SUSY-Partner des zweidimensionalen PT-symmetrischen ... · SUSY-Partner des zweidimensionalen PT...

SUSY-Partner des zweidimensionalenPT −symmetrischen Doppelmuldenpotentials

Bachelorarbeit vonPatric Rommel

21. August 2015

Prufer: Prof. Dr. Gunter Wunner

1. Institut fur Theoretische PhysikUniversitat Stuttgart

Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 11.1 Motivation und Einfuhrung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 PT -symmetrische Quantenmechanik 52.1 Hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . 52.2 Der PT -Operator und PT -Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Supersymmetrische Quantenmechanik 93.1 Eindimensionale Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpo-tential 214.1 Numerisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1 Entfernung des Grundzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 Entfernung des ersten angeregten Zustandes . . . . . . . . . . . . 284.2.3 Nahere Betrachtung der Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . 35

5 Zusammenfassung und Ausblick 43

Literaturverzeichnis 45

Danksagung 47

iii

1 Einleitung

1.1 Motivation und Einfuhrung in das Thema

Ein quantenmechanisches System heißt PT -symmetrisch, wenn es unter gleichzeitigerAnwendung des Paritatsoperators P und des Zeitumkehroperators T invariant bleibt.Das aussert sich darin, dass der dazugehorige Hamiltonoperator mit dem PT -Operatorkommutiert, [H,PT ] = 0. Ein solches System kann selbst dann noch reelle Eigenenergi-en haben, wenn man komplexwertige Potentiale zulasst. Ein komplexwertiges Potentialkann beispielweise fur eine effektive Beschreibung fur ein System mit Teilchengewinn und-verlust verwendet werden. Der PT -symmetrische Fall tritt dann auf, wenn die Gewinneund Verluste sich ausgleichen und ein stationarer Zustand vorhanden ist.

Einen vielversprechender Ansatz, ein solches PT -symmetrisches System tatsachlichphysikalisch zu verwirklichen, bieten Bose-Einstein-Kondensate in einem Doppelmul-denpotential, bei welchen in einer Mulde Atome in das System eingekoppelt und ausder anderen ausgekoppelt werden. Auch in der Optik gibt es Systeme, fur die einezur PT -symmetrischen Quantenmechanik aquivalente Beschreibung moglich ist. In PT -symmetrischen Systemen auftretende Effekte konnen hier auch fur technische Anwen-dungen dienlich sein. Beispielsweise kann man mit ihrer Hilfe unidirektionale Wellen-leiter realisieren [1]. Dieser Effekt tritt nur bei Systemen mit einer Kerr-Nichtlinearitatauf, welche ein in der Optik vorhandenes Pendant zur Gross-Pitaevskii-Nichtlinearitatdarstellt. Man kann zeigen, dass in einem System mit einer solchen Nichtlinearitat PT -gebrochene Zustande auftreten, die zu einer dynamischen Instabilitat fuhren [2, 3]. Wah-rend das fur die Anwendung in Wellenleitern ein gewunschter Effekt ist, schrankt er beiBose-Einstein-Kondensaten die Beobachtbarkeit von PT -symmetrischen Zustanden ein.Es ware daher im Experiment von Vorteil, wenn man diese Zustande entfernen konnte,ohne die anderen Zustande zu beeinflussen.

Eine Moglichkeit, aus einem Spektrum Energieniveaus zu entfernen, bietet der Super-symmetrieformalismus. In einer Dimension kann mit ihm zu einem gegebenen PotentialV ein Partnerpotential V (1) gefunden werden, das ein identisches Spektrum von Ener-gieeigenwerten aufweist, mit Ausnahme eines einzigen Niveaus. Dieses ist entfernt. EineVorraussetzung dafur ist allerdings, dass die zum entfernten Niveau gehorende Wel-lenfunktion keine Knoten hat. In der hermiteschen Quantenmechanik ist das unter nor-mierten Zustanden nur fur den Grundzustand moglich. Mit Hilfe der PT -symmetrischenQuantenmechanik kann man diese Einschrankung aber uberwinden, denn eine der Beson-derheiten von PT -symmetrischen Systemen ist es, dass angeregte Zustande nicht mehr

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1 Einleitung

notwendigerweise Knoten haben. Auf diese kann man also auch den Supersymmetriefor-malismus anwenden, und ein Partnerssystem finden, in dem die zu ihnen gehorenendeEnergie nicht im Spektrum vorhanden ist. Da das betrachtete Bose-Einstein-Kondensatein PT -symmetrisches System darstellt, konnte man also versuchen, auf diese Weise diestorenden Zustande zu entfernen, ohne das restliche Spektrum zu beeintrachtigen.

In zwei Dimensionen verkompliziert sich die Situation ein wenig. Man kann immernoch ein Partnersystem finden, in dem alle vorherigen Energieniveaus vorhanden sind,bis auf ein ausgewahltes, welches unter geeigneten Bedingungen entfernt ist. Es kommenjedoch auch zusatzliche Zustande hinzu, die keine Entsprechung im Ursprungssystemhaben [4]. Eine zusatzliche technische Schwierigkeit ergibt sich zudem daraus, dass dasPartnersystem in zwei Dimensionen ein matrixwertiges Potential mit vektorwertigenEigenzustanden besitzt.

In dieser Bachelorarbeit soll der Formalismus der Supersymmetrie nun auf ein zwei-dimensionales PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential angewand werden. Ziel ist es,zu untersuchen, ob es immer noch gelingt, den Grundzustand und insbesondere auchangeregte Zustande zu entfernen und welche Rolle die neu hinzukommenden Energieni-veaus spielen. Dazu wird hier ausschließlich die lineare Schrodingergleichung betrachtet,noch nicht die Gross-Pitaevskii-Gleichung.

1.2 Aufbau der Arbeit

Zu Beginn wird eine kurze Einfuhrung in die PT -symmetrische Quantenmechanik gege-ben, mit dem Ziel, die wichtigsten Eigenschaften, die fur diese Arbeit relevant sind, dar-zulegen. Anschließend wird der Supersymmetrieformalismus zunachst in einer Dimensioneingefuhrt und dann auf zwei Dimensionen erweitert. Dieser wird das Hauptwerkzeugsein, mit dessen Hilfe dann anschließend ausgehend vom angesetzten Doppelmulden-potential die supersymmetrischen Partnersysteme gefunden werden. Sowohl die Losungder Schrodingergleichung mit dem ursprunglichen Potential, als auch die Errechnung desPartnerpotentials wird numerisch erfolgen, ebenso wie die Losung der Schrodingerglei-chung im neuen System. Dazu wird ein bereits vorhandenes, auf einer Finite-Elemente-Methode basierendes Programm der Problemstellung angepasst. Nach der Einfuhrung indie Grundlagen des Themas wird daher kurz erlautert, wie die Schrodingergleichung miteinem Matrixpotential fur eine numerische Losung in die Form eines verallgemeinertenEigenwertproblems gebracht werden kann.

Schließlich wird der Formalismus der Supersymmetrie konkret auf den Grundzustandund den ersten angeregten Zustand im Doppelmuldenpotential angewandt. Es wird sichzeigen, dass es tatsachlich fur beide Falle gelingt, ein Partnerspektrum zu finden, indem das entsprechende Energieniveau fehlt. Diese Ergebnisse werden zusammen mitden Wellenfunktionen und Potentialen graphisch prasentiert. Anschließend wird noch in

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1.2 Aufbau der Arbeit

einem kleinen Abschnitt die Form der alten und neuen Wellenfunktionen analysiert undverglichen.

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2 PT -symmetrische Quantenmechanik

2.1 Hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik

In der herkommlichen Quantenmechanik werden Observablen durch hermitesche Opera-toren reprasentiert. Ein messbarer Wert der Observablen ist dann ein Eigenwert diesesOperators. Sei also zum Beispiel A eine Observable und A der zugehorige Operator. DerOperator heißt hermitesch, wenn

A† = A . (2.1)

Dies hat unmittelbar zur Folge, dass das Spektrum von A vollstandig reell ist. Denn seiAi ein Eigenwert von A zum normierten Eigenzustand |ψ〉, 〈· |· 〉 das Skalarprodukt desHilbertraumes, dann ist:

Ai = 〈ψ|Aψ〉 = 〈A†ψ|ψ〉 = 〈Aψ|ψ〉 = Ai ⇒ Ai ∈ R . (2.2)

An typischen Observablen wie beispielsweise der Energie oder des Impulses lasst sicherkennen, dass nur reelle Wert als Ergebnisse von Messprozessen Sinn ergeben. Daherist es sinnvoll, von Anfang an zu fordern, dass zu Observablen gehorige Operatoren her-mitesch sind. So ist sichergestellt, dass die Quantenmechanik fur Messergebnisse immerreelle Zahlen vorhersagt. Auf eine andere Moglichkeit dieses Verhalten zu erzwingen wirdim folgenden Abschnitt eingegangen.

