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Stellen/Transitions-Systeme

Sie verallgemeinern elementare Netzsysteme.

Stellen konnen beliebig viele Marken beinhalten.

Die Flussrelation ist mit einer Gewichtung ausgestattet.

Beim Schalten einer Transitionen werden Marken gema dieserGewichtung aus dem Vorbereich entfernt bzw. zum Nachbereichhinzuaddiert.

Sabine Kuske (Universitat Bremen, Informatik) Petri-Netze WS 15/16 1 / 22
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Stellen/Transitions-System

Ein 5-Tupel STS= (S, T, F, W, M0) heitStellen/Transitions-System(kurzS/T-System), wenn gilt:

(S, T, F) ist ein Netz mit ST =,

W: F N>0 ist eine Abbildung, die jeder Kante eine positivenaturliche Zahl alsGewichtzuordnet,

M0 : S N ist eine Abbildung, genanntAnfangsmarkierung.

Beachte: Im Gegensatz zu Netzen bei elementaren Netzsystemen kann(S, T, F) sowohl Kreise der Lange 2 als auch Transitionen ohne Vor- oderNachstellen enthalten.

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Beispiel: Gemeinsame Ressourcen-Nutzung

take4

Working4

Idle4

put4Res

put1

2

Idle1

take1

Working1

put2

Idle2

take2

Working2

put3

3

Idle3

take3

Working3

2

3

User 1 benotigt

zum Arbeiten 2Items und gibt sienach der Arbeitin den Ressourcen-Pool zuruck.

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Markierungen

Markierung

Sei STS= (S, T, F, W, M0) ein S/T-System. EineMarkierungvon STSist eine Abbildung M: S N.

M-aktivierte Transition

Eine Transition heit M-aktiviert, wenn

M(s) W(s, t)

fur alle s t.


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Beispiel

take4

Working4

Idle4

put4Res

put1

2

Idle1

take1

Working1

put2

Idle2

take2

Working2

put3

3

Idle3

take3

Working3

2

3Bei dieser Mar-kierung sind alletake-Transitionenaktiviert.


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Schaltverhalten

Schalten einer Transition

Eine M-aktivierte Transitionschaltetvon M nach M, in Zeichen M[tM,falls

M(s) =

M(s)W(s, t) fur s tt

M(s) +W(t, s) fur st tM(s)W(s, t) +W(t, s) fur s tt

M(s) sonst

M heit(direkte) Folgemarkierungvon M.

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Beispiel

take4

Working4

Idle4

put4Res

put1

2

Idle1

take1

Working1

put2

Idle2

take2

Working2

put3

3

Idle3

take3

Working3

2

3

Ressourcen-Nutzung nach demSchalten von take3.

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Erweiterte Gewichtsfunktion

Dieerweiterte Gewichtsfunktion W0 : (ST)(TS) N ist definiertals

W0(x, y) =

W(x, y) falls (x, y) F0 sonst

Mit Hilfe der erweiterten Gewichtsfunktion lasst sich das Schaltverhaltenvon Transitionen kurzer definieren:

Schalten einer Transition

Eine M-aktivierte Transitionschaltetvon M nach M, in Zeichen M[tM,

fallsM(s) =M(s)W0(s, t) +W0(t, s)

fur alle sS.

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Die Abbildung t

Fur jede Transition tT seit: S Zdefiniert als

t(s) =W0(t, s)W0(s, t).

Dann kann beim Schalten von M nach M mittels einer M-aktiviertenTransition die Markierung M auch abkurzend beschrieben werden durch:

M =M+ t.


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Schaltfolgen

Sei STS= (S, T, F, W, M) ein S/T-System und seien M, M : S NMarkierungen von STS.

Ein Wort w=t1 tn mit t1, . . . , tn T und n0 heit

SchaltfolgevonM

nachM

, falls gilt:

M= M0[t1M1[t2 [tnMn =M

fur geeignete Markierungen M0, . . . , Mn. In diesem Fall ist M die

Folgemarkierung von M bzgl. wund wir schreiben kurz M[wM.(Beachte: Fur n= 0 gilt M =M.)

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Erreichbarkeit

M heiterreichbarvon M, in Zeichen M[M, falls es eineSchaltfolge wT gibt, so dass M[wM.

DieMenge der von M erreichbaren Markierungenist

Reach(M) ={M : S N| M[M}.

DieMenge der in STS erreichbaren Markierungenist

Reach(STS) =Reach(M0).


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Erreichbarkeitsgraph

Sei STS= (S, T, F, W, M0) ein S/T-System.DerErreichbarkeitsgraphvon STS ist der Graph

G(STS) = (V,

E)

mit der

Knotenmenge V =Reach(STS) und der

Kantenmenge E={(M, t, M) VTV |M[tM}.


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Beispiel

Betrachte das S/T-System zur gemeinsamen Ressourcen-Nutzung:

take4

Working4

Idle4

put4Res

put1

2

Idle1

take1

Working1

put2

Idle2

take2

Working2

put3

3

Idle3

take3

Working3

2

3

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Erreichbarkeitsgraph zur gemeinsamenRessourcen-Nutzung (1)

Wir benutzen folgende Reihenfolge der Stellen:

(Res, Working1, Idle1, . . . , Working4, Idle4).

Beobachtung

Fur jede erreichbare Markierung Mdes S/T-Systems zur gemeinsamenRessourcen-Nutzung und jedes i {1, . . . , 4} gilt:

M(Idlei) = 1M(Workingi)

.

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Abkurzungen und graphische Darstellung

Wir schreiben(x, y1, y2, y3, y4) fur (x, y1, y11, y2, y21, y3, y31, y4, y41)

p fur put und t fur take

die Startmarkierung(5, 0, 0, 0, 0)inrot

alle mit putbeschrifteten Kanten ingrun

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(5, 0, 0, 0, 0)

(3, 1, 0, 0, 0)

t1p1

(4, 0, 1, 0, 0)t2

p2

(2, 0, 0, 1, 0)

t3p3

(4, 0, 0, 0, 1) t4

p4

(2, 1, 1, 0, 0)t2

p2

t1 p1

(1, 0, 1, 1, 0)

t3 p3

t2

p2

(2, 1, 0, 0, 1) t4

p4

t1p1

(1, 0, 0, 1, 1) t4

p4t3p3

(0, 0, 1, 1, 1)t2

p2

t4 p4

(3, 0, 1, 0, 1)

t3p3

(1, 1, 1, 0, 1)t2

p2

t4

p4

(0, 1, 0, 1, 0)

p4t4p2

t2

p1 t1

p1

t1

p3

t3

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Bemerkungen

1 G(STS) ist zusammenhangend.

2 Zu jedem Knoten vV {M0} fuhrt ein einfacher Weg, der bei M0

beginnt.3 Jeder Knoten von G(STS) besitzt hochstens #T hineingehende

Kanten und hochstens #Therausgehende Kanten. (#T ist dieAnzahl der Transitionen.)

4 G(STS) kann unendlich sein.

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