STRAHLENOPTIK

Strahlenoptik 2

1. GRUNDBEGRIFFE DER STRAHLENOPTIK

1.1 MODELL DER LICHTSTRAHLEN

Weil die Beschreibung des Lichtes sehr kompliziert ist, wird als erste Vereinfachung das Modell der Lichtstrahlen benutzt. Dieses Modell erklärt die meisten alltäglich auftretenden Phänomene und wird somit auch noch heutzutage gerne benutzt.

Bei diesem Modell breitet sich das Licht in Form von Lichtbündeln aus. Ein sehr dünnes Lichtbündel wird als Lichtstrahl bezeichnet.

Die Lichtstrahlen breiten sich im gleichen Medium stets geradlinig aus. Im Vakuum besitzen die Strahlen eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von 299 792 458 m/s. Als Vereinfachung wird im Folgenden der Wert 3·108 m/s benutzt.

Die Lichtstrahlen sind solange für den Menschen unsichtbar, bis sie auf ein sichtbares Teilchen stoßen und zurück in das menschliche Auge reflektiert werden.

Das menschliche Auge sieht nur den sichtbaren Bereich des Lichtes. Die Farben, welche der Mensch erkennen kann sind: rot, orange, gelb, grün, grün-blau, blau und violett. Alle diese Farben zusammengesetzt ergeben für das menschliche Auge die Farbe weiß.

Lichtstrahlen, welche auseinander gehen, werden divergente Lichtstrahlen genannt. Lichtstrahlen, welche zusammenkommen, sind konvergent.

1.2 REFLEXION DES LICHTES

a) Allgemeine Betrachtungen

Lichtstrahlen können auf zwei Weisen von einem Gegenstand zurückgeworfen werden. Man unterscheidet zwischen:

der gesetzmäßigen Reflexion an glatten Oberflächen. Das reflektierte Licht erhält eine bevorzugte Richtung.

der diffusen Reflexion an rauen Oberflächen. Das Licht wird in alle Richtungen zurückgeworfen. Mikroskopisch gesehen erhält jedoch jeder Lichtstrahl eine gesetzmäßige Reflexion

b) Die gesetzmäßige Reflexion am ebenen Spiegel

Der Lichtstrahl, welcher auf den Spiegel auftrifft, wird einfallender Lichtstrahl genannt.

Der Lichtstrahl, welcher vom Spiegel zurückgeworfen wird, wird reflektierter Lichtstrahl genannt.

Das Lot (oder Einfallslot) ist eine Hilfslinie, welche senkrecht zum Spiegel steht, in dem Punkt wo der einfallende Lichtstrahl auf den Spiegel trifft.

Der Einfallswinkel 1 ist der Winkel zwischen dem einfallenden Lichtstrahl und dem Lot.

Der Reflexionswinkel 2 ist der Winkel zwischen dem reflektierten Lichtstrahl und dem Lot.

Gesetzmäßige Reflexion

z.B. an Spiegel, Alu-Folie

Diffuse Reflexion

z.B. an Papier, Kleider

Strahlenoptik 3

Das Reflexionsgesetz lautet:

Der einfallende Strahl, das Lot und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene.

Der Einfallswinkel 1 ist gleich dem Reflexionswinkel 2

1 = 2

1.3 BRECHUNG DES LICHTES

a) Der absolute Brechungsindex eines Mediums

Die Lichtgeschwindigkeit ist in materiellen Medien kleiner als im Vakuum.

Der (absolute) Brechungsindex nM (auch absolute Brechzahl genannt) eines Mediums ist definiert als der Quotient aus der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit cM im Medium:

MediumimLichtesdesgkeitGeschwindi

VakuumimLichtesdesgkeitGeschwindinM

M

Mc

cn 0

Da die Lichtgeschwindigkeit in materiellen Medien kleiner ist als im Vakuum, ist der absolute Brechungsindex immer größer als 1 ( nM>1 ) .

Beispiele : nLuft = 1300000

300000 nWasser = 331

225000

300000, =

3

4 nGlas = 50,1

200000

300000 =

2

3

Der absolute Brechungsindex nM hängt ab von:

der Farbe (Frequenz, Wellenlänge) des Lichtes.

Violettes Licht (große Frequenz, kleine Wellenlänge) hat eine größere Brechzahl als rotes Licht (kleine Frequenz, große Wellenlänge).

der Temperatur des Mediums. Warme Luft hat eine kleinere Brechzahl als kalte Luft.

große kleine

Wellenlänge Wellenlänge

kleine große

Frequenz Frequenz

Medium cM (km/s)

Vakuum 300 000

Luft ~300 000

Wasser 225 000

Glas 200 000

reflektierter

Lichtstrahl

Spiegel

einfallender

Lichtstrahl

Lot

Einfallswinkel

Reflexions-

winkel

Strahlenoptik 4

b) Der relative Brechungsindex zweier Medien

Zwei Medien unterscheiden sich durch ihre optische Dichte.

Das Medium mit dem höchsten absoluten Brechungsindex (geringste Lichtgeschwindigkeit) ist das optisch dichtere Medium, das Medium mit dem geringsten absoluten Brechungsindex (höchste Lichtgeschwindigkeit) ist das optisch dünnere Medium. Wasser ist also optisch dichter als Luft aber optisch dünner als Glas.