2.2 Der PT -Operator und PT -Symmetrie

Im Folgenden soll eine knappe Einfuhrung in die Grundlagen der PT -symmetrischenQuantenmechanik gegeben werden. Der Abschnitt orientiert sich an den entsprechendenKapiteln in [5, 6]. Auf diese sei auch fur eine etwas ausfuhrlichere Beschreibung mitphysikalischer Interpretation verwiesen.

Der Paritatsoperator P soll bei Anwendung auf einen quantenmechanischen Zustandden am Ursprung des Orts- und des Impulsraumes gespiegelten Zustand liefern:

Pψ(x, t) = ψ(−x, t) , (2.3)

Pψ(p, t) = ψ(−p, t) . (2.4)

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Sei |x〉 ein Eigenzustand des Ortsoperators x zum Eigenwert x und |p〉 ein Eigenzustanddes Impulssoperators p zum Eigenwert p. Dann lasst sich die Wirkung des Paritatsope-rators auch mit

P|x〉 = | − x〉 , (2.5)

P|p〉 = | − p〉 , (2.6)

ausdrucken.

Der Zeitumkehroperator T soll lediglich fur eine Spiegelung im Impulsraum sorgen,im Ortsraum bleibt der Zustand unverandert:

T |x〉 = |x〉 , (2.7)

T |p〉 = | − p〉 . (2.8)

Es ist sofort ersichtlich, dass beide Operatoren selbstinvers sind. Zunachst wird dasKommutatorverhalten mit Orts- und Impulsoperator untersucht,

(Px + xP) |x〉 = x| − x〉 − x| − x〉 = 0 . (2.9)

Es gilt also die Antikommutatorrelation {P , x} = 0. Analog zeigt man auch:

{P , p} = 0 , (2.10)

{T , p} = 0 , (2.11)

[T , x] = 0 . (2.12)

Hierbei ist [· , · ] der Kommutator. Hieraus lasst sich eine wichtige Eigenschaft des Zeit-umkehroperators folgern; hierzu wird [x, p] = i~ verwendet:

T i~T = T (xp− px)T = T xpT − T pxT = −xpT T + pxT T = − [x, p] = −i~ . (2.13)

Der Zeitumkehroperator bewirkt also eine komplexe Konjugation. Der Zusammenhangmit der Zeit wird bei Betrachtung des Zeitentwicklungsoperators U(t1, t2) klar, welcherden Ubergang zwischen den beiden Zeitpunkten t1 und t2 vermittelt. Fur nicht explizit

von der Zeit abhangige Systeme lautet er U(t1, t2) = exp(− i

~

∫ t2t1Hdt

). Die komplexe

Konjugation kann hier als Umkehrung des Zeitverlaufes interpretiert werden.

Paritats- und Zeitumkehroperator lassen sich nun zum PT -Operator verbinden. SeineAuswirkungen auf Ort und Impuls sind wie folgt:

PT |x〉 = |x〉 , (2.14)

PT |p〉 = | − p〉 . (2.15)

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2.2 Der PT -Operator und PT -Symmetrie

Insgesamt bewirkt er eine Spiegelung im Ortsraum bei gleichzeitiger komplexer Konju-gation. Fur ihn ergeben sich folgende Kommutator- und Antikommutatorrelationen:

{PT , p} = 0 , (2.16)

[PT , x] = 0 . (2.17)

(2.18)

Der PT -Operator ist wie der Paritatsoperator und der Zeitumkehroperator ebenfallsselbstinvers. Damit lassen sich Eigenschaften moglicher Eigenwerte des Operators unter-suchen. Hierzu sei |ψ〉 ein Eigenzustand zum Eigenwert λ, dann folgt

|ψ〉 = PT PT |ψ〉 = λPT |ψ〉 = |λ|2|ψ〉 ⇒ |λ|2 = 1 . (2.19)

Es sind also alle Eigenwerte des PT -Operators von der Form λ = eiφ mit φ ∈ [0, 2π). Furφ = 0 bleibt der Zustand invariant unter Anwendung des PT -Operators. Er wird dannals exakt PT -symmetrisch bezeichnet. Aufgrund der freien Wahl der globalen Phase inder Quantenmechanik kann jeder Eigenzustand stets als exakt PT -symmetrisch gewahltwerden. Sei also |ψ〉 wieder Eigenzustand wie oben zum Eigenwert λ = eiφ. Betrachte

den Zustand |ψ〉 = eiφ2 |ψ〉. Dann ist

PT |ψ〉 = PT eiφ2 |ψ〉 = e−i

φ2PT |ψ〉 = e−i

φ2 eiφ|ψ〉 = |ψ〉 ,

|ψ〉 ist also exakt PT -symmetrisch.Ein quantenmechanisches System heißt PT -symmetrisch, wenn der Hamiltonoperator

mit dem PT -Operator vertauscht, [H,PT

]= 0 . (2.20)

Das ist eine Bedingung an das Potential,[H,PT

]= 0

HPT = PT Hp2

2mPT + V (x)PT = PT p2

2m+ PT V (x)

PT p2

2m+ PT V (−x) = PT p2

2m+ PT V (x) .

Es folgt alsoV (x) = V (−x) . (2.21)

Die Bedingung ist aquivalent dazu, dass Realteil des Potentials eine gerade und Imagi-narteil des Potentials eine ungerade Funktion ist.

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3 SupersymmetrischeQuantenmechanik

Mit Hilfe des Sypersymmetrieformalismuses ist es moglich, zu einem quantenmechani-schen System ein oder mehrere Partnersysteme zu finden, sodass ein enger Zusammen-hang zwischen den jeweiligen Spektren besteht. Im Folgenden soll nun zuerst dieser For-malismus im Fall eines eindimensionalen Quantensystems eingefuhrt werden. Anschlie-ßend wird er auf zweidimensionale Systeme ausgedehnt. Der Aufbau dieses Abschnittesorientiert sich an [4].

3.1 Eindimensionale Supersymmetrie

Im eindimensionalen Fall ist es stets moglich, zu einem gegeben Potential ein Partner-potential zu finden, sodass entweder die Spektren der Systeme identisch sind, ein neuesGrundzustandsenergieniveau zum Spektrum hinzukommt oder die alte Grundzustands-energie fehlt.

Hierzu betrachte man einen eindimensionalen Hamiltonoperator H mit Potential V (x).Sei ψS eine beliebige, nicht notwendigerweise normierbare Eigenfunktion von H zumEigenwert ES. ψS erfullt dann die Eigenwertgleichung

− ∂2

∂x2ψS(x) + V (x)ψS(x) = ESψS . (3.1)

Unter der essentiellen Bedingung, dass ψS keinen Knoten besitzt, lasst sich diese Glei-chung nun nach dem Potential auflosen. Man erhalt

V (x) =1

ψS(x)

∂2ψS(x)

∂x2+ ES . (3.2)

Hiermit lasst nun der Hamiltonoperator umschreiben,

H = − ∂2

∂x2+

1

ψS(x)

∂2ψS(x)

∂x2+ ES , (3.3)

und in eine faktorisierte Form bringen. Dazu fuhrt man folgende Operatoren ein:

Q+ = − ∂

∂x+∂χ

∂x, (3.4)

Q− =∂

∂x+∂χ

∂x, (3.5)

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3 Supersymmetrische Quantenmechanik

mit χ = − ln(ψS). Die faktorisierte Form lautet:

H = Q+Q− + ES . (3.6)

Fur die neu eingefuhrten Operatoren gilt

[Q+, Q−

]=

∂2

∂x2χ , (3.7)

und fur hermitesche Systeme: Q+ = Q−†. (3.8)

Der Hamiltonoperator des Partnersystems lautet:

H(1) = Q−Q+ + ES . (3.9)

Es gelten folgende Vertauschungsrelationen zwischen den Hamiltonoperatoren H undH(1):

H(1)Q− = Q−H , (3.10)

HQ+ = Q+H(1) . (3.11)

Mit diesen lasst sich der enge Zusammenhang der beiden Spektren zeigen. Sei dazu ψeine Eigenfunktion des Hamiltonoperators H des Ausgangsystems zum Eigenwert E.Fur Q−ψ 6= 0 gilt dann

H(1)Q−ψ = Q−Hψ = Q−Eψ = EQ−ψ . (3.12)

Wie zu erkennen ist, muss also Q−ψ Eigenfunktion des neuen Hamiltionoperators sein,und zwar mit dem gleichen Eigenwert E. Umgekehrt gilt nun fur die Eigenfunktion ψ(1)

des Partnersystems H(1) zum Eigewert E(1)

HQ+ψ(1) = Q+H(1)ψ(1) = Q+E(1)ψ(1) = E(1)Q+ψ(1). (3.13)

