Supraleitung Ch. Kittel: Einführung in die ...

12.07.2019 W.Hansen: Physik IV (Festkörperphysik) Teil16 (Supraleitung) Version 02 244

Supraleitung

Literatur:● Ch. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik (Oldenbourg, 2006) KEF● N. W. Ashcroft and N. D. Mermin: Solid State Physics(Harcourt College

Publishers, 1976) (Oldenbourg, 2005)SSP● R. Gross, A. Marx: Festkörperphysik (Oldenbourg, 2012)GMF● H. Ibach und Hans Lüth: Festkörperphysik, Einführung in die Grundlagen

(Springer, 2009) ILF

Kapitel

Thema GMF S S P K E F I L F

Phänomenologie, London-

Gleichungen

13.1-

13.434 12

10.1-10.2,

10.10

Mikroskopisches Modell, BCS-Theorie

13.5 34 12 10.3-10.8

Josephson-Effekt,Tunnelkontakte

13.6 34 1210.9

Tafeln IX und X


Supraleitung

● 1. Die Entdeckung

● 2. Supraleitende Materialien

● 3. Der Meißner-Ochsenfeld-Effekt

● 4. London-Theorie

● 5. Kritisches Verhalten im Magnetfeld, Typ I, II, III Supraleiter

● 6. Theoretische Grundlagen, Bardeen-Cooper-Shrieffer (BCS) – Theorie

● 7. Tunneln von Cooper Paaren, Anwendungen: Josephsonkontakte , SQUID (SuperconductingQuantum InterferenceDevice)

Motivation: Bei bestimmten Materialien wird unter einer kritischen Temperatur der Widerstand exakt Null: Supraleitung. Einmal ange-worfene Ströme fließen dissipationslos für unbegrenzte Zeit. Verlust-freie Leitung ist wichtig für technische Anwendungen und für die Er-zeugung hoher Magnetfelder. Im supraleitenden Zustand tritt der Meißner-Effekt auf, d.h. ein Magnetfeld wird aus dem Supraleiter verdrängt. Der supraleitende Zustand ist ein makroskopischer Quan-tenzustand, so dass man Quantenphänomene auf makroskopischer Skala beobachten kann.


Supraleitung

● Gleichstrom (DC) Verhalten

Widerstandsloser Transport bei T < Tc

Nachweis: Dauerströme in supra-leitenden Spulen: kein Abfall des Stroms, keine Dissipation (τ > 105 Jahre)

Experimentelle Befunde:

Oberhalb des kritischen Stromes Ic bricht die Supraleitung zusammen

Schaltung

Supraleitende Materialien zeigen nicht nur besondere Leitfähigkeitseigenschaften, sie weisen auch ein besonderes thermisches Verhalten und ein besonderes Verhalten in magnetischen Feldern auf:

Meißner-Ochsenfeld-Effekt (SL ist ein idealer Diamagnet) hohe Magnetfelder zerstören den supraleitenden Zustand

Temperatur

Wid

erst

and I = const

I < I c

Tc Strom

Sp

ann

ung

T = constT < Tc

Ic


Supraleitung

● Die Entdeckung der Supraleitung■ Fragestellung: wie verhält sich der spezifische

Widerstand von Metallen bei sehr tiefen Temperaturen (T « θDebye)?● reales Metall:

ρ(T) = ρ0 + C·T5

● ideales Metall (ρ0 = 0, verschwindender Restwiderstand):

ρ(T) = C·T5 → 0 für T →0

■ Heike Kammerling-Onnes: ● Herstellung tiefer Temperaturen mit

Helium als Kühlmittel● Herstellung sehr reiner Metalle

zunächst Gold u. Platin● dann Hg (Reinigung durch Destillieren!)

T > Tc : Verhalten wie reales Metall (s.o.)T < Tc : ρ unmessbar klein (Abfall um mehr als 17 Größenordnungen)

Temperatur

ρ (T

)

0

Verunreinigungen Phononen

Temperatur

ρ (T

)

0Tc


Supraleitung

● Die Entdeckung der Supraleitung

1911 entdecktHeike Kamerlingh-Onnesin Leiden (Holland), dass der Widerstand von Queck-silber unter einer kritischen Temperatur von Tc = 4.2 K unmessbar klein wird.

Dieses Verhalten wurde auch für viele andere Ma-terialien (mit anderen Tc) gefunden. Dieses Phäno-men wird Supraleitung (engl. superconductivity) genannt.

Widerstand (in Ohm) einer Quecksilber-Probe in Abhängigkeit von der absoluten Temperatur. Dieses Diagramm von Kamerlingh-Onnes kennzeichnet die Entdeckung der

Supraleitung.

