ZEITSCHRIFT FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGENIEURWISSENS CHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN Band 14 August 1934 Heft 4

In ha1 t : Seite

untl projektive Traiisforiiintioririi . . . . . . . I93

0. v . E b e r h a r d : Bullistik . . . . . . . . . . 199 H. N e u h e r : Ein iieiier Anvntz xiir Iiisuug riiuiu-

licher Probleine der F,la.ltizitiitstlieorii,. Drr

M. B i o t : Theory of Viliratioii lit' B n i l i i i i i ~ ~ Unring

0. Sr h i i l z : Fehlernbscliatzung liir des S l i i r ~ n ~ r ~ i ~ l i i ~

A. E r d b l y i : Uber die khiiieii Schwinguiiyi~~i eines

0. B a i e r: Ronstruktion einrs Friisers, drr r ine

H n I I p t n II f s ii t z e . R. S a ue r: ?Sparii~i~iigszi~sl~~ide

IIohlkegrl iiiiter Eitizellast IS Reispiel. . . . . 2113

Earthquake . . . . . . . . . . . . . . . . 214

lutegratiorisverfal~r~~i . . . . . . . . . . . . 2!!4

Pendels niit. oszillierendeni Aufhiingrpuiikt . . . '235

Seite ti I c i iie Xl i t t e i 1 U I I gr 1 1 . W. ' I ' o l l n i ieii: %nin

Laridesto U von See 11 ogr.eiigrn . . . . . . . . . 5 I

1'. F u I I k: Uhcr dir durch Kriimniiing S ~ C ~ P ~ P I I I H C I I I C I I MeUb:inder . . . . . . . . . . . . . . . . 251

V. I"inc1ier: Ein elienes I)ingrarnni fiir libriiiire (iemiwtie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2V2

R u r h b e s p r e c . h u u g r i i . K l e i n : Vorlesnngeii iibvr die Iiypergeometrische Fiinkt ion. -- K :I y L~I? r untl R o I I e 11: Handbnch der Spectroscopic. - I3 a I I - m n u n u. M e o k i : : I h s nllrarole S O I I I I P I I S ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I I ~ I ~ vou 1 IUUUU bis 1 i600 A . E. -~ Weitrr i a i i i p -

gaiigeiie I%iieher . . . . . . . . . . . . . . X i 4

. > - r gegebene Schraubenfliiche erzeugt . . . . . . . 248 I N a e h r i 1- 11 t e I I . . . . . . . . . . . . . . A.I

H AU PTA u F s AT z E

Spannungszustande und projektive Transformationen. Von Robert Smcer in Aachen.

ie bekannte ,,Dualitat" zwischen Lageplan und Kriifteplan eines Fachwerks Iiibt sicli auf D die Differentialgeometrie ubertragen und fuhrt dort zu einein ,,dualen" Entsprechen der Siitze iiber infinitesirnale Verbiegungen von Fliichenhiiuten und iiber Spannuiigsverteilungen in Membranen. Diese Beziehungen wurden erstmals von W. B1 a s c h k el) deutlich erkannt und spater von M. L a g a l l y a ) weiter untersucht und geklart. Vor kurzem liabe ich nun projektive Fragen der infinitesimalen Fliichenverbiegung untersucht') und eine einfache Methode gefunden, um BUS den infinitesimalen Verbiegungen einer FlBcIie die infinitesinialen Verbiegungen der zu ihr projektiven Flachen ') zu berechnen. Die dude Obertragung dieser Methode liefert einen auch fur die praktisclie Durchreclinung sehr e i n fa c h e n W e g , u ni a u s d e n S p a n n u n g s v e r t e i l u n g e n e i n e r M e m b ra n d i e S p a n n u n g s v e r t e i 1 u n g e n d e r z u i h r p r o j e k t i v e n M e r n b r a n e n zu g e w i n n e n . I m I. Abschnitt der vorliegenden Arbeit werde ich diese Untersuchungen fur unebene und ebene Membranen durchfuhren und durch Hinzunahme iiufierer Kriifte noch verallgemeinern ; der 11. Abschnitt behandelt das entsprechende Problem fur r & u rn 1 i c h e S p a n n u n gs f e 1 d e r.

