Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 150 CD-ROM zum Buch Prof....

Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure

2 FestigkeitslehreSeite: 1

CD-ROM zum Buch

Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich GabbertDr.-Ing. Ingo Raecke

Otto-von-Guericke-Universität MagdeburgInstitut für Mechanik

e-mail: [email protected] www.uni-magdeburg.de/ifme

TechnischeMechanikfür Wirtschaftsingenieure

Ulrich GabbertIngo Raecke

2 FestigkeitslehreStartseite

Eine PowerPointPräsentation

mit Animationenin Text und Bildzur Vermittlung

und Veranschaulichungder Grundkenntnisse

in derTechnischen Mechanik

Ende?



Ende?

Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht.

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2 FestigkeitslehreSchutzrechte



2 FestigkeitslehreHilfe

Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An-wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start-inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen.

Weitere nützliche Funktionen:• Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste)

direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts..

• Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be-reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit

• Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich-nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S <n>, F <n>, D <n> angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle.

Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches.

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Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet:

Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc)

Animationsschritt vorwärts: Eingabetaste (), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-,

Bild-Nach-Unten-Taste und „N“Animationsschritt zurück: Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und „P“Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatischEine Seite anwählen: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben)Präsentation beenden: Esc

Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom-men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation, z. B. über das Menü der rechten Maus-taste, erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt:

Ende?



2 FestigkeitslehreEinführung

Einführung

Die CD-ROM enthält den kompletten1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können.

Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation.

Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken-ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein-fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen.

1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen-hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden.

Ende?



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PowerPointFolien-Nr.Inhaltsverzeichnis

(Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S <n> )

Ende? 2 FestigkeitslehreInhalt Seite: 5

1.1 Grundlagen

15

S 15

1.1.1 Starrer Körper

15

S 15

1.1.2 Kraft

16

S 16

1.1.3 Wechselwirkungsprinzip

191.1.4 Schnittprinzip

201.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte

211.1.6 Gleichgewicht

211.1.7 Äquivalenz von Kräften

231.2 Zentrales ebenes Kraftsystem

241.2.1 Resultierende

241.2.2 Gleichgewicht von Kräften

311.2.3 Lagerungsbedingungen

321.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem

361.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte

361.3.2 Moment

381.3.3 Versetzungsmoment

401.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept)

421.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten

441.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe

46

S 46

Seite1 STATIK

12

S 12




ide

ntis

ch m

it S

eite

1.4 Ebene Tragwerke

49

S 49

1.4.1 Grundbegriffe

491.4.2 Lagerung starrer Scheiben

501.4.3 Streckenlasten

551.4.3.1 Definition von Streckenlasten

551.4.3.2 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast

571.4.4 Beispiele

591.5 Scheibenverbindungen

621.5.1 Ermittlung der statischen Bestimmtheit

621.5.2 Dreigelenkträger

671.5.3 Gerberträger

721.5.4 Ebene Fachwerke

751.5.4.1 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken

801.5.4.2 Arten von Fachwerken

811.5.4.3 Berechnungsmethoden für Fachwerke

831.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen

881.6.1 Definition der Schnittgrößen

881.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen

911.6.3 Differentielle Beziehungen

951.6.4 Anwendungen

981.7 Zentrales räumliches Kraftsystem

1101.7.1 Ermittlung der Resultierenden

1111.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe

112

S 112




ide

ntis

ch m

it S

eite

1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem

114

S 114

1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten

1171.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente

1181.8.3 Räumlich gestützter Körper

1191.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken

1231.9 Schwerpunkt

1271.9.1 Massenschwerpunkt

1271.9.2 Volumenschwerpunkt

1291.9.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen

1291.9.4 Linienschwerpunkt ebener Linien

1311.9.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde

1321.9.6 Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten

1331.10.1 Definition der Flächenträgheitsmomente

1341.10.2 Satz von STEINER

1371.10.3 Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen

1401.10.4 Hauptträgheitsmomente

1411.10.5 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen

146

1.10 Flächenträgheitsmomente

134

1.11 Haftung und Gleitreibung

1481.11.1 Haftung (Zustand der Ruhe)

1491.11.2 Gleitreibung (Zustand der Bewegung)

1541.11.3 Seilhaftung und Seilreibung

1561.11.3.1 Seilhaftung

1561.11.3.2 Seilreibung

160

S 160



(Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F <n> )2 Festigkeitslehre

161

F 12

2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre

162

F 13

2.1.1 Einleitung

162

F 13

2.1.2 Spannungszustand

168

F 19

2.1.3 Deformationszustand

171

F 22

2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze)

174

F 25

2.1.4.1 Elastizitätsgesetz für die Dehnung

175

F 26

2.1.4.2 Elastizitätsgesetz für die Gleitungen

181

F 32

2.1.4.3 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz

182

F 33

2.2 Zug und Druck

184

F 35

2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen

184

F 35

2.2.1.1 Berechnung der Spannung

184

F 35

2.2.1.2 Berechnung der Verformungen

188

F 39

2.2.2 Flächenpressung

198

F 49

2.3 Biegung

203

F 54

2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen

203

F 54

2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung

205

F 56

2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung

212

F 63

2.3.4 Schiefe Biegung

229

F 80

2.4 Querkraftschub

234

F 85

2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung

234

F 85

2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung

238

F 89 Ende? 2 FestigkeitslehreInhalt Seite: 8



(Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D <n> )

2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten

243

F 94

2.5.1.1 Annahmen und Voraussetzungen

243

F 94

2.5.1.2 Berechnung der Torsionsspannung

244

F 95

2.5.1.3 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel )

247

F 98

2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte

254

F 105

2.5 Torsion

242

F 93

2.6 Scherbeanspruchung

258

F 1092.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen

264

F 115

2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände

265

F 116

2.7.3 Spannungshypothesen

275

F 126

2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung

263

F 114

2.8.1 Einführung

285

F 136

2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem

290

F 141

2.8.3 EULER-Fälle

293

F 144

2.8 Stabilität

285

F 136

2 FestigkeitslehreInhalt Seite: 9

3 Dynamik

302

D 12

3.1 Kinematik des Punktes

304

D 14

3.1.1 Definitionen

304

D 14

3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten

305

D 15

3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten

307

D 17

3.1.4 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

309

D 19

3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn

311

D 21

3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik

313

D 23

Ende?




3.2.1 Grundlagen

318

D 28

3.2.2 Momentanpol

319

D 29

3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern

325

D 35

3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers

318

D 28

3.3.1 D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen

330

D 40

3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern

337

D 47

3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen

349

D 59

3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern

330

D 40

3.4 Energiebetrachtungen

356

D 66

3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung

356

D 66

3.4.1.1 Arbeit

356

D 66

3.4.1.2 Potentielle Energie

359

D 69

3.4.1.3 Energieerhaltungssatz

360

D 70

3.4.1.4 Leistung

368

D 78

3.4.1.5 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers

371

D 81

3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes

376

D 86

3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art

380

D 90

3.5 Schwingungen

389

D 99

3.5.1 Einführung

389

D 99

3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

394

D 104

3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

407

D 117

3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

417

D 127

3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden

424

D 134




3.5.5.1 Einführung

424

D 134

3.5.5.2 Aufstellen der Bewegungsgleichungen

425

D 135bis

435

D 145



Ende?

2 Festigkeitslehre

Im Kapitel 1 Statik (S 12) wurden mechanische Systeme im Zustand der Ruhe und unter der Annahme starrer (undeformierbarer) Körper untersucht. Mit Hilfe des Schnittprinzips konnten so Lager- und Gelenkreaktionen sowie resultierende innere Belastungen (Schnittgrößen) berechnet werden.

Ziel der Festigkeitslehre

In der Festigkeitslehre werden innere Beanspruchungen (Spannungen) und Verformungen von Körpern berechnet, um damit die Eignung des Körpers (Tragwerkes) hinsichtlich der Festigkeit, der Steifigkeit, der Stabilität, der Dauerfestigkeit usw. für den gedachten praktischen Einsatz einschätzen zu können.

Ein weiteres wichtiges Ziel ist die Dimensionierung von Tragwerken, d. h. die Festlegung wichtiger geometrischer Größen (z. B. Querschnittsabmessungen von Stäben und Balken), die Auswahl geeigneter Werkstoffe usw., so dass die Tragwerke eine vorgegebene Funktion zuverlässig und sicher erfüllen.

Da in der Realität die Körper aber deformierbar sind, kommt es zu Körperverformungen und zu inneren Beanspruchungen, den so genannten Spannungen (auf ein Flächenelement bezogene Kräfte). Mit der Berechnung dieser Verformungen und Spannungen wollen wir uns in der Festigkeitslehre beschäftigen.Das Ziel der Festigkeitslehre kann somit wie folgt zusammengefasst werden:



2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre

2.1.1 Einleitung

deformierbarFestigkeitslehreStatik

starr

Bild 2.1 Starrer und deformierbarer Körper unter der Wirkung von Kräften

Die in der Statik getroffene Annahme eines starren Körpers, muss in der Festigkeitslehre durch die Annahme eines deformierbaren Körpers ersetzt werden (Bild 2.1).

Aus den in der Statik ermittelten Lagerreaktionen und Schnittgrößen allein lassen sich keine Aus-sagen über die Beanspruchungen bzw. die Verformungen einer Konstruktion ableiten. Erst durch das Einführen geeigneter Beanspruchungsgrößen (Spannungen) und Deformationsgrößen (Verschiebungen bzw. Dehnungen und Gleitungen - die so genannten Verzerrungen) sowie deren Verknüpfung mit in der Regel experimentell gewonnenen Materialkenngrößen über ein Materialgesetz (Stoffgesetz) lassen sich die Beanspruchungen und Verformungen ermitteln.

Beachte: Durch die Annahme eines deformierbaren Körpers wird jetzt auch die Berechnung statisch unbestimmter Probleme möglich.

Ende?



Ausgehend von den Zielen der Festigkeitslehre lassen sich folgende typischen Grundaufgaben formulieren, wobei wir annehmen wollen, dass die Materialeigenschaften (in der Regel aus Experimenten in der Werkstofftechnik ermittelt) bekannt sind.

1. Festigkeitsnachweis (Spannungsnachweis): 1. Festigkeitsnachweis (Spannungsnachweis):

2. Steifigkeitsnachweis (Verformungsnachweis):2. Steifigkeitsnachweis (Verformungsnachweis):

Geometriefestlegung so, dass die maximalen Spannungen kleiner werden als die zulässigen Spannungen

Geometriefestlegung so, dass die Verformungen an jeder Stelle des Bauteils kleiner werden als die zulässigen Verformungen

Berechnung der max. äußeren Belastung so, dass die zulässigen Spannungen nicht überschritten werden

Berechnung der max. äußeren Belastung so, dass die zulässigen Verformungen an keiner Stelle des Bauteils überschritten werden

Gegeben: Geometrie, Material und BelastungNachweis: Spannungen im Bauteil müssen kleiner sein als die für das Material zulässigen Spannungen (werden aus experimentellen Untersuchungen bestimmt).

Gegeben: Geometrie, Material und BelastungNachweis: Verformungen des Bauteils müssen kleiner sein als zulässige Verformungen.

Hinweis: Häufig müssen die Grundaufgaben 1. bis 4. kombiniert durchgeführt werden!

4. Belastbarkeitsrechnung4. Belastbarkeitsrechnung

bezüglich Steifigkeit:

bezüglich Festigkeit:

3. Dimensionierung3. Dimensionierung

bezüglich Steifigkeit:

bezüglich Festigkeit:

Ende?



Allgemeine Annahmen

Gleichgewicht kann am unverformten System aufge-stellt werden (Theorie 1. Ordnung). Ausnahme: Stabi-litätsuntersuchungen; dort wird das Gleichgewicht am verformten System aufgeschrieben (siehe Kapitel 2.8)

lineares Materialverhalten

• Die Verformungen seien klein.

• Das Material ist homogen (an jeder Stelle gelten die gleichen Materialeigenschaften) und isotrop (Materialeigenschaften sind unabhängig von der Richtung ).

• Die Verformungen und Spannungen sind linear voneinander abhängig.

• Die Verformungen gehen bei Wegnahme der Belastungen wieder vollständig zurück.

ideal elastisches Materialverhalten

• Weiterhin werden wir vorzugsweise Bauteile bzw. Systeme betrachten, bei denen die Längenabmessungen wesentlich größer als die Querschnittsabmessungen sind (Stab- und Balkensysteme).

Zur Lösung der oben aufgeführten Grundaufgaben werden im Rahmen dieses Lehrbuches folgende Annahmen eingeführt, die für viele Standardaufgaben der Ingenieurpraxis zu ausreichend genauen Ergebnissen führen:

Ende?



Hinweis: Falls obige Annahmen nicht erfüllt sind, kommen erweiterte Theorien zur Anwen-dung, z. B.: Theorie 2. und 3. Ordnung (für Stabilitätsuntersuchungen und für große Verfor-mungen); Theorien für nichtlineares Materialverhalten (Plastizitäts-, Viskoelastizitätstheorie usw.); Theorien bzw. Berechnungsverfahren für Scheiben, Platten, Schalen usw.

Frage: Wie groß sind „kleine Verformungen“? Wann sind die Längenabmessungen wesentlich größer als die Querschnittsabmessungen?

Antwort: Absolute Werte lassen sich nicht angeben! Empfehlungen bzw. Richtwerte sind von der Bauteilgeometrie und den Anforderungen an die Genauigkeit der Ergebnisse abhängig.

1 m

20 cm (groß!)

100 m10

cm

10 cm

2 m (g

roß!)

10 c

m

10 cm20 cm

(klein

!)

20 cm (klein!)

Bild 2.2 Maßverhältnisse („groß“, „klein“) von Bauteilen

Dazu hier einige Beispiele:

Ende?



Zug/DruckZug/Druck

Beanspruchungsarten (Auswahl der technisch wichtigsten)

Typische Verformung: Längsdehnung (konst. über die Querschnittsfläche) Verlängerung/Verkürzung

Ursache: Längskraft FL

Reine Biegung

Reine Biegung Ursache: Biegemomente Mbx (vgl. Bild rechts) bzw.. Mby

Typische Verformung: Längsdehnung (linear veränderlich über den Querschnitt

Biegung der Längsachse

Torsion

Torsion

Ursache: Torsionsmoment Mt

Typische Verformung: Gleitung in der Querschnittsebene Verdrehung der Querschnitte

um die Längsachse

Stabilität (Knicken)Stabilität (Knicken)

Ursache: Kritische Druckkraft FK

Typische Verformung: Knicken beim Erreichen von FK

Biegung der Längsachse

FL

FL

F<FK

FK

Mt

Mt

••

xy

z

Mbx

Mbx

Bild 2.3 Beanspruchungsarten

Ende?



Querkraftschub bei BiegungQuerkraftschub bei Biegung

Ursache: Querkräfte FQx, FQy

Typische Verformung: Gleitungen in der Querschnittsebene Krümmung der Längsachse wie bei der Biegung

Hinweis: Eine reine Querkraftschubbeanspruchung kommt praktisch kaum vor. Sie ist in der Regel an eine Biegebeanspruchung gekoppelt (vgl. Bild 2.4). Die Spannungen und Verformungen infolge des Querkraftschubs können bei Balken mit großer Länge gegenüber den Querschnittsabmessungen in der Regel vernachlässigt werden, da sie im Vergleich zu den Biegebeanspruchungen klein sind.

ScherbeanspruchungScherbeanspruchung

Ursache: Dicht (theoretisch unendlich dicht) nebeneinanderliegende entgegengesetzt gerichtete parallele Kräfte

Typische Verformung: sehr große Gleitungen in der Querschnittsebene Gefahr der Zerstörung durch Abscheren

FlächenpressungFlächenpressung

Ursache: Druckbelastung einer ebenen odergekrümmten Fläche (z. B. zwischen Niet und Blech an der gemeinsamen Kontaktfläche)

klein!

Resultierende aus Flächen-pressung (Blech - Niet)

zusätzlicher Verformungsanteil aus Querkraftschub (meist gering!)

xy

z

Verformungsanteilaus der Biegung

Bild 2.4

Bild 2.5 Scherbeanspruchung (oben); Flächenpressung zwischen Niet und Blech (links)

Gefahr der Oberflächenschädigung (insbe- sonders bei einer Relativbewegung der Kontaktflächen, siehe Kapitel 1.11, S 148)

Flächenpressung im Blech infolge der Belastung durch den Niet

Ende?



FP

Bild 2.6 Innere Kräfte

2.1.2 Spannungszustand

Definition der Spannung

Die Belastungen auf einen Körper werden über innere Kräfte zu den Lagern geleitet. Schneiden wir einen im Gleichgewicht befindlichen Körper, so muss auch jedes Teilsystem mit seiner Belastung und mit den in den Schnittflächen verteilten inneren Kräften im Gleichgewicht sein (Bild 2.6).

dF

über A verteilte Kräfte (mit F im Gleichgewicht)

dF - Resultierende der auf dA angreifenden inneren Kräfte

definiert man den Quotienten aus dF und dA als Spannung im Punkt P

Einheit:

MPa

mm

N:B.z.

FlächeKraft

2

• Die Spannung ist ein Maß für die Beanspruchung des Bauteils.

FP

Schnitt

n

dA

• Die Spannung steht im Allgemeinen nicht normal (n = Normalenrichtung, vgl. Bild 2.6) auf dA.

Für die Spannung gilt:

• Die Spannung ist wie die Kraft ein Vektor.

dAdF

σ dAdF

σ (2.1)

dA - differentielles Flächenelement in der Schnitt-fläche A im Punkt P

Mit

Ende?



Bild 2.7 Spannungskomponenten

P

dA Fläche A

Da die Spannung beliebig auf dA stehen kann, zerlegt man sie zweckmäßig in drei Komponenten bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem.

Legen wir die x-Achse z. B. in Normalenrichtung n zur Fläche dA, so kann in drei Spannungskomponenten (Bild 2.7), in

Hinweis zur Indizierung der Spannungen:Der erste Index gibt an, in welche Richtung die Flächennormale n zeigt und der zweite Index beschreibt die Richtung des Spannungsvektors (bei der Normalspannung kann der zweite Index auch wegfallen, da es nur eine Normalspannung für eine Fläche dA gibt).

Definition des positiven Schnittufers und der positiven Spannungen am Schnittufer:

• Zeigen Flächennormale n und Achsenrichtung (z. B. x-Achse im Bild 2.7) in die gleiche Richtung, so liegt ein positives Schnittufer vor. Der Punkt P in Bild 2.7 liegt somit in einer Schnittfläche, die ein positives Schnittufer darstellt. Im umgekehrten Fall sprechen wir von einem negativen Schnittufer.

• Am positiven Schnittufer sind alle Spannungskomponenten positiv in positiver Koordinaten-richtung definiert. Am negativen Schnittufer zeigen sie in die entgegengesetzte Richtung.

eine Normalpannung(normal zur Fläche dA) und in

x

zerlegt werden.

zwei Tangental- oder Schubspannungen(liegen in der Fläche dA)

xy , xz

z

x, n

y x

xz

xy

Ende?



x

z

y

P

dx

dy

dz

Bild 2.8 Räumlicher Spannungszustand

Wird aus einem Körper im Punkt P ein differentiell kleiner Würfel mit den Flächennormalen in (x,y,z)-Richtung herausgeschnitten,

Beachte: Für eine andere Orientierung des differentiell kleinen Würfels ergibt sich ein Spannungstensor mit anderen Komponenten. Dieser beschreibt aber den gleichen Spannungszustand.

x xy

xz

yyx

yz

z

zy

zx

Hinweis: Es sind nur die Spannungen am positiven Schnittufer dargestellt. Am negativen Schnittufer wirken sie genau entgegengesetzt.

Diese 9 Spannungsgrößen beschreiben den so genannten räumlichen Spannungszustand im Punkt P. Sie bilden die Komponenten eines Tensors 2. Stufe bzw. den räumlichen Spannungstensor S, der wegen Gleichung (2.49) symmetrisch wird.

zyzxz

zyyxy

zxyxx

S (2.2)Spannungstensor

so wirken jetzt in jeder der drei senkrecht aufeinander stehenden Flächen eine Normalspannung und zwei Schubspannungen (vgl. Bild 2.8).

Ende?



Hinweis: Bei gleich großen Verschiebungen aller Punkte erfährt der Körper eine Starr-körperverschiebung (siehe Bild 2.10, gestrichelte Zwischenlage) ohne dass dabei Verzer-rungen (Dehnungen und Gleitungen) eintreten!

xy

z

P

Bild 2.9 Definition der Verschiebungen

Die Formänderung bzw. Deformation kann durch die Angabe der Verschiebungen u, v und w in x-, y- und z-Richtung für alle Punkte P eines Körpers beschrieben werden (Bild 2.9).

2.1.3 Deformationszustand

Die Änderung der Gestalt und der Größe eines Körpers infolge einer äußeren Belastung (auch Temperaturänderung zählen dazu) heißt Formänderung bzw. Deformation.

u

w

P´

Als charakteristische Verzerrungsgrößen führen wir folgende Größen ein:

Dehnung : Verlängerung einer Körperlinie bezogen auf die ursprüngliche Länge

Gleitung : Winkelverkleinerung eines ursprünglich rechten Winkels

Sind die Verschiebungen aller Punkte eines Körpers gleich groß, so erfährt er nur eine Starrkörperverschiebung, d. h. seine Gestalt und Größe ändern sich nicht.

Sind die Verschiebungen der Punkte P eines Körpers jedoch unterschiedlich groß, so kommt es zur Änderung der Gestalt und der Größe des Körpers (Deformationen) infolge örtlicher Verzerrungen im Körper.

v

Ende?



Die in Bild 2.10 dargestellten Verformungen werden als klein2 vorausgesetzt (vergleiche Allgemeine An-nahmen im Kapitel 2.1.1, Seite 164).

y

x

y

y+dy

x + dxx

P1 P2

P3

dA

1

2

P2

P3

dxu

x

dxv

x

dyu

y

dyv

y

verzerrte Fläche dA

Die Dehnung x der Seite P1P2 in x-Richtung wird:

21

2121x PP

PP'P'P

Die Dehnung y der Seite P1P3 in y-Richtung: 31

3131y PP

PP'P'P

Die Gleitung im Punkte P1 wird: 21xy

P1

u

v

u

v

v

u

Dehnungen und Gleitungen

Bild 2.10 Verzerrung eines Flächenelements dA

dx

dxdxxu

dx

dy

dydyyv

dy

dyyv

dy

dyyu

dxxu

dx

dxxv

0 0

x

u

y

v

y

u

x

v

Wir betrachten zunächst die (x,y)-Ebene. In Bild 2.10 ist ein Flächenelement dA = dx·dy im unbe-lasteten Zustand (Eckpunkte P1, P2, P3) dargestellt.