Heike Kamerlingh-Onnes(1853-1926)


Supraleitung

● Geschichte der Supraleitung■ 1908 Verflüssigung von Helium in Leiden■ 1911 Entdeckung der Supraleitung an Hg durch

Kamerlingh-Onnes (1913 Nobelpreis)■ 1933 Meißner-Ochsenfeld-Effekt■ 1935 London-Gleichungen■ 1950 Ginzburg-Landau Theorie■ 1957 BCS-Theorie

J. Bardeen, L.W. Cooper, J.R. Schrieffer (Nobelpreis 1972)EnergielückeCooper-Paare tragen den supraleitenden StromMakroskopischer Quanten-Effekt

■ 1961 Fluss-Quantisierung, R. Doll und M. Näbauer, WMI (B.S. Beaver and W.M. Fairbank, Stanford)

■ 1962 Neuartige Quanteneffekte an TunnelkontaktenB.D. Josephson (Nobelpreis 1973)

■ 1986 Entdeckung der Hochtemperatur-SupraleiterJ.G. Bednorz, K.A. Müller, IBM Zürich, Tc = 35 - 150 K (Nobelpreis 1987)

■ 2001 MgB2 ist supraleitend (Tc = 39 K), J. Nagamatsu, Japan ■ 2006 Pniktide, Hideo Hosono, LaOFeP, Tc = 4 K, ■ 2008 Hideo Hosono: La[OxF1-x]FeAs, Tc = 56 K, FeSe


Supraleitung: Supraleitende Elemente

C. Buzea, et al., Supercond. Sci. Technol. 18, R1 (2005).


Supraleitung: Supraleitende Verbindungen

Auch Verbindungen können supraleitend sein und haben zum Teil sehr hohe Tc.

keramische Verbindungen (Hochtemperatursupraleiter), z. B. YBaCuO (1987): Tc = 90 K

Jun Nagamatsu (2001): MgB2 Tc = 39 K

Hideo Hosono (2008): Eisenhaltige SL (Pniktide), z. B. SmFeAsO≈0.85 Tc = 55 K

Tc einiger ausgewählter Verbindungen

Aufbau von LaOFeAs [http://www.weltderphysik.de/de/7436.php]


Supraleitung: Supraleitende Elemente

C. Buzea, et al., Supercond. Sci. Technol. 18, R1 (2005).

Supraleitung: Zeitliche Entwicklung der Sprungtempe raturen


aus GMF Abb. 13.4: Sprungtemperaturen in verschiedenen Supraleitern. Farben unterscheiden zwischen verschiedene Materialklassen wie metallische Verbindungen, Schwere-Fermionen-SL, Kuprate, Eisen-Pniktide, Kohlenstoff basierte SL


Supraleitung: Meißner-Ochsenfeld-Effekt

Ein Permanentmagnet wird bei T>TC auf eine Pb-Scheibe gelegt (links). Die Scheibe wird dann unter Tc abgekühlt. Das Feld des Permanentmagneten wird aus der supraleitenden Scheibe verdrängt (Meißner-Ochsenfeld-Effekt); der Mag-net schwebt.

Ein Pb-Scheibe ist unter Tc abgekühlt. Ein Permanentmagnet wird auf die supralei-tende Scheibe abgesenkt. Das Magnetfeld des Magneten wirft in der Scheibe Dauer-strömean, die nach der Lenz‘schen Regel dem Magnetfeld des Magneten entgegen-wirken und diesen in einem Schwebezu-stand halten, solange die angeworfenen Dauerströme fließen.



W. Meißner und R. Ochsenfeld, Naturwissenschaften21, 787 (1933)

Ein Supraleiter verdrängt ein Magnet-feld, unabhängig von der Art der Ab-kühlung.

Ein „idealer“ Normalleiter, der bei T > Tc von einem Magnetfeld durchdrungen wird, enthält auch bei T < Tc ein Magnetfeld.

Der supraleitende Zustand ist eine neue Phase, hängt nicht von der

Vorgeschichte ab.

Da das innere Feld in einem Supraleiter verschwindet, ist er ein idealer Diamagnetmit der magnetischen Suszeptibilität

1−=χ



● Der Meißner-Ochsenfeld-Effekt

Dabei ist M die Magnetisierung und χ die magnetische Suszeptibilität. Diese Größen beschreiben die Materialeigenschaften.

Da das innere Feld in einem Supraleiter verschwindet, ist er ein idealer Diamagnetmit der magnetischen Suszeptibilität

Das Feld in einem langen Stab ist (Annahme: Magnetfeld entlang Stabachse → Entmagnetisierungsfaktor N� 0):

�� ß�� ∙ � �ß�� ß��

� � � ∙ � �ß��

� � �1�� ß�� ∙ � �ß�� ß�� 0

� � � ∙ � �ß�� 1

∙ � �ß��

� �ß��


Supraleitung: Thermisches Verhalten

● Die thermischen Eigenschaften des supraleitenden Zustands

Die spezifische Wärmedes normalleitenden Zustands in Aluminium wird bei der Sprungtemperatur durch den linearen elektronischen Anteil dominiert, der Bei-trag des Gitters ist klein (N. E. Phillips, Phys. Rev. 114, 676 (1959))

Die spezifische Wärme im supraleitenden Zustand zeigt einen Sprung bei Tc. Wenn kein Magnetfeld anliegt tritt aber keine latente Wärme auf.

Phasenübergang II. Ordnung (bei B = 0)

Wärmeleitung: Im supraleitenden Zustand deutlich schlechter als im normalleitenden.