Die Arbeit ist so geschrieben, dab sie auch ftir fliichentheorctisch wenig interessierte Leser und ohne Kenntnis der zitierten Abhandlungen versthdlicli ist. An zwei t.infac.lieri Heispielen wird das Problem verdeutlicht

I. Unebene und ebene Membranen. Auf eine vorgegebene Membran wirken kings des Randes und in den

einzelnen Flachenelementen vorgegebene Kriifte ( R a n d - bzw. F l i i c h e n k r i i f te ) ; diese solleii sich im Gleichgewicht befinden mit den von ihnen in der Mernbran hervorgerufeneri T a n g e n t i a1 s p a n n u n g en. Ich setze zuniichst die Membran als uneben voraus und werde die ebenen Membranen als Ausartung der unebenen in Nr. 6 behandeln.

1. Bezeichnungen.

. ~ _ _ _ 1) W. B l a s e h k c : Reziproke Kriiftepliine zn den Spnnnungr'ii i n einer I~ ieg~aincn Hnnt, Iut. C'oiigr. of Jlntli.

('aiubridge 1912. Proceeding8 2 (1913), S. 291-294. 2 ) M. L a g a l l y : Uber Spannnng und elnstisclw Deformntion unebrner Mrnibrnnen, %AM11 1 (19%). S. 3;; bis :lR:l. 3) H. S a n e r : Wnckelige Kiirvennetze bei einer inlinitrsin~nleii Fliic.henverbiegu~~g. Math. Ann. 1903, S. (iXl bisli!):!;

I<. S n n e r : Krii~nniungufeste Kurven bei einer i i ~ ~ n i t e w i n ~ n l r i ~ Fliirtieuverbie~ur~g. Mnth. Zeitsclirift 38 (I!l:M), S. 468 Iiis 475. 'J Vgl. hierail nueh G. n n r b o i i x : Thi'rie des snrlnces IV (IX9F,), A. 78.

1 :!

Ztschr. I.angew. 194 S a u e r , Spannungdzrustiinde iind projektive 'I'ransfomationen Math. und Mech.

Wir denken uns die Mernbran als Fllclie w = 1 in ein Gewebe dreier Flachenscliaren u = const, v = const, w = const eingcbettet; die Flachen u = const, w = const schneiden die Mernbran n, = 1 nach zwei Kurvenscharen. Das Fllcliengewebe sol1 so gewalilt sein, daG in der Umgebung der Membran u , v, +v als krumrnlinige Koordinaten der Raumpunkte benutzt werden kunnen Dann ist der Ortsvektor eines Raumpunktes eine eindeutige Vektorfunktion 4 (14, w, w ) ; insbesondere liefcrt x (u, v, 1) die Punkte dcr Membran.

Die 6 Flachen u, u + d u , v, w + dw, tv, w + div schlielien ein elementares ,Parallel- flacli" ein, das im Falle w = 1 mit dcr Seitentilclie ( E ~ ~ X E ~ ) d u dw der Membran anliegt (Abb. 1); die beiden Kanten , rudu , gvda liegen in der Membran, die dritte vorn Punkt u/u/w aus- gehende Kante gw dn, tritt aus der Membran heraus. Jedern Mernbranpunkt ordnen wir nun das durch g,,, zv, bw bestirnmte i. a. schiefwinkelige Koordinatensysteni zu, wobei die Einheits- punkte auf den Koordinatenachsen die Endpunkte der Vektoren xu, zV, xw sein sollen. Auf dieses von Punkt zu Punkt verschiedene Koordinatensystern beziehen wir die Flachenkriifte und die Spannungen durch den Ansatz

(1) xu + q zv + r xw) d u d v = Fliichenkraft auf das Fliichenelement ( E ~ X E ) , ) d u dv,)

welche von der urngebenden Membran auf das Flachenelement (,ruXgv) d u d v wirkt. Die Randkrlfte kUnnen im Gleichgewichtszustarid als Spannungen angesetzt werden. Die Zeiger der d k sind oben angebracht, urn spater nicht durch die Differentiationszeiger u, v gestort zu werden.

Die Spannungen d 2 x u d u und o ~ ' ~ ~ , L E v sind S c h u b s p a n n u n g e n ; d ' ~ , c d u und P glL d v werde ich als Q u e r s p a n n u 11 g e n bezeichnen. Wenn die I'ararneterkurven ein Orthogonalsystem bilden, greifen die Querspannungen senkreclit am Linienelerrient an.

Abb. 1. Abb. 2.

