Statik 1 Hibbeler Short

8/11/2019 Statik 1 Hibbeler Short

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Technische Mechanik 1

Statik

12., aktualisierte Auflage


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Higher EducationMnchen Harlow Amsterdam Madrid BostonSan Francisco Don Mills Mexico City Sydney

a part of Pearson plc worldwide

Russell C. Hibbeler

12., aktualisierte Auflage

Technische Mechanik 1

bersetzung aus dem Amerikanischen:

Fachliche Betreuung und Erweiterungen:

Statik

Jrg Wauer, Wolfgang Seemann

Georgia Mais, Frank Langenau


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Bibliografische Information Der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber http://dnb.dnb.deabrufbar.

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Authorized translation from the Singapore adapted edition of the original United States English languageedition, entitled ENGINEERING MECHANICS: STATICS 12thEdition by HIBBELER, RUSSELL C.,published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright 2011.

Singapore adapted edition entitled ENGINEERING MECHANICS: STATICS SI EDITION, 3rdEdition,published by Pearson Education Asia Pte Ltd., Copyright 2004

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means,electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system,without permission from Pearson Education, Inc.

German language edition published by Pearson Deutschland GmbH, Copyright 2012

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

14 13 12

ISBN 978-3-86894-125-8

2012 by Pearson Deutschland GmbHMartin-Kollar-Strae 10-12, D-81829 MnchenAlle Rechte vorbehaltenwww.pearson.deA part of Pearson plc worldwideProgrammleitung: Birger Peil, [email protected]: Alice Kachnij, [email protected]: Dipl.-Ing. Dipl.-bers. Georgia Mais, Hamburg, Frank Langenau, ChemnitzFachlektorat: Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Jrg Wauer und Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Seemann,

Karlsruher Institut fr Technologie (KIT)Korrektorat: Barbara Decker, MnchenEinbandgestaltung: adesso 21, Thomas Arlt, MnchenHerstellung: Philipp Burkart, [email protected]: mediaService, Siegen (www.mediaservice.tv)Druck und Verarbeitung: Firmengruppe APPL, aprinta-druck, Wemding

Printed in Germany


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B

ER

B

L

IC

K

3

Gleichgewicht am Punkt

3.1 Gleichgewichtsbedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2 Freikrperbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3 Ebene Krftesysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4 Rumliche Krftesysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


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Gleichgewicht am Punkt3

Fr das Heben von Lasten mssen Seile so dimensioniert werden, dass sie fr die gewhlte Anordnung ihrerBefestigungspunkte nicht versagen. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie man in solchen Fllen Seilkrfte beigegebenen Lasten berechnet.


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99

3.1 Gleichgewichtsbedingung

3.1 GleichgewichtsbedingungIn der Realitt greifen an einem Gegenstand oder einer Baugruppe ausverschiedenen Einzelteilen mehrere Krfte an. Diese bilden eine sogenannte Krftegruppe oder ein Krftesystem. Zentrale Krftesystemeliegen vor, wenn alle beteiligten Einzelkrfte einen gemeinsamenAngriffspunkt besitzen bzw. sich bei einem starren Krper ihre Wir-kungslinien alle in einem Punkt schneiden. Kann der starre Krper idea-lisiert als Massenpunkt angesehen werden, handelt es sich bei denangreifenden Krften in natrlicher Weise um ein zentrales Krftesystem.

Bleibt ein Krper unter Einwirkung eines Krftesystems in Ruhe,wenn er ursprnglich in Ruhe war, oder im Zustand gleichfrmigerBewegung mit konstanter Geschwindigkeit, wenn er ursprnglich die-sen Bewegungszustand inne hatte, so bilden die an ihm angreifendenKrfte ein Gleichgewichtssystem, d.h. der Krper befindet sich imGleichgewicht. Meist wird jedoch die Bezeichnung Gleichgewichtoder genauer statisches Gleichgewicht zur Beschreibung eines sich inRuhe befindenden Gegenstandes benutzt. Zur Erhaltung des Gleichge-wichts mehrerer an einem Massenpunkt angreifenden Krfte, d.h. eineszentralen Krftesystems, ist die Erfllung des ersten NewtonschenBewegungsgesetzes erforderlich. Es fordert, dass die resultierende Kraft,die auf den Massenpunkt wirkt, gleich nullist. Diese Bedingung wirdmathematisch in der Form

F =0 (3.1)

geschrieben, wobei Fdie Vektorsumme aller Krfteist, die am Krperangreifen.

Gleichung (3.1) ist fr zentrale Krftesysteme am Massenpunkt nichtnur eine notwendige Bedingung fr das Gleichgewicht, sie ist auch eine

hinreichende Bedingung. Das folgt aus dem zweiten NewtonschenBewegungsgesetz: F=ma. Da das Krftesystem Gleichung (3.1)erfllt, gilt ma=0, die Beschleunigung des Massenpunkts ist alsoa=0. Folglich bewegt sich der Massenpunkt tatschlich mit konstanterGeschwindigkeit oder befindet sich in Ruhe.

Lernziele

Einfhrung des Konzeptes des Freikrperbildes

Lsen von Gleichgewichtsaufgaben mit Hilfe der Gleich-gewichtsbedingungen fr Krfte, die an einem Punktangreifen


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100

3

3.2 FreikrperbildZur Anwendung der Gleichgewichtsbedingung mssen wir alle bekann-ten und unbekannten Krfte (F) bercksichtigen, die amKrper, hieramMassenpunkt angreifen. Dazu zeichnet man am besten ein Freikr-

perbilddes Massenpunkts. Dies ist eine schematische Darstellung, dieden Massenpunkt frei von seiner Umgebung mit allen angreifendenKrften zeigt.

Betrachten wir vor der Darstellung einer formalen Vorgehensweisezur Erstellung eines Freikrperbildes zunchst zwei Ankopplungen andie Umgebung, auf die man bei Aufgaben zum Gleichgewicht von Mas-senpunkten hufig trifft.

Federn Wenn eine linear elastische Federverwendet wird, verndertsich die Lnge der Feder direkt proportional zur angreifenden Kraft. EinKennwert zur Bestimmung der Elastizitt einer Feder ist die Feder-konstante oderSteifigkeit c. Wird eine linear elastische Feder der Stei-figkeit cum den Weg sverformt (gedehnt oder gestaucht), dann betrgtdie Kraft

(3.2)

wobei s die Verformung relativ zur unbelasteten Stellung bezeichnet.Der Weg s wird bestimmt aus der Differenz der verformten Lnge derFeder l und ihrer unverformten Lnge l0, also gilt s=ll0. Wenn spositiv ist, zieht Fan der Feder, wohingegen bei negativem s, Fdaraufdrckt. Die Feder in Abbildung 3.1 hat z.B. die unverformte Lngel0 = 0,4 mund die Steifigkeit c= 500 N/m. Zur Dehnung auf die Lngel= 0,6 m ist eine Kraft F= cs= (500 N/m)(0,6 m 0,4 m)= 100 N er-forderlich. Ebenso ist fr die Stauchung auf eine Lnge von l= 0,2 m

eine Kraft von F= cs= (500 N/m)(0,2 m 0,4 m)= 100 N erforder-lich, siehe Abbildung 3.1.

Abbildung 3.1

F= cs

l= 0,6 m

l= 0,2 m

s= 0,2 m

s= 0,2 m

l0= 0,4 m

c= 500 N/m

F

F+ s

(s= 0)


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101

3.2 Freikrperbild

Seile und Rollen Im gesamten Buch, mit Ausnahme von Abschnitt 7.4,gehen wir von der Annahme aus, dass alle Seile (oder Schnre) ein ver-nachlssigbares Gewicht haben und sich nicht dehnen knnen. Ein Seilkann auch nureine Zugkraft (kurz: Zug) aufnehmen und die Wirkungsliniedieser Kraft verluft immer in Richtung des Seils. In Kapitel 5wird gezeigt,

dass die Zugkraft in einem Seil, das reibungslos ber eine Rolle luft,einen konstanten Betrag haben muss, damit das Seil im Gleichgewicht

bleibt. Wie in Abbildung 3.2 dargestellt, gilt deshalb fr jeden Winkel ,dass eine konstante Zugkraft Tber die gesamte Lnge des Seiles wirkt.

Abbildung 3.2

T

T

Seil unter Zug

Bei Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen mssen wir alle Krfte, die aneinem Massenpunkt angreifen, bercksichtigen. Deshalb kann nicht gengend

betont werden, dass zunchst das Freikrperbild gezeichnet werden muss. Dabeisind die folgenden drei Schritte auszufhren:

Zeichnen der Umrisslinie Stellen Sie sich durch Zeichnen der Umrisslinieden Massenpunkt von seiner Umgebungisoliertoder aus seiner Umgebungfreigeschnittenvor.

