Tensoranalysis Mai 2010

Einführung

Der Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physikeingeführt und später mathematisch präzisiert. Die Tensoranalysis ist ein wichtiges Werkzeug der Physik, mit dem systematisch rich-tungsabhängige Stoffeigenschaften (Anisotropien) untersucht werden. Anschaulich, wenn auch mathematisch nicht exakt, kann mansich einen Tensor als eine mehrdimensionale

Matrix vorstellen.

(Levi-Civita-Tensor)

Tensoren sind von unterschiedlicher Stufe, die der Anzahl der Indizes ihrer Komponenten entspricht. Im speziellen sind Tensoren 0-terStufe Skalare und Tensoren 1-ter Stufe sind Vektoren. Der im Bild angeführte Levi-Civita-Tensor ist ein Tensor 3-ter Stufe. Im engerenSinne versteht man unter einem Tensor einen Tensor 2-ter Stufe, der im R3 durch eine 3× 3−Matrix repräsentiert wird.

Das Ziel der Tensoranalysis besteht nun darin, aus der Vielzahl von Komponenten(Koordinaten), durch die eine tensorielle Größebeschrieben wird, die physikalisch wesentlichen Invarianten, d.h. die vom gewählten Koordinatensystem unabhängigen Größen, her-auszukomprimieren.Ein einfaches Beispiel dafür ist die Länge eines Vektors ~r in verschiedenen kartesischen Systemen K bzw. K′:

|~r|2 = ~r · ~r = x2 + y2 + z2 = x′2 + y′2 + z′2

Egal in welchem Koordinatensystem ein Vektor gegeben ist, sein Betragsquadrat kann überall in gleicher Weise berechnet werden.

Koordinatensysteme

Um physikalische Objekte beschreiben zu können, ist die Angabe eines Koordinatensystems notwendig. Ein Vektor im R3 wird z.B.in einem kartesischen Koordinatensystem durch seine Projektionen auf die drei Koordinatenachsen vollständig beschrieben.Im weiteren sollen erst einmal nur kartesische Koordinatensysteme betrachtet werden. Die Bezeichnungen der Koordinaten werdendabei jetzt mit Indizes durchnummeriert, so dass gilt (x, y, z)→ (x1, x2, x3).Dem entsprechend stellt sich das Quadrat eines Vektors (s.o.) wie folgt dar:

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~r · ~r =3∑

i=1

xixi =3∑

i=1

x′ix′i

Gemäß der von Einstein eingeführeten Summenkonvention werden in der Tensorrechnung die Summenzeichen weggelassen. Man ver-steht also bei zwei gleichlautenden Indizes in tensoriellen Ausdrücken eine automatische Absummation. Damit erhält man abkürzendund gleichzeitig übersichtlicher:

~r · ~r = xixi = x′ix′i

Ein kartesisches Koordinatensystem ist durch drei paarweise senkrecht aufeinander stehenden Basisvektoren {~ei} von der Länge 1festgelegt. Ein solches System von Vektoren heißt orthonormiert. Für die Skalarprodukte der Basisvektoren gilt:

~ei · ~ej = δij =

{1 i = j0 i 6= j

Dabei ist δij das Kroneckersymbol, das sind die Elemente der Einheitsmatrix.

Die Basisvektoren eines gegenüber K gedrehten SystemsK′, die {~ei

′}, lassen sich durch Linearkombinationender ursprünglichen Basisvektoren {~ek} darstellen:

~ei′ = aik ~ek (Summenkonvention beachten!)

Die Matrix der linearen Transformation erhält manaus den Skalarprodukten der Basisvektoren aik = ~ei

′·~ek.

Da die neue Basis ebenfalls orthonormiert sein muss , folgt:

~ei′ · ~ej

′ = aik ~ek · ajl ~el = aik ajl ~ek · ~el = aik ajl δkl = aik ajk = δij

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Eine Matrix A = (aij), die die Drehung einer orthonormierten Basis in eine ebensolche realisiert, heißt orthogonal und hat dieEigenschaft:

aik ajk = aik aTkj = δij oder in Matrixform A AT = 1

Dabei bezeichnet AT die zu A transponierte Matrix und 1 die Einheitsmatrix. Die transponierte Matrix einer orthogonalen Matrix A istsomit gleich ihrer inversen Matrix A−1! Die lineare Transformationen des Koordinatensystems wird auch als orthogonale Transformationbezeichnet.

