Einfuhrung¨ in die Algebrapage.math.tu-berlin.de/~pohst/algebra2/algscript1712.pdf · Einfuhrung¨...

Einfuhrungin die

Algebra

Vorlesung imSommersemester 2000

Technische Universitat Berlin

gehalten vonProf. Dr. M. Pohst

Inhaltsverzeichnis

0 Vorbemerkungen 2

1 Ringe 31.1 Definition — Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Rechenregeln fur Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Definition — Teilring (Unterring), Oberring (Erweiterungsring) . . . . . . . . . . . 41.3 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Definition — Linksideal, Rechtsideal, Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Definition — Hauptideal, endlich erzeugbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Definition — Summe von zwei Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Definition — Produkt zweier Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10 Satz — Faktorring R/a, Restklassenring R modulo a . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Definition — Ringhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.12 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.13 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.14 Satz — Homomorphiesatz, erster und zweiter Isomorphisatz . . . . . . . . . . . . . 81.15 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.16 Definition — linker (rechter) Nullteiler, nilpotent, Einheit . . . . . . . . . . . . . . 91.17 Definition — Schiefkorper, Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.18 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.19 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.20 Definition — Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.22 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.23 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.24 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.25 Definition — Halbordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.26 Definition — Ordnung, Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.27 Definition — obere Schranke, maximales Element, induktiv geordnet . . . . . . . . 161.28 Zornsches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.29 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.30 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.31 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.32 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.33 Definition — lokaler Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.34 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Quotientenbildung bei kommutativen Ringen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.35 Definition — Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.36 Satz — Charakterisierung von Primidealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.37 Definition — noetherscher Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.38 Satz — Charakterisierung noetherscher Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Teilbarkeit in Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.39 Definition — Integritatring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.40 Definition — Teiler, assoziiert, ggT, teilerfremd, kgV, Primelement, irreduzibel . . 22

ii Inhaltsverzeichnis

1.41 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.42 Definition — Hauptidealring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.43 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.44 Definition — ZPE-Ring, faktorieller Ring, Ring mit eindeutiger Primelementzerlegung 241.45 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.46 Definition — euklidischer Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.47 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Gruppenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.48 Definition — Halbgruppenring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Polynomringe in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.49 Definition — Monome, Grad eines Monoms, ij0 Grad, Leitkoeffizient, normiert . . 291.50 Hilbertscher Basissatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.51 Hilfssatz — R-Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.52 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.53 Definition — algebraisch, transzendent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.54 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.55 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.56 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.57 Satz — Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.58 1. Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.59 Definition — Inhalt, primitiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.60 2. Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.61 Lemma — Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.62 Satz — Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.63 Satz — Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.64 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.65 Korollar — Zerfallungsring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.66 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.67 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.68 Definition — symmetrisch, elementarsymmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . 391.69 Satz — Hauptsatz uber elementarsymmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . 401.70 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.71 Definition — Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.72 Hifssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.73 Satz — Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.74 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.75 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.76 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.77 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.78 Definition — Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Korper 472.1 Definition — Grad einer Korpererweiterung (endlich, unendlich) . . . . . . . . . . 472.2 Gradsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6 Definition — transzendent, algebraisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8 Definition — endlich erzeugt, einfach, primitiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.10 Definition — Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.11 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.12 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.13 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.14 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Inhaltsverzeichnis iii

2.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.16 Definition — Zerfallungskorper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.17 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.18 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.19 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.20 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.21 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.22 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.24 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.25 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.26 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.27 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.28 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.29 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.30 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.31 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.32 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.33 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.34 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.35 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.36 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.37 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.38 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.39 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.40 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.41 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.42 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.43 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.44 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.45 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.46 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.47 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.48 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.49 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.50 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.51 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Galoistheorie 693.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.11 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.13 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.14 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.16 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.18 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Inhaltsverzeichnis 1

3.19 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.20 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Moduln 814.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Moduln uber Hauptidealringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4 Sukzessive Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5 LLL–reduzierte Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Literaturverzeichnis 97

Stichwortverzeichnis 98

Kapitel 0: Vorbemerkungen

Gegenstand der Vorlesung sind die Grundstrukturen:Gruppen, Ringe, Korper.

Herkunft:aljahr (arabisch) bedeutet Erganzung, Ausgleich.⇒ Losung von Gleichungen

Grundproblem: Gegeben Korper K oder Ring R (kommutativ mit Eins) und Polynom f(t) ∈R[t].Frage: Existiert x ∈ R mit f(x) = 0 (Berechnung!) bzw. Problem der Konstruktion eines Er-weiterungskorpers bzw. Oberrings, in dem f eine Nullstelle besitzt.

Beispiel:

(i) R = ZZ, f(t) = t+ 2 hat Nullstelle t = −2.

(ii) R = ZZ, f(t) = 3t+ 2 hat in R keine Nullstelle, wohl aber in Q.

(iii) f(t) = t2 + 1 hat erst in C eine Nullstelle (jedoch auch in ZZ[i]).

(iv) f(t) = t4 − 4t2 + 1 hat Koeffizienten aus ZZ.

Gesucht: Ring R ⊇ ZZ und x ∈ R mit f(x) = 0.

Es wird geeignete Erweiterung gesucht, in der die Gleichung Nullstellen besitzt. Nullstellendurch Wurzeln ausdrucken:

x =√

2 +√

3

Problem:Darstellung der Nullstellen durch Wurzelausdrucke. Dies geht fur Polynome vom Grad ≤ 4, beiPolynomen hoheren Grades dagegen i.a. nicht mehr. (Sn ist fur n ≥ 5 nicht auflosbar!)

Galoistheorie:Gewisse Erweiterungskorper lassen sich gruppentheoretisch beschreiben.

Hauptsatz der Algebra:Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten besitzt eine Wurzel in C.

Anwendungen: Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Kapitel 1: Ringe

1.1 Definition

Eine nicht leere Menge R mit zwei inneren Verknupfungen + (Addition), · (Multiplikation) heißtRing (R,+, ·), falls folgende drei Bedingungen erfullt sind.

(i) (R,+) ist abelsche Gruppe;

(ii) (R, ·) ist eine Halbgruppe;

(iii) es gelten die Distributivgesetze:

x · (y + z) = (x · y) + (y · z),(x+ y) · z = (x · z) + (y · z) ∀x, y, z ∈ R.

Uberdies heißt R kommutativ, falls x · y = y · x ∀x, y ∈ R gilt. R heißt Ring mit Eins, falls (R, ·)Monoid ist.

Bemerkung:Statt (R, x, ·) schreibt man oft kurzer R, statt x · y einfach x y. Vereinbarungsgemaß geht ”Punkt-rechnung vor Strichrechnung”. Das neutrale Element bzgl. + wird als 0 geschrieben. Ein Einsele-ment ist, falls es existiert, stets eindeutig bestimmt.

Beispiel:

(i) (ZZ,+, ·), (Q,+, ·), (IR,+, ·), (C,+, ·) sind kommutative Ringe mit Eins, jedoch auch R ={0} (pathologischer Ring).

(ii) (ZZ/nZZ) ist kommutativer Ring mit Eins (n ∈ IN).

(iii) Die Endomorphismen eines Vektorraums V bilden einen Ring mit Einselement id. Dieser istfur dimV ≥ 2 nicht kommutativ.

(iv) Rn×n ist Matrizenring uber R.

1.1.1 Rechenregeln fur Ringe

Fur x, y ∈ R gilt (vergleiche Lineare Algebra I):

(i) 0x = x 0 = 0,

(ii) (−x) y = −(x y) = x (−y),

(iii) (−x) (−y) = x y,

(iv) (ZZ, R)→ R : (m, x) 7→ mx = x+ . . .+ x︸︷︷︸m-mal

,

ZZ operiert auf jedem Ring mittels (n, x) 7→ nx.

4 Kapitel 1 — Ringe

Statt x+ (−y) schreibt man x− y.Allgemein gilt fur xi, yj ∈ R (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, n, m ∈ IN):

x1 + . . .+ xn =n∑

i=1

xi; x1 · . . . · xn =n∏

i=1

xi;

leere Summe := 0; leeres Produkt := 1, falls 1 ∈ R;(n∑

i=1

xi

) m∑j=1

yj

=n∑

i=1

m∑j=1

xiyj ,

xn =n∏

i=1

x,

xn+m = xn · xm,

(xn)m = xnm,

(x+ y)n =n∑

i=0

(n

i

)xn−iyi

in kommutativen Ringen mit 1.

1.2 Definition

Eine Teilmenge S von (R,+, ·) heißt Teilring (Unterring) von R, falls (S,+, ·) selbst Ring ist. Indiesem Fall heißt R Oberring (Erweiterungsring) von S.

1.3 Hilfssatz

R sei Ring und ∅ 6= S ⊆ R. Dann sind aquivalent:

(i) S Teilring von R,

(ii) SS ⊆ S und S + (−S) ⊆ S.

Beweis:(i) ⇒ (ii): Klar. Beachte

SS = {xy | x ∈ S, y ∈ S},S + (−S) = {x− y | x, y ∈ S}.

(ii) ⇒ (i):

S + (−S) ⊆ S ⇒ (S,+) Gruppe,SS ⊆ S ⇒ (S, ·) Halbgruppe,

denn die Rechenregeln ubertragen sich von R.

2

Beispiele:

(i) Fur n ∈ IN ist nZZ Unterring von ZZ.

(ii) Die Diagonalmatrizen bilden einen Unterring von Rn×n.

Bemerkung: Der Durchschnitt von Teilringen ist Teilring!

Wichtiger als Teilringe sind jedoch Ideale, die in gewisser Weise den Normalteilern in der Grup-pentheorie entsprechen!

1.4 Definition — Linksideal, Rechtsideal, Ideal 5

1.4 Definition

Es sei R ein Ring. a ⊆ R heißt Linksideal (bzw. Rechtsideal) von R, falls gilt:

(i) a ist Untergruppe von (R,+), d.h. a 6= ∅ und a + (−a) ⊆ a.

(ii) ∀a ∈ a ∀x ∈ R : x a ∈ a (bzw. ax ∈ a), d.h. R a ⊆ a (bzw. a ⊇ aR).

a ⊆ R heißt Ideal, falls a sowohl Links- als auch Rechtsideal ist.

Bemerkung:

(i) {0}, R sind stets Ideale von R; Ideale sind Teilringe (Umkehrung i.a. falsch: ZZ ⊂ Q)j furR 3 1 und 1 ∈ a fur ein Links- oder Rechtsideal a von R folgt sofort a = R.

(ii) Der Durchschnitt von (Links- bzw. Rechts-) Idealen ist wieder eins. Zu A ⊆ R existiertfolglich ein kleinstes Ideal, welches A umfaßt, das sogenannte von A erzeugte Ideal (A).

Beispiel:Es sei a ein Ideal von ZZ. Wegen a 6= ∅ und (−a) ⊆ a gilt entweder a = {0}, oder a enthalt einekleinste naturliche Zahl m. Gemaß Division mit Rest gilt, daß m alle Zahlen von a teilt. Also ista = ZZm = mZZ.

1.5 Hilfssatz

Es sei ∅ 6= A ⊆ R, R Ring. Dann besteht (A) aus allen endlichen Summen von Elementen derForm

na, x a, a y, x a y mit a ∈ A, x, y ∈ R, n ∈ ZZ.

Beweis:

(i) Jedes Ideal a mit A ⊆ a enthalt alle in (2.5) angegebenen Elemente.

(ii) Die Menge der in (2.5) angegebenen Elemente ist ein Ideal.

2

1.6 Korollar

Es sei R ein Ring und ∅ 6= A ⊆ R. Dann gilt:

(i) (A) =

{∑endl.

xi · ai · yi

∣∣∣∣∣ xi, yi ∈ R, ai ∈ A

}fur R 3 1;

(ii) (A) =

{∑endl.

xi · ai +∑endl.

mj · bj

∣∣∣∣∣ xi ∈ R, mj ∈ ZZ, ai, bj ∈ A

}fur R kommutativ;

(iii) (A) =

{∑endl.

xi · ai

∣∣∣∣∣ xi ∈ R, ai ∈ A

}fur R kommutativ mit Eins.

Beweis: Unmittelbar klar nach (2.5)!


1.7 Definition

Ein Ideal a eines Ringes R heißt Hauptideal, falls a = (a) fur a ∈ R gilt. a heißt endlich erzeugbar,falls a = (A) mit ]A <∞ gilt.

Beispiel:Alle Ideale in ZZ sind Hauptideale.

Bemerkungen:

(i) R kommutativ ⇒ (a) = Ra+ ZZa;

(ii) R kommutativ mit Eins ⇒ (a) = Ra;

(iii) R kommutativ ohne Eins: In R = 2ZZ ist (2) = 4ZZ + ZZ2 = 2ZZ von 2R = 4ZZ verschieden;

(iv) R 3 1 ⇒ (1) = R.

Arithmetik von Idealen:

1.8 Definition

Die Summe zweier (Links- bzw. Rechts-) Ideale a1, a2 ist definiert durch:

a1 + a2 = {a1 + a2 | a1 ∈ a1, a2 ∈ a2}.

Bemerkung:Die Summe endlich vieler (Links- bzw. Rechts-) Ideale ist wieder eins.Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal. Es gelten:

ai ⊆ ai + . . .+ an (1 ≤ i ≤ n), ai + ai = ai, (A1) + (A2) = (A1 ∪A2).

Beispiel:R = ZZ:Ra+Rb = {xa+ yb | x, y ∈ ZZ} = cZZ mit c = ggT (a, b),Ra ∩Rb = dZZ mit d = kgV (a, b).

1.9 Definition

Das Produkt zweier (Links- bzw. Rechts-) Ideale a1, a2 ist definiert durch:

a1 · a2 =

{∑endl.

a1i a2i | a1i ∈ a1, a2i ∈ a2

}.

Bemerkung:Das Produkt endlich vieler (Links- bzw. Rechts-) Ideale ist wieder eins. Es gelten die Rechenregeln:

a1 (a2a3) = (a1a2) a3, a1 (a2 + a3) = a1a2 + a1a3.

Ist R kommutativ, so gilt a1a2 = a2a1. Sind a1, a2 Linksideale, so gilt a1a2 ⊆ a2; sind a1, a2

Rechtsideale, so gilt a1a2 ⊆ a1, (A1) (A2) = (A1A2) fur R kommutativ.Ist R kommutativer Ring mit Eins und sind a, b ∈ R, so gilt

(i) (a) + (b) = {xa+ yb | x, y ∈ R} = Ra+Rb.

(ii) (a) (b) = (ab), RaRb = R (Ra) b = Rab.

(iii) a ∩ (b + c) ⊇ a ∩ b + a ∩ c mit Gleichheit fur a ⊇ b ∨ a ⊇ c.

(iv) fur a + b = R ist a ∩ b = ab.

1.10 Satz — Faktorring R/a, Restklassenring R modulo a 7

Beweis:

(i) klar.

(ii) klar.

(iii) x ∈ a ∩ b, y ∈ a ∩ c ⇒ x+ y ∈ a, x+ y ∈ b + c.Gilt oBdA a ⊇ b, so ist fur x ∈ a ∩ (b + c) zunachst x = b+ c mit b ∈ b, c ∈ c.Wegen a ⊇ b ist auch b ∈ a und damit c ∈ a, also b ∈ a ∩ b, c ∈ a ∩ c.

(iv) Es ist

(a + b) (a ∩ b) = a (a ∩ b) + b (a ∩ b) ⊆ ab

⊆ a ∩ b,

also (a + b)(a ∩ b) ⊆ ab;

fur a + b = R gilt offenbar Gleichheit.

2

Bemerkung:Ein Beispiel fur a∩ (b + c) ⊃ a∩ b + a∩ c wird im Anschluß an die Einfuhrung von Polynomringenbehandelt.

1.10 Satz

Es sei R ein Ring mit Ideal a. Dann laßt sich R/a mittels

(x+ a) + (y + a) =: (x+ y) + a, (x+ a) (y + a) := xy + a ∀x, y ∈ R

zu einem Ring machen, dem Faktorring R/a oder Restklassenring R modulo a.

Beweis:Zunachst ist (a,+) additive Untergruppe von (R,+), also R/a eine additive Gruppe (vergleiche(1.17)). Wir zeigen: (R/a, ·) ist Halbgruppe. Zunachst ist · innnere Verknupfung. Dazu ist dieWohldefiniertheit nachzuweisen. Fur

x+ a = x+ a, y + a = y + a folgt x− x, y − y ∈ a

und somitxy − xy = (x− x) y + x (y − y) ∈ a,

da a zweiseitiges Ideal ist. Also folgt xy + a = xy + a. Das Assoziativgesetz bzgl. · ubertragt sichvon R. Das gleiche gilt fur die die Distributivgesetze, da ja vertreterweise mit den Idealklassengerechnet wird.

2

Bemerkung:

(i) Fur 1 ∈ R ist 1 + a Einselement von R/a. R kommutativ ⇒ R/a kommutativ.

(ii) Fur x− y ∈ a schreibt man x ≡ ymodulo a (”kongruent”). Hierfur gelten die Regeln:

x ≡ ymodulo au ≡ vmodulo a

}⇒ x

+•u ≡ y+

•vmodulo a.

Fur R = ZZ bedeutet die alte Schreibweise x ≡ y mod n gerade x ≡ ymodulo nZZ, dennsamtliche Ideale von ZZ waren ja als Hauptideale nachgewiesen. Die spezielle Aquivalenzrela-tion ≡ heißt Kongruenzrelation.


1.11 Definition

Es seien R, S zwei Ringe. Unter einem Ringhomorphismus von R nach S versteht man eineAbbildung f : R→ S mit

f(x+ y) = f(x) + f(y), f(x · y) = f(x) · f(y) ∀x, y ∈ R.

Bemerkung:

(i) Fur Ringhomomorphismen f : R → S ist Im f = f(R) Unterring von S, ker f = f−1(0)Ideal in R.

(ii) Ist R ein Ring mit Ideal a, so ist p : R → R/a : x 7→ x + a ein Ringepimorphismus, dersog. kanonische Epimorphismus. Es ist ker p = a.

1.12 Hilfssatz

Eine Teilmenge a eines Ringes R ist genau dann ein Ideal, wenn a Kern eines Ringhomomorphismusist.

1.13 Hilfssatz

Es seien R, S Ringe und f : R→ S ein Ringhomomorphismus. Dann gilt:

(i) Ist b ein Ideal in S, so ist f−1(b) Ideal in R, f−1(b) ⊇ ker f .

(ii) Ist a Ideal in R und f surjektiv, so ist f(a) Ideal in S.

Beweis:Gemaß (1.16) gelten die Aussagen bzgl. +.

(i) Es sei s = f(r) ∈ b und x ∈ R. Dann ist

f(xr) = f(x) f(r) ∈ b,

also mit r auch xr ∈ f−1(b).

(ii) Es sei y = f(x) mit x ∈ a und z ∈ S. Dann ist z = f(r) fur ein r ∈ R und somit

zy = f(r) f(x) = f(rx) ∈ f(a).

2

1.14 Satz

Es seien R, S zwei Ringe.

(i) (Homomorphiesatz)Ist f : R→ S ein Ringhomomorphismus, dann gilt

R/ kerϕ ∼= ϕ (R).

(ii) (Erster Isomorphiesatz)Ist U Unterring und a Ideal von R, so gilt

(U + a)/a ∼= U/U ∩ a.

(iii) (Zweiter Isomorphiesatz)Fur Ideale a, b von R mit a ⊆ b ist b/a Ideal von R/a, und es gilt

(R/a)/(b/a) ∼= R/b.

Beweis: Siehe Ubungsblatt 6.

1.15 Hilfssatz 9

1.15 Hilfssatz

Es sei a ein Ideal des Ringes R. Die Mengen

I(a) := {b | b Ideal von R mit b ⊇ a}

undJ(a) := { b | b Ideal von R\a}

werden dann mittels ψ : I(a)→ J(a) : b 7→ b/a bijektiv aufeinander abgebildet.

Beweis:Nach (2.14)(iii) ist ψ eine Abbildung von I(a) in J(a). Fur

ψ (b1) = ψ (b2) folgt b1 = b1 + a = b2 + a = b2,

also ist ψ injektiv. Ist schließlich b Ideal von J(a), so ist p−1( b) ein Ideal von R, welches a umfaßt,also in I(a) liegt. Hierfur gilt ψ (p−1( b)) = b nach Konstruktion.

2

1.16 Definition

Es sei R ein Ring. 0 6= a ∈ R heißt linker (rechter) Nullteiler, falls b ∈ R mit a b = 0 (b a = 0)fur ein 0 6= b ∈ R existiert. x ∈ R heißt nilpotent, falls m ∈ IN mit xm = 0 existiert. Fur 1 ∈ Rheißt e ∈ R Einheit (invertierbar), falls e in R ein Linksinverses und ein Rechtsinverses besitzt.U(R) = R× bezeichnet die Menge der Einheiten von R.

Bemerkung:

(i) e Einheit ⇒ e−1 existiert eindeutig.

Seiae = eb = 1 ⇒ a = a · 1 = a (eb) = (ae) b = 1 · b = b.

Fur ae = ea = 1 und be = eb = 1 folgt

a = a · 1 = a (eb) = (ae) b = 1 · b = b.

(Vergleiche Gruppentheorie)

(ii) Die Elemente von R, welche keine Nullteiler sind, bilden eine Halbgruppe. Es seien a, b keineNullteiler; ist dann x ∈ R mit abx = 0 so folgt

a (bx) = 0 ⇒ bx = 0 ⇒ x = 0.

(iii) Einheiten sind keine Nullteiler und bilden folglich eine multiplikative Untergruppe von R.

e ∈ R×, x ∈ R : ex = 0 ⇒ e−1ex = 0 ⇒ 1 · x = x = 0.

Beispiele:Bestimme Einheiten, Nullteiler und nilpotente Elemente inZZ/12ZZ, ZZ, Kn×m, R = {0}.

(i) 0 6= x ∈ R nilpotent ⇒ x Nullteiler.

0 = xm =(xm−1

)x = x

(xm−1

), wahle m minimal!


(ii) ZZ/12ZZ = { i | 0 ≤ i ≤ 11}

jm ?= 0 ⇒ jm ≡ 0 mod 12 (12 = 4 · 3) ⇒ j = 0 ∨ 6

Nilpotente Elemente: 0, 6

Nullteiler: 6, 2, 4, 8, 10, 3, 9

Einheiten: 1, 5, 7, 11 ( 1 = 52 = 72 = 112)

(iii) R = ZZ

Nilpotente Elemente: 0,

Nullteiler: keine,

Einheiten: ±1.

(iv) Kn×n

Nilpotente Elemente sind z.B. alle oberen 4-Matrizen mit 0-Diagonale,

Nullteiler: alle singularen Matrizen,

Einheiten: GL (n, K).

1.17 Definition

Ein Ring R mit 1 6= 0 heißt Schiefkorper, falls R× = R\{0} ist. Ist R kommutativ, so heißt RKorper.

1.18 Hilfssatz

Ein Ring R ist genau dann ein Schiefkorper, wenn (R\{0}, ·) Gruppe ist.

Beweis:⇒: per Definition

⇐:R\{0} enthalt Eins e mit 0e = e0 = 0. Also ist R× = R\{0}.

2

Beispiele:

(i) Korper: Q, IR, (ZZ/nZZ) mit n ∈ IP.

(ii) Schiefkorper: IR + IRi+ IRj + IRk Quaternionen (als IR-Vektorraum)

Bemerkung:

(i) R Ring mit Eins, a Ideal von R mit a∩R× 6= ∅. Dann ist a = R; denn zu a ∈ a∩R× existierta−1 ∈ R und a−1a ∈ Ra = a, also 1 ∈ a und R = R 1 ⊆ a.

(ii) Ein Schiefkorper R enthalt nur die Ideale {0} und R.

(iii) Ist K ein Schiefkorper und ϕ : K → R ein Ringhomomorphismus, so ist ϕ = O oder ϕinjektiv.

(iv) Es gibt keine endlichen Schiefkorper! (ohne Beweis)

1.19 Hilfssatz 11

1.19 Hilfssatz

(i) Es sei R ein Ring. Ist a ∈ R kein Nullteiler, so gilt:

ax = ay ⇒ x = y; xa = ya ⇒ x = y ∀x, y ∈ R.

(ii) Ein endlicher nullteilerfreier Ring R 6= {0} ist ein Schiefkorper.

Beweis:

(i) a (x− y) = 0 ⇒ x− y = 0 ⇒ x = y; (x− y) a = 0 ⇒ x− y = 0 ⇒ x = y.

(ii) Zeige: (R\{0}, ·) ist Gruppe.

Fur x ∈ R, x 6= 0, betrachte ϕx : R\{0} → R\{0} : a 7→ xa. ϕx ist injektiv (nach (i)), alsowegen R endlich auch surjektiv. Dasselbe gilt fur ψx : a 7→ ax. Zu a, b ∈ R\{0} existierenfolglich eindeutig x, y ∈ R\{0} mit b = ax = ya. Gemaß (1.5) ist R× = R\{0} Gruppe.

2

1.20 Definition

Es sei R ein Ring mit 1 6= 0. Existiert dann eine kleinste naturliche Zahl n mit n 1 = 0, so heißt ndie Charakteristik χ (R) von R. Existiert kein solches n, setzt man die Charakteristik χ (R) zu 0fest.

Beispiele:χ (ZZ) = 0, χ (ZZ/nZZ) = n.

1.21 Satz

Die Charakteristik eines nullteilerfreien unitaren (R 3 1 6= 0) Rings R ist 0 oder eine Primzahl p.Im letzten Fall gilt px = 0 ∀x ∈ R, sowie kx = R (k, p)x.

Beweis:Es sei R Ring mit χ (R) 6= 0 und n ∈ IN die kleinste naturliche Zahl mit n1 = 0, also spezielln ≥ 2. Ist n keine Primzahl, so gilt n = pq mit p, q ∈ ZZ≥1, p < n, q < n und somit

0 = n1 = pq1 = (p1) (q1).

Da R nullteilerfrei ist, erhalt man p1 = 0 oder q1 = 0 im Widerspruch zur Minimalitat von n.Nunmehr ist 0 = n1, also auch

nx = n (1x) = (n1)x = 0x = 0 ∀x ∈ R.

2

Bemerkung:Der Durchschnitt von Schiefkorpern ist wieder einer. Also enthalt jeder Schiefkorper einen kleinstenTeilkorper, den sogenannten Primkorper.


1.22 Satz

Der Primkorper eines Schiefkorper K ist isomorph zu Q (fur χ (K) = 0) oder zu ZZ/LpZZ fur einePrimzahl p (fur χ (K) = p).

Beweis:In K gilt 1 6= 0. Der Primkorper von K umfaßt daher alle Elemente der Form m1 (m ∈ ZZ). Furχ (K) = 0 sind diese alle ungleich 0 fur m 6= 0. Also existiert (m1)−1 und damit (m1) (n1)−1 imPrimkorper. Setze

P := {(m1) (n1)−1 | m ∈ ZZ, n ∈ ZZ, n 6= 0}.

Es gilt:

(m1) (n1)−1 = (n1)−1(m1) wegen (n1) (m1) = (m1) (n1) = (mn) 1,(mn1)−1 = (m1)−1(n1)−1.

Also ist P Korper, der im Primkorper enthalten ist, folglich gleich dem Primkorper.

ϕ : Q → P :m

n7→ (m1) (n1)−1

ist dann ein Ringisomorphismus.Fur χ (K) = p, p Primzahl, ist p1 = 0. Fur x = k1 (1 ≤ k < p) existiert (Euklidischer Algorithmusin ZZ) ein l ∈ ZZ mit k · l ≡ 1 mod p, also (k1) (l1) = 1 in K. Setze

P := {k1 | 0 ≤ k < p, k ∈ ZZ}.

Dies ist bereits der Primkorper von K.

ϕ : (ZZ/pZZ)→ P : k + pZZ 7→ k1

ist Ringisomorphismus! (ϕ ist wohldefiniert wegen (k + pm) 1 = k1 + p1m1 = k1.)

2

Wie bei Gruppen kann man fur Ringe außere Produkte (Summen) erklaren.

Sind R1, . . . , Rn Ringe, so wird R1 × . . .×Rn =:n∏

i=1

Ri = R zu einem Ring mittels

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + x2, . . . , xn + yn),(x1, . . . , xn) · (y1, . . . , yn) = (x1y1, . . . , xnyn).

(Vergleiche Eigenschaften bei Gruppen, speziell ist εi(Ri) = (0, . . . , 0, Ri, 0, . . . , 0) Ideal von R.Schreibweise: R1 ⊕ . . .⊕Rn.)Ist andererseitsR ein Ring mit Idealen a1, . . . , an, so heißtR (innere) direkte Summe von a1, . . . , an,falls

R = a1 + . . .+ an und Rai ∩n∑

j=1j 6=i

aj = {0}

ist (vgl. (1.23)). (Schreibweise: R = a1

.+ . . .

.+ an)

Ein Element e ∈ R mit e 6= 0 und e2 = e heißt Idempotente von R. Zwei Idempotente e, f heißenorthogonal, falls ef = fe = 0 ist.

Beispiel:R = ZZ/6ZZ. Es gilt: R =< 3 + 6ZZ >

.+ < 4 + 6ZZ >.

Hierin sind e1 = 3 + 6ZZ und e2 = 4 + 6ZZ Idempotente. Wir haben hier eine Zerlegung der Einsin orthogonale Idempotente: 1 + 6ZZ = (3 + 6ZZ) + (4 + 6ZZ).

Bemerkung:

1.23 Hilfssatz 13

Ringe R mit 1 ∈ R haben mit einer Idempotenten e 6= 1 stets eine weitere: 1− e. Es gilt

1 = e+ (1− e),

(1− e)2 = 12 − 1 · e− 1 · e+ e2

= 1− e− e+ e

= 1− e.

1− e und e sind orthogonale Idempotente wegen

e (1− e) = e− e2 = 0 = (1− e) e.

Somit giltR = R 1 = R (e+ (1− e))& ⊆ &Re+R (1− e).& ⊆ &R

, also uberall Gleichheit.

Beachte: Orthogonale Idempotente sind Nullteiler.

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 6= 0. Zwei Ideale a, b von R mit a+b = R heißen komaximal.Speziell existieren e ∈ a, f ∈ b mit e+f = 1. (Allerdings wird nicht gefordert, daß e, f orthogonaleIdempotente sind.)

Beispiel: R = ZZ, m, n ∈ ZZ teilerfremd⇒ mZZ+nZZ = ZZ und mu+nv = 1 fur passende u, v ∈ ZZ.

1.23 Hilfssatz

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 6= 0. Dann gilt fur Ideale a, a1, . . . , an, b1, . . . , bn mitai + aj = R(ai, aj komaxial)(1 ≤ i < j ≤ n), a + bi = R (1 ≤ i ≤ n):

(i) a + b1 · . . . · bn = R,

(ii) a1 · . . . · an = a1 ∩ . . . ∩ an.

Beweis:

(i)

R = Rn

=n∏

i=1

(a + bi) (wegen 1 ∈ R)

= a (an−1 + . . .) + b1 · . . . · bn (R kommutativ)⊆ a + b1 · . . . · bn

⊆ R,

also muß uberall Gleichheit gelten.

(ii) Beweis per Induktion uber n.

n = 1: Klar.

n = 2: vgl. Beweis zu Bem. (iv) auf Seite 45.

n→ n+ 1:

a1 · . . . · an+1 = (a1 · . . . · an) an+1

(∗)= (a1 · . . . · an) ∩ an+1

Ind. Vor.=n+1⋂i=1

ai

(∗): Per Induktionsvoraussetzung fur n = 2 und (i).


1.24 Chinesischer Restsatz

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Dann gilt fur paarweise komaximale Ideale ai (1 ≤ i ≤ n)(d.h. ai + aj = R (1 ≤ i < j ≤ n)):

R/a1 · . . . · an∼=

n∏i=1

R/ai

Losung simultaner Kongruenzen:

Suche alle x mit

x ≡ 2 mod 5, a1 = 5ZZx ≡ 4 mod 11, a2 = 11ZZx ≡ 7 mod 12, a3 = 12ZZ

oder “ewiger Kalender”.

Beweis:Betrachte Abbildung

φ : R→n∏

i=1

R/ai : x 7→ (x+ a1, . . . , x+ an).

Offensichtlich ist φ ein Ringhomomorphismus mit ker φ = a1 ∩ . . .∩ an = a1 · . . . · an. Es bleibt “φsurjektiv” zu zeigen, dann folgt die Behauptung aus dem Homomorphiesatz fur Ringe (2.14)(i).Nach Voraussetzung existieren eij ∈ ai, eji ∈ aj mit 1 = eij + eji (1 ≤ i < j ≤ n). Setze

ei :=n∏

j=1j 6=i

eji (1 ≤ i ≤ n).

ei ≡{

0 mod aj

1 mod ai (j 6= i).

Ist dann (x1 + a1, . . . , xn + an) ∈n∏

i=1

R/ai vorgelegt, so ist dies Bild von x =n∑

i=1

xi ei. Denn fur ei

gilt ei ∈ aj (1 ≤ j ≤ n, j 6= i),

ei ≡{

1 mod ai

0 mod aj (j 6= i) .

2

R/(a1 · . . . · an) = un

i=1

(R/(a1 · . . . · an)

)ei∼= R/a1 ⊕ . . . ⊕R/an.

