Telezentriefehler und Telezentriebereich Welche Einflüsse legen den Telezentriebereich fest?

Der Vorzug des telezentrischen Strahlengangs zur Erhöhung der Mess­genauigkeit ist allgemein bekannt [1]. Oft aber wird in der Bildverarbeitungspraxis nach dem Telezentriebereich gefragt. Da­für wünscht man sich die Angabe eines Intervalls entlang der optischen Achse, innerhalb dessen die Bildverarbeitungs­anlage „fehlerfrei“ misst. Ausgehend vom Telezentriefehler des Messobjektivs und vom Schärfentiefenbereich bei der Bild­aufnahme durch die elektronische Kame­ra werden die Einflüsse quantifiziert, die den Telezentriebereich festlegen.

Strahlenverlauf im telezentrischen Objektiv

Die Bildaufnehmer elektronischer Kameras mit ihren hochgenau angeordneten Pixeln bieten eine ideale Maßverkörperung für die berührungslose 2D-Messtechnik. Die pers-pektivfreie Aufnahme des Objekts wird als Telezentrie bezeichnet. Sie erlaubt den direk-ten Rückschluss von der registrierten Grau-wertverteilung auf die zu messende Objekt-größe.

Das Prinzip der Telezentrie wird in Abbil-dung 1 an den Objekten y1 und y2 deutlich. Beide sind gleich groß, haben aber einen unterschiedlichen Abstand vom Objektiv. Während die klassische Abbildung wie im menschlichen Auge dazu führt, dass das weiter entfernte Objekt kleiner erscheint, vermeidet der telezentrische Strahlenver-lauf diesen Unterschied. Auf dem Bildauf-nehmer 1 erscheinen die Bilder beider Ob-jekte gleich groß. Der dazu notwendige telezentrische Strahlenverlauf wird durch die Positionierung der Öffnungsblende 2 in der gemeinsamen Brennebene der Linsen 3 bis 6 erzwungen.

Die Strahlen 8 und 9 treffen vom Objekt kommend in der gleichen Höhe auf die Frontgruppe des telezentrischen Objektivs, werden im gleichen Winkel zur hinteren Linsengruppe abgelenkt und treffen den Bildaufnehmer 1 in gleicher Höhe. Solange sich die Objekte im Schärfentiefenbereich

des Objektivs befinden, werden sie als scharf vom Bildaufnehmer registriert.

Wichtiger als die Schärfentiefe ist für die Bildverarbeitungspraxis der Telezentriebe-reich 2t, innerhalb dessen keine merklichen Einflüsse auf das Messergebnis auftreten. Er hängt von der geforderten Antastgenauig-keit δN in Pixeln, dem Telezentriefehler 2φ und der Schärfentiefe 2b ab.

Telezentriefehler

In [2] wird eine Definition für den Telezent-riefehler vorgeschlagen, die sich an der Feldwinkeldefinition nach DIN 19040 ori-entiert: Liegt kein Telezentriefehler vor, ver-laufen die Schwerstrahlen vor dem Objektiv parallel zur optischen Achse (2φ = 0). Dabei

werden immer Objekte betrachtet, die in einer Ebene liegen, zur optischen Achse zentriert und gleich groß sind. Laufen die Schwerstrahlen mit zunehmendem Abstand vom Objektiv wenige mrad auseinander, handelt es sich um einen leicht entozentri-schen Strahlenverlauf, der Telezentriefehler hat ein positives Vorzeichen. Laufen die Schwerstrahlen zu den gleichgroßen Ob-jekten beiderseits der optischen Achse mit wachsendem Abstand vom Objektiv aufein-ander zu, wird 2φ < 0.

In Abbildung 2 wird der berechnete Te-lezentriefehler auf Grundlage des Optik-Designs als durchgezogene Linie und die Messergebnisse nach der in [2] vorgestell-ten Methode als Punkte in Abhängigkeit von der Objektgröße dargestellt.

SIMOnE WEBEr

Dipl.-Ing. (FH) Simone Weber, Jahrgang 1982, studierte von 2003–08 Augenoptik an der FH Jena. Von 2007–08 schrieb sie ihre Diplom-arbeit über die Entwicklung, Aufbau und Vermessung von telezentrischen Objek-tiven bei der Firma Vision & Control. Seit 2008 ist sie dort tätig als Entwicklungs-ingenieur für Optik.

