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START MATHEMATIK-STAFFEL 2011

Ihr habt 60 Minuten Zeit fur 20 Aufgaben.

Die Gesamtzahl der zu erreichenden Punkte ist 500.

Staffel-Aufgaben 1 (20 Punkte, Rest 480 Punkte)

Drei gleichschenklige DreieckeDas hier gezeigte gleichschenklige Dreieck ist in zwei gleichschenklige Dreiecke aufgeteilt.

O

O�

�

?

Wie groß ist der Winkel an der Spitze des (großen) Dreiecks?


VerdecktIn einem 3 × 3–Quadrat stehen neun ganze Zahlen. Ein

’Zug‘ besteht darin, zu jedem

Element einer Reihe oder einer Spalte ein und dieselbe naturliche Zahl hinzu zu addieren.Dies ist die Ausgangssituation.

3 5 7

8 12 0

4 6 3

Nach einer Reihe von Zugen ist folgende Situation entstanden:

15

17

15 18

Welche Zahl steht jetzt in der Mitte des Quadrates?


AntipodenLondon liegt in Richtung WSW von Amsterdam. WSW bedeutet

’WestSudWest‘.

Der Antipode (’Gegenfußler‘) von Amsterdam ist der Ort, an dem du auf der Erdoberflache

’rauskommst‘, wenn du eine Gerade durch Amsterdam und den Erdmittelpunkt legst.Entsprechend gibt es den Antipoden von London.

In welcher Richtung liegt der Antipode von London bezogen auf den Antipoden von Ams-terdam?

Passt auf! Zur Beantwortung dieser Frage habt ihr nur zwei Versuche.


Eine SpiraleEin Mensch macht Schritte von jeweils 1 Meter. Er geht zuerst einen Schritt nach Osten,dann einen Schritt nach Norden, dann 2 Schritte nach Westen, dann 2 Schritte nach Suden,dann 3 Schritte nach Osten, usw. Auf diese Weise lauft er auf einer Spirale mit rechtenWinkeln.

N

usw.

Wie groß ist seine direkte Entfernung (Luftlinie) vom Ausgangspunkt nach 100 Schritten?


Ein zerlegtes QuadratEin Quadrat mit einem Flacheninhalt von 225 FE (Flacheneinheiten) ist in vier Rechteckezerlegt.

60

45

Das einfach gestreifte Rechteck hat einen Flacheninhalt von 60 FE, das gekreuzt gestreifteRechteck einen Flacheninhalt von 45 FE.Wie groß ist der Flacheninhalt des großten der beiden grauen Rechtecke?


Drei Halbkreise

Drei Halbkreise mit Radius 1 werden derart ubereinandergelegt, dass je zwei Endpunktezusammenfallen.

Wie groß ist der Flacheninhalt des grauen Gebietes?


TreppensteigenRudi Rastlos nimmt beim Treppensteigen eine, zwei oder drei Stufen gleichzeitig. Er steigteine Treppe von 9 Stufen hinauf. Hierzu hat er verschiedene Moglichkeiten, z.B. ware eineMoglichkeit (in der Reihenfolge): 1, 3, 1, 2, 2 Stufen.

Wie viele Moglichkeiten hat Rudi, die Treppe hinauf zu steigen?


Kreuzsummen

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

= =14

8

4

17 9

Wie viele Moglichkeiten gibt es, die oben stehenden Platzhalter mit positiven ganzen Zahlenzu belegen, so dass sowohl die horizontalen als auch die vertikalen Summen

’stimmen‘?


StammbrucheEin Stammbruch ist ein Bruch, bei dem der Zahler 1 ist und der Nenner eine naturlicheZahl ist, also einer der Bruche 1

1, 12, 13, 14, 15, . . . .

Die Zahl 137120

ist die Summe von 5 Stammbruchen, namlich 137120

= 12

+ 14

+ 16

+ 18

+ 110

.

Schreibe diese Zahl als Summe von moglichst wenigen Stammbruchen.


Folgen mit WiederholungEs gibt 4096 Folgen der Lange 12, deren Glieder nur aus Nullen und Einsen bestehen.Solch eine Folge nennen wir eine

’Folge mit Wiederholung‘, wenn man sie in mindestens

zwei identische Stucke’zerschneiden‘ kann. Beispielsweise ist die Folge 110110110110110

eine solche’Folge mit Wiederholung‘, da man sie in 4 identische Stucke der Form 110

zerlegen kann.