Bemerkung:Der Satz sagt aus, daß sich simultane Kongruenzen nach komaximalen Idealen stets losen lassen.Er beschreibt die Losungsmenge und gibt sogar ein (konstruktives) Verfahren zu ihrer Bestimmungan. (”Zerlegung der Eins in orthogonale Idempotente”).

Newton-Verfahren

Eine explizite Berechnung des Urbildes von (x1 + a1, · · · , xn + an) ist allerdings schneller moglichmit dem folgenden Verfahren, welches der Newton-Interpolation ahnelt.Setze

ei :=i−1∏j=1

eji (1 < i ≤ n)

1.25 Definition — Halbordnung 15

ahnlich zum Beweis sowie y1 = x1 und iterativ yk+1 = yk + (xk+1 − yk)ek+1 (1 ≤ k < n).Dann leistet x = yn das Gewunschte.

Beispiel:Lose x ≡ 2 mod 5, x ≡ 4 mod 11, x ≡ 7 mod 12.1. Losungmoglichkeit: Raten.2. Losungmoglichkeit: per (2.38)!a1 = 5ZZ, a2 = 11ZZ, a3 = 12ZZ, R = ZZ.ai + aj = R, eij + fij = 1 mit eij ∈ ai und fij ∈ aj .

i 1 1 2 2 3 3j 2 3 1 3 1 2

eij −10 25 11 −11 −24 12fij 11 −24 −10 12 25 −11

,e1 = f12 f13 = −264e2 = f21 f23 = −120e3 = f31 f32 = −75

.

Gesucht sind u, v mit u · 5 + v · 11 = 1 ⇒ 1 = −2 · 5 + (+11) = 5 · 5− 2 · 12 = −11 + 12.

x = x1e1 + x2e2 + x3e3

= −2 · 264− 4 · 120− 7 · 275= −528− 480− 1925= −2933;

das Ergebnis ist modulo 5 · 11 · 12 = 660 eindeutig, also ist die kleinste positive Losung 367, diebetraglich kleinste Losung −293.Gesamtlosung ist 367 + 660ZZ.

Nach dem Newton Verfahren verlauft die Berechnung wie folgt:e1 = 1, e2 = −10, e3 = −275,y1 = 2, y2 = 2 + (4− 2)(−10) = −18,y3 = −18 + (7− (−18))(−275) = −6893 ≡ −293 mod 660.

1.25 Definition

Es sei M eine nicht leere Menge. Eine Relation ≤ auf M heißt Halbordnung, falls die Bedingungen

(i) x ≤ x

(ii) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y

(iii) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

∀x, y, z ∈M erfullt sind.

Beispiele:

(i) (ZZ,≥ 0), (IR,≥ 0), lexikographische Ordung im IRn;

(ii) (C, | |) erfullt (i), (iii) aber nicht (ii);

(iii) P (M) mit ⊆:

M = {1, 2} hat P (M) = {∅, {1}, {2}, M}.∅ ⊆ {1} ⊆M, ∅ ⊆ {2} ⊆M . {1} ist in {2} nicht enthalten.

1.26 Definition

Es sei M eine nicht leere Menge. Eine Halbordung ≤ auf M heißt Ordnung, falls fur alle x, y ∈Mstets x ≤ y oder y ≤ x gilt. In diesem Fall heißt M Kette.

Beispiel:(IR,≥), nicht aber (C, | |).


1.27 Definition

Es sei M 6= ∅ und ≤ eine Halbordnung auf M . Fur A ⊆ M heißt s(A) ∈ M obere Schranke vonA, falls x ≤ s(A) ∀a ∈ A gilt. Fur A ⊆ M heißt m(A) ∈ A maximales Element von A, falls ausa ∈ A und m(A) ≤ a stets a = m(A) folgt. Eine Teilmenge X von M heißt induktiv geordnet,falls jede Kette in X eine obere Schranke in X (!) besitzt.

Beispiel:A = {{1}, {2}, ∅} ⊆ P ({1, 2});Es ist s(A) = {1, 2}; sowohl {1} als auch {2} sind maximale Elemente von A.

1.28 Zornsches Lemma

Jede nicht leere induktiv geordnete Menge besitzt ein maximales Element.

1.29 Definition

Es sei R Ring mit Ideal a. a heißt maximal, falls es kein Ideal b mit a ⊂ b ⊂ R gibt.

1.30 Satz

Es sei V ein Vektorraum uber dem Korper K und M ⊆ V linear unabhangig. Dann existiert eineBasis B von V mit M ⊆ B.

Beweis:Es bestehe Q ⊆ P (V ) aus allen linear unabhangigen Teilmengen von V , die M enthalten. WegenM ∈ Q folgt Q 6= ∅. Ist K eine Kette in Q, so gilt

m(K) :=⋃

N∈K

N ∈ Q.

Denn sind x1, . . . , xn ∈ m(K), d.h. xi ∈ Ni (1 ≤ i ≤ n), so existiert ein maximaler Index j, mitxi ∈ Nj (1 ≤ i ≤ n), also sind x1, . . . , xn linear unabhangig.Nach dem Zornschen Lemma existiert in Q ein maximales Element B. Nach Voraussetzung ist Blinear unabhangig. Es bleibt [B] = V zu zeigen.Ist x ∈ V \[B], so gilt speziell x 6= 0, und B := B ∪ {x} ist linear abhangig. Also existierenx1, . . . , xr ∈ B und λ1, . . . , λr, λ ∈ K, nicht alle 0, mit

r∑i=1

λixi + λx = 0.

Fur λ 6= 0 folgt x ∈ [B]. Fur λ = 0 folgt B linear abhangig. Widerspruch!

2

Bemerkung:Also folgt die Behauptung. Fur M = ∅ liefert dies die Existenz einer Basis von V .

1.31 Satz 17

1.31 Satz

Es sei R ein Ring mit 1 6= 0 und a 6= R ein Ideal von R. Dann ist a in einem maximalen Ideal mvon R enthalten.

Bemerkung:

Fur a = {0} liefert dies die Existenz maximaler Ideale (in Ringen R mit Eins).

Beweis:

Es sei M die Menge aller Ideale b von R mit R ⊃ b ⊇ a, dann ist M 6= ∅ induktiv geordnet bzgl.⊆. (Die Vereinigungsmenge einer aufsteigenden Kette von Idealen ist wieder ein Ideal, welches inunserem Fall 1 nicht enthalt.)

Nach dem Zornschen Lemma existiert ein maximales Element m aus M. Wegen 1 /∈ m ist mmaximales Ideal.

2

Bemerkung:

(i) In ZZ sind pZZ, p Primzahl, genau die maximalen Ideale.

(ii) Ist R Korper, so ist {0} einziges maximales Ideal.

1.32 Satz

Es sei R ein Ring mit Ideal m. Dann gilt:

(i) m 6= R ist maximal ⇔ R/m enthalt nur die Ideale m und R/m.

(ii) Ist R kommutativ mit 1 6= 0, so ist m genau dann maximal, falls R/m Korper ist.

Beweis:

(i) Gemaß (2.15).

(ii)

R/m Korper ⇔ ∀x ∈ R\m, ∃λ ∈ R : (x+ m) (λ+ m) = 1 + m

⇔ ∀x ∈ R\m, ∃λ ∈ R : λx ≡ 1 mod m

⇔ ∀x ∈ R\m, ∃m ∈ m, ∃λ ∈ R : λx+m = 1⇔ Rx+ m = R ∀x ∈ R\m⇔ m maximal.

2

1.33 Definition

Ein kommutativer Ring R mit Eins heißt lokaler Ring, falls R genau ein maximales Ideal besitzt.


1.34 Hilfssatz

R kommutativ mit 1. R lokaler Ring ⇔ R\R× ist Ideal in R.

Beweis:”⇐”:Jedes Ideal a in R mit a 6= R beteht aus Nichteinheiten.”⇒”:Fur x ∈ R, x /∈ U(R), folgt Rx = (x) ⊆ m fur ein passendes maximales Ideal m von R.

2

Beispiel:ZZ

ZZ\pZZ={rs∈ Q

∣∣∣ r ∈ ZZ, p - s}

ist lokaler Ring mit m =pZZ

ZZ\pZZ.

Quotientenbildung bei kommutativen Ringen R

Es sei R ein kommutativer Ring und S ⊆ R eine multiplikative Halbgruppe. Als ”Bruche” (mitNennern in S) definiert man die Menge R×S der geordneten Paare (r, s). Wie bei der Konstruktionder rationalen aus den ganzen Zahlen bildet man auf R×S eine Aquivalenzrelation, deren Klassendann die gewunschten Bruche bilden. Wegen der moglichen Existenz von Nullteilern muß manallgemeiner

(r, s) ∼ (r, s) :⇔ ∃t ∈ S : t (rs− rs) = 0 definieren.

Dies ist tatsachlich eine Aquivalenzrelation, denn Reflexivitat und Symmetrie sind klar und bzgl.der Transitivitat bemerken wir:(r1, s1) ∼ (r2, s2) ∧ (r2, s2) ∼ (r3, s3)⇔ ∃t1, t2 ∈ S : t1 (r1s2 − r2s1) = 0 = t2 (r2s3 − r3s2)⇒ ∃t1, t2 ∈ S : 0 = t1t2s3 (r1s2 − r2s1) + t1t2s1 (r2s3 − r3s2)

= t1t2s2 (s3r1 − s1r3)= t (s3r1 − s1r3) fur t = t1t2s2

⇒ ∃t ∈ S : t (s3r1 − s1r3) = 0⇔ (r1, s1) ∼ (r3, s3).Die Aquivalenzklassen bilden Bruche:

Kr,s := {(r, s) ∈ R× S | (r, s) ∼ (r, s)} =:r

s.

Setze

Kr1,s1 +Kr2,s2 = Kr1s2+r2s1,s1s2 ,

Kr1,s1 ·Kr2,s2 = Kr1s1,r2s2 .

(Fur die Aquivalenzklassen r1s1, r2

s2von (r1, s1), (r2, s2) ∈ R × S definieren wir eine Addition und

eine Multiplikation uber die Vertreter:

r1s1

+r2s2

:=r1s2 + r2s1

s1s2,

r1s1· r2s2

:=r1r2s1s2

.)

Zur Multiplikation: Sind auch (r1, s1) ∈ r1s1, (r2, s2) ∈ r2

s2, so ist (r1r2, s1s2) ∼ (r1r2, s1s2) wegen

(r1, s1) ∼ (r1, s1) ∧ (r2, s2) ∼ (r2, s2)⇔ ∃t1, t2 ∈ S : t1 (r1s1 − r1s1) = 0 = t2 (r2s2 − s2r2)⇒ ∃t1, t2 ∈ S : 0 = t1t2 (r1r2s1s2 − r1r2s1s2) + t1t2 (r1r2s1s2 − r1r2s1s2)⇒ ∃t1t2 ∈ S : 0 = t1t2 (r1r2s1s2 − r1r2s1s2)⇔ (r1r2, s1s2) ∼ (r1r2, s1s2);fur die Addition folgert man aus∃t1, t2 ∈ S : 0 = t1 (r1s1 − r1s1) = t2 (r2s2 − s2r2)⇒ ∃t1, t2 ∈ S : 0 = t1t2 (r1s1s2s2 − r1s1s2s2 + r2s2s1s1 − s2r2s1s1)

1.35 Definition — Primideal 19

⇒ ∃t1, t2 ∈ S : 0 = t1t2 ((r1s2 + r2s1) s1s2 − (r1s2 + r2s1) s1s2)⇔ (r1s2 + r2s1, s1s2) ∼ (r1s2 + r2s1, s1s2).Die Rechengesetze von R ubertragen sich uber die Vertreter auf

RS :={rs| r ∈ R, s ∈ S

}fur

r

s= Kr,s.

Hierfur sind die Assoziativitat von Addition und Multiplikation nachzurechnen. Neues Nullelementist K0,s, inverses Element zu Kr,s ist K−r,s.

Folglich bildet RS einen kommutativen Ring mit Einselement ss :

r

s· ss

=r

s∀rs∈ RS .

R laßt sich homomorph in RS abbilden mittels

ι : R→ RS : r 7→ rs

s

fur ein beliebiges s ∈ S.Im Fall, daß S 6= 0 keine Nullteiler enthalt, ist ι sogar Monomorphismus, also Einbettung, d.h. RS

laßt sich als Ringerweiterung von R auffassen.

Spezialfalle:

(i) S 3 0 ⇒ RS ist trivial.

(ii) ∅ 6= S besteht aus allen Nicht-Nullteilern 6= 0 vonR. In diesem Fall heißtRS der (vollstandige)Quotientenring Q (R) von R. Sind speziell alle Elemente 6= 0 keine Nullteiler, so ist Q (R)ein Korper.

Beispiel:

(i) R = ZZ, S = ZZ\{0} ⇒ RS∼= Q.

(ii) R = ZZ, S = {2ν | ν ∈ ZZ≥0} ⇒ RS = { a2ν | ν ∈ ZZ≥0}.

(iii) R = ZZ, S = ZZ\pZZ (p ∈ IP) ⇒ RS = ZZ(p) (“p-Lokalisierung von ZZ”).

1.35 Definition

Es sei R ein kommutativer Ring. Ein Ideal R % p von R heißt Primideal, falls fur a, b ∈ R mitab ∈ p stets a ∈ p oder b ∈ p folgt.

Beispiele:

(i) R = ZZ, alle Primideale sind von der Form pZZ mit p Primzahl.

(ii) {0} ist Primideal, falls R keine Nullteiler 6= 0 besitzt.

1.36 Satz (Charakterisierung von Primidealen)

Es sei R ein kommutativer Ring und a $ R ein Ideal in R. Dann sind aquivalent:

(i) a Primideal,

(ii) ∀a, b ∈ R mit a /∈ a und b /∈ a ⇒ ab /∈ a,

(iii) Fur Ideale b, c von R mit bc ⊆ a folgt b ⊆ a oder c ⊆ a.

(iv) R\a ist multiplikative Halbgruppe,

(v) R/a ist nullteilerfrei.


Beweis:(i) ⇒ (ii): nach Definition;

(ii) ⇒ (iii): Ware die Aussage falsch, existierten Elemente b ∈ b \ a, c ∈ c \ a mit b · c ∈ a imWiderspruch zur Voraussetzung.

(iii) ⇒ (iv): Sind a, b ∈ R \ a, so folgt (a) = Ra+ ZZa, (b) = Rb+ ZZb, (a)(b) = Rab+ ZZab = (ab).Wegen (a) 6⊆ a und (b) 6⊆ a muss (ab) 6⊆ a gelten, also ab 6∈ a.

(iv) ⇒ (v): fur a+ a, b+ a, beide ungleich a, folgt a, b ∈ R\a, damit ab ∈ R\a und

(a+ a) (b+ a) = ab+ a 6= a;

(v) ⇒ (i): es seien a, b ∈ R mit ab ∈ a, also

a = ab+ a = (a+ a) (b+ a)

und folglich (a+ a = a ⇔ a ∈ a) oder (b+ a = a ⇔ b ∈ a).

2

Bemerkung:

(i) In einem kommutativen Ring mit 1 ist jedes maximale Ideal ein Primideal, also ist jedes Ideala ⊂ R von R in einem Primideal enthalten.

(ii) In einem kommutativen Ring R mit Primideal p bildet R\p eine multiplikative HalbgruppeS. Dann heißt

RS = RR\p =R

R\p=: Rp

Lokalisierung von R bei p. Rp ist ein lokaler Ring (siehe Ubungsblatt 7).

(Falls R 3 1 : R→ RR\p : r 7→ r

1 ist Ringmonomorphismus.)

Speziell: R = ZZ, p = pZZ fur p ∈ IP :

R(p) ={mn

∣∣∣m ∈ ZZ, n ∈ ZZ mit p - n}.

(iii) 0 Primideal ⇒ R nullteilerfrei.

(iv) R 3 1, p Primideal, R/p nullteilerfrei:

R/p endlich ⇒ R/p Korper2.29⇒ p maximales Ideal.

Beispiele:

(i) p = 2ZZ ⇒ Rp ={ ab

∣∣∣ a, b ∈ ZZ, 2 - b}

.

(ii) R = 2ZZ, a = 4ZZ :

2 · 2 ∈ a, also ist a kein Primideal. a ist maximal, denn x ∈ R\a hat die Gestalt 2 (2m+ 1),

(a, x) 3 x− 4m = 2.

1.37 Definition

Ein Ring R, in dem jedes Ideal endlich erzeugt ist, heißt noetherscher Ring.

Beispiel: R = ZZ, dort ist jedes Ideal Hauptideal.

1.38 Satz — Charakterisierung noetherscher Ringe 21

1.38 Satz (Charakterisierung noetherscher Ringe)

Fur Ringe R sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) R ist noethersch;

(ii) Jede aufsteigende Kette von Idealen a1 ⊆ a2 ⊆ . . . ⊆ ak ⊆ . . . wird stationar (bricht ab),d.h. es existiert n ∈ IN mit an+i = an ∀i ∈ IN;

(iii) In jeder nicht leeren Menge von Idealen gibt es ein (bzgl. ⊆) maximales Element.

Beweis:(i) ⇒ (ii):Fur eine vorgelegte Kette von Idealen ist deren Vereinigung a wieder ein Ideal(!), welches etwadurch a1, . . . , am erzeugt wird. Fur ai ∈ aji (1 ≤ i ≤ m) gilt dann also aj0 ⊇ (a1, . . . , am) ⊇ aj0 ,ai ∈ aj0 (1 ≤ i ≤ m) mit j0 := max {j1, . . . , jm}, und wir erhalten etwa n = j0, d.h. die Kette wirdab aj0 stationar.

(ii) ⇒ (iii):Es sei M 6= ∅ eine Menge von Idealen. Wahle a1 ∈ M. Ist a1 maximal, so sind wir fertig. Ista1 nicht maximal, so exitiert a2 ∈ M, a2 ⊃ a1. Man erhalt so eine aufsteigende Kette, die nachVoraussetzung stationar werden muß. Das diesbezugliche an ist dann in M maximal.

(iii) ⇒ (i):Es sei a ein Ideal von R. Bilde

M := {b | b endlich erzeugtes Ideal in R mit b ⊆ a}.

Wegen {0} ∈ M ist M 6= ∅. Sei m maximales Element von M, etwa m =< a1, . . . , ak >. Furbeliebiges a ∈ a ist m := (a1, . . . , ak, a) in M, also gleich m, also folgt a = m.

2

Bemerkung:Es sei R ein noetherscher Ring und f : R→ S ein Ringepimorphismus. Dann ist S noethersch.(Speziell: Ist a ein Ideal von R, so ist R/a noethersch.)

Beweis:Es sei a ein Ideal von S, dann ist etwa f−1(a) =< a1, . . . , ak >, und es folgt a = (f(a1), . . . , f(ak)).

2

Teilbarkeit in Ringen

Sinnvollerweise sind Nullteiler auszuschließen!Ferner: R 3 1 6= 0 und R sollte kommutativ sein.

1.39 Definition

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring R 6= {0} heißt Integritatsring.

Bemerkung:In Integritatsringen gilt die Kurzungsregel (2.19)(i), endliche Integritatsringe sind Korper (2.19)(ii).R kommuativer Ring, a ⊂ R Ideal: a Primideal ⇔ R/a Integritatsring nach (2.33).

Beispiel: Alle Ideale 6= {0} in ZZ und Korper sind Integritatsringe.


1.40 Definition

Es seien R ein Integritatsring mit 1 und a, b ∈ R.a heißt Teiler von b (a teilt b, b ist Vielfaches von a, a|b), falls c ∈ R mit b = ac existiert.a heißt assoziiert zu b (a ∼ b), falls a|b und b|a gilt.c ∈ R heißt großter gemeinsamer Teiler (ggT) von a, b, falls c|a und c|b und fur alle d ∈ R mitd|a, d|b auch d|c gilt.a, b heißen teilerfremd, falls ggT (a, b) ∈ U(R) ist.c ∈ R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von a, b, falls a|c, b|c und fur alle d ∈ R mita|d, b|d auch c|d gilt.Ein Element p ∈ R\U(R), p 6= 0, heißt Primelement von R, wenn fur alle a, b ∈ R mit p|ab stetsp|a oder p|b folgt.Ein Element a ∈ R\U(R), q 6= 0 heißt irreduzibel (unzerlegbar), wenn fur alle a, b ∈ R mit ab = qstets a ∈ U(R) oder b ∈ U(R) folgt.

Beispiele:

(i) Ubliche Definitionen in ZZ; die zu a ∈ ZZ assoziierten Elemente sind ±a (U(R) = {±1}), diePrimzahlen sind die Primelemente und stimmen mit den irreduziblen Elemente uberein.

(ii) Es sei R = ZZ[√

2] = {a + b√

2 | a, b ∈ ZZ}. Es gibt unendlich viele assoziierte Elementea (−1)h (1 +

√2)k (h ∈ {0, 1}, k ∈ ZZ).

1 +√

2 =(1 +

√2) (1−

√2)

1−√

2=

−11−√

2⇒ (1−

√2)−1 = −(1 +

√2),

(1 +√

2)−1 = −(1−√

2)

((1 +√

2)k (k ∈ ZZ) sind alle verschieden!)√

2 ist irreduzibel (und sogar Primelement!).

(Denn fur S := ZZ[√m] (m ∈ ZZ, 6 ∃a ∈ ZZ≥2 : a2|m) ist

N : ZZ[√m]→ ZZ : a+ b

√m 7→ a2 −mb2

eine multiplikativer Homomorphismus. Ware nun√

2 = xy in ZZ[√

2], so folgte N(√

2) =−2 = N(x)N(y) in ZZ, also N(x) = ±1 oder N(y) = ±1. Ist o.B.d.A. N(x) = ±1, so gilt furx = u+ v

√2 : ±1 = (u+ v

√2) (u− v

√2), d.h. x ∈ U(R).)

Der Primelementnachweis verlauft ahnlich.

(iii) Es sei R = ZZ[√−5]. Hierin ist U(R) = {±1} (= U(ZZ)), wegen

N(a+ b√−5) = a2 + 5b2 = 1 ⇔ b = 0, a = ±1.

Ferner ist 21 = 3 · 7 = (4 +√−5) (4−

√−5) = (1 + 2

√−5) (1− 2

√−5).

Hierin sind die beteiligten Elemente offenbar (!) keine Primelemente, jedoch irreduzibel.

Beweis:

Es ist N(3) = 9, fur 3 = xy mit x, y /∈ {±1} folgt N(x) = N(y) = 3, jedoch ist N(u +v√−5) = u2 + 5v2 = 3 unlosbar in ZZ. Also ist 3 irreduzibel. Der Nachweis fur die anderen

Elemente geht analog.

Bemerkung:Jede Einheit teilt alle Elemente aus R; x|x und x|0 fur alle x ∈ R; a ∈ R mit a|1 ⇒ a ist Einheit(a ∈ U(R)); a, b, x ∈ R und a|b ⇒ ax|bx; a, ri, xi ∈ R (1 ≤ i ≤ n) und a|xi (1 ≤ i ≤ n) ⇒

a∣∣ n∑

i=1

rixi; a, b, c ∈ R und a|b, b|c ⇒ a|c; a, b ∈ R : a|b ⇔ b ∈ Ra ⇔ Rb ⊆ Ra; a, b ∈ R :

a ∼ b ⇔ ∃e ∈ U(R) : b = ae ⇔ Ra = Rb.Jedes Primelement ist irreduzibel; dies ist eine Konsequenz des folgenden Hilfssatzes.

1.41 Hilfssatz 23

1.41 Hilfssatz

Es sei R ein Integritatsring mit 1 und a ∈ R\U(R), a 6= 0. Dann gilt:

(i) a Primelement ⇔ Ra Primideal;

(ii) a irreduzibel ⇔ Ra maximales Hauptideal von R.

(a reduzibel ⇔ Ra nicht maximal in der Menge der Hauptideale von R.)

Beweis:

(i)

a Primelement ⇔ (∀x, y ∈ R : a|xy ⇒ a|x ∨ a|y)⇔ (∀x, y ∈ R : xy ∈ Ra ⇒ x ∈ Ra ∨ y ∈ Ra)⇔ Ra Primideal.

(ii)

a irreduzibel ⇔ (∀x, y ∈ R : a = xy ⇒ x ∈ U(R) ∨ y ∈ U(R))⇔ (∀x ∈ R : Ra ⊆ Rx ⇒ x ∈ U(R) ∨ x ∼ a)⇔ (∀x ∈ R : Ra ⊂ Rx ⇒ x ∈ U(R))⇔ Ra maximales Hauptideal von R.

2

1.42 Definition

Ein Integritatring mit 1, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

Bemerkung:

(i) Hauptidealringe sind noethersch.

(ii) ZZ ist Hauptidealring, ebenso sind alle Korper Hauptidealringe.

(iii) Fur Elemente a 6= 0 in Hauptidealringen gilt:

a Primelement ⇒ a irreduzibel(2.41)(ii)⇒ Ra maximales Hauptideal ⇒ Ra Primideal

(2.41)(i)⇒a Primelement.

Merke: In Hauptidealringen stimmen irreduzible und Primelemente uberein. Speziell ist alsoZZ[√−5] kein Hauptidealring.

(iv) Es seien d, a1, . . . , an aus einem Hauptidealring R. Dann gilt:

d = ggT (a1, . . . , an) ⇔ (a1, . . . , an) = Rd.

Dies bedeutet, daß ein großter gemeinsamer Teiler von a1, . . . , an sich als d =n∑

i=1

ri ai (ri ∈

R) darstellen laßt.

Beweis:

Fur jeden gemeinsamen Teiler d von a1, . . . , an gilt:

ai = bi d ⇔ (a1, . . . , an) ⊆ Rd.

Ferner ist (a1, . . . , an) ein Hauptideal Rd, fur das dann d|d und damit d = ggT (a1, . . . , an)gelten muß.

2


1.43 Satz

In einem Hauptidealring R laßt sich jedes x ∈ R\U(R), a 6= 0, als Produkt von Primelementendarstellen.

Beweis:Gemaß der vorrangehenden Bemerkung (iii) genugt es, eine Darstellung von x als Produkt irre-duzibler Elemente nachzuweisen.Ist x irreduzibel, sind wir fertig. Ansonsten existieren x1, x2 ∈ R\U(R) mit x = x1x2, und esist (x) $ (xi) (1 ≤ i ≤ 2). Analog versuchen wir x1, x2 zu faktorisieren und erhalten so nach nSchritten x als Produkt von y1, . . . , yn ∈ R\U(R). Dabei werden die Faktoren so angeordnet, daßim Falle nicht irreduzibler Faktoren diese die hochsten Indizes bekommen. Wegen

(x) $ (y2 · . . . · yn) $ . . . $ (yn−1 yn) $ (yn)

muß dieser Prozeß abbrechen (R ist als Hauptidealring noethersch), d.h. nach endlich vielen Schrit-ten wird x ein Produkt irreduzibler Elemente.

2

1.44 Definition

Ein Integritatsring mit 1 heißt ZPE-Ring (Ring mit eindeutiger Primelementzerlegung, faktoriellerRing), falls sich jedes x ∈ R\U(R), x 6= 0, bis auf Einheiten eindeutig als Produkt irreduziblerElemente darstellen laßt.(Aus x = ε q1 · . . . · qr = ε q1 · . . . · qs mit ε, ε ∈ U(R), qi, qj irreduzibel folgt r = s und nacheventueller Umnumerierung qi ∼ qi (1 ≤ i ≤ r).)

1.45 Satz

Fur Integritatsringe R mit 1 sind aquivalent:

(i) R ist ZPE-Ring;

(ii) jedes x ∈ R\U(R), x 6= 0, ist Produkt irreduzibler Elemente, und jedes irreduzible Elementvon R ist Primelement;

(iii) jedes x ∈ R\U(R), x 6= 0, ist Produkt von Primelementen.

Beweis:(i) ⇒ (ii):Es bleibt zu zeigen, daß jedes irreduzible Element von R ein Primelement ist. Es seien dazua, b ∈ R und π ∈ R irreduzibel mit π | ab. Da a, b sich eindeutig als Produkte irreduziblerElemente schreiben lassen, ergibt sich die Zerlegung von ab in irreduzible Elemente aus der von abzw. b. Nach Voraussetzung muß also ein zu π assoziiertes Element in der Faktorisierung von aoder b auftreten, es folgt π|a oder π|b.(ii) ⇒ (iii): Trivial.(iii) ⇒ (ii):Ist π irreduzibel, so besitzt π eine Darstellung als Produkt von Primelementen. Diese besteht dannnotwendig aus nur einem Faktor.(ii) ⇒ (i):Es seien

x = ε q1 · . . . · qr = ε q1 · . . . · qsmit ε, ε ∈ U(R) und qi, qj irreduzibel (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s). Da qr Primelement ist, muß qreins der qj teilen, also zu ihm assoziiert sein. Wir ordnen nun gegebenenfalls um, so daß qr|qs gilt.Daraus folgt

ε q1 · . . . · qr−1 = ε q1 · . . . · qs−1

mit ε ∈ U(R). Nach r-maliger Anwendung folgt so r = s und bei passender Numerierung qi ∼qi (1 ≤ i ≤ r).

1.46 Definition — euklidischer Ring 25

2

Bemerkung:

(i) Als direkte Konseqenz von (2.43) folgt, daß jeder Hauptidealring auch ZPE-Ring ist.

(ii) Wahlt man aus jeder Klasse assoziierter Primelemente einen Vertreter aus und bezeichnetdie Menge dieser Vertreter mit P so laßt sich in ZPE-Ringen jedes x ∈ R, x 6= 0, eindeutigals

x = ε∏p∈P

pνp(x), y = η∏p∈P

pνp(y)

(νp(x) ∈ ZZ≥0, ε, η ∈ U(R), nur endlich viele νp(x) ungleich Null, νp(x) ist der genaueExponent, mit dem p gerade x teilt) schreiben. Fur x, y ∈ R\{0} folgt dann insbesondere:

x y = ε η∏p∈P

pνp(x)+νp(y),

ggT (x, y) =∏p∈P

pmin {νp(x), νp(y),

kgV (x, y) =∏p∈P

pmax {νp(x), νp(y),

x | y ⇔ νp(x) ≤ νp(y) ∀p ∈ P.

Ohne Euklidischen Algorithmus ist es i.a. ein schwieriges Problem, wie man in Hauptidealringenein erzeugendes Element eines Ideals, etwa von (a1, . . . , an), findet, d.h. einen ggT berechnet. EineFaktorisierung in Primelemente ist meist zu aufwendig, etwa schon bei großen Zahlen in ZZ.

1.46 Definition

Ein Integritatsring R heißt euklidischer Ring, wenn es eine Abbildung v : R\{0} → ZZ≥0 gibt,derart daß fur beliebige a, b ∈ R, b 6= 0, zwei Elemente Q(a, b), R(a, b) ∈ R mit

a = Q(a, b) b+R(a, b) und R(a, b) = 0 oder v(R(a, b)) < v(b)

gibt.

Bemerkung:

(i) Euklidische Ringe sind Ringe mit Einselement.

Die Menge {v(x) | x ∈ R\{0}} enthalt ein minimales Element v(x0). Hierfur ist notwendigR(a, x0) = 0 ∀a ∈ R, also teilt x0 alle a ∈ R. Ferner ist 0 6= Q(x0, x0) Linkseins:

Q(x0, x0) y = Q(x0, x0)Q(y, x0)x0 = Q(y, x0)Q(x0, x0)x0 = Q(y, x0)x0 = y, ∀y ∈ R.

Da R kommutativ ist, ist Q(x0, x0) Einselement von R.

(ii) ZZ mit v = | | (Betragsfunktion) und K[t] mit v = deg ( ) sind euklidische Ringe, es existiertder euklidische Algorithmus, der zur Berechnung eines ggT zweier Ringelemente dient. JederKorper ist ein euklidischer Ring.

Beispiel: (Ubung)R = ZZ[−1] (Gaußsche ganze Zahlen) mit v : a+ b

√−1 7→ a2 + b2.


1.47 Satz

Jeder euklidische Ring R ist Hauptidealring.

Beweis:Es sei a 6= {0} ein Ideal von R. Ferner sei a ∈ a mit v(a) = min {v(x) | x ∈ a, x 6= 0}. Fur x ∈ agilt dann x = Q(x, a) a, da notwendig R(x, a) verschwinden muß. Also gilt Ra ⊆ a ⊆ Ra.

2

Polynomringe als Gruppenringe

1.48 Definition

Es sei S ein Halbgruppe und R ein Ring. Dann definert man den sogenannten Halbgruppenring

R[S] := {f : S → R | f(s) = 0 fur fast alle s ∈ S}

mit den Verkupfungen:

Addition : f + g : S → R : s 7→ f(s) + g(s),

Multiplikation : f g : S → R :∑

t1t2=st1,t2∈S

f(t1) g(t2) (Faltungsprodukt)

fur alle f, g ∈ R[S].

Wir rechnen hier nur das Assoziativgesetz bezuglich der Multiplikation nach:Fur s ∈ S beliebig gilt

(f (g h)) (s) =∑

t1t4=s

f(t1) (g h) (t4)

=∑

t1t4=s

f(t1)∑

t2t3=t4

g(t2)h(t3)

=∑

t1t2t3=s

f(t1) g(t2)h(t3)

=∑

t5t3=s

∑(

t1t2 = t5)f(t1)g(t2)

h(t3)

=∑

t5t3=s

(fg) (t5)h(t3)

= ((f g)h) (s).