Aus den Spannungen an den Linienelementen z l 1 d u , gt.(lv erhiilt man die an einem bcliebigen Linienelement tlc clac - d v (voni Punkt u / w + dv zum I'unkt u + d u / v ; vgl. Abb. 2) wirkende Spannung durch Vektoraddition (d1 xv + d2 z,,) C E U + (o2I ,rq, + oz2 x l 1 ) d w. Die Spannungsverteilung in der Mernbran ist also (lurch die oik vollstiindig festgelegt.

Fur die praktische Durchfuhrung ist es notig, die FlLchenkr%fte und die Spannungen

I E d ' IFvl l auf die Fliichen- bzw. Llngeneinlieit 211 reduzieren und auf die Einheitsvektoren - F I'

Eu, 1

&

zu beziehen. Man erhlllt als reduzicrte, anf Einheitsvektoren bezogene KompoIienten FW

der FlBchcnkriifte bzw. Spannungen (alle Quadratwurzeln positiv !)

Dabei sind die in der Flaichentheorie tiblichen Abkiirzungen benlitzt: grl : g l , b r , , g12 = x,, x.!, , 8.. = Ev bv 1 u3:, = Etr F i r *

195

2. Gleichgewichlsbedingungen. Das elcmentare ,Parallelogrammu (xu X xv) (1 '16 d v befindet sich im Gleichgewicht unter dem Einflufi der Fliichenkraft (p ,gu + q gv + r ,rw) d i c (1 u iind der an den Parallelogramniseiten wirkenden Spannungen.

. . . . . . . . . . . (3),

Xl l + P XI' -I- q bfl i- #. x l , ? = 0 (4).

Rand 14, Hrft 4 Aiigiist l9.M 8 a u e I , Sl ' snnungrszus tan~l~ und proj&ti\(i Trmsfmmationen

Der Flticliensatz liefert .r h .A i

und aus dem Schwerpunktsatz folgt d a m die Vektorgleichung

fJ" hu u + 2 oIP X,l f l + fJzp b t I 1 1 t o u i l x u + . P i ? k?l + % / I 2 x,, + . Die skalare Multiplikation') von (4) mit x x X xt, bzw. x , ~ X x I I I , bzw. F,, X xf, Bedingungen

,I1 ( F l l X V I F u a) + 2 f J 1 * ( E , 1 , Tv, F?t v) + on? (xu3 xu. 611 ?l>

~ " ~ F ~ ~ , ~ ~ ~ ~ , F ~ ~ ~ ~ ~ + . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ , E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ " + ~ ~ i n ~ ~ ~ f r ~ ~ o , ~ l c f O + q ~ ~ l l r ~ l l l c l ~ l ~ ~ + r ( g u , x l r r , g t c . ) - O , (5) . n22(Fv,Fvv, F n I ~ + ~ ~ 1 n ~ 6 v ~ b z ~ v , F l l V ~ - ((Jll" -t ~ ~ ~ " ~ ~ ~ t ~ ~ ~ 1 1 , b o 2 ' ~ + l ~ ~ X v r h v v , E,l)+r(F?.. E l . v*xf,J=- 0,

ergibt die drei

- O 7 1

+ r th,i , Xv, SLLJ

Frir orthogonale Parameterkurven spezialisieren sich die G1. (5) zu den bekann ten Gleich- gewichkbedingungcn von L. L e co r n u und E. B e 1 t r a m i n, O). Durch Integration der drei partiellen Differentialgleicliungen (5) mit den vorgegcbenen Kraften im Membran.

3. Projektive Transformationen. wir homogene Koordinaten ein

E ih

Z F -

Dadurch transformieren sicli die G1.

fiir die drei gesuchten Funktionen of:, ,,) erhiilt man die Gleichgewicht befindliclieii Spannungsverteilungen der

An Stelle der kartesischen Koordinaten 2, y, z fuliren

. . (6). 11 i" , ?I=?, 2 - -

(5) in

t j tY . . . . . . . .

+." [Z7 t t i7Z i , , t i / 7 / ]+ r[t',t'ii,f,,Ei,.]-o,

Die niclit hingeschriebcne dritte Gleichung folgt aus der zweiten durcli Vertauscliung von 1 und 2, ic iind v? p iind Q. Die Ausdriicke [. . . .] bedeutcn vierreihige Determinanten, in deren 2., 3. und 4. Zeile die zur angegebenen 1. Zeile analogen Glieder rnit 11, 5 und 6 stehen.

