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Skriptum zum Vorkurs Mathematik

Dr. Hartwig Bosse

1. September 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine Rechenhilfen 9

1.1 Bruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Rechnen mit Dezimalbruchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Bruchrechnen: Rechnen mit “echten” Bruchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Kurzen und Erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Rechnen mit allgemeinen Bruchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Wurzeln im Nenner: Erweitern mit 3. binomischer Formel . . . . . . . 15

1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Potenzen 17

2.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Ganzzahlige Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Bruche als Exponenten (Wurzeln in Exponentialschreibweise) . . . . . 18

2.1.3 Negative Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Null als Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Null hoch Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Funktionen 23

3.1 Wichtige Vokabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Eine Funktion Definieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Tabellarische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Polynome 27

4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Lineare Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.2 Quadratische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.3 Fur Profis: Nullstellen quadratischer Polynome . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.4 Nullstellen allgemeiner Polynome: Faktorisieren . . . . . . . . . . . . 34

4.2.5 Polynomgleichungen aus rationalen Gleichungen . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Differentialrechnung 41

5.1 Vom Differenzenquotienten zur Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Berechnen von Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Die Grundableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.2 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.1 Die erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.2 Die zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Die Taylorreihe einer Funktion 49

6.1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.1.2 Einsetzen von Zahlen in Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 Die Taylorreihe einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2.1 Die allgemeine Form der Taylorreihe: . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2.2 Eigenschaften der Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3 Das Taylorpolynom als Approximation einer Funktion . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.1 Die allgemeine Form des Taylorpolynoms: . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.2 Restgliedabschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Integralrechnung 57

7.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.1 Die Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.2 Die Losungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1.3 Die Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1.4 Einfache Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 Vektoren und analytische Geometrie 65

8.1 Was sind Vektoren und wo tauchen sie auf? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.1.1 Vektoren in Kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.3 Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.4 Geradengleichungen und Ebenengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.4.1 Geraden in Punkt-Richtungs-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.4.2 Ebenen in Punkt-Richtungs-Form und Normalenform . . . . . . . . . 76

8.4.3 Wechsel zwischen den Ebenen-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.5 Klassische Aufgabenstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.7 Vektoren im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.8 Vektoren im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.9 Ebenen und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

INHALTSVERZEICHNIS 5

9 Matrizen 819.1 Was sind Matrizen und wozu sind sie da? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.2 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.6 Elementare Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.7 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung 9110.1 Ubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.2 Wahrscheinlichkeiten und Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.2.1 Zahlen aller Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.3 Zufallige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.4 Absolute und relative Haufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.5 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.6 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.7 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.8 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . 9610.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A Losungen zu den Ubungsaufgaben 99A.1 Losungen: Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.3 Losungen: Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.4 Losungen: Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.5 Losungen: Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.6 Losungen: Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.7 Losungen: Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.8 Losungen: Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Vorwort

“Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.”

(Galileo Galiliei)

Mathematik ist fur viele Facher ein wichtiges Grundlagenfach. Entsprechend wird die Ma-thematik in vielen Fachern - vor allem den naturwissenschaftlichen - in der Lehre ausgiebigbetont.

Die meisten Professoren werden sagen: zu recht.

Einige Studenten werden sagen: leider.

Der Vorsemesterkurs, zu dem Sie das Skriptum in den Handen halten, ist genau fur solcheStudierenden als Starthilfe zwischen Schule und Hochschule gedacht: Der Kurs bietet eineZusammenfassung des grundlegenden mathematischen Schulwissens - in uberschaubarer Zeit.

An wen richtet sich dieser Kurs?Das Skript richtet sich an Studierende -Anfanger wie hohere Semester- die fur ihr Fachgebieteine Auffrischung von Mathematikwissen wollen oder benotigen:Also an alle die ihr mathematisches Schulwissen nicht mit der notigen Sicherheit beherrschen.Die Veranstaltung ist alledings nicht fur Mathematikstudenten gedacht.

Was kann dieses Skript nicht?Wegen des knappen Umfanges, kann dieses Skript zusammen mit dem Kurs nur eine “ersteHilfe” in Sachen Schulmathematik sein.Es wird vermutlich niemandem moglich sein, zwei Schuljahre Mathematik in 6 Tagen zuwiederholen. Studierende, denen Schulwissen fehlt, bitten wir also daran zu denken, dassdieser Kurs diese Defizite nicht “auf magische Art wegzaubert”. Mathematik ist am Endeeine Sprache (s. Zitat) und um eine Sprache aktiv zu beherrschen muss man Vokablen (hier:Fakten) und Grammatik (hier: Rechenregeln) lernen – und vor allem: uben.Entsprechend mochten wir alle interessierten Studenten bitten, die am Ende angefugte Lite-raturliste einmal genauer anzuschauen.

Wir wunschen allen Einsteigern, Wiedereinsteigern und Auffrischern viel Erfolg beim weiterenLernen der eigentumlichen Sprache aller Naturwissenschaften!

7


DanksagungenVielen Dank an Ralph Neininger und AntonWakolbinger fur die Organisation dieses Mathematik-Einfuhrungskurses und an Dr. Reinhard Steffens und Ralf Lehnert fur die Hilfe beim Ertsellender Vorversion dieses Skriptes.Ferner und vor allem danke ich Christine Gartner fur das exzellente Korrekturlesen.

Kapitel 1

Allgemeine Rechenhilfen

1.1 Bruche

Bruche sind gleichzeitig die wohl einfachsten Objekte in diesem Kurs und gleichzeitig nebenVorzeichenfehlern die großte Quelle einfacher Fluchtigkeitsfehler. Deswegen stellen wir hiernoch einmal die wichtigsten Rechenregeln und moglichen Fehlerquellen vor.

Ein rationaler Bruch besteht aus “Zahler geteilt durch Nenner” wobei Zahler und Nennernaturliche Zahlen sind, also Zahlen aus N. Ein Beispiel ist 3

4 mit Nenner 4 und Zahler 3.

3

4

Der Zahler zahlt wie viele Viertel es sind, hier sind es drei Viertel.

Der Nenner benennt den Bruch (gibt ihm einen Namen) hier sind es “Viertel ”.

Rationale Bruche

Gemischte Bruche

Bruche bei denen der Zahler großer ist als der Nenner, lassen sich als gemischte Brucheschreiben, also in der Form a+ b

c mit a ∈ Z. Ein Beispiel:

11

3=

9 + 2

3=

9

3+

2

3= 3 +

2

3

Die ubliche Schreibweise von 1+ 34 als “1 3

4” (also “ein-dreiviertel”) ist zwar außerhalb derMathematik gebrauchlich ist aber unbedingt zu vermeiden!Schreibt man “ 2 1

3 ” und meint damit 2+13 so ergibt sich das folgende Problem

Kurzschreibweise wird gelesen als:

2x = 2 ·x

21

3= 2 ·1

3=

2

3= 2+

1

3

Schreibweise “1 34” fur 1+ 3

4 unbedingt vermeiden!

9

10 KAPITEL 1. ALLGEMEINE RECHENHILFEN

1.2 Rechnen mit Dezimalbruchen

Wieso soll ich die komplizierten Rechenregeln fur Bruche lernen, wenn ich sowieso alles mitdem Taschenrechner viel schneller berechnen kann??

Rechnen mit dem Taschenrechner in Dezimalbruchen ist recht bequem, wenn man die gegebenBruche erst einmal in einen Dezimalbruch umgewandelt hat. Allerdings ergeben sich mitunterfalsche Ergebnisse, wenn man es mit periodischen Dezimalbruchen zu tun bekommt.

Dezimalbruche

Rationale Bruche lassen sich auch als “Kommazahlen” schreiben, fachsprachlich “Dezimal-bruche ”. Jedem bekannt sein sollte, dass ein halber Liter 0, 5ℓ sind, es gilt hier also 1

2 = 0, 5.Hier ein paar Beispiele fur Dezimalbruch-Schreibweisen, die man kennen sollte:

110 =0, 1 1

2 =0, 5 13 =0, 3 = 0, 33333 · · ·

1100 =0, 01 1

4 =0, 251

1000 =0, 001 18 =0, 125

Rechnet man gewochliche rationale Bruche in Dezimalbruche um, so konnen periodischeBruche entstehen (wie zum Beispiel 1

3 ). Das Rechnen mit periodischen Dezimalbruchen mitStift und Zettel ist anstrengend, aber der Taschenrechner ist hier keine echte Hilfe - wieBeispiel 1.1 zeigt.

Vorteil: Rechnungen wie Addieren und Multiplizieren verlaufen recht einfach, zB. 14 + 21

10lautet in Dezimalbruch-Form einfach 0.25+ 0.21 = 0.46 und ist leicht zu berechnen.

Zwei klare Nachteile: Punktabzug bei periodischen Dezimalbruchen!

• Das Umwandeln von rationalen Bruchen in Dezimalbruche kann zu komplizierten pe-riodischen Zahlen fuhren. Beim Rechnen mit diesen Zahlen fuhrt das zum Runden,also zu ungefahr richtigen bzw. falschen Ergebnissen. In Klausuren: Punktabzug!

• Beim Rechnen mit Dezimalbruchen konnen Rechnungen, die Normalerweise durcheinfaches Kurzen zu erledigen waren, uberraschend schwer werden.

Rechnen mit Dezimalbruchen ist bequem aber unvorteilhaft

Beispiel 1.1 (Rechnen mit Dezimalbruchen ist unvorteilhaft) Man sieht leicht,dass das Produkt 7

11 ·117 nach dem Kurzen einfach nur 1 ergibt. In Dezimalbruchen aus-

gedruckt und im Taschenrechner berechnet sieht die Rechnung dagegen so aus:

7

11· 117

≃ 0.63636364 · 1.57142857 = 1.00000000481

Mit anderen Worten: Um Bruchrechnen ohne Taschenrechner kommt man in der Mathematiknicht herum, wenn man genaue Ergebnisse berechnen mochte! Schaut man sich die Bruch-rechenregeln einmal an, so sind bis auf die Addition von Bruchen die Regeln recht harmlosund umsetzbar. Es gilt also eigentlich nur das Addieren von Bruchen zu uben!

1.3 Bruchrechnen: Rechnen mit “echten” Bruchen

Es gibt im wesentlichen vier wichtige Rechenoperationen fur Bruche:

1.3. BRUCHRECHNEN: RECHNEN MIT “ECHTEN” BRUCHEN 11

• Addieren auf Hauptnenner erweitern, dann etagenweise addieren.

• Multiplizieren Nenner-mal-Nenner & Zahler-mal-Zahler. ! Klammern setzen!

• Teilen multiplizieren mit dem Kehrwert des Nenners.

• Kurzen erst ausklammern im Nenner und Zahler, dann kurzen.

Rechnen mit rationalen Bruchen

Die einfachste dieser Operationen ist die Multiplikation, die anderen Operationen sind etwasschwieriger.

1.3.1 Multiplikationa

b· cd=a · cb · d

Fur zwei Bruche ab und c

d ist das Produkt a·cb·d . Hier muss man also Nenner-mal-Nenner nehmen

und Zahler-mal-Zahler.

Wegen “Punkt-vor-Strichrenung” muss man Klammern setzten wenn im Zahler oderNenner eine Addtion (bzw eine Summe oder Differenz) steht:

2

3· 4x+ 3

5=

2 · (4x+ 3)

3 · 5=

8x+ 6

15X

2

3· 4x+ 3

5= 2 · 4x+ 3

3 · 5=

8x+ 3

15

Bei Multiplikation: Klammern setzten !

Das obige Beispiel zeigt einen typischen Fuchtigkeitsfehler, den man unbegingt vermeidensollte. Also beim Ausmultiplizieren großer Bruche immer Klammern setzen!

1.3.2 Kurzen und Erweiterna · (c)a · (b)

=c

bBeim Kurzen von Bruchen gibt es eine immens wichtige Regel:

Erst ausklammern, dann kurzen!

Mit dieser Regel vermeidet man den Fehler, falsch aus Summen zu kurzen.

Beim Kurzen eines Bruches entfernt man einen Faktor, der sowohl den ganzen Zahler alsauch den ganzen Nenner teilt:

15

20=

5 · (3)5 · (4)

=3

4

Kurzen


Um keinen Fehler beim Kurzen von komplizierten Bruchen zu begehen, sollte man stetsden zu kurzenden Faktor ausklammern:

4a+ 8

12a+ 8=

4 · ( a+ 2)

4 · (3a+ 2)=

a+ 2

3a+ 2X

4a+ 8

12a+ 8=

4 · a+ 8

4 · 3a+ 8= a+ 8

3a+ 8

Beim Kurzen: Klammern setzten !

1.3.3 Additiona

b+c

d=

a · d + c · bb · d Alle Bruche haben einen Namen, den Nenner:

Der Bruch 37 heißt

”drei Siebtel“, und gemeint ist: drei Stuck vom Typ Siebtel.

Bruche mit gleichem Nenner addieren ist einfach.Bei der Addition von Dingen mit gleichem Namen, addiert man lediglich die Anzahlen:

3 Apfel plus 2 Apfel ergibt 5 Apfel.

3 Siebtel plus 2 Siebtel ergibt 5 Siebtel.

37 + 2

7 = 57

Bruche mit verschiedenem Nenner addieren ist schwieriger.Bei der Addition von Dingen mit verschiedenem Namen, muss man zusatzlich einen neuenNamen finden, einen passenden Oberbegriff also:

3 Apfel plus 2 Birnen ergibt 3+2 Stuck Obst.

Will man Bruche mit verschiedenem Nenner addieren, so muss man die Bruche passenderweitern, so dass beide Bruch den selben Nenner/Namen bekommen.

Idee: der HauptNENNER

Bei der Addition und bei der Subtraktion von Bruchen muss man beide Bruche zunachst aufeinen gemeinsamen Nenner bringen. Dies ist zwar etwas umstandlich aber absolut notwendig,denn Bruche mit gleichem Nenner addieren ist einfach:

“Drei-viele” Siebtel plus “zwei-viele” Siebtel ergeben “funf-viele” Siebtel - ganz wie beimAddieren von drei Apfeln plus vier Apfeln:

3

7+

2

7=

5

7

Das heißt: Solange die Bruche gleich heißen (zB. Siebtel oder “b-tel”) kann man ganz einfachaddieren:

a

b+c

b=a+ c

b

Bruche mit verschiedenem Nenner addieren:

Will man Bruche mit verschiedenem Nenner addieren, so muss man die Bruche passenderweitern, so dass beide Bruch den selben Nenner bekommen.

1.3. BRUCHRECHNEN: RECHNEN MIT “ECHTEN” BRUCHEN 13

Die einfachste Methode Bruche auf einen Nenner zu bringen ist, jeweils mit dem anderenNenner zu erweitern. Dies ist aber gleichzeitig sehr rechenaufwandig, weil die verwendetenZahlen schnell sehr groß werden:

5

12+

3

20=

5 · 2012 · 20

+3 · 1220 · 12

=100 + 36

240=

136

240

Hier muss man den entstandenen Bruch nun muhsam (mit 8) kurzen, und erhalt 1730 .

Addition per einfachem Erweitern:

Will man beim Addieren von rationalen Bruchen kleinere Zahlen bekommen, so muss mandie Bruche auf den Hauptnenner bringen: Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsameVielfache (kgV) der beiden auftretenden Nenner.

Zum Berechnen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zerlegt man die gegeben Zahlen inihre Faktoren, das kgV ist dann das Produkt aller auftretenden Faktoren, gemeinsameFaktoren werden dabei nur einmal benutzt.

Ein Beispiel: Es soll das kgV von 42 und 120 berechnet werden.

1. Ein erstes Zerlegen der Zahlen liefert: 42 = 6 · 7 und 120 = 12 · 10.

2. Vollstandiges Zerlegen liefert:

42 = 2 ·2 ·3 ·7120 = 2 ·2 ·2 ·3 ·5︸︷︷︸

gemeinsame Faktoren︷︸︸︷kgV (42, 120) = 2 ·2 ·2 ·3 ·5 · 7 = 24 · 35 = 840

Berechnen des kgV zweier Zahlen

Ein Beispiel: Es soll 1115+

720 berechnet werden.

1. Berechnen des kgV der Nenner 15 und 20 .

15 = 5 ·320 = 5 ·2 · 2

kgV (15, 20) = 5 ·3 · 2 · 2 = 60

Probe: 60 = 4 · 15 und 60 = 3 · 20

2. Erweitern der Bruche auf sechzigstel mittels der Faktoren aus der Probe:

11

15=

4 · 114 · 15

=44

60

7

20=

3 · 73 · 20

=21

60

3. Addition der erweiterten Bruche:

11

15+

7

20=

44

60+

21

60=

65

60

Addition von Bruchen: Auf den Hauptnenner bringen


Ublicherweise beantworten Mathelehrer das mit einer Rechnung, die die Sache nicht vielklarer macht:

13 = 0, 33333333 · · ·

⇒ 1 = 3· 13 = 3· 0,33333333 · · ·= 0,99999999 · · ·= 0, 9

Offensichtlich ist “eins” das selbe wie “drei Drittel”. Das wiederum ist identisch mit “dreimal 0, 333 · · · ”, und das ergibt “0, 999 · · · ”. Also muss “eins” das selbe sein wie “0,9”.

Leider macht ein solcher Rechentrick die Sache nicht viel klarer und vielleicht ist mansich bei solchen Rechnungen nicht bei jedem Schritt hunderprozentig sicher, dass er auchkorrekt ist. Deswegen hier noch ein anderer Versuch zu erklaren, warum 0, 9 = 1 gilt:

Haben 1 und 0,9 eigentlich einen Abstand?Wir stellen (wenig uberraschend) fest, dass zwei Zahlen a und b gleich sind, wenn ihrAbstand zueinander gleich Null ist. Der Abstand zwischen einer großeren Zahl a und einerkleineren b ist ubrigens a − b. Ein Beispiel: Der Abstand zwischen 5 und 3 ist 5 − 3 = 2,diese Zahlen haben also einen echten Abstand, sie sind also nicht gleich.

Welchen Abstand aber haben a = 1 und b = 0,9? Welchen Wert hat also a− b = 1− 0,9?Den Abstand konnen wir zwar (noch) nicht berechnen, aber was wir sicher wissen ist, dass1− 0,9 < 0, 001 gilt:

1− 0,9 = 1 −0, 999999 · · ·= 1 −0, 999︸︷︷︸ −0, 000 999 · · ·︸︷︷︸

erst die ersten 3 & dann die restlichen neuner abziehen. . .

= 0, 001 −0, 000999 · · ·︸︷︷︸hier wird von 0, 001 noch was abgezogen!

⇒ 1− 0,9 < 0, 001

Nach dem gleichen Schema konnen wir aber auch zeigen, dass 1− 0,9 < 0, 00001 gilt unddass 1− 0,9 < 0, 0000001 gilt. Es gilt sogar

1− 0,9 < 0, 000000 · · · · · · · · · 000000︸︷︷︸1000 Stuck

1 etc.

Der echte Abstand d := 1− 0,9 zwischen 1 und 0,9 ist also eine Zahl, die kleiner als jedernoch so winzige Abstand den wir uns ausdenken konnen. Es gilt:

1− 0,9 = d < ε fur jeden moglichen echten Abstand ε mit ε > 0.

Der einzige Abstand der also in Frage kommt ist d = 0 (Abstande sind nie negativ!).Die zwei Zahlen 0,9 und 1 haben also den Abstand Null – sie sind also gleich!

Exkurs: Warum gilt eigentlich 1 = 0,9 ?

1.4. RECHNEN MIT ALLGEMEINEN BRUCHEN 15

1.4 Rechnen mit allgemeinen Bruchen

1.4.1 Wurzeln im Nenner: Erweitern mit 3. binomischer Formel

Das ohnehin nicht einfache Rechnen mit Bruchen wird noch etwas schwieriger, wenn es sichum Bruche handelt, in denen Wurzeln im Nenner vorkommen. Wie vereinfacht man zumBeispiel

2 +√2

1 +√2+

6 +√2

1 + 3√2

? (1.1)

Hier hilft erweitern mit der dritten binomischen Formel. Die allgemeine Fromulierung diesesTricks, bei dem die Wurzel im Nenner verschwindet lautet:

c

a+√b

=c

a+√b· a−

√b

a−√b

=c · (a−

√b)

a2 −(√

b)2 =

c · (a−√b)

a2 − b

An unserem Beispiel in (1.1) angewendet erhalten wir fur die beiden Terme:

2 +√2

1 +√2

=2 +√2

1 +√2· 1−

√2

1−√2

=2− 2 ·

√2 + 1 ·

√2−√22

12 −√22 =

−√2

−1=√2

6 +√2

1 + 3√2

=6 +√2

1 + 3√2· 1− 3

√2

1− 3√2=

6− 18 ·√2 + 1 ·

√2− 3

√22

1− 32 · 2=−17√2

−17=√2

Also ergibt sich2 +√2

1 +√2+

6 +√2

1 + 3√2

=√2 +√2

1.5 Aufgaben

Kapitel 2

Potenzen

Dass man 2+2+2 zu 3 ·2 verkurzt, kennt vermutlich jeder, fur die Multiplikation gibt es eineahnliche Abkurzung, die Potenzen. Man verkurzt 4 · 4 · 4 zu 43. Um mit diesen Ausdruckenzu rechnen gibt es einige Rechenregeln:

2.1 Rechenregeln

Die folgenden Rechenregeln fur Potenzen gelten fur alle Exponenten. Aus Regeln (1) bis (3)lassen sich die weiteren Regeln folgern.

(1) x(n+m) = xn · xm Produktregel

(2) x(n·m) = (xn)m

Exponentenregel

(3) xn · yn = (x · y)n

(4) x−n = 1xn fur x = 0

(5) x1/n = n√x fur x > 0 und n ∈ N

(6) x0 = 1

00 = 1

Rechenregeln

Achtung: Es gilt im Allgemeinen (a+ b)n = (an + bn) und an = na .

Die Rechenregeln (4)-(6) sind eigentlich Definitionen, d.h. die entsprechenden Werte fur ab

wurden passend zu den Rechenregeln (1)-(3) gewahlt. Im Folgenden zeigen wir, wie sich dieRechenregeln (4)-(6) aus den Rechenregelen (1)-(3) herleiten lassen. Zunachst jedoch zeigenwir, wie sich die Regeln (1) und (2) begrunden lassen.

2.1.1 Ganzzahlige Exponenten

Der Ausdruck x3 ist die Kurzfassung von “multipliziere die Zahl x 3-mal mit sich selbst”,also x3 = x · x · x. Genauso definieren wir fur eine beliebige ganze Zahl n:

xn := x · x · x · · ·x︸︷︷︸n−mal

17

18 KAPITEL 2. POTENZEN

Der Term xn heißt “die n-te Potenz von x”, man nennt dabei x die Basis und n den Expo-nenten. Beispiel: 43 ist die “dritte Potenz von vier” und ergibt 4 · 4 · 4 = 64.

Die Rechenregeln (1) und (2) lassen sich -fur ganzzahlige Exponenten - durch Umgruppierender abgekurzt geschreibenen Produkte begrunden:

Fur Exponenten die Summen sind gilt

x(n+m) = x · x · x · · ·x︸︷︷︸(n+m)−mal

= x · x · x · · ·x︸︷︷︸(n)−mal

· x · x · x · · ·x︸︷︷︸(m)−mal

= xn · xm

Produktregel

Und fur Exponenten, die Produkte sind gilt

x(n·m) = x · x · x · · · · · · · · · x · x · x︸︷︷︸(n·m)−mal

= (x · x · x · · ·x)︸︷︷︸(n)−mal

· (x · x · x · · ·x)︸︷︷︸(n)−mal

· · · (x · x · x · · ·x)︸︷︷︸(n)−mal︸︷︷︸

(m)−mal

= (xn) · (xn) · · · (xn)︸︷︷︸(m)−mal

= (xn)m

Exponentenregel

Der Ausdruck (a+ b)n lasst sich ohne Wissen uber a und b nicht weiter vereinfachen. Dieeinzig moglich Umformung von (a+b)n ist also das Ausmultiplizieren und Zusammenfassender Terme.Besonders wissenswert sind die drei binomischen Formeln, sie lauten wie folgt:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

Exkurs: Binomische Formeln

2.1.2 Bruche als Exponenten (Wurzeln in Exponentialschreibweise)

Jetzt wissen wir was x2 ist, aber was ist x0.75? Die Antwort ergibt sich aus den Rechenregeln,zusammen mit der Tatsache, dass die Zahl 0.75 ein Bruch ist, namlich 75

100 = 34 .

Fur x ≥ 0 und Bruche kn mit k, n ∈ N gilt: x

kn :=

(n√x)k.

Wurzeln in Exponentialschreibweise

Warum man man so mit Bruchen im Exponenten verfahrt, lasst sich am Beispiel von x(1/2)

erkennen:

Damit die Rechenregel (1) auch fur x(1/2) gilt, muss x(1/2) einen speziellen Wert haben,namlich:

√x. Der Grund ist der Folgende:

√x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert,

2.2. NULL ALS EXPONENT 19

x ergibt, also√x ·√x = x. Genau das gleiche gilt fur x1/2:

x(12 ) · x( 1

2 ) = x(12+

12 ) = x(1) = x√

x ·√x = x

Das heißt, wir erhalten x12 =√x.

Fur andere Bruche funktioniert das ganz analog, die Zahl x(15 ) beispielsweise ist die Zahl,

die 5-mal mit sich selbst multipliziert x ergibt, also die funfte Wurzel von x, oder 5√x:

x(15 ) · x(

15 ) · x(

15 ) · x(

15 ) · x(

15 )· = x(

15+

15+

15+

15+

15 ) = x1 = x

Auf diese Art lasst sich x(34 ) berechnen: Mit Rechenregeln (1) und (2) [und zuletzt (4)] ergibt

sich

x(34 ) = x(

14 ) · x(

14 ) · x(

14 ) =

(x(

14 ))3

=(

4√x)3.

2.1.3 Negative Exponenten

Fur x = 0 gilt: x−n :=(

1xn

).

Negative Exponenten

Auch dies kann man aus der Rechenregel (1) folgern. Fur x−2 gilt zum Beispiel:

x−2 · x3 = x−2+3 = x1 = x.

Teilt man auf beiden Seiten durch x3 erhalt man:

x−2 =x

x3=

xx · x · x

=1

x2.

Also gilt x−2 = 1x2 , und dies vertragt sich auch mit der Rechenregel (2):

x−3 = x(−1)·3 =(x(−1)

)3=

(1

x1

)3

=1 · 1 · 1x · x · x

=1

x3

2.2 Null als Exponent

Auf den ersten Blick ist nicht unbedingt klar, was x0 ergibt:

Fur jedes x ∈ R gilt: x0 := 1, es gilt insbesondere 00 = 1.

Null als Exponent

Auch dies lasst sich mit den bereits bekannten Rechenregeln begrunden. Mit Regeln (1) und(4) erhalt man:

x0 = x1+(−1) = x1 · x(−1) = x · 1x= 1

Es gilt also: x0 = 1.


Betrachtet man die Multiplikation von 4 mit Zahlen wie in der Grundschule als “so-oft-die-vier-nehmen” so bekommt man das folgende Problem mit “null mal vier”:

4 · 2 = zwei mal die 4 addieren = 4 + 4 = 84 · 1 = ein mal die 4 addieren = 4 = 44 · 0 = kein mal die 4 addieren = ??? ←−Muss man hier “leer” lassen?!?

Fur Grundschuler kann “null mal vier” in der Tat ein Problem sein. Allerdings stelltsich bei genauem Hinsehen schon bei “ein mal die vier addieren” die Frage worauf dennaddieren? Schließlich wird beim bloßen Hinschreiben einer vier ja nichts addiert!!

Losen kann man all diese Verwirrung, indem man sich klarmacht, dass alle Additionen beieiner Null beginnen, am besten Grundschulgerecht mit “Apfeln”: Das stetige Hinzufugenvon jeweils vier Apfeln, sollte mit einem leeren Teller beginnen, der Null. Korrekt hatte esalso heißen mussen:

4 · 2 = zwei mal die 4 zur Null addieren = 0 + 4 + 4 = 84 · 1 = ein mal die 4 zur Null addieren = 0 + 4 = 44 · 0 = kein mal die 4 zur Null addieren = 0 = 0

Hier hat jede 4 auch ihr eigenes Plus-Zeichen, alle vieren sind also gleich, in der Versionoben ohne Null ist die erste vier jeweils “etwas besonderes” weil sie kein Plus hat.

