Strömungsmechanik 1 Frühjahr 2012Klausur und Lösung Strömungsmechanik 1 Frühjahr 2012 29....
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Klausur und Lösung
Strömungsmechanik 1
Frühjahr 2012
29. Februar 2012, Beginn 15:30 Uhr
Prüfungszeit: 90 Minuten
Zugelassene Hilfsmittel sind:
Taschenrechner (nicht programmierbar)
TFD-Formelsammlung (ohne handschriftliche Ergänzungen)
Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex)
mitgebrachtes Papier
Andere Hilfsmittel, insbesondere:
Alte Klausuren
Übungen der Vorlesung
Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner
sind nicht zugelassen.
weitere Hinweise:
Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu
verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen
einzutragen.
Aufgabe Punkte
1. Kurzaufgaben
2. Inkompressible Strömungen
3. Kompressible Strömungen
4. Herleitung
Gesamt 60
Name, Vorname: ...........................................................
Matrikelnummer: ...........................................................
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
Dr.-Ing. K. Mulleners, Prof. J. Seume
V. Köpplin, H. von Seggern
!!Alle Aufgabenteile (X.X) sind unabhängig voneinander lösbar!!
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1. Kurzaufgaben (13 Punkte)
Hinweis: Die Ergebnisse mit Einheit der Kurzaufgaben sind in die dafür vorgesehenen Kästen
einzutragen. Es gibt bei Kurzaufgaben keine Punkte auf den Rechenweg. Lösungen auf Zetteln werden
nicht bewertet!
1.1. Multiple-Choice (4 Punkte)
Kreuzen Sie richtige Aussagen an oder tragen die Lösung in die dafür vorgesehene Kästchen. Es können pro
Frage mehrere Antworten richtig sein.
(nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet)
Überströmte ebene und gekrümmte Oberfläche
Eine zu Beginn ebene und im weiteren Verlauf gekrümmte Oberfläche wird mit zeitlich konstanter
Zuströmgeschwindigkeit überströmt. Entlang der Oberfläche stellen sich dabei lokal unterschiedliche
Geschwindigkeitsprofile ein.
Ordnen Sie alle dargestellten Geschwindigkeitsprofile (A-D) den vorgegebenen Positionen zu.
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Umströmte Körper
Die Abbildungen A-D zeigen einen Querschnitt durch das Strömungsfeld eines angeströmten Zylinders und
eines Tragflügelprofils. Die geometrischen Abmaße des Zylinders und des Tragflügels sind in den
Abbildungen A und B bzw. C und D identisch. Die Zuströmbedingungen des Zylinders und der
Anstellwinkel des Tragflügels wurden variiert. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.
Der Widerstandskoeffizient des Zylinders in Abbildung A ist im Verlgeich zum Zylinder in
Abbildung B größer.
Bei zunehmender Anströmgeschwindigkeit bewegt sich der Ablösepunkt in D in Richtung der
Vorderkante des Tragflügels (stromaufwärts).
Der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung C ist größer als der Druckwiderstand des
Tragflügels in Abbildung D.
Im Vergleich zwischen einer laminaren und einer turbulenten Umströmung des Tragflügelprofils in
Abbildung C bei sonst gleichen Bedingungen, weist die turbulente Umströmung einen höheren
Reibungswiderstand auf.
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Druckverlust
Abbildungen A bis C zeigen einen durchströmten Carnot-Diffusor, einen Bernoulli-Diffusor und ein gerades
Rohr. Sowohl der Eintrittsquerschnitt aller dargestellten Geometrien als auch die Autrittsquerschnitte der
Diffusoren sind gleich groß. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.
Für den gleichen Eingangs-Massenstrom und
gleiche Oberflächenbeschaffenheit der
Wände weist der Diffusor in Abbildung A im
Vergleich zum Diffusor in Abbildung B einen
höheren Druckverlust auf.
Für den gleichen Eingangs-Massenstrom im Rohr
in Abbildung C sind die Druckverluste bei einer
turbulenten Durchströmung im Vergleich zu einer
laminaren Durchströmung größer.
Im Rohr in Abbildung C mit konstanten,
laminaren Strömungsbedingungen weist eine
hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu
einer hydraulisch rauen Oberfläche höhere
Druckverluste auf.
Im Rohr in Abbildung C mit konstanten,
turbulenten Strömungsbedingungen weist eine
hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu
einer hydraulisch rauen Oberfläche niedrigere
Druckverluste auf.
