k + 1 mit k ∈ N0 (d.h. n ungeradzahlig), ai 6= 0 ∀ i = 1, . . . , n. Dann gilt:

∃ b1, . . . , bk ∈ K∗ ∧ ∃ c1, . . . , ck ∈ K∗ : Cl(q) ∼= Q(b1, c1)⊗K Q(b2, c2)⊗K · · · ⊗K Q(bk, ck)⊗K L

wobei L = K[t]/(t2 − b) mit b ∈ K∗ = K\{0}.

Beweis: (Satz 3)Dieser Beweis verlauf ahnlich zu dem von Satz 2. Seien

x1 = e1 , y1 = e2

x2 = (e1e2)e3 , y2 = (e1e2)e4

x3 = (e1e2e3e4)e5 , y3 = (e1e2e3e4)e6

...... ,

......

xk = (e1 · · · e2k−2)e2k−1 , yk = (e1 · · · e2k−2)e2k

z = e1 · · · · · e2k+1

z2 = ±a1 · · · · · an

Damit erzeugen die xi, yi die Clifford-Algebra Cl(q) (dies haben wir gerade angedeutet, wird jedochnicht weiter ausgefuhrt) mit Relationen

Q(bi, ci)

x2i = bi , y2

i = ci

xiyi + yixi = 0

xi, yi antikommutieren mit xj , yj , falls i 6= j

fur i = 1, . . . , k, wobei bi, ci ∈ K∗ = K\{0}. Weiter gilt:

zxi = xiz ∀ i = 1, . . . , n

zyi = yiz ∀ i = 1, . . . , n

z2 = b (b 6= 0)

Und damit folgt:

Cl(q) ∼=(

k⊗

i=1

Q(bi, ci)

)

⊗K L


wobei L = K[t]/(t2 − b) ist.

Definition 4: (Quadratisch abgeschlossener Korper)K Korper. Dann:

K heißt quadratisch abgeschlossen :⇐⇒ ∀ a ∈ K ∃ b ∈ K : a = b2

⇐⇒ ∀ a ∈ K :√

a ∈ K

Corollar 5:K quadratisch abgeschlossener Korper mit char(K) 6= 2, q regulare (d.h. nicht-entartete) quadra-tische Form mit dim(q) = n. Dann gilt:

(1): n = 2k (mit k ∈ N) =⇒ Cl(q) ∼= M2k(K)

(2): n = 2k + 1 (mit k ∈ N0) =⇒ Cl(q) ∼= M2k(K)⊕M2k(K)

Beweis: (Corollar 5)zu(1):Wir unterteilen den Beweis in drei Teile:(i): Es gilt zunachst

Q(a1, a2)Voraussetzung

= Q(b21, b

22)

Satz 1.12(1)∼= Q(1, 1)Lemma 1.11(4)∼= M2(K)

Beim ersten Gleichheitszeichen geht a1 = b21 und a2 = b2

2 ein. Beim zweiten Gleichheitszeichen verwen-den wir die erste Aussage des Kettenlemmas (Satz 1.12(1)) speziell fur g =

√b1 ∈ K und h =

√b2 ∈ K.

Hier geht unter anderem die quadratische Abgeschlossenheit von K ein, die uns garantiert, dass√b1,√

b2 ∈ K. Damit haben wir:

Q(a1, a2) ∼= M2(K)

(ii): Des Weiteren gilt nach Satz 8.6(4) speziell fur p = q = 2:

M2(K)⊗K M2(K) ∼= M2·2(K)

Damit bekommen wir durch iteratives Anwenden von Satz 8.6(4) mit p = q = 2:

M2(K)⊗K · · · ⊗K M2k︸︷︷︸

k-Faktoren

∼= M2k(K)

(iii): Kommen wir nun zum eigentlichen Beweis:

Cl(q)Satz 2∼=

k⊗

i=1

Q(bi, ci)︸︷︷︸

(i)∼= M2(K)

(i)∼=k⊗

i=1

M2(K)

︸︷︷︸

(ii)∼= M2k (K)

(ii)∼= M2k(K)

zu(2): Vorbemerkung:

L = K[t]/(t2 − c2) −→ K ⊕K mit t 7−→ (c,−c) ist Isomorphismus


Damit erhalten wir:

Cl(q)Satz 2∼=

(k⊗

i=1

Q(bi, ci)

)

︸︷︷︸

(1)∼= M2k (K)

⊗KL(1)∼= M2k(K)⊗K L

Vorbemerkung∼= M2k(K)⊗K (K ⊕K)

Lemma 6.11(1)∼= (K ⊕K)⊗K M2k(K)Lemma 6.11(2)∼= (K ⊗K M2k(K))⊕ (K ⊗K M2k(K))

Lemma 6.11(1)∼= (M2k(K)⊗K K)⊕ (M2k(K)⊗K K)Satz 8.6(3)∼= M2k(K)⊕M2k(K)

Definition 6: (Anti-Homomorphismus)A, B R-Algebren. Dann:

f : A −→ B heißt Antihomomorphismus :⇐⇒

(1): f ist R-linear

(2): f(1A) = 1B

(3): f(x · y) = f(y) · f(x) ∀x, y ∈ A

Bemerkung 7:(1): Ein Antihomomorphismus f : A −→ B ist gerade ein Homomorphismus A −→ Bop (also auchAop −→ B).(2): Fur Gruppen gilt die analoge Definiton G −→ Gop mit x 7−→ x−1, doch hierbei gilt immerG ∼= Gop.

Definition 8: (Involution)A R-Algebra. Dann:

τ : A −→ A heißt Involution auf A :⇐⇒ τ ◦ τ = idA

Bemerke: Involutionen sind also selbstinverse Abbildungen.

Beispiel 9:(1): τ : Mn(K) −→Mn(K) mit τ(X) := XT ist eine Involution auf Mn(K).(2): L = K[t]/(t2− a) (quadratische Korpererweiterung). Dann: τ : L −→ L mit τ(t) := −t ist eineInvolution auf L.(3): τ : C −→ C mit τ(x+ iy) := x + iy = x− iy ist eine Involution auf C (komplexe Konjugation).(4): τ : Cl(q) −→ Cl(q) der Antihomomorphismus mit τ |M= idM ist eine Involution auf derClifford-Algebra Cl(q). Bemerke:

τ(x1 · · · · · xn) = xn · · · · · x1 ∀xi ∈M ⊂ Cl(q)

τ ◦ τ : Cl(q) −→ Cl(q)

(τ ◦ τ) |M = idM Homomorphismus =⇒ τ ◦ τ = id

Speziell: Cl(0) = Λ•M(5): τ : Q(a, b) −→ Q(a, b) mit τ(x) := x ist eine Involution auf der Quaternionenalgebra Q(a, b).


Satz 10: (Skolem-Noether)K Korper, ϕ : Mn(K) −→Mn(K) R-Algebrenautomorphismus. Dann gilt:

∃G ∈ GLn(K) := {A ∈ Kn×n | A invertierbar} : ϕ(X) = GXG−1

Beweis: (Satz 10)ohne Beweis. (Hinweis: Benutze die Klassifikation der Rechts-Ideale von Mn(K).)

Bemerkung 11:Falls das G ∈ GLn(K) aus Satz 10 zusatzlich GT = −G oder GT = G erfullt, dann gilt:

τ : Mn(K) −→Mn(K) mit τ(X) = GXT G−1 ist eine Involution auf Mn(K)

Beweis: (Bemerkung 11)Wir mussen zeigen: τ(τ(X)) = X ∀X ∈Mn(K)Wie unterscheiden zwei Falle:1.Fall: GT = GUnter der Fallvoraussetzung und unter der Voraussetzung, dass G invertierbar ist, gilt: (GT )−1 = G−1.Damit erhalten wir:

τ(τ(X)) = τ(GXT G−1︸︷︷︸

∈Mn(K)

) = G(GXT G−1

)TG−1 = G G−T

︸︷︷︸

=G−1

X GT︸︷︷︸

=G

G−1

Vorbem.= GG−1XGG−1 = X

2.Fall: GT = −GUnter der Fallvoraussetzung und unter der Voraussetzung, dass G invertierbar ist, gilt: G−T = −G−1.Damit erhalten wir:

τ(τ(X)) = τ(GXT G−1︸︷︷︸

∈Mn(K)

) = G(GXT G−1

)TG−1 = G G−T

︸︷︷︸

=−G−1

X GT︸︷︷︸

=−G

G−1

Vorbem.= G(−G−1)X(−G)G−1 = X

17 OPPOSITIONELLE-ALGEBRA UND EINFACHE-ALGEBREN 97

17 Oppositionelle-Algebra und Einfache-Algebren

R Ring mit 1, A R-Algebra

Aufgrund des uberwiegenden Gebrauchs erinnern wir einfuhrend an die Definition 4.25 eines Ideals,an die Definition 4.27 eines R-Moduls und an die Definition 8.2 einer R-Algebra.

Definition 1: (Oppositioneller Ring)R = (R, +, ·) Ring mit 1. Dann ist der oppositionelle Ring (oder: entgegengesetzte Ring) (Rop, +, ∗)(kurz: Rop) wie folgt definiert:

(1): Rop = R als Mengen

(2): (Rop, +) = (R, +) als additive Gruppe

(3): Die Multiplikation in Rop ist durch die folgende Abbildung gegeben:

∗ : Rop ×Rop −→ Rop mit (a, b) 7−→ a ∗ b := b · a

Beachte: · ist Multiplikation in R und ∗ ist Multiplikation in Rop. Mit anderen Worten stimmen ihreAdditionen sowohl in ihrer Definition als auch in ihrem Wert miteinander uberein. Sie unterscheidensich also lediglich in der Definition ihrer Multiplikationsabbildung.

Die oppositionelle Algebra Aop definiert man nun uber A als Ring:

Definition 2: (Oppositionelle-Algebra)R = (R, +, ·) Ring mit 1, A R-Algebra. Dann ist die oppositionelle Algebra (oder: entgegengesetzteAlgebra) (Aop, +, ∗) (kurz: Aop) definiert als der oppositionelle Ring von A, wenn man A als Ringmit 1 betrachtet.Bemerke: Da die Eigenschaften sich vererben, ist Aop wieder eine R-Algebra.

Bemerkung 3:(1): Alle Eigenschaften eines Rings R vererben sich auf den zugehorigen oppositionellen Ring Rop.Analoges fur eine R-Algebra A und der oppositionellen R-Algebra Aop.(2): R Ring mit 1, A R-Algebra. Es gilt:

(Rop)op = R

(Aop)op = A

Beispiele 4:(1): Mn(R)op ∼= Mn(R) mit x 7−→ xT

(2): A⊗R Aop ∼= EndR(A) mit a⊗ b 7−→ (x 7−→ axb)


Bemerkung 5:R Ring mit 1, A R-Algebra. Dann:(1): A ist ein Aop ⊗R A-Rechtsmodul. Dazu betrachte:

µ : A×Aop ⊗R A −→ A mit (x, a⊗ b) 7−→ µ(x, a⊗ b) := axb

(2): A ist ein Aop ⊗R A-Linksmodul. Dazu betrachte:

µ : Aop ⊗R A×A −→ A mit (a⊗ b, x) 7−→ µ(a⊗ b, x) := axb

Beispiel 6:

M(n, k; R) := {A ∈ Rn×k}

Matrizen mit n Zeilen, k Spalten und Eintragen aus R. Dann gilt:

M(n, k; R) ist ein Mn(R)− Linksmodul

M(n, k; R) ist ein Mk(R)− Rechtsmodul

und damit gilt:

M(n, k; R) ist ein Mn(R)⊗R Mk(R)op − Linksmodul

(naturlich auch ein Mn(R)⊗R Mk(R)-Linksmodul, denn:

Mn(R)⊗R Mk(R)×M(n, k; R) −→M(n, k; R) mit

(a⊗ b, x) 7−→ (a⊗ b) · x := axb )

Beispiel 7:R Ring mit 1, M, N R-Moduln. Dann gilt:

HomR(M, N) ist ein EndR(N)⊗R EndR(M)op − Linksmodul

Bezuglich der Abbildung

EndR(N)⊗R EndR(M)op ×HomR(M, N) −→ HomR(M, N) mit

(f ⊗ g, h) 7−→ (f ⊗ g) · h := f ◦ h ◦ g

also: h : M −→ N , f wird nachgeschaltet und g wird vorgeschaltet.Bemerke: Falls M ∼= Rn (d.h. M ist frei). Dann gilt:

EndR(M)op = EndR(M∗) mit f 7−→ f∗

(f : M −→M , f∗ : M∗ −→M∗, (f∗)∗ = f)


Notation 8:R Ring mit 1, M, N R-Rechtsmoduln. Dann:

HomR(M, N) = {ϕ : M −→ N | ϕ R-Rechtsmodulhomomorphismus}= {ϕ : M −→ N | ϕ(m1 + m2) = ϕ(m1) + ϕ(m2) und ϕ(m · r) = ϕ(m) · r

∀m1, m2, m ∈M ∧ ∀ r ∈ R}EndR(M) = HomR(M, M)

Lemma 9:R Ring mit 1, A R-Algebra. Dann gilt:

EndA(A) ∼= A

Beweis: (Lemma 9)Wir wollen zeigen, dass EndA(A) ∼= A als Algebren(!). Dazu fasst man A als A-Rechtsmodul auf (d.h.als Rechtsmodul uber sich selbst). Betrachte die Abbildung:

f : A −→ A mit f(x · a) := f(x) · aund nun speziell fur x = 1:

f : A −→ A mit f(1 · a) = f(a) := f(1) · aDiese Abbildung ist nun ein A-Rechtsmodulhomomorphismus, denn:

f(a + b) = f(1 · (a + b)) = f(1) · (a + b) = f(1) · a + f(1) · b = f(1 · a) + f(1 · b) = f(a) + f(b)

f(ar) = f(1 · (ar)) = f(1) · (a · r) = (f(1) · a) · r = f(1 · a) · r = f(a) · rfur alle a, b ∈ A und r ∈ R. Dann ist f von der Form:

f(a) = b · amit festem b ∈ A. Die Isomorphie ist nun durch die folgenden Abbildungen gegeben:

(Rechts-)EndA(A)←→ A

f ←→ f(1)

(Rechts-)(x 7−→ bx)←− b

(Links-)(x 7−→ xb)←− b

Wir erinnern vorweg nochmals an die Definition eines Ideals, die in Definition 4.25 behandelt wurde.

Definition 10: (Einfacher Ring, Einfacher R-Modul, Einfache R-Algebra)R Ring mit 1, A R-Algebra, M R-Modul. Dann:

R heißt einfach :⇐⇒ ∀ I ⊂ R zweiseitiges Ideal von R : I = {0} oder I = R

M heißt einfach :⇐⇒{

(1): M 6= {0}(2): ∀N ⊂M Untermodul von M : N = {0} oder N = M

A heißt einfach :⇐⇒ A ist einfach als Ring


Die Definition einer einfachen R-Algebra A besagt anders ausgedruckt: Jeder Algebrenhomomorphis-mus f : A −→ B (B R-Algebra, f(1A) = 1B 6= 0B) ist injektiv.

Beispiel 11:R Ring mit 1. Dann ist die Matrizenalgebra einfach fur beliebiges n ∈ N, d.h. es gilt:

∀n ∈ N : Mn(R) ist einfach

Die folgende Definiton 12 und das folgende Lemma 13 lassen sich analog fur Linksideale einfuhren.

Definition 12: (Minimales Ideal)R Ring mit 1, I ⊂ R Rechtsideal von R. Dann:

I heißt minimal :⇐⇒{

(1): I 6= 0

(2): ∀J ⊂ I Rechtsideal : J = {0} oder J = I

Bemerke: (1): 0 6= I heißt also minimal, wenn I und {0} die einzigen Ideale in I sind. (2): A R-Algebra. So ist ein Rechtsideal I ⊂ A einer R-Algebra A genau dann minimal, wenn I bezuglich Aals Ring minimal ist.

Lemma 13: (Existenzsatz fur minimale Rechtsideale)K Korper, A K-Algebra mit dimKA <∞. Dann gilt:

∃ I ⊂ A : I ist minimales Rechtsideal von A

Beweis: (Lemma 13)Sei

A ⊃ I1 ⊃6=

I2 ⊃6=· · · ⊃

6=In

Dann gilt:

dimKIr 6 dimKIr−1

Und damit erhalten wir:dimKA < ∞

=⇒ In = 0 fur große n

Beispiel 14:Dies ist vielmehr ein Gegenbeispiel: Betrachte:

A = [[T ]] = {∑

i>0

aiti} heißt Potenzreihenring

I ⊂ A Ideal : I = (Tn) ·A

Frage: Gibt es ein minimales Ideal?Antwort: Gibt es nicht, da die Ideale fur wachsende n immer kleiner werden und wir somit dasNullideal erhalten wurden, was jedoch per Definition der Minimalitat nicht erlaubt ist.


Kommen wir nun zu einem sehr wichtigen Satz:

Satz 15:K Korper, A K-Algebra mit dimKA < ∞, I ⊂ A minimales Rechtsideal von A (existiert nachLemma 13). Dann gilt:

EndA(I) ist ein Schiefkorper

Beweis: (Satz 15)Sei f : I −→ I ein A-Rechtsmodulhomomorphismus mit f 6≡ 0 (=⇒ f invertierbar). Dann sind kern(f)und bild(f) A-Rechtsmoduln, also sind kern(f) ⊂ I und bild(f) ⊂ I Rechtsideale. Nun gilt:

f 6≡ 0=⇒ kern(f) 6= I

I minimal=⇒ kern(f) = 0

f 6≡ 0=⇒ bild(f) 6= 0

I minimal=⇒ bild(f) = I

und damit ist f bijektiv.

18 EINFACHE ALGEBREN UND DER STRUKTUR-SATZ VON WEDDERBORN 102

18 Einfache Algebren und der Struktur-Satz von Wedderborn

Beispiele 1:(1): D Schiefkorper. Dann gilt:

D ist einfach

(2): D Schiefkorper. Dann gilt:

Mn(D) ist einfach ∀n ∈ N

Beweis: (Beispiele 1)zu(1): siehe Beweis zu Beispiele 4.32(4)


Lemma 2:K Korper, A K-Algebra, A einfach, dimKA <∞, I ⊂ A minimales Rechtsideal. Dann gilt:

∀M A-Rechtsmodul mit dimKM <∞ ∃n ∈ N0 : M ∼= In

Bemerke: Hierbei ist Isomorphie von A-Rechtsmoduln gemeint.

Beweis: (Lemma 2)Betrachte das von I erzeugte zweiseitige Ideal

A · I = {m∑

i=1

aibi | ai ∈ A, bi ∈ I, m ∈ N}

Weil I 6= {0} (da I minimales Rechtsideal), folgt A · I 6= {0}. Weil A einfach ist, folgt A · I = A. Mitanderen Worten:

∃m ∈ N ∧ ∃ ai ∈ A ∧ ∃bi ∈ I : 1A =m∑

i=1

aibi

Sei M nun ein beliebiges A-Rechtsmodul (es gilt also(!): M ·A = M) mit dimKA <∞. Dann gilt:

MM · A = M

= M ·A A = A · I= M ·A · I M · A = M

= M · ISeien nun x1, . . . , xn ∈M mit

M = x1I + · · ·+ xnI

Die Existenz dieser x1, . . . , xn ∈ M ist dadurch gesichert, dass dimKM < ∞ ist. Dann betrachtefolgende Abbildung:

Φ : In −→M mit Φ(b1, . . . , bn) :=n∑

i=1

xibi


Diese Abbildung ist offensichtlich surjektiv. Wahle nun n minimal mit dieser Eigenschaft. Wir werdennun zeigen:

z.z.: Φ ist bijektiv

Dazu mussen wir nur noch zeigen, dass Φ injektiv ist. Angenommen Φ ist nicht injektiv. Sei

x1b1 + · · ·+ xnbn = 0 mit b1 6= 0 (∗)

Dann betrachten wir das von b1 erzeugte Rechtsideal

b1 ·A = I

(b1 ·A ⊂ I: klar, b1 ·A ⊃ I: folgt aus der Minimatitat von I). Dann gilt:

x1Ib1 · A = I und b1 6= 0

= x1b1A(∗)⊂ x2b2A + · · ·+ xnbnA ⊂ x2I + · · ·+ xnI

Doch hiermit haben wir einen Widerspruch zur Minimalitat von n. Damit ist Φ injektiv und somitinsgesamt bijektiv, also gilt

M ∼= In

Frage: Wie sehen die Rechtsmoduln M uber einer einfachen K-Algebra A aus?Dazu seien y1, . . . , yr ∈M mit

M = y1A + · · ·+ yrA =r∑

j=1

yjA

Dann gilt:

M =

r∑

j=1

yjAA = A · I

=

r∑

j=1

yjAI =

r∑

j=1

n∑

i=1

(yjai)︸︷︷︸

∈M

I

Damit kennen wir nun alle Moduln uber einer einfachen K-Algebra.

Beispiel 3:A = K, I = K. Dann gilt fur jeden beliebigen endlich-dimensionalen A-Rechtsmodul M:

∃n ∈ N0 : M ∼= Kn

Corollar 4:K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞. Dann gilt:

∀ I, J ⊂ A minimale Rechtsideale von A : I ∼= J

Bemerke: Hierbei ist Isomorphie von A-Rechtsmoduln gemeint.

Beweis: (Corollar 4)

I∼=−→ Jn ∼=−→ In·m , weil dimKA <∞

J∼=−→ Im


=⇒ n ·m = 1 =⇒ n = m = 1 =⇒ I ∼= J .

Lemma 5:K Korper, A K-Algebra, M A-Rechtsmodul, n ∈ N0. Dann gilt:

EndA(Mn) ∼= Mn(EndA(M))

Beweis: (Lemma 5)

Mij−→

n⊕

k=1

MΦ−→

n⊕

r=1

Mπi−→M =: Φij

(wobei ij die j-te Inklusion) mit Elementen

Φ(0, . . . , 0, m︸︷︷︸

j-te Stelle

, 0, . . . , 0) = (Φij(m), . . . ,Φnj(m))

Bemerke:

Φij = πi ◦ Φ ◦ ij ist wieder A-Modulhomomorphismus

f : EndA(Mn) −→Mn(EndA(M)) mit Φ 7−→ (Φij)ij Ringhomomorphismus

Addition:z.z.: (Φ + Ψ)ij = Φij + Ψij

(Φ + Ψ)ij = πi ◦ (Φ + Ψ) ◦ ij = (πi ◦ Φ + pi ◦Ψ) ◦ ij = πi ◦ Φ ◦ ij + πi ◦Ψ ◦ ij = Φij + Ψij

Skalarmultiplikation:z.z.: (Φ · λ)ij = Φij · λ

(Φ · λ)ij = πi ◦ (Φ · λ) ◦ ij = (πi ◦ Φ ◦ ij) · λ = Φij · λ

Multiplikation:

z.z.: f(Φ ◦Ψ)ij = (Φ ◦Ψ)ijz.z.=∑n

r=1 Φir ◦Ψrj = (f(Φ) · f(Ψ))ij

(Φ ◦Ψ)ij = (πi ◦ Φ) ◦ (Ψ ◦ ij) = (πi ◦ (n∑

k=1

Φ ◦ ik ◦ πk)) ◦ ((n∑

e=1

ie ◦ πe ◦Ψ) ◦ ij)

= (n∑

k=1

Φik ◦ πk) ◦ (n∑

e=1

ie ◦Ψej) =n∑

r=1

Φir ◦Ψrj

Jetzt:

g : Mn(EndA(M)) −→ EndA(Mn) mit

(ϕij)ij 7−→ (m1, . . . , mn) 7−→ (n∑

k=1

ϕ1k(mk), . . . ,n∑

k=1

ϕnk(mk)) =n∑

k=1

ik ◦ (n∑

i=1

Φki ◦ πi)

(g ◦ f)(Φ) =n∑

k=1

ik ◦ (n∑

i=1

f(Φ)ki ◦ πi) =n∑

k=1

ik ◦ πk ◦ (n∑

i=1

Φ ◦ ij ◦ πi)

︸︷︷︸

=Φ

= Φ


(f ◦ g)((eij)ij)rs = πr ◦ g((eij)ij) ◦ is = π ◦ (n∑

k=1

ik ◦ (n∑

i=1

Φ ◦ ij ◦ πi)) ◦ is = Φrs

Bemerke: πt ◦ ie = δte · id. Damit ist g invers zu f und f ein Ringhomomorphismus.