Einbettung von R, S in R[S]:

(i) S sei Monoid. Setze

ιR : R→ R[S] : r 7→ fr mit fr(s) ={r fur s = e0 sonst

mit e = 1S . Dann ist ιR Ringhomomorphismus wegen le von lR

1.48 Definition — Halbgruppenring 27

fr+r(s) ={r + r fur s = e0 sonst

={r fur s = e0 sonst

+{r fur s = e0 sonst

= fr(s) + fr(s),

frr(s) ={rr fur s = e0 sonst

=∑

t1t2=s

{r fur t1 = e0 sonst

{r fur t2 = e0 sonst

= fr fr(s).

(ii) R sei Ring mit 1. Setze

ιS : S → R[S] : s 7→ Fs mit Fs(t) ={ 1 fur t = s

0 sonst= δts.

ls ist Homomorphismus wegen

Fss(t) = δt,ss

={ 1 fur ss = t

0 sonst=

∑t1t2=t

δt1s δt2s

=∑

t1t2=t

{ 1 fur t1 = s0 sonst

{ 1 fur t2 = s0 sonst

= Fs(t)Fs(t)

Falls S zusatzlich Monoid ist, besitzt R[S] ein Einselement, namlich Fe.

Fe(t) f(t) =∑

t1t2=t

Fe(t1) f(t2)

=∑

t1t2=t

δet1 f(t2)

= f(t) ∀f ∈ R[S].

(iii) Falls R 3 1 gilt, erhalten wir

R[S] =

{∑s∈S

as Fs

∣∣∣∣∣ as ∈ R, as = 0 fur fast alle s ∈ S

}(∗)=

{∑s∈S

as s

∣∣∣∣∣ as ∈ R, as = 0 fur fast alle s ∈ S

}.

(∗): gilt dabei wegen der Definition der Einbettung ls.

Dann kann man in R[S] wie folgt rechnen:

α

(∑s∈S

as s

)=

∑s∈S

(αas) s ∀α ∈ R,

∑s∈S

as s+∑s∈S

bs s =∑s∈S

(as + bs) s,

(∑s∈S

as s

) (∑s∈S

bs s

)=

∑s,t∈S

as bt s t

=∑s∈S

( ∑t1t2=s

at1 bt2

)s.


Beispiele:

(i) S = {tν | ν ∈ ZZ≥0} ∼= ZZ≥0, R kommutativer Ring mit 1.

R[S] =

{ ∞∑ν=0

aν tν

∣∣∣∣∣ aν ∈ R, aν 6= 0 nut fur endlich viele ν

}=: R[t]

ist der Polynomring in der Variablen t uber R mit Elementen

f(t) =∞∑

i=0

aν tν

(aν ∈ R, fast alle aν = 0).

(ii)

S =n

Xi=1

{tνii ∈ ZZ≥0} ∼= (ZZ≥0)n,

R kommutativer Ring mit 1. Die Elemente von S lassen sich als tν := tν11 · . . . · tνn

n mitν ∈ (ZZ≥0)n schreiben. Es ist

R[S] =

∑ν∈(ZZ≥0)n

aν tν

∣∣∣∣∣∣ aν ∈ R, aν 6= 0 nur fur endlich viele aν

=: R[t1, . . . , tn]

ist der Polynomring in n Variablen t1, . . . , tn uber R mit den Elementen

f(t) =∑

ν∈(ZZ≥0)n

aν tν (aν ∈ R, fast alle aν = 0).

(iii) S Gruppe, R Ring mit 1. R[S] ist Gruppenring.

Wissen im Gruppenring liefert Information uber die Gruppe selbst.

(Higman: G, H endliche abelsche Gruppen mit ZZ[G] ∼= ZZ[H] ⇒ G ∼= H.)

Polynomringe in mehreren Variablen

Bemerkung:Wir erhalten

R[t1, . . . , tn+1] ∼= R[t1, . . . , tn] [tn+1],R[t1, . . . , tn] ∼= R[tπ(1), . . . , tπ(n)] ∀π ∈ Sn

als direkte Konsequenz der entsprechenden Aussagen uber direkte Produkte von (Halb-)Gruppen.

Fur Elemente des Monoids in (ii) laßt sich eine Ordnung definieren mittels:

tν ≥ tµ ⇔ ν ≥ µ

(etwa lexikographisch).

1.49 Definition — Monome, Grad eines Monoms, ij0 Grad, Leitkoeffizient, normiert 29

1.49 Definition

Es seif( t) =

∑ν∈(ZZ≥0)n

aν tν

ein Element des Polynomrings R[t1, . . . , tn]. Hierbei heißen die Summanden aν tν Monome. Unter

dem Grad eines Monoms 6= 0 versteht man die Summe der Exponenten ν1 + . . . + νn. Als Gradvon f 6= 0 bezeichnet man das Maximum der Grade seiner Monome (Bezeichnung: deg (f)). Istauf den Potenzen tν eine Ordnung gegeben, so heißt aν mit ν maximal Leitkoeffizient von f undaν t

ν heißt Leitmonom. (I.a. setzt man

ν ≥ µ ⇔ tν ≥ tµ :⇔n∑

i=1

νi ≥n∑

i=1

µi

und im Falle der Gleichheit ν ≥ µ lexikographisch.) Ferner setzt man deg (0) = −∞. Im Falll(f) = 1 heißt f normiert.

Beispiele fur Anordnungen auf (ZZ≥0)n:

ν ≥ µ :⇔

(n∑

i=1

νi ≥n∑

i=1

µi und fur Gleichheit ν ≥ µ lexikographisch

),

ν ≥ µ lexikographisch :⇔ νi = µi, 1 ≤ i < i0 und νi0 > µi0 fur ein i0 ∈ {1, . . . , n}.

Bemerkung:

(i) Sind f, g ∈ R[t], so gilt

deg (f + g) ≤ max {deg (f), deg (g)}deg (f g) ≤ deg (f) + deg (g).

Bei der Multiplikation gilt Gleichheit, falls l(f), l(g) keine Nullteiler sind, also etwa furIntegritatsringe R.

(ii) R[t] Integritatsring ⇔ R Integritatsring.

(iii) f ∈ R[t] invertierbar ⇔ f ∈ U(R) (U(R[t]) = U(R)) in Integritatsringen R!

1.50 Hilbertscher Basissatz

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ist R noethersch, dann auch R[t].

Beweis:Es sei Q ein Ideal in R[t]. Betrachte hierzu Polynome vom Grad i ∈ ZZ≥0, setze

ai := {x ∈ R | x = l(f) fur ein f ∈ Q mit deg (f) = i} ∪ {0}.

Dann bilden die ai Ideale in R, denn

(i) fur f, g ∈ Q mit deg (f) = deg(g) = i ⇒ entweder l(f ± g) = l(f)± l(g) mit deg (f ± g) =deg (f) = i oder deg (f ± g) < i mit l(f)± l(g) = 0;

(ii) fur a = l(f) ∈ ai, r ∈ R ⇒ ra = 0 oder rf ∈ Q mit deg (rf) = i und l(rf) = r l(f).

Da man Elemente von Q mit t multiplizieren kann und dabei in Q bleibt, folgt unmittelbar

a0 ⊆ a1 ⊆ a2 ⊆ . . . ⊆ ar ⊆ . . . .

Da R noethersch ist, wird diese Kette stationar. Es sei r ∈ ZZ≥0 minimal mit ar = ar+k ∀k ∈ IN.Dann existieren erzeugende Elemente ai1, . . . , aini

(ni ∈ IN) fur ai (0 ≤ i ≤ r). Fur 0 ≤ i ≤ r, 1 ≤j ≤ ni sei fij ∈ Q mit l(fij) = aij .Wir zeigen nun, daß diese fij das Ideal Q erzeugen.


Es sei f ∈ Q mit deg (f) = d. Wir fuhren Induktion nach d durch. Der Fall d = 0 ist klar, dadann f in a0 liegt. Sei also d > 0. Fur d > r gilt

ad =< l(td−rfr1, . . . , l(td−rfrnr) >,

es exitieren daher γ1, . . . , γnr ∈ R mit

deg (f − γ1td−rfr1 − . . .− γnr t

d−rfrnr ) < d,

und das Differenzpolynom liegt wiederum in Q. Fur d ≤ r erhalten wir analog ein Polynom

f − γ1fd1 − . . .− γndfdnd

mit Grad < d in Q. Nach Induktionsannahme liegt das Differenzpolynom im Ideal

F :=< fij | 0 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ ni >,

also auch f selbst. Damit gilt Q = F , jedes Ideal von R[t] ist endlich erzeugt, damit ist R[t]noethersch.

2

1.51 Hilfssatz

Ist Λ ein unitarer Oberring von R (d.h. 1Λ = 1R), so ist fur x ∈ Λn die Abbildung

Φx : R[t]→ Λ : f(t) 7→ f(x)

ein Ringhomomorphismus mit Φx|R = idR. Dieser laßt die Elemente aus R invariant, ist also einsogenannter R-Homomorphismus.

Beweis: Durch Nachrechnen!

Bemerkung:x ∈ Λn heißt Nullstelle von f ∈ R[t], falls Φx(f) = 0 bzw. f(x) = 0 ist.

1.50 und 1.51 implizieren:R noethersch ⇔ R[t] noethersch.

Im folgenden betrachten wir hauptsachlich univariate Polynome ( = Polynomein 1 Variablen).

1.52 Hilfssatz

Es sei R ein Integritatsring mit 1. Ein R-Homomorphismus ϕ : R[t] → R[t] ist genau dann einIsomorphismus, wenn

ϕ (t) = at+ b mit a ∈ U(R), b ∈ R

gilt.

Beachte:Fur Homomorphismen ϕ : R[t]→ Λ ist ϕ durch ϕ (t) eindeutig festgelegt wegen

ϕ

(n∑

i=0

ai ti

)=

n∑i=0

ϕ (ai ti)

=n∑

i=0

ϕ (ai)︸︷︷︸=ai

ϕ (t)i.

1.53 Definition — algebraisch, transzendent 31

Beweis:Fur ϕ (t) = at + b mit a ∈ U(R), b ∈ R folgt ϕ−1(t) = a−1(t − b), also ϕ ◦ ϕ−1 = idR[t]. Istandererseits ϕ Isomorphismus, so gilt ϕ (t) = g(t) ∈ R[t], t = ϕ (f(t)) mit

1 = deg (t) = deg (f(g(t)) = deg (f) deg (g).

Also muß deg (f) = deg (g) = 1 sein, d.h. g(t) = at+ b, f(t) = ct+ d (a, b, c, d ∈ R). Aus

t = f(g(t))= c (at+ b) + d

= cat+ bc+ d ⇒ 1 = ac ∧ 0 = bc+ d

folgt a ∈ U(R), also die behauptete Form fur ϕ.

2

1.53 Definition

Es sei Λ ein unitarer Oberring des Ringes R. Ein Element x ∈ Λ heißt algebraisch uber R, falls dieAbbildung ϕx : R[t]→ Λ nicht injektiv ist, d.h. es existiert ein Polynom f(t) ∈ R[t] mit f(x) = 0.Andernfalls heißt x ∈ Λ transzendent uber R.

Bemerkung:x algebraisch ⇔ x Nullstelle eines Polynoms aus R[t].

Beispiele:√2 ∈ IR ist algebraisch uber ZZ als Nullstelle von f(x) = x2 − 2.

e, π ∈ IR sind transzendent uber ZZ bzw. Q (ohne Beweis).

1.54 Hilfssatz

Es seien R ein kommutativer Ring mit 1, f(t) ∈ R[t] mit deg (f) ≥ 1 und Λ ein unitarer Oberringvon R. x ∈ Λ ist genau dann Nullstelle von f(t), wenn (t− x) das Polynom f(t) in Λ[t] teilt.

Beweis:Division mit Rest ist in Λ[t] durchfuhrbar, da l(t− x) Einheit in Λ ist! Also folgt

f(t) = Q(f, t− x) (t− x) +R(f, t− x)

mit deg (R(f, t− x)) < deg (t− x) = 1, also ist R(f, t− x) ∈ Λ konstant.Nun spezialisieren wir t 7→ x:

x Nullstelle ⇔ 0 = f(x)⇔ R(f, t− x) (x) = 0⇔ R(f, t− x) = 0.

2

Zur Division mit Rest in beliebigen Polynomringen (Pseudodivision) vgl. Ubungen, Blatt 9.

Beispiel:Fur R = ZZ ist die Division (t3 − 2) : (2t− 1) in R[t] nicht durchfuhrbar.Jedoch gilt:

23(t3 − 2) = (4t2 + 2t+ 1) (2t− 1) +−15 in ZZ[t].


1.55 Satz

Der Polynomring K[t] uber einem Korper K ist ein euklidischer Ring.

Beweis:Mittels euklidischem Algorithmus mit v = deg.

2

Speziell ist K[t] also Hauptidealring und ZPE-Ring, und fur ein irreduzibles Polynom f(t) aus K[t]ist K[t]/f(t)K[t] wieder ein Korper. In K[t] ist die Anzahl der Wurzeln eines Polynoms — derVielfachheit entsprechend gezahlt — kleiner gleich dem Grad. Dasselbe gilt uber Integritatsringen,sonst ist diese Aussage i.a. falsch: t2 − 1 hat in ZZ/8ZZ[t] Nullstellen 1, 3, 5, 7, also t2 − 1 =(t− 1) (t− 7) = (t− 3) (t− 5).

1.56 Hilfssatz

Es sei R kommutativer Ring mit 1. Dann gilt:

R[t] Hauptidealring ⇔ R Korper.

Beweis: “⇐′′ Klar!“⇒′′ Betrachte

ϕ0 : R[t]→ R : f(t) 7→ f(0).

Es gilt: R[t] Hauptidealring ⇒ R[t] Integritatsring ⇒ R Integritatsring.Ferner ist R ∼= R[t]/ ker ϕ0, also ist ker ϕ0 Primideal und damit im Hauptidealring R[t] maximal,also ist R[t]/ ker ϕ0 Korper.

2

Bemerkung;Polynomringe in mehr als einer Variablen sind folglich keine Hauptidealringe. Dagegen vererbensich die Eigenschaften “noethersch” und “faktoriell” von R auf R[t]. Die letzte Aussage ist eineKonsequenz von (2.57).

1.57 Satz (Gauß)

Fur einen ZPE-Ring R ist auch R[t] ein ZPE-Ring.

Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten.

1.58 1. Hilfssatz

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ist a ein (Prim-)Ideal von R, so ist a[t] (Prim-)Ideal inR[t].

Beweis:Idealeigenschaft von a[t] ist unmittelbar einsichtig. Es sei nun a ein Primideal von R. Sind dannf(t) =

∑ni=0 ait

i, g(t) =∑m

j=0 bjtj ∈ R[t]\a[t], so haben f, g Koeffizienten ai, bj /∈ a; hierbei

wahlen wir Indizes i, j minimal.Fur den Koeffizienten von ti+j in f · g erhalten wir dann:

ci+j :=i+j∑k=0

ak bi+j−k ≡ aibj mod a,

also ci+j /∈ a, also f · g /∈ a[t].

2

1.59 Definition — Inhalt, primitiv 33

1.59 Definition

Es sei R ein ZPE-Ring und f(t) ∈ R[t] mit deg (f) ≥ 0.

I(f) := ggT (a0, . . . , an) heißt fur f(t) =n∑

i=0

ai ti

Inhalt von f ; fur I(f) = 1 heißt f primitiv.

Bemerkung:Jedes Polynom f(t) ∈ R[t] mit deg (f) ≥ 0 laßt sich in der Form f(t) = I(f) fp(t) schreiben, wobeifp(t) ∈ R[t] primitiv ist.

1.60 2. Hilfssatz

Uber einem ZPE-Ring R ist das Produkt zweier primitiver Polynome primitiv.

Beweis:Es seien f(t), g(t) ∈ R[t] primitiv und h = f g. Fur I(h) /∈ U(R) existiert ein Primelement π ∈ R,welches samtliche Koeffizienten von h teilt. Hierfur ist Rπ ein Primideal (wegen (2.41)), also auchRπ[t] gemaß (2.57). Wegen f g ∈ Rπ[t] ist entweder f(t) oder g(t) in Rπ[t] enthalten, d.h. samtlicheKoeffizienten von f oder g sind durch π teilbar im Widerspruch zu I(f) = I(g) = 1.

2

Bemerkung:Fur beliebige Polynome f, g uber einem ZPE-Ring R ist der Inhalt ihres Produkts gleich demProdukt von I(f) und I(g), d.h. I(fg) = I(f) I(g). Dies folgt unmittelbar aus dem letzten Hilfssatund der Bermerkung davor.

1.61 Lemma (Gauß)

Es sei R ein ZPE-Ring mit Quotientenkorper K = Q(R). Gilt dann fur h(t) ∈ R[t], deg (h) ≥ 0, inK[t] die Zerlegung h = f1f2, so existiert in R[t] eine Zerlegung h = cg1g2 mit primitiven Polynomeng1, g2, c ∈ R, und es existieren αi ∈ K mit αifi = gi (i = 1, 2).

Beweis:Es sei λi kgV der Nenner der Koeffizienten von fi (i = 1, 2), sowie µi := I(λifi). Also erhaltenwir fur die primitiven Anteile gi := (λifi)p

λ1λ2 h = µ1µ2 g1g2.

Es folgt λ1λ2 I(h) = µ1µ2, also µ1µ2 = (λ1λ2) c (c ∈ R) und damit die Behauptung.

2

Bemerkung:

(i) Ist f ∈ R[t]\R irreduzibel, so ist f auch in Q(R)[t] irreduzibel.

Beispiel: t2 − n ist irreduzibel uber ZZ fur n /∈ {x2 | x ∈ ZZ}. Dies bedingt√n /∈ Q.

Die Umkehrung lautet: Ist f(t) ∈ R[t]\R reduzibel in K[t], dann auch in R[t].

(ii) Sind f, g ∈ R[t], f 6= 0, g primitiv mit g|f in K[t], so gilt g|f bereits in R[t]. (f = h · g in

K[t](2.60)⇒ f = c · h, c ∈ R, h ∈ R[t] ⇒ Behauptung.)

(iii) Zwei primitive Polynome f, g ∈ R[t] sind genau dann in K[t] assoziiert, falls sie es in R[t]sind. (f = c · g ⇔ f = cc g, cc ∈ U(R).)


Beweis zu (2.57):Die irreduziblen Elemente von R[t] sind von zweierlei Gestalt:

(i) irreduzible Elemente aus R,

(ii) irreduzible Polynome f(t) ∈ R[t] mit deg (f) ≥ 1.

R[t] ist Integritatsring mit 1, da R es ist. Sei nun f(t) ∈ R[t] vorgelegt. O.B.d.A. konnen wirdeg (f) > 0 annehmen. Dann existiert im ZPE-Ring K[t] mit K = Q(R) eine Faktorisierung vonf in irreduzible Elemente: f = q1 · . . . · qr mit qi ∈ K[t]. Mittels (2.61) erhalten wir hieraus eineFaktorisierung

f = c q1 · . . . · qr mit qi = αiqi (1 ≤ i ≤ r)

aus R[t] primitiv und irreduzibel, c ∈ R. c besitzt jedoch nach Voraussetzung eine Zerlegung inirreduzible Elemente in R.Hat f in R[t] nun zwei solche Zerlegungen

f = c q1 · . . . · qr = tc p1 · . . . ps (deg (qi) > 0, deg (pj) > 0),

dann sind qi, pj auch in K[t] irreduzibel, also gilt r = s und — bei passender Numerierung —qi = αipi (αi ∈ K, 1 ≤ i ≤ r). Damit sind die qi und pi in R[t] assoziiert, und es folgt c ∼ c und— wegen R ZPE-Ring — die Behauptung.

2

Bemerkung: Ist R ZPE-Ring, so auch R[t1, . . . , tn].

Als Bausteine sind die irreduziblen Polynome in ZPE-Ringen R[t] von Interesse.

Bemerkung: (at+ b) |

(n∑

i=0

ai tn−i

)⇒ a|a0, b|an.

Beispiel:Fur welche a ∈ ZZ ist f(t) = t5 + at+ 1 in Q[t] irreduzibel?Die Entscheidung fallt bereits in ZZ[t]! f ist primitiv!Existenz von Nullstellen: f(±1) =

{2+a−a

}, also ist f reduzibel fur a ∈ {0, −2}.

Quadratische Faktoren:

t5 + at+ 1 = (t2 + α t+ β) (t3 + γ t2 + δ t+ ε)

⇒ α+ γ = 0, δ + αγ + β = 0, ε+ α δ + β γ = 0, α ε+ β δ = a, β ε = 1⇒ γ = −α, δ = α2 − β, ε = α (2β − α2),Damit: β = ε = 1 ⇒ a = 1 (α = 1, γ = −1, δ = 0)

β = ε = −1 ⇒ keine Losung (−1 = −α (2 + α2) ⇒ 1 = α (2 + α2) Widerspruch).

1.62 Satz (Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein)

Es sei R ein ZPE-Ring und

f(t) =n∑

i=0

ai ti ∈ R[t]

mit deg (f) ≥ 1. Gibt es dann ein Primelement π ∈ R mit π|ai (0 ≤ i < n), π2 - a0 und π - an, soist f(t) in Q(R)[t] irreduzibel.

Beweis: Indirekt!Ist f(t) in Q(R)[t] echt zerlegbar, dann auch nach (2.60) in R[t] . Wir nehmen daher in R[t] an:f(t) = g(t)h(t) mit deg (g) · deg (h) > 0, etwa

g(t) =d∑

i=0

bi ti, h(t) =

m∑j=0

cj tj .

1.62 Satz — Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein 35

Speziell gilt dann:

ai :=i∑

k=0k≤d

i−k≤m

bk ci−k.

Aus a0 = b0c0 und π|a0, π2 - a0 folgt o.B.d.A. p|b0, p - c0.

Wir zeigen induktiv: p|bj (1 ≤ j ≤ d). Fur d ≥ i > 0 gilt ja:

ai =i∑

k=0i−k≤m

bk ci−k =i−1∑k=0

i−k≤m

bk ci−k + bi c0 ≡ 0 mod π

nach Induktionsannahme, also π|bic0 und wegen π - c0 folglich π|bi. Fur i = d folgt π|bdcn = an.Widerspruch!

2

Beispiel:

(i) tn − a (a ∈ ZZ, ∃ Primzahl p mit p|a, p2 - a) ist in Q[t] (und ZZ[t]) irreduzibel. ( n√a ist in

diesem Fall irrational!)

(ii) In Q[t] sind gemaß (2.61) irreduzibel:

f1(t) = 3 t5 − 15 (p = 5),f2(t) = 2 t10 − 21 (p = 3, 7),f3(t) = 5 t5 − 12 t4 + 24 t3 + 2 t2 − 4 t+ 34 (p = 2).

Hierbei sind allerdings nur die beiden letzten Polynome f2, f3 auch in ZZ[t] irreduzibel(f1(t) = 3 (t5 − 5), 3 /∈ U(ZZ)).

(iii) p-te Einheitswurzeln sind Nullstellen von tp−1, sie bilden eine zyklische Gruppe der Ordnungp. tp − 1 ist reduzibel (t− 1) | (tp − 1).

tp − 1t− 1

=p−1∑i=0

ti =: Φp(t)

heißt p-tes Kreisteilungspolynom.

Φp(t) irreduzibel ⇔ Φp(t + 1) irreduzibel; dies gilt, weil ϕ : R[t] → R[t] : t 7→ t + 1Ringisomorphismus ist.

Es gilt

Φp(t+ 1) =(t+ 1)p − 1

t

=

p∑i=0

(p

i

)ti − 1

t

= tp−1 +p−1∑i=1

(p

i

)ti−1,

und fur ai−1 :=(pi

), a0 = p erhalten wir p|a0, p

2 - a0,(p

i

)=p · (p− 1) · . . . · (p− i+ 1)

i · . . . · i≡ 0 mod p (1 ≤ i ≤ p− 1), also folgt

p∣∣(p

i

)= ai−1 (1 ≤ i ≤ p− 1), p - ap−1 = 1 ⇒ Φp(t) irreduzibel.


1.63 Satz (Reduktion)

Es seien R, S zwei Integritatsringe mit 1 und ϕ : R→ S ein Ringhomomorphismus mit ϕ (1R) =1S . Dann laßt sich ϕ kanonisch zu einem Ringhomomorphismus Φ : R[t] → S[t] mit Φ|R = ϕfortsetzen. Es sei f(t) ∈ R[t] mit deg (Φ (f)) = deg (f) > 0. Ist dann Φ(f) in S[t] irreduzibel, soist f in R[t] nicht als Produkt f = g h mit deg (g) deg (h) > 0 darstellbar.

Beweis:

(i)

Φ : R[t]→ S[t] :n∑

i=0

ai ti 7→

n∑i=0

ϕ (ai) ti

hat ker Φ = ker (ϕ)[t] wegen Φ|R = ϕ.

(ii) Ist f = g h eine echte Zerlegung, d.h. (deg(g) deg(h) > 0) in R[t], so ist Φ(f) = Φ(g)Φ(h)und deg (Φ (g)) ≤ deg (g), deg (Φ (h)) ≤ deg (h). Wegen deg (Φ (f)) = deg (f) und S In-tegritatsring liefert ein Gradvergleich, daß Φ (g) Φ (h) echte Zerlegung von Φ (f) ist. Wider-spruch.

2

Anwendung:Bei Irreduzibilitatstests in ZZ[t]!R = ZZ, S = ZZ/pZZ, p Primzahl mit p - l(f).

Beispiele:

(i) f(t) = t3 + 39t2 − 4t+ 8 ∈ ZZ[t],

p = 3 : Φ (f) = t3 − t− 1 ist in ZZ/3ZZ irreduzibel, da es dort keine Nullstelle besitzt.

(ii) f(t) = t2 + (10170 + 1)t+ (1054821 + 343) ∈ ZZ[t],

p = 2 : Φ (f) = t2 + t+ 1 ist in ZZ/2ZZ irreduzibel.

(Dagegen ist eine Bestimmung der Teiler von f(0) praktisch unmoglich.)

Losen von Gleichungen:Gegeben sei ein Polynom f(t) ∈ R[t], R kommutativer Ring mit 1,

f(t) =n∑

i=0

ai tn−i.

Problem:

Bestimme x ∈ R oder aus einem unitaren Oberring Λ von R mit f(x) = 0. Ist a0 kein Nullteiler,dann liefert Multiplikation mit an−1

o :

(a0x)n + a1 (a0x)n−1 + . . .+ anan−10 = 0,

und jede Losung y ∈ R vonyn + a1y

n−1 + . . .+ anan−10 = 0

liefert eine Losung x =y

a0in Q(R).

Also genugt es, f(t) als normiert an = 1) anzunehmen. Ein unitarer Oberring Λ von R, in dem fein Nullstelle besitzt, heißt Losungsring der Gleichung f(x) = 0.

1.64 Lemma 37

1.64 Lemma

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und f(t) ∈ R[t] normiert mit deg (f) ≥ 1. Dann istΛ := R[t]/(f) ein Ring, in dem f eine Nullstelle besitzt. Außerdem laßt sich R in Λ einbetten.

Beweis:Λ besitzt uber R eine Basis tν/(f) (0 ≤ ν < deg (f)), da sich jedes Polynom g ∈ R[t] in der From

g = Q(g, f) f +R(g, f) mit deg (R(g, f)) < deg (f)

schreiben laßt. Also existiert in Λ ein Reprasentantensystem, das aus jeder Restklasse ein Polynomvom Grad < deg (f) enthalt, was sich also aus den tν (0 ≤ ν < deg (f)) linear (mit Koeffizientenaus R) kombinieren laßt. Eine solche Darstellung ist uberdies eindeutig, da die Differenz zweierungleicher Polynome vom Grad < deg (f) ein Polynom vom Grad ≥ 0 und < deg (f) ergibt, welchesfolglich nicht die Nullrestklasse reprasentiert. Uberdies gilt offenbar f(x) = 0 fur x = t/(f). EineEinbettung von R in Λ erfolgt mittels

τ : R→ Λ : 7→ a+ (f).

2

Bemerkung:Der Ring Λ = R[t]/(f) hat die folgenden 3 Eigenschaften:

(i) Λ ist unitarer Oberring von R.

(ii) Λ wird uber R durch eine Wurzel x = t/(f) (d.h. x ∈ Λ) von f generiert.

(iii) Fur jeden Losungsring S mit Nullstelle y von f in S existiert ein Ringhomomorphimus

ϕ : Λ→ S : x 7→ y (ϕ (x) = y, ϕ (1) = 1).

Ein Ring mit diesen drei Eigenschaften wird Ring der Gleichung f(x) = 0 genannt.

Beispiele:

(i) Es seien R = ZZ/8ZZ = {0, . . . , 7} und f(t) = t2 − 1 ∈ R[t]. Λ = R[t]/(f) besitzt als R-Basis 1/(f), t/(f) =: x. Anderseits ist S = ZZ/8ZZ selbst Losungsring, folglich existiert einRinghomomorphismus ϕ : Λ→ R mittels t/(f) 7→ α, α ∈ {1, 3, 5, 7}

a 1/(f) + b t(f) 7→ a+ α b

(a 1(f) + b t/(f)) (c 1/(f) + d t/(f)) 7→ (a+ α b) (c+ αd)‖ ‖

(ac+ bd) 1/(f) + (ad+ bc) t/(f) (ac+ α2bd) + α (ad+ bc)‖ ‖

(ac+ bd) 1/(f) + (ad+ bc) t/(f) (ac+ bd) + α (ad+ bc).

(ii) f(t) = t3 + pt2 + qt+ r zerfalle in Λ[t] gemaß

f(t) = (t− x) (t2 + at+ b), alsof(t) = (t− x) (t2 + (p+ x) t+ q + x (x+ p))

⇒ r = −x (x (x+ p) + q) in R[t]/(f).

(iii) t2 +m sei irreduzibel uber R (etwa m = 1, R = IR oder m = −2, R = ZZ/5ZZ). R[t]/(f) hatBasis 1, t. Es ist

R[t]/(f) ∼= R×R.

Wie sieht die Ringstruktur auf R×R aus?

(a+ tb) · (c+ td) = ac−mbd+ t (bc+ da),(a, b) · (c, d) = (ac−mbd, bc+ da),

f((0, 1)) = (0, 1)2 + (m, 0) = (−m+m, 0) = 0.


1.65 Korollar

Durch iterierte Anwendung der Konstruktion aus (2.63) erhalt man S(f, R), den sogenanntenZerfallungsring von f uber R, mit n! Basiselementen uber R, n = deg (f).

1.66 Hilfssatz

Es sei K ein Korper und f ∈ K[t], deg (f) > 0. Dann exitiert ein Erweiterungskorper L von K,besitzt. Auin dem f eine Nullstelle besitzt.

Beweis:Es sei g ∈ K[t] ein irreduzibler Faktor von f mit deg (g) ≥ 1, d.h. f = p · g, p ∈ K[t]. Da K[t]Hauptidealring ist, ist g Primideal und (g) maximales Ideal. Folglich ist L := K[t]/(g) ein Korper,in dem g (und damit f) eine Nullstelle besitzt, d.h. die Restklasse von t, t+ (g), ist Nullstelle vonf in L wegen f = p · g ∈ (g).

2

1.67 Satz

Es seien K ein Korper und f(t) ∈ K[t] mit deg (f) = n > 0. Dann exitiert ein ErweiterungskorperL von K, in dem f Produkt von l(f) und n normierten Polynomen ersten Grades ist:

f(t) = l(t)n∏

i=1

(t− xi) in L[t], xi ∈ L.

Speziell enthalt L alle Nullstellen von f .

Beweis: Per Induktion uber n = deg (f)!n = 0: f = l(f), das Produkt uber normierte Polynome ersten Grades ist hier leer.n⇒ n+ 1:Gemaß (2.65) exitiert ein Erweiterungskorper L1 von K, in dem f eine Nullstelle hat.

f(t) = (t− x1) g(t) in L1[t], deg (f) = n+ 1, x1 ∈ L1, deg (g) = n.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Erweiterungkorper L von L1, in dem g zerfallt:

g = l(g)n+1∏i=2

(t− xi) ∈ L[t], x2, . . . , xn+1 ∈ L,

und es folgt

f = (t− x1) · l(g) ·n+1∏i=2

(t− xi) = l(f) ·n+1∏i=1

(t− xi) ∈ L[t].

2

Beispiel:Es sei f ∈ K[t], f normiert, f zerfallt in L mit xi ∈ L wie folgt:

f =n∏

i=1

(t− xi)

= (t− x1) (t− x2) . . . (t− xn)

= tn − tn−1n∑

i=1

xi + tn−2∑i<j

xi xj

+ . . .+ (−1)n−ktk∑

1≤i1<i2<...<ik≤n

xi1 · . . . · xin−k+ . . .+ (−1)n x1 · . . . · xn.

1.68 Definition — symmetrisch, elementarsymmetrische Funktionen 39

1.68 Definition

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Polynom

f(t) ∈ R[t] ( t = (t1, . . . , tn))

heißt symmetrisch, fallsf(t1, . . . , tn) = f(tπ(1), . . . , tπ(n))

fur alle π ∈ Sn gilt. Speziell heißen

σ0(t) := 1

σj(t) :=∑

1≤i1<i2<...<ij≤n

ti1 · . . . · tij (1 ≤ j ≤ n)

elementarsymmetrische Funktionen in t1, . . . , tn (σj = σ(n)j ).

Beispiele:

(i)

σ1 = t1 + . . .+ tn,

σ2(t1, t2, t3) = t1t2 + t1t3 + t2t3,

σn(t1, . . . , tn) = t1 . . . tn.

