TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 7. April 2006

Thomas Schörner-Sadenius

Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006

TSS SS06: Teilchenphysik II 2

ÜBERBLICK

1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 1.1 Schrödinger-Gleichung 1.2 Klein-Gordon-Gleichung 1.3 Hinführung zur Dirac-Gleichung 1.4 Niederenergiegrenzfall der Dirac-Gleichungen 1.5 Die Pauli-Gleichung, das magnetische Moment des

Elektrons 1.6 Kovariante Schreibweise, Notation 1.7 Vollständige Lösung der Dirac-Gleichung 1.8 Spin des Elektrons 1.9 Viererstromdichte 1.10 Die Lösungen negativer Energie - Antiteilchen

TSS SS06: Teilchenphysik II 3

mit der Frequenz 0.

Anwendung des Energie-Operators auf die vier Lösungen ergibt:

Was ist die Interpretation der Lösungen mit negativer Energie ?

Wir betrachten zuerst ein freies, ruhendes Elektron:

Dann vereinfacht sich die Dirac-Gleichung:

Ausgeschrieben bedeutet das:

Dafür gibt es 4 unabhängige Lösungen:

1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN

TSS SS06: Teilchenphysik II 4

Einsetzen in die Dirac-Gleichung

Einzelne Betrachtung der oberen und unteren Komponente; zuerst die untere:

Nach einiger Rechnung und unter Verwendung

von und p2/2m<<mc2 kann man zeigen, dass

Daher wird die kleine, die große Komponente genannt.

Die große Komponente erfüllt die Schrödinger-Gleichung (später oder Übung) – die SGL ist der nicht-relativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung.

Jetzt gehen wir von kleinen kinetischen Energien aus: Wir benutzen die Taylor-Entwicklung der Quadrat-Wurzel …

… und entwickeln die Energie-Wurzel; der kinetische Term wird als kleine Störung der Ruheenergie betrachtet:

Die Zeitabhängigkeit ist daher in etwa die des ruhenden Elektrons exp(-i0t); wir wählen folgenden Ansatz für die Wellenfunktion :

1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN

0

TSS SS06: Teilchenphysik II 5

Geladenes Teilchen im Potential A,: Ersetzen des Impuls …

… und Berücksichtigen der potentiellen Energie:

Übergang zu Operatoren …

… führt zu folgender Gleichung für die “große” Komponente:

Das wiederum führt zur Pauli-Gleichung:

Diese Gleichung beinhaltet sowohl den Spin als auch das magnetische Moment des Elektrons und seine Wechselwirkung mit dem B-Feld.

Die potentielle Energie eines magnetischen Moments im B-Feld lautet:

Der Term proportional zum B-Feld stellt diese potentielle Energie dar; das magnetische Moment des Elektrons lautet also …

… wobei gilt:

Der Faktor 2 in der Definition des magn. Moments des Elektrons ist der Lande-Faktor g, dessen Wert im Experiment zu etwa 2 bestimmt wurde, der aber bis zu Dirac unerklärlich war!

Die Abweichung g-2 kann in der QED berechnet werden; die Messung dieser Größe stellt einen der genauesten Tests der QED dar!

1.5 DIE PAULI-GLEICHUNG

Aqpp

qmcAqpci 2

AqiAqpP

qPPm

i

2

1

eB

m

eAei

mi

22

1 2

BEpot

Sm

e B

2

2

.2

und 2

S

m

eB

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Definiere den kontravarianten Vierervektor:

Beispiel: Viererimpuls p, Raumzeit x:

Metrischer Tensor:

Einsteinsche Summenkonvention und kovarianter Vierervektor:

Vierervektor-Produkte sind lorentz-invariant:

1.6 KOVARIANTE SCHREIBWEISE

Beispiel:

Die Viererableitungen:

Zur weiteren Komplikation setzt man:

Man drückt also Geschwindigkeiten in Einheiten von c und Wirkungen in Einheiten des Plankschen Quantums aus!

TSS SS06: Teilchenphysik II 7

Wir wollen nun die Kovarianz der Dirac-Gleichung auch in der Schreibweise herausstellen. Dazu definieren wir die -Matrizen:

Damit schreibt man die Dirac-Gleichung um:

1.7 DIRAC KOVARIANT

Der Vierervektor der -Matrizen …

… und die kovariante Ableitung …

… erlauben folgende Schreibweise:

Mit dem “dagger”-Symbol …

… folgt:

Die -Matrizen erfüllen die Vertauschungsrelation:

TSS SS06: Teilchenphysik II 8

Nun die generelle Lösung der Dirac-Gleichung. Wir betrachten folgenden oszillatorischen Term:

Für die Energie-Eigenwerte folgt (E>0):

Wahl des Ansatzesund Einsetzen:

1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL.