Satz 6: (Struktursatz von Wedderburn (fur einfache Alge-bren), 1907)K Korper, A K-Algebra, A einfach, dimKA <∞. Dann gilt:

∃1 n ∈ N ∧ ∃D ⊃ K Schiefkorper mit dimKD <∞ : A ∼= Mn(D)

Bemerke: (1): D ist bis auf K-Isomorphie eindeutig bestimmt. (2): Hierbei ist Isomorphie vonK-Algebren gemeint.

Beweis: (Satz 6)Existenz:Sei I ⊂ A ein beliebiges minimales Rechtsideal von A, dann gilt nach Lemma 2 speziell fur M = A:

∃n ∈ N0 : A ∼= In

(als A-Rechtsmoduln). Dann hat man die Algebrenisomorphismen:

ALemma 17.9∼= EndA(A)

A ∼= In (nach Lemma 2)∼= EndA(In)Lemma 5∼= Mn(EndA(I))

Da I ein minimales Rechtsideal ist, sind wir fertig, denn: Setze nun D := EndA(I), dann ist Dzum einen nach Satz 17.15 ein Schiefkorper und zum anderen gilt nach dem bereits eine Zeile zuvorGezeigtem:

A ∼= Mn(D)

Eindeutigkeit:Folgt unmittelbar aus (dem noch folgenden) Lemma 10

Am Rande sei vermerkt:

EndA(I ⊕ J) =

(EndA(I) HomA(J, I)

HomA(I, J) EndA(J)

)

Hierbei ist die Multiplikation solcher Matrizen durch die Komposition von Funktionen gegeben.

Beispiel 7:D Schiefkorper. Dann sind die Rechtsideale der Matrizenalgebra Mn(D):

Ir := {

d11 · · · · · · d1n...

...dr1 · · · · · · drn

0 · · · · · · 0...

...0 · · · · · · 0

∈ Dn×n} ⊂ Mn(D)


Lemma 8:D Schiefkorper, I1 wie in Beispiel 7. Dann gilt:

I1 := {

d11 · · · d1n

0 · · · 0...

...0 · · · 0

∈ Dn×n} ⊂ Mn(D) ist minimal

Beweis: (Lemma 8)Wir mussen zeigen, dass fur jedes Rechtsideal I von D mit I ⊂ I1 entweder I = {0} oder I = I1 folgt.Mit anderen Worten:

∀ 0 6= x ∈ I1 : x ·A = I1

Dazu stellen wir uns die Frage, wie ein solches 0 6= x ∈ I1 uberhaupt aussieht?

x =

d11 · · · d1n

0 · · · 0...

...0 · · · 0

∈ I1 mit di 6= 0

(di 6= 0, da x 6= 0 sein soll). Seien also d1, . . . , di−1, di+1, . . . , dn = 0 und di 6= 0. Dann:

x ·

0. . .

0

d−1i

0. . .

0

=

0 · · · 0 1 0 · · · 00 · · · · · · · · · · · · · · · 0...

...0 · · · · · · · · · · · · · · · 0

=: x′

Beachte: d−1i ∈ D, da D Schiefkorper. Nun betrachte man:

x′ ·Mn(D) =

D · · · D0 · · · 0...

...0 · · · 0

Genauer:

x′ ·

d11 · · · d1n...

...dn1 · · · dnn

=

di1 · · · din

0 · · · 0...

...0 · · · 0

Auf diese Weise erhalten wir jedoch alle Elemente aus I1 und damit I1. Damit muss I1 minimalesRechtsideal von Mn(D) sein.


Lemma 9:D Schiefkorper, I1 wie in Beispiel 7. Dann gilt:

EndMn(D)(I1) ∼= D

Beweis: (Lemma 9)

D∼=−→ EndMn(D)(I1) mit

d −→ (x −→ dx)

f(e)11 ←− f

Hierbei bezeichnet f(e)11 die Stelle 11 der Matrix f(e) und e ist gegeben durch:

e =

1 0 · · · 0

0 0. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 0

Sei A = Mn(D). Dann:

I1 = {

d1 · · · dn

0 · · · 0...

...0 · · · 0

| di ∈ D} Lemma 8

= e ·A

Weiter:

f : I1 −→ I1 Rechtsmodulhomomorphismus mit f(x · a) = f(x) · a

f(e · a) = f(e) · a. Damit ist f eindeutig bestimmt durch f(e) ∈ I1. Es gilt:

e · e = e

e ·

0 · · · · · · 0...

...0 · · · · · · 01 0 · · · 00 · · · · · · 0...

...0 · · · · · · 0

︸︷︷︸

ei

= 0

Dabei befindet sich die 1 in der i-ten Zeile. Weiter:

f(e)e · e = e

= f(e · e) Def. v. f= f(e) · e


Fur i > 1 gilt:

f(0) = f(e · ei︸︷︷︸

=0

) = f(e) · ei = 0 =⇒ d2 = d3 = · · · = dn = 0

f(e) =

d1 · · · dn

0 · · · 0...

...0 · · · 0

f(e) · e =

d1 0 · · · 0

0 0. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 0

f(e) =

d1 0 · · · 0

0 0. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 0

Damit ist:

f(x) =

d1 0. . .

0 dn

· x

Das nun folgende letzte Lemma dieses Abschnittes liefert uns die noch ausstehende Eindeutigkeit desStruktursatzes von Wedderburn:

Lemma 10:D, D′ Schiefkorper, K ⊂ D, D′, dimKD < ∞, dimKD′ < ∞, n, m ∈ N, Mn(D) ∼= Mm(D′). Danngilt:

(1): n = m

(2): D ∼= D′

Beweis: (Lemma 10)Sei A ∼= Mn(D). Dann ist (nach dem Existenzteil des Beweises):

I =

D · · · D0 · · · 0...

...0 · · · 0

⊂ A minimales Rechtsideal von A

mit EndA(I) = D

Daher gilt fur jedes minimale Rechtsideal J in A:

EndA(J) ∼= D

Da nach Voraussetzung Mn(D) ∼= Mm(D′) ist, gilt (wegen A ∼= Mn(D)): A ∼= Mm(D′). Und somitgilt:

D ∼= EndA(J) ∼= D′


also D ∼= D′ und damit ist (2) gezeigt. n = m folgt nun trivialerweise aus Dimensionsgrunden,also gilt (1). Damit ist dieses Lemma und damit verbunden die Eindeutigkeit des Struktursatzes vonWedderburn bewiesen.

19 HALBEINFACHE ALGEBREN 110

19 Halbeinfache Algebren

K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞

Definition 1: (Nilpotentes Ideal, Radikal)(1): R Ring mit 1, I ⊂ R zweiseitiges Ideal. Dann:

I heißt nilpotent :⇐⇒ ∃ r ∈ N : Ir = 0

⇐⇒ ∃ r ∈ N ∀ a1, . . . , ar ∈ I : a1 · · · · · ar = 0

Bemerke: Analog definiert man fur zweiseitige Ideale I einer K-Algebra A (anstelle des Ringes R)die Nilpotenzeigenschaft.(2): K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞. Dann:

Rad(A) :=⋃

I nilpotentes

Ideal von A

I heißt Radikal von A

Bemerke: Das Radikal von A ist also die Vereinigung aller nilpotenten Ideale von A und es istRad(A) ⊂ A.

Lemma 2:K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞. Dann gilt:

(1): Rad(A) ⊂ A ist zweiseitiges Ideal von A

(2): Rad(A) ist nilpotent

Beweis: (Lemma 2)ohne Beweis.

Definition 3: (Halbeinfache Algebra)K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞. Dann:

A heißt halbeinfach :⇐⇒ Rad(A) = 0

⇐⇒{

∀ I ⊂ A zweiseitiges Ideal von A mit Ir = 0

(fur irgendein r ∈ N) : I = {0}⇐⇒ ∀ I ⊂ A nilpotentes Ideal von A : I = {0}

Bemerke: Eine Algebra ist also genau dann halbeinfach, wenn das einzige nilpotente Ideal von Adas Nullideal ist.


Lemma 4:K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞. Dann gilt:

A/Rad(A) ist halbeinfach

Beweis: (Lemma 4)Sei A := A/Rad(A). Weiter sei nun I ⊂ A ein nilpotentes Ideal. Wir mussen nun zeigen, dass I = {0},also I das Nullideal ist. Sei I ⊂ A das Urbild von I (also wieder ein zweiseitiges Ideal) unter derAbbildung

A −→ A

Da I nun nilpotent ist, gibt es ein r ∈ N mit Ir

= {0}. Damit ist Ir ⊂ Rad(A). Es gilt:

∃ s ∈ N : (Rad(A))s = {0}

Damit ist Ir·s = {0} und somit ist auch I nilpotent. Also I ⊂ Rad(A) und schlussendlich folgt I = {0}.

Bemerkung 5:K Korper, A K-Algebra, dimKA < ∞, A nicht-halbeinfach, 0 6= I ⊂ A nilpotentes Ideal von A.Dann gilt:

dimK(A/I) < dimK(A)

Also: Durch sukzessive Quotientenbildung (d.h. herauskurzen nilpotenter Ideale) erhalt man furjede endlich-dimensionale K-Algebra A eine halbeinfache K-Algebra, namlich: A/Rad(A).

Satz 6: (Struktursatz von Wedderburn (fur halbeinfache Al-gebren))K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞, A halbeinfach. Dann gilt:

∃n ∈ N ∧ ∃A1, . . . , An einfache K-Algebren : A ∼=n⊕

i=1

Ai

Bemerke: Der Satz besagt: Jede halbeinfache endlich-dimensionale K-Algebra ist isomorph zu einerdirekten Summe von einfachen K-Algebren.

Beweis: (Satz 6)Wir betrachten A als Rechtsideal. Dann gilt nach dem nach folgenden Satz 14:

ASatz 14

= I1 ⊕ · · · ⊕ Ir

als Rechtsmoduln∼= Jn11 ⊕ · · · ⊕ Jns

s

wobei I1, . . . , Ir minimale Rechtsideale und J1, . . . , Js minimale Rechtsideale mit Jj 6∼= Jk (∀ j 6= k).Dann gilt:

ALemma 17.8∼= EndA(A)

Zeile zuvor∼= EndA(Jn11 ⊕ · · · ⊕ Jns

s ) ∼=s⊕

i=1

EndA(Jnii )

Lemma 18.5∼=s⊕

i=1

Mni( EndA(Ji)︸︷︷︸

sind Schiefkorper (nach Satz 17.14)

)


Bemerke: EndA(Ji) sind fur alle i = 1, . . . , s Schieforper nach Satz 17.14, da die Ji minimale Recht-sideale sind. Und nach Beispiel 18.1(2) sind Mni(EndA(Ji)) fur alle i = 1, . . . , s einfach. Setze dahernun Ai := Mni(EndA(Ji)).

Bemerkung 7:Ansatz zur Untersuchung von K-Algebren:1.Fall: dimKA =∞Dieser Fall ist sehr kompliziert und wird hier daher nicht weiter behandelt.2.Fall: dimKA <∞

Lemma 4=⇒ A/Rad(A) ist halbeinfach

=⇒ A/Rad(A) = Mn1(D1)⊕ · · · ⊕Mnk(Dk)

wobei Dj Schiefkorper sind (1 6 j 6 k). Auf diese Weise kommt man zur Brauergruppe! Bemerke:Sobald man nilpotente Ideale herauskurzt, kommt man zu Schiefkorpern!

