Subtour Elimination Constraints

Problem: Traveling SalesmanInput: Ein Graph G = (V, E) mit einer Distanzfunktion d : E → Q≥0.

Aufgabe: Finde eine Tour, die alle Knoten des Graphen G genau einmal besuchtund deren Lange bezuglich d moglichst klein ist, oder stelle fest, dass keinesolche Tour existiert.

Ungleichung

• Eine TSP-Tour darf keine ”Untertouren“ enthalten

• Idee: Keine Knotenteilmenge außer V selbst darf einen Kreis enthalten

• Fur alle S ⊂ V mit S 6= ∅ und S 6= V gilt∑e∈E(S)

xe ≤ |S| − 1

• Die Ungleichungen werden ”bei Bedarf“ hinzugefugt.

Handout

Kamm-Ungleichungen

Problem: Traveling SalesmanInput: Ein Graph G = (V, E) mit einer Distanzfunktion d : E → Q≥0.

Aufgabe: Finde eine Tour, die alle Knoten des Graphen G genau einmal besuchtund deren Lange bezuglich d moglichst klein ist, oder stelle fest, dass keinesolche Tour existiert.

Ungleichung

• Aufteilung der Knoten in geeignete, sich teilweise uberlappende Teilmengen

• Idee: Tour muss diese Teilmengen ”betreten“ und ”verlassen“

• Fur geeignete Teilmengen T1, . . . , Ts , H ⊂ V gilt

∑e∈δ(H)

xe +

s∑i=1

∑e∈δ(Ti)

xe ≥ 3s + 1

H

T1 T2 Ts

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2-Matching Inequalities

Problem: Traveling SalesmanInput: Ein Graph G = (V, E) mit einer Distanzfunktion d : E → Q≥0.

Aufgabe: Finde eine Tour, die alle Knoten des Graphen G genau einmal besuchtund deren Lange bezuglich d moglichst klein ist, oder stelle fest, dass keinesolche Tour existiert.

Problem: 2-MatchingInput: Ein Graph G = (V, E).

Aufgabe: Finde ein 2-Matching in G, das moglichst viele Kanten enthalt. Ein 2-Matching ist eine KantenmengeM ⊂ E mit der Eigenschaft, dass jeder Knotenmit hochstens 2 Kanten aus M inzident ist.

Ungleichung

• Jede TSP-Tour ist ein 2-Matching

• Idee: Jede gultige Ungleichung fur 2-Matchings ist auch gultig fur TSP

• Fur alle H ⊂ V und alle F ⊂ δ(H) gilt∑e∈E(H)

xe +∑e∈F

xe ≤ |H|+⌊|F |2

⌋

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Capacity Inequalities fur Vehicle Routing

Das Capacitated Vehicle Routing Problem ist eine Verallgemeinerung des TravelingSalesman Problems. Es modelliert die Belieferung mehrerer Kunden von einem ge-meinsamen Depot aus.

Problem: Capacitated Vehicle RoutingInput: Ein Graph G = (V, E) mit V = {v0, v1, . . . , vn} (v0 Depot), eine Kostenfunk-

tion c : E → Q≥0, eine Nachfragefunktion d : {v1, . . . , vn} → Q≥0, eineFahrzeugkapazitat C ∈ Q≥0 und eine maximale Fahrzeugzahl K ∈ N.

Aufgabe: Finde Routen R1, . . . , RK (maximal K Stuck) der Kapazitat C, so dassjeder Knoten aus V \ {v0} von genau einer Route durchlaufen wird und dieGesamtkosten aller Routen

∑Ki=1

∑e∈E(Ri) c(e)moglichst klein sind, oder stel-

le fest, dass keine solchen Routen existieren. Eine Route Ri der Kapazitat Cist ein Kreis in G, der v0 enthalt und fur den gilt, dass die besuchten Knotenzusammen eine Nachfrage von hochstens C haben, d. h.,

∑v∈V (Ri) d(v) ≤ C.

Ungleichung

• Fur jede Teilmenge der Kunden muss die Nachfrage befriedigt werden

• Die Anzahl dazu benotigter Routen liefert eine Art ”Subtour-Bedingung“

• Fur alle S ⊂ {v1, . . . , vn}, S 6= ∅, gilt∑e∈δ(S)

xe ≥ 2⌈∑

v∈S d(v)

C

⌉

Handout