Wir betrachten nun eine projektive Transformation: $, 7j, TI 73 = Linearformen von 6, 9 , [, 6 init konstanten Koeffizienten, deren Determinante nicht verschwindet. Ersetzt man E , 11, - 5 , 6 durch 17, f, 6 und n i k , p , Q, r rlurcli Z i k = (:rdkl F=(:)'p, i=(:-).q. ?=($)'r, so Lndern sich die Determinanten [. . . .1 urn einen gemeinsamen nicht verscliwindenden konstanten Faktor und die in (7) au'ftretenden Koeffizienten der Determinanten um den ge-

meinsamen Faktor

Dies fiihrt zu folgendem Ergebnis :

A u s e i n e n i G l e i c l i g e w i o h t s z u s t a n r l z w i s c h e n d e n F l t i c h e n k r a f t e n p , q, r , d e n R a n d k r a f t e n u n d d e n T a n g e n t i a l s p a n n u n g e n o i k e i n e r v o r g e g e b e n e n M e m b r a n (31) l a f i t s i c h e i n G l e i c l i g e w i c h t s z u s t a n d f u r jedt! z11 ( M ) p r o j e k - t i v e M e m b r a n (@) a b l e i t e n , i n d e m m a n f u r (a) a n s e t z t ' )

. . . . . (8). (!T - - p = m p , q = w q , ? = ( o r , Zi1i=wnik mit o = - _ _ ~ -

b ) Das skalare Prodokt ( x X D) 8 wird mit ( r , 0, 6) bezrichnet. fl) J,. L e c o r i i u: Sur I'equilibre dcs siirfaces flexiblcs e t inexteiisibles, .lourn. de 1'Ecole polytechnique 29 (48). 18411;

E. B e 1 1 r a m i: Siill'equilibrio delle siiperflcie nessibili rtl iiiestendibili. Mein. della Ace. di Bologna 4 (Y), 1881: vgl. ferrier B. C a l d o n a z z o : Siilla meceariira dclle siii)erncic, 11 Monitore teciiico 26 ( W 2 0 ) . S. 5 bis2U; hier wird iiisbesoridpre geeseigt, daO die ~leichgewichtst iedi i i~i i i igen nicht iiiir f i ir iindehiibare Mernbrarien gelten.

7 ) Rei der Trarisforinatioii der r e d i i z i e r t c i i Kriifte iirid Spaiir~iingen (vgl. (4)) kouimen iieheii 01 norti IAiigeii- und Fliielienverzerruiigen als Faktoren binzu.

I:$*

Ztachr. f. aiigew. S a u e r , Spannungszustiinde nntl projektive Transformationen Math. und Meeh. - 196

B G e o m e t r i s c h b e d e u t e t - d e n m i t e i n e r f u r a l l e P u n k t e g e m e i n s a m e n Z a h l

m u l t i p l i z i e r t e n A b s t a n d d e r P u n k t e d e r M e m b r a n (AZ) von d e r F l u c l i t e b e n e , d i e b e i d e r p r o j e k t i v e n T r a n s f o r m a t i o n i n d i e u n e n d l i c l i f e r n e E b e n e a b - g e b i l d e t w i r d.

Spezialisiert sich die projcktive Transformation z i ~ einer a f f i n e n , so wird w konstant, d. 11. fbr jede zu (M) affine Membran (XI) existiert ein Gleichgewiclitszustand mit ungeanderten p1 q, r , d k ; die reduzierten Krafte und Spannungen andern sich nach (2).

Unter der besonderen Annahme, dab k e i n e a u b e r e 11 K r 2 f t e auftreten ( p = q = r =. 0). ist der Inlialt dieser Nummer das mechanische Gegenstuck zum Hiiclie~itheoretiscl~cn Problein, die infinitesimalen Verbiegungen der zii einer gegcbenen FlLche projf.ktiven Fliichen zu hestininien ') ').