Wie oben ist also Q+ψ(1) Eigenzustand von H zum Eigenwert E(1), sofern er nichtverschwindet. Fur die Normierung erhalt man

〈Q−ψ|Q−ψ〉 = 〈ψ|Q+Q−|ψ〉 = 〈ψ|H − ES|ψ〉 = E − ES , (3.14)

beziehungsweise

〈Q+ψ(1)|Q+ψ(1)〉 = 〈ψ(1)|Q−Q+|ψ(1)〉 = 〈ψ(1)|H(1) − ES|ψ(1)〉 = E(1) − ES . (3.15)

Hierzu wurde angenommen, dass ψ und ψ(1) normiert sind. Die Normierbarkeit ist alsofur E > ES und E(1) > ES gewahrleistet. Bei Gleichheit verschwindet der jeweilige Bild-zustand. Wahlt man also fur ES eine Energie, die niedriger als die Grundzustandsenergieist, dann wird das normierbare Spektrum im Partnerpotential vollstandig reproduziert

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3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen

und die Eigenwerte sind in beiden Systemen identisch. Das ist nur moglich, wenn ψSselbst nicht normierbar ist. Wahlt man den Grundzustand, so stimmen zumindest alleangeregten Zustande in beiden Systemen uberein. Es ist auch zu erkennen, dass keineEnergie gewahlt werden kann, die großer als die Grundzustandsenergie ist. Fur einenmoglichen Zustand im Partnersystem zur Energie ES folgt aus Gleichung (3.15):

|Q+ψ(1)|2 = 0⇒ Q+ψ(1) = 0 ,

(− ∂

∂x+∂χ

∂x)ψ(1) = 0 .

Dies ist eine lineare Differenzialgleichung. Mit χ = − ln(ψS) folgt fur die Losung ψ(1) =A ·ψ−1S mit einer reellen Konstante A. Es kann also nur jeweils einer der beiden Zu-stande normierbar sein. Wird fur ψS der normierbare Grundzustand im Ausgangssys-tem gewahlt, dann ist er im Partnersystem entfernt. Man kann also auf diese Weiseein Partnerspektrum finden, welches mit dem ursprunglichen bis auf Abwesenheit derGrundzustandsenergie vollstandig ubereinstimmt.


In zwei Dimensionen ist das Vorgehen ahnlich. Sei ψS wieder ein Eigenzustand zumEigenwert ES. Wieder muss ψS nicht notwendigerweise normierbar sein, darf aber keinenKnoten haben. Dann kann die Eigenwertgleichung wieder umgeformt werden,

ESψS(x, y) = −∆ψS(x, y) + V (x, y)ψS(x, y)

= − ∂2

∂x2ψS(x, y)− ∂2

∂y2ψS(x, y) + V (x, y)ψS(x, y) .

Wieder lasst sich nach dem Potential auflosen. Man erhalt

V (x, y) =1

ψS(x, y)

∂2

∂x2ψS(x, y) +

1

ψS(x, y)

∂2

∂y2ψS(x, y) + ES . (3.16)

Damit lassen sich nun wieder neue Operatoren definieren,

Q+1 = − ∂

∂x+∂χ

∂x, (3.17)

Q+2 = − ∂

∂y+∂χ

∂y, (3.18)

Q−1 =∂

∂x+∂χ

∂x, (3.19)

Q−2 =∂

∂y+∂χ

∂y, (3.20)

mit χ = − ln(ψS) . (3.21)

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Es gilt fur hermitsche Hamiltonoperatoren wieder

Q+l†

= Q−l , (3.22)

(3.23)

wobei l = 1, 2. Hiermit nimmt der Hamiltonoperator H wieder faktorisierte Form an,

H = Q+l Q−l + ES . (3.24)

Hierbei und fur den restlichen Abschnitt wird die Summenkonvention benutzt. Im Un-terschied zum eindimensionalen Fall ist der Partner-Hamiltonian ein Matrixoperator:

H(1)lm = Hδlm + [Q−l , Q

+m] . (3.25)

Es gilt[Q−l , Q

+m] = 2∂l∂mχ , (3.26)

wobei ∂1 = ∂∂x

und ∂2 = ∂∂y

. Damit lasst sich fur das Partnersystem ein matrixwertigesPotential angeben,

V(1)lm (x, y) = V (x, y)δlm + 2∂l∂mχ(x, y) . (3.27)

Das heißt auch, dass Wellenfunktionen im neuen System vektorwertig mit zwei Eintragensind. Die Norm des Vektors ist durch die Summe der Normen der Eintrage gegeben. Seiψ

(1)l mit l = 1, 2 der Eintrag der Wellenfunktion mit Index l, wobei ψ(1) Eigenzustand

des neuen Hamiltonoperators zur Energie E(1) ist. Die Eigenwertgleichung hat dann dieForm

H(1)lmψ

(1)m = E(1)ψ

(1)l . (3.28)

Die Hamiltonoperatoren erfullen wieder ahnliche Vertauschungsrelationen wie im Eindi-mensionalen

H(1)lmQ

−m = Q−l H , (3.29)

HQ+l = Q+

mH(1)ml . (3.30)

Sei ψ Eigenzustand im ursprunglichen System zum Eigenwert E.

HQ+l ψ

(1)l = Q+

mH(1)mlψl = Q+

mE(1)ψm = E(1)Q+

mψm . (3.31)

H(1)lmQ

−mψ = Q−l Hψ = Q−l Eψ = EQ−l ψ . (3.32)

Anwendung der neu eingefuhrten Operatoren ermoglicht es also wieder, im jeweils an-deren System Partnerzustande mit der selben Energie zu finden. Zunachst wird derZustand, welcher aus ψ gewonnen wird, untersucht.

〈Q−l ψ|Q−l ψ〉 = 〈ψ|Q+

l Q−l |ψ〉 = 〈ψ|H − ES|ψ〉 = E − ES . (3.33)

12


Wieder folgt, dass alle Zustande mit großeren Energien als ES im Partnerpotential repro-duziert werden. Fur E = ES folgt, dass Q−l ψ = 0. Wahlt man eine Energie, die kleiner

als die Grundzustandsenergie ist, so wird das gesamte Spektrum von H im Spektrumvon H(1) reproduziert. Nimmt man den Grundzustand, so sind alle angeregten Energiendes Ursprungssystem vorhanden. Allerdings sind in beiden Fallen noch weitere Energienvorhanden, die kein Gegenpart im Ursprungsspektrum haben. Es gibt ein weiteres Part-nersystem mit Hamiltonoperator H(2), dem diese Zustande zugeordnet werden konnen,

H(2) = Q−l Q+l + ES = H + 2∆χ . (3.34)

Im Gegensatz zu H(1) ist sein Potential skalar,

V (2)(x, y) = V (x, y) + 2∆χ(x, y) . (3.35)

Auch fur die beiden Hamiltonoperatoren H(1) und H(2) gelten wieder Vertauschungsre-lationen. Hierfur definiert man die neuen Operatoren

P+l = εlkQk

− und P−l = εlkQk+ , (3.36)

mit

εlk =

1 falls (l k) gerade Permutation von (1 2) ,

−1 falls (l k) ungerade Permutation von (1 2) ,

0 sonst .

(3.37)

Die Vertauschungsrelationen haben wieder die selbe Form wie in den vorherigen Fallen,

H(1)mlP

+l = P+

mH(2) , (3.38)

H(2)P−l = P−l H(1)lm . (3.39)

Sei ψ(2) Eigenfunktion von H(2) zum Eigenwert E(2). Es folgt wie oben, dass P+l ψ

(2)

Eigenfunktion von H(1) zum Eigenwert E(2) ist, sofern P+l ψ

(2) 6= 0. Ebenso ist P−l ψ(1)l

Eigenfunktion von H(2) mit Eigenwert E(1), falls es nicht verschwindet. Fur P+l ψ

(2) giltzusatzlich:

Q−l P+l ψ

(2) = εlkQ−l Q−k ψ

(2) = −εklQ−l Q−k ψ

(2)

= εklQ−kQ−l ψ

(2) = εklQ−l Q−k ψ

(2) .

⇒ Q−l P+l ψ

(2) = 0 . (3.40)

Man sieht, dass die zusatzlichen Zustande in H(1), die aus dem Spektrum von H(2)

stammen, auf 0 abgebildet werden und keinen Bildzustand im Spektrum von H haben.

13


Um den genauen Zusammenhang zwischen den Spektren von H, H(1) und H(2) zuverdeutlichen, wird H(1) in eine neue Form gebracht,

H(1)mn = Hδmn + [Q−m, Q

+n ] = Q+

l Q−l δmn + ESδmn +Q−mQ

+n −Q+

nQ−m

= Q−mQ+n + ESδmn +Q+

l Q−l δmn −Q

+nQ−m

= Q−mQ+n + ESδmn + εmkεnaQ

+kQ−a

= Q−mQ+n + ESδmn + P−mP

+n .