(ii) Potenzsummen:

Sk(t) :=n∑

j=1

tkj (Potenzsummen), (k ∈ ZZ≥0),

S2(t) = t21 + . . .+ t2n

= (t1 + . . .+ tn)2 − 2∑i<j

ti tj .

(iii) Zusammenhang:

S2 = σ21 − 2σ2

= σ1 S1 − 2σ2,

also fur n = 2:

σ2(t) = t21 + t22

= (t1 + t2)2 − 2t1t2= σ1(t)2 − 2σ2(t).

(iv)

f(t1, . . . , tn, t) :=n∏

i=1

(t− ti)

=n∑

j=0

(−1)n−j σn−j(t) tj ,

n∑i=0

(−1)i σi(t) tn−i.


(v) Es sei A ∈Mn(C) und

Jc =

λ1 ∗1

. . . . . .. . . ∗n−1

λn

mit λi Eigenwert zu A (1 ≤ i ≤ n) und ∗j ∈ {0, 1} (1 ≤ j ≤ n− 1).

fA = det (t− Jc)

=n∏

i=1

t− λi)

=n∑

j=0

(−1)j σj(λ1 . . . λn) tn−j

σ1(λ1 . . . λn) = Sp (A), σn(λ1 . . . λn) = det A.

(vi)σ

(n)k (t1 . . . tn) = σ

n+m)k (t1 . . . tn, 0 . . . 0︸︷︷︸

m

).

Bemerkung:Die symmetrischen Polynome bilden einen Unterring von R[t1 . . . tn]. Der Einsetzungshomomor-phismus

Φ(σ1...σn) : R[t1 . . . tn]→ R[t1 . . . tn]

Φ (f) = f(σ1, . . . , σn) ist symmetrisch.

1.69 Satz (Hauptsatz uber elementarsymmetrischeFunktionen)

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Dann ist jedes symmetrische Polynom f(t) ∈ R[t] gleichg(σ1, . . . , σn) fur ein eindeutig bestimmtes Polynom g ∈ R[t].

Beweis:Wir definieren das Gewicht eines Monoms

g(t) = a tm11 · . . . · tmn

n als w(tk) = k, w(g) :=n∑

i=1

imi.

Das Gewicht eines Polynoms f ∈ R[t] wird dann als Maximum der Gewichte seiner Monome fest-gelegt, d.h.

f =∑

ai1...inti11 . . . tin

n , w(f) = max {w(ti11 . . . tinn ).

(i) Wir zeigen: Zu f ∈ R[t] symmetrisch vom Grad d existiert g ∈ R[t] mit w(g) ≤ d undf(t1, . . . , tn) = g(σ1, . . . , σn).

Der Beweis erfolgt mittels Induktion nach n.

Fur n = 1 ist f = g und σ1 = t1.

n− 1⇒ n: Beweis per Induktion nach d = deg (f).

Fur d ≤ 0 ist f konstant und g = f tut’s.

Sei also d > 0.

d− 1⇒ d: Dann istf (n−1)(t1, . . . , tn−1) := f(t1, . . . , tn−1, 0)

1.69 Satz — Hauptsatz uber elementarsymmetrische Funktionen 41

vom Grad deg (f (n−1)) ≤ d symmetrisch in t1, . . . , tn−1. Nach Induktionsvoraussetzung ubern existiert also ein Polynom g1(t1, . . . , tn−1) ∈ R[t1, . . . , tn−1] vom Gewicht ≤ d mit

f (n−1)(t1, . . . , tn−1) = g1(σ(n−1)1 , . . . , σ

(n−1)n−1 ),

wobei σ(n−1)i = σi(t1, . . . , tn−1, 0) gesetzt wurde.

Hiernach isth(t) := f(t)− g1(σ1, . . . , σn−1)

ebenfalls symmetrisch vom Grad ≤ d. Wegen h(t) symmetrisch und h(t1, . . . , tn−1, 0) = 0folgt σn|h, bzw. h = σnh1, deg (h1) = deg (h)− n. Wiederum ist h1 symmetrisch vom Gradd− n < d. Nach Induktionsannahme existiert daher g2 ∈ R[t1, . . . , tn] vom Gewicht ≤ d− nmit

h1(t1, . . . , tn) = g2(σ1, . . . , σn),

und insgesamt leistet

g(σ1, . . . , σn) = g1(σ1, . . . , σn−1) + σn g2(σ1, . . . , σn)

das Verlangte.

(ii) Eindeutigkeit:

Dazu zeigen wir: Fur f ∈ R[t1, . . . , tn] mit f(σ1, . . . , σn) = 0 gilt f = 0.

Der Beweis erfolgt per Induktion uber n.

Fur n = 1 ist die Aussage wegen σ1 = t1 trivial.

Sei also n > 1 und f 6= 0 von minimalem Grad > 0 mit f(σ1, . . . , σn) = 0. Aus dem Ansatz

f(t1, . . . , tn) =l∑

i=0

fi(t1, . . . , tn−1) tin

folgt zunachst f0(t1, . . . , tn−1) 6= 0, da sonst f durch tn teilbar ware, d.h.

f(t) = tn f(t) mit 0 = f(σ) = σn f(σ),

im Widerspruch zur Minimalitat des Grades. Daher gilt:

0 = f(σ1, . . . , σn) =l∑

i=0

fi(σ1, . . . , σn−1)σin.

Setzen wir hierin tn = 0, so erhalten wir

0 = f(σ(n−1)1 , . . . , σ

(n−1)n−1 , 0) = f0(σ

(n−1)1 , . . . , σ

(n−1)n−1 )

im Widerspruch zur Induktionsannahme!

2

Beispiel:Fur

f(t1, t2, t3) = (t1 − t2)2 (t1 − t3)2 (t2 − t3)2

ist

f(t1, t2, 0) = (t1 − t2)2 (t1t2)2

= (σ(2)2

1 − 4σ(2)2 )σ(2)2

2 ;


folglich gilt h(t) = σ3 h1(t) mit

h1(t1, t2, 0) = 18σ(2)1 σ

(2)2 − 4σ(2)3

1

h2(t) = h1(t)− 18σ(3)1 σ

(3)2 + 4σ(3)

1

= −27 t1t2t3= −27σ3

⇒f(t1, t2, t3) = σ2

1 σ22 − 4σ3

2 + σ3 (18σ1 σ2 − 4σ31 − 27σ3).

Zusammenhang zwischen Potenzsummen und elementarsymmetrischen Funktionen:

1.70 Satz

Fur die Potenzsummen Sk(t) und die elementarsymmetrischen Funktionen σj(t) gelten die ”New-tonschen Relationen”:

(i)k−1∑i=0

(−1)i σi(t)Sk−i(t) + k (−1)k σk(t) = 0 (0 ≤ k ≤ n),

(ii)n∑

i=0

(−1)i σi(t)Sk−i(t) = 0 (k ≥ n).

Beweis:Fur

f(t1, . . . , tn, t) =n∑

j=0

(−1)j σj(t) tn−j =n∏

j=1

(t− tj)

gilt:

0 =n∑

j=0

(−1)j σj(t) tn−ji (1 ≤ i ≤ n)

bzw.

0 =n∑

j=0

(−1)j σj(t) tk−ji (1 ≤ i ≤ n, k ≥ n).

Summation dieser n Gleichungen liefertn∑

j=0

(−1)j σj(t)Sk−j(t) = 0,

also (ii) bzw. (i) fur k = n. Der Rest von (i) wird bei festem k mittels Induktion nach n bewiesen:

Induktionanfang: n = k ist bereits gezeigt.n− 1⇒ n:Wir setzen

F (t1, . . . , tn) :=k−1∑i=0

(−1)i σi(t)Sk−i(t) + k (−1)j σk(t).

Dies ist eine symmetrische Funktion vom Grad ≤ k < n. Ferner gilt

F (t1, . . . , tn, 0) = 0

nach Induktionsannahme. Also ist F (t) durch tn — wegen der Symmetrie durch σn(t) — teilbar.Wegen deg (F ) < n muß F folglich identisch verschinden.

1.71 Definition — Diskriminante 43

2

Beispiel:

S1(t) = σ1(t),S2(t) = σ1(t)S1(t)− 2σ2(t)

= σ21(t)− 2σ2(t),

S3(t) = σ1(t)S2(t)− σ2(t)S1(t) + 2σ3(t)= σ3

1(t)− 3σ1(t)σ2(t) + 3σ3(t),

usw. Sind die naturlichen Zahlen in R keine Nullteiler, so gilt in Q(R) auch:

σ1(t) = S1(t),

σ2(t) =12

(S1(t)2 − S2(t)),

σ3(t) =13

(S2(t)− S1(t)3 + 3S1(t)

12

(S1(t)2 − S2(t)))

=16

(2S3(t) + S1(t)3 − 3S1(t)S2(t)),

usw.

1.71 Definition

In R[t] heißt

D(t) =∏

1≤i<j≤n

(ti − tj)2

Diskriminante von t.

Beispiel:

t2 + at+ b, x1,2 = −a2±√a2 − 4b

4,a2 − 4b

4= (x1 − x2)2.

1.72 Hifssatz

In R[t] gilt:D(t) = det ((Si+j−2(t)1≤i,j≤n) .

Beweis in den Ubungen.

1.73 Satz (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes Polynom f ∈ C[t] mit deg (f) ≥ 1 besitzt eine Nullstelle in C, d.h. uber C zerfallt f inLinearfaktoren:

f(t) = l(f)deg (f)∏

j=1

(t− xj) xj ∈ C).

”C ist algebraisch abgeschlossen.”

Beweis:


(i) Wir fuhren den Beweis auf die gleiche Aussage fur Polynome aus IR[t] zuruck.

Fur f ∈ C bilden wirg(t) := f(t) f(t) ∈ IR[t].

Wir erhalten dann

g(t) := |l(f)|22 deg (f)∏

j=1

(t− cj).

Hier ist mit cj auch cj Nullstelle von g (!) und wir bekommen


i=1

(t− cji) (1 ≤ j1 < j2 < . . . < jdeg (f) ≤ 2 deg (f)).

(ii) Wir zeigen: Jedes Polynom

f(t) = tn − a1tn−1 + a2t

n−2 −+ . . .+ (−1)nan ∈ IR[t]

mit n ≥ 1 besitzt in C ein Nullstelle.

Fur n ungerade folgt dies aus dem Zwischenwertsatz der Analysis.

Sei also n von der Form 2kq mit k ∈ ZZ≥0, q ungerade, q ∈ IN.

Wir fuhren den Beweis mittels Induktion nach k.

Induktionsanfang: k = 0 ist bereits geklart.

Sei nun k ≥ 1 und die Behauptung fur 1, . . . , k − 1 bereits bewiesen.

Nach (2.66) existiert ein Erweiterungskorper K von IR mit

f(t) = l(f)n∏

j=1

(t− xj)

in K[t]. Wir bilden nun fur jede reelle Zahl r das Polynom

Lr(t) :=∏

1≤µ<ν≤n

(t− xµ − xν − r xµxν) ∈ K[t]

(Laplace) (Koeffizenten von Lr(t) sind symmetrisch in den Wurzeln). Hierbei ist Lr einesymmetrische Funktion in x1, . . . , xn, also sind die Koeffizienten reelle Polynome in denelementarsymmetrischen Funktionen σj(x) = (−1)jaj , d.h. es gilt Lr(t) ∈ IR[t]. Wegen

deg (Lr) =n

2(n− 1) = 2k−1q (2kq − 1) = 2k−1q,

q ungerade, besitzt Lr fur jedes r ∈ IR eine Nullstelle in C. Fur jedes r ∈ IR existieren alsoIndizes µ, ν mit

zr := xµ + xν + r xµxν ∈ C.

Da die Anzahl der Indexpaare µ, ν endlich, die der r ∈ IR unendlich ist, existieren r 6= r inIR, 1 ≤ µ < ν ≤ n mit

xµ + xν + r xµxν , xµ + xν + r xµxν ∈ C.

Hieraus folgt xµ + xν ∈ C, xµxν ∈ C, d.h. xµ, xν sind Nullstellen von

t2 − (xµ + xν) t+ xµxν ∈ C[t],

also xµ, xν ∈ C.

⇒ alle zugehorigen Wurzeln in C (in C lassen sich Wurzeln ziehen).

2

1.74 Korollar 45

1.74 Korollar

Jedes Polynom f ∈ IR[t] mit deg (f) ≥ 1 besitzt eine — bis auf Reihenfolge der Faktoren —eindeutige Darstellung

f(t) = l(f)k∏

i=1

(t− ci)l∏

j=1

qj(t)

(ci ∈ IR, qj(t) = t2 + ujt+ vj ∈ IR[t] irreduzibel (1 ≤ j ≤ l)).

Beweis:Es seien c1, . . . , ck alle reellen Nullstellen von f , und es sei g durch

f(t) = l(f)k∏

i=1

(t− ci) g(t)

eindeutig bestimmt. Da fur jede Nullstelle x von g wegen

0 =m∑

ν=0

gν xν =

m∑ν=0

gν xν =

m∑ν=0

gν xν

fur

g(t) =m∑

ν=0

gν tν

auch x Nullstelle ist, ist deg (g) gerade! Es seien z1, . . . , zl, z1, . . . , zl alle Nullstellen von g in C.Dann setzen wir

qj(t) = t2 − (zj + zj) t+ zj zj ∈ IR[t] (1 ≤ j ≤ l).

Eindeutigkeit:Ist xj ∈ IR Nullstelle von f so gilt (t − xj) | f(t). Ist zj ∈ C\IR Nullstelle von f , dann auch zj ,und es gilt

IR[t] 3 (t2 − (zj + zj) t+ zj zj) | f(t).

2

1.75 Korollar

Die irreduziblen Elemente von C[t] sind die Polynome ersten Grades aus C[t]. Die irreduziblenElemente von IR[t] sind die Polynome ersten Grades und diejenigen Polynome c (t2+ut+v) zweitenGrades mit u2 − 4v < 0.

1.76 Satz

Es sei K ein unitarer nullteilerfreier kommutativer Oberring von IR, in dem jedes Element alge-braisch uber IR ist. Dann ist K isomorph zu IR oder C.

Beweis:Es sei K 6= IR. Fur x ∈ K\IR ist V := IR1 + IRx ein zweidimensionaler IR-Vektorraum. Fernerexistiert 0 6= f ∈ IR[t], deg (f) ≥ 1, mit f(x) = 0. Da K nullteilerfrei ist, folgt bereits, daß xNullstelle eines normierten Polynoms zweiten Grades ist: g(x) = 0 fur

g(t) = t2 + ut+ v ∈ IR[t] (u2 − 4v < 0).

Also gilt: x2 = −ux− v in K. Damit laßt sich V zu einem Ring machen mittels

(a+ bx) (c+ dx) = ac+ (ad+ bc)x+ (−ux− v) bd= (ac− vbd) + (ad+ bc− ubd)x ∈ V.


Also ist V ein kommutativer nullteilerfreier unitarer Oberring von IR mit 2-elementiger Basis. Vist zu C isomorph durch dem IR-Isomorphismus

a+ bx 7→ a+b

2(−u+ iD) fur D =

√4v − u2.

Dies ist zunachst eine surjektive und injektive Abbildung. Zur Homomorphie:

(a+ bx) (c+ dx) 7→(a+

b

2(−u+ iD)

) (c+

d

2(−u+ iD)

)‖ ‖

(ac− bdv) + x (bc+ ad− ubd) ac+ad

2(−u+ iD) +

bc

2(−u+ iD) +

bd

4(u2 + 2uDi−D2)

–↓ ‖

ac− bdv + (bc+ ad− ubd) 12

(−u+ iD) != ac− u

2(ad+ bc− bdu)− bdv +

i

2D (ad+ bc− bdu)

Es bleibt K = V zu zeigen. Es seien dazu y ∈ K\IR beliebig, f ∈ IR[t] mit f(y) = 0. Uber V ∼= Czerfallt f in Linearfaktoren t− λ (λ ∈ V ), also folgt y = λ fur passende Wahl von λ.

2

1.77 Satz

Jede endliche Untergruppe G der multiplikativen Gruppe K× eines Korpers K ist zyklisch.

Beweis:Es sei |G| = n und m ∈ IN minimal mit xm = 1 ∀x ∈ G. Dann existiert hierzu ein Elementa ∈ G mit ord (a) = m (vergleiche Ubungen, Blatt 3, Aufgabe 1). Wegen m|n ist sicherlich m ≤ n.Andererseits sind alle x ∈ G Nullstellen von tm − 1, woraus m ≥ n folgt. Insgesamt gilt daherm = n und G =< a >.

2

1.78 Definition

Es sei R (kommutativer) Ring mit 1. D : R→ R heißt Derivation, falls

D(a+ b) = D(a) +D(b), D(ab) = D(a) b+ aD(b) ∀a, b ∈ R

gilt.

Beispiel: D : R[t]→ R[t] : f 7→ f ′.

Kapitel 2: Korper

Bereits als bekannt werden die folgenden Aussagen vorausgesetzt:Definition in (2.17): K kommutativer Ring mit 1 und K× = K\{0}.Charakteristik: Durchschnitt von Korpen ist wieder einer, der kleinste Teilkorper eines Korpers istwieder einer, der kleinste Teilkorper eines Korpers K heißt Primkorper P (K) von K, fur χ (K) = 0gilt P (K) ∼= Q, fur χ (K) = p gilt P (K) ∼= ZZ/pZZ (vgl. (2.21), (2.22)),(Unter-) Teilkorper, (Ober-) Erweiterungskorper, Zwischenkorper: K ⊆ L ⊆ M (mit P (K) =P (L) = P (M)); jeder Erweiterungskorper L ⊇ K vonK ist in naturlicher Weise einK-Vektorraum,besitzt also speziell eine K-Basis B, damit ist die Konstruktion eines charakteristischen Polynomsfur algebraische x ∈ L mittels regularer Darstellung moglich.

2.1 Definition

Als Grad einer Korpererweiterung L uber K definiert man [L : K] := dimK L. L uber K heißtendlich fur [L : K] <∞, andernfalls unendlich.

Beispiele:

(i) [C : IR] = 2, [IR : Q] =∞, [Q( 3√

2) : Q] = 3 (vergleiche Bemerkung nach (3.2)).

(ii) K endlich mit χ (K) = p ⇒ ]K = pn fur passendes n ∈ IN.

(iii) [L : K] = 1 ⇔ K = L.

2.2 Satz (Gradsatz)

Es seien K, L, M drei Korper mit K ⊆ L ⊆M . Dann gilt die Gradformel

[M : K] = [M : L] [L : K].

Beweis:Ist {αi}i∈I eine Basis von M uber L und {βj}j∈J eine Basis von L uber K, so ist {αiβj}i∈I,j∈J

eine Basis von M uber K (vergleiche Ubungen, Aufgabe 1, Blatt 10).

2

Bemerkung:Ist L eine Zwischenkorper der endlichen Korpererweiterung M uber K, so teilen [L : K] und[M : L] beide [M : K]. Ist speziell [M : K] Primzahl, so folgt L = K oder L = M .

2.3 Definition

Es seien L uber K eine Korpererweiterung und A eine nicht leere Teilmenge von L. Dannbezeichnet K(A) den kleinsten Teilkorper von L, der K und A enthalt. (Schreibweise: K(a) stattK({a}).)

48 Kapitel 2 — Korper

2.4 Hilfssatz

Es seien K ⊆ L zwei Korper und ∅ 6= A ⊆ L. Dann gilt:

K(A) ={f(u1, . . . , ur)g(u1, . . . , ur)

∈ L∣∣∣∣ f, g ∈ K[t1, . . . , tr], ui ∈ A (1 ≤ i ≤ r), r ∈ IN, g(u1, . . . , ur) 6= 0

}.

Bemerkung:Analog definiert man K[A] als kleinsten Ring in L, der sowohl K als auch A enthalt. K[A] istdiejenige Teilmenge von K(A), bei der stets g ∼= 1 gewahlt wird. Etwa: K(t) = Q(K[t]).

Beweis:K(A) ist sicherlich in der Teilmenge aller Korper enthalten, die K und A umfassen. Ferner istK(A) selbst Korper.

2

2.5 Hilfssatz

Es sei K ein Korper, I ein Integritatsring mit I ⊇ K. Ist dann I ein endlich dimensionalerK-Vektorraum, so ist I bereits ein Korper.

Beweis: Ubungen.

Bemerkung:Besitzt K[A] uber K endliche Dimension, so gilt K[A] = K(A). (Beachte: A ⊆ L,L Oberkorpervon K.)

Die Definition von algebraischen und transzendenten Elementen erfolgte in (2.53).

2.6 Definition

Eine Korpererweiterung L uber K (Schreibweise: L/K) heißt algebraisch (L algebraisch uber K),falls jedes x ∈ L algebraisch uber K ist. Andernfalls heißt L/K transzendent.

2.7 Hilfssatz

Ist x uber dem Korper K transzendent, so gilt:

(i) (K(x) : K) =∞,

(ii) xk (k ∈ IN) ist transzendent uber K mit K(xk) $ K(xl) fur l|k, l < k, l ∈ IN.

Beweis:

(i) Die Potenzen xk (k ∈ ZZ≥0) sind linear unabhangig uber K.

(ii) xk transzendent folgt direkt aus (i); fur k = ml (m ∈ ZZ≥2) gilt offenbar xk = (xl)m, alsoK(xk) ⊆ K(xl). Bei Gleichheit existieren f, g ∈ K[t] mit g(xk) 6= 0 und

xl = f(xk)/g(xk) ⇔ g(xk)xl = f(xk).

”Gradvergleich (in x)” liefert

deg (g(xk)xl) ≡ l mod k,deg (f(xk)) ≡ 0 mod k.

Widerspruch!

2

2.8 Definition — endlich erzeugt, einfach, primitiv 49

Bemerkung:

(i) Ist x uber K transzendent, so besitzt K(x) uber K unendlich viele Zwischenkorper.

(ii) Jede endliche Erweiterung L/K ist algebraisch.

2.8 Definition

Eine Erweiterung L/K heißt endlich erzeugbar, falls in L Elemente α1, . . . , αr existieren mit L =K(α1, . . . , αr). L/K heißt einfach, falls L = K(α) mit α ∈ L gilt. In diesem Fall heißt α primitiv.

Beispiel:C/IR ist einfach mit primitivem Element i,K(t)/K ist einfach mit primitivem Element t,L = K(α) ⇒ mit α ist auch kα primitives Element fur alle k ∈ K \ {0}.Einfache transzendente Erweiterungskorper uber K sind isomorph zu K(t).

2.9 Hilfssatz

(i) Jede endliche Untergruppe G von K× ist zyklisch.

(ii) Jede endliche Erweiterung L/K ist endlich erzeugbar.

(iii) Jede endliche Erweiterung L/K mit ]K <∞ ist einfach.

Beweis:

(i) Es sei |G| = n und m minimaler Exponent fur alle x ∈ G. Hierzu existiert a ∈ G mitord (a) = m (Ubungen). Wegen m|n folgt m ≤ n. Alle x ∈ G sind Nullstellen von tm − 1 ⇒m ≥ n. Also gilt m = n, G =< a >.

(ii) Ist etwa w1, . . . , wr eine K-Basis von L, so gilt L = K(w1, . . . , wr).

(iii) L und K besitzen beide die gleiche Charakteristik p.

Gemaß (i) ist L× zyklisch mit L× =< x >. Offenbar ist dann L = K(x).

2

Ist x algebraisch uber K, so bilden alle Polynome f ∈ K[t] mit f(x) = 0 ein Ideal a in K[t].Dieses ist dann Hauptideal, wird also von einem Element m erzeugt, welches o.B.d.A. als normiertangenommen wird. Dann ist m irreduzibel und teilt alle f ∈ a. Ist andererseits f ∈ a normiertund irreduzibel, so gilt f = m.

2.10 Definition

Ist α algebraisch uber K, so heißt das normierte irreduzible Polynom mα(t) ∈ K[t] mit mα(α) = 0Minimalpolynom von α uber K.

Beispiel:

(i) α = i ⇒ mα(t) = t2 + 1 uber Q, IR;

α =√

2 ⇒ mα(t) = t2 − 2 uber Q bzw. mα(t) = t−√

2 uber IR, Q(√

2).

(ii) α = e2πi/p, p ∈ IP ⇒ mα(t) =p−1∑i=0

ti uber Q.


2.11 Hilfssatz

Es sei α algebraisch uber K. Dann gilt:

(i) K(α) = K[α] ∼= K[t]/mα(t)K[t],

(ii) [K(α) : K] = deg (mα),

(iii) 1, α, . . . , αdeg (mα)−1 ist eine K-Basis von K(α).

Beweis:Der Einsetzungshomomorphismus K[t] → K[α] : f(t) 7→ f(α) ist hier surjektiv, gemaß (2.14)(i)gilt also

K[α] ∼= K[t]/(mα).

Da K[t]/(mα) Korper ist (mα irreduzibel ⇒ (mα) maximal), ist auch K[α] Korper, also giltK[α] = K(α). Teil (ii) und (iii) folgen dann daraus, daß 1, x, . . . , xdeg (mα)−1 fur x = t/(mα) eineBasis von K[t]/(mα) bilden, und bei besagtem Isomorphismus wird α auf x abgebildet.Konstruktiver Aspekt: Ist f(α)

g(α) ∈ K(α), so ist g(α) 6= 0 und damit g(t) inK[t] zumα(t) teilerfremd.Mit dem Euklidischen Algorithmus konstruiert man u, v ∈ K[t] mit 1 = ug + vmα und erhalt1 = u(α) g(α) oder 1/g(α) = u(α) ∈ K[α].

2

Aufgabe:Wie sieht K[α] aus, falls f(α) = 0 mit reduziblem Polynom f ist? (Anleitung: Chinesischer Rest-satz.)

Bemerkung:[K(α) : K] <∞ ⇔ α algebraisch uber K.

2.12 Hilfssatz

Eine Korpererweiterung L/K ist genau dann endlich, wenn L = K(α1, . . . , αr) mit uber K alge-braischen Elementen αi (1 ≤ i ≤ r; r ∈ IN) ist.

Beweis:”⇒” Es ist L = Kw1 + . . . +Kwr = K(w1, . . . , wr) fur jede K-Basis w1, . . . , wr von L. Hierbeisind dann alle wi uber K algebraisch gemaß der voranstehenden Bemerkung.”⇐” Wegen K(α1, . . . , αi) = K(α1, . . . , αi−1) (αi) und (3.11), (3.2) folgt die Behauptung:

[L : K] =r∏

i=1

[K(α1, . . . , αi) : K(α1, . . . , αi−1)].

2

2.13 Hilfssatz

Sind K ⊆ L ⊆M drei Korper und M/L sowie L/K algebraisch, so ist auch M/K algebraisch.

Beweis:Es sei α ∈M algebraisch uber L mit Minimalpolynom

mα(t) = tn + a1tn−1 + . . .+ an ∈ L[t].

Hierbei sind a1, . . . , an ∈ L algebraisch uber K. Also ist K1 := K(a1, . . . , an) eine endlicheErweiterung von K gemaß (3.12), und α ist algebraisch uber K1. Also ist K(a1, . . . , an, α) endlicheErweiterung von K und folglich α algebraisch uber K.

2

2.14 Korollar 51

2.14 Korollar

Es sei L/K eine Korpererweiterung und A(L) die Menge aller uber K algebraischen Elemente ausL. Dann ist A(L) ein algebraischer Erweiterungskorper von K.

Beweis:Es bleibt “A(L) ist Korper” zu zeigen. Sind aber a, b ∈ A(L), so ist K(a, b) algebraisch uber K,also gilt K(a, b) ⊆ A(L), d.h. a± b, ab, ab−1 = a

b (fur b 6= 0) sind uber K algebraisch (gehoren zuL), damit gehoren sie auch zu A(L).

2

Kennzeichnung einfacher algebraischer Erweiterungen:

2.15 Satz

Eine Korpererweiterung L/K ist genau dann einfach algebraisch, wenn es zwischen K und L nurendlich viele Zwischenkorper gibt.

Beweis:

(i) Es sei L = K(α). Wir zeigen, daß es eine surjektive Abbildung auf die Zwischenkorper vonL/K von den Teilern des Minimalpolynoms mα = mα/K (in L[t]) gibt. Ist etwa K1 einZwischenkorper von L/K, so ist das Minimalpolynom mα/K1 (von α uber K1) ein Teiler vonmα/K in L[t]. Sind a1, . . . , am (uber K algebraisch) die Koeffizienten von mα/K1 ∈ K1[t], sogilt K1 := K(a1, . . . , am) ⊆ K1 ⊂ L und

[K1 : K1] = [L : K1]/[L : K1] = 1 ([L : K1] = [L : K1] = m)

(wegen (3.11)(ii)), und damit gilt: K1 = K1. Da L[t] euklidischer Ring und folglich ZPE-Ring ist, besitzt mα/K in L[t] nur endlich viele Teiler. Also konnen fur L/K nur endlich vieleZwischenkorper existieren.

(ii) L/K muß algebraisch sein gemaß (3.7) und daran anschließende Bemerkung. Ferner ist Luber K endlich erzeugbar, da man sonst eine nicht abbrechende Kette

K ⊂ K(α1) ⊂ K(α1, α2) ⊂ . . .

erhielte. Wir konnen also L = K(α1, . . . , αr) mit uber K algebraischen αi (1 ≤ i ≤ r)annehmen. Ferner sei r hierin minimal gewahlt. Nach (3.12) ist dann speziell [L : K] < ∞und die Behauptung fur ]K < ∞ bereits wegen (3.9)(iii) bewiesen. Also sei ]K = ∞ undr ≥ 2. Fur x ∈ K betrachten wir die Erweiterungskorper Kx := K(α1 + xα2). Diese konnennach Voraussetzung nicht alle verschieden sein; es existieren folglich y, z ∈ K, y 6= z, mitKy = Kz. Dafur gilt speziell:

α1 + yα2 ∈ Kz, d.h. α1 + yα2 − (α1 + zα2) ∈ Kz

und damit α2 ∈ Kz, α1 = (α1 + yα2)− yα2 ∈ Kz. Also ist

Kz ⊆ K(α1, α2) ⊆ Kz und K(α1, . . . , αr) = K(α1 + zα2, α3, . . . , αr)

im Widerspruch zur minimalen Wahl von r.

2

In (2.66) haben wir gezeigt, daß zu einem Korper K und einem Polynom f ∈ K[t] mit deg (f) > 0stets ein Erweiterungskorper L von K existiert, uber dem L in Linearfaktoren zerfallt.


2.16 Definition

Es sei K ein Korper und f ∈ K[t] mit deg (f) > 0. Ein Erweiterungskorper L von K heißtZerfallungskorper von f , falls


i=1

(t− xi) in L[t]

gilt und L = K(x1, . . . , xdeg (f)) ist.

Bemerkung:Die Bedingung L = K(x1, . . . , xdeg (f)) bedeutet, daß es keinen echten Teilkorper von L gibt, uberdem f in Linearfaktoren zerfallt. (L entsteht durch Adjunktion aller Wurzeln von f zu K.) DieWurzeln brauchen i.a. nicht verschieden zu sein.

Beispiele:

(i) C ist Zerfallungskorper von t2 + 1 ∈ IR[t], ebenso IR[t]/(t2 + 1).

Q(i) ist Zerfallungskorper von t2 + 1 ∈ Q[t].

(ii) Ist K ⊂ L ⊂M und M Zerfallungskorper von f ∈ K[t], so ist M auch Zerfallungskorper vonf ∈ L[t].

(iii) t3− 2 ∈ Q[t] hat Wurzeln 3√

2, 3√

2 e2πi3︸︷︷︸

= −1+√−3

2

,3√

2 e4πi3︸︷︷︸

= −1−√−3

2

((t3− 1) : (t− 1) = t2 + t+1).

picture !!!!

Q( 3√

2) ist kein Zerfallungskorper von t3 − 2 ∈ Q[t], wohl aber

Q(

3√

2, 3√

2−1 +

√−3

2,

3√

2−1−

√−3

2

)= Q

(3√

2,1 +√−3

2

).

(iv) Q(√m) ist Zerfallungskorper von t2 −m ∈ Q[t].

Bemerkung:Der Beweis zu (2.66) lehrt, daß fur einen Zerfallungskorper L von f ∈ K[t] stets [L : K] ≤ deg (f)!gilt. Hierbei kann < gelten, vergleiche Aufgabe 3, Blatt 10, wenn man dort f ∈ Q[t] statt ZZ[t]nimmt.

Wir zeigen im folgenden, daß Zerfallungskorper bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind.

2.17 Hilfssatz

Es seien K, K ′ zwei Korper und ϕ : K → K ′ ein Isomorphismus. Ferner sei f ∈ K[t] irreduzibelund f ′ := ϕ (f). Sind dann α, α′ Wurzeln von f bzw. f ′ in Erweiterungskorpern L bzw. L′, solaßt sich ϕ fortsetzen zu einem Isomorphismus

Φ : K(α)→ K ′(α′) :r∑

i=0

ki αi 7→

r∑i=0

ϕ(ki)α′i

.

Bemerkung: Es ist K(α) = K[α], K ′(α′) = K ′[α′].

Beweis:

2.18 Korollar 53

ϕ induziert einen Ringhomomorphismus

ϕ : K[t]→ K ′[t] :n∑

i=0

ai ti 7→

n∑i=0

ϕ(ai) ti.

