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Einleitung MD-Simulation Statistische Physik Monte-Carlo Fourier-Reihen

Theoretische Chemie/Quantenchemie IITeil III: Mikroskopische Beschreibung und Simulation molekularer

Systeme

Stefanie Grafe & Dirk Bender

Friedrich-Schiller-Universitat Jena, Institut fur Physikalische Chemie

Sommersemester 2018

St. Grafe/D. Bender Theoretische Chemie/Quantenchemie II 22


Gliederung

5 Einleitung

6 Molekulardynamische Simulation

7 Grundbegriffe der Statistischen Physik

8 Monte-Carlo-Simulationen

9 Fourier-Transformation, Fourier-Reihen und Fourier-Analyse



Einleitung

Modellbildungreales System Modellsystem

ExperimentComputer-

simulation

approximative

Theorie

experimentelle Resultate

Resultate fur das Modell

theoretische Vorhersage

Vergleich Vergleich

Test des Modells Test der Theorie



Einleitung

Untersuchungsobjekt

StrukturThermodynamik Transportkoeffizienten

statistische Ther-

modynamik

Statistik irrever-

sibler Prozesse

Paarverteilungs-

funktionen

Korrelations-funktionen

Laborexperimente Computerexperimente



Grundlagen

Grundgedanken

Eine MD-Simulation ist die numerische Losung der mechanischenBewegungsgleichungen eines Systems aus N Teilchen.

Durch Mittelwertsbildung erhalt man die interessierendenphysikalischen Großen (z. B. Verteilungsfunktionen,Diffusionskoeffizienten, Halbwertsbreiten und Linienverschiebungen imSchwingungsspektrum).



Grundlagen

Grundgedanken

MD-Simulation

Generieren der

Trajektorien

Auswerten der

Trajektorien

Equilibrieren ErzeugenInitialisieren

Korrelations-

funktionen

Struktur-

koeffizienten

Mittelwerte

und Integrale



Grundlagen

Ablauf einer MD-Simulation

START

Berechnung von Orten

und Geschwindigkeiten

Berechnung der Krafte

Auswertung

Laufendeerreicht?

ENDE

ja

nein



Potentiale

Intra- und intermolekulare Wechselwirkungspotentiale

Alle makroskopischen Eigenschaften haben ihre Ursache in den Kraften zwischenden elementaren Bausteinen der Materie. Wesentliche Quellen zum Verstandnisdieser Krafte sind:

Streuexperimente (Rontgen-, Neutronenstreuung)

Schwingungsspektroskopie (IR, Raman,. . . )

thermophysikalische Daten (Virialkoeffizienten, spezifische Warme, . . . )

Festkorpereigenschaften (Elastizitatskonstanten, Phononenspektren, . . . )

Hochfrequenzspektroskopie (NMR, EPR)

Es besteht ein komplizierter funktionaler Zusammenhang zwischen dengemessenen Großen und den Wechselwirkungsparametern. SystematischeAnpassung der Modellpotentiale an experimentelle Daten.

U( ~rj ) =∑i

u1(~ri) +∑j>i

u2(~ri, ~rj) +∑k>j>i

u3(~ri, ~rj , ~rk) + . . .



Potentiale

Quantenmechanik der zwischenmolekuren Wechselwirkung

HAB = HA + HB + VAB

VAB = −∑i∈Aβ∈B

Zβ∣∣∣~Rβ − ~ri∣∣∣ −∑j∈Bα∈A

Zα∣∣∣~Rα − ~rj∣∣∣+∑i∈Aj∈B

1

|~rj − ~ri|+∑α∈Aβ∈B

ZαZβ∣∣∣~Rβ − ~Rα

∣∣∣HABΨAB = EABΨAB

HAΨA = E0AΨA

HBΨB = E0BΨB

U(~RAB) = EAB(~RAB)−(E0A + E0

B

)

