Statistik I - 3. Vorlesung - Ruhr-Universität Bochum · 4 Mittelwerte und Lagemaße Quantile...

WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK

PROF. DR. ROLF HÜPEN

FAKULTÄT FÜR

WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre

Vorlesungsprogramm 30.04.2013

Prof. Dr. Rolf Hüpen | Modul „Statistik I“ | Sommersemester 2013

Mittelwerte und Lagemaße I

1. Quantile von Häufigkeitsverteilungen

2. Anwendung und Berechnung der wichtigsten Mittelwerte

• Modus

• Median

• Arithmetisches Mittel

• Geometrisches Mittel

• Harmonisches Mittel

Literatur: Degen, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., München-Wien 2002, S. 37-43.

Mosler, Karl und Schmid, Friedrich: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl.,

Berlin-Heidelberg-New York 2009, S. 34-42.

von der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 1993, S. 46-82.

Aufgaben: Semesterabschlussklausur SS 01, Aufgabe 1b).

Semesterabschlussklausur WS 03/04, Aufgabe 1.

Semesterabschlussklausur WS 04/05, Aufgaben 1a) bis c).



http://www.von-der-lippe.org/dokumente/buch/buch04.pdf



2

Mittelwerte und Lagemaße Übersicht

Kennzahlen für Datensätze

• Allgemeine Lageparameter: Quantile

• Mittelwerte

• Streuungsmaße

• Konzentrationsmaße

• Schiefe

• Wölbung


3

Mittelwerte und Lagemaße Quantile

p-Quantil (allgemeiner Lageparameter)

Voraussetzung: Mindestens ordinal skalierte Merkmale

Vorgabe: 0 < 𝑝 < 1

Dann heißt die Kennzahl

𝒙 𝒑

p-Quantil, falls unterhalb von 𝑥 𝑝 sich höchstens 100 ∙ 𝑝% und oberhalb von 𝑥 𝑝

sich höchstens 100 ∙ 1 − 𝑝 % der Beobachtungswerte befinden.

Beispiel:

p=0,4 Das 0,4-Quantil ist derjenige Beobachtungswert 𝑥 0,4, für den gilt, dass (höchstens) 40%

der Beobachtungswerte kleiner und (höchstens) 60% der Beobachtungswerte größer

als 𝑥 0,4 sind.

Gewinnt man z.B. aus einer Erhebung des Monatseinkommens von Haushalten die Information

𝑥 0,4 = 2000 €, dann weiß man: 40% der Haushalte verdienen weniger als 2000 €, 60% der

Haushalte mehr als 2000 €.


4


Eigenschaften und Berechnung des p-Quantils

1. Das p-Quantil teilt die geordnete Urliste in genau zwei Teile.

2. Ist n ∙ p ganzzahlig, so gelten die Prozentsätze exakt.

3. Für die Datenlage A gilt:

𝑥 𝑝 = 𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 nicht ganzzahlig

1

2∙ 𝑥 𝑛𝑝 + 𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 ganzzahlig

Dabei bedeutet [α]: = größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich a ist.

[ ] heißt „Gauß-Klammer“

Beispiel: 𝑛 = 25 , 𝑝 = 0,1

𝑛 ∙ 𝑝 = 2,5 ⟶ nicht ganzzahlig

[𝑛 ∙ 𝑝 + 1] = [3,5] = 3

⟶ 𝑥 0,1 = 𝑥 3 = dritter Wert der geordneten Urliste

𝑛 = 25 , 𝑝 = 0,2

𝑛 ∙ 𝑝 = 5 ⟶ ganzzahlig

𝑛 ∙ 𝑝 = 5 = 5 ; [𝑛 ∙ 𝑝 + 1] = [6] = 6

⟶ 𝑥 0,2 =1

2⋅ 𝑥 5 + 𝑥 6 = Intervallmitte zwischen 5. und 6. Wert der geordneten Urliste


http://www.ruhr-uni-bochum.de/wista/lehre/vorlesung/Carl Friedrich Gauss.pdf

5



Geordnete Urliste

Lfd. Nr. (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Lebensalte

r beim

Examen

x(i) 23 24 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 28 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 32 34