Spezifische Wärme im supraleitenden Zustand zeigt aktiviertes Verhalten:

�� ∝�� ∆��


Supraleitung: Die London-Theorie

● H. London und F. London, Physica2, 341 (1935)

■ Wie muss man das Ohmsche Gesetz modifizieren, damit der Meißner-Ochsenfeld-Effekt beschrieben werden kann?Wir gehen von der Drude-Formel aus und betrachten die Bewegungsgleichung für eine unendlich gute Leitfähigkeit:

�� ! �

� " � #$

Der Meißner-Effekt ist eingeschlossen, wenn man zusätzlich fordert: (Ansatz)

1. London-Gleichung

2. London-Gleichung

Dieser Ansatz wird später im Rahmen der BCS-Theorie aus der quantenmechanischen Stromgleichung begründet werden. Die BCS-Theorie werden wir später betrachten.

und mit �∆� � % × '( ⇒

→ 0(" → ∞) '( � #./0

11! '( �

#2./0� $

% × '( � �#2./0� �

mit % × � � '( ⇒ ∆'( � 34�2'( ∆� � 34�2�


● Londonsche Eindringtiefe:

■ Ampére-Maxwell-Gleichung:

Dann ist:

mit

es gibt keine magnetischen Monopole

mit

Lösung:

Dann ist:

Ein außerhalb des Supraleiters vorhandenes Magnetfeld fällt exponentiell vom Rand ins Innere ab. In diesem Randbereich fließen quer zum Magnetfeld supraleitende Ströme.

Lλ

London-Eindringtiefe


Ba

% × � � ∙ '( � 5 ∙ 1$1!

Δ� � 12�7182 � 12�7

192 � 12�71:2 ;7 � 12�<

182 � 12�<192 � 12�<

1:2 ;< �

� 12�=182 � 12�=

192 � 12�=1:2 ;=

% × % × � � % × ∙ '( � � ∙ ./0 ∙ #2� ∙ �

% × % × � � % %� � ∆�= 0

∆≅ Laplace � Operator

34 � �#2./0

� : � � exp � :34 ;7

� �ß�� ;7

(2. London-Gl.)

∆� � 1342 ∙ �



● Berechnung der Stromverteilung aus :

Die Londonsche Eindringtiefe hängt stark von der Temperatur ab.

Sie wird nahe Tc sehr groß!

Verhalten bei einem dünnen supraleitenden Film

z

x

y �

Ba Ba

Ba

∆� � JKLM ∙ �

'( � 1 % × � � 1

∙ % × � ��= KL⁄00

O � � � 34

'( � O ∙ ;< ∙ ��= KL⁄

34 P ≅ 34 01 � P P/⁄

� : � � ∙ ;Q ∙ ��=/KL


Supraleitung: kritisches Verhalten im Magnetfeld

● Der supraleitende Zustand wird durch starke Magnetfelder, H > Hc, zerstört. Das kritische Feld Hc(T) hängt von der Temperatur ab.

800 Gauss entsprechen 0.08 TeslaPhasendiagramme:


Supraleitung: kritisches Verhalten im Magnetfeld

Insbesondere einige Verbindungs-Supraleiter weisen sehr hohe kritische Magnetfelder auf.

Daraus ergeben sich Anwendungen als starke supraleitende Magnetsysteme.

Diese Materialien sind meist Supraleiter II. Art

s. folgende Folien

Für supraleitende Magneten am wichtigsten: Supraleiter III. Art: Supraleiter II. Art mit

Haftzentren für Flussschläuche (harte Supraleiter II. Art )


● Bei Supraleitern 1. Art wird der supraleitende Zustand (ideale Leitfähigkeit, Meißner-Effekt) oberhalb Bc zerstört.

● Bei Supraleitern 2. Art tritt oberhalb eines kritischen Feldes Bc1 das Magnetfeld teilweise in den Supraleiter ein. Die elektrischen supraleitenden Eigenschaften (Supra-Strom) bleiben jedoch erhalten! Erst ab einem kritischen Feld Bc2

verschwindet die ideale Leitfähigkeit.

● In dem Bereich Bc1 < B < Bc2 , der so genannten „Shubnikov-Phase“, dringt das Magnetfeld in Form von „Fluss-Schläuchen“ ein. Zwischen diesen Fluss-Schläu-chen ist der Supraleiter nach wie vor feldfrei.

● Die Fluss-Schläuche bilden, wenn sie nicht durch Verunreinigungen „gepinnt“ sind (Typ III SL), ein regelmäßiges (meist hexagonales) Gitter, das Abrikosov-Gitter .

Supraleiter erster und zweiter Art

Ba

−µ0Μ

0 Bc

Bc

Typ I SL

Ba

−µ0Μ

0 Bc1

Typ II SL

Bc2

Meissner-Phase Shubnikov-

Phase


Supraleiter erster und zweiter Art

Ba

−µ0Μ

0 Bc,th

Bc,th

Typ I SL

Ba

−µ0Μ

0 Bc1

Typ II SL

Bc2

Meissner-Phase

Das thermodynamische kritische Feld Bc,th ergibt sich aus der Stabilisierungsenergie des supra-leitenden Zustands, d. h. der Differenz der freien Enthalpiedichten:

Diese Differenz entspricht der Fläche unter der Magnetisierungskurve. Empirisch findet man für die Temperaturabhängigkeit der kritischen Felder:

�/ P � �/ 0 1 � PP/

2

Bc,th

Shubnikov-Phase

1S T� P � TU P � 1

2 �/,XY2


Typ-II Supraleiter: Fluss-Schläuche und Fluss-Schla uchgitter

● In Supraleitern II. Art dringt das Magnetfeld in Form von Fluss-Schläuchen ein. Die Fluss-Schläuche sind in einem regelmäßigen Gitter (Abrikosov-Gitter) angeordnet. Jeder Fluss-Schlauch ist von Supraströmen umgeben, die jeweils ein magnetisches Flussquantum einschließen.