Definition 8: (Idempotent)K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞. Dann:

e ∈ A heißt idempotent :⇐⇒ e2 = e

Beispiel 9:K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞, e ∈ A idempotent (also e2 = e). Dann ist auch f = 1−e ∈ Aidempotent. Denn:

f2 = (1− e)2 = (1− e)(1− e) = 1− 2e + e2 e2 = e= 1− 2e + e = 1− e = f

Damit ist auch f idempotent.

e + f = e + (1− e) = 1

ef − fe = e(1− e)− (1− e)e = (e− e2)− (e− e2)e2 = e

= 0− 0 = 0

M = eM ⊕ fM = eM ⊕ (1− e)M

Lemma 10:K Korper, A, B zwei K-Algebren, dimKA <∞, dimKB <∞. Dann gilt:

A, B beide halbeinfach =⇒ A⊕B ist halbeinfach

Bemerke: Es gilt sogar die Umkehrung, d.h.

A⊕B ist halbeinfach =⇒

(1): A ist halbeinfach

und

(2): B ist halbeinfach

Beweis: (Lemma 10)


Sei I ⊂ A⊕B ein beliebiges zweiseitiges nilpotentes Ideal (d.h. ∃ r ∈ N: Ir = {0}). Dann lasst sich Ischreiben als

I = IA ⊕ IB

wobei IA = I ∩ (A ⊕ 0) und IB = I ∩ (0 ⊕ B). Da I nun nach Voraussetzung nilpotent ist (d.h.Ir = {0}), gilt:

IrA = Ir

B = {0}

Damit sind IA und IB auf alle Falle nilpotente Ideale. Da A und B nun halbeinfach sind, folgt fur IA

und IB

IA = {0} und IB = {0}

Und da I = IA ⊕ IB ist, folgt damit I = {0}. Also ist A⊕B halbeinfach.

Lemma 11:K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞, A halbeinfach, I ⊂ A minimales Rechtsideal von A. Danngilt:

∃ e ∈ A mit e2 = e : I = e ·A


Definition 12: (Annihilator)K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞, I ⊂ A minimales Rechtsideal von A, a ∈ I. Dann:

AnnI(a) := {x ∈ I | a · x = 0} heißt Annihilator von a in I

Lemma 13:K Korper, A K-Algebra, dimKA < ∞, 0 6= I ⊂ A Rechtsideal von A, e ∈ A idempotent. Danngilt:

I = e ·A⊕AnnI(e)


Satz 14:K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞, A halbeinfach, I ⊂ A Rechtsideal. Dann gilt:

∃ r ∈ N ∧ ∃ I1, . . . , Ir ⊂ A minimale Rechtsideale : I = I1 ⊕ · · · ⊕ Ir

20 AZUMAYA-ALGEBRA 115

20 Azumaya-Algebra

Definition 1: (Zentralisator, Zentrum)A Ring, B ⊂ A Unterring von A. Dann:

(1): ZA(B) := {a ∈ A | ab = ba ∀ b ∈ B} heißt Zentralisator von B in A

(2): Z(A) := {a ∈ A | ab = ba ∀ b ∈ A} heißt Zentrum von A

Bemerke: (i): Z(A) ist ein kommutativer Unterring von A (sogar der großte kommutative Unter-ring). (ii): Es ist ZA(A) = Z(A) gerade das Zentrum von A. (iii): Ist A eine K-Algebra, so giltK ⊂ Z(A).

Beweis: (Definition 1)zu (i): Dazu zeigen wir die drei Unterringeigenschaften und anschließend die Kommutativitat:(α): z.z.: 1 ∈ Z(A)

1 · a′ = a′ · 1 ∀ a′ ∈ A =⇒ 1 ∈ Z(A)

(β): z.z.: ∀ a, b ∈ Z(A) : a− b ∈ Z(A). Sei dazu c ∈ A beliebig. Dann gilt:

(a− b)c = ac− bca, b ∈ Z(A)

= ca− cb = c(a− b) =⇒ (a− b) ∈ Z(A)

(γ): z.z.: ∀ a, b ∈ Z(A) : ab ∈ Z(A). Sei dazu c ∈ A beliebig. Dann gilt:

(ab)cA assoziativ

= a(bc)b ∈ Z(A)

= a(cb)A assoziativ

= (ac)ba ∈ Z(A)

= (ca)bA assoziativ

= c(ab)

=⇒ ab ∈ Z(A)

(δ): z.z.: ∀ a, b ∈ Z(A) : ab = ba. Sei a ∈ Z(A) =⇒ ab = ba ∀ b ∈ A, also insbesondere (da Z(A) ⊂ A)ab = ba ∀ b ∈ Z(A). Da a ∈ Z(A) beliebig gewahlt wurde, ist Z(A) kommutativ.zu (ii): Dies ist absolut klar wegen:

a ∈ ZA(A) ⇐⇒ ab = ba ∀ b ∈ A ⇐⇒ a ∈ Z(A)

zu (iii): Sei A eine K-Algebra. Dann besitzt A nach Definition 8.2 definitionsgemaß eine K-Vektorraum-struktur, d.h.

(λa)b = a(λb) = λ(ab) ∀λ ∈ K ∧ ∀ a, b ∈ A

Also gilt wegen der K-Vektorraumstruktur

λa = aλ ∀λ ∈ K ∧ ∀ a ∈ A =⇒ K ⊂ Z(A)


Lemma 2:A Ring, B ⊂ A Unterring von A. Dann gilt:

(1): ZA(B) ist ein Unterring von A mit Zentrum Z(ZA(B)) = Z(B)

(2): B ⊂ ZA(B) =⇒ B ist kommutativ

(3): B = ZA(B) =⇒ B ist maximaler kommutativer Unterring von A

Beweis: (Lemma 2)zu (1): Analog wie der Beweis von (i) aus Definition 1zu (2): Sei b ∈ B. Dann gilt (da b ∈ ZA(B), wegen B ⊂ ZA(B)): bb′ = b′b ∀ b′ ∈ B. Da b beliebiggewahlt wurde, gilt bb′ = b′b ∀ b, b′ ∈ B, also ist B kommutativ.zu (3): ohne Beweis.

Bemerkung 3:

D Schiefkorper =⇒ Z(D) ist ein Korper

Beweis: (Bemerkung 3)Sei 0 6= x ∈ Z(D) und 0 6= d ∈ D. Dann gilt:

dx−1 (xd−1)(dx−1)=1 (in D)= (xd−1)−1 x∈Z(D)

= (d−1x)−1 (d−1x)(x−1d)=1 (in D)= x−1d

=⇒ x−1 ∈ Z(D). Damit ist Z(D) ein Korper.

Satz 4:D Schiefkorper. Dann gilt:

Z(Mn(D)) = Z(D) ·

1 0. . .

0 1

Bemerke: Das Zentrum von D lasst sich folgendermaßen in das Zentrum der Matrizenalgebra vonD einbetten:

Z(D) → Z(Mn(D)) mit x 7→ x · En



Corollar 5: (Zentrum einer einfachen K-Algebra)K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞, A einfach. Dann gilt:

Z(A) ist ein Korper

Bemerke: Der Satz besagt: Das Zentrum einer einfachen K-Algebra ist ein Korper.

Beweis: (Corollar 5)Nach dem Struktursatz von Wedderburn fur einfache Algebren in Satz 18.6 gilt:

∃n ∈ N ∧ ∃D ⊃ K Schiefkorper mit dimKD <∞ : A ∼= Mn(D)

Und nach Satz 4 gilt nun:

Z(Mn(D)) = Z(D) ·

1 0. . .

0 1

Da Z(D) nun nach Bemerkung 3 ein Korper ist, ist auch Z(D) ·

1 0. . .

0 1

ein Korper. Es folgt

nun unmittelbar mit der Zeile zuvor, dass damit auch Z(Mn(D)) ein Korper ist. Wegen

A ∼= Mn(D) =⇒ Z(A) ∼= Z(Mn(D))

ist nun auch Z(A) ein Korper.

Definition 6: (Zentrale Algebra, Azumaya-Algebra)(1): K Korper, A K-Algebra. Dann:

A heißt zentral :⇐⇒ Z(A) = K

(2): K Korper, A K-Algebra, dimKA <∞. Dann:

A heißt Azumaya-Algebra (uber K) :⇐⇒

(i): A einfach

und

(ii): A zentral

Bemerke: Azumaya-Algebren sind also endlich-dimensionale zentrale einfache Algebren.

Am Rande sei in Bezug auf des folgende Beispiel vermerkt, dass es bis auf Isomorphie genau dreiendlich-dimensionale R-Algebren gibt, die Schiefkorper sind. Dies sind gerade R, C und H.


Beispiele 7:(1): Die komplexen Zahlen C bilden eine zentrale und einfache Algebra uber C (also uber sichselbst), aber nicht uber R.

dimR C = 2, dimC C = 1 und Z(C) = C

(2): Der Quaternionen H bilden eine vier-dimensionale zentrale und einfache Algebra uber R.

dimR H = 4 und Z(H) = R

(3): K Korper. Mn(K) bildet eine zentrale und einfache Algebra uber K (fur jedes n ∈ N).

dimK Mn(K) = n und Z(Mn(K)) = Z(K)

Mn(K) ist einfach, dazu siehe Beispiel 4.32(3).(4): Insbesondere ist ein Korper K zentral und einfach uber sich selbst.

dimK K = 1 und Z(K) = K

K ist als Korper einfach, dazu siehe Beispiel 4.32(1).(5): K Korper, D zentraler Schiefkorper uber K. Dann bildet Mn(D) eine zentrale und einfacheAlgebra uber D.

dimD Mn(D) = n und Z(Mn(D)) = Z(D)

Weiter sei am Rande vermerkt, dass man jede vierdimensionale zentrale und einfache Algebra ubereinem Korper K als eine Quaternionen-Algebra bezeichnet.

Bemerkung 8:Im Falle, dass A eine R-Algebra ist (wobei R ein Ring ist (!)), benotigen wir eine andere Defini-tion der Azumaya-Algebra. Der Grund dafur ist der, dass wir einen Korper K brauchen um dieZentralitat zu prufen.

A heißt Azumaya-Algebra (uber R) :⇐⇒

∃R ⊂ S Ringerweiterung von R,

endlich-dimensional und separabel:

A⊗R S ∼= Mn(S)

A heißt Azumaya-Algebra (uber K) :⇐⇒

∃K ⊂ L Korpererweiterung von K,

endlich-dimensional und separabel:

A⊗K L ∼= Mn(L)

Bemerkung 9:Unser nachstes Ziel: Wir wollen fur zwei Azumaya-Algebren A, B zeigen, dass A⊗K B wieder eineAzumaya-Algebra ist.