R

UAustausch-WW

van-der-WaalsES-, Induktions- und Dispersions-WW

kleine Abstande: elektrostatischeAbstoßung

mittlere Abstande: Abstoßung ∼=Anziehung, alle WW-Typen:

elektrostatischeMultipol-Multipol-WWPolarisations-WWDispersions-WW

große Abstande: im Wesentlichenanziehende Dispersionswechselwirkung



Potentiale

Klassische Ansatze

Mechanische Modelle zur Nahordnung von Flussigkeiten

1. Potential harter Kugeln

U(r) =

∞, r ≤ σ0, r > σ

U(r)

rσ

2. Rechteckpotential

U(r) =

∞, r < σ

−ε, σ < r < rmax

0, r > σ

U(r)

rσε

rmax

Bedeutung der Parameter:σ rmax εTeilchendurchmesser Wirkungsbereich der attraktiven Wechselwirkung Starke der attraktiven Wechselwirkung



Potentiale

Storungstheorie der langreichweitigen Wechselwirkung

Storungstheorie 1. Ordnung:

u(1)2 (~rAB) =

⟨Ψ0AΨ0

B

∣∣∣ VAB ∣∣∣Ψ0AΨ0

B

⟩Beschreibt die elektrostatische Wechselwirkung zwischen den ungestorten

Ladungsverteilungen A und B. Kann attraktiv oder repulsiv sein.Storungstheorie 2. Ordnung:

u(21)2 = −

∑a6=0

∣∣∣⟨Ψ0AΨ0

B

∣∣∣ VAB(~rAB)∣∣∣Ψa

AΨ0B

⟩∣∣∣2EaA − E0

A

−∑b6=0

∣∣∣⟨Ψ0AΨ0

B

∣∣∣ VAB(~rAB)∣∣∣Ψ0

AΨbB

⟩∣∣∣2EbB − E0

B

u(22)2 = −

∑a6=0b6=0

∣∣∣⟨Ψ0AΨ0

B

∣∣∣ VAB(~rAB)∣∣∣Ψa

AΨbB

⟩∣∣∣2EaA − E0

A + EbB − E0B

Beitrage der dynamischen Polarisation und Dispersionswechselwirkung (Korrelation).Immer attraktiv.



Potentiale

Potentialfunktionen bei mittleren und großen Abstanden

Fur mittlere und große Abstande sind Quanteneffekte vernachlassigbar.Der Rechenaufwand einer quantenmechanischen Potentialberechnung istunverhaltnismaßig groß.

=⇒Potentialverlauf durch analytische Funktionen annahern

attraktive Wechselwirkung:Multipolentwicklungsinnvoller Ansatz:

uPD2 = −C6

r6

Hohere Potenzen werden vernachlassigt.Sutherland-Potential:

U(r) =

∞, r ≤ σ− crm , r > σ

repulsive Wechselwirkung:Fur kurze Abstande dominiert dieabstoßende Wechselwirkung(Austauscheffekte).Uberlappintegral ∝ exp(−ζr)haufig ∝ r−n angenahert:

U(r) =d

rn, r < σ

d und n (meist 9 < n < 15) bestimmendie Starke der Abstoßung



Potentiale

Potential der nichtbindenden Wechselwirkung

r/σ

U(r)/ε

01

Unb(~r) = U el(~r) +C12

r12− C6

r6

(allgemeines) Lennard-Jones-Potential LJ(m,n)

U(r) =1

n−m

(nn

mm

) 1n−m

ε((σ

r

)n−(σr

)m)meist LJ(6,12) U(r) = 4ε

((σr

)12 − (σr

)6)Buckingham-Potential U(r) = b exp(−ar)− c

r6− d

r8

U(r) =

ε

1− 6α

(6α

exp(α(

1− rrmax

))−(

rrmax

)6), r ≥ rmax

∞, sonst

U el Wechselwirkung zwischen eventuell vorhandenen permanenten Multipolen(Ion-Ion-, Ion-Dipol-, Dipol-Dipol-WW,.. . . ).