Mit

Hmn = Q−mQ+n (3.41)

und

Hmn = P−mP+n (3.42)

erhalt man die FormH(1) = H + H + ES ·E . (3.43)

Fur die Operatoren H und H gilt:

(HH)mn = HmaHan

= Q−mQ+a P−a P

+n

= Q−mQ+a εalQl

+εnkQk−

= εalεnkQ−mQ

+aQl

+Qk− = −εlaεnkQ−mQ+

aQ+l Q−k

= εlaεnkQ−mQ

+l Q

+aQ−k = εlaεnkQ

−mQ

+aQ

+l Q−k

⇒ HH = 0 . (3.44)

Analog folgt auchHH = 0 . (3.45)

Beide Operatoren konnen als neue Hamiltonian verstanden werden. Sie sind wiederMatrixoperatoren und haben vektorwertige Eigenfunktionen. Sei im Folgenden stets ΨEigenfunktion von H zum Eigenwert E und ψ Eigenfunktion vonH zum Eigenwert E. Istdie Eigenenergie eines Zustandes von einem Operator nicht Null, so ist sie automatischNull beim jeweils anderen:

0 = HHψ = EHψ

⇒ Hψ = 0 . (3.46)

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Analog dazu auchHΨ = 0 . (3.47)

Es lasst sich nun zeigen, dass fur E(1) 6= ES jeder Eigenvektor von H(1) als Summevon Eigenvektoren von H und H zum Eigenwert E(1)−ES geschrieben werden kann. Seidazu die Eigenwertgleichung:

(E(1) − ES)ψ(1) = (H(1) − ESE)ψ(1) = Hψ(1) + Hψ(1) .

Es folgt:

ψ(1) =1

E(1) − ESHψ(1) +

1

E(1) − ESHψ(1) . (3.48)

Gleichung (3.44) impliziert gleichzeitig:

H(E(1) − ES)ψ(1) = H(Hψ(1) + Hψ(1)) = HHψ(1) (3.49)

⇒ H(Hψ(1)) = (E(1) − ES)(Hψ(1)) . (3.50)

Ebenso folgt aus (3.45):

H(Hψ(1)) = (E(1) − ES)(Hψ(1)) . (3.51)

Abgesehen von moglichen Zustanden mit E(1) = ES ist also jeder Eigenzustand vonH(1) eine Linearkombination von Eigenzustanden von H+ESE und H+ESE zur selbenEnergie.

Im folgenden Abschnitt sei ˆH = H−ES, ˆH(1) = H(1)−ES und ˆH(2) = H(2)−ES. DieBezeichnungen der zugehorigen Eigenzustande seien wie bisher, da die Wellenfunktionendurch eine solche Energieverschiebung unverandert bleiben. Damit wird Gleichung (3.43)zu

ˆH(1) = H + H. (3.52)

Alternativ konnte man ES = 0 setzen.

Die neuen Hamiltonoperatoren erfullen getrennt Vertauschungsrelationen mit den

Operatoren ˆH und ˆH(2):

HlmQ−m = Q−l

ˆH , (3.53)

ˆHQ+l = Q+

mHml , (3.54)

und

HlmP−m = P−l

ˆH(2) , (3.55)

ˆH(2)P+l = P+

mHml . (3.56)

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Analog zu allen vorherigen Fallen auch, erhalt man wieder:

HlmQ−mψ = (E − ES)ψ , (3.57)

ˆHQ+l Ψl = EQ+

l Ψl , (3.58)

HlmP−mψ

(2) = (E(2) − ES)P−l ψ(2) , (3.59)

ˆH(2)P+l ψl = EP+

l ψl . (3.60)

Sofern die neuen Zustande Q−mψ, Q+l Ψl, P

−mψ

(2) und P+l ψl nicht verschwinden, sind es

also Eigenfunktionen.

Zunachst wird untersucht, wann Q−mψ = 0, m = 1, 2 gilt,

Q−mψ = 0 ,

∂mψ + ∂mχψ = 0 .

Wenn die Differenzialgleichung fur m = 1 und m = 2 erfullt sein soll und die Losungnormierbar, so erhalt man

ψ = ψS . (3.61)

Das bedeutet, dass lediglich das Bild des Zustandes im Spektrum von H(1) nicht auf-taucht, der zur Faktorisierung verwendet wurde. Wahlt man den Grundzustand, so sindalle angeregten Zustande vorhanden, der Grundzustand fehlt hingegen. Mit dem gleichenVorgehen ermittelt man auch, dass P−mψ

(2) = 0, m = 1, 2 gilt, wenn

ψ(2) ∝ ψ−1S . (3.62)

Ein solcher Zustand kann nicht normierbar sein, wenn ψS normierbar ist. In diesem Fall

sind also stets alle Energien aus den Spektrum von ˆH(2) auch Eigenwerte von H. Wiesieht es umgekehrt aus? Hierzu zunachst im Fall von H: Aus

Q+mΨm = 0

folgt sofort

Q−l Q+mΨm = 0 l = 1 , 2⇒ HΨ = 0 . (3.63)

Das heißt, lediglich fur HΨ = 0 hat Ψ keinen Bildzustand in ˆH. Analog gilt

P+m ψm = 0 ⇒ Hψ = 0 , (3.64)

mit den gleichen Folgen.

16


Geht man von einem normierten Spektrum des Hamiltonoperators ˆH(2) aus, so erhaltman fur die Bildzustande:

2∑l=1

|P−l ψ(2)|2 = 〈P−l ψ

(2)|P−l ψ(2)〉

= 〈ψ(2)|P+l P

−l |ψ

(2)〉= 〈ψ(2)|εlkεlmQ−kQ

+m|ψ(2)〉

= 〈ψ(2)|Q−mQ+m − ES|ψ(2)〉

= 〈ψ(2)|H(2) − ES|ψ(2)〉 = E(2) − ES .

Der Zustand ist also fur E 6= ES normierbar. Fur E(2) = ES verschwindet er. Dies re-produziert das Ergebnis von (3.33) fur das zweite Partnerpotential. Unter Verwendungder zuvor hergeleiteten Relationen zwischen H, H und H(1) erhalt man, dass das nor-mierte Spektrum von H(1) die normierten Spektren des ursprunglichen Systems H unddes zweiten Partners H(2) vollstandig enthalt, mit einer moglichen Ausnahme von ES.

Bleibt die Frage, ob H(1) Eigenenergien zu normierten Zustanden hat, die weder imSpektrum von H noch im Spektrum von H(2) auftauchen. Hierzu wird zunachst unter-sucht, was die Norm der Bildzustande von normierten Eigenzustanden aus H und Hist:

〈Q+l Ψl|Q+

mΨm〉 = 〈Ψl|Q−l Q+m|Ψm〉 = 〈HlmΨm〉 = E〈Ψl|Ψl〉 = E . (3.65)

Analog erhalt man fur H

〈P+l ψl|P

+m ψm〉 = E . (3.66)

Die Bildzustande sind also normierbar, wenn die Energien nicht Null sind. Da alle Ei-genzustanden von H(1) mit Energien verschieden von ES als Linearkombination vonEigenzustanden von H+ESE und H+ESE geschrieben werden konnen, folgt, dass alleEnergieniveaus E(1) 6= ES eins zu eins mit Energieniveaus aus H oder H(2) ubereinstim-men.

Abschließend muss noch untersucht werden, inwiefern Zustande mit E(1) = ES eineRolle spielen. Fur einen solchen Zustand muss gelten:

Hψ(1) + Hψ(1) = 0 . (3.67)

Linksseitige Anwendung von H beziehungsweise H ergibt zusammen mit Gleichungen(3.44) und (3.45)

HHψ(1) = 0 , (3.68)

HHψ(1) = 0 . (3.69)

17


Es folgt, dass sowohl Q+l ψ

(1)l als auch P+

l ψ(1)l beide verschwinden, hier am Beispiel von

Q+l ψ

(1)l . Die Rechnung fur P+

l ψ(1)l ist analog.

〈Hψ(1)|Hψ(1)〉 = 〈ψ(1)|HHψ(1)〉 = 0

⇒ Hψ(1) = 0 .

〈Q+l ψ

(1)l |Q

+mψ

(1)m 〉 = 〈ψ(1)|Q−l Q

+m|ψ(1)

m 〉 = 〈ψ(1)|Hlmψ(1)m 〉 = 0

⇒ Q+l ψ

(1)l = 0 .