Man kennzeichnet in der Optik ein Medienpaar durch den relativen Brechungsindex n

dicht

dünn

dünn

dicht

c

c

n

nn

Da ndicht > ndünn bzw. cdünn > cdicht ist, so ist der relative Brechungsindex zweier Medien stets größer als 1 ( n > 1 ) .

c) Experimentelle Herleitung des Brechungsgesetzes

Trifft ein Lichtstrahl auf die Trennfläche zwischen zwei Medien, so wird ein Teil des Lichtes nach dem Reflexionsgesetz in dem Medium 1 reflektiert (nicht abgebildet) und ein Teil dringt in das Medium 2 ein. Der Lichtstrahl verändert beim Übergang vom Medium 1 ins Medium 2 seine Ausbreitungsrichtung; er wird gebrochen. Dieser Vorgang wird Brechung des Lichtes oder Refraktion des Lichtes genannt.

Alle Winkel im optisch dünnen Medium bezeichnen wir durch (1, 2, 3 …), alle Winkel im

optisch dichten Medium durch (1, 2, 3 …).

Die ersten Versuche, ein Brechungsgesetz zu finden, gehen auf Ptolemäus (etwa 150 n. Chr.) zurück. Seine Messungen stellen höchstwahrscheinlich die älteste physikalische experimentelle Untersuchung dar.

Er maß für verschiedene Einfallswinkel den dazugehörigen Brechungswinkel und fasste die Wertepaare in Tabellen zusammen. Er stellte fest, dass für jeden durchsichtigen Stoff eine neue Tabelle angefertigt werden muss, war aber nicht in der Lage, aus den Tabellen das zugrunde liegende Gesetz abzuleiten. Dies gelang erst 1500 Jahre später, nämlich 1618 dem holländischen Mathematiker Willebord Snellius.

Beim Ablesen (Abb. 2.) des Einfallswinkels und des entsprechenden Brechungswinkels zwischen Luft und Glas entsteht folgende Tabelle:

Einfallswinkel in der Luft 0° 15° 30° 45° 60° 70° 80°

Brechungswinkel im Glas 0° 10° 19,5° 28° 35° 38,5° 41°

Wenn diese Messwerte in eine Grafik eingefügt werden, dann ist kein eindeutiger Zusammenhang zwischen den beiden Winkeln zu erkennen.

Lot

Brechungs-

winkel

Einfallswinkel

Grenzfläche

Medium 2

Medium 1

gebrochener

Lichtstrahl

einfallender

Lichtstrahl

Strahlenoptik 5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 20 40 60 80

Einfallswinkel

Bre

ch

un

gs

win

ke

l

Für Einfallswinkel in Luft bis etwa 40° ergibt sich einer linearer Verlauf des Schaubildes = k’.

Bei höheren Winkeln weicht der Verlauf aber immer mehr von einer Nullpunktgeraden ab. Es besteht also keine direkte Proportionalität zwischen den Winkeln und .

Berechnet man nun sin und sin, fügt diese Werte in eine neue Grafik ein, dann erhält man eine direkte Proportionalität zwischen diesen Werten.

Winkel in der Luft 0° 15° 30° 45° 60° 70° 80°

Winkel im Glas 0° 10° 19,5° 28° 35° 38,5° 41°

sin 0,00 0,26 0,50 0,71 0,87 0,94 0,98

sin 0,00 0,17 0,33 0,47 0,57 0,62 0,65

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1sin

sin

Das Schaubild ergibt eine Nullpunktgerade, demnach ist sin direkt proportional zu sin. Also gilt

auch

k

sin

sinkonstant

Der Betrag der Konstanten k ergibt aus der Steigung der Nullpunktgeraden im Schaubild sin = f(sin)

3

2

06,0

04,0

sinsin

sinsin

k

kAB

AB

Es ist zu vermuten, dass die Konstante k in Verbindung steht mit den optischen Eigenschaften der beiden Medien, Glas und Luft. Für dieses Medienpaar ergibt sich ein relativer Brechungsindex n

2

3

1

50,1

Luft

Glas

dünn

dicht

n

n

n

nn

Strahlenoptik 6

Medium 1

Medium 2

x

y

0

s1

s2

Es gilt demnach n

k1

Wir erhalten schließlich

nk

1

sin

sin

oder n

sin

sin

BRECHUNGSGESETZ

·sinsin n mit dicht

dünn

dünn

dicht

c

c

n

nn

Winkel im optisch dünnen Medium

Winkel im optisch dichten Medium

d) Theoretische Herleitung des Brechungsgesetzes (Prinzip von Fermat)

Um 1650 suchte Fermat nach einem „höheren“ Prinzip das ihm erlauben würde, das Brechungsgesetz herzuleiten und zu einem tieferen Verständnis der Lichtausbreitung zu gelangen. Er fand dieses Prinzip und formulierte es folgendermaßen:

Von allen möglichen Wegen die das Licht nehmen kann, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, wählt es den Weg der am wenigsten Zeit beansprucht.

Im Folgenden untersuchen wir den Übergang des Lichtes aus einem Medium 1 in ein Medium 2. In einem bestimmten Medium breitet sich das Licht geradlinig aus. An der Grenzfläche der beiden Medien wird der Strahl gebrochen:

Die Strecken betragen:

2A

21 yxs und 2

B

2

B2 yxxs

Um von A nach B zu gelangen, benötigt das Licht die Zeit:

1

22

1

22

2

2

1

1)(c

yxx

c

yx

c

s

c

sxt

BBA

Zur Bestimmung der kürzesten Zeit wird die Ableitung der Zeit t zur Position x berechnet:

22

2

22

1 2·

1·2

2·

2'

BB

B

A yxxc

xx

yxc

xxt

22

B

11 s·c

xx

s·c

xx't

2

2

1

2

c

cos

c

cos)x('t

A

B

xB x

yB

yA

n2

n1

n2 > n1

Strahlenoptik 7

21 c

sin

c

sin)x('t

Ein Minimum liegt vor, wenn die Ableitung t’(x) gleich Null ist:

21 c

sin

c

sin0)x('t

Daraus folgt das Brechungsgesetz von Snellius:

sinsin

sin

sin

1

2

2

1 nnn

n

c

c

e) Diskussion des Brechungsgesetzes

n

n

n

dünn

dicht

sin

sin

mit n > 1

Winkel im optisch dünnen Medium

Winkel im optisch dichten Medium

Übergang vom optisch dünnen ins optisch dichte Medium

n

sinsin

o = 0° = 0° keine Ablenkung

o 0° < < 90° < da n > 1 Brechung zum Lot hin

o = 90° = GR GR ist der größtmögliche Winkel im optisch dichten

Medium Grenzwinkel

dicht

dünn

GR

GR

n

nn

n

n

11sin

90sinsin

Übergang vom optisch dichten ins optisch dünne Medium

sinsin n

o = 0° = 0° keine Ablenkung

o 0° < < GR > da n > 1 Brechung vom Lot weg

o = GR = 90° gerade noch Austritt ins optisch dünne Medium; im optisch dünnen Medium verläuft der Lichtstrahl entlang der Grenze zwischen beiden Medien

o > GR sin > sin GR

n sin > n sin GR

sin > n n-1

sin > 1

Strahlenoptik 8

Dies ist nicht möglich da sin 1 sein muss. Der Lichtstrahl kann nicht mehr aus dem

optisch dichten Medium austreten. Er wird in seiner Gesamtheit reflektiert, der Physiker spricht von Totalreflexion. Daher bezeichnet er den Winkel GR als Grenzwinkel der

Totalreflexion mit

nGR

1sin 1

1. Übergang Wasser → Luft:

= = 0°

2. Übergang Wasser → Luft:

mit

teilweise Reflexion

3. Übergang Wasser → Luft:

> GR

Es entsteht Totalreflexion. Das Licht

kann nicht mehr das Wasser nicht mehr

verlassen.

4. Übergang Wasser → Luft:

veränderlich

Luft

Wasser

Luft

Wasser

er

Luft

Wasser Lichtquelle

Lichtquelle

Lichtquelle

Luft

Wasser

Lichtquelle

Strahlenoptik 9

2. DIE PLANPARALLELE PLATTE

Fällt ein Lichtstrahl senkrecht auf eine planparallele Platte, so geht ein ungebrochener Stahl hindurch. Fällt er schräg auf, so erfährt er beim Durchgang eine Parallelverschiebung d.

n2 > n1 1

2

n

nn

Brechungsgesetz in A:

sinsin n

Durch die Symmetrie des Problemes befinden sich in C die gleichen Winkel wie in A. Also erhält man auch hier das Brechungsgesetz:

n

sinsin

Der Lichtstrahl, welcher aus der Platte austritt, ist parallel mit dem einfallenden Lichtstrahl.

Im Dreieck ABC ist die seitliche Verschiebung:

d = BC = AC · sin ( – ) (1)

Im Dreieck ACN erhalten wir für die Dicke h der Platte:

h = AN = AC · cos

cos

hAC (2)

(2) in (1) ergibt:

cos

sinhd

Die seitliche Verschiebung vergrößert sich mit der Dicke h der Platte. Sie hängt auch ab vom

Einfallswinkel und dem Brechungswinkel , also, durch das Brechungsgesetz, von dem relativen Brechungsindex der zwei Medien.

Die Parallelverschiebung kann auch nur mittels der Dicke h, des Einfallswinkels und der relativen Brechzahl n ausgedrückt werden.

Mit Hilfe der trigonometrischen Formel

sin(x – y) = sin(x)·cos(y) – cos(x)·sin(y)

lässt sich die Formel der Parallelverschiebung verändern:

C

A n1

n1

n2

M

N d

B

h

Strahlenoptik 10

cos

·sincos·cossin·h

cos

sinhd

cos

·sincossin·hd

Desweiteren gilt die trigonometrische Formel

sin2(x) + cos2(x) =1 => xsin)xcos( 21

Dadurch:

21 sin

·sincossin·hd

Für die Brechung gilt:

n

sinsin

Dadurch erhalten wir für die Parallelverschiebung:

22

2

2

2

2

sin

·sincossin·

sin1

sin·cossin·

sin1

sin·cos

sin·

nhd

nn

h

n

nhd

Strahlenoptik 11

3. DAS PRISMA

3.1 DEFINITIONEN

Prismen sind Körper aus lichtdurchlässigen Stoffen, die von zwei sich schneidenden Ebenen begrenzt sind.

Die Schnittkante dieser beiden Ebenen wird Brechungskante C oder brechende Kante genannt.

Der Winkel an der brechenden Kante wird brechender Winkel oder Prismenwinkel genannt.

Trifft ein Lichtstrahl auf eine Seite eines Prismas, so wird er im Allgemeinen zweimal gebrochen und tritt somit auf der zweiten Seite in eine neue Richtung aus. Der Winkel zwischen den Richtungen des einfallenden Lichtstrahles und des austretenden Lichtstrahles wird

Ablenkungswinkel genannt.

3.2 GESAMTABLENKUNG

Im Allgemeinen wird der Lichtstrahl zweimal im gleichen Sinn gebrochen.