2 cos1 1, cos2 1, tan1 1, tan2 2, Taylor-

Reihe:

...dxx

u

2!

1dx

x

uu(x)dx)u(x 2

2

2

0

Es erfährt unter einer Belastung Verzerrungen und nimmt eine verschobene und verzerrte (deformier-te) neue Lage ein (Eckpunkte ).'P,'P,'P 321

Ende?



Hinweis: Im Nenner der Gleichung für die Gleitung kann der zweite Summand gegenüber dem ersten Summand vernachlässigt werden, da er das Produkt zweier differentiell kleiner Größen ist und damit im Vergleich zum ersten Summand sehr klein wird!

Werden analoge Betrachtungen in der (x,z)-Ebene und in der (y,z)-Ebene angestellt, so erhält man die Dehnung z und die Gleitungen xz und yz in diesen Ebenen.

Die Gesamtheit der drei Dehnungen und drei Gleitungen in einem Punkt P eines Körpers bezeichnen wir als Verzerrungs- oder Deformationszustand.

Diese 6 Verzerrungsgrößen bilden die Komponenten eines Tensors 2. Stufe, den so genannten räumlichen Verzerrungs- oder Deformationstensor D.

Hinweis: Es gilt allgemein i j= ji .

Der Faktor ½ steht aus Gründen der Zweckmäßigkeit in D.

zyz21

xz21

zy21

yxy21

zx21

yx21

x

D (2.5)

Zusammenfassend erhalten wir:

DehnungenDehnungenx

uεx

y

vεy

z

wεz

(2.3)

Gleitungen Gleitungen x

v

y

uxy

x

w

z

uxz

y

w

z

vyz

(2.4)

Ende?



F

lAluminium 3·lStahl

FlStahl

2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze)

Dieser Zusammenhang kann nur experimentell ermittelt werden. Es ist Aufgabe der Werkstofftechnik diese materialabhängigen Kennwerte zu bestimmen.

Zum Ermittlung grundlegender Materialkennwerte dient der Zugversuch an einem genormten Zugstab (DIN 50145) mit Kreisquerschnitt d0, festgelegter Messlänge l0 und einer bestimmten Oberflächenbeschaffenheit (Bild 2.12).

A

Fz

A, Aluminium

lz

Die Erfahrung zeigt, dass die Verformung eines Bauteils bei gleicher Geometrie, Lagerung und Belastung (d. h. auch gleicher Spannung) vom verwendeten Material abhängig ist (Bild 2.11).

Es muss also einen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen geben, der vom Material abhängt!

Der Index „0“ steht für die Maße des unbelasteten Zugstabes.

l

A, Stahl

z

Bild 2.11 Einfluss des Materials auf die Verformungen

l0

d0 FFA0 (Querschnittsfläche)

Bild 2.12 Zugstab zur experimentellen Ermittlung von Materialkennwerten

Ende?



Rm

Z

P

E

Re

auf Ausgangsfläche A0

bezogen

zplastischerBereich

elastischerBereich

Bild 2.13 Spannungs-Dehnungs-Diagramm

auf aktuelle Fläche A bezogen

2.1.4.1 Elastizitätsgesetz für die Dehnung

Im Zugversuch wird die Belastung F bis zum Reißen des Zugstabes langsam gesteigert und die dabei in der Meßlänge l0 auftretende Dehnung ermittelt.

folgt das so genannte Spannungs-Dehnungs-Diagramm, welches im Allgemeinen für jedes Material ein anderes Aussehen hat (z. B. Bild 2.13, typisch für Baustähle bei Raumtemperatur).

Es bedeuten:

p - Proportionalitätsgrenze

E - Elastizitätsgrenze

Re - Streckgrenze (oft noch S, F)

Rm - Zugfestigkeit (oft noch B)

Z - Bruchnennspannung

Z - BruchdehnungDas Spannungs-Dehnungs-Diagramm zeigt bis zur Proportionalitätsgrenze p einen lineares Verlauf.

Der Proportionalitätsfaktor E heißt Elastizitätsmodul (auch YOUNGscher Modul) und stellt den Anstieg - also E = tan - der Geraden im Diagramm bis zur Proportionalitätsgrenze dar.

tan= E

Es gilt dann das HOOKEsche Gesetz:

HOOKEsches Gesetz = E · = E · (2.7)

0A

F

0A

F

0l

l

0l

l(Nennspannung) und (2.6)

Mit

Ende?



Beachte: Das Hookesche Gesetz in der Form = E·gilt für den einachsigen Spannungs-zustand und für Spannungen bis zur Proportionalitätsgrenze P. Es verknüpft die Dehnung in

Achsenrichtung (hier Achse des Stabes) mittels des Proportionalitätsfaktors E mit der Normalspannung in Achsenrichtung.

Der Elastizitätsmodul E ist eine wichtige Materialkenngröße. Bei Raumtemperatur hat der Elastizitätsmodul z. B. folgende Größe (Richtwerte):

Die Elastizitätsgrenze E grenzt den Bereich des elastischen Materialverhaltens (bei Entlastung bleiben keine dauerhaften Dehnungen zurück) von dem des plastischen Materialverhaltens (bei Entlastung bleiben dauerhafte Dehnungen zurück) ab. Beim Erreichen der Bruchnennspannung Z tritt der Bruch des Zugstabes ein.

Werkstoff E in Nmm-2 Werkstoff E in Nmm-2

Stahl / Stahlguss 2,1 105 Glas 0,72 105

Kupfer 1,2 105 Aluminium 0,7 105

Messing 0,9 105 Stahlbeton 0,4 105

Grauguss 0,8 105 Buchenholz 0,16 105

Gummi 2 ... 3

Tabelle 2.1 Elastizitätsmodul E für ausgewählte Werkstoffe

Auf Grund unserer allgemeinen Annahmen (vgl. Kapitel 2.1.1) bewegen wir uns bei allen folgenden Betrachtungen nur im elastischen Bereich und dort speziell nur bis zur Proportionalitätsgrenze.

Ende?



Mit (2.9) und der Definitionsgleichung (2.6) für die Längsdehnung , die für eine Zugbelastung > 0 und für eine Druckbelastung < 0 liefert, folgt die Querdehnung in Abhängigkeit von der Längsdehnung zu

Bei der Zugbelastung kann man neben der Längsdehnung (Dehnung in Achsenrichtung des Stabes) auch eine Querdehnung beobachten (vgl. Bild 2.14).

Querdehnung

mit - Querkontraktionszahl

bzw. - POISSONsche Zahl

1

m

l0

d0

Bild 2.14 Querdehnung bei Zugbelastung eines Stabes

l0 l

d

FF

d0

Mit Versuchen kann nachweisen werden, dass bis zur Proportionalitätsgrenze für alle Belastungen jeweils das gleiche Verhältnis aus Längsdehnung und Querdehnung gilt:

konst.q

konst.q (2.9)

q q Querdehnung (2.10)

Aus (2.8) in Verbindung mit den eintretenden Durchmesseränderungen liest man ab, dass bei einer Zugbelastung q < 0 wird und bei einer Druckbelastung q > 0 wird.

Definition der Querdehnung:

d

dd

0

0q

d

dd

0

0q

Querdehnung (2.8)

Ende?



Die Querkontraktionszahl ist eine weitere wichtige Materialkenngröße. Einige Richtwerte sind in Tabelle 2.2 angegeben.

Beachte: • Für homogenes isotropes Material ist die Querdehnung in allen Querrichtungen gleich groß.• Es gilt: 0 0,5 ( = 0 bedeutet keine Querdehnung und = 0,5 bedeutet

inkompressibles Material).

Tabelle 2.2 Querkontraktionszahl für ausgewählte Werkstoffe

Werkstoff

Metalle (außer Grauguss) 0,3

Grauguss 0,1 ... 0,2

Beton 0,16 (in der Praxis wird häufig = 0 angenommen)

Gummi 0,48 ... 0,5 (nahezu inkompressibles Material)

Ende?



Temperaturdehnungen

Mit TA - Ausgangstemperatur (Einheit: K)

TE - Endtemperatur (Einheit: K)

T = TE -TA (Temperaturdifferenz)

- Wärmeausdehnungskoeffizient (Einheit: K-1)

TA

Bild 2.15 Temperaturdehnungen

TE > TA (T > 0 )

TE < TA (T < 0 )

Wird ein Körper einer Temperaturänderung ausgesetzt, so dehnt er sich bezogen auf den Zustand der Ausgangstemperatur.

ergibt sich für die Temperaturdehnung gegenüber dem Ausgangszustand bei TE

= T = T

Temperaturdehnung (2.11)

und bei einer Verringerung der Temperatur (T < 0) zusammenzieht (Bild 2.15).

Beachte: Die Größe der Temperaturdehnung ist ebenfalls materialabhängig.

Ende?

Aus der Erfahrung wissen wir, dass er sich bei einer Temperaturerhöhung (T > 0) aus-dehnt



Beachte:

• Die Temperaturdehnung infolge einer konstanten Temperaturerhöhung im Körper ist für homogenes isotropes Material in allen Richtungen gleich groß, d. h. es gibt in diesem Fall keine Gleitungen.

In der Tabelle 2.3 ist für einige Werkstoffe die für die Temperaturdehnung typische Materialkenngröße – der Wärmeausdehnungskoeffizienten – aufgeführt.

Tabelle 2.3 Wärmeausdehnungskoeffizient für ausgewählte Werkstoffe

Werkstoff in K-1

Aluminium 23 10-6

Kupfer 16 10-6

Stahl 12 10-6

Grauguss 9 10-6

• Eine konstante Temperaturerhöhung im Körper führt nur bei Behinderung der Verformungen (z. B. bei statisch unbestimmten Systemen) zu Spannungen.

Ende?



Die Tabelle 2.4 enthält Werte für den Gleitmodul G, die mit der Gleichung (2.13), dem Elastizitäts-modul E aus Tabelle 2.1 und der Querkontraktionszahl nach Tabelle 2.2 ermittelt wurden.

x

y

Bild 2.16 Gleitung infolge

mit dem Proportionalitätsfaktor G, der Gleitmodul genannt wird.

Der Gleitmodul G kann für homogenes und isotropes Material aus dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl berechnet werden.

Wird ein differentielles Element außer durch Normalspannungen in Achsenrichtung noch durch Schubspannungen beansprucht, so kommt es neben der Dehnung in Achsenrichtung noch zu Gleitungen (vgl. Kapitel 2.1.3, Seite 171), die auch als Schub-verzerrungen bezeichnet werden (Bild 2.16).

2.1.4.2 Elastizitätsgesetz für die Gleitung

Analog zum HOOKEschen Gesetz für die Dehnung gibt es eine lineare Beziehung zwischen der Schubspannungen und der Gleitung :

= G · = G · (2.12)

Tabelle 2.4 Gleitmodul G für ausgewählte Werk-stoffe

Werkstoff G in Nmm-2 Werkstoff G in Nmm-2

Stahl / Stahlguss 0,81 105 Grauguss 0,33 ...0,36 105

Kupfer 0,46 105 Aluminium 0,27 105

Messing 0,35 105 Gummi 0,67 ... 1,01

)2(1

EG

)2(1

EG

(2.13)

Es gilt (auf eine Herleitung wird hier verzichtet):

Ende?

½



TE

1zyxx T

E

1zyxx

Liegt ein Spannungszustand mit allen Spannungskomponente und vor (räumlicher Spannungszustand, vgl. Kapitel 2.1.2, Bild 2.8), dann kann das Elastizitätsgesetz (auch verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz genannt) durch Superposition der oben beschriebenen Dehnungen gewonnen werden.

2.1.4.3 Verallgemeinertes HOOKEsche Gesetz

Aus den Gleichungen (2.7), (2.10) und (2.11) ergeben sich die Dehnungen in allen drei Koordi-natenrichtungen infolge der drei Normalspannungen und einer Temperaturdifferenz zu:

Aus Gleichung (2.12) folgen die Gleitungen in den drei Koordinatenebenen infolge der drei Schubspannungen zu:

Gxy

xy

Gyz

yz

Gzx

zx (2.15)

TE

1xzyy T

E

1xzyy

TE

1yxzz T

E

1yxzz

(2.14)

Die Gleichungen (2.14) und (2.15) lassen sich nach den Spannungen auflösen und man erhält:

Ende?



T21

Ee

211

E

T21

Ee

211

E

T21

Ee

211

E

zz

yy

xx

T21

Ee

211

E

T21

Ee

211

E

T21

Ee

211

E

zz

yy

xx

zxzx

yzyz

xyxy

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

G

G

G

und (2.16)

mit der Volumendehnung e

zyxe zyxe (2.17)

Ende?



2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen

2.2 Zug und Druck

Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Stäben, Balken und Seilen infolge einer Längskraft FL in z-Richtung.

Die Längskraft FL ist die resultierende Kraft in z-Richtung der über den Querschnitt verteilten Normalspannungen z.

2.2.1.1 Berechnung der Spannungen

Annahme: In hinreichender Entfernung von diskreten Lastangriffsstellen (auch Lagern) kann angenommen werden,7 dass in allen Punkten einer Querschnittfläche die Normalspannungen z gleich groß sind.

7 Prinzip von DE SAINT VENANT; A. J. C. BARRE DE SAINT VENANT (1797-1886), französischer Physiker

Damit folgt aus Gleichung (2.18):

(z)A(z)σdA(z)σ(z)F z(A(z))

zL

A(z)

(z)F(z) L

z A(z)

(z)F(z) L

z (2.19)

(A(z))

zL (z)dAσ(z)F (2.18)

Es gilt folglich

Ende?



l

F

Bild 2.17 Berechnung von Längskraft und Spannung in einem Stab

l-z

A(z)

F

FL(z)=F+FE(z)

V(z)

FE(z)= V(z)g

zA(z)

l-z

F

FE(z)

z(z)=F+FE(z)

A(z)

Hinweis: FL und A können „schwach“ veränderlich sein (vgl. Bild 2.17).

Die Gleichung (2.19)

ist die allgemeine Spannungsgleichung für die Zug/Druck Belastung eines Stabes bzw. Balkens, die auch für Seile gilt, wenn wir negative Längskräfte ausschließen. Da nur eine Normalspannung in Richtung der z-Achse auftritt, wird der Spannungszustand auch als einachsiger Spannungszustand bezeichnet.

A(z)

(z)F(z) L

z A(z)

(z)F(z) L

z (2.19)

Ende?



K = K·n

Bohrungen, Kerben, Absätze

Bild 2.18 Kerbspannungen bei Bohrung in einem Flachstab unter Zugbeanspruchung

FLFLb d

Dicke h

FL

Sind in den Stäben oder Balken Bohrungen (Bild 2.18), Kerben (Bild 2.19), Absätze und dergleichen vorhanden, so verursa-chen diese ungleichmäßige Spannungsverteilungen über den Querschnitt bzw. Spannungsspitzen, die die rechnerisch ermit-telten Spannungen (Nennspannungen) nach Gleichung (2.19) wesentlich überschreiten können.

Die Berechnung der Spannungsspitzen (Kerbspannung) erfolgt in diesen Fällen über so genannte Formzahlen K, deren Größe von der Form und Größe der Störung (Kerbe) abhängig ist.

Mit der Nennspannung nach Gleichung (2.19)

vorhanden

Ln A

F (Annahme: n ist über Avorhanden konstant)

wird die Spannungsspitze (Kerbspannung)

nKK nKK Kerbspannung (2.20)

Die Werte für die Formzahlen K findet man in Diagrammen (z. B. Bild 2.19) und Vorschriften. Ihre Berechnung erfordert erweiterte Theorien und ist im Allgemeinen kompliziert.

n = FL/([b-d]·h)

Ende?



Als Beispiel ist in Bild 2.19 ein Rundstab mit Umlaufkerbe unter Zugbelastung dargestellt.

FLFL r

t•

Bild 2.19 Kerbspannung für Rundstab mit Umlaufkerbe; Diagramm für K als Funktion der Kerbgeometrie

In Abhängigkeit von der Kerbgeometrie kann aus dem Diagramm für diesen Fall die Formzahl K bestimmt werden.

Die Kerbspannung K im geschwächten Querschnitt ergibt sich dann mit der Nennspannung n

(siehe Bild 2.19)

K = K· n

FLn = FL/(r2)

Für eine Kerbe mitr = 10 mm, t = = 3 mm

folgt mit t/ = 1 und /r = 0,3 aus dem Diagramm von Bild 2.19 für die Formzahl

K 1,85

2L

nKKr

F85,1

aus Gleichung (2.20) zu

t/

K

1,0

1,4

1,8

2,2

2,6

0 1 2 3 4

1,5

0,6

0,3

/r = 0,1

Ende?



2.2.1.2 Berechnung der Verformungen

Bei Annahme der Gültigkeit des HOOKEschen Gesetzes und eines einachsigen Spannungs-zustandes in z-Richtung (x = y = 0) folgt aus dem verallgemeinerten HOOKEschen Gesetz(3. Gleichung von (2.14)) und der Spannung z(z) nach Gleichung (2.19) für die Zug/Druck Beanspruchung die Dehnung in z-Richtung zu

TzEA

zFT

E

z Lzz

Das Produkt EA ist die so genannte Dehnsteifigkeit.

Mit der Dehnung nach Gleichung (2.3), Seite 173 folgtz

wz

TzEA

zFz

zd

wd Lz

TzEA

zFz

zd

wd Lz (2.21)

Gleichung (2.21) ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung für die Verschiebung w. Die Integra-tion von (2.21) liefert die Verschiebung w der Querschnittspunkte eines Stabes in z-Richtung.

CzdTzEAzF

zw L

CzdTzEAzF

zw L

(2.22)

Hinweis: C ist eine Integrationskonstante, die für jede spezielle Aufgabe aus einer Rand-bedingung (bekannte Bedingung für die Verschiebung w) bestimmt werden kann. Zum Beispiel muss für den Stab von Bild 2.20 die Randbedingung w(z=0) = 0 erfüllt sein.

Ende?



Die häufig benötigte Gesamtverlängerung l eines Stabes der Länge l (siehe Bild 2.20) ergibt sich nach Integration der Gleichung (2.21) zu

lll

ll0

L

0z

z

0z

zdTzEA

zFzdz0zwzwwd (2.23)

l

F

z

w(z) w(z=l) = lw = 0Bild 2.20 Zugstab mit Verformungen

Für den in der Praxis häufig vorkommenden Fall einer konstanten Längskraft (FL = konst.), einer konstanten Dehnsteifigkeit (EA = konst.) und einer konstanten Temperaturbelastung (T = konst.) vereinfachen sich die Gleichungen (2.21), (2.22) und (2.23) wie folgt:

TEA

F

zd

wd Lz T

EA

F

zd

wd Lz (2.24)

ll

ll

TEA

FLz

ll

ll

TEA

FLz

(2.26)

CzTzEA

Fzw L CzTz

EA

Fzw L (2.25)

Ende?



Beispiel 2.1 Abgesetzter Stab mit Längsbelastung

FL2 = F2

Geg.: E, A1, A2, l1, l2, F1, F2

Ges.: Spannungen, Verschiebungenl1 l2

EA1 EA2F1

F2

z1

F1

F2

z1

FL1

z2

FL2 F2

z2

Schnittgrößen: Nach Definition der Längskoordinaten für die zwei Bereiche

FL1 = - F1 + F2

2. Bereich: 0 z2 l2:

Normalspannungen:Die Spannungen folgen aus Gleichung (2.19) zu:

1. Bereich:1

21

1

L11z A

FF

A

F)(zσ

2. Bereich:

2

2

2

L22z A

F

A

F)(zσ

Verschiebungen: Wegen FL = konst. können wir die Verschiebungen aus (2.25) berechnen:

Randbedingungen: 1. w1(z1=0) = 0 2. w1(z1=l1) = w2(z2=0) mit (1) und (2) C1 = 0 und

11

212 EA

FF-C l

11

2111 z

EA

FF-)(zw

Einsetzen von C1 und C2 in (1) und (2) die Verschiebungen:

11

212

2

222 EA

FF-z

EA

F)(zw l

und

111

2111

1

L111 Cz

EA

FF-Cz

EA

F)(zw

(1) 22

2

222

2

L222 Cz

EA

FCz

EA

F)(zw (2)

1. Bereich: 0 z1 l1:

folgt aus den Schnittbildern rechts (hier gibt es nur Längskräfte):

Bild 2.21 Abgesetzter Stab mit Längsbelastung

Ende?



d, E, , Rm

l

g

m

z

Bild 2.22 Masse an einem dünnen Draht

mg + gAl

+

FL(z)

FK

l-z

z

mg

FL(z)

gA(l-z)

Beispiel 2.2 Masse an einem dünnen Draht (Kreisquerschnitt)

Gegeben: m = 30 kg, l = 36 m, g = 9,81 m/s2 Materialparameter:E = 1,9 105 N/mm2, = 7,8510–6 kg/mm3

Rm = 2000 N/mm2, zul = 1/4Rm

Gesucht: 1. Durchmesser d des Drahts2. Maximale Länge des Drahts bis zum Reißen3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Drahts

Die Rechnung wird zunächst allgemein (mit Eigengewicht des Drahts) durchgeführt, damit aus den Ergebnissen noch allgemeingültige Rückschlüsse gezogen werden können.

Für die Lösung wird die Längskraft im Draht benötigt. Wir schneiden an einer allgemeinen Stelle z und ermitteln die Längskraft FL aus dem Kräftegleichgewicht am Teilsystem. FL wird:

FL(z) = mg+gA(l - z) (dieser Verlauf von FL ist in Bild 2.22 grafisch dargestellt)

A

z)-gA(gm

A

(z)F(z) L

zl

Daraus folgt mit Gleichung (2.19) der Normalspannungsverlauf im Draht zu

lgA

mgmax mit bei z = 0 (vgl. Bild 2.22)

Beachte: Für mg = 0 wird max unabhängig von der Querschnittsfläche A des Drahts.

Diese Materialparameter entsprechen einem hoch-festen Stahldraht im federhart gezogenen Zustand (z. B. X 12 CrNi 177).

Ende?