Darstellung aller Krfte Zeichnen Sie in diese Skizze alleKrfte ein,die am Massenpunkt angreifen. Diese Krfte knnen antreibende (aktive)

Krftesein, welche den Massenpunkt in eine Bewegung versetzen wollen,oder Reaktionskrfte, die als Ergebnis der Einspannungen oder Lager auf-treten, die die Bewegung verhindern mchten. Um sicher zu sein, alle dieseKrfte bercksichtigt zu haben, kann es hilfreich sein, einmal um die Grenzen

des Massenpunkts zu gehen und dabei jede Kraft, die angreift, einzuzeichnen.Kennzeichnen jeder Kraft AlleKrfte werden mit Buchstaben gekenn-

zeichnet. Eventuell werden bekannte Krfte dadurch hervorgehoben, dassihre Betrge mit Zahlenwerten in das Freikrperbild eingetragen werden.

Zeichnen eines Freikrperbildes

TCTB

G

D

C

A A

B

Betrachten wir die Kabeltrommel mit demGewicht G, die am Kranausleger aufgehngt ist.

Zur Bestimmung der Krfte in den Seilen ABund ACknnen wir das Freikrperbild des Ringsim Punkt Abetrachten, da diese Krfte am Ringangreifen. Die Seile ADben die resultierendeKraft G auf den Ring aus und die Gleichge-wichtsbedingung wird zur Bestimmung von TBund TCverwendet.

G

T

Der Kbel wird vom Seil im Gleichgewicht gehaltenund wir wissen intuitiv, dass die Kraft im Seil gleichdem Gewicht des Kbels sein muss. Durch Zeichnendes Freikrperbildes verstehen wir, warum das so ist.Diese Darstellung zeigt, dass es nur zwei Krfte gibt,die am Kbel angreifen, nmlich das Gewicht Gund

die Seilkraft T. Im Gleichgewicht muss die Resultie-rende dieser Krfte gleich null sein, also gilt T=G.Wichtig ist, dass durch Freischneiden des Kbelsdieunbekannte Seilkraft Tfreigelegt wird und in derBedingung fr das Gleichgewicht bercksichtigt wer-den muss.


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3

Die Kugel in Abbildung 3.3 hat die Masse mund wird im Schwerkraftfeld der Erde(Erdbeschleunigung g= 9,81 m/s2) gehalten. Zeichnen Sie das Freikrperbild derKugel, des Seils CEund des Knotens in C.

m= 6 kg, = 45, = 60

Lsung

Kugel Man stellt fest, dass nur zwei Krfte an der Kugel angreifen, nmlich dasGewicht und die Seilkraft FCE. Die Kugel hat ein Gewicht G= 6 kg(9,81 m/s

2) =58,9 N. Das Freikrperbild ist in Abbildung 3.3b dargestellt.

Seil CE Wenn das Seil CE von seiner Umgebung freigeschnitten wird, zeigt dieSkizze nur zwei Krfte, die am Seil angreifen, nmlich die Kraft der Kugel und die Kraftdes Knotens, siehe Abbildung 3.3c. Beachten Sie, dass die hier dargestellte Kraft FCEgleich der in Abbildung 3.3b ist, aber dieser entgegengerichtet wirkt. Das folgt ausdem dritten Newtonschen Gesetz (actio = reactio). Auch die Krfte

FCEund

FECziehen am Seil und halten es unter Zug. Fr Gleichgewicht muss FCE= FEC gelten.

Knoten Am Knoten in Cgreifen drei Krfte an, siehe Abbildung 3.3d. Sie wer-den von den Seilen CBAund CEsowie der Feder CDverursacht. Wie gefordert,zeigt das Freikrperbild alle diese Krfte mit den Betrgen und Richtungen. Wichtigist hier, dass das Gewicht der Kugel nicht direkt am Knoten angreift. Stattdessen btdas Seil CEdiese Kraft am Knoten aus.

Abbildung 3.3

Beispiel 3.1

C

E

B

A

(a)

D

c

FCE (Seilkraft CE auf Kugel)

G(Gewicht oder Gravitationskraft auf Kugel)

(b)

FCE (Kraft der Kugel auf Seil CE)

FEC (Kraft des Knotens auf Seil CE)

(c)

C

FCBA(Kraft des Seils CBAauf Knoten)

FCD(Kraft der Feder auf Knoten)

FCE(Kraft des Seils CEauf Knoten)

(d)


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3.3 Ebene Krftesysteme

3.3 Ebene KrftesystemeWenn an einem Punkt ein System koplanarer Krfte angreift, die in derx-y-Ebene liegen, siehe Abbildung 3.4, dann kann jede Kraft in ihre i-und j-Komponente zerlegt werden. Fr das Gleichgewicht kann Glei-

chung (3.1) geschrieben werden als

Damit diese Vektorgleichung erfllt wird, mssen die x-und diey-Koor-dinaten von Fgleich null sein, d.h.

Abbildung 3.4(3.3)

Diese skalaren Gleichgewichtsbedingungen fordern, dass jeweils die

algebraische Summeder x-und dery-Koordinaten aller Krfte, die amPunkt angreifen, gleich null ist. Demzufolge kann Gleichung (3.3) frmaximal zwei Unbekannte gelst werden, meist Winkel oder Betrgevon Krften im Freikrperbild des Massenpunktes.

Skalare Schreibweise Da jede der beiden Gleichgewichtsbedingungendie Zerlegung von Vektorkomponenten in Richtung einer vorgegebenenx-odery-Achse fordert, verwenden wir zur Darstellung der Komponen-ten die skalare Schreibweise, wenn wir diese Gleichungen anwenden.Dabei wird der Richtungssinn jeder Komponente durch ein algebrai-sches Zeichenentsprechend der Pfeilspitzenrichtung der Komponenteentlang jeder Achse dargestellt. Hat eine Kraft einen unbekanntenBetrag, dann kann die Pfeilspitzenrichtung der Kraft im Freikrperbildangenommen werden. Da der Betrag einer Kraft immer positiv ist,

bedeutet ein negativer Skalar im Ergebnis, dass die Kraft entgegenge-setzt ist.

Betrachten wir z.B. das Freikrperbild des Punktes in Abbildung 3.5,an dem zwei Krfte angreifen. Hier wird angenommen, dass die unbe-kannte KraftFzur Erhaltung des Gleichgewichts nach rechts wirkt. BeiAnwendung der Gleichgewichtsbedingung entlang der x-Achse erhal-ten wir

Abbildung 3.5 +F + 1 0 N = 0

Beide Ausdrcke sind positiv, da beide Krfte in die positive x-Rich-

tung wirken. Wenn diese Gleichung gelst wird, ergibt sich F= 10 N.Das negative Vorzeichen bedeutet, dass F nach links gerichtet seinmuss, um den Massenpunkt im Gleichgewicht zu halten, siehe Abbil-dung 3.5.

Hinweis: Wenn die +x-Achse in Abbildung 3.5 nach links gerichtetwre, wrden beide Ausdrcke in der obigen Gleichung negativ sein.Nach Lsen der Gleichung wrde sich aber wiederum F= 10 N erge-

ben, was anzeigt, dass Fnach links gerichtet ist.

x yF F

=

+ =

F 0

i j 0

y

F2

F1

F3F4

x

0

0x

y

F

F

=

=

Fx

10 N i

0;xF =


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3

Gleichgewichtsaufgaben bei ebenen, zentralen Krftesystemen knnen folgen-dermaen gelst werden:

Freikrperbild

Legen Sie diex-undy-Achse in der passenden Orientierung fest.

Beschriften Sie alle bekannten und unbekannten Kraftbetrge und Kraft-richtungen im Bild.

Der Richtungssinn einer Kraft mit unbekanntem Betrag kann beliebig ange-nommen werden.

Gleichgewichtsbedingungen

Wenden Sie die Gleichgewichtsbedingungen Fx= 0und Fy= 0an. Koordinaten sind positiv, wenn sie entlang einer positiven Achse gerichtet

sind, und negativ, wenn sie entlang einer negativen Achse gerichtet sind.

Wenn es mehr als zwei Unbekannte und eine Feder in der Aufgabenstel-lung gibt, verwenden Sie die Gleichung F=cs, um den Zusammenhangzwischen Federkraft und Verformung sanzugeben.

Ein negatives Ergebnis zeigt, dass der Richtungssinn der Kraft umgekehrtzu dem im Freikrperbild angenommenen ist.

TCTB

TD

y

x

B

D

A

A

C

Die Ketten en rei Kr te au enRing in A aus. Der Ring bewegt sichnicht, oder bewegt sich mit konstanterGeschwindigkeit, wenn die Summe derKrfte entlang derx-und dery-Achsegem dem Freikrperbild gleich nullist. Ist eine der drei Krfte bekannt,ergeben sich die Betrge der anderenbeiden Krfte aus den beiden Gleich-gewichtsbedingungen.

