Theoretische Informatik · im Anschluss an die Vorlesung im Web als PDF bereitgestellt und regelm...

Organisatorisches Einfuhrung Grundlagen 1 Analysis Grundlagen 2 Algebraische Strukturen Kombinatorik Zusammenfassung

Vorlesung”Mathematische Strukturen“

Sommersemester 2017

Prof. Janis VoigtlanderUbungsleitung: Dennis Nolte

Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 1


Das heutige Programm

Organisatorisches

VorstellungAblauf der Vorlesung und der UbungenPrufung

Einfuhrung

Motivation und Inhalt der LehrveranstaltungLiteratur

Grundlagen: Mengen, . . .



Wer sind wir?

Dozent: Prof. Dr. Janis Voigtlander

Raum LF 259 (aktuell)

E-Mail: [email protected]

Sprechstunde: nach Vereinbarung

(Formale Methoden der Informatik, Programmiersprachen)

Ubungsleitung: M.Sc. Dennis Nolte

Raum LF 263

E-Mail: [email protected]

(Theoretische Informatik, Graphsprachen und -transformation)

Webseite:http://www.ti.inf.uni-due.de/teaching/ss2017/mast/


http://www.ti.inf.uni-due.de/teaching/ss2017/mast/


Einordnung

Diese Lehrveranstaltung ist fur

KOMEDIA-Studierende im 2. Bachelor-Semester

gedacht.



Vorlesung

Vorlesungstermin:

Dienstag, 8:30–10:00 Uhr, im LB 107

14-mal

Folien werden

im Anschluss an die Vorlesung im Web als PDF bereitgestelltund

regelmaßig aktualisiert.

Große Teile der Folien werden sehr ahnlich zu den Folien ausdem Sommersemester 2016 sein (erhaltlich uber die Webseiteder letztjahrigen Lehrveranstaltung).



Termine der Ubungsgruppen/Tutorien

Ubungsgruppen:

1 Di, 12–14 Uhr, LE 120

2 Di, 12–14 Uhr, LF 035

3 Di, 12–14 Uhr, LC 140

4 Di, 16–18 Uhr, LC 026

5 Mi, 08–10 Uhr, LF 035

6 Mi, 12–14 Uhr, LE 105

7 Mi, 12–14 Uhr, LC 137

8 Do, 08–10 Uhr, LE 120

Tutorium: etwa jeden zweiten Fr, 10–12 Uhr, LB 134,Beginn am 5. Mai



Hinweise zu den Ubungen

Bitte versuchen Sie, sich moglichst gleichmaßig auf dieUbungen zu verteilen. Dazu werden wir nach der ersten Wochedie Teilnehmerzahlen der einzelnen Ubungen bekanntgeben.

Besuchen Sie die Ubungen und machen Sie die Hausaufgaben!Diesen Stoff kann man nur durch regelmaßiges Uben erlernen.Auswendiglernen hilft nicht besonders viel.

Die Ubungen beginnen in der dritten Semesterwoche amDienstag, den 2. Mai.

Fur Brucken- und andere freie Tage wird es jeweilsAusweichlosungen geben.




Das Ubungsblatt wird jeweils am Dienstag ins Netz gestellt.Das erste Ubungsblatt wird am 25. April bereitgestellt.

Die schriftlichen Aufgaben mussen bis spatestens Dienstag,12:00 Uhr, der darauffolgenden Woche abgegeben werden.D.h., das erste Blatt muss am 2. Mai abgegeben werden.Die Abgaben werden innerhalb einer Woche korrigiert. DieBesprechung eines Ubungsblattes findet in derselben Wochestatt wie die Abgabe, das erste Blatt wird also ab dem 2. Maibesprochen.

Einwurf in den Briefkasten neben dem Raum LF 259.

Bitte geben Sie auf Ihrer Losung deutlich die Vorlesung, IhrenNamen, Ihre Matrikelnumer und Ihre Gruppennummer an.

Sie durfen in Zweier-Teams arbeiten.




Wir verwenden Moodle, um:

die Aufgabenblatter zur Verfugung zu stellen und

um Diskussionsforen bereitzustellen.

Eine elektronische Abgabe der Hausaufgaben uber Moodle ist nichtvorgesehen.

Moodle-Plattform an der Universitat Duisburg-Essen:http://moodle.uni-due.de/ (siehe auch Link auf der Webseite)

Bitte legen Sie dort einen Zugang an (falls noch nicht vorhanden)und tragen Sie sich in den Kurs

”Mathematische Strukturen (SoSe

2017)“ (Sommersemester 2017 → Ingenieurwissenschaften →Informatik und Angewandte Kognitionswissenschaft) ein.

Zugangsschlussel: . . .


http://moodle.uni-due.de/


Weitere Hilfestellung

Nutzen Sie bei Bedarf die Lern- und Diskussionszentren (LuDi).

LuDi Informatik:

LF 031

betreut: Mo 11–14 Uhr, Mi 12–16 Uhr, Fr 11–14 Uhr

LuDi Mathematik:

BC 520

betreut: Mo–Fr 10–18 Uhr



Prufung

Die Lehrveranstaltung wird durch eine Klausur am Ende desSemesters gepruft. Der derzeitige Planungsstand fur denKlausurtermin ist Dienstag, der 29. August, 8:30–10:30 Uhr.

Die Anmeldung erfolgt uber das Prufungsamt.

Es gibt folgende Bonusregelung:

Wenn Sie mindestens 50% der Ubungspunkte erzielt haben, soerhalten Sie einen Bonus fur die Klausur.

Auswirkung: Verbesserung um eine Notenstufe; z.B. von 2,3auf 2,0



Warum diese Lehrveranstaltung?

Brucke von Schulmathematik der Oberstufe:

Die Studierenden sollen in die Lage versetzt werden, mitgrundlegenden formalen Modellierungs- undAnalyseverfahren umgehen zu konnen, die den Bereichder ublichen Abiturkenntnisse ubersteigen.

Fakt: Sie hatten nicht alle die gleiche Qualitat von Mathematikun-terricht (und vielleicht auch nicht gleich kurzlich).

Auch ein Ziel: Ausgleich schaffen



Inhalt

Grundlagen(Mengen, Relationen, Funktionen)

Analysis(Grenzwerte, Ableitung, Kurvendiskussion)

Zahlentheorie(Teilbarkeit, Gleichungen in ganzen Zahlen)

Algebraische Strukturen(Gruppen, Korper, Vektorraume, Matrizen)

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit(Binomialkoeffizienten, Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten)



Inhalt

Diskrete Mathematik vs. Kontinuierliche Mathematik

In dieser Lehrveranstaltung geht es schwerpunktmaßig um diskreteMathematik, d.h., um das Arbeiten mit endlichen oder abzahlbarenMengen von Elementen.

Analysis gehort zur kontinuierlichen Mathematik, in der man mitreellen oder komplexen Zahlen arbeitet. (Ableitung, Integration vonFunktionen, etc.)



Inhalt

Grundlagen

Wir besprechen/wiederholen wichtige mathematische Konzepte.

Wie beschreibt man Ansammlungen von Elementen? Mengen

Wie beschreibt man Zusammenhange zwischen Mengen? Relationen, Funktionen

Außerdem: grundlegende Zahlentheorie (Primzahlen, etc.)

1

2

3

a

b

c

d



Inhalt

Analysis

Wir betrachten Funktionen auf reellen Zahlen und wiederholenGrundlagen der Kurvendiskussion. Dabei gehen wir vor allem aufdas Ableiten (= Differenzieren) von Funktionen ein.

x

f (x)1

-1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



Inhalt

Algebraische Strukturen

Wir behandeln grundlegende Rechenstrukturen (Gruppen, Korper)und (eventuell) Anwendungen in der Kryptographie.

Anschließend: Vektorraume und Matrizen mit Anwendungen imUmgang mit mehrdimensionalen Raumen, Losen vonGleichungssystemen.

A =

1 2 34 5 67 8 9

y

x

(4,5)



Inhalt

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Abzahlen von Mengen:”Ziehen aus Urnen“ und andere Modelle

mit praktischen Beispielen.

Wahrscheinlichkeit des Auftretens bestimmter Ereignisse, bedingteWahrscheinlichkeiten.



Mathematik im KOMEDIA-Studium

Statistik ( Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit)

Informatik allgemein ( u.a. Funktionen, Relationen)

Modellierung ( diverse Grundlagen und Abstraktionen, undkonkret etwa Matrizenrechnung)

Mensch-Computer-Interaktion ( diskrete Modelle, Graphen)

Digitale Medien ( Codierung)

Multimediale Systeme ( z.B. Vektorrechnung fur Grafik)

Datenbanken ( relationale Algebra)

diverse KI-Veranstaltungen ( Probabilistik, Metriken, . . . )

Veranstaltungen mit experimentellen, empirischen Methoden( Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit, Analysis)

in Praxisprojekten, in Bachelorarbeiten, im Master-Studium



Mathematik im KOMEDIA-Studium

Allgemein:

Beschreibungsmachtigkeit formaler Methoden

Verwendung passender Abstraktionen

Darstellungsformen uber verschiedene Anwendungen hinweg

Gemeinsamkeiten in algebraischen Strukturen



Anmerkungen

Auch bei Themen, die Ihnen fur sich selbst”nur“ als Wiederholung

aus der Schule erscheinen, verpassen Sie besser nicht, wo esstrukturell komplizierter wird.

Anders als vielfach im Mathematikunterricht ublich werden wir oftabstrakte Konstellationen betrachten, nicht alles in konstruierteModellierungsaufgaben und

”Textgebilde“ kleiden.

One rather curious conclusion emerges, that puremathematics is on the whole distinctly more useful thanapplied. [. . . ] For what is useful above all is technique,and mathematical technique is taught mainly throughpure mathematics.

(A Mathematician’s Apology, by G.H. Hardy, 1940)



Anmerkungen

Vielleicht als Trost:Wir erwarten nicht, dass Sie selbst Mathematik

”produzieren“,

sondern sie verstehen.

Wieder aus der Modulbeschreibung:

Dabei geht es weniger darum, dass die Studierendeneigene Beweise fuhren, sondern darum, dass sie sicher mitden entsprechenden Methoden umgehen konnen.



Literatur

Harald Scheid, WolfgangSchwarz. Elemente derArithmetik und Algebra.Springer, 2016

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-48774-7

(elektronische Version uber den Uni-Account)


http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-48774-7


Literatur

Lutz Warlich. Grundlagen derMathematik fur Studium undLehramt: Mengen, Funktionen,Teilbarkeit, Kombinatorik,Wahrscheinlichkeit.Books on Demand, 2006



Literatur

Gerald Teschl, Susanne Teschl.Mathematik fur Informatiker,Band 1: Diskrete Mathematikund Lineare Algebra.Springer, 2013

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-37972-7



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-37972-7


Literatur

Angelika Steger. DiskreteStrukturen, Band 1:Kombinatorik, Graphentheorie,Algebra.Springer, 2007

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-46664-2



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-46664-2


Literatur

Martin Aigner. DiskreteMathematik.Vieweg + Teubner, 2006

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-9039-9



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-9039-9


Literatur

Dirk Hachenberger. Mathematikfur Informatiker.Pearson, 2008



Literatur

Hinweise:

Die Bucher sind als Erganzung gedacht, sie prasentieren denStoff oft aus einem anderen Blickwinkel.

Sehen Sie sich die Bucher erst an, bevor Sie etwas kaufen.Nicht jede/r kommt mit jedem Buch zurecht.

Von einigen der Bucher konnen Sie uber Ihren Uni-Accounteine elektronische Version kostenlos erhalten.

Die Bibliothek (LK) ist ein guter Platz, um nach Buchern zustobern. (Mathematik-Abteilung im 1. Stock,Lehrbuchsammlung im Keller)



Mengen

Menge

Menge M von Elementen, oft beschrieben als Aufzahlung

M = {0, 2, 4, 6, 8, . . . }

oder als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft

M = {n | n ∈ N0 und n gerade} = {n ∈ N0 | n gerade}.

Allgemeines Format:M = {x | E (x)}

M ist Menge aller Elemente, die die Eigenschaft E erfullen.

M = {x ∈ X | E (x)}

M ist Menge aller Elemente aus der Grundmenge X , die E erfullen.



Mengen

Bemerkungen:

Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, d.h., ihreOrdnung spielt keine Rolle. Beispielsweise gilt:

{1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1}

Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge auftreten. Esist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge.Beispielsweise gilt:

{1, 2, 3, 4, 4} = {1, 2, 3, 4} 6= {1, 2, 3}



Mengen

Element einer Menge

Wir schreiben a ∈ M, falls ein Element a in der Menge Menthalten ist.

Anzahl der Elemente einer Menge

Fur eine endliche Menge M gibt |M| die Anzahl ihrer Elemente an.

Teilmengenbeziehung

Wir schreiben A ⊆ B, falls jedes Element von A auch in Benthalten ist. Die Beziehung ⊆ heißt auch Inklusion.

Leere Menge

Mit ∅ oder {} bezeichnen wir die leere Menge. Sie enthalt keineElemente und ist (echte) Teilmenge jeder anderen Menge.



Mengen

Beispiele:

4 ∈ {1, 2, 3, 4}4 6∈ {1, 2, 3}4 6∈ ∅4 ∈ N0

|{1, 2, 3, 4, 4}| = 4

|∅| = 0

∅ ⊆ {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4} ⊆ N0 ⊆ Z

{1, 2, 3, 4} 6⊆ {1, 2, 3}{1, 2, 3, 4} 6⊆ {1, 2, 3, 5} und {1, 2, 3, 5} 6⊆ {1, 2, 3, 4}



Mengen

Anmerkungen:

Wenn A ⊆ B und beide Mengen sind endlich, dann |A| ≤ |B|.|N0| 6∈ N0

Wenn M = {x ∈ X | E (x)}, dann M ⊆ X , unabhangig von E .

Insbesondere, {x ∈ ∅ | E (x)} = ∅.



Mengen

Mengenvereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist diejenige Menge,welche die Elemente enthalt, die in A oder B (oder in beiden)vorkommen. Man schreibt dafur A ∪ B.

A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}

Mengenschnitt

Der Schnitt zweier Mengen A und B ist diejenige Menge, welchedie Element enthalt, die sowohl in A als auch in B vorkommen.Man schreibt dafur A ∩ B.

A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B} = {x ∈ A | x ∈ B}



Mengen

Veranschaulichung von Vereinigung und Schnitt durchVenn-Diagramme:

Blau eingefarbte Flacheentspricht der Vereinigung A∪B

Blau eingefarbte Flacheentspricht dem Schnitt A ∩ B



Mengen

Beispiele:

{1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3} ∪ N0 = N0

{1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}{1, 2, 3} ∩ {4} = ∅{1, 2, 3} ∩ N0 = {1, 2, 3}

Allgemeine Anmerkungen:

|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|(A ∩ B) ⊆ A ⊆ (A ∪ B) und (A ∩ B) ⊆ B ⊆ (A ∪ B)

Wenn A ⊆ B, dann A ∪ B = B und A ∩ B = A.



Mengen

Mengendifferenz

Die Differenz zweier Mengen A und B ist diejenige Menge, welchedie Elemente enthalt, die in A vorkommen und in B nichtvorkommen. Man schreibt dafur A \ B.

A \ B = {x | x ∈ A und x 6∈ B} = {x ∈ A | x 6∈ B}

Beispiele:

{0, 1, 2, 3, 4, 5} \ {0} = {1, 2, 3, 4, 5}{a, b, c} \ {c , d} = {a, b}{1, 2, 3} \ ∅ = {1, 2, 3}{1, 2, 3} \ N0 = ∅({1, 2, 3} \ {1, 2}) \ {1} 6= {1, 2, 3} \ ({1, 2} \ {1})



Mengen

Veranschaulichung der Differenz durch ein Venn-Diagramm:

Blau eingefarbte Flache entspricht der Differenz A \ B

Anmerkungen:

(A \ B) ⊆ A

|A \ B| = |A| − |A ∩ B|Wenn A ⊆ B, dann A \ B = ∅ (und umgekehrt).



Mengen

Potenzmenge

Die Potenzmenge einer Menge M ist diejenige Menge, welche alleTeilmengen von M enthalt. Man schreibt dafur P(M).

P(M) = {A | A ⊆ M}

Beispiele:

P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}P(∅) = {∅}P(P(∅)) = {∅, {∅}}

Anmerkungen:

Fur endliche Mengen M gilt |P(M)| = 2|M|.

Es gilt P(A) ⊆ P(B) genau dann wenn A ⊆ B.



Mengen

Kreuzprodukt (Kartesisches Produkt)

Das Kreuzprodukt zweier Mengen A und B ist diejenige Menge,welche alle Paare (a, b) enthalt, wobei die erste Komponente desPaars aus A, die zweite aus B kommt. Man schreibt dafur A× B.