1. Erforderlicher Drahtdurchmesser d:

Der Drahtdurchmesser d muss so gewählt werden, dass die folgende Bedingung erfüllt wird:

zulgA

mg l lg

mg4d

zulerf

(1)

Beachte:

• Für mg = 0 kann A beliebig sein (wegen max unabhängig von A für mg = 0; vgl. auch oben)

• Für (zul - gl) 0, d.h. für ist die Bedingung nicht mehr erfüllbar, da bei dieser

Länge max = zul allein durch das Eigengewicht erreicht wird.

gzul

l

Aus der Bedingung max = Rm folgt dann:

mmaxmax RgA

mg l

gA

mg

g

Rmmax

l (2)

max zul

3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des DrahtsDie Verschiebung berechnen wir wegen der von z abhängigen Längskraft aus der allgemei-nen Verschiebungsgleichung (2.22) für die Zug/Druck Beanspruchung.

Cz

E2

gz

EA

mgCzdz

E

g

EA

mgCzd

zEA

zFzw 2L

ll

2. Maximale Drahtlänge bis zum Reißen Der Draht wird reißen, wenn die maximale Spannung die Zugfestigkeit Rm erreicht.

und mit 2d4

1A

Ende?



w (z=0)=0

0C2E

g 2

l

Die Integrationskonstante C in w(z) berechnen wir aus der Randbedingung

2

2E

gC l

Damit ergibt sich für die Verschiebung der Drahtpunkte in Abhängigkeit von z:

)zz(22E

gz

EAmg

w(z) 2

l (3)

Aus (3) erhalten wir die Gesamtverlängerung des Drahts, indem wir für z = l setzen:

2max 2E

gEAmg

)w(zw lll

(4)

Nachfolgend werden für die oben gegebene Zahlenwerte die Ergebnisse angegeben (die Zahlenrechnung sollte der Leser zur Übung selbst durchführen).

Aus Gleichung (1) folgt

1. Erforderlicher Seilquerschnitt A:

.mm868,0derf

Beachte: Mit diesem gewählten Wert dgew = 0,9 mm (bzw. mit Avorh = 0,636 mm2) müssen alle nachfolgenden Rechnungen durchgeführt werden!

(das entspricht einer Querschnittsfläche von Avorh 0,636 mm2)mm 9,0dgew

Da man einen Draht mit diesem erforderlichen Querschnitt kaum finden wird oder herstellen lassen kann, wählt man ein verfügbaren oder herstellbaren Draht mit dem nächst größeren Querschnitt aus, z. B. mit dem Durchmesser

Ende?



Hinweis: Für mg = 0 (frei hängende Draht) wird die maximale Verlängerung bei der maximalen Drahtlänge lmax

wmax = w(z = lmax = 25,97 km) = 136,7 m !

2. Maximale Drahtlänge bis zum Reißen

Hinweis: Für mg = 0 (frei hängender Draht) wird die maximale Länge, bei der der Draht reißt, lmax = 25,97 km !

Aus Gleichung (2) folgt mit Avorh

mk96,19max l

21104 zmm100265,2z10501,42w(z)

3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Seiles

Aus Gleichung (3) folgt mit Avorh die Verschiebung in Abhängigkeit von z zu

mm94,87wmax

Aus (4) erhalten wir die Gesamtverlängerung des Drahts der Länge 36 m zu

Ende?



Beispiel 2.3 Eingespannter Stab mit Einzellast und Temperaturbelastung

l1 l2

F

A, E, , TA, TE

A Bz1 z2

FA

FL1 = FA

z1 FFA

z2

FL2 = FA+F

1. Lagerreaktionen:FFA FB

: FA + F - FB = 0

Hinweis: Mit (1) liegt eine Gleichung für zwei unbe-kannte Lagerreaktionen FA und FB vor. Allein daraus lassen sich die Lagerreaktionen also nicht berechnen! Das bedeutet

Das Problem ist statisch unbestimmt! Zur Lösung muss das Verformungsverhalten

des Stabes betrachtet werden!

FB = FA + F (1)

Gegeben: F = 6105 N, l1 = 1200 mm, l2 = 800 mm, A = 2000 mm2, E = 2,1105 N/mm2,

=1210–6 K–1, Ausgangstemperatur TA = 20 C, Endtemperatur TE = 50 C,

(Annahme: Eigengewicht vernachlässigbar, d. h. es werden nur Längsbelastungen berücksichtigt)

Bild 2.23 Eingespannter Stab mit Einzellast und Temperaturbelastung

Gesucht: 1. Lagerreaktionen an den Einspannstellen A und B

2. Normalspannungen im Stab3. Endtemperatur TE , für die die Normal-

spannung am Lager B Null wird.

Mit den Schnittgrößen, die in Bild 2.23 bereits als Zwischenergebnis eingetragen sind und mit T = TE - TA (siehe Seite 179) können wir die Verschiebungen in den zwei Bereichen des

Stabes mit Hilfe von Gleichung (2.25) aufschreiben.

Ende?



Mit der Gleichung (1) und den Bedingungen 1. bis 3. liegen vier Gleichungen für die vier Unbekannten FA, FB, C1 und C2 vor.

Die Verschiebungen müssen noch folgende Rand- und Übergangsbedingungen erfüllen:

1. w1(z1=0)=0 2. w1(z1=l1)=w2(z2=0) 3. w2(z2=l2)=0

111A

1111L

11 CzTzEA

FCzTz

EA

F)(zw 1. Bereich 0 z1 l1:

222A

222L2

22 CzTzEA

FFCzTz

EA

F)(zw

2. Bereich 0 z2

l2:

aus 2.: 2

0

111A CCT

EA

F

ll 11A

2 TEA

FC ll

0CTEA

FF222

A

llaus 3.: 0TEA

FT

EA

FF11

A22

A

llll

In der letzten Gleichung ist nur noch FA unbekannt und es folgt durch Auflösen nach FA

aus 1.: C1 = 0

Wir erhalten

EATF

F21

2A

ll

l(2)

Aus (1) FB = FA + F folgt mit (2): EATF

F21

1B

ll

l(3)

Ende?



2. Normalspannungen:

Mit der Lagerreaktion FA nach Gleichung (2) sind die Schnittgrößen (siehe Bild 2.23) berechenbar. Damit erhalten wir aus Gleichung (2.19) die Normalspannungen zu:

1. Bereich: 0 z1 l1

(4) ETA

F

ll

l

A

F

A

Fz

21

2A1L1z

2. Bereich: 0 z2 l2

(5) ETA

F

A

FF

A

Fz

21

1A2L2z

ll

l

3. Endtemperatur TE , für = 0 am Lager B

Aus (5) folgt mit der Bedingung (z2=l2) = 0:EA

FTTT

21

1AE

ll

l

EAF

TT21

1AE

ll

l(6)

N1011,52N1012,1560,3F 55B

222z mmN576mmN756180z

C27,14C7,1420TE 3. Endtemperatur:

221z mmN876mmN756120z 2. Spannungen:

N1052,17N1012,1540,2F 55A

Mit den gegebenen Zahlenwerten erhalten wir aus (2) bis (6):

1.Lagerreaktionen: Hinweis: Man beachte die stark überwiegenden Anteile (jeweils zweites Glied in den Klammern) bei den Lagerreaktionen und bei den Spannungen aus der Temperaturbe-lastung T !

Ende?



mg

2.2.2 Flächenpressung

Beachte: Die reale Verteilung der Flächenpressung p (Bild 2.24 c zeigt eine realitätsnahe Verteilung) ist von der Geometrie und den Steifigkeiten der sich berührenden Körper abhängig und kompliziert zu berechnen.

Beachte: Die reale Verteilung der Flächenpressung p (Bild 2.24 c zeigt eine realitätsnahe Verteilung) ist von der Geometrie und den Steifigkeiten der sich berührenden Körper abhängig und kompliziert zu berechnen.

Als Flächenpressung p bezeichnet man die Druckbeanspruchung normal zur Berührungs-ebene zweier Körper (Berührungsspannung). Die sich berührenden Flächen können dabei eben oder gekrümmt sein.

Als Flächenpressung p bezeichnet man die Druckbeanspruchung normal zur Berührungs-ebene zweier Körper (Berührungsspannung). Die sich berührenden Flächen können dabei eben oder gekrümmt sein.

•

A

mg

A FN

b)

g

Bereich derFlächenpressung

m

•

a)Bild 2.24 Flächenpressung in ebenen Berührungsflächen

Um eine für die praktische Anwendung handhabbare Berech-nungsmöglichkeit zu erhalten, arbeitet man mit vereinfachenden Annahmen über die Verteilung der Flächenpressung in der Kontaktebene (vgl. Bild 2.24 d).

c)

reale Verteilungvon p

reale Verteilungvon p

p=konst.(Annahme)

p

d)

Ende?



Ebene Berührungsflächen

Annahme: Die Flächenpressung p sei konstant über die Berührungsfläche A verteilt.Annahme: Die Flächenpressung p sei konstant über die Berührungsfläche A verteilt.

Diese Annahme würde richtig sein, wenn man ideal starre Körper mit ideal ebenen Berührungs-flächen A voraussetzen könnte, was in der Praxis natürlich nie zutrifft. Trotzdem kann in der Anwendung oft die obige Annahme getroffen werden. Für die Flächenpressung p in ebenen Berührungsflächen (vgl. Bild 2.24 b und d) gilt dann

A

Fp N

A

Fp N mit FN - Druckkraft senkrecht zur Berührungsfläche A (2.27)

Für einen Spannungsnachweis, eine Dimensionierung oder eine Belastbarkeitsrechnung bezüglich der Flächenpressung muss die Bedingung

p pzulp pzul

erfüllt werden. Aus dieser Ungleichung lässt sich dann die gesuchte Größe ermitteln.

Hinweis: Zulässige Werte für pzul werden in der Regel durch das „weichere“ Material der Materialpaarung bestimmt. Absolute Größen können allgemein nicht angegeben werden, da spezielle Einsatzbedingungen wie Verschleiß, Dauerfestigkeit usw. die Größe wesentlich bestimmen. Der Maximalwert für p ist theoretisch die Bruchspannung des Materials.

Hinweis: Zulässige Werte für pzul werden in der Regel durch das „weichere“ Material der Materialpaarung bestimmt. Absolute Größen können allgemein nicht angegeben werden, da spezielle Einsatzbedingungen wie Verschleiß, Dauerfestigkeit usw. die Größe wesentlich bestimmen. Der Maximalwert für p ist theoretisch die Bruchspannung des Materials.

Tabelle 2.5 Richtwerte für pzul

Material pzul in N/mm2

gewachsener Boden 0,25Mauerwerk 0,75

Stahl 100

Ende?



Beispiel 2.4 Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler

Ein Doppel-T-Träger liegt auf zwei Stützpfeilern auf. Die Belastung F wird symmetrisch eingeleitet.

FN=F/2

B

pL

FF

L B

Schnitt an derKontaktfläche

Bild 2.25 Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler

LB2

F

A

Fp N

aus Gleichung (2.27)

Für die Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler folgt mit (vgl. Bild 2.25)

(Normalkraft) und A = B L (Auflagefläche)F2

1FN

Ende?



FD = 2F

Annahme: Die Komponente der Flächenpressung in Richtung der resultierenden Druckkraft FD sei konstant über die zu FD senkrechte Projektionsfläche AProj verteilt.

Annahme: Die Komponente der Flächenpressung in Richtung der resultierenden Druckkraft FD sei konstant über die zu FD senkrechte Projektionsfläche AProj verteilt.

Gekrümmte Berührungsflächen(Zapfenlagerung, Gleitlager, Bolzen und Niete in Bohrungen usw.)

Die Flächenpressung zwischen einer Welle bzw. einem Bolzen und der Gleitlager- bzw. Bohrungswand heißt auch Lochleibungsdruck.

tatsächlichbelasteteFläche

FD = 2F (Druckkraft)AProj = 2rb (Projektionsfläche)

Für die Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager folgt mit (vgl. Bild 2.26):

AProj

p

Mit dieser Annahme gilt:

Proj

D

A

Fp

Proj

D

A

Fp mit FD - Druckkraft senkrecht zur Projektionsfläche AProj (2.28)

Beispiel 2.5 Flächenpressung zwischen Welle und GleitlagerF

F

b

r

Bild 2.26 Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager

br

F

A

Fp

Proj

D

aus Gleichung (2.28)

Ende?



Hinweis: Die reale Verteilung von p ist von der Geometrie und den Steifigkeiten abhängig und kompliziert zu berechnen. Für eine Welle in einem Lager (ohneSpiel) könnte derVerlauf beispiels-weise wie folgtaussehen:

Hinweis: Die obige Annahme einer konstanten Verteilung der Flächenpressung über die projizierte Fläche AProj liefert die gleiche resultierende Druckkraft FD wie die Annahme einer konstant verteilten Flächenpressung p senkrecht zur Berührungsfläche. Mit der folgenden Rechnung soll diese Aussage für das Beispiel 2.5 bewiesen werden.

Hinweis: Die obige Annahme einer konstanten Verteilung der Flächenpressung über die projizierte Fläche AProj liefert die gleiche resultierende Druckkraft FD wie die Annahme einer konstant verteilten Flächenpressung p senkrecht zur Berührungsfläche. Mit der folgenden Rechnung soll diese Aussage für das Beispiel 2.5 bewiesen werden.

Bedeutung hat die Flächenpressung bei der Auslegung von Gewinden, Klemm- und Presssitzen, Kupplungen, Passfedern und Keilen, Stiftverbindungen usw. Hier sind häufig auch spezielle Berechnungsvorschriften zu beachten.

Hinweis: Genauere Untersuchungen der Flächenpressung können nach der Theorie vonH. HERTZ vorgenommen werden. Man spricht dann auch von HERTZscher Pressung.Hinweis: Genauere Untersuchungen der Flächenpressung können nach der Theorie vonH. HERTZ vorgenommen werden. Man spricht dann auch von HERTZscher Pressung.

Es gilt (vgl. Bild 2.27): dFV = p sindA = p sinbrdDie Integration über den Halbkreis liefert:

0

0v cos-pbrd sin pbrdF

Bild 2.28 Realitätsnaher Lochleibungsdruck

FD

pmax p() = pmaxsin Bild 2.27 Resultierende für p = konst. über Halbkreisfläche

rTiefe der Bohrung b

p

FD

dA = brd

dAProj = dAsin

dF = pdA

dA

FV = pbr2 = pAProj = FD(Was zu beweisen war!)

dFV = pdAsin

Ende?



Das Ziel in diesem Kapitel ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Balken infolge der Biegemomente Mbx und Mby.

2.3 Biegung

2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen• Wir betrachten zunächst einen geraden, prismatischen Balken mit der Balkenachse z und

den Querschnittsachsen (x,y), der auf reine Biegung um die x-Achse (Mbx = konst., Mby = 0, FQy = 0, FL = 0) belastet ist (Bild 2.29, links). Eine endgültige Festlegung der Lage und der Orientierung des Koordinatensystems relativ zum Querschnitt ergibt sich aus den Annahmen und Schlussfolgerungen des Kapitels 2.3.2.

Beispiel für reine Biegung:

M0

Fa F aBeispiel für reine Biegung und Querkraftbiegung:

reine Biegung

Fa+ Mbx

Mbx = M

0

+

FQy = 0

•

Balkenachse

x yz

FQy

+-

FF

•x

yz Balkenachse

Bild 2.29 ReineBiegung undQuerkraftbiegung

Hinweis: Die im Folgenden hergeleiteten Formeln lassen sich auch mit guter Näherung für schwach gekrümmte Balken, Balken mit stetig veränderlichen Querschnitten und Balken mit Querkraftbiegung(Mbx = Mbx(z), FQy 0, siehe Bild 2.29, rechts) anwenden.

Querkraft-biegung

Ende?



Bernoulli-Hypothese:Eine im unverformten Zustand senkrecht zur Balkenachse stehende ebene Querschnitts-fläche, bleibt bei einer reinen Biegeverfor-mung eben und steht senkrecht zur verformten Balkenachse (Bild 2.30).

Balkenachse

Bild 2.30 Verformungen nach der BERNOULLI-Hypothese

• Durch die Biegemomentenbelastung Mbx entstehen im Querschnitt Normalspannungen z senkrecht zur Querschnittsfläche, die bei reiner Biegung keine resultierende Kraftwirkung haben und deshalb in einem Teil des Querschnitts positiv (Zugspannungen) und im anderen Teil negativ (Druckspannungen) sein müssen (siehe Bild 2.30 weiter unten).

• Die positiven und negativen Normalspannungen z erzeugen Dehnungen z in z-Richtung, die zu einer Krümmung (Biegeverformung) der ursprünglich geraden Balkenachse führen.

• Zur Berechnung der Normalspannungen z und der Biegeverformungen ist eine Annahme von J. BERNOULLI, die so genannte BERNOULLI-Hypothese oder auch Normalenhypothese, Grundlage der elementaren Biegetheorie.

z

y

x• . . . . .

• Diejenige Balkenachse, für die die Normalspannungen z (und damit auch die Dehnungen z) Null sind, bezeichnen wir als neutrale Faser oder als neutrale Schicht.

MbxMbx

verformte Balkenachse neutrale Faser (Spannung z = 0 und Dehnung z = 0)

... .

.

Druckspannungen

Zugspannungen

Ende?



Bild 2.31 Normalspannung x infolge Mbx

Hinweis: Die BERNOULLI-Hypothese trifft für die Querkraftbiegung nicht zu, da es infolge von Schubspannungen zu Gleitungen und damit zu einer Verwölbung des Querschnitts kommt. Mit der Annahme der BERNOULLI-Hypothese vernachlässigen wir also die Wirkung der Schubspannungen. Das hat sich in der Praxis jedoch bewährt, da bei Balkentragwerken der Schubeinfluss im Verhältnis zu den Biegenormalspannungen gering ist.

2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung

Definition: Man spricht von gerader Biegung, wenn es bezüglich der (x,y)-Achsen nur ein Biegemoment Mbx mit daraus folgender Biegeverformung in der (y,z)-Ebene bzw. nur ein Moment Mby mit Biegeverformung in der (x,z)-Ebene gibt.

• die Querdehnung in x- und y-Richtung unbehinderte sind (x = 0, y = 0),

T = 0 ist,gilt nach dem HOOKEschen Gesetz für die Spannung z infolge eines Biegemomentes Mbx für einen beliebigen Punkt P im Querschnitt z (siehe Bild 2.31)

Mbx

dA

zdAP

neutrale Faser(Schicht)

zx

y

y,zEy,z zz y,zEy,z zz (2.29)

Mit den Voraussetzungen (vgl. Bild 2.31), dass

• nur Mbx wirkt und damit die Biegeverformung in der (y,z) -Ebene erfolgt,• die Dehnungen und die Spannungen unabhängig von x sind,• die Balkenachse z in der neutralen Faser liegt,

Ende?



d

dz

MbxMbx

dz

Bild 2.32 Verformung eines differentiellen Balkenelements dz

Infolge dieser Spannungen (2.29) krümmt sich ein ursprünglich gerades Balkenelement der Länge dz.

Die Dehnung z einer Faser im Abstand y

von der neutralen Faser (diese dehnt sich nicht!) wird

neutrale Faser

yP

y

ds P

Die Endquerschnitte bleiben wegen der Annahme der BERNOULLIschen Hypothese eben und stehen senkrecht zur gekrümmten Balkenachse (neutrale Faser, siehe Bild 2.32).

Alle Fasern mit y0 erfahren dadurch eine Dehnung.

z

y

d

ddy

dz

dzdsy,zz

mit (z) - Krümmungsradius.

Setzen wir diese Dehnung in die Gleichung (2.29) ein, so folgt für die Normalspannung

yz

Ezy,Ez)(y, zz

(2.30)

Den in Gleichung (2.30) noch unbekannten Krümmungsradius (z) und die Lage der neutralen Faser erhalten wir aus den folgenden Äquivalenzbedingungen zwischen der Spannung z und den Schnittgrößen im Querschnitt z. Da nur das Biegemoment Mbx wirken soll, gibt es keine resultierende Längskraft FL und kein resultierendes Moment Mby.

Ende?



0SAdy x

A

erfüllt für

Daraus folgt:

Folgerung: Sx ist genau dann Null, wenn die x-Achse durch den Flächenschwerpunkt S verläuft (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129). Das bedeutet, die neutrale Faser und damit die Balkenachse z muss durch den Flächenschwerpunkt S verlaufen.

0Adyz

EdAy,zzF

AAzL

0Adxyz

ExdAy,zzM

AAzby

0IAdxy xy

A

erfüllt für

Folgerung: Ixy ist genau dann Null, wenn die x-Achse und die y-Achse durch den Flächenschwerpunkt S verlaufen und Hauptachsen des Querschnitts sind (vgl. Kapitel 1.10.4, S 141 ff.).

A

2

Azbx Ady

zE

ydAy,zzM

xx

bx

EI

zM

z

1

(2.31)

mit (vgl. Kapitel 1.10.1, S 134) A

2xx AdyI

Setzen wir (2.31) in (2.30) ein, so erhalten wir die Normalspannung z für die gerade Biegung um die x-Achse infolge eines Biegemomentes Mbx zu

y

I

zMy,z

xx

bxz

yI

zMy,z

xx

bxz (2.32)

Ende?



So sind z. B. in Bild 2.33 bei einem Biegemoment Mbx > 0 die größten positiven Spannungen (z1 > 0) bei y = e1 und die größten negativen Spannungen (z2 < 0) bei y = e2 vorhanden.

Zusammenfassung:

• Ist (x,y,z) ein Hauptzentralachsensystem, so berechnen sich die Spannungen z(y,z) infolge einer Biegemomentenbelastung Mbx um die x-Achse (Biegeachse) aus der Gleichung (2.32)

• Die Normalspannungen z(y,z) infolge Mbx sind linear über den Querschnitt verteilt und werden für y=0 (neutrale Faser) Null.

Hinweis: Die Spannung ist unabhängig vom Elastizitätsmodul E des Materials!

• Die größten Normalspannungen treten in Punkten mit den größten Abständen von der x-Achse auf.

e1

e2

z1

z2

Allgemein gilt für die Randspannungen:

Mit diesen Biegewiderstandsmomenten kann man den in der Praxis oft benötigten Betrag der maximalen Normalspannung im Querschnitt z schnell angeben.

Wbx1 und Wbx2 sind die so genannten (Biege-) Widerstandsmomente (rein geometrische Querschnitts-kenngrößen), die für genormte Querschnitte in Tabellenform verfügbar sind (siehe z. B. Tabelle 2.6).