Brechung an der Eintrittsfläche (im Punkt A):

11 sinsin n mit 1

2

n

nn

Brechung an der Austrittsfläche (im Punkt B) :

22 sinsinn

Im Dreieck ABC ist die Summe der drei Winkel (90° – 1) (beim Punkt A), (90° – 2) (beim Punkt

B) und (beim Punkt C) gleich 180°:

(90° – 1) + (90° – 2) + = 180°

= 180° – (90° – 1) – (90° – 2)

= 1 + 2 (1)

δ

C

n2

n1

δ

A B

K

1 2 2 1

n1 < n2

Strahlenoptik 12

Im Dreieck ABK ist die Summe der drei Winkel (1 – 1) (beim Punkt A), (2 – 2) (beim Punkt B)

und (180° – ) (beim Punkt K) gleich 180°:

2121

2211

2211

2211

180180

180180

Also mit (1) :

21

3.3 EXPERIMENTELLE HERLEITUNG DER MINIMALABLENKUNG

Indem für den gleichen Eintrittspunkt A der Einfallswinkel 1 verändert wird, kann die Veränderung

der Ablenkung δ experimentell aufgezeigt werden. Wenn der Einfallswinkel 1 von Null an vergrößert wird, wird die Ablenkung δ zuerst kleiner bis zu einem Minimum δmin und dann wieder

größer.

Wenn der Ablenkungswinkel ein Minimum ist, geht der Strahl symmetrisch durch das Prisma, somit gilt 1 = 2 und 1 = 2.

Für die Winkel im Prisma gilt somit bei Minimalablenkung :

= 1 + 2 2

21

Der Ablenkungswinkel ergibt somit bei Minimalablenkung:

1min 2

Der Einfallswinkel lässt sich umschreiben zur Form:

2

min1

Setzt man diese Gleichungen in das Brechungsgesetz ein, so ergibt dies :

sin 1 = n · sin 1

2

sinn2

sin min

δmin

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80

in °

1 in ° 1 = 2

und

1 = 2

Ablenkung für = 40° und n = 1,5

Strahlenoptik 13

2sin

2sin min

n

Bildet Luft das optisch dünnere Medium, so kann diese Gleichung benutzt werden um die Brech-zahl nP des Prismas zu bestimmen, da und δmin leicht messbar sind. Es gilt dann nP = n , da

nLuft = 1 ist.

Wenn alle Winkel klein sind (z.B. bei Prismen mit kleinem Brechungswinkel) kann man den Sinus eines Winkels durch das Bogenmaß des Winkels (in rad) ersetzen. Es ergibt sich dann

n

n

min

min

min

2

2

1min n (nur gültig für 10°)

3.4 THEORETISCHE HERLEITUNG DER MINIMALABLENKUNG

Die Ablenkung δ ist gegeben durch :

= 1 + 2 –

Um die kleinste Ablenkung δmin zu bestimmen, müssen wir δ in Funktion einer einzelnen Variablen

ausdrücken und dann hiervon die Ableitung gleich Null setzen. Versuchen wir deshalb δ in Funktion

von 1 auszudrücken.

Brechungsgesetz an der Eintrittsfläche:

1211 sinnsinn

also:

1

1

21 sin·arcsin

n

n

Brechungsgesetz an der Austrittsfläche:

2122 sinnsinn

also:

2

1

22 sin·arcsin

n

n

mit = 1 + 2 ergibt dies:

1

1

22 sin·arcsin

n

n

Strahlenoptik 14

Gesamtablenkung δ :

=

1

1

2 sin·arcsin n

n +

1

1

2 sin·arcsin n

n –

Minimalablenkung wenn : 1

d

d = 0

Merke :

xu

xuxfxuxf

21

''arcsin

12

2

1

1

2

1

2

1

·sin

·cos

n

n

n

n

+

12

2

1

1

2

1

2

1

1

·sin

··cos

n

n

n

n

= 0

12

2

1

1

21

·sin

cos

n

n

=

12

2

1

1

21

·sin

cos

n

n

Dies gilt nur wenn sowohl

11 coscos

als auch

1

2

1

2 sinsin ist.

Diese beiden Gleichungen sind nur gleichzeitig wahr wenn 1 = – 1 ist 1 = 2

Des Weiteren gilt = 1 + 2 , somit muss 2 = 1 = 2

sein.

Bei Minimalablenkung verläuft der Lichtstrahl symmetrisch durch das Prisma. Es gilt dann :

2 = 1 = 2

und 2 = 1

3.5 DISPERSION

Fällt weißes Licht durch ein Prisma, so wird das Licht in seine Farben aufgeteilt. Diese Erscheinung beruht auf der Abhängigkeit des absoluten Brechungsindexes nP des Prismenmaterials von der

Farbe (Frequenz, Wellenlänge) des Lichtes Dispersion. Je größer der absolute Brechungsindex, desto größer die Ablenkung. Da np,violett > np,rot , wird der violette Anteil stärker abgelenkt als der rote Anteil des weißen Lichtes, die einzelnen Spektralfarben des weißen Lichtes werden erkennbar.

Strahlenoptik 15

4. DIE LINSEN

4.1 EINTEILUNG DER LINSEN

Eine Linse ist ein rotationssymmetrischer Körper der meist aus Glas oder Kunststoff hergestellt ist. Das optische Medium ist von zwei Kugelflächen begrenzt.

a) Sammellinse oder Konvexlinse

Die Sammellinse ist in der Mitte dicker als am Rand.

Auf Skizzen wird sie folgendermaßen eingezeichnet:

b) Zerstreuungslinse oder Konkavlinse

Die Zerstreuungslinse ist in der Mitte dünner als am Rand.

Auf Skizzen wird sie folgendermaßen eingezeichnet:

Optische Achse

Zerstreuungslinse

Optische Achse

Sammellinse

Strahlenoptik 16

4.2 HAUPTSTRAHLEN BEI LINSEN

a) Sammellinse oder Konvexlinse

Ein Lichtbündel, welches parallel zur optischen Achse verläuft, wird nach dem Durchgang durch eine Sammellinse in einem Punkt gebündelt. Dieser Punkt wird Brennpunkt F1 genannt. Die Distanz zwischen dem Mittelpunkt der Linse und dem Brennpunkt ist die Brennweite und wird mit dem Buchstaben f angeschrieben. Symmetrisch zum Mittelpunkt der Linse befindet sich der zweite Brennpunkt F2.