Satz 10: (Zentralisator eines Tensorproduktes)A, A′ zwei K-Algebren, dimKA < ∞, dimKA′ < ∞, B ⊂ A Unteralgebra, B′ ⊂ A′ Unteralgebra.Dann gilt:

ZA⊗KA′(B ⊗K B′) = ZA(B)⊗K ZA′(B′) (in A⊗K A′)

Beweis: (Satz 10)⊇: Diese Richtung folgt aus der Algebrastruktur des Tensorproduktes. Sei x ∈ ZA(B) ⊗K ZA′(B′),dann besitzt x die Darstellung

x =∑

i∈I

ai ⊗ a′i , wobei ai ∈ ZA(B) und a′i ∈ ZA′(B′)

und I eine endliche Indexmenge ist. Es ist nun folgendes zu zeigen:

z.z.: yx = yx ∀ y ∈ B ⊗K B′

Dazu sei y ∈ B ⊗K B beliebig, dann ist y von der Form

y =∑

j∈J

bj ⊗ b′j , wobei bj ∈ B und b′i ∈ B′

und J eine endliche Indexmenge ist. Dann folgt unmittelbar:

xy =

(∑

i∈I

ai ⊗ a′i

)

·

∑

j∈J

bj ⊗ b′j

=∑

i∈I

∑

j∈J

(bjai)⊗ (b′ja′i) =

∑

i∈I

∑

j∈J

(aibj)⊗ (a′ib′j)

=

∑

j∈J

bj ⊗ b′j

·(∑

i∈I

ai ⊗ a′i

)

= yx

Damit ist x ∈ ZA⊗KA′(B ⊗K B′).⊆: Sei x ∈ ZA⊗KA′(B ⊗K B′) ⊂ A⊗K A′. Seien {ej | j ∈ J} eine Basis von A′. Dann:

A′ =⊕

j∈J

ej ·K

Dann ist A⊗K A′ =⊕

j∈J A⊗ ej ·K. Dann konnen wir x schreiben als

x =∑

j∈J

aj ⊗ ej

mit eindeuigen aj ∈ A. Sei nun b ∈ B beliebig. Dann gilt:

0 = (b⊗ 1)x− x(b⊗ 1) =∑

j∈J

[(baj − ajb)⊗ ej ] =⇒ baj − ajb = 0 ∀ j ∈ J =⇒ aj ∈ ZA(B)

Also: ziemlich analog: Sei x ∈ ZA(B)⊗K A′. Sei

ZA(B) =⊕

i∈I

fi ·K

Dann lasst sich x schreiben als

x =∑

i∈I

fi ⊗ a′i


mit eindeutigen a′i ∈ A′. Fur b′ ∈ B′ folgt nun wie oben

b′a′i − a′ib′ = 0 ∀ i ∈ I =⇒ a′i ∈ ZA′(B′)

=⇒ x ∈ ZA(B)⊗K ZA′(B′).

Satz 11:A, B zwei Azumaya-Algebren (uber K). Dann gilt:

A⊗K B ist Azumaya-Algebra (uber K)

Beweis: (Satz 11)zentral: Mit Hilfe von Satz 10 gilt:

Z(A⊗K B)Definition 1(ii)

= ZA⊗KB(A⊗K B)Satz 10

= ZA(A)⊗K ZB(B)

Definition 1(ii)= Z(A)⊗K Z(B)

A, B zentral= K ⊗K K

Lemma 6.11(6)= K

=⇒ A⊗K B ist zentral

einfach: Bleibt zu zeigen, dass A ⊗K B einfach ist. Dazu: Sei I ⊂ A ⊗K B ein zweiseitiges Ideal mitI 6= 0. Zu zeigen ist nun:

I = A⊗K B

Sei 0 6= x ∈ I. Schreibe x in der Form

x =m∑

i=1

ai ⊗ ei

wobei ei ∈ B K-linear unabhangig und m minimal. Dann gilt: ai 6= 0 (sonst lasse ai = 0 weg und wirhaben ein kleineres m).(1): Sei o.B.d.A. a1 = 1A. Dann gilt:

A · a1 ·A A einfach= A

Insbesondere: 1A ∈ A · a1 ·A. Nun ist 1A von der Form

1A =∑

j

yj · a1 · y′j

wobei yj ∈ A. Dann

I ∋ x′ =∑

j

(yj ⊗ 1)x(y′j ⊗ 1) =∑

i

∑

j

[yia1yj ]

︸︷︷︸

=:a′

i

⊗ei

Nun: a′1 = 1A.(2): Sei m = 1. Dann:

x = 1⊗ e1


Wegen Be1B = B (weil B einfach), folgt wie oben in (1):

1⊗ 1 ∈ (1⊗K B)(1⊗K e1)(1⊗K B) ⊂ I

=⇒ I = A⊗K B.(3): m > 2 und a2 ∈ Z(A). Dann gilt:

Z(A) = K (da A zentral)

also a2 ∈ K und nun schreibt sich x als

x = 1⊗ e1 + a2 ⊗ e2 + · · · = 1⊗ e1 + 1⊗ a2e2 + · · · = 1⊗ (e1 + a2e2) + · · ·

womit wir einen Widerspruch zur Minimalitat von m erhalten.(4): m > 2 und a2 /∈ Z(A). Dann gilt:

∃ z ∈ A : a2z 6= za2 (da a2 /∈ Z(A))

=⇒ a2z − za2 6= 0. Nun betrachten wir

x′ = (z ⊗ 1)x− x(1⊗ z) =

m∑

i=1

zai − aiz︸︷︷︸

=:a′

i

⊗ ei

weil a1 = 1 =⇒ a′1 = 0. Ferner a′2 6= 0 =⇒ x′ 6= 0, womit wir einen Widerspruch zur Minimalitat vonm erhalten.

Corollar 12:D, D′ zwei Schiefkorper, Z(D) = Z(D′) =: K (K ist ein Korper, nach Bemerkung 3), dimKD <∞,dimKD′ <∞. Dann gilt:

∃1 m ∈ N ∧ ∃D′′ Schiefkorper mit Z(D′′) = K : D ⊗K D′ ∼= Mm(D′′)

Bemerke: D′′ ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Beweis: (Corollar 12)ohne Beweis.

Satz 13:

(1): A⊗K B Azumaya-Algebra (uber K) ⇐⇒

(i): A Azumaya-Algebra (uber K)

und

(ii): B Azumaya-Algebra (uber K)

(2): A⊗K K ′ Azumaya-Algebra uber K ′ ⇐⇒

(i): K ′ Korpererweiterung von K

und

(ii): A Azumaya-Algebra (uber K)

Beweis: (Satz 13)zu(1):


⇐=: Satz 11=⇒:zentral: z.z.: Z(B) = Z(A) = K. Dies folgt aus

KA ⊗K B zentral

= Z(A⊗K B)Definition 1(ii)

= ZA⊗KB(A⊗K B)Satz 10

= ZA(A)⊗K ZB(B)

Definition 1(ii)= Z(A)⊗K Z(B)

und aus Dimensionsgrunden. Damit sind A und B jeweils zentral.einfach: Sei 0 6= I ⊂ A zweiseitiges Ideal =⇒ 0 6= I ⊗K B ⊂ A ⊗K B zweiseitiges Ideal. Da A ⊗K Bnach Voraussetzung einfach ist, muss I ⊗K B = A⊗K B gelten und damit insbesondere I = A, womitA einfach ist. Also ist A insgesamt eine Azumaya-Algebra uber K.Analog fur B: Sei 0 6= J ⊂ B zweiseitiges Ideal =⇒ 0 6= A ⊗K J ⊂ A ⊗K B zweiseitiges Ideal. DaA⊗K B nach Voraussetzung einfach ist, muss A⊗K J = A⊗K B gelten und damit insbesondere J = B,womit B einfach ist. Also ist auch B insgesamt eine Azumaya-Algebra uber K.zu(2): Ubungsaufgabe

21 BRAUERGRUPPE 123

21 Brauergruppe

Erinnerung:K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Wir haben bereits Folgendes gesehen:(1): A einfache endlich-dimensionale K-Algebra. Dann gilt:

A ∼= Mn(D) (Struktursatz von Artin-Wedderburn)

(2): A K-Algebra, dimKA = n <∞. Dann gilt:

A⊗K AopBeispiel 17.4(2)∼= EndKA

Beispiel 4.26(4)∼= Mn(K)

Wir wollen nun die Brauergruppe Br(K) uber einen Korper K einfuhren. Fur diese Zwecke benotigenwir vorab eine Ahnlichkeitsrelation auf den Azumaya-Algebren:

Definition 1: (Ahnlichkeitsrelation)K Korper, A, B zwei Azumaya-Algebren uber K. Dann:

A und B heißen ahnlich :⇐⇒ ∃n, m ∈ N : Mn(A) ∼= Mm(B)

Wir schreiben in diesem Fall: A ∼ B. Bemerke:

(1): Mn(A) ∼= A⊗K Mn(K)

(2): Die Ahnlichkeitsrelation ∼ ist eine Aquivalenzrelation.

Beweis: (Definition 1)zu (1): wurde bereits in Satz 8.6(3) bewiesen.zu (2): Hierzu mussen wir zeigen, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist:(i): Reflexivitat: Setze n = m = 1, dann gilt A ∼ A.(ii): Symmetrie: Folgt unmittelbar

A ∼ B ⇐⇒ ∃n, m ∈ N : Mn(A) ∼= Mm(B) ⇐⇒ B ∼ A

(iii): Transitivitat: Es ist folgendes zu zeigen:

z.z.: A ∼ B und B ∼ C =⇒ A ∼ C

Dazu seien A ∼ B und B ∼ C, d.h.

∃n, m ∈ N : Mn(A) ∼= Mm(B)

∃ k, l ∈ N : Mk(B) ∼= Ml(C)

21 BRAUERGRUPPE 124

Damit folgt die Behauptung (hier allerdings sehr ausfuhrlich):

Mnk(A)Satz 8.6(3)∼= A⊗K Mnk(K)

Satz 8.6(1)∼= A⊗K (Mn(K)⊗K Mk(K))

Lemma 6.11(3)∼= (A⊗K Mn(K))⊗K Mk(K)Satz 8.6(3)∼= Mn(A)⊗K Mk(K)

Mn(A) ∼= Mm(B)∼= Mm(B)⊗K Mk(K)Satz 8.6(3)∼= (B ⊗K Mm(K))⊗K Mk(K)

Lemma 6.11(3)∼= B ⊗K (Mm(K)⊗K Mk(K))Lemma 6.11(1)∼= B ⊗K (Mk(K)⊗K Mm(K))

Lemma 6.11(3)∼= (B ⊗K Mk(K))⊗K Mm(K)Satz 8.6(3)∼= Mk(B)⊗K Mm(K)

Mk(B) ∼= Ml(C)∼= Ml(C)⊗K Mm(K)Satz 8.6(3)∼= (C ⊗K Ml(K))⊗K Mm(K)

Lemma 6.11(3)∼= C ⊗K (Ml(K)⊗K Mm(K))Lemma 8.6(1)∼= C ⊗K Mlm(K)

Satz 8.6(3)∼= Mlm(C)

Fur a := nk und c := lm gilt also a, c ∈ N und Ma(A) ∼= Mc(C).

Notation 2: (Ahnlichkeitsklasse)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Dann:

[A] := {B Azumaya-Algebra uber K | B ∼ A} heißt Ahnlichkeitsklasse von A

Definition 3: (Brauergruppe)K Korper. Dann:

Br(K) := {[A] | A Azumaya-Algebra uber K} heißt Brauergruppe uber K

Hierbei ist die Multiplikation von Ahnlichkeitsklassen (also von Elementen der Brauergruppe) de-finiert durch

[A] · [B] := [A⊗K B]

Diese Multiplikation ist wohldefiniert, wie die folgende Bemerkung 4(1) zeigen wird.