Analog dazu ist der “leere Teller” mit dem man bei der Multiplikation beginnt die eins:

42 = zwei mal die 4 auf 1 multiplizieren = 1 · 4 · 4 = 1641 = ein mal die 4 auf 1 multiplizieren = 1 · 4 = 440 = kein mal die 4 auf 1 multiplizieren = 1 = 1

Motivation 40 = 1

2.2.1 Null hoch Null

Fur x = 0 gilt ebenso x0 = 1, es gilt also 00 = 1. Es mag unlogisch erscheinen, dass “dieZahl Null null-mal mit sich selbst multipliziert” Eins ergeben soll, aber es hat einen einfachenGrund: Es vertragt sich mit den bisher betrachteten Rechenregeln (1)-(4). Folgt man diesenRegeln, so sieht man, dass die Zahl 00 ihr eigener Kehrwert sein muss, damit die Regeln(1)-(4) gultig bleiben:

00 = 0−0 =1

001

← hier sollte besser nicht Null stehen!

Damit ist “Null hoch Null” sein eigener Kehrwert, und die einzige Zahl “die ihr eigenerKehrwert ist” ist Eins! Also: 00 = 1.

2.3. AUFGABEN 21

Dass man 00 := 1 definiert, war tatsachlich nicht immer unumstritten. Bis Anfang des 19.Jahrhunderts hatten Mathematiker ohne große Diskussionen 00 = 1 gesetzt. Der Mathe-matiker Cauchy zeigte jedoch, dass 00 als Resultat in Grenzwertbetrachtungen ambivalentist. Er zeigte, dass falls f(a) = f(b) = 0 gilt, limx→a f(x)

g(x) beliebige Werte annehmenkann, je nach dem Verhalten von f und g.1833 prasentierte Guillaume Libri einige Argumente fur 00 = 1, die in der Folge kontroversdiskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veroffentlichte Mobius einen Beweis seinesLehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass limx→0+ x

x = 1 gilt.In der Folge verstummte die Kontroverse, aber noch im Jahr 1992 lehnte Donald Knuth ineinem wissenschaftlichen Artikel entschieden ab, dass 00 undefiniert gelassen wird. Dennsetzt man 00 = 1 nicht voraus, verlangen viele mathematische Theoreme eine Sonderbe-handlung der Null, wie zum Beispiel der binomische Satz

(x+ y)n =n∑

k=0

(n

k

)xkyn−k

fur die Falle x = 0 oder y = 0. Die Konvention 00 = 1 ist also sinnvoll, weil sie dieFormulierung vieler mathematischer Ausdrucke vereinfacht.

Exkurs: Geschichte

2.3 Aufgaben

Aufgabe 2.1 Sei x > 0. Vereinfachen Sie die folgenden Terme (wenn moglich!).

a)(x3)2 · 36 b) x3 · y3 c) x2

x4+x2

d) (x+ y)3

e)(x2/5

)5Aufgabe 2.2 Bringen Sie die folgenden Terme in Exponenten-Schreibweise

a)(x2 + 2x+ 1

)b)

(3√5)2

c)(

137√16)137

Aufgabe 2.3 Ein Hersteller will einen Karton mit exakt 4m3 Inhalt herstellen. Der Kartonsoll eine quadratische Grundflache haben (Breite=Lange), und er soll genau halb so hoch wiebreit sein. Welche Maße hat der Karton?

Aufgabe 2.4 Losen Sie folgende Gleichungen:

a) 2x = 16 b) 2x = 18 c) ex = 1 d) ex = 27

Aufgabe 2.5 Vereinfachen Sie folgende Terme – ohne Taschenrechner:

a) log2 (16) b) log3 (27) c) log√3(9) d) log11(

1121

)e) loga(

1a2 ) f) ln(a)− ln

(1a

)g) ln(a) + ln

(1a

)h) ln (ex) i) 1

2 ln(x2) j) ex·ln(2)

Aufgabe 2.6 Losen Sie folgende Gleichungen:

a) logx(16) = 2 b) logx(121) = 2 c) logx (81) = 4 d) logx(125) = 3

e) logx(16) = 4 f) logx(10) = 1 g) logx(9) = 4 h) logx(8) = 2, 5


Die Aufgaben in 2.6 sind “Trickaufgaben”: Bei genauerem Hinsehen entdeckt man, dass derLosungsweg nichts mit Logarithmen zu tun hat.

Aufgabe 2.7 Bierhefezellen teilen sich bei Raumtemperatur etwa alle 20 Minuten (d.h. dieZahl der Zellen verdoppelt sich).In einem Bierkessel mit genugend Nahrstoffen und Zucker befindet sich eine einzelne Hefezelle.Wie lange dauert es (etwa!), bis die Anzahl der Hefezellen die momentane Weltbevolkerung(ca. 7 Milliarden1) uberholt?Hinweis: Benutzen Sie als (grobe) Naherungen: log2(10) = 3.32 und log2(7) = 2.81.

Losungen: siehe Seite 99.

1stand: 7 Milliarden laut Vereinten Nationen am 31. Oktober 2011.

Kapitel 3

Funktionen

In diesem Abschnitt werden die mathematischen Begrifflichkeiten rund um Funktionen ein-gefuhrt.Grob gesagt ist eine Funktion eine Rechenvorschrift, die angibt, wie aus einer Variable derFunktionswert berechnet werden kann. Eine Funktion druckt also den eindeutingen Zusam-menhang zwischen der Variable und dem zugehorigen Funktuionswert aus, d.h. zu jedemWert der Variablen gibt es genau einen Funktionswert und nicht mehrere.Physikalische Großen lassen sich beispielsweise aus anderen meßbaren Großen berechnen:Beispielsweise ist die Energie, die in einer fallenden 5kg-Hantel steckt, eine Funktion derHohe h aus der sie Fallt: Energie = (MasseInGramm · Erdbeschleunigung · h) also E(h) =5000 ·9, 89 ·h. Naturlich gilt dies nur fur positive Werte von h, und dies motiviert den Begriffdes Definitionsbereichs.

3.1 Wichtige Vokabeln

Eine Funktion f besteht aus drei wesentlichen Elementen:

1. Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte in die Funktion eingesetzt werden konnen.

2. Die Zuordnungsvorschrift gibt an, wie man aus den eingesetzten Werten den Funkti-onswert ausrechnet.

3. Der Werteberech gibt an, welche Werte die Funktion annehmen kann.

Ganz offiziell besteht also jede Funktion aus diesen drei Angaben:

1. Welche werte (Definitionsbereich)

2. werden wie (Zuordnungsvorschrift)

3. wohin abgebildet (Wertebersich).

Um eine Funktion zu definieren, mussen also alle drei Angaben angegeben werden.

3.2 Eine Funktion Definieren

Betrachten wir zum Beispiel die Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift “ziehe die Wurzelaus der eingesetzten Zahl”. Diese Funktion f ist nur fur positive reelle Zahlen1 definiert

1Die positiven reellen Zahlen bezeichnet man mit R+

23

24 KAPITEL 3. FUNKTIONEN

und das Ergebnis ist wieder eine positive reelle Zahl. Dies beschreibt man wie folgt in derDefinition von f :

f : R+ −→ R+ (Definitons− und Wertebereich)x 7→

√x (Zuordnungsvorschrift)

Die Pfeile −→ und 7→ haben hier besondere Bedeutungen und konnen nicht vertauscht wer-den. Der erste Teil der Definition gibt Definitionsbereich (links) und Wertebereich (rechts)an. Der zweite Teil sagt zunachst wie die Variable heißt (hier “x”) und gibt dann die Zuord-nungsvorschrift an. Fur die Funktion mit der Zuordnungsvorschrift “quadriere den Input”kann die Definition also wie folgt aussehen:

g : R −→ R+

t 7→ t2

Funktionen fur Profis

Meistens jedoch weren Definitionsbereich und Wertebereich “unterschlagen”, wenn es umFunktionen geht, bei denen klar ist von wo nach wo die Funktion abbildet. Entsprechendist die Zuordnungsvorschrift das, was man landlaufig als “die Funktion” bezeichnet. WennDefinitions- und Wertebereich klar sind, ist dies auch zulassig. Man sagt (umgangssprachlich)also “die Funktion x2” statt (mathematisch korrekt) “die Funktion die x aus R nach x2 inR+ abbildet”.

3.3 Darstellung von Funktionen

Funktionen konnen alles mogliche auf alles mogliche abbilden, und die Zuordnungsvorschriftsagt wie. Oft ist die Zuordnungsvorschrift eine Formel (z.B. x 7→ x3), dies muss aber nichtimmer der Fall sein.

3.3.1 Tabellarische Darstellung

Die Angabe, welche Partei wieviele Prozente aller Wahlerstimmen bekommen hat, ist eineFunktion, die die Menge der Parteien auf die Zahlen von 0 bis 100 abbildet. Die Zuordnungs-vorschrift ist jedoch keine Formel sondern eine Tabelle. Solche Tabellen entstehen auch beimMessen in wissenschaftlichen Experimenten:

Zeitpunkt in min. 0 1 2 3 4Temperatur in C 22.5 23.2 25.1 27.8 29.3

Auch Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift eine Formel ist, konnen Tabellarisch dargesetlltwerden, so zum Beispiel die Funktion g(t) = t2:

t = 0 1 2 3 4 5 6g(t) = 0 1 4 9 16 25 36

Die Tabellarische Darstellung ist hifreich, um den Graphen einer Funktion zu zeichnen, mitdem wir uns im Folgenden beschaftigen.

3.3.2 Graphische Darstellung

Die graphische Darstellung einer Funktion ist dieKurve der Funktion, d.h. eine Zeichnung, dieeine Linie im x-y-Koordinatensystem zeigt, die fur jedes x durch den passenden Funktionswerty = f(x) verlauft. Ein Beispiel findet sich in Abbildung 3.1.

3.3. DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN 25

F : R → Rx 7→ x4 + 7x2 − 5x3 − 5x+ 6

Abbildung 3.1: Der Graph einer Funktion

26 KAPITEL 3. FUNKTIONEN

3.4 Eigenschaften von Funktionen

Eine Funktion f : D →W heißt

• injektiv (linkseindeutig), wenn jedes y ∈W hochstens ein Urbild x ∈ D hat.D. h. aus x1 = x2 folgt f(x1) = f(x2).

• surjektiv, wenn jedes y ∈W mindestens ein Urbild x ∈ D hat.D. h. fur alle y ∈W gibt es ein x, so dass f(x) = y gilt.

• bijektiv (eineindeutig), wenn sie injektiv und surjektiv ist.D. h. jedes y ∈W hat genau ein Urbild x ∈ D.(mindestens eins: surjektiv; hochstens eins: injektiv).

• gerade, wenn fur alle x ∈ D auch −x ∈ D ist, und f(x) = f(−x) gilt.Der Graph von einer geraden Funktionen ist spiegelsymmetrisch zur y-achse.

• ungerade, wenn fur alle x ∈ D auch −x ∈ D ist, und f(x) = −f(−x) gilt.Der Graph von einer geraden Funktionen ist punktsymmetrisch zum Koordinatenur-sprung.

Eine injektive Funktion f nennt man eine “Injektion”. Die Vorstellung bei der Auswahl desWortes “injektiv” war, dass f die Werte in D in die Zielmenge W “injiziert”, d.h. es gehenkeine Punkte des Definitionsbereiches “verloren”.

Beispiel 3.1 Die Funktion f : R → R, x 7→ x3 ist ungerade und bijektiv (injektiv undsurjektiv):

• Es gilt f(−x) = (−x)3 = − (x)3= −f(x). Also folgt f(x) = −f(−x), und f ist

ungerade.

• Fur jeden Wert y ∈ R im Wertebereich gibt es ein Urbild x, so dass y = f(x) = x3 gilt:

x = 3√y wenn y ≥ 0 und

x = − 3√|y| wenn y < 0.

f ist also surjektiv.

• Gilt x1 = x2 fur x1, x2 ∈ R so folgt f(x1) = f(x2). f ist also injektiv.

Beispiel 3.2 Die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist gerade und sie ist weder injektiv nochsurjektiv:

• Es gilt f(−x) = (−x)2 = (x)2= f(x). Also folgt f(x) = f(−x), und f ist gerade.

• Fur den Wert y = −1 im Wertebereich R gibt es kein x, so dass y = f(x) = x2 gilt,d.h. f ist nicht surjektiv.

• Fur x1 = 2 und x2 = −2 gilt f(x1) = 4 = f(x2), d.h. f ist nicht injektiv.

Beispiel 3.3 Die Funktion f : R → R, x 7→ x3 − x + 1 ist surjektiv, nicht injektiv sowieweder gerade noch ungerade:

• Es gilt f(−x) = (−x)3 − (−x) + 1 = −x2 + x+ 1 und −f(x) = −x3 + x− 1. Also folgtf(x) = f(−x), und f(x) = −f(−x).

• Es gilt f(−1) = 1 = f(1), also ist f nicht injektiv.

• Fur jedes y ∈ R gibt es ein x ∈ R mit f(x) = y. Leider ist dies nicht einfach zu zeigen.

Kapitel 4

Polynome

4.1 Definitionen

Polynome sind einfache, glatte Funktionen (s. Abschnitt 3), deren Eigenschaften sich relativleicht ablesen lassen. Ein Polynom ist die Summe aus mehreren Termen der Form a ·xk wobeia eine beliebige (reelle) Zahl ist und k eine ganze Zahl. Zum Beispiel sind 3 + 2x+ 5

2x2 und

4x3 − x5 Polynome.

Die allgemeine Form eines Polynoms lautet

p(x) = a0 + a1x1 + a2x

2 + . . .+ anxn (wobei an = 0 gilt)

Hier ist “x” die Variable, fur die spezielle Werte eingesetzt werden konnen.

• Die reelle Zahlen a0, . . . , an ∈ R heißen die Koeffizienten des Polynoms p.

• Der Wert n (der großte auftauchende Exponent) heißt Grad des Polynoms p.

• Der Term an heißt Leitkoeffizient, der Term anxn Leitterm von p.

Allgemeine Form eines Polynoms

Fur p(x) = 4x3 − x5, zum Beispiel, ist −x5 der Leitterm und −1 ist der Leitkoeffizient.

Man nennt ein Polynom. . .• vom Grad 1 ein lineares Polynom: x, 2x+ 3, x− 1

2

• vom Grad 2 ein quadratisches Polynom: x2, 4x2 + 3x+ 1, −x2 + x

• vom Grad 3 ein kubisches Polynom: x3, 9x3 + 2x2 + 3x+ 1 3x3 + 2x

Fur Polynnome hoheren Grades sagt man einfach “ein Polynom vom Grad vier” usw.

Namenskoventionen

4.2 Nullstellen

Eine Nullstelle eines Polynoms p ist eine Zahl x0 fur die p(x0) = 0 gilt.

Das Losen von Polynomgleichungen der Form p(x) = q(x) ist eine wichtige Aufgabe in vielenBereichen. Dies kann stets auf das Finden von Nullstellen zuruckgefuhrt werden. Das Finden

27

28 KAPITEL 4. POLYNOME

x3

x2

x

p(x)=x4+7x2−5x3−5x+6

Abbildung 4.1: Polynome und ihre Graphen

von Nullstellen von linearen und quadratischen Polynomen ist vergleichsweise einfach. BeiPolynomen hoheren Grades wird es schwieriger.

Beispiel 4.1 Will man Beispielsweise x2 + 3 = 2x + 2 losen, so ergibt sich durch abziehenvon 2x+ 2 auf beiden Seiten eine neue Gleichung, die einer Nullstellensuche entspricht:

x2 + 3 = 2x+ 2 ∥ − 2x− 2⇔ x2 − 2x+ 1 = 0

Nach Vereinfachen mittels binomischer Formel lautet die letzte Gleichung (x−1) · (x−1) = 0(binomischen Formeln s. (4.5) in Abschnitt 4.5). Entsprechend lautet die Losung hier: x = 1.

Der Vereinfachungsschritt am Ende des letzten Beispiels nennt man Faktorisieren.Zunachst schauen wir uns das Losen von Polynomgleichungen fur lineare, dann fur quadra-tische und schließlich fur allgemeine Polynome an. Dort werden wir dann das Faktorisierenwieder antreffen.

Manchmal trifft man in Aufgaben auf besonders seltsame Gleichungen:

0 = 1 Gleichungen ohne Losung. Endet man nach gewohnlichen Gleichungsumfor-mungen mit einer Gleichung der Form 0 = 1, so hat die Ausgangsgleichung keineLosung.

0 = 0 Alle x sind Losung. Endet man nach gewohnlichen Gleichungsumformungen(ohne auf beiden Seiten mit 0 zu Multiplizieren) mit einer Gleichung der Form0 = 0, so ist jedes x ∈ R eine Losung der Ausgangsgleichung.

Besondere Gleichungen

Beispiel 4.2 Gesucht sind die Losungen der Gleichung 2x2 + 1 = 2x2 + 1. Durch abziehenvon 2x2 + 1 auf beiden Seiten eine neue Gleichung:

2x2 + 1 = 2x2 + 1 ∥ − 2x2 − 1⇔ 0 = 0

Diese Gleichung list sich wie folgt: “Welche x leisten, dass die Gleichung 0 = 0 gilt?”.Da 0 = 0 stets gilt, und zwar unabhangig von x, kann jedes x ∈ R “dies leisten”. Damit istauch jedes x eine Losung der Ausgangsgleichung.

4.2. NULLSTELLEN 29

p(x) = 2x+ 1

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 x

5

4

3

2

−1

−2

−3

← Hohe m = 3− 1 = 2

Abschnitt b = 1

6x+1

4x+3

Abbildung 4.2: Lineare Polynome

Beispiel 4.3 Gesucht sind die Losungen der Gleichung 5x + 2 = 5x + 1. Schon jetzt istabzusehen, dass kein x diese Gleichung je erfullen kann. Durch abziehen von 5x + 1 aufbeiden Seiten eine neue Gleichung:

5x+ 2 = 5x+ 1 ∥ − 5x⇔ 1 = 0

Diese Gleichung list sich wie folgt: “Welche x leisten, dass die Gleichung 1 = 0 gilt?”.Da 1 = 0 nie gilt, und zwar unabhangig von x, kann kein einziges x ∈ R “dies leisten”. Damitist auch kein einziges x eine Losung der Ausgangsgleichung.

4.2.1 Lineare Polynome

Ein lineares Polynom hat die allgemeine Form p(x) = mx+ b. Dabei heißt

• m die Steigung von p und

• b heißt der Achsenabschnitt von p.

Der Graph eines linearen Polynoms ist eine Gerade (s. Abbildung 4.2), daher stammt auchdie Bezeichnung

”linear“. Der Wert b heißt

”Achsenabschnitt“, weil der Graph (s. Abschnitt

3) von p die y-Achse im Wert b schneidet. Der Wert m gibt die”Steigung“ des Graphen von

p an, d.h. wie sehr der Graph von p ansteigt (oder fallt wenn m negativ ist), wenn man aufder x-Achse einen

”Schritt“ der Lange 1 macht.

Bemerkung 4.1 Den Graphen einer Funktion (s. Abschnitt 3) nennt man auch”Kurve“

(im Sinne von: Fieberkurve). Der Graph eines linearen Polynoms ist also eine schnurgerade

”Kurve“!

Lineare Gleichungen

Herauszufinden, wo zwei lineare Polynome den gleichen Funktionswert annehmen ist einewichtige, grundlegende Aufgabe (s. Aufgabe 4.1). Betrachtet man die entsprechenden Gra-phen, bedeutet dies, den Schnittpunkt der beiden zugehorigen Graden auszurechenen (s.Abbildung 4.2). Man lost dies durch Umstellen:


Beispiel 4.4 Seien p, q lineare Poynome gegeben durch p(x) := 6x+ 1 q(x) := 4x+ 3, dannberechnet man x0, so dass p(x0) = q(x0) gilt wie folgt:

p(x0) = q(x0)⇔ 6x0 + 1 = 4x0 + 3 (subtrahiere 4x0 und 1 auf beiden Seiten)⇔ 2x0 = 2 (teile durch 2 auf beiden Seiten)⇔ x0 = 1

Der klassische Dreisatz ist mathematisch gesehen das Aufstellen und Losen einer linearenGleichung. Das Aufstellen ist relativ einfach. Man schreibt die zu errechnende Große (dieVariable) und die bekannten Großen in ein einfaches Schema, s. (4.1). Dabei kommenGroßen, die sich entsprechen, unter bzw. ubereinander. Den trennenden Strich

”ersetzt“

man dann einfach durch Bruchstriche und ein Gleichheitszeichen und formt um.

Beispiel 4.5 5 Fische kosten 10 Euro. Wieviele Fische erhalte ich fur 2 Euro?

Fische Eurox ≃ 25 ≃ 10

Fische Euro

=⇒ x

5 = 210 ⇔ x = 5 · 2

10 = 1(4.1)

Fur 2 Euro erhalt man also einen Fisch (in diesem Beispiel).

Beispiel 4.6 15 Birnen kosten 6 Euro. Wieviel kosten 10 Birnen?

Birnen Euro10 ≃ x15 ≃ 6

Birnen Euro

=⇒ 10

15 = x6 ⇔ x = 6 · 2

3 = 4(4.2)

Zehn Birnen kosten also 4 Euro (in diesem Beispiel).

Exkurs: Der Dreisatz

4.2. NULLSTELLEN 31

4.2.2 Quadratische Polynome

Quadratische Polynome haben die allgemeine Form f(x) = ax2 + bx + c wobei a, b, c reelleZahlen sind. Das Losen von Polynomgleicheungen mit quadratischen Polynomen kann entwe-der mittels

”quadratischer Erganzung“ oder abgekurzt mit der p− q Formel geschehen. [Die

“Mitternachtsformel” ist eine Variante der p-q-Formel, die die gleichen Losungen liefert wiedie p-q-Formel.]Leider heißt die Formel aus historischen Grunden p-q-Formel, und gleichzeitig haben sichMathematiker dazu entschlossen, Polynome haufig mit p oder q zu bezeichnen. Dies gilt esauseinander zu halten.

p-q-Formel

Sowohl fur die p-q-Formel als auch zum quadratischen Erganzen bringt man die Polynom-gleichung zunachst auf die Normalform, indem man durch a (den Leitkoeffizienten) teilt.

ax2 + bx+ c = 0 (allgemeine Form) | : a⇔ x2 + b

ax+ ca = 0 (Normalform)

Hier gilt: Die beiden Gleichungen sind aquvalent (und das obwohl die beiden verwendetenPolynome verschieden sind!). Aquivalent heißt hier: Eine Zahl x lost die erste Gleichunggenau dann wenn x die zweite Gleichung lost.

Entsprechend konnen wir davon ausgehen, dass die Nullstellen eines Polynoms x2 + px + qberechnet werden sollen (p, q sind hier reelle Zahlen).

Gleichung x2 + px+ q = 0 (Normalform)

Losungen x1/2 = −p2±√(p

2

)2− q (p-q-Formel)

Gilt falls(p2

)2 − q ≥ 0.

p-q-Formel

Das Zeichen ± wird verwendet, weil es zwei Losungen gibt:

x1 = −p2+

√(p2

)2− q und x2 = −p

2−√(p

2

)2− q

Dies gilt allerdings nur, wenn der Ausdruck(p2

)2 − q unter der Wurzel nicht negativ ist.Ansonsten hat die Gleichung keine Losung!

Beispiel 4.7 Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms f(x) := 2x2 + 3x+ 2.Zunachst normieren wir f(x), indem wir durch 2 teilen, und verwenden dann die p-q-Formel:

2x2+3x +2 = 0 (allgemeine Form)⇔ x2 +3/2x+1 = 0 (Normalform)

Hier gilt also p = 3/2 und q = 1. Mit der p-q-Formel ergibt sich:

x1/2 = −2/3±√

(2/3)2 − 1 = −2/3±√(4/9)− (9/9) = −2/3±

√−(5/9)

Weil der Radikant −(5/9) negativ ist, gibt es keine (reelle) Losung. Das Polynom f(x) hatalso keine Nullstellen. Der Graph des Polynoms ist in Abbildung 4.3 dargestellt.


2x2+3x+2

Abbildung 4.3: Ein Quadratisches Polynom ohne Nullstelle

Quadratische Erganzung

Die quadratische Erganzung ist die”lange Form“ der p − q-Formel, und fußt auf der Idee,

die folgende binomische Formel zu nutzen:

(x+p

2)2 = x2 + 2

(p2

)x+

(p2

)2= x2 + px+

(p2

)2(4.3)

Beim Rechnen fragt man also “womit muss ich x2 + px erganzen, damit es zur binomischen

Formel ’wird’?”. Antwort: mit (p/2)2. Dazu muss in der Normalform die Zahl q durch(p2

)2”ersetzt“ werden, diese Folge von Operationen heißt “quadratische Erganzung”:

x2 + px+ q = 0 (Normalform)⇔ x2 + px = −q

⇔ x2 + px+(p2

)2︸︷︷︸ = −q +

(p2

)2quadratisches Erganzen mit

(p2

)2⇔ (x+ p

2 )2 = −q +

(p2

)2Binomische Formel (4.3)

⇔ (x+ p2 ) = ±

√−q +

(p2

)2x = −p

2 ±√(

p2

)2 − q (p− q−Formel)

Quadratische Erganzung

Wie bei der p-q-Formel kommt es naturlich drauf an, ob die Wurzel auf der rechten Seite

definiert ist. Gilt(p2

)2−q ≥ 0, gibt es eine oder zwei Losungen. Falls nicht, hat die Gleichungkeine Losung.

4.2. NULLSTELLEN 33

Diskriminante

Ob ein quadratisches Polynom eine Nullstelle hat, kann man auch anhand der Diskriminantefeststellen. Die Diskriminante ist vereinfacht gesagt ein Anzeiger dafur, welches Vorzeichender Radikant in der p-q-Formel hat.

Polynom ax2 + bx+ c = 0 (allgemeine Form)Diskriminante D := b2 − 4ac

Wert von D Losungen der Gleichungnegativ (D < 0) keineNull (D = 0) genau einepositiv (D > 0) zwei verschiedene

Diskriminante

Beispiel 4.8 Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms f(x) := 3x2 + 2x + 1. Die Diskri-minante lautet 22 − 4 · 3 · 1 = −8. Dieses Polynom hat also keine Nullstellen.

Ganz allgemein sollte man die drei Binomischen Formeln konnen, z.B (a + b)2 = a2 +2ab + b2. Zur Nullstellenberechnung bei Polynomen sind sie aber auch hilfreich: dabeiersetzt man einfach a durch x in den bekannten Formeln:Im Folgenden nehmen wir an, dass b ∈ R eine reelle Zahl ist. Die entsprechenden binomi-schen Formeln erhalt man durch ausmultiplizieren und zusammenfassen:

(x+ b)2 = x2 + 2bx+ b2 (4.4)

(x− b)2 = x2 − 2bx+ b2 (4.5)

(x+ b)(x− b) = x2 − b2 (4.6)

Exkurs: Binomische Formeln

4.2.3 Fur Profis: Nullstellen quadratischer Polynome

Es gibt einen schnellen Weg die Nullstellen eines quadratischen Polynoms zu raten. Aberaufgepasst: In jedem Fall mit den gefundenen Nullstellen die Probe machen!Lasst sich ein Polynom x2 + ax+ b als Produkt von linearen Polynomen schreiben, so kannman die Nullstellen direkt ablesen! Zum Beispiel hat

f(x) = x2 − 5x+ 6 = (x− 2) · (x− 3)

eine Nullstelle bei x = 2 und eine bei x = 3. Der Grund ist der Folgende: f(x) ist Null, wenneiner der beiden Faktoren (x− 2) bzw. (x− 3) den Wert Null hat. Dies ist genau bei x = 2und bei x = 3 der Fall.

Achtung Vorzeichen:Das Polynom f(x) = (x− 5) · (x− 3) hat eine Nullstelle bei 5 und nicht bei −5.Das Polynom f(x) = (x+ 5) · (x− 3) hat eine Nullstelle bei −5 und nicht bei 5.Beide haben naturlich noch eine weitere Nullstelle bei x = 3.Der “Trick” zum schnellen raten von Nullstellen ist nun, ein gegebenes quadratisches Polynomx2 + px+ q in seine Faktoren zu zerlegen. Dazu beobachten wir das folgende:

(x+ a) · (x+ b) = x2 + (a+ b)︸︷︷︸p

x + a · b︸︷︷︸q


Trifft man also auf f(x) = x2 + 7x+ 12 so sucht man a und b mit:

a+ b = 7 und a · b = 12

Die Losung hier ist a = 4 und b = 3, es gilt also

f(x) = x2 + 7x+ 12 = (x+ 3) · (x+ 4)

und f(x) hat somit Nullstellen bei x = −3 und x = −4.