Laminare Grenzschicht
Die Abbildung zeigt den Verlauf der Grenzschichtdicken zweier unterschiedlicher, laminarer
Grenzschichten eines Mediums mit kinematischer Viskosität auf einer überströmten, ebene Platte in einem
unendlich ausgedehnten Strömungsfeld. Die Indizes entsprechen der Benennung der Grenzschichtprofile.
Für die oben gezeigten Grenzschichtverläufe können folgende Aussagen zutreffen:
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1.2. Kurzaufgabe: Galilei-Thermometer (9 Punkte)
Das Messprinzip des Galilei-Thermometers (Abbildung 1) beruht auf der
temperaturabhängigen Dichteänderung von Fluiden. Das Thermometer
besteht aus einem Glaszylinder (Innenradius r), der mit einer Flüssigkeit F der
Dichte ρF gefüllt ist. Im Zylinder befinden sich Glaskugeln mit Flüssigkeit K
gefüllt, die alle das konstante Volumen VK aber unterschiedliche Massen mKi
haben. Die Wände der Glaskugeln sind so dick, dass die Dichteänderung des
Fluids K keinen Einfluss auf das Volumen der Kugeln hat. Die Kugeln sinken
mit steigender Temperatur nacheinander ab. Die Kugel mit der kleinsten
Temperaturangabe sinkt als erstes. Die Höhe der schwebenden Kugel gibt die
Temperaturänderung an.
Für die Befüllung des Glaszylinders stehen vier Flüssigkeiten (Fluid F) zur
Auswahl: A, B, C und D. Tabelle 1 gibt die Dichte ρF sowie die
Oberflächenspannung σF bei einer Temperatur T0= 20°C sowie den
Ausdehnungskoeffizienten βF an. Der Ausdehnungskoeffizient βF gibt die
Dichteänderung für eine Temperaturzunahme von 1K an.
Gegeben für alle Teilaufgaben:
VK = 10 cm³ g = 9,81 m/s²
Tabelle 1: Eigenschaften der Flüssigkeiten bei T=20°C
Flüssigkeit Dichte ρF in
g/cm³
Ausdehnungskoeffizient
βF in 1/K
Oberflächenspannung σF
in N/m
A 0,998 0,207 ∙ 10-3
72,75 ∙ 10-3
B 0,789 1,10 ∙ 10-3
22,55 ∙ 10-3
C 1,594 1,23 ∙ 10-3
26,66 ∙ 10-3
D 13,55 0,15 ∙ 10-3
476∙ 10-3
1.2.1. Thermometerflüssigkeit (2 Punkte)
Für welche der vier Flüssigkeiten ergibt sich die stärkste Höhenänderung der schwebenden Kugel bei einem
Temperaturunterschied von 1K, wenn angenommen wird, dass die Dichte sich linear mit der Temperatur
ändert?
Flüssigkeit :
Abbildung 1: Skizze des
Galilei-Thermometers
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1.2.2.Kugelgewicht (4 Punkte)
Das Thermometer zeigt nun eine Temperatur T von 22°C (Kugel
schwebt, Abbildung 2) an und der Zylinder ist mit der Flüssigkeit A aus
Tabelle 1 gefüllt. Welches Gewicht hat die Kugel mit dieser
Temperaturangabe?
1.2.3. Kontaktwinkel (3 Punkte)
Der Glaszylinder (Radius r) ist mit der Flüssigkeit A (Tabelle 1)
gefüllt. Es liegt an der benetzten Innenwand ein Kontaktwinkel
(Randwinkel) α vor und die Steighöhe ist hs (Abbildung 3) bei
T = 20°C Raumtemperatur.
Welcher Wert der Oberflächenspannung σF ergibt sich für diesen
Fall rechnerisch?
geg: r = 2 cm hs = 437 µm α = 54°
σF (α):
Abbildung 2: Skizze des
Galilei-Thermometers für eine
Temperatur von 22°C
Abbildung 3: Schnittansicht des
Thermometers mit Kontakt-
winkel α an der benetzten Wand
und Steighöhe hs
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2. Wassermühle (24 Punkte)
Eine Traditionsmühle hat als Besonderheit das Foyer mit einem historischen Wasserrad und einem
darunterliegenden Becken ausgestattet. Das Becken ist über ein Abflussrohr (Durchmesser D) mit einem
tieferliegenden, offenen Reservoir verbunden. Aus dem Reservoir wird Wasser (Dichte ) mit einem
Steigrohr ( Länge lSteigrohr, Durchmesser D) auf eine Höhe h3 mit Hilfe einer Pumpe befördert und auf das
Wasserrad geleitet. Das Wasser wird dabei im Kreis gepumpt. Der gesamte Aufbau ist in Abbildung 4
dargestellt.