Wie viele ‘Folgen mit Wiederholung’ gibt es?


GewinnspieleBei einem Wettbewerb mit 5 Spielern spielt jeder Spieler gegen jeden anderen genau ein-mal. Der Gewinner erhalt 3 Punkte, der Verlierer 0 Punkte und bei einem Unentschiedenbekommt jeder Spieler einen Punkt. Nachdem jeder gegen jeden genau einmal gespielt hat,haben alle funf Spieler gleich viele Punkte.

Wie viele Unentschieden kann es gegeben haben? Gib alle Moglichkeiten an.


Gemeinsamer TeilerBetrachte die folgenden 3 dreistelligen naturlichen Zahlen: 12a, 1a2 und a12. Hierbei istdie Ziffer a verschieden von 0.Zusatzlich weiß man, dass diese 3 Zahlen einen gemeinsamen zweistelligen Teiler haben.

Welcher gemeinsamer Teiler ist es?


RechteckzahlenEine Rechteckzahl ist eine naturliche Zahl, die sich als rechteckiges Muster von n × mEinheitsquadraten darstellen lasst, derart dass der Flacheninhalt dieses Rechtecks (in m2)genauso groß ist wie der Umfang (in m).So ist z.B. die Zahl 15 keine Rechteckzahl, da 3 · 5 6= 2 · 3 + 2 · 5 und 1 · 15 6= 2 · 1 + 2 · 15sind.

Gib alle Rechteckszahlen an!


Eine ZahlenfolgeOrdnet man die Menge der naturlichen Zahlen der Form 2a · 10b, wobei a und b nichtne-gative ganze Zahlen sind, der Große nach, so erhalt man die Folge a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4,a4 = 8, a5 = 10, a6 = 16, a7 = 20, a8 = 32, . . . .

Welches ist der Index k, falls ak = 20000 ist?


Ein SteckbriefUber eine naturliche Zahl n < 100 wurden die folgenden 6 Behauptungen gemacht:

• n ist eine Primzahl.

• n ist ein Vielfaches von 11 minus 1.

• n ist ein Vielfaches von 6 plus 1.

• n ist gerade.

• Die Quersumme von n ist 9.

• n ist kein Vielfaches von 5 minus 1.

Genau zwei dieser Behauptungen sind falsch.

Welche Zahl ist n ?


Gleich weit entferntGegeben sind 4 Punkte in der Ebene (wie in der Zeichnung).Gesucht sind alle Kreise, deren Kreislinie von allen 4 Punkten gleich weit entfernt ist.Einer der Kreise ist als Beispiel eingezeichnet.

Wie viele derartige Kreise gibt es ?


Wie viele Zahlen?Fur eine (im Dezimalsystem gegebene) naturliche Zahl n sei s(n) die Quersumme von nund a(n) die Anzahl der Ziffern von n. Beispielsweise gilt: s(123) = 6 und a(123) = 3 unddamit s(123)a(123) = 63 = 216.

Fur wie viele naturliche Zahlen n mit 0 ≤ n ≤ 1000 gilt: (s(n))a(n) = n?


Angeleuchtete WandIn der Zeichnung sieht man im Grundriss einen Teil eines Raumes, bei dem sich zweiWande rechtwinklig treffen, eine Lampe an einer Wand befestigt ist und im Raum eine zy-linderformige Saule steht. Der Mittelpunkt der Saule ist 13 Dezimeter von beiden Wandenentfernt. Der Radius der Saule betragt 5 Dezimeter. Die Lampe ist in einem Abstand von13 Dezimetern von der anderen Wand angebracht.

Wie lang (in Dezimeter) ist der Teil der Wand, an dem die Lampe nicht hangt, der vonder Lampe angestrahlt wird?


Twee kwadratenGesucht ist eine naturliche Zahl n > 0, so dass 4n + 9 und 9n + 4 beide Quadratzahlensind.

Welche Zahl ist n?


Tic-Tac-ToeAlice und Bob spielen das Spiel

’Tic-Tac-Toe‘. Aber anstatt abwechselnd jeweils einen Zug

zu machen, wird durch Bieten bestimmt, wer den nachsten Zug macht. Derjenige, der denletzten Zug nicht gemacht hat, beginnt mit Bieten. Der andere muss hoher bieten, usw., bisdass einer der Spieler nicht mehr hoher bieten will oder kann. Man darf nur ganze Eurosbieten. Der hochste Bieter zahlt sein Gebot in einen Pott und kann dann einen Zug machen.Der niedrigere Spieler behalt sein Geld und kann mit dem folgenden Bieten beginnen. DerSpieler, der als erster drei gleiche Symbole in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal)hat, gewinnt das Spiel. Ein Spiel verlief beispielsweise folgendermaßen:

• Beide Spieler haben zu Beginn 100 e.

