1

3. Magnetostatik

Theoretische Elektrotechnik TET 2

• Definition der magnetischen Feldgrössen

• Das Gesetz von Biot-Savart

• Das Durchflutungsgesetz

• Magnetische Potentiale

• Magnetischer Dipol und magnetisierte Materialien

• Grenzbedingungen der Magnetfelder

• Der magnetische Fluss[Buch Seite 89-121]

-89-

Die magnetische Flussdichte IZur Definition der Feldgrösse*)

• Leiterschleife im Magnetfeld.

• Durch die Schleife fliesst einStrom mit der Stromstärke i.

• Beim beweglichen Leiter-stück 2 der Länge kanneine Kraftwirkung F gemes-sen werden.

• Durch Variation der Experi-mentalparameter ergibt sich:

F

F i

(1) Experimentalanordnung:

• Durch Drehung der Schleife um

Achsen nicht parallel zu .

F = f Schleifenlage( )*) Siehe GET1

Folien 1-171bis 1-183.

-90-

2

Die magnetische Flussdichte IIZur Definition der Feldgrösse

• Maximale Kraftvariation, wenn die Drehachse

normal zum bewegli-chen Leiter steht.

• Schleifenlage der maxi-malen Kraftwirkung wirdmit nmax gekennzeichnet.

• Phänomenologisch: Die Kraft variiert sinusförmig

(maximal für = /2).

F sin ,nmax( )( ),nmax( ) :=

(2) Maximierung der Kraftwirkung in Abhängigkeit der Schleifenlage:

B := lim0

i 0

Fmax

i

B = B nmax

Betrag

Richtung

lokaleDefinition

-91-

Die magnetische Flussdichte IIIZur Definition der Feldgrösse

• Die über die Kraftwirkung definierte magnetische Flussdichte stellt demnach eine Wirkungsdefinition des magnetischen Feldes dar.

• Die Einheit der magnetischen Flussdichte B ist Tesla:

• Das Tripel {Kraft, Strombezugspfeil, magnetische Flussdichte} ist einander im Rechtsschraubensinn zugeordnet:

• Kraftwirkung auf strom-durchflossenen Leiter:

(3) Geschlossene Beschreibung der magnetischen Flussdichte:

B := lim0

i 0

Fmax

iF i B sin ,nmax( )( )

B

F = i B( )

B =F

i=

F[ ]i[ ] [ ]

=m kg s2

A m=VAs m

A m=Vs

m2 = T

-92-

3

i

+

+

+ J n

i

A

vDq+

Die magnetische Flussdichte IVZur Definition der Feldgrösse

• Kraftwirkung auf bewegte Ladungen:

(4) Mikroskopische Beschreibung der Kraftwirkung:

F = i B( ) = i( ) B vD n

i( ) = J n dAA

= vD n dAA

=

= vD dAA

= vD Q

F =Q vD B( ) dQ = q

• Lorentzkraft: (allgemeine Trägerbewegung)

dF = q v B( )

-93-

i

+

+

+ J n

i

A

vDq+

Die magnetische Flussdichte VZur Definition der Feldgrösse

• Kraftwirkung auf das Strömungsfeld:

(4) Mikroskopische Beschreibung der Kraftwirkung:

dF = q v B( ) = dV v B( )

dF = v B( ) dV = v( ) B dV

F= i B( ) = i( ) B = J n dAA

B

= J n dAA

B = J dVV

B

dF = J B dV

• einfacher:

-94-

4

i

w

Die magnetische Feldstärke IZur Definition der Feldgrösse

• Messungen des Magnetfeldes mit einer kleinen Schleife im Innern derSolenoidspule ergeben folgendephänomenologische Relationen:

(1) Experimentalanordnung mit Solenoidspule:

Magnetfeld im Innern Stromstärke i

Magnetfeld im Innern Windungszahl w

Magnetfeld im Innern –1

-95-

H N S

Die magnetische Feldstärke IIZur Definition der Feldgrösse

• Aus dieser «Messvorschrift» ergibt sichfolgende Definition für die magnetischeFeldstärke:

• Feldhomogenität im Innern erfordert langeSpulen, d.h. {Durchmesser} < / 10.

• Der Grenzübergang trägt der lokalen De-finition der Feldgrösse Rechnung, mussaber die Bedingung für lange Spulen bei-behalten.

(2) Definition der magnetischen Feldstärke:

H = lim0

i 0

w iH =

A

m

• Die Feldrichtung verläuft entlang der Spulenachse und steht mit dem Be-

zugspfeil der Stromstärke im Rechts-schraubensinn.

-96-

5

Die magnetische Feldstärke IIIZur Definition der Feldgrösse

• Dilemma: «Messvorschrift» erzeugt Messgrösse. Man kann dieSolenoidspule auch zur Messung/Definition externer magnetischerFeldstärken benutzen indem durch Richtungs- und Stromvariationder Spule das Feld im Innern auf Null kompensiert wird.

• Da die H-Feldlinien in die Solenoidspule sowohl austreten (N: Nord-pol) wie auch eintreten (S: Südpol), hat die Spule die Qualität eines(makroskopischen magnetischen) Dipols.

• Die Definition der magnetischen Feldstärke H bezieht sich auf dieUrsachen des magnetischen Feldes (reale und atomare Ströme).

• Die magnetische Feldstärke H ist die Quantitätsgrösse des magne-tischen Feldes, währenddessen die magnetische Flussdichte B dieIntensitätsgrösse des magnetischen Feldes darstellt (cf. DIN 1325).

• Merke: In der Elektrostatik ist es gerade umgekehrt. Die E-Feldstärkestellt die Wirkungsdefinition (Kraft) des elektrischen Feldes dar unddie Flussdichte D bezieht sich auf deren Ursache (Ladung). Warum?

(2) Definition der magnetischen Feldstärke:

-97-

N

S

pj

pi

ri

rj

rj ri

S

N

Die magnetische Feldstärke IVGedankenexperiment «Magnetisches Coulombgesetz»

• Magnetische Dipole so «entarten», dass dieeinzelnen Pole isoliert als «Punktpole» durchihre Polstärken p beschrieben werden können.

• Coulomb fand auch eine «Vortheorie» der Kräfte für die beiden magnetischen Polstärken:

• Es sei pj p die «Probepolstärke» am Ort r :

(1) Magnetische Polstärken p:

Fj =1

4 μ0

pi pj

rj ri2 eij

F =p

4 μ0

pi r ri( )r ri

3

-98-

6

N

S

pj

pi

ri

rj

rj ri

S

N

Die magnetische Feldstärke VGedankenexperiment «Magnetisches Coulombgesetz»

• Magnetische «Feldstärke»:

• Diskussion: Wie ist die Polstärke p definiert?

(a) Die Polstärke des verwendeten Punktpols ent-spricht der «Ladung» eines magnetischenMonopols. Die so definierte Feldstärke beruhtdemnach auf der Wirkung magnetischer Mono-pole und besitzt deshalb keinen physikalischenRealstatus.

(b) Wird die Polstärke über das magnetische Dipol-moment (m = p· = i·A: später) bestimmt, dannist die «Feldstärke» die magnetische Flussdichte!

(2) Versuch einer alternativen Definition der magnetischen Feldstärke:

H = limp 0

F

p=

pi r ri( )4 μ0 r ri

3

-99-

is

H

F i

B

Die magnetische Feldstärke VIZusammenhang der magnetischen Feldgrössen

• Kombination bzw. Verschränkung der beiden Experimentalanordnungen.

• Oben: Spule und magnetische Feldstärke.