Für einen Vektor ~r müssen die Koordinaten in den Systemen K und K′ natürlich auch durch die Drehmatrix verknüpft sein. Tatsächlichgilt:

x′i = ~r · ~ei′ = ~r · aik ~ek = aik ~r · ~ek = aik xk

Die Koordinaten transformieren sich also genau so wie die Basisvektoren!

Aus der Theorie der Determinanten folgt für eine orthogonale Matrix, dass

det(A AT ) = det(1) = 1

gelten muss, und wegen

det(A AT ) = det(A) det(AT ) = det(A)2

dass der Betrag ihrer Determinante gleich 1 sein muss! Da aber A reell ist, so ist ihre Determinante entweder +1 oder -1. Bei positiverDeterminante liegt eine sogenannte reine Drehung vor, ein Rechtssystem bleibt ein Rechtssystem. Bei negativer Determinante istdie Drehung mit einer Inversion I (Spiegelung am Zentrum) verknüpft, so dass aus einem Rechtssystem ein Linkssystem wird undumgekehrt.

(In einem komplexen Vektorraum muss zur Sicherung der Normierbarkeit einer der beiden Faktoren im Skalarprodukt komplex konjugiert werden.Eine entsprechende Drehung im komplexen Vektorraum, die das Skalarprodukt invariant lässt, heißt dann unitär und die zugehörige DrehmatrixU hat die Eigenschaft U U+ = 1, wobei gilt U+ = (U∗)T .)

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Der TensorbegriffEin Tensor n-ter Stufe im R3 ist ein Objekt, das in einem gegebenen Koordinatensystem durch 3n KomponentenTi1i2...in mit n Indizes bestimmt ist, die sich bei Drehung des Koordinatensystems mit der orthogonalen DrehmatrixA wie folgt transformieren:

T′i1i2...in= ai1k1ai2k2 · · · ainknTk1k2...kn

Ein Tensor 0-ter Stufe heißt Skalar. Ein Skalar ist ohne Index und in allen Koordinatensystemen gleichgroß. Man sagt auch, einSkalar ist invariant gegenüber Drehungen des Koordinatensystems.

Ein Tensor 1-ter Stufe heißt Vektor. Die Komponenten eines Vektors (z.B. des Ortsvektors ~r) in einem kartesischen Koordinatensys-tem K sind seine Koordinaten xi. Sie sind einfach indiziert und transformieren sich bei orthogonaler Drehung des Koordinatensystemsmit der entsprechenden orthogonalen Drehmatrix A: x′i = aik xk .

In Matrixform stellt sich die Transformation eines Spaltenvektors ~x = (x1, x2, x3)T sehr einfach mit Hilfe des Matrixproduktes dar:

~x ′ = A ~x.

Ein Tensor 2-ter Stufe heißt im engeren Sinne einfach Tensor und besitzt 3× 3 = 9 Komponenten, die sich in Gestalt einer Matrixtij anordnen lassen. Die Komponenten eines solchen Tensors haben zwei Indizes und transformieren sich bei Drehung des Systems mitder Matrix A wie folgt: t′ij = aik ajl tkl = aik tkl a

Tlj

In Matrixform stellt sich die Transformation eines Tensors (2-ter Stufe) sehr einfach durch das folgende Matrixprodukt dar:

T ′ = A T AT

Äußeres TensorproduktAls äußeres Tensorprodukt bezeichnet man ein Objekt aus den Produkten der Tensorkomponenten zweier gegebener Tensoren ineinem bestimmten Koordinatensystem. Wie leicht zu sehen, ist dieses Objekt wieder ein Tensor, dabei von der summarischen Stufeder beiden Faktor-Tensoren. Die Transformationsvorschrift für einen entsprechenden Tensor ist erfüllt.

T(m+n)i1i2...im+n

= A(m)i1i2...im

B(n)im+1im+2...im+n

Auf diese Weise lassen sich Tensoren von beliebig hoher Stufe erzeugen. So lässt sich aus den Komponenten zweier Vektoren ai undbj ein Tensor zweiter Stufe cij = ai bj bilden. Dieser Tensor heißt dyadisches Produkt der Vektoren ~a und ~b und manschreibt C = ~a ◦~b.

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Inneres Tensorprodukt

Als inneres Tensorprodukt bezeichnet man ein Objekt aus den Produkten der Tensorkomponenten zweier gegebener Tensoren ineinem bestimmten Koordinatensystem, in dem jeweils ein Index der Faktoren gleichgesetzt und darüber absummiert wird. Es entstehtein Tensor der summarischen Stufe der Faktoren vermindert um zwei, z.B.