Flussquantum:

Abrikosov-Gitter, sichtbargemacht mit kleinen ferro-magnetischen Teilchen. Größe des Bildes circa 1µm x 1µm:

� ∙ Z � Φ � \2� � 2.067 ∙ 10�J`Tm2


Die BCS-Theorie und Cooper-Paare

● J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R. Schrieffer (1957)■ Es gibt eine attraktive Wechselwirkung zwischen den Elektronen.■ Diese Wechselwirkung wird von Phononen hervorgerufen.

● Anmerkung: Auch andere Wechselwirkungen können für die Entstehung von Supraleitung verantwortlich sein, z. B. durch Magnonen, Plasmonen, ....

■ Jeweils zwei Elektronen mit Impulsen und Spins c( ↑, c( ↓ bilden ein Cooper-Paar. (q = −2e)

■ Cooper Paare haben Spin Null. ■ Cooper-Paare können wie Bosonenbehandelt werden.■ Sie kondensieren in einen Grundzustand, in dem alle Cooper-Paare durch

einemakroskopische Wellenfunktion beschrieben werden können: Ψ g( � ./0 ∙ ��h g(

■ Cooper-Paar Dichte ./0 g( � Ψ g( Ψ g(● Nur etwa 1% der Elektronen bilden bei T = 0 Cooper-Paare.

Die Zahl nimmt für T gegen Tc weiter ab.

PhaseDichte der Cooper-Paare



■ Veranschaulichung der attraktiven Elektron-Phonon-Wechselwirkung zur Bildung von Cooper-Paaren

■ Der supraleitende Zustand wird durch viele Cooper-Paare gebildet■ Nach der BCS-Theorie hängt die Sprungtemperatur von der Debye-Frequenz und

somit von den jeweiligen Isotopen des Elements ab (experimentelle Bestätigung!).

Ein vorbeifliegendes Elektron polarisiert die positiven Ionenrümpfe. Das wirkt attraktiv auf ein zweites Elektron. Phonon

Elektronen

Quantenmechanisch wechselwirken die zwei Elektronen durch das dauernde Austauschen virtueller Phononen.

Ausdehnung der Cooper-Paare: Größenordnung 100 nm



■ In Analogie zum elektromagnetischen Feld bei einer großen Anzahl kohä-renter Photonen kann die Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ(r ) des quanten-mechanischen Vielteilchenzustands wie eine klassische Größe behandelt werden. Sowohl die Amplitude als auch die Phase sind dann beobachtbar. Die Amplitude beschreibt die Cooperpaardichte: ncp=Ψ*(r ) Ψ(r ). ● Man kann Interferenzeffekte ähnlich wie in der Optik erwarten!

(→ Josephsonkontakte, SQUID, s. später)

■ Supraleitender Strom:

Ψ i � ./0��h i einsetzen:

■ Der BCS-Grundzustand ist durch eine Energielücke

von angeregten Zuständen getrennt. ● Eg ist die Energie, die zum Aufbrechen eines Cooper-Paares benötigt wird.

'(U � #�j� Ψ∗ g( ∙ lmΨ g( � #

�j� Ψ∗ g( ∙ �no% � #p Ψ g(

'(U � #o./0� %q g( � #

op

rs ≡ 2∆ P


Experimentelle Bestätigung der BCS-Theorie

● Tunnelexperimente zur Bestimmung der Energielücke

■ Giaever 1960: Elektronen können quantenmechanisch durch eine dünne Barriere, zwischen zwei Metallen, A und B, tunneln. Die Barriere C kann z.B. durch eine dünne Oxidschicht ( = Isolator) gebildet werden, die auf ein Metall, z.B Aluminium oder Blei, aufgewachsen wird.

Messmethode: Vierpunkt-MessungKontakte, Metall A, Oxidation, Metall B

Stromkontakt 1

Spannungskontakt 1

Spannungskontakt 2

Stromkontakt 2

Substrat

A C B


Tunneln am Normalleiter-Isolator-Normalleiter-Konta kt

- +

- µRµL -I

fFD

E

Tunnelstrom

u � � v w4(r)wx(r) yz{ r � 4 � yz{ r � x �r|

�|

zwischen zwei Normalleitern w r ≈ w rz :

u ≈ �w4 rz wx rz v yz{ r � 4 � yz{ r � x �r|

�|≈ �w4 rz wx rz 4 � x∝ ~



● Erklärung der Strom-Spannungskennlinien

■ nur elastische Tunnelprozesse

■ nur wenn bei gleicher Energie besetzten Zustände auf dem einen Kontakt freie erlaubte Zustände auf dem anderen gegenüberstehen, kann ein Strom fließen.

Normalleiter Isolator NormalleiterSupraleiter Isolator Normalleiter

Strom-Spannungskennlinie

Normalleiter/Normalleiter Normalleiter/Supraleiter

� ∙ ~ � ∆� 12rs 0



● Experimente zur Bestimmung der Energielücke

■ Tunnelexperimente

● Tunneln zwischen einem Normalleiter und einem Supraleiter

■ Frequenzabhängigkeit der Hochfrequenzleitfähigkeit

● Absorption in Mikrowellenresonatoren, Ferninfrarottransmission

■ Dämpfung von akustischen Wellen

● keine Dämpfung, wenn � < 2Δ/o, gut nahe Tc

■ Spezifische Wärme

● Arrheniusanalyse der exponentiellen Abhängigkeit bei T < Tc



● Energielücken in Supraleitern bei T → 0

nach BCSerwartetes Verhältnis

Sn: Eg = 1.15 meV, Tc = 3,72 K

Für Sn passt das Verhältnis perfekt: Eg/kBTc=3.5.