Das ergibt zwei Differenzialgleichungen:

0 = Q+l ψ

(1)l = −∂1ψ(1)

1 + ∂1χψ(1)1 − ∂2ψ

(1)2 + ∂2χψ

(1)2 (3.70)

und

0 = P+l ψ

(1)l = Q−2 ψ

(1)1 −Q−1 ψ

(1)2 = ∂2ψ

(1)1 + ∂2χψ

(1)1 − ∂1ψ

(1)2 − ∂1χψ

(1)2 . (3.71)

Man setzt an (vergleiche [7]):

∂1ψ(1)1 = ∂1χψ

(1)1 , (3.72)

∂2ψ(1)1 = −∂2χψ(1)

1 , (3.73)

∂1ψ(1)2 = −∂1χψ(1)

2 , (3.74)

∂2ψ(1)2 = ∂2χψ

(1)2 . (3.75)

An dieser Stelle fuhrt man die Große χ ein, sodass

∂1χ = −∂1 lnψS , (3.76)

∂2χ = ∂2 lnψS . (3.77)

Das ist moglich, falls ψS(x, y) = ψxS(x) ·ψyS(y). Man erhalt, dass

χ = − ln(ψS) + Cy , (3.78)

χ = ln(ψS) + Cx . (3.79)

Mit Funktionen Cx und Cy, die nur von x respektive y abhangen. Ist ψS normiert, dannfolgt aus (3.78) und (3.79) fur ein festes y beziehungsweise x,

χ→ +∞ fur x→ ±∞ , (3.80)

χ→ −∞ fur y → ±∞ . (3.81)

18


Fur die Losungen der Gleichungen (3.73) bis (3.75) erhalt man:

ψ(1)1 = C1 · exp(χ) , (3.82)

ψ(1)2 = C2 · exp(−χ) , (3.83)

wobei C1 und C2 reelle Konstanten sind. Mit (3.80) und (3.81) kann keine der beidenKomponenten normierbar sein.

Man erhalt nun insgesamt das Ergebnis, dass das Spektrum von H(1) gerade die Ver-einigung der Spektren von H und H(2) ist, lediglich der Zustand zur Energie ES taucht,zumindest unter gewissen Bedingungen, nicht auf.

19

4 Anwendung des Formalismus auf einPT -symmetrischesDoppelmuldenpotential

Aus den Ausfuhrungen im Kapitel zur Supersymmetrie folgt, dass der Formalismusnur fur Zustande anwendbar ist, die hochstens die Grundzustandsenergie haben. DieseSchlussfolgerung ist jedoch nur gewahrleistet, solange der verwendete Hamiltonoperatorhermitesch ist. Ist das nicht der Fall, so gelten (3.8) und (3.23) nicht mehr. Dies hatzur Folge, dass die Umformungen in (3.14), (3.15) beziehungsweise (3.33) und (3.65)nicht mehr moglich sind. Ausserdem kann es dann auch angeregte Zustande geben, diekeine Knoten besitzten. Beispielsweise wurde in [8] gezeigt, dass der erste angeregteZustand eines PT -symmetrischen Doppel-δ-Potentials knotenfrei ist. Das eroffnet dieMoglichkeit, den Formalismus auch auf angeregte Zustande anzuwenden und zu versu-chen ein Partnersystem zu finden, in welchem diese fehlen. Wie in [5, 8] gezeigt, istdas in einer Dimension fur ein PT -symmetrisches Doppel-δ-Potential tatsachlich mog-lich. Im folgenden Abschnitt soll der Fall eines zweidimensionalen PT -symmetrischenDoppelmuldenpotentials betrachtet werden.

4.1 Numerisches Vorgehen

Fur die Numerik wurde ein bestehendes Programm zur Losung der Schrodingergleichungangepasst. Das Programm basiert auf einer Finiten-Elemente-Methode. Betrachte dieSchrodingergleichung fur einen Hamiltonoperator mit einem matrixwertigen PotentialV (1):

H(1)lmψ

(1)m = E(1)ψ

(1)l . (4.1)

Man erhalt zwei Gleichungen:

−∆ψ(1)1 + V

(1)1mψ

(1)m = E(1)ψ

(1)1 , (4.2)

−∆ψ(1)2 + V

(1)2mψ

(1)m = E(1)ψ

(1)2 . (4.3)

Man setzt fur ψ(1) eine Linearkombination von BSpline-Basisfunktionen {ui} mit denKoeffizienten {ci} an:

ψ(1)l =

n∑i=1

cliui . (4.4)

21

4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential

Einsetzen in die Schrodingergleichungen ergibt:

−∆n∑i=1

c1iui + V(1)1m

n∑i=1

cmi ui − E1

n∑i=1

c1iui = 0 , (4.5)

−∆n∑i=1

c2iui + V(1)2m

n∑i=1

cmi ui − E1

n∑i=1

c2iui = 0 . (4.6)

Fur eine Naherungslosung soll das Skalarprodukt mit einer beliebigen Basisfunktion ujverschwinden:

n∑i=1

(∫ujc

1i (−∆ui)dV +

∫cmi V

(1)1m ujuidV − E1

∫c1iujuidV

)= 0 , (4.7)

n∑i=1

(∫c2iuj(−∆ui)dV +

∫cmi V

(1)2m ujuidV − E1

∫c2iujuidV

)= 0 . (4.8)

Mit partieller Integration erhalt man, da die BSplines an den Randern verschwinden:

n∑i=1

(∫∇uj∇uidV c1i +

∫V

(1)1m ujuidV c

mi − E1

∫ujuidV c

1i

)= 0 , (4.9)

n∑i=1

(∫∇uj∇uidV c2i +

∫V

(1)2m ujuidV c

mi − E1

∫ujuidV c

2i

)= 0 . (4.10)

Dies lasst sich in eine verallgemeinerte Eigenwertgleichung fur den Vektor (c11...c1nc

21...c

2n)

umformen. Dazu sei:

Hij =

∫∇ui∇ujdV fur i, j ≤ n∫∇ui−n∇uj−ndV fur i, j > n

0 sonst ,

, (4.11)

Vij =

∫V

(1)11 uiujdV fur i, j ≤ n∫V

(1)12 ui−nuidV fur i > n und j ≤ n∫V

(1)21 uiuj−ndV fur i > n und j ≤ n∫V

(1)22 ui−nuj−ndV fur i, j ≤ n

, (4.12)

Mij =

∫uiujdV fur i, j ≤ n∫ui−nuj−ndV fur i, j > n

0 sonst

. (4.13)

Damit erhalt man die Gleichung

(Hij + Vij)cj = E(1)Mijcj , j = 1, ..., 2n . (4.14)

22

4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential

Diese verallgemeinerte Eigenwertgleichung lasst sich numerisch losen und auf diese Weisekonnen die Eigenzustande der matrixwertigen Partnertpotentiale V (1) und V (2) unter-sucht werden. Dazu verwendet man die Formeln (3.27) und (3.35),

V(1)lm (x, y) = V (x, y)δlm + 2∂l∂mχ(x, y) ,

V (2)(x, y) = V (x, y) + 2∆χ(x, y) .

Hierbei ist χ = − ln(ψS), wobei ψS die Wellenfunktion des zu entfernenden Zustandesist. Es muss also zunachst die Schrodingergleichung mit dem ursprunglichen Potentialgelost werden, um die entsprechenden Wellenfunktionen zu bekommen. Dies geschiehtnumerisch mit Hilfe des ursprunglichen Programmes.


Das verwendete Ursprungspotential V hat die Form:

V (x, y) =1

4x2 + y2 + 4 exp(−1

2x2) + i · γ

(exp(−0.12(y2 + (x− 2)2))

− exp(−0.12(y2 + (x+ 2)2))) (4.15)

Hierbei ist γ ein Parameter, der die Nichthermizitat des Hamiltonoperators steuert. Real-und Imaginarteil des Potentials sind in den Abbildungen 4.1(a) und 4.1(b) zu sehen.

Es handelt sich also um ein in x-Richtung PT -symmetrisches Potential. Dies ermog-licht es im Supersymmetrieformalismus nicht nur den Grundzustand fur ψS zu verwen-den. Die untersuchten Partnersysteme sind H(1) und H(2), wobei das Hauptaugenmerkauf H(1) liegt.

Alle gezeigten Wellenfunktionen des Partnersystems wurden nicht noch einmal nor-miert. Zum Einen hat die genaue Skalierung der Wellenfunktion wenig Aussagekraft,solange sie normierbar ist und der Verlauf bekannt ist. Zum Anderen hatte eine Nor-mierung aufgrund des numerischen Vorgehens falsche Wellenfunktionen vorgetauscht:Numerische Ungenauigkeiten bei verschwindenden Wellenfunktionen waren durch dieNormierung auf die Großenordnung der nichtverschwindenden Wellenfunktionen skaliertworden und hatten den Eindruck ergeben, es gabe Wellenfunktionen, wo keine sind.Dieser Effekt wird in den Abbildungen 4.14 und 4.15 im Abschnitt 4.2.3 zu sehen sein.