Bemerkung 4: (Gruppenstruktur der Brauergruppe)

(1): [A] · [B] = [A⊗K B] ∀ [A], [B] ∈ Br(K)

(2): [A] · [B] = [B] · [A] ∀ [A], [B] ∈ Br(K)

(3): ([A] · [B]) · [C] = [A] · ([B] · [C]) ∀ [A], [B], [C] ∈ Br(K)

(4): [A]−1 = [Aop] (Inverses zu [A])

(5): 1 := [K] (Einselement)

(6): (Br(K), ·) bildet eine kommutative Gruppe bzgl. Multiplikation

Beweis: (Bemerkung 4)

21 BRAUERGRUPPE 125

zu(1):

Mn(A)⊗K Mm(B)Satz 8.6(3)∼= (A⊗K Mn(K))⊗K (B ⊗K Mm(K))

Lemma 6.11(3)∼= ((A⊗K Mn(K))⊗K B)⊗K Mm(K)

Lemma 6.11(3)∼= (A⊗K (Mn(K)⊗K B))⊗K Mm(K)

Lemma 6.11(1)∼= (A⊗K (B ⊗K Mn(K)))⊗K Mm(K)

Lemma 6.11(3)∼= ((A⊗K B)⊗K Mn(K))⊗K Mm(K)

Lemma 6.11(3)∼= (A⊗K B)⊗K (Mn(K)⊗K Mm(K))

Satz 8.6(1)∼= (A⊗K B)⊗K Mnm(K)Satz 8.6(3)∼= Mnm(A⊗K B)

zu(2):

Mn(A)⊗K Mm(B)(1)∼= Mnm(A⊗K B)

Lemma 6.11(1)∼= Mnm(B ⊗K A)(1)∼= Mm(B)⊗K Mn(A)

zu(3):

(Mn(A)⊗K Mm(B))⊗K Mk(C)(1)∼= Mnm(A⊗K B)⊗K Mk(C)

(1)∼= Mnmk((A⊗K B)⊗K C)

Lemma 6.11(4)∼= Mnmk(A⊗K (B ⊗K C))

(1)∼= Mn(A)⊗K Mmk(B ⊗K C)

(1)∼= Mn(A)⊗K (Mm(B)⊗K Mk(C))

zu(4): Zunachst zeigen wir: Die Abbildung

ΦA : A⊗K Aop −→ EndK(A) mit (x⊗ y) 7−→ ΦA(x⊗ y) := (a 7−→ xay)

ist ein Isomorphismus (was wir bereits in Beispiel 17.4(2) vermerkt hatten). Dazu werden wir nunzeigen, dass ΦA bijektiv ist:ΦA ist ein K-Algebrenhomomorphismus (den man aus der universellen Eigenschaft vom Tensorproduktvon K-Algebren erhalt). Dann gilt:

A Azumaya-Algebra uber K =⇒ Aop Azumaya-Algebra uber K

Satz 20.11=⇒ A⊗K Aop Azumaya-Algebra uber K

Definition 20.6(2)=⇒ A⊗K Aop einfach

=⇒ kern(ΦA) = {0}

weil ΦA(1) = 1, folgt kern(ΦA) = {0} und damit ist ΦA injektiv. Und da die Dimensionen gleich seinmussen, d.h.

dimK(A⊗K Aop) = [dimKA]2 = dimK(EndK(A))

folgt die Surjektivitat aus Dimensionsgrunden. Also ist ΦA bijektiv und es gilt

A⊗K Aop ∼= EndK(A)

21 BRAUERGRUPPE 126

Kommen wir nun zum eigentlichen Beweis:

[A] · [Aop](1)= [A⊗K Aop]

z.z.= [K]

Um letzteres einzusehen und zu beweisen, reicht es nach Definition der Ahnlichkeitsklassen folgendeszu zeigen:

∃n, m ∈ N : Mn(A⊗K Aop) ∼= Mm(K)

Dazu:

Mn(A⊗K Aop)A ⊗K Aop ∼= EndK(A)∼= Mn(EndK(A))

Beispiel 4.26(4)∼= Mn(Mn(K))

Satz 8.6(4)∼= Mn(K)⊗K Mn(K)Satz 8.6(1)∼= Mn2(K)

Wahle also m := n2 und wir sind fertig.zu(5):

[A] · [K](1)= [A⊗K K]

z.z.= [A]

Um letzteres einzusehen und zu beweisen, reicht es wieder nach Definition der Ahnlichkeitsklassenfolgendes zu zeigen:

∃n, m ∈ N : Mn(A⊗K K) ∼= Mm(A)

Dazu:

Mn(A⊗K K)Lemma 6.11(4)∼= Mn(A)

Wahle also m := n und wir sind fertig.zu(6): Folgt aus (2),(3),(4) und (5). Die Eindeutigkeiten des Inversen- und Neutralen-Elements sindklar, denn:(i) Eindeutigkeit des inversen Elements: Seien [K] und [K]′ zwei neutrale Elemente. Dann gilt:

[K][K]′ neutr. Element

= [K] · [K]′[K] neutr. Element

= [K]′

(ii) Eindeutigkeit des inversen Elements: Seien [Aop] und [Aop]′ zwei zu [A] inverse Elemente. Danngilt:

[Aop](5)= [Aop] · [K]

[Aop]′ invers zu [A]= [Aop] · ([A] · [Aop]′)

(3)= ([Aop] · [A]) · [Aop]′

[Aop] invers zu [A]= [K] · [Aop]′

(5)= [Aop]′

Definition 5: (Menge der Isomorphieklassen von Schiefkorpern)

S(K) := {[D]Iso | D Schiefkorper, D ∼= K, Z(D) = K, dimKD <∞}

heißt Menge der Isomorphieklassen von Schiefkorpern.

21 BRAUERGRUPPE 127

Bemerkung 6:Die Abbildung

S(K) −→ Br(K) mit [D]Iso 7−→ [D]∼ = [D]

ist bijektiv.

Beweis: (Bemerkung 6)surjektiv: A Azumaya-Algebra uber K =⇒ A ∼= Mn(D) ∼= Mn ⊗K D =⇒ [A]∼ = [D]∼.injektiv: Seien D, D′ zwei Schiefkorper mit

D ∼ D′ =⇒ Mn ⊗K D ∼= Mm ⊗K D′ =⇒ D ∼= D′

also

A ∼ B =⇒ ∃n, m, D :

(i): A ∼= Mn ⊗K D

(ii): B ∼= Mm ⊗K D

(iii): [A] = [B] = [D]

und damit

[A] = [D] =⇒ A ∼= Mn ⊗K D

Lemma 7:K Korper, K algebraisch abgeschlossen, A Azumaya-Algebra uber K. Dann gilt:

A ∼= Mn(K)

Erinnerung: K Korper. Dann:

K heißt algebraisch abgeschlossen :⇐⇒ ∀ f ∈ K[X] mit f nicht-konstant ∃α ∈ K : f(α) = 0

Beweis: (Lemma 7)Sei D ein Schiefkorper uber K mit Z(D) = K.Behauptung: D = KBeweis: (der Behauptung)Sonst wahle x ∈ D\K und sei L ⊂ D die von x erzeugte Unteralgebra. L ist kommutativ:

L = K + xK + x2K + · · ·dimKL < ∞ (da dimKD < ∞)

L ist Korper (da D\{0} = D∗) =⇒ L/K endliche Korpererweiterung =⇒ L = K und K algebraischabgeschlossen.

Corollar 8:K Korper, K algebraisch abgeschlossen. Dann gilt:

Br(K) = {1} = {[K]}

21 BRAUERGRUPPE 128


Beispiel 9:(1): C algebraisch abgeschlossener Korper. Dann gilt |Br(C)| = 1, genauer:

Br(C) = {[C]}

(2): R ist nicht algebraisch abgeschlossener Korper (da X2 + 1 keine Nullstelle in R hat). Also istdas Corollar nicht anwendbar. Es gilt: |Br(R)| = 2, genauer:

Br(R) = {[R], [H]}

Satz 10: (Dimension einer Azumaya-Algebra)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Dann gilt:

∃n ∈ N : dimKA = n2

Dieser Satz sagt aus, dass die Dimension einer Azumaya-Algebra A uber einem Korper K immereine Quadratzahl ist.


Beispiel 11:(1): K Korper. Jeder Korper ist bekanntlich eine Azumaya-Algebra uber sich selbst, damit gilt:

dimK K = 12

(2): Spezialfalle fur (1): K = R, K = C und K = H. Es gilt:

dimR R = 12, dimC C = 12 und dimH H = 12

(3): R Korper, H Azumaya-Algebra uber R. Damit gilt:

dimR H = 22

(4): R Korper. Angenommen C ist Azumaya-Algebra uber R, dann gilt, dass dimR C eine Quadrat-zahl sein muss. Aber es ist

dimR C = 2

keine Quadratzahl. Damit kann C keine Azumaya-Algebra uber R sein. Dies war ohnehin klar, daC als R-Algebra nicht zentral ist.

21 BRAUERGRUPPE 129

Definition 12: (Grad einer Azumaya-Algebra)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K, dimKA = n2 mit n ∈ N. Dann nennt man n den Gradvon A. Dieser lasst sich auch definieren durch:

gradKA :=√

dimKA ∈ N

Beispiel 13:(1): K Korper. Jeder Korper ist bekanntlich eine Azumaya-Algebra uber sich selbst, damit gilt:

gradKK = 12

(2): Spezialfalle fur (1): K = R, K = C und K = H. Es gilt:

gradRR = 12, gradCC = 12 und gradHH = 12

(3): R Korper, H Azumaya-Algebra uber R. Damit gilt:

gradRH = 2

Ist A Azumaya-Algebra uber Korper K, dann ist A ∼= Mn(D), wobei D ein (bis auf Isomorphie)eindeutig bestimmter zentraler (d.h. Z(D) = K) Schiefkorper ist. Es sei nochmals vermerkt, dassMn(D) eine zentrale und einfache Algebra uber D ist (siehe: Beispiel 20.7.(4))

Definition 14: (Index)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Dann gilt:

indKA :=√

dimKD ∈ N heißt Index von A

Bemerkung 15: (1): Es gilt:

gradKA =√

dimKMn(D) = n · indKA

und somit gilt insbesondere:

indKA | gradKA

(2):

indKA = 1 ⇐⇒ A ∼= Mn(K)

Satz 16:K Korper, A Azumaya-Algebra uber K mit indKA = n. Dann gilt:

A⊗n ∼= Mm(K)

Beweis: (Satz 16)

21 BRAUERGRUPPE 130

ohne Beweis.

Definition 17: (Torsion)G Gruppe. Dann:

G heißt Torsion :⇐⇒ ∀x ∈ G ∃n ∈ N : xn = 1

Corollar 18:Es gilt:

∀ [A] ∈ Br(K) ∃n ∈ N : [A]n = [K]

Bemerke: (1): Das Corollar sagt aus, dass die Brauergruppe eine Torsion ist. (2): n = indKA.


Bemerkung 19:

(i): H⊗R C ∼= M2(C)

(ii): H⊗R H ∼= M4(R) (da |Br(R)| = 2)

Beweis: (Bemerkung 16)ohne Beweis

22 SATZ VON SKOLEM-NOETHER 131

22 Satz von Skolem-Noether

Satz 1: (Satz von Skolem-Noether)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K, B K-Algebra, B einfach, dimKB < ∞, f, g : B −→ Azwei K-Algebrenhomomorphismen. Dann gilt:

∃u ∈ A∗ : g(b) = u · f(b) · u−1 ∀ b ∈ B

Beweis: (Satz 1) Setze

C := B ⊗K Aop

Dann ist die Algebra A auf zwei Weisen ein C-Linksmodul, namlich:Sei Af = A die C-Linksmodul vermoge

(b⊗ a) · x = f(b) · x · a ∀ b⊗ a ∈ B ⊗K Aop = C ∧ ∀x ∈ Af

Entsprechend sei Ag = A der C-Linksmodul vermoge

(b⊗ a) · x = g(b) · x · a ∀ b⊗ a ∈ B ⊗K Aop = C ∧ ∀x ∈ Ag

Nun ist C eine einfache K-Algebra, denn:

(B einfach) und (A einfach und zentral) =⇒ A⊗K B einfach

Daher sind Af , Ag als C-Moduln isomorph. Sei

Φ : Af −→ Ag

ein Isomorphismus von C-Moduln. Setze

u := Φ(1)

Dieses u tut es! Es gilt:

Φ(f(b) · x · a) = g(b) · x · a

Corollar 2:K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Dann gilt:

∀ g ∈ Aut(A) ∃u ∈ A∗ : g(a) = uau−1 ∀ a ∈ A

Bemerke: Das Corollar besagt, dass jeder Automorphismus g einer Azumaya-Algebra A durch eineKonjugation mit einer Einheit u ∈ A∗ gegeben ist.


Beweis: (Corollar 2)Sei B = A, f = id, dann folgt die Behauptung mit dem Satz von Skolem-Noether, also mit Satz 1.

Definition 3: (Projektive lineare Gruppe)

PGL(n, K) := GL(n, K)/K∗ heißt projektive lineare Gruppe

Corollar 4:Die Abbildung

PGL(n, K) = GL(n, K)/K∗ −→ Aut(Mn(K)) mit u 7−→ (a 7−→ uau−1)

ist ein K-Algebrenisomorphismus.