F1 und F2: Brennpunkte OF1 = OF2 = f ist die Brennweite

Ein Lichtstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft, verläuft nach der

Brechung durch den Brennpunkt F1 Ein Lichtstrahl, welcher durch den Brennpunkt F2 verläuft, verläuft nach der Brechung

parallel zur optischen Achse weiter Ein Lichtstrahl, welcher durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie

weiter

b) Zerstreuungslinse oder Konkavlinse

Bei einer Zerstreuungslinse wird ein paralleles Lichtbündel hinter der Linse zerstreut, scheint jedoch aus einem Punkt zu entspringen. Dieser Punkt ist der Brennpunkt F1 der Zerstreuungslinse.

Ein Lichtstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft, scheint nach der Brechung aus dem Brennpunkt F1 zu kommen

Ein Lichtstrahl, welcher durch den Brennpunkt F2 verlaufen müsste, verläuft nach der Brechung parallel zur optischen Achse weiter

Ein Lichtstrahl, welcher durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie weiter

4.3 BILDENTSTEHUNG BEI LINSEN

Im Idealfall wird Licht, das von einem Punkt ausgeht, durch eine Linse so gebrochen, dass es entweder wieder in einem Punkt vereinigt wird (meistens bei Sammellinsen) oder so verläuft, als käme es aus einem Punkt (meistens bei Zerstreuungslinsen).

F2 F1

O

F1 F2

O

Strahlenoptik 17

Bilder an Linsen lassen sich einfach konstruieren, wenn man jeweils aus der unendlichen Mannigfaltigkeit aller Strahlen, die von einem Punkt ausgehen und hinter der Linse wieder in einem Punkt vereinigt werden, nur die Strahlen auswählt, deren Verlauf sich ohne Berechnung angeben lässt – die Hauptstrahlen.

Wir unterscheiden:

reelle Bilder: die Strahlen konvergieren (vereinigen sich) hinter der Linse, somit können diese Bilder auf einem Schirm auffangen werden.

virtuelle Bilder: die Strahlen divergieren hinter der Linse (nur ihre gedachte Verlängerungen vereinigen sich vor der Linse), somit können diese Bilder durch unser Auge erkannt werden, jedoch nicht auf einem Schirm sichtbar gemacht werden.

Ob reelle oder virtuelle Bilder entstehen, hängt von der Position des Gegenstandes zur Linse ab.

F1, F2 : Brennpunkte

G : Gegenstandsgröße B : Bildgröße

g : Gegenstandsweite b : Bildweite

f : Brennweite

Es gelten folgende übliche Vorzeichenregel: Brennweite: Sammellinse: f > 0;

Zerstreuungslinse: f < 0 Gegenstand : reeller Gegenstand: g > 0; G > 0 Bild: reelles Bild: b > 0; B > 0

virtuelles Bild: b < 0; B < 0

F1

F2

O

G

b

B f

g

f

Strahlenoptik 18

4.4 LAGE UND EIGENSCHAFTEN DER BILDER BEI SAMMELLINSEN

G

F1 F2 O

F1 F2 O

F1 F2 O

F1 F2 O

F1 F2 O

F1 F2 O

G

G

G

G

G

Strahlenoptik 19

Gegenstandsweite g Bildweite b Bildeigenschaften

+ f verkleinert, umgekehrt, reell

+ > g > 2f f < b < 2f verkleinert, umgekehrt, reell

2f 2f gleich groß, umgekehrt, reell

2f > g > f 2f < b < ∞ vergrößert, umgekehrt, reell

f + sehr groß, umgekehrt, reell

f > g > 0 – ∞ < b < 0 vergrößert, aufrecht, virtuell

g 0 b 0 gleich groß, aufrecht, virtuell

4.5 LAGE UND EIGENSCHAFTEN DER BILDER BEI ZERSTREUUNGSLINSEN

Dieselben Gesetze wie für die Sammellinsen sind auch hier gültig.

Die Brennweite ist negativ zu wählen: f < 0

Das Bild ist immer - verkleinert - aufrecht - virtuell

-

Also :

Gegenstandweite Bildweite

+ > g > 0 –f < b < 0

G

F1 F2 O

Strahlenoptik 20

4.6 ABBILDUNGSMAßSTAB UND ABBILDUNGSGLEICHUNG

Die Zusammenhänge zwischen der Gegenstandsgröße G, der Bildgröße B, der Gegenstands-weite g, der Bildweite b und der Brennweite f der Linse werden mit Hilfe von zwei Gesetzen beschrieben: dem Abbildungsmaßstab und der Abbildungsgleichung.

a) Abbildungsmaßstab

Aus der Ähnlichkeit der blau gefärbten Dreiecke folgt:

b

B

g

G oder

g

b

G

B

Der Abbildungsmaßstab gibt uns an, wie viel mal das Bild größer ist als der Gegenstand. Da der Abbildungsmaßstab stets positiv ist, müssen wir schreiben

g

b

G

B

b) Abbildungsgleichung

Aus der Ähnlichkeit der blau gefärbten Dreiecke folgt:

f

B

fg

G

fg

f

G

B

g

b

G

B

fg

f

g

b

g · f = b · (g – f)

g · f = b · g – b · f

b · g = b · f + g · f | : (b · g · f)

bgf

111

Strahlenoptik 21

4.7 BRECHKRAFT

Oft wird nicht die Brennweite einer Linse angegeben, sondern ihre Brechkraft D in Dioptrien. Dies ist z.B. bei Brillengläsern der Fall.

fD

1

Für die Einheit der Brechkraft D gilt :

[D] = m

1 = m-1 = 1 dpt (1 Dioptrie)

4.8 SEHWINKEL UND BILDGRÖßE

a) Sehwinkel

Der Sehwinkel ist der Winkel unter dem ein Beobachter einen Gegenstand sieht. Er wird mit ω bezeichnet.