Anmerkung:
Die zu verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen
einzutragen.
Annahmen:
Im gesamten umgebenden Raum herrscht der Druck pU und die Erdbeschleunigung g. Das Wasser kann als
inkompressibles Fluid betrachtet werden. Verluste durch Umlenken der Strömung sowie Ein- und
Austrittsverluste sind zu vernachlässigen.
Abbildung 4: Wasserrad mit Versorgungssystemen (Skizze)
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2.1 Pumpleistung Bestimmen Sie die benötigte Pumpleistung für den Fall, dass die Wasserstände h1 und h2 konstant bleiben.
Das Steigrohr (Länge lSteigrohr, Durchmesser D) weist dabei eine durch Verschmutzung hervorgerufene
hydraulisch raue Oberfläche mit einer Sandkornrauheit kS auf. Über das Abflussrohr (Durchmesser D) fällt
ein Druckverlust von an.
geg: h1 = 3 m h2 = 1,5 m h3 = 7 m D = 0,1 m
= 2200 Pa kS = 0,4 mm lSteigrohr = 10 m
= 1000 kg/m³ pU = 105 Pa g = 9,81 m/s²
2.2 Bremsmoment Der Austrittsquerschnitt des Steigrohres (Durchmesser D) befindet sich mit einem Höhenunterschied von h4
oberhalb der Schaufel des Wasserrades. Das Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit c4 aus dem Steigrohr aus,
erfährt eine durch das Schwerefeld der Erde bedingte Beschleunigung und trifft vollständig auf eine Schaufel
des Schaufelrades. Der auftreffende Wasserstrahl mit der Querschnittsfläche A wird an der Schaufel zu
jeweils gleichen Teilen nach links und rechts unter einem Winkel umgelenkt.
Das Wasserrad soll für eine besondere Atmosphäre im Foyer sorgen, die aus psychologischer Sicht bei einer
Rotationsgeschwindigkeit erreicht wird. Um diese Rotationsgeschwindigkeit zu gewährleisten, wird in
der Nabe des Wasserrades eine Bremse installiert.
Bestimmen Sie das durch die Bremse zu erbringende Moment, für eine Rotationsgeschwindigkeit des
Wasserrades.
Abbildung 5: Nahansicht einer Schaufel des Wasserrades
geg: D = 0,1 m h4 = 3 m c4 = 6 m/s
= 15° 120 rad/min
= 1000 kg/m³ pU = 105 Pa g = 9,81 m/s²
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3. Gasdynamik (8 Punkte)
Eine Rohrleitung zur Versorgung eines Labors mit Helium (mit Gaskonstante R und Isentropenexponent )
ist mit einer konvergenten Querschnittsverengung in einiger Distanz vor dem Austritt versehen. Die Leitung
liefert den Massenstrom . An der Stelle 1 hat das Rohr den Querschnitt d1. Dort strömt das Gas mit Ma1 bei
der herrschenden Temperatur T1.
Abbildung 6: Rohrleitung Heliumversorgung
Bestimmen Sie den Durchmesser der Verengung d2 an der Stelle 2 für eine Strömung mit Ma2. Es ist das
Temperaturverhältnis T2/T1 bekannt. Berechnen Sie zudem die Drücke an den Stellen 1 und 2.
Gegeben:
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4. Couette-Viskosimeter (15 Punkte)
In einem Couette-Viskosimeter kann die Viskosität eines Fluids in Abhängigkeit von der Scherspannung
bestimmt werden. Das Viskosimeter besteht aus einem rotationssymmetrischen Behälter mit Innenradius RB,
in dem ein runder Kolben mit Radius RK und Höhe L hängt (siehe Abbildung 7)
Abbildung 7: Draufsicht (links) und Seitenansicht (rechts) des Couette-Viskosimeters . Der Radius des
Behälters ist RB. Der Radius des Kolbens ist RK und dessen Höhe L. Die Winkelgeschwindigkeiten ωK
und ωB sind gleichgerichtet.
Der Kolben dreht mit der Winkelgeschwindigkeit ωK. Der äußere Behälter ist ebenfalls drehbar und hat die
Geschwindigkeit ωB. Die Winkelgeschwindigkeiten sind gleichgerichtet. Der Kolben wird mit dem Moment
M beaufschlagt. Die Strömung ist in vertikaler Richtung voll ausgebildet. Das Fluid sei inkompressibel und
stationär.