Beweis: (Corollar 4)ohne Beweis. (Eine Moglichkeit dies zu beweisen, liefert das noch folgende Beispiel 7)

Lemma 5:K Korper, A einfache K-Algebra mit dimKA < ∞, M, M ′ zwei A-Rechtsmoduln mit dimKM =dimKM ′ <∞. Dann gilt:

M ∼= M ′

Bemerke: Analog gilt dieses Lemma fur M, M ′ A-Linksmoduln.

Beweis: (Lemma 5)Sei J ⊂ A minimales Rechtsideal. Dann gilt nach Lemma 18.2:

∃ r ∈ N : M ∼= Jr

∃ s ∈ N : M ′ ∼= Js

Weiter gilt:

r · (dimKJ) = dimKMnach Vor.

= dimKM ′ = s · (dimKM ′)

also r = s und damit

MLemma 18.2∼= Jr s=r

= JsLemma 18.2∼= M ′ (also M ∼= M ′)

Corollar 6:A Azumaya-Algebra. Dann gilt:

AutK(A) ∼= A∗/K∗



Beispiel 7:Nach Beispiel 20.7.(4) ist Mn(K) zentral und einfach. Somit gilt nach Corollar 6 speziell fur A =Mn(K):

AutK(Mn(K))Cor. 6∼= M∗

n(K)/K∗ = GL(n, K)/K∗ Def. 3= PGL(n, K)

Dies ist ubering gerade die Aussage von Corollar 3.

23 INNERER AUTOMORPHISMUS, AUSSERER AUTOMORPHISMUS UND INVOLUTION134

23 Innerer Automorphismus, Außerer Automorphismus un Involu-

tion

Definition 1: (Innerer Automorphismus)K Korper, A K-Algebra, ϕ ∈ Aut(A). Dann:

ϕ heißt innerer Automorphismus :⇐⇒ ∃u ∈ A∗ : ϕ(x) = uxu−1

Die Menge aller inneren Automorphismen von A definieren wir durch

Inn(A) := {ϕ : A −→ A | ϕ innerer Automorphismus}

Bemerkung 2:(1): K Korper, A K-Algebra (assoziativ mit 1), u ∈ A∗. Definiere die Abbildung:

cu : A −→ A mit cu(x) := uxu−1

Dann lasst sich ein innerer Automorphismus auch wie folgt definieren: Eine Funktion ϕ ∈ Aut(A)ist genau dann ein innerer Automorphismus, wenn es ein u ∈ A∗ gibt, so dass ϕ = cu gilt.(2): Fur die Abbildung aus (1) gilt:

∀u, v ∈ A∗ : cu·v = cu ◦ cv

(3): Die Abbildung

c : (A∗, ·) −→ (Aut(A), ◦) mit u 7−→ (x 7−→ uxu−1)

ist ein Gruppenhomomorphismus.(4): Weiter gilt:

Inn(A) = bild(c)

(5): Sei cu(x) = x ∀x ∈ A. Dann gilt:

A∗/(Z(A))∗ ∼= Inn(A)

Beweis: (Bemerkung 2)zu (2):

(cu ◦ cv)(x) = cu(cv(x))(1)= cu(vxv−1)

cu ∈ Aut(A)= cu(v) · cu(x) · cu(v−1)

cu ∈ Aut(A)= cu(v) · cu(x) · (cu(v))−1 (1)

= uv u−1 · u︸︷︷︸

=1

xu−1 · (uvu−1)−1 = uvx u−1u︸︷︷︸

=1

v−1u−1

= uvxv−1u−1 = uv · x · (uv)−1 (1)= (cu·v)(x)


zu (3): Seien u1, u2 ∈ A∗ beliebig. Dann gilt:

c(u1 · u2)(1)= cu1·u2(x)

(2)= cu1(x) ◦ cu2(x)

(1)= c(u1) ◦ c(u2)

zu (4):⊇: klar (nach Definition von c)⊆: klar (nach Definition 1 und Definition von c)zu (5): Dies folgt direkt aus dem Homomorphiesatz fur Gruppen (siehe Algebra 1). Fur diesen Satz wirdjedoch vorausgesetzt, dass c ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist. Dies ist jedoch offensichtlich,denn c ist sogar ein Gruppenisomorphismus. Denn c ist zum einen nach (3) ein Gruppenhomomor-phismus und zum anderen surjektiv. Der Grund dafur ist: Haben wir einen solchen Automorphismus,dann schauen wir durch welches Element u er durch Konjugation hervorgeht. Weiter benotigen wirvorweg noch den Kern von c. Dazu betrachte man

kern(c) = {u ∈ A∗ | c(u) = (x 7−→ uxu−1) = id}

Damit muss u ∈ Z(A) liegen und somit kern(c) = (Z(A))∗ sein. Nun konnen wir den Homomorphiesatzfur Gruppen anwenden und erhalten

∃1 ϕ : A∗/kern(c) −→ bild(c)

Dieser ist uberings gegeben durch: u · kern(c) 7−→ c(u). Wir erhalten also:

A∗/(Z(A))∗ = A∗/kern(c) ∼= bild(c)(4)= Inn(A)

Lemma 3:K Korper, A K-Algebra. Dann gilt:

Inn(A) ⊳ Aut(A)

d.h. die inneren Automorphismen einer K-Algebra A bilden einen Normalteiler der Automorphis-men von A.Zusatz: Falls A eine Azumaya-Algebra uber K ist, so ist nach Corollar 22.2 jeder Automorphismusvon A ein innerer Automorphismus von A und es gilt:

Inn(A) = Aut(A)

Beweis: (Lemma 3)Sei ϕ ∈ Aut(A) und cu ∈ Inn(A) belebig mit u ∈ A∗. Dann:

z.z.: ϕ ◦ cu ◦ ϕ−1

︸︷︷︸

=cϕ(u)

∈ Inn(A)

Dazu:

(ϕ ◦ cu ◦ ϕ−1

)(x)

Bemerkung 2(1)= ϕ(u · ϕ−1(x) · u−1)

ϕ ∈ Aut(A)= ϕ(u) · ϕ(ϕ−1(x))

︸︷︷︸

=x

·ϕ(u)−1

Bemerkung 2(1)= cϕ(u)(x)


Definition 4: (Außere Automorphismengruppe)K Korper, A K-Algebra. Dann:

Out(A) := Aut(A)/Inn(A) heißt außere Automorphismengruppe von A

Bemerke: Die außere Automorphismengruppe lasst sich auch analog fur eine Gruppe G (anstelleder K-Algebra A) definieren.

Beispiele 5:(1): K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Dann gilt (nach dem Zusatz aus Lemma 3):

Out(A) = {1}

(2): K Korper, A K-Algebra, A kommutativ. Dann gilt:

Inn(A) = {1} und Out(A) = Aut(A)

Definition 6: (Involution, Antihomomorphismus)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K, τ : A −→ A K-linear. Dann:

(1): τ heißt Involution auf A :⇐⇒ τ(τ(x)) = x ∀x ∈ A

(2): τ heißt Antihomomorphismus :⇐⇒ ∀x, y ∈ A : τ(x · y) = τ(y) · τ(x)

Bemerke: τ : A −→ Aop ist ein Homomorphismus.

Lemma 7:K Korper, A Azumaya-Algebra uber K, τ, τ ′ : A −→ A zwei Antihomomorphismen. Dann gilt:

∃u ∈ A∗ : τ ′ = cu ◦ τ

wobei cu die Abbildung aus Bemerkung 2(1) ist.

Beweis: (Lemma 7)τ ′ ◦ τ−1 ist ein gewohnlicher Automorphismus. Skolem-Noether: τ ′ ◦ τ−1 ∈ Inn(A).


Bemerkung 8:(1): K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

(i): ∃ τ : A −→ A Antihomomorphismus

(ii): A ∼= Aop

(iii): [A]2 = 1 = [K] (in Br(K))

(2): K Korper, A, B, C drei Azumaya-Algebren uber K. Dann gilt:

A⊗K C ∼= B ⊗K C =⇒ A ∼= B (Kurzungsregel)

Beweis: (Bemerkung 8)zu(1):A ∼= Aop. Dann gilt:

A⊗K A ∼= A⊗K Aop ∼= EndK(A) ∼= Mn(K)

A⊗K A ∼= A⊗K Aop. Dann gilt:

=⇒ A ∼= Aop

zu(2):

A⊗K C ∼= B ⊗K C =⇒ A⊗K C ⊗K Cop ∼= B ⊗K C ⊗K Cop =⇒ A ∼= B

Satz 9:K Korper, A Azumaya-Algebra uber K. Dann gilt:

A ∼= Aop ⇐⇒ ∃ τ : A −→ A Involution auf A


Lemma 10:K ein Korper, B ∈Mn(K) mit det(B) 6= 0 und BT = +B (oder BT = −B). Dann ist die Abbildung

τB : Mn(K) −→Mn(K) mit τB(x) := BxT B−1

eine Involution auf Mn(K).

Beweis: (Lemma 10)

τB(τB(x))Def. v. τB= B(BxT B−1)T B−1 = B(B−1)T (xT )T BT B−1

Wir machen nun eine Fallunterscheidung:1. Fall: BT = +B


Dann ist (B−1)T = B−1 und wir erhalten:

τB(τB(x)) = BB−1xBB−1 = x

Damit ist τB eine Involution.2. Fall: BT = −BDann ist (B−1)T = (−B)−1 = −(B−1) und wir erhalten:

τB(τB(x)) = −BB−1x · (−BB−1) = x

Damit ist τB eine Involution.

Satz 11:K Korper, τ : Mn(K) −→Mn(K) Involution auf Mn(K). Dann gilt:

∃B ∈ GL(n, K) mit BT = +B oder BT = −B : τ = τB

Bemerke:

τB = τB′ ⇐⇒ ∃ a ∈ K∗ : B′ = a ·B

Beweis: (Satz 11)Gegeben sei ein Antihomomorphismus τ , dann gilt nach dem Satz von Skolem-Noether in Satz 22.1:

∃B ∈ GL(n, K) : τ(x) = BxT B−1

Wann ist τ nun eine Involution?

τ(τ(x)) = B(BxT B−1)T B−1 = (B(B−1)T )x(BT B−1) = (B(BT )−1)︸︷︷︸

=:C

x (B(BT )−1)−1

︸︷︷︸

=C−1

Dann:

τ Involution =⇒ x = CxC−1 =⇒ C ∈ K∗ ·

1 0. . .

0 1

Definition 12: (Menge der τ-symmetrischen Elemente)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K, τ : A −→ A Involution auf A. Dann:

Aτ := {x ∈ A | τ(x) = x} heißt Menge der τ -symmetrischen Elemente von A


Satz 13: (Zentralisatorsatz)K Korper, A Azumaya-Algebra uber K, B ⊂ A Unteralgebra von A, B einfach. Dann gilt:

ZA(ZA(B)) = B

Falls B zusatzlich zentral ist, so gilt:

(1): ZA(B) ist eine Azumaya-Algebra uber K

(2): Die Abbildung

ϕ : ZA(B)⊗K B −→ A mit ϕ(x⊗ b) = xb

ist ein K-Algebrenhomomorphismus.