• Unten: Stromdurchflossener Leiter und magnetische Flussdichte.

• Da beide Experimente eine definitorische Qualität besitzen muss der direkte Ver-gleich eine feste Beziehung der beiden magnetischen Feldgrössen in Vakuum

ergeben.

Magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte in Vakuum:

B = μ0 H

μ0 = 4 10 7 Vs AmmagnetischeFeldkonstante

Konstitutive Beziehung(flux density law)

*)

*) Auch diese Beziehung ist in der Elektrostatikmit D = 0·E umgekehrt formuliert.

-100-

7

r

q1 v1

H

Die magnetische Feldstärke VIIFundamentales zum Aufbau des Magnetfeldes

• Mit den Definitionen der beiden magnetischen Feld-grössen verfügen wir auch über zwei «Messvor-schriften» für eben diese physikalischen Grössen.

• Phänomenologie der magnetischen Feldstärke Hum den bewegten Ladungsträger q1 (mit v1 << c0)nach Betrag und Richtung (H. C. Ørsted, 1777-1852):

• Die Kraftwirkung (auf andere bewegte Ladungen) gehört in den «Zuständigkeitsbereich» der magne-

tischen Flussdichte B, welche anhand Folie 100 direkt angegeben werden kann.

Magnetische Erregung durch stationär bewegte Ladungsträger:

H =q1

4 r2 v1

r

r

B =q1μ04 r

2 v1r

r

Das H-Feld hatseine Ursachein der bewegtenLadung !

-101-

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz IZur «Rettung» des Coulombschen Gesetzes

• Kombination der Lorentzkraft (Folie 93) mit dermagnetischen Erregung (bzw. deren Kraftwir-kung).

• Ladungsträger 1 erzeugt das Magnetfeld:

B1 =q1μ0

4 r r12 v1

r r1r r1

(1) Zwei bewegte Ladungsträger:

r2 r1

q1

F 1

+ –

q2

F 2

v1

v2

F 2 =q2 v2 B1( ) = q2 v2q1μ0

4 r2 r12 v1

r2 r1r2 r1

F 2 =q1q2μ0

4 r2 r12 v2 v1

r2 r1r2 r1

• Lorentzkraftauf bewegtenLadungsträger 2:

-102-

8

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz IIZur «Rettung» des Coulombschen Gesetzes(1) Zwei bewegte Ladungsträger:

r2 r1

q1

F 1

+ –

q2

F 2

v1

v2

F 2 =q1q2μ0

4 r2 r12 v2 v1

r2 r1r2 r1

• Lorentzkraft auf bewegten Ladungsträger 2:

• Aus der Vektorrechnung:

a b c( ) = a c( )b a b( )c

F 2 =q1q2μ0

4 r2 r12 v2 e12( )v1 v1 v2( )e12 =

q1q2μ04 r2 r1

2 v1 v2( )e12

e12

v1 v2( ) e12

-103-

• Lorentzkraft auf bewegten Ladungsträger 2:

• Mit ii (qi·vi) zeigt sich schön, dass die Ströme die Ursache der (magnetischen) Kraftwirkung sind.

• Fernwirkungsgesetz bezüglich der Ströme.

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz IIIZur «Rettung» des Coulombschen Gesetzes(2) Coulombsches Kraftgesetz:

r2 r1

q1

F 1

+ –

q2

F 2

v1

v2

F 2 =μ0 q1v1( ) q2v2( )4 r2 r1

2

r2 r1r2 r1

F 2 =μ0

4

q1v1 q2v2r2 r1

2

-104-

9

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz IVCoulombsche Gesetze im Vergleich

r2 r1

q1

Fc1

+ –

q2

Fc2

r2 r1

q1

F 1

+ –

q2

F 2

v1

v2

F 1 = F 2 =μ0

4

q1v1 q2v2r2 r1

2

Fc1 = Fc2 =1

4 0

q1 q2r2 r1

2

B1/2 =F 1/2

q1/2v1/2

E1/2 =Fc1/2q1/2

Wirkungs-definition

Wirkungs-definition(cf. Folie 92!)

umgekehrt !(cf. Folie 100)

(a) Fernwirkung:

(b) Felddefinition:

(c) «Modernes» Kraftgesetz:

Fc = q E

F = q v B( )

Ftot = q E+ v B( )

-105-

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz VCoulombsche Gesetze im Vergleich

• Für die physikalische Betrach-tungen der gesamten Anord-nung sind beide Kräfte ent-sprechend zu überlagern:

• Die Coulomb-Kraft der Elektrostatik ist demnach wesentlich stärker als die Lorentz-kraft, zumal eine Äquivalenz hier erst bei der Lichtgeschwindigkeit erreicht wird.Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an ungleichnamige Ströme stossen sich ab.

r2 r1

q1

Fc1

+ –

q2

Fc2

r2 r1

q1

F 1

+ –

q2

F 2

v1

v2

Ftot =1

4 0

q1 q2r2 r1

2 1v1 v2c02

-106-

10

Der stromdurchflossene Leiter IDas Überlagerungsprinzip

• Superposition der «Erregung» entlang der Linie :

(1) Bewegte Ladung im Linienleiter:

dQ = q q v =qdl

dt=dq

dtdl = i dl

dH =q

4 r r2 v

r r

r r

dH =i

4 r r2 dl

r r

r r

H =i

4

dl r r( )

r r3 : Superposition

Der etwas unübliche und veralteteBegriff der «magnetischen Erregung»wurde hier gewählt, um den Aspektder Ursache (d.h. Strom erzeugtMagnetfeld) hervorzustreichen. Absofort verwenden wir nur noch denBegriff der magnetischen Feldstärke.

r rq

v

dH

P

dl

r r (siehe

Folie101)

-107-

P R

dz

d

r rq

v

dH

P

dl

r r

z

Der stromdurchflossene Leiter IIDas Überlagerungsprinzip(2) Der unendlich lange Linienleiter:

H =i

4

dl r r( )

r r3 =

i

4

dz R

R3

H =i

4

1

R2 dz

R

R=

= ei

4

sin( )

R2 dz

R d = dz cos 2( ) = dz sin( )

= R cos( )

i dl =q v

R = r r

dz = ezdz=dl

dz eR =

e sin( ) dz

-108-

11

H = ei

4

sin( )

R2 dz R =

cos( )

= ei

4

R

R2 d

2

2

= ei

4

d

R2

2

= ei

4

cos( )d

2

2

= ei

2

Der stromdurchflossene Leiter IIIDas Überlagerungsprinzip

Die magnetische Feldstärkesteht im Rechtsschrauben-sinn zur Stromrichtung. DasH-Feld ist radialsymmetrisch.

(2) Der unendlich lange Linienleiter:

H =i

2e

i

H

P

z

-109-

Der stromdurchflossene Leiter IVDas Überlagerungsprinzip

• Ansatz analog zu Folie 108:

(3) Der endlich lange Linienleiter:

H =i

4

dl r r( )

r r3

a

b

H = ei

4

cos( )d

a

b

=i

2sin b( ) sin a( ) e

i

2[ ] e fernen Punkt P

Gedankenexperiment: Wir bewegen den Punkt P parallel zum Leiter in weite Ferne.Gemäss dem Verhalten von wird dasH-Feld ausserhalb des Leiterabschnittsmonoton abnehmen. Irgendwie seltsam.

= b a : Öffnungswinkel

-110-

12

Hi

Der stromdurchflossene Leiter VDas Überlagerungsprinzip

• Irgendie seltsam: Die magnetische Feldstärke imfernen Punkt P (z >> b, bzw. z << a) ist ein radial-symmetrisches Feld, welches sich scheinbar «umnichts» ausbildet (Ursache der «Erregung» fehlt).