A× B = {(a, b) | a ∈ A und b ∈ B}

Beispiele:

{1, 2} × {3, 4, 5} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}{1, 2} × ∅ = ∅

Anmerkungen:

Fur endliche Mengen A und B gilt |A× B| = |A| · |B|.Wenn A ⊆ B, dann A× C ⊆ B × C und C × A ⊆ C × B.



Mengen

Weitere Bemerkungen:

Wir betrachten nicht nur Paare, sondern auch sogenannteTupel aus mehr als zwei Komponenten.Ein Tupel (a1, . . . , an) bestehend aus n Komponenten heißtauch n-Tupel.

In einem Tupel sind die Komponenten geordnet! Es gilt z.B.:

(1, 2, 3) 6= (1, 3, 2) ∈ N0 × N0 × N0

Ein Element kann mehrfach in einem Tupel auftreten. Tupelunterschiedlicher Lange sind immer verschieden.Beispielsweise:

(1, 2, 3, 4) 6= (1, 2, 3, 4, 4)

Runde Klammern (, ) und geschweifte Klammern {, } stehen furganz verschiedene mathematische Objekte!



Mengen

Beispiel: Zustandsmodellierung

Angenommen, wir betrachten einen einfachen Snackautomaten furRiegel und Chips. Von jedem dieser beiden Snacks hat er maximal30 Stuck auf Vorrat. Der Automat hat eine gelbe und eine roteWarnleuchte (

”kein Wechselgeld mehr“ bzw.

”keine Scheine mehr

akzeptiert“), die unabhangig voneinander leuchten konnen. DieMenge der moglichen Zustande dieses Automaten konnen wir als

P({gelb, rot})× {0, 1, . . . , 30} × {0, 1, . . . , 30}

beschreiben. Das Element (∅, 20, 10) dieser Menge zum Beispielentspricht dem Zustand, in dem beide Warnleuchten ausgeschaltetsind und noch 20 Riegel und 10 Packungen Chips vorratig. Warenbei diesem Vorrat die Warnleuchten beide eingeschaltet, so befandesich der Automat stattdessen im Zustand ({gelb, rot}, 20, 10).



Relationen

Relation zwischen Mengen

Seien A und B Mengen. Eine (binare) Relation zwischen A und B(oder

”von A nach B“) ist eine Teilmenge ihres Kreuzprodukts.

R ⊆ A× B

Beispiel:A = {1, 2, 3} B = {a, b, c , d} R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, d)}Endliche Relationen konnen wie folgt dargestellt werden:

1

2

3

a

b

c

d



Relationen

Auch”arithmetische“ Relationen passen zu dieser Definition, zum

Beispiel ≤ ⊆ N0 × N0, mit (0, 3) ∈ ≤ und (3, 2) 6∈ ≤.

Schreibweise:Wir notieren folgendermaßen, dass ein Paar in einer Relation liegt.

Standard-Schreibweise:(2, b) ∈ R

Infix-Schreibweise:2 R b

Fur Relationen wie =, <, ≤, >, ≥ wird fast immer dieInfix-Schreibweise verwendet (beispielsweise 2 < 5 und 7 ≥ 3).



Relationen

Darstellung in Tabellenform:Das vorige Beispiel mit A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c , d},R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, d)} lasst sich auch darstellen als:

a b c d

1 X X − −2 − X − −3 − − − X

Geht das auch bei Relationen zwischen unendlichen Mengen?



Relationen

Weitere Beispiele:

{(x , sin x) | x ∈ R} ⊆ R× R

parall. Seiten rechte Winkel orthog. Diagonalen

Quadrat X X XDrachenviereck − − XParallelogramm X − −

Ingo

Selim

Petra

StrukturenMath.

Model-lierung



Relationen

Umkehrung einer Relation

Sei R eine Relation zwischen A und B, also R ⊆ A× B.Die Umkehrung von R, bezeichnet mit R−1, entsteht durchVertauschen der Elemente in jedem enthaltenen Paar.

R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R} ⊆ B × A

Beispiel:R:

1

2

3

a

b

c

d

R−1:

1

2

3

a

b

c

d



Relationen

Beispiel fur Modellierung mit Relationen:

Betrachten wir erneut das einfache Snackautomaten-Szenario.Die Menge der moglichen Zustande des Automaten war:

P({gelb, rot})× {0, 1, . . . , 30} × {0, 1, . . . , 30}

Wenn wir dies als A× (B × C ) lesen, konnen wir eine binareRelation dafur aufstellen, welche Warnleuchtenkonstellationen beiwelchen Vorratsstanden kritisch sind. Zum Beispiel:

‘kritisch bei’ = {(W , (r , c)) | r + c > 60− 20 · |W |}

Dann:{gelb} ‘kritisch bei’ (25, 25)

{gelb, rot} ‘kritisch bei’ (20, 10)

aber nicht:{rot} ‘kritisch bei’ (20, 10)

{gelb, rot} ‘kritisch bei’ (5, 5)



Relationen

Wir sehen uns einige besondere Arten von Relationen an:

Funktionen

Aquivalenzrelationen

Ordnungen



Funktionen

Funktion (Abbildung) von der Menge A in die Menge B

Eine Relation R ⊆ A× B heißt Funktion, wenn folgendes gilt:

fur jedes Element a ∈ A gibt es genau ein Element b ∈ B mit(a, b) ∈ R.

Ublicherweise bezeichnet man solch spezielle Relationen, die alsoFunktionen sind, mit Kleinbuchstaben, etwa f statt R.

Anschaulich:

Jedes Element in A hat genau einen ausgehenden Pfeil.

In Tabellendarstellung enthalt jede Zeile genau ein Hakchen.

(Die meisten vorherigen Beispiels-Relationen waren also keineFunktionen.)



Funktionen

Notation und Begriffe fur Funktionen

Um auszudrucken, dass eine Relation f ⊆ A× B sogar eineFunktion ist, schreibt man spezieller

”f : A→ B“.

Man bezeichnet A als Definitionsbereich und B als Wertebereich.Paare aus einem Element a ∈ A und dem (eindeutig gegebenen)Element b = f (a) ∈ B, auf welches die Funktion es abbildet,schreibt man, statt als

”(a, b)“, auch in der Form

”a 7→ b“.

Die gleiche Notation verwendet man, um eine allgemeineZuordnungsvorschrift anzugeben:

”a 7→ f (a)“.

Beispiel: Quadratfunktion auf der Menge der ganzen Zahlen

f : Z→ N0, f (z) = z2, bzw. Angabe als: z 7→ z2

Angabe konkreter Paare:

. . . , −3 7→ 9, −2 7→ 4, −1 7→ 1, 0 7→ 0, 1 7→ 1, 2 7→ 4, 3 7→ 9, . . .



Funktionen

Weiteres Beispiel: Zuordnung Studierender zu Ubungsgruppen

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4

Ingo − X − −Selim − − − X

Marina − − − XKiril X − − −Ewa − − X −...

......

......

Angabe konkreter Paare:

Ingo 7→ Gruppe 2, Selim 7→ Gruppe 4, Marina 7→ Gruppe 4, . . .

Angabe einer Zuordnungsvorschrift als mathematische Formel hiereher nicht moglich.



Funktionen

Bild einer Menge, Urbild einer Menge

Sei f : A→ B eine Funktion und A′ ⊆ A. Dann nennt man dieMenge

f (A′) = {f (a) | a ∈ A′}

das Bild von A′ unter der Funktion f .

Sei andererseits B ′ ⊆ B. Dann nennt man die Menge

f −1(B ′) = {a ∈ A | f (a) ∈ B ′}

das Urbild von B ′ unter der Funktion f .



Funktionen

Beispiel:

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4

Ingo − X − −Selim − − − X

Marina − − − XKiril X − − −Ewa − − X −...

......

......

Bild der Menge {Kiril,Ewa} unter dieser Funktion:

f ({Kiril,Ewa}) = {Gruppe 1,Gruppe 3}Urbild der Menge {Gruppe 1,Gruppe 3} unter dieser Funktion:

f −1({Gruppe 1,Gruppe 3}) = {Kiril,Ewa, . . . }Auch interessant, Urbild einelementiger Mengen, etwa:

f −1({Gruppe 4}) = . . .Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 55


Funktionen

Weitere Beispiele:

1

2

3

a

b

c

d

f ({1, 2, 3}) = {a, b, d}f ({1, 2}) = {a, b}f −1({b, d}) = {2, 3}

sin : R→ R (= {(x , sin x) | x ∈ R})sin({k · π | k ∈ Z}) = {0} (und

”umgekehrt“)

Anmerkungen: (fur beliebige Funktionen f )

f (∅) = ∅, f −1(∅) = ∅Wenn A1 ⊆ A2, dann f (A1) ⊆ f (A2). (analog fur f −1)

Fur endliche A′ gilt |f (A′)| ≤ |A′|. (und fur f −1 ?)



Funktionen

Kann man Funktionen eigentlich auch direkt umkehren?

Gedankengang:

Jede Funktion ist eine Relation.

Jede Relation kann man umkehren (R R−1).

Also warum denn nicht?



Funktionen

Injektive Funktion

Eine Funktion f : A→ B heißt injektiv, falls es keine Elementea1, a2 ∈ A gibt mit a1 6= a2 und f (a1) = f (a2).

Alternativ: Eine Funktion f heißt injektiv, falls fur alle Elementea1, a2 ∈ A aus f (a1) = f (a2) immer a1 = a2 folgt.

Anschaulich:

Auf kein Element in B zeigt mehr als ein Pfeil.

In Tabelle enthalt jede Spalte hochstens ein Hakchen.

Welche der Beispielfunktionen sind injektiv?

Quadratfunktion?

Zuordnung Studierender zu Ubungsgruppen?

f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} mit 1 7→ a, 2 7→ b, 3 7→ d ?

sin ?Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 58


Funktionen

Surjektive Funktion

Eine Funktion f : A→ B heißt surjektiv, falls es fur jedes b ∈ Bmindestens ein a ∈ A gibt mit f (a) = b.

Alternativ: Eine Funktion f heißt surjektiv falls f (A) = B.

Anschaulich:

Auf jedes Element in B zeigt mindestens ein Pfeil.

In Tabelle enthalt jede Spalte mindestens ein Hakchen.

Welche der Beispielfunktionen sind surjektiv?

Quadratfunktion f : Z→ N0 mit z 7→ z2 ?

Zuordnung Studierender zu Ubungsgruppen?

f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} mit 1 7→ a, 2 7→ b, 3 7→ d ?

sin : R→ R ?



Funktionen

Sind eigentlich alle Kombinationen der beiden gerade eingefuhrtenEigenschaften realisierbar?

Also, gibt es:

Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv sind?

Funktionen, die injektiv, aber nicht surjektiv sind?

Funktionen, die nicht injektiv, aber surjektiv sind?

Funktionen, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind?



Funktionen

Bijektive Funktion

Eine Funktion f : A→ B heißt bijektiv, falls sie injektiv undsurjektiv ist.

Anschaulich:

Auf jedes Element in B zeigt genau ein Pfeil. Das heißt, esgibt eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen den Elementen desDefinitionsbereichs und denen des Wertebereichs.

In Tabelle enthalt jede Spalte genau ein Hakchen.



Funktionen

Anmerkung:Ist f : A→ B bijektiv und ist eine der beiden Mengen A und Bendlich, so ist es auch die andere, und sie sind sogar gleich groß.

Begrundung:

Stellen wir uns f wieder als Relation in Tabellendarstellungvor, dann enthalt jede Zeile genau ein Hakchen (da f eineFunktion ist).

Da f injektiv sein soll, enthalt außerdem jede Spaltehochstens ein Hakchen.

Und da f auch surjektiv sein soll, enthalt jede Spaltemindestens ein Hakchen, folglich genau ein Hakchen.

Es gibt also genauso viele Hakchen wie Zeilen und genausoviele Hakchen wie Spalten. Also gleich viele Zeilen wie Spalten.

Daraus folgt die obige Anmerkung unmittelbar.



Funktionen

Schließlich:

Die bijektiven Funktionen sind genau die invertierbaren Funktionen(umkehrbaren Funktionen).Zu jeder bijektiven Funktion f : A→ B gibt es eineUmkehrfunktion f −1 : B → A mit folgenden Eigenschaften:

f −1(f (a)) = a fur alle a ∈ A

f (f −1(b)) = b fur alle b ∈ B

Beispiel:

Die Funktionf : Z→ Z, z 7→ z − 1

hat als Umkehrfunktion

f −1 : Z→ Z, z 7→ z + 1



Funktionen

Verknupfung (Komposition) von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen f : B → C und g : A→ B.Mit f ◦ g bezeichnen wir die Verknupfung oderHintereinanderausfuhrung von g und f (in dieser Reihenfolge).Diese Funktion ist wie folgt definiert:

f ◦ g : A→ Ca 7→ f (g(a))

Das ist wirklich nur erlaubt, wenn der Definitionsbereich von fgleich dem Wertebereich von g ist.

Verdeutlichung:

Ag//

f ◦ g

AABf // C



Funktionen

Beispiel: Funktionsverknupfung

1

2

a

b

c

d3

X

Y

Z

g f



Funktionen

Beispiel: Funktionsverknupfung

1

2

3

X

Y

Z

f ◦ g



Funktionen

Anmerkungen:

Die Bedingungen an die Umkehrfunktion f −1 : B → A einerbijektiven Funktion f : A→ B, zur Erinnerung:

f −1(f (a)) = a fur alle a ∈ A

f (f −1(b)) = b fur alle b ∈ B

entsprechen genau den folgenden beiden Forderungen:

f −1 ◦ f : A→ A, a 7→ a

f ◦ f −1 : B → B, b 7→ b

Außerdem gelten Zusammenhange wie:

(f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f −1

(f −1)−1 = f



Relationen

Wir betrachten nun spezielle Relationen (nicht mehr Funktionen),die auf nur einer Menge A definiert sind.

Aquivalenzrelation

Eine Relation R ⊆ A× A heißt Aquivalenzrelation, falls alle dreifolgenden Eigenschaften zutreffen:

Reflexivitat: fur alle a ∈ A gilt (a, a) ∈ R.

Transitivitat: fur jede Wahl von a1, a2, a3 ∈ A, falls sowohl(a1, a2) ∈ R als auch (a2, a3) ∈ R gilt, so muss auch(a1, a3) ∈ R gelten.

Symmetrie: fur jede Wahl von a1, a2 ∈ A, falls (a1, a2) ∈ Rgilt, so muss auch (a2, a1) ∈ R gelten.



Relationen

Beispiel fur eine Aquivalenzrelation:

R = {(m, n) ∈ N0 × N0 | m und n lassen denselben Rest

bei ganzzahliger Division durch 3}= {(m, n) ∈ N0 × N0 | m mod 3 = n mod 3}

Bemerkungen:

Uberprufung von Reflexivitat und Symmetrie ist meist einfach(wie auch in obigem Beispiel), Uberprufung von Transitivitatnicht immer so sehr (selbst wenn sie gilt).

Reflexivitat und Symmetrie lassen sich auch leicht anschaulichetwa an Hand der Tabellendarstellung interpretieren. (Wie?)



Relationen

Weitere Bemerkung:

Durch jede Aquivalenzrelation R ⊆ A× A zerfallt die MengeA in sogenannte Aquivalenzklassen.

Grafische Darstellung der Aquivalenzklassen fur das ebenbetrachtete Beispiel:

...

1

4

7...

0

3

6...

2

5

8



Relationen

Formal:

Aquivalenzklassen

Sei R ⊆ A× A eine Aquivalenzrelation und a ∈ A. Dannbezeichnen wir als Aquivalenzklasse von a die Menge allerElemente, die mit a in dieser Relation stehen. Notation:

[a]R = {a′ ∈ A | (a, a′) ∈ R}

Bemerkungen:

Wegen der Symmetrie-Eigenschaft von Aquivalenzrelationenist es egal, ob in der obigen Definition (a, a′) ∈ R oder(a′, a) ∈ R steht.

Fur Elemente a1, a2 aus A gilt immer entweder [a1]R = [a2]Roder [a1]R ∩ [a2]R = ∅.



Relationen

Weiteres Beispiel: Aquivalenzrelation”Besuch gleicher Ubungsgruppe“

Ingo Selim Kiril Marina Ewa · · ·Ingo X − − − − · · ·Selim − X − X − · · ·Kiril − − X − − · · ·

Marina − X − X − · · ·Ewa − − − − X · · ·...

......

......

.... . .

Die Aquivalenzklassen waren gerade die Ubungsgruppen-Mengen:

{Ingo, . . . }{Selim,Marina, . . . }{Kiril, . . . }{Ewa, . . . }



Relationen

Weiteres Beispiel: Aquivalenzrelation”Besuch gleicher Ubungsgruppe“

Ingo Selim Kiril Marina Ewa · · ·Ingo X − − − − · · ·Selim − X − X X · · ·Kiril − − X − − · · ·

Marina − X − X − · · ·Ewa − − − − X · · ·...