6

4. Beispiel. Die vorgegebene Membran (ill) sei die Kugelfl&clie x 2 -t g* + z2+ 1; es hestehe (;leichgewirht zwischen eineni konstanten, von innen her wirkenden Eormaldruck

(Fliiclienkraft) wid einer isotropen Spaiinungsverteiluiig in der Kiigelfliichc. z '

y = - - E =- wird die Kugel ( M ) transformiert in das zweisclialige Drehliyperboloid

($1) 2' + 5' - Z z + 1 = 0. Nach Einfiiliriing der riiumliclien Polarkoordinaten x = tv COP cos v, 73 = tu cos u sin v , z = TU sin u liefert die fhertragiing des vorgegebenen C;leichgewiclitszustandes der Membran ( A I ) auf die projektive Menibran (&) nach Nr. 3 ni i t w = s in2u folgendes Ergebnis :

Memhran ( A f )

X Durcli 2 -- -

- 9 1 2 ' z

2 - 1 2 = 0; P = Q = O , R = ~ ( c ; p=-Ez? ~ a ,

p 0 , r = 2 (1 cos N ; ~ p - = 0; CI - a cos IC , . I 1 -

COS '1c '

Membran (@)

I I sin?u 7i - ( l - - , 11 = q = 0 , i; - 2 (I sin2 i c cos tc ; cos u

Da die Durchmesscr der Kugel ( M ) in die Parallelen zur 2-Achse transformiert werden, sind alle auf die Membran (lk) wirkenden Fliichenkriifte zueinander parallel und kbnnen als Schwerkriifte aufgefabt werden, weiin man sicli (AT) in passender Weise inhornogen mit Massc belegt denkt. Schneidet man von der Kugel (M) bzw. dem Drelihyperboloid (a) eine Haube ab, so besteht Gleichgewicht, wenn man die langs des Ilandes der Ilaube wirkenden Spannungs- krlfte als Randkrafte hinzufiigt.

5. Spezielle Parameterkurven. Ein u, v-Kurvennetz, bei dem nur Querspannungen (d2 = 0) bzw. nur Schubspannungen (a" = o Z 2 = O ) auftreten'), sol1 kurz als Q u e r s p a n n u n g s - bzw. S c h u b s p a n n u n g s n e t z bezeichnct werden. Indem man vermtige a* = u* (u, v), v* = u* (u, v) neue Parameterkurven einfuhrt, fiir diese die o*ik berechnet und uCL2=O bzw. n*ll = (J*~'- 0 fordert, findet man folgendes Ergebnis:

Zu jeder vorgegebenen Spannungsverteilung gibt es ein Schubspannungsnetz und unend- lich viele Querspannungsnetze. Das Schubspannungsnctz ist bestimmt durch die Differential- gleichung a"du2+ 2 o L 2 d u d v + o Z 2 d v 2 = 0 und besteht aus zwei zueinander konjugierten Kurvenscharen; diese sind reel1 und voneinander verschieden fiir a" oZ2 - (a'?)' < 0. In den Querspannungsnetzen kann die eine Kurvenscliar (unter Verrneiduiig der Kurven des Schub- spannungsnetzes) willkiirlich gewLlilt werden, die andere Kurvenschar ist dann dadurch bestimmt, dab die Kurven des Scliubspannungsnetzcts und der Querspannungsrietze sicli harmonisch trennen. -

u, Vgl. hicrzii die i l l 8 ) zitiprtc Arbeit vnn E. R r l l r n m i .

S a u e r , Spannungazustiinde und projektive Transformationen 197 Band 14. H e f t 4 Augitst 1934

Die Bedeutung der Schubspannungs- und Querspannungsnetze liegt darin, dafi sie bei dcr projektiven obertragung nach Nr. 3 ihren Cliarakter beibehslten. Das fliiclientheoretische Gegenstiick sind die krummungsfesten 3, und die wackeligen ') Kurvennetze.

Die Querspannungsnetze lassen sich durcli Fadenniodelle mit zwei Scharen gespannter gegenseitig verknoteter Faden darstellen. Die in den Faden auftretenden Spannungen geben die Querspannungen und werden durch die in den Verknotungen angreifenden Lukeren Krafte in1 Gleichgewicht gehalten. Die von den Faden uberdeckte Flilche braucht im Falle ver- schwindender lufierer Krafte nicht durch ein starres Material realisiert zu werden.