Die Geschwindigkeit des Fluids ist abhängig von der radialen Position im Zwischenraum. Für das
Moment und die Scherspannung gilt:
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Die Kontinuitäts- sowie die NS-Gleichungen in Zylinderkoordinaten sind:
Kontinuitätsgleichung:
Navier-Stokes-Gleichungen:
r-Komponente:
-komponente:
z-Komponente:
a) Vereinfachen Sie die NS Gleichungen und begründen Sie jeden Schritt (d. h.: jeden gestrichenen Term).
b) Lösen Sie nach und nehmen dabei an, dass
ist (bestimmen sie also A und B)
c) Leiten Sie einen Ausdruck her für die dynamische Viskosität η, in dem A und B als Variablen
vorkommen (d. h.: Ergebnis von b) nicht ausschreiben), jetzt unter der Bedingung .
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Musterlösung
1. Kurzaufgaben (13 Punkte)
Hinweis: Die Ergebnisse mit Einheit der Kurzaufgaben sind in die dafür vorgesehenen Kästen
einzutragen. Es gibt bei Kurzaufgaben keine Punkte auf den Rechenweg. Lösungen auf Zetteln werden
nicht bewertet!
1.1. Multiple-Choice (4 Punkte)
Kreuzen Sie richtige Aussagen an oder tragen die Lösung in die dafür vorgesehene Kästchen. Es können pro
Frage mehrere Antworten richtig sein.
(nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet)
Überströmte ebene und gekrümmte Oberfläche
Eine zu Beginn ebene und im weiteren Verlauf gekrümmte Oberfläche wird mit zeitlich konstanter
Zuströmgeschwindigkeit überströmt. Entlang der Oberfläche stellen sich dabei lokal unterschiedliche
Geschwindigkeitsprofile ein.
Ordnen Sie alle dargestellten Geschwindigkeitsprofile (A-D) den vorgegebenen Positionen zu.
A
D
C
B
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Umströmte Körper
Die Abbildungen A-D zeigen einen Querschnitt durch das Strömungsfeld eines angeströmten Zylinders und
eines Tragflügelprofils. Die geometrischen Abmaße des Zylinders und des Tragflügels sind in den
Abbildungen A und B bzw. C und D identisch. Die Zuströmbedingungen des Zylinders und der
Anstellwinkel des Tragflügels wurden variiert. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.
Der Widerstandskoeffizient des Zylinders in Abbildung A ist im Verlgeich zum Zylinder in
Abbildung B größer.
Bei zunehmender Anströmgeschwindigkeit bewegt sich der Ablösepunkt in D in Richtung der
Vorderkante des Tragflügels (stromaufwärts).
Der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung C ist größer als der Druckwiderstand des
Tragflügels in Abbildung D.
Im Vergleich zwischen einer laminaren und einer turbulenten Umströmung des Tragflügelprofils in
Abbildung C bei sonst gleichen Bedingungen, weist die turbulente Umströmung einen höheren
Reibungswiderstand auf.
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Druckverlust
Abbildungen A bis C zeigen einen durchströmten Carnot-Diffusor, einen Bernoulli-Diffusor und ein gerades
Rohr. Sowohl der Eintrittsquerschnitt aller dargestellten Geometrien als auch die Autrittsquerschnitte der
Diffusoren sind gleich groß. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.
Für den gleichen Eingangs-Massenstrom und
gleiche Oberflächenbeschaffenheit der
Wände weist der Diffusor in Abbildung A im
Vergleich zum Diffusor in Abbildung B einen
höheren Druckverlust auf.
Für den gleichen Eingangs-Massenstrom im Rohr
in Abbildung C sind die Druckverluste bei einer
turbulenten Durchströmung im Vergleich zu einer
laminaren Durchströmung größer.
Im Rohr in Abbildung C mit konstanten,
laminaren Strömungsbedingungen weist eine
hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu
einer hydraulisch rauen Oberfläche höhere
Druckverluste auf.
Im Rohr in Abbildung C mit konstanten,
turbulenten Strömungsbedingungen weist eine
hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu
einer hydraulisch rauen Oberfläche niedrigere
Druckverluste auf.
Laminare Grenzschicht
Die Abbildung zeigt den Verlauf der Grenzschichtdicken zweier unterschiedlicher, laminarer
Grenzschichten eines Mediums mit kinematischer Viskosität auf einer überströmten, ebene Platte in einem
unendlich ausgedehnten Strömungsfeld. Die Indizes entsprechen der Benennung der Grenzschichtprofile.