●●Dr.-Ing. habil. Norbert Schuster

Dipl.-Ing. (FH) Simone WeberVision & Control GmbH

Mittelbergstr. 16D-98527 Suhl

Tel.: +49 (0)3681 7974-35Fax: +49 (0)3681 7974-44

Website: www.vision-control.com

nOrBErT SchuSTEr

Dr.-Ing. habil. Norbert Schuster, Jahrgang 1951, studierte von 1969–73 Technische Optik an der TH Ilmenau und promovierte 1976 am LIT-MO in Leningrad. Von 1979 bis 1983 war er Dozent an der Universität Sétif in Algerien. Nach der Habilitation 1991 an der TU Ilme-nau leitete er bis 2000 das F & E-Zentrum von Rollei Fototechnic in Braunschweig. Seit 2000 verantwortet er die Optikentwicklung bei Vision & Control in Suhl.

DIE AUTOREN

TUTORIAL

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Das 1,34“-Objektiv ist für den größten im C-Mount zu platzierenden Bildaufnehmer mit einer lichtempfindlichen Fläche von 15 × 15 mm² konzipiert. Messung und Rech-nung stimmen gut überein. Der Anstieg der aus den Messwerten ermittelten Regressions-geraden m (siehe auch Abb. 3) wird mit Gl. (1) in den Telezentriefehler umgerechnet:

2φ = m · pʹ. (1)

|βʹ|

pʹ ist der Pixelabstand der verwendeten Ka-mera Pike F421B [3] und βʹ der Abbildungs-maßstab des telezentrischen Messobjektivs T201/0,42 [4].

Abbildung 2 zeigt den typischen Verlauf des Telezentriefehlers. Er verschwindet selbst-verständlich auf der optischen Achse (Ob-jekthöhe Null), der Anstieg der Kurve im Ursprung ist nicht Null. Infolge der Pupil-lenaberration erhöht sich der Telezentrie-fehler im Objektfeld. Zweckmäßig dimensi-onierte Objektive zeichnen sich dadurch aus, dass ein zweiter Nulldurchgang inner-halb des zur Subpixel-Antastung genutzten Objektfeldes erreicht wird.

Der Anwender kann nur mit einem Wert für den Telezentriefehler pro Objektiv sinn-voll arbeiten. Nahe liegt die Mittelung der Absolutbeträge für die relevanten Objekt-höhen 2yi:

2–φ = 1∑n

|2 φ (2yi)| (2) n i=l

Welche Werte dafür herangezogen werden, wird für die Messeinrichtung in [5] durch einen wählbaren Parameter vorgegeben.

Legt man die Optik-Design-Kurve zugrun-de ist zu berücksichtigen, dass die Lage der Messobjekte im Objektfeld zufällig verteilt ist. Nur die Antastrichtung unterliegt einer Präfe-renz: Für Subpixel-Genauigkeiten sollte sie parallel zu den Kanten des Bildaufnehmers sein [6]. Da aber gerade bei Subpixel-Anwen-dungen sich der Telezentriefehler auswirkt, erscheint eine Beschränkung der Mittelwert-bildung nach Gl. (2) auf Objekthöhen, die 90 % der langen Seite des Bildaufnehmers entsprechen, als praktikabel. Für das Beispiel in Abbildung 2 ergibt sich ein mittlerer Tele-zentriefehler von 2–φ = 0,28 mrad.

Schärfentiefe und Antaststabilität

Abbildung 3 zeigt Messergebnisse zum Telezentriefehler. In unterschiedlichen Ent-fernungen vom Objektiv wird ein ebenes Objekt der Größe |2y| = 30,98 mm mit dem Subpixel-Antast-Algorithmus vermessen. Die Ergebnisse in Pixeln sind auf der Ordinate aufgetragen. Innerhalb des möglichen An-

tastbereiches ergibt sich eine Kurve, deren Trendlinie einen leicht positiven Anstieg aufweist.

Der gemessene Arbeitsabstand dieses Objektivs beträgt 209,6 mm. Symmetrisch dazu liegt der Schärfentiefenbereich 2b = 3,0 mm, der durch Berechnen des Integrals aus [7] bestimmt wird. Siemenssternauf-nahmen in den durch senkrechte Linien markierten Ebenen zeigen die unterschied-liche Bildschärfe. Innerhalb des 2b-Bereiches sind die Unterschiede kaum merklich.

Die äußeren Siemenssterne in Abbildung 3 zeigen eine deutliche Verschlechterung der Auflösung: Hier wird im Zentrum des Siemenssterns schon eine Kontrastumkeh-rung sichtbar. Trotzdem funktioniert die Subpixel-Antastung noch. Beide Positionen liegen über dreimal weiter auseinander als die Schärfentiefe 2b.