......

......

.... . .

Diskussion:

Was wurde aus Symmetrie und Transitivitat folgen, wenn wirauch noch ein Hakchen bei Selim / Ewa setzen wollten?

Und was wurde das fur die Aquivalenzklassen bedeuten?



Relationen

Beispiel: Nachweis der Eigenschaften einer Aquivalenzrelation

Gegeben sei:R = {(m, n) |

⌊m10

⌋=⌊

n10

⌋} ⊆ N0 × N0

wobei bqc fur eine rationale Zahl q ≥ 0 das Ergebnis beimAbrunden zur nachsten naturlichen Zahl ist.

Also zum Beispiel:⌊201710

⌋= b201,7c = 201.

Reflexivitat: Fur alle a ∈ N0 gilt (a, a) ∈ R genau dann wenn⌊a10

⌋=⌊

a10

⌋. Das trifft aber offensichtlich stets zu.

Transitivitat: Fur jede Wahl von a1, a2, a3 ∈ N0 soll, falls sowohl(a1, a2) ∈ R als auch (a2, a3) ∈ R gilt, auch(a1, a3) ∈ R gelten. Die beiden Voraussetzungenbedeuten

⌊a110

⌋=⌊a210

⌋und

⌊a210

⌋=⌊a310

⌋. Dann gilt

ja wohl auch:⌊a110

⌋=⌊a310

⌋, also (a1, a3) ∈ R.

Symmetrie: ahnlich zu Nachweis der Transitivitat.



Relationen

Eine weitere spezielle Form von Relationen auf einer Menge A:

(Partielle) Ordnung

Eine Relation R ⊆ A× A heißt (partielle) Ordnung, falls alle dreifolgenden Eigenschaften zutreffen:

Reflexivitat: wie bei Aquivalenzrelationen.

Transitivitat: wie bei Aquivalenzrelationen.

Antisymmetrie: fur jede Wahl von a1, a2 ∈ A, falls sowohl(a1, a2) ∈ R als auch (a2, a1) ∈ R gilt, so muss a1 = a2 gelten,d.h., a1 und a2 mussen dann das gleiche Element aus A sein.

Anmerkung:Aus der Schule kennen Sie vor allem totale Ordnungen, etwagemaß der Anordnung von Zahlen auf dem Zahlenstrahl:{(m, n) | m ≤ n} ⊆ N0 × N0. Diese erfullen auch die Eigenschaftenvon partiellen Ordnungen, aber noch Zusatzliches daruber hinaus!



Relationen

Bei der Definition einer Ordnung hat sich gegenuber der Definitioneiner Aquivalenzrelation nur die letzte Eigenschaft geandert(Antisymmetrie versus Symmetrie).

Achtung:

Antisymmetrie ist nicht das Gegenteil von Symmetrie!

Insbesondere erfullt jede Relation der Form {(x , x) | x ∈ M} beideEigenschaften.



Relationen

Beispiel:

Fur jede Menge M ist die Mengeninklusion ⊆ eine Ordnung aufder Potenzmenge P(M).

Diskussion: Warum ist das, außer wenn M = ∅,keine Aquivalenzrelation?



Relationen

Ordnungen werden grafisch als sogenannte Hasse-Diagrammedargestellt:

Falls a1 R a2 (und a1 6= a2)gilt, dann:

liegt a1 unterhalb von a2und

liegen keine Elemente

”zwischen“ a1 und a2

(bezuglich R),

dann werden beide miteiner Linie verbunden.

Beispiel: P({x , y , z}) undInklusion ⊆

{x , y , z}

{x , y} {x , z} {y , z}

{x} {y} {z}

∅



Relationen

Weiteres Beispiel: Teilbarkeit

Fur jedes n ∈ N0 ist die Relation

{(a1, a2) | a1 ist ein Teiler von a2} ⊆ {1, . . . , n} × {1, . . . , n}

eine Ordnung.

Zum Beispiel fur n = 6, als Hasse-Diagramm dargestellt:

4 6

2 3 5

1



Relationen

Ein Nicht-Beispiel: Besuch gleicher Ubungsgruppe

Ingo Selim Kiril Marina Ewa · · ·Ingo X − − − − · · ·Selim − X − X − · · ·Kiril − − X − − · · ·

Marina − X − X − · · ·Ewa − − − − X · · ·...

......

......

.... . .

Warum ist Obiges keine Ordnungsrelation?



Relationen

Sowie: (aus Mathematikunterricht 7. Klasse)

Viereck

Drachen Trapez

Parallelogramm symm. Trapez

Raute Rechteck

Quadrat

Warum ist Obiges kein Hasse-Diagramm (obwohl es tatsachlicheine Ordnungsrelation auf den Vierecks-Arten gibt)?



Zahlenbereiche

Wir betrachten folgende spezielle Mengen von Zahlen:

Naturliche Zahlen mit 0

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

Ganze Zahlen

Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }



Zahlenbereiche

Rationale Zahlen

Q: die Menge aller Bruche aus ganzen Zahlen (= Menge allerKommazahlen mit endlicher oder periodischer Dezimaldarstellung)

2 −4 12

277 0,75 32,333417 1

3 = 0,3333 . . . = 0,3

Reelle Zahlen

R: die Menge aller reellen Zahlen (= Menge aller Kommazahlenmit beliebiger – auch unendlicher, nicht-periodischer –Dezimaldarstellung)

2 −4 12

√2 = 1,41421 . . . π = 3,14159 . . .

e = 2,718281 . . .



Rechnen mit Betragen

Fur jede Zahl z ∈ R (oder auch z ∈ Q oder z ∈ Z) bezeichnet |z |ihren Absolutwert oder Betrag:

|z | =

{z falls z ≥ 0−z sonst

Beispielsweise: |7| = 7, |0| = 0, |−3,5| = 3,5

Anmerkungen:

Das ist die gleiche Notation wie |M| bei Mengen, aber nichtdamit zu verwechseln.

Es gelten spezielle (jedoch leicht ersichtliche) Regeln wie

|a · b| = |a| · |b| und∣∣ ab

∣∣ = |a||b| , aber nicht |a + b| = |a|+ |b|

und |a− b| = |a| − |b|.Auch: |−z | = |z |, ||z || = |z |,

∣∣z2∣∣ = |z |2 = z2 und|k · z | = k · |z | fur k ≥ 0.



Analysis

Analysis, Kurvendiskussion, Ableitbarkeit

Wir betrachten Funktionen auf reellen Zahlen und wiederholenGrundlagen der Kurvendiskussion. Dabei gehen wir vor allem aufdas Ableiten (= Differenzieren) von Funktionen ein.

x-3 -2 -1 0 1 2 3

y

1

2



Motivation

Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle istanschaulich ein Maß fur die Steilheit bzw. den Grad desWachstums.

Steigung einer Geraden

x

y

a

b

Fur ein rechtwinkliges Dreieck(mit Katheten parallel zur x- undy -Achse) unterhalb der Geradenbestimmt man die Langen derKatheten: a, b

Steigung der Geraden dann: ab

Dabei ist es unerheblich, wo das Dreieck liegt und wie groß es ist.Man erhalt immer denselben Wert.



Motivation

Um die Steigung einer Kurve in einem Punkt zu bestimmen,bestimmen wir die Tangente an diesem Punkt, d.h. eine Gerade,die die Kurve in diesem Punkt beruhrt. Die Steigung der Tangenteist dann die Steigung der Kurve.

x0 1 2 3 4 5

y

1

2

3



Motivation

Es ist jedoch nicht offensichtlich, wie die Steigung der Tangenteberechnet werden soll.

Wir nehmen an, dass die Kurve der Graph einer reellwertigenFunktion f : R→ R ist. Wir wollen die Steigung in x bestimmen,d.h. eine Tangente durch den Punkt (x , f (x)) legen.

Vorgehen:

Bestimme (fur beliebiges h ∈ R) einen weiteren Punkt(x + h, f (x + h)) und lege eine Gerade durch diese beidenPunkte.Die Steigung der Gerade ist: f (x+h)−f (x)

(x+h)−x = f (x+h)−f (x)h

Lasse h gegen 0 gehen (d.h. Betrag von h wird immer kleiner).Dann nahert sich die Steigung der Geraden immer mehr derSteigung der Tangenten an.



Motivation

x

y

x

f (x)

x + h

f (x + h)

f (x + h)− f (x)

h

x + h

f (x + h)

f (x + h)− f (x)

h

x + h

f (x + h)

f (x + h)− f (x)

h

x + h

f (x + h)

f (x + h)− f (x)

h



Literatur

Otto Forster. Analysis 1:Differential- undIntegralrechnung einerVeranderlichen.Springer, 2015

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-8139-7



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-8139-7


Grenzwerte

Um den Ubergang von Sekanten zur Tangente genauer beschreibenzu konnen und um konkrete Steigungen berechnen zu konnen,benotigen wir den Begriff des Grenzwerts oder Limes.

Beispiel:

Die Funktion

f (x) =sin x

x

ist nicht fur Null definiert (wegen der Division mit x im Nenner).Die Null muss daher aus dem Definitionsbereich ausgeschlossenwerden, also:

f : R \ {0} → R

Bei Betrachtung des Funktionsgraphen scheint sich jedoch derFunktionswert von f fur x gegen 0 beliebig der 1 zu nahern.



Grenzwerte

Zur Erinnerung: Graph der Sinusfunktion

x

y

1sin x

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8



Grenzwerte

Graph der Funktion f : R \ {0} → R, f (x) = sin xx

x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

1

Wir wollen ausdrucken konnen, dass der Grenzwert von f fur xgegen 0 gleich 1 ist.



Grenzwerte

Grenzwert einer Funktion an einer Stelle

Sei f : X → R mit X ⊆ R eine Funktion und seien a, c ∈ R.Angenommen, es gibt fur jedes ε > 0 ein δ > 0, so dass fur jedesx ∈ X mit |a− x | < δ folgt, dass |c − f (x)| < ε.

Dann ist c der Grenzwert (oder Limes) von f fur x gegen a, undman schreibt:

limx→a

f (x) = c

Anmerkungen:

Die Werte ε und δ sind reelle Zahlen.

Obige Definition ist sinnvoll, wenn man a innerhalb X mitunendlich vielen Elementen beliebig nahe kommen kann(a ist ein sogenannter

”Haufungspunkt“ von X ).

Dies ist insbesondere der Fall wenn X = R oder X = R \ {a}(und im folgenden immer).



Grenzwerte

Bemerkungen:

Anschaulich sagt die Grenzwert-Definition: der Abstandzwischen f (x) und c wird beliebig klein (beschrieben durch ε),wenn x nur nahe genug bei a liegt (beschrieben durch δ).

Fur eine gegebene Funktion f und ein gegebenes a muss nichtnotwendigerweise ein Grenzwert existieren.(Fur ein solches Gegenbeispiel, siehe spater.)



Grenzwerte

Beispiel:

x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

1

f (x) = sin xx

2ε

2δ

Es gilt limx→0

sin xx = 1, da wir fur jedes ε > 0 ein δ > 0 finden,

so dass fur jedes x das naher als δ bei a = 0 liegt,f (x) naher als ε bei c = 1 liegt.

Fur jedes andere c als 1 trafe das hier nicht zu!



Grenzwerte

Wie zeigen wir konkret und prazise (nicht nur anschaulich),dass eine gegebene Funktion an einer bestimmten Stelle einenbestimmten Grenzwert hat (oder nicht hat)?

Laut Definition, limx→a

f (x) = c falls es fur jedes ε > 0 ein δ > 0

gibt, so dass fur jedes x mit |a− x | < δ gilt: |c − f (x)| < ε.

Wir konnen uns das als ein Spiel zwischen zwei Personen vorstellen:B will Grenzwert beweisen, A will widerlegen und darf anfangen.

1 A nennt ein ε > 0.

2 B antwortet mit einem δ > 0.

3 A nennt ein x mit |a− x | < δ.

4 B behauptet, dass |c − f (x)| < ε.Stimmt das, gewinnt B, andernfalls A.



Grenzwerte

Bemerkungen:

Man konnte mehrere Durchlaufe spielen, aber wenn Auberhaupt eine Chance hat, mit einem bestimmten ε zugewinnen, kann A genau dieses ε auch sofort nennen.

B darf fur seine Antwort δ die Kenntnis von ε nutzen.Tatsachlich wird B in der Regel ein irgendwie (durch eineFormel) in Abhangigkeit von ε gebildetes δ nennen.



Grenzwerte

Also, B gewinnt, wenn:

Egal welches ε von A genannt wird,

B in Abhangigkeit davon ein δ nennen kann,

so dass fur jedes x , das A danach nennt(eingeschrankt durch Vorgabe von δ),

B zeigen kann, dass f (x) naher als ε beim von ihmbehaupteten Grenzwert c liegt.



Grenzwerte

Hingegen, A gewinnt, wenn:

A ein ε nennen kann,

so dass egal welches δ danach von B genannt wird,

A ein naher als δ bei der Stelle a liegendes x nennen kann,

fur welches f (x) mindestens ε von c entfernt liegt.

Oft lasst sich ε so wahlen, dass einfach fur alle x , zumindest in eineRichtung von a aus gesehen, f (x) weiter als ε von c entfernt liegt.(Etwa weil der Punkt (a, c) einfach vollig abseits des dortigenVerlaufs des Funktionsgraphen liegt.)



Grenzwerte

Um zu zeigen, dass limx→0,5

f (x) = 0,75:

Egal welches ε > 0 von A genannt wird, B nennt δ = 2ε.

A kann dann nur ein x mit |0,5− x | < δ = 2ε nennen.

Woraufhin B nachweist (fur das von A genannte x):

|0,75− f (x)| = |0,75− ( x2 + 0,5)| = |0,25− x2 | = 1

2 |0,5− x |und somit:

|0,75− f (x)| < 12δ = ε


Beispiel:

f : R\{0,5} → R, f (x) =

{x2 + 0,5 falls x 6= 0,5

undefiniert falls x = 0,5x

0 1

y

1


Grenzwerte

Um zu zeigen, dass limx→0,5

f (x) 6= 1:

A nennt ε = 0,25 (oder irgendein noch kleineres).

Es ist egal, welches δ nun von B genannt wird,

denn A kann einfach ein weniger als δ”links“ von 0,5

liegendes x nennen, zum Beispiel x = 0,5− δ2 ,

und es wird auf jeden Fall gelten dass |1− f (x)| ≥ ε.Denn fur alle unterhalb von 0,5 liegenden x ist|1− f (x)| > 0,25. (Deshalb wurde ε so gewahlt.)


Beispiel:

f : R\{0,5} → R, f (x) =

{x2 + 0,5 falls x 6= 0,5

undefiniert falls x = 0,5x

0 1

y

1


Stetigkeit

Manche Funktionen machen”Sprunge“, beispielsweise folgende

Funktion:

f : R→ R, f (x) =

{1 falls x ≤ 32 falls x > 3

x0 1 2 3 4 5

y

1

2

Anschaulich bezeichnen wir eine Funktion als stetig, wenn sie keinesolchen Sprungstellen besitzt.



Stetigkeit

Stetigkeit

Eine Funktion f : X → R heißt stetig an der Stelle a ∈ X , wennder Grenzwert lim

x→af (x) existiert.

Er ist dann per Definition notwendigerweise gleich demFunktionswert an dieser Stelle, also lim

x→af (x) = f (a).

Die Funktion f heißt stetig, wenn sie fur jedes a ∈ X stetig ist.

Anschaulich:Wenn man sich dem Wert a von links oder rechts nahert undFunktionswerte bildet, so erhalt man im Grenzwert jeweils genauden Wert f (a).



Stetigkeit

Wie kann man konkret zeigen, dass eine Funktion f : R→ R aneiner Stelle a stetig bzw. nicht stetig ist?

Stetigkeit von f : R→ R an der Stelle a ∈ RFur jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass fur jedes x ∈ R mit|a− x | < δ gilt: |f (a)− f (x)| < ε.

Beispiel: f : R→ R, f (x) = x2 und a = 0

Fur gegebenes ε > 0 wahle δ =√ε. Fur jedes x ∈ R mit

|a− x | < δ gilt, wegen a = 0, dass |x | < δ.

Somit gilt:

|f (a)− f (x)| = |f (0)− f (x)| = |0− x2| = |x |2 < δ2 =√ε2

= ε



Stetigkeit

Nicht-Stetigkeit von f : R→ R an der Stelle a ∈ REs gibt ein ε > 0, so dass fur jedes δ > 0 gilt: es gibt ein x ∈ Rmit |a− x | < δ und |f (a)− f (x)| ≥ ε.