T(m+n−2)i1i2...im−1im+1...im+n−2

= A(m)i1i2...im−1 l B

(n)im+1im+2...im+n−2 l (Summation über l)

Ein solches Produkt wird auch Überschiebung oder Faltung der Tensoren A(m) und B(n) genannt.Das innere Tensorpodukt aus den Komponenten zweier Vektoren ai und bj ist nichts anderes als das Skalarprodukt der beiden Vektorens = ~a ·~b = al bl (Summation über l). Es ist ein Tensor 0-ter Stufe und somit ein Skalar, also eine Invariante.Unabhängig von seinem Ursprung kann man bei einem Tensor der Stufe n ≥ 2 immer zwei seiner Indizes gleichsetzen und darüberabsummieren. Ein auf diese Weise gebildetes spezielles inneres Tensorprodukt heißt Tensorverjüngung:

B(n−2)i1...in−2

= A(n)i1...in−2 l l (Summation über l)

Natürlich kann über beliebig zwei Indizes verjüngt werden, es müssen nicht die letzten beiden in der Reihenfolge sein.Mit Hilfe der Verjüngung kann man Tensoren von gerader Stufe bis zu Skalaren reduzieren und so die eigentlich interessierendenInvarianten finden.Die Verjüngung eines Tensors (2-ter Stufe) führt zu einer der wichtigsten Invarianten, nämlich der Spur des Tensors:

Sp T = Tl l (Summation über l)

Eigenschaften von Tensoren (2-ter Stufe)

Ein wichtiges Merkmal von Tensoren sind ihre Symmetrieeigenschaften. Dabei unterscheidet man symmetrische von antisymmetrischen(oder schiefsymmetrischen) Tensoren. Die Symmetrie bezieht sich auf die beiden Indizes eines Tensors.

Ein Tensor heißt symmetrisch, wenn bei Indexvertauschung gilt Tij = Tji

und antisymmetrisch, wenn dabei ein Vorzeichenwechsel auftritt, d.h. Tij = −Tji.

Antisymmetrische Tensoren haben also nur Nullen auf ihrer (Haupt-)Diagonalen, und bestehen damit aus nur drei unabhängigenKomponenten. Symmetrische Tensoren haben sechs unabhängige Komponenten, da die Diagonalkomponenten hinzukommen.

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Die Eigenschaften der Symmetrie sind invariant! Man kann leicht zeigen, dass der Tensor T ′ = A T AT im gedrehten Koordinatensys-tem K′ genau so wie T im System K symmetrisch bzw. antisymmetrisch sein muss.

Offensichtlich ist nun die Summe zweier Tensoren, definiert durch die Summe ihrer Komponenten mit gleichen Indizes in einem SystemK, auf Grund der Linearität der Transformationsvorschrift wiederum ein Tensor: A+ B = C

Auf dieser Basis lässt sich somit jeder Tensor A in seinen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil zerlegen:

Asym =1

2(A+ AT ) Aas =

1

2(A− AT )

Die Summe dieser so definierten Anteile ergibt erneut den Ausgangstensor:

A = Asym + Aas

Der Einheitstensor 1

ist ein ganz besonderer Tensor 2-ter Stufe!

Als Matrix stellt er sich mit Hilfe der Eins-Matrix dar 1 =

1 0 00 1 00 0 1

Seine Komponenten sind die Kroneckersymbole δij (s.o.).

Bei Drehung des Systems mit einer orthogonalen Matrix A erhält man: 1′ = A 1 AT = A AT = 1

Der Einheitstensor hat also in allen Koordinatensystemen die gleichen Komponenten δij. Er ist der einzige Tensor (2-ter Stufe), derals Tensor im Ganzen invariant ist mit allen seinen Komponenten!

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Der (Pseudo-)Tensor 3-ter Stufe εijk von Levi-Civita

ist der sogenannte vollständig anisymmetrische Tensor 3-ter Stufe. Seine Komponenten sind gleich dem Vorzeichen (+1, -1 oder 0),mit dem die Dreierprodukte T1i · T2j · T3k und Ti1 · Tj2 · Tk3 in die Berechnung der Determinante der Matrix T eingehen. Es gilt:

εijk =

1 falls (ijk) eine gerade Permutation von (123)−1 falls (ijk) eine ungerade Permutation von (123)

0 falls (ijk) keine Permutation von (123)

Gleich Null sind alle Komponenten εijk, bei denen mindestens zwei der Indizes übereinstimmen, z.B. ε112 oder ε133.