Zahlenbeispiel aus der Absolventenumfrage 2002

𝑥 𝑝 = 𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 nicht ganzzahlig

1

2∙ 𝑥 𝑛𝑝 +𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 ganzzahlig

𝑛 = 39

𝑝 = 0,25 𝑛𝑝 = 9,75 𝑥 0,25 = 𝑥 10 = 26

𝑝 = 0,5 𝑛𝑝 = 19,5 𝑥 0,5 = 𝑥 20 = 27

𝑝 = 0,75 𝑛𝑝 = 29,25 𝑥 0,75 = 𝑥 30 = 29

𝑝 = 2 3 𝑛𝑝 = 26

𝑥 2 3 = 12∙ (𝑥 26 + 𝑥 27 ) =

12∙ 28 + 28 = 28

6


4. Für die Datenlage B gilt:

𝑥 𝑝 = 𝑥𝑖 für 𝐹𝑖−1 < 𝑝 < 𝐹𝑖

1

2∙ 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 für 𝑝 = 𝐹𝑖

, wobei 𝑖 = 1,… ,𝑚 und 𝐹0 = 0

Nr. Merkmals-

ausprägung

einfache Häufigkeit kumulierte Häufigkeit

absolut relativ absolut relativ

i xi hi fi Hi Fi

1 23 1 0,0256 1 0,0256

2 24 1 0,0256 2 0,0513

3 25 6 0,1538 8 0,2051

4 26 10 0,2564 18 0,4615

5 27 4 0,1026 22 0,5641

6 28 5 0,1282 27 0,6923

7 29 4 0,1026 31 0,7949

8 30 4 0,1026 35 0,8974

9 31 2 0,0513 37 0,9487

10 32 1 0,0256 38 0,9744

11 33 0 0,0000 38 0,9744

12 34 1 0,0256 39 1

Summe 39 1

Kontrollfrage:

Wo liegt der Median 𝑥 0,5

𝐹4 = 0,4615 < 𝑝 = 0,5 < 𝐹5 = 0,5641

→ 𝑥 0,5 = 𝑥5 = 27

Antwort:

Bei einem Lebensalter von 27 Jahren.


Zahlenbeispiel Absolventenumfrage 2002, Merkmal „Alter“:

7


Empirische Verteilungsfunktion

0

0,25

0,5

0,75

1

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Lebensalter beim Examen

Ku

mu

lie

rte

re

lari

ve

Hä

ufi

gk

eit


Graphische Ermittlung des p-Quantils bei Datenlage B:

8


5. Für die Datenlage C gilt:

p-Quantile können im allgemeinen nur näherungsweise bestimmt werden. Man greift

auf die approximierende empirische Verteilungsfunktion zurück und bestimmt 𝑥 𝑝 als

Lösung der Gleichung

𝐹 𝑥 𝑝 = 𝑝

Berechnung:

Schritt 1: Man bestimmt zunächst die Klasse 𝐺𝑖 mit 𝐹𝑖−1 ≤ 𝑝 < 𝐹𝑖, in die das

gesuchte Quantil hineinfällt. Diese Klasse hat die Grenzen [𝑎𝑖−1, 𝑎𝑖) und

die Breite ∆𝑖= 𝑎𝑖 − 𝑎𝑖−1. Somit gilt die Eingrenzung 𝑎𝑖−1 ≤ 𝑥 𝑝 < 𝑎𝑖 .

Schritt 2: Feinberechnung durch lineare Interpolation:

𝑥 𝑝 ≈ 𝑎𝑖−1 + 𝑝 − 𝐹𝑖−1𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1

⋅ 𝑎𝑖 − 𝑎𝑖−1 = 𝑎𝑖−1 + 𝑝 − 𝐹𝑖−1

𝑓𝑖⋅ ∆𝑖

Bei Annahme der Gleichverteilung innerhalb der Klasse ist die Approximation exakt.