• Das H-Feld im fernen Punkt scheint von unphysi-kalischer Natur zu sein (formaler Beweis Folie 120).

• Umgekehrtes Argument: Die Anregung ist unphy-sikalisch, da ein kurzes Leiterstück keinen ge-schlossenen Stromkreis darstellt. Es könnte indiesem Fall zudem eine geschlossene Hülle sogewählt werden, dass die Kontinuitätsgleichungdes Strömungsfeldes verletzt wäre.

• Fazit: Das Überlagerungsprinzip ist physikalischkorrekt nur für den unendlich langen Leiter und fürden in sich geschlossenen Leiter (Leiterschleife).

(4) Diskussion des Überlagerungsprinzips:

H

Naher Punkt:

Ferner Punkt:

-111-

Der stromdurchflossene Leiter IVDas Gesetz von Biot-Savart

• Geschlossene Leiterschleife bezeichnetentweder den Stromkreis selbst, oderdann eine Leiterschleife mit sehr enggeführten (u.U. verdrillten) Zuleitungen.

• Die meisten technischen Anwendungenlassen sich auf Schleifen reduzieren.

• Die magnetische Feldstärke H eines in sich geschlossenen «Stromfadens»:

(1) Die «geschlossene» Leiterschleife:

Das Biot-Savartsche Gesetz

r rq

+

v

dH

P

dl

r r

i

H =i

4

dl r r( )

r r3

-112-

13

r r J

dH

P

r r

J

dV

V

Der stromdurchflossene Leiter VDas Gesetz von Biot-Savart

• Die «dicke» Stromverteilung im angege- benen Leitervolumen V kann mittels

eines «Bündels» von Stromfäden dar-gestellt werden.

• Für die Überlagerung der Stromfäden gilt demnach mit:

(2) Das «dicke» Leitervolumen:

Das Biot-Savartsche Gesetz

H =1

4

J r r( )

r r3 dV

V

i dl = J n dA n dl = J dV

-113-

Das Durchflutungsgesetz IDas Ampèrsche Verkettungsgesetz

• Zu Zeiten von André Marie Ampère (1774-1836) war die Vektorrechnung noch nicht erfunden: daher musste aus Beobachtungs-daten logisch geschlossen werden.

• Bisher zeigte das Biot-Savartsche Gesetz: «Das H-Feld windet sich um den Strom i, wobei der Strom gleichzeitig eine geschlos-sene Schleife bildet» (Folien 109, 112).

• Ampère argumentiert umgekehrt, d.h. aus der Sicht des Stromes: «Der Strom i windetsich um das H-Feld».

(1) Logische Weiterführung des Biot-Savartschen Gesetzes:

H i

i H

-114-

14

• Wir folgen Ampères Argument und berechnen das Umlaufintegral des H-Feldes auf einem kreisförmigen,konzentrischen Weg im Richtungssinn des H-Feldesum den unendlich ausgedehnten geraden Fadenstrom.

• Nun lässt sich postulieren (ohne Beweis):

Das Durchflutungsgesetz IIDas Ampèrsche Verkettungsgesetz(1) Postulierung des Durchflutungsgesetzes:

Hi

H =i

2e

H dl =i

2dl =

dl =dl e i

2dl =

=i

22 = i

H dl = iAmpèrsches Verkettungegesetz

-115-

• Da das H-Feld in Stromrichtung (z)invariant ist, kann jede beliebige geschlossene Kurve auf die Ebenez = 0 projiziert werden und man erhält so die Kontur .

Das Durchflutungsgesetz IIIDas Ampèrsche Verkettungsgesetz(2) Beweis der Allgemeinheit:

dl = e d + e d

H dl =i

2e dl

e H : e H = 0

H dl =i

2d

0

2

= i

-116-

15

• Allgemeinere Interpretation:

Das Durchflutungsgesetz IVDas Ampèrsche Verkettungsgesetz(2) Beweis der Allgemeinheit:

H dl =i

2e dl

= ie dl

2= i

dl

2

=i

2

dl

d

=i

2

H dl =i

2

=2 Q innerhalb

0 Q ausserhalb

-117-

• Allgemeines Ampèrsches Verkettungsgesetz:

Das Durchflutungsgesetz VDas Ampèrsche Verkettungsgesetz(3) Hin zur Integral-Formulierung des Durchflutungsgesetzes:

H dlA

= inn

=

• Vorzeichen: Ströme, deren Bezugspfeil mit demUmlaufsinn von A des Integrals ein Rechts-schraubensystem bilden, werden positivgezählt. Die Grösse ist die Durchflutung.

• Allgemeines Durchflutungsgesetz (für eine kontinuierliche Überlagerung von Stromfäden):

H dlA

= J dFA

=• Vorzeichen: Das vektorielle Flä-

chenelement dF bildet mit Aein Rechtsschraubensystem.

-118-

16

• Ähnlich wie beim Satz von Gauss der Elektro-statik (Folie 1-82) werden hier:

(a) Quellenterme mit den entsprechenden Feld-grössen in Beziehung gesetzt;

(b) Verknüpft ein Gebietsintegral (A) mit einemIntegral über den Gebietsrand ( A).

• Die differentielle Form des Durchflutungsge-setzes ergibt sich aus dem Satz von Stokes

(siehe hierzu Folie 1-92).

Das Durchflutungsgesetz VIZusammenfassungWeiterführende Betrachtungen zum Durchflutungsgesetz:

rotH = J

H dlA

= J dFA

=

H dlA

= rotH dFA

= J dFA

Integralformdes Durchflutungsgesetzes

(Ampèrsches Verkettungsgesetz)

Differentialformdes Durchflutungsgesetzes

(Ampèrsches Verkettungsgesetz)

-119-

Nachtrag «endlicher Leiterabschnitt»

• Das Umlaufintegral im fernenPunkt PF ergibt gemäss demFeld aus Folien 110 und 111stets einen endlichen Wert:

• Es wurde auf A aber keinenQuellenterm (Stomstärke)umlaufen!

• Die von A aufgespannte Fläche A wird von keinem Strom durch- flutet!

H dlA

0

Einige Beweisargumente:

Unphysikalische magnetische Feldstärke

Die durch das endliche Stromsegment implizier-te Unstetigkeit im H-Feld ist unphysikalisch.

-120-

17

B=μ0

4

J r r( )r r

3 dVV

=μ0

4J

r r( )r r

3 dVV

=

=μ0

4J grad

1

r rdV

V

grad1

r r=

r r( )r r

3

=μ0

4J

1

r rdV

V

=μ0

4

J r( )r r

dVV

«Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes IBetrachtung der magnetischen Flussdichte

Vektoranalysis,(cf. Folie 1-42)

(1) Umformung des Biot-Savartschen Gesetzes (aus Folie 113):

u v = v u( )

s v( ) = s v + s v = v s

fällt weg da v nur von den Quellenkoordinaten abhängt.

-121-

«Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes IIBetrachtung der magnetischen Flussdichte

• Dieses Integral ist fast identisch mit dem Coulomb-Integral aus Folie 1-31!

• Aus der Vektoranalysis gilt:

(2) Umformung hin zu einem Grundgesetz des Magnetfeldes:

B=μ0

4

J r( )r r

dVV

=μ0

4

J r( )r r

dVV

div rot( ) = 0

divB =μ0

4

J r( )r r

dVV

= 0

divB = 0

(3) Das Grundgesetz des Magnetfeldes:

• Die Divergenzfreiheit der magnetischen Flussdich-te bedeutet: Es gibt keine magnetischen Quellen!

