Statistische Methoden IWS 2007/2008

Donnerstag, 31. Januar 2008und

Freitag, 1. Februar 2008

ProbeklausurProbeklausur

- statt Vorlesungen -

4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen

+ -1/3

1/4

2

3

11/4

1/2

3/4

1/2

1

Endliche Markov-Ketten

Der Aktienkurs der ZB-Aktie zeige das folgende Verhalten:

- Wenn der Kurs heute gegenüber gestern gestiegen ist, dann steigt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 2/3 und fällt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/3 (gegenüber heute).

- Ist jedoch der Kurs heute gegenüber gestern gefallen, dann fällt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 3/4 und steigt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/4 (gegenüber heute).

Wir versehen jeden Tag mit einem Plus (+) oder mit einemMinus (-) je nachdem, ob der Kurs an diesem Tag gegenüberdem Vortag gestiegen oder gefallen ist.

Dann hängt die Prognose dafür, ob der Kurs morgen gegenüber heute steigt oder fällt, nur davon ab, ob die Aktie heute mit einem + oder mit einem – versehen ist.

+ -

+ +- -2/3 1/3 1/4 3/4

+ -1/3

1/4

Problem 1Problem 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 10 Tageneinen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist?

Problem 2Problem 2: Wie entwickelt sich die Wahrscheinlichkeit, in n Tageneinen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist,für großes n? Strebt diese Wahrscheinlichkeit für n →∞gegen einen festen Wert? Was passiert, wenn man voneinem Minus-Tag aus startet?

2

3

11/4

1/2

3/4

1/2

1

Die Maus in der Wohnung!Sie geht jeweils von einem Zimmer zu einem zufälligen Nachbarzimmer.Wie groß ist ihre Gewinnchance ?

5 4

KATZE

Verlustzustand

1

MAUS

Startzustand

2 3

KÄSE

Gewinnzustand

(Vorlesung Prof. Bandt)

1 2 3

5 4

1/2

1/2

1/2

1/31/2

1/31/3

KÄSE

KATZE

MAUS

0 1 2 ........ m-1 p p p p

q q q q

m

0 1 2 ........ p p p p

q q q q q

m ........

„Ruin des Spielers“

Anwendungen von Markov-Ketten

Warteschlangen-Modelle

Lagerhaltung

Krankenstand in einem Betrieb

und viele weitere ….

III. Induktive Statistik

1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung

2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial

Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen

1. Semester

2.Semester

Wahrscheinlich-keitstheorie

1. Semester

Die hypergeometrische Verteilung

Notation

Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze.

Aus der Urne werden nacheinander m Kugelnohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen?

Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg

N Fische werden gefangen und markiert

Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben.

Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:

http://www.math-inf.uni-greifswald.de/algebra/

Statistische Struktur(diskreter Fall)

Dabei sind:

Schätzproblem

Schätzer

Ω

ΘModell

Beobachtung(Stichprobe)

Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)

Schätzung

Ω

ΘModell

Beobachtung(Stichprobe)

Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)

Schätzung

Eg

Berliner Taxifahrer

Ein Berliner Taxifahrer notierte imJanuar 1987 während 5 Schichten mit je 20 Fahrten, welchen Prozentsatz des Fahrpreises lt. Taxameter die Fahrgäste als Trinkgeld gaben.

Stichprobe (diskreter Fall)

Mathematischer Rahmen

Stichprobenfunktionen (Beispiele)

StichprobenfunktionenBeispiel „Taxifahrer“

SonntagseinsätzeFeuerwacheFeuerwache

Mittlerer quadratischer Fehler

Gegeben sind:

Statistische Struktur Schätzproblem

Als mittleren quadratischen Fehler bezeichnet man die Größe

Schätzer

„Feuerwache“Angepasste Poisson-Verteilungen

Stichproben (stetiger Fall)

Mathematischer Rahmen

Statistische Struktur diskret stetig