Theoretische Elektrodynamik B tE · Theoretische Elektrodynamik r~ B~ =0 r~E = / 0 r⇥~ E~ = @ t...
Transcript of Theoretische Elektrodynamik B tE · Theoretische Elektrodynamik r~ B~ =0 r~E = / 0 r⇥~ E~ = @ t...
Theoretische Elektrodynamik~r ~
B = 0 ~r ~
E = �/�0
~r ⇥ ~
E = �@
t
~
B
~r ⇥ ~
B = µ0~
j + µ0�0@t
~
E
Wintersemester 2015/16, Universit
¨
at Erlangen-N
¨
urnberg, Prof. Dr. Florian Marquardt
Hausaufgaben
Aufgabe 3: Wellenleiter
Betrachten Sie einen Wellenleiter mit Querschnitt L
x
⇥ L
y
und unendlicher Ausdehnung in der z-Richtung (x =0 . . . L
x
, y = 0 . . . L
y
). Zeigen Sie, dass der Ansatz E
x
= E sin(ky
y) cos(kz
z � !t) eine korrekte Losung der Wellen-gleichung ist, wenn ! passend gewahlt wird. Welche Werte darf k
y
annehmen, damit die Randbedingung E
x
= 0 anden Oberflachen y = 0 und y = L
y
erfullt ist? Welche Werte darf k
z
annehmen? Zeichnen Sie !(kz
) zu festem Wert
von k
y
! Bestimmen Sie das ~
B-Feld! Skizzieren Sie ~
E-Feld und ~
B-Feld fur eine Situation mit k
y
= ⇡/L
y
. [6 Punkte]
L
¨
osung:
Wellengleichung:
(~r2 � 1c
2 @
2t
) ~
E = 0
Einsetzen des E-Felds liefert:
@
2x
E
x
= 0
@
2y
E
x
= �k
2y
E · sin(ky
y)cos(kz
z � !t) = �k
2y
E
x
@
2z
E
x
= �k
2z
E · sin(ky
y)cos(kz
z � !t) = �k
2z
E
x
@
2t
E
x
= �!
2E · sin(k
y
y)cos(kz
z � !t) = �!
2E
x
In die Wellengleichung:
�(k2y
+ k
2z
) � !
2
c
2 = 0
Dispersionsbeziehung:
! = c
q
k
2y
+ k
2z
Die Randbedingung E
x
(y = 0) = E
x
(y = L
y
) = 0 liefert fur k
y
:
E
x
(y = 0) = E · sin(ky
· 0)cos(kz
z � !t) = 0
E
x
(y = L
y
) = E · sin(ky
· L
y
)cos(kz
z � !t)!=
0
) k
y
L
y
= n
y
⇡
Da der Wellenleiter in z-Richtung unendlich ausgedehnt ist gibt es keine Beschrankung fur k
z
.Das B-Feld lasst sich mit den Maxwell-Gleichungen berechnen:
�@
~
B
@t
= ~r ⇥ ~
E
) ~
B = �´
dt
~r ⇥ ~
E
~r ⇥ ~
E =
0
@
0�k
z
E · sin(ky
y) sin(kz
z � !t)�k
y
E · cos(ky
y) cos(kz
z � !t)
1
A ) ~
B =
0
@
0kz!
E · sin(ky
y) cos(kz
z � !t)
�ky
!
E · cos(ky
y) sin(kz
z � !t)
1
A
4⇡3⇡2⇡1⇡0
0
L
y
k
z
z
y
~
B(x, y, z, t = 0)
~
E(x = 0, y, z, t = 0)
x
y
z0
−4 −2 0 2 4 0
2
4
6
8
10
k
z
!
n = 1n = 2n = 3n = 4
n
=0(triv
ial s
olut
ion)
k
y
=n⇡
L
y
4⇡3⇡2⇡1⇡0
0
L
y
k
z
z
y
~
B(x, y, z, t = 0)
~
E(x = 0, y, z, t = 0)
x
y
z0
−4 −2 0 2 4 0
2
4
6
8
10
k
z
!