Bild 2.33 Normalspannungsverteilung

bx1

bx1

xx

bxz1 W

zMe

I

zMzσ

1

xxbx1 e

IWmit

bx2

bx2

xx

bxz2 W

zMe

I

zMzσ

2

xxbx2 e

IWmit

Mbx

x

y

S

max

xxminbx

minbx

bxmaxz e

IWmit

W

zM(z)σ

max

xxminbx

minbx

bxmaxz e

IWmit

W

zM(z)σ (2.33)

Es wird:

Mbx

Ende?



Beispiel 2.6 Träger mit Streckenlast und Einzellast (vgl. Beispiel 1.17, S 99)

Gegeben: q = 20 N/cm, a = 0,5 m, b = 2 cm, h = 3 cmGesucht: Ort und Größe der maximalen

Biegespannung

Die größten Biegespannung im Träger treten an der Stelle des vom Betrag größten BiegemomentesMbx = -q0a2 am Lager B auf.

AB

2a a

q F = qa

z1

y1

z1y1

h

b

y

x

B

Mbx-Verlaufq0a21

8_ q0a2

Den Schnittgrößenverlauf für das Biegemoment Mbx übernehmen wir vom Beispiel 1.17, S 103.

Bild 2.34 Träger mit Streckenlast und Einzellast

Im Querschnitt an diesem Lager ergeben sich die maximalen Spannungen am Rand y = emax = h/2.

Mit den Querschnittsgrößen eines Rechteckquerschnitts (siehe Kapitel 1.10.3, Tabelle 1.5, S 97)

6bh

eI

W und12bh

I2

max

xxminbx

3

xx (1)

folgt für den Spannungsverlauf über den Querschnitt am Lager B (Stelle z1 = 2a oder z2 = 0) aus (2.32)

(2) y

bh

qa12y

I

0zM0z,y

3

2

xx

2bx2z

Ende?



Die größten Spannungen am Lager B erhält man aus (2) für y = ±h/2 am unteren bzw. am oberen Rand.

Unterer Trägerrand bei B: 2

2

3

2

2zbh

qa62h

bh

qa120z,

2h

y

22zmm

N7,1660z,

2

hy

Oberer Trägerrand bei B: 22zmm

N166,70z,

2h

y

Die vom Betrag größte Spannungen am Lager B folgt auch aus Gleichung (2.33) mit dem Widerstandmoment Wbxmin aus Gleichung (1) zu:

22

2

minbx

2bxmax2z

mm

N166,7

bh

qa6W

0zM0zσ

Ende?



Den Biegemomentenverlauf Mb übernehmen wir vom Beispiel 1.16, S 98.

T 90 Aus der Tabelle 2.6 wählen wir einen T-Träger, für den wegen (1)

gilt.

3minbxx cm 14,58WW

Auszug aus DIN 1024

b=h

[mm]

A

[cm2]

e

[cm]

Ix

[cm4]

Wx

[cm3]

Iy

[cm4]

Wy

[cm3]

...

80

90

...

...

13,6

17,1

...

...

2,22

2,48

...

...

73,7

119

...

...

12,8

18,2

...

...

37,0

58,5

...

...

9,25

13,0

...

b

hx x

yy

e

Beispiel 2.7 Dimensionierung eines T-Trägers (vgl. Beispiel 1.16, S 98)

Gegeben: F = 2000 N, a = 0,5 m, zul = 240 N/mm2

Gesucht: Hochstegiger T-Träger nach DIN 1024

72Mb max= Fa

+

Mb - Verlauf

Hinweis: Das ist eine in der Praxis häufig vorkommende Dimensionierungsaufgabe bezüglich Festigkeit, d. h. der Querschnitt muss so bestimmt werden, dass |z|max< zul wird.

zulminbx

max bmaxz σ

W

Mσ

zulzul

max bminbx 2σ

7Fa

σ

MW

Aus der Ungleichung (1) kann Wbxmin

bzw. ein typischer Querschnittswert des vorgegebenen Querschnitts be-stimmt werden. Bei genormten Quer-schnitten findet man Wbx in entspre-chenden DIN-Tabellen (Tabelle 2.6).

Bild 2.35 Dimensionierung eines T-Trägers

Tabelle 2.6 Auszug aus DIN 1024

a a a a

F 2F 2FA B

z1y1

z2 z3 z4 nachDIN 1024

(1)3minbx cm58,14W

gilt. Das ist der T-Träger T 90, der die Bedingung (1) erfüllt:

33x cm 14,5818,2cmW

Ende?

Für die vier Bereiche mit konstantem Querschnitt werden an der Stelle des größten Biegemomentes Mbmax (vgl. Bild 2.35) die Spannungen maximal. Diese maximale Spannung muss die folgende Bedingung erfüllen:



Die neutrale Faser eines differentiellen Elementes dz des Trägers erfährt infolge der Biegebelastung eine Krümmung Bild 2.37 links, die der Kehrwert des Krümmungsradius (z) ist.

2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung

x

y

z

unverformteBalkenachse

•

Für die Berechnung der Verformungen sollen die in den Kapiteln 2.3.1 und 2.3.2 getroffenen Annahmen und Voraussetzungen ebenfalls gelten. Sie sollen hier wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung nochmals angegeben werden: • Das HOOKEschen Gesetz und die BERNOULLI-Hypothese sollen gelten.• Es liegt reine Biegung vor (Biegemoment ist konstant). Eine Anwendung auf veränderliche

Biegemomente kann mit ausreichender Genauigkeit vorgenommen werden.• Die Biegung erfolgt um eine Hauptzentralachse des Querschnitts. Ohne Einschränkung der

Allgemeinheit nehmen wir zunächst an, dass dies die x-Achse sei.

Wir definieren die Biegeverformung v(z) als die Verformung der neutralen Faser in y- Richtung infolge eines Biegemomentes Mbx(z). Die Funktion der Biege-verformung v(z) wird auch Biegelinie genannt (siehe Bild 2.36). Bild 2.36 Definition der Biegeverformung v(z)

Bild 2.37 Krümmung infolge Mbx (links) und mathematische Definition einer positiven Krümmung (rechts)

d (z)

dz

v(z)

Mbx

Mbx

. z dz

y

dx

y(x)

y

x

Definition der mathematisch positive Krümmung:

d

.

xx

bx

EI

zM

zρ

1 (2.34)

Nach Kapitel 2.3.2, Gleichung (2.31), folgt damit für die Krümmung

v(z)

verformteBalkenachse (Biegelinie)

F

dz

Ende?



Die mathematische Definition der positiven Krümmung einer Funktion y(x) ist in Bild 2.37 rechts dargestellt und berechnet sich aus

32(z)v1

(z)vz1

(2.35)

Der Vergleich der beiden Krümmungen in Bild 2.37 zeigt, dass nach unseren Definitionen der positiven Verformung v(z) und des positiven Biegemomentes Mbx ein positives Biegemoment eine negative Krümmung der Biegelinie v(z) erzeugt. Das bedeutet, dass beim Einsetzen von Gleichung (2.35) in (2.34) – wobei für y(x) v(z) zu setzen ist – dieses unterschiedliche Vorzeichen in der Krümmung berücksichtigt werden muss. Es folgt:

zEI

zM

zv1

zv

xx

bx32

(2.36)

Hinweis: Mit dieser nichtlinearen Differentialgleichung (2.36) muss bei der Berechnung von großen Verformungen im elastischen Bereich gerechnet werden!

Setzen wir nachfolgend kleine Verformungen v(z) voraus (vgl. Kapitel 2.1.1), so wird v(z) sehr klein, so dass [v(z)]2 gegenüber der „1“ im Nenner der Gleichung (2.36) vernachlässigt werden kann.

zMzvzEI bxxx zMzvzEI bxxx bzw. (2.37)

Das Produkt E·Ixx nennt man auch Biegesteifigkeit.

zEI

zMzv

xx

bx zEI

zMzv

xx

bx

Wir erhalten für kleine Verformungen aus Gleichung (2.36) die so genannte Differentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung in der Form

Ende?



Wird die Differentialgleichung 2. Ordnung (2.37) zweimal differenziert, so folgt

zMzvzEI bxxx

Mit den differentiellen Beziehungen zwischen den Schnittgrößen und der Linienlast qy (vgl. Kapitel 1.6.3, S 95)

zFM

zqF

Qybx

yQy zqzFzM yQybx

erhält man die Differentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung in der Form

zqzvzEI yxx zqzvzEI yxx (2.38)

und für den häufigen Fall konstanter Biegesteifigkeit EIxx = konst.

zqzvEI yxx zqzvEI yxx (2.39)

Ende?



Lösung der Differentialgleichung (DGL)

Die relativ einfache gewöhnliche DGL 2. Ordnung (2.37) bzw. die DGL 4. Ordnung (2.38) oder (2.39) lässt sich in der Regel wie folgt lösen:

• Die DGL wird bereichsweise (Bereichseinteilung wie bei der Schnittgrößenberechnung) durch zweimalige bzw. viermalige Integration gelöst. Veränderliche Biegesteifigkeiten EI bringt man zweckmäßig auf die rechte Seite der DGL.

• Die Lösung enthält bei n Bereichen: 2n Integrationskonstanten (DGL 2. Ordnung) bzw.

4n Integrationskonstanten (DGL 4. Ordnung). • Die Integrationskonstanten werden aus Rand- und Übergangsbedingungen (RB) an den Bereichsgrenzen ermittelt (siehe z. B. Tabelle 2.7 auf der nächsten Seite): - v und v (v = tan, wobei der Winkel von der z-Achse zur Tangente an die Bieglinie ist und auch Biegewinkel genannt wird) bei der DGL 2. Ordnung (auch als geometrische RB bezeichnet), - Mbx = -EIv und FQy = Mbx = -(EIv ) bei der DGL 4. Ordnung (auch als dynamische RB bezeichnet).

Frage: Welche der beiden Differentialgleichungen (2. oder 4. Ordnung) verwendet man zur Berechnung der Biegeverformung (oder kurz der Verschiebung)?

• Die DGL 4. Ordnung wird benutzt, wenn der Biegemomentenverlauf schwierig zu berechnen ist (z. B. bei komplizierten Belastungsfunktionen qy(z)). Jedoch erhält man in jedem Bereich vier Integrationskonstanten, so dass entsprechend mehr Rand- und Übergangsbedingungen aufgeschrieben werden müssen.

• Die DGL 2. Ordnung wird dann benutzt, wenn der Biegemomentenverlauf bereits bekannt ist bzw. in einfacher Weise berechenbar ist.

Empfehlung:

Ende?



DGL 2. Ordnung DGL 4. Ordnung

Tabelle 2.7 Beispiele für Rand- und Übergangsbedingungen

a

z1

y1,v1

b

z2

y2,v2

Biegelinie

a

F

M0zy,v Biegelinie

Beachte: • Bei statisch bestimmten Systemen ist die Anzahl der Randbedingungen gleich der Anzahl der Integrationskonstanten.

v (z=0) = 0v (z=0) = 0

Mbx (z=a) = - M0

FQy (z=a) = F

v (z=0) = 0v (z=0) = 0

M0

FFQy(z=a)

Mbx(z=a)

dz

v1(z1=0) = 0v1(z1=a) = 0v2(z2=0) = 0

v1 (z1=a) = v2 (z2=0)

RB wie DGL 2. Ordnung und zusätzlich nochMbx1(z1=0) = 0

Mbx1(z1=a) = Mbx2(z2=0)

Mbx2 (z2=b) = 0

FQy2 (z2=b) = 0

• Bei statisch unbestimmten Systemen gibt es in Abhängigkeit vom Grad der statischen Unbestimmtheit entsprechend mehr Randbedingungen.

Ende?



Schnittbild für Lagerreaktionenund Biegemomente:

a b

A B

q

C

FAV

FAH

FB

Bild 2.38 Träger auf zwei Stützen, Biegelinie, Lagerreaktionen, Bezugssysteme

Beispiel 2.8 Verformungen eines Trägers auf zwei Stützen (statisch bestimmt)

a b

A B

q

C

EI

Biegelinie

vCB

z1

y1,v1

z2

y2,v2

Gegeben: q, a, b, EI = konst.Gesucht: Biegelinie, Verschiebung vC bei C und Neigung B (Biegewinkel) bei B

Mit den Definitionen der Lagerreaktionen und der Bezugssysteme nach Bild 2.38 folgt nach kurzer Rechnung für die Lagereaktionen und für die Schnitt-größen in den beiden Bereichen:

qb2a

b1Fqb

2a

bF0F BAVAH

1

2

1AV1bx qz2a

bzFzM

222bx z-bq2

1zM

Hinweis: Da hier der Biegemomentenverlauf in den zwei Bereichen bekannt ist (siehe oben), bietet sich die Berechnung der Verformungen mit der Differentialgleichung 2. Ordnung (2.37) an.

Die Differentialgleichung 2. Ordnung schreiben wir nachfolgend für beide Bereiche auf und ermitteln die Verschiebungsfunktion (Biegelinie) durch zweimalige Integration.

Ende?



Die vier Integrationskonstanten c1 bis c4 folgen für diese statisch bestimmte Aufgabe aus vier Randbedingungen (siehe auch zweites Beispiel in Tabelle 2.7). Es ergibt sich mit den Gleichungen (1) bis (4):

Es folgt:

1. Bereich (0 z1 a):

1

2

1bx11 qz2ab

zM)(zvEI 222bx22 z-bq2

1zM)(zvEI

2. Bereich (0 z2 b):

121

2

11 cqz4a

b)(zvEI (1)

21131

2

11 czcqz12ab

)(zvEI (2)

33

222 cz-bq6

1)(zvEI (3)

4234

222 czcz-bq241

)(zvEI (4)

1. v1(z1=0) = 0

2. v1(z1=a) = 0

3. v2(z2=0) = 0

4. v1(z1=a) = v2(z2=0)

12

qabc

2

1

24

qbc

4

4

ba

1qb61

c 33Aus (5) folgt mit c1 noch die Konstante c3 zu

mit (2):

0acqa12a

b1

32

mit (2):

0cqb24

14

4 mit (4):

0c2

33

12

2

cqb6

1cqa

4a

b mit (1) und (3): (5)

Ende?



Die Verschiebung vc bei C folgt aus der Biegelinie (7) zu:

b

a3

24EI

qbb)(zvv

4

22C 4 (8)

Mit diesen Integrationskonstanten lassen sich jetzt die Biegelinien aus (2) bzw. (4) aufschreiben. Wir erhalten für die Biegelinien:

a

z

a

z

12EI

bqa)(zv 1

31

22

111. Bereich: (6)

b

z

b

a4

b

z6

b

z4

b

z

24EI

qb)(zv 2

22

32

42

4

222. Bereich: (7)

Der Biegewinkel (z) kann aus der ersten Ableitung der Biegelinie ermittelt werden, denn es gilt allgemein

)z(tan(z)v

Für die allgemein vorausgesetzten kleinen Verformungen sind auch die Biegewinkel klein und es kann gesetzt werden. Damit folgt für den Biegewinkeltan

)z(v)z(tan(z) )z(v)z(tan(z) (2.40)

6EI

qabcqa

4a

b

EI

1a)(zv

2

12

2

11B

6EI

qabcqa

4a

b

EI

1a)(zv

2

12

2

11B

(9)

Mit der Ableitung der Biegelinie (1) folgt für den Biegewinkel bei B aus Gleichung (2.40)

Ende?



Hinweis: Wegen der 4. Randbedingung gilt natürlich auch 0zvtan 22BB

Frage: Welches System entsteht, wenn die Länge a des 1. Bereichs gegen Null geht?

22

32

42

4

22 b

z6

b

z4

b

z

EI24

qbzv

EI8

qbbzvv

4

22C

Für den Biegewinkel bei B erhält man mit a = 0 aus (9) den Wert Null. Die Verschiebung ist natürlich wegen der 3. Randbedingung nach wie vor Null. Diese Ergebnisse entsprechen genau den Ergebnissen eines bei z2 = 0 eingespannten Trägers (Kragträger) der Länge b mit einer konstanten Linienlast (Bild 2.39).

Begründung: Der 1. Bereich wird für kleiner werdende Werte a immer „steifer“, bis er bei a = 0 in eine Einspannung übergeht.

q

BC

vC

b

Biegelinie

EI

y2, v2

z2

Bild 2.39

Für a = 0 verbleibt von den zwei Bereichen nur der zweite Bereich der Länge b mit einer Biegelinie, die sich aus (7) ergibt. Die Verschiebung vC bei C kann aus (8) mit a = 0 oder aus

der neuen Biegelinie mit z2 = b ermittelt werden. Wir erhalten für a = 0:

Ende?



Hinweis: Freiheitsgrad f = 3 - b = 3 - (3+1) = -1 1-fach statisch unbestimmt!

b = 3

b = 1D. h., Lagerreaktionen und Schnittgrößen sindnicht allein aus den Gleichgewichtsbedingungenberechenbar. Es werden Verformungsbetrachtungen, z. B. mit Hilfe der Biegelinie, notwendig.

Beispiel 2.9 Abgewinkelter Träger (statisch unbestimmt)

Gegeben: F, a, b, EI=konst.Gesucht: Lagerreaktionen, Biegelinie,

Verschiebung bei B,Biegewinkel bei B und C

a

b

A BF

EI

C

Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Schnittskizze in Bild 240):

a

b

A B

F

C

: FAH = FB (1) : FAV = F (2) A : MA = Fa-FBb (3)

In den 2 Gleichgewichtsbedingungen (1) und (3) sind noch 3 Unbekannte enthalten. Ihre Größe ist von den Steifigkeiten bzw. Verformungen des Systems abhängig. Wir betrachten die Verformungen (Biegelinie) des Systems, um eine zusätzliche Gleichung zur Berechnung aller Unbekannten zu erhalten. Dazu benötigen wir den Biegemomentenverlauf.

Mbx(z1) = - F(a - z1) + FBb Mbx(z2) = FB(b - z2)

z1

y1,v1

Biegemomentenverlauf (vgl. Schnittbilder von Bild 2.41):

Bereich 1:

Mbx(z1) = - MA + FAVz1

z2

y2,v2

Bereich 2:

Bild 2.40 Abgewinkelter Träger

FAH

FB

FAV

MA

FAV

MA

AFAH

z1

y1,v1

Mbx(z1)

Bild 2.41 1.Bereich

b-z2

FB

C

Mbx(z2)z2

y2,v2

Bild 2.41 2.Bereich

Ende?



bFzaFzM)(zvEI B11bx11 2B2bx22 z-bFzM)(zvEI

2. Bereich:1. Bereich:

Aus der DGL 2. Ordnung (2.37) folgt mit den Biegemomenten und nach zweimaliger Integration:

Für diese statisch unbestimmte Aufgabe lassen sich die folgenden fünf Randbedingungen angeben. Diese ergeben zusammen mit den drei Gleichgewichtsbedingungen acht Gleichungen für die acht Unbekannten FAH, FAV, MA, FB und c1 bis c4. Bei dieser Aufgabe ist aus der Gleichgewichtsbedingung (2) FAV bereits bekannt, so dass sich die Anzahl der Unbekannten auf sieben reduziert.

1. v1 (z1=0) = 0

4. v2 (z2=b) = 0

3. v2 (z2=0) = 0

5. v1(z1=a) = v2(z2=0)

2. v1(z1=0) = 0

11B2

111 cbzFzaF21

)(zvEI (4) 32

2B22 cz-bF21

)(zvEI (6)

21121B

3111 czcbzF

21

zaF61

)(zvEI (5) 4233

2B22 czcz-bF61

)(zvEI (7)

32 Fa

61

c 0cFa6

12

3 mit (5):

0cFa2

11

2 21 Fa

21

c mit (4):

0cbF6

14

3B 3

B4 bF61

c mit (7):

0cbc 43 2B43 bF

61

cb1

c mit (7):

32

B1B cbF2

1cbaF mit (4) und (6): (8)

Ende?



Aus der Gleichung (8) folgt mit den Konstanten c1 und c3 die Lagerreaktion FB zu:

ab

6ab

2

3FF

2B

Mit FB folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen (1) und (3) die

restlichen Lagerreaktionen FAH und MA, und es lassen sich noch die Konstanten c3 und c4 berechnen. Wir erhalten

ab

6ab

2

3FFF

2BAH

und Fa

ba

62

ba

32MA

sowie

ba

124

Fac

2

3

ba

124

bFac

2

4

und

Mit FB und den Integrationskonstanten lassen sich jetzt die Biegelinien (5) und (7) aufschreiben. Wir erhalten für die Biegelinien (qualitative grafische Darstellung siehe Bild 2.42):

1. Bereich:

31

21

31

21

3

11 a

z

b

a2

a

z

b

a3

a

z

3

2

a

z2

EIba

124

Fazv

2. Bereich:

32

2222

3

22 a

z

b

a

a

z

b

a3

a

z2

EIba

124

Fazv

ba

124

ba

34

EI3Fa

azvv3

11BDie Verschiebung bei B (vgl. Bild 2.42) folgt mit z1 = a aus der Biegelinie des 1. Bereichs zu:

Ende?



Für den Biegewinkel gilt allgemein die Gleichung (2.40) v . Damit folgt aus (4) und (6) nach dem Einsetzen von FB und der Integrationskonstanten der Verlauf der Biegewinkel (die Biege-winkel lassen sich auch aus der ersten Ableitung von v1(z1) und v2(z1) berechnen):

1. Bereich:

211

211

2

1111 a

z

b

a3

b

z3

a

z

a

z2

EIba

62

Fazvz

2. Bereich:

222

2

2222 b

z3

b

z62

EIba

124

Fazvz

Die Biegewinkel bei B und C werden damit (vgl. Bild 2.42):

EI

ba

62

Fa0zaz

2

2211B

EI

ba

124

Fabz

2

22C

Hinweis: Für b wird der 2. Bereich so „biegeweich“, dass sein Einfluß auf den 1. Bereich praktisch verschwin-det. Aus dem 1. Bereich ergeben sich damit die Lösungen für einen Kragträger (Bild 2.43) mit Einzellast bei B. 3EI

Fav

3

B 2EI

Fa2

B

Bild 2.42 Verformtes System

A B

Fa

C

b

vB= v1(z1=a)B

c

vB

Biegelinie

Bild 2.43 Kragträgermit Einzellast

FB

a

vB

B

Biegelinie

Ende?



Wegen der komplizierteren Belastungsfunktion q(z) (vgl. Bild 2.44) soll hier die Lösung mit Hilfe der DGL der Biegelinie 4. Ordnung (2.39) erfolgen. Wir setzen die Belas-tungsfunktion q(z) in (2.39) ein und integrieren viermal.