4.2.4 Nullstellen allgemeiner Polynome: Faktorisieren

Das Berechnen von Nullstellen von Polynomen hoheren grades ist leider schwierig. Denn: beiPolynomen von hoherem Grad ist es nicht mehr ohne weiteres moglich, die Nullstellen miteiner Formel zu errechnen! Es ist tatsachlich so, dass es fur Polynome vom Grad 3 und 4ahnliche Formeln zur berechnung der Nullstellen gibt wie die p-q-Formel. Fur Nullstelen vonPolynomen vom Grad 5 und hoher gibt es jedoch keine solchen Formeln mehr!

Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass es Polynome vom Grad 5 gibt, deren Nullstellensich nicht mittels Wurzelausdrucken zusammen mit den ublichen Operationen +, −, · und/ ausdrucken lassen. Ein Beispiel dafur ist das Polynom x5 − x + 1, das nur eine relleNullstelle bei x0 ≃ −1.167303978 . . . besitzt.Um 1770 gelang es Joseph Louis Lagrange die bis dahin bekannten Tricks zum Berechenenvon Nullstellen von Polynomen zu einer generellen Methode zusammenzufassen. Unbe-friedigend blieb, dass diese Methode bei Polynomen von Grad 5 und hoher nicht immerfunktionierte.Im Jahr 1799 legte Paolo Ruffini, einen Beweis vor, der zeigen sollte, dass sich die entspre-chenden Nullstellen tatsachlich nicht durch eine geschlossene Formel ausdrucken lassen,die nur Wurzelausdrucke enthalt. Allerdings fußte sein Beweis zum Einen auf einer unbe-wiesenen Annahme, zum Anderen wollten die Kollegen einfach nicht wahrhaben, dass eine“so einfache Aufgabe” keine “einfache Losung” haben sollte.Erst als Niels Henrik Abel den Beweis von Ruffini 1824 vervollstandigte, mussten dieMathematiker entgultig einsehen, dass Nullstellen fur Polynome hoheren Grades im All-gemeinen nur angenahert, nicht jedoch berechnet werden konnen.

Exkurs: Der Satz von Abel-Ruffini

Mochte man eine solche Nullstelle berechnen bleiben zwei Moglichkeiten:

• Das Newton Verfahren, das eine solche Nullstelle annahert,

• Raten gefolgt von Polynomdivision.

Hier wollen wir uns nur der zweiten Moglichkeit widmen.

Nullstellen “raten”

Jedes Polynom p(x) laßt sich als Produkt von linearen und quadratischen Polynomen schrei-ben. Die linearen Polynome beschreiben dabei die Nullstellen des Polynoms p. Zum Beispielgilt

f(x) = x4 + 7x2 − 5x3 − 5x+ 6 = (x− 2)(x− 3)(x2 + 1).

An dieser Zerlegung erkennt man, dass das Polynom f(x) zwei Nullstellen hat, eine bei x = 2und eine bei x = 3 (s. Abbildung 4.1). Das Polynom (x2 +1) hat keine Nullstelle weil x2 ≥ 0gilt und damit x2 + 1 ≥ 1.

4.2. NULLSTELLEN 35

Multipliziert man die Terme (x − 2)(x − 3)(x2 + 1) aus, so erkennt man, dass die Werte 2und 3 der beiden Nullstellen den konstanten Term von f , die 6, teilen. Dies ist generell so:

Hat ein Polynom p(x) = a0 + a1x1 + a2x

2 + . . .+ anxn ausschließlich ganzzahlige Koeffi-

zienten, so sind alle ganzzahligen Nullstellen Teiler von a0.

Achtung: Dies heißt nicht, dass p tatsachlich ganzzahlige Nullstellen hat! Aber wenn pganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler von a0.

Beispiel 4.9 Es gilt die Nullstellen von p(x) := (2x2 + 10x+ 12) zu bestimmen. Als Teilervon 12, dem konstanten Term von p, kommen in Frage:

−12,−6,−4,−3,−1 sowie 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Weil p(x) nur positive Summanden enthalt, versuchen wir es mit den negativen Teilern.Einsetzen liefert:

p(−1) = 2 · (−1)4 + 10 · (−1) + 12 = 4 = 0 p(−3) = 2 · (−3)4 + 10 · (−3) + 12 = 0

Also ist −3 eine Nullstelle von p(x) und q(x) := (x − (−3)) = (x + 3) ein Teiler von p(x)(aufgepasst mit dem Vorzeichen!). Um die weiteren Nullstellen von p(x) = (2x2 + 10x+ 12)zu bestimmen, mussen wir p(x) durch (x+ 3) teilen. Dies geschieht mittels Polynomdivisionund ergibt (s. nachster Abschnitt): (2x2 + 10x+ 12) : (x+ 3) = (2x+ 4).

Polynomdivision

Die Polynomdivision funktioniert ahnlich zur gewohnlichen schriftlichen Division. Beim be-stimmen des Teilers allerdings ist in jedem Schritt auf das Monom mit dem großten Grad(der Leitterm).

Beispiel 4.10 Gesucht ist p(x)/q(x) wobei p(x) := (2x2 + 10x+ 12) und q(x) := (x+ 3).

Wir rechnen (2x2 + 10x+ 12)/(x+ 3) mittels Polynomdivision aus:

Schritt 1 Berechne das Verhaltnis der Leitterme der beiden Polynome, hier 2x2/x = 2x(”wie oft passt x in 2x2? Antwort:

”2x-oft“). Dieses Monom 2x ist der erste Losungsteil.

( 2x2 +10x +12) : (x+ 3) = 2x ← (hier kommt noch mehr)

Schritt 2 Dann zieht man von dem ursprunglichen Polynom p(x) das 2x-Fache von q(x) ab,also 2x · (x+3) = 2x2+6x. Nach dem Abziehen bleibt ein Polynom p(x) = p(x)−2x · (x+3).

( 2x2 +10x +12) : (x+ 3) = 2x−( 2x2 + 6x) ∥ 2x · (x+ 3) = (2x2 + 6x)( 0 + 4x)

Schritt 3 Man bringt den nachsten Term von p(x) nach unten. Das Polynom p(x) = 4x+12hat einen kleineren Grad als p (der Leitterm v. p fallt weg!).

( 2x2 +10x +12) : (x+ 3) = 2x−( 2x2 + 6x) ↓

4x +12


Jetzt wieder holt man die Schritte 1− 3 mit dem polynom p.Schritt 1: 4x/x = 4 (Wie oft passt x in 4x)

Schritt 2: Abziehen von 4 · (x+ 3) = 4x+ 12

( 2x2 +10x +12 ) : (x+ 3) = 2x+ 4−( 2x2 + 6x) ↓

4x +12−(4x +12) ∥ 4 · (x+ 3) = (4x+ 12)

0 + 0

Vor der Polynomdivision mussen die Monome beider beteiligten Polynome nach abstei-gendem Grad sortiert werden:

Falsch: ( 4x +2x6 +12) : (x2 + 3x+ 1) = . . .

Richtig: ( 2x6 +4x +12) : (x2 + 3x+ 1) = . . .

Falsch: ( 2x6 +4x +12) : (x2 + 1 + 3x) = . . .

Mogliche Fehler

Division mit Rest: Der Restsatz Die Polynomdivision muss nicht unbedingt aufgehen!!Der verbleibende Rest muss dann im Ergebnis als Bruch notiert werden:

Beispiel: Gesucht ist p(x)/q(x) mit p(x) := 2x2 + 10x+ 16 und q(x) := (x+ 3).

Rechnung:

( 2x2 +10x +16 ) : (x+ 3) = 2x+ 4 + 4(x+3)

−( 2x2 + 6x) ↓4x +16

−(4x +12) ∥ 4(x+ 3) = (4x+ 12)0 + 4

Division mit Rest

Der verbleibende Rest lasst sich vorhersagen, wenn man durch ein lineares Polynom dividiert:

Wird ein Polynom p(x) durch (x− a) dividiert, dann ist p(a) der Rest.

Restsatz:

Im obigen Beispiel liefert die Polynomdivision von p(x) = 2x2 +10x+16 durch x+3 liefert:

(2x2 + 10x+ 16) = (2x+ 4) · (x+ 3) + 4

mit dem Rest 4 = p(−3). Der Restsatz gilt, weil nach dem Divisionsalgorithmus p(x) = q(x) ·(x−a)+r gilt, wobei r der Rest der Division ist. Insbesondere gilt: p(a) = q(a)·(a−a)+r = r.Aus dem Restsatz erkennt man, dass die Polynomdivision stets aufgeht, wenn a eine Nullstellevon p ist:Ist a eine Nullstelle des Polynoms p(x), dann ist (x − a) ein Teiler des Polynoms, d. h.p(x) = q(x) · (x− a), wobei grad(q) = grad(p)− 1.

4.2. NULLSTELLEN 37

4.2.5 Polynomgleichungen aus rationalen Gleichungen

Nicht immer bekommt man die Polynomgleichungen, die man losen soll direkt gegeben. Hierbetrachten wir den Fall, dass man die zu losende Polynomgleichung erst aus einer Gleichungmit Polynom-Bruchen herstellen muss. Solche Bruche aus Polynomen nennt man rationaleFunktionen, ganz analog zu den Bruch-Zahlen wie 3

4 ∈ Q, die im Fachbegriff rationale Zahlenheißen.

Eine Funktion der Form p(x)q(x) (wobei p(x) und q(x) Polynome sind) heißt rationale Funk-

tion.

Rationale Funktionen

Um eine Gleichungen aus rationalen Funktionen in eine Polynomgleichung umzuformen, mussman auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren – ganz wie beinormalen Bruchen.

Dabei sind drei Dinge zu beachten:

1. Besteht der Hauptnenner aus einem Produkt (wie (x) · (2x − 1) im Beispiel), so ist esim Allgemeinen nicht clever, dieses Produkt auszumultiplizieren! Ohne Auszumultipli-zieren lasst sich am Ende besser Kurzen.

2. Der Hauptnenner von mehreren Bruchen ist haufig das Produkt der Nenner. Manch-mal ist der Hauptnenner jedoch einfacher. Dies zu entdecken kann erhebliche Arbeitersparen.

3. Mit Nullstellen des Hauptnenners ist Vorsicht geboten: Sind sie eine Losung der neuenPolynomgleichung, so muss man sie unbedingt zur Probe in die Ausgangsgleichungeinsetzen!

Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner gehen also keine Losungen verloren, es konnenaber neue Losungen entstehen. Es gibt also moglicherweise Losungen der neuen Polynom-gleichung, die nicht Losungen der ursprunglichen Gleichung sind! Machen Sie also mit allenLosungen der Polynomgleichung eine Probe und setzen Sie sie in den Hauptnenner ein!

Hier das allgemeine Vefahren fur eine Gleichung in Rationalen Funktionen:

Gegebenp1(x)

q1(x)+p2(x)

q2(x)=p3(x)

q3(x)

1. Vorbereiten:

1.1 Bestimmen des Hauptnenners h(x) (ein Polynom).Dies kann q1(x) · q2(x) · q3(x) sein, es kann aber schon genugen, Teile derPolynnome qi miteinander zu Multiplizieren.

1.2 Multiplizieren mit h(x) auf beiden Seiten.

1.3 Kurzen aller verbliebenen Bruche.

2. Rechnen: Losen der entstehenden Polynomgleichung.

3. Probe: Einsetzen der Losungen xi in h(x).

3.1 Falls h(xi) = 0, dann ist xi eine Losung Ausgangsgleichung.

3.2 Falls h(xi) = 0, dann Probe mit xi in der Ausgangsgleichung.


Beispiel: Berechnen Sie die Losungen der Gleichung x+22x−1 = 4x−1

x .

[Ausgangsgleichung] 4x−1x = x+2

2x−1 | · x · (2x− 1)

[Polynomgleichung] ⇒ (4x− 1) · (2x− 1) = (x+ 2) · x

⇔ 8x2−6x +1 = x2 + 2x | − x2 − 2x

⇔ −7x2+8x −1 = 0

[Normalform] ⇔ x2−87x +1

7 = 0

[p-q-Formel] ⇔ x1/2 = −(− 47 )±

√1649 −

749 = 4

7 ±37

⇔ x1 = 17 x2 = 1

[Probe] Der Hauptnenner ist h(x) = 2x · (2x− 1).

h(x1) = x1 · (2x1 − 1) = 17 · (2

17 − 1) = 0.

h(x2) = x2 · (2x2 − 1) = 1 · (2− 1) = 0

17 und 1 sind echte Losungen der Ausgangsgleichung.

4.3 Aufgaben

Lineare Gleichungen

Aufgabe 4.1 Ein Freund von Ihnen mochte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Esgibt zwei verschiedene Angebote:

• Anbieter 1: monatl. Grundgebuhr: 10e, Minutenpreis: 0, 10e (alle Netze).

• Anbieter 2: monatl. Grundgebuhr: 5e, Minutenpreis: 0, 20e (alle Netze).

Abgesehen davon, dass es vielleicht bessere Angebote irgendwo in diesem Universum gibt:Ab wieviel Gesprachsminuten pro Monat sollte Ihr Freund sich fur Anbieter 1 entscheiden?

Aufgabe 4.2 Berechnen sie den Schnittpunkt der Geraden die durch y = 3x + 2 und y =−2x+ 1 gegeben sind.

Quadratische Gleichungen

Aufgabe 4.3 Hat das Polynom x2 + 2 eine Nullstelle?Wieviele (verschiedene!) Nullstellen hat x2 − 4x+ 4?Verwenden Sie einmal die p-q-Formel und einmal die Diskriminante.

4.3. AUFGABEN 39

Aufgabe 4.4 Berechnen sie die Nullstellen von

a) 2x2 + 7x+ 3 c) x2 − 2x− 15

b) 3x2 + 7x− 6 d) x2 − 2x

Aufgabe 4.5 Faktorisieren Sie

a) x2 − 3x+ 2 c) x2 + x

b) x2 + 3x+ 2 d) x2 + 1

Tipp: Prufen Sie vorher (mittels Diskriminante) ob das Polynom wirklich in lineare Faktorenzerfallt.

Polynomgleichungen dritten grades

Aufgabe 4.6 Berechnen sie die Nullstellen von

a) x3 + 2x2 − 5x− 6 c) x3 − 4x2 + 4xb) x3 + 6x2 − x− 6 d) x3 − 1

Polynomgleichungen aus rationalen Gleichungen

In den folgenden Aufgaben mussen die rationalen Gleichungen durch Multiplikation mit demHauptnenner in Polynomgleichungen umgeformt werden.Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner gehen keine Losungen verloren, es konnen aberneue Losungen entstehen. Es gibt also moglicherweise Losungen der neuen Polynomgleichung,die nicht Losungen der ursprunglichen Gleichung sind! Machen Sie also mit allen Losungender Polynomgleichung eine Probe in der Ausgangsgleichung!

Beispiel: Berechnen Sie die Losungen der Gleichung x+22x−1 = 4x−1

x .

[Ausgangsgleichung] 4x−1x = x+2

2x−1 | · x · (2x− 1)

[Polynomgleichung] ⇒ (4x− 1)(2x− 1) = (x+ 2)x

⇔ 8x2−6x +1 = x2 + 2x | − x2 − 2x

⇔ 7x2−8x +1 = 0

[Normalform] ⇔ x2− 87x + 1

7 = 0

[p-q-Formel] ⇔ x1/2 = −(− 47 )±

√1649 −

749 = 4

7 ±37

⇔ x1 = 17 x2 = 1

Probe: Einsetzten der Losungen in den Hauptnenner. Falls sich 0 ergibt, so ist die Losungunzulassig, weil dann in der Ausgangsgleichung durch Null geteilt werden wurde.

x1 · (2x1 − 1) =1

7· (21

7− 1) = 0 und x2 · (2x2 − 1) = 1 · (2− 1) = 0.

Also sind 17 und 1 tatsachlich Losungen der Ausgangsgleichung.


Aufgabe 4.7 Berechnen Sie die Losungen der Gleichung

2x+ 1

x− 3+

3x− 5

x+ 3=

2x2 + 2x+ 18

x2 − 9.

Tipp: Der Hauptnenner ist (x+ 3)(x− 3) = x2 − 9 und hat nur Grad 2!


3

x− 1− 2

x− 3= − 2x+ 1

x2 − 4x+ 3.

Tipp: Der Hauptnenner ist (x− 3)(x− 1) = x2 − 4x+ 3 und hat nur Grad 2!


2x+ 3

x− 1+

4x+ 5

x+ 1=

6x2 + 6x− 2

x2 − 1.

Tipp: Welche Punkte sind keine Losung?


Kapitel 5

Differentialrechnung

Die Ableitung f ′(x) einer Funktion f(x) gibt die Anderung der Funktion f am Punkt x an:

• Ist f ′(x) positiv, so wachst f bei x.

• Ist f ′(x) negativ so fallt f bei x.

Die Ableitung gibt also die Anderungsrate der Funktion an. Wir kennen einige solche Ande-rungsraten (also Ableitungen!) aus dem Alltag:

• Die Inflationsrate entspricht der Anderung der Preise der Waren, die wir kaufen.

• Die Geschwindigkeit eines Autos entspricht der Große der Anderung des Ortes desAutos: Große Geschwindikeit heißt hier “viel Ortsanderung pro Zeiteinheit”.

• Die Beschleunigung des Wagens ist die Anderung der Geschwindigkeit des Wagens(große Beschleunigung heißt: Der Wagen wird “schnell” schneller), dies ist also eineAbleitung einer Ableitung.

Im Herbst 1972 verwendete Richard Nixon -zu dem Zeitpunkt der Prasident der USA – alserster US-Prasident die dritte Ableitung in einer offentlichen Rede:

“Die Rate mit der die Inflation wachst, hat sich verringert.”

[Notices of the American Mathematical Society, Vol. 43, No. 10, Oct. 1996.]

Das Ableiten von Funktionen zusammen mit der Nullstellenbestimmung ist ein wichtigesHilfsmittel bei der Suche von Maxima und Minima einer Funktion.Wichtige Wirtschaftliche Großen lassen sich als Funktion beschreiben, die Suche nach einemMaximum entspricht dann oft der Suche nach einer Kostengunstigen Vorgehensweise.

5.1 Vom Differenzenquotienten zur Ableitung

Die “Steigung” gibt (außerhalb der Mathematik) an, wie steil ein Berg ist. Die Steigung einesBerges kann man angeben, indem man mitteilt, wieviel Meter Hohe man gewinnt – relativzur waagerechten Distanz. Die Steigung ist also “gewonnene Hohenmeter H” geteilt durchdie “waagerechte Lange B” der horizontal zuruckgelegten Strecke. Je mehr Hohe man prowaagerechten Schritt gewinnt, umso steiler ist der Berg.

41

42 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG

Ganz analog lasst sich die Steigung einer Geraden aus dem Graphen der Funktion ablesen:Man zeichnet ein Steigungsdreieck ein und teilt den Hohengewinn H durch die Breite B(s. Abb. 5.1a). Wie aber berechnet man die Steigung einer Funktion, deren Graph nichtschnurgerade ist? Bei einem gekrummten Graphen ist es nicht mehr so leicht zu sagen, wiesteil der Graph an einem bestimmten Punkt ist. Es ist aber leicht moglich, die Steigung grobzu schatzen.

Um die Steigung in einem Punkt a zu schatzen, startet man in

H HB Bflach

steil

Steigung: HoheBreite

a, nimmt einen beliebigen anderen Punkt x und berechnet umwieviel der Graph zwischen a und x ansteigt (s. Abb. 5.1a).

xa

f(x)

f(a)

H=

f(x)−

f(a)

B=x−a

sSt

eigu

ng:HB

=

f(x)

−f(a)

x−a

Steigung:

f(x1

)−f(

a)

x1−a

f(x2

)−f(

a)

x2−a

f(x3

)−f(a)

x3−a

f(x4)−f(a)

x4−a

f′(a)

x1x2x2x3x3x3a

Abb. 5.1a: Der Differenzenquotient f(x)−f(a)x−a

Abb. 5.1b: f ′(a) ist der Grenzwert von f(x)−f(a)x−a

Abbildung 5.1: Die Steigung als Grenzwert des Differenzenquotienten

Betrachten wir die Verbindungsstrecke s zwischen den Punkten (a, f(a)) und (x, f(x)) inAbbildung 5.1a. Die Steigung von s kann man als grobe Naherung der Steigung von f ander Stelle a nehmen. Die Steigung von s laßt sich zudem einfach ermitteln: Der Graph vons steigt auf einer Strecke der Lange B = x− a um H = f(x)− f(a) Einheiten an (s. Abb5.1a). Die Steigung von s errechnet man also wie folgt

f(x)− f(a)x− a

(Differenzenquotient).

Der Differtenzenquotient D(x) := f(x)−f(a)x−a gibt fur jeden Punkt x = a eine Naherung

der Steigung von f im Punkt a. Die Naherung D(x) ist umso besser, je dichter x an aheranruckt (s. Abbildung 5.1b). Man konnte also annehmen, dass die Steigung von f imPunkt a ganz einfach “D(a)” ist. Leider ist D(x) fur x = a aber nicht definiert: Setzte

man x = a, so erhielte man D(a) = f(a)−f(a)a−a = 0

0 , dies ist ein nicht definierter Ausdruck!

Differenzenquotient

5.2. BERECHNEN VON ABLEITUNGEN 43

Um letztendlich die Steigung von f im Punkt a zu bestimmen, wollen wir also wissen, wasmit D(x) passiert, wenn x beliebig dicht an a heranruckt, ohne dass jedoch x = a gilt.

Dies nennt man “den Grenzwert bilden”, gesucht ist limx→a

f(x)−f(a)x−a . Falls dieser Grenzwert

existiert (s. [Kem98]), setzen wir

f ′(a) := limx→a

f(x)− f(a)x− a

.

Der Ausdruck fur f ′(a) bedeutet nicht, dass man in D(x) fur x einfach den Wert a einsetzt.Man setzt viel mehr Zahlen xi inD ein, die gegen a streben, und schließt aus dem Verhaltenvon D(xi), wohin D(xi) strebt (s. Abbildung 5.1b).

Steigung als Grenzwert

Details zum Thema Grenzwerte wurden den Rahmen dieses Skriptes sprengen, interessierteLeser konnen sich unter [Kem98] informieren.

Beispiel

Gesucht ist die Ableitung der Funktion f(x) := x2 im Punkt a. Der Differenzenquotientlautet

f(x)− f(a)x− a

=x2 − a2

x− a=

(x+ a)(x− a)x− a

= (x+ a).

und wir erhalten

f ′(a) = limx→a

(f(x)− f(a)

x− a

)= lim

x→a(x+ a) = 2a.

Ganz generell gilt also: f ′(x) = 2x.

Der Trick beim Ermitteln der Ableitung ist also erst umzuformen und dann den Grenzwertzu bilden. Mittels Differenzenquotient wurden die im nachfolgenden Abschnitt genanntenAbleitungen ausgerechnet. Um eine gegebene Funktion jedoch tatsachlich abzuleiten, bedientman sich einfacher Rechenregeln, die wir nun vorstellen.

5.2 Berechnen von Ableitungen

Um eine Funktion abzuleiten, muss man nicht unbedingt Grenzwerte von Differenzenquo-tienten ausrechenen: Die meisten Funktionen sind letztlich nur aus kleineren Untereinheitenzusammengesetzt, etwa das Produkt oder die Summe zweier Funktionen.

Um also eine Funktion abzuleiten, muss man 5 Grundableitungen auswendig wissen, und 3Ableitungsregeln kennen, die aussagen, wie man mit Summen, Produkten und der Verkettungvon Funktionen umgeht. Aus dieser Kombination von “Vokabeln” und “Grammatik” lassensich dann (fast) alle Funktionen erzeugen.

(xn)′= n · xn−1 fur alle n = 0 ln(x)′ = x−1

(ex)′=ex cos(x)′=− sin(x) sin(x)′= cos(x)

Grundableitungen


(f(x) + g(x))′=f ′(x) + g′(x) (Linearitat)

(c · f(x))′ =c · f ′(x) fur Konstanten c ∈ R

(f(x) · g(x))′ =f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) (Produktregel)(f(x)g(x)

)′= f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)

(g(x))2(Quotientenregel)

f (g(x))′ =f ′ (g(x)) · g′(x) (Kettenregel)

Kombinationsregeln

Die Regeln und Grundableitungen sollten Sie auswendig lernen!

Bevor wir uns den Grundableitungen und Rechenregeln im Einzelnen widmen, beachtenSie folgendes: Die rechten Seiten aller drei Regeln lassen sich berechnen, indem man eineAbleitung nach der anderen berechnet! Beim Ableiten geht es also immer “Schritt fur Schritt”.

5.2.1 Die Grundableitungen

Fur eine feste Zahl n ∈ R ist f ′(x) = n · xn−1 die Ableitung von f(x) = xn. Dabei mussn ∈ R nicht unbedingt eine naturliche Zahl sein:

n f(x) =xn f ′(x) = n·xn−1

0 1 = x0 0·x−1 = 0

1 x = x1 1·x0 = 12 x2 2·x1 = 2x3 x3 3·x2

−1 1x = x−1 (−1)·x−2 = − 1

x2

12

√x = x

12

12 ·x

− 12 = 1

2√x

- 121√x= x−

12 −1

2 ·x− 3

2 = − 12(

√x)3

Die einzige Potenz von x die auf diese Weise nicht entstehen kann ist 1x = x−1. Ware 1/x die

Ableitung einer Funktion der Form f(x) = xn, so musste diese den Exponenten n = −1 + 1haben. Die zugehorige Stammfunktion musste also f(x) = x0 lauten, die Ableitung von dieserFunktion ist jedoch f ′(x) = 0.

Entsprechend ist 1/x die Ableitung einer Funktion die nicht die Form xn hat, namlich ln(x).Dies wird beim Integrieren - der Umkehr des Ableitens - wichtig.

5.2.2 Kettenregel

Die Kettenregel erleichtert das Ableiten von verschachtelten Funktionen. Um die Kettenregelf (g(x))′=f ′ (g(x)) · g′(x) anzuwenden, muss man zuerst die innere Funktion g(x) und die

5.3. KURVENDISKUSSION 45

außere Funktion f(x) finden. Dies ist nicht immer ganz einfach, manchmal ist wegen Verein-fachungsregeln die außere Funktion versteckt. Um die außere Funktion sichtbar zu machen,sucht man nach ihrem Klammernpaar - und fugt es gegebenenfalls selber ein.

Beispiel 5.1 Gesucht ist die Ableitung von F (x) = cos(x2). Hier ist die außere Funktioncos(x) in die fur x die innere Funktion x2 eingesetzt wurde. Um die Ableitung von F zuberechnen

• leitet man zunachst cos(x) ab und erhalt − sin(x).

• dann ersetzt man x durch die innere Funktion x2 und erhalt − sin(x2).

• dann multipliziert man mit 2x, der Ableitung der inneren Funktion,und erhalt: − sin

(x2)· 2x.

Die Ableitung lautet also F ′(x) = − sin(x2)· 2x.

Beispiel 5.2 Gesucht ist die Ableitung von F (x) = e4x. Hier ist die außere Funktion ex indie fur x die innere Funktion 4x eingesetzt wurde. Die Ableitung lautet also F ′(x) = e(4x) ·4.

Achtung: Ein typischer Fluchtigkeitsfehler ist, x4 mit e4x bezuglich der Ableitungsregel zuverwechseln: Die Ableitung von e4x ist 4e4x aufgrund der Kettenregel. Die Ableitung lautetnicht 4e3x - wie es analog bei (x4)′ = 4x3 der Fall ist!

Beispiel 5.3 Gesucht ist die Ableitung von F (x) = sin2(x). Hier ist die außere Funktion“unsichtbar”, weil man ihre Klammern weggelassen hat. Leichter wird es wenn man F (x) so

schreibt: (sin(x))2hier ist also f(x) = (x)2 die außere Funktion und g(x) = sin(x) die innere.

Die Ableitung lautet also F ′(x) = 2 (sin(x)) · cos(x).

Kompakt mit Klammern außere Fkt innere Fkt Ableitung

f(g(x)) f(x) f ′(x) g(x) g′(x) f ′ (g(x)) · g′(x)

ln(x2) = ln(x2)

ln (x) 1(x) x2 2x 1

(x2) · 2x

sin2(x) = (sin(x))2 (x)2 (2x) sin(x) cos(x) 2 (sin(x)) · cos(x)1ex = 1

(ex)1(x) − 1

(x)2 ex ex − 1(ex)2

· ex

5.3 Kurvendiskussion

5.3.1 Die erste Ableitung

Die Ableitung einer Funktion spiegelt das Steigungsverhalten der Funktion wieder, Abbildung5.2 zeigt die Bedeutung der ersten Ableitung am Beispiel zweier Extrempunkte, einem lokalenMaximum und einem lokalen Minimum.