-122-

18

«Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes IIIBetrachtung der magnetischen Flussdichte(4) Fazit

divB = 0

B dFV

= 0

B = 0 E= 0

Quellenfreiheitdes B-Feldes.

• Die Integraldarstellung des B-Feldes in der Schreibweiseaus Folie 122 ähnelt der Gestalt eines (vektoriellen) Poten-tialfeldes. Aus diesem Grund korrespondieren die beidenstatischen Grundgesetze sinngemäss (zur Verdeutlichungin der Nabla-Schreibweise):

• Die Quellenfreiheit des B-Feldes impliziert nicht, dass demMagnetfeld keine Quellen zugrunde liegen, sondern (inAnlehnung an die elektrische Flussdichte D) dass es keinemagnetischen Ladungen gibt, d.h. keine magnetischenMonopole (siehe auch Folien 97-99).

• Magnetische Quellen sind demnach linienförmig ausgeprägt,(d.h. gerichtet, oft auch dipolartig), im Gegensatz zu den(monopolartigen) Punktladungen in der Elektrostatik.

• Demnach zeigt rot H die «reale Quelle» an und nicht div B.

-123-

Vektoranalysis IMotivation zur Einführung von PotentialfeldernAllgemeine Betrachtungen:

Aus der Elektrostatik und Folie 122 wissen wir nun, dass die vektoranalytischenIdentitäten gelten müssen:

Man kann nun den umgekehrten Weg gehen und diese Identitäten zur Definitionvon neuen, besser handhabbaren Feldern nutzen: die Potentiale.

Hierbei ist das Skalarpotential (zugehörig zum u-Vektorfeld) und A das Vektor-potential (zugehörig zum w-Vektorfeld). Die formale Verknüpfung zu den Quel-lengrössen erfolgt z.B. gemäss der Poissonschen Vektoridentität (Folie 125).

div rot i( ) 0 rot grad i( ) 0

rot grad i( ) 0 rotu = 0 u = ±grad

div rot i( ) 0 divw = 0 w = rotA

-124-

19

v = grad + rotA : A :

Vektoranalysis IIDas Poissonsche Theorem(1) Die Poissonsche Vektoridentität:

Skalares Potential

v =1

4

graddivv rot rot v

r rdV

V

=1

4

v

r rdV

V

(2) Einführen von Potentialen (als reine Hilfsgrössen):

Vektorpotential

grad + rotA =1

4

graddivv

r rdV +

1

4

rot rot v

r rdV

VV

=1

4

divv

r rdV + 0

V

A =1

4

rot v

r rdV

V

+ A0

v =O r r2( )

(siehe hierzu auch Folie 1-198 ff.)

-125-

B = grad + rotA : A :

Magnetische Potentiale IAus der Vektoranalysis(1) Feldgrössen und zugeordnete Potentiale:

magnetischesSkalarpotential

magnetischesVektorpotential

(2) Magnetisches Skalarpotential:

=1

4

divB

r rdV + 0

V

divB= 0

= 0

(A) Das Potential ist freiwählbar. Aus dem inhomo-genen Lösungsansatz ausFolie 124 lässt sich vorerstkein magnetisches Skalar-potential finden.

(B) Dies übrigens auch nicht,wenn im betrachteten Feld-raum eine Stromdichte Jexistiert (rot H zeigt Quelle

an und nichtrot B):

rotH = J

rotH = 0 H = grad

Lässt sich diese Definition trotzdem verallgemeinern?

(C) Alternativer Zugang:Für das Feldgebiet ausserhalb des stromführendenGebiets V ', d.h. ausserhalb von J, gilt hingegen:

-126-

20

i

2i

x

y

0

P1

P0

i

Magnetische Potentiale IIDas magnetische SkalarpotentialEindeutige und mehrdeutige Definition:

• Das magnetische Skalarpotential ergibt sich analog zur Elektrostatik aus einem Weg-

integral entlangdes Weges .

• Umfasst das stromführende

Gebiet, dann kann durch Wahl eines Be-zugspunktes ein Potentialfeld definiertwerden. Doch:

H = grad

= H dlP0

P

Das magnetische Skalarpotential ist ent-weder mehrdeutig und stetig, oder eindeu-tig und unstetig.

• Umfasst kein stromführendes Gebiet,dann ist das Skalarpotential eindeutig.

-127-

Magnetische Potentiale IIIDas magnetische Vektorpotential(1) Definitionsgleichungen:

(A) Magnetisches Vektorpotential:

A =1

4

rotB

r rdV

V

+ A0 =μ0

4

rotH

r rdV

V

+ A0

A =μ0

4

J

r rdV

V

+ A0

B = rotA

divB = 0

Es ist das magnetische Vektorpotential zum B-Feld,für welches ja gemäss Folie 124 gelten muss:

(B) Aus der Poissonschen Vektoridentität: (cf.Folie 125)

• Das magnetische Vektorpotential ist bisauf den Term A0 bestimmt und dahernicht eindeutig.

• Bei geeigneter Wahl von A0 hat dieser Term keinen Einfluss auf das B-Feld: Diese Wahlfreiheit heisst Eichfreiheit.

-128-

21

Magnetische Potentiale IVDas magnetische Vektorpotential

1. Freiheitsgrad: Potentiale sind über Ableitungen mit den realen Feldgrössen verknüpftund daher nur bis auf eine Konstante bestimmt (Folie 126). Gesucht ist daher z.B. A0, sodass die Feldgrösse B nicht verändert wird. Mit anderen Worten: Die Potentiale sind so«abzugleichen» (mittels Eichtransformationen), dass die elektromagnetischen Grundglei-chungen stets erfüllt bleiben (d.h. eichinvariant sind).

rot A A( ) = B B = 0

A A = grad

A0 = grad

(2) Die Eichung der Potentiale:

A A = A + A0 : Eichtransformation

B = rotA := rotA : Eichinvarianz

A = A + grad

Diese Eichtrans-formation lässt diemagnetische Feld-grösse invariant.

Folie 124

-129-

Magnetische Potentiale VDas magnetische Vektorpotential

2. Freiheitsgrad: Frei verfügen bedeutet, wir dürfen zusätzlich für die Divergenz von Ajeden beliebigen funktionalen Zusammenhang annehmen. Die Wahl der Divergenz von Aheisst Eichung von A. Aus später ersichtlichen Gründen wählen wir die Coulomb-Eichung.

(2) Die Eichung der Potentiale:

A = A + grad

Das B-Feld ist demnach durch unendlich viele verschiedeneVektorpotentiale A darstellbar. Welche Wahl treffen wir ?

Das Theorem von Helmholtz: Ein Vektorfeld ist im homogenen unbegrenzten Raumdann eindeutig bestimmt, wenn dessen Rotation und dessen Divergenz vorgegebensind (siehe Folie 125 !) und zusätzlich das Vektorfeld im Unendlichen verschwindet.

Beim Vektorpotential A haben wir nur dessen Rotation vorgegeben,über die Divergenz können wir demnach noch «frei verfügen».

divA = 0

divA = divA + div grad( ) = 0 grad = const.

-130-

22

Magnetische Potentiale VIDas Gesetz von Biot-SavartFormulierung für das magnetische Vektorpotential:

• Die Darstellung aus Folie 128 entspricht der «Potentialversion» des Coulomb-Integrals ausder Elektrostatik (Folie 1-31) bzw. dem Integralaus Folie 122. Diese Darstellung entspricht derFormulierung des Gesetzes von Biot-Savart für

die «dicke» Stromverteilung J (Folie 113).