Gegeben: q0, a, EI=konst.Gesucht: Lagerreaktionen, Schnittgrößenverläufe,

Biegelinie, Biegewinkel

2

0 az

1qq(z)(z)vEI

Randbedingungen:

4. v(z=a)=0

3. Mbx(z=a)=-EIv(a)= 0

1. v(z=0)=0

2. Mbx(z=0)=-EIv(0)=0

Beispiel 2.10 Träger mit quadratischem Verlauf der Linienlast

Bild 2.44 Träger mit quadratischem Verlauf der Linienlast (oben); Definition der Lager-reaktionen (unten)

A B

a FB

FAH

FAV

2

0 az

1qq(z)

z

y,v

A B

a

2

0 az

1qq(z)

z

1

3

0 caz

31

az

aq(z)vEI

(1)

21

422

0 czcaz

121

az

21

aq(z)vEI

(2)

322

1

533

0 czczc21

az

601

az

61

aq(z)vEI

(3)

432

23

1

644

0 czczc21

zc61

az

3601

az

241

aqv(z)EI

(4)

c4=0

c2=0

Ende?



Aus der 3. Randbedingung folgt mit (2): 0ac12

1

2

1aq 1

20

aq

12

5c 01

303 aq

360

11c und mit c1

0acac6

1

360

1

24

1aq 3

31

40

Aus der 4. Randbedingung folgt mit (4):

Mit den Integrationskonstanten folgt aus (4) nach einigen Umformungen die Biegelinie und durch Differentiation der Biegelinie der Biegewinkel, der auch aus (3) berechnet werden könnte.

az

11az

25az

15az

EI360

aqv(z)

34640 Biegelinie

11

az

75az

60az

6EI360

aq(z)v(z)

23530 Biegewinkel

Beachte: Die Biegelinie und der Biegewinkel konnten ohne Berechnung der Schnittgröße Mbx(z) ermittelt werden. Darin besteht unter anderem der Vorteil der Anwendung der Differentialgleichung 4. Ordnung. Bei der Anwendung der DGL 2. Ordnung hätte man zunächst das Biegemoment Mbx(z) berechnen müssen.

Die Biegelinie und der Biegewinkel sind qualitativ in Bild 2.45 dargestellt.

Bild 2.45 Biegelinie und Biegewinkel

A Bz

y, v

v(z)

q(z)

(z) v(z)

Ende?



Für die Berechnung der Schnittgrößen und Lagerreaktionen werden noch die höheren Ableitungen der Biegelinie benötigt. Die zweite und dritte Ableitung der Biegelinie lautet:

a

z5

a

z6

a

z

EI12

aqzv

2420 (5)

5

a

z12

a

z4

12EI

aqzv

30 (6)

Der Biegemomentenverlauf kann bei bekannter Biegelinie und deren Ableitungen sofort aus der Differentialgleichung 2. Ordnung berechnet werden. Aus Gleichung (2.37) folgt mit Gleichung (5):

Mbx(z)= - EIv(z)

az

5az

6az

12

aq(z)M

2420

bx

Die Querkraft folgt aus der differentiellen Beziehung zwischen dem Biegemoment und der Querkraft (siehe Kapitel 1.6.3, Gleichung (1.25), S 95) und (6) zu:

FQy(z)= Mbx(z)= - EIv(z)

5

az

12az

412

aq(z)F

30

Qy (7)

Ende?



Zur Berechnung der Lagerreaktionen führen wir in einem differentiellen Abstand dz vom Lager einen Schnitt und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen am jeweiligen freien Teilsystem (Bild 2.46) auf.

Bild 2.46 Schnitt bei A (oben); Schnitt bei B (unten)

A

FQy(z=0)

FAH

FAVdz

y,v

q(z)

B

FB

z=ay,v

dz

FQy(z=a)

q(z)

Schnitt im differentiellen Abstand dz von A:

: FAV = FQy(z=0) mit (7): aq12

5F 0AV

Schnitt im differentiellen Abstand dz von B:

: FB = - FQy(z=a) aq4

1F 0B mit (7):

Ende?



2.3.4 Schiefe Biegung

Definition: Schiefe Biegung liegt vor, wenn der resultierende Biegemomentenvektor Mb nicht mit einer der beiden Hauptzentralachse x bzw. y des Querschnitts zusammenfällt.

Wir zerlegen den Biegemomentenvektor Mb in seine Komponenten in x- und y-Richtung, wobei wir die positive Definition der Schnittgrößen (siehe Kapitel 1.8.4, S 123) benutzen. Damit lässt sich die schiefe Biegung als Überlagerung zweier gerader Biegungen um die Hauptzentralachsen x und y behandeln (vgl. Gleichung (2.41) und Bild 2.47 weiter unten). Deshalb wird sie auch als Biegung um zwei Achsen bezeichnet.

+ Sx

y

Mby

gerade Biegung um die y-Achse

=

schiefe Biegung(Biegung um die x- und die y-Achse)

S

Mb

x

y

Sx

y

Mbx

gerade Biegung um die x-Achse

Bild 2.47 Überlagerung zweier gerader Biegungen zur schiefen Biegung(Biegung um zwei Achsen)

Für den in Bild 2.47 dargestell-ten Fall der Überlagerung zweier gerader Biegungen ergibt sich folgende Spannungsformel, die sich additiv aus der Gleichung (2.32) für die Biegung um die x-Achse und der analogen Glei-chung für die Biegung um die y-Achse zusammensetzt:

xzI

zMy

zI

zMx,y,z

yy

by

xx

bxz

xzI

zMy

zI

zMx,y,z

yy

by

xx

bxz (2.41)

Ende?



Bild 2.48 Überlagerung der Spannungen bei schiefer Biegung

yx

SMbx

Biegung um die x-Achse

Beachte: Aus der Gleichung (2.41) liest man ab, dass die Biegespannung z sowohl in x- als auch in y-Richtung linear über den Querschnitt verteilt ist (vgl. Bild 2.48).

Mit der Bedingung z = 0 folgt aus der Spannungsgleichung (2.41) für die schiefe Biegung eine Geradengleichung, die so genannte Spannungsnulllinie

xI

I

M

My

yy

xx

bx

by xI

I

M

My

yy

xx

bx

by (2.42)Spannungsnulllinie

Beachte: Die vom Betrag größte Biegespannung im Querschnitt z = konst. wirkt in dem Punkt, der die größte senkrechte Entfernung von der Spannungsnulllinie hat (siehe Bild 2.48).

schiefe Biegung

yx

SMbx

Mby=

y

x

SMby

Biegung um die y-Achse

+

y ySpannungs-nullinie

Ende?



Verformungen bei schiefer Biegung:

qxx, u

y, v

z

S

aWie bei der Spannungsberech-nung lässt sich die Verformungs-berechnung bei schiefer Biegung als geometrische Überlagerung zweier gerader Biegungen be-rechnen (vgl. Bild 2.49). Sind x und y Hauptzentralachsen mit den Verschiebungen u in x- und v in y-Richtung, so gelten für die Verformungen in beiden Ebenen die DGL 2. Ordnung (2.37) bzw. 4. Ordnung (2.38) unabhängig voneinander.

qy

v(z)

v(z=a)

u(z)

u(z=a)

v(z)

f(z)

f(z=a)

Bild 2.49 Verformung bei schiefer Biegung

Biegung um die x-Achse:(Verformung v in der yz-Ebene)

(z)M(z)vEI bxxx DGL 2. Ordnung

(z)q(z)vzEI yxx DGL 4. Ordnung

Es gilt somit für die Verschiebungen u und v:

Die geometrische Addition von u(z) und v(z) liefert die resultierende Gesamtverschiebung f(z) (vgl. auch Bild 2.49): zvzuzf 22 (2.45)

Biegung um die y-Achse: (Verformung u in der xz-Ebene)

(z)M(z)uEI byyy (2.43)

(z)q(z)uzEI xxx (2.44)

Ende?



x

y

Mbresd

Bild 2.50 Biegung eines Kreisquerschnitts

Jede Achse durch den Schwerpunkt des Kreis- bzw. Kreisring-querschnitts ist eine Hauptzentralachse. Deshalb sind für diese Achsen die axialen Flächenträgheitsmomente und die Wider-standsmomente gleich. Die Biegespannung und unter bestimmten Voraussetzungen (siehe unten) auch die Verformung kann nach der Theorie der geraden Biegung berechnet werden.

Sonderfall : Kreis- und Kreisringquerschnitt

Legt man in Richtung des resultierenden Momentenvektors Mbres

eine -Achse, dann gilt:x

(ansonsten Berechnung wie bei der schiefen Biegung - siehe vorige Seite)

x

y, v

64

dI

4

xx

und

2by

2bxbres MMM

2by

2bxbres MMM y

I

Mzy,

xx

bresz y

I

Mzy,

xx

bresz mit (2.46)

Die vom Betrag maximale Normalspannung infolge Biegung ergibt sich aus

b

breszmaxz W

Mz,

2

dy

b

breszmaxz W

Mz,

2

dy

(2.47)

32

dW

3

b

mit

Bleibt die Richtung von Mbres über z konstant, dann gilt die DGL 2. Ordnung in der Form

xx

bres

EI

(z)M(z)v

xx

bres

EI

(z)M(z)v

(2.48)

Ende?



Beachte:Sind die (x,y)-Achsen keine Hauptzentralachsen, sondern beliebige rechtwinklige Achsen durch den Schwerpunkt S, so gelten folgende Formeln zur Berechnung der Spannungen und Verformungen in einem Querschnitt bei z=konst. infolge einer Biegebeanspruchung.

yIII

IMIMx

III

IMIMx,y,z

2xyyyxx

xybyyybx2xyyyxx

xxbyxybx

y

III

IMIMx

III

IMIMx,y,z

2xyyyxx

xybyyybx2xyyyxx

xxbyxybx

Biegespannung:

2xyyyxx

xxbyxybx

IIIE

IMIM(z)u

2

xyyyxx

xxbyxybx

IIIE

IMIM(z)u

DGL 2. Ordnung zur Verformungsberechnung:

2xyyyxx

xybyyybx

IIIE

IMIM(z)v

2

xyyyxx

xybyyybx

IIIE

IMIM(z)v

Resultierende Gesamtverschiebung f(z): zvzuzf 22 zvzuzf 22

Hinweis: In diesen Gleichungen sind die Gleichungen für Hauptzentralachsen und für die gerade Biegung als Sonderfälle enthalten.

Ende?



dy

b(y)

y

zdA

dA

dz)dAz

( zz

dz)dAz

( zyzy

zydA dy)dzb(y)y

( yzyz

yzdzb(y)

dz

2.4 QuerkraftschubDas Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen (Schubspannungen ) und Verformungen in geraden Balken infolge der Querkraft FQ.

Annahmen• Die Querkraft FQ wirkt in Richtung einer Hauptzentralachse des Querschnitts (ohne

Einschränkung der Allgemeinheit sei dies hier die y-Achse).• Der Querschnitt sei konstant.• Die aus der Querkraft folgenden Schubspannungen seien parallel zu FQ.• Über die Breite des Querschnitts (senkrecht zu FQ bzw. in x-Richtung) sind die

Schubspannungen konstant.

dz

S

y

xz

Mbx

FQy

dy

b(y)

dA=dyb(y)

y

Momentengleichgewicht um die Achse a-a liefert (Vernachläs-sigung der Größen, die von höherer Ordnung klein sind):

2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung Aus einem auf Biegung und Querkraftschub beanspruchten Balken schneiden wir ein Element dz heraus und betrachten eine Schicht im Abstand y mit den Abmessungen dy, b(y), dz und tragen

die aus den Spannungen resul-tierenden Schnittgrößen an (Bild 2.51).

zydAdzyzdzb(y)dy = 0.

a

a

Bild 2.51

Ende?



Gesetz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen: Schubspannungen in senkrecht aufeinander stehenden Flächen sind gleich groß und entweder auf die gemeinsame Kante zugerichtet oder von ihr weggerichtet (vgl. Bild 2.51).

zy = yzzy = yz

Mit dA=dyb(y) folgt

Gesetz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen (2.49)

Zur Berechnung der Schubspannungen führen wir am Element dz einen Schnitt bei y = konst. und betrachten das untere abgeschnittene Teilsystem mit der Querschnittsfläche Ay. An den Schnittstellen des abgeschnittenen unteren Teils werden wieder die aus den Spannungen resultierenden Schnittgrößen angetragen (siehe Bild 2.52).

dz

S

y,

xz

Mbx

FQy

Ay

d

b(y)

b(

zdA

dz)dAz

σ(σ z

z

dz)dAz

( zyzy

zydA

b(y)dzyz

dA= b(d

dz

S

y

xz

yb(y)

Ay

Bild 2.52 Schnitt bei y = konst.; Teilsystem mit Belastungen

Kräftegleichgewicht in z-Richtung am abgeschnittenen Teilsystem liefert:

.b(y)dzdAσ

dz)dAz

σ(σ

yz)(A

z

)(A

zz

y

y

Mit dem Gesetz über die zugeordneten Schubspan-nungen (2.49) folgt:

b(y)

dAz

z)(y,z)(y,)(A

z

yzzyy

Ende?



)(Axx

Qy

)(Axx

bx)(A

z

zy

yy

y dAb(y)I

(z)FdA

b(y)Iz(z)M

b(y)

dAz

z)(y,

folgt für die Schubspannung bei Annahme eines konstanten Querschnitts

Mit der Spannungsgleichung (2.32) und der differentiellen Beziehung zwischen dem Biegemoment und der Querkraft (vgl. Kapitel 1.6.3, S 95)

xx

bxz I

zM,z)(

dz(z)dM

zF bxQy und

y

b(y)

Ay

Sx

FQy

SAy

ySAy(y)yRand

Bild 2.53 Berechnung von Sx(y)

Mit dem auf die x-Achse bezogenen statischen Moment Sx(y) der bei y abgeschnittenen Fläche Ay (siehe Bild 2.53)

wird die Schubspannung:

b(y)I

(y)S(z)Fz)(y,

xx

xQyzy

b(y)I

(y)S(z)Fz)(y,

xx

xQyzy

(2.51)

ySA

y

y)(Ax A(y)yd)b(dA(y)S

y

Rand

y

ySA

y

y)(Ax A(y)yd)b(dA(y)S

y

Rand

y

(2.50)

Beachte: Die im Querschnitt bei y = konst. ermittelte Schubspannung zy in y-Richtung ist auch in einem Längsschnitt in z-Richtung des Balkens in gleicher Größe vorhanden (wegenyz = zy). Diese Schubspannun-gen verhindern das gegenseitige Verschieben der Trägerschichten. Bei geklebten, geschweißten, genieteten usw. Schichten müssen die Schubspannungen durch diese Verbindungselemente aufgenommen werden.

Ende?



Beispiel 2.11 Querkraftschubspannungen für Kragträger mit Rechteckquerschnitt

Fmax

Beachte: Die Schubspannung max muß vom Material des Trägers in der Schicht y=0 über-tragen werden.

Für den Kragträger (Bild 2.54) gilt:

FQy = F12

bhI

3

xx

F

yz

h

b

xy

S

bh

F

h

y41

2

3

b(y)I

(y)S(z)Fz)(y,

2

xx

xQyzy

Damit ergibt sich aus (2.51) für die Schubspannung der folgende quadratische Verlauf (siehe Bild 2.55):

FQy

x

ybh

F

2

3z)0,(yund0z),

2

h(y zymaxzy

mit den markanten Werten

max

= 0

= 0

F

Würde der Träger aus zwei lose übereinanderliegenden Teilen bestehen ( in der Kontaktebene), so würden sich diese bei der Biegung gegeneinander verschieben.

22

ySAx h

y41

8

bhby

2

h

2

hy

2

1A(y)y(y)S

y

Das statische Moment Sx(y) wird nach Gleichung (2.50)Bild 2.54 Kragträger

Bild 2.55 Schubspannungs-verlauf aus FQy im Rechteckquer-schnitt

AySAy

2h

y21

Ende?



F

y,v z

Bild 2.57 Gleitungen infolge Querkraftschubbelastung

2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftschub

Mit dem HOOKEschen Gesetz (siehe Kapitel 2.1.4.3, Gleichung (2.15)) lässt sich mit der Schub-spannung zy nach Gleichung (2.51) für einen auf Querkraftschub beanspruchten Balken die Gleitung (Winkeländerung) wie folgt berechnen:

b(y)GI

(y)S(z)F

G

z)(y,z)(y,

xx

xQyzyzy

(2.52)

dz

a) Verformtes Element infolge der Querkraftschubspannungen

y,v

z

zy(y,z)+dzy

zy(y,z)v(z)

dv(z)

zy=0

zy=0dz

zy max

b) Annahme im Querschnitt z: zy=m(z), zy=m(z)

y,v

z

m(z)+dm

m(z)v(z)

dv(z)

m(z)

m(z)

dz

Da das statische Moment Sx und gegebenenfalls auch die Breite b Funktionen von y sind, ist die Gleitung ebenfalls von y abhängig, und es kommt deshalb zu einer Verwölbung des Querschnitts (siehe Bild 2.57 a). Die Gleitung zy hat nach Gleichung (2.52) den gleichen funktionellen Verlauf wie die Schubspannung zy.

Um eine Abschätzung der Verschiebung infolge der Schubspannungen aus den Querkräften zu erhalten, wird für jeden Querschnitt z eine mittlere Winkeländerung m(z) und eine mittlere Schubspannung m(z) angenommen (vgl. Bild 2.57 b).

Ende?



Aus dem Bild 2.57 b) ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der Verschiebung v(z) und der mittleren Gleitung m:

(z)(z)vdz

dv(z)m

Mit dem HOOKEschen Gesetze für den reinen Schub (2.15) infolge der mittleren Schubspannung m folgt daraus

G

(z)(z)(z)v m

m

(2.53)

Ist m(z) bekannt, kann aus dieser DGL 1. Ordnung eine Näherungslösung für die Verschiebung v(z) infolge Querkraftschubbelastung ermittelt werden. Im einfachsten Fall bestimmt man die mittlere Schubspannung aus dem Quotienten von Querkraft FQy und der Querschnittsfläche A und korrigiert den Wert mit einem Korrekturfaktor (Schubverteilungszahl), der den Einfluss der speziellen Querschnittsgeometrie auf die mittlere Schubspannung berücksichtigt.

Hinweis: Eine genauere Berechnung der mittleren Schubspannung m kann dadurch erfolgen, dass die Gleichheit der Formänderungsenergie des realen und des gemittelten Schub-spannungszustandes gefordert wird.

Ohne weitere Herleitung soll hier das Ergebnis angegeben werden.

GA

(z)F(z)v Qy (2.54)

mit

(A)

2x

2xx

dAb(y)

(y)S

I

A

(A)

2x

2xx

dAb(y)

(y)S

I

ASchubverteilungszahl (2.55)

Ende?



Die Integration von Gleichung (2.54) liefert die gesuchte Verschiebung.

cdzGA

(z)Fv(z) Qy

cdz

GA

(z)Fv(z) Qy

(2.56)A - Querschnittsfläche

c - Integrationskonstante, die aus einer Randbedingung bestimmt werden muss.

Beachte:• Die Gleichung (2.56) zur Berechnung von v(z) infolge der Querkraftschubspannungen gilt nur

für reine Querkraftbelastung (die es streng genommen nicht gibt) und konstanten Querschnitt. Für kleine Verformungen und schwach veränderliche Querschnitte kann diese Gleichung aber auch für Querkraftbiegung mit ausreichender Genauigkeit verwendet werden.

• Die Schubverformungen können für lange Träger (Querschnittsabmessungen sehr viel kleiner als die Länge des Trägers) gegenüber den Biegeverformungen im Allgemeinen vernachlässigt werden (siehe das folgende Beispiel).

FQy = F , ,12bh

I3

xx

22

x hy

18

bh(y)S 4

Es gilt (vgl. Bild 2.58 und Beispiel 2.11):

A = bh ,

Beispiel 2.12 Verformungen infolge Querkraftschubbeanspruchung

F

y, v

z

l

Gegeben: F, l, b, h, E, GGesucht: Maximale Schubverformung vSmax durch die

Querkraft und Vergleich mit der maximalen Biegeverformung vBmax

b

hx

y

Querschnitt:

dA=bdy

Bild 2.58 Kragträger

Ende?



Die durch F hervorgerufene maximale Biegeverformung(siehe Beispiel 2.9, Hinweis am Ende) hat die Größe

3

33

maxB,Ebh

4F3EIF

vll

und wir erhalten aus Gleichung (2.56)

cz5Gbh

6Fcdz

GA

(z)F(z)v Qy

S

Damit ergibt sich für die Schubverteilungszahl nach Gleichung (2.55)

(A)

h/2

h/2y

222

262

2x

2xx 5

6dyb

h

y41

8

bh

b

1

hb

ba144dA

b(y)

(y)S

I

A

Die Integrationskonstante folgt aus der Randbedingung vS(z=0) = 0 c = 0Damit wird die reine Schubverformung vS(z) und die maximale Schubverformung vSmax am Trägerende bei z = l (siehe Bild 2.59):

z5Gbh

6F(z)vS

5Gbh

6F)(zvv SSmax

ll und

Gesamtverformung am Trägerende:

2

3

3

SmaxBmaxmaxh

10G

3E1

Ebh

4Fvvv

l

l

Beachte: Der Faktor (h/l)2 in der Gesamt-verformung vmax macht für lange Träger den zweiten Klammerausdruck (das ist der Schubverformungsanteil) sehr viel kleiner als 1, so dass dieser Anteil gegenüber der „1“ (Biegeanteil) vernachlässigt werden kann.

F

maxS,v

Bild 2.59 Schubverformung

Ende?



zMt

Mt

c)

z

b)

z

B •

•A

A

B

••

Mt

Mt

2.5 Torsion

Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Stäben infolge eines Torsionsmomentes Mt.

Bei einer Torsionsbeanspruchung werden die Stäbe um ihre Stabachse z ver-dreht. Abhängig von der Querschnittsgeometrie kann es dabei auch Verfor-mungen (Verwölbungen) in Richtung der Stabachse geben. Das folgende Bild 2.60 zeigt drei typische Fälle der Torsionsverformungen inAbhängigkeit von der Querschnittsgeometrie.

Kreis- und Kreisringquerschnitte:Querschnitte bleiben eben (Punkt P vor und nach Verformung in der gleichen Ebene; keine Verwölbung)!

Allgemeine offene und geschlossene Querschnitte:Querschnitte verwölben sich im Allgemeinen (Punkte A verschieben sich in z-Richtung; Punkte B entgegen der z-Richtung)!