Ein lokales Maximum entspricht einem “Buckel” des Graphen, also einem Punkt a, an demder Funktionswert f(a) großer ist als bei den “Nachbarpunkten”. Fur eine Senke (lokalesMinimum) des Graphen gilt das genaue Gegenteil. Mathematisch definiert man “Buckel”und “Senke” wie folgt:


Steigung

>0 Steigung <

0 Steigung>0

f ′(x)

f(x)lokale Extrema:Steigung = 0

f ′(x) = 0 f ′(x) = 0

Abbildung 5.2: Bedeutung der ersten Ableitung

a ist lokales Maximum von f , wenn f(x) < f(a) fur alle x =a in einer Umgebung von a.

a ist lokales Minimum von f , wenn f(x) > f(a) fur alle x =a in einer Umgebung von a.

Die lokalen Maxima und Minima von f nennt man die Extrempunkte von f .

Vor einem lokalen Maximum a muss der Graph ansteigen [d.h. f ′(x) > 0] , nach dem Punkta muss der Graph fallen [d.h. f ′(x) < 0] (s. Abbildung 5.2). Entsprechend gelten also amlokalen Maximum zwei Dinge:

• Es gilt: f ′(a) = 0.

• Der Graph steigt vor a an, fallt danach ab: Die Steigung f ′ wird also vom Zahlenwerther immer kleiner, d.h. die Anderung von f ′ [also (f ′)′] ist an der Stelle a negativ! Esgilt also: f ′′(a) < 0.

Fur eine Senke (lokales Minimum) gilt das genaue Gegenteil: f ′′(a) > 0.

Ein Punkt a ist

• ein lokales Maximum von f falls f ′(a) = 0 und f ′′(a) < 0 gilt.

• ein lokales Minimum von f falls f ′(a) = 0 und f ′′(a) > 0 gilt.

Achtung: Wenn sowohl f ′(a) = 0 und f ′′(x) = 0 gelten, ist der Punkt a moglicherweiseweder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum.Um in diesem Fall herauszufinden, wie f sich im Punkt a verhalt, mussen dann weitereAbleitungen von f betrachtet werden. Fur eine vollstandige Betrachtung aller moglichenFalle verweisen wir auf [CR00].

5.4. AUFGABEN 47

5.3.2 Die zweite Ableitung

Die zweite Ableitung einer Funktion f spiegelt die Krummung des Graphen von f wieder:

f′′(x)<0

f′′(x)=0

f′′(x)>0

Graph unterhalb der Tangente. Graph kreuzt die Tangente. Graph oberhalb der Tangente.

Abbildung 5.3: Bedeutung der zweiten Ableitung

Gilt f ′′(a) < 0, so sinkt die Steigung f ′(x) um a. Also ist ist der Graph bei x-Werten mitx < a steiler als bei a, und bei x-Werten mit a < x flacher als bei a (s. Abbildung 5.3 links).Dies bedeutet, dass der Graph unter der Tangente in a “durchtaucht”.Das Gegenteil gilt fur Punkte, an denen f ′′(a) > 0 gilt, hier verlauft der Graph oberhalb derzugehorigen Tangente.

Wendepunkte und die Krummung eines Graphen

Stellen Sie sich den Graphen einer Funktion als eine Straße von oben gesehen vor (s. Abbil-dung 5.3). Lasst man in Gedanken ein Fahrzeug auf dem Graphen von f(x) fahren, und zwarvon kleinen x-Werten in Richtung großerer x-Werte, so fahrt das Fahrzeug am Punkt a

• eine (leichte) Rechtskurve, wenn f ′′(a) < 0 gilt.

• eine (leichte) Linkskurve, wenn f ′′(a) > 0 gilt,

Die Große von f ′′(x) beschreibt wie eng diese Kurve bei x ist, deswegen nennt man f ′′(x)die Krummung von des Graphen f .Dort wo die zweite Ableitung verschwindet, andert sich die Kurvenrichtung unseres Fahrzeu-ges. Entsprechend nennt man Punkte, an denen f ′′(x) = 0 gilt Wendepunkte der Funktion.

5.4 Aufgaben

Ableiten

Aufgabe 5.1 Berechnen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen mittels Pro-duktregel:

a) (x+ 1)(x− 2) b) x ln(x)− x c) xex − exd) cos2(x) e) sin2(x)


Aufgabe 5.2 Berechnen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen mittels Ketten-regel:

a) (x2 + 1)3 b) e(x3) c) cos(x2 − 2x)

d) cos(1/x) e) 11+e−x

Aufgabe 5.3 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden rationalen Funktionen:

a) (x+1)x2+1 b) ex+1

ex c) cos(2x)x2+1

d) tan(x) = sin(x)cos(x) e) cot(x) = cos(x)

sin(x)

Kurvendiskussion

Aufgabe 5.4 Berechnen und untersuchen Sie alle lokalen Extrema und Wendepunkte derFunktion

f : R → Rx 7→ 2x3 − 3x2 + 6

Aufgabe 5.5 Berechnen und untersuchen Sie alle lokalen Extrema der Funktion

f : [−2,∞) → Rx 7→ x

(x+2)2

Zusatzfrage: Welches ist der großtmogliche Funktionswert der Funktion f auf dem intervall[−2,∞)?Tipp: Bei der ersten und zweiten Ableitung Potenzen von (x + 2) kurzen, bevor man denneuen Zahler ausmultipliziert!

Zusatzaufgaben

Aufgabe 5.6 Wie lautet die n-te Ableitung von

a) ex b) e2x c) xn d) xn−1 e) cos(x)

Aufgabe 5.7 Sie habene eine Pappflache von 6m2 zur Verfugung und sollen daraus einengeschlossenen Karton (also mit Deckel) mit quadratischer Grundflache herstellen. Der Kartonsoll einen moglichst großen Inhalt haben.Nehmen Sie (idealisierend) an, dass der Kartonverbrauch genau der Flache des Kartonsentspricht (kein Verschnitt, keine Klebekanten etc.).

a) Wie berechnen Sie das Volumen und die Flache aus Breite und Hohe des Kartons?

b) Wie berechnet man die Hohe aus der Breite, wenn die Flache konstant 6 bleiben soll?

c) Wie breit und wie hoch ist der optimale Karton?

Tipp: Nutzen Sie ihr wissen aus Aufgabe b) in der Volumenformel in c).


Kapitel 6

Die Taylorreihe einer Funktion

Dieser Abschnitt beschaftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedab-schatzung fur Taylorpolynome.

Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist eine spezielle Potenzreihe, die sich recht leicht ausden Ableitungen der Funktion berechnen lasst. Unter bestimmten Voraussetzungen ist dieberechnete Taylorreihe identisch mit der gegebenen Funktion. Dies macht Taylorreihen zueinem außerst wichtigen mathematischen Hilfsmittel im Umgang mit Funktionen, sie sindsowohl beim Modellieren von Problemen als auch beim Losen von Gleichungen außerst Hilf-reich.

Taylorpolynome, die “endliche Version” und quasi der “kleine Bruder” der Taylorreihe, wer-den haufig als Approximation fur Funktionen benutzt: Wenn das Rechnen mit der tatsachli-chen Funktion nicht oder nur schwer moglich ist, bietet ein Taylorpolynom eine leicht hand-habbare Approximation der Funktion – mit einer Gutegarantie.

6.1 Voraussetzungen

Im folgenden benotigen wir die folgenden Namenskonventionen:

Fur ganze Zahlen n ∈ N ist die Fakultat n! das Produkt aller ganzen Zahlen bis zu n:

n! := 1 · 2 · 3 · 4 · · · (n− 1) · n4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

Als besondere Definition setzt man:0! := 1

Ein Monom hat die Form a · xk.Hierbei ist• x die Variable• k ∈ N der ganzzahlige Exponent• a ∈ R der reelle Koeffizient

Null als Exponent:Fur alle reellen Zahlen x ∈ R gilt x0 = 1 (wieso dies so ist: s. Seite 19)

49

50 KAPITEL 6. DIE TAYLORREIHE EINER FUNKTION

6.1.1 Potenzreihen

Potenzreihen sind zum einen Funktionen, d.h. zu einer Variable x wird ein Funktionswerterrechnet. Gleichzeitig ist jede Potenzreihe eine Reihe, also die Summe unendlich vieler Sum-manden, namich die Summe unendlich vieler Monome anx

n.Entsprechend ist beim Umgang mit Potenzreihen Vorsicht geboten: Nicht immer ergibt sichbeim Einsetzen von Werten fur x ein sinnvoller Wert (s. Beispiel 6.2).

Die allgemeine Form einer Potenzreihe lautet

f(x) =

∞∑k=0

ak(x−m)k = a0 + a1(x−m)1 + a2(x−m)2 + a3(x−m)3 + . . .

• Hier ist “x” die Variable, fur die spezielle Werte eingesetzt werden konnen.

• Die Zahl “m” nennt man den Mittelpunkt der Potenzreihe.

• Die reellen Zahlen a0, a1, a2, a3, . . . heißen die Koeffizienten der Potenzreihe f .

Beispiel 6.1 Die Reihe

∞∑k=0

1

k!xk︸︷︷︸

Summen-Schreibweise

=1

0!+

1

1!x1 +

1

2!x2 +

1

3!x3 + · · ·︸︷︷︸

Punktchen-Schreibweise

nennt man die Eulersche Funktion oder auch e-Funktion, abgekurzt ex.

• Hier ist der Mittelpunkt m = 0 und

• die allgemeine Formel fur die Koeffizenten lautet ak = 1k! .

6.1.2 Einsetzen von Zahlen in Potenzreihen

Das Auswerten einer Potenzreihe f(x) muss nicht immer “gut gehen”: Es kann Werte fur xgeben, fur die f(x) beliebig groß wird:

Beispiel 6.2 Die Reihe

∞∑k=0

1 · xk = 1 + x1 + x2 + x3 + · · ·

kann fur x = 1 keinen endlichen Wert annehmen, weil eine Summe von unendlich vielenEinsen großer sein muß als jede bekannte Zahl. Man sagt entsprechend “diese Potenzreihedivergiert am Punkt x = 1”. Setzt man jedoch 1

2 fur x ein, so ergibt sich der Wert 2:∑∞k=0 1 · (1)k = 1+ 11 + 12 + 13 +· · · =∞∑∞k=0 1 · (

12 )

k = 1+(12

)1+(12

)2+(12

)3+· · · = 2

Fur weitergehende Informationen uber das Konvergenzverhalten von Reihen, insbesondereuber den sogenannten Konvergenzradius, empfehlen wir einen Blick in die entsprechendeLiteratur.

6.2. DIE TAYLORREIHE EINER FUNKTION 51

6.2 Die Taylorreihe einer Funktion

Die Taylorreihe einer Funktion f ist eine spezielle Potenzreihe, die sich recht leicht aus denAbleitungen von f berechnen lasst. Die Taylorreihe stimmt unter bestimmten Umstanden(!)rund um den Entwicklungspunkt mit der gegebenen Funktion uberein.Entsprechend benutzt man die Taylorreihe (bzw. das Taylorpolynom) einer Funktion haufigin komplexeren Rechnungen, weil sich mit ihr haufig leichter rechnen lasst als mit der eigent-lichen Funktion selbst. Ein Taschenrechner verwendet beispielsweise zum Berechnen (d.h.eigentlich: zum Annahern) von Wurzelausdrucken ein Taylorpolynom der Funktion

√(x).

Der anstrengende und fehleranfallige Teil der Berechnung einer Taylorreihe ist das Bilden derzahlreichen benotigten Ableitungen. Hierzu verwendet man heute meistens spezielle Software.

6.2.1 Die allgemeine Form der Taylorreihe:

In der nachfolgenden Definition ist f (k)(m) die k-te Ableitung von f an der Stelle m, bei-spielsweise gelten f (0)(m) = f(m), f (1)(m) = f ′(m), f (2)(m) = f ′′(m) etc.

Definition 6.1 Sei f : R → R eine am Punkt m ∈ R unendlich oft differenzierbareFunktion, dann heißt

Tmf(x) :=∞∑k=0

f (k)(m) · (x−m)k

k!

die Taylorreihe der Funktion f am Entwicklungspunkt m.

Beispiel 6.3 Um die Taylorreihe von f(x) := ex am Entwicklungspunkt m = 0 zu berech-nen, benotigen wir zunachst alle Ableitungen an diesem Punkt.

f(x) = ex, f ′(x) = ex, f ′′(x) = ex, f (3)(x) = ex, . . .f(0) = e0 = 1︸︷︷︸

s.Abschnitt2.2

, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 1, f (3)(0) = 1, . . .

Entsprechend ergibt sich die Taylorreihe wie folgt:

T0f(x) :=∑∞

k=0 f(k)(0) · (x−0)k

k!

=∑∞

i=0 1 ·(x)k

k! = 1 + (x)1

1! + (x)2

2! + (x)3

3! + · · ·

6.2.2 Eigenschaften der Taylorreihe

Die Taylorreihe muss nicht fur jeden Wert von x konvergieren. Wenn die Taylorreihe jedochin einem Intervall konvergiert, so ist sie auf dem Intervall identisch mit der Ausgangsfunktion:

Satz 1 Sei g(x) :=∑∞

k=0 f(k)(0)x

k

k! die Taylorreihe von f am Entwicklungspunkt m = 0.Falls g(x) fur alle x in einem Intervall [−a, a] um die 0 konvergiert, gilt:

g(x) = f(x) fur alle x ∈ (−a, a).

Diese Eigenschaft der Taylorreihe T0f ruhrt daher, dass die Taylorreihe am Punkt Nulldie selben Ableitungswerte besitzt wie f . Wir verdeutlichen dies mit einem Blick auf den

Baustein: xk

k! .


Der Baustein xk

k!

Der Baustein xk

k! , ein normiertes Monom, hat fur k = 0 zwei bemerkenswerte Eigenschaften:

1) Zum einen hat der k-te Baustein als Ableitung stets den (k− 1)-ten Baustein, hier einmalam Beispiel demonstriert:(

x4

4!

)′

=

( 4 · x2

4 · 3 · 2 · 1

)=

(x3

3!

) (x3

3!

)′

=

( 3 · x2

3 · 2 · 1

)=

(x2

2!

). . .

2) Zum anderen ergibt sich fur fast alle Bausteine der Wert 0, wenn man x = 0 setzt, mit

Ausnahme von x0

0! = 1.

Baustein x0

0!x1

1!x2

2!x3

3! . . .

Wert bei x = 0 1 0 0 0 . . .

Ableitung

Ableitung

Ableitung

Mit diesen Eigenschaften ergibt sich die folgende Eigenschaft der Taylorreihe:

Korollar 2 Sei g(x) :=∑∞

k=0 f(k)(0)x

k

k! die Taylorreihe am Entwicklungspunkt m = 0. Fallsg(x) fur alle x in einem Intervall [−a, a] um die 0 konvergiert, gilt:

g(k)(0) = f (k)(0) fur alle k = 0, 1, 2, 3 . . .

Mit anderen Worten: Die Funktion g hat an der Stelle x = 0 die selben Ableitungen wie f .Dies wird deutlich, wenn man die Ableitungen der Taylorreihe g(x) berechnet und x = 0einsetzt.

Die folgende Tabelle verdeutlicht, wie die beiden zentralen Eigenschaften der xk

k! -Bausteinedie Ableitung der Taylorreihe bestimmen:

Die Ableitungen der Taylorreihe

g(x) = f(0)· 1 +f ′(0) · x1

1! +f ′′(0) · x2

2! +f ′′′(0) · x3

3! + · · ·

g′(x) = f(0)· 0 +f ′(0) · 1 +f ′′(0) · x1

1! +f ′′′(0) · x2

2! + · · ·

g′′(x) = f(0)· 0 +f ′(0) · 0 +f ′′(0) · 1 +f ′′′(0) · x1

1! + · · ·...

. . .

Einsetzen des Entwicklungspunktes x = 0

g(0) = f(0)· 1 +f ′(0) · 0 +f ′′(0) · 0 +f ′′′(0) · 0 + · · ·

g′(0) = f(0)· 0 +f ′(0) · 1 +f ′′(0) · 0 +f ′′′(0) · 0 + · · ·

g′′(0) = f(0)· 0 +f ′(0) · 0 +f ′′(0) · 1 +f ′′′(0) · 0 + · · ·...

. . .

+Ableitung

+Ableitung

6.3. DAS TAYLORPOLYNOM ALS APPROXIMATION EINER FUNKTION 53

6.3 Das Taylorpolynom als Approximation einer Funk-tion

6.3.1 Die allgemeine Form des Taylorpolynoms:

Definition 6.2 Sei f : R → R eine am Punkt m ∈ R n-mal differenzierbare Funktion,dann heißt

Tnmf(x) :=

∑nk=0 f

(k)(m) · (x−m)k

k!

= f(m) + f (1)(m) (x−m)1

1! + f (2)(m) (x−m)2

2! + · · ·+ f (n)(m) (x−m)n

n!

das Taylorpolynom vom Grad n der Funktion f am Entwicklungspunkt m.

Das Taylorpolynom vom Grad n ist eine “endliche Version” der Taylorreihe. Dies hat denentscheidenden Vorteil, dass das Taylorpolynom –als endliche Summe– fur alle Werte von xeinen endlichen Wert ergibt.

Die Taylorreihe ist -auf dem Konvergenzintervall- identisch mit der ursprunglichen Funktion(s. Satz 1). Im Gegensatz dazu ist das Taylorpolynom allerdings “nur noch” eine Approximati-on der ursprunglichen Funktion. Je hoher der Grad des Taylorpolynoms, um so besser stimmtdas Taylorpolynom rund um den Entwicklungspunkt mit der gegebenen Funktion uberein.Dies sieht man zum Beispiel in Abbildung 6.1, dort werden die ersten vier Taylorpolynomeder Eulerfunktion ex mit der Funktion selbst verglichen.

ex 1 + x+ x2

2 + x3

6

1 + x+ x2

2

1 + x

1

Abbildung 6.1: Die ersten vier Taylorpolynome der Eulerfunktion ex.

Beispiel 6.4 (Anwendungsbeispiel) Will man den Wert der Eulerzahl e naherungsweiseberechnen, so kann man das Taylorpolynom der Funktion ex an der Stelle m = 0 entwickelnund den wert x = 1 einsetzen. Wir tun dies mittels des Taylorpolynoms vom Grad 3:


T 30 f(x) = 1 +x1

1! +x2

2! +x3

3!

= 1 + x +x2

2 +x3

6

T 30 f(1) = 1 + 1 + 1

2 + 16 = 8

3 = 2, 6

6.3.2 Restgliedabschatzung

Wie genau ist die Approximation von e aus Beispiel 6.4? Die Eulerzahl hat ungefahr denWert 2, 71828, den Fehler zum berechneten Wert 2, 6 kann man jedoch auch ohne dies zuwissen mit dem Satz von Taylor abschatzen:

Satz 3 (Satz von Taylor) Die Funktion f : R → R sei auf dem abgeschlossenen Intervall[0, x] n-mal stetig differenzierbar und die Ableitung f (n+1)(x) sei auf dem offenen Intervall(0, x) definiert.

Dann gibt es eine Zahl ξ ∈ (0, x) so dass gilt:

f(x) = f(0) + f (1)(0)x1

1!+ f (2)(0)

x2

2!+ · · ·+ f (n)(0)

xn

n!︸︷︷︸das Taylorpolynom vom Grad n

+f (n+1)(ξ)xn

n!︸︷︷︸Fehlerterm

(6.1)

Definition 6.3 Der Term f (n+1)(ξ) xn

n! in Gleichung (6.1) heißt Lagrangesches Restglied1.

Wenn man die Große des Lagrangeschen abschatzen kann, so kann man uber das Umstellender Gleichung (6.1) den Fehler abschatzen, den man macht, wenn man statt f(x) den Wertdes Taylorpolynoms Tn

0 (x) berechnet:

Beispiel 6.5 (Fortsetzung Anwendungsbeispiel 6.4) In Beispiel 6.4 wird der Wert derEulerzahl e naherungsweise berechnet:

T 30 f(1) = 1 +1 + 1

2 +16 = 8

3 = 2, 6

Nach Satz 6.1 gibt es nun ein ξ ∈ (0, 1) so dass gilt:

f(1)− T 30 f(1) = f (4)(ξ)

1

4!=eξ

4!

Mit dem zusatzlichen Wissen, dass e ≤ 3 gilt, und dass eξ ≤ 1 gilt folgt:

f(1)− T 30 f(1) =

eξ

4!≤ 3

4 · 3 · 2 · 1=

1

8

Mit dieser Rechnung konnen wir zeigen, dass der errechnete Wert 2, 6 hochstens um 1/8 =0, 125 kleiner ist als die Eulerzahl e.

Dies ist naturlich nur eine obere Schranke mit gehoriger “Sicherheitsreserve”, der tatsachlicheFehler ist deutlich kleiner. Zum Vergleich: Der tatsachliche Fehler liegt etwa bei 2, 71828 −2, 6 ∼ 0.051615161 .

1 Es gibt noch weitere mogliche Formen fur das Restglied, die hier nicht erwahnt werden.

6.4. AUFGABEN 55

6.4 Aufgaben

Nahern Sie den Wert von√2 an.

1. Berechnen Sie dazu zunachst das Taylorpolynom vom Grad 3 an der Stelle m = 0 furdie Funktion f(x) :=

√x+ 1, unter Verwendung der folgenden Ableitungen:

f(x) =√x+ 1 f(0) =

√1 = 1

f ′(x) = 12√x+1

f ′(0) = 12√1

= 12

f ′′(x) =− 1

4√

(x+1)3f ′′(0) = − 1

4√1

= −14

f ′′′(x) = 3

8√

(x+1)5f ′′′(0) = 3

8√1

= 38

2. Setzen Sie in das Taylorpolynom von Taylorpolynom den Wert x = 1 ein.

3. Schatzen Sie den gemachten Fehler, in dem Sie den Betrag(!) des Lagrangeschen Rest-glieds abschatzen. Verwenden Sie hierzu die Ableitung

f (4)(ξ) =− 15

16√

(ξ+1)7

Zusammen mit der Eigenschaft, dass fur alle ξ ∈ (0, 1) gilt: 1√(ξ+1)7

≤ 1 .

Kapitel 7

Integralrechnung

Das Integrieren einer Funktion kann man auf drei verschiedene Arten betrachten:

• Das Integrieren einer Funktion f(x) entspricht dem Auffinden einer Funktion F (x),deren Ableitung f(x) ist, d.h. es gilt F ′(x) = f(x). Eine solche Funktion F nennt manStammfunktion von f . Als Formel ausgedruckt schreibt man F (x) =

∫f(x)dx. Damit

beschaftigt sich Abschnitt 7.1.

• Der Prozess des Integrierens einer Funktion ist interessanterweise gleichzeitig eine Flachen-

berechnung: Der Wert∫ b

af(x)dx := F (b)−F (a) gibt die Flache zwischen dem Graphen

von f(x) und der x-Achse an (Dabei werden die Flachenanteile unterhalb der x-Achseabgezogen.). Damit beschaftigt sich Abschnitt 7.2.

• Dass ein Integral eine Flache misst, liegt daran, dass ein Integral letztendlich als einenGrenzwert definiert ist, der aus einer Flachenberechnung hervorgeht. Ein Integral istalso letztlich ein Grenzwert, und dies ist von Bedeutung wenn man beispielsweise Funk-tionen in mehreren Variabel integirert. Dieses Skript wird hierauf nicht eingehen, wirbitten den interessierten Leser sich in [Kem98] (S. 345 ff.) uber die Eigenschaften desIntegrals als Grenzwert zu informieren.

Im Folgenden beschaftigen wir uns ausschließlich mit dem Losen von Integralen, dabei giltes, unbestimmte und bestimmte Integrale zu berechenen:

Man nennt

∫fdx(x)dx ein unbestimmtes Integral.∫ b

af(x)dx ein bestimmtes Integral.

7.1 Unbestimmte Integrale

7.1.1 Die Konstante

Ein unbestimmtes Integral∫f(x)dx entspricht der Suche nach einer Funktion F , deren Ab-

leitung f(x) ist. Jede Funktion hat jedoch viele Stammfunktionen, die sich nur um eineKonstante unterscheiden:

57

58 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG

Zum Beispiel gelten(x2)′

= 2x und(x2 + 10

)′= 2x. Also sind sowohl x2 als auch x2 + 10

mogliche Stammfunktionen von 2x. Diesem Umstand tragt man Rechnung, indem man derStammfunktion eine Konstante anhangt, meistens c genannt:∫

2xdx = x2+c

Das +c soll daran erinnern, dass man bei der Wahl der Stammfunktion einen Freiheitsgradhat. Man kann namlich – je nach Kontext – die passende Konstante c wahlen.

7.1.2 Die Losungsregeln

Zum Berechnen von Integralen zerlegt man komplexere Funktionen in kleinere Unterfunk-tionen, die sich integrieren lassen. Ziel ist es also, lange Funktionsausdrucke mit einer der 4Integrationsregeln auf eine der einfachen, losbaren 5 Grundintegrale zu reduzieren:

5 Grundintegrale∫cos(x)dx = sin(x)+c

∫(xn)dx = 1

n+1

(xn+1

)+c fur alle n = −1∫

sin(x)dx = − cos(x)+c∫

1xdx = ln(x)+c∫

exdx = ex+c

Im Folgenden ist F (x) eine Stammfunktion von f(x), es gilt also∫f(x)dx = F (x)+c.

4 Integrationsregeln∫af(x)dx = a

∫f(x)dx (Konstanten)∫

f(x) + g(x)dx =∫f(x)dx+

∫g(x)dx+c (Linearitat)∫

f ( g(x) ) · g′(x) dx = F ( g(x) )+c (einfache Substitution)∫f(x) · g(x)dx = F (x)g(x) −

∫F (x)g′(x)dx (Partielle Intergation)

7.1.3 Die Grundintegrale

Die Funktionen der Form xα mit α ∈ R, α = −1 sind nicht immer leicht als solche zuerkennen:

α = 12

1n −2 −n

xα =√x n√x 1

x21xn

Es gilt also zum Beispiel∫ √xdx =

∫x1/2dx =

1

(1 + 1/2)x(1+1/2)+c =

1

(3/2)x3/2+c =

2

3x3/2+c.

Unter den Funktionen der Form xα mit α ∈ R nimmt x−1 eine Sonderrolle ein:∫

1xdx =

ln(x)+c. Die Regel∫xαdx = 1

α+1xα+1+c kann nicht fur α = −1 gelten, weil sonst im Nenner

der Stammfunktion Null stunde: α + 1 = −1 + 1 = 0. Entsprechend ist die Stammfunktionvon x−1 eine besondere Funktion, namlich ln(x).

7.1. UNBESTIMMTE INTEGRALE 59

7.1.4 Einfache Substitution

Einfache Substitution: Suche den Malpunkt vor g′!

• Es tauchen eine Funktion g und ihre Ableitung g′ auf.

• Die Ableitung g′ steht “pur” und unverandert da.

• Vor g′ steht ein Malpunkt.

Die Substitutionsregel∫f ( g(x) ) · g′(x) dx = F ( g(x) )+c (einfache Substitution)

ist die Umkehrung der Kettenregel beim Ableiten: Fur zwei Funktionen F und g gilt

F (g(x))′ = F ′ ( g(x) ) · g′(x).

Wenn man also einen Ausdruck der Form f ( g(x) ) · g′(x) vorfindet, so genugt es die außereFunktion f zu integrieren, also F (x) =

∫f(x)dx zu losen, und in das Ergebnis g(x) einzu-

setzen: F (g(x)).

Beispiel 7.1 Gesucht ist∫3x2 · cos

(x3)dx. Hier gilt: Die Ableitung von g(x) := x3 ist

g′(x) = 3x2. Es gilt also3x2 · cos

(x3)= g′(x) · cos(g(x)).

Der Integrand hat die notige Form um die Substitutionsregel anzuwenden. Es genugt alsodie Stammfunktion von cos(x) zu berechnen. Aus der Tabelle der Grundintegrale entnimmtman, dass

∫cos(x)dx = sin(x)+c gilt. Mit g eingesetzt erhalt man: sin

(x3)+c. Insgesamt

ergibt sich ∫3x2 cos

(x3)dx = sin

(x3)+c.

Passe den konstanten Faktor an!

Manchmal passt fast alles, um die Substitionsregel anzuwenden – bis auf den konstantenVorfaktor der Funktion (s. Beispiel 7.2). In diesem Fall kann man durch geschicktes Einfugeneiner “1” nachhelfen:

Beispiel 7.2 Gesucht ist∫17x2 ·cos

(x3)dx. Dies entspricht – bis auf den Vorfaktor – genau

dem Beispiel 7.1. Passt man die Konstante geeignet an, so kann man die Substitionsregelverwenden. ∫

17x2 cos(x3)dx = 17

∫1

3· 3x2 cos

(x3)dx =

17

3

∫3x2 cos

(x3)dx

Finde den Malpunkt!