Potentiale

Weitere Uberlegungen

Potentiale durch außere Felder

molekulare Systeme

starre MolekulmodelleModelle mit inneren Freiheitsgraden (vgl. Kapitel Kraftfeldmethoden)

Valenzkraftfeldinnere KoordinatenMorse-PotentialTorsionsenergie

Wasserstoffbrucken

Bestimmung der Potentialparameter



Algorithmen zur Berechnung der Trajektorien

Verlet-Algorithmus

Zu losen sind die Newtonschen Differentialgleichungen:

miqi = Fi mit Fi =∂U

∂qi.

Addiert man zur Taylorentwicklung von ~ri zum Zeitpunkt t+ δt

~ri(t+ δt) = ~ri + ~viδt+δt2

2~ri(t) + · · ·

die zeitinverse

~ri(t− δt) = ~ri − ~viδt+δt2

2~ri(t)− · · ·

so erhalt man

~ri(t+ δt) = 2~ri(t)− ~ri(t− δt) + δt2~ri(t) .




Verlet-Algorithmus

klassischer Verlet-Algorithmus

die Geschwindigkeit ~vi tritt nicht explizit auf

lasst sich aus der Zentraldifferenz

~vi(t) =~ri(t+ δt)− ~ri(t− δt)

2δt

bestimmen.




Geschwindigkeits-Verlet-Algorithmus

Der velocity-Verlet-algorithm (VVA) beseitigt diesen Nachteil.

~ri(t+ δt) = ~ri(t) + δt~vi(t) +δt2

2mi

~Fi(t)

~vi(t+ δt) = ~vi(t) +δt

2mi

(~Fi(t) + ~Fi(t+ δt)

)

vollig aquivalent zum klassischen Verlet-Algorithmus

Vorteil fur beide ist die exakte Reversibilitat.

daraus resultiert eine hohe Stabilitat der Gesamtenergie




mehratomige Molekule

1 verallgemeinerte Koordinaten, numerisches Losen derLagrange-Gleichungen zweiter Art.

2 Ensemble von Atomen, chemische Bindung wird beschrieben durchentsprechende Potentialfunktionen oder verallgemeinertePaarpotentiale

3 Kompromiss ist die Methode der Lagrange-Gleichungen erster Art.Auch hier Ensemble von Atomen, die feste Geometrie wird durchholonome Nebenbedingungen gesichert.




starre Molekule

Beispiel: zweiatomiges Molekul der festen Bindungslange l0

σ :=1

2

(|~r1 − ~r2|2 − l20

)= 0

Zwangskraft:

~Zi = −λ ∂

∂~riσ = (−1)i+1λ~r12

Der Verlet-Algorithmus liefert:

~r12(t+ δt) = ~r′12(t+ δt)− λδt2

m∗~r12(t)

Bestimmungsgleichung fur den Lagrange-Parameter λ




RATTLE-Verfahren

~r1(t) ~r12(t) ~r2(t)

~r′ 1(t+ δt)

~r′ 12(t+ δt)

~r′ 2(t+ δt)

~r1(t+ δt)

~r12(t+ δt)

~r2(t+ δt)

~δr1

~δr2




Periodische Randbedingungen

minimum-image-Konvention

cutoff -Radius




langreichweitige Wechselwirkungen

elektrostatische Wechselwirkung

Ewald-Summation

U el =1

2

∑′

~n

N∑i=1

N∑j=1

4πεQiQj|~ri − ~rj + ~n|




Simulationen bei konstanter Temperatur

Experimente werden fast immer bei vorgegebener Temperaturdurchgefuhrt

im NVE-Ensemble schwankt die Temperatur aber

Skalierung der Geschwindigkeiten mit dem Faktor√T0/T

Nose-Hoover-Thermostat

~ri =~Fimi− ζ~ri, ζ =

1

Q

( N∑i=1

mi~r2i − 3kBT

)



Auswertung der MD-Laufe

Auswertung

Schließen aus Bewegungsablaufen und der raumlichen Anordnungeiniger hundert Teilchen auf makroskopische Eigenschaften

Großen sofort berechnen oder Trajektorien abspeichern

Orts-, Geschwindigkeits- und Orientierungsvektoren der untersuchtenMolekule

ggfs. weitere Großen

Korrelation aufeinanderfolgender Zeitschritte

zeitgeordnete Informationen

statische und dynamische Großen bestimmbar




Grundlegende Eigenschaften

Kinetische, potentielle und Gesamtenergie

Temperatur uber den Gleichverteilungssatz aus der kinetischenEnergie ⟨

N∑i=1

mi

2~v2i

⟩=

3

2NkBT

Druck aus dem Virial

p =2

3V〈Ekin〉+

1

3V

⟨ N∑i=1

N∑j=i

~Fij~rij

⟩.