• Im Sinne von Folie 113 Folie 112 gilt auch hier für den Fadenstrom i:

• Analog dazu ergibt sich das Gesetz von Biot-Savart für das magnetische Vektorpotential.

• Auch hier erzeugt nur das geschlossene Leiter-system realistische Felder (Vektorpotentiale). DieFelder von Leiterabschnitten dienen lediglich derstückweisen Beschreibung von Systemen.

A =μ0

4

J

r rdV

V

A =μ0 i

4

dl

r r

J dV = J n dA n dl = i dl

-131-

rotH = J

divA = 0rotB= rot rotA( )=grad divA( )

= 0

A=μ0J

A= μ0J

Magnetische Potentiale VIIDie Grundgleichungen der Magnetostatik(1) Poisson-Gleichung für das magnetische Vektorpotential:

Poisson-Gleichung für das magnetostatische Randwert-problem, wobei der Ansatz von Biot-Savart die partikuläreLösung darstellt.

(2) Laplace-Gleichung für das magnetische Skalarpotential:

Strömungsfeldim Feldgebiet

H = grad

divB = 0

divB = div μ0H( ) = div μ0 grad( )( )= μ0 = 0

=0

KeinStrömungsfeldim Feldgebiet

Laplace-Gleichung für das magnetostatische Randwertpro-blem (gilt nur für Feldgebiet ausserhalb des Strömungsfeldes).

-132-

23

Magnetische Potentiale VIIIDie Grundgleichungen der Magnetostatik(3) Zu den Problemstellungen der Magnetostatik:

• Überall wo die Stromdichte J verschwindet kann mit dem magnetischenSkalarpotential gerechnet werden.

• Später: Das Skalarpotential kommt oft bei magnetisierten Materialien zur Anwendung.

• Berechnung des Einflusses von Stromdichten J auf das resultierende Magnetfeld wird mit Hilfe des magnetischen Vektorpotentials behandelt.

• Anders als bei den elektrostatischen Aufgaben, treten in der Magneto-statik kaum Randwertprobleme mit vorgegebenem Potential auf dem Rand des Feldgebiets auf.

• Grund: Potentialdifferenzen sind in der Magnetostatik nicht einfach zu bestimmen weil die Ränder keine Äquipotentialflächen darstellen.

• Randwertprobleme degenerieren deshalb oft zu Szenarien mit Quellen (Ströme oder magnetisierte Materialien) und unendlich fernen Rändern.

-133-

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

Magnetische Potentiale IXVeranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials(1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(A) Infinitesimal kleiner Leiterabschnitt 2L = dz: (macht nur Sinn bei der Berechnung von Teilabschnitten in infinitesimal kleinen

geschlossenen Leiterstrukturen).

Das magnetische Vektorpotential hat die gleiche Richtung wie der Bezugspfeil

der Stromstärke auf der Leiterachse.

A = dA =d

dz

μ0 i

4

dl

r rdz

A = ezμ0 i

4

dz

r rdl =dz ez

-134-

24

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

r rdz

Magnetische Potentiale XVeranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials(1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(B) Endlich langer Leiterabschnitt:(macht nur Sinn bei der Berechnung von

Teilabschnitten in geschlossenen Leiter-strukturen).

A =μ0 i

4

dz ezr rL

L

=

= ezμ0 i

2

dz

z2 + 20

L

=

= ezμ0 i

2ln

L + L2 + 2

-135-

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

r rdz

Magnetische Potentiale XIVeranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials(1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(B) Endlich langer Leiterabschnitt:

A = ezμ0 i

2ln

L + L2 + 2

A = ezμ0 i

2ln

2LL

A = ezμ0 i

2ln( )+C

(C) Unendlich langer Leiterabschnitt 2L :

C A

Merke: Richtungssinn von A wird durchdas Vorzeichen des ln(.) beeinflusst !

2L

-136-

25

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

Magnetische Potentiale XIIVeranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials(1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(D) Endlich «dicker» Leiter 0 > 0:Wir wollen für einmal von der Beziehung fürdas B-Feld (Folie 109) ausgehen.

B = eμ0 i

2= rotA = e

Az

Az =μ0 i

2

Az =Az d

0

=μ0 i

2ln( ) +C

Merke: Richtungssinn von A wird durchdas Vorzeichen des ln(.) beeinflusst !

0

(endliche Konstante !)

-137-

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XIIIBeispiel: «Kleine Leiterschleife» (1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

A =μ0i

4dx

1

r3

1

r1ex + dy

1

r4

1

r3ey

(A) Für die infinitesimal kleine Schleife gilt (siehe Folie 134):

(B) Umformung des Ausdrucks :

1

r3

1

r1=r1 r3r1 r3

=r1 r3r1 r3

r1 + r3r1 + r3

=

=r12 r3

2

r1r3 r1 + r3( )

-138-

26

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XIVBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(B) Umformung des Ausdrucks :

1

r3

1

r1=

r12 r3

2

r1r3 r1 + r3( )

r12 r3

2= r dy

2( ) r dy2( ) r + dy

2( ) r + dy2( )

= 2 r dy

1

r3

1

r1=

2 r dy

r1r3 r1 + r3( )

r1 r3 r r dy

r3

Kompakte Näherung des Ausdrucks :

-139-

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XVBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(C) Umformung des Ausdrucks : (analog zu )

1

r4

1

r2=

r22 r4

2

r2 r4 r2 + r4( )

r22 r4

2= r + dx

2( ) r + dx2( ) r dx

2( ) r dx2( )

= 2 r dx

1

r4

1

r2=

2 r dx

r2 r4 r2 + r4( )

r2 r4 r

+r dx

r3

Kompakte Näherung des Ausdrucks :

-140-

27

Magnetische Potentiale XVIBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(D) Das magnetische Vektorpotential der infinitesimal kleinen Schleife:

A =μ0i

4dx

1

r3

1

r1ex + dy

1

r4

1

r3ey =

=μ0i

4dx

r dy

r3 ex + dy +

r dx

r3 ey =

=μ0i dx dy

4 r3 r ey( ) ex + +r ex( ) ey =

=μ0i dx dy

4 r3 ry( ) ex + +rx( ) ey

rx = r exry = r ey

-141-

Magnetische Potentiale XVIIBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(D) Das magnetische Vektorpotential der infinitesimal kleinen Schleife:

A =μ0i dx dy

4 r3 ry( ) ex + +rx( ) ey

rx = r cos( ) sin( )

ry = r sin( ) sin( )

A =μ0i dx dy

4 r2 sin( ) ex + cos( ) ey sin( )

=μ0i dx dy

4 r2 e sin( ) =

μ0i dA

4 r2 sin( ) e dA = dx dy

Frage: Lässt sich dieser Ausdruck für das Vektorpotential noch weiter vereinfachen?