9


Zahlenbeispiel: Absolventenumfrage, Merkmal „Alter beim Examen“, 7 Klassen, identische Breite ∆ = 2

von bis unter Mitte Breite

i ai-1 ai xi Di hi fi Hi Fi

1 22 24 23 2 1 0,0256 1 0,0256

2 24 26 25 2 7 0,1795 8 0,2051

3 26 28 27 2 14 0,3590 22 0,5641

4 28 30 29 2 9 0,2308 31 0,7949

5 30 32 31 2 6 0,1538 37 0,9487

6 32 34 33 2 1 0,0256 38 0,9744

7 34 36 35 2 1 0,0256 39 1

Summe 39 1


Berechnung des Medians (𝑝 = 0,5)

1. Schritt: In welche Klasse fällt der Median?

Da 0,2051 < 0,5 < 0,5641, befindet sich der Median in Klasse 3, also gilt:

26 < 𝑥 0,5 < 28

2. Schritt: Feinberechnung durch lineare Interpolation:

𝑥 0,5 = 26 + 2 ∙0,5 − 0,2051

0,5641 − 0,2051= 27,6 Jahre

10





1 22 24 23 2 1 0,0256 1 0,0256

2 24 26 25 2 7 0,1795 8 0,2051

3 26 28 27 2 14 0,3590 22 0,5641

4 28 30 29 2 9 0,2308 31 0,7949

5 30 32 31 2 6 0,1538 37 0,9487

6 32 34 33 2 1 0,0256 38 0,9744

7 34 36 35 2 1 0,0256 39 1

Summe 39 1


Berechnung des 1. Quartils (𝑝 = 0,25)

1. Schritt: 0,2051 < 0,25 < 0,5641 → 𝑄1 befindet sich auch in Klasse 3, also gilt:

26 < 𝑥 0,25 < 28


𝑥 0,25 = 26 + 2 ∙0,25 − 0,2051

0,5641 − 0,2051= 26,3 Jahre

11





1 22 24 23 2 1 0,0256 1 0,0256

2 24 26 25 2 7 0,1795 8 0,2051

3 26 28 27 2 14 0,3590 22 0,5641

4 28 30 29 2 9 0,2308 31 0,7949

5 30 32 31 2 6 0,1538 37 0,9487

6 32 34 33 2 1 0,0256 38 0,9744

7 34 36 35 2 1 0,0256 39 1

Summe 39 1


Berechnung des 3. Quartils (𝑝 = 0,75)

1. Schritt: 0,5641 < 0,75 < 0,79491 → 𝑄3 befindet sich in Klasse 4, also gilt:

28 < 𝑥 0,75 < 30


𝑥 0,75 = 28 + 2 ∙0,75 − 0,5641

0,7949 − 0,5641= 29,6 Jahre

12


Graphische Ermittlung des p-Quantils bei Datenlage C mit Hilfe der approximierenden

empirischen Verteilungsfunktion:

Approximierende empirische Verteilungsfunktion

0

0,25

0,5

0,75

1

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Lebensalter beim Examen

Ku

mu

lie

rte r

ela

tive

Hä

ufi

gk

eit


𝐹 𝑥

13


6. Spezialfälle

Quartile:

𝑝 = (0,25 0,5 0,75)

Die drei Quartile teilen die geordnete Urliste in vier gleiche Teile.

• 0,25 − Quantil = 𝑥 0,25 = 𝑄1 = unteres Quartil

• 0,5 − Quantil = 𝑥 0,5 = 𝑄2 = mittleres Quartil oder Median

• 0,75 − Quantil = 𝑥 0,75 = 𝑄3 = oberes Quartil

Dezile:

𝑝 = 0,1 0,2 ⋯ 0,8 0,9

Die neun Dezile teilen die geordnete Urliste in zehn gleiche Teile.


14

Mittelwerte Überblick

Mittelwert = Kennzahl zur Beschreibung der zentralen Tendenz einer

statistischen Masse.

Ziel: Durch Angabe eines einzigen, typischen Wertes soll die statistische

Masse möglichst gut repräsentiert werden. Der Mittelwert soll das

Niveau, die allgemeine Größenordnung der Messwerte charakterisieren

und den Datensatz durch eine einzige Zahl zusammenfassen.