Lsungsweg


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105


Bestimmen Sie die Zugkraft in den Seilen ABund AD, wenn sichder Motor mit der Masse min Abbildung 3.6a im Gleichgewichtbefindet.

m= 250 kg, = 30

Lsung

Freikrperbild Zur Lsung dieser Aufgabe untersuchen wir das Gleichgewichtdes Rings in A, da an diesem Massenpunkt die Krfte beider Seile AB undAD angreifen. Beachten Sie aber zunchst, dass der Motor ein Gewicht vonG= (250 kg)(9,81 m/s2)= 2,452 kN hat, das vom Seil CA getragen wird.Wie in Abbildung 3.6b gezeigt, gibt es daher drei Krfte, die am Ring angreifen. DieKrfte TBund TDhaben unbekannte Betrge, aber bekannte Richtungen, und SeilACbt eine nach unten gerichtete Kraft von G= 2,452 kNin Aaus.

Gleichgewichtsbedingungen Die beiden unbekannten Betrge TBund TDergeben sich aus den beiden skalaren Gleichgewichtsbedingungen Fx= 0undFy= 0. Dazu werden diex-undy-Achsen in das Freikrperbild eingezeichnetund TBin diex-undy-Komponente zerlegt. Dies fhrt auf

(1)

(2)

Auflsen der Gleichung (2)nach TBund Einsetzen in Gleichung (1), um TD zubestimmen, ergibt

Die Genauigkeit dieser Ergebnisse hngt natrlich von der Genauigkeit der vorgege-benen Werte ab, d.h. den Messungen von Geometrie und Lasten. Fr die meisteningenieurtechnischen Aufgaben mit solchen Fragestellungen reichen Werte mit biszu drei Stellen Genauigkeit aus. Beachten Sie auch, dass wir hier die Gewichte derSeile vernachlssigt haben, eine vernnftige Annahme, denn sie sind im Vergleichzum Gewicht des Motors klein.

Abbildung 3.6

Beispiel 3.2

0;

0;x

y

F

F

=

=

cos 0

sin 0B D

B

T T

T G

=

=

4,9 kNsin

cos cos 4,25 kNsin

B

D B

GT

GT T

= =

= = =

A

C

B

D

(a)

(b)

y

x

G= 2,452kN

TB

TD


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106

3

Abbildung 3.7

Die in Abbildung 3.7a gezeigte Kiste der Masse mwird mit den Seilen ABund ACangehoben. Jedes Seil hlt eine Maximalkraft Smaxaus, bevor es reit. Das Seil ABsoll immer waagerecht bleiben. Bestimmen Sie den kleinsten Winkel , bis zu dem

sich die Kiste anheben lsst, bevor eines der Seile reit.m=200kg , Smax=10kN

Lsung

Freikrperbild Wir untersuchen das Gleichgewicht von Ring A, auf den dreiKrfte wirken, wie Abbildung 3.7b zeigt. Der Betrag von FDist gleich dem Gewicht derKiste, d.h. FD=G=mg=200(9,81)N=1962Nund damit kleiner als 10kN.

Gleichgewichtsbedingungen Wendet man die Gleichgewichtsbedingungenin x- undy-Richtung an, erhlt man

; (1)

(2)

Aus Gleichung (1) ergibt sich, dass FCimmer grer als FBist, da cos1 ist.Demzufolge erreicht das Seil AC die maximale Zugkraft von Smax vor Seil AB.Setzt man FC=Smaxin Gleichung (2) ein, ergibt sich

Wenn man die Werte fr und FCin Gleichung (1) einsetzt, erhlt man die in SeilABwirkende Kraft

Beispiel 3.3

(a)

D

A B

C

FDG

y

x

(b)

A

FC

FB

0;xF = cos 0C BF F + = cosB

C

FF =

0;yF = sin 0C DF F =

max sin 0DS F =

4max

1962 Narcsin arcsin 11,31

10 NDF

S = = =

max cosBFS =

max cos 9,81 kNBF S= =


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Der Sack Ain Abbildung 3.8a hat ein Gewicht G. Bestimmen Siedas Gewicht des Sackes Bund die Kraft in jedem Seil, die erfor-

derlich ist, das System in der dargestellten Gleichgewichtsposition zu halten.

G= 20 N, = 30, = 45, tan =

LsungDa das Gewicht von Abekannt ist, kann die unbekannte Zugkraft in den beidenSeilen EFund ECdurch Betrachtung des Gleichgewichts am Ring in Ebestimmtwerden. Warum?

Freikrperbild Drei Krfte greifen in Ean, siehe Abbildung 3.8b.

Gleichgewichtsbedingungen Festlegen derx-undy-Achsen und Zerlegenjeder Kraft in ihrex-undy-Koordinaten mit Hilfe der Trigonometrie ergibt

(1)

(2)

Auflsen der Gleichung (1)nach TEF in Abhngigkeit von TECund Einsetzen desErgebnisses in Gleichung (2)fhrt auf TEC. Danach erhlt man TEFaus Gleichung(1). Die Ergebnisse sind

Mit dem berechneten Ergebnis fr TECkann nun das Gleichgewicht des Ringes in C

untersucht und die Zugkraft in CDsowie das Gewicht von Bbestimmt werden.

Freikrperbild Wie in Abbildung 3.8c dargestellt, zieht die Kraft TCE= 38,6 Nan C. Der Grund dafr wird klar, wenn man das Freikrperbild des Seils CEzeichnetund sowohl Gleichgewicht wie auch das Reaktionsprinzip (actio = reactio), nmlichgleiche, aber entgegengerichtete Gegenkraft (drittes Newtonsches Gesetz) anwen-det, siehe Abbildung 3.8d.

Gleichgewichtsbedingungen Nach Festlegen derx-undy-Achsen und Fest-stellung, dass die Komponenten von TCDproportional zur Seilneigung sind, erhaltenwir

(3)

(4)

Lsen der Gleichung (3)und Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (4)ergibt Abbildung 3.8

Beispiel 3.4

34

0;

0;x

y

F

F==

sin cos 0

cos sin 0EF EC

EF EC

T T

T T G = =

sin38,6 N

cos cos sin sin

cos54,6 N

cos cos sin sin

EC

EF

GT

GT

= =

= =

0; cos cos 0

0; sin sin 0

x CE CD

y CD CE B

F T T

F T T G

= =

= + =

cos34,1 N

cossin sin 47,8 N

CD CE

B CD CE

T T

G T T

= =

= + =

yTEF

TEC

xE

G = 20N

(b)

A

B

GC

ED

(a)

F

y

GB

xC

TCD

(c)

TCE

E

38,6 N

(Kraft des Seils ECauf Ring E)

(Kraft des RingsEauf Seil EC)

(Kraft des Rings Cauf Seil EC)

actio-reactio

actio-reactio

(Kraft des Seils ECauf Ring C)

38,6 N

C

(d)


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3

Abbildung 3.9

Bestimmen Sie die erforderliche Lnge lACdes Seils ACin Abbildung 3.9a,sodass die Lampe mit der Masse min der dargestellten Position hngt. DieunverformteLnge der Feder ABist l'AB und die Feder hat eine Steifigkeit

von cAB . Der Abstand der Wnde betrgt b.m= 8 kg, l'AB = 0,4 m,b= 2 m, cAB = 300 N/m, = 30

LsungWenn die Kraft in der Feder ABbekannt ist, kann die Dehnung aus F=csbestimmt werden. ber die Geometrie kann dann die erforderliche Lngevon ACbestimmt werden.

Freikrperbild Die Lampe hat ein Gewicht G=mg= 8 kg(9,81 m/s2)= 78,5 N. Das Freikrperbild des Rings in Aist in Abbildung 3.9b dargestellt.

Gleichgewichtsbedingungen Mit den Achsen xundyfolgt

Daraus erhlt man

Die Dehnung der Feder ABergibt sich zu

Somit betrgt die gedehnte Lnge

Der horizontale Abstand von Cnach B, siehe Abbildung 3.9a, ist

Daraus folgt fr die gesuchte Lnge lAC

Beispiel 3.5

y

x

G = 78,5 N

A

(b)

TAC

TAB

(a)

A B

b

C

cAB

0;

0;x

y

F

F

=

=

cos 0

sin 0AB AC

AC

T T

T G

=

=

o

o

78,5 N157 N

sin sin 30

cos 157 N cos 30 136 N

AC

AB AC

GT

T T

= = =

= = =

136N

0,453m300N mAB

ABAB

T

s c= = =

' 0,4 m 0,453 m 0,853 mAB AB ABl l s= + = + =

cosAC ABb l l= +

o

2 m 0,835 m1,32 m

cos cos 30AB

AC

b ll

= = =


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3.4 Rumliche Krftesysteme

3.4 Rumliche KrftesystemeFr das Gleichgewicht am Punkt wird

(3.4)

gefordert. Wenn die Krfte in ihre i-, j-und k-Komponenten zerlegt wer-den, siehe Abbildung 3.10, erhalten wir

Fr das Gleichgewicht mssen wir also fordern, dass die folgenden dreiskalaren Koordinatengleichungen erfllt werden:

(3.5)

Abbildung 3.10

Diese Gleichungen stellen die algebraischen Summen der x-, y- undz-Kraftkoordinaten dar, die am Massenpunkt angreifen. Mit ihnen kn-nen wir Gleichungen mit bis zu drei Unbekannten lsen. Normalerweisesind dies Winkel oder Betrge von Krften aus dem Freikrperbild.