Wie ersichtlich werden wird, versagt die numerische Behandlung des Problems furkleine Werte von γ. Fur zu große Werte hingegen liegt man bereits uber dem Bifur-kationspunkt, bei welchem Grundzustand und erster angeregter Zustand entarten unddaher eine Entfernung der beiden nicht mehr unterschieden werden kann. Daher wurdezunachst ein γ gewahlt, welches sehr nahe an der Bifurkation, aber noch darunter liegt.Auf diese Weise ist die großte numerische Genauigkeit gewahrleistet und es kann den-noch zwischen Grundzustand und erstem angeregten Zustand unterschieden werden. AlsNachteil ist jedoch zu erwarten, dass die Wellenfunktionen der Zustande keine großen

23


−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

25

30

(a) Abgebildet ist der Realteil des ursprunglichen Potentials V

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

(b) Zu sehen ist der Imaginarteil des ursprunglichen Potentials V fur γ = 0, 06164

Abbildung 4.1: Die beiden Diagramme zeigen das verwendete Potential. Es besitzt einennicht-verschwindenden Imaginarteil und ist somit kein Potential, wie esin der hermiteschen Quantenmechanik auftreten wurde.

24


Eigenenergien H Eigenenergien H(1) Eigenenergien H(2)

3,440983,48906 3,489064,93977 4,939775,43557 5,435555,44436 5,44436

5,48994 5,489815,49446 5,494346,5918 6,5918

6,93915 6,938926,93947 6,939237,43209 7,43206

Tabelle 4.1: Die Energiespektren der drei Systeme fur γ = 0,052 sind hier im direktenVergleich dargestellt. Die Energieniveaus wurden so angeordnet, dass dieZuordnung zwischen den Partnersystemen sofort ersichtlich ist. Die kleinenAbweichungen sind durch numerische Ungenauigkeiten zu erklaren.

Unterschiede mehr zeigen, also im Ursprungspotential Grundzustand und erster ange-regter Zustand sehr ahnlich sind und im Partnersystem der Grundzustand bei Entfernendes alten ersten angeregten Zustandes kaum von dem bei Entfernen des alten Grundzu-standes zu differenzieren ist.

4.2.1 Entfernung des Grundzustandes

Zunachst wird fur die Anwendung des Supersymmetrieformalismus der Grundzustandvon H verwendet. Man erhalt die in Abbildung 4.2 dargestellten Eintrage des Partner-potentials V (1). Die numerisch bestimmten Spektren sind in Tabelle 4.1 dargestellt. Mansieht, dass wie fur den hermiteschen Fall hergeleitet, auch bei diesem nicht-hermiteschenHamiltonoperator das Spektrum von H(1) gerade die Vereinigung der Spektren von Hund H(2) ohne die Grundzustandsenergie ES ist. Die durch H(2) zusatzlich hinzukom-menden Eigenzustande spielen erst ab dem dritten angeregten Zustand eine Rolle.

Die beiden Nichtdiagonal-Elemente sind identisch. In Figur 4.3 ist der Verlauf derEnergien des Grund- und ersten angeregten Zustandes im ursprunglichen Potential Vzusammen mit der Grundzustandsenergie im Potential V (1) in Abhangigkeit des Para-meters γ dargestellt. Bei etwa γ = 0, 061649 kommt es im ursprunglichen Potential zueinem Bruch der PT -Symmetrie: Die Grundzustandsenergie und die Energie des erstenangeregten Zustandes bekommen den gleichen Realteil, aber nichtverschwindende Ima-ginarteile mit umgekehrten Vorzeichen. Es ist zu erkennen, dass der Verlauf des neuenGrundzustands genau dem ersten angeregten Zustand im alten Potential entspricht. Diealte Grundzustandsenergie ist entfernt. In den Abbildungen 4.4 bis 4.7 sind die Wellen-

25


−4−3−2−1

01234

−5 0 5 10 15 20 25 30 35

−4−3−2−1

01234

−3

−2

−1

0

1

2

3

−4−3−2−1

01234

−0.005−0.004−0.003−0.002−0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

−4−3−2−1

01234

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4−3−2−1

01234

0 5 10 15 20 25 30 35

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4−3−2−1

01234

−0.05−0.04−0.03−0.02−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Abbildung 4.2: Es wurden die Eintrage des matrixwertigen Partnerpotentials V (1) zumPotential V bei gleichem γ graphisch dargestellt. Die linke Spalte ist stetsder Realteil, die rechte der Imaginarteil. In der ersten Zeile ist der EintragV

(1)11 und in der dritten der Eintrag V

(1)22 . Da V

(1)12 und V

(1)21 identisch sind,

konnen sie durch einen einzigen Plot dargestellt werden, welcher in dermittleren Zeile zu sehen ist.

26


3.43

3.44

3.45

3.46

3.47

3.48

3.49

3.5

0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08

Rea

lteil

der

Ene

rgie

γ

neuer Grundzustandalter Grundzustand

alter erster angeregter Zustand

Abbildung 4.3: Dargestellt ist der Energieverlauf des ursprunglichen Grundzustandes,ursprunglichen ersten angeregten Zustandes zusammen mit dem neuenGrundzustand in Abhangigkeit von γ.

27


Eigenenergien H Eigenenergien H(1) Eigenenergien H(2)

3,44098 3,440983,489064,93977 4,939785,43557 5,4354

5,4429 5,44275,44436 5,444365,49446 5,494436,5918 6,59186,93947 6,93876

6,93895 6,938247,43209 7,43193

Tabelle 4.2: Das sind die Energiespektren der drei Systeme fur γ = 0,052.

funktionen des alten Grundzustandes, des alten ersten angeregten Zustandes und diebeiden Komponenten der Wellenfunktion des neuen Grundzustandes dargestellt.

Genaue Betrachtung des Graphen 4.7 zeigt, dass die Wellenfunktion des angeregtenZustandes keinen Knoten besitzt. Das bedeutet, dass der Supersymmetrieformalismusauch auf diesen Zustand anwendbar ist: Man kann ihn fur ψS wahlen und untersuchen,ob auch hier das zugehorige Energieniveau im Partnersystem H(1) fehlt. Im folgendenAbschnitt wird genau das durchgefuhrt.

4.2.2 Entfernung des ersten angeregten Zustandes

Zunachst einmal wird in Abbildung 4.8 das neue Potential V (1) dargestellt. In Figur4.9 wird wieder der Verlauf der Energien der untersten zwei Energieniveaus aus demUrsprungspotential mit dem neuen Grundzustand in Abhangigkeit von γ verglichen.Diesmal bleibt der Grundzustand vorhanden, hingegen ist der erste angeregte Zustandentfernt. Fur niedrige γ−Werte wird die Numerik ungenau. Das lasst sich damit erklaren,dass im Grenzfall γ → 0 der Hamiltonoperator H wieder hermitesch wird. Dann hat dererste angeregte Zustand einen Knoten und der Supersymmetrieformalismus ist nichtanwendbar. Es ist also zu erwarten, dass Ungenauigkeiten in der Numerik schon furγ-Werte nahe, aber nicht identisch Null fur große Abweichungen sorgen.

In Tabelle 4.2 sind die untersten Energieniveaus aus den normierten Spektren zu se-hen. Es ist erkennbar, dass H(1) das selbe Spektrum wie in den anderen Fallen zeigt,nur dass nun der Grundzustand des alten Potentials vorhanden ist und dafur der ers-te angeregte Zustand fehlt. Es ist auf diese Weise also tatsachlich moglich, nicht nurden Grundzustand, sondern auch andere Zustande zu entfernen, sofern die zugehorigenWellenfunktionen keine Knoten aufweisen.

In den Abbildungen 4.10, sowie 4.11(a) und 4.11(b) sind die Komponenten des neuen

28


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Abbildung 4.4: In dieser Abbildung sind die Wellenfunktionen der untersten beidenEnergieniveaus im alten System gezeigt. Die obere Zeile zeigt den Grund-zustand und die untere den ersten angeregten Zustand. Der Realteil istin beiden Fallen links und der Imaginarteil rechts. Die Wellenfunktionensind wie erwartet fast nicht zu unterscheiden. Das liegt daran, dass furdiese Plots γ = 0, 06164 verwendet wurde, was sehr nahe am Bifurkati-onspunkt mit γ = 0, 061649 liegt (vergleiche auch Abbildungen 4.3 und4.9).

29


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Abbildung 4.5: Abgebildet sind Real- und Imaginarteil der ersten und zweiten Kom-ponente des Grundzustandes im System H(1). Das Betragsquadrat derersten Komponente weist einen einzelnen Peak auf, wie in Figur 4.6(a)noch einmal gezeigt. Die zweite Komponente verschwindet, wie in Ab-bildung 4.6(b) verdeutlicht wird.