Das ist nicht immer so, zum Beispiel bei Pb: 4.3±0.1

rs P � 0�� ∙ P/ � 3.52



● Temperaturabhängigkeit der Energielücke

Die Energielücke hat, nach der BCS-Theorie, eine charakteristische Temperaturabhängigkeit:

P ≈ P/ ∆ P � 1.74 ∙ ∆ 1 � PP/

J 2⁄⇒



● Der Isotopen-Effekt:

■ Nach der BCS-Theorie hängt die Sprungtemperatur von der Debye-Frequenz und somit von den jeweiligen Isotopen des Elements ab.

■ Die experimentelle Bestätigung dieses Verhaltens war ein entscheidender Hinweis auf die Rolle der Elektron-Phonon-WW als Ursache der Supraleitung (in konventionellen SL).

Debye-Frequenz:

Demnach ist: Tc∝M − α , α = 0.5

Anmerkung:V*: Elektron-Phonon Wechselwirkungs-potential

P/ � 1.13 ∙ o�{�� ∙ exp � 1

w rz ∙ S∗

�{ � ��


BCS-Theorie, Quantitative Voraussagen

● Quantitative Voraussagen der BCS-Theorie

1. Sprungtemperatur

V* = Elektron-Phonon-WW-Potenzial

Hängt von den Isotopen des Elements ab Isotopie-Effekt

2. Energielücke

4. Kritisches Feld

3. Spezifische Wärme

ωD= Debye-Frequenz

= Debye-Temperatur

normalleitende Elektronen: cn=γT

bei T«Tc

Dn = Zustandsdichte des normal-leitenden Metalls

P/ � 1.13 ∙ o�{�� ∙ exp � 2

w� rz ∙ S∗

2∆� 3.52��P/

q{ � o�{��

�U � �� 1.43beiP � P/

�U � 1.34 ∙ �P/ ∙ ∆��P

� 2⁄exp � ∆

��P

�/(P) ≈ �/ P � 0 ∙ 1 � PP/

2

P ≈ P/ ⟹ ∆(P) ≈ 1.74 ∙ ∆ 1 � PP/

J 2⁄


Makroskopischer Vielteilchenzustand: London-Gleichu ngen

● Die 2. Londonsche Gleichung folgt in einfacher Weise aus dem Ausdruck für den mit der makroskopischen Wellenfunktion Ψ(r ) berechneten Stom'(U.

■ Die BCS – Theorie ist also in der Lage, den Meissner-Effekt zu beschreiben.

■ Die räumliche Phasenkohärenz der makroskopische Wellenfunktion erklärt weiterhin die Flussquantisierung. (Fluxoidquantisierung, folgende Folie)

London-Eindringtiefe:

2. London-Gleichung

'(U � #o./0� %q g( � #

op

% × '(U � �#2./0� % × p � �#2./0

� � � � 1342 �

% × '(U � � 1342 �

34 ≡ �#2./0


Makroskopischer Vielteilchenzustand: Flussquantisie rung

● Der supraleitende Strom auf der Ringoberfläche stellt sich immer so ein, dass der Ring ein ganzzahliges Vielfaches eines Flussquantums Φ0 einschließt.

■ Wir betrachten einen dicken supraleitenden Ring. Aufgrund des Meißner-Effekts sind dann im Inneren des Drahtes j s und B gleich Null.

■ Weil '(U � �o�� %q g( � �

op ist dann %q g( � �op

■ Die Phasenänderung über einen geschlossenen Ring muss eindeutig sein bis auf ein Vielfaches von 2π (Fluxoidgleichung):

Experimentell findet man, dass die Quantisierung mit |q|=2e erfolgt. Das heißt, dass der Strom in der Tat von Cooper-Paaren getragen wird.

Wir führen das Flußquantum ein:

Φ � \2� � 2.067 ∙ 10�J`Vs

� ∙ 2� � �%q g( �g( � #o�p�g( � 2� #\Φ, � � 0,1,2,⋯

Φ ≡ \#

ΦΦ

� �



● Das Experiment von Doll und Näbauer (1961):

■ In einem supraleitenden Bleizylinder mit Durchmesser 10 µm wird bei T>Tc

ein kleines Magnetfeld mit einem Fluss in der Nähe von ν·Φ0 angelegt.

■ Beim Abkühlen unter Tc wird ein Ringstrom „angeworfen“ mit einem quantisierten Fluss ν·Φ0.

■ Das äußere Magnetfeld wird heruntergefahren.

■ Der supraleitende Ringstrom erzeugt einen magnetischen Dipol (wie eine Spule) der in einem senkrecht stehenden Messfeld ein Drehmoment erfährt. Dadurch wird der an einem Torsionsfaden montierte Zylinder ausgelenkt. Im Prinzip müssten der Ablenkwinkel des Torsionsfadens direkt die Quanti-sierung anzeigen. Die Ablenkwinkel sind allerdings so klein, dass man mit einer dynamischen Resonanzmethode arbeitet.