• Alice bot 50 e und Bob bot nicht daruber. Alice zahlte somit 50 e und setzte einKreuzchen.

• Bob bot anschließend 10 e und Alice bot mit 20 e mehr.

• Bob ging nicht hoher. Alice hat nun ein zweites Kreuzchen gesetzt; sie hat aber nurnoch 30 e.

• Bob gewann die folgenden drei Bieterrunden jeweils mit 31 e und setzte 3 Kringelin eine Reihe.

Somit hat Bob gewonnen. Nach einigen Runden in einem anderen Spiel sieht der Standwie folgt aus:

Alice, die mit Kreuzchen spielt, darf das folgenden Bieten beginnen. Bob hat noch 60 ezur Verfugung.Wie viele Euro braucht Alice noch mindestens, um sicher zu gewinnen?

MATHEMATIK-STAFFEL 2011

Losungen

1

O

O�

�

α

βα

α+ β

β

A B

C

D

Die Gleichschenkligkeit der entsprechenden Dreiecke fuhrt zu obiger Verteilung der Winkel.Damit gilt ∠ABD = 180◦ − 2β = 180◦ − 2α− β, also β = 2α. Damit ergibt sich aus demDreieck 4ABD: 7α = 180◦, also α = 180◦

7oder α = π

7.

2Die Zahl, um die sich die 2. Zeile andert sei a, die um die sich die 3. Zeile andert sei b; dieZahl, um die sich die 1. Spalte andert sei c, die Zahl, um die sich die 2. Spalte andert seid. Dann gilt:a + c = 17− 8 = 9, b + c = 11, b + d = 12. Somit ist d = c + 1 und damit a + d = 10. Immittleren Feld steht also 12 + a+ d = 22.

3Betrachtet man die Antipoden, so sieht man, dass das Ost-West Verhaltnis erhalten bleibt,das Nord-Sud- Verhaltnis aber umgedreht wird. Dies sieht man am einfachsten, indem manzwei Punkte betrachtet, die auf dem selben Langen- oder Breitengrad liegen. Die Antwortist also WNW.

41. Losung:Nach 4n2 Schritten befindest du dich genau n Meter nordlich und n Meter westlich vondeinem Ausgangspunkt. Um dies zu sehen, betrachte die Zeichnung fur n = 2.

N

usw.

Es existieren genau 16 Punkte in dem Quadrat, bei denen ein Schritt beginnt. Nach 16Schritten stehst du also links oben gerade außerhalb des Quadrats. Da 100 = 4 · 52 sehenwir, dass du nach 100 Schritten 5 Meter Richtung Norden und 5 Meter Richtung Westenzuruckgelegt hast. Der Abstand zu dem Anfangspunkt ist dann 5

√2 Meter.

2.Losung:Nach einem Durchlauf aller Himmelsrichtungen, also nach 2·(1+2) = 2·3 Schritten befindetman sich 1 m sudlich und 1 m westlich vom Ausgangspunkt. Nach 2-maligem Durchlauf,also nach 2 · (1 + 2 + 3 + 4) = 4 · 5 Schritten, befindet man sich 2 m sudlich, 2 m westlichvom Ausgangspunkt, nach 3-maligem Durchlauf, also nach 2 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 6 · 7Schritten, 3 m sudlich und 3 m westlich, nach 4-maligem Durchlauf, also nach 2 · (1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 8 · 9 = 72 Schritten, 4 m sudlich und 4 m westlich, nach 5-maligemDurchlauf, also nach 2 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 10 · 11 = 110 Schritten,5 m sudlich und 5 m westlich vom Ausgangspunkt. Jetzt hat man zwar 10 Schritte zu vielgetan, der Abstand zum Ausgangspunkt ist jedoch in beiden Fallen derselbe, also 5

√2

Meter.

5Bezeichne die Langen von 2 Seiten der schraffierten Rechtecke mit x und y wie in derZeichnung.