Daß ϕ bijektiv ist, ist klar. Zur Homomorphie:

ϕ

n∑i=0

aiti

m∑j=0

bjtj

= ϕ

n+m∑k=0

k∑l=0

l≤n,k−l≤m

albk−l

tk

=n+m∑k=0

k∑l=0

l≤n,k−l≤m

ϕ (al)ϕ (bk−l)

tk

= ϕ

(n∑

i=0

aiti

)ϕ

m∑j=0

bjtj

.

Φ ist offensichtlich surjektiv. Φ ist wohldefiniert und injektiv wegen

n∑i=0

kiαi =

n∑j=0

ljαj ⇔

n∑i=0

(ki − li)αi = 0

f irred.⇔ f(t)

∣∣∣∣∣n∑

i=0

(ki − li) ti

ϕ Isom.⇔ ϕ f(t)

∣∣∣∣∣n∑

i=0

ϕ (ki − li) ti

ϕf irred.⇔n∑

i=0

ϕ (ki − li)α′i

= 0

⇔n∑

i=0

ϕ (ki)α′i

=n∑

j=0

ϕ (lj)α′j

.

Φ ist zudem Homomorphismus, wie man leicht durch Nachrechnen erhalt, da ϕ Homomorphismusist.

2

2.18 Korollar

Es seien f ∈ K[t] irreduzibel und α, β Nullstellen von f in einem Erweiterungskorper L von K.Dann existiert ein K-Isomorphismus K(α)→ K(β) mittels α 7→ β und k 7→ k ∀k ∈ K.

Beweis: Wende (3.17) an mit ϕ = idK , α′ = β.

2

2.19 Satz

Es seien ϕ : K → K ′ ein Korperisomorphismus und f ∈ K[t] mit deg (f) ≥ 1. Ist dann L einZerfallungskorper von f uber K, L′ ein Zerfallungskorper von f ′ = ϕ (f) uber K ′, so laßt sich ϕzu einem Isomorphismus Φ von L auf L′ fortsetzen.

Beweis: Per Induktion uber n = deg (f).


n = 1: Φ = ϕ tut’s wegen L = K, L′ = K ′.n− 1⇒ n:Es sei g ein irreduzibler Faktor von f in K[t] mit deg (f) ≥ 2. Dann ist g′ := ϕ (g) irreduziblerFaktor von f ′ = ϕ (f) in K ′[t]. Ist L Zerfallungskorper von f uber K, so besitzt g eine Wurzelα in L; das gleiche gilt fur ϕ (g) (mit α′ ∈ L′). Gemaß (3.17) existiert ein Isomorphismus Φ1 vonK(α) auf K ′(α′) mit Φ1|K = ϕ und Φ1(α) = α′.Nach Induktionsvoraussetzung laßt sich daher Φ1 wegen

[L : K(α)] =[L : K]

[K(α) : K]=

n

deg(g)< n

zu einem Homomorphismus Φ von L auf L′ fortsetzen. (Falls kein solches g existiert, ist L = Kund die Beh. trivial.)

2

2.20 Korollar

Es sei f ∈ K[t] mit deg(f) ≥ 1. Sind dann L, L′ zwei Zerfallungskorper von f uber K, so sind sieK-isomorph.

Beispiel:Es sei f(t) = t4 + t2 + 1 = (t2 + t+ 1)(t2 − t+ 1) ∈ Q[t].

Dies hat in C die Wurzeln ξ =−1 +

√−3

2, ξ2, −ξ, −ξ2.

Also ist L = Q(ξ) Zerfallungskorper von f uber Q mit [L : Q] = 2, und es gilt

mξ/Q(t) = t2 + t+ 1.

2.21 Definition

Es sei f ∈ K[t] mit deg(f) ≥ 1. Ist dann α eine Wurzel von f (in einem Erweiterungskorper L vonK), so heißt k : = k(α) die Vielfachheit von α, falls (t− α)k | f(t) in L[t] und (t− α)k+1 - f(t) inL[t] gilt.

Bemerkungen:

(i) f ∈ K[t] mit deg(f) ≥ 1 besitzt genau dann mehrfache Wurzeln (in einem ErweiterungskorperL), wenn gcd(f, f ′) positiven Grad besitzt.Beweis:“⇒” klar,“⇐” Es sei h(t) ∈ K[t] mit deg(h) > 0 und h | f, h | f ′ gegeben. Ferner sei α Nullstelle vonh in einem Erweiterungskorper L/K.Dann ist f(t) = (t− α)f1(t) in L[t] sowie f ′(t) = f1(t) + (t− α)f ′1(t).

Wegen f ′(α) = 0 folgt f1(α) = 0, d.h. (t− α) | f1(t), also f(t) = (t− α)2(

f1(t)(t−α)

)in L[t].

(ii) Ist χ(k) = p und f ∈ k[t] irreduzibel mit mehrfachen Wurzeln, so gilt f(t) = g(tp) mitg ∈ K[t].Beweis:Wegen gcd(f, f ′) 6= 1 muß notwendig gcd(f, f ′) = f gelten, also wegen deg(f ′) < deg(f)dann f ′ = 0 sein.

Fur f(t) =n∑

i=0

ai ti bedingt dies iai = 0 (0 ≤ i ≤ n), d.h. ai 6= 0 hochstens fur p | i.

Also gilt f(t) =[n/p]∑i=0

aip(tp)i = : g(tp).

2

2.22 Satz 55

(iii) χ(K) = 0, f ∈ K[t] irreduzibel ⇒ f besitzt nur einfache Nullstellen.

Zur Erinnerung an endliche Korper K

(a) χ(K) ist eine Primzahl p;

(b) K enthalt q = pn Elemente (n ∈ IN), Bezeichnung IFq;

(c) IF×q ist zyklisch von der Ordnung q − 1,

aq−1 = 1 ∀ a ∈ IF×q ⇒ aq = a ∀ a ∈ IFq;

ist IF×q =< ξ >, so gilt speziell IFq = IFp(ξ) = IFp[ξ].

Im folgenden seien stets p eine Primzahl, n ∈ IN, q = pn.

2.22 Satz

(i) Der Zerfallungskorper von tq − t ∈ IFp[t] besitzt pn Elemente.

(ii) Ist K ein Korper mit pn Elementen, so ist K Zerfallungskorper von tq − t ∈ P (K)[t].

(iii) Je zwei Korper mit pn Elementen sind isomorph.

Beweis:

(i) Es sei L Zerfallungskorper von tq − t ∈ IFp[t]. Dieser enthalt alle Wurzeln von tq − t. Wirzeigen, daß L gerade aus allen solchen Wurzeln besteht. Zunachst gilt fur x ∈ IFp stetsxp = x und damit xpν = x ∀ν ∈ IN, also xpn

= x. Sind ferner x, y Wurzeln des besagtenPolynoms, so gilt:

(x± y)p = xp ± yp, also (x± y)q = x± y; (xy−1)p = xp(y−1)p, also (xy−1)q = xy−1.

Also bilden die Wurzeln einen Teilkorper von L, der IFp enthalt. Dieser muß folglich gleichL sein.

Besagtes Polynom besitzt aber in seinem Zerfallungskorper q = pn Wurzeln, die alle ver-schieden sind, da ja gcd(tq − t, qtq−1 − 1) = gcd(tq − t, −1) = 1 ist.

(ii) Fur x ∈ IFq gilt xq = x, also ist x Nullstelle von tq − t ∈ IFp[t]. Besagtes Polynom zerfalltalso in IFq in Linearfaktoren. IFq ist also der kleinste Erweiterungskorper, der alle Nullstellendes Polynoms enthalt.

(iii) Per (3.19), da die Primkorper jeweils isomorph zu ZZ/pZZ sind.

2

2.23 Satz

In IFq gibt es zu jedem Teiler m von n genau einen Unterkorper mit pm Elementen, und alleTeilkorper von IFq sind von dieser Gestalt.

Beweis:

(i) Ist K ein Teilkorper von IFq, so ist [K : IFp] Teiler von [IFq : IFp] = n. Also gilt #K = pm

mit m |n. K besteht dann aus allen Elementen y ∈ IFq mit ypm

= y und ist hierdurcheindeutig bestimmt.

(ii) Fur m |n folgt (tpm − t) | (tpn − t), und die Wurzeln von tp

m − t (aus IFq) bilden einenUnterkorper von IFq mit pm Elementen.

2

Um irreduzible Polynome kleinen Grades uber IFq zu bestimmen, lasst sich folgender Satz benutzen.


2.24 Satz

Uber IFq ist tqm − t das Produkt aller normierten irreduziblen Polynome aus IFq[t], deren Grad m

teilt.Beweis

(i) Es sei f(t) ∈ IFq[t] normiert, irreduzibel und vom Grad d|m. In einem Erweiterungskorpervom Grad d hat f eine Nullstelle α. Sie erfullt dann αqd − α = 0 und ist wegen d|m auchNullstelle von tq

m − t (!). Hiernach ist gcd(f(t), tqm − t) in IFq[t] nicht kostant. Da f(t)

irreduzibel ist, muss jener gcd folglich mit f(t) ubereinstimmen und f(t) daher tqm− t teilen.

(ii) Es sei f(t) ∈ IFq[t] ein normierter irreduzibler Teiler von tqm − t vom Grad d. In einem Er-

weiterungskorper IFqd hat dann f eine Nullstelle α. Wegen f(t)|(tqm − t) ist IFqd Teilkorpervon IFqn , und wir erhalten mit dem Gradsatz:

n = [IFqn : IFq] = [IFqn : IFqd ][IFqd : IFq] = [IFqn : IFqd ] d,

also d|n.

(iii) Wegen gcd(tqm − t, (tqm − t)′) = gcd(tq

m − t, qmtqm−1 − 1) = gcd(tq

m − t,−1) = 1 besitzttq

m − t keine mehrfachen Teiler.

2

Wir benutzen dieses Resultat, um alle normierten ireduziblen Polynome von Grad ≤ 4 uber IF2 zuerhalten.

d 1 2 3 4f(t) t, t+ 1 t2 + t+ 1 t3 + t+ 1, t3 + t2 + 1 t4 + t+ 1

t4 + t3 + 1t4 + t3 + t2 + t+ 1.

Außerdem ist es damit einfach zu zeigen, daß uber IFq zu vorgegebenem Grad d stets normierteirreduzible Polynome vom Grad d existieren.

2.25 Definition

(Mobius Funktion) Wir setzen

µ : IN −→ {0, 1,−1} : n 7→

1 fur n = 1(−1)r fur n = p1 · · · pr (pi ∈ IP).0 falls p ∈ IP mit p2|n existiert.

2.26 Hilfssatz

Fur n ∈ IN gilt ∑d|n

µ(d) ={

1 fur n = 10 sonst.

Beweis Es sei n = pm11 · · · pmr

r . Dann wird

∑d|n

µ(d) = µ(1) +n∑

i=1

µ(pi) +∑

1≤i<j≤r

µ(pipj) + . . .

=(

r0

)1 +

(r1

)(−1) +

(r2

)1 + . . .

= (1− 1)r. 2

2.27 Satz 57

2.27 Satz

(Mobuissche Umkehrformeln) Es seien f, g : IN −→ R, R kommutativer Ring. Dann gilt:∑d|n

f(d) = g(n) ∀n ∈ IN⇐⇒∑d|n

µ(d)g(nd

)= f(n) ∀n ∈ IN.

BeweisWir haben ∑

d|nµ(d)g

(nd

)=

∑d d = n

µ(d)g(d)

=∑

d d = n

µ(d)∑d3|d

f(d3)

=∑

d3|nf(d3)

∑d4| n

d3

µ(d1)

= f(n),und andererseits ∑

d|nf(d) =

∑d1 d2 d3 = n

∑d2

µ(d2)g(d3)

=∑

d3|ng(d3)

∑d2| n

d3

µ(d2)

= g(n). 2

Dies wird angewandt auf: f(m) = Aq,mm = (# norm. irr. Pol. vom Grad m)∗ Grad, g(m) = qm.Wir erhalten gemaß Satz ??

∑d|m

Aq,dd = qm, also mAq,m =∑d|m

µ(d)qmd

bzw. Aq,m ≥ 1m (qm −

∑1<d|m

qm/d)

≥ 1m (qm −

m−1∑d=0

qd)

= 1m (qm − qm−1

q−1 )

≥ 1m (qm − (qm − 1))

= 1m > 0.

Asymptotisch ist Aq,m ∼ qm

m , also erhalt man bei zufallig gewahlten normierten Polynomen vomGrad m nach m Schritten ein irreduzibles.

Was noch fehlt, ist ein Irreduzibilitatstest. Vorgelegt sei ein (normiertes) Polynom aus IFq[t] vomGrad d > 1.

1. Schritt: Berechne gcd(f, f ′). Falls dieser von 1 verschieden ist, ist f reduzibel. (Fur f ′ = 0 liegtdies daran, daß die injektive Frobeniusabbildung auf endlichen Korpern surjektiv ist. Vgl. dazudie Ausfuhrungen nach der Definition von Separabilitat.) Man kann dann f in Faktoren kleinerenGrades aufspalten.

2. Schritt: Wir nehmen an, dass f(t) = f1(t) · . . . · fr(t) mit normierten irreduziblen fi(t) inIFq[t] gilt. (Die fi seien paarweise verschieden!). Nach dem Chinesischen Restsatz gilt IFq[t]/〈f〉 ∼=r∏

i=1

IFq[t]/〈fi〉. Die Abbildung ψ : ϕ − id mit ϕ(x) = xq ist IFq-linear. Ihr Kern ist offenbar IFrq.

Dessen Dimension lasst sich leicht uber die Basisdarstellung der Restklassenrings IFq[t]/〈f〉 mitden Mitteln der Linearen Algebra berechnen. Sie liefert unmittelbar die Anzahl der irreduziblenFaktoren von f in IFq[t]. (r = 1⇔ f irreduzibel)


2.28 Definition

Es sei L/K eine Korpererweiterung. Ein Polynom f ∈ K[t] heißt separabel, falls fur jeden irreduz-iblen Faktor g von f der gcd von g und g′ Eins ist. Ein uber K algebraisches Element x ∈ L heißtseparabel uber K, falls sein Minimalpolynom mx/K separabel ist. Schließlich heißt L/K separabel,falls L/K algebraisch und jedes x ∈ L separabel uber K ist. Ist L/K algebraisch und nicht sep-arabel, so heißt L/K inseparabel. Ein Korper K heißt vollkommen, falls er keine inseparablenErweiterungskorper besitzt.

2.29 Satz

Genau die Korper K mit χ(K) = p und Kp = K und die Korper der Charakteristik 0 sindvollkommen.

Beweis:Es sei χ(K) = 0 und L eine algebraische Erweiterung von K.Ist dann x ∈ L, so folgt gcd(mx,mx′) = 1, also m′

x(x) 6= 0, x ist uber K separabel.Andererseits sei χ(K) = p. Wir unterscheiden zwei Falle.

(i) Kp : = {xp |x ∈ K} = K.

Wir nehmen an, daß x ∈ L inseparabel uber K ist. Dann folgt m′x = 0 und mx(t) =

n∑i=0

aitpi.

Wegen ai = api (0 ≤ i ≤ n) folgt mx(t) =

n∑i=0

(ai t

i)p

=

(n∑

i=0

ai ti

)p

im Widerspruch zur

Irreduzibilitat von mx.

Also ist in diesem Fall L/K separabel.

(ii) Es sei K vollkommen.

Zu a ∈ K betrachten wir das Polynom tp − a ∈ K[t].

Wir nehmen an, daß es keine Wurzel in K besitzt. Ist nun g ∈ K[t] ein irreduzibler Teilervon tp − a, so bilden wir eine Erweiterung L/K, in der g eine Nullstelle b besitzt. In L[t] istdann tp − a = tp − bp = (t− b)p, d.h. g(t) = (t− b)m fur einen Exponenten m ∈ ZZ≥2. Dannist jedoch b eine mehrfache Nullstelle des irreduziblen Polynoms g ∈ K[t] im Widerspruchzur Vollkommenheit von K. Also muß Kp = K gelten.

2

2.30 Korollar

Alle endlichen Korper sind vollkommen.

Beweis:Die Frobenius-Abbildung x 7→ xp ist dort wegen der Endlichkeit notwendig surjektiv.

2

Beispiel eines nicht vollkommenen Korpers: IFq(t), t 6=(

f(t)g(t)

)p

.

Bemerkung:Algebraische Erweiterungen vollkommener Korper sind separabel.

2.31 Definition 59

2.31 Definition

Es sei L ein Erweiterungskorper von K. Ein algebraisches Element u ε L heißt rein inseparabeluber K, wenn sein Minimalpolynom fu/K(x) ∈ K[x] in L[x] die Form f(t) = (t − u)m hat. L isteine rein inseparable Erweiterung von K, wenn jedes Element von L rein inseparabel uber Kist.

2.32 Theorem

Es sei L ein Erweiterungskorper von K. u ∈ F ist sowohl separabel als auch rein inseparabeluber K genau dann, wenn u ∈ K gilt.

Beweis: Es ist definitionsgemaß mu/K(t) = (t− u)m. Dieses ist genau fur m = 1 separabel. Jedesu ∈ K hat andererseits mu/K(t) = t− u. 2

2.33 Lemma

Es sei L ein Erweiterungskorper von K mit χ(K) = p 6= 0. Wenn α ∈ L algebraisch uber K ist,dann ist αpe

separabel uber K fur einen geeigneten Exponenten e ≥ 0.

Beweis:Es sei α ∈ L uber K inseparabel mit mα(t) ∈ K[t]. Es folgt mα(t) = f1(tp) mit f1(t) ∈ K[t].Hierbei ist f1(t) naturlich irreduzibel, es ist f1(t) = mαp(t).Ist αp nicht separabel uber K, folgt f1(t) = f2(tp) mit f2(t) ∈ K[t], f2(t) = mαp2 (t).Nach endlich vielen Schritten (deg(mα) < ∞) erhalten wir fe(t) = mαpe (t) ∈ K[t] mit αpe

/Kseparabel. 2

2.34 Theorem

Wenn L ein algebraischer Erweiterungskorper von K vom Charakter p 6= 0 ist, dann sind diefolgenden Behauptungen aquivalent:

(i) L ist rein inseparabel uber K;

(ii) das irreduzible Polynom von α ∈ L ist von der Gestalt tpn − a ∈ K[t];

(iii) fur α ∈ L ist αpe ∈ K fur ein e ≥ 0;

(iv) die einzigen Elemente von L, die separabel uber K sind, sind die Elemente von K selbst;

(v) L wird uber K durch eine Menge rein inseparabler Elemente erzeugt.

Beweis:

(i) =⇒ (ii) Es ist mα/K(t) = (t− α)m in L[t] uber K irreduzibel. Es sei m = per mit p 6 | r. Dannfolgt

(t− a)m = (tpe

− αpe

)r = tper − rαpe

tpe(r−1)+ · · ·

in K[t], also ist wegen p 6 | r bereits αpe

in K. Damit ist auch tpe − αpe ∈ K[t] und wegen der

Irreduzibilitat von mα/K notwendig m = 1.(ii) =⇒ (iii) Trivial.(iii) =⇒ (i) Es ist α Nullstelle von (t− α)pn

= tpn − αpn

in L[t].Also ist mα/K(t) = (t− α)m mit 1 ≤ m ≤ pn, das heißt α/K rein inseparabel.(i) =⇒ (iv) Gemaß Satz 3.32.(iv) =⇒ (iii) Gemaß Lemma 3.33.(i) =⇒ (v) Trivial.


(v) =⇒ (iii) Es ist L = K(S) mit einer Menge S von uber K rein inseparablen Elementen.Fur α ∈ L existieren dann f, g ∈ K[t1, . . . , tr] und x1, . . . , xr ∈ S mit g(x1, . . . , xr) 6= 0 undα = f(x1,...,xr)

g(x1,...,xr) . Nach Voraussetzung existieren ni ∈ ZZ≥0 mit xpni

i ∈ K (1 ≤ i ≤ r). Fure := max1≤i≤r ni ist dann αpe ∈ K (Frobenius-Isomorphismus!). 2

2.35 Korollar

Ist L/K endlich und L/K rein inseparabel ⇒ [L : K] ist p-Potenz.

Beweis:L/K endlich impliziert L = K(α1, . . . , αr) mit algebraischen Elementen αi.Setze Ki : = K(α1, . . . , αi), K0 = K,Kr = L.α1 ist rein inseparabel uber K, also gilt [K1 : K0] = deg(mα1) = pe1 .Ist αi rein inseparabel uber K, so folgt mαi

(t) = (t− αi)pei ∈ K[t], also ist das Minimalpolynomvon αi/Ki−1 eine Potenz von t− αi, αi/Ki−1 rein inseparabel, [Ki : Ki−1] p-Potenz.Also folgt die Behauptung nach dem Gradsatz.

2

2.36 Satz

L/K separabel impliziert KLp = L.L/K endlich mit KLp = L impliziert L/K separabel.

Beweis:Zunachst sei L/K separabel.Wegen Lp ⊆ KLp ⊆ L ist αp ∈ KLp fur alle α ∈ L, also ist jedes solche α nach 3.34 rein inseparabeluber KLp.Ist andererseits mα(t) ∈ K[t] Minimalpolynom von α/K (L/K separabel!), so besitzt mα(t) inkeinem Erweiterungskorper mehrfache Nullstellen.Dies gilt dann naturlich auch fur mα/KLp(t) ∈ KLp[t], welches ja mα(t) in KLp[t] teilt.Also ist α/KLp (und damit L/KLp) separabel.Nach (3.32) ist damit α ∈ KLp und die behauptete Gleichheit folgt.

Es sei nunmehr L/K endlich mit L = KLp.Wir nehmen an, dass α ∈ L mit mα(t) ∈ K[t] existiert, welches uber K nicht separabel ist.

Es muß notwendig mα(t) =m∑

i=0

aip tip (amp = 1) gelten!

Dies bedeutet, dass 1, αp, . . . , αmp ∈ L K-linear abhangig sind.Ferner sind 1, α, . . . , αm ∈ L K-linear unabhangig wegen deg(mα) = mp > m.

Es sei nun ω1, . . . , ωn eine Basis von L/K. Wir erhalten fur β ∈ L:

β = b1 ω1 + . . .+ bn ωn ∈ Kω1 + . . .+Kωn = L,βp = bp1 ω

p1 + . . .+ bpn ω

pn,

also ist ωp1 , . . . , ω

pn ein Erzeugendensystem von Lp/Kp.

Nach Voraussetzung gilt:

L = KLp = K(Kpωp1 + . . .+Kpωp

n)⊆ Kωp

1 + . . .+Kωpn ⊆ L,

folglich ist auch ωp1 , . . . , ω

pn eine Basis von L/K.

Erganzen wir also 1, α, . . . , αm zu einer Basis 1, α, . . . , αm, βm+1, . . . , βn−1 von L/K, so ist1, αp, . . . , αmp, βp

m+1, . . . , βpn−1 wieder eine, und speziell sind 1, αp, . . . , αmp K-linear unabhangig.

Widerspruch!

2

2.37 Korollar 61

2.37 Korollar

(i) Die folgenden Aussagen fur α ∈ L/K algebraisch sind aquivalent:

(a) K(α) = K(αp),

(b) K(α)/K ist separabel,

(c) α/K ist separabel.

(ii) M/L und L/K endlich separabel ⇒M/K endlich separabel.

(iii) α1, . . . , αr ∈ L uber K separabel ⇒ K(α1, . . . , αr)/K separabel.

(iv) M/L und L/K separabel ⇒M/K separabel.

(v) Fur L/K beliebige Erweiterung ist

Lsep = {α ∈ L | α/K separabel}= Lsep/K

ein Teilkorper von L, der K enthalt.

Beweis:

(i) (a) → (b)

Es ist K(α) = K(αp) und K(α)/K endlich.

Wegen K(α) = K(αp) ⊆ KK(α)p ⊆ K(α) gilt KK(α)p = K(α), und die Behauptung folgtmittels 3.36.

(b) ⇒ (c) Trivial.

(c) ⇒ (a) α ∈ L ist uber K separabel, also uber K(αp).

Wegen αp ∈ K(αp) ist α/K(αp) rein inseparabel.

Folglich ist α ∈ K(αp) und K(α) ⊆ K(αp) ⊆ K(α).

(ii) Wir haben LMp = M, KLp = L, folglich KMp = KLpMp = LMp = M und M/K ist nach3.36 separabel.

(iii) Setze K0 = K, Ki = K(α1, . . . , αi) mit Kr = L.

Nach (i) ist K1/K0 separabel. Ferner ist αi/K0 und damit uber Ki−1 separabel, alsoKi/Ki−1. Damit folgt die Behauptung nach (ii).

(iv) Es sei α ∈M . α/L ist separabel mit Minimalpolynom mα/L(t) =m∑

i=0

ai ti.

Hierbei sind a0, . . . , am uber K separabel.

Also ist L : = K(a0, . . . , am) uber K nach (iii) separabel.

Ferner ist mα/L(t) = mα/L(t), also α/L separabel.

Demnach ist nach (i) L(α)/L und somit L(α) nach (iii) uber K separabel, also ist α/Kseparabel.

(v) Sind α, β ∈ L uber K separabel, so ist K(α, β)/K separabel nach (iii), also sind α±• β, α β−1

(fur β 6= 0) separabel uber K.

Lsep ist somit Korper. K ⊆ Lsep folgt nach (3.32).

2

Bemerkungen:


(i) Lsep = Lsep/K heißt separabler Abschluss (separable Hulle) von K in L.

(ii) Ist L/K algebraisch, so ist L/Lsep rein inseparabel. (Fur x ∈ L ist eine geeignete p–Potenzuber K separabel gemaß Lemma 3.35, also ist etwa xpe ∈ Lsep und x demnach uber Lsep

rein inseparabel.)

(iii) [L : K]sep := [Lsep : K] heißt Separabilitatsgrad von L/K. Entsprechend heißt [L : K]i :=[L : Lsep] Inseparabilitatsgrad der Erweiterung L/K.

(iv) Ist [L : K]i <∞, so ist es eine Potenz der Charakteristik.Ist [L : K] <∞ mit p 6 | [L : K], so ist L/K separabel.

2.38 Definition

Eine Korpererweiterung L/K heißt normal, falls L/K algebraisch ist und jedes irreduzible Polynomf ∈ K[t], welches in L eine Wurzel besitzt, in L[t] in Linearfaktoren zerfallt.

2.39 Satz

Es sei L/K algebraisch. Dann sind aquivalent:

(i) L/K ist endlich und normal,

(ii) L ist Zerfallungskorper eines Polynoms f ∈ K[t].

Beweis:(i) ⇒ (ii)Es sei L = K(α1, . . . , αn) und fi = mαi

∈ K[t] (1 ≤ i ≤ n).

Da L/K normal ist, zerfallt jedes Minimalpolynom mαiin L[t]. Also zerfallt auch f : =

n∏i=1

fi in

L[t] in Linearfaktoren, und L ist dann definitionsgemaß Zerfallungskorper von f uber K.

(ii) ⇒ (i)Es seien α1, . . . , αn die Wurzeln von f , d.h. L = K(α1, . . . , αn). Ferner sei g ∈ K[t] irreduzibelmit g(β) = 0, β ∈ L. Es sei M Zerfallungskorper von g uber K und γ eine Wurzel von g in M .Gemaß 2.18 existiert dann ein K-Isomorphismus φ von K(β) auf K(γ) mit φ(β) = γ.Nun ist L = L(β) ein Zerfallungskorper von f ∈ K(β)[t] und L(γ) := K(α1, . . . , αn, γ) einZerfallungskorper von φ f = f uber K(γ)[t].Nach 2.19 existiert dann ein K-Isomorphismus Φ von L auf L(γ), der φ fortsetzt. Wegen L ⊆ L(γ)und dimK L = dimK L(γ) (Φ Isom.!) folgt also L = L(γ), d.h. γ ∈ L. Also zerfallt g in L[t] inLinearfaktoren. Ferner war [L : K] <∞, damit L/K algebraisch, also normal.

LΦ // L(γ) = K(α1, . . . , αn, γ)

K(β)ϕ // K(γ)

Kid // K

2

Beispiele:Kreiskorper, quadratische Korpererweiterungen.

2.40 Lemma 63

2.40 Lemma

Es sei L/K eine endliche normale Erweiterung.Ferner seien E, F K-isomorphe Zwischenkorper dieser Erweiterung. Ist dann φ : E → F ein K-Isomorphismus, so laßt er sich zu einem K-Automorphismus von L fortsetzen.

Beweis:Es sei L Zerfallungskorper von f ∈ K[t].Dann ist L auch Zerfallungskorper fur f ∈ E[t] bzw. f ∈ F [t], und die Behauptung folgt wie imBeweis von 2.19.

2

Ist L/K eine endliche normale Erweiterung, so bilden die K-Automorphismen von L bezuglichHintereinanderausfuhrung eine Gruppe G = G(L/K). Diese Gruppe ist endlich. Denn ist etwaL Zerfallungskorper von f ∈ K[t], so permutiert jedes φ ∈ G die Wurzeln von f , man erhaltunmittelbar #G ≤ deg(f)!

2.41 Lemma

Es sei L/K eine endliche Korpererweiterung. Dann existiert hierzu eine minimale normale (endliche)Erweiterung M/K mit M ⊇ L, d.h. ist E eine normale Erweiterung uber K, die L enthalt, soexistiert ein K-Monomorphismus von M in E.

Beweis:

Es sei L = K(α1, . . . , αn) und f =n∏

i=1

mαi.

Es sei M der Zerfallungskorper von f uber K. M ist dann gemaß (3.28) normal uber K.Ist dann E ⊇ L eine normale Erweiterung uber K, so zerfallt jedes mαi und damit f in E[t] inLinearfaktoren, d.h. E enthalt einen Zerfallungskorper von f als Teilkorper E1.Gemaß (3.19) existiert ein K-Isomorphismus zwischen M und E1.

2

2.42 Satz

Es sei L eine endliche separable Erweiterung uber K und M/K normal mit K ⊆ L ⊆M .Dann existieren genau n : = [L : K] verschiedene K- Isomorphismen von L auf Teilkorper von M .

Beweis:Wegen 3.41 konnen wir auch [M : K] <∞ annehmen.Der Beweis erfolgt mittels Induktion uber n.n = 1 : L = K, die Identitat ist die einzig mogliche Abbildung.n > 1 : Sei zunachst L/K einfach, d.h. L = K(α) und n = deg(mα).Wegen L/K separabel besitzt mα gerade n verschiedene Nullstellen. Jeder K-Isomorphismus φvon L bildet notwendig α auf eine der Nullstellen von mα ab, und φ ist durch φ(α) eindeutigbestimmt. Also existieren genau n = [L : K] Isomorphismen.Man beachte, daß alle Nullstellen von mα in M liegen!Ist schließlich L = K(α1, . . . , αn), so bilden wir L1 : = K(α1), und L ist uber L1 separabel mitK ⊂ L1 ⊂ L. Ferner ist M normal uber L1. Wegen [L : L1] < [L : K] existieren genaum = [L : L1] L1-Isomorphismen von L auf Teilkorper von M , die sich zu L1-Automorphismenσ1, . . . , σm von M fortsetzen lassen. Ferner existieren genau r = [L1 : K] K-Isomorphismen vonL1 auf Teilkorper von M .Diese lassen sich ebenfalls zu K-Isomorphismen φ1, . . . , φr von M fortsetzen.Setze τij : = φj σi (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ r).


Ist nun ρ ein K-Isomorphismus von L, so gilt ρ |L1 = φν |L1 mit ν = ν(ρ) ∈ {1, . . . , r} und φ−1ν ρ

laßt L1 invariant, also ist φ−1ν ρ |L gleich einem σµ |L mit µ = µ(ρ, ν) ∈ {1, . . . ,m}. Es bleibt zu

zeigen, daß alle τij |L verschieden sind. Ware etwa τij |L = τµν |L, also φj σi |L = φν σµ |L, so folgteφj |L1 = φν |L1 , also ν = j und damit σi |L= σµ |L.

2

2.43 Korollar

Es sei L/K endlich mit n0 := [L : K]sep. Ferner sei M/K normal mit M ⊇ L ⊇ K. Dannexistieren genau n0 verschiedene K-Isomorphismen von L auf Teilkorper von M .

Beweis: Wie im Beweis des Satzes konnen wir [M : K] < ∞ annehmen. Die Erweiterung L/Kspalten wir auf in Lsep/K und L/Lsep. Es ist dann Lsep/K endlich und separabel, also nach demvorangehenden Korollar einfach. Wir haben Lsep = K(α) fur ein passendes α ∈ L. Nach demletzten Satz existieren genau n0 verschiedene K-Isomorphismen von Lsep, etwa σ1, . . . , σn0 , diesich zu K-Automorphismen σ1, . . . , ˜σn0 fortsetzen lassen. Wir zeigen, dass σj |L (1 ≤ j ≤ n0) alleK-Isomorphismen von L auf Teilkorper von M sind.Es ist L/Lsep endlich, also gilt L = Lsep(α1, . . . , αr). Es seien mαi/Lsep

(t) die zugehorigen Mini-malpolynome aus Lsep[t] (1 ≤ i ≤ r). Wegen αi/Lsep rein inseparabel ist mαi/Lsep

(t) = tpei − αi,und diese Polynome zerfallen in M [t] in der Form (t − ˜αi)p

ei

mit αi ∈ M, αpei

i = αi. Jeder K-Isomorphismus σ von L auf einen Teilkorper von M lasst mαi/Lsep

invariant, seine Fortsetzung σ zueinem K-Automorphismus von M erfullt notwendig σ(αi) = αi, also σ|L(αi) = σ(αi) = αi. Damitist σ bereits durch seine Bilder auf Lsep eindeutig festgelegt, es folgt σ|L = σj |L fur passendesj ∈ {1, . . . , n0}.