=F 0

x y zF F F+ + = i j k 0

0

0

0

x

y

z

F

F

F

=

=

=

z

F3

F2

F1

x

y


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110

3

Am Ring in Agreifen die Kraft des Hakens sowie die drei Kettenkrfte an. Wenn der Elektromag-net und seine Last das Gewicht Ghaben, dann ist die Hakenkraft G, und die drei skalarenGleichgewichtsbedingungen knnen fr das Freikrperbild des Rings zur Bestimmung der Ketten-krfte FB , FC und FDausgewertet werden.

Rumliche Gleichgewichtsaufgaben fr einen Massenpunkt knnen folgender-maen gelst werden:

Freikrperbild

Legen Sie diex-,y-undz-Achsen in einer passenden Orientierung fest.

Beschriften Sie alle bekannten und unbekannten Betrge und Richtungen

der Krfte im Bild. Der Richtungssinn einer Kraft mit einem unbekannten Betrag kann beliebig

angenommen werden.

Gleichgewichtsbedingungen

Verwenden Sie die skalaren Gleichgewichtsbedingungen Fx= 0,Fy= 0, Fz= 0, wenn die Zerlegung der Krfte in die x-,y- undz-Komponenten einfach ist.

Wenn die dreidimensionale Geometrie schwierig ist, schreiben Sie zunchstjede Kraft als kartesischen Vektor, setzen diese Vektoren in die Gleichung F=0 ein und setzen dann die i-, j- und k-Koordinaten der Summegleich null.

Wenn sich ein negatives Ergebnis ergibt, bedeutet dies, dass der Richtungs-sinn der Kraft demjenigen im Freikrperbild entgegengerichtet ist.

A

D

CB

FCFD

FB

G

Lsungsweg


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Eine Last Ghngt am Haken wie in Abbildung 3.11adargestellt. Diese wird von zwei Seilen und einer Feder

mit der Steifigkeit cgehalten. Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen und die

Dehnung der Feder im Gleichgewicht. Das Seil ADliegt in derx-y-Ebeneund das Seil ACin derx-z-Ebene.

G= 90 N, c= 500 N/m, tan = , = 30

LsungDie Dehnung der Feder kann nach Bestimmung der Kraft in der Feder ermit-telt werden.

Freikrperbild Punkt A wird zur Gleichgewichtsanalyse gewhlt, dadie Seilkrfte an diesem Punkt angreifen. Das Freikrperbild ist in Abbil-dung 3.11b dargestellt.

Gleichgewichtsbedingungen Eine Untersuchung ergibt, dass jedeKraft leicht in ihrex-,y-undz-Koordinaten zerlegt werden kann. Daherknnen die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen direkt angewandtwerden. Wenn wir die Komponenten entlang den positiven Achsen alspositiv annehmen, erhalten wir

(1)

(2)

(3)

Auflsen der Gleichung (3)nach FC, dann der Gleichung (1)nach FDund

schlielich der Gleichung (2)nach FBergibt

Die Dehnung der Feder ist daher

Abbildung 3.11

Beispiel 3.6

34

0;

0;

0;

x

y

z

F

F

F

=

=

=

sin cos 0

cos 0

sin 0

D C

D B

C

F F

F F

F G

=

+ =

=

150 Nsin

cos cos240 N

sin sin sin

cos coscos 208 N

sin sin

C

D C

B D

GF

F F G

F F G

= =

= = =

= = =

208N 0,416 m500 N m

B AB

BAB

F cs

Fsc

=

= = =

y

x

z

(b)

G= 90 N

A

FC

FB

FD

x

y

z

(a)

C

G= 90 N

A

c

B

D


21/43


112

3

Abbildung 3.12

Bestimmen Sie den Betrag und die Richtungswinkel der Kraft Fin Abbildung 3.12a,die erforderlich ist, den Massenpunkt Oim Gleichgewicht zu halten.

F1 = 400 N, F2 = 800 N, F3 = 700 N, a= 3 m, b= 2 m, c= 6 m

Lsung

Freikrperbild Vier Krfte greifen am Massenpunkt Oan, siehe Abbildung 3.12b.

Gleichgewichtsbedingungen Jede Kraft kann als kartesischer Vektor geschrie-ben werden. Die Gleichgewichtsbedingungen knnen zur Bestimmung derx-,y-undz-Koordinaten von Fverwendet werden. Die Koordinaten von Bsind B (b, a, c)und wir erhalten

Im Gleichgewicht muss gelten

Wir setzen die i-, j- und k-Koordinaten jeweils gleich null und erhalten

und somit

Der Betrag und die korrekte Richtung von Fsind in Abbildung 3.12c dargestellt.

Beispiel 3.7

y

F2= 800 N

(b)

z

x

F

O

F3= 700 N

F1= 400 N

y

(c)

z

x

O

F= 300N

B

F2

(a)

F1

F3

z

y

x

c

b

a

F

O

{ }

1 1

2 2

3 3 3 2 2 2 2 2 2

3 3 3

{400 } N{ 800 } N

2 3 6

700 N( ) ( ) ( ) ( 2) ( 3) (6)

200 300 600 N

B

B

x y z

x y z

F

F

a b c

F Fr a b c

F F F

F F F

= == =

+ + = = = + + + +

= + = +

= + +

F j j

F k k

r i j k i j k

F

i j k i j k

F i j k

1 2 3

1 2 3 3 3

;

x y z x y z F F F F F F F F

= + + + =

+ + + + =

F 0 F F F F 0j k i j k i j k 0

0;

0;0;

x

y

z

F

FF

=

==

3

1 3

2 3

0

00

x x

y y

z z

F F

F F FF F F

+ =

+ = + + =

3

1 3

2 3

200 N

100 N200 N

x x

y y

z z

F F

F F FF F F

= =

= + == =

{ }2 2 2

200 100 200 N

(200 N) ( 100 N) (200 N) 300 N

200 100 200300 300 300

200arccos 48,2

300

100

arccos 109300200

arccos 48,2300

F

F

F

= +

= + + =

= = +

= =

= =

= =

F i j k

Fu i j k


22/43

113


Die in Abbildung 3.13a gezeigte Lampe der Masse mwird vondrei gleich langen Kabeln getragen. Bestimmen Sie den kleins-

ten vertikalen Abstand svon der Decke, wenn die in den einzelnen Kabeln entste-

hende Kraft den Wert Smaxnicht berschreiten darf.

m=10kg, Smax=50N, r=600mm,=120

Lsung

Freikrperbild Aufgrund der Symmetrie betrgt gem Abbildung 3.13b derAbstand DA=DB=DC=r=600mm. Wegen Fx=0und Fy=0folgt,dass die Zugkraft T in jedem Kabel gleich gro ist. Der Winkel zwischen jedemKabel und der z-Achse ist.

Gleichgewichtsbedingungen Wendet man die Gleichgewichtsbedingungenin z-Richtung mit T=S

maxan, erhlt man

Aus dem in Abbildung 3.13b schattiert gekennzeichneten Dreieck ist zu erkennen,dass gilt:

=519 mm

Abbildung 3.13

Beispiel 3.8

0;zF = 3 cos 0maxS mg =

( )10 9,81arccos arccos 49,16

3 3 50max

mg

S = = =

tan r

s =

600 mm

tan tan 49,16

r

s = =

xy

s

(a)

z

DA

B

C

r

x

y

s

rr

r

D

z

(b)

A

B

C

G=10(9,81) N

T

T

T


23/43


114

3

Abbildung 3.14

Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen, welche die Kiste mit dem Gewicht G inAbbildung 3.14a tragen.

G= 40 kN, a= 3 m, b= 4 m, c= 8 m

Lsung

Freikrperbild Wie in Abbildung 3.14b dargestellt, wird das Freikrperbild vonPunkt Abetrachtet, um die drei unbekannten Seilkrfte zu ueren Krften zu machen.