Statische Großen (Strukturinformationen)

radiale Verteilungsfunktion g(r)

g(r) = %−2

⟨ N∑i=1

N∑′

j=1

δ(~ri)δ(~rj − ~r)

⟩=

V

N 2

⟨ N∑′

i=1

N∑j=1

δ(~r − ~rij)

⟩.

vereinfacht: Zahl der Teilchen in einem Abstand r um ein gegebenesTeilchen – relativ zur entsprechenden Zahl des idealen Gases gleicherDichte und Temperatur

Haufigkeitsverteilung (Histogramm) fur Intervalle der Breite δr

atomare Systeme bzw. Schwerpunktsverteilung von Molekulen




Dynamische Großen

Korrelationsfunktionen fur Positionen, Geschwindigkeiten,Orientierung, . . .

〈AB(i)〉 =1

jmax

jmax∑j=1

AjBj+i .

in der Praxis: anderes Verfahren

mittlere quadratische Verschiebung (MSD)




Beispiele

ttCkD d)(

|)0()(|61lim rr tt

D




Fehlerbetrachtung

Auftreten zufalliger Fehlern

die momentanen Werte aller untersuchten Großen (Energie, Druck,etc.) schwanken um ihre Mittelwerte.

nichttrivale Fehlerabschatzung, da aufeinanderfolgende Werte Gieiner Meßgroße G nicht statistisch unabhangig voneinander sind

systematische Fehler

z. B. bedingt durch das Abschneiden des Potentials



Phasenraum

Phasenraum

geometrische Lage aller Teilchen zu einem Zeitpunkt

zusatzlich Geschwindigkeiten oder Impulse

Phasenraum, Ortsraum, Impulsraum

Molekul-Phasenraum (µ-Raum)

2f -dimensionaljedes Teilchen ist Punkt im µ-Raumideale Systeme

Gas-Phasenraum (Γ-Raum)

ganzes System als UbermolekulSystem entspricht einem Punkt im Γ-Raumvirtuelle Gesamtheiten



Phasenraum

virtuelle Gesamtheiten

1 abgeschlossene Systeme,Systeme ohne Energie- oderMaterieaustausch

2 geschlossene Systeme,Systeme mit Energie-, aberohne Materieaustausch

3 offene Systeme, Systeme mitEnergie- undMaterieaustausch

1 mikrokanonischeGesamtheit, EVN ,% ∝ δ(H − E)

2 kanonische Gesamtheit,NVT , % ∝ exp(− H

kBT )

3 großkanonische Gesamtheit,µVT , % ∝ exp(−H−µN

kBT )



Phasenraum

Mittelwerte

Messmittelwert

〈A〉 =1

l∆t

l∑j=0

A(j∆t)

Zeitmittelwert

〈A〉 = limτ→∞

1

τ

∫ τ

0A(q(t), p(t)) dt

Ensemblemittelwert

〈A〉 =

∫∫A(q(t), p(t))%(q(t), p(t)) dq dp

nach der Ergodenhypothese sind Zeit- und Ensemblemittel aquivalent



Phasenraum

Phasenraumdichten

Wahrscheinlichkeitsdichte %(~r1, . . . , ~rN , ~p1, . . . , ~pN )

reduzierte n-Teilchendichten

%(n)(~r1, . . . , ~rn, ~p1, . . . , ~pn)

=N !

(N − n)!

∫· · ·∫%(~r1, . . . , ~rN , ~p1, . . . , ~pN ) d3~rn+1 · · · d3~pN

Spezialfall n = 1:∫V

%(1)(~r) d3~r = N .