Also gilt für den Sehwinkel : g

Gtan

b) Zusammenhang zwischen Bildgröße und Sehwinkel

Es lässt sich zwischen Bildgröße B und der Sehwinkel ω folgender Zusammenhang ableiten:

b

B

g

G

G·g

bB

g

GbB ·

tan bB

c) Formel zur Berechnung der Bildgröße bei weit entfernten Gegenständen

Bei weit entfernten Gegenständen lassen sich 2 Annährungen machen :

g 01

g

bgbf

1111

fb

Das Bild entsteht im Brennpunkt der Linse.

G

ω O

g

G ω

ω B

g b

Strahlenoptik 22

sehr klein )(tan rad

Schließlich erhalten wir für die Bildgröße bei weit entfernten Gegenständen

fB

bB tan

4.9 VERGRÖßERUNG EINES OPTISCHEN INSTRUMENTS

Das auf der Netzhaut entstehende reelle Bild ist umso größer, je näher sich der Gegenstand vor der Augenlinse befindet. Dies ist auf eine Vergrößerung des Sehwinkels zurückzuführen. Befindet sich aber der Gegenstand zu nahe an der Augenlinse, so kann diese kein scharfes Bild mehr erzeugen. Die Gegenstandsweite bei der ein normales Auge den Gegenstand noch ohne Anstrengung scharf sehen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite s. Die deutliche Sehweite ist auf 25 cm festgelegt.

Die Größe des Bildes auf der Netzhaut ohne Einsatz von optischen Instrumenten ist also durch die deutliche Sehweite begrenzt. Um ein noch größeres Bild zu erzeugen müssen Lupen, Mikroskope und Fernrohre zwischen Gegenstand und Auge eingesetzt werden. Ihre Wirkung besteht darin, dass sie den Sehwinkel noch zusätzlich vergrößern.

Sei: B2 Bildgröße mit optischem Instrument

B1 Bildgröße ohne optisches Instrument

V Vergrößerung des optischen Instrumentes

2 Sehwinkel mit optischem Instrument

1 Sehwinkel ohne optisches Instrument

Man definiert die Vergrößerung V

1

2

1

2

1

2

tan

tan

tan

tan

V

b

b

B

BV

4.10 DIE LUPE

Die Lupe ist eine Sammellinse kurzer Brennweite (einige Zentimeter). Sie erzeugt virtuelle, vergrößerte, aufrechte Bilder eines Gegenstands. Die Vergrößerung einer Lupe hängt von der Brennweite der Lupe und von der Entfernung Gegenstand-Lupe ab.

In der Regel wird die Normalvergrößerung der Lupe angegeben. In diesem Fall befindet sich der Gegenstand im Brennpunkt der Linse und das Auge muss sich am wenigsten anstrengen, da es

Strahlenoptik 23

auf unendlich akkomodiert Bild 1. Es entsteht dann ein unendlich großes virtuelles aufrechtes

Bild, das unendlich weit entfernt ist.

Bild 1

Die Vergrößerung wird stets auf die Bildgröße ohne Lupe bei deutlicher Sehweite s bezogen. Die deutliche Sehweite ist die Gegenstandsweite bei der ein normales Auge den Gegenstand noch ohne Anstrengung scharf sehen kann. Sie ist auf 25 cm festgelegt Bild 2.

Bild 2

Für g = f beträgt die Normalvergrößerung V :

f

cm25

f

s

G·f

s·G

s

G

f

G

tan

tanV

1

2

Für g < f ist die Vergrößerung um so stärker je näher der Gegenstand sich an der Lupe befindet,

im Maximalfall ist sie 1f

s .

Die Vergrößerung V einer Lupe liegt zwischen f

s und 1

f

s .

Mit einer Lupe von 5 cm Brennweite erzielt man 5- bis 6-fache Vergrößerung.

Die Vergrößerung einer Lupe ist umso stärker je geringer die Brennweite bzw. je größer die Brechkraft der Lupe ist. Nimmt die Brechkraft zu, so nimmt auch der Krümmungsradius der Sammellinse zu. Die Gegenstandsweite g und somit die Brennweite f kann daher nicht unter 1 cm fallen. Eine Lupe kann maximal eine 25fache-Vergrößerung erreichen.

Strahlenoptik 24

5. AUFGABEN ZUR STRAHLENOPTIK

1) Ein Lichtstrahl fällt unter 75° auf eine 15 mm dicke Glasplatte der Brechzahl 1,50, die auf der

Rückseite versilbert ist. Ein Teil des Lichtes dringt in das Glas ein und wird an der Unterseite reflektiert, ein Teil wird an der Oberseite reflektiert.

a) Drücke den Abstand d der beiden parallel austretenden Strahlen in Funktion von

Einfallswinkel , Plattendicke h und Brechzahl n aus !

b) Bestimme den Abstand d !

2) Die Abbildung zeigt den Weg eines Lichtstrahles beim Übergang von Glas in Luft.

a) Auf welcher Seite der Grenzfläche befindet sich das Glas ?

b) Wo ist der einfallende, wo der reflektierte und wo der gebrochene Lichtstrahl ?

c) Wo liegen Einfallswinkel, Reflexionswinkel und Brechungswinkel ?