Gleichgewichtsbedingungen Zunchst schreiben wir jede Kraft als kartesi-schen Vektor. Die Koordinaten der Punkte Bund Csind B (a,b,c) und C(a,b,c):

Im Gleichgewicht muss gelten

Wir setzen die i-, j- und k-Koordinaten jeweils gleich null und erhalten

(1)

(2)

(3)

Aus Gleichung (2)folgt, dassFB =FC

ist. Auflsen der Gleichung (3)nachFB

undFCund Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (1)zur Bestimmung von FDfhrt auf

Beispiel 3.9

y

x

z

G= 40 kN

(b)

FB

A

FC

FD

y

x

z

(a)

c

a

b

b

C

B

D A 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

3 4 8

( 3) ( 4) 8

( 0,318 0,424 0,848 ) ( )

( )

3 4 8

( 3) 4 8

( 0

BB B B

B

B

B B Bx By Bz

CC C C

C

C

C

a b cF F

r a b c

F

F F u u u

a b cF F

r a b c

F

F

+ = = + +

+ = + +

= + = +

+ + = = + +

+ + = + +

=

r i j kF

i j k

i j k i j k

r i j kF

i j k

{ }

,318 0,424 0,848 ) ( )

40 kN

C Cx Cy Cz

D D

F u u u

F

G

+ + = + +

=

= =

i j k i j k

F i

G k k

;

( ) ( )B C D

B Bx By Bz C Cx Cy Cz D F u u u F u u u F G

= + + + =

+ + + + + =

F 0 F F F G 0i j k i j k i k 0

0;

0;

0;

x

y

z

F

F

F

=

=

=

0

0

0

B Bx C Cx D

B By C Cy

B Bz C Cz

F u F u F

F u F u

F u F u G

+ =

+ =

+ =

23,6 kN

( ) 15,0 kN

B CBz Cz

D Bx Cx Bz Cz

GF F

u u

GF u u

u u

= = =+

= + =+


24/43

115


Die Kiste mit der Masse min Abbildung 3.15a wird von drei Sei-len gehalten. Ein Seil ist mit einer Feder verbunden. Bestimmen

Sie die Zugkraft in den Seilen ACund ADund die Dehnung der Feder.

m = 100 kg, a = 1 m, b = 2 m, c = 1,5 kN/m, = 120, = 135, = 60

Lsung

Freikrperbild Die Kraft in jedem Seil kann durch Untersuchung des Gleich-gewichts im Punkt Abestimmt werden. Das Freikrperbild ist in Abbildung 3.15b dar-gestellt. Das Gewicht der Kiste betrgt G=mg= 100 kg (9,81 m/s2)= 981 N.

Gleichgewichtsbedingungen Jeder Vektor im Freikrperbild wird zunchstals kartesischer Vektor geschrieben. Mit Gleichung (2.11) fr FCund den KoordinatenD(a, b, b) fr FDerhalten wir

Im Gleichgewicht muss gelten:

Wir setzen die entsprechenden i-, j- und k-Koordinaten gleich null und erhalten

(1)

(2)

(3)

Abbildung 3.15

Beispiel 3.10

2 2 2

2 2 2

(cos cos cos )

(cos 120 cos 135 cos 60 )

( 0,5 0,707 0,5 ) ( )

( )

1 2 2

( 1) 2 2

( 0,333 0,667 0,667 )

B B

C C

C

C C Cx Cy Cz

DD D D

D

D

D

F

F

F

F F u u u

a b bF F

r a b b

F

F

=

= + +

= + +

= + = +

+ + = = + +

+ + = + +

= + + =

F i

F i j k

i j k

i j k i j k

r i j kF

i j k

i j k

{ }

( )

981 ND Dx Dy Dz

F u u u

G + +

= =

i j k

G k k

;

( ) ( )B C D

B C Cx Cy Cz D Dx Dy Dz F F u u u F u u u G

= + + + =

+ + + + + =

F 0 F F F G 0i i j k i j k k 0

0;

0;

0;

x

y

z

F

F

F

=

=

=

0

0

0

B C Cx D Dx

C Cy D Dy

C Cz D Dz

F F u F u

F u F u

F u F u G

=

+ =

+ =

y

x

z

G= 981 N

A

FC

(b)

FD

FB

ya

b

z

b

x

(a)

A

cB

C

D


25/43


116

3

Auflsen der Gleichung (2)nach FDin Abhngigkeit von FCund Einsetzen in Glei-chung (3)ergibt FC. FDwird aus Gleichung (2)bestimmt. Schlielich setzen wirdie Ergebnisse in Gleichung (1)ein und erhalten FB , also

Die Dehnung der Feder ist somit

813 N

862N

693,7 N

CCy

Cz Dz Dy

Cy

D CDy

B C Cx D Dx

GF uu u

u

uF F

u

F F u F u

= =+

= =

= + =

693,7 N0,462 m

1500 N m

B

B

F cs

Fs

c

=

= = =


26/43

117

Zusammenfassung

Z U S A M M E N F A S S U N G

Gleichgewicht Wenn sich ein Massenpunkt in Ruhe befindet oder mitkonstanter Geschwindigkeit bewegt, ist er im Gleichgewicht. Dazu ist erfor-

derlich, dass die Resultierende aller Krfte, die am Massenpunkt angreifen,gleich null ist:

FR = F = 0

Zur Bercksichtigung aller Krfte ist das Zeichnen eines Freikrperbildes erfor-derlich. Dieses ist ein Freischnitt des Punktes, in dem alle Krfte mit ihrenbekannten und unbekannten Betrgen und Richtungen eingetragen sind.

Ebene Krftesysteme Die beiden skalaren Gleichungen fr das Krfte-gleichgewicht

Fx= 0

Fy= 0

knnen benutzt werden, wenn ein entsprechendes Koordinatensystem mitx-undy-Achse festgelegt wurde. Liefert die Lsung fr einen Kraftbetrag einnegatives Ergebnis, dann ist der Richtungssinn der Kraft entgegengesetzt zudem im Freikrperbild eingezeichneten.

Bei Einbeziehung einer linear elastischen Feder kann die Dehnung oder dieStauchung s der Feder mit der aufgebrachten Kraft ber die GleichungF=csverknpft werden.

Die Zugkraft in einem masselosen, undehnbaren Kabel, das ber eine masse-lose Rolle luft, hat einen konstanten Betrag.

Rumliche Krftesysteme Die Darstellung dreidimensionaler geometri-scher Anordnungen kann schwierig sein. Die Gleichgewichtsbedingung

F =0

sollte dann unter Zuhilfenahme kartesischer Vektoren ausgewertet werden.Dazu muss zunchst jede Kraft aus dem Freikrperbild als kartesischer Vektorgeschrieben werden. Wenn die Krfte summiert und gleich null gesetzt wer-den, sind auch die i-, j- und k-Koordinaten gleich null, also gilt

Fx= 0

Fy= 0

Fz= 0

F4 F3

F1 F2


27/43


118

3

Aufgaben zu 3.3

3.1 Bestimmen Sie die Betrge von F1undF2, sodass sich

der Massenpunkt Pim Gleichgewicht befindet.Gegeben: F=400 N,=60,=30, tan=

Abbildung A 3.1

3.2 Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung von F,sodass sich der Massenpunkt im Gleichgewicht befindet.Gegeben: F1=7 kN,F2=3 kN,tan=

Abbildung A 3.2

3.3 Bestimmen Sie den Betrag und die Richtungvon F1,

sodass sich der MassenpunktPim Gleichgewicht befindet.Gegeben: F2=450 N,F3=300 N,=20,tan=

Abbildung A 3.3

*3.4 Bestimmen Sie den Betrag von F und den Winkel ,sodass sich der Massenpunkt im Gleichgewicht befindet.Gegeben: F1=2,25 kN,F2=7,5 kN,F3=4,5 kN,=60,=30

Abbildung A 3.4

Ausgewhlte Lsungswege

43

y

F

F2 F1

P

x

43

y

F

x

F1

F2

125

y

F

F1

xP

3

F2

y

F

F

x

1

F2

F3


28/43

119

Aufgaben zu 3.3

3.5 Die Stbe eines Fachwerks sind im Knoten O gelenkigverbunden. Bestimmen Sie die Betrge von F1 und F2 frGleichgewicht.Gegeben: = 60, F3=7 kN,F4=5 kN,=70,

=303.6 Die Teile eines Fachwerks sind im KnotenOgelenkig ver-bunden. Bestimmen Sie den Betrag von F1und den Winkelfr Gleichgewicht.Gegeben: F2 = 6 kN,F3=7 kN,F4=7,5 kN,=70,=30,tan=

Abbildung A 3.5/3.6

3.7 Die dargestellte Vorrichtung dient zum Richten von Unfall-autos. Bestimmen Sie die Zugkraft in jedem Segment der Kette,d.h. in ABund BC. Die Kraft FDB, die der HydraulikzylinderDBauf Punkt Bausbt, ist gegeben.Gegeben: FDB = 3,50 kN,a=400 mm,b=250 mm,

c=450 mm

Abbildung A 3.7

*3.8Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen ABund AC, diezum Halten der Ampelanlage mit der Masse merforderlich ist.Gegeben: m= 12 kg,=12,tan=

Abbildung A 3.8

3.9 Jedes der beiden Seile ABund ACkann eine maximaleZugkraft Fmax aushalten. Der Zylinder hat das Gewicht G.Bestimmen Sie den kleinsten Winkel , unter dem die Seile amZylinder befestigt werden knnen.Gegeben:

Fmax= 8000N,G

=

9000N

Abbildung A 3.9

3.10 Eine Kiste mit dem Gewicht Gwird mit den Seilen ABund ACangehoben. Jedes Seil kann eine maximale ZugkraftFmaxaushalten, bevor es reit. ABsoll immer in der horizon-talen Lage bleiben. Bestimmen Sie den kleinsten Winkel , biszu dem die Kiste angehoben werden kann.Gegeben: Fmax= 2500N,G=500 N

Abbildung A 3.10

34

F1

F2

y

x

O

F3

F4

A

c

a b

B

CD

FDB

724

A

BC

BA

C

FBA

C


29/43


120

3

3.11 Zwei elektrisch geladene Kugeln mit jeweils der Massemsind an Fden gleicher Lnge aufgehngt. Bestimmen Sieresultierende horizontale Reaktionskraft F, die an jeder Kugelangreift. Der Abstand zwischen den Kugeln ist r.