-142-

28

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XVIIIBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(2) Das magnetische Dipolmoment:

(D) Das magnetische Dipolmoment m der Schleife:

A =μ0i dA

4 r2 sin( ) e

ez er = ez er e = sin( ) e

A =μ0i dA ez4 r

2 er m = i dA ez

A =μ0

4 r2 m er( ) =

μ0

4

m r

r3

-143-

Magnetische Potentiale XIXBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(3) Direkte Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

A =μ0 m

4 r2sin( ) e = A e

r = r

m = i dA

B = rotA =1

r sin( )A sin( )( ) er

1

r rr A( ) e

=1

r sin( )

μ0 m

4 r2sin( )

2er

1

r r

μ0 m

4 rsin( ) e

=μ0 m

4 r21

r sin( )2 sin( ) cos( )( ) er

1

rsin( )( ) e

(siehe Folie 143)

sieheVektor-analysis

-144-

29

Magnetische Potentiale XXBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(3) Direkte Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B =μ0 m

4 r21

r sin( )2 sin( ) cos( )( ) er

1

rsin( )( ) e

=μ0 m

4 r21

r2cos( )( ) er +

1

rsin( ) e

=μ0 m

4 r32 cos( ) er + sin( ) e{ }

B =μ0 m

4 r3 2 cos( ) er + sin( ) e{ }

Die magnetischeFlussdichte desmagnetischen Dipols.

-145-

Magnetische Potentiale XXIBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B = rotA =μ0

4rot m

r

r3

Vektor-analysis(Folie 121):

grad1

r=

r

r3

B =μ0

4rot m grad

1

r=

μ0

4m

1

r

=μ0

4

1

rm u v( ) = v u( )Vektor-

rechnung:

u v( )= v( )u +u v( ) u( )v v u( )Aus der

Vektoranalysis:

-146-

30

Magnetische Potentiale XXIIBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

1

rm = m( )

1

r+

1

rm( )

1

rm m

1

r

Begründung der Streichung : Das Dipolmoment ist eine konstanteGrösse!

m

m0

Begründung der Streichung : Der Laplaceoperator auf ein Potential-feld angewendet ergibt definitions-gemäss Null.

1

r0

-147-

Magnetische Potentiale XXIIIBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B =μ0

4

1

rm =

μ0

4m( )

1

r=

μ0

4m( )

r

r3

=μ0

4 m

r

r3

Zum Vektor-gradientensiehe Folie 1-142

Kann dieser Ausdruck nochvereinfacht werden?Ja, mit Hilfe der vektoranalytischenBeziehungen aus Folie 1-143.

-148-

31

VektoranalysisZum Operator «Vektorgradient»

(4) Vektoridentität für den Vektorgradienten

(aus Folie 1-143)

grad u v( ) = u grad( )v + u rot v( ) +

+ v grad( )u + v rotu( )

Stark vereinfachter Fall:

u :

v :

Konstantes Vektorfeld, bzw. konstanter Vektor

Konservatives Vektorfeld; bedeutet: rot v = 0

grad u v( ) = u grad( )v

-149-

Magnetische Potentiale XXIVBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B =μ0

4m( )

r

r3 =

μ0

4m

r

r3 =

μ0

4m

1

r

Aus der Vektoranalysis:

B =μ0

4

m r

r3 f g( ) = f g + g f

f = m r

g = 1 r3

B =μ0

4m r

1

r3 +

m

r3 =

μ0

4m r

3 err4 +

m

r3

-150-

32

B =μ0

4m r

3 err4 +

m

r3 =

μ0

4 r3 3 m r( )

r

r2 m

B =μ0

4 r3 3 m r( )

r

r2 m

Magnetische Potentiale XXVBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

Dies ist eine identische Darstellung wiedas elektrische Feld des elektrostatischenDipols aus Folie 1-61. Der magnetostatischeDipol und der elektrostatische Dipol zeigeneine formale Analogie.

B =μ0 m

4 r3 3

m r

m r

r

r

m

m=

μ0 m

4 r3 3 cos m,r( )( ) er em

Alternative Darstellung: (vergleiche Folie 1-61)

-151-

Magnetische Potentiale XXVIBeispiel: «Kleine Leiterschleife»(4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B =μ0 m

4 r3 3 cos m,r( )( ) er em

m

x

y

zP

r

em

er

e

cos m,r( )( ) = cos( )

em = cos( ) er sin( ) e

B =μ0 m

4 r3 2 cos( ) er + sin( ) e

Dies ist die identische Darstellung wieauf der Folie 145 bei der direkten Berechnung der magnetischen Flussdichte.

-152-

33

P R

i

m

z

r

dr

rP

r dr

n

12 r dr( )

A

Magnetische Potentiale XXVIINachtrag zum magnetischen Dipolmoment(4) Die allgemeine Bestimmung des magnetischen Dipolmoments:

m = iAn Dreieck-

fläche

m = i n dAdF

=i

2r dr

AA

m =i

2r dr

A

= i1

2r dr

A

= i1

2rP +R( ) dr

A

= i1

2rP dr

A

= 0

+ i1

2R dr

A

=A n

Kreisstrom

-153-

Magnetische Potentiale XXVIIINachtrag zum magnetischen Dipolmoment(5) Das magnetische Dipolmoments einer «dicken» Stromverteilung:

m =i

2r dr

A

• Das Dipolmoment des geschlossenenStromfadens:

• Das Dipolmoment der «dicken» Stromver-teilung ergibt dich aus der bündelweisenÜberlagerung von geschlossenen Strom-fäden. Dieses Bündel hat das VolumenV' = A Ar.

m =1

2r J( )

V

dV

i dr = q v = dV v = dV J

-154-

34

Äquivalenz von Magnet und StromFelder von Kreisstrom und magnetischem Dipol

• Die Quellen des magnetischen Feldes sind anisotrop, d.h. «linienförmig gerichtet», d.h. dipolartig (cf. Folien 97, 143).

• Magnetfelder werden sowohl von magnetisiertem Material, als auch von Strömen (besser: von Stromkreisen bzw. von

Kreisströmen) erzeugt.

• Der magnetische Dipol ist völlig äquivalent zum Magnetfeldeines Kreisstromes.

• Ampèrsche Hypothese: Auch die Magnetfelder in magneti-sierten Materialien rühren von atomaren Kreisströmen her.

• Permanentmagnete (magnetisierte Materialien) könnendemnach über eine «äquivalente Kreisstromdichte» bzw.über die magnetische Dipoldichte M beschrieben werden.

• Atomare Kreisströme gehen demnach aus der Überlagerungder Ladungsbewegungen in den Elektronenbahnen hervor.

Konsequenzen dieser Analogie:

-155-

Magnetisierte Materialien IDie Magnetisierung

• Es gibt keine magnetischen Ladungen (cf. Folie 123).Formal kann man gegebenenfalls fiktive Ladungen einführen um die Berechnung zu vereinfachen (später).

• Die Quelle aller statischen Magnetfelder sind Kreis-ströme, bzw. alle statischen magnetischen Felder rührenvon magnetischen Dipolen her (Äquivalenzprinzip).

• Magnetisiertes Material wird demnach über die Dipol-dichte, bzw. die Magnetisierung beschrieben:

M = limV 0

1

Vmi

i

Kontinuums-

näherung

dm

dV

(1) Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

M =dm

dVMagnetische Dipoldichtebzw. Magnetisierung

-156-

35

A =μ0

4

m r r( )r r

3m=M dV A =

μ0

4

M r( ) r r( )r r

3 dVV

Magnetisierte Materialien IIDie Magnetisierung

(A) Magnetisches Potential des Kreisstroms (Folie 143):

(2) Überlagerung von magnetischen Dipolen bzw. deren Dipolfeldern:

(B) Umformungen:

A =μ0

4

M r( ) r r( )r r

3 dVV

=μ0

4M r( )

1

r rdV

V

= +μ0

4M r( )

1

r rdV

V

grad gradrgrad gradr = gradr

-157-

Magnetisierte Materialien IIIDie Magnetisierung(2) Überlagerung von magnetischen Dipolen bzw. deren Dipolfeldern:

(B) Umformungen:

A = +μ0

4M r( )

1

r rdV

V

(C) Aus der Vektoranalysis:

rot s v( ) = s rot v v grad s s v( ) = s v( ) v s

A =μ0

4

M r( )r r

dVV

+μ0

4

M r( )r r

dVV

v := M r( )

s :=1

r r

Ziel: weiteresumformen von

und !