2

Bemerkungen:

(i) M/K normal und K ⊂ L ⊂ M impliziert M/L normal. (Das Minimalpolynom mα/L einesElements α ∈M ist ein Teiler von mα/K . Da mα/K in M [t] in Linearfaktoren zerfallt, leistetdies auch mα/L.)

(ii) Fur M/K endlich und normal gilt #G(M/K) = [M : K]sep.

(iii) Es sei M/K endlich und normal. Gilt fur ein α ∈M dann σ(α) = α fur alle σ ∈ G(M/K), istα/K notwendig rein inseparabel. Ist also zusatzlich M/K separabel, so folgt bereits α ∈ K.In jedem Fall ist L := {α ∈ M |σ(α) = α ∀ σ ∈ G/(M/K)} ein Korper, sowie L/K reininseparabel.

2.44 Korollar

(2. Satz vom primitiven Element) Jede endliche separable Erweierung L/K besitzt ein primitivesElement.

Beweis:Gemaß 3.15 genugt es zu zeigen, daß nur endlich viele Zwischenkorper existieren. Gemaß 3.41sei M/K eine minimale normale K-Erweiterung, die L enthalt. Diese ist dann uber K separabel(vgl. 3.37(iii))) Die Gruppe G(M/K) ist endlich von der Ordnung n = [M : K]. Ist nun E einZwischenkorper K ⊂ E ⊂M , so ist M/E normal und separabel, und die Gruppe G(M/E) ist eineUntergruppe von G(M/K).Wir zeigen, daß verschiedene Zwischenkorper verschiedene Automorphismengruppen besitzen. DaG(M/K) nur endlich viele Untergruppen hat, beendet dies den Beweis.

Seien also E, F zwei Zwischenkorper K ⊂ EF⊂M und E 6= F . Sei oBdA x ∈ E\F . Da M/F

separabel ist, exisiert σ ∈ G(M/F ) mit σ(x) 6= x (!). Dies beweist G(M/F ) 6= G(M/E).

2.45 Definition 65

2

Normen und SpurenIm folgenden sei L/K endlich mit [L : K]sep = n0 und Γ/K endlich und normal mit Γ ⊇ L.Gemaß 3.43 existieren gerade n0 K-Isomorphismen σ1, . . . , σn0 von L auf Teilkorper von Γ, die Kenthalten.

2.45 Definition

Fur Elemente α ∈ L definieren wir

Norm NL/K(α) =

n0∏j=1

σj(α)

[L:K]i

und

Spur TrL/K(α) = [L : K]in0∑

j=1

σj(α).

2.46 Hilfssatz

Ist mα/K(t) = tr + c1 tr−1 + . . .+ cr ∈ K[t], so gilt

NL/K(α) =((−1)r cr

)[L:K(α)],

T rL/K(α) = −[L : K(α)]c1.

Beweis:Es sei m0 = [K(α) : K]sep. Also existieren gerade τ1, . . . , τm0 K- Isomorphismen von K(α) inTeilkorper von F . Deren Fortsetzungen (fixiert!) zu Γ-Automorphismen seien T1, . . . , Tm0 . Istr0 = [L : K(α)]sep, so existieren genau r0 K(α)-Isomorphismen κj von L auf Teilkorper von Γ,und wie im Beweis zu (3.46) sind dann ρij : = Ti κj alle K-Isomorphismen von L. Also erhaltenwir:

NL/K(α) =

m0∏i=1

r0∏j=1

Ti κj(α)

[L:K]i

=

m0∏j=1

τj(α)

r0[L:K]i

,

T rL/K(α) = [L : K]im0∑i=1

r0∑j=1

Ti κj(α) = r0[L : K]im0∑i=1

τi(α)

= [L : K(α)]sep [L : K(α)]i [K(α) : K]i∑m0

i=1 τi(α).Andererseits ist in Γ[t] :

mα/K(t) =

(m0∏i=1

(t− τi(α)

))[K(α):K]i

, also

cr =

((−1)m0

(m0∏i=1

τi(α)

))[K(α):K]i

, c1 = − [K(α) : K]im0∑i=1

τi(α),

(−1)r cr =

(m0∏i=1

τi(α)

)[K(α):K]i

.

2

Bemerkungen:


(a) Norm und Spur sind Elemente des Grundkorpers K.

(b) Norm und Spur sind unabhangig von der Wahl von Γ.

Eigenschaften von Norm und Spur

2.47 Hilfssatz

Es seien M/L/K endlich, a ∈ K, α, β ∈ L, x ∈M .

Dann gilt:

(i) NL/K (αβ) = NL/K(α)NL/K(β), T rL/K (α+ β) = TrL/K (α) + TrL/K (β);

(ii) NL/K (a) = a[L:K], T rL/K (a) = [L : K]a;

(iii) NM/K (x) = NL/K

(NM/L (x)

), T rM/K (x) = TrL/K

(TrM/L (x)

).

Beweis: Ubungen.

Sind L/K endlich vom Grad n und α1, . . . , αn eine K-Basis von L,

so heißt d(α1, . . . , αn) : = det(TrL/K(αi αj)

)Diskriminante der Basis.

Sind α1, . . . , αn sowie β1, . . . , βn zwei Basen von L/K, so ist d(α1, . . . , αn) = d(β1, . . . , βn) a2

mit a ∈ K, a 6= 0.

Man kann also als Diskriminante d(L/K) von L/K die Quadratklasse d(α1, . . . , αn) (K×)2 erklaren.

2.48 Satz

d(L/K) = 0⇔ TrL/K (α) = 0 ∀ α ∈ L.

Beweis: “⇐ ” trivial.

“⇒ ” Die Spalten der Matrix(TrL/K (αi αj)

)sind linear abhangig.

Also existieren b1, . . . , bn ∈ K, nicht alle gleich 0, mit

∑j=1

bj TrL/K (αi αj) = 0 (1 ≤ i ≤ n).

Folglich ist β : =n∑

j=1

bj αj 6= 0. Fur α ∈ L existiert demnach γ =n∑

i=1

ci αi ∈ L mit α = β γ.

Es folgt:

TrL/K (α) = TrL/K

n∑i=1

ci αi

n∑j=1

bj αj

=n∑

i=1

ci TrL/K

n∑j=1

bj αi αj

= 0.

2

2.49 Satz 67

2.49 Satz

d(L/K) 6= 0⇔ L/K ist separabel.

Beweis:

(i) L/K inseparabel ⇒ TrL/K (α) = 0 ∀ α ∈ L ⇒(3.51) d(L/K) = 0

(ii) L/K separabel ⇒(3.32) L = K(α), mα/K (t) hat keine mehrfachen Wurzeln.

Es ist 1, α, . . . , αn−1 (n = deg(mα/K)) eine Basis von L/K. Hierfur ist d(1, α, . . . , αn−1)Quadrat einer Vandermonde Determinante, also von 0 verschieden.

2

Beispiel:K = Q, L = Q(

√m), [L : K] = 2, L/K separabel.

Eine Basis ist 1,√m.

Fur α = a+ b√m ist

Tr(α) = 2a, N(α) = a2 −mb2

d(1, α) =(

Tr(1) Tr(α)Tr(α) Tr(α2)

)=

(2 2a

2a 2(a2 +mb2)

)= 4mb2.

Es ist mα/Q(t) ={t− a fur b = 0t2 − Tr(α)t+N(α) sonst.

2.50 Definition

Ein Korper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls fur jede algebraische Erweiterung L/Kbereits L = K gilt. K heißt algebraischer Abschluß des Korpers K, falls K/K algebraisch und Kalgebraisch abgeschlossen ist.

2.51 Satz

Ein Korper K besitzt einen algebraischen Abschluß K, und je zwei algebraische Abschlusse von Ksind K-isomorph.

Beweis:

(i) ExistenzWir konstruieren zunachst eine Korpererweiterung L1/K, in der jedes Polynom f ausK[t] mitdeg(f) ≥ 1 eine Nullstelle besitzt. Dazu bilden wir eine Indexmenge I = {f ∈ K[t]|deg(f) ≥1} und betrachten dazu ein unendliches System S = (xf )f∈I von Variablen nebst Polynom-ring K[S], (Konstruktion als Halbgruppenring wie in Kapitel 2.) K[S] enthalt das IdealA = 〈f(xf )|f ∈ I〉, wobei die Variable t jeweils durch xf ersetzt wird.Es gilt A ⊂ K[S]. (Denn fur 1 ∈ A existieren Polynome gi ∈ K[S] sowie fi ∈ A (1 ≤ i ≤ r)mit

1 =r∑

i=1

gi fi (xfi). (2.1)

Es existiert nun ein Erweiterungskorper K von K, indem jedes der fi eine Nullstelle αi be-sitzt. Einsetzen von αi fur (xfi

) in Gleichung 2.1 liefert den Widerspruch 1 = 0.)Also ist A in einem maximalen Ideal M von K[S] enthalten. Hierfur ist L1 := K[S]/Mein Korper. Mittels der Einbettung K ↪→ K[S] und dem kanonischen EpimorphismusK[S] −→ K[S]/M lasst sich L1 als Erweiterungskorper von K auffassen. Fur f ∈ A ist


dann xf +M eine Nullstelle in L1.Diese Konstruktion iterieren wir, falls L1 noch nicht algebraisch abgeschlossen ist, und er-halten so eine echt aufsteigende Kette von Korpern K = L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ . . ., wobei jedes

Polynom f ∈ Ln[t] mit deg(f) ≥ 1 in Ln+1 eine Nullstelle hat. Wir bilden dann L :=∞⋃

n=0Ln.

Es ist L Korper (!), und wir zeigen, dass L algebraisch abgeschlossen ist. Ist dazu f ∈ L[t] mitk := deg(f) ≥ 1, so liegen die k + 1 Koeffizienten von f in Teilkorpern, etwa Li1 , . . . , Lik+1 .Ist i0 := max{iν |1 ≤ ν ≤ k+ 1}, so gilt bereits f ∈ Li0 [t], und f hat nach Konstruktion eineNullstelle in Li0+1 ⊆ L. Folglich ist L algebraisch abgeschlossen.

(ii) Eindeutigkeit bis auf Isomorphie.

Wir nehmen an, daß K und K beides algebraische Abschlusse von K sind.

Es bezeichne M die Menge aller geordneten Tripel (L, L, ψ) mit K ⊆ L ⊆ K,

K ⊆ L ⊆ K, ψ : L→ L Isomorphismus.

Es ist ∅ 6= M wegen (K, K, id) ∈M.

Wir ordnen M partiell gemaß (L, L, ψ) ≤ (L1, L1, ψ1) fur L ⊆ L1, L ⊆ L1, ψ1 | L = ψ.

Es sei (F, F , Φ) maximales Element in M gemaß Zorn’s Lemma (!).

Ist F = K, so ist notwendig F = Φ(F ) algebraisch abgeschlossen, also F = K.

Existiert jedoch x ∈ K\F , so besitzt x ein Minimalpolynom mx/F (t).

Hierfur ist Φ(mx/F (t)) ∈ F [t] irreduzibel, und Φ laßt sich fortsetzen zu einem IsomorphismusΦ : F (x) → F (x) (fur eine Nullstelle x von φ(mx/F (t))) im Widerspruch zur Maximalitatvon (F, F , Φ).

Also muß F = K, F = K gelten.

2

K K

Lϕ

L

Kid // K

Kapitel 3: Galoistheorie

3.1 Satz

Es seien L, L zwei Korper und σi : L→ L (1 ≤ i ≤ n) verschiedene Isomorphismen.Dann sind σ1, . . . , σn im folgenden Sinn linear unabhangig:

n∑i=1

αiσi(β) = 0 fur feste α1, . . . , αn ∈ L und alle β ∈ L impliziert αi = 0 (1 ≤ i ≤ n).

Beweis:Mittels Induktion uber n!n = 1 : trivial (speziell ist σ1(1) = 1!).

n− 1⇒ n : Es sein∑

i=1

αiσi(β) = 0 ∀β ∈ L vorgegeben.

Es sind σ1 und σn verschieden, also existiert γ ∈ L\{0, 1} mit σ1(γ) 6= σn(γ).

Hierfur gilt: σn(γ−1)n∑

i=1

αiσi(γβ) = 0 ∀β ∈ L,

und wir subtrahieren hiervonn∑

i=1

αiσi(β) = 0 ∀β ∈ L.

Dies liefertn−1∑i=1

αi (σn(γ−1)σi (γ) − 1)σi (β) = 0 ∀β ∈ L.

Nach Induktionsannahme gilt dann αi (σn (γ−1)σi (γ) − 1) = 0 (1 ≤ i ≤ n− 1),also α1 = 0.Wiederum nach Induktionsannahme folgt dann auch α2 = . . . = αn = 0.

2

3.2 Hilfssatz

Es seien L, L zwei Korper und σi : L→ L (1 ≤ i ≤ n) verschiedene Isomorphismen.Dann ist K : = {α ∈ L | σ1(α) = . . . = σn(α)} ein Unterkorper von L mit [L : K] ≥ n.

Beweis:K Teilkorper ist klar, es bleibt die Gradaussage zu zeigen. Indirekt!Wir nehmen [L : K] = r < n an. Dann existiert eine K -Basis ω1, . . . , ωr von L/K.

Danach hat das lineare Gleichungssystemn∑

j=1

σj(ωi)Xj = 0 (1 ≤ i ≤ r)

eine nicht triviale Losung X1, . . . , Xn in L.

Fur beliebiges α ∈ L, α =r∑

i=1

αiωi (αi ∈ K, 1 ≤ i ≤ r),

liefert diesn∑

j=1

σj(αiωi)Xj = 0 (1 ≤ i ≤ r)

(mittels Multiplikation der i -ten Gleichung mit σ1(αi) = σ2(αi) = . . . = σn(αi)).

Addition aller Gleichungen ergibtn∑

j=1

σj(α)Xj = 0 ∀α ∈ L, Widerspruch!

70 Kapitel 3 — Galoistheorie

2

Anwendung:Es sei L eine endliche K-Erweiterung, G(L/K) bezeichne die Gruppe aller K -Automorphismenvon L.Ferner sei H eine Untergruppe von G(L/K) und F (H) : = {α ∈ L | σ(α) = α ∀σ ∈ H}.Dann ist F (H) ein Teilkorper von L, der K enthalt, und es gilt [L : F (H)] ≥ (H : 1).F (H) heißt Fixkorper bzgl. H (Bezeichnung: Fix (H)).

Beispiel:Es sei L = K(t).L besitzt u.a. folgende 6 Automorphismen σi,

welche durch σ1(t) = t, σ2(t) = 1 − t, σ3(t) =1t, σ4(t) = 1 − 1

t, σ5(t) =

11− t

, σ6(t) =t

t− 1festgelegt sind. (Beachte:

σ5 = σ24 ,

σ1 = σ34 ,

ord(σi) = 2fur i = 2, 3, 6.)

Es sei F derjenige Teilkorper von L, der von allen 6 Automorphismen elementweise invariantgelassen wird.Hierfur gilt [L : F ] ≥ 6.

Es steht sogar das Gleichheitszeichen: Denn g(t) : =(t2 − t+ 1)3

t2(t− 1)2liegt in F .

Also ist F1 : = K(g(t)) ein Teilkorper von F , d.h. [L : F1] ≥ 6.Wegen (t2− t+ 1)3− g(t)t2(t− 1)2 = 0 in F1[t] ist t Wurzel eines Polynoms vom Grad 6 aus F1[t],also [F1[t] : F1] ≤ 6 und damit F = K(g(t)).

3.3 Satz

Es sei G eine endliche Gruppe von Automorphismeneines Korpers L und F = {α ∈ L | σ(α) = α ∀α ∈ G}.Dann ist F ein Korper, sog. Fixkorper F (G), und es gilt: [L : F ] = (G : 1).

Beweis:Gemaß (4.2) ist F Teilkorper von L mit [L : F ] ≥ (G : 1) =: n.Wir nehmen an, daß L uber F n+ 1 linear unabhangige Elemente ω1, . . . , ωn+1 enthalt.Fur G = {σ1, . . . , σn} betrachten wir das homogene lineare Gleichungssystem

n+1∑j=1

σi(ωj)Xj = 0 (1 ≤ i ≤ n).

Hierfur sei X1, . . . , Xn+1 eine nicht triviale Losung in L.Unter allen Losungen des Gleichungssystems wahlen wir nun eine aus, bei der minimal viele Xi

von Null verschieden sind.Durch Umordnung der Basis erreichen wir also etwa

r∑j=1

σi(ωj)Xj = 0 (1 ≤ i ≤ n, r ≤ n+ 1, X1 · . . . ·Xr 6= 0).

Offenbar muß r ≥ 2 sein.Außerdem normieren wir Xr zu 1 und nehmen noch X1 /∈ F an (alle Xi ∈ F ⇒ ω1, . . . , ωr linearabhangig), d.h. es existiert h ∈ {1, . . . , n} mit σh(X1) 6= X1.

Anwendung von σh auf alle n Gleichungen ergibt

3.4 Definition 71

r∑j=1

σh(Xj)σhσi(ωj) = 0 (1 ≤ i ≤ n), also

r∑j=1

σh(Xj)σk(ωj) = 0 (1 ≤ k ≤ n).

Subtraktion vom Ausgangssystem liefert:

r−1∑j=1

σk(ωj)(Xj − σh(Xj)) = 0 (1 ≤ k ≤ n).

Wegen X1 6= σh(X1) steht dies jedoch im Widerspruch zur Minimalitat von r.

2

Es sei L/K normal, endlich, und F sei der Fixkorper von G(L/K).Wir haben gesehen, daß F/K rein inseparabel ist (Bem. (iii) nach 3.43).

Offenbar ist G(L/F ) = G(L/K), also nach (4.3):

[L : F ] = ]G(L/F ) =3.43 [L : F ]sep.

Folglich ist L/F separabel.

Wir merken noch an, dass F = {α ∈ L|α/K rein iseparabel } gilt.

3.4 Definition

Eine algebraische Erweiterung L/K heißt Galoiserweiterung, falls K der Fixkorper von G(L/K)ist. In diesem Fall heißt G = G(L/K) Galoisgruppe von L/K.

3.5 Satz

L/K endlich: L/K galoissch ⇔ L/K normal und separabel.

Beweis:“⇐′′ Es sei F = Fix (G(L/K)) der Fixkorper zu G(L/K).Hierfur ist [F : K] = [L : K]i = 1, also F = K.“⇒′′ Es sei α ∈ L.Betrachte αj : = σj(α) fur G(L/K) = {σ1, . . . , σn}, hierunter seien - evtl. Umnummerieren -α1, . . . , αr paarweise verschieden. G permutiert {α1, . . . , αr}.Alle symmetrischen Funktionen in α1, . . . , αr bleiben demnach G-invariant,

speziell ist gα(t) : =r∏

i=1

(t− αi) demnach aus K = Fix (G).

Ein irreduzibler Teiler g(t) von g(t) in K[t] hat dann mit einer Nullstelle αj alle αi als Nullstellen,also ist gα(t) = mα(t). Damit ist L/K normal.Ferner ist Fix (G(L/K)) = K, also nach dem Vorangehenden L/K separabel.

2

Bemerkung:L/K galoissch und K ⊂ E ⊂ L→ L/E galoissch.


3.6 Satz

(Hauptsatz der Galoistheorie)Es sei L/K eine endliche Galoiserweiterung.Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Zwischenkorpern K ⊂ E ⊂ L und den Untergruppenvon G(L/K) mittels E ←→ G(L/E).Dabei ist E/K genau dann galoissch, wenn G(L/E) Normalteiler in G(L/K) ist, und in diesemFall gilt:G(E/K) ∼= G(L/K) /G(L/E).

Beweis:

(i) Zunachst ist E → G(L/E) eine injektive Abbildung (vgl. Beweis zu (3.44)).

Es bleibt die Surjektivitat zu zeigen.

Dazu sei H eine Untergruppe von G(L/K) und F (H) der zugehorige Fixkorper. Dann istL/F (H) normal und separabel, also galoissch mit Galoisgruppe G(L/F (H)).

Also gilt H < G(L/F (H)).

Gemaß (4.3) ist [L : F (H)] = (H : 1) und nach (3.42) [L : F (H)] = (G(L/F (H)) : 1),

also H = G(L/F (H)).

(ii) Sei nun K ⊂ E ⊂ L.

Wir nehmen zunachst E/K als galoissch, d.h. normal und separabel, an.

Ferner seien σ ∈ G(L/K) und τ ∈ G(L/E).

Fur α ∈ E ist σ(α) ∈ E, also σ−1τσ(α) = σ−1σ(α) = α, und damit σ−1τσ ∈ G(L/E).Damit ist G(L/E) Normalteiler.

Umgekehrt sei G(L/E) / G(L/K).

Trivialerweise ist E/K separabel, es bleibt E/K normal zu zeigen.

Dazu sei f ∈ K[t] irreduzibel mit Nullstelle α ∈ E.

In L[t] zerfallt f in Linearfaktoren,

alle Nullstellen sind dabei von der Form σ(α) (σ ∈ G(L/K)).

Fur alle τ ∈ G(L/E) existiert nun ρ ∈ G(L/E) mit τ = σρσ−1, d.h. τ(σ(α)) = σρσ−1(σ(α)) =σρ(α) = σ(α),

d.h. σ(α) ∈ F (G(L/E)) = E.

Also zerfallt f bereits in E[t] in Linearfaktoren, und E/K ist normal.

(iii) Definiere φ : G(L/K)→ G(E/K) : σ 7→ σ |E .

φ ist Homomorphismus wegen σ |E Automorphismus und gemaß (3.40) surjektiv.

Ker φ = {σ ∈ G(L/K) | σ |E = idE} = G(L/E).

Damit folgt die behauptete Isomorphie aus dem Homorphiesatz fur Gruppen.

2

3.7 Korollar

Es sei L/K galoissch, E, F seien Zwischenkorper. Dann gilt: E ⊆ F ⇐⇒ G(L/E) ⊇ G(L/F ).

3.8 Satz 73

3.8 Satz

Es sei L/K eine Korpererweiterung mit Zwischenkorpern E,F . Ist dann E/K eine endlicheGaloiserweiterung, so ist EF eine Galoiserweiterung von F mit G(EF/F ) ∼= G(E/E ∩ F ).

EF

vvvvvvvvv

E

vvvvvvvvvF

vvvvvvvvv

E ∩ F

K

Beweis:E/K ist Zerfallungskorper eines Polynoms f ∈ K[t], dessen Faktoren lauter einfache Nullstellenbesitzen.Dann ist auch EF Zerfallungskorper von f ∈ F [t], d.h. EF/F ist normal und separabel, alsogaloissch.Es seien nun σ ∈ G(EF/F ) und α1, . . . , αn die verschiedenen Nullstellen von f . Dann induziertσ eine Permutation dieser Nullstellen, die einem Element σ ∈ G(E/K) entspricht. Verschiedeneσ induzieren so verschiedene σ, die Zuordnung σ 7→ σ liefert einen Isomorphismus von G(EF/F )auf eine Untergruppe von G(E/K). σ (und damit σ) laßt jedes Element von F ∩ E invariant, d.h. σ ∈ G(E/E ∩ F ).Jedes Element σ ∈ G(E/E ∩ F ) permutiert α1, . . . , αn und ist daher als Bild eines σ ∈ G(EF/F )erhaltlich.Also folgt die behauptete Isomorphie.

2

3.9 Definition

Es sei L/K galoissch.Ist dann G(L/K) abelsch, zyklisch etc., so heißt auch die Erweiterung L/K abelsch, zyklisch etc..

Beispiel:Fur f(t) = t3 − 2 ∈ Q[t] ist der Zerfallungskorper K = Q( 3

√2,√−3).

Demnach ist [K : Q] = 6 und K/Q normal und separabel, also galoissch.Alle 6 Q -Automorphismen von K sind durch ihre Wirkung auf 3

√2 und

√−3 eindeutig bestimmt.

Wir setzen ξ : =−1 +

√−3

2und

σ : K → K mittels 3√

2 7→ 3√

2,√−3 7→ −

√−3 (ξ 7→ ξ2),

τ : K → K mittels 3√

2 7→ ξ3√

2,√−3 7→ +

√−3 (ξ 7→ ξ)

und erhalten folgende Tabelle:

id τ τ2 σ στ στ2

3√

2 3√

2 ξ 3√

2 ξ2 3√

2 3√

2 ξ2 3√

2 ξ 3√

2√−3

√−3

√−3

√−3 −

√−3 −

√−3 −

√−3


Die Untergruppen von G(K/Q) ∼= S3 sind:

H1 = {id, σ}, H2 = {id, στ}, H3 = {id, στ2}, H4 = {id, τ, τ2}.

Diesen entsprechen die Fixkorper

L1 = Q( 3√

2), L2 = Q(ξ 3√

2), L3 = Q(ξ2 3√

2), L4 = Q(√−3).

Also ist L4/Q galoissch, jedoch Li/Q nicht normal (1 ≤ i ≤ 3).

Q

""

""

""

""

��

!!!!!!!!!!!!!

��

��

��

��

��

��

�

K

L2

L3

L1

L4

��

Wir haben dabeiL1 = Q( 3

√2)

L2 = Q(ξ 3√

2)L3 = Q(ξ2 3

√2)

und L4 = Q(√−3).

Beispiel:Gleichungen dritten Grades und ihre Diskriminanten.Es sei f [t] ∈ ZZ[t] mit deg (f) = 3 irreduzibel.Dann hat der Zerfallungskorper von f uber Q genau dann den Grad 3, falls die Diskriminante derNullstellen von f ein Quadrat in ZZ ist.Dazu seien ρ1, ρ2, ρ3 die Nullstellen von f in C.Dann ist D(ρ1, ρ2, ρ3) =

∏1≤i<j≤3

(ρ1 − ρj)2,

also D(ρ1, ρ2, ρ3) ∈ ZZ wegen D(ρ1, ρ2, ρ3) = det (Si+j−2(ρ1, ρ2, ρ3)) ∈ ZZ.

Fur Zerfallungskorper M von f uber Q gibt es nun genau zwei Moglichkeiten:

(i) [M : Q] = 3⇒M = Q(ρ1)⇒ G(M/Q) ∼= C3 ⇒ D =√D invariant unter G(M/Q)

⇒ D ∈ Fix(G(M/Q)) = Q;

(ii) [M : Q] = 6⇒ G(M/Q) ∼= S3 ⇒ G(M/Q) enthalt Transposition, etwa (23),d.h. σ(D) = −D fur ein σ ∈ G(M/Q)⇒ D =

√D /∈ Fix(G(M/Q)) = Q wegen D 6= 0.

3.10 Satz

Es sei K eine endliche Erweiterung von IFp vom Grad n.Dann ist K/IFp galoissch mit G(K/IFp) = 〈σ〉,wobei σ der Frobenius-Automorphismus von K ist, ]〈σ〉 = n.Ist L eine Erweiterung von K vom Grad m, so ist auch L/K galoisschmit Galoisgruppe G(L/K) = 〈ψ〉, wobei ψ durch x 7→ xpn

gegeben ist, ]〈ψ〉 = m.

Beweis:

3.11 Definition 75

(i) Die Erweiterung K/IFp ist normal als Zerfallungskorper von tpn − t;

sie ist separabel, weil IFp vollkommen ist.Die Abbildung σ : K → K : x 7→ xp ist - wie fruher gezeigt - ein Monomorphismus, derwegen ]K <∞ surjektiv ist.Da fur x ∈ IFp zudem xp = x gilt, ist σ ∈ G(K/IFp).Wir betrachten die zyklische Untergruppe 〈σ〉 =: U von G = G(K/IFp).Es gilt: σv : K → K : x 7→ xpv

, d.h. σv = idk erstmalig fur υ = n.Also ist ]U = n = ]G und damit U = G.

(ii) L/K ist galoissch (vgl. (i)).Wegen (4.3) gilt: ]G(L/K) = m.Als Untergruppe von G(L/IFp) ist G(L/K) zyklisch.Die Gruppe wird erzeugt durch ψ : L→ L : x 7→ xpn

.

2

3.11 Definition

Es sei K ein Primkorper.Jede Wurzel des Polynoms tn − 1 ∈ K[t] heißt n-te Einheitswurzel uber K.Der Zerfallungskorper Kn von tn − 1 heißt n-ter Kreisteilungskorper uber K.

Im folgenden seien stets die Voraussetzungen von (4.11) gegeben.In Kn zerfallt tn − 1 in Linearfaktoren. Fur die Nullstellenmenge En von tn − 1 in Kn gilt dabei:

3.12 Satz

Es sei tn − 1 ∈ K[t], K Primkorper.Im Zerfallungskorper Kn von tn − 1 bezeichne En die Nullstellenmenge von tn − 1 (]En ≤ n).Dann gilt:

(i) En ist zyklische Untergruppe von K×n .

(ii) Fur χ(K) = p mit p|n gilt En = En/p.

(iii) Fur χ(K) 6 | n gilt ]En = n.

(iv) ∀m ∈ IN gilt En ⊆ Emn, also Kn ⊆ Kmn.

Beweis:

(i) Gemaß (3.9), denn mit x, y ∈ Kn und xn = yn = 1 folgt (xy)n = (xy−1)n = 1,also En < K×.

(ii) Es sei n = pm; es folgt tn − 1 = (tm)p − 1 = (tm − 1)p.

(iii) tn− 1 besitzt n Nullstellen in Kn, die wegen ggT (tn− 1, (tn− 1)′) = ggT (tn− 1, ntn−1) = 1alle verschieden sind. (Beachte: n 6= 0 in Kn).

(iv) xn = 1⇒ xnm = 1∀m ∈ IN.

2

Wegen (ii) konnen wir im weiteren stets χ(K) - n annehmen!Dann gilt En = < ξ >, ]En = n, also En = {1, ξ, . . . , ξn−1}.Jedes erzeugende Element der zyklischen Gruppe En heißt dann primitive n− te Einheitswurzel.Ist En =< ξ >, so gilt Kn = K[ξ].Wegen ord(ξm) =

n

ggT (m,n)gibt es genau ϕ(n) primitive n− te Einheitswurzeln.

Hierbei mißt die Eulersche Funktion ϕ die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen in {1, 2, . . . , n}.Es bezeichne Fn die Menge der primitiven n−ten Einheitswurzeln, dann gilt Fn ⊆ En, ]Fn = ϕ(n).


3.13 Hilfssatz

(i) Fur m 6= n,m, n ∈ IN ist Fm ∩ Fn = ∅.

(ii) En =⋃d|nFd.

(iii) n =∑d|n

ϕ(d).

Beweis:

(i) Trivial.

(ii) Klar ist zunachst En ⊇⋃d|n

Fd.

Die Vereinigung ist wegen (i) zudem disjunkt.

Ist andererseits ξ ∈ En, so existiert ein minimaler Exponent m ∈ N mit ξm = 1 und m|n.

Hierfur ist ξ eine primitive m− te Einheitswurzel.

(iii) Folgt sofort aus (ii).

2

3.14 Definition

Φn(t) :=∏

ξ∈Fn

(t− ξ) ∈ Kn[t] heißt n-tes Kreisteilungspolynom uber K.

Bemerkungen:Offensichtlich ist deg(Φn) = ϕ(n).

Ist ξ irgendeine primitive n− te Einheitswurzel, so gilt Φn(t) =n∏

i=1ggT (i,n)=1

(t− ξi).

Damit folgt aus (4.13)(ii) unmittelbar tn − 1 =∏

d|n Φd(t) in Kn[t].

3.15 Satz

Es ist Φn(t) ∈ K[t]; speziell fur K = Q gilt sogar Φn(t) ∈ ZZ[t].

Beweis:Mittels Induktion nach n!n = 1 : Φ1(t) = t− 11, . . . , n− 1→ n :Wegen

tn − 1 =∏d|n

Φd(t) ist Φn(t) = (tn − 1)/ (∏d|nd<n

(Φd(t))

︸︷︷︸=:gn(t)∈K[t] bzw. ZZ[t]

in Kn(t)

nach Induktionsannahme.

Also existieren Polynome hn(t), rn(t) aus K[t] bzw. ZZ[t] mit tn − 1 = hn(t)gn(t) + rn(t)und deg(rn) < n− ϕ(n).Da diese Zerlegung auch in Kn(t) Gultigkeit besitzt, folgt rn(t) = 0 und hn(t) = Φn(t).

2

3.16 Satz 77

3.16 Satz

Es gilt [Kn : K] = ϕ(n) fur K = Q; speziell ist Φn(t) in ZZ[t] irreduzibel, Kn/Q galoissch.

Beweis:Offenbar ist [Kn : K] ≤ ϕ(n), da Φn(t) in Kn in Linearfaktoren zerfallt undKn = K(ξ) mit ξ Nullstelle von Φn ist. Wir zeigen also noch [Kn : K] ≥ ϕ(n).Dazu sei ξ eine Nullstelle von Φn(t) mit Minimalpolynom mξ(t) ∈ K[t].Hierfur gilt mξ(t)|Φn(t), d.h. es existiert h(t) ∈ K[t] (nominiert!) mit Φn = mξh. Nach Gaußbesteht diese Faktorisierung sogar in ZZ[t].Wir zeigen: Ist nun x Nullstelle von mξ, so auch xp fur alle Primzahlen p, die n nicht teilen.Daraus folgt dann sofort, daß jede primitive n − te Einheitswurzel Nullstelle von mξ ist, alsomξ(t) = Φn(t) gilt.