Die Eigenschaft der vollständigen Antisymmetrie bzgl. beliebig zweier Indizes folgt aus der Definition. Als gerade Permutation von(123)werden die zyklischen Vertauschungen bezeichnet, d.h. neben (123) die (231) und (312). Ungerade Permutationen erhält mandurch antizyklische Vertauschung, das sind also (213), (132) und (321). Die Vertauschung von zwei Indizes ändert somit die Parität

der Permutation und es gilt: εijk = −εjik = −εikj = −εkji

Wenn der Levi-Civita-Tensor εijk im K-System die obigen Werte besitzt, welche hat er dann im K′-System?

ε′ijk = ail ajm aknεlmn = εijk · det A ={εijk falls det A = 1, bei reiner Drehung−εijk falls det A = −1, bei Spiegeldrehung

Der Levi-Civita-Tensor εijk ist somit wie δij ein invarianter Tensor, der in allen Rechtssystemen die oben angegebenen Werte besitzt.Bei einem Übergang in ein Linkssystem ändert er als Tensor sein Vorzeichen gegenüber dem oben definierten Levi-Civita-Symbol.

Benutzt man die Determinantendefinition mit dem Levi-Civita-Symbol bezüglich der Einheitsmatrix A = 1, lässt sich zeigen dass:

εijk =

∣∣∣∣∣∣δ1i δ1j δ1k

δ2i δ2j δ2k

δ3i δ3j δ3k

∣∣∣∣∣∣ und εijk εlmn =

∣∣∣∣∣∣δil δim δinδjl δjm δjnδkl δkm δkn

∣∣∣∣∣∣ gelten.

Daraus folgen bei Verjüngung des letzten Tensors 6-ter Stufe in einem, zwei oder drei Indexpaaren die mitunter nützlichen Formeln:

εijk εimn =∣∣∣∣δjm δjnδkm δkn

∣∣∣∣ = δjm δkn − δjn δkm εijk εijn = 2δkn εijk εijk = 3! = 6

Mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols lässt sich auch das Vektorprodukt zweier Vektoren aj und bk sehr einfach darstellen.

Es gilt (~a×~b)i = εijk aj bk

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Lineare Algebra und Invarianten

Um für die homogene Eigenwertaufgabe T ~y = λ~y mit der Tensor-Matrix T und dem Spaltevector ~y = (y1, y2, y3)T nichttriviale Lösun-

gen bestimmen zu können, muss die Koeffizientenmatrix T − λ1 entarten. Multipliziert man diese Gleichung mit einer orthogonalenMatrix A von links, entsteht das Gleichungssystem A T AT A~y = λA ~y, wobei die 1−Matrix geschickt eingeschoben wurde. Der Eigen-vektor ~y wird im gedrehten System K′ zum Eigenvektor A ~y mit unverändertem Eigenwert. Das charakteristische Polynom P (λ) hatalso in allen Koordinatensystemen identische Nullstellen λ , d.h. es ist invariant gegenüber Drehungen. Es lässt sich nachprüfen, dass

P (λ) = det(T − λ1) = −λ3 + SpT λ2 +1

2(SpT 2 − (SpT )2)λ+ det T

Für eine Tensormatrix T ist also das charakteristische Polynom mit samt seinen Nullstellen (Eigenwerten) und demzufolge (s.o.) dieGrößen SpT, SpT 2 und auch det T Invarianten des Tensors! Dass die Determinante eine Invariante ist, erkennt man auch leicht ausder Beziehung: det T ′ = det A T AT = det A det T det AT = det T .

Tensoren in der Physik

Tensoren sind überall dort notwendig und nützlich, wo es um richtungsabhängige Eigenschaften geht.In der Mechanik rotierender Körper ist die Massenverteilung bezüglich der Achsen wichtig. Der Massenträgheitstensor gibt darüber

Auskunft: ERot. =1

2Jijωiωj

In der Elastizitätstheorie beschreibt man den Deformationszustand eines Körpers mit Hilfe des Deformationstensors εij, der sich durchdas Spannungsfeld im Körper, das durch den Spannungstensor σij gegeben ist, einstellt. In linearer Näherung (Hooke’sches Gesetz)gilt dort: σij = Cijklεkl mit dem Tensor der elastischen Moduln Cijkl, einem Tensor 4-ter Stufe.