Mt

verformte (verwölbte)Profilmittellinie

A

B

Verwölbung verhindert

••••

z

a)

Bild 2.60 Torsion eines: a) Kreisquerschnitts, b) dünnwandigen offenen Querschnitts, c) Rechteckquerschnitts

Mt

Mt

P

•••

•

Ende?



• Die Querschnittsform bleibt bei der Torsion erhalten.

• Die Querschnitte verdrehen sich wie starre Scheiben gegeneinander und bleiben eben.

• Es liegt reine Torsionsbeanspruchung vor. Das Torsionsmoment Mt ist konstant und die Resultierende der in tangentialer Richtung verlaufenden Schubspannungen z = (siehe auch Bild 2.62).

• Die Torsionsverformung wird durch den Verdrehwinkel beschrieben, der im gleichen Drehsinn wie das Torsionsmoment Mt am positiven Schnittufer positiv gezählt wird (siehe Bild 2.61).

• Die Balkenachse (z-Achse) ist gerade und die Querschnittsgeometrie unabhängig von z.

Hinweis:

Der Aufwand zur Berechnung der Spannungen und Verformungen infolge Torsionsbean-spruchung hängt wesentlich von der Querschnittsgeometrie des Stabes ab. Wir beschränken uns nachfolgend auf den einfachsten Fall der in der Praxis häufig vorkommenden Kreis- und Kreisringquerschnitte (z. B. Wellen, Achsen, Rohre).

2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten

2.5.1.1 Annahmen und Voraussetzungen

In diesem Kapitel sollen folgende Annahmen und Voraussetzungen gelten:

Ende?



Aus dem HOOKEschen Gesetz (2.12) folgt mit Gleichung (2.57) für die Torsionsschubspannung

rGGrr (2.58)

An dem differentiellen Element in Bild 2.61 kann für kleine Verformungen der folgende Zusam-menhang zwischen der Gleitung und dem Verdrehwinkel abgelesen werden:

dzrdr

Mt

•

••

R

r

verformteMantellinie

differentielles Element aus dem Stab links: dz

z

r•

•

••

d

•

z

z

z

•

zd

••

z

dz

•

Bild 2.61 Verformungen eines auf Torsion beanspruchten Kreisquerschnitts

2.5.1.2 Berechnung der Torsionsspannung

Mit der Drillung folgt aus dieser Formel

r

r

dz

d

r

r

dz

d

Drillung (Verdrehwinkel pro Längeneinheit) (2.57)

Beachte: Wir erkennen aus (2.58) bereits, dass die Schubspannung (r) linear von r abhängig ist. Sie wird bei r = 0 Null und hat für r = R ihren größten Wert (siehe auch Bild 2.62).

Ende?



Hinweis: Zum polaren Flächenträgheitsmoment siehe Kapitel 1.10.1, S 134. Danach gilt:

r

dA

R

(r)dA

max

(r)

Mt

Bild 2.62 Torsionsschubspannung

Die noch unbekannte Drillung kann aus einer Äquivalenz-bedingung zwischen dem Torsionsmoment Mt und dem resultierenden Moment der Schubspannungen z= bestimmt werden. Es muss gelten (vgl. Bild 2.62):

(A)

2

(A)t dArGdAr(r)M (2.59)

Mit der Abkürzung

(A)

2P dArI

(A)

2P dArI polares Flächenträgheitsmoment (2.60)

folgt aus Gleichung (2.59)

Pt GIM Pt GIM P

t

GI

M

P

t

GI

Mbzw. nach der Drillung aufgelöst (2.61)

(2.61) in (2.58) eingesetzt liefert die Torsionsschubspannung für Kreis- und Kreisringquerschnitte

rI

Mr

P

t rI

Mr

P

t (2.62)

Kreisquerschnitt (Durchmesser d): (2.63)32

dI

4

P

Ende?

Kreisringquerschnitt (Außendurchmesser D, Innendurchmesser d): (2.64) 44P dD

32I



Die maximalen Torsionsschubspannungen für Kreis und Kreisringquerschnitte treten am Außenrand auf und betragen (siehe dazu auch Bild 2.62):

Hinweis: Man beachte die “schöne” Analogie zur Berechnung der Biegespannungen:

Beachte: Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsschubspannung (2.62) und (2.65) gelten streng genommen nur, wenn gilt: Mt = konst. und It = konst. Auch bei einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können die Gleichungen mit ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden. Es gilt:

t

tmax W

M

rIM

rP

tTorsion:

yI

zMz)(y,

xx

bxz

minbx

bxmaxz W

zM(z)

Biegung:

rzIzM

rz,P

t zW

zMz

t

tmax bzw. (2.68)

Das Torsionswiderstandsmoment folgt aus Gleichung (2.62) mit r = rmax zu Wt = IP/rmax. Für Kreis und Kreisringquerschnitte erhalten wir damit:

t

tmax W

M

t

tmax W

M (2.65)mit Wt = Torsionwiderstandsmoment

für Kreisquerschnitt (Durchmesser d)16d

rI

W3

max

Pt

(2.66)

44t dD

D16W

für Kreisringquerschnitt (Außendurchmesser D,

Innendurchmesser d).(2.67)

Ende?



2.5.1.3 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel )

Aus den Gleichungen (2.57) und (2.61) erhalten wir den folgenden Zusammenhang zwischen der Drillung , dem Verdrehwinkel und dem Torsionsmoment Mt:

P

t

GI

M

dz

d

P

t

GI

M

dz

d

(2.69)mit GIP = Torsionssteifigkeit

Die Integrationskonstante C in (2.70) kann aus einer Randbedingung berechnet werden.

Beachte: Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsverformungen (2.70) und (2.71) gelten streng genommen nur, wenn gilt: Mt = konst. und It = konst. Aber auch bei einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können sie mit ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden. Es gilt dann:

Aus Gleichung (2.69) kann durch Integration der Verdrehwinkel berechnet werden (vgl. die Analogie zur Verformungsberechnung bei der Zug/Druck-Beanspruchung (Kapitel 2.2.1.2):

(2.70) CzGI

MCdz

GI

Mz

P

t

P

t CzGI

MCdz

GI

Mz

P

t

P

t

llP

t

GI

Mzz ll

P

t

GI

Mzz (2.71)

CdzzGI

zMz

P

t

l

lzz

zz P

t zdGI

Mzzbzw. (2.72)

Mt

Mt

lz

(z)(z)

Bild 2.63 Relativer Verdrehwinkel

Relativer Verdrehwinkel Der relative Verdrehwinkel zweier Querschnitte im Abstand l ist wie folgt definiert (vgl. Bild 2.63):

Ende?



Torsionsmomentenverlauf: Aus den Gleichgewichtsbedin-gungen für die Momente um die Längsachse am jeweils rechten Teilsystem folgt:

Beispiel 2.13 Abgesetzter Torsionsstab

l1

DdBA C

l2

MB MC

Mt-Verlauf+2,4 kN m

-0,6 kN m

Mt(z2)z2z1

Mt(z1)

Bild 2.64 Torsionsstab mit Momentenverlauf

Gegeben: D = 60 mm, d = 40 mm, l1 = 1 m, l2 = 1,5 m MB = 3 kN m, MC = 0,6 kN mG = 0,8·105 N/mm2

Gesucht: Betragsmäßig größte Torsionsschub-spannung und Verlauf des Verdrehwinkels

Mt(z1) = MB - MC = 2,4 kN m

Mt(z2) = - MC = - 0,6 kN m

Maximale Schubpannungen:

Mit der Gleichung (2.66) für das Torsionswiderstandsmoment und der Gleichung für die maximale Torsionsspannung (2.65) ergeben sich die in den zwei Bereichen auftretenden maximalen Torsionsschubspannungen zu:

2mm

N47,7

2mm

N56,61. Bereich: Mit

16

DW

3

t1

t1

1tmax1 W

zMfolgt

2. Bereich: Mit16

dW

3

t2

t2

2tmax2 W

zMfolgt

3CB

D

16MM

3C

d

16M

Damit tritt die vom Betrag größte Torsionsschubspannung im 1. Bereich auf und beträgt

2max1maxmm

N56,6

Ende?



Verlauf des Verdrehwinkels:

Mit der Gleichung (2.63) für das polare Flächenträgheitsmoment und der Gleichung (2.70) für den Torsionswinkel erhalten wir für die zwei Bereiche:

224

C22

2P

2t22 Cz

dG

M32Cz

GI

zMz

2. Bereich:

114

CB11

1P

1t11 Cz

DG

MM32Cz

GI

zMz

1. Bereich:

Die Integrationskonstanten bestimmen wir aus den folgenden zwei Randbedingungen:

00z11 0C1

0zz 22111 l

214CB C

DG

MM32

l

Einsetzen der Integrationskonstanten in die Funktionen für die Torsionswinkel liefert:

1. Bereich: 14

CB11 z

DG

MM32z

2. Bereich: l

4CB

24C

22DG

MM32z

dG

M32z

1,210,02120,02360,0448z 222 l

,1,350,0236z 111 l

Die Werte an den Bereichsenden ergeben sich zu:

Der Verlauf des Verdrehwinkels ist in Bild 2.64 dargestellt.

-1,21º

+

1,35º-Verlauf

l1

DdBA C

l2

MB MC

z2z1

Bild 2.64 Torsionsstab mit Verlauf des Torsionswinkels

Ende?



Gegeben: Mt = 2 kN m, zul = 160 N/mm2

Material und Stablänge sind für beide Stäbe gleich!

Gesucht: 1. Durchmesser DV und DR

2. Verhältnis des Materialeinsatzes3. Verhältnis der relativen Verdrehwinkel

Beispiel 2.14 Vergleich von Voll- und Rohrquerschnitt bei Torsionsbelastung

DV

Mt

RD109

DR

Mt

1. Bestimmung von DV und DR (Dimensionierung):

a) Vollquerschnitt:

16D

W mitW

M 3V

t,Vzult,V

tmax

(2.66)Aus (2.65)

.mm39,916M

D 3

zul

tV

folgt

b) Rohrquerschnitt:

4

R4R

RRt,zul

Rt,

tmax D

10

9D

D16W mit

W

M(2.67)Aus (2.65)

.mm56,7)0,91(

16MD 3 4

zul

tR

folgt

Wir wählen: DV = 40 mm

Wir wählen: DR = 57 mm

Bild 2.65 Voll- und Rohrquerschnitt

Ende?



2. Verhältnis des Materialeinsatzes:

0,386

D

0,91DAA

2V

22R

V

R Bei dem Rohrquerschnitt werden nur 38,6% Material gegenüber einem Vollquerschnitt bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung benötigt.

Das Verhältnis des Materialeinsatzes ist gleich dem Verhältnis der Querschnittsflächen. Wir erhalten:

3. Verhältnis der relativen Verdrehwinkel:

Mit dem relativen Verdrehwinkel nach Gleichung (2.71) und den polaren Flächenträgheits-momenten nach den Gleichungen (2.63) und (2.64)

lP

t

GI

M

32

DI

4V

V,P

4R

4RR,P D9,0D

32I

und

erhalten wir für das gesuchte Verhältnis der relativen Verdrehwinkel

705,0

9,01D

D

D9,0D32

32D

I

I

lGI

M

lGIM

44R

4V

4R

4R

4V

R,P

V,P

V,P

t

R,P

t

V

R

Bei dem Rohrquerschnitt beträgt der Verdrehwinkel nur 70,5 % des Verdrehwinkels des Vollquerschnitts bei gleicher Länge, gleicher Belastung, gleichem Material und bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung.

Ende?



Beispiel 2.15 Welle-Rohr-Verbindung (statisch unbestimmt)

a

Da d

BA

C MCDi

starrRohr

Welle

B

C MC

z

MWMR

Bild 2.66 Welle-Rohr-Verbindung

Gesucht: 1. Aufteilung des Momentes MC auf Welle und Rohr2. Verdrehwinkel bei B

Zwei Torsionsstäbe (Welle, Rohr) sind bei A eingespannt und bei B mit einer starren Scheibe, über die das Gesamtmoment MC eingeleitet wird, verbunden.

Wir schneiden die Welle und das Rohr. An der Schnitt-stelle der Welle wird das Torsionsmoment mit MW und an der Schnittstelle des Rohres mit MR (siehe Bild 2.66) bezeichnet.Die Momentengleichgewichtsbedingung um die Längs-achse am Schnittbild liefert:

: MC - MW - MR = 0 (1)

Beachte: In der Gleichgung (1) sind die beiden Schnittgrößen MW und MR unbekannt. Die Aufga-be ist einfach statisch unbestimmt! Zur Lösung des Problems müssen Verformungsbetrach-tungen angestellt werden.

1P,W

WW Cz

GIM

z Welle: (2) Rohr: (3) 2P,R

RR Cz

GIM

z

Mit dem Torsionsmoment in der Welle MW und im Rohr MR werden die Verdrehwinkel von Welle und Rohr nach Gleichung (2.70) berechnet. Wir erhalten:

Ende?



Für die Ermittlung der vier Unbekannten MR, MW, C1 und C2 benötigen wir neben der Gleichung (1) noch drei weitere Gleichungen, die wir aus den folgenden Randbedingungen erhalten:

1.W(z=0) = 0

2.R(z=0) = 0

3.R(z=a) = W(z=a)

C1 = 0

C2 = 0

Mit den Gleichungen (1) und (4) haben wir zwei Gleichungen zur Berechnung der unbekannten Schnittgrößen in der Welle und im Rohr.

Der Verdrehwinkel bei B kann mit den jetzt bekannten Schnittgrößen MW bzw. MR aus (2) oder (3) berechnet werden. Wir erhalten:

4

i4a

4

C

P,RP,W

CRWB

DDdG

aM32

IIG

aMazaz

4

4i

4a

C

P,W

P,R

CW

d

DD1

M

I

I1

MM

4i

4a

4C

P,R

P,W

CR

DD

d1

M

I

I1

MM

Die Auflösung der Gleichungen liefert:

Ende?

4MI

IM W

P,W

RP,R



2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte

• Die im Kapitel 2.5.1 vorgestellten Formeln für Torsionspannungen und Torsionsverformungen gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte.

• Für andere Querschnittsformen müssen spezielle Formeln hergeleitet werden, wobei zwischen SAINT-VENANTscher Torsion (Verwölbungen können sich frei ausbilden) und Wölbkrafttorsion (Verwölbungen sind behindert) unterschieden werden muss.

• Eine besondere praktische Bedeutung kommt den dünnwandigen offenen Querschnitten zu. Die Torsionsschubspannungen und die Verformungen sind hier wesentlich größer als bei anderen Querschnittsformen. Infolge erheblicher Querschnittsverwölbungen, die bei einer Torsionsbeanspruchung auftreten (siehe Bild 2.60, b), ergeben sich bei einer Behinderung der Verwölbung (z. B. infolge einer Einspannung) sehr großen Normalspannungen in z-Richtung.

Unter der Voraussetzung einer SAINT-VENANTschen Torsion lassen sich die für Kreis- und Kreisringquerschnitte hergeleiteten Formeln für die Berechnung der maximalen Torsionsschub-spannungen und der Verdrehwinkel auch für allgemeine Querschnittsformen verallgemeinern:

Beachte: Das Produkt GIt ist die Torsionssteifigkeit. It und Wt sind in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie zu berechnen (siehe Tabelle 2.8 auf der folgenden Seite).Nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte gilt It IP.

t

tmax W

M mit Wt - Torsionwiderstandsmoment (2.73)

t

t

GI

M

dz

d

(2.74)mit It - Torsionsträgheitsmoment

Ende?



Querschnittsart Berechnung von It und Wt

Tabelle 2.8 Berechnung von It und Wt in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie

allgemeine It und Wt aus einer Torsionsfunktion , für die eine POISSONsche Differential-gleichung zu lösen ist.

Modifizierte BREDTsche Formeln.dünnwandig,mehrzellig

max

tt

3i

iit

IW

3

1I

l

Näherungsformeln:dünnwandig, offeni li

dünnwandig, ein- oder mehrzelligund offen Teile

l0l0

Im Allgemeinen Vernachlässigung deroffen Teilabschnitte l0. Begründung: siehe folgendes Beispiel.

minmt

2m

t 2AW

sds

4AI

BREDTsche Formeln:

Am = von Profilmittellinie eingeschlossene Fläche

dünnwandig,einzellig

s

Am

Ende?



Beispiel 2.16 Torsion dünnwandiger offener und geschlossener Querschnitte

Für einen dünnwandigen Stab mit geschlossenem bzw. in Längsrichtung aufgeschlitztem Kreisringquerschnitt (Bild 2.67) sollen die maximalen Torsionsschub-spannungen und die relativen Verdrehwinkel der End-querschnitte allgemein ermittelt und für R/ = 10 mit-einander vergleichen werden.

lMt Mt

R

R

a) b)

2t

at,

tamax,

R2

M

W

M

3222

mat, R2

R2R4

sds

4AI 2

minmat, R22AWund

3t

at,

ta

R2G

M

GI

M llund

Bild 2.67 Geschlossener und geschlitzter Kreisringquerschnitt bei Torsion

a) Geschlossener Kreisringquerschnitt:

Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomente It und des Torsionswiderstandsmomentes Wt soll hier mit Hilfe der BREDTschen Formeln (siehe Tabelle 2.8) erfolgen. Es wird:

Die maximale Schubspannung folgt aus Gleichung (2.73) und der relative Verdrehwinkel aus Gleichung (2.71), in die bei Kreisquerschnitten GIP = GIt eingesetzt wird. Wir erhalten:

Hinweis: Die Berechnung für den geschlossenen Kreisring kann natürlich auch wie in Kapitel 2.5.1 für Kreis- und Kreisringquerschnitte durchgeführt werden. Zur Übung sollte man die Vergleichsrechnung einmal durch-führen. Je geringer die Wandstärke des Kreisringes wird, um so besser stimmen die Ergebnisse mit den hier nach den BREDTschen Formeln berechneten Ergebnissen überein.

Ende?



33

ii

ibt, R32

31

I l

2t

bt,

tbmax,

R2

3M

W

M

b) Geschlitzter Kreisringquerschnitt:

Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomentes It und des Torsionswiderstandsmomentes Wt erfolgt nach den Näherungsformeln aus Tabelle 2.8 für dünnwandige offene Querschnitte. Für die maximale Schubspannung und den relativen Verdrehwinkel erhalten wir:

2

max

bt,bt, R

32I

W

und

3t

at,

tb

R2G

3M

GI

M

llund

Wir vergleichen die Ergebnisse am anschaulichsten miteinander, wenn wir das Verhältnis der maximalen Spannungen und der relativen Verdrehwinkel aufschreiben. Wir erhalten:

300R

32

2

a

b

30

R3

,amax

,bmax

und

Wir erkennen, dass für dieses Beispiel die maximale Spannung im Torsionsstab mit offenem Querschnitt (ansonsten aber identischen Werten) 30-mal größer ist und der Verdrehwinkel sogar 300-mal größer ist als im geschlossenen Kreisringquerschnitt.

Schlussfolgerung: Das Ergebnis ist typisch und zeigt das geringe Vermögen dünnwandiger offener Querschnitte Torsionsmomente zu übertragen.

Ende?



2.6 Scherbeanspruchung

Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Scher- oder Abscherspannungen a infolge von unendlich dicht nebeneinander liegenden parallelen und entgegengesetzt gerichteten Querbelastungen, die eine Querschnittsfläche (Scherfläche) auf Schub belasten (Verformungs-berechnungen werden bei Scherbeanspruchungen in der Regel nicht durchgeführt).

Scherbeanspruchungen trete bei entsprechender Belastung vorrangig bei Schneidvorgängen, Niet-, Bolzen-, Schweiß- und Klebeverbindungen auf. Einige typische Scherbeanspruchungen sind in Bild 2.68 dargestellt.

Schneiden,

FS

FS

AS

Nietverbindung

FS

AS=1/4d2

FS

d

Schweiß- bzw. Klebeverbindung

FS

FS

AS=Schweißnahtfläche bzw. Klebefläche

d

h

FS

AS=dh

Stanzen

Bild 2.68 Beispiele für typische Scherbeanspruchungen

Ende?



b) System mit vorrangiger Scherbeanspruchung:Schereinfluss >> Biegeeinfluss (Biegeeinfluss meist vernachlässigbar!

Hinweis: Eine reine Scherbelastung liegt nach unserer Definition nur für z = 0 vor (vgl. Bild 2.69 b). Praktisch ist dieser Fall aber kaum zu realisieren, so dass immer ein kleiner Biegeanteil vorhanden ist und auch Querkraftschubbelastungen auftreten werden.

Bild 2.69 Querkraftschub und Scherbeanspruchung

a) System mit vorrangiger Biege- und Querkraftschubbeanspruchung:Biegeeinfluss >> Querkrafteinfluss (Querkrafteinfluss meist vernachlässigbar)

FA

l

z 0

FA

lz

y

Gefahr der Zerstörung durch Abscheren!

F

FA= F

A

MA= Fl

FA

z 0

FA= FMA= FzMA 0

Bevor wir die Berechnung der Scherspannung behandeln, soll die Frage geklärt werden, was die Scherbeanspruchung von der Querkraftschubbeanspruchung (vgl. Kapitel 2.4) unterscheidet. Der Unterschied soll an Hand des folgenden Beispiels (siehe Bild 2.69) verdeutlicht werden.

Ende?



Näherungsweise Berechnung der Scherschubspannungen

Zur näherungsweisen Berechnung der Scherschubspannungen machen wir noch folgende Annahmen:

• Es wird eine reine Scherbeanspruchung angenommen (Abstand der Scherkräfte ist Null,z. B. z = 0 im Bild 2.69 b). Der in Wirklichkeit komplizierte räumliche Spannungszustand bleibt unberücksichtigt, da die Scherbeanspruchung überwiegt.

• Ist der Abstand zwischen den Scherkräften nicht Null (aber klein), so kann der Biegeeinfluss im Allgemeinen vernachlässigt werden.

• Die über eine Scherfläche AS übertragene Scherkraft FS verursacht konstante Scherspan-nungen a. Das ist ein angenommener Mittelwert einer tatsächlich komplizierter verteilten Schubspannung (vgl. z. B. Kapitel 2.4 Querkraftschub).

Es folgt damit für die Scherschubspannung a bzw. für den Spannungsnachweis gegen Abscheren:

zul ,as

sa A

F zul ,a

s

sa A

F (2.75)

Ende?