Annahme: xp ist keine Nullstelle von mξ. Dies bedeutet wegen Φn(xp) = 0 jedoch h(xp) = 0,d.h. x Nullstelle von h(tp) bzw. mξ(t)|h(tp) oder h(tp) = mξ(t)g(t) in ZZ[t].Also folgt wegen h(tp) ≡ h(t)p mod pZZ[t] auch h(t)p ≡ mξ(t)g(t) mod pZZ[t],d.h. in IFp[t] gilt: ggT (h, mξ) 6= 1,was dann bedingt, daß tn − 1 mehrfache Nullstellen in IFp[t] besitzt.Dies ist jedoch ein Widerspruch zu p 6 | n.

2

Schreibt man die Mobiusche Umkehrformel multiplikativ, so erhalt man:

∀ n ∈ IN : f(n) =∏d|n

g(d)⇐⇒ ∀ n ∈ IN : g(n) =∏d|n

f(d)µ(n/d).

Wir wenden dies auf f(n) = tn − 1, g(d) = Φd(t) an und erhalten

(i)

Φn(t) =∏d|n

(td − 1)µ(n/d).

Hiermit lasst sich Φn(t) leicht berechnen. Wir erhalten fur n = 12:

Φ12(t) =(t2 − 1)(t12 − 1)(t4 − 1)(t6 − 1)

= t4 − t2 + 1.

Beispiel:Uber IF5 gilt:Φ12(t) = t4 − t2 + 1 = (t2 − 2t− 1)(t2 + 2t− 1) = (t− ξ)(t− ξ5) · (t− ξ7)(t− ξ11)(4.16) wird falsch!

Bemerkung:Uber IFp mit p 6 |n ist [Kn : K] = min{m ∈ IN|pm − 1 ≡ 0 mod n}.


3.17 Satz

Fur n ∈ IN ist G(Kn/Q) ∼= U(ZZ/nZZ).

Beweis:Es seien ξ eine (feste) primitive n− te Einheitswurzel,Kn = Q(ξ), und h ∈ IN mit 1 ≤ h ≤ n, ggT (h, n) = 1.Dann sind ξ und ξh beide Nullstellen des irreduziblen Polynoms Φn(t) ∈ ZZ[t],welches in Kn[t] in Linearfaktoren zerfallt, und es gilt Kn(ξ) = Kn(ξh).Wir definieren ϕ : U(ZZ/nZZ)→ G(Kn/Q) : h+ nZZ 7→ σh,wobei σh : Kn → Kn mittels ξ 7→ ξh gegeben ist.Offensichtlich ist σh ein Element aus G(Kn/Q), vgl. (3.17).ϕ ist wohldefiniert wegen ξn = 1, injektiv (und damit surjektiv).Zur Homomorphie: ϕ(hk + nZZ) = σhk = σhσk = ϕ(h+ nZZ)ϕ(k + nZZ).

2

3.18 Korollar

Der n-te Kreiskorper Kn ist abelsch uber Q.Alle Zwischenkorper F mit Q ⊂ F ⊂ Kn sind uber Q galoissch.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Gegeben sei eine zweidimensionale affine Ebene mit kartesischem Koordinatensystem sowie demPunkt (1,0) auf der x-Achse.

Konstruktionsregeln

(i) Durch zwei gegebene Punkte laßt sich (eindeutig) eine Gerade zeichnen.

(ii) Um einen gegebenen Punkt laßt sich (eindeutig) ein Kreis zeichnen, dessen Radius gleichdem Abstand zweier gegebener Punkte ist.

(iii) Neue Punkte entstehen als Schnittpunkte von zwei Geraden, zwei Kreisen oder einer Geradenmit einem Kreis.

Konstruierbar sind dann (in endlich vielen Schritten!!!):

I. Alle Punkte (x,0) mit x ∈ Q, (0, y) mit y ∈ Q, (x, y) ∈ Q2.(Eine Strecke laßt sich in n gleiche Stucke teilen, da man zu einer Geraden und einem Punkt Paußerhalb eine Parallele durch P konstruieren kann).

II. Zu x ∈ Q laßt sich√x (als (

√x, 0)) konstruieren.

x1

√x

Betrachte die Menge L der konstruierbaren reellen Zahlen x.

III. Mit u, v ist u± v konstruierbar, sowie uv,u

v(v 6= 0).

3.19 Satz 79

u

@@

@@

@@

@@

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

l

@@

@@

@@

@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

b

1

0

a ab

u/v

1

v

Also gilt: Q ⊂ L ⊂ IR, L Korper.

Es seien nun die bisher konstruierten Punkte im Korper K ⊇ Q enthalten.

(i) Schneide die Geraden durch (x1, y1) 6= (x2, y2) bzw. (u1, v1) 6= (u2, v2):

y − y1x− x1

=(y2 − y1)(x2 − x1)

=: r1,y − v1x− u1

=v2 − v1u2 − u1

=: r2, r1 6= r2,

y = r1x−x1r1 + y1︸︷︷︸s1

= r2x− u1r2 + v1, x =x1r1 − y1 − u1r2 + v1

r1 − r2, (x, y) ∈ K.

(ii) Schneide Gerade durch (x1, y1) 6= (x2, y2) mit Kreis um (u, v)

vom Radius r : y = r1x+ s1, (x− u)2 + (y − v)2 = r2

⇒ x genugt quadratischer Gleichung,

eine Losung liegt in Erweiterung K von K vom Grad ≤ 2 (K/K galoissch).

(iii) Schneide Kreis um (u1, v1) vom Radius r1, mit dem um (u2, v2) vom Radius r2.

(x− u1)2 + (y − v1)2 = r12, (x− u2)2 + (y − v2)2 = r2

2,

(x− u2)2 = (x− u1)2 − 2u1x+ δ2 (δ = u2 − u1),

(y − v2)2 = (y − v1)2 − 2v1y + γ2 (γ = v2 − v1),r2

2 = r12 − 2u1x− 2v1y + γ2 + δ2 usw.

⇒ x genugt quadratischer Gleichung, fahre fort wie in (ii).

3.19 Satz

x ∈ IR ist genau dann konstruierbar, wenn es einen endlichen KorperturmQ = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn ⊂ IR mit x ∈ Kn gibt,wo stets Ki = Ki−1(

√βi) mit βi ∈ Ki−1, βi > 0,

√βi /∈ Ki−1 (1 ≤ i ≤ n) gilt.

Kn = Q(√β1 . . . ,

√βn).

Beweis:x konstruierbar ⇒ x liegt in solchem Kn.Jede Zahl aus Kn ist konstruierbar: x ∈ Kn ⇒ x = a+ b

√βn mit a, b, βn ∈ Kn−1,

dann wende Induktion uber n an und beachte Konstruktionsregeln II und III.

2


3.20 Korollar

(i) x ∈ IR konstruierbar ⇒ x liegt in Korper K mit Q ⊂ K ⊂ IR und [K : Q] = 2n (n ∈ ZZ≥0).

(ii) Transzendente Zahlen aus IR sind nicht konstruierbar.

(iii) x ∈ IR algebraisch uber Q mit [Q(x) : Q] = n und n keine Potenz von 2 ist nicht konstruierbar.

Anwendungen:

(i) Delisches Problem: Verdoppelung eines Wurfels gegebener Kantenlange x.

Die zu konstruierende Kantenlange ist 3√

2x. Dies ist genau dann moglich, falls 3√

2 konstru-ierbar ist.

Wegen [Q( 3√

2) : Q] = 3 ist dies uber Q unmoglich.

Dagegen ist t2 − 2 reduzibel in Q(√

2),√

2 ist konstruierbar.

(ii) Quadratur des Kreises: πr2 = x2. Dies geht nur, falls√π konstruierbar ist.

Da π bzw.√π transzendent sind, ist dies unmoglich.

(iii) Winkeldreiteilung : Winkel α konstruierbar ⇔ cosα, sinα konstruierbar!cos 3x + i sin 3x = e2πi3x = (e2πix)3 = (cosx + i sinx)3 =

cos3 x − 3 cosx sin2 x + i(3 cos2 x sinx − sin3 x)

impliziert (mit sin2 x = 1− cos2 x) :

cos 3x = 4 cos3 x− 3 cosx.

Also ist der Winkel 3x “drittelbar” ⇔ 4t3 − 3t− cos 3x in K = Q(cos 3x)

reduzibel und K/Q konstruierbar. Dies ist jedoch i.a. falsch!

x = 200 : 4t3 − 3t− 12 = 0 ⇔ (2t)3 − 3(2t)− 1 = 0.

Jedoch ist u3 − 3u− 1 irreduzibel.

x = 150 : 4t3 − 3t−√

22 = 0 ⇔ u3 − 3u−

√2 = 0.

Dies ist reduzibel in Q(√

2), x ist konstruierbar.

(iv) Regulare n− Ecke : Konstruierbar ⇔ deg(Φn) = ϕ(n) Potenz von 2.

(Fur “⇐′′ beachte, daß die Galoisgruppe eines Kreiskorpers abelsch ist.)

Fur n = 2m0pm11 . . . pmr

r (pi paarweise verschiedene ungererade Primzahlen)

ist Φ(n) = 2max(0,mo−1)pm1−11 (p1 − 1) . . . pmr−1

r (pr − 1).

Dies ist genau dann eine Potenz von 2, falls m1 = . . . = mr = 1 und pi : = 2ki + 1(ki ∈ IN)ist. D.h. die pi sind sog. Fermatsche Primzahlen.(Beachte : ki = 2li , denn fur ki = ϕiγi, γi ungerade, ist 2ki + 1 durch 2ϕi + 1 teilbar).

li 0 1 2 3 4pi 3 5 17 257 65537

(Fur l5 = 5 ist p5 keine Primzahl.)

Das regulare n-Eck ist genau dann konstruierbar, falls n = 2m0p1 . . . pr mit paarweise ver-schiedenen Fermatschen Primzahlen pi ist (m0 ∈ ZZ≥0).

Beispiel: n = 17.

Kapitel 4: Moduln

4.1 Einfuhrung

Definition 4.1 Es sei R ein Ring. Ein (links) R-Modul M ist eine Abelsche Gruppe zusammenmit eine Verknupfung: ◦ : R×M →M mit (rs) ◦m = r ◦ (s ◦m), (r+ s) ◦m = r ◦m+ s ◦m undr ◦ (m+ n) = r ◦m+ r ◦ nM heißt unitar, falls R ein Einselement 1 6= 0 besitzt und 1 ◦m = m fur jedes m ∈M gilt.Eine Teilmenge U eines R-Moduls M heißt Untermodul (Teilmodul) von M , falls gelten:

(i) U ist Untergruppe von M ,

(ii) RU ⊆ U .

(Ein Modul ist im Prinzip ein Vektorraum uber einem Ring)Ist M ein Modul, so ist der Durchschnitt von Teilmoduln von M wieder ein Teilmodul. Alsoexistiert zu jeder Teilmenge A ⊆M ein kleinster Teilmodul von M der A enth”alt.

Definition 4.2 Es sei M ein R-Modul. F”ur A ⊆ M bezeichne 〈A〉 den kleinsten Teilmodul vonM der A enth”alt.M heißt endlich erzeugt, falls A ⊆M mit #A <∞ und M = 〈A〉 existiert.

Ist M ein unitarer Modul, so gilt

〈A〉 = {∑

raa | a ∈ A, ra ∈ R}

Fur eine Familie (Mi)i∈I von Teilmoduln von M mit

Mj ∩ 〈Mi | i ∈ I, i 6= j〉 = {0}

fur jedes j ∈ I heißt.+i∈IMi := 〈Mi | i ∈ I〉

die innere direkte Summe. Fur eine beliebige Familie von R-Moduln wird das direkte (außere)Produkt

∏i∈I Mi und die außere direkte Summe ⊕i∈IMi wie ublich definiert.

Hilfssatz 4.3 Unter der Festsetzung α ◦ (x + U) := α ◦ x + U wird die Faktorgruppe M/U einesR-Moduls M mit Untermodul U zu einem R-Modul (Faktormodul).

Definition 4.4 Seien M , M zwei R-Moduln und ϕ : M → M ein Gruppenhomomorphismus.Falls

ϕ(α ◦m) = α ◦ ϕ(m) ∀ α ∈ R ∀m ∈M

gilt, so heißt ϕ R-Modulhomomorphismus, ϕ ∈ Hom R(M,M).

Hilfssatz 4.5 Seien M,M zwei R–Moduln und ϕ : M → M ein R-Modulhomomorphismus. Danngelten:

(i) (ϕ) ∼= M/ ker(ϕ),

(ii) (U + V )/U ∼= V/(U ∩ V ) fur Teilmoduln U ,V von M ,

(iii) M/V ∼= (M/U)/(V/U) f”ur U ,V wie in (2) mit U ⊆ V .

82 Kapitel 4 — Moduln

Beweis: Wie fur Gruppen, Ringe, Vektorraume.

Definition 4.6 Fur A ⊆ M ist (A) := {r ∈ R | ∀m ∈ A : rm = 0} der Annulator von A. Falls(M) = {0} gilt, so heißt M treu (eng. faithful). m ∈ M heißt Torsionselement, falls (m) 6= 0.M := {m ∈M | (m) 6= 0}. M hei”st Torsionsmodul, falls M = M gilt, M hei”ß torsionsfrei, falls(M) = 0 gilt.

Hilfssatz 4.7 (i) Fur U ⊆M ist (U) ein Linksideal von R.

(ii) Ist M 6= {0} torsionsfrei, so hat R keine Nullteiler.

Beweis: Fur m ∈ M und φm : R → M : r 7→ rm gilt kerφm = (m). Ferner: (U) =⋂

m∈U kerφM ,daher ist ein (Links-) Ideal. Es seien r 6= 0 6= s mit sr = 0 gegeben. Dann ist s(rm) = (sr)m = 0und rm ein Torsionselement.

Bemerkung 4.8 (M) ist im allgemeinen kein Untermodul von M (etwa M = R = ZZ/6ZZ ⇒(M) = {0, 2, 3, 4} ⇒ (M) ist keine Untergruppe von (M,+), also auch kein Untermodul).

Hilfssatz 4.9 Es sei R ein Integritatsring und M ein R-Modul. Dann ist M ein Teilmodul undM/M ist torsionsfrei.

Beweis: Setze M := (M). Seien x, y ∈ M mit α, β ∈ R,α 6= 0 6= β, so daß α ◦ x = β ◦ y = 0 gilt ⇒

αβ ◦ (x− y) = αβ ◦ x− αβ ◦ y = β ◦ (α ◦ x)− α ◦ (β ◦ y) = 0

⇒ x− y ∈ M wegen αβ 6= 0⇒ (M,+) ist Untergruppe von (M,+). Fur x, α wie oben folgt weiter

α ◦ (β ◦ x) = (αβ) ◦ x = β ◦ (α ◦ x) = 0 ∀β ∈ R

⇒ β ◦ x ∈ M ⇒ R ◦ M ⊆ M . Also ist (M) Untermodul von M .Seien nun x + M ∈ M/M und α ∈ R mit α ◦ (x + M) = α ◦ x + M = M . Dies impliziertα◦x ∈ M ⇒ ∃β ∈ R, β 6= 0 mit βα◦x = 0. F”ur α 6= 0 ist dann βα 6= 0⇒ x ∈ M ⇒ x+M = M .Also ist M/(M) torsionsfrei.

Definition 4.10 Eine endliche Teilmenge {x1, . . . , xn} eines R-Moduls M heißt uber R frei (un-abhangig), falls aus

∑ri=1 αi · xi = 0 fur α1, . . . , αr ∈ R bereits α1 = . . . = αr = 0 folgt. Eine

beliebige Teilmenge S von M heißt frei, falls jede endliche Teilmenge von S frei ist.S ⊆ M heißt Basis von M , falls S frei ist und 〈S〉 = M gilt. Ein Modul mit Basis heißt freierModul.

Bemerkung 4.11 ∅ ist freiM frei ⇒ M torsionsfrei. Die Umkehrung ist i. allg. falsch.

Satz 4.12 Es sei X ⊂M , M ein unitarer R-Modul. Dann sind aquivalent:

(i) Fur jedes x ∈ X ist die Abbildung rx 7→ r ein R-Modul-Isomorphismus zwischen Rx und R.Ferner gilt M =

.+x∈XRx

(ii) M ist frei mit Basis X

(iii) Jedes m ∈M besitzt eine eindeutige Darstellung m =∑rxx

(iv) M ∼= ⊕x∈XR, wobei die Isomorphie durch (rx)x 7→∑rxx gegeben ist.

Beweis: ”‘(2)⇒(3)”’: M =.+x∈X Rx⇒M = 〈X〉. X ist frei, da anderfalls die Summe nicht direkt

ist.”‘(3)⇒(4)”’: Jedes m ∈M hat eine Darstellung in der Form

∑rxx (Definition der Basis). Es sei∑

r xx =∑

s xx. Dann folgt∑

( rx − sx)x = 0 und daher rs = sx da X frei ist.”‘(4)⇒(5)”’: Da sich jedes m ∈ M eindeutig in der Form m =

∑rxx darstellen lasst ist, sind

die Abbildungen φx : M → R : m =∑ryy 7→ rx f”ur jedes x ∈ X R-linear. Offenbar ist

Φ : M → ⊕x∈Xm 7→ (φx(m))x daher linear und wohldefiniert. Φ ist injektiv, da die Darstellungeindeutig ist und surjektiv, da Ψ : ⊕x∈XRx → M : (rx)x 7→

∑rxx nach Voraussetzung surjektiv

ist und offenbar invers zu Φ.”‘(5)⇒(2)”’: Es sei φ : X → N beliebig gegeben. Mittels Φ : ⊕x∈XR → N : (rx)x 7→

∑rxφ(x)

erhalten wir eine Fortsetzung auf ⊕x∈XRx und mit ⊕x∈XRx ∼= M eine auf M .

4.2 Moduln uber Hauptidealringen 83

Beispiel 4.13 Vektorraume (diese sind stets frei), Ringe uber sich selbst.Es sei K ein Korper, V ein K-Vektorraum. Dann ist V ein End (V )-Modul mittels (φ, v) 7→ φ(v).Gruppen sind ZZ-Moduln (ZZG, Gruppenringe)In einem kommutativem Ring R gilt: Ein Ideal ⊆ R ist ein freier R-Modul ⇐⇒ = (a). Beweis:Es sei X eine Basis von . Ang. {a, b} ⊆ X mit a 6= b. Dann gilt 0 = ab− ba und X ist nicht frei.Der Rest ist klar.Es sei R ⊆ S eine unitare Ringerweiterung. Dann ist S ein unitarer R-Modul.

Der Durchschnitt aller maximalen Ideale von R heißt Jacobson Radikal JR von R. Wir be-haupten, dass ein Element x ∈ R genau dann zu JR gehort, wenn 1 − xy eine Einheit in R furalle y ∈ R ist. Wenn 1 − xy keine Einheit ist, dann liegt es in einem geeigneten maximalen Idealm. Fur x ∈ JR ⊆ m erhalten wir xy ∈ m, und daher ist 1 ∈ m, ein Widerspruch. Wenn x nichtin einem maximalen Ideal, etwa m, enthalten ist, gilt m +Rx = R, daher m+ yx = 1 fur geeigeteElemente m ∈ m , y ∈ R. Aber dann liegt das Element 1− yx = m ebenfalls in m und kann daherkeine Einheit sein.(Nakayama) Es seien M eine endlich erzeugter unitarer R-Modul und a ein Ideal von R, welchesim Jacobson Radikal von R enthalten ist. Gilt dann aM = M , so ist der Modul M trivial.Beweis: Wir nehmen an, dass M nicht Null ist und dass u1, ..., un eine minimale Anzahl vonErzeugern von M ist. Weil un ∈ M = aM gilt, existieren Elemente a1, ..., an ∈ a mit un =a1u1 + ...+anun. Weil a in dem Jacobson Radikal von R enthalten ist, ist das Element 1−an eineEinheit von R, und wir erhalten

un = a1(1− an)−1u1 + ...+ an−1(1− an)−1un−1

entgegen unserer Annahme.2

Es sei R ein lokaler noetherscher Integritatsring und a ein maximales Ideal von R. Dann giltan+1 ⊂ an fur alle naturlichen Zahlen n.m bezeichne das maximale Ideal von R. Offenbar ist a in m = JR enthalten. Wenn wir aan = an

hatten, wurden wir an = 0 gemaß Nakayama’s lemma erhalten. Aber a enthalt Elemente ungleich0 und demnach auch an, weil R ein Integritatsring ist. 2

Es sei R ein noetherscher Integritatsring und a ein echtes Ideal von R. Dann gilt an+1 ⊂ an furalle naturlichen Zahlen n.Beweis: Wir wenden Lokalisierung an! Es sei a enthalten in dem maximalen Ideal p von R. Wennwir aan = an hatten, wurde dasselbe fur das Ideal a = a

R\p gelten. Man sieht leicht, dass an+1 = aan

gilt, und der Beweis erfolgt durch die Anwendung des vorangehenden Lemmas.

4.2 Moduln uber Hauptidealringen

Ab jetzt sei R ein kommutativer unitarer Hauptidealring.

Satz 4.14 Sei M ein freier R-Modul vom Rang n uber einem Hauptidealring R. Dann ist jederUntermodul U von M frei vom Rang m ≤ n.

Beweis: Der Beweis erfolgt mittels vollstandiger Induktion uber die Anzahl n der Erzeuger vonM

.+ Rx1

.+ . . .

.+ Rxn.

Induktionsanfang: n = 0 (trivial).Induktionsschritt n− 1⇒ n:

Wir setzen An := {an ∈ R\?x ∈ U : x =n∑

i=1

aixi}.

Dann ist An offenbar ein Ideal in R. Wir schreiben An = (αn). Hierzu existiert ein y ∈ U etwa

y =n∑

i=1

αixi. (y = 0 ist moglich!) Wir bilden dann UN := U ∩ (Rx1

.+ . . .

.+ Rxn−1) und zeigen

UN = NU.+ Ry. Dazu bemerken wir:

(i) ∀ x ∈M∃α ∈ R : x− αy ∈ M ,

(ii) M ∩Ry = {0}, denn x1, . . . , xn sind frei.


Nunmehr wenden wir die Induktionsvoraussetzung fur U an. 2

Satz 4.15 Endlich erzeugte, torsionsfreie Moduln uber Hauptidealringen sind frei.

Beweis: Nach Voraussetzung gilt

M =n∑

i=1

Rxi.

Unter den Teilmengen von {x1, . . . , xn} wahle eine freie mit maximal vielen Elementen. Nacheventueller Umnumerierung sei dies {x1, . . . , xs}. Fur n = s ist man fertig. Sei also s < n. Furjedes j ∈ {s+ 1, . . . , n} existieren dann αj , αji ∈ R (1 ≤ i ≤ s), αj 6= 0 mit

αjxj =s∑

i=1

αj,ixi

⇒ αjxj ∈ F fur F =∑s

i=1Rxi.Bilde α =

∏ni=s+1 αi ⇒ α 6= 0 ⇒ αx ∈ F ∀ x ∈ M bzw. αM ⊆ F ⊆ M . Gem”a”s 4.14 ist αM

frei vom Rang ≤ s. Dann ist ϕ : M → α ·M : x 7→ α · x ein Modulhomomorphismus, welchertrivialerweise surjektiv und injektiv aufgrund der Torsionsfreiheit von M ist ⇒ M ' α ·M ⇒ Mist frei vom Rang s.

Bemerkung 4.16 Q ist ein torsionsfreier ZZ-Modul, aber nicht frei.

Satz 4.17 Seien R ein Hauptidealring und M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann gilt M =(M)⊕ F mit einem freien Untermodul F 'M/(M).

Beweis: Nach mod:5 und mod:4 ist M/(M) frei, etwa mit Basis B. Betrachte nun den kanonischenEpimorphismus

ϕ : M →M/(M) : x 7→ x+ (M).

Zu jedem b ∈ B wahle ein festes mb ∈ M mit ϕ(mb) = b. Bilde F :=∑

b∈B Rmb ⇒ F istUntermodul vom M . Offensichtlich ist {mb | b ∈ B} eine Basis von F . Zeige nun M = (M)⊕ F .Wir haben F = τ(M/(M)) mit einem Isomorphismus

τ : M/(M)→ F :∑b∈B

αbb+ (M) 7→∑b∈B

αbmb.

Fur m ∈ M gilt m = τ(ϕ(m)) + (m− τ(ϕ(m))) ∈ F + (M). Ist andererseits x ∈ F ∩ (M), so giltx = τ(m) mit m ∈M/(M/R)⇒

0 = ϕ(x) = ϕ(τ(m)) = m⇒ x = τ(m) = 0

⇒ F ∩ (M) = {0}.

Definition 4.18 Seien R ein kommutativer Ring mit Eins und n ∈ IN. Die invertierbaren Ma-trizen U ∈ Rn×n heißen unimodular. GL (n,R) ist die Menge aller invertierbaren Matrizen.

Hilfssatz 4.19 (i) Die unimodularen (n× n)–Matrizen uber R bilden eine Gruppe GL (n,R).

(ii) A ∈ Rn×n ist genau dann unimodular, falls det(A) ∈ R∗.

Beweis: ”Ubung? Trivial?

Hilfssatz 4.20 Seien R ein kommutativer Ring mit Eins und M ein freier R–Modul vom Rangn. Fur zwei Basen b1, . . . , bn und c1, . . . , cn von M existiert U ∈ GL (n,R) mit

(b1, . . . , bn) = (c1, . . . , cn) · U.

Hilfssatz 4.21 Seien R ein Hauptidealring und a1, . . . , an ∈ R. Dann existiert eine Matrix A ∈Rn×n mit erster Zeile a1, . . . , an und det(A) = ggT (a1, . . . , an).

4.2 Moduln uber Hauptidealringen 85

Beweis: Der Induktionsanfang (n = 1) ist trivial. Fur n > 1 existiert nach InduktionsannahmeA = (ai,j) ∈ R(n−1)×(n−1) mit a1,j = aj (1 ≤ j ≤ n − 1) und det(A) = ggT (a1, . . . , an−1). Seic := ggT (det(A), an). Dann existieren u, v ∈ R mit c = u det(A) + van. Setze

A :=

A

an

0...0

b1 · · · bn−1 u

mit bi = −vai

det(A)(1 ≤ i ≤ n− 1) ⇒ det(A) = u det(A) + anv = c.

Hilfssatz 4.22 Seien R ein Hauptidealring und a1, . . . , an ∈ R. Dann existiert U ∈ GL (n,R) mit(a1, . . . , an) · U = (c, 0, . . . , 0) fur c := ggT (a1, . . . , an).

Beweis: Bilde A = (aij) ∈ Rn×n mit det(A) = c wie in mod:6. Setze A = (aij) ∈ Rn×n mittelsaij := aij (2 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) und a1j := a1j

c (1 ≤ j ≤ n). A ist dann unimodular wegendet(A) = 1 und es gilt (c, 0, . . . , 0)A = (a1, . . . , an). Also erfullt A−1 die Behauptung.Fur einen kommutativen Ring R mit Eins ist

a ∼ b :⇐⇒ ∃u ∈ R∗ : a = ub

eine Aquivalenzrelation aufR. Im folgenden seiR ⊆ R ein Vertretersystem fur die Aquivalenzklassen(fur R = ZZ etwa R = ZZ≥0).

Satz 4.23 (Hermite Normalform) Sei R ein Hauptidealring. Zu jeder Matrix A ∈ Rm×n ex-istiert U ∈ GL (n,R), so dass A · U eine untere Dreiecksmatrix ist, deren Diagonalelemente in Rliegen. A · U heißt eine Hermite-Normalform von A.

Beweis: Der Induktionsanfang (n = 1) ist trivial.Sei nun n > 1. Zu c = ggT (a11, . . . , a1n) ∈ R existiert nach mod:7 U1 ∈ GL (n,R) mit

A · U1 =(c 0 . . . 0∗ A

).

Durch Anwendung der Induktionsannahme auf A erhalt man eine Matrix der gewunschten Gestalt.

Bemerkung 4.24 Es sei G eine Abelsche Gruppe die mit Erzeugern und Relationen definiert ist:G := 〈x1, . . . , xn |

∑ni=1 ai,jxi = 0, 1 ≤ j ≤ m〉. Dann kann mit Hilfe der HNF die Anzahl der

Relationen auf n beschrankt werden. Ferner liefert dies ein Verfahren um die Endlichkeit von Gnachzuweisen.

Satz 4.25 (Smith Normalform) Seien R ein Hauptidealring und A = (aij) ∈ Rm×n sowier = min(m,n). Dann existieren V ∈ GL (m,R) und U ∈ GL (n,R), so da”s fur S(A) := (si,j) :=V ·A · U gelten:

(i) si,j = 0 (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, i 6= j),

(ii) si,i|sj,j (1 ≤ i ≤ j ≤ r),

(iii) si,i ∈ R (1 ≤ i ≤ r).

S(A) ist eindeutig bestimmt und heißt Smith–Normalform von A.

Beweis: Wir bestimmen zunachst V ∈ GL (m,R) und U ∈ GL (n,R), so dass V ·A·U die Bedingung(1) erfullt. Der Induktionsanfang (n = 1) folgt aus mod:7. Sei nun n > 1. Durch Anwenden vonmod:8 erreicht man

A · U1 =(c1 0∗ A1

),


und weiter

V2 ·A · U1 =(c2 ∗0 A2

), V2 ·A · U1 · U2 =

(c3 0∗ A3

), . . .

Wegen ci+1|ci und c1|a11 terminiert dieser Prozeß, weil a11 nur endlich viele Primteiler besitzt.Subtraktionen passender Vielfacher der ersten Zeile oder Spalte liefern dann(

ck 00 Ak

).

Durch Anwendung der Induktionsannahme auf Ak erhalt man eine Matrix, welche die Bedingung(1) erfullt.Um nun sii|sjj (1 ≤ i < j ≤ r) zu erreichen, ersetzt man durch passende Spalten– und Zeilenop-erationen sii durch ggT (sii, sjj) ∈ R und sjj durch kgV (sii, sjj) ∈ R:Es sei g := ggT (sii, sjj) = rsii + tsjj und l := siisjj/g = kgV (sii, sjj). Dann gilt:

(sii 00 sjj

) ·„

1 0t 1

«→

(sii 0tsjj sjj

)„

1 0r 1

«·

→(sii 0g sjj

)„

1 −sii/g

0 1

«·

→(

0 −siisjj/gg sjj

)·„

1 l/sii0 1

«→

(0 −lg 0

)Zum Beweis der Eindeutigkeit sei di(A) der ggT aller (i, i)–Minoren von A (1 ≤ i ≤ r) ⇒di−1(A)|di(A) (2 ≤ i ≤ r). Ferner folgt di(A)|di(A ·B) fur B ∈ Rn×n, denn die Spalten von A ·Bsind Linearkombinationen der Spalten von A, so dass jeder Minor von A ·B Produkt eines Minorsvon A ist. Analog folgt di(A)|di(C ·A) f”ur C ∈ Rm×m. Damit erhalt man

di(A)|di(A · U)|di(V ·A · U) = di(S(A))|di(V −1 · S(A) · U−1) = di(A).

Also gilt

di(A) = di(S(A)) =i∏

j=1

sjj (1 ≤ i ≤ r).

Wegen sii = di(A)di−1(A) (1 ≤ i ≤ r, d0(A) := 1) ist man fertig.

Die Diagonalelemente in der Smith Normalform heißen Elementarteiler .

Bemerkung 4.26 Aus der SNF folgt unmittelbar der Hauptsatz uber endlich erzeugte AbelscheGruppen: G ∼= Cn1 × · · ·×Cnn ×ZZr mit n1| . . . |nn und r ≥ 0. Unter diesen Bedingungen sind dieni und das r eindeutig bestimmt.

Hilfssatz 4.27 M sei sein freier Modul mit Basis bi (1 ≤ i ≤ n). Ferner sei i ∈ {1, . . . , n} undci :=

∑nj=1 γjbj ∈M . Dann ist b1, . . ., bi−1, ci genau dann zu einer Basis von M erganzbar, wenn

ggT (γi, . . . , γn) = 1 ist.

4.3 Gitter

Definition 4.28 Seien b1, . . . , bk ∈ IRn linear unabhangig uber IR. Dann nennt man den ZZ–Modul

Λ :=

{k∑

i=1

λibi | λ1, . . . , λk ∈ ZZ

}

4.3 Gitter 87

ein Gitter der Dimension k. d(Λ) := det(bti · bj)1/21≤i,j≤k heißt Gitterdiskriminante von Λ, und

Π(Λ) :=

{x ∈ IRn | x =

k∑i=1

ξbi, 0 ≤ ξi < 1 (1 ≤ i ≤ k)

}

bezeichnet man als das Fundamentalparallelotop (Grundmasche) von Λ. Λ′ ⊆ Λ heißt Teilgittervon Λ, sofern Λ′ selbst ein Gitter im IRn ist.

Im folgenden sei Λ ein k–dimensionales Gitter im IRn mit ZZ–Basis b1, . . . , bk ∈IRn.

Hilfssatz 4.29

(i) d(Λ) =k (Π(Λ)).

(ii) Ist Λ′ ein k–dimensionales Teilgitter von Λ mit einer Gitterbasis c1, . . . , ck, so gilt

d(Λ′) = |det(U)| · d(Λ)

fur U ∈ ZZk×k mit (c1, . . . , ck) = (b1, . . . , bk) · U .