Beispiel: f : R→ R, f (x) =

{1 falls x ≤ 32 falls x > 3

und a = 3

Setze ε = 12 und sei δ > 0 beliebig. Wahle x = 3 + δ

2 .

Dann gilt:

|a− x | = |3− (3 + δ2)| = δ

2 < δ

und:

|f (a)− f (x)| = |f (3)− f (3 + δ2)| = |1− 2| = 1 ≥ ε



Stetigkeit

Anschaulich:Wenn man sich dem Wert a = 3 von rechts nahert undFunktionswerte bildet, dann nahern sich diese eben nichtdem Wert f (a) = 1.

x0 1 2 3 4 5

y

1

2

Es existiert einfach kein (beidseitiger) Grenzwert limx→3

f (x).



Bestimmung der Ableitung

Mit Hilfe des Grenzwert-Begriffs kann man nun die Steigung einerFunktion f an einer bestimmten Stelle formal definieren.

Ableitung

Eine Funktion f : X → R mit X ⊆ R heißt differenzierbar(oder ableitbar) an der Stelle x ∈ X , wenn der Grenzwert

limh→0

f (x + h)− f (x)

h

existiert. Dieser wird dann mit f ′(x) bezeichnet.

Die Funktion heißt differenzierbar, wenn sie fur alle x ∈ Xdifferenzierbar ist. Die dabei entstehende Funktion f ′ : X → Rwird als Ableitung bezeichnet.




Bemerkungen:

Statt f ′(x) schreibt man manchmal auch ddx f (x),

df (x)dx oder df

dx (x).

Dabei steht dx fur die Distanz zwischen Werten auf derx-Achse und df (x) fur die Distanz zwischen Funktionswerten.

Jede an einer Stelle differenzierbare Funktion ist an dieserStelle auch stetig.Das heißt, fur eine Funktion, deren Nicht-Stetigkeit an einerStelle bekannt ist, muss man sich gar nicht mehr gesondertfragen, ob sie an dieser Stelle differenzierbar ist.




Beispiel:

Wir bestimmen die Ableitung der Sinusfunktion an Stelle x = 0.

sin′(0) = limh→0

sin(0 + h)− sin 0

h= lim

h→0

sin h − sin 0

h= lim

h→0

sin h

h= 1

(Fur das letzte Gleichheitszeichen, siehe eingangs anschaulichbegrundeter Grenzwert lim

x→0

sin xx = 1.)

Folgende Abbildung stellt die Tangente an die Sinuskurve an derStelle 0 dar. Diese Tangente hat tatsachlich Steigung 1.

x-3 -2 -1 1 2 3

y

-1

1




Als Hilfsmittel fur die Bestimmung von Ableitungen benutzen wirRegeln zum Rechnen mit Grenzwerten (hier fur Spezialfall

”→ 0“).

Rechnen mit Grenzwerten

limh→0

h = 0 limh→0

c = c limh→0

(c · f (h)) = c ·(

limh→0

f (h)

)limh→0

(f (h) + g(h)) =

(limh→0

f (h)

)+

(limh→0

g(h)

)limh→0

(f (h)− g(h)) =

(limh→0

f (h)

)−(

limh→0

g(h)

)limh→0

(f (h) · g(h)) =

(limh→0

f (h)

)·(

limh→0

g(h)

)Oben benutzte Annahmen sind, dass f , g : X → R uberhaupteinen Grenzwert an der Stelle 0 haben (und dass c ∈ R konstant).




Ableitung einer konstanten Funktion

Sei f : R→ R mit f (x) = c , wobei c ∈ R eine Konstante ist.

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0

Ableitung der Identitatsfunkion

Sei f : R→ R mit f (x) = x .

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

(x + h)− x

h= lim

h→01 = 1




Ableitung der quadratischen Normalparabel

Sei f : R→ R mit f (x) = x2.

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

(x + h)2 − x2

h

= limh→0

2xh + h2

h= lim

h→0(2x + h)

=

(limh→0

2x

)+

(limh→0

h

)= 2x + 0 = 2x




Graph der quadratischen Normalparabel, f (x) = x2, und ihrerAbleitung, f ′(x) = 2x

x-3 -2 -1 1 2 3

y

-1

1

2

3

4




Ableitung der kubischen Normalparabel

Sei f : R→ R mit f (x) = x3.

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

(x + h)3 − x3

h

= limh→0

3x2h + 3xh2 + h3

h= lim

h→0(3x2 + h · (3x + h))

=

(limh→0

3x2)

+

(limh→0

h

)·((

limh→0

3x

)+

(limh→0

h

))= 3x2 + 0 · (3x + 0) = 3x2




Bemerkungen:

Es gilt allgemein fur n ∈ N0 \ {0} und f : R→ R mit f (x) = xn,

f ′(x) = n · xn−1

Es gilt sogar fur c ∈ R \ {0} und f : X → R mit f (x) = xc ,

f ′(x) = c · xc−1

Also zum Beispiel fur f : R \ {0} → R mit f (x) = 1x = x−1,

f ′(x) = −1 · x−2 = − 1

x2

Und fur f : R+0 → R mit f (x) =

√x = x

12 ,

f ′(x) =1

2· x−

12 =

1

2 ·√x



Ableitungen bekannter Funktionen

Folgende Tabelle enthalt die Ableitungen weiterer bekannterFunktionen. Dabei ist c ∈ R+.

f (x) f ′(x)

ex ex

ln(x) 1x

cx ln(c) · cx

logc(x) 1ln(c)·x

sin x cos x

cos x − sin x

e: Eulersche Zahl (≈ 2,718281 . . . )ln(x): Logarithmus naturalis (Logarithmus zur Basis e)logc(x): Logarithmus zur Basis c (bezeichnet die eindeutigbestimmte Zahl y ∈ R fur die gilt: cy = x)



Ableitungen bekannter Funktionen

Beispiel: Graph des Logarithmus naturalis, f (x) = ln(x), und seinerAbleitung, f ′(x) = 1

x (auf den positiven reellen Zahlen)

x1 2 3 4 5 6 7 8

y

1

2

3



Ableitungsregeln

Wenn man die Ableitungen bestimmter Funktionen kennt, kannman daraus – nach einer Art Baukastenprinzip – weitereAbleitungen konstruieren.

Dafur gelten die im weiteren aufgefuhrten Regeln.

Faktorregel

Sei f : X → R eine differenzierbare Funktion mit Ableitung f ′ undsei g : X → R definiert als g(x) = c · f (x) fur ein festes c ∈ R.

Dann ist auch g differenzierbar und es gilt:

g ′(x) = c · f ′(x)



Ableitungsregeln

Beweis der Faktorregel:

limh→0

g(x + h)− g(x)

h= lim

h→0

c · f (x + h)− c · f (x)

h

= limh→0

(c · f (x + h)− f (x)

h

)= c ·

(limh→0

f (x + h)− f (x)

h

)= c · f ′(x)

Fur das vorletzte Gleichheitszeichen siehe wieder Rechnen mit Grenzwerten .



Ableitungsregeln

Summenregel

Seien f , g : X → R differenzierbare Funktionen mit Ableitungenf ′, g ′ und sei k : X → R definiert als k(x) = f (x) + g(x).

Dann ist auch k differenzierbar und es gilt:

k ′(x) = f ′(x) + g ′(x)

Beweis:

limh→0

k(x + h)− k(x)

h= lim

h→0

f (x + h) + g(x + h)− f (x)− g(x)

h

=

(limh→0

f (x + h)− f (x)

h

)+

(limh→0

g(x + h)− g(x)

h

)= f ′(x) + g ′(x)

Fur das vorletzte Gleichheitszeichen siehe wieder Rechnen mit Grenzwerten .



Ableitungsregeln

Produktregel

Seien f , g : X → R differenzierbare Funktionen mit Ableitungenf ′, g ′ und sei k : X → R definiert als k(x) = f (x) · g(x).


k ′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

Auch zum Beweis der Produktregel benotigt man die Rechenregelnfur Grenzwerte ( Rechnen mit Grenzwerten ), siehe nachste Folie.



Ableitungsregeln

Beweis der Produktregel:

limh→0

k(x + h)− k(x)

h= lim

h→0

f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)

h

= limh→0

(f (x + h) · g(x)− f (x) · g(x)

h

+f (x + h) · g(x + h)− f (x + h) · g(x)

h

)= lim

h→0

(f (x + h)− f (x)

h· g(x) + f (x + h) · g(x + h)− g(x)

h

)=

(limh→0

f (x + h)− f (x)

h

)· g(x)

+

(limh→0

f (x + h)

)·(

limh→0

g(x + h)− g(x)

h

)= f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)



Ableitungsregeln

Wir betrachten nun Anwendungen der bisher eingefuhrtenAbleitungsregeln fur verschiedene Funktionen f : R→ R.

Fur die Ableitung eines Polynoms verwendet man die Faktor- unddie Summenregel.

Ableiten eines Polynoms

Sei f (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + . . .+ a1 · x + a0mit ai ∈ R, n ∈ N0.

Dann gilt:

f ′(x) = an · n · xn−1 + an−1 · (n − 1) · xn−2 + . . .+ a1

Beispiel:

Die Ableitung von f (x) = x5 − 2x3 ist f ′(x) = 5x4 − 6x2.



Ableitungsregeln

Beispiel fur die Anwendung der Produktregel:

Die Ableitung von f (x) = x2 · 2x ist

f ′(x) = 2x · 2x + x2 · ln(2) · 2x = (2x + ln(2) · x2) · 2x .



Ableitungsregeln

Kettenregel

Seien f : R→ R und g : X → R differenzierbare Funktionen mitAbleitungen f ′, g ′ und sei k : X → R definiert alsk(x) = f (g(x)) = (f ◦ g)(x).


k ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

(ohne Beweis)



Ableitungsregeln

Beispiel fur die Anwendung der Kettenregel:

Die Ableitung von k(x) = 2(x2) ist

k ′(x) = ln(2) · 2(x2) · 2x = 2 · ln(2) · x · 2(x2),

denn:

k(x) = f (g(x)) mit f (x) = 2x und g(x) = x2,

also:

k ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x),

wobei:

f ′(x) = ln(2) · 2x und g ′(x) = 2x .



Ableitungsregeln

Durch die Kombination der Kettenregel und der Ableitung derFunktion f (x) = 1

x ergibt sich die Kehrwertregel.

Kehrwertregel

Sei g : X → R \ {0} eine differenzierbare Funktion mit Ableitungg ′ und sei k : X → R definiert als k(x) = 1

g(x) .


k ′(x) = − g ′(x)

g(x)2

Beweis:

k ′(x) = (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x) = − 1

g(x)2· g ′(x) = − g ′(x)

g(x)2



Ableitungsregeln

Wenn man nun die Kehrwertregel mit der Produktregel kombiniert,erhalt man die Quotientenregel.

Quotientenregel

Seien f : X → R und g : X → R \ {0} differenzierbare Funktionen

mit Ableitungen f ′, g ′ und sei k : X → R definiert als k(x) = f (x)g(x) .


k ′(x) =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

g(x)2

Beweis:

k ′(x) = f ′(x)· 1

g(x)+f (x)·

(− g ′(x)

g(x)2

)=

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

g(x)2



Ableitungsregeln

Beispiel fur die Anwendung der Quotientenregel:

Die Ableitung von f (x) = sin xx ist

f ′(x) =(cos x) · x − (sin x) · 1

x2=

(cos x) · x − sin x

x2

fur x 6= 0.



Mehrfache Ableitungen

Man kann Ableitungen nochmal differenzieren und erhalt dann diezweite Ableitung, dritte Ableitung, . . .

n-te Ableitungen

Fur eine differenzierbare Funktion f : X → R mit X ⊆ R definierenwir Funktionen f (n) : X → R mit:

f (0)(x) = f (x) f (n+1)(x) = (f (n))′(x)

Dabei wird gefordert, dass jede Funktion f (n) wiederumdifferenzierbar ist.

Beispiel: Fur die Funktion f : R→ R mit f (x) = x2 + 3x − 2 gilt:

0-te Ableitung: die Funktion f selbst, d.h. f (0) = f1-te Ableitung: f (1)(x) = f ′(x) = 2x + 32-te Ableitung: f (2)(x) = f ′′(x) = 23-te und weitere Ableitungen: f (3)(x) = f (4)(x) = · · · = 0



Kurvendiskussion

Uns interessieren zu Funktionskurven:

die Achsenabschnitte( Nullstellenbestimmung bzw. Einsetzen)

Monotonie- und Krummungsverhalten( Vorzeichen von Ableitungen)

Extrema und Wendepunkte( Vorzeichenwechsel von Ableitungen)



Kurvendiskussion

Monotonie-Schlusse aus der ersten Ableitung

f ′(x) < 0: Funktion f fallt an der Stelle x

f ′(x) > 0: Funktion f steigt an der Stelle x

x-1

y

1

2

x-1

y2



Kurvendiskussion

Mit Hilfe der Ableitungen kann man auch Aussagen uber dieExtrema, d.h. Minima und Maxima, von Funktionen machen.

Definition: Lokale Extrema

Sei f : X → R eine Funktion, mit X ⊆ R, und x0 ∈ X .

Dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum, wenn es einε > 0 gibt mit f (x) ≤ f (x0) fur alle x mit |x0 − x | < ε.

Und f hat an der Stelle x0 ein lokales Minimum, wenn es einε > 0 gibt mit f (x) ≥ f (x0) fur alle x mit |x0 − x | < ε.

Anschaulich:

x

y

2ε 2ε



Kurvendiskussion

Lokale Extrema und erste Ableitungen

Hat eine differenzierbare Funktion f : X → R mit X ⊆ R an derStelle x0 ∈ X ein lokales Extremum, so muss an dieser Stellef ′(x0) = 0 gelten.

Anschauliche Begrundung:

Bei einem Extremum wechselt die Steigung einer Funktion vonpositiv nach negativ, oder umgekehrt, und muss daher an dieserStelle den Wert 0 einnehmen.

x

y



Kurvendiskussion

Bemerkung:

Allerdings kann es Nullstellen der ersten Ableitung geben, an denendie Funktion kein Extremum einnimmt, sondern einen sogenanntenSattelpunkt (eine Stelle mit Steigung 0, an der aber keinExtremum vorliegt).

x

y

Es kommt fur Extrema eben wirklich darauf an, dass dasVorzeichen der Steigung/Ableitung wechselt.



Kurvendiskussion

Einen Vorzeichenwechsel der Ableitung konnen wir an Hand dererSteigung bemerken:

x

y

Wo die Steigung der Ableitung nicht Null ist, handelt es sich nichtum einen Sattelpunkt.

Und wir konnen dann an Hand des konkreten Wertes sogarfeststellen, um welche Art Extremum es sich handelt:

f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0 lokales Maximum bei x0

f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0 lokales Minimum bei x0



Kurvendiskussion

Die allgemeine Regel fur die Bestimmung von lokalen Minima undMaxima lautet wie folgt:

Lokale Extrema und n-te Ableitungen

Sei f : X → R eine Funktion und f (n) : X → R ihre Ableitungen.Fur x0 ∈ X gelte f ′(x0) = 0 und n ≥ 2 sei die kleinste Zahl, fur dief (n)(x0) 6= 0 gilt.

Wir unterscheiden nun folgende Falle:

n ist gerade:

f (n)(x0) < 0 lokales Maximum an der Stelle x0f (n)(x0) > 0 lokales Minimum an der Stelle x0

n ist ungerade Sattelpunkt an der Stelle x0



Kurvendiskussion

Beispiel 1: f : R→ R mit f (x) = (x − 2)2 − 3

1-te Ableitung: f ′(x) = 2 · (x − 2) · 1 = 2x − 4, Nullstelle bei x = 2

2-te Ableitung: f ′′(x) = 2, f ′′(2) = 2 > 0

D.h., es gibt ein lokales Minimum an der Stelle x = 2, mitFunktionswert f (2) = −3.



Kurvendiskussion

x-1 1 2 3 4 5

y

-3

-2

-1

1

2

3

f (x) = (x − 2)2 − 3



Kurvendiskussion

Beispiel 2: f : R→ R mit f (x) = x − ex

1-te Ableitung: f ′(x) = 1− ex , Nullstelle bei x = 0

2-te Ableitung: f ′′(x) = −ex , f ′′(0) = −1 < 0

D.h., es gibt ein lokales Maximum an der Stelle x = 0, mitFunktionswert f (0) = −1.



Kurvendiskussion

x-3 -2 -1 1 2 3

y

-4

-3

-2

-1

f (x) = x − ex



Kurvendiskussion

Beispiel 3: f : R→ R mit f (x) = x5 − 2x3

1-te Ableitung: f ′(x) = 5x4 − 2 · 3 · x2 = 5x2(x2 − 65), Nullstellen

bei x = 0, x =√

65 und x = −

√65(√

65 ≈ 1,095 . . .