Gegeben: m= 0,2 g,a=150 mm,b=50 mm,r=200 mm

Abbildung A 3.11

*3.12 Der Betonrohrkrmmer hat das Gewicht G. SeinSchwerpunkt liegt im Punkt S. Bestimmen Sie die Kraft in denSeilen BCund BD.Gegeben: G=2000N,=45, aC=aD=750 mm

Abbildung A 3.12

3.13 Bestimmen Sie die Dehnung in jeder Feder fr den Fall,dass der Klotz mit der Masse m im Gleichgewicht ist. DieFedern sind in der Gleichgewichtslage dargestellt.Gegeben: m= 2 kg,a=3 m,b=4 m,h=3 m,

cAC=20 N/m,cAB=30 N/m, cAD=40 N/m

3.14 Die ungedehnte Lnge der Feder AB ist l0. Der Klotzwird in der Gleichgewichtslage gehalten. Bestimmen Sie dieMasse des Klotzes in Punkt D.Gegeben: l0 = 2 m,a=3 m,b=4 m,h=3 m,

cAB=30 N/m

Abbildung A 3.13/3.14

3.15 Die FedernABund BChaben jeweils die Steifigkeitcund eine ungedehnte Lngel0. An den Federn ist eine RolleBbefestigt, an der mit einem Seil gezogen wird. BestimmenSie die Kraft Fim Seil fr den Fall, dass die Verschiebung der

Rolle von der Wand dist.Gegeben: c=500 N/m, l0 = 6 m,d=1,5 m

*3.16 Die FedernABund BChaben jeweils die Steifigkeitcund eine ungedehnte Lngel0. Bestimmen Sie die Verschie-bung d,wenn die KraftFam Seil angreift.Gegeben: c=500 N/m,l0 = 6 m,F=175 N


r

b

+ +

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

A B

FF

a a

C

FAB

DC

B

S

a Da

. .

h

a b

cAB

C B

A

D

F

B

C

d

A

c

c

l0


30/43

121

Aufgaben zu 3.3

3.17 Bestimmen Sie das maximale Gewicht des Blumentopfs,das von den Seilen ABundACgehalten werden kann, ohnedass die maximale Seilkraft Fmax in einem der Seile ber-schritten wird.

Gegeben:Fmax=250 N,=30,tan=

Abbildung A 3.17

3.18 Der Motor in Bwickelt mit konstanter Geschwindigkeitdas Seil auf, das an der Kiste mit einem Gewicht Gbefestigtist. Bestimmen Sie die Kraft im Seil CD, das die Rolle hlt, undden Winkel , damit die Rolle C im Gleichgewicht ist. Ver-nachlssigen Sie die Gre der Rolle in C.Gegeben: G=325 N, tan=

3.19 Jedes Seil, BCAund CD, kann je eine maximale LastFmaxaufnehmen. Bestimmen Sie das maximale Gewicht der

Kiste, die mit konstanter Geschwindigkeit gehoben werdenkann, und den Winkel, wenn Gleichgewicht vorliegt.Gegeben:Fmax=500 N, tan=


*3.20 Bestimmen Sie die Krfte in den Seilen ACund AB,die zum Halten des Balles mit einer Masse m im Gleich-gewicht erforderlich sind.Gegeben: m=20 kg, F= 300 N, d= 1 m, a= 2 m,

h= 1,5 m3.21 Der Ball Dhat die Masse m. Eine Kraft Fgreift horizon-tal am Ring in Aan. Bestimmen Sie den grten Wert von d,fr den die Seilkraft FACgleich null ist.Gegeben: m=20 kg, F= 100 N, a= 2 m, h= 1,5 m


3.22 Der Klotz hat das Gewicht Gund wird mit gleichfrmi-ger Geschwindigkeit gehoben. Bestimmen Sie den Winkel imGleichgewicht und die erforderliche Kraft in jedem Seil.Gegeben:G=20 N,=30

3.23 Bestimmen Sie das maximale Gewicht Gdes Klotzes,der in der dargestellten Position aufgehngt werden kann,wenn jedes Seil einer maximalen Zugkraft Fmax standhlt.Wie gro ist der Winkel im Gleichgewicht?Gegeben:Fmax=80 N,=30


34

B

C

A

125

125

B

A

C

D

A

C

B

F

D

a

h

d

T

B

A


31/43


122

3

*3.24 Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung derZwangskraft FABentlang dem Verbindungsstck AB, die vonder dargestellten Zugvorrichtung ausgebt wird. Die aufge-hngte Masse ist m. Vernachlssigen Sie die Gre der Rolle

in A.Gegeben:m=10 kg,=75,=45

Abbildung A 3.24

3.25 Die Kltze Dund F haben beide das Gewicht G, derKlotz Edas Gewicht GE. Bestimmen Sie den Durchhang simGleichgewicht. Vernachlssigen Sie die Gre der Rollen.Gegeben:G=5 N, GE=8 N, a= 0,4 m

3.26 Die Kltze D und F haben beide das Gewicht G.

Bestimmen Sie das Gewicht GEdes Klotzes E. Der Durchhangsist gegeben. Vernachlssigen Sie die Gre der Rollen.Gegeben: G=5 N,s=0,3 m, a= 0,4 m


3.27 Mit der Tragschlinge wird ein Container der Masse mgehoben. Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen ABund ACals Funktion von . Die maximal zulssige Zugkraft in jedemSeil betrgt Fmax. Bestimmen Sie die krzesten Lngen der

Seile ABund AC, die fr die Tragschlinge mglich sind. DerSchwerpunkt des Containers befindet sich im Punkt S.Gegeben: m=500 kg,Fmax=5 kN, a= 1,5 m

Abbildung A 3.27

*3.28 Die Last mit der Masse m wird vom dargestelltenRollensystem gehoben. Bestimmen Sie die Kraft Fim Seil alsFunktion des Winkels . Zeichnen Sie die Kraft Fals Funk-tion des Winkels fr 0 90.Gegeben: m=15 kg,=45

Abbildung A 3.28

A

B

FAB

FD E

A

CB

a a

s

A

B C

a a

S

F

F


32/43

123

Aufgaben zu 3.3

3.29 Das Bild mit dem Gewicht G wird am Stift B aufge-hngt. In den Punkten Aund Cam Rahmen wird eine Schnurbefestigt, die maximale Tragkraft der Schnur betrgt Fmax.Ermitteln Sie die krzeste Schnur, die man noch sicher verwen-

den kann.Gegeben:G=50 N, Fmax=75 N, a= 250 mm

Abbildung A 3.29

3.30 Der Tank mit dem Gewicht G wird an einem Seil derLnge laufgehngt, das an den Seiten des Tanks befestigt istund ber eine kleine Rolle im Punkt Oluft. Das Kabel kannin den Punkten A und B oder C und D befestigt werden.Bestimmen Sie, welche Befestigung zu geringeren Zugkrftenim Seil fhrt. Wie gro ist diese Zugkraft?Gegeben: G=400 N,l=3 m, a=1 m, b=0,5 m

Abbildung A 3.30

3.31 Die vertikale Kraft Pgreift an den Enden Seils ABderLnge l und an der Feder AC an. Die Feder hat die unge-dehnte Lnge l0. Bestimmen Sie den Winkel wenn Gleichge-wicht vorliegt.