■ Ein ähnliches Experiment wurde von Deaver und Fairband (1961) durchgeführt (Vibrations-Magnetometer).

Abschätzung des Magnetfeldes bei einem eingefrorenen Flussquant. Ring mit Durchmesser d = 2r = 10 µm: B=Φ0/(πr2)=2.5·10-5 T



● Experiment von Doll und Näbauer zum Nachweis der Flussqantisierung:

Torsions-Drehwaage Quantisierte Resonanz-Amplituden

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tttqVtqim

tt

i ,,,,21

,2

rrrrArrrrrrhr

h Ψµ++Ψ

−∇=Ψ∂∂



● Eine leicht modifizierte 1. Londonsche Gleichung erhält man beim Einsetzen der makroskopischen Wellenfunktion Ψ i � ./0��h i in die zeitabhängige

Schrödingergleichung:

■ Aus dieser Gleichung lässt sich zusammen mit der 2. London-Gleichung (vorangegangene Folie) eine zur 1. London-Gleichung ähnliche Beziehung herleiten:

■ Der zweite Summand kann oft vernachlässigt werden:

■ Diese Gleichungen beschreiben zusammen mit den Maxwell-Gleichungen das Verhalten von Supraleitern in elektrischen und magnetischen Feldern.

elektrochemisches Potential:

Herleitung auf der folgenden Folie

1. London-Gleichung

�o 11! q g(, ! � �

2#2./02 OU2 � #S g(, ! � g(, !

11!

�#2./0 '(U � $ � % �

2#2./02 OU2

11!

�#2./0 '(U ≈ $



■ Nebenrechnung:

mit

mit dem (eichinvarianten) elektrischen Feld

'(U � #o./0� %q g( � #

op ⇒ �#2./0 '(U � � p � o

# %q g(11!

�#2./0 '(U � � 1p

1! �o# %

1q g(1!

�o 11! q g(, ! � �

2#2./02 OU2 � #S g(, ! � g(, !

⇒

$ ≡ �% S � # � 1

1! p

11!

�#2./0 '(U �� 1p

1! �1# %

�#2./02 OU2 � % S g( � 1

# g(⇒

11!

�#2./0 '(U � $ � 1

# %�

#2./02 OU2


Tunneln von Cooper-Paaren: Josephson-Effekt

● Bei dünnen Barrieren können Cooper-Paare zwischen zwei Supraleitern tunneln.

■ Im Experimente können die Barrieren ● durch Oxidation

dünnes Oxid = Isolator

● oder durch eine Einschnürung „Constriction“, „Weak Link“

erzeugt werden.

Nobelpreis 1973



● DC-IV-Kennlinie eines asymmetrischen Josephsonkontakts, d.h. aus zwei Supraleitern unterschiedlicher Bandlücke:

■ Bei T=0 ist der Verlauf wie bei einem symmetrischen Kontakt aus einem Material der Bandlücke Eg=∆1+∆2

■ Bei T>0 entsteht ein lokales Maximum bei U = |∆1-∆2 |/e

Deutung im Quasiteilchen-Bild



● DC-IV-Kennlinie eines Blei-Blei Josephsonkontakts (Eg = 2.7 meV)

DC-Josephson-Effekt

Es fließt ein Supra-strom, ohne dass eine Spannung abfällt. U = 0!

Hängt von äußerer Beschaltung ab

Einteilchen-Tunneln setzt ein.

Suprastrom


● Zur Erklärung des Josephson-Suprastroms (Cooper-Paar Tunneln):

■ Ausgangspunkt ist, dass in den beiden Kontakten makroskopische Quanten-zustände vorliegen und die Stromdichte von einem eichinvarianten Phasen-gradienten (Ausdruck in der Klammer) abhängt:

Das Integral des eichinvarianten Phasengradienten über einen Weg senkrecht durch die Tunnelbarriere definiert eine Phasendifferenz ∆ϕ, mit welcher der Strom durch die Barriere beschrieben werden kann.


jsncp

ϕ

yy1 y2

x

yz

P1P2

Ψ g( � ./0exp nq g( '(U � #o./0� %q g( � #

op

� 9 � � 9J � v %q g( � #op

<

<�;�<�9

⇒ ∆� � q 92 � q 9J � 2�Φ

v �<�9<M

<�


● Zur Erklärung des Cooper-Paar Tunnelns (Josephson-Suprastroms):

■ Da der Tunnelkontakt nicht einfach zusammenhängend ist, ist die Phasen-differenz nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt. Als Konsequenz muss der Josephson-Strom 2π-periodisch in der Phasendifferenz sein:

■ Der Strom muss weiterhin bei Phasendifferenz ∆ϕ=0 verschwinden:

■ Bei schwacher Kopplung über die Tunnelbarriere überwiegt in der Regel der erste (n=1) Summand:

● Die Suprastromdichte über den Tunnelkontakt oszilliert mit der Phasendifferenz ∆ϕ zwischen den makroskopischen Wellenfunktionen der Supraleiter rechts und links vom Tunnelkontakt. Die Amplitude j1 ist dabei von der Stärke der Kopplung, also von der Tunnelwahrscheinlichkeit abhängig.