Verteilungsfunktionen


aus den %(n) lassen sich neue Funktionen definieren

g(n)(~r1, . . . , ~rn) :=%(n)(~r1, . . . , ~rn)

n∏i=1

%(~ri)

g(n) heißen n-Teilchenverteilungsfunktionen

Paarverteilungsfunktion g(2) ≡ g(~r1, ~r2)

g reprasentiert die Nahordnunggeht fur große Abstande gegen EinsHangt g nur vom Abstand der beteiligten Teilchen ab, so nennt mansie radiale Verteilungsfunktion.




radiale Verteilungsfunktion




molekulare Paarverteilungsfunktionen

Im Falle molekularer Flussigkeiten tritt an Stelle der radialenVerteilungsfunktion g(r) eine Funktion g(~R, ~Ω1, ~Ω2, ~Ω12), die von denPositionen und Orientierungen der beteiligten Molekule abhangt. Diesemolekularen Paarverteilungsfunktionen (MPDF) sind sehr kompliziertstrukturiert. Zu ihrer Handhabung bieten sich zwei Wege:

1 Entwicklung nach Wignermatrizen (oder fur lineare MolekuleKugelflachenfunktionen)

2 Atom-Atom-Paarverteilung



Molekulare Dynamik

Korrelationsfunktionen

Die Molekuldynamik wird beschrieben durch Korrelationsfunktionen(CF).Sie geben die Wechselbeziehung einer Systemeigenschaft zu einemReferenzzeitpunkt t0 mit einer Eigenschaft zu einem anderenZeitpunkt t an. Hierbei kann es sich um gleiche oder verschiedeneEigenschaften handeln.Setzt man die Stationaritat des Systems voraus, so wahlt mangewohnlich t0 = 0 und erhalt die CF in allgemeiner Gestalt:

GAB(t) :=⟨Ai(0)|B∗j (t)

⟩≡⟨AiB

∗j (t)

⟩.

A und B sind hierbei beliebige dynamische Variablen (z. B. ~ri, ~vi, ~Ωi,~ωi, usw.).∗ bedeutet die komplexe Konjugation.



Molekulare Dynamik

Korrelationsfunktionen

Die Indizes i und j beziehen sich auf die Teilchen. Damit kann man dieKorrelationsfunktionen klassifizieren als:

1a) Autokorrelationsfunktionen (ACF) fur A = B,

1b) Kreuzkorrelationsfunktionen (CCF) fur A 6= B,

2a) Einteilchen-CF fur i = j und

2b) Mehrteilchen-CF fur i 6= j

Haufig erweist es sich als sinnvoll, normierte Korrelationsfunktionen unddaraus abgeleitete Korrelationszeiten τAB zu verwenden:

GAB(t) :=〈A(0)B(t)〉〈A(0)B(0)〉

τAB :=

∞∫0

GAB(t) dt .



Molekulare Dynamik

Korrelationsfunktionen und Transportprozesse

mikroskopischen Beschreibung von Transportprozessen

CF ist mit makroskopischen Transportkoeffizienten verknupft

Beispiel: Diffusion

verknupft werden die (normierte)Geschwindigkeitsautokorrelationsfunktion (VACF)

G ~vv(t) :=〈~v~v(t)〉〈~v2〉

und der Selbstdiffusionskoeffizient D

Letzteren kann man aus der mittleren quadratischen Verschiebung(MSD) bestimmen:

D = limt→∞

1

6t

⟨|~r(t)− ~r(0)|2

⟩.



Molekulare Dynamik

Korrelationsfunktionen und Transportprozesse

Diese Einsteinbeziehung folgt unmittelbar aus dem FickschenDiffusionsgesetz.

Die Diffusion ist auch ein Beispiel fur die “random walk” genanntestochastische Bewegung. Fur diese ist bekannt, dass die MSD des

”Spaziergangers“ nach hinreichend langer Zeit eine lineare Funktion

von t wird.