Gegeben: P= 10 N,c= 150 N/m, l0=0,2 m,a=0,2 m

*3.32 Bestimmen Sie die Lnge l0 der ungedehnten FederACfr eine Kraft P, damit im Gleichgewicht das Seil ABmitder Horizontalen den Winkel einschliet. Das Seil ABhat dieLnge a.Gegeben:P=80 N, = 60, c= 500 N/m, a= 0,2 m


3.33 Eine Waage wird mit einem Seil der Lnge lundeinem Klotz Dmit dem Gewicht Gkonstruiert. Das Seil ist

an einem Stift in Abefestigt und luft ber zweikleineRol-len. Bestimmen Sie das Gewicht des aufgehngten KlotzesB, wenn das System im Gleichgewicht ist.Gegeben:G= 50 N,l= 1,2 m, a = 0,3 m, s= 0,45 m

Abbildung A 3.33

CA

a a

B

A

O

C

bB

2b

F

D

a

a

a

c

0

A

B C

P

l

s

C

D

B

A

a


33/43


124

3

3.34 Ein Auto wird mit der dargestellten Seilanordnungabgeschleppt. Die erforderliche Abschleppkraft betrgt F.Bestimmen Sie die Mindestlnge l des Seils AB, sodass dieZugkraft in keinem Seil Fmaxbersteigt. Hinweis:Verwenden

Sie zur Bestimmung des erforderlichen Befestigungswinkels die Gleichgewichtsbedingung im Punkt A, bestimmen Siedann trigonometrisch ber das Dreieck ABCdie Lnge l.Gegeben:F=3000N,Fmax=3750N,a=1,2 m,=30

Abbildung A 3.34

3.35 Die Feder hat die Steifigkeit c und die ungedehnte

Lnge l0. Bestimmen Sie die Kraft in den Seilen BCund BD,wenn die Feder in der dargestellten Position gehalten wird.Gegeben:c= 800 N/m, l0=200 mm, a=500 mm,b=400 m, d=400 mm, e=300 mm

Abbildung A 3.35

*3.36 Mit dem Tragriemen BACwird die Last Fmit kons-tanter Geschwindigkeit angehoben. Bestimmen Sie die Kraftim Tragriemen und zeichnen Sie ihren Wert T (Ordinate) alsFunktion der Richtung , wobei 0 90 gilt.

Gegeben:F=1000N

Abbildung A 3.36

3.37 Die Leuchte mit dem Gewicht G ist an zwei Federnaufgehngt, die eine ungedehnte Lnge l0und eine Steifigkeitchaben. Bestimmen Sie den Winkel im Gleichgewicht.Gegeben: G=45 N, c= 75 N/m, l0=1,2 m,a=1,2 m

Abbildung A 3.37

A

l

B C

F

a

A Bc

D

a b

d

e

C

B

A

F

C

a

c c

a


34/43

125

Aufgaben zu 3.3

3.38 Der Kbel mit Inhalt hat die Masse m. Das Seil hat dieLnge l. Bestimmen Sie den Abstandy der Rolle im Gleich-gewicht. Vernachlssigen Sie die Gre der Rolle in A.Gegeben: m=60 kg, l=15 m, a=10 m, h=2 m

Abbildung A 3.38

3.39 Eine Kugel mit der Masse mruht auf einer glatten para-bolischen Oberflche. Bestimmen Sie die Normalkraft, die sieauf die Oberflche ausbt, und die Masse mBdes Klotzes B,die erforderlich ist, sie in der dargestellten Gleichgewichtspo-sition zu halten.Gegeben:m=4 kg, h=0,4 m, a=0,4 m,=60

Abbildung A 3.39

*3.40 Das Rohr mit der Masse mwird von fnf Seilen gehal-ten. Bestimmen Sie die Kraft in jedem Seil fr den Fall, dassGleichgewicht vorliegt.Gegeben: m=30 kg,=60,tan=

Abbildung A 3.40

h

y

C

B

A

a

B

A

y

x

a

h

y = h x2

a2

3

4

A

B

D

C

E


35/43


126

3

Aufgaben zu 3.4

3.41 Bestimmen Sie den zur Erhaltung des Gleichgewichts

im Krftesystem erforderlichen Betrag vonF1.Gegeben: P(2 m,6 m, 3 m), F2=500 N,F3=400 N, F4=300 N,F5=450 N,=30

Abbildung A 3.41

3.42 Bestimmen Sie die Betrge von F1, F2undF3, wennder Massenpunkt im Gleichgewicht ist.Gegeben: F4=800 N,=60,=30,=30,tan=

Abbildung A 3.42

3.43 Bestimmen Sie die Betrge von F1, F2 und F3 im

Gleichgewicht.Gegeben:F4=2,8 kN,F5=8,5 kN,=30,=15,tan=

Abbildung A 3.43

* 3.44 Bestimmen Sie den fr Gleichgewicht erforderlichenBetrag der Kraft Pund deren Richtung.Gegeben: P(2 m, 6 m, 3 m), F1=2 kN,F2=0,75 kN,F3=0,5 kN,=30,=60,=120

Abbildung A 3.443.45 Drei Kabel halten die Lampe mit dem Gewicht G.Bestimmen Sie jede Seilkraft, wenn Gleichgewicht vorliegt.Gegeben:G=800 N,h=4 m, a=2 m,b=4 m

Abbildung A 3.45


z

yO

x

(P)

F4

F5

F1

F2

F3

34

F3

F2F1

y

x

z

F4

724

y

F

F1

F2

F3

z

x

4

F5

P

F3

F2

F1

(P)

z

y

x

b

z

a

h

G

D

y

x

A

B

C


36/43

127

Aufgaben zu 3.4

3.46 Im Seil ABwirkt eine Zugkraft FAB. Bestimmen Sie dieZugkrfte in den Seilen ACund ADund den Betrag der verti-kalen KraftF.Gegeben:FAB=700 N,h=6 m, a1=3 m, a2=1,5 m,

a3=2 m,b1=6 m,b2=2 m,b3=3 m

Abbildung A 3.46

3.47 Bestimmen Sie die Lngennderungen der beidenFedern, die zum Halten der Kiste mit der Masse min der dar-gestellten Gleichgewichtslage erforderlich sind. Jede Feder hatdie ungedehnte Lnge l0und die Steifigkeit c.Gegeben:m=20 kg, l0=2 m, c=300 N/m,h=12 m, a=6 m,b=4 m

Abbildung A 3.47

*3.48 Der Eimer mit Inhalt hat das Gesamtgewicht G.Bestimmen Sie die Kraft in den Halteseilen DA, DBundDC.Gegeben:G=200 N,h1=3 m,h2=3 m, a1=4,5 m,a3=1,5 m,b2=2,5 m,b3=1,5 m

Abbildung A 3.48

3.49 Die Kiste mit dem Gewicht G soll durch die darge-stellte Seilanordnung mit konstanter Geschwindigkeit aus demLaderaum eines Schiffes gehoben werden. Bestimmen Sie dieZugkraft in den drei Seilen im Gleichgewichtszustand.Gegeben: G=2500N,F=2500N, h=3 m,a

1=1 m, a

2=0,75 m,b

1=3 m, b

2=1,5 m,b

3=1 m

Abbildung A 3.49

y

h

O

C

B

D

A

F

1

x

z

a

2a

3a

3b

1b

2b

yx

z

O

C

B

A12 m

ab

h

c c

A

D

B

C

y

x

z

b2

h2

a3

b3

h1

a1

F

z

BD

yx

C

A

b1

b2 a1

a2

b3

h


37/43


128

3

3.50 Die Lampe hat die Masse m und wird vom Rund-stab AO und den Seilen AB und AC gehalten. Die Wir-kungslinie der Kraft im Rundstab verluft entlang seinerAchse. Bestimmen Sie die Krfte in AO, ABund ACfr den

Gleichgewichtsfall.Gegeben: m=15 kg,h=6 m, a1=2 m, a2=4 m,b1=1,5 m, b2=1,5 m,b3=1,5 m

3.51 Die Seile AB und ACknnen einer maximalen Zug-kraft Fmaxstandhalten und der Rundstab einem maximaleDruckkraft Pmax. Bestimmen Sie das maximale Gewicht derLampe, die in der dargestellten Position gehalten werdenkann. Die Wirkungslinie der Kraft im Rundstab verluft ent-lang seiner Achse.Gegeben:Fmax=500 N,Pmax=300 N,h=6 m,a1=2 m, a2=4 m,b1=1,5 m, b2=1,5 m,

b3 = 1,5 m


*3.52 Bestimmen Sie die Zugkrfte in den Seilen AB, ACund AD, welche die Kiste mit dem Gewicht G im Gleichge-wicht halten.Gegeben:G=300 N,h1=3 m, h2=4 m, a1=6 m,

a2=3 m,b1=2 m, b2=4,5 m

Abbildung A 3.52

3.53 Der Kranarm trgt einen Kbel samt Inhalt mit derGesamtmasse m. Bestimmen Sie die Krfte in den Sttzen ADund AE und die Zugspannung im Seil AB, wenn Gleichge-wicht vorliegt. Die Krfte in den Sttzen verlaufen jeweils ent-

lang ihrer Achse.Gegeben:m=300 kg,h1=6 m, h2=7,25 m,a1=2 m, a2=2 m,b1=3 m

Abbildung A 3.53

A

z

x

B

y

h

O C

a1

b3

b1

a2

b2

G

x

B

A

DC

z

y

h1

b1

b2

h2

a1

a2

A

z

y

C

x

D

E

Bb1

a1

a2

h1

h2


38/43

129

Aufgaben zu 3.4

3.54 Bestimmen Sie die zum Heben der Zugmaschine erfor-derliche Kraft in jedem Seil. Ihre Masse betrgt m.Gegeben: m=8 Mg,h=3 m, a1=2 m, a2=1 m,b1=1,25 m, b2=1,25 m