Es ist nicht immer einfach zu sehen dass der Integrand tatsachlich die richtige Form f ( g(x) )·g′(x) hat. Drei Anhaltspunkte helfen dabei weiter:

• Es tauchen eine Funktion g und ihre Ableitung g′ auf.

• Die Ableitung g′ steht “pur” und unverandert da.

• G und g′ sind durch einen Malpunkt getrennt.


Die Anwendungsregeln der einfachen Substitution gleichen also der Suche nach dem Term·g′(x) samt seinem Malpunkt. Der letzte Anhaltspunkt ist nicht immer leicht zu sehen undmuss manchmal kunstlich eingefugt werden:

Beispiel 7.3 Gesucht ist∫

2xx2+1dx. Hier tauchen im Integranden die Funktion g(x) := x2+1

und ihre Ableitung auf: g′(x) = 2x. Leider hat der Integrand trotzdem (noch) nicht diebenotigte Form. Fugt man den impliziten Malpunkt ein, wird aber deutlich, dass hier f(x) :=1x die außere Funktion ist:∫

2x

x2 + 1dx =

∫2x · 1

(x2 + 1)dx = ln

(x2 + 1

)+c

Beispiel 7.4 Gesucht ist∫ ln(x)

x dx. Hier hat sich g′ gut versteckt: Erst wenn man den Mal-punkt einfuhrt, sieht man im Integranden sowohl die Funktion g(x) := ln(x) als auch ihrevorher versteckte Ableitung g′(x) = 1

x :∫ln(x)

xdx =

∫ln(x) · 1

xdx

Was aber ist hier die außere Funktion f(x)? Um f zu sehen, muss man das Klammerpaar vonf sichtbar machen: Die Substitutionsregel erwartet die Klammern der Funktion f links undrechts von g(x), wenn sie nicht da sind, fugen wir sie einfach ein:

ln(x) = (ln(x)).

Die Funktion f lautet also f(x) = (x), denn setzt man g in f ein, ergibt sich: f(ln(x)) = ln(x).Die Stammfuntion von f ist

∫f(x)dx =

∫xdx = 1

2x2. Fur das Gesamtintegral ergibt sich

also: ∫ln(x)

xdx =

∫(ln(x)) · 1

xdx =

1

2(ln(x))

2+c.

7.1.5 Partielle Integration

Partielle Integration: Suche den Juniorpartner!

• Es tauchen zwei Funktionen f · g durch einen Malpunkt getrennt auf.

• Die Ableitung des Juniorpartners g′ ist einfach.

• Das Integral des Seniorpartners F :=∫fdx ist leicht berechenbar.

• Der Term F · g′ lasst sich vermutlich leichter integrieren als f · g.Das Anwenden der partiellen Integration lost das gegebene Integral nicht, es verschiebt dieIntegration jedoch auf ein - hoffentlich - einfacheres Integral:∫

f(x) · g(x)dx = F (x)g(x) −∫F (x)g′(x)dx

Die partielle Integration lohnt sich dann anzuwenden, wenn man im Integranden ein Produktf(x) · g(x) vorfindet, von denen eine der beiden Funktionen beim Ableiten verschwindet oderdeutlich einfacher wird (z.B. x, x2, ln(x)), und die andere Funktion sich leicht integrierenlasst (z.B ex, cos(x), sin(x)).Achtung: Das Minuszeichen auf der rechten Seite der partiellen Integration ladt zum Ver-rechnen durch Vorzeichenfehler ein. Setzen Sie immerKlammern, wenn sie den Term−

∫F (x)g′(x)dx

am Ende tatsachlich berechnen!

7.2. BESTIMMTE INTEGRALE 61

Beispiel 7.5 Gesucht ist∫x cos(x)dx. Hier ist leicht zu sehen, dass x eine einfache Ableitung

hat und cos(x) leicht zu integrieren ist.

x sin(x)−Klammern!x sin(x)− ↓ ↓∫

x · cos(x)dx (∗)= x · sin(x)−

∫1 · sin(x)dx = x sin(x)− (− cos(x))

= x sin(x) + (cos(x))

(∗) Nebenrechnung

↑ f(x)= cos(x) F (x) = sin(x)

←−−−

↓ g(x) =x g′(x)= 1

1 · sin(x)︸︷︷︸neuer Integrand

Hier sieht man, wie sehr sich die Nebenrechnung vorab lohnt: Man sieht nachdem man fintegriert und g abgeleitet hat sehr schnell, ob der neue Integrand wirklich einfacher ist alsder alte. Man sieht an Beispiel 7.5 auch, wie leicht sich ein Vorzeichenfehler einschleichenkann, wenn man die Losung von −

∫sin(x)dx nicht in Klammern setzt.

7.2 Bestimmte Integrale

Ein Integral mit eingesetzten Integrationsgrenzen nennt man ein “bestimmtes Integral”. IstF eine Stammfunktion von f , d.h. es gilt

∫f(x))dx = F (x)+c, dann gilt

b∫a

f(x)dx = [F (x)]ba := F (b)− F (a).

Das obige Integral liest sich: “Integral von f -von-x in den Grenzen von a bis b”. Die eckigenKlammern mit den angeschreibenen Grenzen a und b steht ingesamt fur den Term F (a) −F (b). Merkregel: “obere Grenze minus untere Grenze”. Die sonst bei Integralen auftauchendeKonstante +c kann hier weggelassen werden, sie fallt im Term

(F (b)+c)− (F (a)+c) = F (b)− F (a)+c−c = F (b)− F (a)

sowieso weg. Anschaulich berechnet∫ b

af(x)dx die Flache zwischen x-Achse und dem Graphen

der Funktion, negative Bereiche werden dabei abgezogen. Das Resultat kann also wie im

Beispiel von∫ 6

1cos(x)dx durchaus negativ werden, siehe Abbildung 7.1.

7.3 Aufgaben

Unbestimmte Integrale

Aufgabe 7.1 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale

a)∫3x2 − 1

2x+ 1dx b)∫t2 + 1dt c)

∫(x+ 2)

2dx

d)∫e(4x)dx e)

∫e(2x+1)dx f)

∫cos (3x+ 4)dx


6∫1

cos(x)dx = [sin(x)]61 = sin(6)− sin(1) ≃ −1.120886483

Flachengroßewird addiert.

Flachengroßewird abgezogen.

Abbildung 7.1: Ein “bestimmtes Intergal” berechnet die Flache unter dem GraphenAufgabe 7.2 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mit partieller Integration

a)∫x cos(x)dx b)

∫x ln(x)dx c)

∫xe2x+1dx d)

∫x2exdx

Aufgabe 7.3 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mittels einfacher Substi-tution.

a)∫3x cos(x2)dx b)

∫xe(x

2)dx c)∫

2xx2+1dx d)

∫x3e(x

4)dx

Tip: Passen Sie die Konstanten geeignet an.

Aufgabe 7.4 1) Mit welcher Methode wurden Sie die folgenden unbestimmten IntegraleLosen? 2) Berechnen Sie die Integrale e) und f), der Rest ist “freiwillig”.

a)∫5x12 − 12x2 + 1dx b)

∫xe(x)dx c)

∫1

x+1dx

d)∫(x+ 2)

36dx e)

∫ln(x)dx f)

∫x2+1x3+3xdx

Tip zu e): machen sie etwas unsichtbares sichbar.

Bestimmte Integrale

Aufgabe 7.5 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:

a)∫ 2

13x2 − 6x+ 2 dx b)

∫ 2π

0cos(x) dx c)

∫ e−1

02

x+1 dx

d)∫ 1

−1(x+ 3)3 dx e)

∫ e

1ln(x) dx f)

∫ 3

01√x+1

dx

7.3. AUFGABEN 63

Zusatzaufgabe

Aufgabe 7.6 Den Flacheninhalt F eines Kreises mit Radius 1 berechnet man mittels

F =

2π∫0

cos2(x)dx.

Berechnen Sie das Integral, indem Sie partiell integrieren, und dann sin2(x) = 1 − cos2(x)nutzen. Dann einmal geschickt die Gleichung umformen und erst dann integrieren. . .Das Ergebnis sollte eine schone Zahl sein.

Aufgabe 7.7 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mittels Partialbruchzer-legung (PZB).

a)∫

2x+1x2−x−2dx b)

∫x+1

2x2−x−1dx c)∫

1x2−16dx

Tips: a) x2 − x− 2 = (x− 2)(x+ 1) und b) 2x2 − x− 1 = (x− 1)(2x+ 1)

Das PZB-Verfahren am Beispiel von a):

0) Den Nenner Faktorisieren 2x+1(x2−x−2) =

2x+1(x−2)(x+1)

1) Ansatz aufstellen: A(x−2) + B

(x+1) = 2x+1(x−2)(x+1) | · (x− 2)(x+ 1)

2) Ausmultiplizieren & Kurzen: ⇔ A(x+ 1) +B(x− 2) = (2x+ 1)

Gleichungen aufstellen: ⇔

(x) A +B = 2(1) A −2B = 1

3) Umformen : ⇔

(x) A = 2−B(1) A −2B = 1

4) Gleichung fur (x) in Gleichung fur (1) einsetzen liefert:

A− 2B = 1 ⇔ (2−B)− 2B = 1 ⇔ −3B = −1 ⇔ B =1

3

5) Einsetzen in die Gleichung (x) liefert:

A = 2−B ⇔ A = 2− 1

3⇔ A =

5

3

6) Integrieren liefert: a)∫

2x+1(x−2)(x+1)dx =

∫13

1(x+1) +

53

1(x−2)dx

= 13 ln(x+ 1) + 5

3 ln(x− 2)+c


Kapitel 8

Vektoren und analytischeGeometrie

8.1 Was sind Vektoren und wo tauchen sie auf?

Ein Vektor in der Schulmathematik ist -etwas unprazise gesagt- zunachst einmal eine Spaltemit Zahleneintragen. Allerdings haben Vektoren eine geometrische Bedeutung, diese lasstsich auf zwei verschiedene Weisen verstehen:

Zum einen kann man einen Vektor als einen Punkt im Raum auffassen. Beispielsweise ist deruns umgebende Raum in dem wir leben dreidimensional: Wahlt man einen festen Bezugs-punkt, so lasst sich jeder Punkt in unserem Universum durch einen Vektor mit drei Eintragen(Hohe, Breite, Lange) relativ zu diesem Punkt beschreiben. Solche Vektoren nennt man inder Literatur oft “Ortsvektoren”.

Andererseits reprasentieren Vektoren in der Physik Krafte, also eine Messgroße die mit einerRichtung einhergeht: Im Gegensatz zu “Zahlen-Messgroßen” wie Temperatur oder Masse,muss man um eine Kraft vollstandig zu beschreiben nicht nur angeben wie groß die Kraft ist,sondern auch in welche Richtung sie wirkt. Solche Verschiebe-Vektoren haben Ihren Start-punkt nicht immer in der Null.

Vektoren haben also geometrische Eigenschaften und gleichzeitig sind Vektoren im Wesent-lichen nur eine Spalte mit Zahleneintragen. Um also mit Vektoren zu arbeiten, muss manlernen wie man geometrische Aussagen (“Zwei Geraden Schneiden sich”) in mathematischenGleichungen ausdruckt. Ein wesentlicher Lerninhalt dieses Kapitels ist also das Ubersetzenvon Geometrie in Algebra1.

8.1.1 Vektoren in Kartesischen Koordinaten

In diesem Skipt verwenden wir eine etwas sehr vereinfachte Definition eines Vektors:

Fur eine naturliche Zahl n ist Rn der n-dimensionale Vektorraum. ein Vektor v in Rn ist eineSpalte mit n Zahleneintragen. Die Eintrage eines Vektors a ∈ Rn sind also reele Zahlen, die

1Algebra ist der Bereich der Mathematik, der sich mit Gleichungen beschaftigt.

65

66 KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE

man mit a1, a2, . . . an bezeichnet. Die allgemeine Form eines solchen Vektors a lautet:

a =

a1a2...an

.

Zum Beispiel ist

(53

)ein Element aus R2 und

548

ein Element aus R3.

Vektoren kann man geometrisch auf zwei weisen auffassen:

• Als Punkte im Raum, sogenannte Ortsvektoren oder

• als “Verschiebe-Vektoren”2, gegeben durch eine Verschiebe-Richtung und eine Verschiebe-Lange.

Beispielsweise beschreibt der Vektor a =

(24

)einen Punkt, der im R2 bei x = 2 und

y = 4 liegt. Verschiebt man nun diesen Punkt a um beispielsweise 7 Einheiten in x-Richtungund um 2 Einheiten in y-Richtung, so kann man dies auffassen als eine Anwendung des

Verschiebe-Vektors b =

(72

)(s. Abbildung 8.1).

b alsOrtsve

ktor

b als“Ver

schiebe-V

ektor”

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

2

7

2

7

Abbildung 8.1: Anschauliche Darstellung eines Vektors.

8.2 Rechnen mit Vektoren

Multiplikation mit einer Zahl

Die Multiplikation eines Vektors a mit einer Zahl λ ∈ R berechnet man wie folgt:

2Das Wort Verschiebe-Vektor ist kein mathematischer Fachbegriff und dient in diesem Kapitel nur derVeranschaulichung

8.2. RECHNEN MIT VEKTOREN 67

λ · a = λ ·

a1a2...an

=

λ · a1λ · a2

...λ · an

fur eine Zahl λ ∈ R.

Aus dieser Rechenregel ersieht man, dass zum Beispiel 2 · a = a+ a gelten muss:

2 · a = λ ·

a1a2...an

=

2 · a12 · a2...

2 · an

=

a1 + a1a2 + a2

...an + an

= a+ a.

Geometrisch entspricht die multiplikation eines Vektors mit einer Zahl λ also einer Streckungbzw. einer Stauchung von a um den Faktor λ,

• fur 0 < |λ| < 1 ist λ · a kurzer als a.

• fur 1 < |λ| ist λ · a langer als a.

Ist λ negativ, so kehrt sich die Richtung eines Vektors a beim Multiplizieren mit λ um, derVektor −a = (−1) · a zeigt also genau entgegengesetzt zu a (s. Abbildung 8.2).

−a a

2 ·a

3 ·a

Abbildung 8.2: Streckung eines Vektors.

Addition

Man kann Vektoren mit gleich vielen Eintragen addieren oder von einander abziehen (Dies

geht mit Vektoren mit veschieden vielen Eintragen nicht!). Fur a und b in Rn gilt:

a+ b =

a1a2...an

+

b1b2...bn

=

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

Die Addition zweier Vektoren a und b entspricht geometrisch dem Aneinanderhangen derPfeile (siehe Abbildung 8.3). Die Subtraktion zweier Vektoren, a−b, wird einfach als Addition

von a und −b aufgefasst. Geometrisch bedeutet dies, dass man den Vektor b mit umgekehrterRichtung an den Vektor a hangt (siehe Abbildung 8.4).


a

ba+b

Kopievon b

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

2

7

2

7

+2

4

2 +7

(24

)+

(72

)=

(2 + 74 + 2

)=

(96

)

Abbildung 8.3: Addition zweier Vektoren.

a

b

−b

a−b

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−2

−1

0

1

2

3

4

4 −2

3

−5

5

2

−5

−2

(34

)−(

52

)=

(3− 54− 2

)=

(−22

)

Abbildung 8.4: Subtraktion zweier Vektoren.

In Koordinatenschreibweise sieht dies dann naheliegenderweise so aus.

a− b =

a1a2...an

−b1b2...bn

=

a1 − b1a2 − b2

...an − bn

Fur die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit einer Zahl gelten die selben Re-chenregeln, die man schon von “normalen Zahlen” kennt:


• Kommutativgesetz:a+ b = b+ a

• Assoziativgesetz: (a+ b

)+ c = a+

(b+ c

)• Distributivgesetze:

(λ+ µ) · a = λ · a+ µ · a

λ ·(a+ b

)= λ · a+ λ · b fur λ, µ ∈ R

Skalarprodukt

Bisher haben wir nur die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl definiert. Das Ergebniswar ein gestreckter bzw. gestauchter Vektor. Es ist aber auch moglich Vektoren mit Vektorenzu multiplizieren, das Ergebnis ist hier allerdings eine Zahl. Das Skalarprodukt von a und bist definiert als

⟨ a, b ⟩ =

⟨a1a2...an

,

b1b2...bn

⟩

= a1 · b1 + a2 · b2 + . . .+ an · bn .

Das Skalarprodukt wird manchmal auch mit “ a • b ” bezeichnet.

Wichtig: Das Ergebnis eines Skalarproduktes ist stets eine Zahl (und kein Vektor). Es gibtaußer dem Kreuzprodukt keine Vektormultiplikation bei der ein Vektor herauskommt!

Beispiel 8.2.1 Sei a =

215

und b =

2−46

, dann gilt

⟨215

,

2−46

⟩ = 2 · 2 + 1 · (−4) + 5 · 6 = 30 .

Fur das Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:

Fur a, b, c ∈ Rn und λ ∈ R gelten:

• ⟨a, b⟩ = ⟨b, a⟩ (Symmetrie)

• ⟨a, b+ c⟩ = ⟨a, b⟩+ ⟨a, c⟩ (Linearitat)

• ⟨λa, b⟩ = λ⟨a, b⟩ und ⟨a, λ b⟩ = λ⟨a, b⟩


Lange

Die Lange eines Vektors v bezeichnet man mit ||v||, genannt “Betrag von v”. Man verwendetalso bei Vektoren doppelte Betragsstriche – im Gegensatz zum bereits bekannte Betrag furZahlen (z.B. | − 3| = 3).

Die Lange eines Vektors

(ab

)im R2 kann man mit dem Satz des Phytagoras leicht berech-

nen:

||(ab

)|| =

√a2 + b2.

Man beachte, dass der Term unter der Wurzel in dieser Formel den Wert

⟨(ab

),

(ab

)⟩hat. Allgemein gilt fur einen Vektor a ∈ Rn:

Lange von a = ||a|| :=√a21 + a22 + . . .+ a2n =

√⟨a, a⟩ .

||( a

b

)|| =√a2 + b2

c

a

b

Abbildung 8.5: Lange eines Vektors.

Geometrische Anschauung des Skalarproduktes

Fur zwei Vektoren a = 0 und b = 0 sei α der Winkel zwischen diesen Vektoren. Es gilt damitsofort: 0 ≤ α ≤ π (in Grad gemessen bedeutet dies: Der Winkel ist zwischen 0 und 180).Fur das Skalarprodukt gilt dann:

⟨a, b⟩ = ||a|| · ||b|| · cos (α)

Aus dieser Formel ergeben sich zwei wichtige Eigenschaften: Zum einen, kann man durchUmstellen der Gleichung den Winkel α wie folgt berechnen:

α = arccos

(⟨a, b⟩||a|| · ||b||

).

Zum anderen sieht man: Stehen a und b senkrecht aufeinander, so ist α = π/2 und cos(α) = 0und damit gilt:

Ist a senkrecht zu b, so ist ⟨a, b⟩ = 0. (8.1)

GeometrieDer Wert von “||b|| · cos(α)” ist geometrisch gesehen die “Lange des Senkrechten Schattens

von b auf a” (s. Abbildung 8.6). Das Skalarprodukt < a, b > bestimmt also grob gesagt das

Folgende: “Wieviel von b zeigt in Richtung von a?”.


a

b

||b|| ·cos(

α)

︸︷︷︸=<a,b>

1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

ab

||b|| · cos(α

)

︸︷︷︸=<a,b>

1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Abbildung 8.6: Geometrische Anschauung des Skalarproduktes.

Kreuzprodukt

Im 3-dimensionalen Raum (und nur dort!) gibt es eine weitere Moglichkeit das Produktzweier Vektoren zu definieren: Das Kreuzprodukt. Das Ergebnis dieses Produkts ist diesmalallerdings ein Vektor. Es gilt

a× b =

a1a2a3

×b1b2b3

:=

a2 b3 − a3 b2a3 b1 − a1 b3a1 b2 − a2 b1

.

Das Kreuzprodukt hat seinen Namen daher, dass die jeweils auftauchenden Produkte “uberkreuz” gebildet werden:

Beispiel 8.2.2 123

×abc

=

2 · c− 3 · b3 · a− 1 · c1 · b− 2 · a

a× b =

··

2 · c − 3 · b⊕⊖

123

abc

XXXX!!!!

a× b =

··

3 · a − 1 · c⊖

⊕

123

abc

QQ

QQ

a× b =

··

1 · b − 2 · a

⊕⊖

123

abc

XXXX!!!!

Beispiel 8.2.3123

×abc

=

2 · c− 3 · b3 · a− 1 · c1 · b− 2 · a

123

×514

=

2 · 4− 3 · 13 · 5− 1 · 41 · 1− 2 · 5

=

511−9


Die Formel fur das Kreuzprodukt ist auf den ersten Blick recht unubersichtlich. Die fol-gende Regel fuhrt das Kreuzprodukt auf das Berechnen der Determinante zuruck, was sichvermutlich leichter merken lasst. Hierzu benotigen wir die drei Einheitsvektoren im R3:

e1 :=

100

e2 :=

010

e3 :=

001

Ersetzt man nach der Berechnung der folgenden Determinante e1, e2 und e3 durch die dreiEinheitsvektoren e1, e2 und e3 im R3, so erhalt man das Kreuzprodukt:

a× b = det

e1 a1 b1e2 a2 b2e3 a3 b3

= (a2 b3 − a3 b2) · e1 + (a3 b1 − a1 b3) · e2 + (a1 b2 − a2 b1) · e3

=

a2 b3 − a3 b200

+

0a3 b1 − a1 b3

0

+

00

a1 b2 − a2 b1

=

a2 b3 − a3 b2a3 b1 − a1 b3a1 b2 − a2 b1

Geometrie

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert einen dritten, neuen Vektor. Dieser neue Vektorhat wichtige geometrische Eigenschaften (s. Abbildung 8.7). Fur zwei Vektoren a und b giltstets:

• der Vektors a× b steht senkrecht sowohl zu a als auch zu b.

• die Lange des Vektors a× b ist gleich dem Flacheninhalt des von a und b aufgespanntenParallelogramms.

a

b

a×b

Flachengoße: ||a× b||

Abbildung 8.7: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren.

8.3. DARSTELLUNG VON VEKTOREN 73

Rechenregeln

Fur das Kreuzprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:

Fur a, b, c ∈ Rn und λ ∈ R gelten die folgenden Regeln (Linearitat):

• (λ · a) × b = λ ·(a× b

)(Linearitat bzgl. Multiplikation)

• a× (b+ c) = a× b + a× c (Linearitat bzgl. Addition)

Um sich diese Rechenregeln zu merken kann man in Gedanken kurz das “×” durch ein “·”(“Mal”) ersetzen. Dann sieht man, dass die Rechenregeln den normalen Regeln fur “+” und“·” ahneln.

8.3 Darstellung von Vektoren

Im folgenden geht es darum, Vektoren in anderen Koordinaten anzugeben. Dazu fassen wirhier Vektoren als Ortsvektoren auf, wir gehen also davon aus, dass die Vektoren im Nullpunktbeginnen.

2-dimensionaler Raum R2

Sei a ein 2-dimensionaler Vektor, dass heisst ein Vektor in der Ebene R2. Zum einen konnen

a1

a2

r

φ

Abbildung 8.8: Darstellung eines 2-dimensionalen Vektors.

wir a mit Hilfe des kartesischen Koordinatensystems beschreiben, in dem wir die Lange vona in Richtung der x-Achse mit a1 und die Lange von a in Richtung der y-Achse mit a2bezeichnen. Dies bezeichnet man als kartesische Darstellung. Wir schreiben dann

a =

(a1a2

).

Zum anderen konnen wir auch a durch die Angabe der Lange r und des Winkels φ mit derx-Achse beschreiben. Dies bezeichnet man als Darstellung von a in Polarkoordinaten. Wirschreiben dann

a = (r, φ) .

In der folgenden Tabelle sind die Umrechnungsformeln fur den Wechsel zwischen den Dar-stellungen zusammengefasst.


Gegeben

(a1a2

)mit a1, a2 > 0 r =

√a21 + a22

φ = arctan(

a2

a1

)

Gegeben (r, φ) a1 = r · cos(φ)a2 = r · sin(φ)

Beispiel 8.3.1 Sei a in kartesischen Koordinaten gegeben als

(43

). Die Lange von a ist dann

r =√42 + 32 =

√16 + 9 =

√25 = 5. Fur den Winkel φ gilt: φ = arctan

(34

), dass heisst

φ ≈ 37o. Also schreibt sich a in Polarkoordinaten als (5, 37o).3

3-dimensionaler Raum R3

Auch im 3-dimensionalen Raum kann jeder Vektor a auf naheliegende Weise mit Hilfe karte-sischer Koordinaten beschrieben werden. Wir bezeichnen hier wiederum die Lange von a inRichtung der x-Achse mit a1, die Lange von a in Richtung der y-Achse mit a2 und die Langevon a in Richtung der z-Achse mit a3. Wir schreiben dann

a =

a1a2a3

.

a1

a2

a3

r

φ

ψ

Abbildung 8.9: Darstellung eines 3-dimensionalen Vektors.

3Exakt musste es naturlich (5, arctan(34

)) heißen, wir begnugen uns hier aber mit der Naherung.

8.4. GERADENGLEICHUNGEN UND EBENENGLEICHUNGEN 75

Im 3-dimensionalen bietet sich außerdem die Beschreibung durch sogenannte spharische Ko-ordinaten (oder auch Kugelkoordinaten) an. Dazu gibt man die Lange r von a sowie zweiWinkel φ und ψ an. Der Winkel zwischen x-Achse und der Projektion von a auf die xy-Ebene wird mit φ bezeichnet und der Winkel zwischen a und der Projektion von a aud diexy-Ebene wird mit ψ bezeichnet (siehe Abbildung 8.9).Es gelten die Umrechnungsregeln in Tabelle 8.1 fur den Wechsel zwischen den Darstellungen.

Gegeben

a1a2a3

mit a1, a2, a3 > 0 Gegeben (r, φ, ψ)

r =√a21 + a22 + a23 a1 = r · cosφ · cosψ

φ = arctan(

a2

a1

)a2 = r · sinφ · cosψ

ψ = arctan

(a3√a21+a2

2

)a3 = r · sinψ

Tabelle 8.1: Umrechnungstabelle zwischen kartesischen Koordinaten und spharische Koordi-naten.

Beispiel 8.3.2 Gegeben sei b in Kugelkoordinaten als (8, 30o, 45o). Dann gilt nach Tabelle8.1: b1 = 8 · cos 30o · cos 45o ≈ 4.9, b2 = 8 · sin 30o · cos 45o ≈ 2.8 und b3 = 8 · sin 45o ≈ 5.7.Also insgesamt

b =

8 · cos 30o · cos 45o4 · cos 45o8 · sin 45o

≈4.92.85.7

.

8.4 Geradengleichungen und Ebenengleichungen

Mit den nun bekannten Notationen und Rechenregeln konnen wir Geraden und Ebenen be-schreiben und mit ihnen rechnen.

8.4.1 Geraden in Punkt-Richtungs-Form

Geraden treten sowohl im R2 als auch im R3 auf, genauergesagt ist das Konzept einer Geradein allen Raumen der Form Rn stets dasselbe:

• Geometrisch gesehen ist eine Gerade eine (unedlich lange) gerade Linie durch denRaum.

• Algebraisch gesehen ist eine Gerade eine (besondere) Punktmenge aus undenlich vielenPunkten.

Um die Punktmenge einer Geraden g zu beschreiben benotigt man die Angabe eines belie-bigen Stutzpunktes a auf g und der Angabe der Richtung b der Gerade. Die Punkte auf derGeraden sind dann alle Punkte der Form a+ λb wobei λ eine Zahl aus R ist. Jeder Punkt xder Geraden lasst sich dann schreiben als

x = a+ λb fur ein λ ∈ R (Punkt-Richtungs-Form).


Diese “Punkt-Richtungs-Form” der Geraden kann man sich vorstellen wie die Beschreibungeiner Autobahn:Der Stutzvektor a gibt als Ortsvektor quasi die Auffahrt auf die Autobahn an. Der Rich-tungsvektor b gibt an, in welche Richtung man von a aus laufen darf (s. Abbildung 8.10).

Die Addition a+ 2, 734 · b liest sich dann als:“Gehe zum Startpunkt a. Laufe von dort aus 2, 734-Einheiten in Richtung b”.

a

b

ga+b

a

b

ga+2· b

Abbildung 8.10: Eine Gerade g im R2, mit Punkt-Richtungsform a+ λ · b.

8.4.2 Ebenen in Punkt-Richtungs-Form und Normalenform

Eben treten im R3 auf (allerdings lasst sich das das Konzept einer Ebene auch in Raumender Form Rn definieren). Eine Ebene ist

• geometrisch gesehen eine (unedlich weite) flache Flache im R3.