Für die oben gezeigten Grenzschichtverläufe können folgende Aussagen zutreffen:
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Aufgabe 1.2.1: Mit C lässt sich die größte Genauigkeit erzielen (Massendifferenz 25 mg).
Ansatz: Betrachtung der verdrängten Masse bei 1 °C (1K) Temperaturänderung
A (Wasser):
C (Tetrachlorkohlenstoff):
D:
Antwort: C
1.2.2:
( –
)
1.2.3:
Antwort: A
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Aufgabe 2.1: Pumpleistung Es wird ein stationäres Verhalten vorausgesetzt, so dass die Wasserstände h1 und h2 konstant bleiben. Da der
untere Behälter (Reservoir) offen ist und der obere Behälter (Becken) darüber liegt und diese miteinander
verbunden sind, wird der Massenstrom des Systems durch den Fluidstrom aus dem oberen Behälter in den
unteren Behälter vorgegeben. Würde mehr oder weniger aus dem unteren Behälter gepumpt, würden sich die
Wasserstände h1 und h2 ändern.
Bestimmung des Massenstroms:
Bernoulli 1 --> 2':
Randbedingungen:
Einsetzen und Auflösen nach c2' (h2' kürzt sich raus):
Berechnung der Pumpleistung:
Bernoulli 2-->3
Randbedingungen:
Druckverluste:
Reynolds-Zahl:
--> Re >2300 --> turbulent
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kS/D = 4 e-3
aus Moody-Diagramm:
= 36250 Pa
Bernoulli nach Pumpleistung umstellen und alles einsetzen:
Aufgabe 2.2 Bremsmoment
Das gesuchte Bremsmoment ist das durch das Fluid wirkende Moment bei einer Rotationsgeschwindigkeit .
Momentenbilanz um Nabe:
Kraft F aus Impulsbilanz um Schaufel:
Geschwindigkeit caus folgt aus Bernoulli von Eintritt zum Austritt aus Bilanzebene:
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Die Geschwindigkeit am Eintritt der Bilanzebene cein entspricht nicht der Geschwindigkeit am Austritt des
Rohres. Zum einen erfolgt eine Beschleunigung des Wassers durch die Erdanziehung. Zum anderen soll eine
Rotation der Schaufel angenommen werden. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit am Eintritt zu:
entspricht der Geschwindigkeit des Wassers auf Höhe der Schaufel aufgrund der Erdbeschleunigung.
Durch die Beschleunigung des Wassers wird der Querschnitt des Strahls verjüngt (Konti muss gelten; Masse
bleibt konstant):
Die Geschwindigkeit zur Berechnung der Kraft ergibt sich zu:
Einsetzen in die Impulsbilanz führt zu:
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Aufgabe 3
Ansatz aus Konti-Gleichung
An Stelle 1 Dichte bestimmen für Druck
2P
1P
Dichte Stelle2
1P
Mit
1P
Druck Stelle2
1P
Durchmesser über Massenstrom:
2P
Aufgabe 4
Aus Konti:
,
Weil:
Umfangsgeschwindigkeit konstant
keine Geschwindigkeitsänderung über Höhe l (dz) 1 P.
r-Komponente bereinigt:
Weil:
stationär
keine Strömung in radialer Richtung:
(keine Geschwindigkeitsänderung von in Umfangsrichtung sowie in z-Richtung)
Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit über Umfang (Moment konstant) 1P
theta-Komponente bereinigt:
Weil:
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(redundant: stationär)
Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit in z-Richtung
(Geschwindigkeit )
Keine Druckänderung über den Umfang
(Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit über Umfang) 1P
z-Komponente bereinigt:
Weil:
Keine Geschwindigkeit in z-Richtung:
Z-Komponente gleich Null: kein Druckgradient, vollausgebildet 1P
Randbedingungen ableiten aus Skizze:
1. 2. 1P
Umformung Zylinderkoordinaten theta-Komponente:
1P
Ansatz: Substitution
Bestimmung der Ableitungen:
;
;
;
2P
Es folgt für theta-Komponente:
1P
Anwendung der Randbedingungen:
1P
Es resultiert für B:
Einsetzen in
liefert
Umformen
Koeffizienten A und B:
1P
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1P
Bestimmung der dynamischen Viskosität η für mit A und B:
Über Scherrate an Wand
1P
mit
1P
Für Kolbenwand
1P
1P