Stat2_Torsion1

Statik 2TorsionProf. Dr.-Ing. Michael Kramp

Technische Fachhochschule Berlin 2

Gleichgewichts- und Verträglichkeitstorsion

• mit Torsionssteifigkeit des Randunterzuges

mA= mT

mT

Randunterzug

I

I

I - I

• ohne Torsionssteifigkeit des Randunterzuges

Verdrehung und Momente der Decke am Lager

Querschnitt der Decke mit Randunterzug

A

A

mA= 0

Gleichgewichtstorsion:Liegt vor, wenn das Torsionsmoment MT für das Systemgleichgewicht zwingend erforderlich ist, wie am Beispiel des abgewinkelten Kragarms deutlich wird.

Fl

a

My = F·a

M T= F·a

xx

Verträglichkeitstorsion:Liegt vor, wenn das Torsionsmoment MT für das

Systemgleichgewicht nicht zwingend erforderlich ist. Tritt in statisch unbestimmten Stahlbetontragwerken auf.

Wird die Torsionsssteifigkeit vernachlässigt, enstehen Risse infolge Torsion, wodurch die Torsionssteifigkeit stark

reduziert wird. Damit tritt das Torsionsmoment tatsächlich nur in sehr geringer Größe auf. Zur Vermeidung zu großer Rissbreiten ist die Bewehrung für Torsion zu konstruieren.


Torsion - Einführung


MT MT



y xz

TT

DruckZug

45°45°

Torsion - Trajektorien


Torsion - Grundlagen

zMt

Mt

c)x

b)

x

B•

•A

A

B• •

Mt

Mt

Mt

verformte (verwölbte)Profilmittellinie

A

B

Verwölbung verhindert

••••

x

a)

Mt

Mt

ϕϕ

P•

••

•Kreis- und Kreisringquerschnitte:Querschnitte bleiben eben(Punkt P vor und nach Verformung in der gleichen Ebene; keine Verwölbung)!

Allgemeine offene und geschlossene Querschnitte:Querschnitte verwölben sich im Allgemeinen (Punkt A verschiebtsich in x-Richtung; Punkt B entgegen der x-Richtung)!

Torsion eines: a) Kreisquerschnitts, b) dünnwandigen offenen Querschnitts, c) Rechteckquerschnitts


Torsion - Grundlagen

Mt

•

••

R

r

verformteMantellinie

differentielles Element: dxx

r•

•••

dϕ

•

ϕ(x)

ϕ(x)γ

x

•

ϕ(x)+dϕ

••

ϕ(x)

dx

•

Aus dem HOOKE´schen Gesetz folgt die Torsionsschubspannung τ : ( ) rGGr ⋅⋅ϑ=⋅γ=τ

Am differentiellen Element gilt für kleine Verformungen der Zusammenhang zwischen der Gleitung γ und dem Verdrehwinkel ϕ : dxdr ⋅γ=ϕ⋅

Aus dieser Formel folgt die Drillung ϑ(Verdrehwinkel pro Längeneinheit) : rdx

d γ=

ϕ=ϑ Drillung


r

dA

R

τ(r)⋅dAτmax

τ(r)

MT

Torsionsschubspannung

∫∫ ⋅ϑ=⋅⋅τ=(A)

2

(A)(r)T dArGdArM

Mit der Abkürzung

Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt:

∫==(A)

2TP dArII

IP: polares Flächenträgheitsmoment IT: Torsionsflächenträgheitsmoment

TT GIM ⋅ϑ=T

T

GIM

=ϑ

und die Torsionsschubspannung für Kreis- und Kreisringquerschnitte

( ) rIM

T

Tr ⋅=τ

Damit folgt für das Torsionsmoment MT bzw. für die Drillung ϑ:

Torsion – Kreisquerschnitt


Die maximalen Torsionsschubspannungen für Kreis und Kreisringquerschnitte treten am Außenrand auf und betragen :