Als Orientierung für den nutzbaren Antast-bereich kann die Schärfentiefe dennoch die-nen. Je nach Messobjekt, Antastalgorithmus und Antastrichtung könnte ein Faktor M > 1 ermittelt werden, mit dem die Schärfentiefe zu multiplizieren ist, um den Telezentriebe-reich der sicheren Antastung zu definieren:

2tb = M · 2b. (3)

Ausgehend vom hier vorgestellten Beispiel scheint ein Wert von M = 2 immer auf der sicheren Seite zu liegen.

Abschätzung des Telezentrie­bereiches

Schärfentiefe und Telezentriefehler bestim-men den nutzbaren Telezentriebereich 2t. Bei-de Effekte werden durch den Bildaufnehmer, das Objektiv und die geforderte Antastgenau-igkeit δN in unterschiedlicher Weise bestimmt. Beispielrechnungen für drei verschiedene Ka-meras, die mit dem telezentrischen Messob-jektiv T201/0,42 kombiniert werden, verdeut-lichen die Komplexität des Problems.

Die Schärfentiefe hängt vom zulässigen Zerstreuungskreis auf dem Bildaufnehmer Dr

und der Objektivöffnung, beschrieben durch die numerische Apertur NA = |βʹ| · NAʹ, ab. Nach [7] gilt für telezentrische Objektive mit dem Faktor M

2tb = M · Dr · 1 . (4) |βʹ| NA

In Tabelle 1 sind Werte für den Telezentriebe-reich zusammengestellt, die sich auf Grund-lage der Schärfentiefe bei unterschiedlichen

TAB. 1: Telezentriebereich aufgrund der Antastsicherheit 2tb für verschiedene Kameras in Kombination mit dem Objektiv T201/0,42.

Kamerapʹ/µm Dr in µm 2tb in mm @ M = 2

NAmax NAmittel NAmax NAmittel

Pike 7,46 34,0 23,8 6,6 8,3

M1018 6,71 32,2 23,0 6,2 8,0

M1418 4,65 29,6 22,0 5,7 7,7

ABB. 1: Telezentrische Abbildung ohne Perspektivitätsfehler: (1) Bildaufnehmer, (2) Öffnungsblende, (3–7) Linsen des tele­zentrischen Objektivs, (8) Mitte des Strahlen­bündels zum roten Messobjekt (so ge­nannter Schwerstrahl), (9) Schwerstrahl zum grünen Messobjekt.

TAB. 2: Telezentriebereich aufgrund des Telezentriefehlers 2tφ für verschiedene Kameras in Kombination mit dem Objektiv T201/0,42.

KameraBildaufnehmerdaten

2–φ in mrad2tφ in mm @

δN = 2/10 PXpʹ/µm NAmittel

Pike 7,4 13,5 0,278 12,8

M1018 6,7 7,92 0,230 13,9

M1418 4,65 5,4 0,167 13,4

γ2

– γ1

γ1́

– γ2́

9

8

2t

3 4

5 6 7

2 1

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58 Optik & Photonik Oktober 2008 Nr. 3 © 2008 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Blendenstufen ergeben. Die Maximalapertur ist etwa doppelt so groß wie die mittlere Apertur, so dass aus der klassischen Schär-fentiefenbetrachtung zu erwarten wäre, dass sich bei der Abblendung der Schärfentiefen-bereich etwa verdoppelt. Dem entgegen wirkt der Zerstreuungskreis: Infolge der Ab-errationen ist er bei der Maximalapertur ca.

1,4 Mal größer als bei der mittleren. Infolge dessen erhöht sich beim Abblenden der Te-lezentriebereich nur etwa um das 1,3-fache.

Der Einfluss der unterschiedlichen Pixel-abstände wird entlang der Dr-Spalten deut-lich. Die kleineren Pixel verringern nur un-wesentlich den Zerstreuungskreis, da das Objektiv für die großen Pixelabstände der Pike-Kamera konzipiert ist.

Die Grenzen des Telezentriebereiches in-folge des Telezentriefehlers wird von der geforderten Subpixel-Auflösung δN, ange-geben in Bruchteilen von Pixeln, bestimmt. In der Objektebene entspricht diese der Länge δr = δN · pʹ / |βʹ|, die senkrecht zur optischen Achse gemessen wird.