Speziell wenn B in Satz 13 ein Korper L ist, gilt das folgende Lemma:

Lemma 14:K Korper, L ⊃ K Korpererweiterung von K, A Azumaya-Algebra uber K, L ⊂ A (als Unteralge-bra). Dann gilt:

(1): A⊗K L ∼= ZA(L)⊗L Mn(L)

(2): A⊗K L ist Azumaya-Algebra uber L

wobei n = dimKL. Insbesondere gilt:

(i): ZA(L) ist eine Azumaya-Algebra uber L

(ii): [A⊗K L] = [ZA(L)] (in Br(L))

Beweis: (Lemma 14)zu(1): ohne Beweiszu(2): Sei A eine Azumaya-Algebra und L einfach. Dann gilt:

A⊗K L ist einfach

Also bleibt die Zentralitat zu zeigen:

Z(A⊗K L) = Z(A)︸︷︷︸

=K

⊗K Z(L)︸︷︷︸

=L

= L

Lemma 15:K Korper, A Azumaya-Algebra uber K mit gradKA = n, τ : A −→ A Involution auf A. Dann gilt:

dimKAτ =

{n(n+1)

2 , falls antisymmetrischn(n−1)

2 , falls symmetrisch


Beweis: (Lemma 15)Sei o.B.d.A. A = Mn(K) (nach Ubergang K −→ K andert sich die Dimension nicht).Bemerke: τ : A −→ A Involution, L ⊃ K Korpererweiterung von K. Dann gilt:

τ ⊗ idL︸︷︷︸

=:τL

: A⊗K L︸︷︷︸

=:AL

−→ A⊗K L︸︷︷︸

=:AL

(AL)τL = (Aτ )⊗K L

Mit Skolem-Noether wissen wir wie τ aussieht. Dazu bestimmen wir

AτB = {x ∈ A | BxT B−1 = x} = {x ∈ A | BxT = xB}BT = ±B

= {x ∈ A | (±BT )x = xB} = {x ∈ A | ±(xB)T = xB}

=

{

{x ∈ A | xT = x} ·B−1 =⇒ dimKAτB = n(n+1)2

{x ∈ A | xT = −x} ·B−1 =⇒ dimKAτB = n(n−1)2

Definition 16: (Orthogonale Involution, Symplektische Involu-tion)K Korper mit char(K) 6= 2, A Azumaya-Algebra uber K, τ : A −→ A Involution auf A. Dann:

(1): τ heißt orthogonal :⇐⇒ dimKAτ =n(n + 1)

2

(2): τ heißt symplektisch :⇐⇒ dimKAτ =n(n− 1)

2


Bemerkung 17:(1): K Korper A Azumaya-Algebra uber K, τ, τ ′ : A −→ A Involutionen auf A. Dann gilt:

(i): ∃B ∈ A mit τ(B) = +B oder τ(B) = −B : τ ′(x) = Bτ(x)B−1

(ii): B ∈ A mit τ(B) = +B oder τ(B) = −B =⇒ τB(x) = Bτ(x)B−1 ist eine Involution

auf A

(2): K Korper, A Azumaya-Algebra uber K, τ : A −→ A Involution auf A, B ∈ A, τB : A −→ Amit τB(x) = Bτ(x)B−1. Dann gilt:

(i): τ(B) = +B =⇒

τ, τB beide orthogonal

oder

τ, τB beide symplektisch

(ii): τ(B) = −B =⇒

τ orthogonal und τB symplektisch

oder

τ symplektisch und τB orthogonal

(3): K Korper mit char(K) 6= 2, A Quaternionen-Algebra, τ : A −→ A mit τ(x) = x (komplexeKonjugation). Dann gilt:

(i): τ ist eine Involtion auf A

(ii): τ ist symplektisch

(iii): τ ist die einzige symplektische Involution auf der Quaternionen-Algebra A

(4): K Korper, A, A′ zwei Azumaya-Algebren uber K, τ : A −→ A Involution auf A, τ ′ : A′ −→ A′

Involution auf A′. Dann gilt:

τ ⊗ τ ′ : A⊗K A′ −→ A⊗K A′ ist eine Involution auf A⊗K A′

Falls wir von τ und τ ′ wissen ob sie jeweils entweder orthogonal oder symplektisch sind, was ist indiesem Fall dann τ ⊗ τ ′?

Bemerkung 18:K Korper. Wir betrachten fur A = M2(K) die komplexe Konjugationsabbildung

τ0 : M2(K) −→M2(K) mit

(a bc d

)

7−→(

d −b−c a

)

Dann ist:(

a bc d

)

︸︷︷︸

=x

7−→(

d −b−c a

)

︸︷︷︸

=x

=

(0 1−1 0

)

︸︷︷︸

=B

(a cb d

)

︸︷︷︸

xT

(0 −11 0

)

︸︷︷︸

=B−1

wobei B ∈M2(K). Somit gilt BT = −B, also ist τ0 (nach Lemma 10) eine Involution auf M2(K).


Lemma 19:K Korper, B K-Algebra. Betrachte die zwei Algebrenhomomorphismen

λ : B −→ EndK(B) mit b 7−→ λ(b) := (x 7−→ b · x)

und

ρ : Bop −→ EndK(B) mit b 7−→ ρ(b) := (x 7−→ x · b)

Dann gilt:

ZEndK(B)(λ(B)) = ρ(Bop)

Beweis: (Lemma 19)⊇:

λ(b) · ρ(b′) = ρ(b′) · λ(b) (in EndK(B))

Dies folgt aus der Assoziativitat von B:

b(xb′) = (bx)b′

⊆: Sei

ϕ : B −→ B K-linear mit ϕ · λ(b) = λ(b) · ϕ ∀ b ∈ B

d.h.

ϕ(b · x) = b · ϕ(x)

Mit x = 1 gilt also:

ϕ(b) = b · ϕ(1)

d.h.

ϕ = ρ(ϕ(1))

Bemerkung 20:(1): Falls B in Lemma 19 zusatzlich kommutativ ist, so gilt:

λ(b) = ρ(b)

(2): Falls B in Lemma 19 zusatzlich eine Azumaya-Algebra uber K ist, so gilt:

(i): B ⊗K Bop ∼= EndK(B)

(ii): ZB⊗KBop(B ⊗K K) = Z(B)︸︷︷︸

B Azumaya-Alg.= K

⊗KBop (= K ⊗K Bop)

Beweis: (Bemerkung 20)zu (1): ohne Beweis


zu (2):(i): Man betrachte die Abbildungen

(B ⊗K 1)←→ λ(B)

(1⊗K B)←→ ρ(B)

(ii): ohne Beweis

Definition 21: (Restriktion)K Korper, L ⊃ K Korpererweiterung. Dann:

τL/K : Br(K) −→ Br(L) mit [A] 7−→ τL/K([A]) := [A⊗K L] heißt Restriktion

Bemerke: τL/K ist im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv.

Lemma 22:K Korper, L ⊃ K Korpererweiterung von K, τL/K wie in Definition 21. Dann gilt:

τL/K ist ein Gruppenhomomorphismus

Beweis: (Lemma 22)

τ([A]) · τ([B]) = [A⊗K L] · [B ⊗K L] = [(A⊗K B)⊗K L] = τ([A⊗K B]) = τ([A] · [B])

LITERATUR A

Literatur

[1] KERSTEN, I.: Brauergruppen. Internetskript, 3. Marz 2005

[2] WIKIPEDIA: www.wikipedia.de. Internet: Mathematisches Lexikon

Index

AAdjungierte von einem Endomorphismus 83adjungierte Matrix 7adjungierter Operator 8Algebra 48

antikommutativ 71Außere-Algebra, Graßmann-Algebra 61assoziative 53, 54Azumaya-Algebra 116, 117Clifford-Algebra 85einfache 98Entgegengesetzte-Algebra 96Graduierte-Algebra 67halbeinfache 109Null-Algebra 55Oppositionelle-Algebra 96Quaternionen-Algebra 2, 55superkommutativ 71Symmetrische-Algebra 54Tensoralgebra50zentrale 112

Algebrenhomomorphismus 46anisotrop 20Annihilator 110Antihomomorphismus 92, 126antikommutieren 2Ahnlichkeitsklasse 117Ahnlichkeitsrelation 117Außere-Algebra 59

Graduierung 68universelle Eigenschaft 60

außere Automorphismengruppe 126außere Potenz, n-fache 59außeres Produkt 80Azumaya-Algebra 112, 113

ahnliche 117Grad 120Index 120Kurzungsregel 127

Bbilinear, R-bilinear 22Bilinearform 12

alternierend 12antisymmetrisch 12Determinante 13Diagonalform 25Dimension 16einer quadratischen Form 14

Einschrankung 18entartete 13isomorphe 13orthogonales Komplement 17orthogonale Summe 18Radikal 25Reduktion 25regulare 13schiefsymmetrisch 12symmetrisch 12

Brauergruppe 117Gruppenstruktur 118

Ccharakteristisches Polynom 6Clifford-Algebra 83

gerader Teil 84Graduierung 83Transposition 87ungerader Teil 84universelle Eigenschaft 84zweite Clifford-Algebra 84

DDachprodukt 80darstellende Matrix 12Diagonalform 25Dimesionsformel (Tensorprodukt) 34direkter Limes 44

EEinheitskreislinie 72Einheitswurzel, n-te 30

primitive 30Einheitswurzelkorper, n-ter 30Endomorphismus 80entartet 13Entgegengesetzte-Algebra 94Exponentialfunktion 72

FFunktion

alternierende 61symmetrische 58

Funktor 57G

Graduierte-Algebra 65graduierter Bestandteil 65Graduierung 65, 65

Außere-Algebra 68Clifford-Algebra 83Symmetrische-Algebra 68

B

INDEX C

Tensoralgebra 68Graßmann-Algebra 59


HHamilton-Regeln 1homogener Bestandteil 66homogenes Element 65Homomorphismus

von Algebren 46Antihomomorphismus 92, 126von Moduln 22von Ringen 46

hyperbolische Ebene 18hyperbolischer Raum 18

IIdeal 21

Linksideal 21minimales 97nilpotentes 107Rechtsideal 21zweiseitiges 21

idepotentes Element 109innerer Automorphismus 125Involution 92, 126

orthogonale 130symplektische 130

isomorphe Bilinearformen 13Isomorphieklassen von Schiefkorpern 118isotrop 20

JK

Ketten-Lemma 5Korpernorm 11Konjugation 8, 26Kreisteilungskorper, n-ter 30Kreisteilungspolynom, n-tes 31

Llinear, R-linear 22

MModul 22

einfacher 96endlicher 34freier 34invertierbarer 70Linksmodul 22Rechtsmodul 22Untermodul 22

Modulhomomorphismus 22Modulstruktur 22

Z-Modulstruktur 35

Mobiusband, Mobiusschleife 72multilinear, R-multilinear 22

NNorm

einer quadratischen Form 26Korpernorm 11

Normeigenschaften 27Nullraum 25

OOppositionelle-Algebra 94oppositioneller Ring 94orthogonales Komplement

einer Bilinearform 17einer quadratischen Form 17

orthogonale Summeeiner Bilinearform 18einer quadratischen Form 18

PPauli-Matrizen 3polynomial 15Potenzreihenring 97projektive lineare Gruppe 122

Qquadratisch abgeschlossen 91quadratische Form 14

binare 16Determinante 16Dimension 16Einschrankung 18isotrope 20orthogonales Komplement 17orthogonale Summe 18regulare 15

Quadratklassengruppe 13Quaternionen 1Quaternionen-Algebra 2Quotientengruppe 22

RRadikal 25, 107Reduktion 25reduzierte Norm 9reduzierte Spur 9regular

Bilinearform 13quadratische Form 15Unterraum

einer Bilinearform 18einer quadratischen Form 18

Restriktion 133Ring

einfacher 23, 96

INDEX D

oppositioneller 94Ringhomomorphismus 46

SSatz uber

endlich-erzeugte abelsche Gruppen 43Satz von

Cayley-Hamilton 6Merkurjev-Suslin 32Skolem-Noether 93, 122Artin-Wedderburn 102, 108

Schiefkorper 9Spur

einer quadratischen Form 26Spureigenschaften 27Struktursatz von Artin-Wedderburn 102, 108Summe von 2 Quadraten 24Summe von 4 Quadraten 24Summe von n Quadraten 24Symmetrische-Algebra 54


τ -symmetrische Elemente 128symmetrische Potenz, n-fache 54

TTensoralgebra 50


Tensorprodukt 36, 48Dimesionsformel 34Rechenregeln 38universelle Eigenschaft 36, 48Z/2Z-graduiertes 69

Torsion 121U

universelle EigenschaftAußere-Algebra 60Clifford-Algebra 84Symmetrische-Algebra 55Tensoralgebra 52Tensorprodukt 36, 48

Unteralgebra 66Untermodul 22

VWXYZ

Zentralisator 111Zentralisatorsatz 129Zentrum 111zyklische Algebra 32

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