n = 1n = 2n = 3n = 4
n
=0(triv
ial s
olut
ion)
k
y
=n⇡
L
y
Aufgabe 4: Wellengleichung
(a) Zeigen Sie: Die Funktion �(~r, t) = f(t � |~r|/c)/|~r| erfullt außerhalb des Ursprungs die Wellengleichung �� �c
�2@
2t
� = 0, wobei f eine beliebige (zweimal di↵erenzierbare) Funktion sein darf. [3 Punkte]
(b) Losen Sie die Wellengleichung in einer Dimension,
�
00 � 1
c
2@
2t
� = 0
fur die Anfangsbedingungen �(x, t = 0) = F (x) und @
t
�(x, t = 0) = 0. [2 Punkte]
L
¨
osung:
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:
�� = 1r
2@
@r
⇣
r
2 @�
@r
⌘
+ 1r
2sin(#)
@
@#
⇣
sin(#)@�
@#
⌘
+ 1r
2sin(#)
@
2�
@'
2
Auserdem gilt:
1r
2@
@r
⇣
r
2 @�
@r
⌘
= 1r
@
2
@r
2 r · �
a)
r� = 1r
@
2
@r
2 f(t � |~r|/c) = 1r
@
@r
⇥
f
0(t � |~r|/c) ·�
� 1c
�⇤
= 1rc
2 f
00(t � |~r|/c)
mit f
0(t � |~r|/c) = @
@(t� rc )f .
@
2
@t
2 � = 1r
f
00(t � |~r|/c)
) �� � 1c
2@
2
@t
2 � = 0
b)
Man nutzt den allgemeinen Ansatz:
� = f(x � ct) + g(x + ct)
Mit der 1. Anfangsbedingungen gilt:
�(x, t = 0) = F (x) = f(x) + g(x)
Wir nehmen an, dass f(x) = g(x) = 12F (x) und testen, ob die zweite Anfangsbedingung erfullt wird:
@
t
�|t=0 = 1
2c (�F
0(x � ct) + F
0(x + ct)) |t=0 = 0
) �(x, t) = 12 [F (x � ct) + F (x + ct)]
Aufgabe 5: Satz von Gauß und Stokes
(a) Verifizieren Sie den Satz von Stokes fur das Vektorfeld ~
V = (4x/3 � 2y)~e
x
+ (3y � x)~e
y
und die Oberflache
A =n
~r| (x/3)2
+ (y/2)2 1 and z = 0o
. [3 Punkte]
(b) Verifizieren Sie den Satz von Gauß fur das Vektorfeld ~
V = ax~e
x
+ by~e
y
+ cz~e
z
und die Kugel x
2 + y
2 + z
2 R
2.[4 Punkte]
L
¨
osung:
a)
Der Satz von Stokes lautet:
¸~
V · d
~
l =´
A
⇣
~r ⇥ ~
V
⌘
· d~a
Die beschriebene Ellipse kann parametrisiert werden als:
~r =
✓
3cos(')2sin(')
◆
; d~r =
✓
�3sin(')2cos(')
◆
Dadurch wird die linke Seite der Stokes Gleichung zu:
¸~
V · d
~
l =´ 2⇡
0
✓
4cos(') � 4sin(')6sin(') � 3cos(')
◆
·✓
�3sin(')2cos(')
◆
=´ 2⇡
0 12sin
2(') � 6cos
2(') =´ 2⇡
0
⇥
12sin
2(') � 6�
1 � sin
2(')�⇤
= 6⇡
Fur die rechte Seite gilt:
~r ⇥ ~
V =
0
@
001
1
A
´A
⇣
~r ⇥ ~
V
⌘
· d~a =´
A
da = a · b⇡ = 6⇡
Das Kreuzprodukt ergibt 1 und das Integral liefert die Flache der Ellipse.
b)
Satz von Gauß:´ ⇣
~r · ~
V
⌘
dW =¸
~
V · d
~
S
Die Linke Seite wird zu:´ ⇣
~r · ~
V
⌘
dW = (a + b + c)´
dW = (a + b + c) · 43⇡R
3
Das Integral liefert das Kugelvolumen, die Ableitung wird zu (a + b + c).
Fur die rechte Seite braucht man die Parametrisierung:
~r = r
0
@
sin(✓)cos(')sin(✓)sin(')
cos(')
1
A ; d
~
S =�
r
2sin(✓)d✓d'
�
e
r
Und die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten:
e
x
= sin(✓)cos(')er
+ cos(')cos(✓)e✓
� sin(')e'
e
y
= sin(✓)sin(')er
+ sin(')cos(✓)e✓
+ cos(')e'
e
z
= cos(✓)er
� sin(✓)e✓
Damit ergibt sich fur die rechte Seite:¸
~
V · d
~
S =˜
(ar · sin(✓)cos(')) · (sin(✓)cos(')) · (r2sin(✓))d✓d'+
+˜
(br · sin(✓)sin(')) · (sin(✓)sin(')) · (r2sin(✓))d✓d'+
+˜
(cr · cos(✓)) · cos(✓) · (r2sin(✓))d✓d' =
I
a
+ I
b
+ I
c
Fur die Integrale I
x
gilt:
I
x
= x ·�
43⇡R
3�
Damit ergibt sich fur die rechte Seite:¸
~
V · d
~
S = (a + b + c) · 43⇡R
3