)2-te Ableitung: f ′′(x) = 20x3 − 12x , es gilt f ′′(0) = 0,

f ′′(√

65

)= 12 ·

√65 ≈ 13,145 . . . > 0 und

f ′′(−√

65

)= −12 ·

√65 ≈ −13,145 . . . < 0

3-te Ableitung: f ′′′(x) = 60x2 − 12, f ′′′(0) = −12

D.h., es gibt ein lokales Minimum an der Stelle x =√

65 , ein

lokales Maximum an der Stelle x = −√

65 und einen Sattelpunkt

an der Stelle x = 0.Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 141


Kurvendiskussion

x-2 -1 1 2

y

-2

-1

1

2

f (x) = x5 − 2x3



Kurvendiskussion

Neben Monotonieverhalten und Extrema interessieren uns auchKrummungsverhalten und Wendepunkte.

Anschaulich:

links-gekrummt

rechts-gekrummt

links-gekrummt

Linkskrummung: bei Entlangfahren an der Kurve bewegt sich dieTangente entsprechend einer Linksdrehung

Rechtskrummung: bei Entlangfahren an der Kurve bewegt sich dieTangente entsprechend einer Rechtsdrehung

Wendepunkt: Tangente wechselt die Seiten



Kurvendiskussion

Krummungsverhalten: Schlusse aus der zweiten Ableitung

f ′′(x) > 0: Ableitung f ′ steigt an der Stelle x , d.h., f ist ander Stelle x linksgekrummt

f ′′(x) < 0: Ableitung f ′ fallt an der Stelle x , d.h., f ist an derStelle x rechtsgekrummt

x

yf (x)

links-gekrummt

rechts-gekrummt

links-gekrummt

f ′(x)

f ′′(x)



Kurvendiskussion

Nullstellen von f ′′ sind dann Kandidaten fur Wendepunkte.

Genaugenommen interessieren uns dafur Vorzeichenwechsel von f ′′.

Wendepunkte

Sei f : X → R eine differenzierbare Funktion mit f ′′(x0) = 0 undf ′′′(x0) 6= 0 fur ein x0 ∈ X , d.h., die zweite Ableitung ist gleichNull und die dritte Ableitung ungleich Null.

Dann gibt es an dieser Stelle einen Wendepunkt, bei dem dieKurve ihre Krummung andert (von links- auf rechtsgekrummt oderumgekehrt).



Kurvendiskussion

Beispiel 1:

Die Sinuskurve hat (unter anderem) einen Wendepunkt an derStelle x0 = 0.

x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y

-1

1



Kurvendiskussion

Beispiel 2:

Die Funktion f : R→ R mit f (x) = (x − 1) · x · (x + 1) = x3 − xhat (genau) einen Wendepunkt, und zwar an der Stelle x0 = 0.

x-2 -1 1 2

y

-1

1



Weitere Grundlagen

Zur Erinnerung:

Im Analysis-Teil der Vorlesung haben wir uns mitkontinuierlicher Mathematik beschaftigt, insbesondere viel mitden reellen Zahlen gearbeitet.

In vielen Problemstellungen etwa der Informatik hat man esjedoch eher mit endlichen oder abzahlbaren Bereichen zu tun.Dies entspricht dann diskreter Mathematik, bzw. oft inirgendeiner Form der Arbeit mit den naturlichen oder denganzen Zahlen.



Weitere Grundlagen

Jetzt betrachten wir einige zahlentheoretische Grundlagen, da manmit deren Hilfe:

Gleichungen in ganzen Zahlen losen kann,

Kryptographie betreiben kann (z.B. RSA),

Beispiele fur endliche Rechenstrukturen erhalt.



Zahlentheorie

Motivation:

Losungsmengen von Gleichungen der Form a · x + b · y = centsprechen bekannterweise Geraden:

x

yIn den reellen Zahlen gibtes also jeweils unendlichviele Losungspaare (x , y).

Aber wie sieht es mitLosungsmengen in denganzen Zahlen aus?

Scheinbar kann es sein,dass es keine, eine, odermehrere Losungen gibt.

Von Interesse sind Falle, in denen a, b, c selbst ganze Zahlen sind(hier fur alle außer die rote Gerade der Fall).



Zahlentheorie

Ganzzahlige Division mit kleinstem Rest

Sei a ∈ Z und b ∈ N0 \ {0}.Dann gibt es eindeutig bestimmte z ∈ Z und r ∈ N0 mit

z · b + r = a und r < b

z heißt Ergebnis der ganzzahligen Division von a durch b undman schreibt

z = a div b

r heißt Rest der ganzzahligen Division von a durch b und manschreibt

r = a mod b

Beispiel: 14 div 4 = 3, und 14 mod 4 = 2, weil 3 · 4 + 2 = 14



Zahlentheorie

Konkret berechnen (z.B. bei Verwendung eines Taschenrechners)lassen sich Ergebnis und Rest der ganzzahligen Divisionfolgendermaßen:

a div b =⌊ab

⌋und a mod b = a− b ·

⌊ab

⌋Dabei steht bqc mit q ∈ Q fur das Ergebnis beim Abrunden von qzur nachsten ganzen Zahl. D.h., bqc ist die großte ganze Zahl, diekleiner gleich q ist.

Beispiele: b3c = 3, b5,17c = 5, b−1c = −1, b−0,7c = −1



Zahlentheorie

Gewissermaßen ein Spezialfall der ganzzahligen Division (namlichohne verbleibenden Rest), jedoch mit auch negativem Divisorerlaubt, ist die Teilbarkeit:

Teilbarkeit ganzer Zahlen

Seien a, b ∈ Z.

Man sagt, b teilt a, wenn es ein z ∈ Z gibt mit z · b = a.

Wir schreiben auch b | a und nennen b einen Teiler von a.

Bemerkungen:

Hier wird auch b ≤ 0 erlaubt, siehe oben.

Die Relation | (Teilbarkeit) ist eine partielle Ordnung, wennman sie auf die naturlichen Zahlen einschrankt.



Zahlentheorie

Beispiele: Gelten folgende Beziehungen?

2 | 18 (Ja, z = 9)−7 | 14 (Ja, z = −2)

3 | 10 (Nein)0 | 0 (Ja, z beliebig)0 | 7 (Nein)7 | 0 (Ja, z = 0)



Zahlentheorie

Primzahlen

Eine naturliche Zahl p heißt Primzahl, wenn folgendes gilt:

p ≥ 2 und

die einzigen Teiler von p in den naturlichen Zahlen sind 1 undp selbst.

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . . .

Es gibt unendlich viele Primzahlen.



Zahlentheorie

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung

Sei n ∈ N0 \ {0}. Ein Produkt p1 · . . . · pm = n von Primzahlenheißt Primfaktorzerlegung von n.

Jedes n besitzt eine solche Primfaktorzerlegung.Wenn man zudem verlangt, dass die Primfaktoren in aufsteigenderReihenfolge angeordnet sind (pi ≤ pj fur i < j), so ist diePrimfaktorzerlegung sogar eindeutig.

Bemerkungen:

Die Primfaktorzerlegung von 1 ist das leere Produkt(m = 0 oben).

Wenn wir auch die 1 als Primzahl einfuhren wurden, sowurden wir die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegungverlieren. (z.B.: 7 = 1 · 7 = 1 · 1 · 7 = . . . )



Zahlentheorie

Großter gemeinsamer Teiler

Seien a, b ∈ N0, aber nicht beide gleich 0.

Ein t ∈ N0 \ {0} heißt großter gemeinsamer Teiler von a und b,geschrieben t = ggT (a, b), falls folgendes gilt:

t | a und t | b, d.h., t teilt sowohl a als auch b, und

fur jede andere naturliche Zahl t ′, die sowohl a als auch bteilt, gilt: t ′ ≤ t, bzw. sogar t ′ | t.

Bemerkungen:

Der ggT ist immer eindeutig bestimmt.

Fur jedes c > 0 gilt: ggT (0, c) = c = ggT (c , 0).



Zahlentheorie

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Seien a, b ∈ N0.

Ein v ∈ N0 heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b,geschrieben v = kgV (a, b), falls folgendes gilt:

a | v und b | v , d.h., sowohl a als auch b teilen v , und

fur jede andere naturliche Zahl v ′, die sowohl von a als auchvon b geteilt wird, gilt: v | v ′.

Bemerkungen:

Auch das kgV ist immer eindeutig bestimmt.

Es gilt stets: ggT (a, b) · kgV (a, b) = a · b.

Also kgV (0, 0) = 0 und ansonsten kgV (a, b) = a · bggT (a,b)



Zahlentheorie

Wie bestimmt man den großten gemeinsamen Teiler?

Bestimmung des ggT – Methode 1, fur a, b > 0

Bestimme die Primfaktorzerlegungen von a und b.

Betrachte alle Primfaktoren p, die in beiden Zerlegungenvorkommen: angenommen p kommt in a genau m-mal und inb genau n-mal vor. Dann kommt p in ggT (a, b) genaumin(m, n)-mal vor.

Beispiel: Bestimmung von ggT (12, 30)

12 = 2 · 2 · 3 und 30 = 2 · 3 · 5ggT (12, 30) = 2 · 3 = 6



Zahlentheorie

Praferiert (vor allem mit Modifikation von nachster Folie):

Bestimmung des ggT – Methode 2 (Euklidischer Algorithmus)

ggT (a, 0) = a

ggT (0, b) = b

ggT (a, b) = ggT (b, a), falls 0 < a < b

ggT (a, b) = ggT (a− b, b), falls a ≥ b > 0

Wende die letzten beiden Regeln so lange an, bis einer der erstenbeiden Falle erreicht ist.


ggT (12, 30) = ggT (30, 12) = ggT (18, 12) = ggT (6, 12)= ggT (12, 6) = ggT (6, 6) = ggT (0, 6) = 6



Zahlentheorie

Bemerkung:

Da es bei großen Zahlen sehr schwer ist, die Primfaktorzerlegungzu finden, ist Methode 2 bei weitem effizienter, insbesondere wennman dort die letzte Regel durch

ggT (a, b) = ggT (b, a mod b), falls a ≥ b > 0

ersetzt.


ggT (12, 30) = ggT (30, 12) = ggT (12, 6) = ggT (6, 0) = 6



Zahlentheorie

Der ggT und die ggT -Berechnung sind ein wichtiges Werkzeug furdas Losen bestimmter Gleichungen.

Losen linearer diophantischer Gleichungen

Seien a, b, c ∈ N0, aber nicht sowohl a als auch b gleich 0.

Wir suchen Losungen x , y ∈ Z der Gleichung

a · x + b · y = c

Es gilt: Diese Gleichung ist genau dann losbar, wenn ggT (a, b) | c .



Zahlentheorie

Bei a · x + b · y = ggT (a, b) kann man Werte fur x und y dadurchbestimmen, dass man die ggT -Berechnung per Methode 2(Euklidischer Algorithmus)

”ruckwarts“ nachvollzieht.

Beispiel: Losen von 12 · x + 30 · y = 6

ggT (12, 30) = ggT (30, 12) = ggT (18, 12) = ggT (6, 12)= ggT (12, 6) = ggT (6, 6) = ggT (0, 6) = 6

Dabei wurden die”neu auftretenden“ positiven Zahlen, also die

außer 12, 30 und 0, ja so ermittelt: 18 = 30− 12, 6 = 18− 12.

Nun kann man ruckwarts einsetzen:

6 = 18 − 12 = ( 30 − 12 )− 12 = 12 · (−2) + 30 · 1

Und damit hat man eine Losung: x = −2 und y = 1.



Zahlentheorie

Verwendet man die Modifikation des Euklidischen Algorithmus, mitggT (a, b) = ggT (b, a mod b) statt ggT (a, b) = ggT (a− b, b) imFall a ≥ b > 0, dann geht es allgemein schneller.


ggT (12, 30) = ggT (30, 12) = ggT (12, 6) = ggT (6, 0) = 6

Hier trat nur die 6 wahrend der Berechnung neu auf, und wurde soermittelt: 6 = 30 mod 12.

Wegena mod b = a− b · (a div b)

heißt das:

6 = 30 − 12 · (30 div 12) = 30 − 12 · 2

und damit wieder x = −2 und y = 1.Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 164


Zahlentheorie

Allgemein muss man auch bei Verwendung dieser Modifikation desEuklidischen Algorithmus zum Gleichungslosen mehrfach ruckwartseinsetzen.


ggT (147, 11) = ggT (11, 4) = ggT (4, 3) = ggT (3, 1) = ggT (1, 0) = 1

Hier wurden neu auftretende Werte so ermittelt:4 = 147 mod 11, 3 = 11 mod 4, 1 = 4 mod 3.

Bzw.: 4 = 147− 11 · (147 div 11), 3 = 11− 4 · (11 div 4),1 = 4− 3 · (4 div 3).

Ruckwarts Einsetzen liefert:

1 = 4 − 3 · 1 = 4 − ( 11 − 4 · 2) · 1 = 11 · (−1) + 4 · 3

= 11 · (−1) + ( 147 − 11 · 13) · 3 = 147 · 3 + 11 · (−40)



Zahlentheorie

Aber nicht alle Gleichungen von Interesse haben ja die Forma · x + b · y = ggT (a, b).

Insbesondere hatten wir behauptet, dass a · x + b · y = c losbar ist(genau dann) wenn ggT (a, b) | c , nicht unbedingt c = ggT (a, b).

Gleichungen der Form a · x + b · y = c mit c 6= ggT (a, b),aber ggT (a, b) | c , kann man folgendermaßen losen:

Zunachst die Gleichung a · x ′ + b · y ′ = ggT (a, b) losen.

Dann die Losungen x ′, y ′ mit cggT (a,b) multiplizieren, das

ergibt die Losungen x , y .

Beispiel: Losen von 12 · x + 30 · y = 24 Losen von 12 · x ′ + 30 · y ′ = 6 ergibt x ′ = −2, y ′ = 1. Multiplizieren mit 24

6 = 4 ergibt x = −8, y = 4.



Zahlentheorie


Gibt es eine Losung fur a · x + b · y = c , dann gibt es nochunendlich viele andere Losungen.

Die Voraussetzung a, b, c ∈ N0 kann man mit etwasNachdenken zu a, b, c ∈ Z aufweichen.



Zahlentheorie

Teilerfremdheit

Zwei Zahlen a und b heißen teilerfremd falls ggT (a, b) = 1.

Eulersche ϕ-Funktion

Die Eulersche ϕ-Funktion ϕ : N0 → N0 ist folgendermaßendefiniert:

ϕ(n) = |{m ∈ N0 | 1 ≤ m ≤ n und ggT (m, n) = 1}|

Also ϕ(n) ist die Anzahl der Zahlen von 1 bis n, die zu nteilerfremd sind.



Zahlentheorie

Beispiele (Eulersche ϕ-Funktion):

n ϕ(n) n ϕ(n)

0 0 7 61 1 8 42 1 9 63 2 10 44 2 11 105 4 12 46 2 13 12

Fur jede Primzahl p gilt ϕ(p) = p − 1.

Außerdem gilt:

ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n), falls m und n teilerfremd sind.

ϕ(pk) = pk − pk−1, falls p eine Primzahl ist.



Zahlentheorie

Satz von Euler-Fermat

Fur teilerfremde Zahlen m, n ∈ N0 \ {0} mit n > 1 gilt:

mϕ(n) mod n = 1



Monoide, Gruppen, Korper

Wir betrachten nun grundlegende”Rechenstrukturen“.

Das sind Strukturen, mit denen man rechnen kann wie mit(ganzen/rationalen/reellen) Zahlen, die aber moglicherweise andereElemente enthalten.

Dabei beantworten wir u.a. folgende Fragen:

Welche (gemeinsamen) Eigenschaften haben Addition undMultiplikation?

Wie unterscheiden sich N0 und Z”grundsatzlich“?

Kann man auch mit endlichen Mengen von Objekten rechnen?




Monoid

Gegeben seien eine nichtleere Menge M und eine zweistelligeAbbildung ◦ : M ×M → M.Wir benutzen meist die Infix-Schreibweise m1 ◦m2 und bezeichnen◦ als zweistelligen Operator.

(M, ◦) heißt Monoid, falls folgendes gilt:

Der Operator ◦ ist assoziativ, d.h., es gilt:m1 ◦ (m2 ◦m3) = (m1 ◦m2) ◦m3 fur alle m1,m2,m3 ∈ M.

Es gibt ein neutrales Element e ∈ M, d.h., es gilt:e ◦m = m ◦ e = m fur alle m ∈ M.

Bemerkung: Wenn e existiert, ist es eindeutig bestimmt.