F/2

F

d

F/2Die Scherkraft FS und die Scherfläche AS in der Bolzenverbindung betragen jeweils (siehe Schnittdarstellung in Bild 2.70)

4

dAund

2

FF

2

SS

Scherkraft: FS = F

Scherfläche: AS = d·l

Beispiel 2.17 Scherbeanspruchung einer Bolzenverbindung

Bild 2.70 Scherbeanspruchung einer Bolzenverbindung

AS=1/4d2

F/2

F

F/2FS=F/2

azul2S

Sa

d

2F

A

F

Damit erhalten wir für die Scherschubspannung bzw. für einen Spannungsnachweisgegen Abscheren aus Gleichung (2.75):

azulS

Sa d

FAF

l

Mit Gleichung (2.75) folgt für die Scherschubspannung

Beispiel 2.18 Klebe- bzw. Lötverbindung von Rohren

Bild 2.71 Klebe- bzw. Lötverbindung von Rohren

l

FF

AS = d·l

d

Ende?



Beispiel 2.19 Stanzen eines Blechteils

Welche Schnittkraft ist zum Stanzen des abgebildeten Blechteils (Bild 2.72) notwendig?

Gegeben: Blechdicke 0,8 mm, aB = 200 N/mm2

Schnittkraft: FS 22,1 kN

AS = (2·23 + 2·26 + 4·10)·0,8 mm2

Bild 2.72 Blechteil

6 611

6

10

10Scherfläche: AS = lS ·h mit lS - Schnittlänge

AS = 110,4 mm2

aBS

Sa A

F

Eine Abschätzung der erforderlichen Schnittkraft erhalten wir aus Gleichung (2.75), indem wir fürzul die gegebene Bruchspannung aB einsetzen und die Gleichung nach FS auflösen. Es wird:

22aBSS N/mm200mm110,4AF

Ende?



2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung

Bisher haben wir immer angenommen, dass nur jeweils eine Grundbeanspruchung (Zug/Druck, Biegung, Torsion, Querkraftschub oder Abscherung) vorliegt. Bei den meisten praktischen Proble-men treten jedoch mehrere Grundbeanspruchungen gleichzeitig im Bauteil auf. Wir sprechen dann von zusammengesetzter Beanspruchung.

In diesem Kapitel wollen wir die Berechnung und Beurteilung der Spannungen vornehmen, wenn mehrere (in der Regel „ungleichartige“) Beanspruchungsarten gleichzeitig im Bauteil auftreten.

Im Folgenden werden Spannungswerte (Vergleichsspannungen V) ermittelt, die mit im Zug-versuch ermittelten zulässigen Spannungen zul eine Beurteilung des Bauteils erlauben.

Tabelle 2.9 Grundbeanspruchungen bei Stäben und Balken

Grundbeanspruchung

Schnittgröße Spannung siehe Kapitel

Zug/Druck FL z 2.2.1.1Biegung Mbx, Mby z 2.3.2 und 2.3.4Querkraft FQx, FQy zx, zy 2.4.1Torsion Mt zx, zy 2.5.1.2Scherung FS zx, zy 2.6

gleichartige Spannungen

gleichartige Spannungen

Die Spannungen müssen in geeigneter Weise überlagert werden. Die zu überlagernden Spannungen können dabei „gleichartige“ Spannungen (z. B. nur Normalspannungen in einer Richtung oder nur Schubspannungen in einer Ebene) oder „ungleichartig“ Spannungen (z. B. Normalspannungen und Schubspannungen oder Normalspan-nungen, die in unterschiedlichen Richtungen wirken usw.) sein (vgl. auch Tabelle 2.9).

Ende?



2.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen

Satz: Gleichartige Spannungen in gleichen Schnittflächen lassen sich an einem Punkt wie Kräfte zu Resultierenden addieren.

Mit z für die Zug/Druck-Beanspruchung nach Gleichung (2.19) und z für die zweiachsige Biegung nach Gleichung (2.41) ergibt sich die Gesamtnormalspannung somit zu:

xzI

zMy

zI

zM

zA

zFx,y,z

yy

by

xx

bxLz

xzI

zMy

zI

zM

zA

zFx,y,z

yy

by

xx

bxLz (2.76)

Hinweis: Analog können auch gleichartige Schubspannungen (z. B. aus Torsion und Querkraftschub) überlagert werden.

zAzF

z Lz

+

yzIzM

zy,xx

bxz

+

xzI

zMzx,

yy

byz

=

zy,x,z

Bild 2.73 Überlagerung gleichartiger Normalspannungen aus Zug/Druck und Biegung

z

FL

y

x

Mby

Mbx

Ende?



2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände

Sind nicht nur Normalspannungen in einer Richtung (vgl. z. B. Kapitel 2.7.1) sondern in mehreren Richtungen vorhanden, oder treten Normalspannungen und Schubspannungen gemeinsam auf, so sprechen wir von einem mehrachsigen Spannungszustand (vgl. Bild 2.8; dort ist ein räumlicher bzw. dreiachsiger Spannungszustand dargestellt).

Problem: Die im Zug- bzw. Torsionsversuch ermittelten Materialparameter (zul und zul) gelten nur für den reinen einachsigen Zug- bzw. Torsionslastfall. Bei der Wirkung eines mehrachsigen Spannungszustandes zeigt die Praxis, dass ein Tragwerk auch dann zerstört werden kann, wenn die Einzelspannungen die Bedingung

vorhanden zul undvorhanden zul

erfüllen!

Frage: Wie beurteilt man den Spannungszustand beim gleichzeitigen Auftreten verschiedener Spannungen?

Für den Spannungsnachweis eines mehrachsigen Spannungszustandes muss dann die folgende Bedingung erfüllt sein: v zul (2.77)

Lösung des Problems: Aus dem mehrachsigen Spannungszustand wird mit Hilfe von Spannungshypothesen (siehe Kapitel 2.7.3) eine so genannte Vergleichsspannung v berechnet, die dann mit der im Zugversuch ermittelten zulässigen Spannung zul verglichen wird.

Ende?



Bild 2.74 Bauteile mit näherungsweise ebenen Spannungszuständen

Im Folgenden beschränken wir uns auf den ebene (zweiachsigen) Spannungszustand, der wie folgt gekennzeichnet werden kann:

Beim ebenen Spannungszustand gibt es nur Spannungen in einer Ebene (z. B. in der(x,y)-Ebene die Spannungen x, y, xy, yx - vgl. Bild 2.75).

Eine kleine Auswahl typischer Bauteile, in denen näherungsweise ein ebener Spannungszu-stand bei entsprechender Belastungen und Geometrie entsteht, ist in Bild 2.74 dargestellt.

dADicke h

x

y

dAx

y

Dicke hF

x

y dA

Dicke h

Scheiben

Balken und Träger

xy

qy

Mt

dA

Dünnen Platten

Platte

dA

xy

Schale

dA

und Schalen

Ende?



x dx

y

dy

x,u

y,v

z

Dicke h

Bild 2.75 Ebener Spannungszustand

Beachte: z=0

xz=zx=0

yz=zy=0

y dxdz

(x+dx )dydz

x dydz

(y+dy)dxdz

yx dxdz

xy dydz

(xy+dxy)dydz

(yx+dyx )dxdz

YdV

XdV

dA

Wir betrachten von den Bauteilen mit einem ebenen Spannungszustand ein differentielles Flächenelement dA (siehe Flächenelemente dA in den Beispielen von Bild 2.74) und der Dicke h.

X, Y Volumenkräfte dA = dx·dy dV = h· dA = h·dx·dyu, v - Verschiebungen in x- bzw.

y-Richtung

Es gilt für Bild 2.75 :

Das Momentengleichgewicht um die zur z-Achse parallele Achse durch den Mittelpunkt des Elements liefert (bei Vernachlässigung der Größen, die von höherer Ordnung klein sind) das bereits bekannte Gesetz (siehe Kapitel 2.4.1, Gleichung (2.49))

yxxy yxxy Gesetz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen (2.78)

Die an diesem Element angreifenden Schnittgrößen und Belastungen sind für den ebenen Spannungszustand im Bild 2.75 dargestellt.

Ende?



Durch weitere Gleichgewichts- und Verformungsbetrachtungen am differentiellen Element lassen sich die Differentialgleichungen des ebenen Spannungszustandes ableiten.

xy

y

x

σ

berechnen.

xy

y

x

εund,v

u

u

Hinweis: Für unterschiedliche Lagen des Bezugssystems (x,y) in Bild 2.75) ergeben sich unterschiedliche Spannungen für x, y und xy. Es wird aber in allen Fällen dadurch der gleiche Spannungszustand beschrieben!

Wenn unterschiedliche Lagen des Bezugssystems unterschiedliche Spannungen ergeben, dann stellt sich sofort die Frage, wie groß die Spannungen unter einem beliebigen Winkel sind und für welchen Winkel die Spannungen Maximalwerte annehmen? Diese Frage soll zunächst an einem einfachen Beispiel - dem Zugversuch mit einem einachsigen Spannungszustand (Bild 2.76, siehe nachfolgende Seite) - geklärt werden.

Aus diesen lassen sich dann unter Beachtung der Randbedingungen

Ende?



y

ll

x

Dicke h

xx

y

ll

x

Dicke h

xx

Schnittführung

Bild 2.76 Zugstab mit herausgeschnittenem Element

A = l·h

cos

Ah

cosA

l xx

xAsin

x

A

xA

A

yDicke h

l

x

AA

x

xAcos

Wir schneiden aus einem Zugstab ein keilförmiges Element heraus (siehe Bild 2.76) und schreiben dafür die Kraftgleichgewichtsbedingungen auf:

0AcosA·x :

: 0AsinA·x

2cos12

1cos x

2x (2.79)

2sin21

cossin xx (2.80)

Aus den Gleichungen (2.79) und (2.80) lassen sich für jede Winkellage die Normalspannung und die Schubspannung berechnen.

0

d

d

0

d

d

und

Die Maximalwerte dieser Spannungen ergeben sich aus den Bedingungen für Extremwerte dieser Spannungen

Ende?



Aus der ersten Bedingung für die Normalspannung folgt mit Gleichung (2.79)

02sin22

1

d

dx

01 2

und 2

Die beiden Lösungen in (2.79) eingesetzt liefern für 1 = 0 die maximale Normalspannung und für 2 = /2 die minimale Normalspannung :

xmax, 0 02min,

und

Aus der zweiten Bedingung für die Schubspannung folgt mit Gleichung (2.80)

02cos2

2

1

d

dx

4542,1

Die beiden Lösungen in (2.80) eingesetzt liefern für 1 = +/4 und für 2 = -/4 bis auf das Vorzeichen die gleiche Schubspannung . Es ergibt sich:

xmax, 2

1

4

xmin, 2

1

4

und

Die obigen zwei Feststellungen gelten allgemein auch für den mehrachsigen Spannungszustand (siehe nachfolgende Verallgemeinerung).

Feststellung: Die maximale Schubspannung tritt unter einem Winkel von 45° gegenüber der maximalen Normalspannung auf. Wo die Normalspannung einen Extremwert hat, ist die Schubspannung Null.

Ende?

Für diese Winkel (1 = 0, 2 = /2) wird nach Gleichung (2.80) die Schubspannung = 0.



Verallgemeinerung auf den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand:

Wir betrachten für den ebenen Spannungszustand zwei keilförmige Elemente (Bild 2.77) mit einer um den Winkel (bzw. + /2) geneigten Schnittebene und schreiben für beide Elemente wieder zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen auf, um daraus die Spannungen in den geneigten Schnitt-ebenen zu ermitteln.

Bild 2.77 Spannungstransformation für den ebenen Spannungszustand

x

y

xAcos

yAsin

xyAcos

xyAsin

A A

Fläche A

x

y

xAsin

yAcosxyAcos

xyAsinA

A

Fläche A

xy = yx

=

Es folgt (die Rechnung sollte der Leser zur Übung selbst einmal durchführen):

cos2sin22

sin2cos222

sin2cos222

xyyx

xyyxyx

xyyxyx

cos2sin22

sin2cos222

sin2cos222

xyyx

xyyxyx

xyyxyx

(2.81)

(2.82)

(2.83)

Ende?



Hinweis: Die Transformationsformeln (2.81) bis (2.83) für die Spannungen sowie die Extrem-wertbedingungen entsprechen genau denen für die Flächenträgheitsmomente. Deshalb können die dort gewonnenen Ergebnisse analog übertragen werden (vgl. Kapitel 1.10.4, S 141).

Frage: Für welchen Winkel nehmen die Spannungen Extremwerte an und wie groß sind diese?

Die Extremwerte für die Spannungen und können formal mit Hilfe ihrer ersten Ableitungen

,0d

d

.0

d

d

und0

d

d

aus den Gleichungen (2.81) bis (2.83) berechnet werden. Wir wollen hier die Lösung des Problems vereinfachen, indem wir den nachfolgenden Hinweis ausnutzen.

Wir erhalten als Extremwerte der Spannungen die so genannten Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) 1 und 2 in Richtung der Hauptspannungsachsen „1“ und „2“, die gegenüber dem Ausgangssystem (x,y) um 01 bzw.02 gedreht sind und die Hauptschubspannungen I und II in Richtung der Hauptschubspannungsachsen „I“ und „II“ (vgl. Gleichungen (2.84) bis (2.89) und Bild 2.78 sowie Bild 2.79).

Ende?



Hauptspannungen 1 und 2:

01

x

y12

1

1

2

202

Bild 2.78 Hauptspannungen

2xy

2yxyx

max1 22

2xy

2yxyx

max1 22

(2.84)

2xy

2yxyx

min2 22

2xy

2yxyx

min2 22

(2.85)

mit 00201

Beachte: Da die Spannungen vorzeichenbehaftet sind, ist 1 = max nicht automatisch der vom Betrag maximale Spannungswert, sondern der nach der reellen Zahlenfolge größte Wert (z. B.: 1 = max = -50 N/mm2, 2 = min = -90 N/mm2)!

yx

xy01

2tan2

Richtungen 01 und 02 der Hauptspannungen :

und20102

(2.86)oder

xy

2y

xy

x101tan

(2.87)

Ende?



Hauptschubspannungen I und II:

01

x

y 1

0201-

2

Bild 2.79 Hauptschubachsenlage

401minmax,III,

401minmax,III,

Beachte: Die Hauptschubspannungen treten in Schnitten auf, die um die Winkel -45° bzw. +45° gegenüber der Hauptspannungsrichtungsachse „1“ gedreht sind (Bild 2.79) und unterscheiden sich nur im Vorzeichen.

22212

xy

2yx

maxI

22

212xy

2yx

maxI

(2.88)

22212

xy

2yx

minII

22212

xy

2yx

minII

(2.89)

Ende?



2.7.3 Spannungshypothesen

Der mehrachsige Spannungszustand wird mit Hilfe der folgenden Spannungshypothesen (Festigkeitshypothesen) auf eine so genannte Vergleichsspannung V zurückgeführt, die dann mit der im Zugversuch ermittelten zulässigen Spannung zul verglichen werden kann (vgl. einführende Bemerkungen zum Kapitel 2.7.2).

Nachfolgend wird die Berechnung der Vergleichsspannung V für drei der bekanntesten Hypothe-sen vorgestellt. Dabei beschränken wir uns auf den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand.

Hauptspannungshypothese

Annahme: Der Bruch des Materials tritt ein, wenn die vom Betrag größte Normalspannung (deshalb auch die Bezeichnung Normalspannungshypothese) die zulässige Spannung zul überschreitet.

Mit den Hauptnormalspannungen nach den Gleichungen (2.84) und (2.85) gilt für die Vergleichs-spannung nach der Hauptspannungshypothese:

V1 = Maximum(|1|, |2|) zulV1 = Maximum(|1|, |2|) zul (2.90)

Anwendungsbereich: Für Spröde Werkstoffe (z. B. Grauguß)

Nachteil: Für zähe Werkstoffe liefert die Hauptspannungshypothese im Allgemeinen zu kleine Werte, d. h. man liegt auf der „unsicheren“ Seite!

Ende?



Schubspannungshypothese

Annahme: Es wird angenommen, dass die größte Schubspannung für den Bruch verantwortlich ist.

22212

xy

2yx

max

Die größte Schubspannung für einen ebenen Spannungszustand ist nach (2.88)

Um diese maximale Schubspannung mit einer zulässigen Normalspannung vergleichen zu kön-nen, ermitteln wir die maximale Schubspannung für einen Zugstab, der nur durch die Normal-spannung x = V2 belastet ist. Den Zusammenhang zwischen x und max haben wir bereits im

Kapitel 2.7.2 am Beispiel des Zugversuchs kennen gelernt. Er folgt natürlich auch aus der allge-meinen Gleichung (2.88) für den ebenen Spannungszustand mit y = 0 undxy = 0.

max2V 2

Setzen wir hier die maximale Schubspannung für den ebenen Spannungszustand ein, so folgt für die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese:

zul212xy

2yxV2 4 zul21

2xy

2yxV2 4 (2.91)

Anwendungsbereich: Für spröde Werkstoffe bei überwiegender Druckbelastung, in der Bodenmechanik (Sand), für sehr zähe metallische Werkstoffe mit ausgeprägtem Fließverhalten.

Nachteil: Liefert oft zu große Werte!

222Vx

max

Es wird:

Ende?



Anwendungsbereich: für zähe Werkstoffe mit ausgeprägter Fließgrenze (z. B. Stahl), auch für Nichteisenmetalle, auch anwendbar bei dynamischer und wechselnder Beanspruchung, hat auch Bedeutung in der Plastizitätstheorie.

Gestaltänderungshypothese (nach R. VON MIESES)

Annahme: Der Bruch ist von der Größe der Gestaltänderungsenergie abhängig.

Der Spezialfall nach (2.94) trifft in der Regel für Träger und Balken immer zu, wobei sich die Normalspannung aus der Überlagerung der gleichartigen Spannungen aus Zug/Druck und zweiachsiger Biegung ergeben kann und die Schubspannung ebenfalls die Resultierende der gleichartigen Schubspannungen aus Querkraftschub und Torsion sein kann (vgl. Kapitel 2.7.1).

Beachte: Die Gestaltänderungshypothese hat die größte Bedeutung von allen Hypothesen erlangt. Sie liefert in der Regel die besten Ergebnisse für die gebräuchlichsten Materialien im Maschinenbau (siehe Anwendungsbereiche und nachfolgenden Vergleich der Hypothesen).

zul2122

21V3 zul21

22

21V3 für Hauptspannungen: (2.93)

zul22

V3 3 zul22

V3 3 Spezialfall für den einachsigenSpannungszustand (x = , y = 0, xy=

(2.94)

Ohne Herleitung soll hier das Ergebnis für die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-hypothese angegeben werden:

zul2xyyx

2y

2xV3 3 zul

2xyyx

2y

2xV3 3 (2.92)

Ende?



Die Gestaltänderungshypothese ist die am häufigsten benutzte Hypothese!

Vergleich der Spannungshypothesen

Wir wollen für den Spezialfall x = , y = 0 und xy = , der z. B. bei der Überlagerung von Biegung und Torsion in einem Träger auftritt, die Vergleichsspannungen nach den drei oben angegebenen Spannungshypothesen miteinander vergleichen.

22V3 3Gestaltänderungshypothese nach (2.94):

22V2 4Schubspannungshypothese nach (2.91):

Es folgt für diesen Spezialfall:

22V1 4

21 Hauptspannungshypothese nach (2.90) mit (2.84):

Allgemein gilt in diesem Spezialfall für 0: V1 V3 V2V1 = V2 = V3und natürlich für = 0:

Feststellung: Die Vergleichsspannung V3 nach der Gestaltänderungshypothese liegt zwischen den beiden anderen Hypothesen. Sie stimmt für die meisten Werkstoffe am besten mit den praktischen Erfahrungen überein.

Ende?



Beispiel 2.20 Getriebewelle mit einem schrägverzahnten ZahnradFuFa

Fr

M0

r

a

b

A

B

C

Bild 2.80 Getriebewelle mit Zahnrad

Geg.: a = 80 mm, b = 120 mm, r = 40 mm M0 = 120 Nm, zul = 120 N/mm2

Nach der Verzahnungsgeometrie gilt:Fa = Futan, Fr = (Futan)/cos,= 20,= 10°

Annahme: Die Querkraftschubspannungenseien vernachlässigbar klein!

Ges.: Durchmesser d der Welle nach derGestaltänderungshypothese. Aus 6 Gleichgewichtsbedingungen lassen sich die

unbekannten Lagerreaktionen und Fu berechnen:

Wir können daraus zwei gefährdete Querschnitte erkennen:

,N 529 FF aAz ,N 3000 r

MF 0

u

,N 1800 Fba

bF uAx

,N 771

barFbF

F arAy

,N 1200 Fba

aF uBx

.N 338

barFaF

F arBy

links von C (Maximum für FL, Mbx, Mby)

rechts von C (Maximum für Mby, Mt und großes Mbx )

Damit lassen sich die Schnittgrößenverläufe ermitteln (siehe Bild 2.80).

M0 = 120 N m

- Mt

Fa = 529 N

-

FL

FuFa

Fr

M0

FAz

FAx

FAy

FBxFBy

Fur

Farz

xy

Ende?

+

+FAya = 61,7 N m

FByb = 40,6 N m

FAxa = 144 N m

Mbx

Mby

Far



Beachte: Da es zwei gefährdete Querschnitte gibt, müssen wir zunächst für beide Querschnit-te eine Dimensionierung durchführen. Mit den Ergebnissen kann dann entschieden werden, welcher Durchmesser d gewählt werden muss, damit in keinem der beiden Querschnitten die Vergleichsspannung die zulässige Spannung zul überschreitet.

Dimensionierung für den Querschnitt rechts von C:

Mit den Schnittgrößen unmittelbar rechts von C (vgl. Bild 2.80)

Mt = -120 Nm

Mbx = 40,6 Nm

Mby = 144 Nm nach Gleichung (2.46) m N 149,6M MM 2

by2bxresb

ergeben sich die maximalen Spannungen, die in zwei Punkten auf dem Umfang des Quer-schnitts auftreten aus den Gleichungen (2.47) bzw. (2.65) und (2.66) zu:

b

resbmax W

M

32d

Wmit3

b

(1)

t

tmax W

M b

3

t 2W16d

Wmit

(2)

Nach der Gestaltänderungshypothese (2.94) muss gelten: zul22

V3 3 Mit (1) und (2) ergibt sich daraus:

zul2max

2max3V 3 zul

2t

2resb

b3V M

4

3M

W

1

Ende?