3) Ein schmales Lichtbündel trifft die Wasseroberfläche eines Aquariums unter dem Einfallswinkel von 45°. Der gebrochene Lichtstrahl fällt auf den Boden des Aquariums, trifft dort auf einen horizontal liegenden Spiegel, wird zurück zur Oberfläche reflektiert und an der Grenzfläche zur Luft gebrochen. Der Brechungsquotient des Wassers beträgt 1,33.

a) Wie groß ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Richtung, unter der das Licht die Wasseroberfläche wieder verlässt ?

b) Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, in welchen der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl durch die Wasseroberfläche stoßen, wenn das Wasser 15 cm tief ist?

4)

a) Welche Brechzahl muss ein zylindrischer Stab mindestens haben, damit alle durch seine Stirnfläche eintretenden Strahlen durch Totalreflexion weitergeleitet werden ?

b) Wie groß ist der maximale Eintrittswinkel für nSTAB = 1,33 ?

5) Ein Fisch schwimmt 50 cm unter einer ruhigen Wasseroberfläche (n = 1,33). Welche Gebiete

außerhalb des Wassers kann er direkt sehen und welche Gebiete im Wasser kann er über eine Reflexion sehen ? (Skizze anfertigen)

Strahlenoptik 25

6) In einer Wellenwanne ist ein flaches Gebiet von einem Gebiet mit tieferem Wasser geradlinig abgegrenzt. Eine ebene Welle läuft vom flachen Wasser ins tiefe Wasser. Der Einfallswinkel beträgt 45°, der Brechungswinkel ist 60°.

a) In welchem Verhältnis stehen die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Welle in den beiden Gebieten ?

b) In welchem Verhältnis stehen die Wellenlängen ?

7) a) Eine Fensterscheibe der Dicke 5 mm besitzt die Brechzahl 1,5. Welche Parallelverschie-

bung d ergibt sich bei einem Eintrittswinkel von 45° ?

b) Ersetze in der Gleichung für d mit Hilfe des Brechungsgesetzes durch !

8) Ein Lichtstrahl trifft unter dem Winkel = 60° auf eine planparallele Glasplatte von 5 cm

Dicke. Der Brechungsindex der Platte beträgt 1,50. Die Platte ist von Luft umgeben. Berechnen Sie die Parallelverschiebung des durchgehenden Strahles !

9) Ein Lichtstrahl trifft senkrecht auf die erste Fläche eines Glasprismas der Brechzahl 1,6 und

wird insgesamt um 30° abgelenkt. Wie groß sind Austrittswinkel und brechender Winkel des Prismas ?

10) Ein monochromatischer Lichtstrahl fällt aus Luft kommend auf ein Prisma auf. Der brechende

Winkel des Prismas beträgt 45° und die Brechungszahl ist 1,77.

a) Wie groß ist die Minimalablenkung und bei welchem Einfallswinkel tritt sie ein ?

b) Der Strahl tritt unter einem Winkel von 60° ein. Berechne den Ablenkungswinkel !

c) Für welche Einfallswinkel ist gerade noch Durchgang mit Austritt an der anderen Seitenfläche möglich ?

11) Ein monochromatischer Lichtstrahl fällt unter einem Winkel von 35° auf ein sich in Luft

befindliches Glasprisma der Brechungszahl n’ = 1,55 auf. Bei diesem Einfallswinkel kann der Strahl an der gegenüberliegenden Seitenfläche gerade noch in Luft austreten.

a) Berechne den brechenden Winkel des Glasprismas !

b) Das Glasprisma wird in eine Flüssigkeit der Brechungszahl n’’ gestellt. Bei ansonsten unveränderten Versuchsbedingungen erleidet der einfallende Strahl nun Minimalablenkung. Berechne die Brechungszahl n’’ und den Minimalablenkungswinkel !

12) Ein Glasprisma ist von Luft umgeben. Es hat den Brechungsquotienten 1,70. Sein brechender

Winkel beträgt 60°.

a) Unter welchem Winkel muss der Lichtstrahl für symmetrischen Durchgang auffallen, und wie groß ist dann die Ablenkung ?

b) Unter welchem Winkel muss der Lichtstrahl auffallen, damit er streifend aus dem Prisma tritt, und was geschieht, wenn der Einfallswinkel noch kleiner wird ?

13) Mit einer Kleinbildkamera der Brennweite 5 cm soll eine Person der Größe 1,80 m im

Hochformat fotografiert werden. Bei Hochformat beträgt die maximale Bildgröße B = 36 mm. Wie groß muss die Gegenstandsentfernung sein ?

Strahlenoptik 26

14) Mit der gleichen Kleinbildkamera wie in Aufgabe 13 soll der Mond (G = 3476 km, g = 384400 km) abgebildet werden. Berechne Sehwinkel und Bildgröße ! Schlussfolgere !

15) In welcher Bildweite und Bildgröße wird eine 1,75 m große Person abgebildet, die 6,5 m von

einer Linse mit der Brennweite 25 cm entfernt ist ?

16) Berechnen Sie die Entfernung und Größe eines Gegenstandes, der von einer Linse mit 18 cm

Brennweite in einer Bildweite 24 cm und einer Größe 10 cm abgebildet wird !

17) Welche Brennweite muss eine Linse haben, damit sie von einem 3,12 m entfernten 1,2 m

großen Gegenstand ein 10 cm großes Bild erzeugt ?

18) Ein Gegenstand soll von einer Linse mit 7,5 cm Brennweite die dreifache Größe erhalten.

Berechnen Sie seine Gegenstands- und Bildweite !

19) Folgender Gegenstand (fester Pfeil) ergibt folgendes Bild (gestrichelter Pfeil). Wo befindet sich

die Linse und welche Brennweite hat die Linse ?

c)

20) Ein Gegenstand von 3 cm befindet sich 4 cm vor einer Zerstreuungslinse. Rückt man ihn um

weitere 6 cm von der Linse weg, so wird das Bild doppelt so klein.

a) Wie groß ist die Brennweite der Linse ? Bestimme auch Bildgrößen und Bildweiten !

b) Wohin muss man den Gegenstand stellen, damit sich zwischen ihm und seinem Bild 30 cm Abstand befinden ?