30


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

(a) Um den genauen Verlauf der ersten Komponente des neuen Grundzustandesnoch einmal darzustellen, ist hier das Betragsquadrat der Wellenfunktion dargestellt.Der Verlauf ahnelt einer anisotropen gaußschen Glockenkurve.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

5e−13

1e−12

1.5e−12

2e−12

2.5e−12

3e−12

3.5e−12

(b) Das Betragsquadrat der zweiten Komponente des Grundzustandes. Die ange-nommenen Werte sind so klein, dass sie als numerische Fehler zu interpretierensind. Es folgt, dass diese Komponente verschwindet.

Abbildung 4.6: Diese Graphiken zeigen die Betragsquadrate der Komponenten des neuenGrundzustandes.

31


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5−4

−3−2

−1 0

1 2

3 4

5

0 0.05

0.1 0.15

0.2 0.25

0.3 0.35

0.4

Abbildung 4.7: Hier wird der Betrag der Wellenfunktion des ersten angeregten Zustandesim Ursprungssystem gezeigt.

32


−4−3−2−1

01234

−5 0 5 10 15 20 25 30 35

−4−3−2−1

01234

−3

−2

−1

0

1

2

3

−4−3−2−1

01234

−0.006

−0.004

−0.002

0

0.002

0.004

0.006

−4−3−2−1

01234

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4−3−2−1

01234

0 5 10 15 20 25 30 35

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4−3−2−1

01234

−0.05−0.04−0.03−0.02−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Abbildung 4.8: Es wurden wieder genau analog zum vorherigen Abschnitt die Ein-trage des matrixwertigen Partnerpotentials V (1) zum Potential V beiγ = 0, 06164 graphisch dargestellt. Die linke Spalte sind die Realtei-le, die rechte die Imaginarteile. Die oberste Zeile gibt den Eintrag V

(1)11 ,

die mittlere die identischen Eintrage V(1)12 und V

(1)21 und die unterste den

Eintrag V(1)22 .

33


3.38

3.4

3.42

3.44

3.46

3.48

3.5

0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08

Rea

lteil

der

Ene

rgie

γ

neuer Grundzustandalter Grundzustand

alter erster angeregter Zustand

Abbildung 4.9: Energieverlauf des ursprunglichen Grundzustandes, ursprunglichen ers-ten angeregten Zustandes zusammen mit dem neuen Grundzustand inAbhangigkeit von γ. Fallt γ unter einen Wert von ungefahr 0,052 wirdder numerische Fehler zu groß, um sinnvolle Ergebnisse zu liefern.

34


Grundzustandes dargestellt.Die hier gewonnenen neuen Potentiale und Wellenfunktionen sind praktisch identisch

zu denen, die bei Entfernung des Grundzustandes gewonnen wurden. Das war aufgrundder Nahe zum Bifurkationspunkt auch zu erwarten und belegt, dass nicht nur die Eigen-energien, sondern auch die dazugehorigen Wellenfunktionen gegen den neuen entartetenGrundzustand konvergieren.

4.2.3 Nahere Betrachtung der Wellenfunktionen

Da die bisherigen Plots fur γ-Werte sehr nahe am Bifurkationspunktes erstellt wurden,sind eventuell vorhandene Unterschiede der verschiedenen Wellenfunktionen und Poten-tiale nur schwer erkennbar. Wie in Abbildung 4.9 jedoch zu sehen ist, versagt die Numerikfur zu kleine Werte fur γ. Der Abbildung entnimmt man auch, dass die kleinstmoglichenWerte, die noch sinnvolle Ergebnisse liefern sollten, sich im Bereich von etwa γ ≈ 0,052befinden. Deswegen werden im Folgenden noch einmal einige der Wellenfunktionen furdiesen Wert gezeigt. Sie werden zudem nun alle normiert, um Unterschiede die von derSkalierung stammen, zu umgehen. Zunachst einmal wurde der Grundzustand und dererste angeregte Zustand des Ausgangspotentials in 4.12 geplottet. Die Komponentendes neuen Grundzustandes bei Entfernung des alten sind in den Abbildungen in 4.14zu sehen. Im Vergleich dazu wurden in 4.15 die Komponenten des Grundzustandes imPartnersystems bei Entfernung der ersten angeregten Energie dargestellt.

Um die beiden neuen Grundzustande zu untersuchen, wird der Betrag der ersten Kom-ponente verglichen. Die zweite Komponente ist nicht von Interesse, da sie wie in 4.10gesehen verschwindet. Was in den Abbildungen 4.14 und 4.15 fur die zweite Komponentezu sehen ist, ist auf numerische Fehler zuruckzufuhren. Das Ergebnis ist in Figur 4.16dargestellt: Wenn man die Grundzustandsenergie entfernt, dann ist der Peak in x- undy-Richtung in etwa isotrop. Entfernt man hingegen den ersten angeregten Zustand, so istder Peak in x-Richtung starker lokalisiert als in y-Richtung und auch insgesamt starkerausgepragt. Dieses Verhalten lauft dem im Ursprungspotential genau entgegen: Wennman den alten Grundzustand entfernt, so ist der neue quasi ein Partner des alten erstenangeregten Zustandes. Bei Entfernung des ersten angeregten Zustandes ist es umgekehrt.Doch im Ursprungssystem war es der Grundzustand, der im Vergleich zum ersten ange-regten Zustand weniger stark ausgepragte Peaks zeigt. Eine mogliche Erklarung dafurfindet man in der Art und Weise, wie die neuen Systeme erstellt wurden. Es ist stets derentfernte Zustand, der zur Konstruktion des neuen Potentials verwendet wird, und esist daher auch zu erwarten, dass sich seine Symmetrie im neuen System widerspiegelt.

35


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Abbildung 4.10: Abgebildet sind wieder Real- und Imaginarteil der ersten und zwei-ten Komponente des Grundzustandes im System H(1) fur den Fall desentfernten ersten angeregten Zustandes. Die zweite Komponente ver-schwindet wieder (vergleiche Figur 4.6(b).)

36


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

(a) Hier ist der in etwa gaußformige Verlauf der ersten Komponente mit einemeinzelnen Peak zu sehen.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

5e−13

1e−12

1.5e−12

2e−12

2.5e−12

3e−12

3.5e−12

(b) Wieder ist zu sehen, dass die zweite Komponente verschwindet.

Abbildung 4.11: Diese Graphiken zeigen die Betrage der Komponenten des neuen Grund-zustandes, wenn man den ersten angeregten Zustand des alten Poten-tials entfernt hat.

37


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Abbildung 4.12: Oberer Zeile: Grundzustand im alten System, Untere Zeile: Erster an-geregter Zustand im alten System; Linke Spalte: Realteile, Rechte Spal-te: Imaginarteile. Der Unterschied ist nun deutlicher zu erkennen. ImGrundzustand befinden sich im Realteil zwei Gaußglocken mit gleichemVorzeichen, wahrend sich das Vorzeichen im ersten angeregten Zustandunterscheidet. In den Imaginarteilen sind jedoch bei beiden Energiendie Vorzeichen jeweils unterschiedlich. In 4.13(a) und 4.13(b) wird nocheinmal der Betrag der beiden Wellenfunktionen verglichen.

38


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

(a) Es ist der Grundzustand im Ausgangssystem fur ein γ von 0,052 zu sehen.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

(b) Hier ist der erste angeregte Zustand des Ausgangssystems beim selben γ darge-stellt.

Abbildung 4.13: Diese Graphiken zeigen die Betrage der Wellenfunktionen der unterstenbeiden Energieniveaus im Ausgangssystem. Als Hauptunterschied ist zuerkennen, dass im angeregten Zustand der Abfall des Betrages zwischenden beiden Erhebungen starker ausgepragt ist.

39


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Abbildung 4.14: Der Grundzustand im Partnersystem bei Entfernung der alten Grund-zustandsenergie. Die linke Spalte sind Realteile, die rechte Imaginartei-le. Oben ist die erste Komponente und unten die zweite.

40


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Abbildung 4.15: Der Grundzustand im Partnersystem bei Entfernung der alten erstenangeregten Energie. Die linke Spalte sind Realteile, die rechte Imagi-narteile. Oben ist die erste Komponente und unten die zweite.

41


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

(a) Der Betrag der ersten Komponente des Grundzustandes in H(1) ist hier zu sehen,wenn man den ersten angeregten Zustand entfernt. Die Wellenfunktion hat die selbeEigenenergie wie der alte Grundzustand.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

(b) Hier ist der Betrag der ersten Komponente des Grundzustandes im System H(1)

dargestellt, wenn man die Grundzustandsenergie entfernt. Die Wellenfunktion hatdie selbe Eigenenergie wie der alte erste angeregte Zustand.

Abbildung 4.16: Im direkten Vergleich der beiden Wellenfunktionen sind die Unterschie-de besser zu erkennen.