Der mittlere Telezentriefehler 2–φ legt den axialen Bereich fest, innerhalb dessen δr nicht überschritten wird. Damit ergibt sich der vom Telezentriefehler bestimmte Tele-zentriebereich zu

2tφ = δN · pʹ

. (5) 2–φ |βʹ|

ABB. 2: Berechneter und gemessener Telezentrie­fehler in Abhängigkeit von der Objektgröße für das 1,34“­Objektiv T201/0,42.

ABB. 3: Messergebnis­se zum Telezen trie­fehler für die Objekt­größe |2y| = 30,98 mm für das 1,34“­Objektiv T201/0,42 und SiemensSternaufnah­men in fünf Objektab­ständen.

Telezentriefehler T201/0,42

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

-1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500

2ϕ in mrad

|y| i

n m

m

Objektabstand in mm

m = 0,0096

1710,0

1710,5

1711,0

1711,5

1712,0

1712,5

1713,0

203 206 209 212 215

2b

Bild

grö

ße

2 γ '

in

Pixe

ln

In Tabelle 2 sind für die gleichen Kameras wie in Tabelle 1 die zu erwartenden Werte eingetragen. Für eine Subpixel-Auflösung von 2/10 Pixeln folgen etwa gleichgroße Telezentriebereiche, die über den schärfen-tiefebedingten Telezentriebereich bei M = 2 liegen. Für 1/10-Subpixel-Auflösung halbie-ren sich die Werte. Erinnert sei an [6], wo gesicherte Antastgenauigkeiten unter La-borbedingungen δN > 2/10 PX nachgewie-sen wurden.

Für die Ermittlung des kamerarelevanten Telezentriefehlers wird 90 % der langen Bild-aufnehmerseite als maximal nutzbare An-tastposition angenommen. Damit verringert sich der mittlere Telezentriefehler bei kleinen Bildaufnehmern. Andererseits engen hier die kleineren Pixel den Spielraum für den Tele-zentriefehler ein, so dass sich nur wenig un-terscheidende 2tφ-Werte ergeben.

Zusammenfassung

Die vorgestellte Methodik erlaubt erstmalig den Telezentriebereich abzuschätzen. Grund-lage dafür sind Bildaufnehmer- und Objektiv-daten. Algorithmenspezifische Einflüsse kön-nen mit den Parametern M und δN leicht berücksichtigt werden.

Der Telezentriefehler wird als gemittelter Winkel verwendet, der als Objektivparame-ter für die projektierte Bildfeldgröße ein Qualitätsmerkmal darstellt. Allerdings wird er bisher kaum publiziert. Bei telezen-trischen Messungen im Grenzbereich der Subpixel-Auflösung hat der Telezentriefeh-ler merkliche Auswirkungen.

Literatur[1] N. Schuster, A. Schmidt, Legende und Wirklich-

keit: Messgenauigkeit mittels Subpixel- Inter-

polation, in: Automatisierungsatlas, TeDo-Ver-

lag Marburg (D) 2006/07, S. 536–542.

[2] N. Schuster, C. Maczeyzik, G. Gobsch, Messung

und Kompensation des Telezentriefehlers, in:

Photonik, 37(2005)1, AT-Verlag Stuttgart (D), S.

60–62.

[3] Produktinformation AVT Pike F-421/Fa. Allied

Vision Technologies, Stadtroda (D) 2007.

[4] S. Weber, Entwicklung, Aufbau und Vermes-

sung objektseitig telezentrischer Objektive für

Industriekameras unter Berücksichtigung der

betrieblichen Fertigungsbedingungen, Diplom-

arbeit, Fachhochschule Jena, 2008.

[5] Produktinformation Optibench Version 1.3.0/

Fa. Ing.-Büro Eckerl, Hutthurm (D) 2006.

[6] N. Schuster, Messen mit Subpixel-Genauigkeit,

in: Optik & Photonik, 3 (Oktober 2007), Wi-

ley-VCH Verlag Weinheim (D), S. 49–52.

[7] N. Schuster, Depth of Field in Monochrome Di-

gital Imaging, in: Proceedings of 6th Internatio-

nal Conference in Applied Optics, St. Petersburg

(RU) 2004, vol. 3, S. 250–254.

Vision & control Gmbh SuhlDie Firma entwickelt und produziert seit 1991 Komponenten für die industrielle Bildverarbeitung und beschäftigt ca. 30 Mitarbeiter. Ausgehend von den drei tra-genden Säulen LED-basierte Beleuchtun-gen, telezentrische Messobjektive und intelligente Kameras sind in den letzten Jahren bildverarbeitende Sensoren ent-wickelt worden, die komplette Inspekti-onsaufgaben übernehmen.

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