Beweis:

(i) Definiere f : IRk → IRn mittels f(ei) = bi (1 ≤ i ≤ k) und linearer Fortsetzung ⇒(IRk, [0, 1]k, f) ist eine Parameterdarstellung des k–dimensionalen Flachenstuckes Π(Λ)⇒

k(Π(Λ)) =∫

[0,1]kdet(J t

f · Jf )1/2 dmk

=∫

[0,1]kdet(bti · bj)

1/21≤i,j≤k dmk = d(Λ).

(ii) Trivial.

Hilfssatz 4.30 Ist Λ′ ein k–dimensionales Teilgitter von Λ, so gilt

(Λ : Λ′) =d(Λ′)d(Λ)

.

Beweis: Sei c1, . . . , ck eine ZZ–Basis von Λ′. Nach 4.23 konnen wir annehmen, dass die Transfor-mationsmatrix U = (uij) ∈ ZZk×k mit (c1, . . . , ck) = (b1, . . . , bk) ·U eine untere Dreiecksmatrix ist.Da

V := {k∑

i=1

mibi + Λ′ | 0 ≤ mi < uii,mi ∈ ZZ (1 ≤ i ≤ k)}

ein komplettes Vertretersystem von Λ/Λ′ ist, folgt #V = (Λ : Λ′). Andererseits gilt nach 4.29

d(Λ′)d(Λ)

= |det(U)| =k∏

i=1

uii = #V.

[Quadratische Erganzung] Zu A ∈ IRk×k positiv definit berechnen wir eine obere DreiecksmatrixQ ∈ IRk×k, so da”s

xt ·A · x =k∑

i=1

qii

xi +k∑

j=i+1

qijxj

2

.

(i) (Initialisierung) Setze Q← A.

(ii) Fur i = 1, . . . , k − 1 setze qji ← qij , qij ← qij

qii(i + 1 ≤ j ≤ k) und weiter qµν ← qµν −

qµiqiν (i+ 1 ≤ µ ≤ ν ≤ k).


(iii) Setze qij ← 0 (1 ≤ j < i ≤ k).

Sei A ∈ IRk×k positiv definit mit zugehoriger quadratischer Form f(x) = xt · A · x. QuadratischeErganzung liefert dann

f(x) =k∑

i=1

qii(xi +k∑

j=i+1

qijxj)2

= q11(x1 + q12x2 + · · ·+ q1kxk)2 +k∑

i=2

qii

xi +k∑

j=i+1

qijxj

2

︸︷︷︸=:g(x)

Betrachte nun die lineare Abbildung ϕ : IRn → IRn mit zugehoriger Matrix

U =

1 −q12 . . . −q1n

0 1 0...

. . .0 0 1

.

Offensichtlich gilt det(U) = 1 und weiter

f(Ux) = q11x21 + g(x) = xt(U t ·A · U)x.

g laßt sich als quadratische Form in k − 1 Variablen (eben x2, . . . , xk) auffassen. Ist dann B ∈IR(k−1)×(k−1) die zugehorige Matrix, so gilt

det(A) = det(U t ·A · U) = det

q11 0 . . . 00... B0

= q11 det(B).

Induktiv folgt daraus det(A) =∏k

i=1 qii. [Auszahlalgorithmus] Zu A ∈ IRk×k und C > 0 bestimmenwir alle x ∈ ZZk mit xt ·A · x ≤ C.

(i) Bestimme Q ∈ IRk×k wie in 4.30.

(ii) (Initialisierung) Setze i← k, Ti ← C,Ui ← 0.

(iii) (Schranken fur xi) Setze Z ←√

Ti

qii, Bi ← bZ − Uic und weiter xi ← d−Z − Uie − 1.

(iv) Setze xi ← xi + 1. Falls xi ≤ Bi, so gehe zu Schritt 6.

(v) Setze i← i+ 1 und gehe zu Schritt 4.

(vi) Falls i = 1, so gehe zu Schritt 7, sonst setze i ← i − 1, Ui ←∑k

j=i+1 qijxj , Ti ← Ti+1 −qi+1,i+1(xi+1 + Ui+1)2 und gehe zu 2.

(vii) Falls x = 0, so terminiere, sonst gebe x sowie −x aus und gehe zu Schritt 4.

Satz 4.31 (Diskretheit von Gittern) Zu x ∈ IRn und C > 0 gibt es nur endlich viele y ∈ Λmit ‖x− y‖ ≤ C.

Beweis: Konsequenz aus dem Auszahlalgorithmus.

Korollar 4.32 Es existiert δ > 0 mit ‖x− y‖ > δ ∀ x, y ∈ Λ, x 6= y.

Beweis: Angenommen fur alle n ∈ IN existieren xn, yn ∈ Λ, xn 6= yn, mit ‖xn − yn‖ ≤ 1n ⇒ #{z ∈

Λ | ‖z‖ ≤ 1} =∞ ⇒ Widerspruch zu 4.31.

4.3 Gitter 89

Korollar 4.33 Sei (xn)n∈IN eine Folge in Λ. Konvergiert (xn)n∈N gegen x ∈ IRn, so gilt x ∈ Λ.

Beweis: Λ ist nach 4.32 abgeschlossen in IRn.

Satz 4.34 Sei k = n. Ist C ⊆ IRn konvex und ursprungssymmetrisch, so enthalt C einen nicht–trivialen Gitterpunkt, falls eine der beiden folgenden Bedingungen erfullt ist:

(i) (C) > 2nd(Λ).

(ii) (C) ≥ 2nd(Λ) und C kompakt.

Beweis:

(i) Fur das Fundamentalparallelotop Π(Λ) gilt

IRn =⋃y∈Λ

Π(Λ) + y.

Damit folgt12C =

12C ∩ IRn =

⋃y∈Λ

(12C ∩ (y + Π(Λ))

)und weiter

(Π(Λ)) = d(Λ) <12n

(C) = (12C)

=

⋃y∈Λ

(12C ∩ (y + Π(Λ))

)=

∑y∈Λ

(12C ∩ (y + Π(Λ)

)

=∑y∈Λ

((12C − y

)∩Π(Λ)

).

Angenommen ( 12C − u) ∩ ( 1

2C − v) = ∅ ∀ u, v ∈ Λ, u 6= v ⇒

∑y∈Λ

((12C − y

)∩Π(Λ)

)=

⋃y∈Λ

(12C − y

) ∩Π(Λ)

≤ (Π(Λ))

⇒Widerspruch. Also existieren y, z ∈ Λ, y 6= z, mit ( 12C−y)∩( 1

2C−z) 6= ∅. F”ur c1, c2 ∈ Cmit 1

2c1 − y = 12c2 − z folgt dann

0 6= y − z =12c1 −

12c2 =

12c1 +

12(−c2) ∈ C.

(ii) Wahle zunachst eine monotone Nullfolge (en)n∈IN in IR>0 und bilde

Cn := (1 + en)C (n ∈ IN).

Cn ist offensichtlich fur jedes n ∈ IN konvex sowie ursprungssymmetrisch, und es gilt (Cn) >2nd(Λ). Zu jedem n ∈ IN existiert nach (a) also xn ∈ Cn∩Λ\{0}. Da C1 kompakt ist, besitzt(xn)n∈IN eine konvergente Teilfolge (xnj

)j∈N mit x := limj→∞ xnj∈ C ⇒ x ∈ Λ nach 4.33.


4.4 Sukzessive Minima

Definition 4.35 Fur i ∈ {1, . . . , k} hei”st

Mi := min{γ > 0 | ∃x1, . . . , xi ∈ Λ linearunabhangigmit‖xν‖2 ≤ γ (1 ≤ ν ≤ i)}.

das i–te sukzessives Minimum.

Hilfssatz 4.36

(i) Es existieren y1, . . . , yk ∈ Λ linear unabhangig mit ‖yi‖2 = Mi (1 ≤ i ≤ k).

(ii) v ∈ Λ mit ‖v‖2 = M1 l”a”st sich zu einer Basis von Λ erganzen.

Beweis:

(i) Trivialerweise existiert y1 ∈ Λ mit ‖y1‖2 = M1. Sind nun y1, . . . , yj−1 ∈ Λ gefunden mit‖yi‖2 = Mi (1 ≤ i < j), so existieren nach Definition x1, . . ., xj ∈ Λ linear unabhangigmit ‖xi‖2 ≤ Mj (1 ≤ i ≤ j). Insbesondere existiert m ∈ {1, . . . , j}, so da”s y1, . . . , yj−1, xm

linear unabhangig sind. O.B.d.A. m = j und M1 < Mj. Angenommen ‖xj‖2 < Mj. Giltdann

Mj−r−1 < Mj−r = . . . = Mj

fur ein r ∈ {0, . . . , j − 2}, so sind y1, . . . , yj−r−1, xj linear unabhangig im Widerspruch zurDefinition von Mj−r. Also folgt ‖xj‖2 = Mj.

(ii) Konsequenz aus ??.

Satz 4.37 Es existiert eine nur von k abhangige Konstante γk ∈ IR (Hermitesche–Konstante),welche

Mk1 ≤ γk

kd(Λ)2

leistet und minimal mit dieser Eigenschaft ist.

Beweis: Wir zeigen Mk1 ≤ Ckd(Λ)2 fur

Ck :=43

12 k(k−1)

.

Der Induktionsanfang (k = 1) ist trivial. Sei also nun k > 1. Nach 4.36 konnen wir ‖b1‖2 = M1

annehmen. Bilde

f(x) =k∑

i,j=1

xixjbtibj (x =

k∑ν=1

xνbν).

Dann gilt

f(x) = M1(x1 +k∑

j=2

q1jxj)2 + g(x2, . . . , xk)

mit det(A) = d(Λ)2 und

det(B) =d(Λ)2

M1,

sofern A bzw. B die zugehorigen Matrizen zu den quadratischen Formen f bzw. g sind. Seien nuny2, . . . , yk ∈ ZZ mit

g(y2, . . . , yk) = min{g(x2, . . . , xk) | x2, . . . , xk ∈ ZZ, |x2|+ · · ·+ |xk| > 0}.

Nach Induktionsannahme folgt

g(y2, . . . , yn)k−1 ≤ Ck−1d(Λ)2

M1.

4.4 Sukzessive Minima 91

Wahle y1 ∈ ZZ mit ∣∣∣∣∣∣y1 +k∑

j=2

q1jyj

∣∣∣∣∣∣ ≤ 12.

Fur y := y1b1 + · · ·+ ykbk ∈ Λ \ {0} folgt dann

M1 ≤ f(y) ≤ 14M1 +

(Ck−1

d(Λ)2

M1

) 1k−1

.

Damit

M1 ≤43

(Ck−1

d(Λ)2

M1

) 1k−1

,

und weiter

Mk1 ≤

(43

)k−1

Ck−1d(Λ)2 =(

43

)k−1(43

) 12 (k−2)(k−1)

d(Λ)2

=(

43

) 12 k(k−1)

d(Λ)2 = Ckd(Λ)2.

Satz 4.38 Es gilt M1 · . . . ·Mk ≤ γkkd(Λ)2.

Beweis: Seien y1, . . . , yk ∈ Λ linear unabhangig mit ‖yi‖2 = Mi (1 ≤ i ≤ k). Ferner sei Q ∈ Qk×k

mit(b1, . . . , bk) = (y1, . . . , yk) ·Q.

Bilde Y := (ytiyj)1≤i,j≤k sowie B := (btibj)1≤i,j≤k. Fur x ∈ Λ mit

x =k∑

i=1

xbibi =

k∑i=1

xyiyi (xb1 , . . . , xbk

∈ ZZ, yb1 , . . . , ybk∈ Q)

gilt dann

‖x‖2 = (xb1 , . . . , xbk) ·B · (xb1 , . . . , xbk

)t

= (xb1 , . . . , xbk) ·Qt · Y ·Q · (xb1 , . . . , xbk

)t

= (xy1 , . . . , xyk) · Y · (xy1 , . . . , xyk

)t.

Sei f die zu Y gehorige quadratische Form. Quadratische Erganzung liefert dann

(z1, . . . , zk) · Y · (z1, . . . , zk)t = f(z1, . . . , zk)

=k∑

i=1

qii

zi +k∑

j=i+1

qijzj

2

︸︷︷︸=:gi(zi,...,zk)

.

Damit bildet man eine neue quadratische Form

h(z1, . . . , zk) :=k∑

i=1

1Mi

gi(zi, . . . , zk).

Ist C die zugehorige Matrix von h, so gilt

det(Qt · C ·Q) = det(Q)2 · det(C) = det(Q)2det(Y )

M1 · . . . ·Mk=

d(Λ)2

M1 · . . . ·Mk.

Also erhalt man aus 4.37

min{(z1, . . . , zk) ·Qt · C ·Q · (z1, . . . , zk)t | z1, . . . , zk ∈ ZZ, |z1|+ · · ·+ |zk| > 0}k


≤ γkk

d(Λ)2

M1 · . . . ·Mk.

Sei nun x ∈ Λ \ {0} beliebig. Ferner sei m maximal mit xym6= 0⇒

(xb1 , . . . , xbk) ·Qt · C ·Q · (xb1 , . . . , xbk

)t

= h(xy1 , . . . , xyk)

=m∑

i=1

1Mi

gi(xyi , . . . , xyk) ≥ 1

Mm

m∑i=1

gi(xyi , . . . , xyk)

=1Mm

f(xy1 , . . . , xyk) =

1Mm‖x‖2 ≥ 1,

denn x ist linear unabhangig von y1, . . . , ym−1, daher ‖x‖2 ≥Mm.Zu b1, . . . , bk sei nun b∗1, . . . , b

∗k ∈ IRn die Orthogonalbasis von IR · b1 + · · ·+IR · bn, welche man mit

dem Verfahren von E. Schmidt berechnet, also

b∗i := bi −i−1∑j=1

µijb∗j (1 ≤ i ≤ k),

µij :=btib

∗j

b∗jtb∗j

(1 ≤ j < i ≤ k).

Satz 4.39 (Hadamard) Es gilt

d(Λ) ≤k∏

i=1

‖bi‖.

Beweis: Nach Konstruktion gilt

(b∗1, . . . , b∗k) = (b1, . . . , bk) ·Q

f”ur Q ∈ IRk×k mit det(Q) = 1 ⇒

det(bti · bj)1/21≤i,j≤k = det(b∗i

t · b∗j )1/21≤i,j≤k.

Ferner gilt ‖b∗i ‖ ≤ ‖bi‖ (1 ≤ i ≤ k) wegen

‖bi‖2 = ‖b∗i ‖2 +i−1∑j=1

µ2ij‖b∗j‖2 ≥ ‖b∗i ‖2 (1 ≤ i ≤ k).

Damit folgt

d(Λ) = det(b∗it · b∗j )

1/21≤i,j≤k =

k∏i=1

‖b∗i ‖ ≤k∏

i=1

‖bi‖.

Korollar 4.40 Es gilt d(Λ)2 ≤M1 · . . . ·Mk.

Beweis: Seien y1, . . . , yk ∈ Λ linear unabhangig mit ‖yi‖2 = Mi (1 ≤ i ≤ k). Dann ist Λ′ :=ZZy1 + · · ·+ ZZyk ein Teilgitter von Λ⇒

d(Λ)2 ≤ d(Λ′)2 ≤k∏

i=1

‖yi‖2 = M1 · . . . ·Mk.

4.5 LLL–reduzierte Basen 93

4.5 LLL–reduzierte Basen

Definition 4.41 Wir nennen die Basis b1, . . . , bk LLL–reduziert, falls gelten:

(i) |µij | ≤ 12 (1 ≤ j < i ≤ k),

(ii) ‖b∗i + µi,i−1b∗i−1‖2 ≥ 3

4‖b∗i−1‖2 (1 < i ≤ k).

Satz 4.42 Sei b1, . . . , bk LLL–reduziert. Dann gelten:

(i) ‖bj‖2 ≤ 2i−1‖b∗i ‖2 (1 ≤ j < i ≤ k),

(ii) d(Λ) =∏k

i=1 ‖b∗i ‖ ≤∏k

i=1 ‖bi‖ ≤ 214 k(k−1)d(Λ),

(iii) ‖b1‖ ≤ 214 (k−1)d(Λ)

1k ,

(iv) ‖b1‖2 ≤ 2k−1‖x‖2 ∀ x ∈ Λ \ {0},

(v) Fur x1, . . . , xt ∈ Λ linear unabhangig gilt

‖bj‖2 ≤ 2k−1 max{‖x1‖2, . . . , ‖xt‖2} (1 ≤ j ≤ t).

Beweis:

(i) Zunachst gilt

‖b∗i + µi,i−1b∗i−1‖2 = ‖b∗i ‖2 + µ2

i,i−1‖b∗i−1‖2 (1 < i ≤ k).

Also

‖b∗i ‖2 ≥(

34− µ2

i,i−1

)‖b∗i−1‖2 ≥

12‖b∗i−1‖2 (1 < i ≤ k).

Daraus folgt induktiv zunachst

‖b∗j‖2 ≤ 2i−j‖b∗i ‖2 (1 ≤ j ≤ i ≤ k)

und fur i ∈ {1, . . . , k} hiermit

‖bi‖2 = ‖b∗i +i−1∑j=1

µijb∗j‖2 ≤ ‖b∗i ‖2 +

14

i−1∑j=1

‖b∗j‖2

≤ ‖b∗i ‖2 +14‖b∗i ‖2

i−1∑j=1

2i−j = ‖b∗i ‖2 +14‖b∗i ‖2

i−1∑j=1

2j

= ‖b∗i ‖2 +14‖b∗i ‖2(2i − 2) = ‖b∗i ‖2(1 +

12(2i−1 − 1))

= ‖b∗i ‖2(2i−2 +12) ≤ 2i−1‖b∗i ‖2.

Damit ergibt sich ‖bj‖2 ≤ 2j−1‖b∗j‖2 ≤ 2i−1‖b∗i ‖ (1 ≤ j < i ≤ k).

(ii) Aus (a) folgt zunachst

k∏i=1

‖bi‖ ≤k∏

i=1

212 (i−1)‖b∗i ‖ = d(Λ)

k∏i=1

212 (i−1) = 2

14 k(k−1)d(Λ).

Die restliche Behauptung erhalt man aus dem Beweis zu 4.39.

(iii) Aus (a) folgt

‖b1‖2k =k∏

i=1

‖b1‖2 ≤k∏

i=1

2i−1‖b∗i ‖2 = 212 k(k−1)d(Λ)2.


(iv) Sei x ∈ Λ \ {0} mit Darstellungen

x =k∑

i=1

xibi =k∑

i=1

x∗i b∗i (x1, . . . , xk ∈ ZZ, x∗1, . . . , x

∗k ∈ IR).

Ist m der großte Index mit xm 6= 0, so gilt gemaß Konstruktion xm = x∗m ⇒

‖x‖2 ≥ x2m‖b∗m‖2 ≥ ‖b∗m‖2.

Damit folgt aus (a)‖b1‖2 ≤ 2m−1‖b∗m‖2 ≤ 2m−1‖x‖2.

(v) Fur

xj =k∑

i=1

xijbi (xij ∈ ZZ, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ t).

sei jeweils ij der maximale Index mit xij ,j 6= 0. Wie in (d) folgt dann

‖xj‖2 ≥ x2ij ,j‖b∗ij

‖2 ≥ ‖b∗ij‖2 (1 ≤ j ≤ t).

O.B.d.A. gelte nun i1 ≤ . . . ≤ it ⇒ i1 < . . . < it, denn x1, . . . , xt sind linear unabhangig⇒ ij ≥ j (1 ≤ j ≤ t). Also folgt aus (a)

‖bj‖2 ≤ 2ij−1‖b∗ij‖2 ≤ 2k−1‖b∗ij

‖2 ≤ 2k−1‖xj‖2 (1 ≤ j ≤ t).

[LLL–Algorithmus] Aus der Basis b1, . . . , bk berechnen wir eine LLL–reduzierte Basis c1, . . . , ckvon Λ.

(i) (Initialisierung) Setze ci ← bi, Ci ← ‖c∗i ‖2 (1 ≤ i ≤ k) und m← 2.

(ii) Setze l← m− 1.

(iii) Falls |µml| > 12 , so setze

r ← bµml +12c, cm ← cm − rcl,

µmj ← µmj − rµlj (1 ≤ j ≤ l − 1), µml ← µml − r.

Falls l < m− 1, so gehe zu Schritt 5.

(iv) Falls Cm < ( 34 − µ

2m,m−1)Cm−1, so gehe zu Schritt 6.

(v) Setze l ← l − 1. Falls l > 0, so gehe zu Schritt 3. Falls m = k, so terminiere, sonst setzem← m+ 1 und gehe zu Schritt 2.

(vi) (Vertausche cm−1 und cm) Setze µ ← µm,m−1, C ← Cm + µ2Cm−1 sowie µm,m−1 ←µCm−1

C , Cm ← Cm−1Cm

C , Cm−1 ← C. Dann setze(cm−1

cm

)←(

cmcm−1

).

Ferner (µm−1,j

µmj

)←(

µmj

µm−1,j

)(1 ≤ j ≤ m− 2),

und fur i = m+ 1, . . . , k schließlich(µi,m−1

µim

)←(

1 µm,m−1

0 1

)·(

0 11 −µ

)·(µi,m−1

µim

).

Falls m > 2, so setze m← m− 1. Gehe zu Schritt 2.

4.5 LLL–reduzierte Basen 95

Um zu zeigen, dass der obige Algorithmus terminiert, setze

Λi :=i∑

j=1

ZZ · cj (1 ≤ i ≤ k).

Fur Di := d(Λi)2 (1 ≤ i ≤ k) gilt dann

Di = det(c∗µt · c∗ν)1≤µ,ν≤i =

i∏ν=1

Cν .

Nach 4.37 folgt M i1 ≤ γi

i · Di (1 ≤ i ≤ k), wobei M1 die Lange des kurzesten Gitters in Λsei. Nach jedem Durchlauf von Schritt 6 des Algorithmus ist der neue Wert von Cm−1 um einenFaktor < 3

4 kleiner als der alte Wert von Cm−1 und damit ebenso der neue Wert von Dm−1.Andererseits bleiben die ubrigen Di unverandert, weil die zugehorigen Gitter Λi sich nicht andern.Also terminiert der Algorithmus. [MLLL–Algorithmus] Es seien c1, . . . , ck ∈ Λ linear unabhangig.Zu ck+1 ∈ Λ beliebig berechnen wir m1, . . . ,mk+1 ∈ ZZ mit

k+1∑i=1

mibi = 0 (|m1|+ . . .+ |mk+1| > 0).

Ferner bestimmen wir c′1, . . . , c′k ∈ Λ, so da”s

k+1∑i=1

ZZ · ci =k∑

i=1

ZZ · c′i.

(i) (Initialisierung) Setze Ci ← ‖c∗i ‖2, c′i ← ci (1 ≤ i ≤ k+1). Ferner setze H = (h1, . . . , hk+1)←Ik+1 und m← 2.

(ii) Setze l← m− 1.

(iii) Falls |µml| > 12 , setze

r ← bµml +12c, c′m ← c′m − rc′l, hm ← hm − rhl,

µmj ← µmj − rµlj (1 ≤ j ≤ l − 1), µml ← µml − r.

Falls c′m = 0, so setze c′i ← c′i+1 (m ≤ i ≤ k), (m1, . . . ,mk+1)t ← hm und terminiere. Fallsl < m− 1, so gehe zu Schritt 5.

(iv) Falls Cm < ( 34 − µ

2m,m−1)Cm−1, so gehe zu Schritt 6.

(v) Setze l← l− 1. Falls l > 0, so gehe zu Schritt 3, sonst setze m← m+ 1 und gehe zu Schritt2.

(vi) Setze µ← µm,m−1, C ← Cm + µ2Cm−1. Falls C = 0, so gehe zu Schritt 7. Setze µm,m−1 ←µCm−1

C sowie Cm ← Cm−1Cm

C und f”ur i = m+ 1, . . . , k ferner(µi,m−1

µim

)←(

1 µm,m−1

0 1

)·(

0 11 −µ

)·(µi,m−1

µim

).

(vii) (Vertausche c′m−1 und c′m) Setze Cm−1 ← C.(hm−1

hm

)←(

hm

hm−1

),

(c′m−1

c′m

)←(

c′mc′m−1

),

(µm−1,j

µmj

)←(

µmj

µm−1,j

)(1 ≤ j ≤ m− 2).

Falls m > 2, so setze m← m− 1. Gehe zu Schritt 2.


Wir zeigen nun, dass der obige Algorithmus terminiert. Nach der Initialisierung gilt zunachstCk+1 = 0. Wie in 4.5 schließt man nun, dass in Schritt 6 der Wert C nur endlich oft 6= 0 seinkann, da in diesem Fall der neue Wert von Cm−1 um einen Faktor < 1

4 kleiner als der alte Wert vonCm−1 ist. Also erreicht man nach endlich vielen Schritten µk+1,k = 0 ⇒ bk+1 ist linear abhangigvon b1, . . . , bk−1 (†). Nach Voraussetzung existieren m1, . . . ,mk+1 ∈ ZZ, |m1| + · · · + |mk+1| > 0,mit

k+1∑i=1

mibi = 0.

Aus (†) folgt dann mk = 0. Also ist

Λ′ := ZZb1 + · · ·+ ZZbk−1 + ZZbk+1

nach dem Beweis zu 4.15 ein (k − 1)–dimensionales Teilgitter von Λ. Der Algorithmus wird nunauf diesem Teilgitter fortgesetzt. Sofern er nicht vorher terminiert, liefert er schließlich zwei linearabhangige Vektoren c′1, c

′2 ∈ Λ. Nach endlich vielen weiteren Schritten gilt dann µ12 = 0⇒ c′2 = 0.

Damit terminiert der Algorithmus.

Literaturverzeichnis

[1] Bewersdorff, Jorg, Algebra fur Einsteiger,Vieweg, 2002.

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[3] S. Bosch, Algebra, Springer, 1993.

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[18] Weber, Lehrbuch der Algebra, Vieweg, 1895.

Stichwortverzeichnis

(G : 1), 7< M >, 5I(f), 72I (G), 11R-Homomorphismus, 70S(f, R), 78U < G, 12U �G, 12Aut (G), 11χ (R), 51ord (a), 9sign , 34a ∼ b, 6e, 2x ≡ y mod n, 47x ≡ ymodulo a, 47An, 35Sn, 24, 34, 36V4, 20

abelsch, 4Adjunktion, 92Aquivalentrelation, 25Aquivalenzrelation, 6, 47Aquivanlenzklasse

Bahnen, 25Orbits, 25

außere Produkt, 52außere Summe, 52außere Verknupfung, siehe Verknupfungalgebraisch, 71algebraische Struktur, 2aljahr, 1alternierende Gruppe, siehe Gruppeassoziativ

Verknupfung, 2assoziiert, 62auflosbar, 41Automorphismus

innerer, 11

Bahnen, siehe Aquivalenzklassebijektiv, 3binare innere Verknupfung, siehe VerknupfungBruch, 55

Cauchy, 30Charakteristik, 51Chinesischer Restsatz, 60

Derivation, 86Diedergruppe, 11direkte Summe, 52Diskriminate, 83

Einbettung, siehe Insertioneinfach, 12, 89Einheit, 49Einselement, 2Eisenstein, 74Element

maximales, 53Prim-, 62

elementarsymmetrische Funktion, 79, 80Elementarteilernormalform, 33elementfremd, 37endlich erzeugt, 89Epimorphismus, 3

kanonische -, 48kanonischer, 15

Erweiterungskorper, siehe KorperErzeugnis, 5euklidischer Ring, siehe Ringexakte Sequenz, siehe SequenzExponent, 9

Faktorgruppe, siehe Gruppefaktorieller Ring, siehe RingFaktorring, 47Faltungsprodukt, 66Fixpunkt, 27Fundamentalsatz der Algebra, 83Funktion

elementarsymmetrische, 79, 80

Galoistheorie, 1Gauß, 72, 73Gewicht

Monom, 80Polynom, 80

ggT, 62Grad, 69

Monom, 69Grad einer Korpererweiterung, 87Gradsatz, 87großter gemeinsamer Teiler, siehe ggTGruppe

abelsch, 4alternierende, 35

Stichwortverzeichnis 99

Dieder, 11Eigenschaften, 4endlich erzeugt, 5Faktor–, 15Halb–, 2isomorph zu Permutationsgruppe, 24Kleinsche Vierer–, 12, 20kommutativ, 4operiert auf Menge, 23p-Gruppe, 28p-Unter–, 29Permutations–, 24, 34Sylow-Unter–, 29symmetrische, 24, 36Tetraeder–, 36transitiv, 25Unter–, 5, 12, 29

–kette, 41konjungiert, 26

zyklisch, 8Gruppenring, 66, 69

Halbgruppe, siehe GruppeHalbgruppenring, 66Halbordnung, 53Hauptideal, siehe IdealHauptidealring, siehe RingHauptsatz der Algebra, 1Herkunft, 1Higman, 69Hilbertscher Basissatz, 59Hintereinanderausfuhrung, 3Homomorphismus, 3, 70

Idealendlich erzeugbar, 46Hauptideal, 46maximales, 57Prim-, 57

Charakterisierung, 57Summe, 46

Idempotent, 52Idempotente, 53Index, 7induktiv geordnet, 53Inhalt, 72injektiv, 3innere Summe, 52innerer Automorphismus, siehe Automorphis-

musInsertion, 16Integritatring, siehe Ringinvariant, 11Inverses

Links–, 4Rechts–, 4

invertierbar, 49

irreduzibel, 62Irreduzibilitatskriterium, 74isomorph, 3Isomorphismus, 3

kanonische Epimorphismus, 48Kette, 53kgV, 62Klasse konjugierter Elemente, 27Klassengleichung, 27Kleinsche Vierergruppe, 12, 20kleinstes gemeinsame Vielfaches, siehe kgVKorpererweiterung

einfach, 89endlich erzeugt, 89

Korper, 50Erweiterungs-, 1Prim–, 51Zerfallungs-, 92

KorpererweiterungGrad, 87

komaximal, 59kommutativ, 4

Verknupfung, 2kongruent, 47Kongruenzrelation, 47Konjugation, 27Kreisteilungspolynom, 75

Leitkoeffizient, 69Leitmonom, siehe Monomlinker Nullteiler, siehe NullteilerLinkseins, 2Linksinverses, siehe InversesLinksnebenklasse, siehe NebenklasseLosungsring, 76lokaler Ring, siehe RingLokalisierung, 57

Machtigkeit, 7maximales Element, siehe ElementMinimalpolynom, 89modulo, 47Monoid, 3Monom, 69

Gewicht, 80Grad, 69Leit-, 69

Monomorphismus, 3

NebenklasseLinks–, 7Rechts–, 7

Newtonsche Retation, 82nilpotent, 49noetherscher Ring, siehe RingNormalreihe, 41

100 Stichwortverzeichnis

Normalteiler, 12normiert, 69Nullstelle, 55, 70Nullteiler, 49, 53

obere Schranke, siehe SchrankeOberring, siehe RingOperatorbereich, 2Orbits, siehe AquivalenzklasseOrdnung, 7, 9, 53orthogonal, 52

pathologischer Ring, siehe RingPermutationsgruppe, siehe Gruppe, 34Polynom

Gewicht, 80Kreisteilungs-, 75symmetrisch, 79

Polynomring, 66Potenz, 3Potenzsummen, 79Primelement, 62Primideal, siehe Idealprimitiv, 72primitv, 89Primkorper, 51

Quotientenbildung, 55Quotientenring, siehe Ring

rechter Nullteiler, siehe NullteilerRechtseins, 2Rechtsinverses, siehe InversesRechtsnebenklasse, siehe NebenklasseRestklassenring, 47Ring

- der Gleichung f(x) = 0, 77außere Produkt, 52außere Summe, 52euklidischer, 66Faktor-, 47faktorieller -, 64Gruppen-, 66, 69Halbgruppen-, 66Hauptideal-, 63innere Summe, 52Integritat-, 62lokaler, 55noetherscher, 58

Charakterisierung, 58Ober-, 1pathologischer -, 43Polynom-, 66Quotienten-, 56Restklassen-, 47Teilbarkeit, 61vollstandiger Quotienten-, 56

Zerfallungs-, 78ZPE -, 64

Ring der Gleichung f(x) = 0, siehe RingRinghomomorphismus, 48

Schiefkorper, 50Schranke

obere, 53Sequenz, 16

exakte, 15signum, 34simultane Kongruenzen, 60Stabilisator, 25stationar, 58Struktur

algebraische, 2strukturgleich, siehe isomorphsurjektiv, 3Sylow

1. Satz, 302. Satz, 31Untergruppe, 29

symmetrisch, 79symmetrische Gruppe, siehe Gruppe

Teilbarkeit in Ringen, 61Teiler, 62teilerfremd, 62teilt, 62Tetraedergruppe, 36transitiv, siehe Gruppetranzendent, 71

Untergruppe, siehe Gruppeunzerlegbar, 62

Verknupfungaußere, 2assoiativ, 2binare inner, 2kommutativ, 2

Vertretersystem, 26Vielfaches, 62vollstandiger Quotientenring, siehe Ring

Zerfallungskorper, siehe KorperZerfallungsring, siehe RingZornsches Lemma, 54ZPE-Ring, siehe RingZykel, 35

elementfremd, 37Rechenregeln, 35

zyklische Gruppe, siehe Gruppe

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