• algebraisch gesehen eine (besondere) Punktmenge des R3 aus undenlich vielen Punkten.

Man kann die Punktmenge einer Ebene E auf zwei verschiedene Arten beschreiben:

• Konstruktiv: Die Punkt-Richtungs-Form beschreibt wie sich die einzelnen Punkte derEbene “herstellen” lassen.

• Beschreibend: Die Normalenform ist eine Gleichung, die alle Punkte der Ebene erfullen.

Beide Ansatze haben ihre Vor- und Nachteile. Will man beispielsweise prufen, ob eine gege-bene Gerade g und die Ebene E sich schneiden, so ist es gunstig die Punktbeschreibung derGeraden (Punkt-Richtungs-Form) in die Normalengleichung der Ebene einzusetzen: Erfulltein Punkt aus g die Gleichung fur E, so schneidet g die Ebene E.

Ebenen in Punkt-Richtungs-Form

Um eine Gerade zu beschreiben benotigt man die Angabe eines beliebigen Stutzpunktes aauf g und der Angabe der Richtung b der Gerade. Die Punkte auf der Geraden sind dannalle Punkte der Form a+ λb wobei λ eine Zahl aus R ist. Fur eine Ebene E funktioniert diesganz genauso, nur mussen hier zwei Lauf-Richtungen b und c angegeben werden:

x = a+ λb+ µc fur λ, µ ∈ R (Punkt-Richtungs-Form).

8.4. GERADENGLEICHUNGEN UND EBENENGLEICHUNGEN 77

a

cb E

a+b+c a

cb

a+b+

2 ·c

Abbildung 8.11: Eine Ebene E im R3 in Punkt-Richtungs-Form a+ λb+ µc.

Die oben beschriebenen Darstellungen heißen Punktrichtungsform oder auch Parameterdar-stellung der Geraden bzw. der Ebene.

Ebenen in Normalenform

Eine weitere und haufig nutzliche Darstellung einer Ebene ist die sogenannte Normalenform.Dazu benotigen wir das Skalarprodukt: Eine Ebene E im R3 kann man eindeutig angeben,in dem man einen zur ebene senkrechten Vektor n angibt (den Normalenvektor) und einerechte Seite b ∈ R, die angibt, wie weit die Ebene vom Nullpunkt entfernt ist:

E :=

xyz

:

⟨n,

xyz

⟩ = b

(Normalenform).

Beispiel 8.4.1 Wir wahlen den Normalenvektor n =

001

, der parallel zur z-Achse in

einem dreidimensionalen Koordinatensystem zeigt und als rechte Seite wahlen wir 2. Die

Punkte

xyz

, fur die gilt

⟨001

,

xyz

⟩ = 2 ,

sind letztendlich alle die Punkte mit einem z-Wert 2. Dies ist eine Ebene, die parallel zurx-y-Ebene liegt und die z-Achse in z = 2 schneidet.

Geometrisch gesehen, macht also der Normalenvektor n einen “Zahlenstrahl” auf, und eineEbene

E :=

xyz

:

⟨n,

xyz

⟩ = b


ist eine “Wasseroberflache” die senkrecht zu n steht. Die Rechte Seite b ∈ R gibt dabei an,wie weit diese “Wasseroberflache” von der Null weg ist.

E

n

Abbildung 8.12: Eine Ebene im R3 durch 0 mit Normalenvektor n.

Beispiel 8.4.2 Alle Punkte

xyz

, fur die gilt

⟨xyz

,

112

⟩ = 0 ,

bilden eine Ebene E durch den Nullpunkt im R3. Der Vektor n =

112

ist hier der Norma-

lenvektor der Ebene. Alle Punkte, fur die⟨xyz

,

112

⟩ = c

mit einer reellen Konstante c gilt, liegen auf einer Ebene E′, die parallel zu E liegt.

Analog zu Beispiel 8.4.2 funktioniert dies auch fur Geraden im R2. Das heisst, wir konnen

jede Gerade g beschreiben als die Menge der Punkte

(xy

), fur die

⟨(xy

), n

⟩− c = 0

mit geeignetem Normalenvektor n und geeigneter Konstante c gilt.

8.4.3 Wechsel zwischen den Ebenen-Formen

Will man eine Ebene E gegeben in Punkt-Richtungsform E = a+ λ · v + µ · w : λ, µ ∈ Rin Normalenform bringen so benotigt man einen Normalenvektor n und eine Rechte Seiteb ∈ R. Diese berechnet man aus den Richtungsvektoren v, w und dem Fußpunkt a wie folgt:

n := v × w b :=< n, a >

Zur Begrundung:

8.5. KLASSISCHE AUFGABENSTELLUNGEN 79

• Der Normalenvektor n muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren v, w der Ebenesein. Also verwendet man am zweckmaßigsten das Kreuzprodukt und berechnet denVektor n := v × w.

• Die rechte Seite b, muss nun so gewahlt werden, dass der Fußpunkt a die Gleichung< n, a >= b erfullt (denn a ist Teil der Ebene, und die Punkte x in der Ebene sollen amEnde ja allesamt die Gleichung < n, x >= b erfullen). Also wahlt man b :=< n, a >.

8.5 Klassische Aufgabenstellungen

Im folgenden schauen wir uns die Rechenwege fur klassische Aufgabenstellungen an:

Gegeben sei eine Gerade g im R3 in Punkt Richtungsform g = a + λu und eineEbene E ebenfalls im R3. Wo schneiden sich g und E?

1) Berechne die Punkt-Richtungsform von E (falls noch nicht bekannt).Ist E = c+ λ · v + µ · w : λ, µ ∈ R dann gilt:

n := v × w und b :=< n, c >

2) Setze a+ λu ein um λ zu berechnen: < n, a+ λu >= b.(Hier sollte jetzt λ die einzige Variable sein, a, n, u sind also “echte Zahlen-Vektoren.)

3) Gibt es keine Losung λ, so schneiden sich g und E nicht.Sonst schneiden sie sich in dem Punkt, der entsteht wenn man die Losungλ0 in a+ λu einsetzt.

Ist E in Punkt-Richtungsform gegeben, so lohnt es sich bei einer solchen Aufgabe die Norma-lenform von E auszurechenen: Kennt die Normalenform von E = x ∈ R3 : < n, x >= b,so weiß man, dass alle Punkte p in E die Gleichung < n, p >= b erfullen. Also muss man nur“a+ λu” (die allgemeine Form der Punkte in g) in die Gleichung einsetzen.

8.6 Aufgaben

8.7 Vektoren im R2

Aufgabe 8.1 Bestimmen Sie (durch eine Rechnung oder Zeichnung) die Polarkoordinatenvon:

a)

(22

)b)

(1−1

)c)

(00

)

Aufgabe 8.2 Gegeben seien a =

(32

)und b =

(−14

). Berechnen Sie:

a) ⟨a, a⟩ b) ⟨a, b⟩ c) ⟨a, a+ b⟩

Aufgabe 8.3 Machen Sie durch eine Rechnung und durch eine Zeichnung klar, dass der

Vektor

(−yx

)immer senkrecht auf

(xy

)steht.


8.8 Vektoren im R3

Aufgabe 8.4 Bestimmen Sie die Komponente a2 so, dass die Vektoren

a =

−3a21

und b =

23−3

senkrecht aufeinander stehen. Wie groß ist der Abstand ||b− a|| zwischen ihnen?

Aufgabe 8.5 Berechnen Sie das Kreuzprodukt von a =

−12−3

und b =

21−2

. Testen

Sie, ob a × b wirklich senkrecht auf a und auf b steht indem sie ⟨(a × b), a⟩ und ⟨(a × b), b⟩berechnen.

8.9 Ebenen und Geraden

Aufgabe 8.6 Gegeben sei die Gerade g im R3 via xyz

=

101

+ λ

−121

.

Liegen die Punkte a =

−143

und b =

2−21

auf g?

Wenn ja, welchen Wert hat λ?

Aufgabe 8.7 Es sei

g die Gerade durch die Punkte

012

und

021

verlauft und

E die Ebene die durch die Punkte

−114

,

100

und

240

verlauft.

a) Schreiben Sie g und E in Punktrichtungsform.

b) Schreiben Sie E in Normalenform.

c) Schneiden sich E und g? Wenn ja, wo?


Kapitel 9

Matrizen

9.1 Was sind Matrizen und wozu sind sie da?

Eine Matrix A ∈ Rm×n ist eine Tabelle von m mal n Zahlen, die in einem rechteckigenSchema von m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.

A =

1 2 3 47 2.5 −2 9π 0 17 4

ist eine Matrix in R3×4 also eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten.

Beispiel 4

Die Eintrage einer Matrix konnen beliebige Zahlen sein. Eine Matrix mit m Zeilen und nSpalten nennt man m × n-Matrix (sprich

”m-Kreuz-n-Matrix“). Als Namen fur Matrizen

dienen ublicherweise lateinische Großbuchstaben: A,B,C, . . .

Eine m× n-Matrix A ∈ Rm×n ist eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten.Wir bezeichnen mit Aij jeweils den Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte.

Die allgemeine Form einer solchen Matrix lautet:

Der Leser nimmtimmer zuerst dieHohe der Matrixwahr, deswegensteht m vorne. i

BB

A =

A1,1 A1,2 A1,3 · · · A1,n

A2,1 A2,2 A2,3 · · · A2,n

A3,1 A3,2 A3,3 · · · A3,n

......

.... . .

...Am,1 Am,2 Am,3 · · · Am,n

Hohem

Breite n

Allgemeine Form einer Matrix

In A ∈ Rm×n steht die erste Dimensions-Variable”m“ fur die Hohe der Matrix. Dies kann

man sich merken, indem man sich vorstellt, dass ein (virtueller) Leser, der von links nachrechts

”angelaufen kommt“ immer zuerst die Hohe der Matrix wahrnimmt.

Sei A =

1 25 37 4

. Dann ist A eine 3× 2-Matrix mitA1,1 = 1 A1,2 = 2A2,1 = 5 A2,2 = 3A3,1 = 7 A3,2 = 4

Beispiel 5

81

82 KAPITEL 9. MATRIZEN

Matrizen sind sehr nutzliche Hilfsmittel in einer Vielzahl von Anwendungen. Sie eignen sichals Kurzschreibweise fur großere Mengen von Daten. Die wahrscheinlich wichtigste solcherAnwendungen sind lineare Gleichungssyteme.

Betrachten wir die folgenden beiden linearen Gleichungen:

4x1 +6x2 −8x3 = 0−2x2 −8x3 = 0

Die wichtige Information dieses Systems steckt lediglich in den Koeffizienten der beidenGleichungen. Wir konnen diese in einer Matrix A zusammenfassen, indem wir im Eintrag Aij

den Koeffizienten von xj in der i-ten Gleichung schreiben. Taucht xj in der i-ten Gleichungnicht auf, so setzten wir Aij = 0. Hier lautet die Matrix A also

A =

(4 6 −80 −2 −8

).

Mit den Rechenregeln, die wir in Kurze lernen werden, konnen wir das Gleichungssystemdann folgendermaßen schreiben:

(00

)=

(4 6 −80 −2 −8

)·

x1x2x3

.

Beispiel 6

9.2 Rechnen mit Matrizen

Transposition

Die transponierte oder gespiegelte Matrix AT der Matrix A ist die Matrix, die durch Vertau-schung von Zeilen und Spalten aus A hervorgeht. Der Eintrag in der i-ten Zeile und j-tenSpalte von AT ist der Eintrag in der j-ten Zeile und der i-ten Spalte von A.

Beispiel 9.2.1

A =

−1 07 310 −19

AT =

(−1 7 100 3 −19

)

Addition

Die Addition von zwei Matrizen A und B ist komponentenweise definiert. Das heißt, derEintrag von C = A+B in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist gleich Aij +Bij .

Cij = Aij +Bij

Beispiel 9.2.2 3 57 31 4

+

2 −10 12 2

=

2 + 3 5− 17 + 0 3 + 11 + 2 4 + 2

=

5 47 23 6

9.2. RECHNEN MIT MATRIZEN 83

Ganz analog definieren wir naturlich die Subtraktion A−B ganz einfach als die komponen-tenweise Subtraktion aller Eintrage. Die Addition von zwei Matrizen ist nur definiert, wennsie beide die gleiche Anzahl von Zeilen und auch die gleiche Anzahl von Spalten haben.

Beispiel 9.2.3 (3 5 12 −1 7

)+

(2 61 2

)ist nicht definiert.

Multiplikation mit Skalaren

Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar λ ∈ R funktioniert genauso wie beiVektoren: Man multipliziert jeden Eintrag von A mit λ. Ist B = λ ·A, so gilt:

bij = λ · aij

Beispiel 9.2.4

5 ·

1 2 47 3 75 4 −1

=

5 · 1 5 · 2 5 · 45 · 7 5 · 3 5 · 75 · 5 5 · 4 5 · (−1)

=

5 10 2035 15 3525 20 −5

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar mussen wir uns keine Gedanken umpassende Zeilen- und Spaltenanzahl machen. Diese Multiplikation ist immer definiert. Esgelten die folgenden Rechenregeln:

Seien A,B und C (m,n)-Matrizen und seien λ, µ ∈ R Skalare. Dann gelten:

• A+B = B +A (Kommutativgesetz der Addition)

• (A+B) + C = A+ (B + C) (Assoziativgesetz der Addition)

• λ(µA) = (λµ)A = µ(λA) (Assoziativgesetz der Multiplikation)

• (λ+ µ) ·A = λA+ µA

• λ · (A+B) = λA+ λB

Rechenregeln fur Addition und Multiplikation mit Skalaren

Multiplikation mit Vektoren

Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor v ist so definiert, dass die in A gespei-cherten Koeffizienten wieder an die entsprechnden Eintrage von v multipliziert werden. DasBerechnen von A · v erfolgt also zeilenweise, fur jede Zeile von A wird eine Summe berechnet:


Fur eine Matrix A ∈ Rm×n mit n Spalten und einen Vektor v ∈ Rn mit n Eintragen gilt:

A · v =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

......

. . ....

Am1 Am2 · · · Amn

·v1v2...vn

=

A11 · v1+ A12 · v2+ · · · +A1n · vnA21 · v1+ A22 · v2+ · · · +A2n · vn

......

. . ....

Am1 · v1+ Am2 · v2+ · · · +Amn · vn

Das Ergebnis der Multiplikation A · v ist also ein Vektor aus Rm.

Matrix-Vektor-Multiplikation

In Beispiel 6 haben wir bereits eine Multiplikation von einer Matrix A mit einem Vektor xgesehen. Dort wurde die Multiplikation verwendet, um die linke Seite eines Gleichungssystemsin Kurzschreibweise zu notieren.

(9 7 58 6 4

)·

123

=

(9 · 1 +7 · 2 +5 · 38 · 1 +6 · 2 +4 · 3

)=

(9 + 14 + 156 + 8 + 12

)=

(3826

)

1 5 2 12 7 2 13 9 2 0

·

2−110

=

1 · 2 + 5 · (−1) + 2 · 1 + 1 · 02 · 2 + 7 · (−1) + 2 · 1 + 1 · 03 · 2 + 9 · (−1) + 2 · 1 + 0 · 0

=

−1−1−1

Beispiel 7

Interpretation der Matrixmultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors v mit einer Matrix A lasst sich auf zwei Weisen verstehen:

a) Es wird zeilenweise ein Skalarprodukt berechnet, namlich das Skalarprodukt der i-tenZeile von A mit v.

b) Es werden Vielfache der Spalten von A addiert – mit Vorfaktoren aus v.

Der i-te Eintrag des Ergebnisvektors w = A · v ist definiert als das Skalarprodukt der i-tenZeile von A mit v. D.h.

(w)i︸︷︷︸i-ter eintrag v. w

=

⟨(ai,1 ai,2 . . . ai,n

)T,

v1v2...vn

⟩

=∑n

j=1 aij · vj .

Der Stoff bisher war recht trocken. Schauen wir uns also mal an, wozu man das Gelernte soalles verwenden kann.

9.2. RECHNEN MIT MATRIZEN 85

Beispiel 9.2.5 Stellen wir uns vor, wir sind Pizzabacker bzw. Pizzabackerin. Es gelten diefolgenden Preise fur Zutaten in unserem Lieblingsgeschaft:

Zutat PreisTeig 2 EuroTomatensauce 1,50 EuroSalami 3 EuroPilze 1 EuroKase 2,50 Euro

In unserem Angebot haben wir die folgenden Pizzen (oder heißt es Pizzas?):

Pizza ZutatenMargherita Teig, T.sauce, KaseFunghi Teig, T.sauce, Pilze, KaseSalami Teig, T.sauce, 1

2 Packung Salami, KasePizza

”mit alles“ und doppelt Kase Teig, T.sauce, Salami, Pilze, 2 Kase

Wir mochten jetzt moglichst schnell den Preis fur unsere Pizzen berechnen. Um den Preiseiner Pizza zu bestimmen, konnen wir nun den Zutatenvektor mit dem Preisvektor multipli-zieren. Fur eine Pizza Funghi sieht das so aus:

(1 Teig, 1 T.sauce, 0 Salami, 1 Pilze, 1 Kase) ·

2 Euro

1, 50 Euro3 Euro1 Euro

2, 50 Euro

= 7 Euro

Um den Preis aller Pizzen auf einmal zu berechnen, konnen wir die Zutatenvektoren in eineMatrix schreiben und den Preisvektor mit dieser Matrix multiplizieren.

1 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1

2 0 11 1 1 1 2

·

21, 5031

2, 50

=

67

7, 5012, 50

Unsere Preise lauten also:

Pizza PreisMargherita 6 EuroFunghi 7 EuroSalami 7,50 EuroPizza

”mit alles“ und doppelt Kase 12,50 Euro

Zuruck zur Theorie. Eine weitere sehr wichtige Eigenschaft von Matrizen ist, dass sie lineareAbbildungen beschreiben. Genauer: Sei A eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, danndefiniert A eine Abbildung vom Rm in den Rn:

A : Rm → Rn

v 7→ A · v

Diese Abbildung ist linear, was bedeuted, dass fur alle v1, v2 ∈ Rm und fur alle λ ∈ R gilt:

A · (v1 + v2) = A · v1 +A · v2 und A · (λv) = λ(A · v) .


9.3 Matrixmultiplikation

Das Produkt A · B zweier Matrizen A und B kann nur dann gebildet werden, wenn dieSpaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Ist A eine (m,n)-Matrix und Beine (n, r)-Matrix (Anzahl der Spalten von A = n = Anzahl der Zeilen von B), so ist dieProduktmatrix C = A ·B eine (m, r)-Matrix mit den Eintragen

cik =∑n

j=1 aij · bjk =

⟨ai,1ai,2...

ai,n

,

b1,kb2,k...

bn,k

⟩

.

In anderen Worten: Der Eintrag von C in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist das Skalarpro-dukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B.

Beispiel 9.3.1 Sei

A =

3 10 −14 2

und B =

(2 0−1 1

).

Da die Anzahl der Spalten von A gleich 2 ist so wie auch die Anzahl der Zeilen von B, konnenwir das Produkt C = A·B berechnen. Wir erhalten den Eintrag in der ersten Zeile und erstenSpalte von C als das Produkt der ersten Zeile von A mit der ersten Spalte von B. D.h.:

c11 =

⟨(3 1

)T,

(2−1

)⟩= 3 · 2 + 1 · (−1) = 5 .

Analog erhalten wir

c21 =

⟨(0 −1

)T,

(2−1

)⟩= 0 · 2− 1 · (−1) = 1

c31 =

⟨(4 2

)T,

(2−1

)⟩= 4 · 2 + 2 · (−1) = 6

c12 =

⟨(3 1

)T,

(01

)⟩= 3 · 0 + 1 · 1 = 1

c22 =

⟨(0 −1

)T,

(01

)⟩= 0 · 0− 1 · 1 = −1

c32 =

⟨(4 2

)T,

(01

)⟩= 4 · 0 + 2 · 1 = 2 .

Insgesamt gilt also

C =

5 11 −16 2

.

D = B · A ist nicht definiert, da die Anzahl der Spalten von B nicht gleich der Anzahl derZeilen von A ist.

9.4. DETERMINANTEN 87

Seien A,B und C Matrizen. Dann gelten:

• (A ·B) · C = A · (B · C) (Assoziativgesetz)• A · (B + C) = A ·B +A · C (Distributivgesetz)

• A ·B = B ·A (Kommutativgesetz gilt nicht)

• (A ·B)T = BT ·AT (Reihenfolge andert sich)

Tabelle 9.1: Rechenregeln fur die Matrixmultiplikation.

Die Rechenregeln fur die Multiplikation (siehe Tabelle 9.1) von Matrizen sind etwas kom-plizierter als die der Addition und der Multiplikation mit Skalaren. Besonders zu beachtenist, dass das Kommutativgesetz hier nicht mehr gilt. D.h. im Allgemeinen ist A ·B = B ·A.Selbst wenn beide Produkte definiert sind, gilt nicht immer die Gleichheit.Interpretieren wir Matrizen wiederum als lineare Abbildungen, so entspricht das Produktzweier Matrizen der Hintereinanderschaltung zweier linearer Abbildungen.

9.4 Determinanten

Die Determinante detA, die nur fur quadratische Matrizen A definiert wird, ist eine reelleZahl, die nach gewissen Regeln aus den Eintragen von A berechnet wird. Determinantenhaben vor allem theoretische Bedeutung, da man sie zur Beschreibung der Losbarkeit vonlinearen Gleichungssystemen und zur Untersuchung der Invertierbarkeit von Matrizen ein-setzen kann.Eine quadratische (1, 1)-Matrix A besteht nur aus einem einzigen Eintrag a11. Dies ist dann

auch die Determinante. Fur eine (2, 2)-Matrix A =

(a bc d

)definieren wir

detA = a · d− b · c .

Beispiel 9.4.1

det

(1 23 4

)= 1 · 4− 2 · 3 = −2

Fur eine (3, 3)-Matrix A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

definieren wir

detA = det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11 det

(a22 a23a32 a33

)− a21 det

(a12 a13a32 a33

)+ a31 det

(a12 a13a22 a23

)= a11(a22a33 − a32a23)− a21(a12a33 − a13a32) + a31(a12a23 − a13a22)= a11a22a33 − a11a23a32 − a21a12a33 + a21a13a32 + a31a12a23 − a31a13a22

Man nennt dies”Entwickeln“ der Determinante nach der ersten Spalte. Dabei wird nach-

einander jeder Eintrag der ersten Spalte mit derjenigen (2, 2)-Determinante multipliziert, die


man erhalt, wenn man in der (3, 3)-Matrix die Zeile und die Spalte streicht, in der der Eintragsteht. Die so gebildeten Produkte werden mit wechselndem Vorzeichen addiert.

Beispiel 9.4.2

det

3 7 −24 0 6−2 −4 1

= 3det

(0 6−4 1

)− 4 det

(7 −2−4 1

)+ (−2) det

(7 −20 6

)= 3(0− (−24))− 4(7− 8)− 2(42− 0)

= −8

9.5 Aufgaben

9.6 Elementare Rechnungen

Aufgabe 9.1 Sei A =

(2 3−1 4

)und B =

(0 26 −2

).

Berechnen Sie A+B, A−B, AT +B, A+BT , A ·B und B ·A.

Aufgabe 9.2 Sei A =

2 3 70 −1 43 3 1

. Berechnen Sie a), b) und c) und losen Sie dann d) mit

diesen Ergebnissen ohne erneute Rechnungen durchzufuhren.

a) A ·

463

b) A ·

−192

c) A ·

010

d) A ·

4 −1 06 9 13 2 0

.

Aufgabe 9.3 Ein Pizzabacker will die folgenden Pizzen mit den jeweils angegebenen Zutatenbacken:

Pizza ZutatenMargherita Teig, T.soße, KaseFunghi Teig, T.soße, Kase, PilzeSalami Teig, T.soße, Kase, 1

2 Packung SalamiPizza

”mit allem“ und doppelt Kase Teig, T.soße, Kase, 1 Packung Salami, Pilze, 2 Kase

An verschiedenen Stichtagen (Tag 1 und Tag 2) hatten diese Rohzutaten verschiedene Preise:

Zutat Preis an Tag 1 Preis an Tag 2Teig 2,00 e 1,50 eTomatensauce 1,50 e 1,00 eSalami 3,00 e 5,00 ePilze 1,00 e 2,00 eKase 2,50 e 1,00 e

Formulieren Sie fur beide Tage die Berechnung der Rohzutaten-Preise der Pizzen als Matrix-multiplikation und fuhren Sie diese durch.

9.7. DETERMINANTE 89

9.7 Determinante

Aufgabe 9.4 Berechnen Sie die Determinanten von

a) A =

(2 3−1 4

)b) B =

(1 51 3

)c) A ·B d)

2 3 70 −1 43 3 1

Was fallt Ihnen beim Vergleich der Ergebnisse von a), b) und c) auf?

Aufgabe 9.5 Sei A =

(a bc d

)mit det(A) = ad− bc = 0.

a) Zeigen Sie:

Fur die Matrix B :=1

det(A)

(d −b−c a

)gilt: A ·B =

(1 00 1

).

Hinweis: Benutzen Sie die Rechenregel C · (λ ·D) = λ · (C ·D) (dies gilt fur Zahlen λ ∈ R).

b) Die Matrix B, nennt man die Inverse Matrix zu A, geschrieben A−1. Diese Matrix istwichtig fur das Losen von Gleichungssystemen! Prufen Sie das Folgende:

Der Vektor

(xy

):= B ·

(r1r2

)lost das LGS A

(xy

)=

(r1r2

)

Hinweis: Rechnen Sie dazu nicht B ·(r1r2

)aus, sondern setzten Sie ein und verwenden Sie

Ihr Wissen uber A ·B.

Aufgabe 9.6 Fur reelle Zahlen a, b gilt, dass aus a · b = 0 stets a = 0 oder b = 0 folgt. Mansagt: “die reellen Zahlen sind nullteilerfrei”.

Zeigen Sie, dass dies fur Matrizen im Allgemeinen nicht gilt, indem sie eine (2, 2)-Matrix B,

die nicht der Nullmatrix

(0 00 0

)entspricht, mit

(1 22 4

)·B =

(0 00 0

)

finden. Was gilt fur die Determinanten von A,B und

(0 00 0

)? Steht das im Einklang mit

ihrer Vermutung bei Aufgabe 3.1 ?


Kapitel 10

Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst man sich mit den Gesetzmaßigkeiten des zufalli-gen Eintretens bestimmter Ereignisse aus einer vorgegebenen Menge von Ereignissen. Dabeiwird stets vorausgesetzt, dass diese Versuche unter unveranderten Bedinigungen beliebig oftwiederholt werden konnen. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung besitzt eine Vielzahl von Anwen-dungen in anderen Bereichen der Mathematik aber vor allem auch in anderen Wissenschaften(Physik, Biologie, Psychologie, Okonomie, Ingenieurwesen, Medizin, ... ).

10.1 Ubersicht

Beim Umgang mit Wahrscheinlichkeiten gibt es drei Stufen:

1. Wahrscheinlichkeiten: Das berechnen oder abschatzen wie Wahrscheinlich bestimm-te Ergebnisse auftreten.

2. Erwartungswert:Das berechenen des Durchschnittspreises von zufalligen Ereignissen,wenn man den Ergebnissen Preise zuordnet.

3. Varianz: Das Abschatzen wie weit die Ergebnisse um den Durchschnittswert streuen.

10.2 Wahrscheinlichkeiten und Zahlen

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei einem zufalligen Ereignis ein bestimmtes(gewunschtes) Ergebnis eintritt, benotigt man zwei Informationen:

1. wieviele mogliche Endergebnisse gibt es, und

2. wieviele dieser Endergebnisse liefern das gewunschte Ergebnis.

Die Wahrscheinlichkeit P (gew. Ergebnis), dass das gewunschte Egebnis eintritt ist dann

P (gew. Ergebnis) =Anzahl moglicher Falle gewunschtes Ergebnis tritt ein.

Anzahl aller moglichen Endergebnisse

Nehmen wir einmal an wir werfen einen Wurfel dessen 6 Seiten (ungewohnlicherweise) mitden Buchstaben A, B, C, D, E, F beschriftet ist.

91

92 KAPITEL 10. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

Nun wollen wir wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass wir ein A oder ein B wurfeln. Unter densechs moglichen Endergebnissen A,B,C,D,E,F befinden sich zwei gewunschte Ergebnissenamlich A,B.In zwei von sechs Fallen wurfelt man also ein A oder ein B. Die Wahrscheinlichkeit ist alsoP (A oder B wurfeln) = 2

6 = 13 . Man erwaret also in einem Drittel der Falle eine A oder ein

B zu wurfeln.