Der Diffusionskoeffizient laßt sich nun auch aus der CF berechnen:

D =kBTm

∞∫0

Gvv(t) dt

Green-Kubo-Relationen



Molekulare Dynamik

Korrelationsfunktionen und Spektroskopie

Korrelationsfunktion G(t) ←→ spektrale Leistungsdichte J(ω)

Beide enthalten identische Informationen uber den stochastischenProzess (Wiener-Chintchine-Theorem).

Frequenz- und Zeitdomane sind uber eine Fouriertransformationmiteinander verknupft:

G(t) =

∞∫−∞

J(ω) exp(− iωt) dω

J(ω) =1

π

∞∫0

exp( iωt)G(t) dt .

Ubergang zwischen Dynamik und Spektroskopie



Molekulare Dynamik

Spektralmomente

normierte Spektralmomente (n-ter Ordnung)

Mn :=

∞∫−∞

ωnJ(ω)

J(0)dω

Konvergenz der Integrale wird vorausgesetzt. (Beispiel:Lorentzbanden!)

Korrelationsfunktion in eine Taylorreihe entwickeln

G(t) =

∞∑n=0

ann!tn

Spektralmomente stimmen betragsmaßig mit denEntwicklungskoeffizienten uberein an = (− i)nMn.



Mathematische Statistik


Mittelwerte

〈A〉 =∑x∈Ω

P (x)A(x)

〈A〉 =

∫∫ΓA(q, p, t)%(q, p, t) dq dp

Gesetz der großen Zahlen

limn→∞

P (∣∣Xn

∣∣ > ε) = 0 (schwach)

P

(lim sup

n→∞

∣∣Xn

∣∣ = 0

)= 1 (stark)

zentraler Grenzwertsatz




Einleitung

1 Aufbau eines adaquaten stochastischen Modells

2 Durchfuhrung einer großen Zahl von Zufallsexperimenten

3 Auswertung dieser Experimente mit statistischen Methoden

4 Interpretation der Schatzwerte als Problemlosung

einfache oder naive Verfahren

importance-sampling -Verfahren




Zwei einfache Beispiele



Einfache (naive) MC-Verfahren


Zufallsexperimente mit gleichverteilten Zufallszahlen

Volumen- und Oberflachenberechnung

zufallig besetzte Gitter, random walk

porose Medien




Volumenberechnung

Das Volumen und die Oberflache verschmolzener Hartkugelmodelle furMolekule sind prinzipiell elementargeometrisch berechenbar. Mitsteigender Atomanzahl werden diese Berechnungen jedoch schnellunubersichtlich und ineffizient.

1 Molekul in Grundgebiet bekannten Volumens

2 Folge von Zufallskoordinaten im Grundgebiet auswurfeln

3 relative Haufigkeit von Koordinaten im Innern des Molekulskonvergiert gegen das Molekulvolumen




random walk

unbeschrankter Irrweg

nichtumkehrbarer Irrweg

sich selbst nicht schneidenderIrrweg

1 Einen Gitterplatz mit einemMolekul besetzen

2 Auswahl eines zufalligenNachbarplatzes

3 Ist dieser unbesetzt, springt dasMolekul.

4 Ist er besetzt, verbleibt dasMolekul an seinem Platz.



importance sampling Verfahren

Grundlagen

N -Teilchensystem im Volumen V bei der Temperatur Tjedes Teilchen charakterisiert durch einen Satz dynamischer VariablenαiKonfiguration (oder Phasenraumpunkt)X = α1, α2, . . . , αN




Grundlagen

Konfigurationsmittel der Große A(X)

〈A〉 =

∫A(X) exp (−βH(X)) dX∫

exp (−βH(X)) dX

im diskreten Falle gilt naherungsweise

〈A〉 ≈ A =

∑Mj=1A(Xj)P

−1(Xj) exp (−βH(Xj))∑Mj=1 P

−1(Xj) exp (−βH(Xj))

Punkte Xj aus dem Phasenraum werden zufallig gemaß derWahrscheinlichkeitsverteilung P (X) ausgewahlt




Metropolis-AlgorithmusSTART

Anlegen der Start-

konfiguration X0 =

α1 , α2 , . . . αk0

zufallige Auswahl

eines Teilchens j

zufallige Anderung

αj → αj′

Berechnung von

δH = H(X ′) −H(X)δH ≤ 0?

generiere Zufalls-

zahl z aus J0, 1K

e− δHkBT >

z?