Beispiele und Gegenbeispiele fur Monoide

(N0,+), (Z,+), (Q,+), (R,+) sind Monoide(neutrales Element jeweils: 0)

(N0, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) sind Monoide(neutrales Element jeweils: 1)

(Z,−) ist kein Monoid(fehlende Assoziativitat)

(N0 \ {0},+) ist kein Monoid(fehlendes neutrales Element)




Als Beispiele fur endliche Monoide:

Modulo-Rechnen

Fur jedes n ∈ N0 \ {0} definieren wir zu Zn = {0, 1, . . . , n − 1}folgende Addition +n und Multiplikation ·n.

Seien k,m ∈ Zn, dann gilt:

k +n m = (k + m) mod n und k ·n m = (k ·m) mod n

(Zn,+n) und (Zn, ·n) sind Monoide(mit neutralen Elementen 0 bzw. 1)

Sie spielen eine große Rolle u.a. in der Kryptographie undKodierungstheorie.




Additions-/Multiplikationstabellen fur Z5:

+5 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

·5 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Mit diesen Tabellen bewaffnet konnten wir Losungen suchen furGleichungen wie:

(4 ·5 x) +5 2 = 3




In vielen Fallen (z.B. zum systematischen Losen von Gleichungen)benotigt man beim Rechnen etwas mehr Struktur: man brauchtsogenannte Inverse.

Gruppe

Ein Monoid (G , ◦) mit neutralem Element e heißt Gruppe, wennzusatzlich zu den Monoid-Eigenschaften noch folgendes gilt:

Fur jedes g ∈ G gibt es ein g−1 ∈ G mit g ◦ g−1 = e.

Dabei heißt g−1 das Inverse von g (und ist eindeutig bestimmt).

(G , ◦) heißt kommutative Gruppe (oder abelsche Gruppe), fallsaußerdem g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1 fur alle g1, g2 ∈ G gilt.

Bemerkung: In jeder Gruppe gilt nicht nur g ◦ g−1 = e,sondern auch g−1 ◦ g = e fur alle g ∈ G .




Beispiele und Gegenbeispiele fur (kommutative) Gruppen

(Z,+), (Q,+), (R,+) sind Gruppen(Inverses zu x ist jeweils −x)

(N0,+) ist keine Gruppe(fehlende Inverse fur positive Zahlen)

(Q, ·), (R, ·) sind keine Gruppen(0 hat jeweils kein Inverses)

(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) sind Gruppen(Inverses zu x ist jeweils 1

x )

(Z, ·), (Z \ {0}, ·) sind keine Gruppen(jeweils fehlende Inverse)




Fortsetzung: Beispiele und Gegenbeispiele fur Gruppen

(Zn,+n) ist eine Gruppe

(Zn, ·n) ist keine Gruppe(0 hat kein Inverses)

(Zn \ {0}, ·n) ist genau dann eine Gruppe, wenn n Primzahl

Entscheidende Beobachtung:

Ein Element m ∈ Zn \ {0} hat genau dann ein multiplikativesInverses, wenn m, n teilerfremd sind.




Die Beobachtung am Beispiel Z4 (also n = 4):

Es gilt n = 4 = 2 · 2, d.h., es ist keine Primzahl.

m = 2 hat kein multiplikatives Inverses in Z4, dennggT (2, 4) = 2 6= 1.

Insbesondere hat die Gleichung 2 ·4 x = (2 · x) mod 4 = 1 keineLosung, denn:

Fur alle x ∈ Z ist 2 · x , und damit auch (2 · x) mod 4, einegerade Zahl.

D.h., man kann niemals das Ergebnis 1 erhalten.

Die Zahlen m = 1 und m = 3 allerdings sind jeweils teilerfremd zun und besitzen multiplikative Inverse in Z4.




Inversenbildung in (Zn,+n)

Das Inverse zu m ∈ Zn bezuglich der Addition +n ist:

(−m) mod n =

{0 falls m = 0n −m falls m > 0

Beispiele:

In Z5, das additive Inverse zu 1 ist 5− 1 = 4.(Test: 1 +5 4 = (1 + 4) mod 5 = 0)



In beliebigem Zn, das additive Inverse zu 0 ist 0.(Test: 0 +n 0 = (0 + 0) mod n = 0)




Tabelle der Inversen in (Z5,+5):

m 0 1 2 3 4

”−m“ 0 4 3 2 1

Tabelle der Inversen in (Z6,+6):

m 0 1 2 3 4 5

”−m“ 0 5 4 3 2 1




Inversenbildung in (Zn, ·n) – Methode 1 (mit Euler-Fermat)

Das Inverse zu m ∈ Zn \ {0}, mit ggT (m, n) = 1, bezuglich derMultiplikation ·n ist:

mϕ(n)−1 mod n

Denn es gilt (fur n > 1):

m ·n (mϕ(n)−1 mod n) = (m ·mϕ(n)−1) mod n = mϕ(n) mod n = 1


Beispiele:

In Z5, das multiplikative Inverse zu 3 ist 3ϕ(5)−1 mod 5 = 2.(Test: 3 ·5 2 = (3 · 2) mod 5 = 1)

In Z6, das multiplikative Inverse zu 5 ist 5ϕ(6)−1 mod 6 = 5.(Test: 5 ·6 5 = (5 · 5) mod 6 = 1)




Inversenbildung in (Zn, ·n) – Methode 2 (per diophant. Gleichung)

Das Inverse zu m ∈ Zn \ {0}, mit ggT (m, n) = 1, bezuglich derMultiplikation ·n kann auch folgendermaßen bestimmt werden:

x mod n, fur eine Losung der Gleichung m · x + n · y = 1

Denn es gilt dann (fur n > 1):

m ·n (x mod n) = (m · x) mod n = (1− n · y) mod n = 1

Diese Methode funktioniert auch dann, wenn der Wert ϕ(n) nichteinfach berechnet werden kann (z.B. wenn n sehr groß ist).




Beispiel:

Wir berechnen wieder das multiplikative Inverse zu 3 in Z5.

Lose 3 · x + 5 · y = 1:

ggT (3, 5) = ggT (5, 3) = ggT (3, 2) = ggT (2, 1) = ggT (1, 0) = 1

Mit: 2 = 5 mod 3 = 5− 3 · 1, 1 = 3 mod 2 = 3− 2 · 1.

Also ruckwarts eingesetzt:

1 = 3 − 2 · 1 = 3 − ( 5 − 3 · 1) · 1 = 3 · 2 + 5 · (−1)

Somit: x = 2, y = −1.

Also ist das gesuchte Inverse: x mod n = 2 mod 5 = 2.




Tabelle der Inversen in (Z5, ·5):

m 0 1 2 3 4

m−1 – 1 3 2 4

Tabelle der Inversen in (Z6, ·6):

m 0 1 2 3 4 5

m−1 – 1 – – – 5

Erinnerung:Nur fur Primzahlen n (und trivial fur n = 1) existieren diemultiplikativen Inverse fur alle m ∈ Zn \ {0}.




Motivation: Wozu eigentlich der ganze Aufwand (mit den Inversen)?

Erinnern wir uns an:(4 ·5 x) +5 2 = 3

Statt das per Ausprobieren/Durchgehen der Tabellen fur +5 und ·5zu losen, konnen wir mit Hilfe der Inversen wie folgt vorgehen:

(4 ·5 x) +5 2 = 34 ·5 x = 3 +5 3 wegen additivem Inversen zu 2 in Z5

x = 4 ·5 (3 +5 3) wegen multiplikativem Inversen zu 4 in Z5

x = 4 per Ausrechnen/Nachschlagen in Tabellen




Und was, wenn wir ein System von Gleichungen losen wollen?

Zum Beispiel:(4 ·5 x) +5 (2 ·5 y) = 3(2 ·5 x) +5 (3 ·5 y) = 4

Dann stellt sich heraus, dass wir noch nicht genug Umformgesetzehaben, um dies auf die gewohnte Weise aufzulosen.

Dies motiviert die Einfuhrung einer weiteren algebraischenStruktur: Korper.




Wir betrachten eine Rechenstruktur, die zwei miteinander

”kompatible“ Operationen (normalerweise + und · genannt)

vereint.

Korper

Gegeben seien eine nichtleere Menge K und zwei zweistelligeOperationen + und · auf K .

(K ,+, ·) heißt Korper, falls folgendes gilt:

(K ,+) ist eine kommutative Gruppe, das neutrale Elementbezeichnen wir mit 0.

(K \ {0}, ·) ist eine kommutative Gruppe, das neutraleElement bezeichnen wir mit 1.

Das Distributivgesetz gilt, d.h., es gilt:a · (b + c) = a · b + a · c fur alle a, b, c ∈ K .




Diese etwas indirekte Definition konnen wir expliziter machen:

Korperaxiome (Zusammenfassung, Teil 1)

Fur einen Korper (K ,+, ·) muss gelten:

+ : K × K → K und · : K × K → K

+ und · sind assoziativ, d.h., es gilt fur alle a, b, c ∈ K :

a + (b + c) = (a + b) + c und a · (b · c) = (a · b) · c

+ hat ein neutrales Element, welches mit 0 bezeichnet wird,und · hat ein neutrales Element, welches mit 1 bezeichnetwird, d.h., es gilt fur alle a ∈ K :

0 + a = a + 0 = a und 1 · a = a · 1 = a

. . .




Korperaxiome (Zusammenfassung, Teil 2)

Jedes Element a ∈ K hat ein additives Inverses und jedesElement außer 0 hat ein multiplikatives Inverses:

a + (−a) = (−a) + a = 0 und a · a−1 = a−1 · a = 1

+ und · sind kommutativ, d.h., es gilt fur alle a, b ∈ K :

a + b = b + a und a · b = b · a

Es gelten die Distributivgesetze, d.h., fur alle a, b, c ∈ K :

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

(Das zweite Distributivgesetz folgt aus dem ersten aufgrundder Kommutativitat von ·.)




Beispiele und Gegenbeispiele fur Korper

(Q,+, ·), (R,+, ·) sind Korper

(Zn,+n, ·n) ist genau dann ein Korper, wenn n Primzahl

Weitere Beispiele (auf die wir hier nicht weiter eingehen):

komplexe Zahlen

endliche Korper mit 4, 8, 9, . . . Elementen

. . .




Bemerkung:

Da wir die Operationen in einem Korper ublicherweise mit + und ·(oder daran angelehnte Symbole) bezeichnen, verwenden wir beimAufschreiben von Ausdrucken und Formeln auch die gewohntenVorrangregeln fur Addition und Multiplikation.

Wir schreiben also etwa statt (wie vorhin):

(4 ·5 x) +5 (2 ·5 y) = 3(2 ·5 x) +5 (3 ·5 y) = 4

einfach (nur noch):

4 ·5 x +5 2 ·5 y = 32 ·5 x +5 3 ·5 y = 4

und wissen trotzdem was gemeint ist.



Vektorraume und Matrizen

Wir betrachten nun Vektoren, die Tupel von Elementen einesKorpers sind. Vektoren sind unter anderem wichtig fur dieDarstellung geometrischer Objekte.

Mengen von Vektoren bilden einen sogenannten Vektorraum.

Matrizen werden dazu verwendet, um (lineare) Abbildungen in(oder zwischen) Vektorraumen zu beschreiben. Sie spielen aucheine wichtige Rolle beim Losen von Gleichungssystemen.




Vektor

Sei n ∈ N0 \ {0} und (K ,+, ·) ein Korper.

Ein Vektor ~u der Dimension n uber K besteht aus n Elementen desKorpers, also u1, . . . , un ∈ K .

Ein Vektor wird im Allgemeinen folgendermaßen dargestellt unddaher auch Spaltenvektor genannt:

~u =

u1...un




Vektorraum

Die Menge aller Vektoren der Dimension n uber K heißtn-dimensionaler Vektorraum uber K und wird mit Kn bezeichnet.

Bemerkungen:

Eigentlich musste man immer”uber (K ,+, ·)“ sagen und

auch bei”Kn“ noch hinzufugen, welche Operationen auf K

man verwendet. Aber wir lassen dies weg, es wird an jederStelle auch so eindeutig sein.

Es gibt noch allgemeinere Definitionen eines Vektorraums(ahnlich zu den Definitionen von Monoid, Gruppe, Korper),die wir hier aber nicht betrachten.

Die Operationen in einem Vektorraum sind Addition vonVektoren und Skalarmultiplikation, die im Folgendenbetrachtet werden.




Klassisches Beispiel:Seien n = 2 und K = R (mit normalem + und ·), d.h., wirbetrachten den Vektorraum R2.

Dann kann man die Vektoren als Punkte in der zweidimensionalenEbene interpretieren. Man stellt sie dann durch Pfeile in einemKoordinatensystem dar, jeweils ausgehend von dessen Ursprung.

0 1 2−1−2

1

3

2

x

y (1,52,5

)(−22

)

Die erste Koordinate bezeichnet man dabei – wie ublich – alsx-Koordinate, die zweite als y -Koordinate.




Addition im Vektorraum

Die Addition von Vektoren ist eine zweistellige Operation+ : Kn × Kn → Kn, die folgendermaßen definiert ist:u1

...un

+

v1...vn

=

u1 + v1...

un + vn

Dabei werden die einzelnen Korperelemente mit Hilfe der+-Operation des Korpers verknupft (komponentenweise Addition).




Vektorraum als Gruppe

Ein Vektorraum bildet mit der Addition eine kommutative Gruppe.Das neutrale Element ist der Nullvektor ~0 und das additive Inversezu ~u wird mit −~u bezeichnet:

~0 =

0...0

Falls ~u =

u1...un

, dann ist −~u =

−u1...−un

.

Dabei ist 0 das neutrale Element der Addition im zu Grundeliegenden Korper und −u1, . . . ,−un sind die entsprechendenadditiven Inversen.




Multiplikation mit einem Skalar

Ein Vektor ~u ∈ Kn kann mit einem beliebigen einzelnen Elementdes Korpers multipliziert werden. Dieses k ∈ K nennt man dannauch einen Skalar. Man multipliziert es ublicherweise von links.Die Skalarmultiplikation ist also eine Operation · : K × Kn → Kn.Sie ist folgendermaßen definiert:

k ·

u1...un

=

k · u1...

k · un

Dabei entstehen k · u1, . . . , k · un durch dieMultiplikationsoperation des zu Grunde liegenden Korpers K .




Eigenschaften der Skalarmultiplikation

Seien ~u, ~v ∈ Kn Vektoren und k ,m ∈ K Skalare. Dann gilt:

k · (m · ~u) = (k ·m) · ~uk · (~u + ~v) = k · ~u + k · ~v

(k + m) · ~u = k · ~u + m · ~u1 · ~u = ~u

Dabei ist 1 das neutrale Element der Multiplikation im zu Grundeliegenden Korper.




Wir betrachten nun bestimmte Abbildungen zwischenVektorraumen: sogenannte lineare Abbildungen.

Lineare Abbildung

Seien Kn,Km zwei Vektorraume uber dem gleichen Korper, d.h.,mit gleicher Menge K und gleichen Operationen auf Elementebene,aber moglicherweise mit verschiedenen Dimensionen. EineFunktion ψ : Kn → Km heißt lineare Abbildung, falls folgendes gilt:

ψ(~u + ~v) = ψ(~u) + ψ(~v) fur alle ~u, ~v ∈ Kn

ψ(k · ~u) = k · ψ(~u) fur alle k ∈ K , ~u ∈ Kn

Bemerkungen:Die Multiplikation mit festem Skalar ist eine lineare Abbildung.Auch viele der interessanten Abbildungen in der Geometrie sindlineare Abbildungen (z.B. Drehungen, Spiegelungen).




Wir betrachten nun Matrizen, mit denen solche linearenAbbildungen beschrieben werden konnen.

Matrix

Seien m, n ∈ N0 \ {0} und (K ,+, ·) ein Korper.

Eine m×n -Matrix A uber K besteht aus m · n Eintragen:

Ai , j ∈ K fur i ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ {1, . . . , n}

Sie wird folgendermaßen dargestellt:

A =

A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n




Bemerkungen:

Eine m×n -Matrix besteht also aus m Zeilen der Breite n,oder – anders ausgedruckt – aus n Spalten der Hohe m.

Dabei heißt m Zeilendimension und n Spaltendimension der Matrix.

Bei einem Eintrag Ai , j bezeichnet der erste Index i die Zeile, derzweite Index j die Spalte.

Eine Matrix mit m = n heißt quadratisch.




Matrizen konnen mit Vektoren multipliziert werden.

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Sei A eine m×n -Matrix und ~u ∈ Kn ein Vektor der Dimension n.Dann ist A · ~u folgender Vektor aus Km:A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

·u1...un

=

A1,1 · u1 + · · ·+ A1,n · un. . .