(2.95)zulb

3V3V W

M zul

b

3V3V W

M 2

t2resb3V M

4

3MM

2t

2resb3V M

4

3MM mit

Aus der letzten Gleichung folgt mit der Abkürzung MV3

Hinweis: Das Zwischenergebnis in Form von Gleichung (2.95) ist eine nützliche allgemeine Formel für die Berechnung von Wellen nach der Gestaltänderungshypothese unter Biege- und Torsionsbelastung.

zul

3V3erferfb σ

Md

32W

mm9,24M32

d 3

zul

3Verf

Die Gleichung (2.95) kann nach dem Widerstandsmoment (bei Dimensionierungsproblemen als erforderliches Widerstandsmoment bezeichnet), aufgelöst werden. Mit Wb nach (1) folgt:

Die Auflösung nach derf liefert:

Ende?



Dimensionierung für den Querschnitt links von C:

Mit den Schnittgrößen unmittelbar links von C (vgl. Bild 2.80)

FL = -529 N

Mbx = 61,7 Nm

Mby = 144 NmNm 156,7M MM 2

by2bxresb nach Gleichung (2.46)

erhalten wir eine maximalen Normalspannung aus der Überlagerung der Zug/Druck- und der Biegespannung nach (2.76) mit (2.19) und (2.47) zu:

b

resbLmax W

M

A

F

4

dA

2

32

dW

3

b

mit und (3)

Schubspannungen treten an dieser Stelle nicht auf, da das Torsionsmoment Mt Null ist.

Nach der Gestaltänderungshypothese (2.94) muss wieder gelten: zul22

V3 3

Wegen der hier fehlenden Schubspannung erhalten wir daraus mit (3) die einfache Bedingung

zulerfb

resb

erf

Lmax

2max

2max3V W

M

A

F3

Mit A und Wb aus (3) ergibt sich eine kubische Gleichung für den Durchmesser derf:

zul3erf

resb2erf

L

d

M32

d

F4

0M32

dF4

dzul

resberf

zul

L3erf

(4)

Ende?



Aus der Gleichung (4) erhält man die reelle Lösung20

mm77,23derf

Schlussfolgerung: Da derf rechts von C größer ist als links von C, muss die Getriebewelle nach dem größeren Durchmesser derf 24,9 mm dimensioniert werden.

Den Durchmesser, mit dem man die Getriebewelle tatsächlich fertigt, wird man in der Praxis nach bestimmten Gesichtspunkten (Vorzugsdurchmesser, einzuhaltende Normen, verfügbare Materialabmessungen, Sicherheiten usw.) etwas größer wählen, z. B.

mm25dgew

20 Die Lösung einer kubischen Gleichung kann nach der Cardanischen Lösungsformel (siehe [2]) oder näherungsweise erfolgen.

Hinweis: Will man die etwas aufwendigere Lösung der kubischen Gleichung (3) für derf vermei-den, so kann man auch einen Spannungsnachweis nach der Gestaltänderungshypothese mit einem angenommenen Durchmesser führen. Wählt man zweckmäßig den rechts von C ermittelten erforderlichen Durchmesser dgew = derf = 24,9 mm, so liefert der Spannungsnach-weis für die Stelle links von C:

2zul3gew

resb2gew

L

gew,b

resb

gew

Lvormax,vor,3V

mm

N120

32

d

M

4

d

F

W

M

A

F

Ende?



Hinweis: Der Anteil der Längskraft (in (5) der erste Summand in der Klammer) ist in diesem Beispiel sehr klein. Diese Feststellung kann dahingehend verallgemeinert werden, dass die Spannungen aus der Längskraft in vielen Fällen vernachlässigt werden können. Der hier nicht berücksichtigte Einfluss der Querkraftschubspannungen ist ebenfalls klein. Die Vernachlässi-gung dieser beiden Anteile wird durch das Wählen von dgew > derf in der Regel „abgefangen“.

32mm4,92

Nmm107,156

4mm4,92

N52933

3

22vorh3,V

2zul22vorhV3,

mm

N120

mm

N104,0

mm

N102,911,09 (5)

Das Ergebnis (5) des Spannungsnachweises besagt, dass die Welle links von C immer kleinere Spannungswerte nach der Gestaltänderungshypothese haben wird als rechts von C. Die Stelle rechts von C ist somit für die Dimensionierung maßgeblich, wie wir es mit der exakten Berech-nung oben bereits festgestellt hatten.

Ende?



F<FK

Bild 2.81 Stabknickung

2.8 Stabilität2.8.1 Einführung

F=FK

Beulen von Flächentragwerken (Platte, Schale)Kippen eines brettartigen Balkens

F<FK

F=FK

Bild 2.82 Kippen und Beulen

Platte Schale

Solche Instabilitäten treten auch bei anderen Tragwerken unter Druckbelastungen auf und sind sehr gefährlich! Einige Beispiele sind in Bild 2.82 zusammengestellt.

Ein auf Druck belasteter gerader Stab Bild 2.81 kann seine Funktion (Gleichgewicht mit gerader Stabachse) verlieren, auch wenn die im Stab vorhandene Druckspannung d noch wesentlich kleiner als die zulässige Druckspannung ist, d. h. wenn gilt

zuldd

Der Stab verliert seine Funktion, indem er bei einer be-stimmten kritischen Kraft F = FK plötzlich instabil wird und eine neue Gleichgewichtslage mit gekrümmter Stabachse annimmt. Wir bezeichnen diesen Vorgang als das Knicken eines Stabes oder kurz als Stabknickung.

q=qK

q=qK

Schale

q=qK

q=qK

Platte

Ende?



Bild 2.83 Beulen einer schräg abgeschnittenen Schale (konstanter radialer Druck p von Außen)

Radialdruck p

Schale

Schale mit konstantem Radialdruck

x1

x2

x3 x1

x2

x3

x3

x2

x1

Gebeulte Schale in zwei Ansichten

Die beim Stabilitätsverlust eintretenden Verformungen können auch wesentlich komplexere Formen haben, wie z. B. in Bild 2.83 und Bild 2.83/1 (mit Animation) dargestellt.

Ende?



Die folgende Animation (Bild 2.83/1, nicht im Lehrbuch) zeigt das Beulen einer Zylinderschale unter axialem Druck (vgl. Schale in Bild 2.82) bei Laststeigerung bis zur kritischen Axiallast und bei Rücknahme der Axiallast bis auf den Wert Null. In dem Diagramm ist der zum Verformungsbild gehörende aktuelle Zusammenhang zwischen Axiallast und Verkürzung der Schale dargestellt.

Zur Ansicht der Animation auf das Bild klicken oder Datei schalenbeulen.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf das Video stoppt dieses bzw. setzt die Wiedergabe fort oder wiederholt sie.

Bild 2.83/1 Animation: Beulen einer Schale (konstanter axialer Druck) Mit freundlicher Genehmigung von Martin Srubar(Dissertation, Universität Hannover, Institut für Baustatik, 1999)

Ende?

AnimationAnimation



Die Stabilität von komplexen Bauwerke, z. B. von Brücken, Kränen, Dachkonstruktionen usw. aus Fachwerkstäben, ist durch eine ausreichende Sicherheit gegen Knicken der auf Druck belasteten Stäbe zu gewährleisten. Das Versagen (Knicken) eines Druckstabes (vgl. Bild 2.84 und 2.84/1 auf der folgenden Seite) kann zum Versagen der gesamten Konstruktion führen.

Versagen durch Knicken!

Bild 2.84 Versagen einer komplexen Struktur (Fachwerkbrücke) durch Knicken eines Stabes

Die große Bedeutung der Stabilität wird dadurch unterstrichen, dass der Nachweis der Stabilität für viele Bereiche der Technik durch Normen und Vorschriften verbindlich geregelt ist!

Das Nichtbeachten von Stabilitätsproblemen hat schon zu großen Katastrophen geführt!Ein klassisches Beispiel dazu wird auf der folgenden Seite vorgestellt (nicht im Lehrbuch).

Ende?



1. Einsturz: 1907

2. Einsturz: 1916

Ein Mensch!

Das Nichtbeachten von Stabilitätsproblemen führte in der Bauphase der Québec-Brücke in Kanada gleich zweimal zum Einsturz. Sie konnte dadurch erst 3.12.1917 dem Verkehr über-geben werden.

Bild 2.84/1 Québec-Brücke, Kanada

Längste Auslegerbrücke der Welt mit einer Spannweite von 549 m

Ende?



2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem

F

A

c

lstarr

A

l

vF

FA

MA

Bild 2.85 Ein einfaches Stabilitätsproblem

Wir betrachten einen auf Druck belasteten Stab, der an seinem Fußpunkt gelenkig gelagert ist und durch eine Spiralfeder im Gleichgewicht gehalten wird (Bild 2.85, links).

Für derartige Untersuchungen ist das Aufschreiben der Gleich-gewichtsbedingungen am ausgelenkten System erforderlich, wobei die Auslenkungen noch als klein angenommen werden dürfen (Theorie 2. Ordnung).

Wir wollen untersuchen, bei welcher Belastung F = FK (rich-tungstreue Kraft F vorausgesetzt) die Gleichgewichtslage mit vertikaler Stabachse in eine um den Winkel ausgelenkte Stabachse übergeht (Bild 2.85, rechts).

mit MA = c·und v = l·sin

Aus der Momentengleichgewichtsbedingung

A : F·v - MA = 0

folgt die Bedingung für das Gleichgewicht mit ausgelenkter Stabachse:

F·l·sin- c = 0 (2.96)

Wir wollen nur kleine Winkel betrachten (Theorie 2. Ordnung), d. h. wir dürfen sinsetzen (diese Vereinfachung bezeichnen wir als Liniearisierung). Es folgt:

bzw. (F· l - c) = 0F· l - c = 0 (2.97)

Gleichung (2.97) ist eine so genannte Eigenwertgleichung (homogene Gleichung für die Auslenkung).

Ende?



a) triviale Lösung für= 0 (also mit senkrechter Stabachse) und

b) nichttriviale Lösung für (F· l - c)=0.

Die Eigenwertgleichung (2.97)

(F· l - c) = 0

hat folgende Lösungen:

Aus der nichttrivialen Lösung b) folgt die so genannte kritische Kraft

l

cFK

bei der das System plötzlich eine Gleichgewichtslage mit ausgelenkter Stabachse annimmt, wobei die Größe der Auslenkung wegen der Liniearisierung sin unbestimmt bleibt.

Hinweis: Will man wissen, welche Auslenkung das System für Kräfte F > FK besitzt, so muss die nicht liniearisierte Gleichung (2.96) ausgewertet werden.

Aus der grafischen Darstellung von Gleichung (2.96) in der Form

sinc

F)y(

l

folgen anschaulich für beliebige Winkel die möglichen Gleichgewichtslagen dieses Systems (vgl. nächste Seite).

Ende?



- stabil mit einer Auslenkung nach rechts oder links, wobei schon kleine Lasterhöhungen große Aus-schläge hervorrufen, wie man aus Bild 2.86 ablesen kann.

Aus Bild 2.86 lassen sich folgende möglichen Gleichgewichtslagen in Abhängigkeit vom Winkel erkennen:

• Für F < FK (bzw. Fl/c < 1) liegt immer stabiles Gleichgewicht vor.

• Vom so genannten Verzweigungspunkt (kritischer Punkt, F = FK bzw. Fl/c = 1) an kann das Gleich-gewicht

- labil sein, wenn = 0 ist oder

Die labile Gleichgewichtslage mit = 0 (gestrichelte Kurve in Bild 2.86) ist praktisch nicht von Bedeutung, da immer kleine Störungen vorhanden sind, so dass das System im Verzweigungs-punkt bei einer weiteren Laststeigerung in eine stabile Gleichgewichtslagen mit ausgelenkter Stabachse (ausgezogenen Zweige in Bild 2.86) übergehen wird.

Ende?

in [ ] -90 -60 -30 0 30 60 90

cF l

2

1,5 1

0,5

0

Bild 2.86 Gleichgewichtslagen

sta

bil

stabil stabil

labi

l

Verzweigungs-punkt



F

A Bl

EI

F

FBV

FBH

FAverformter,ausgeknickter Stab

z

y, v

F

FQ

FL

z

y, v

Mb

v(z)S

Bild 2.87 Knickstab (2. EULER-Fall), Gleichgewicht am verformten System

2.8.3 EULER-Fälle

Typische Stabilitätsprobleme stellen auf Druck belastete Stäbe dar. Wir wollen zunächst einen beidseitig gelenkig gelagerten Stab mit einer richtungstreuen Druckkraft F betrachten (Bild 2.87) und die kritische Kraft ermitteln, bei der der Stab instabil wird (ausknickt).

Beachte: Bei allen Stabilitätsuntersuchungen müssen die Gleichgewichtsbetrachtungen am verformten System aufgeschrieben werden. Soll nur die kritische Belastung ermittelt werden, so darf liniearisiert werden (Theorie 2. Ordnung, siehe auch Kapitel 2.8.2).

Das Gleichgewicht am verformten Gesamtsystem liefert zunächst die Lagerreaktionen:

FBH = F und FA = FBV = 0

Das Gleichgewicht am freigeschnittenen verformten Teilsystem liefert das Biegemoment

Mb(z) = Fv(z)

Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen in der (y,z)-Ebene folgt nach der Differential-gleichung 2. Ordnung (2.37) mit diesem Biegemoment

zvFzMzvEI b 0zvEI

Fzv (2.98)

Ende?



Die Integrationskonstanten folgen aus den Randbedingungen:

1. v(0) = 0

c2 = 0 (d. h. mit c1 =0 bleibt die Stabachse gerade) c2·sin(l) = 0

c1 = 0

2. v(l) = 0

sin(l) = 0 für c2 0 (d. h. gekrümmte Stabachse)

EI

F2 mit (2.99)

wird Gleichung (2.98)

0v(z)(z)v 2 (2.100)

Die 2. Randbedingung wird somit bei gekrümmter Stabachse für

erfüllt.

sin(l) = 0 (2.102)

Der kleinste von Null verschiedene Eigenwert (l = 0 würde nach (2.99) F = 0 ergeben) l = liefert mit Gleichung (2.99) die kleinste kritische Kraft

2

2

KEI

Fl

2

2

KEI

Fl

(2.104)

l = 0, , 2, 3, ... (2.103)

Die Gleichung (2.102) ist die so genannte Eigenwertgleichung dieses Stabilitätsproblems mit den Eigenwerten l :

Diese homogene Differentialgleichung hat die Lösung

z)sin(cz)cos(cv(z) 21 (2.101)

Ende?



Der Stab wird beim Erreichen dieser Druckkraft plötzlich ausknicken, wobei die Biegelinie nach Gleichung (2.101) mit c1 = 0 und = /l die Form einer sin-Funktion annimmt (vgl. Bild 2.87).

F

lK = ½·l

4F

lK 0,6992·l

3F

lK = l

2

l

F

lK = 2·l

1

Bild 2.88 Knicklängen lK für die vier EULER-Fälle mit Biegelinie für die kritische Kraft

Verallgemeinerung

Der oben vorgestellte Lösungsweg kann analog für andere Lagervarianten ange-wandt werden. Für drei weitere, in der Praxis häufig anzutreffende Lagerungen von Knickstäben lassen sich die Ergeb-nisse für die dazugehörenden kritischen Kräfte einheitlich darstellen.

2K

2

KEI

Fl

2

K

2

KEI

Fl

(2.105)mit lK = Knicklänge nach Bild 2.88

Diese insgesamt vier Lagerungsarten wer-den auch EULER-Fälle genannt. Für die kritische Kraft dieser vier EULER-Fälle gilt mit EI = konst. als Biegesteifigkeit bezüg-lich der Biegeachse beim Knicken:

zsinczv 2 l

Die Größe der maximalen Auslenkung, die durch die Integrationskonstante c2 bestimmt wird, bleibt unbestimmt. Wir erhalten für die Biegelinie des ausgeknickten Stabes

Ende?



Knickspannung

Kurz bevor ein Stab ausknickt, ist die Stabachse noch gerade. Es herrscht daher im Moment des Ausknickens eine reine Druckbeanspruchung und für die kritische Druckspannung gilt:

A

EI

A

F

A

F2K

2KL

K

l(2.106)

Bei der Berechnung von FK nach EULER haben wir elastisches Materialverhalten vorausgesetzt (Anwendung der Differentialgleichung 2. Ordnung). Das bedeutet:

Die EULER-Formeln gelten nur für elastisches Knicken ! Die Bedingung dafür ist:

P2K

2

KA

EI

l

mitP = Proportionalitätsgrenze im Druckbereich

(2.107)

Diese Bedingung (2.107) für elastisches Knicken wird auch oft wie folgt umgeformt:

P2K

2

A

EI

l A

EI

P

22K

l

PK

EIA

l

Mit den AbkürzungeniI

A KK

ll iI

A KK

ll Schlankheitsgrad

(reine geometrische Größe) (2.108)

A

Iiitm Trägheitsradius (2.109)

PP

E

PP

E

Grenzschlankheitsgrad

(reiner Materialparameter) (2.110)

Ende?



nimmt die Bedingung für das elastische Knicken die folgende einfache Form an:

G G (2.111)

Hinweis: Der Vorteil der Gleichung (2.111) liegt darin, dass mit der geometrischen Größe des Schlankheitsgradessofort entschieden werden kann, ob elastisches Knicken eintritt oder nicht, da die Grenzschlankheitsgrade P für die gebräuchlichen Materialien in Tabellen verfüg-bar sind.

Falls die Bedingung für elastisches Knicken nicht erfüllt ist, muss geprüft werden, ob eventuell ein Knicken im plastischen Bereich auftritt. Dafür gelten die so genannten TETMAJER -Formeln, die hier aber nicht behandelt werden sollen.

Ende?



F

A

l2 l1

FS

l

FS

12

baI

baA3

min

K

ll

Fall-E 2. ULER

Beispiel 2.21 Gelenkig gelagerter Druckstab

Bild 2.89 Gelenkig gelagerter Druckstab

Ein Stab wird über einen Hebel auf Druck beansprucht. Gesucht wird die kritische Last F = Fkrit, bei der der vertikale Stab knickt. Die gelenkige Lagerung des Stabes sei so konstru-iert, dass sie für jede Biegeachse gilt.Gegeben: l = 400 mm

l1 = 115 mm

l2 = 230 mm

a = 1,48 mmb = 17,85 mmE = 2·105 N/mm2

P= 92

F

A

l2 l1

l

b

a

Knickachse:Achse mit Imin

Das Momentengleichgewicht um den Punkt A am freigeschnittenen Hebel liefertden Zusammenhang zwischen F und der Druckkraft FS des Stabes (vgl. Bild 2.89):

0FF 1s21 lllA : S21

1 FFll

l

(1)

P3min

Kvorh 936,2ba

12baIA

ll (2)

Bei gelenkiger Lagerung für jede Biegeachse knickt der Stab zuerst um die Achse Imin (siehe Bild 2.89). Wir prüfen, ob elastisches Knicken eintreten wird. Mit der Knicklänge K = l (2. EULER-Fall) wird der vorhandene Schlankheitsgrad nach (2.108)

Ende?



Das Ergebnis von Gleichung (2) zeigt, dass Knicken im elastischen Bereich eintreten wird und wir deshalb die EULER-Formel (2.105) anwenden dürfen. Aus dieser folgt die kritische Druck-belastung des Stabes

N59,5N40012

1,4817,85102

12

baEElF

2

352

2

32

2k

min2

kritS

ll

(3)

= 19,8 N

Aus (1) folgt mit FS = FS krit nach (3) die gesuchte kritische Belastung zu:

N59,5230115

115FF kritS

21

1krit

lll

Ende?



Beispiel 2.22 Dimensionierung von Fachwerkstäben bezüglich der Stabilität

Das Fachwerk in Beispiel 1.13; S 84 , das aus einheitlichen Stäben mit T-Querschnitt (DIN 1024, vgl. Tabelle 2.6) bestehen soll, ist so zu dimensionieren, dass keine Knickgefahr besteht.Die Fachwerkknoten seien ideale räumliche Gelenke.

Gegeben: F = 50 kN, a = 2 m, a = 30 °, E = 2,1105 N/mm2, P = 240 N/mm2

Die Stabkräfte liegen für dieses Fachwerk in der Tabelle 1.1; S 85 bereits vor. Die knick-gefährdeten Druckstäbe sind die Stäbe 1, 3, 8, 9 und 12. Für alle Druckstäbe gilt:

Stablänge: lS = a/cos Knicklänge: lK = lS = a/cos (2. EULER-Fall für das Knicken in jeder Richtung)

Die Druckstäbe werden bei einer Belastung FSi > FK zuerst um die Achse ihres kleinsten Flächen-trägheitsmomentes ausknicken, wobei natürlich der Stab mit der größten Druckbelastung zuerst ausknickt. Das ist der Stab 1 mit der Stabkraft (vgl. Tabelle 1.1; S 85)

sin4

F7F 1S

Um ein Ausknicken dieses Stabes zu vermeiden, muss nach Gleichung (2.105) gelten (wir setzen dabei stillschweigend zunächst elastischen Knicken voraus, was wir aber erst nach Festlegung des Querschnitts prüfen können):

2

2min

2

2S

min2

2K

2

K1Sa

cosEIEIEIF

sin4

F7F

ll

Diese Ungleichung lösen wir nach der Querschnittsgröße Imin auf und erhalten (nächste Seite)

Ende?



Es muss jedoch für diesen Querschnitt auch die Bedingung für elastisches Knicken (2.111) erfüllt sein, denn nur dann war unsere Rechnung zulässig. Es folgt mit dem vorhandenen Schlankheitsgrad nach (2.108) und dem Grenzschlankheitsgrad P nach (2.110) aus der Bedingung (2.111) P :

442252

263

22

2

min mm100,4530cos30sinNmm101,24

mm104N10507

cossinE4

Fa7I

9,92E

9,124mm105,58

mm101,17

30cos

mm102

I

A

cos

a

PP44

223

min

Die Bedingung für elastisches Knicken ist erfüllt, d. h. die obige Berechnung war zulässig, und der Querschnitt T90 ist insofern geeignet, dass damit ein Ausknicken der Fachwerkstäbe vermieden wird.

Der gesuchte T-Querschnitt muss diese Bedingung erfüllen. Aus Tabelle 2.6 folgt, dass der Querschnitt

T90 (grau unterlegt) mit Imin = Iy = 58,5 cm4 = 58,5104 mm4 und der Querschnittsfläche A = 17,1 cm2

diese Bedingung erfüllt.

Ende?



Ende der

Festigkeitslehre

Ende?

Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 150 CD-ROM zum Buch Prof....

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