Dieses Einfache Beispiel versteckt, wie schwierig es sein kann, die gewunschten Ereignisseoder auch nur alle moglichen Ereignisse zu zahlen. ein kurzes Beispiel:Angenommen, auf Ihrer personlichen Weltkarte gibt es 10 Orte, die sie alle einmal besuchenwollen. Wieviele mogliche Reihenfolgen gibt es, in der Sie diese Orte besuchen?

10.2.1 Zahlen aller Ereignisse

Es gibt vier typische, immer wiederkehrende Falle fur die man zahlen muss, wieviele Gesam-tereignisse es gibt. Diese werden verwirrenderweise mit verschiedenfarbigen Kugeln beschrie-ben, die aus einer Urne gezogen werden. Außer Mathematikern zieht aber niemand mehr sooft Dinge aus Urnen. Deswegen haben wir drei andere Beispiele Gewahlt.

• Ziehen mit zurucklegen: Aus den Ziffern 0 − 9 eine dreistellige Zahl schreiben: Esgibt zusammen mit (0, 0, 0) tausend solche Zahlentripel.

• Ziehen ohne Zurucklegen: Drei Stadte in unterschiedlicher Reihenfolge besuchen:Es gibt 6 = 3 · 2 · 1 verschiedene Reihenfolgen.

10.3 Zufallige Ereignisse

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, dass als Ergebnis eines von mehreren moglichenErgebnissen hat, deren Ausgang sich nicht genau vorhersagen lasst. Die Menge aller moglichenErgebnisse heisst Ergebnismenge und wird mit Ω bezeichnet. Ein einzelnes Ergebnis einesZufallsexperiments wird mit ω bezeichnet.

Beispiel 10.3.1 Das Werfen einer Munze ist ein solches Experiment mit ungewissem Aus-gang. Als mogliche Ergebnisse haben wir Kopf K und Zahl Z, also Ω = K,Z.

Beispiel 10.3.2 Beim Werfen eines Wurfels konnen die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 auftreten.Hier ist also Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω (in Zeichen A ⊂ Ω). Ein Ereignis ist also eine Mengevon moglichen Versuchsausgangen.

Beispiel 10.3.3 Beim Werfen eines Wurfels betrachten wir das Ereignis A:”Eine gerade

Zahl wird geworfen“. Hier ist also A = 2, 4, 6 ⊂ 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Wir sagen, ein Ereignis A tritt ein, wenn das Ergebnis ω des Zufallsexperiments in A ist.

ω ∈ A⇔ A ist eingetreten. ω ∈ A⇔ A ist nicht eingetreten.

Das Ereignis Ω heisst sicheres Ereignis, denn es tritt fur jedes Ergebnis ω ein. Das unmoglicheEreignis ∅ ist ein Ereignis, dass nie eintreten kann.Man kann Ereignisse A und B zu neuen Ereignissen kombinieren:

10.4. ABSOLUTE UND RELATIVE HAUFIGKEIT 93

• Vereinigung:A ∪B = ω : ω ∈ A oder ω ∈ B

• Durchschnitt:A ∩B = ω : ω ∈ A und ω ∈ B

• Komplementarereignis:A = ω : ω ∈ A

• Differenz:A\B = ω : ω ∈ A und ω ∈ B

Es gilt A\B = A ∩ B.

Zwei Ereignisse heißen disjunkt oder unvereinbar, wenn A∩B = ∅ gilt. Die Ereignisse A undB konnen also nicht gemeinsam auftreten.

Beispiel 10.3.4 Beim Werfen eines Wurfels betrachten wir das Ereignis A =”Eine gerade

Zahl wird geworfen“ und B =”Eine Zahl kleiner als 3 wird geworfen“. Also A = 2, 4, 6

und B = 1, 2. Es gilt dann A∪B = 1, 2, 4, 6, A∩B = 2, A = 1, 3, 5, B = 3, 4, 5, 6und A\B = 4, 6. A und B sind nicht disjunkt, da A ∩B = 2 = ∅.

10.4 Absolute und relative Haufigkeit

Es sei A ein bestimmtes Ereignis eines Zufallsexperiments, das man n-mal unter gleichenBedingungen wiederholt. Die Anzahl derjenigen Versuche, bei denen A eintritt, heisst absoluteHaufigkeit von A und wird mit hn(A) bezeichnet. Der Quotient

rn(A) =hn(A)

n

heisst relative Haufigkeit von A. Die relative Haufigkeit von A ist also die Anzahl der Versuchebei denen A auftritt geteilt durch die Gesamtanzahl der Versuche.

Beispiel 10.4.1 Wir werfen 10-mal mit einem Wurfel und betrachten dabei die EreignisseA =

”Eine gerade Zahl wird geworfen“ und B =

”Eine Zahl kleiner als 3 wird geworfen“.

Also A = 2, 4, 6 und B = 1, 2. Es treten folgende Wurfe auf: 2, 6, 4, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 1. Wirhaben also

h10(A) = 5, h10(B) = 4, r10(A) =5

10, r10(B) =

4

10.

10.5 Wahrscheinlichkeit

Wir gehen im Folgenden immer davon aus, dass die Ereignismengen Ω endlich sind. DieWahrscheinlichkeit fur ein Ereignis A ist das Verhaltnis der Anzahl der Ereignisse in A zurGesamtanzahl der moglichen Ereignisse. Wir schreiben p(A) fur die Wahrscheinlichkeit vonA (p steht fur

”probability“).

p(A) =Anzahl der Elemente in A

Anzahl der Elemente in Ω=|A||Ω|

So betragt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu wurfeln 16 , also p(6) =

16 und die

Wahrscheinlichkeit beim Munzwurf”Kopf“ zu erhalten betragt 1

2 , d.h. p(”Kopf“) = 1

2 .Listen wir nun zunachst einige grundlegende Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit auf.


• Fur jedes Ereignis A gilt: 0 ≤ p(A) ≤ 1

• p(Ω) = 1

• p(A ∪B) = p(A) + p(B), falls A ∩B = ∅

• p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B), falls A ∩B = ∅

• p(A) = 1− p(A) fur das Komplementarereignis A

• A ⊆ B ⇒ p(A) ≤ p(B)

Beispiel 10.5.1 Unser Zufallsexperiment sei wiederum das Werfen eines Wurfels und wirbetrachten wiederum die Ereignisse A = 2, 4, 6 und B = 1, 2. Dann gilt:

• p(A) = 36 = 1

2

• p(B) = 26 = 1

3

• p(A ∪B) = 46 = 2

3

• p(A) = 12

• p(B) = 23

10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabangigkeit

Haufig steht, bevor das Ergebnis eines Zufallsexperiments bekannt ist, schon die Informationzur Verfugung, dass das Ergebnis zu einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge gehort.Unter diesen neuen Bedingungen andern sich naturlich die Wahrscheinlichkeiten fur denAusgang des Experiments.

Beispiel 10.6.1 Betrachten wir beispielsweise das Ereignis A”Eine ungerade Zahl wird

gewurfelt“ so betragt die Wahrscheinlichkeit p(A) = 12 . Stellen wir uns vor, der Wurfel

wurde nun bereits geworfen, wir bekommen uber das Ergebnis aber lediglich mitgeteilt, dassdie gewurfelte Zahl kleiner als 4 ist. Das heisst, es sind nur noch die Ergebnisse 1,2 und 3moglich. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gewurfelte Zahl unter dieser Bedingung ungeradeist, ist also p(A|B) = 2

3 . (Hier bezeichnet B das Ereignis”Eine Zahl kleiner als 4 wird

gewurfelt“.)

Fur Ereignisse A und B definieren wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter derBedinung B als

p(A|B) =p(A ∩B)

p(B).

Wir nennen zwei Ereignisse A und B unabhangig, wenn deren Eintreten keinerlei Einflussaufeinander hat. Genauer gesagt verlangen wir, dass sich die Wahrscheinlichkeit fur dasEintreten von A durch die Gewissheit, dass B eintritt, nicht andert (also p(A) = p(A|B)gilt). Mathematisch prazise definieren wir:

A und B heißen unabhangig, wenn p(A ∩B) = p(A) · p(B) gilt.

10.7. ZUFALLSVARIABLEN 95

Beispiel 10.6.2 Unser Zufallsexperiment sei der zweimalige Wurf eines Wurfels. EreignisA sei

”Im zweiten Wurf fallt eine 6“ und Ereignis B sei

”Im ersten Wurf fallt eine 6“. Die

Wahrscheinlichkeit von A betragt 16 unabhangig davon, ob im ersten Wurf eine 6 fallt oder

nicht. A und B sind daher unabhangig.

Bevor wir zu den Zufallsvariablen kommen betrachten wir nochmal ein Beispiel um die bereitsgelernten Begriffe zu trainieren.

Beispiel 10.6.3 In einer Schublade befinden sich 20 Socken. Darunter sind 10 schwarze, 3rote, 3 blaue, 2 grune und 2 weisse. Wir ziehen nun blind nacheinander zwei Socken aus derSchublade. Wir definieren Ereignis A als

”Beide Socken sind schwarz“ und Ereignis B als

”Beide Socken haben die gleiche Farbe“. Bestimmen wir zunachst p(A). Die Wahrscheinlich-keit beim ersten Ziehen eine schwarze Socke zu erhalten ist 1

2 . Haben wir im ersten Versucheine schwarze Socke gezogen, so sind nur noch 9 der verbleibenden 19 Socken schwarz. DieWahrscheinlichkeit eine weitere schwarze Socke zu ziehen ist also 9

19 . Die Wahrscheinlichkeitdas beide Ziehungen schwarz liefern ist also das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten, d.h.

p(A) =1

2· 919

=9

38.

Um p(B) zu berechnen, mussen wir die Wahrscheinlichkeiten dafur, dass wir zwei schwarzeSocken ziehen, zwei rote Socken ziehen, zwei blaue Socken ziehen, zwei grune Socken ziehenoder zwei gelbe Socken ziehen addieren. Wir berechnen wie im ersten Fall

p(”Zwei blaue“) = p(

”Zwei rote“) =

3

20· 219

=6

380und

p(”Zwei grune“) = p(

”Zwei gelbe“) =

2

20· 119

=2

380.

Die Wahrscheinlichkeit fur B betragt also

p(B) =9

38+

6

380+

6

380+

2

380+

2

380=

106

380=

53

190≈ 0.28 = 28% .

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei schwarze Socken gezogen haben unter der Bedingung,dass wir zwei gleiche gezogen haben, ist also

p(A|B) =p(A ∩B)

p(B)=p(A)

p(B)=

9

38· 19053

=90

106≈ 0.85 = 85% .

Die beiden Ereignisse A und B sind nicht unabhangig, da p(A ∩B) = p(A) · p(B).

10.7 Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion X : Ω → R, die jedem Elementarereignis ω ∈ Ωgenau eine reelle Zahl zuordnet. Wie die Ergebnisse ω eines Zufallsexperiments hangen auchdie Werte von X vom Zufall ab. Fur die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einenbestimmten Wert annimmt, schreiben wir abkurzend

p(X = k), was eigentlich bedeuted p(ω ∈ Ω : X(ω) = k) .


Beispiel 10.7.1 Der Besitzer eines Jahrmarktstands bietet folgendes Spiel an. Beim Werfenzweier Wurfel erhalt die Spielerin 10 Euro, wenn beide Wurfel 6 zeigen und 2 Euro, wenneiner der Wurfel 6 zeigt. Ein Wurf kostet 1 Euro.Wir bezeichnen mit X die Zufallsvariable, die den Gewinn der Spielerin beschreibt. Es giltalso:

(6, 6) X7−→ 10− 1 = 9

(6, 1), (6, 2), . . . , (6, 5), (1, 6), (2, 6), . . . , (5, 6) X7−→ 2− 1 = 1

(1, 1), (1, 2), . . . . . . . . . , (5, 5) X7−→ 0− 1 = −1

Daraus erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten p(X = 9) = 136 , p(X = 1) = 10

36 und p(X =−1) = 25

36 . Dies fassen wir nochmal in einer Tabelle zusammen:

Werte von X 9 1 -1Wahrscheinlichkeiten 1

361036

2536

10.8 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Haufig interessiert man sich fur den”mittleren Wert“ einer Zufallsvariablen. Das entspricht

dem erwarteten Wert bei einer haufigen Wiederholung des Experiments. In unserem Beispiel10.7.1 ware das der erwartete Gewinn bzw. Verlust der Spielerin. Um einen solchen Mittelwertzu bilden, gewichten wir die moglichen Werte X(ω) der Zufallsvariable mit den jeweiligenWahrscheinlichkeiten p(ω) und summieren daruber. Wir definieren dann

E(X) =∑ω∈Ω

X(ω) · p(ω) .

Dies nennt man den Erwartungswert von X.

Beispiel 10.8.1 Kommen wir zuruck zu obigem Jahrmarkt-Spiel. Wir hatten folgende Ta-belle erarbeitet.

Werte von X 9 1 -1Wahrscheinlichkeiten 1

361036

2536

Der erwartete Gewinn der Spielerin, der dem Erwartungswert der Zufallsvariablen X enst-pricht, betragt also

E(X) = 9 · 136

+ 1 · 1036

+ (−1) · 2536

= − 6

36= −1

6≈ −0.17 .

Die Spielerin verliert also im Mittel ca. 17 Cent pro Spiel.

Die Varianz und die Standardabweichung sind Großen, die die Streuung einer Zufallsvariablenum den Erwartungswert beschreiben. Genauer gesagt definieren wir die Varianz von X als

Var(X) = E

( (X − E(X)2

) )und die Standardabweichung von X als

σX =√Var(X) .

10.9. AUFGABEN 97

Beispiel 10.8.2 Bei unserem Jahrmarkt-Spiel aus Beispiel 10.7.1 betragt die Varianz

Var(X) =∑

ω∈9,1,−1

(X(ω)−

(−1

6

))2

· p(ω)

=

(9 +

1

6

)2

· 136

+

(1 +

1

6

)2

· 1036

+

(−1 + 1

6

)2

· 2536

=3699

1296=

411

144≈ 2.85

und demnach betragt die Standardabweichung√

411144 ≈ 1.69.

10.9 Aufgaben

Aufgabe 10.1 Beim Werfen eines Wurfels betrachten wir das Ereignis A”Eine ungerade

Zahl wird geworfen“ und B =”Eine Zahl großer als 3 wird geworfen“.

(a) Schreiben Sie die Ereignisse A und B als Teilmengen aller moglichen Wurf-Ergebnisse1, 2, 3, 4, 5, 6.

(b) Bestimmen Sie A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A sowie die Komplement-Mengen Ac und Bc.Sind A und B disjunkt?

(c) Berechnen Sie zu den Mengen aus (b) die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

(d) Sind die Ereignisse A und B unabhangig?

Aufgabe 10.2 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen von drei Wurfeln

(a) mindestens eine 4 auftritt?

(b) hochstens eine 6 auftritt?

(c) genau zweimal die 3 fallt?

(d) mindestens eine 4 und eine 5 auftritt?

Aufgabe 10.3 Wir ziehen nacheinander zwei Socken aus einer Schublade mit 5 schwarzen,6 blauen und 4 roten Socken. Wir definieren Ereignis A als

”Beide Socken haben unterschied-

liche Farben“ und Ereignis B als”Die erste gezogene Socke ist rot“.

(a) Berechnen Sie p(B).

(b) Berechnen Sie p(A).

(c) Sind A und B unabhangig?

Aufgabe 10.4 Bei einer Lotterie sind unter 1000 Losen 75 Gewinne zu 2 Euro, 60 Gewinnezu 5 Euro sowie der Hauptgewinn von 100 Euro. Die restlichen Lose sind Nieten. Der Preisfur ein Los betragt 1 Euro.

(a) Definieren Sie die Zufallsvariable X, die Gewinn-Auszahlung an einen Losinhaber be-schreibt.


(b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Gewinn-Auszahlung an einen Losinhaber. EineLotterie heißt “fair” wenn der Erwartungswert der Gewinn-Auszahlung den Lospreisnicht uberschreitet. Ist das Spiel fair?

(c) Definieren Sie die Zufallsvariable Y , die den Gewinn der Lottogesellschaft je Los be-schreibt.

(d) Berechnen Sie den mittleren Gewinn der Lottogesellschaft je Los.

Aufgabe 10.5 (Zusatzaufgabe) Ein Student im Stochastikkurs behauptet, die Wahrschein-lichkeit, dass irgendein anderer der insgesamt 25 Studenten im Kurs am gleichen Tag im JahrGeburtstag feiert wie er, sei sehr klein, namlich nur ca. 0.06. Der Professor schaut ihn zustim-mend an und behauptet dann frech, dass die Wahrscheinlichkeit, dass trotzdem mindestenszwei Studenten ihren Geburtstag teilen, viel hoher sei, namlich uber 0.5. Das macht denStudenten sehr stutzig, kann das stimmen?Uberprufen Sie die Aussage des Studenten und die des Professors.

Hinweis: Vorsicht beim Benutzen des Taschenrechners. Eine falsche Zahl und das Ergeb-nis ist komplett falsch.

Aufgabe 10.6 (Zusatzaufgabe) Bei einer Prufung wird einer Kandidatin ein”Multiple

Choice“-Fragenbogen vorgelegt. Dabei steht unter jeder der 9 Fragen in zufalliger Reihenfolgedie richtige und zwei falsche Antworten. Zum Bestehen der Prufung mussen mindestens 6Antworten richtig angekreuzt werden. Die Kandidatin kreuzt bei jeder Frage eine der dreiAntworten zufallig an.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht sie die Prufung?

(b) Die Kandidatin kann bei jeder Frage eine falsche Antwort ausschließen. Mit welcherWahrscheinlichkeit besteht sie nun die Prufung?

Hinweis: Untersuchen Sie separat alle 4 Punktzahlen, mit der die Studentin bestehen kann.


Anhang A

Losungen zu denUbungsaufgaben

A.1 Losungen: Potenzen

Losungen fur Aufgabe 2.1

a)(x3)2 · 36 =

(x3·2

)· 36 = (3x)6 b) x3 · y3 = (xy)3 c) x2

x4+x2 = 1x2+1

e)(x2/5

)5= x2/5·5 = x2

d) (x+ y)3(kann man nur Ausmultiplizieren, nicht vereinfachen)


a)(x2 + 2x+ 1

)= (x+ 1)

2b)

(3√5)2

= 523 c)

(137√16)137

= 16137137 = 161 = 16

Losungen fur Aufgabe 2.3Bezeichne die Breite mit b, dann ist der Karton b/2 hoch. Das Volumen des Kartons betragtalso b2 · b/2 = b3/2

b3

2= 4 ⇔ b3 = 8 ⇔ b = 2.

Der Karton ist 2m breit und 1m hoch.


a) 2x = 16 ⇔ x = log2 16 = 4 b) 2x = 18 ⇔ x = log2 18 ≃ 4.1699250

c) ex = 1 ⇔ x = ln 1 = 0 d) ex = 27 ⇔ x = ln 27 ≃ 3.2958369


a) log2 16 = 4 b) log3 27 = 3 c) log√3 9 = 4 d) log111

121 = −2

e) loga(1a2 ) = loga(a

−2) = −2f) ln(a)− ln

(1a

)= ln(a) + ln(a) = 2 ln(a) g) ln(a) + ln( 1a ) = ln(a · 1a ) = ln(1) = 0

h) ln (ex) = x · ln(e) = x · 1 = x i) 12 ln

(x2)= 1

2 · 2 · ln(x) = ln(x)

j) ex·ln(2) = eln(2x) = 2x

99

100 ANHANG A. LOSUNGEN ZU DEN UBUNGSAUFGABEN


a logx(16) = 2 ⇔ x2 = 16 ⇔ x = 4 b) logx(121) = 2 ⇔ x2 = 121 ⇔ x = 11

c) logx (81) = 4 ⇔ x4 = 81 ⇔ x = 3 d) logx(125) = 3 ⇔ x3 = 125 ⇔ x = 5

e) logx(16) = 4 ⇔ x4 = 16 ⇔ x = 2 f) logx(10) = 1 ⇔ x1 = 10 ⇔ x = 10

g) logx(9) = 4 ⇔ x4 = 9 ⇔ x =√3

h) logx(8) = 2, 5 ⇔ x52 = 8 ⇔ x5 = 82 = 64 ⇔ x = 5

√64

Losungen fur Aufgabe 2.7 Gesucht ist

log2(7000 000 000) = log2(7 · 109)= log2(7) + log2

(109)

= log2(7) + 9 log2(10) ≃ 2.81 + 9 · 3.32 ≃ 32.69.

Es dauert also etwa 32.69 ∗ 20min = 653.8min (das sind 10h 53min und 0.8 ∗ 60 = 48s), alsoetwas weniger als 11h.

A.3 Losungen: Polynome

Losung zu Aufgabe 4.1Aufstellen der Linearen GleichungDie monatlichen Geamtkosten beider Mobilvertrage sind lineare Polynome in der Variable x,die fur die monatlich

”vertelefonierten“ Minuten steht:

• Anbieter 1: monatl. Kosten: f(x) = 10 + 0, 1 · x.

• Anbieter 2: monatl. Kosten: g(x) = 5 + 0, 2 · x.

Offensichtlich ist Anbieter 2 billiger, wenn man nur”wenig“ telefoniert. Dies kann man prufen

in dem man die Monatskoten ausrechnet, die entstehen wenn man gar nicht telefoniert:f(0) = 10 > 5 = g(0).

Losen der Linearen GleichungAb wieviel Monats-Telefonier-Minuten lohnt es sich aber zu Anbieter 1 zu wechseln? Gesuchtist der Punkt x an dem gilt: f(x) = g(x), dieser Wert berechnet sich wie folgt:

g(x) = f(x)⇔ 5 + 0, 2 · x = 10 + 0, 1 · x ∥ − 5 − (0, 1 · x)⇔ 0, 1 · x = 5⇔ x = 5 · 10 = 50

AntwortAb 50 telefonierten Gesprachsminuten (und mehr) pro Monat lohnt es sich den Vertrag beiAnbieter 1 abzuschließen.

Losung zu Aufgabe 4.2Der Schnittpunkt der beiden Graden liegt bei dem x-Wert, der fur beide Geraden den selbeny-Wert liefert. Entsprechend setzen wir die beiden Werte gleich, um x zu bestimmen:

3x+2 = −2x+1 |+ 2x − 2⇔ 5x = −1 | : 5⇔ x = − 1

5

A.3. LOSUNGEN: POLYNOME 101

Um den zugehorigen y-Wert auszurechen setzen wir x in y = 3x+ 2 ein:

y = 3 ∗ (−1

5) + 2 =

7

5

Losung: Der Schnittpunkt beider Graden liegt bei (x, y) = (−15 ,

75 ).

Losung zu Aufgabe 4.3x2 + 2 Diskriminante: 02 − 4 · 1 · 2 < 0 (keine Losung).x2 − 4x+ 4 = (x− 2)2 Diskriminante: 42 − 4 · 1 · 4 = 0 (exakt eine Losung).

Losung zu Aufgabe 4.4

Ausgangspolynom Faktorisierung Nullstellen

a) 2x2+7x+3 = 2(x+ 1/2)(x+ 3) −1/2, −3b) 3x2+7x−6 = 3(x− 2/3)(x+ 3) 2/3, −3c) x2−2x−15 = (x− 5)(x+ 3) 5, −3d) x2−2x = x(x− 2) 0, 2



a) x2−3x+2 = (x− 1)(x− 2) 1, 2b) x2−3x+2 = (x+ 1)(x+ 2) −1, −2c) x2+x = x(x+ 1) 0, −1d) x2+1 keine keine

Das Polynom x2 + 1 hat die Diskriminante −4. es hat also keine Nullstellen und ist damitnicht faktorisierbar.



a) x3+2x2−5x−6 = (x+ 1)(x− 2)(x+ 3) −1, 2, −3b) x3+6x2−x −6 = (x+ 1)(x− 1)(x+ 6) −1, 1, −6c) x3−4x2+4x = x(x− 2)2 0, 2d) x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x+ 1) 1

Das Polynom x2 + x + 1 hat negative Diskriminante ((1)2 − 4 · 1 · 1 = −3 < 0). Es ist alsonicht weiter faktorisierbar.

Losung zu Aufgabe 4.7Man beachte das (x− 3)(x+ 3) = x2 − 9 gilt. Der Hauptnenner ist heir also (x− 3)(x+ 3)

2x+1x−3 + 3x−5

x+3 = 2x2+2x+18x2−9 ∥ · (x− 3)(x+ 3)

Polynomgleichung

⇒ (2x+ 1)(x+ 3) +(3x− 5)(x− 3) = 2x2 + 2x+ 18⇔ 2x2 + 7x+ 3 +3x2−14x +15 = 2x2 + 2x+ 18⇔ 5x2 −7x +18 = 2x2 + 2x+ 18 ∥ − 2x2 − 2x− 18⇔ 3x2 −9x = 0⇔ x2 −3x = 0 [Normalform]

⇔ x1/2 = −(−32 )±

√94 − 0 [p-q-Formel]

⇔ x1/2 = 32 ±

32


Statt die p-q-Formel zu verwenden kann man auch am Schluss Faktorisieren: x2 − 3x =x(x − 3). So sieht man auch, dass die Losungen der Polynomgleichung x1 = 0 und x2 = 3lauten. Die Probe (Einsetzen in den Hauptnenner) liefert:

(x1 − 3)(x1 + 3) = (−3) · (3) = 9 = 0 und (x2 − 3)(x2 + 3) = (3− 3)(3 + 3)= 0.

Losung: Also ist nur 0 eine zulassige Losung der Ausgangsgleichung.


Man beachte das (x−1)(x−3) = x2−4x+3 gilt. Der Hauptnenner ist hier also (x−1)(x−3)

3x−1 −

2x−3 = − 2x+1

x2−4x+3 ∥ · (x− 1)(x− 3)

Polynomgleichung

⇒ 3(x− 3) −2(x− 1) = −(2x+ 1)⇔ 3x− 9 −2x +2 = −2x− 1⇔ x −7 = −2x− 1 ∥+ 2x+ 7⇔ 3x = 6 ∥ : 3⇔ x = 2

Losungen der Polynomgleichung x1 = 2. Die Probe (Einsetzen in den Hauptnenner) liefert:

(x1 − 1)(x1 − 3) = (2− 1) · (2− 3) = (1)(−1) = 0

Losung: Also ist 2 eine zulassige Losung der Ausgangsgleichung.


Man beachte das (x− 1)(x+ 1) = x2 − 1 gilt. Der Hauptnenner ist hieer also (x− 1)(x+ 1)

2x+3x−1 + 4x+5

x+1 = 6x2+6x−2x2−1 ∥ · (x− 1)(x+ 1)

Polynomgleichung

⇒ (2x+ 3)(x+ 1) +(4x+ 5)(x− 1) = 6x2 + 6x− 2⇔ 2x2 + 5x+ 3 4x2 +x −5 = 6x2 + 6x− 2⇔ 6x2+6x −2 = 6x2 + 6x− 2 ∥ − 6x2 − 6x+ 2⇔ 0 = 0

Hier erhalten wir am Schluß eine wahre Aussage (“Null gleich Null” gilt stets!), die nichtvon x abhangt. Dies bedeutet, dass die Polynomgleichung fur jedes x erfullt ist, d.h. diesePolynomgleichung gilt stets1. Die Losungsmenge der Polynomgleichung ist also ganz R.Welche Losungen sind zulassig fur die Ausgangsgleichung?

Antwort: Alle außer den Nullstellen des Hauptnenners:

(x− 1)(x+ 1) = 0

Dies sind die Werte x1 = 1 und x2 = −1. Die Ausgangsgleichung gilt also fur alle x, außerx = 1 und x = −1. Losung: Die Losungsmenge der Ausgangsgleichung ist R \ 1,−1.