6. Ebene Membranen. Die Membran (AZ) sei jetzt als eben vorausgesetzt (z=O). Die Vektorgleichung (4) liefert dann nur zwei partielle Differentialgleichungen fur die drei Spannungs- funktionen o i k (u, 17). Dies fiihrt zii wesentlichen Unterschieden der Probleme der ebenen und der unebenen Membran; z. B. gibt es zu jedem Kurvennetz einer ebenen Membran Spannungs- verteilungen, bei denen das Kurvennetz Querspannungsnetz ist, wahrend bei unebenen Mem- branen nur spezielle Netze als Querspannungsnetze genommen werden k6nnen. Die in Nr. 3 behandelte projektive Ubertragung liifit sich jedoch auch fur ebene Membranen ( M ) vornchmen ; das in Nr. 3 abgeleitete Ergebiiis bleibt dabei wcirtlich gultig.

11. Raumliche Spannungsfelder. Die Untersuchungen des I. Abschnitts sollen jetzt auf raumliche Spannungsfelder iiber.

t,ragen werden.

7. Bezeichnungen. I n einem vorgegebenen raumlichen Feld bestehe Gleichgewicht zwischen den an der Begrenzung und in den einzelnen Raumelementen angreifenden Kraften (Be- g r e n z u n g s - bzw. V o 1 u m e n k r a f t e n) und den von ihnen hervorgerufenen S p a n n u n g e n. Wir betrachten wieder das in Nr. 1 eingefutirte Parallelflach vom Rauminhalt (gu, gv, gw) d u d v dw, das jetzt aber nicht an die Flache w = l angrenzen mufi. Ferner setzen wir

Die analog verlaufenden Rechnungen werde ich dabei nur kurz andeuten.

(11 x u + q xv + r gto) dzc d v d t v = Volurnenkraft im Raumelement (xu, x a , g7,,) dtc d v d t v ,

(az1 if , + oZ2 x u + g,,,) d w d u = Spannung am Fliichenelenient (0" xu + o12 x u + ot3 x f , . ) d v d t v

(o" x t t + a3' gv + 033 gu,) dzc d v

welche von der Umgebung auf das Raunielement (gu, gv, gW) d u d v diu wirkt. Die Begrenzungs- krafte k6nnen im Gleichgewichtsfall als Spannungskriifte angesetzt werden. Analog xu Nr. 1 ist durch die oik die Spannungsverteilung vollstandig festgelegt.

Durch Reduktion auf die Raum- bzw. Fliicheneinheit iind durcli Bezieliung auf die Ein-

lieitsvektoren -g71 ~ gv ~ x f u , erlialt man fur die Volumenkrafte bzw. Sparinuiigen (alle

Quadratwurzeln positiv!)

} (811 (xc x g1,J d v d w (gto X x t l ) d tv (1 u I I ( x u x xv) d v

I z J i x v Y Ixwt

wobei die gik entsprechend Nr. 1 definiert sind und a u k e r d e m ~ g den positiven Wert von ( x u , x z 3 , x f J bedeutet.

8. Gleichgewichtsbedingungen. Flachensatz und Schwerpunktsatz liefern

oil; = O k i . . . . . . . . . . . . . . . (1011

. . (11). I fltl F a I( + oz2 x u 1 ) + ons E t c I( ' + 4 .= xv w + 3 or' xw I1 +4Ol2F,,W

+ 1' xu + q xv + r E W = 0 + rill" x u + oV2* xv + gu. t ov'' xu, t 07u23 x o + owy1 xu + oPl3' xw+all" gv + nvl' gll

Die skalare Multiplikation von (11) mit zv X xlu bzw. hU. X xu bzw. xu X gv ergibt drei partielle Differentialgleichungen fur die sechs Funktionen o f t , u, w, .

Ztschr. 1. augew. 198 S a u e r , Spannungszrrstiinde i int l projektivr 'I'ransformationen Math. nnd Mech.

9. Projektive Transformationen. Durcli clieselbcn Oberlegungen und Rechnungen wie in Nr. 3 finclet man das analoge Ergebnis:

A u s e i n e m ( ; l e i c l i g e w i c l i t s z u s t a n d z w i s c l i e n d e n V o l u m e n k r i i f t e n p , q, r , d e n B e g r e n z u n g s k r a f t r n u n d d e n S p a n n u n g e n nil, c i n e s v o r g e g e b e n c n r a u n i - l i c h e n F e l d e s (F) l & & t s i c h e i n G l e i c l i g e \ v i ( . l i t s z u s t a n d f u r j e d e s z u (F) p r o - j e k t i v c F e l d (8') a b l e i t e n , i n d c m m a n f i i r ( F ) a n s e t z t ' )

f i r = w p , 4 - - m q , F = W T . i j l A = W G # ~ init ( I ) = - . . . . (13).