Wir wissen also, dass xy = 60 und (15–x)(15–y) = 45. Rechnen ergibt:

45 = (15–x)(15–y) = 225–15x–15y + xy = 285–15x–15y = 15(19–x–y)

Daraus folgt, dass x + y = 16. Also 60 = xy = x(16–x) oder aber x2–16x + 60 = 0. DieseGleichung hat als Losungen: x = 10 und x = 6.x = 10 liefert y = 6. Der Flacheninhalt deseinen schraffierten Rechtecks ist dann x(15–y) = 90, des anderen (15− x) · y = 30. x = 6liefert y = 10 und die Flacheninhalte x(15–y) = 30, des anderen (15 − x) · y = 90. DerFlacheninhalt des großten Rechtecks ist also 90 FE.

6Mit etwas Schneide- und Klebearbeit siehst du, dass der gesuchte Flacheninhalt der Flacheeines Halbkreises mit dem Radius 1entspricht also π

2ist.

7Um auf die neunte Stufe zu gelangen, muss Rudi von der Stufe 6, 7 oder 8 kommen. DieAnzahl der Moglichkeiten ist also gleich der Summe der Anzahl der Moglichkeiten, umauf die Stufen 6, 7 und 8 zu kommen. So kannst du dies weiter zuruck verfolgen mit derRekursion an+3 = an+2 + an+1 + an . Du erhaltst dann diese Tabelle (Verallgemeinerungder Fibonacci-Folge):

Anzahl Treppenstufen 1 2 3 4 5 6 7 8 9Anzahl Moglichkeiten 1 2 4 7 13 24 44 81 149

8Wenn du in das Fach rechts oben und in das Fach direkt darunter etwas eingetragen hast,kannst du alle anderen Facher nur auf eine Weise fullen. Das einzige, worauf du achtenmusst, ist, dass diese anderen Zahlen auch positiv bleiben. Rechts oben konnen wir eine1, 2 oder 3 eintragen. Wenn wir eine 1 eintragen, kann in dem Fach darunter noch 1 biseinschließlich 7 stehen. Tragen wir eine 2 ein, gehen nur noch 1 bis einschließlich 6 , tragenwir eine 3 ein, nur noch 1 bis einschließlich 5. Insgesamt sind dies 18 Moglichkeiten, dieauch alle passen.

9Da 137

120= 1

1+ 1

8+ 1

60ist es klar, dass man nur 3 Stammbruche braucht. Die Frage ist, ob es

nicht auch mit zweien funktioniert. Sei 137120

die Summe von zwei Stammbruchen. Dann musseiner der beiden gleich 1

1sein, denn 137

120> 1

2+ 1

2. Das wurde aber bedeuten, dass der andere

17120

sein muss, dies ist aber kein Stammbruch. Mit nur zwei Stammbruchen funktioniert esalso nicht.Es gibt zwei Arten um 137

120als Summe von drei Stammbruchen zu schreiben, namlich

137120

= 11

+ 18

+ 160

und 137120

= 11

+ 110

+ 124

.

10Eine

’Folge mit Wiederholung‘ kannst du in 2, 3, 4, 6 oder 12 gleiche Stucke schneiden.

Wenn du sie in 4, 6 oder 12 gleiche Stucke schneiden kannst, dann sicher auch in 2. Wirmussen also nur nach den Folgen gucken, die in 2 oder 3 Stucke geschnitten werden konnen.Alle Folgen, die in zwei gleiche Stucke geschnitten werden konnen, erhaltst du, indem dudie ersten sechs Nullen und Einsen willkurlich aussuchst und dann das Stuck wiederholst.Dies geht auf 26 = 64 Arten. Alle Folgen, die in drei gleiche Stucke geschnitten werdenkonnen, erzeugst du, indem du die ersten vier Ziffern wahlst und dann dreimal wiederholst.Dies kannst du auf 24 = 16 Arten. Jetzt haben wir aber die Folgen, die du in sechs Stuckeschneiden kannst, doppelt gezahlt. Das sind 22 = 4. Die Antwort ist also 64 + 16–4 = 76.

11Es werden insgesamt 10 Spiele durchgefuhrt. Ist x die Anzahl der

’unentschieden‘ ausge-

gangenen Partien, y die Anzahl der Gewinnpartien, dann ist die gesamte Anzahl der zuverteilenden Punkte aller Teams 2x + 3y mit x + y = 10, also 30− x mit 0 ≤ x ≤ 10. Daalle Teams gleich geendet haben, muss dies ein Vielfaches von Funf sein. x ist also gleich0, 5 oder 10. Dass diese drei Falle auch alle moglich sind, kannst du einfach uberprufen.