In der Elektrodynamik hängt die dielektrische Verschiebungsdichte Di über den dielektrischen Materialtensor εij mit der elektrischenFeldstärke Ej zusammen: Di = εij Ej. Mit dem dielektrischen Tensor εij(ω) beschreibt sich die Kristalloptik mit z.B. der Doppelbre-chung.

Die physikalischen Tensoren 2-ter Stufe sind in der Regel alle symmetrisch, so dass es immer ein geeignetes Koordinatensystem (Haupt-achsensystem) gibt, in dem diese Tensoren Diagonalform haben. Dabei gilt, dass solche Hauptachsen immer auch Symmetrieachsenim Körper (Kristall) sind.

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Kristallsymmetrie und dielektrischer Tensor

Kristallsymmetrie Darstellung Z Relationen

Triklin(Ci) Γ = 3Au 6 εxx, εyy, εzz

εxy, εyz, εzx

Monoklin(C2h) Γ = Au + 2Bu 4 εxx, εyy, εzz

εxy, εyz=εzx=0

Orthorhombisch(D2h) Γ = B1u +B2u

+B3u

3 εxx, εyy, εzz

εxy=εyz=εzx=0

Tetragonal(D4h) Γ = A2u + Eu 2 εxx = εyy, εzz

εxy=εyz=εzx=0

Trigonal(D3d) Γ = A2u + Eu 2 εxx = εyy, εzz

εxy=εyz=εzx=0

Hexagonal(D6h) Γ = A2u + E1u 2 εxx = εyy, εzz

εxy=εyz=εzx=0Axiale Symmetrie− Kontinuum (D∞h)

Γ = A2u + E1u 2 εxx = εyy, εzz

εxy=εyz=εzx=0

Kubisch(Oh) Γ = T1u 1 εxx=εyy=εzz

εxy=εyz=εzx=0Volle Isotropie - Konti-nuum (SO(3) =R×Ci)

Γ = D(−)l=1 1 εxx=εyy=εzz

εxy=εyz=εzx=0

Zum Auffinden der Symmetrierelationen in der Tabelle ist es ameinfachsten die Transformation des Vektors (x, y, z)T und des damitberechneten dyadischen Produktes bezüglich der Symmetrieopera-tionen zu überlegen. Beispielsweise folgt für eine horizontale Spiege-lebene senkrecht zur z-Achse bei Spiegelung x→ x, y → y, z → −zund somit εxz = −εxz = 0 ebenso auch εyz = 0 usw.

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Kristallsymmetrie und elastischer Tensor in Vogt’schen Indizes

Kristallsymmetrie Darstellung Z Tnm=Tmn (m, n=1...6)

Triklin(Ci) Γ=Ag 21 alle Tnm

verschieden

Monoklin(C2h) Γ=4Ag + 2Bg 13 Tnm6=0, Tm5=Tm6=0(m, n=1, 2, 3, 4)T55, T66, T56

Orthorhombisch(D2h) Γ=3A1g +B1g

+B2g +B3g

9 Tnm6=0(m, n=1, 2, 3)T44, T55, T66

Tmn=0 (sonst)

Tetragonal(D4h) Γ=2A1g +B1g

+B2g + Eg

6 T11=T22,T13=T23,T55=T66

T12,T33,T44

Tmn=0 (sonst)

Trigonal(D3d) Γ=2A1g + 2Eg 6 T11=T22,T13=T23,T55=T66

T12=T11− 32T44,T33,T44

T15=−T25=√

32 T46

Tmn=0 (sonst)

Hexagonal(D6h) Γ=2A1g + E1g

+E2g

5 T11=T22,T13=T23,T55=T66

T12=T11− 32T44,T33,T44

Tmn=0 (sonst)

Axiale Symmetrie− Kontinuum (D∞h)

Γ=2A1g + E1g

+E2g

5 T11=T22,T13=T23,T55=T66

T12= −32T44,T33

Tmn=0 (sonst)

Kubisch(Oh) Γ=A1g + Eg

+T2g

3 T11=T22=T33, T44=T55=T66

T12=T13=T23

Tmn=0 (sonst)

Volle Isotropie - Konti-nuum (SO(3) =R×Ci)

Γ=D(0) +D(2) 2 T11=T22=T33, T44=T55=T66

T12=T23=T31 =T11− 32T44

Tmn=0 (sonst)

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