1. Josephson-Gleichung

OU � � O� sin .∆�|

��J� � ��̃ cos .∆�

|

��

OU � � O� sin .∆�|

��J

OU � OJ sin ∆�


● AC-Josephson-Effekt: Ist die Phasendifferenz ∆ϕ zeitabhängig, so ergibt sich ein Wechselstrom!

mit

ergibt sich:

und mit #$ � �% #S � � # Xp (eichinvariantes elektrisches Feld):

● Die Frequenz des AC-Josephson Stroms ist proportional zur Spannung U21

zwischen den Kontakten an der Tunneldiode:

mit

● Bei Spannungen im µV-Bereich liegen die Frequenzen im GHz-Bereich. Da man Frequenzen sehr genau messen kann, dient der AC-Josephson-Effekt als Spannungsnormal.


2. Josephson-Gleichung

symmetrischer Kontaktangenommen

1Δ�1! � 1q2

1! � 1qJ1! � #

ov1�<1! �9

2

J

1Δ�1! � #

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J

�o 11! q g(, ! � �

2#2./02 OU2 � #S g(, ! � g(, !

o 1Δ�1! � �#S2 � 2 � #SJ � J � #v 1�<1! �9

2

J

�J2 � #ov $�g(

2

J� #~2J

oOU ∝ sin �J2! � 2� ∙ 483MHz ∙ ~2JμV

s. Folie 285


λL λL

● Im Magnetfeld ändert sich die Phasendifferenz ∆ϕzwischen den beiden Kontakten. Insbesondere wird sie ortsabhängig: ∆ϕ= ∆ϕ(x,z) .

■ An der Tunnelbarriere bestimmt die eichinvariante Phasendifferenz ∆ϕ(x,z) zwischen linker und rechter Seite der Barriere die Stromdichte js= jcpsin[∆ϕ(x,z)].

■ Ohne Magnetfeld ist die Stromdichte durch unterschiedliche (x,z)-Punkte der Barriere gleich. Im Magnetfeld wird sie ortsabhängig:

Josephson-Kontakt im Magnetfeld

L2 R2

L1 R1

d

Für Punkte auf Ebenen senkrecht zur Stromrichtung gilt ∆ϕ=0: ·

∆�J � q(¦J) � q(§J) � #ov p�g(

x�4�

∆�2 � q(¦2) � q(§2) � #ov p�g(

xM4M

∆�2 � ∆�J � q ¦2 � q ¦J � q §2 � q(§J) � #ov p�g(

xM4M

� #ov p�g(

x�4�

q ¦2 � q ¦J � #\v p�g(

xMx�

q §J � q §2 � #\v p�g(

4�4M

∆�2 � ∆�J � #o�p�g(

x

yz

L1R1

L2R2�

×�


● Bei unserer Wahl des Koordinatensystems wird im Mag-netfeld die eichinvariante Phasendifferenz x-abhängig:

■ ∆ϕ1→ ∆ϕ(x) ; ∆ϕ2→ ∆ϕ(x+∆x)

■ Phasendifferenz und magnetischer Fluss:

● Stromdichte integrieren über die Kontaktfläche

Einzelner Josephson-Kontakt im Magnetfeld

Φ≈B·tLx

I0=j0 LzLx-3 -2 -1 0 1 2 3

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Φ/Φ0

Is,max

/I0

∆�(7¨∆7) � ∆�(7) � #o� ∙ !∆8

Φ 8 ≈ � ∙ !8; Φ � #\ ∆�(7) � �() � #

o� ∙ !8 � ∆� � 2�Φ(8)Φ

OU 8 � O ∙ sin ∆� � 2�Φ(8)Φ

uU � O ∙ §= v sin ∆� � 2� �!ª

8 �84«2

�4«2

uU � u sin Δ�sin � Φ

Φ� ΦΦ

uU,¬® � usin � ¯

¯� ¯¯

L2 R2

L1 R1

·∆x

t = d + 2λL

× �

Lx

Lz �


● Variation der Josephson-Suprastromdichte für 3 verschiedene Werte des magnetischen Flusses durch den Josephsonkontakt.

Einzelner Josephson-Kontakt im Magnetfeld

-3 -2 -1 0 1 2 3

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Φ/Φ0

Is,max

/I0

uU,¬® � usin � Φ

Φ� ΦΦ

I

021Φ=ΦK

Lx

Lz

I�

0Φ=ΦK

Lx

Lz

I

I

�

021Φ=ΦK

Lx

Lz

I

I

�


● Ein SQUID besteht aus einem supraleitenden Ring (Fläche A) der durch zwei Tunnelkontakte unterbrochen ist. Der Ring schließt den magnetischen FlußΦ=BAein. ■ der Josephson-Strom setzt sich aus zwei Komponenten

zusammen

■ Annahme: I1 = I2 = I0/2

● Man beobachtet ein oszillatorisches Verhalten des Stroms Is,max in Abhängigkeit vom B-Feld.

● SQUIDs sind sehr empfindliches Instrumente zur Messung von sehr kleinen Magnetfeldern, z. B. zur Messung der B-Felder von Gehirnströmen.

Josephson-Kontakt im Magnetfeld: SQUID

A

→I1

→I2

·

-3 -2 -1 0 1 2 3

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Φ/Φ0

I s,m

ax/I

0

�

uU � uJ sin ° � u2 ∙ sin ° � 2� ΦΦ

uU,¬® � u ∙ cos � ΦΦ

uU � u2 sin ° � � Φ

Φ� � Φ

Φ� sin ° � � Φ

Φ� � Φ

Φ� u ∙ sin ° � � Φ

Φ∙ cos � Φ

Φ


● Berücksichtigung der endlichen Ausdehnung der Josephsonkontakte: Zusätzliche Interferenz innerhalb der Kontakte des SQUIDs.