Von geringer praktischer Bedeutung sind das quadratische und das antiharmonische Mittel, die zusammen mit

den schon genannten rechnerischen Mittelwerten Spezialfälle der sogenannten Potenzmittel sind.

Die Berechnung der Mittelwerte hängt von der Datenlage ab.

Die wichtigsten Mittelwerte sind:

Modus

Median (Zentralwert)

Arithmetisches Mittel (AM)

Harmonisches Mittel (HM)

Geometrisches Mittel (GM)

lagetypische Mittelwerte

rechnerische Mittelwerte


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Mittelwerte Zahlenbeispiel

Stabdiagramm

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8

Merkmal x

Rela

tive H

äu

fig

keit

f

Häufigkeitstabelle

xi hi fi Hi Fi

1 1 0,05 1 0,05

2 2 0,1 3 0,15

3 3 0,15 6 0,3

4 3 0,15 9 0,45

5 5 0,25 14 0,7

6 3 0,15 17 0,85

7 2 0,1 19 0,95

8 1 0,05 20 1

Summe 20 1

Fiktives Zahlenbeispiel, quantitatives Merkmal x, 20 Beobachtungswerte:

5,6,4,2,8,3,7,5,5,3,6,4,2,3,4,6,5,7,5,1

Quelle für das Zahlenbeispiel: Abels, Heiner: Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik, 4. Aufl., Wiesbaden 1993, S. 209

Geordnete Urliste

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x(i) 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8


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Mittelwerte Zahlenbeispiel Datenlage A

Datenlage A: Bei der Datenlage A besteht der Datensatz aus einzelnen, nicht notwendigerweise

von einander verschiedenen Beobachtungswerten 𝑥1, … , 𝑥𝑛

Gegeben: Geordnete Urliste 𝑥(1) ≤ 𝑥(2) ≤ ⋯ ≤ 𝑥(𝑛)

Modus = häufigster Beobachtungswert

Median =

𝑥 𝑛+12

, 𝑛 ist ungerade

12∙ 𝑥 𝑛

2+ 𝑥 𝑛

2+1

, 𝑛 ist gerade

AM = 1

𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

HM = 𝑛 1

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

GM = 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

= 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛1𝑛


Modus = 5

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x(i) 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8

Median =1

2∙ 𝑥 10 + 𝑥 11 =

1

2∙ 5 + 5 = 5

AM = 1

20∙ 1 + 2 + 2 +⋯+ 7 + 8 =

91

20= 4,55

HM =20

11+12+12+⋯+

17+18

= 3,53

GM = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ ⋯ ∙ 7 ∙ 820

= 182891520000020

= 4,10

17

Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation Modus

Anwendung, Eigenschaften und Interpretation der Mittelwerte

Modus (Modalwert):

• häufigster oder dichtester Wert

• Realitätsnähe: der Modus ist immer ein beobachteter Wert

• Mit dem Modus verbindet man eine gewisse Vorstellung von „Normalität“ und

„Üblichkeit“

• Beispiele: „normaler“ Preis, „übliche“ Zeit

• Anwendung ab Nominalskalenniveau möglich, also immer.


18

Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation Median

Median (Zentralwert):

• Halbierungseigenschaft: der Median ist der Merkmalswert, der die Daten in genau

zwei gleiche Teile teilt. 50% der Merkmalswerte sind kleiner oder gleich, 50% sind

größer oder gleich dem Median.

• Gibt die Mittenposition einer Verteilung an, spricht das Mittengefühl an.

• sehr robust gegenüber Ausreißern

• Beispiel: normaler Student, „politische Mitte“, „mittleres Einkommen“

• Minimaleigenschaft: Die Summe der absoluten Abweichungen des Medians von

den Beobachtungswerten ist minimal. Die Funktion

𝜑 𝑦 = 𝑥𝑖 − 𝑦

𝑛

𝑖=1

besitzt ein Minimum an der Stelle 𝑦 = 𝑥 0,5, also beim Median.

• Anwendung ab Ordinalskalenniveau möglich.