Am,1 · u1 + · · ·+ Am,n · un

Das heißt, in der i-ten Zeile des Ergebnis-Spaltenvektors steht alsEintrag:

n∑j=1

(Ai , j · uj)




Bemerkung:

Wir verwenden das Summenzeichen Σ als abkurzende Schreibweise:

n∑j=1

aj = a1 + a2 + · · ·+ an




Beispiel: Multiplikation von Matrix und Vektor uber Korper R

Multiplikation einer 2× 3 -Matrix mit einem Vektor derDimension 3:(

3 4 −1−2 2 −3

)·

10,5−2

=

(3 + 2 + 2−2 + 1 + 6

)=

(75

)




Matrix als lineare Abbildung

Jede m × n -Matrix A uber K beschreibt eine lineare AbbildungψA : Kn → Km wie folgt:

ψA(~u) = A · ~u

Durch Nachrechnen stellt man fest, dass tatsachlich dieEigenschaften einer linearen Abbildung erfullt sind.

Insbesondere gilt fur jede Matrix A, Vektoren ~u, ~v und Skalar k :

A · (~u + ~v) = A · ~u + A · ~v A · (k · ~u) = k · (A · ~u)

Außerdem gibt es zu jeder linearen Abbildung ψ : Kn → Km einem × n -Matrix A mit ψ = ψA.




Beispiel: (fortgesetzt auf nachsten beiden Folien)

Wir betrachten folgende 2× 2 -Matrix als lineare Abbildung:

A =

(−1 22 1

)Es gilt:

A ·(

0−1

)=

(−1 22 1

)·(

0−1

)=

(−2−1

), d.h. ψA(

(0−1

)) =

(−2−1

)A ·(

10

)=

(−1 22 1

)·(

10

)=

(−12

), d.h. ψA(

(10

)) =

(−12

)A ·(

21

)=

(−1 22 1

)·(

21

)=

(05

), d.h. ψA(

(21

)) =

(05

)




Grafische Darstellung:

y

x

−2

−1−1−2−3 1 32 4 5 6

1

2

3

5

4

Die roten Punkte/Vektoren werden auf die grunen Punkte/Vektorenabgebildet (Darstellung der Abbildungsvorschrift hier durch Pfeile).




Grafische Darstellung:

−2

1 2 3 4 5 6x

1

2

3

4

5

y

−1−3 −2−1

Lineare Abbildungen in der Ebene bilden Geraden auf Geraden ab(oder manchmal auf nur einen Punkt).




Zwei Matrizen jeweils gleicher Zeilen- und Spaltendimensionenkonnen addiert werden:

Addition von Matrizen

Seien A,B zwei m × n -Matrizen.Dann ist auch C = A + B eine m × n -Matrix.

Die Addition erfolgt komponentenweise, d.h., C ergibt sich wiefolgt:A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

+

B1,1 . . . B1,n

.... . .

...Bm,1 . . . Bm,n

=

C1,1 . . . C1,n

.... . .

...Cm,1 . . . Cm,n

mit Ci , j = Ai , j + Bi , j .




Matrizen als additive Gruppe

Die Menge aller m × n -Matrizen uber einem Korper bildet mit derAddition eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element ist dieNullmatrix N und das additive Inverse zu A wird mit −Abezeichnet:

N =

0 . . . 0...

. . ....

0 . . . 0

−A =

−A1,1 . . . −A1,n

.... . .

...−Am,1 . . . −Am,n




Unter bestimmten Voraussetzungen an die Dimensionen konnenMatrizen auch multipliziert werden:

Multiplikation von Matrizen

Sei A eine m × n -Matrix und B eine n × r -Matrix. Dann istC = A · B eine m × r -Matrix und ergibt sich wie folgt:A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

·B1,1 . . . B1,r

.... . .

...Bn,1 . . . Bn,r

=

C1,1 . . . C1,r

.... . .

...Cm,1 . . . Cm,r

mit

Ci , j =n∑`=1

(Ai , ` · B`, j)

Bemerkung: Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor(schon eingefuhrt) ist ein Spezialfall dieser Matrizenmultiplikation.




Merkregeln: (allgemeiner Fall)

Multipliziere die Zeilen der ersten Matrix (A) mit den Spaltender zweiten Matrix (B).

Um in der Ergebnismatrix C den Eintrag Ci , j zu erhalten,multipliziere die i-te Zeile der ersten Matrix (A)komponentenweise mit der j-ten Spalte der zweitenMatrix (B) und addiere die Multiplikationsergebnisse auf.




Beispiel: Multiplikation von Matrizen uber Korper R

Multiplikation einer 2× 3 -Matrix mit einer 3× 2 -Matrix:

(3 4 −1−2 2 −3

)·

1 00,5 −3−2 −1

=

(3 + 2 + 2 0− 12 + 1−2 + 1 + 6 0− 6 + 3

)=

(7 −115 −3

)




Falk-Schema: (als weitere Merkregel)

Folgendes Schema hilft bei der Matrizenmultiplikation A · B = C .

Die zweite Matrix B wird nach oben verschoben.

In dem Feld rechts von der ersten Matrix A und unterhalb derzweiten Matrix B entsteht dann die neue Matrix C .

Ein Eintrag von C entsteht dadurch, dass die entsprechendeZeile von A und Spalte von B komponentenweise multipliziertund die Multiplikationsergebnisse aufaddiert werden.

(3 4 −1−2 2 −3

)·

1 00,5 −3−2 −1

=

(7 −115 −3

)1 0

0,5 −3−2 −1

3 4 −1 7 −11−2 2 −3 5 −3




Assoziativitat der Matrizenmultiplikation

Matrizenmultiplikation ist assoziativ.D.h., falls A eine m × n -Matrix, B eine n × r -Matrix und C einer × s -Matrix ist, dann gilt:

A · (B · C ) = (A · B) · C

Bemerkung:

Es ist jedoch nicht sinnvoll zu fragen, ob die Menge aller Matrizeneinen Monoid oder gar eine Gruppe bezuglich der Multiplikationbildet. Es lasst sich ja nicht jede Matrix mit jeder Matrixverknupfen, da die Dimensionen ubereinstimmen mussten.

Man kann diese Frage also hochstens jeweils fur die Menge allerquadratischen Matrizen fester Dimension stellen.




Fur festes n gilt:

Eigenschaften der Multiplikation quadratischer Matrizen (I)

Die Menge aller n × n -Matrizen bildet mit derMultiplikationsoperation ein Monoid.

Insbesondere gibt es ein neutrales Element der Multiplikation,die sogenannte Einheitsmatrix En:

En =

1 . . . 0...

. . ....

0 . . . 1

Diese Matrix hat Einsen in der Diagonale von links oben nachrechts unten und besteht ansonsten nur aus Nullen.




Beispiel 1: Multiplikation mit der Einheitsmatrix

E3 ·

−2 3 10,5 7 −31 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

·−2 3 1

0,5 7 −31 1 0

=

−2 + 0 + 0 3 + 0 + 0 1 + 0 + 00 + 0,5 + 0 0 + 7 + 0 0 + (−3) + 00 + 0 + 1 0 + 0 + 1 0 + 0 + 0

=

−2 3 10,5 7 −31 1 0

Fur jede n× n -Matrix A gilt sowohl En ·A = A als auch A ·En = A.




Eigenschaften der Multiplikation quadratischer Matrizen (II)

Nicht jede quadratische Matrix A hat ein multiplikativesInverses A−1. Matrizen, die kein multiplikatives Inverseshaben, heißen singular.Die Nullmatrix N, aber eben nicht nur sie, ist singular.

Matrizenmultiplikation ist außerdem nicht kommutativ.




Beispiel 2: Nicht-Existenz eines multiplikativen Inversen

Die Nullmatrix, aber auch viele andere Matrizen haben keinInverses. Wir betrachten folgende Matrix A:

A =

1 0 00 0 00 0 0

Es gibt keine 3× 3 -Matrix B, so dass A · B die Einheitsmatrix ist:

A · B =

1 0 00 0 00 0 0

·B1,1 B1,2 B1,3

B2,1 B2,3 B2,3

B3,1 B3,2 B3,3

=

B1,1 B1,2 B1,3

0 0 00 0 0

6=1 0 0

0 1 00 0 1

= E3




Beispiel 3: Nicht-Kommutativitat der Matrizenmultiplikation (uber R)

1 2 03 1 20 3 1

·1 −1 0

0 0 00 2 0

=

1 −1 03 1 00 2 0

6=

−2 1 −20 0 06 2 4

=

1 −1 00 0 00 2 0

·1 2 0

3 1 20 3 1




Die Multiplikation von zwei Matrizen entspricht der Verknupfungder dazugehorigen linearen Abbildungen.

Matrizenmultiplikation und Verknupfung linearer Abbildungen

Sei A eine m × n -Matrix uber K und ψA : Kn → Km diedazugehorige lineare Abbildung mit ψA(~u) = A · ~u.Analog sei B eine n × r -Matrix und ψB : K r → Kn diedazugehorige lineare Abbildung mit ψB(~u) = B · ~u.

Dann beschreibt die m × r -Matrix C = A · B eine lineareAbbildung ψC : K r → Km mit

ψC (~u) = C · ~u = (A · B) · ~u = A · (B · ~u) = A · ψB(~u) = ψA(ψB(~u))

und somit gilt ψC = ψA ·B = ψA ◦ψB .

Das beruht im Wesentlichen auf der Assoziativitat derMatrizenmultiplikation.



Erzeugendensysteme und Basen

Wir betrachten nun Konzepte, mit denen man einen Vektorraumaus einigen wenigen Vektoren, sogenannten Basisvektoren,erzeugen kann.

Das hat auch Beziehungen zur Berechnung des multiplikativenInversen einer (nicht-singularen) quadratischen Matrix und zumLosen von Gleichungssystemen.




Erzeugendensystem

Wir betrachten einen n-dimensionalen Vektorraum Kn. Eine MengeS = {~v1, . . . , ~vm} von Vektoren heißt Erzeugendensystem desVektorraums, falls sich jeder Vektor aus Kn als Linearkombinationvon Vektoren aus S darstellen lasst.

D.h., fur jeden Vektor ~u ∈ Kn muss es Skalare k1, . . . , km ∈ Kgeben, so dass:

~u = k1 · ~v1 + · · ·+ km · ~vm




Beispiel 1: Die Menge

S = {(

20

),

(01

),

(11

)} = {~v1, ~v2, ~v3}

ist ein Erzeugendensystem des Vektorraums R2. (hier n = 2, m = 3)

Denn ein Vektor ~u ∈ R2 lasst sich immer folgendermaßendarstellen:

~u =

(u1u2

)=

u12·(

20

)+ u2 ·

(01

)+ 0 ·

(11

)Also als ~u = k1 · ~v1 + k2 · ~v2 + k3 · ~v3 mit ki ∈ K und ~vi ∈ S .




Bemerkung: Die Beziehung

~u = k1 · ~v1 + · · ·+ km · ~vm

kann allgemein auch dargestellt werden als

~u =(~v1 · · · ~vm

)︸︷︷︸V

·

k1...km

wobei V =

(~v1 · · · ~vm

)eine Matrix ist, die aus den

Spaltenvektoren ~v1, . . . , ~vm zusammengesetzt wird.

Beobachtung: Eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor er-gibt eine Linearkombination der Spalten der Matrix.




Beobachtung:

Die Menge S in Beispiel 1 enthalt uberflussige Elemente:mindestens ein Vektor ist redundant. Beispielsweise kann der dritteVektor als Linearkombination der beiden ersten dargestellt werden,und folglich kann jede Linearkombination aller drei Vektoren auchals Linearkombination nur jener beiden dargestellt werden.

Dadurch motivierte Definition:

Linear unabhangige Menge von Vektoren

Eine Menge S = {~v1, . . . , ~vm} von Vektoren heißt linearunabhangig, falls sich kein Vektor aus S als Linearkombination deranderen Vektoren aus S darstellen lasst (mit Skalaren aus dem zuGrunde liegenden Korper, inklusive 0).




Beispiel 2: Die Menge

S = {

100

,

010

}von Vektoren aus dem R3 ist linear unabhangig.

(Sie ist jedoch kein Erzeugendensystem.)




Alternative Definition fur”linear unabhangig“:

Eine Menge S = {~v1, . . . , ~vm} von Vektoren heißt linearunabhangig, wenn es keine k1, . . . , km ∈ K mit

k1 · ~v1 + · · ·+ km · ~vm = ~0

gibt außer k1 = · · · = km = 0.

Das heißt, man kann den Nullvektor nur auf eine Weise alsLinearkombination von linear unabhangigen Vektoren darstellen:namlich indem man alle Skalare mit der 0 des Korpers belegt.




Beispiel 1 (nochmal aufgegriffen):

Das Erzeugendensystem

S = {(

20

),

(01

),

(11

)} = {~v1, ~v2, ~v3}

des R2 ist nicht linear unabhangig, denn zum Beispiel gilt:

1 ·(

20

)+ 2 ·

(01

)+ (−2) ·

(11

)= ~0

Also gibt es hier k1, k2, k3 ∈ K mit k1 · ~v1 + k2 · ~v2 + k3 · ~v3 = ~0,obwohl nicht k1 = k2 = k3 = 0.

(Es gibt jedoch linear unabhangige Erzeugendensysteme des R2.)




Von besonderem Interesse sind Mengen von Vektoren, die beideEigenschaften erfullen:

Basis

Eine Menge B = {~b1, . . . , ~bm} von Vektoren heißt Basis, falls siegleichzeitig ein Erzeugendensystem und linear unabhangig ist.




Beispiel 3: Die Mengen

B1 = {

100

,

010

,

001

}und

B2 = {

200

,

030

,

−201

}sind verschiedene Basen des R3.

Fur B1 (mit den sogenannten Einheitsvektoren) ist dies relativoffensichtlich. Aus den Elementen von B2 kann man einfach dieElemente von B1 ”

bauen“ und außerdem sind auch die dreiVektoren in B2 linear unabhangig.




Beispiel 3 (fortgesetzt): Die Menge

B3 = {

100

,

021

,

−221

}dagegen ist keine Basis des R3, denn ihre Vektoren sind nichtlinear unabhangig. Insbesondere kann man den dritten Vektordurch Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen:−2

21

= (−2) ·

100

+ 1 ·

021




Einheitsvektoren

Wir betrachten weiter einen n-dimensionalen Vektorraum Kn.Fur i ∈ {1, . . . , n} ist der i-te Einheitsvektor ~ei derjenige Vektor,der an der i-ten Stelle eine Eins hat und ansonsten nur aus Nullenbesteht:

~e1 =

10...0

. . . ~en =

0...01

Dabei sind 1 und 0 naturlich die entsprechenden Elemente aus demzu Grunde liegenden Korper.




Bemerkungen:

Die Einheitsvektoren bilden immer eine Basis des Kn. Furjeden Vektor ~u gilt ja:

~u =

u1...un

= u1 · ~e1 + · · ·+ un · ~en

und außerdem sind die Einheitsvektoren immer linearunabhangig.

Wenn B eine Basis des Kn ist, dann gibt es fur jeden Vektordes Kn genau eine Moglichkeit, diesen als Linearkombinationvon Vektoren aus B darzustellen.





Ein Erzeugendensystem des Kn besteht immer aus mindestensn Vektoren. Eine Menge, die weniger als n Vektoren enthalt,kann also kein Erzeugendensystem sein.

Eine linear unabhangige Menge im Kn besteht immer aushochstens n Vektoren. Eine Menge, die mehr als n Vektorenenthalt, ist also immer linear abhangig.

Eine Basis des Kn besteht immer aus genau n Vektoren.

Ein Erzeugendensystem des Kn mit n Vektoren ist immer eineBasis.

Eine linear unabhangige Menge im Kn mit n Vektoren istauch immer eine Basis.




Aus den letzten drei Bemerkungen ergeben sich zwei Verfahren,um festzustellen, ob eine Menge B ⊆ Kn von Vektoren eine Basisdes Kn ist oder nicht:

Man uberpruft, ob B genau n Vektoren enthalt und ob dieseVektoren ein Erzeugendensystem sind.

Oder: Man uberpruft, ob B genau n Vektoren enthalt und obdiese Vektoren linear unabhangig sind.




Wir konnen nun die Frage beantworten, wann eine quadratischeMatrix A invertierbar ist.

Angenommen die n×n -Matrix A ist invertierbar, d.h., es gibt einmultiplikatives Inverses A−1 mit A · A−1 = En.

Wir betrachten A−1 als aufgebaut aus einzelnen Spaltenvektoren~a1, . . . , ~an, d.h. A−1 =

(~a1 · · · ~an

).

Dann gilt:

A · A−1 = A ·(~a1 · · · ~an

)=(A · ~a1 · · · A · ~an

)=(~e1 · · · ~en

)Es gilt also A · ~ai = ~ei fur alle i ∈ {1, . . . , n}.