Nebenrechnung:

Damit folgt das Gleichungssystem:

Für positive Energien folgtaus der 2. Gleichung:

Es zeigt sich, dass frei wählbar ist; wähle und verifiziere durch Einsetzen in obere Gleichung:

Oberes Vorzeichen:positive Energie;unteres Vorzeichen:negative Energie.

TSS SS06: Teilchenphysik II 9

Das führt auf zwei Lösungen positiver Energie. Mit

folgt:

Jetzt negative Energien (unteres Vorzeichen). Aus der ersten Gleichung folgt

und jedes erfüllt Gleichungen.

1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL.

Normierung N der Dirac-Spinoren? Konvention:

Die vollständigen Lösungen der Dirac-Gleichung lauten also:

mEpipp

ippp

zyx

yxz

1

)(

1

0

)( ,)(

0

1

)( 21

mE

pmE

ippNpu

mE

ippmE

pNpu

z

yx

yx

z

0

1

)(

)( ,

1

0)(

)( 21mE

ippmE

p

NpvmE

pmE

ipp

Npv yx

z

z

yx

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Spezialfall 1: Impuls in +z-Richtung:

Explizite Form der Spinoren:

Anwendung des Spin-Operators S3 auf u1 etc.:

Analog: S3u2=-½u2, S3v1=-½v21, S3v2=½v2

Dirac-Gleichung liefert korrekten Spin ½!

Kleine Komplikation: In der Zukunft werden v1,2 Antiteilchen beschreiben – daher dreht sich noch das Vorzeichen um; v1 hat also Spin +½, v2 Spin -½.

Spezialfall 2: Impuls in -z-Richtung:

Die Form des Spinors ändert sich …

… aber der Spin bleibt der gleiche:

Spin ist bezogen auf die Quantitiserungsachse!

1.8 DER SPIN DES ELEKTRONS

ppppp zz || ),,0,0(

0

1

0 ,

1

0

0

,0

1

0

,

0

0

1

21

21

mEp

mEvmEp

mEv

mEp

mEumE

pmEu

113 2

1

0

0

1

1000

0100

0010

0001

2

1u

mEpmEuS

ppppp zz || ),,0,0(

0

0

1

1

mEpmEu

113 2

1

0

0

1

1000

0100

0010

0001

2

1u

mEpmEuS

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Wir schreiben zuerst die Stromdichte um:

Dabei wurde die Definition des adjungierten Spinors verwendet:

Zusammen mit der Dichte

kann man dann eine Viererstromdichte definieren:

Die Kontinuitätsgleichung wird dann zu (nachrechnen!):

1.9 DIE VIERERSTROMDICHTE

00cj

0

000

),( jj

0)j( 0

j

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Idee Dirac (1928, NP 1933):

Gemäß dieser Löcher- und See-Theorie sollten sich Löcher wie positiv geladene Teilchen verhalten Begriff der Antiteilchen.

Anwendung auf Festkörper (Halbleiter!) sehr erfolgreich; Probleme in der Teilchenphysik – das Pauli-Prinzip gilt nicht für Bosonen!

Daher alternative Idee von Feynman (E>0!): Für positive/negative Energien galt ja:

1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE

Alle Zustände negativer Energie sind besetzt (Pauli- Prinzip) bei voller Besetzung sind sie egal.- Ist eines der Niveaus unbesetzt, dann kann ein Elektron mit E>0 dahin wechseln und ein Photon mit E>2me aussenden;- Alternativ kann ein Photon mit E>2me ein Elektron von negativer auf positive Energie heben.

Man interpretiert Lösungen negativer Energie als Teilchen, die rückwärts in der Zeit laufen beziehungsweise als Antiteilchen, die vorwärts in der Zeit laufen :

ENTWEDER hat das Teilchen negative Energie und ImpulsODER es hat positive Energie und Impuls und läuft rückwärts in der Zeit.

Was aber bedeutet:Ein Teilchen läuft rückwärts in der Zeit?

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e

e

ee

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”Ein Schritt”:

1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE

Mehrere Schritte:

t

x

1

2

e–

1

2

e+

Das Elektron (die negative Ladung) wandertvon 1 nach 2 effektiv wandert eine positive Ladung (das Positron) von 2 nach 1.

t

x3

e+ 1

2

e– 1

2

3

Das Elektron wandert rückwärts in der Zeit – der Schritt 23 kommt also VOR dem Schritt 12 Das Positron wandert 321, also vorwärts in der Zeit

Antiteilchen tragen die negativen additiven Quantenzahlen der Teilchen!