Hinweis: Man beachte die Analogie zur Berechnung der Biegespannungen:

T

Tmax W

M=τ

( ) rIM

T

Tr ⋅=τTorsion: z

IM

y

y(z) ⋅=σ

miny

ymax W

M=σ

Biegung:

Das Torsionswiderstandsmoment folgt mit r = rmax zu WT = IT/rmax.Für Kreis und Kreisringquerschnitte erhält man:

T

Tmax W

M=τ Wt = Torsionwiderstandsmoment

für Kreisquerschnitt (d: Durchmesser; r: Radius )2r

16d

rIW

33

max

TT

⋅π=

⋅π==

( )4i

4a

aT dd

d16W −

⋅π

= für Kreisringquerschnitt (da: Außendurchmesser; di: Innendurchmesser)

Torsion – Kreisquerschnitt


Torsionsmomentenverlauf: Aus den Gleichgewichtsbedingungen für die Momente um die Längsachse am jeweils rechten Teilsystem folgt:

Torsion – Beispiel 1Beispiel 1 Abgesetzter Torsionsstab

l1

∅d1

∅d2BA C

l2

MB MC

MT-Verlauf+2,4 kNm

-0,6 kNm

MT(x2)x2x1

MT(x1)

Torsionsstab mit Momentenverlauf

Gegeben: d1 = 60 mm, d2 = 40 mm, l1 = 1 m, l2 = 1,5 m MB = 3 kNm, MC = 0,6 kNmG = 8·104 N/mm2

Gesucht: größter Betrag der Torsionsschubspannung undVerlauf des Drehwinkels

MT(x1) = MB - MC = 2,4 kNm MT(x2) = - MC = - 0,6 kNm

2mmN47,7−=

2mmN56,6=1. Bereich: Mit 16

dW31

T1π

= ( )T1

1Tmax1, W

xM=τfolgt

2. Bereich: Mit16dW

3

T2π

=( )T2

2Tmax2, W

xM=τfolgt

( )31

CB

d16MM

π⋅−

=

32

C

d16M

π⋅−

=

Maximale Schubpannungen:

maxτ=


ϕ1(l1=0)= 0 wg. Torsionseinspannung

( ) ( )

Torsion – Beispiel 1Verlauf des Drehwinkels:

)l(xdG

M32)l(xGI

xMx 11242

C112

2T

2T22 ϕ+

π⋅⋅

−=ϕ+=ϕ2. Bereich:

( ) ( ) ( )14

1

CB1

1T

1T11 x

dGMM32x

GIxMx

π⋅−⋅

==ϕ1. Bereich:

Der Drehwinkel an der Stelle B:( ) ( )0xx 22111 =ϕ==ϕ l

( )14

CB11 DG

MM32)l( lπ⋅−⋅

=ϕ

( ) o1,210,02120,02360,0448z 222 −=−=+−==ϕ l

( ) ,1,350,0236z 111o===ϕ l

Die Werte an den Bereichsenden ergeben sich zu: - 1,21º

+1,35º

ϕ-Verlauf

l1

∅d1 ∅d2BA C

l2

MB MC

x2x1

Torsionsstab mit Verlauf des Torsionsdrehwinkels ϕ

ϕ2(0)= ϕ1(l1)


Gegeben: MT = 2 kNm, τzul = 160 N/mm2

Material und Stablänge sind für beide Stäbe gleich!

Gesucht: 1. Durchmesser DV und DR2. Verhältnis des Materialeinsatzes3. Verhältnis der relativen Verdrehwinkel