19

Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation arithmetisches Mittel

Arithmetisches Mittel AM = 𝑥 =1

𝑛∙ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

• bekanntester Mittelwert

• „Durchschnittswert“, „rechnerischer Durchschnitt“

• AM kann Wert annehmen, der als Beobachtungswert nicht vorkommt.

• empfindlich gegenüber Ausreißern

• Ersatzwerteigenschaft: 𝑥𝑖 = 𝑛 ⋅ 𝐴𝑀

• Schwerpunkteigenschaft (Nulleigenschaft): 𝑥𝑖 − 𝐴𝑀 = 0

• Minimaleigenschaft: Die Funktion 𝜑 𝑦 = (𝑥𝑖 − 𝑦)2 besitzt ein Minimum an der Stelle

𝑦 = AM, d.h. AM minimiert die quadratischen Abweichungen.

• Linearität: 𝑦𝑖 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥𝑖 ⟹ 𝐴𝑀 𝑌 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝐴𝑀 𝑋

Eine lineare Transformation der Beobachtungswerte des Merkmals X führt zu derselben

linearen Transformation des AM.

• Anwendung ab Intervallskalenniveau möglich.


20

Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation geometrisches Mittel

Geometrisches Mittel GM = 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

1𝑛

= 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑛

• Hauptanwendungsgebiet: Wachstumsfaktoren/Wachstumsraten. Beispiel

• „logarithmisches Mittel“:

ln 𝐺𝑀 =1

𝑛⋅ ln 𝑥𝑖 = 𝐴𝑀(ln 𝑋 )

𝑛

𝑖=1

Der Logarithmus des geometrischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der

logarithmierten Merkmalswerte.

• Beispiele: Mittlere Wachstumsrate, mittlere Inflationsrate, (Cobb-Douglas-Funktion)

• Anwendung ab Verhältnisskalenniveau möglich.

v. d. Lippe 1993, S. 61f.: Dipl.-Kfm. K aus E erhält im Jahre 1989 eine Gehaltserhöhung um 20%.

Wegen der schlechten Geschäftslage im Jahre 1990 muß er jedoch 1990 eine Gehaltssenkung

um 20% hinnehmen. Er verdient jetzt (richtiges ankreuzen): weniger als, mehr als,

genauso viel wie vor der Gehaltserhöhung.


http://www.ruhr-uni-bochum.de/wista/lehre/vorlesung/GeoMittel.pdf

http://www.ruhr-uni-bochum.de/wista/lehre/vorlesung/Gehaltserhoehung.pdf

21

Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation harmonisches Mittel

Harmonisches Mittel HM = 𝑛 1

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

• weitgehend unbekannter Mittelwert, der in einigen Fällen jedoch angewendet werden muss,

weil jede andere Mittelwertbildung zu unsinnigen Ergebnissen führen würde.

• Beispiele: mittlere Geschwindigkeit, Durchschnittspreis bei konstanten Ausgaben, aber

verschiedenen Preisen („Ich tanke immer für 20 €“). Anwendung bei Verhältniszahlen, bei

denen der Zähler konstant und der Nenner variabel sind.

• Anwendung ab Verhältnisskalenniveau möglich.

v. d. Lippe 1993, S. 63: Ein Flugzeug legt für den Flug von A nach B und zurück insgesamt 4.800

km zurück. Aufgrund von Gegenwind kann das Flugzeug auf dem Hinweg nur eine

Geschwindigkeit von 600 km/h erreichen, auf dem Rückweg jedoch eine Geschwindigkeit von

800 km/h. Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Flugzeug unterwegs?

Stud. rer. oec. Sebastian Sparsam hat im laufenden Monat zweimal für jeweils zwanzig Euro

getankt. Beim ersten Mal betrug der Benzinpreis 1,25 €/l, beim zweiten Mal 1,55 €/l. Zu welchem

durchschnittlichen Preis hat er getankt?


http://www.ruhr-uni-bochum.de/wista/lehre/vorlesung/Flugzeug.pdf

http://www.ruhr-uni-bochum.de/wista/lehre/vorlesung/Tanken.pdf

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