12Nehmen wir an, d sei ein Teiler von sowohl 12a, 1a2 und auch a12, dann ist d auch einTeiler von 12a0–1a2 = 1098 und von 1a20–a12 = 1008 und also auch von 1098–1008 = 90.Zuletzt muss d auch ein Teiler von 12a–90 = 3a sein.Alle Teiler von 90 mit zwei Ziffern sind 10, 15, 18, 30, 45 und 90. Da a nicht 0 ist, ist d = 18und a = 6. Und tatsachlich: 126 = 7 · 18, 162 = 9 · 18 und 612 = 34 · 18. Die Antwort istalso 18.

13Wenn x eine Rechteckzahl ist, dann gibt es positive Zahlen n und m, so dass x = nm =2(n+m). Wir konnen annehmen, dass n < m. Da nm = 2n+ 2m < 4m folgt daraus, dassn < 4. Wir betrachten alle moglichen Werte fur n.

• Wenn n = 1, dann ist m = 2(m+ 1) und das ist unmoglich.

• Wenn n = 2, dann ist 2m = 2(m+ 2), das kann also ebenfalls nicht sein.

• Wenn n = 3, dann ist 3m = 2(m+3), also m = 6, das ergibt x = 18 als Rechteckzahl.

• Wenn n = 4, dann ist 4m = 2(m+4), also m = 4, das ergibt x = 16 als Rechteckzahl.

Also sind nur 16 und 18 Rechteckzahlen

14

Wir mussen die Anzahl der Zahlen der Form 2a · 10b, die kleiner oder gleich 20000 sind,bestimmen. Wir wahlen jedesmal b fest und schauen, was a sein kann. Naturlich muss0 ≤ b ≤ 4 sein, da 104 = 10000.

• Wenn b = 0, dann muss 0 ≤ a ≤ 14, denn 214 = 16384.




• Wenn b = 4, dann muss a = 0 oder a = 1 sein.

Insgesamt sind das 15 + 11 + 8 + 5 + 2 = 41 Zahlen. Also ist k = 41.

15Behauptungen 3 und 4 widersprechen sich, also muss mindestens eine der beiden falsch sein.Genauso widersprechen sich die Behauptungen 1 und 5, denn alle Zahlen, deren Quersumme9 ist, sind durch 3 teilbar. Behauptungen 2 und 6 sind sicher wahr. Alle Zahlen, die dieBehauptungen 2 und 6 erfullen sind: 10, 21, 32, 43, 65, 76, 87 und 98. Nicht eine dieserZahlen hat als Quersumme 9. Behauptung 5 ist also falsch. Da Behauptung 3 oder 4 auchschon falsch war, muss Behauptung 1 also wahr sein. n muss gleich 43 sein. Und tatsachlichfur n = 43 sind die Behauptungen 1, 2, 3 und 6 wahr und die Behauptungen 4 und 5 nicht.Die gesuchte Zahl ist also 43.

16Sei M der Mittelpunkt eines Kreises C. Dann findet man den Punkt auf C, der am nachstenbei einem gegebenen Punkt P liegt, indem man die Gerade PM mit C schneidet. Liegenzwei Punkte P1 und P2 auf derselben Seite des Kreises C (d.h. alle beiden im oder beideaußerhalb des Kreises) und sind gleich weit entfernt von C, dann liegen sie auch gleichweitentfernt von M , d.h. M liegt auf der Mittelsenkrechten von P1 und P2. Beachte jetzt, dassdie Punkte aus der Aufgabe nicht auf einem Kreis liegen. Wenn also C ein Kreis ist, zudem alle Punkte gleichweit entfernt sind, dann zerlegt C die Punkte in zwei Gruppen, diePunkte innerhalb von C und die Punkte außerhalb von C. Es ist unmoglich, dass sich allePunkte in einer Gruppe befinden, denn dann waren alle vier gleichweit entfernt vom Mit-telpunkt M von C und wurden somit doch auf einem Kreis liegen. Wenn eine der Gruppendrei Punkte enthalt, dann liegt M auf dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der dreiPunkten. Wenn beide Gruppen 2 Punkte enthalten, dann liegt M auf dem Schnittpunktder Mittelsenkrechten der zwei Paare. Ohnehin muss M auf dem Schnittpunkt von zweioder drei Mittelsenkrechten liegen. Beachte, dass es vier Arten gibt, um die Punkte in eineGruppe mit drei und eine Gruppe mit einem zu verteilen und drei Arten um die Punktein zwei Gruppen mit jeweils zwei zu verteilen. Hier siehst du eine Abbildung mit allenMittelsenkrechten.

