Statistische Methoden IWS 2001/2002

Zur Geschichte der Statistik

I. Beschreibende Statistik

1. Grundlegende Begriffe

2. Eindimensionales Datenmaterial2.1. Der Häufigkeitsbegriff2.2. Lage- und Streuungsparameter2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve)

3. Mehrdimensionales Datenmaterial3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung3.2. Indexzahlen3.3. Saisonbereinigung

II. Wahrscheinlichkeitstheorie

1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-

lichkeiten

2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte

Wahrscheinlichkeit

3. Zufallsvariablen3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz

3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

III. Induktive Statistik

1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung

2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Wahrscheinlichkeitstheorie

Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

Wahrscheinlichkeitsräume

AchtungAchtung

Aufgabe!

AchtungAchtung

Aufgabe!

noch eine

Grundbegriffe

der (deskriptiven) Statistik

der Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitsdichten

Unabhängigkeit

Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseitedie folgenden Aufschriften:

1 1 1

Eine Karte wird zufällig gezogen.

Ereignisse A, B und C

A : „Oben steht eine 0“B: „In der Mitte steht eine 0“C: „Unten steht eine 0“

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig:

d. h. C kann nicht eintreten, wennA und B eintreten.

Man hat zwar:

Allgemein definiert man:

AchtungAchtung

Aufgabe!

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Belegschaft eines Betriebes wirdnach Rauchern und Nichtrauchern ein-geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir:

Allgemein definiert man:

AchtungAchtung

Aufgabe!

Pfadregel

Dann hat man:

Baumdiagramm

Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln.

1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen,ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in dieUrne zurückgelegt.

2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird er-neut eine Kugel zufällig gezogen und derenFarbe notiert.

Urne mit roten und grünen Kugeln

START

0 1

0 01 1

3/4 1/4

4/5 1/5 3/5 2/5

Baumdiagramm

AchtungAchtung

Aufgabe!

Formel von der totalenWahrscheinlichkeit

Einkommensverteilung der Haushaltein einer bestimmten Gegend

Anteil der Haushalte, die ein Auto> DM 40 000,- anschaffen, in denverschiedenen Einkommensklassen

Es ergibt sich:

Also nach der Formel für die totaleWahrscheinlichkeit:

Allgemein:

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes

In einer Stadt vermutet man, dass fürdie Bevölkerung die folgende Aufteilungin Deutsche, Italiener und Ausländer, diekeine Italiener sind, besteht:

wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteilvon Personen in der Bevölkerungsgruppeangibt, die gerne Spaghetti bestellen.

(Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassdieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oderein nicht-italienischer Ausländer ist?

D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“

Nach der Formel für die totale Wahr-scheinlichkeit hat man:

Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

VerteilungsfunktionBeispiel „Würfel“

VerteilungsfunktionBeispiel „n-facher Münzwurf“

Zufallsvariablen

VerteilungVerteilungsfunktion

WahrscheinlichkeitsfunktionWahrscheinlichkeitsdichte

Verteilung

Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr-scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen

diskret stetig

diskret

f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion

von X

stetig

f nennt man Dichtefunktion

von X

Verteilungsfunktion

diskret stetig

diskret

stetig

Erwartungswert und Varianz I

Der endliche Fall

Erwartungswert

Varianz

Der diskrete unendliche Fall

Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert

Varianz

Erwartungswert und Varianz II

Der stetige Fall

f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert

Varianz

Erwartungswert und Varianz III

AchtungAchtung

Aufgabe!

AchtungAchtung

Aufgabe!

noch eine

Gegeben seien n Zufallsvariablen

Dann gilt immer:

Wenn gilt

dann hat man auch

Gleichheit von Bienaymé

Die Binomialverteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeits-verteilung, weil gilt:

Notation

Erwartungswert

Varianz

Die Poisson-Verteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeits-verteilung, weil gilt:

Notation

Erwartungswert

Varianz

Beispiele Poisson-verteilterZufallsvariablen

Anzahl der pro Zeiteinheitabgestrahlten Teilchen eines

radioaktiven Präparats

Anzahl der pro Zeiteinheitan einer Tankstelle

tankenden PKW

Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto

Anzahl der pro Jahr voneiner Versicherung zu

regulierenden Schadensfälle

Anzahl der innerhalbeines Tages

geborenen Kinder

Die Normalverteilung(Gauß-Verteilung)

(Gaußsche Glockenkurve)

Die Gauß- oder Normalverteilung

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

Die hypergeometrische Verteilung

Notation

Eine Urne enthält n Kugeln, davon Nweiße und n - N schwarze.

Aus der Urne werden nacheinanderm Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,genau k weiße Kugeln zu ziehen?

Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Erwartungswert

Varianz

Die geometrische Verteilung

Erwartungswert

Varianz

Die Exponential-Verteilung

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung

Für unabhängige normalverteilteZufallsvariablen X und Y

hat man

AchtungAchtung

Aufgabe!

Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung

AchtungAchtung

Aufgabe!

noch eine

... und endlich

eine ListeListe ...