21) Wie groß muss die Gegenstandsweite g eines sich vor einer Sammellinse befindlichen

Gegenstandes sein, damit die Distanz x zwischen ihm und seinem Bild minimal wird ?

22) Ein Gegenstand von 2 cm Größe steht vor einer bikonvexen Linse und ergibt ein virtuelles Bild

von 4 cm Größe.

a) Rückt man ihn um 2 cm weiter von der Linse weg, so entsteht ein reelles Bild der Größe 8 cm. Bestimme hieraus die Brennweite der Linse sowie die Bild- und Gegenstandsweiten !

b) In welche Richtung und wie weit muss man den Gegenstand verschieben, damit zwischen ihm und seinem virtuellen Bild eine Distanz von 10 cm ist ?

a) b)

d) c)

Strahlenoptik 27

23) Ein Filmvorführgerät soll die 18 mm hohen Filmbilder auf eine 2,5 m hohe Projektionswand

abbilden, die 30 m entfernt ist.

a) Welche Brennweite muss das Objektiv haben ?

b) Wie groß ist der Sehwinkel für einen Kinobesucher, der 10 m bzw. 20 m von der Leinwand entfernt sitzt ?

24) Das Objektiv eines Fotoapparates hat eine Brennweite f = 5 cm. Es soll aus der Einstellung auf

Unendlich aus eine Gegenstandsweite von 10 m bzw. 1m bzw. 0,50 m eingestellt werden.

a) Um welche Strecke muss das Objektiv verschoben werden ?

b) Wie groß ist in jedem Fall der Abbildungsmaßstab ?

25) Das Objektiv eines Fotoapparates hat eine Brennweite f = 5 cm.

a) Wie groß ist auf dem Film das Bild des Mondes, wenn der Mond dem bloßen Auge unter einem Sehwinkel von 0,5° erscheint ?

b) Welche Brennweite müsste man wählen, damit das Bild 5 mm groß wird ?

c) Wie groß wäre das Bild, wenn man ein Teleobjektiv mit f = 15cm verwenden würde ?

26) Wir wollen eine Sammellinse der Brennweite 5 cm als Lupe zur Betrachtung eines 4,9 cm

entfernten Objektes der Größe 1 mm benutzen.

a) Wo entsteht das Bild und wie groß ist es ?

b) Bestimme Abbildungsmaßstab und Vergrößerung !

Strahlenoptik 28

6. AUFGABEN ZUR STRAHLENOPTIK - LÖSUNGEN

1) a)

22 sinn

cos·sin·h·2)(d

b) d = 6,54 mm

2) a) Oben: Luft; Unten: Glas

b) 3 = Einfallender Lichtstrahl 1 = Reflektierter Lichtstrahl 2 = Gebrochener Lichtstrahl

c) = Einfallswinkel

= Reflexionswinkel

= Brechungswinkel

3) a) Richtungsänderung um 2 · = 90°

b) Abstand = 2·x = 2 · h·tan = 18,83 cm

4) a) n 1,41

b) = 61,27°

5)

6) a)

sin

sin

n

n

c

c

1

2

2

1 , also hier: 3

2

60sin

45sin

b) 3

2

2

1

7) a) = 28,13°; d = 1,65 mm

b)

22 sinn

cos1·sin·hd

8) = 35,26°; d = 2,56 cm

9) = 34,26°; = 64,26°

10) a) = 40,27° bei 1 = 42,64°

b) = 43,63°

c) 1 19°

11) a) = 61,90°

b) d = 8,10° ; n’’ = 1,39

Strahlenoptik 29

12) a) = 58,21°; = 56,42°

b) 1 = 43,68° ; wenn kleiner wird, dann tritt der Strahl nicht mehr auf der zweiten Seite aus (Totalreflexion)

13) g = 255 cm

14) = 0,5181° ; B = 0,452 mm

15) b = 26 cm ; B = 7 cm

16) g = 72 cm ; G = 30 cm

17) f = 24 cm (Sammellinse) ; f = -28,4 cm (Zerstreuungslinse)

18) g = 10 cm ; b = 30 cm (Sammellinse) /// g = 5 cm ; b = -15 cm (Zerstreuungslinse)

19) a) Sammellinse ; f = 1,15 cm

b) Sammellinse ; f = 2,6 cm

c) Zerstreuungslinse ; f = – 1,6 cm

d) geht nicht

20) a) f = – 2 cm;

Bildgrößen: B = – 1 cm, resp. B’ = – ½ cm

Bildweiten: b = – 34 cm, resp. B’ = –

35 cm

b) g = 31,88 cm und b = – 1,88 cm

21) g = 2 · f

22) a) f=

38 cm

Anfang: gAnfang = 34 cm ; bAnfang = –

38 cm

Später: gSpäter = 3

10 cm ; bSpäter = 3

40 cm

b) g’ = 2,19 cm und b’ = -12,19 cm ; also muss um 1,14cm näher an die Linse gerückt werden.

23) a) f = 21,6 cm

b) 10 = 0,245 rad und 20 = 0,125 rad

24) a) s10m = 0,251 mm; s1m = 2,63 mm; s0,5m = 5,55 mm

b) 10m = 0,00503; 1m = 0,05026; 10m = 0,111

25) a) B = 0,436 mm

b) f = 57,3 cm

c) B = 1,31 mm

26) a) b = – 245 cm und B = 5 cm

b) = 50 und V = 5,1