■ gewöhnlich ist die vom Ring eingeschlossene Fläche A um mehrere Größenordnungen größer als die Fläche tLx innerhalb der Kontakte. Der maximale Suprastrom oszilliert dann auf einer Feldskala von typische mG, während der kritische Strom der einzelnen Josephsonkontakte erst bei einigen G merklich abnimmt.

■ Beispiel für ein (relativ kleines) Flächenverhältnis A/(tLx) = 10: (Φ=B·tLx )

Josephson-Kontakt im Magnetfeld: SQUID

-2 -1 0 1 2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Φ/Φ0

Is,max

/I0

schnelle Oszillationen Einhüllende

Man beachte die Ähnlichkeit zur Interferenz am optischen Doppelspalt

uU,¬® � u ∙ cos � 10 ∙ ΦΦ∙sin � Φ

Φ� ΦΦ


Anwendungen der Supraleitung

● 1. Hohe Magnetfelder für die Forschung

■ Magnetfelder im Labor bis 35 T (Grenoble)

■ Supraleitende Ablenkmagnete: HERA, BESSY, CERN●Strahlführung, Detektormagnete, Wigglermagnete

● 2. Anwendungen in der Medizintechnik: Tomographen, NMR, MRI

■ Magnetfelder bis 2 T mit großem Durchmesser bis 1 m (in Planung 4 T)

● 3. Energietechnik

■ Generatoren mit supraleitenden Magneten (in Planung 70 MW)

■ Supraleitende Magnete als Energiespeicher

■ Einschlussmagnete für das Plasma in der Kernfusion

● 4. Magnetschwebebahnen

■ Shanghai (Transrapid)

■ Japan: Teststrecke zwischen Tokyo und Osaka: 500 km/h

Nuclear Magnetic

ResonanceMagnetic

Resonance Imaging



● 1. Computerbauelemente:

■ Mikroprozessoren, schnelle Speicherbausteine

■ Signalprozessoren, schnelle A/D-Wandler

■ Quantum bits?

● 2. Kommunikationstechnik:

■ planare Übertragungsleitungen bis 100 GHz, Filter

■ Detektoren, Mischer, Oszillatoren im GHz-Bereich

● 3. Messtechnik:

■ Magnetfeldsensoren (SQUIDs)

■ Spannungsstandard [Volt]

■ IR-Detektor (Bolometer)

● 4. Halbleiter-Supraleiter-Hybridelektronik

■ Supraleitende Chipverbindungen,

■ Josephsonfeldeffekttransistor (JoFET),

■ Super-Schottkydiode



● Josephson-Computer:

■ LSI-Technologie mit 1,5 µm-Strukturbreite,

■ Taktfrequenz bis 1 GHz in komplexen Bausteinen,

■ Schaltgeschwindigkeit von Logikgattern bis 100 GHz in einfachen Schaltungen (RSFQ-Logik)

1970 Beginn der Entwicklung von Josephsoncomputern in USA und Japan mit Pb-Kontakten

1983 IBM stellt Forschung an Josephsoncomputern ein, Japan forscht weiter und stellt auf Nb-Technologie um

1990 Der erste Josephson-Computer JC1-ETL vom Electrotechnical Laboratory (Japan):

4 Bit RISC-Prozessor, 1 GHz, 6.2 mW, 1kBit RAM,

1kBit ROM, 22 000 Josephsonkontakte


Weiterführende Literatur zur Supraleitung

● Lehrbücher:

■ Kapitel 34 in SSP, Kapitel 10 in KEF , Kapitel 10 und Tafeln IX und X in ILF , Kapitel 13 in GMF .

■ Werner Buckel, Reinhold Kleiner: Supraleitung (Wiley VCH, Weinheim 2004).

■ M. Tinkham: Introduction to Superconductivity(McGraw-Hill, NY 1975)

■ J.M. Ziman, Theory of Solids(Cambridge University Press, Cambridge 1986).

■ L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. IX (Akademie Verlag, Berlin 1980).

● Paper

■ High Temperature Superconductivity, Graduate Texts, ed. J.W. Lynn, Contemp. Phys. (Spröinger, Berlin 1990)

■ B.S. Deaver, W.M. Faibank, Phys. Rev. Lett. 7, 43 (1961); R. Doll, M. Näbauer: Phys Rev. Lett7, 51(1961).

■ B. D. Josephson, Phys. Lett. 1, 251 (1962).


Vertiefungsveranstaltungen WS 2014/2015

● Nanostrukturphysik I■ Themen s. z.B. 18. Kapitel in Ch. Kittel EFK (14. Auflage!)

oder Kap. 7.4 und 7.5 in R. Gross und A. Marx GMF■ Physik und Technologie nanostrukturierter Halbleiter■ Vertiefung im Masterstudiengang■ 4 SWS Vorlesung + 2 SWS Übungen im WS 2010/2011

● Festkörperphysik für Fortgeschrittene ■ Vorlesung (4+2 SWS) im WS 2014/2015

● Nanostrukturphysik II■ Vorlesung (4+2 SWS) im SoSe

Supraleitung Ch. Kittel: Einführung in die ...

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