Abbildung A 3.54

3.55 Bestimmen Sie die Krfte lngs der Achsen der dreiSttzen, die den Klotz mit der Masse mhalten.Gegeben: m=500 kg,h=2,5 m, a1=0,75 m,a2=1,25 m,b1=3 m, b2=2 m

Abbildung A 3.55

*3.56 Der Blumentopf mit der Masse mwird von drei Seilenin Agehalten. Bestimmen Sie die Seilkrfte, wenn Gleich-gewicht vorliegt.Gegeben: m=50 kg,d=2,5 m, a1=6 m, a2=6 m,

b1=2 m, b2=2 m, h=3 m3.57 Bestimmen Sie die Hhe d des Seils AB, sodass dieKrfte in den Seilen ADund AChalb so gro sind wie dieKraft in Seil AB. Wie gro ist dann die Kraft in jedem Seil? DerBlumentopf hat die Masse m.Gegeben:m=50 kg,a1=6 m, a2=6 m,b1=2 m,b2=2 m, h=3 m


3.58 Der Kronleuchter hat das Gewicht Gund wird von dreiDrhten gehalten. Bestimmen Sie fr Gleichgewicht die Kraftin jedem Draht.Gegeben: G=400 N,R=0,3 m, h=0,72 m,=90,=135

h

A

D

C

B

yx

z

a2

a1b2

b1

h

z

A

B

C

D

x

y

b2

b1 a1

a2

A

z

y

x

B

d

hD

C

b1

b2

a1

a2


39/43


130

3

3.59 Jeder Draht trgt maximal Fmax, bevor er reit. Be-stimmen Sie das grtmgliche Gewicht des Kronleuchtersin der dargestellten Position.Gegeben: Fmax=600 N,R=0,3 m, h=0,72 m,

=90,=135


*3.60 Drei Seile tragen den Ring mit dem Gewicht G. Bestim-men Sie fr den Gleichgewichtsfall die Zugkraft in jedem Seil.

Gegeben: G=900 N,R1=2 m,R2=3 m, h=4 m,=120

Abbildung A 3.60

3.61 Der Zylinder mit der Masse m wird von drei Kettengetragen. Bestimmen Sie jede Kettenkraft wenn Gleichgewichtvorliegt.Gegeben: m=80 kg,r=1 m, d=1 m,=135,

=90

Abbildung A 3.61

3.62 Ein Stift ruht auf einer Feder in einem glatten Rohr.Wenn die Feder auf die Lnge szusammengedrckt wird, bt

die Feder eine nach oben gerichtete Kraft Fauf den Stift aus.Bestimmen Sie den Befestigungspunkt A (x,y, 0) des SeilsPA, sodass die Zugkraft in den Seilen PBund PCgleich FPBbzw. FPCist.Gegeben: s=0,15 m, F=60 N,FPB=30 N,FPC=50 N,a=0,3 m, b1=0,4 m, b2=0,2 m

Abbildung A 3.62

D

y

x

z

A

B

C

R

R

h

R

A

F

y

z

x

h

R2

R1

rDB

C

A

x

z

y

d

s

a

y

Ay

x

x

z

B

C

P

b1

b2


40/43

131

Aufgaben zu 3.4

3.63 Bestimmen Sie in jedem Seil die zum Tragen der Platt-form mit dem Gewicht Gerforderliche Kraft.Gegeben: d=2 m, G=17 500 N,a=2 m,b=1,5 m, c=1 m,h=5 m

Abbildung A 3.63

* 3.64 Eine Kugel mit dem Gewicht G ist mit drei Federnam horizontalen Ring aufgehngt. Jede Feder hat die unge-dehnte Lnge l0und die Steifigkeit c. Bestimmen Sie fr denGleichgewichtsfall den vertikalen Abstand h vom Ring zumPunkt

A.

Gegeben: G=400 N,c=1 000 N/m,=120,R=0,5 m,l0=0,5 m

Abbildung A 3.64

3.65 Bestimmen Sie die zum Tragen der Kiste der Masse merforderlichen Zugkrfte in den Seilen ODund OBund dieKraft in der Sttze OC. Die Feder OAhat eine ungedehnteLnge l0und die Steifigkeit cOA. Die Wirkungslinie der Kraft

in der Sttze verluft entlang der Achse der Sttze.Gegeben: m=50 kg,l0=0,8 m,cOA=1,2 kN/m,h1=4 m, h2=3 m, h3=4 m,a1=2 m, a2=2 m,b= 4 m,c=1 m

Abbildung A 3.65

b d yx

C

D

B

A

G

a

b

h

a

c

z

R R

A

h

c

c

c

c

b

b

b

x

y

O

z

B

cOA

C

D

A

h1

a2

a1

h3

h2


41/43


132

3

Vermischte Aufgaben

3.66 Das Rohr wird vom Schraubstock gehalten. Die Schraube

greift mit einer Kraft Fin der dargestellten Richtung am Rohran. Bestimmen Sie die Krfte FAund FB , welche die glattenKontakte in den Punkten Aund Bauf das Rohr ausben.Gegeben: F=250 N,=30, tan=

Abbildung A 3.66

3.67 Wennygleich null ist, betrgt die Kraft in den FedernF0. Bestimmen Sie den Betrag der aufgebrachten vertikalenKrfte Fund F, sodass Punkt Avon Punkt Bdie Streckeyentfernt ist. Die Enden der Seile CADund CBDsind an denRingen in Cund Dangebracht.

Gegeben: F0=300 N, c=400 N/m,y=0,2 m,a=0,2 m

*3.68 Wenny gleich null ist, werden die Federn um s ge-dehnt. Bestimmen Sie den Abstandy, wenn wie dargestellt dieKraft Fan den Punkten Aund Bangreift. Die Enden der SeileCADund CBDsind an den Ringen in Cund Dangebracht.Gegeben: F=300 N, c=400 N/m, s=0,15 m,a=0,2 m


3.69 Romeo mchte mit konstanter Geschwindigkeit am Seil,

das in Punkt Aangeknotet ist, zu Julia hinaufklettern. Jederder drei Seilabschnitte hlt eine maximale Kraft Fmax. KannRomeo mit der Masse mRdas Seil heraufklettern? Wenn diesder Fall ist, kann er dann mit seiner Julia mit der Masse mJauch wieder mit konstanter Geschwindigkeit herunterklettern?Gegeben: Fmax=2 kN, mR=65 kg,mJ=60 kg,=60

Abbildung A 3.69

3.70 Bestimmen Sie die Betrge der Krfte F1,F2und F3,die notwendig sind, um die Kraft Fim Gleichgewicht zu halten.Gegeben: F= {9i 8j 5k} kN,1=60,2=30,1=60,2=60,=135,P(4 m,4 m,2 m)

Abbildung A 3.70


34

F

A

BFB

FA

C

F

c c

a

a

a

a

F

y

A

B

DC

A C

B

(P)

1

x

y

z

F2F1

F3

F

2 2

1


42/43

133

Vermischte Aufgaben

3.71 Der Mann versucht, den Baumstamm in C mit Hilfeder drei Stricke zu ziehen. Bestimmen Sie die Richtung , indie er mit der Kraft Fan seinem Seil ziehen sollte, sodass dieKraft auf den Baumstamm maximal wird. Wie gro ist diese

Kraft? Bestimmen Sie auch die Richtung, in die er ziehensollte, damit die Kraft im an Bbefestigten Seil maximal wird.Wie gro ist diese Maximalkraft?Gegeben: F=400 N,=150

Abbildung A 3.71

* 3.72 An einem Ring vernachlssigbarer Gre greift einevertikale Kraft Fan. Bestimmen Sie die erforderliche Lngelder Schnur AC, sodass die Zugkraft in AC gerade FACbetrgt. Wie gro ist auerdem die Kraft in der Schnur AB?Hinweis:Bestimmen Sie den erforderlichen Befestigungswin-kelmit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung, bestimmen Siedann ltrigonometrisch aus dem Dreieck ABC.Gegeben: F=200 N, FAC=160 N,=40, a=0,2 m

Abbildung A 3.72

3.73 Bestimmen Sie das maximal mgliche GewichtGdesMotors, ohne dass die ZugkraftFABin Kette ABund FACinKette ACberschritten wird.Gegeben:FAB=900 N, FAC=960 N,=30

Abbildung A 3.73

3.74 Bestimmen Sie die zum Tragen der LastGerforderlicheKraft in jedem Seil.Gegeben: G=500 N,h=0,8 m, a1=0,2 m,b1=0,6 m,b2=0,6 m

Abbildung A 3.74

3.75 Am Knoten eines rumlichen Fachwerks greifen vierKrfte an. Stab OAliegt in derx-y-Ebene, StabOBin der

y-z-Ebene. Bestimmen Sie die fr Gleichgewicht des Knotensnotwendigen Krfte in den Stben.Gegeben: F4 = 200 N,=45,=40

Abbildung A 3.75

A

D

BC

BC

Al a

F

B

C

A

D

y

x

C

A

B

h

z

b1a1

a1

b2

x

A

B

F

z

y

F O

4

3

F2

F1


43/43

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