42

5 Zusammenfassung und Ausblick

Hintergrund dieser Arbeit ist, dass es moglich ist, auch fur nichthermitesche Hamil-tonoperatoren reelle Energiespektren zu gewinnen. Eine Moglichkeit dazu bietet derPT -Operator, der sich aus dem Paritatsoperator P und dem Zeitumkehroperator T zu-sammensetzt. Eigenfunktionen dieses Operators werden PT -symmetrisch genannt. Eskann gezeigt werden, dass mit Hilfe des PT -Operators tatsachlich eine Klasse von Ha-miltonoperatoren gefunden werden kann, die nicht hermitesch sind, aber dennoch reelleEigenenergien haben: Hamiltonoperatoren H, die mit dem PT -Operator kommutieren,d.h. fur die [H,PT ] = 0 gilt, mit PT -symmetrischen Eigenfunktionen haben genau dieseEigenschaft.

Die andere Grundlage dieser Bachelorarbeit ist der Supersymmetrieformalismus in derQuantenmechanik. In einer Dimension ist es mit diesem moglich, zu einem gegebenenPotential ein System zu finden, dessen Spektrum bis auf Ausnahme eines einzigen Werteszu dem des ursprunglichen Systems identisch ist. Allerdings muss die Wellenfunktion, zuder dieser Eigenwert gehort, knotenfrei sein. Wenn man sich auf normierbare Zustandebeschrankt, ist dies in der hermiteschen Quantenmechanik nur fur den Grundzustandmoglich. In zwei Dimensionen erhalt man fast das selbe Ergebnis; das Partnerspektrumenthalt jedoch zusatzliche Zustande, die im ursprunglichen System nicht vorhanden sind.Diese sind mit den Zustanden eines zweiten Partnersystems korreliert.

Eine Besonderheit in der PT -symmetrischen Quantenmechanik ist, dass angeregteZustande nicht mehr notwendigerweise Knoten haben. Dies ermoglicht es, den Super-symmetrieformalismus auch auf angeregte Zustande anzuwenden und diese in einemPartnersystem zu entfernen. Das ist in einem eindimensionalen System bereits unter-sucht worden und funktioniert [5]. Ziel dieser Arbeit war es, dieses Ergebnis auf zweiDimensionen zu erweitern. Daher wurde ein zweidimensionales PT -symmetrisches Dop-pelmuldenpotential betrachtet. Fur dieses wurde die Schrodingergleichung aufgestelltund numerisch gelost, um auf diese Weise die Wellenfunktionen der zu entfernenden Zu-stande zu gewinnen. Aus diesen ließen sich mit die Potentiale der supersymmetrischenPartner finden. Jenes ist fur das Hauptpartnersystem matrixwertig und die Wellenfunk-tionen haben zwei Komponenten. Zur Losung der neuen Schrodingergleichung musstedaher ein vorhandenes Programm zur Losung der gewohnlichen Schrodingergleichungdieser neuen Problemstellung angepasst werden.

Mit Hilfe des Supersymmetrieformalismuses in zwei Dimensionen konnten auf dieseWeise tatsachlich Partnersysteme gefunden werden, in welchen jeweils der Grundzu-stand beziehungsweise der erste angeregte Zustand aus dem Spektrum entfernt sind. Ein

43

5 Zusammenfassung und Ausblick

Vergleich der Spektren der drei Systeme zeigt, dass die neu hinzukommenden Zustande,zumindest in diesem System, erst ab dem dritten angeregten Zustand eine Rolle spielen.Vermeidet man also Energien, die hoch genug sind, um diese anzuregen, so verhaltensich die supersymmetrischen Partner wie im eindimensionalen Fall.

Die einfachste Verallgemeinerung des Durchgefuhrten ist eine Betrachtung hoher ange-regter Zustande als nur der erste. Im hermiteschen Fall haben hoher angeregte Zustandeim Allgemeinen mehr Knoten. Dadurch kommen die Wellenfunktionen bei kleiner Nicht-hermizitat an mehr Lininen als zuvor sehr nahe an Null. Es ist zu erwarten, dass daseine großere Herausforderung an die Numerik stellt.

Die erzielten Ergebnisse verwendeten lediglich die Schrodingergleichung. Eine vielver-sprechende Moglichkeit die PT -Symmetrie in einem realen physikalischen System zuverwirklichen bieten jedoch Bose-Einstein-Kondensate mit Einkoppelung und Verlustvon Teilchen. Diese werden durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben, welche imGegensatz zur Schrodingergleichung eine zusatzliche Nichtlinearitat enthalt. Ein naturli-cher nachster Schritt ware es also, sich die Gross-Pitaevskii-Gleichung mit Nichtlinearitatund deren Losungen fur des Partnersystems anzuschauen. In einer Dimension wurdenentsprechende Untersuchen bereits gemacht [8]. Es ware von Interesse, zu erfahren, obsich die dort gewonnen Ergebnisse auch im zweidimensionalen Fall reproduzieren lassen.

Die theoretischen Grundlagen des Supersymmetrieformalismus sind fur beliebig di-mensionale Systeme bekannt [4]. Da reale Bose-Einstein-Kondensate dreidimensionialsind, bestunde ein weiterer moglicher nachster Schritt darin, den Formalismus fur dreiDimensionen zu untersuchen, mit dem Ausblick, einen praktikablen experimentellen Auf-bau zu realisieren, in welchem die PT - beziehungsweise Supersymmetrie beobachtbar ist.

44

Literaturverzeichnis

[1] Hamidreza Ramezani, Tsampikos Kottos, Ramy El-Ganainy und Demetrios N. Chri-stodoulides. Unidirectional nonlinear PT -symmetric optical structures. Phys. Rev.A 82, 043803 (2010).

[2] Daniel Haag, Dennis Dast, Andreas Lohle, Holger Cartarius, Jorg Main und GunterWunner. Nonlinear quantum dynamics in a PT -symmetric double well. Phys. Rev.A 89, 023601 (2014).

[3] Andreas Lohle, Holger Cartarius, Daniel Haag, Dennis Dast, Jorg Main und Gun-ter Wunner. Stability of Bose-Einstein condensates in a PT symmetric double-δpotential close to branch points. Acta Polytechnica 54, 133–138 (2014).

[4] A.A. Andrianov, N.V. Borisov und M.V. Ioffe. The factorization method and quan-tum systems with equivalent energy spectra. Physics Letters A 105, 19–22 (1984).

[5] Nikolas Abt. Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials. Bachelorarbeit, Universitat Stuttgart (2014).

[6] Andreas Lohle. Stabilitatslucke bei PT -symmetrischen Bose-Einstein-Kondensaten.Bachelorarbeit, Universitat Stuttgart (2013).

[7] A Alonso Izquierdo, M A Gonzalez Leon, M de la Torre Mayado und J MateosGuilarte. On two-dimensional superpotentials: from classical Hamilton–Jacobi theoryto 2D supersymmetric quantum mechanics. Journal of Physics A: Mathematical andGeneral 37, 10323 (2004).

[8] Nikolas Abt, Holger Cartarius und Gunter Wunner. Supersymmetric Model of a Bose-Einstein Condensate in a -Symmetric Double-delta Trap. International Journal ofTheoretical Physics Seiten 1–14.

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Danksagung

Ich mochte mich bei jedem bedanken, der mir bei der Erstellung dieser Bachelorarbeitgeholfen hat. Mein besonderer Dank gilt Dr. Holger Cartarius und Daniel Haag, die mirbei Problemen jeder Art sehr hilfreich zur Seite standen. Naturlich mochte ich mich auchbei Herrn Prof. Dr. Gunter Wunner bedanken, der mir die Bachelorarbeit am Institutermoglicht und die Rolle meines Prufers ubernommen hat. Auch bedanken mochte ichmich bei meinen Burokollegen Stefan Kaser und Sascha Bohrkircher, die mir immer wie-der bei technischen Kleinigkeiten weitergeholfen haben. Es hat Spaß gemacht, mit euchin einem Buro zu arbeiten. Zuletzt mochte ich mich noch beim gesamten Institut ITP1bedanken, fur eine angenehme Arbeitsatmossphare und unterhaltsame Diskussionen inder Kaffeerunde.

47

Ehrenwortliche Erklarung

Ich erklare,

• dass ich diese Bachelorarbeit selbstandig verfasst habe,

• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wortlich odersinngemaß aus anderen Werken ubernommenen Aussagen als solche gekennzeichnethabe,

• dass die eingereichte Arbeit weder vollstandig noch in wesentlichen Teilen Gegen-stand eines anderen Prufungsverfahrens gewesen ist,

• dass ich die Arbeit weder vollstandig noch in Teilen bereits veroffentlicht habe, essei denn, der Prufungsausschuss hat die Veroffentlichung vorher genehmigt

• und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplarsubereinstimmt.

Stuttgart, den 21. August 2015 Patric Rommel

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