Wie du siehst gibt es tatsachlich sieben Schnittpunkte. Bei jedem dieser Schnittpunkte gibtes genau einen Kreis, der gleichweit entfernt von den vier gegebenen Punkten ist. Dennwenn M zum Beispiel der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Punkte P1, P2 und P3

ist, dann liegt jeder Kreis mit dem Mittelpunkt M gleichweit entfernt von P1, P2 undP3. Wenn der Radius also so gewahlt wird, dass der Abstand des Kreises zu dem viertenPunkt auch gleich ist, hast du einen der Kreise gefunden. Hier noch eine Abbildung mitallen sieben Kreisen.

17Nimm an, dass n = sa. Wenn 1 ≤ n ≤ 9, dann ist s = n und a = 1, all diese Zahlenerfullen die Voraussetzung. Wenn 10 ≤ n ≤ 99, dann ist a = 2. Dann ist n = s2, n mussalso eine zweistellige Quadratzahl sein. Alle zweistelligen Quadratzahlen sind 42 = 16,52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64 und 92 = 81, aber nur n = 81 erfullt die Forderung.Wenn 100 ≤ n ≤ 999, dann ist a = 3. Dann ist n = s3, n muss eine dritte Potenz mit dreiZiffern sein. Alle Kandidaten sind 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, 83 = 512 und 93 = 729.Von diesen Zahlen erfullt nur n = 512 die geforderten Bedingungen. Insgesamt gibt es alsoelf Zahlen n kleiner als 1000 mit n = sa.

18Betrachte die Figur. AD ist die Tangente durch A an den Kreis, und B ist der Punkt, andem AD den Kreis beruhrt.

Gesucht ist der Abstand |CD|. Beachte, dass die Dreiecke 4BMA und 4CAD ahn-lich sind. Denn ∠CDA = ∠BAM , da CD und AM parallel sind, wie auch ∠ACD =∠MBA = 90◦. Gegeben sind |AM | = 13 Dezimeter und |BM | = 5 Dezimeter, al-

so |AB| = 12 Dezimeter. Auf Grund der Ahnlichkeit erhalten wir |CD||AB| = |AC|

|BM | . Also

|CD| = 12 · 135

= 1565

= 31, 2 Dezimeter.

19Nehmen wir an, es gabe ganze Zahlen a und b, so dass 4n + 9 = a2 und 9n + 4 = b2. Wirkonnen dann berechnen, dass:

9a2 − 4b2 = 9(4n+ 9)− 4(9n+ 4) = 36n+ 81− 36n− 16 = 65 = 13 · 5.Es gilt außerdem 9a2 − 4b2 = (3a + 2b)(3a − 2b). Da 13 und 5 Primzahlen sind und3a + 2b > 3a–2b folgt daraus, dass 3a + 2b = 13 und 3a − 2b = 5 oder 3a + 2b = 65 und3a − 2b = 1 sein muss. Aus dem ersten Fall folgt, dass a = 3 und b = 2 sein muss. Dasbedeutet aber n = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung. Der zweite Fall ergibt a = 11,b = 16 und ergibt n = 28.

20Alice braucht nur 37 Euro. Sie gewinnt wie folgt: Zuerst setzt sie 37 Euro und Bob mussdann 38 setzen. Folgende Situation entsteht:

Alice hat noch 37 Euro und Bob noch 22. Alice muss das folgende Gebot gewinnen undsetzt also 22 Euro.

Alice hat jetzt noch 15 Euro und Bob immer noch 22. Bob muss jetzt 15 Euro bieten, umzu verhindern, dass Alice direkt gewinnt.

Jetzt hat Alice noch 15 Euro und Bob nur 7 Euro. Alice kann jetzt also die folgenden zweiGebote gewinnen mit 7 beziehungsweise 8 Euro. Mit zwei Schritten nacheinander bekommtsie leicht drei in einer Reihe.

Auf die gleiche Art und Weise siehst du, dass mit nur 36 Euro das Spiel unentschiedenausgehen wurde. 37 Euro ist also der minimale Betrag mit dem Alice sicher gewinnen kann.

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