1Eine andere Polynomgleichung, die stets erfullt ist ist z.B. x2 + 1 = x2 + 1

A.4. LOSUNGEN: DIFFERENTIALRECHNUNG 103

A.4 Losungen: Differentialrechnung

Losungen fur Aufgabe 5.1:

f(x) := . . . f ′(x) := . . .

a) (x+ 1) · (x− 2) 1 · (x− 2) +(x+ 1) · 1 = 2x− 1

b) x · ln(x)− x 1 · ln(x) +x · 1x − 1 = ln(x)

c) x · ex − ex 1 · ex +x · ex − ex = xex

d) cos(x) · cos(x) − sin(x) · cos(x) + cos(x) · (− sin(x)) = −2 cos(x) sin(x)

e) sin(x) · sin(x) cos(x) · sin(x)+ sin(x) · cos(x) = +2 cos(x) sin(x)


f(x) := . . . f ′(x) := . . . f(x) := . . . f ′(x) := . . .

a) (x2 + 1)3 3(x2 + 1)2 · 2x b) ex3

e(x3) · 3x2

c) cos(x2 − 2x) − sin(x2 − 2x) · (2x− 2) d) cos(1/x) − sin(1/x) · (−1/x2)

e)1

(1 + e−x)− 1

(1 + e−x)2· (−e−x)

Losungen fur Aufgabe 5.3Alle diese Ableirungen werden mit der Quotientenregel bestimmt:

f(x) := . . . f ′(x) := . . .

a)x+ 1

x2 + 1

1 · (x2 + 1)− (x+ 1) · (2x)(x2 + 1)2

=−x2 − 2x+ 1

(x2 + 1)2

b)ex + 1

exex · ex − (ex + 1) · ex

(ex)2 =

(ex)2 − (ex)

2 − ex

(ex)2= − 1

ex

c)cos(2x)

x2 + 1

(−2 sin(2x)) · (x2 + 1)− cos(2x) · 2x(x2 + 1)

2

d)sin(x)

cos(x)

cos(x) · cos(x)− sin(x) · (− sin(x))

(cos(x))2 =

cos(x)2 + sin(x)2

cos(x)2=

1

cos(x)2

e)cos(x)

sin(x)

(− sin(x)) · sin(x)− cos(x) · cos(x)(sin(x))

2 =− sin(x)2 − cos(x)2

sin(x)2=

1

sin(x)2


f(x) = 2x3 − 3x2 + 6

f ′(x) = 6x2 − 6x =6x(x− 1)

f ′′(x)= 12x− 6 =6(2x− 1)


Die erste Ableitung verschwindet bei x0 = 0 und x1 = 1. Einsetzen in f ′′(x) liefert f ′′(x0) =−6 < 0 und f ′′(x1) = 6 > 0. Die Funktion f hat also bei x0 ein lokales Minimum und bei x1ein lokales Maximum.Die zweite Ableitung f ′′(x) verschwindet nur bei x3 = 1/2, hier hat die Funktion einenWendepunkt.Losungen fur Aufgabe 5.5

f(x) =x

(x+ 2)2

f ′(x) =1 · (x+ 2)2 − x · 2(x+ 2)

(x+ 2)4=(x+ 2)− 2x

(x+ 2)3=

(2− x)(x+ 2)3

f ′′(x)=(−1) · (x+ 2)3 − (2− x) · 3(x+ 2)2

(x+ 2)6=(−1) · (x+ 2)− (2− x) · 3

(x+ 2)4=(2x− 8)

(x+ 2)4

Die erste Ableitung verschwindet nur bei x0 = 2, dies ist also das einzige lokale Extremum.Die zweite Ableitung ist negativ bei x0 = 2 einsetzt, x0 ist also ein lokales Maximum.

Losung fur Zusatzaufgabe 5.6

a) (ex)(n)

= ex b)(e2x)(n)

= 2n · e2x

c) (xn)(n)

= n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 1 d)(xn−1

)(n)= (n− 1)! · 0 = 0

Fur cos(x) ist die Sache etwas komlpizierter. Je nachdem welchen Rest n beim Teilen durch4 ergibt, ergibt sich eine andere n-te Ableitung:

f(x) = cos(x) f ′(x) =

cos(x) wenn n = 4k− sin(x) wenn n = 4k + 1− cos(x) wenn n = 4k + 2sin(x) wenn n = 4k + 3

wobei k ∈ N

Losung fur Zusatzaufgabe 5.7:Es seien b die Breite und h die Hohe des Kartons, gemessen in Metern.Das Volumen V und die Oberflache F des Kartons berechnen sich wie folgt:

V := b2 · h F := 2 · b2 + 4 · h · b

(der Karton hat 6 Seiten, 2 sind quadratisch, die anderen 4 haben Breite b und hohe h).Da die Oberflache des Kartons konstant ist, konnen wir h aus b berechnen:

F = 6⇔ 2 · b2 + 4 · h · b = 6

⇔ h = 64b −

2b2

4b

⇔ h = 32b −

b2

Setzen wir den Wert von h in die Volumenformel ein ergibt sich:

V = b2 · h⇔ V = b2

(32b −

b2

)⇔ V =

(3b2 −

b3

2

)

A.5. LOSUNGEN: INTEGRALE 105

h = 32b −

b2 V =

(3b2 −

b3

2

)Abbildung A.1: Die Hohe und das Volumen als Funktionen von b

Wo hat die Funktion f(x) := 3x2 −

x3

2 , die V berechnet ein Maximum?

f ′(x) = 32 −

3x2

2 = 0 | · 23⇔ x2 − 1 = 0

Also hat die Funktion zwei Extrema, eines bei x0 = 1 und eines bei x1 = −1. Weil negativewerte fur b nicht in Frage kommen, betrachten wir das Extremum bei x0 = 1. Dazu betrachtenwir die zweite Ableitung:

f ′′(x) = −3x⇒ f ′′(1) = −3 · 1 < 0

Es handelt sich also bei x0 = 1 um ein Maximum.

Die Hohe des Kartons berechnen wir nun aus der Formel h = 32b −

b2 :

h =3

2x0− x0

2=

3

2 · 1− 1

2=

2

2= 1

Losung Der optimale Karton ist wurfelformig mit Breite=Lange=Hohe= 1.

A.5 Losungen: Integrale


a)∫3x2 − 1

2x+ 1dx = x3 − 14x

2 + x+c d)∫e(4x)dx = 1

4e(4x)+c

b)∫t2 + 1dt = 1

3 t3 + t+c e)

∫e(2x+1)dx = 1

2e(2x+1)+c

c)∫(x+ 2)

2dx = 1

3 (x+ 2)3+c f)

∫cos (3x+ 4)dx = 1

3 sin (3x+ 4)+c



a)∫x · cos(x)dx = x sin(x) −

∫1 sin(x)dx = x sin(x) + cos(x)+c

b)∫x · e2x+1dx = x 1

2e2x+1 −

∫1 1

2e2x+1dx = x 1

2e2x+1 − 1

4e2x+1+c =

(x2 −

14

)e2x+1 +c

c)∫ln(x) · x dx = ln(x) 12x

2 −∫

1

x

1

2x2dx︸︷︷︸

=∫

x2 dx=

x2

4 +c

= x2(

ln(x)2 − 1

4

)+c

d)∫x2 · exdx = x2ex −

∫2xexdx

(∗)= x2ex − (2xex − 2ex)+c = (x2 − 2x+ 2)ex +c∫

2xexdx = 2xex −∫2exdx = 2xex − 2ex +c (∗)

Losungen fur Aufgabe 7.3a)

∫3x cos(x2)dx =3

2

∫2x· cos(x2)dx =3

2 sin(x2)+c

b)∫xe(x

2)dx =12

∫2x · e(x2)dx =1

2 e(x2)+c

c)∫

2xx2+1dx =

∫2x · 1

(x2+1)dx =ln(x2 + 1

)+c

d)∫x3e(x

4)dx =14

∫4x3 · e(x4)dx =1

4 e(x4)+c


a)∫5x12 − 12x2 + 1dx = 5

13x13 − 4x3 + x+c Summe auseinander ziehen.

b)∫xe(x)dx = (x− 1)ex+c partielle Integration

c)∫

1x+1dx = ln(x+ 1)+c direkt integrieren

d)∫(x+ 2)

36dx = 1

37 (x+ 2)37 einfache Substitution

e)∫ln(x)dx =

∫1 · ln(x)dx = x · ln(x)−

∫x · 1xdx = x ln(x)− x+c partielle Integration

f)∫

x2+1x3+3xdx = 1

3

∫ (3x2 + 3

)· 1(x3+3x)dx = 1

3 ln(x3 + 3x

)einfache Substitution

Alternative Losungsmoglichkeit fur f): s. unten

f)∫

x2+1x3+3xdx =

∫x2

x3+3xdx +∫

1x3+3xdx Summe auseinanderziehen

=∫

xx2+3dx +

∫1

x(x2+3)dx 1) Kurzen. 2) PZB s.(∗)

(∗)=

∫x

x2+3dx − 13

∫x

x2+3dx+ 13

∫1xdx

= 13

∫(2x) 1

(x2+3)dx + 13

∫1xdx 1) einfache Substituion.

= ln(x2 + 3)/3 + ln(x)/3 + c = ln((x2 + 3)x)/3.

A.5. LOSUNGEN: INTEGRALE 107

(∗)

1) Ansatz Ax + Bx+C

(x2+3) = 1x(x2+3) | · x(x2 + 3)

2) Multiplizieren ⇔ A(x2 + 3) +(Bx+ C)(x) = 1& Kurzen: ⇔ (A+B)x2 +Cx+ 3A = 1

3) Gleichungen ⇔

(x2) A+B = 0(x) C = 0(1) A = 1/3

⇔ A = 13 , B = −1

3 , C = 0

4) Ausrechnen∫

1x(x2+1)dx = 1

3

∫1xdx−

13

∫x

(x2+3)dx = +c


a)∫ 2

13x2 − 6x+ 2 dx =

[x3 − 3x2 + 2x

]21

= (8− 12 + 4)− (1− 3 + 2) = 0− 0 = 0

b)∫ 2π

0cos(x) dx = [−sin(x)]2π0 = (−sin(2π))− (− sin(0)) = 0− 0 = 0

c)∫ e−1

02

x+1 dx = [2 ln(x+ 1)]e−10 = (2 ln(e))− (2 ln(1)) = 2− 0 = 2

d)∫ 1

−1(x+ 3)3 dx =

[14 (x+ 3)4

]1−1

= (14 (4)4)− ( 14 (2)

4) = 43 − 4 = 64− 4 = 60

e)∫ e

1ln(x) dx = [x ln(x)− x]e1 = (e ln(e)− e)− (1 · ln(1)− 1) = (e · 1− e)− (0− 1) = 1

f)∫ 3

01√x+1

dx =∫ 3

0(x+ 1)

−1/2dx =

[2 (x+ 1)

1/2]30= (2√4)− (2

√1) = 2 · 2− 2 = 2

Losung fur Aufgabe 7.6

2π∫0

cos(x) · cos(x)dx = [sin(x)cos(x)]2π0 −

2π∫0

sin(x)(− sin(x))dx

= 0 · 1− 0 · 1 +2π∫0

sin(x)sin(x)dx

= 0 · 1− 0 · 1 +2π∫0

1− cos(x)cos(x)dx

⇔ 22π∫0

cos(x) · cos(x)dx = +2π∫0

1dx (= 2π)

Der Wert des Integrals betragt π.

Losung fur Aufgabe 7.7

a)∫

2x+1x2−x−2dx b)

∫x+1

2x2−x−1dx c)∫

1x2−16dx


Teil b)

0) Faktorisieren 2x2 − x− 1 = (x− 1)(2x+ 1)1) Ansatz A

(x−1) + B(2x+1) = x+1

(x−1)(2x+1) | · (x− 1)(2x+ 1)

2) Multiplizieren ⇔ A(2x+ 1) +B(x− 1) = (x+ 1)& Kurzen:

3) Gleichungen ⇔

(x) 2A +B = 1(1) A −B = 1

⇔

(x) 2A +B = 1(1) A = 1 +B

4) Einsetzen ⇔

(x) 2 + 2B +B = 1(1) A = 1 +B

⇔

(x) B = − 1

3(1) A = 1− 1

3 = 23

4) Ausrechnen b) =∫

23

1(x−1) −

13

1(2x+1)dx = 2

3 ln(x− 1)− 16 ln(2x+ 1)+c

Teil c)

0) Faktorisieren x2 − 16 = (x− 4)(x+ 4)1) Ansatz A

(x−4) + B(x+4) = 1

(x−4)(x+4) | · (x− 4)(x+ 4)

2) Multiplizieren ⇔ A(x+ 4) +B(x− 4) = 1& Kurzen:

3) Gleichungen ⇔

(x) A +B = 0(1) 4A −4B = 1

⇔

(x) A = −B(1) 4(−B) −4B = 1

⇔

(x) A = 1/8(1) B = −1/8

4) Ausrechnen c) = 1

8

∫1

(x−4) −1

(x+4)dx = 18 ln(x− 4)− 1

8 ln(x+ 4)+c

A.6 Losungen: Vektoren


(a) r =√22 + 22 =

√8 ≈ 2.8284, ϕ = arctan

(22

)= arctan(1) = π

4 ≈ 0.785398 ≃ 45

(b) r =√12 + (−1)2 =

√2 ≈ 1.414, ϕ = arctan

(−11

)= −π

4 ≃ −45

(c) r = 0, ϕ ist beliebig (der Nullvektor hat keinen festen Winkel).


a) ⟨(32

),

(32

)⟩ = 13 b) ⟨

(32

),

(−14

)⟩ = 5 c) ⟨

(32

),

(26

)⟩ = 18


Zwei Vektoren v, w ∈ R2 sind genau dann senkrecht zu einander, wenn gilt: ⟨v, w⟩ = 0. Fur

die Vektoren

(−yx

)und

(xy

)gilt: ⟨

(−yx

),

(xy

)⟩ = −y · x+ x · y = 0. Also sind diese

zwei Vektoren stets senkrecht zu einander.

A.6. LOSUNGEN: VEKTOREN 109

Losungen fur Aufgabe 8.4 Es gilt:⟨ −3a21

,

23−3

⟩ = −9 + 3 · a2

Damit die beiden Vektoren senkrecht sind muss also gelten: −9+3a2 = 0, dies gilt fur a2 = 3.Fur den Abstand folgt:

∥∥∥b− a∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥ 2

3−3

− −33

1

∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥ 5

0−4

∥∥∥∥∥∥ =√52 + 42 =

√41

Losungen fur Aufgabe 8.5Berechnung des Kreuzproduktes:

a× b =

−12−3

× 2

1−2

=

2 · (−2) − (−3) · 1(−3) · 2 − (−1) · (−2)(−1) · 1 − 2 · 2

=

−1−8−5

Um zu prufen ob a× b senkrecht auf a steht, prufen wir, ob ⟨a× b, a⟩ = 0 gilt:⟨ −1−8

−5

,

−12−3

⟩ = (−1) · (−1) + (−8) · 2 + (−5) · (−3) = 1− 16 + 15 = 0

Die Vektoren a× b und a sind also senkrecht zu einander.Das selbe fur ⟨a× b und b ergibt:⟨ −1−8

−5

,

21−2

⟩ = (−1) · (2) + (−8) · 1 + (−5) · (−2) = 2− 8 + 10 = 0

Die Vektoren a× b und b sind also senkrecht zu einander.

Losungen fur Aufgabe 8.6Losung: Der Punkt a liegt auf g mit λ = 2, b liegt nicht auf g.Rechnung:Falls a auf g liegt, dann gibt es ein λ ∈ R, so dass a der Punkt-Richtungsform der Geradengenugt. Dieses λ berechnet man mit dem Ansatz

a =

101

+ λ

−121

.

Einsetzen von a ergibt: −143

=

1 −λ0 +2λ1 +λ

.


Damit die Vektoren auf beiden Seiten der Gleichung gleich sind, mussen die Eintrage jeweilsgleich sein. Fur jeden Eintrag der Vektoren auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir eineGleichung:

i) −1 = 1− λii) 4 = 2λiii) 3 = 1 + λ

Auflosen in allen drei Gleichungen nach λ liefert λ = 2. Der Punkt a liegt auf g mit λ = 2.Die Rechnung fur b geht analog:Falls b auf g liegt, dann gibt es ein λ ∈ R, so dass gilt: 2

−21

=

1 −λ0 +2λ1 +λ

.

Fur jeden Eintrag der Vektoren auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir eine Gleichung:

i) 2 = 1− λ |+ λ− 2ii) −2 = 2λ | : 2iii) 1 = 1 + λ | − 1

⇔

i’) λ = −1ii’) −1 = λiii’) 0 = λ

Gleichung iii) und i) liefern widerspruchliche Anforderungen an λ, sie sind also nicht gleich-

zeitig erfullbar. Es kann also kein λ geben, so dass b der Punkt-Richtungsform genugt, b liegtalso nicht auf der Geraden g.


(a) Punktrichtungsform fur g:

012

+ λ

01−1

Punktrichtungsform fur E:

−114

+ λ

2−1−4

+ µ

33−4

(b) Nebenrechnung fur den Normalenvektor:

n :=

2−1−4

× 3

3−4

=

−1 · (−4)− (−4) · 3−4 · 3− 2 · (−4)2 · 3− (−1) · 3

=

16−49

Nebenrechnung fur die Konstante: c := ⟨n,

−114

⟩ = ⟨ 16−49

,

−114

⟩ = 16

Entsprechend ergibt sich die Normalenform fur E:

⟨16−49

,

xyz

⟩ = 16

(c) Nebenrechnung: Mit Hilfe der Punktrichtungsformen stellen wir ein Gleichungssystemauf: 0

12

+ λ1

01−1

=

−114

+ λ2

2−1−4

+ µ

334

Dies hat die Losung: λ1 = − 2

13 , λ2 = 513 , µ = 1

13 . Einsetzen in die Punktrichtungsformvon g oder E liefert (0, 1113 ,

2813 )

T als Schnittpunkt.

A.7. LOSUNGEN: MATRIZEN 111

A.7 Losungen: Matrizen

Losungen zu Aufgabe 9.1: Die Ergebnisse lauten wie folgt:

A+B =

(2 3−1 4

)+

(0 26 −2

)=

(2 55 2

)A−B =

(2 3−1 4

)−

(0 26 −2

)=

(2 1−7 6

)AT +B =

(2 −13 4

)+

(0 26 −2

)=

(2 19 2

)A+BT =

(2 3−1 4

)+

(0 62 −2

)=

(2 91 2

)A ·B =

(2 3−1 4

)·(

0 26 −2

)=

(18 −224 −10

)B ·A =

(0 26 −2

)·(

2 3−1 4

)=

(−2 814 10

)

Losungen zu Aufgabe 9.2:

A =

2 3 70 −1 43 3 1

a) A ·

463

=

47633

b) A ·

−192

=

39−126

c) A ·

010

=

3−13

d) A ·

4 −1 06 9 13 2 0

=

47 39 36 −1 −133 26 3


Zutatenmatrix:

1 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1

2 0 11 1 1 1 2

Preismatrix:

2 1, 50

1, 50 13 51 2

2, 50 1

Produkt:

6 3, 507 5, 50

7, 50 612, 50 11, 50



a) det(A) = det

(2 3−1 4

)= 8 + 3 = 11 b) det(B) = det

(1 51 3

)= 3− 5 = −2

c) det(A ·B) = det

(5 193 7

)= 35− 57 = −22

Zu a), b), c): Es gilt det(A ·B) = det(A) · det(B). Dies gilt fur alle Matrizen A,B.

d) Entwickeln nach erster Spalte liefert:

det

2 3 70 −1 43 3 1

= 2 · det(−1 43 1

)− 0 + 3 · det

(3 7−1 4

)= 31

Berechnen mit Sarrus-Regel liefert:

det

2 3 70 −1 43 3 1

= 2 · (−1) · 1 + 3 · 4 · 3 + 7 · 0 · 3 −3 · (−1) · 7 − 3 · 4 · 2 − 1 · 0 · 3= −2 + 36 + 0 +21 − 24 − 0 = 31

Losungen zu Aufgabe 9.5:a) Zum Beweis der Aussage multiplizieren wir die beiden gegebenen Matrizen:(

a bc d

)· 1

det(A)·(d −b−c a

)=

1

det(A)·(a bc d

)·(d −b−c a

)=

1

ad− bc·(ad− bc 0

0 ad− bc

)=

(1 00 1

)b) Sei B = A−1. Wir setzen den vorgeschlagenen Vektor

(xy

):= B ·

(r1r2

)in das Glei-

chungssystem ein:

A ·(B ·(r1r2

))= (A ·B) ·

(r1r2

)=

(1 00 1

)·(r1r2

)=

(r1r2

)


Ist B =

(b1 b2b3 b4

)eine Matrix mit A ·B =

(0 00 0

), so muss(

b1 + 2b3 b2 + 2b42b1 + 4b3 2b2 + 4b4

)=

(0 00 0

)gelten. Diese vier Bedingungen sind aber eigentlich nur zwei, namlich b1 + 2b3 = 0 undb2 +2b4 = 0, also nichts anderes als b1 = −2b3 und b2 = −2b4. Damit konnen wir von b1 undb3 sowie von b2 und b4 jeweils eines beliebig wahlen. Eine Moglichkeit ware b1 = −2, b2 =−2, b3 = 1, b4 = 1 und tatsachlich: Es gilt(

1 22 4

)·(−2 −21 1

)=

(0 00 0

)Es gelten det(A) = det(B) = 0 und naturlich hat auch die Nullmatrix Determinante 0. Diespasst gut zu det(A ·B) = det(A) · det(B).

A.8. LOSUNGEN: WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 113

A.8 Losungen: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Losungen zu Aufgabe 10.1

A = 1, 3, 5, B = 4, 5, 6.

(a) A ∪ B = 1, 3, 4, 5, 6, A ∩ B = 5, A = 2, 4, 6, B = 1, 2, 3, A\B = 1, 3 undB\A = 4, 6. A und B sind nicht disjunkt da A ∩B = ∅.

(b) p(A ∪B) = 56 , p(A ∩B) = 1

6 , p(A) =12 , p(B) = 1

2 , p(A\B) = 13 p(B\A) =

13

(c) A und B sind nicht unabhangig, da p(A) · p(B) = 14 =

16 = p(A ∩B).


(a) p(”keine 4“) = 5

6 ·56 ·

56 = 125

216 ⇒ p(”mind. eine 4“) = 1− 125

216 = 91216

(b) p(”keine 6“) = 125

216 , p(”genau eine 6“) = 1

6 ·56 ·

56 · 3 = 75

216⇒ p(

”hochstens eine 6“) = 125

216 + 75216 = 25

27

(c) p(”genau zweimal 3“) = 1

6 ·16 ·

56 · 3 = 15

216

(d) p(”genau einmal 4 und einmal 5“) = 1

6 ·16 ·

46 · 6 = 1

9p(”zweimal 4 und einmal 5“) = 1

6 ·16 ·

16 · 3 = 1

72p(”zweimal 5 und einmal 4“) = 1

6 ·16 ·

16 · 3 = 1

72⇒ p(

”mind. eine 4 und eine 5“) = 1

9 + 172 + 1

72 = 536


(a) p(B) = 415 .

(b) p(”erste Socke schwarz, zweite anders“) = 5

15 ·1014 = 5

21p(”erste Socke rot, zweite anders“) = p(A ∩B) = 4

15 ·1114 = 22

105p(”erste Socke blau, zweite anders“) = 6

15 ·914 = 18

70⇒ p(A) = 5

21 + 22105 + 18

70 = 74105

(c) p(A|B) = p(A∩B)p(B) =

22105415

= 1114

(d) p(A) · p(B) = 56 ·

415 = 2

9 =22105 = p(A ∩B) ⇒ A und B sind nicht unabhangig.



1. Die folgende Zufallsvariable X modelliert die Ausschuttung.

X :

Hauptgewinn, 2.Preis,3.Preis, Niete

︸︷︷︸

Ω

−→ R

Hauptgewinn 7→ 100

2.Preis 7→ 5

3.Preis 7→ 2

Niete 7→ 0

2. Fur den Erwartungswert erhalten wir:

E(X) =∑ω∈Ω

p(ω)X(ω)

= p(Hauptgewinn) · 100 + p(2.Preis) · 5 + p(3.Preis) · 2 + p(Niete) · 0

=1

1000· 100 + 60

1000· 5 + 75

1000· 2 + 864

1000· 0

=550

1000= 0.55

Man verliert also durchschnittlich 45 Cent pro Spiel. Das Spiel ist also nicht fair.

3. Die folgende Zufallsvariable Y modelliert den Gewinn des Anbieters.

Y :

Hauptgewinn, 2.Preis,3.Preis, Niete

︸︷︷︸

Ω

−→ R

Hauptgewinn 7→ 1− 100 = −992.Preis 7→ 1− 5 = −43.Preis 7→ 1− 2 = −1Niete 7→ 1− 0 = 1

Also Y (ω) = −X(ω) + 1.

4. E(Y ) = −E(X) + 1 = 0.45

5. Die Varianz von X berechnet sich als:

V ar(X) =∑ω∈Ω

p(ω) (X(ω)− E(X))2

=1

1000· (100− 0.55)2 +

60

1000· (5− 0.55)2

+75

1000· (2− 0.55)2 +

864

1000· (0− 0.55)2

= 11.4975


A.8. LOSUNGEN: WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 115

(a) Wir berechnen zunachst alle Falle, in denen die Studentin besteht, separat aus. DieWahrscheinlichkeit, dass die Studentin besteht ist dann die Summe dieser einzelnenWahr-scheinlichkeiten.

p(# Richtige = 6) =

(1

3

)6

·(2

3

)3

·(9

6

)=

672

39

p(# Richtige = 7) =

(1

3

)7

·(2

3

)2

·(9

7

)=

144

39

p(# Richtige = 8) =

(1

3

)8

·(2

3

)1

·(9

8

)=

18

39

p(# Richtige = 9) =

(1

3

)9

=1

39

⇒ p(# Richtige ≥ 6) = 67239 + 144

39 + 1839 + 1

39 = 83539 ≈ 4.24%

(b) Man braucht nur die Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/3 auf 1/2 erhohen.

p(# Richtige = 6) =

(1

2

)6

·(1

2

)3

·(9

6

)=

84

29

p(# Richtige = 7) =

(1

2

)7

·(1

2

)2

·(9

7

)=

36

29

p(# Richtige = 8) =

(1

2

)8

·(1

2

)1

·(9

8

)=

9

29

p(# Richtige = 9) =

(1

2

)9

=1

29

⇒ p(# Richtige ≥ 6) = 84+36+9+129 = 130

512 ≈ 25%

(c) Hier muss die 9 zu einer 6 verandert werden.

p(# Richtige = 6) =

(1

3

)3

·(2

3

)3

·(6

3

)=

160

36

p(# Richtige = 7) =

(1

3

)4

·(2

3

)2

·(6

2

)=

24

36

p(# Richtige = 8) =

(1

3

)8

·(2

3

)1

·(6

1

)=

12

36

p(# Richtige = 9) =

(1

3

)6

=1

36

⇒ p(# Richtige ≥ 6) = 160+24+12+136 = 197

729 ≈ 27%

(d) Die erwartete Anzahl (im ersten Modell) an richtig geratenen Antworten und deren Va-


rianz ist dann:

E(X) =9∑

i=0

(1

3

)i

·(2

3

)9−i

·(9

i

)· i = . . . = 3

V ar(X) =9∑

i=0

(1

3

)i

·(2

3

)9−i

·(9

i

)· (i− 3)2 = . . . = 2 .

Die Anzahl richtiger Antworten ist binomialverteilt zu den Parametern n = 9, p = 1/3.


Zur Aussage des Studenten: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Student im Kursnicht am gleichen Tag wie er selbst Geburtstag hat, ist 364

365 . Dass dies unabhangig voneinander

fur samtliche der 24 Studenten gilt, tritt mit Wahrscheinlichkeit(364365

)24ein und die gesuchte

Wahrscheinlichkeit ist damit

1−(364

365

)24

≈ 0.06

Zur Aussage des Profs: Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit, dass alle Studenten an ver-schiedenen Tagen Geburtstag haben. Der erste kann sich unter den 365 Tagen einen beliebigaussuchen, der zweite muss dann einen der ubrigen 364 nehmen, der dritte kann nur nocheinen der restlichen 363 wahlen. So geht es weiter und der 25. Student hat nur noch 341 freieTage ubrig. Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei den Geburtstagen aller keine Uberschneidun-gen gibt, ist demnach

365

365· 364365· 363365· · · · 341

365=

365!

36525340!≈ 0.43

Damit ist die Wskeit, dass sich mindestens zwei Studenten ihren Geburtstag teilen etwa 0.57,mehr als 0.5.Naheres zu diesem Problem findet sich im Internet unter “Geburtstagsparadoxon”.

Literaturverzeichnis

[CR00] Richard Courant and Herbert Robbins, Was ist mathematik?, Springer, Berlin,Heidelberg, New York, 2000.

[Kem98] Arnfried Kemnitz, Mathematik zum studienbeginn, vieweg, 1998.

[Sch01] W. Scharlau, Schulwissen mathematik: Ein Uberblick, Vieweg Braunschweig, 2001.

[SGT00] W. Schafer, K. Georgi, and G. Trippler, Ubungs- und arbeitsbuch fur studi-enanfanger., Teubner, Wiesbaden, 2000.

[SS01] W. Schirotzek and S. Scholz, Starthilfe mathematik, Teubner, Wiesbaden, 2001.

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Skriptum zum Vorkurs Mathematik - Goethe-Universität · Mathematik ist f¨ur viele F ¨acher ein...

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