StatistikTeil 2 - Empirische Kenngrößen

Ulrich Schraderhttp://info.ulrich-schrader.de

Empirische Kenngrößen

dienen der zusammenfassendenBeschreibung der Ergebnisse einer Stichprobe.

seien n Beobachtungen eines quantitativen Merkmals X.Üblich: n für Anzahl der Beobachtungen

nxxx ,,, 21

Lagemaße – Lokalisationsmaße (1)

• Minimum – kleinster beobachteter Wert

• Maximum – größter beobachteter Wert

• Modalwert - häufigst auftretende Werte

(bei mehreren häufigsten Werten kann es auch mehrere Modalwerte geben.)

minx

maxx

modx

Summenzeichen

Endwert

Startwert

Summandender Bildung diefür Regel

25169415

1

2 i

i

54321

5

1

xxxxxxi

i

Summe der ersten fünf beobachteten Werte

Lagemaße – Lokalisationsmaße (2)

• Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt)

n

iixn

x1

1

Beobachtet: 1, 3, 2, 5, 5, 2

36

18255231

6

1x

Problem: Ausreißer, einzelne sehr große Werte verschieben das Mittel

Lagemaße – Lokalisationsmaße (3)

• (Empirischer) MedianSeiender Größe nach angeordnete Beobachtungen

ungeraden falls

geraden falls 2

1

21

122

)n(

)n()n(

x

)xx(x~

)()2()1( nxxx

nxxx ,,, 21

Median - Beispiel

• Ungerade Anzahl von Beobachtungen

• Gerade Anzahl von Beobachtungen

1,1,2,4,5 6,7,8,8,96

1,1,2,4,6 7,7,8,8,9

6,5

Streuungs- oder Dispersionsmaße (1)

• Spannweite oder Variationsbreite

(Breite des Intervalls, in das alle beobachteten Werte passen)

)1()(minmax xxxx n

Streuungs- oder Dispersionsmaße (2)

• Empirische Varianz

• Empirische Standardabweichung

2

11

2

1

22 1

1

1

1

1 n

ii

n

ii

n

ii x

nx

n)xx(

ns

2ss