Beispiel 2 Vergleich von Voll- und Rohrquerschnitt bei Torsionsbelastung

DV

Mt

RD109 DR

Mt

1. Bestimmung von DV und DR (Dimensionierung):a) Vollquerschnitt:

16DWund

WM 3

VVT,zul

VT,

Tmax

π=τ≤=τMit .mm39,9M16D 3

zul

TV =

τ⋅π⋅

≥folgt

b) Rohrquerschnitt:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅π

=τ≤=τ4

R4R

RRT,zul

RT,

Tmax D

109D

D16Wund

WM

Mit

.mm56,7)0,91(

M16D 3 4zul

TR =

−τ⋅π⋅

≥folgt

gewählt: DV = 40 mm

gewählt: DR = 57 mm

Vollquerschnitt und Rohrquerschnitt

Torsion – Beispiel 2


Torsion – Beispiel 22. Verhältnis des Materialeinsatzes:

( ) 0,386D

0,91DAA

2V

22R

V

R =−

=Bei dem Rohrquerschnitt werden nur 38,6% Materialgegenüber einem Vollquerschnitt bei gleicher maximalerTorsionsschubspannung benötigt.

Das Verhältnis des Materialeinsatzes ist gleich dem Verhältnis der Querschnittsflächen.

3. Verhältnis der relativen Torsionsdrehwinkel:Mit dem relativen Drehwinkel und den polaren Flächenträgheitsmomenten

lT

T

GIM

=ϕΔ32DI

4V

V,Tπ

= ( )[ ]4R

4RR,T D9,0D

32I ⋅−

π=und

erhalten wir für das gesuchte Verhältnis der relativen Verdrehwinkel

( )( ) ( )705,0

9,01D

D

D9,0D32

32D

II

lGIM

lGIM

44R

4V

4R

4R

4V

R,T

V,T

V,T

T

R,T

T

V

R =−

=⋅−

π

π

===ϕΔϕΔ

Bei dem Rohrquerschnitt beträgt der Verdrehwinkel nur 70,5 % des Verdrehwinkels des Vollquerschnitts bei gleicher Länge, gleicher Belastung, gleichem Material und bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung.


Eine besondere praktische Bedeutung kommt den dünnwandigen offenen Querschnitten zu. Der Torsionswiderstand ist hier wesentlich geringer als bei geschlossenen Querschnittsformen. Infolge erheblicher Querschnittsverwölbungen infolge von Torsionsbeanspruchungen,ergeben sich bei einer Behinderung der Verwölbung (z. B. infolge einer Einspannung) sehr großen Normalspannungen in x-Richtung, die Wölbnormalspannungen.

Unter der Voraussetzung St.-VENANTscher Torsion lassen sich die für Kreis- und Kreisringquerschnitte hergeleiteten Formeln auch für die Berechnung der maximalen Torsionsschubspannungen und der Torsionsdrehwinkel auch für allgemeine Querschnittsformen anwenden:

Torsion allgemeiner QuerschnitteHinweise zur Torsion allgemeiner QuerschnitteDie bisher vorgestellten Formeln für Torsionspannungen und Torsionsverformungen gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte.Für andere Querschnittsformen müssen spezielle Formeln hergeleitet werden, wobei zwischen St.-VENANTscher Torsion (Verwölbungen können sich frei ausbilden) und Wölbkrafttorsion (Verwölbungen sind behindert) unterschieden werden muss.

T

Tmax W

M=τ

T

T

GIM

dzd

=ϕ

=ϑ


h/b 1 1,25 1,50 2,00 3,00 4,00 6,00 10,00 ∞

α 0,140 0,171 0,196 0,229 0,263 0,281 0,299 0,313 0,333

β 0,208 0,221 0,231 0,246 0,267 0,282 0,299 0,313 0,333

T

Tmax W

M=τ

MT

Torsion in rechteckigen Vollquerschnitten

MT

b

h

τmax

tatsächlicher Schubspannungsverlauf

vereinfachter Schubspannungsverlauf

τmax

hbI 3T ⋅⋅α= hbW 2

T ⋅⋅β=

Torsion – Rechteckquerschnitte


b

Torsionswiderstand dünnwandiger, offener Querschnitte

Für einteilige dünnwandige Querschnitte mit h/b →∞ gilt:

h

Torsion – dünnwandige, offene Querschnitte

hbI 331

T ⋅⋅=

hbW 231

T ⋅⋅=

MT

∑ ⋅⋅⋅η= )hb(I 331

T

Für mehrteilige dünnwandige Querschnitte mit hi /bi →∞ gilt vereinfachend:

max

3

31

T b)hb(

W ∑ ⋅⋅⋅η=

- h1 -

- h2 -

- h3 -

-h4

-

-b1

-

-b2

-

-b3

-

- b4 -

Für L-Profil gilt: η = 1,0sonst vereinfachend: η = 1,1 „sichere Seite“


Torsion – dünnwandige, offene Querschnitte

Ak

ti

( )minkT

2k

T tA2W

stds

4AI ⋅==

∫

BREDTsche Formeln:

Ak: von Profilmittellinie eingeschlossene Fläche

Für dünnwandige, einzellige,geschlossene Hohlquerschnitte

si

Torsionswiderstand geschlossener Hohlquerschnitte

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅=

42K

31K

2K

2K

T

t1

t1b

t1

t1h

hb4I

minKKT thb2W ⋅⋅⋅=

Beispiel:

zy MT

τ1

τ4

τ2

τ3t1

t2

t3

t4

hk

bk


Torsion – mehrzellige HohlquerschnitteTorsionswiderstand mehrzelliger HohlquerschnitteMehrzellige Stahl- und Stahlbetonhohlquerschnitte, wie z. B. Brückenhohlkastenträger, werden wie dünnwandige geschlossene Hohlquerschnitte behandelt. Da meist die Querschnittsdicken klein gegenüber den übrigen Abmessungen sind, ist diese Annahme auch für Stahlbetonquerschnitte gerechtfertigt.

Im Allgemeinen werden die offenenTeilabschnitte l0 vernachlässigt.

Zur Bestimmung der Schubkräfte ist eine statisch unbestimmte Berechnung erforderlich.

Mehrzelliger Querschnitt

l0l0+

MTT‘ T‘


Torsion – mehrzellige Hohlquerschnitte

+

+

VzMT

+

MT

Vz


90°

MT

θ

DruckZugDetail

D1Z1,v

Z1,L

D2Z2,HZ2,L

Detail

Torsion – räumliches Fachwerkmodell für Stahlbetonbalken

hk

bk

xz

MT

DruckZug

MT

Torsion – Stahlbetonbau


90°

T

θDruckZug

Räumliches FW-Modell:Bauteilwiderstand in jeder Wand i von 3 Stäben nachzuweisen!

• Zugstab in Balkenlängsrichtung (Längsbewehrung),

• Zugstab quer zur Balkenachse (Bügel)

• schräger Druckstab (Betondruckstrebe).



bk

hk

t /2

t /2

tt

TEd

vEd,T Ak

bk

hkt

t /2

t /2

t

Einwirkung / Torsionswiderstand von StahlbetonbalkenStahlbetonvollquerschnitte, z. B. Balken, werden wie dünnwandige, geschlossene Hohlquerschnitte behandelt.

Der dünnwandige, geschlossene Hohlquerschnitte wird aus der Verbindung der Längsbewehrungs-stäbe in den Querschnittsecken gebildet.

Der Nachweis ist für a) die schräge Druckstrebe, b) die Längsbewehrung und c) die Bügel zu führen.



k

Edi,T,Ed A

Tv

⋅=

2

k

iEdi,T,Ed A

zTV

2⋅

=

VEd,T,i Schubkraft in einer Wand i des (Ersatz-) Hohlkastenszi Höhe hk bzw. Breite bk der betreffenden Wand i gemessen in

der Schwerachse der WandAk Kernquerschnitt des (Ersatz-)Hohlkastens

bk

hk

½·teff

teffteffTEd

VEd,T,i = vEd,T,i · hk

τT

Ak = bk · hk

VEd,T,i = vEd,T,i · bk

½·teff


Einwirkungen infolge Torsion



w

i,effV,Edi,V,Ed b

tVV ⋅=

i,V,Edi,T,Edi,VT,Ed VVV +=+

Bei einer kombinierten Beanspruchung durch- Schubkräfte aus Torsion VEd,T,i und - anteiliger Querkraft VEd,V,i in einer Wand i des (Ersatz-)Hohlkastens ist- die Schubkraft VEd,T+V,i zu bestimmen.