;r C1bt.r ( l i e g e o m e t r i s c h e B e d e i i t u n g von 7) vgl . Nr. 3.

10. Beispiel. Das vorgegebcne Spannungsfeld (F) sei die Vollkugel .r2 + y2 + z2 5 1; cs bestehe Gleichgewicht zwischen einem von auiben lier wirkcnden konstanten Normaldruck auf die Begrenzung (Begrenzungskraft) und einer isotropen Spannungsvertcilung im Tnnern der Vollkugel. Volumenkriifte sollcn niclit auftreten. Durch dieselbe projektive Trans- formation \vie in Nr. 4 wird die Vollkugel (F) in zwei vom zweischaligen Drehhyperboloid s2 + ii? Z 2 + 1 = 0 begrenzte, ins Unendliclie sich erstreckende Raumgebiet abgebildet. Nacli Nr. 9 erhalt man mit a) = w 2 sinZ z b folgendes Ergebnis:

Spannungsfeltl (E') : \'I1 _. \Y? ~. )'33 ~ - - - A - a,

__ - cc cos u , Volumen- I kraftc und fb d3 -- u ?t'? cos 9.4 ; 02:' -. ~~ ~ ._

cos u'

Die an (2) angreifenden Begrenzungskriifte miissen gleich den dort aus unscrer Rechnung folgenden Spannungskrsften p3 angenoiiimen werden. Da sie parallel zur 2- A c h e wirken, kann man sie als Schwerkrafte auffassen, wenn iiinn sich die Regrenzungsflache in passender Weise inhoniogen mit Masse belegt denkt.

11. Spezielle Parameterflaehen. Ein tc- , v-, ?u-FIBclienge\\.ebe mit oZy = d1 = .In = 0 bzw. rill - 0 - - - .,'I -

diescn Fallen nur Qucr- bzw. Schubspannungen auftreten. Da fur die 6 Funktionen o i k (21, u , w ) nach Kr. 8 nur drei Bedingungcn vorgeschrieben sind, gilt hier folgender von Nr. .?I ver- schiedener Sacliverhalt :

Zu einer vorgegebcnen Spannurigzjverteilung gibt es nicht nur unendlich viele Quer- sondern aucli unendlich viele Scliubspannungsgewcbe. Fur jedes Flachengewebe kann man Sp~nnungsverteiluogen angeben, Lei deiien es Quer- bzw. Schubspannungsgewebe ist.

Naturlich sind die Quer- und Scliubspnnnungsgewebe im namlichen Sinne projektiv- invariant wie die Quer- und Schubspaiinungsnetze der Nr. 5.

- -0 sol1 Q u e r s p a n n u n g s - bzw. S c l i u b s p a n n u n g s g e w e b e heifien, da in

Die hier fiir Gleichgewiclitszustiinde bchandelte Methode laibt. sicli auf heliebige B e - \v e g u n g s z u s t ii n d e verallgenieinern. Dabei komnien zu den Spannungen und Fliichen- bzw. Volumenki-iiften iiocli Beschleunigunge~~ hinzu, welche bei der projektiven Cbertragung ebenso wie die Flaclien- bzw. Volunienkriifte transformiert werden. Ferner gelten, wie ich bei spatcrer Gelcgenlieit genauer auseinandersetzen werde, analoge Satze auch fiir F a c 11 w e r k e. Man gewinnt dadurch aus den Spannungsverteilungen eines Facliwerks die Spannungsver- teilungen der zu ihin projektiven Facliwerke. CJnter der besonderen Annalime verschwindender auherer Krgfte ergibt sich der Satz von H. L i e b m a n n " ) uber die projektive Invariariz der , Ausnahniefachwerke u. 431 ~ ~

9) Uei dcr Trnnsforiiintion dcr r e d u z i e r t e n Kriifte und Spniinungen (vgl . (2)) kommen neben w noch Liingc~i-,

1 0 ) 11. I, ict b u1 a n 11: AusnahinePtichwcrkc iind ilire Deterininante, Miinchencr Berichtc, math.-phys. Klasse, 50 ( 1 9 3 l ) . Flitchcu- und Voloniriiverzerrungeii als Faktoren hinzu.

S. 197 bis 'L2i.