-158-

36

divv dVV

= c rotu dVV

= u c( ) dFV

= c rotu dVV

= u c( ) dFV

= c u dF( )V

rotu dVV

= u dFV

VektoranalysisHerleiten einer nützlichen Integralbeziehung

Alternative Variantedes Satzes von Gauss

I( ) divv dVV

= v dFV

v = u c

c = const.

II( ) div u c( ) = c rotu u rot c = c rotu

Variationen zum Satz von Gauss:

-159-

Magnetisierte Materialien IVDie Magnetisierung

(D) Umformen der Beziehung mit Hilfe der hergeleiteten Integralbeziehung:

(2) Überlagerung von magnetischen Dipolen bzw. deren Dipolfeldern:

μ0

4

M r( )r r

dVV

= +μ0

4

M r( ) dF

r rV

A =μ0

4

M r( )r r

dVV

+μ0

4

M r( ) dF

r rV

A =μ0

4

rot M

r rdV

V

+μ0

4

M n

r rdF

V

(E) Lösung: magnetisches Vektorpotential aus der Volumenverteilung von Dipolen:

IdentischeDarstellungen

-160-

37

J

F

Magnetisierte Materialien VDie Magnetisierung

• Mit Blick auf Folie 131: Dies ist die «Materie-Darstellung» des Biot-Savartschen

Gesetzes (selbst wenn über ein Volumen V' integriert wirdberücksichtigen wir stets geschlossene atomare Stromkreise).

(3) Nochmals: Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

A =μ0

4

rot M

r rdV

V

+μ0

4

M n

r rdF

V

Jm = rotM

• Das magnetisierte Material (Volumenverteilung von Dipolen) lässt durch eine Verteilung von Stromdichten Jm und einer Verteilung von Flächenstromdichten JF repräsentieren.

JF = M n

Magnetisierungsstromdichte Magnetisierungsstrombelag

-161-

• Beispiel:Für einen Zylinder wie im nebenstehenden Bild mit konstanterund homogener Magnetisierung M, welche achsenparallel orientiert ist, gilt:

und

• Das Magnetfeld des magnetisierten Zylinders wird demnach nur durch die Flächenstrombeläge wiedergegeben. Die imVolumen verteilten Kreisstromdichten heben sich gegenseitigauf (siehe auch Skizze!).

J

F

Magnetisierte Materialien VIDie Magnetisierung(3) Nochmals: Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

Jm = 0

JF = M n

-162-

38

Magnetisierte Materialien VIIDie Magnetisierung

• Definitionsgleichung des magnetischen Potentials (Folie 127):

(4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

= gradH rotH = 0

• Das B-Feld des Kreisstromes (Folie 150):

B =μ0

4

m r r( )r r

3 = μ0 ( )

=1

4

m r r( )

r r3 =

1

4

M r( ) r r( )

r r3 dV

V

• Das magnetische Skalarpotential des Kreisstromes (Dipols):

(keine freien Ströme)

-163-

Magnetisierte Materialien VIIIDie Magnetisierung(4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

=1

4

M r( ) r r( )

r r3 dV

V

= +1

4M r( )

1

r rdV

V

• Aus der Vektoranalysis (cf. Folie 1-111 ):

div s v( ) = s divv + v grad s

s v( ) = s v + v s

-164-

39

IdentischeDarstellungen

Magnetisierte Materialien IXDie Magnetisierung(4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

=1

4M r( )

1

r rdV

V

=1

4

M r( )r r

dVV

1

4

M r( )r r

dVV

=1

4

M r( )r r

dVV

+1

4

M r( )r r

dFV

=1

4

div M

r rdV

V

+1

4

M n

r rdF

V

-165-

Magnetisierte Materialien XDie Magnetisierung

• Interpretation der Quellenterme als fiktive magnetische Ladungsdichten:

(4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

=1

4

div M

r rdV

V

+1

4

M n

r rdF

V

magn = div M

magn = M n

Fiktive magnetische Raumladungsdichte Fiktive magnetische Flächenladungsdichte

Merke: Die fiktiven magnetischenLadungsdichten sind reine Rechen-grössen und haben keinen physi-kalischen Realstatus!

Qmagn = magn dVV

F =Qmagn H

• Es gilt vollständige Analogie zur Elektrostatik:

Diese Analogieist in der Praxisnicht relevant;die Beziehungenzum Skalarpo-tential hingegenschon.

-166-

40

• Beispiel:Für einen Zylinder wie im nebenstehenden Bild mit konstanterund homogener Magnetisierung M, welche achsenparallel orientiert ist, gilt:

und

• Das Magnetfeld des magnetisierten Zylinders wird demnach nur durch die fiktiven magnetischen Flächenladungsdichten wiedergegeben. Die im Volumen verteilte fiktive magneti-sche Raumladungsdichte ist Null.

Magnetisierte Materialien XIDie Magnetisierung(5) Nochmals: Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

magn = 0

magn = M n

magn+

M

magn

-167-

Zylinder mit konstanterund homogenerMagnetisierung M,welche achsenparallelorientiert ist.

Magnetisierte Materialien XIIBeispiel: «Der homogen magnetisierte Zylinder»

magn+

M

magn JF

M

H B

-168-

41

Magnetisierte Materialien XIIIZur magnetischen Feldstärke H

Merke:Diese Gleichung ist für die Praxisnicht von Bedeutung, da eineDifferentiation unter dem Integralvorkommt. Es gibt einfachereBerechnungsverfahren (Folie 174).

Poissonsche Vektoridentität:

H =1

4

graddivH rot rotH

r rdV

V

rotH = J

divH =Analogie

Folie 166

magn = divM

H =1

4

rot J +grad div M

r rdV

V

H =1

4

rot J +grad magn

r rdV

V

divH = divMMagnetisierung ist

Quelle des H-Feldes:

D̂ = D̂; D̂1D̂2 = D̂1D̂2

D̂ :Differentialoperator

-169-

Magnetisierte Materialien XIVZur magnetischen Flussdichte B

(A) Nützliche Beziehung aus dem Vektorpotential (Folie 157):

Direkte Bestimmung für das magnetisierte Material:

A =+μ0

4M r( )

1

r rdV

V

B = A = rotA

B =μ0

4M r( )

1

r rdV

V

B =μ0

4rot M r( ) grad

1

r rdV

V

(B) Kommentar: Dies ist eine alter-

native Beziehung zumH-Feld aus Folie 169.

-170-

42

-171-

B,H

M

J

B,H

B

μ0M

B

Hin

Magnetisierte Materialien XVDie Flussdichte B und die Feldstärke H(1) Magnetische Polarisation:

• Im Vakuum sind das B-Feld und das H-Feld fast identisch, d.h. proportional zueinander (Folie 100).

• Im magnetisierten Medium sind die beiden Feldgrössen unterschiedlich (cf. Folie 168!),

d.h. es braucht beide Feldgrössen zur Be-schreibung des Magnetfeldes in magnetisier-ten Medien.