Die Schubkraft in der Wand i infolge Querkraft lautet

Die Beanspruchung in der Wand i, die in der Ebene der wirksamen

Querkraft liegt, ergibt sich aus der Superposition der Schubkräfte

infolge Torsion und Querkraft.


VRd,max Bemessungswert der maximal aufnehmbaren Schubkraft der Wand i, der durch die Tragfähigkeit der Druckstrebe begrenzt wird.

θcotzfsA

V iydw

sww,sy,Rd ⋅⋅⋅=

θtanzfuA

V iydk

sll,sy,Rd ⋅⋅⋅=

θθ

α

tancotfzt

V cdred,cii,effimax,,Rd +

⋅⋅⋅=

VRd,sy,w Bemessungswert der aufnehmbaren Schubkraft, die durch die Tragfähigkeit der Bügel begrenzt ist.

VRd,sy,l Bemessungswert der aufnehmbaren Schubkraft, die durch die Tragfähigkeit der Längsbewehrung auf der Strecke uk begrenzt ist.


Vollquerschnitt αc,red = 0,525Hohlquerschnitt mit beidseitiger Stegbew. ac,red = 0,75

Bauteilwiderstand


i

kmax,Rdmax,Rd z

AVT

⋅=

2

Das maximal aufnehmbare Torsionsmoment TRd,maxlautet mit der Bredt´schen Formel



θcotfAT

sA

ydk

Ed

w

sw⋅

⋅⋅

=1

2

θtanfAT

uA

ydk

Ed

k

sl⋅

⋅⋅

=1

2

Nach DIN 1045-1 darf bei Torsion mit oder ohne gleichzeitig wirksamer Querkraft für den Druckstrebenwinkel θ = 45° eingesetzt werden, d. h. in den Gleichungen ist cotθ = tanθ = 1. Die Bügelbewehrung infolge Torsion wird dann zu der gesondert ermittelten Querkraftbewehrung addiert.

Nachweis und Bemessung der Zugstreben

Bügelquerschnitt infolge Torsion

Längsbewehrung infolge Torsion

Die Bewehrungen in den Zugstäben des räumlichen Fachwerkmodells dürfen nach DIN 1045-1 für Torsion und für eine gleichzeitig wirksame Querkraft getrennt ermittelt werden.

Für eine genauere Bemessung der gemeinsamen Wirkung einer Torsion mit gleichzeitiger Querkraft siehe Literatur zum Stahlbetonbau.



Nachweis der Druckstreben

Für den Nachweis der Tragfähigkeit der Betondruckstreben ist eine Interaktion von Torsion und Querkraft in jedem Fall zu berücksichtigen. DIN 1045-1 unterscheidet dabei zwischen Vollquerschnitten und Hohlquerschnitten.

Für Hohlquerschnitte gilt

1≤+max,Rd

Ed

max,Rd

EdV

VT

T

122

≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

max,Rd

Ed

max,Rd

EdV

VT

T

Für Vollquerschnitte gilt




Verzicht auf einen Nachweis

Für einen näherungsweise rechteckigen Vollquerschnitt darf auf einen rechnerischen Nachweis der Bewehrung nach DIN 1045-1 infolge Querkraft- und Torsionsbeanspruchung verzichtet werden, wenn die folgenden Bedingungen eingehalten sind

54,bV

T wEdEd

⋅≤

ct,RdwEd

EdEd V

bVT,

V ≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

+54

1

und


TEd

VEda) b)

Bewehrung für a) reine Torsion und b) Querkraft



ENDEENDEENDEENDEENDEENDEENDE

Stat2_Torsion1

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