Konfiguration X ′

wird akzeptiert

Konfiguration X ′

wird verworfen

nachster

Schritt

ENDE

nein

ja

ja

neinja

nein



Fourier-Transformation

Definition und grundlegende Eigenschaften

Definition (Fouriertransformation)

Es sei φ(~x) ∈ S(Rn). Dann nennen wir φ mit

φ(~ξ) :=1

(2π)1/2

∫Rn

e− i〈~ξ | ~x〉φ(~x) d~x

die Fouriertransformierte der Funktion φ(~x).

~x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn ~ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ Rn⟨~ξ∣∣∣ ~x⟩ =

n∑j=1

ξjxj

Funktionalanalysis

sinnvoll (Integral existiert)

Distributionen (δ)

eineindeutige Abbildung von S(Rn)auf S(Rn)

Umkehrung




Eigenschaften

”Einfachere“ Definition

Definition (Fouriertransformation)

f(ω) :=

∫ ∞−∞

e− iωtf(t) dt f(t) :=1

2π

∫ ∞−∞

e iωtf(ω) dω

Theorem (Eigenschaften (ohne Beweis))

linearer Operator

stetige Abbildung

Ableitungsregeln

Gaußfunktion ist Fixpunkt

Spiegelsymmetrie

Rucktransformation

Faltungstheorem




Fourier-Paare

Durch Fourier-Transformationen gekoppelte Großen, wie z.B.

Zeit und (Kreis-)Frequenz

Ort und Impuls

Gitter und reziprokes Gitter

. . .

Beispiel

FT

f(t− a) e− iaω f(ω)

e iatf(t) f(ω − a)

f(at) 1|a| f(ω

a)

f (n)(t) ( iω)nf(ω)

FT

e−a2t2 1√

ae−

12aω2

e−a|t|√

2π

aω2+a2

1t2+a2

√π2

1a

e−a|ω|

u sinc

FT

e iat√

2πδ(ω − a)

tn in√

2πδ(n)(ω)Θ(t)

√π2

(1

iπω+ δ(ω)

)



Fourier-Reihe und Fourier-Analyse

Definition der Fourier-Reihe

f(t) =

∞∑k=0

(ak cosωkt+ bk sinωkt)

Hierin sind b0 = 0 und ωk = 2πkT .

Einige Basisfunktionen: links sin, rechts cos, k = 1, 2, 3



Fourier-Reihe und Fourier-Analyse

Beispiel

f(t) = cos2 ωt

=1

2+

1

2cos 2ωt

Also a0 = 12 und a1 = 1

2 . Alleanderen Koeffizienten verschwinden.



Fourier-Koeffizienten

Symmetrieuberlegungen

2 cosα cosβ = cos(α− β) + cos(α+ β)

2 sinα sinβ = cos(α− β)− cos(α+ β)

2 sinα cosβ = sin(α− β) + sin(α+ β)





ak =

1T

T/2∫−T/2

f(t) dt falls k = 0,”Mittelwert“

2T

T/2∫−T/2

f(t) cosωkt dt falls k = 1, 2, 3, . . .

bk =2

T

T/2∫−T/2

f(t) sinωkt dt falls k = 1, 2, 3, . . .




Beispiel: Dreiecksfunktion

f(t) =

1 + 2

T t fur − T2 ≤ t ≤ 0

1− 2T t fur 0 ≤ t ≤ T

2




Frequenzplot der Dreiecksfunktion



Probleme und Grenzen der Fourier-Entwicklung

Dirichletscher Integralkern und Einheitsstufe



Probleme und Grenzen der Fourier-Entwicklung

Abtasttheorem

Theorem (Shannon-Nyquist-Theorem)

Ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal, mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz undeiner Maximalfrequenz fmax muss mit einer Frequenz großer als 2fmax gleichformigabgetastet werden, um aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignalohne Informationsverlust exakt rekonstruieren zu konnen.


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