• Ansatz:

rotB = μ0Jtot Jtot = J + Jm

= J + rotM

rotB = μ0 J + rotM( )

gebundeneStröme

freieStröme

rotB

μ0M = J

B,H

M

J

B,H

B

μ0M

B

Hin

Magnetisierte Materialien XVIDie Flussdichte B und die Feldstärke H(2) Magnetische Feldstärke in magnetisch polarisierbaren (magnetisierbaren) Medien:

• Definition der magnetischen Feldstärke im Material:

rotB

μ0M = J = : rotHin

Hin =B

μ0M

freieStröme

• Umgekehrt ergibt sich die Materialgleichung:

B =μ0 H +M( )

IdentischeDarstellungen

-172-

43

B,H

M

J

B,H

B

μ0M

B

Hin

Magnetisierte Materialien XVIIDie Flussdichte B und die Feldstärke H(3) Magnetische Suszeptibilität und magnetische Permeabilität:

• Annahme einer linearen Abhängigkeit zwi-schen magnetischer Feldstärke und Mag-netisierung (lineares Medium):

M = m H m : Magnetische

Suszeptibilität

B = μ0H +μ0 mH =

=μ0 1+ m( ) H =μ0μr H =

= μ H

B = μ Hμ = μ0μr

μr = 1+ m

μ :Permeabilität

μr :Permeabilitätszahl

μ0 :magn. Feldkonstante

-173-

Magnetisierte Materialien XVIIIFazit zum Magnetfeld in magnetisierbaren Materialien(4) Die Materialgleichung des Magnetfeldes:

• Bei der Berechnung der magnetischen Feldstärke spielen nur die freien Ströme eine Rolle. Der Anteil der gebundenen Ströme

(Magnetisierung) ist in der Materialbeziehung zwischen demB- und dem H-Feld «versteckt».

• Die Permeabilität enthält demnach alle mikroskopischen Eigenschaften des linearen magnetischen Materials.

• Magnetische Materialien sind eine häufige Quelle des Magnet-feldes. Es geht also nicht nur um die Polarisation des Materialsin einem externen Magnetfeld, wie in der Elektrostatik (dort sind hingegen die fest polarisierten Materialien (Elektrete) eher selten).

• Ein Material ist diamagnetisch: m > 1 r > 1

• Ein Material ist paramagnetisch: m < 1 r < 1

• Ein Material ist ferromagnetisch: m >> 1 r >> 1 (weichmagnetisch, d.h. linearisiert)

B = μ H

-174-

44

Magnetisierte Materialien XIXFazit zum Magnetfeld in magnetisierbaren Materialien(5) Übersicht:

(A) Felder freier Ströme:

rotH = J

divH = 0

rotB = μ0J

divB = 0

(B) Felder magnetisierbarerMaterie:

(C) Felder freier Ströme undmagnetisierbarer Materie:

rotH = J

divH = divM

rotB = μ0 J + rotM( )divB = 0

rotH = 0

divH = divM

rotB = μ0 rotM

divB = 0

H = rot J

A = μ0J

= divM

H = grad

H = rot J graddivM

• Fälle superponieren: H = HJ + HM

• Lösungen: Folien 160 und 165

-175-

Grenzbedingungen der Magnetfelder IMagnetische Flussdichte B

(1) Das Grundgesetz des Magnetfeldes zur«Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes (Folie 123):

B dFV

= 0

divB = 0

Integralform bezüglichder «Integrationsbox»V wobei V = Ai ist.

Differentialform

(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für denOperator «div» die Flächendivergenz (siehe hierzuFolie 1-96 ff.):

DivB = 0

n12 B2 B1( ) = 0 DivB = n12 B2 B1( ) = 0

Normalkomponentender magnetischen Flussdichte sind stetig!

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45

Grenzbedingungen der Magnetfelder IIMagnetische Feldstärke H

Integralformmit A = i

(1) Das Grundgesetz des Magnetfeldes zu den Quellen des Magnetfeldes: das Durchflutungs-gesetz aus (Folie 119):

Differentialform

(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für denOperator «rot» die Flächen- bzw. Sprungrotation (Folie 1-99 ff.) und an Stelle der Stromdichte J ergibt sich die Flächenstromdichte JF.

RotH = JF

n12 H2 H1( ) = JF

rotH = J

H dlA

= J dFA

RotH = n12 H2 H1( )

Tangentialkompo-nenten der magne-tischen Feldstärke sind stetig!

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Grenzbedingungen der Magnetfelder IIIDas Brechungsgesetz des Magnetfeldes

(1) Kombination der Grenzbedingungen:

(2) Fallunterscheidungen:

I( ) μ2 : 1 = 0

II( ) μ2 0 : 1 = 2

μ1 endlich

B1 n12 =B2 n12 μ1 H1 n12 =μ2 H2 n12

H1 t = H2 t

μ1 H1 cos 1( )=μ2 H2 cos 2( )

H1 sin 1( )= H2 sin 2( )

untere Gleichung 2( )obere Gleichung 1( )

tan 1( )tan 2( )

=μ1

μ2

Das Brechungsgsetzdes Magnetfeldes

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46

Grenzbedingungen der Magnetfelder IVMagnetische Dipoldichte bzw. Magnetisierung M

(A) Tangentialkomponenten:

H = Bμ0

M RotH =n12 H2 H1( ) = 0

RotH = 1μ0RotB

JF

n12 M 2 M1( ) = 0

n12 M 2 M1( ) = JF(B) Normalkomponenten:

B = μ0 H +M( ) DivB=n12 B2 B1( ) = 0

DivB = μ0 DivHmagn

+μ0n12 M 2 M1( ) = 0

n12 M 2 M1( ) = magn

n12

M1

M 2

JF

magn

In Übereinstimmungmit früheren Ergeb-nissen. Vergleichedie Darstellung ausFolie 168 !

-179-

Zu den RandwertproblemenBemerkungen im Kontext der Magnetostatik

Welche Randwertprobleme? Mit Bezug auf Folie 133 kommen «echte»Randwertprobleme in der Magnetostatik eher selten vor, da die Ränder derbetrachteten Objete jeweils keine Aquipotentiallinien/-flächen darstellen.

Überlagerung mit Randbedingungen: Randwertprobleme «degenerieren»deshalb oft zu Szenarien mit Quellen (Ströme oder magnetisierte Mater-ialien) und unendlich fernen Rändern.

Spezielle Quellen: Im Sinne des Äquivalenzprinzips (Folie 155) könnenmagnetisierte Materialien auch durch eine (Flächen-) Stromdichteverteilungbzw. durch magnetische Ladungsdichten repräsentiert werden. Eine solcheäquivalente Quelle kann aus einer magnetischen Dipolschicht (das magne-tische Blatt), aus magnetischen Flächenladungsdichte oder gar aus eineräquivalenten Spule bestehen (Wolff: Seite 139 ff.).

Magnetische Kreise: Kanonisches «Randwertproblem», welches das Füh-ren der geschlossenen Feldlinien im magnetischen Material mit grosserPermeabilität betrachtet. Dadurch findet alles nur im magnetischen Kreisstatt und es entsteht ein Analogon zum elektr. Stromkreis (Wolff: Seite 157 ff.).

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47

Der magnetische FlussDefinitionen

(A) Aus der magnetischen Flussdichte:

m = B n dAdFA

m[ ] = Vsm2m2

= Vs

Betrachtungen an einer Spulenanordnung:

Simulation des Magnetfeldeseiner kurzen Spule © COMSOL.

(B) Aus dem magnetischen Vektorpotential:

rotAB

dFA

= A dlA

m = A dlA

Satz vonStokes !

Merke: Der magnetische Fluss m hateinen Bezugspfeil ( in Richtung von n ).

( im Rechts-schraubensinn zum Weg A)

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