Das bedeutet (siehe fruhere Beobachtung ), dass man aus den Spaltenvon A durch Linearkombination jeden Einheitsvektor (und damitauch jeden anderen Vektor) erhalten kann.




Die Menge der Spaltenvektoren von A ist damit einErzeugendensystem und – da sie aus genau n Vektoren besteht –auch eine Basis.

Umgekehrt gilt auch, dass es zu einer Matrix, derenSpaltenvektoren eine Basis bilden, Vektoren ~a1, . . . , ~an gibt, die dieobigen Eigenschaften haben und aus denen man somit eine inverseMatrix konstruieren kann. (Wie man diese Vektoren berechnenkann, besprechen wir spater.)




Zusammenfassend gilt also:

Invertierbare Matrizen und Basen

Eine n × n -Matrix A uber einem Korper K ist invertierbar genaudann, wenn die Spalten von A eine Basis des Kn bilden.

Man sagt dann auch, die Matrix hat den vollen Rang.

Hinweis: Mit A · A−1 = En gilt auch A−1 · A = En (obwohl Matrizen-multiplikation allgemein nicht kommutativ ist).



Gaußsches Eliminationsverfahren

Wir betrachten nun ein Verfahren zum Losen vonGleichungssystemen (gesucht sind die xi ) der folgenden Form:

A1,1 · x1 + · · ·+ A1,n · xn = b1...

Am,1 · x1 + · · ·+ Am,n · xn = bm

Dies kann geschrieben werden alsA1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

·x1...xn

=

b1...bm

also A · ~x = ~b fur eine m × n -Matrix A, einen m-dimensionalenVektor ~b und einen (gesuchten) n-dimensionalen Vektor ~x .




Gegeben seien eine m × n -Matrix A und ein m-dimensionalerVektor ~b. Gesucht ist ein n-dimensionaler Vektor ~x , der folgendeGleichung erfullt:

A · ~x = ~b

Wenn A quadratisch (m = n) und zudem noch invertierbar ist,dann kann man zeigen, dass es genau eine Losung ~x gibt:

Man multipliziert die obige Gleichung auf beiden Seiten mit A−1:

A−1 · A · ~x = A−1 · ~b

und daraus folgt wegen A−1 · A · ~x = En · ~x = ~x , dass ~x = A−1 · ~b.




Aber es bleiben viele offene Fragen:

Wie berechnet man den Vektor ~x konkret?(Wir haben ja noch kein Verfahren, um das multiplikativeInverse einer Matrix zu bestimmen.)

Was passiert, wenn die Matrix A nicht quadratisch oder nichtinvertierbar ist?

Kann eine solche Gleichung mehrere Losungen haben?

Kann eine solche Gleichung gar keine Losung haben?




In den folgenden Beispielen arbeiten wir im Korper (R,+, ·).

Beispiel 1: Gleichungssystem mit einer Losung

3 · x1 + 4 · x2 = 2

x1 − 3 · x2 = 5

Man kann dieses Gleichungssystem durch”geschicktes Einsetzen“

losen: zweite Gleichung wird umgeformt zu x1 = 5 + 3 · x2,Einsetzen in die erste Gleichung ergibt

3 · (5 + 3 · x2) + 4 · x2 = 15 + 13 · x2 = 2

und daraus folgt x2 = −1. Daher: x1 = 5 + 3 · x2 = 5 + 3 · (−1) = 2.

Die (einzige) Losung ist somit x1 = 2, x2 = −1.




Fur dieses Beispiel gilt:

A =

(3 41 −3

)~b =

(25

)und A hat das multiplikative Inverse

A−1 =

(313

413

113 − 3

13

)(Wir werden noch sehen, wie man solche Inverse tatsachlichberechnen kann.)

Test:

~x = A−1 · ~b =

(313

413

113 − 3

13

)·(

25

)=

(2613

−1313

)=

(2−1

)Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 245



Beispiel 2: Gleichungssystem ohne Losung

x1 + 2 · x2 = 3

−2 · x1 − 4 · x2 = 1

Man sieht, dass man −2 · x1 − 4 · x2 erhalt, indem man x1 + 2 · x2mit −2 multipliziert. Also musste auch das Ergebnis rechts unten(= 1) ein entsprechendes Vielfaches des Ergebnisses rechts oben(= 3) sein. Das ist aber nicht der Fall, daher hat dasGleichungssystem keine Losung.

Hier sieht man, dass die Matrix

A =

(1 2−2 −4

)aus linear abhangigen Spaltenvektoren besteht und somit nicht denvollen Rang hat. Sie ist also nicht invertierbar.




Beispiel 3: Gleichungssystem mit mehreren Losungen

x1 + 2 · x2 = 3

−2 · x1 − 4 · x2 = −6

Die untere Gleichung ist ein Vielfaches der oberen Gleichung(Faktor −2). Also ist die untere Gleichung redundant und wirmussen einfach alle Losungen der oberen Gleichung bestimmen.Es gilt x1 = 3− 2 · x2, also hat jede Losung ~x die Form:

~x =

(x1x2

)=

(3− 2 · x2

x2

)=

(30

)+ x2 ·

(−21

)Dabei kann x2 ∈ R beliebig gewahlt werden und wir habenunendlich viele Losungen.

Wie in Beispiel 2 ist die Matrix nicht invertierbar.




Wir betrachten nun ein allgemeines Verfahren, um solcheGleichungssysteme zu losen: das Gaußsche Eliminationsverfahren.

Dabei schreiben wir immer A und ~b kompakt wie folgt auf:

A1,1 . . . A1,n b1...

. . ....

...Am,1 . . . Am,n bm




Das Gaußsche Eliminationsverfahren basiert auf folgendenBeobachtungen:

Wenn man zwei Zeilen vertauscht, so andert sich dadurch dieLosungsmenge nicht.

Wenn man eine Zeile mit einem Wert ungleich 0 multipliziert,so andert sich dadurch die Losungsmenge nicht.

Wenn man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeileaddiert (oder von einer anderen Zeile

”subtrahiert“), so andert

sich dadurch die Losungsmenge nicht.

Wenn man zwei Spalten i , j vertauscht, so andert sichdadurch nur die Reihenfolge der Variablen (Wert von xi wirdmit Wert von xj vertauscht). Das kann man sich merken undam Ende wieder in Ordnung bringen.




Ziel:

Wir bringen das Gleichungssystem durch die oben beschriebenenUmformungen auf folgende Form (mit k ≤ n und k ≤ m):

A1,1 A1,2 . . . A1,k . . . A1,n b10 A2,2 . . . A2,k . . . A2,n b2...

. . .. . .

.... . .

......

0 . . . 0 Ak,k . . . Ak,n bk0 . . . 0 bk+1...

. . ....

...0 . . . 0 bm

wobei A1,1 = 1,A2,2 = 1, . . . ,Ak,k = 1




Bemerkung:

Es handelt sich dabei links des vertikalen Strichs um eine Matrixmit Einsen auf der (nicht notwendigerweise ganz durchgehenden)Diagonale, bei der unterhalb der Diagonale nur Nullen stehen.

Außerdem kommen dort eventuell (fur k < m) ab der (k + 1)-stenZeile uberhaupt nur noch Nullen vor. Dieser Block von Nullen kannaber auch vollkommen fehlen (namlich wenn k = m).

Aus obiger Form kann man dann relativ einfach alle Losungenablesen.




Einige Beispiele fur die gewunschte Form:

1 2 3 1 −40 1 2 5 60 0 1 8 30 0 0 1 2

1 −2 3 4 6 90 1 −7 −3 −1 110 0 1 0 −5 10 0 0 0 0 0

1 −1 3 −1 20 1 −2 7 20 0 1 0 −5

0 0 00 0 3

1 4 8 1 00 1 0 3 −30 0 1 5 00 0 0 0 60 0 0 0 0

1 3 0 50 1 2 60 0 1 20 0 0 00 0 0 0




Bei einer m × n -Matrix A lauft das GaußscheEliminationsverfahren in hochstens n Schritten ab. In jedem Schrittwird eine weitere Spalte in die gewunschte Form gebracht.

Gaußsches Eliminationsverfahren (i-ter Schritt)

Angenommen die Spalten 1, . . . , i − 1 sind schon in dergewunschten Form. Dann sieht die Matrix folgendermaßen aus:

1 A1,2 . . . A1,i . . . A1,n b10 1 . . . A2,i . . . A2,n b2...

. . .. . .

.... . .

......

0 . . . 0 Ai ,i . . . Ai ,n bi0 . . . 0 Ai+1,i . . . Ai+1,n bi+1...

. . ....

.... . .

......

0 . . . 0 Am,i . . . Am,n bm




Wir betrachten nun Ai ,i , das sogenannte Pivotelement.

Pivotelement Ai ,i 6= 0

In diesem Fall hat Ai ,i ein multiplikatives Inverses A−1i ,i .(Wir arbeiten ja in einem Korper!)

Wir multiplizieren die i-te Zeile mit A−1i ,i , wodurch dasPivotelement dann den Wert 1 hat, wir also diese Situation haben:

1 A1,2 . . . A1,i . . . A1,n b10 1 . . . A2,i . . . A2,n b2...

. . .. . .

.... . .

......

0 . . . 0 1 . . . A′i ,n b′i0 . . . 0 Ai+1,i . . . Ai+1,n bi+1...

. . ....

.... . .

......

0 . . . 0 Am,i . . . Am,n bm




Pivotelement Ai ,i 6= 0 (Fortsetzung)

Wir behandeln dann jede Zeile j unterhalb (also j > i) wie folgt:Wir multiplizieren die neue i-te Zeile mit Aj ,i und ziehen sie vonder j-ten Zeile ab.

Dadurch ergibt sich jeweils folgende neue j-te Zeile:

0 . . . 0 (Aj ,i−Aj ,i ·1) . . . (Aj ,n−Aj ,i ·A′i ,n) | (bj−Aj ,i ·b′i )

wobei immer Aj ,i − Aj ,i · 1 = 0 gilt.

Damit ist die i-te Spalte jetzt in der richtigen Form und wirkonnen mit dem (i + 1)-ten Schritt fortfahren, oder sind bereitsfertig (falls i bereits gleich n).




Falls das Pivotelement Ai ,i den Wert 0 hat, so hat es keinmultiplikatives Inverses und wir konnen das vorherige Vorgehennicht anwenden. Wir unterscheiden zwei Falle:

Pivotelement Ai ,i = 0, Fall 1

Angenommen es gibt ein Element Aj ,i unterhalb von Ai ,i (alsoj > i) mit Aj ,i 6= 0.

Dann vertauschen wir die i-te und die j-te Zeile und fangen danachmit dem i-ten Schritt wieder von vorne an.

(Achtung: Die Elemente bi , bj in der ganz rechten Spalte mussenmit getauscht werden.)




Pivotelement Ai ,i = 0, Fall 2

Angenommen es gibt kein Element Aj ,i unterhalb von Ai ,i mitAj ,i 6= 0. D.h., alle Elemente in dieser Spalte, angefangen mit Ai ,i ,sind gleich Null.

Dann betrachten wir dieses Rechteck rechts unten in der Matrix:

0 Ai ,i+1 . . . Ai ,n bi0 Ai+1,i+1 . . . Ai+1,n bi+1...

.... . .

......

0 Am,i+1 . . . Am,n bm

Falls alle Elemente Aj ,` mit j ≥ i und ` > i gleich Null sind, dannsind wir fertig (d.h., das Verfahren insgesamt halt an).




Pivotelement Ai ,i = 0, Fall 2 (Fortsetzung)

Ansonsten wahlen wir eine Spalte `, in der es einen Wert Aj ,` 6= 0gibt (mit j ≥ i und ` > i) und vertauschen die i-te und die `-teSpalte. Danach beginnen wir mit dem i-ten Schritt wieder vonvorne.

Die Vertauschung muss gemerkt und spater wieder ruckgangiggemacht werden!

Achtung:

Ein Tausch mit der ~b -Spalte ist nicht erlaubt!

Und beim Tauschen mussen wir auch die Zeilen oberhalb deri-ten Zeile erfassen!




Nachdem das Verfahren beendet ist, haben wir die Zielform erreicht( Umgeformtes Gleichungssystem ) und konnen die Losungsmenge bestimmen.

1. Moglichkeit: keine Losung

Wir betrachten zunachst den unteren nur aus Nullen bestehendenA-Block (falls existent).

Falls eines der zugehorigen Elemente bk+1, . . . , bm ungleich Nullist, so hat das Gleichungssystem keine Losung.




Umgeformtes Gleichungssystem

2. Moglichkeit: Losungen bestimmen

Ansonsten betrachten wir den oberen Block mitA1,1 = 1,A2,2 = 1, . . . ,Ak,k = 1

A1,1 A1,2 . . . A1,k . . . A1,n b10 A2,2 . . . A2,k . . . A2,n b2...

. . .. . .

.... . .

......

0 . . . 0 Ak,k . . . Ak,n bk

und behandeln die Zeilen von unten nach oben wie im Folgendenbeschrieben.




2. Moglichkeit: Losungen bestimmen (Fortsetzung)

Die jeweils j-te Zeile (k ≥ j ≥ 1) entspricht ja im Prinzip(abgesehen von eventuell durchgefuhrten Spaltentauschen)folgender Gleichung:

xj + Aj , j+1 · xj+1 + · · ·+ Aj ,n · xn = bj

Es gilt also:

xj = bj − Aj , j+1 · xj+1 − · · · − Aj ,n · xn

Dabei setzen wir fur xj+1, . . . , xn moglicherweise bereits berechneteWerte bzw. Ausdrucke ein.

Zuletzt machen wir noch gemerkte Spaltentausche ruckgangig.




2. Moglichkeit: Losungen bestimmen (Fortsetzung)

Insgesamt erhalten wir die Losungen fur x1, . . . , xn, wobeigegebenenfalls Variablen xj in der Darstellung ubrigbleiben.Diese bleiben stehen und reprasentieren beliebige Korperelemente.Dies passiert immer dann, wenn der obere A-Block nichtquadratisch ist (also wenn n > k) und die Diagonale daher nichtganz durchgeht.

Insgesamt erhalt man eine Menge von Losungsvektoren ~x , dieallgemein wie folgt dargestellt werden konnen:

~x ∈ {~u + xj1 · ~v1 + · · ·+ xjr · ~vr | xjk ∈ K}




Bemerkungen:

Beim Zeilen- bzw. Spaltentausch hat man oft mehrereMoglichkeiten. Dann kann man sich ein gunstiges Pivotelementaussuchen.

Ein Pivotelement ist gunstig, wenn es ein einfach zu handhabendesmultiplikatives Inverses hat. Am besten ist naturlich die Eins alsPivotelement.




Beispiel 4:

Wir losen folgendes Gleichungssystem in R:

+3 · x3 +x4 = 33 · x1 +4 · x2 −2 · x3 +3 · x4 = 46 · x1 +8 · x2 +x3 −x4 = −13

In Matrixschreibweise:

0 0 3 13 4 −2 36 8 1 −1

·x1x2x3x4

=

34−13




Anfangssituation:

0 0 3 1 33 4 −2 3 46 8 1 −1 −13

1. Schritt (a): Zeile 1 und Zeile 2 vertauschen, um Pivotelementungleich Null zu erhalten.

3 4 −2 3 40 0 3 1 36 8 1 −1 −13




1. Schritt (b): Zeile 1 mit 13 multiplizieren, um Pivotelement zu

Eins zu machen.1 4

3 −23 1 4

3

0 0 3 1 36 8 1 −1 −13

1. Schritt (c): Rechne”(Zeile 2) − 0 · (Zeile 1)“ und

”(Zeile 3) − 6 · (Zeile 1)“.

1 43 −2

3 1 43

0 0 3 1 30 0 5 −7 −21




2. Schritt (a): Spalte 2 und Spalte 4 vertauschen, um Pivotelementungleich Null zu erhalten. (Spaltenvertauschung merken!)

1 1 −23

43

43

0 1 3 0 30 −7 5 0 −21

Das Pivotelement ist nun bereits Eins.

2. Schritt (b): Rechne”(Zeile 3) − (−7) · (Zeile 2)“.

1 1 −23

43

43

0 1 3 0 30 0 26 0 0




3. Schritt (a): Zeile 3 mit 126 multiplizieren, um Pivotelement zu

Eins zu machen.1 1 −2

343

43

0 1 3 0 30 0 1 0 0

Damit ist das Gleichungssystem in der gewunschten Form.

Existenz der Losung: Es gibt keinen unteren nur aus Nullenbestehenden A-Block, daher existiert mindestens eine Losung.




Bestimmung der Losung:

An Hand des”oberen Blocks“:

1 1 −23

43

43

0 1 3 0 30 0 1 0 0

Zeile 3: x3 = 0− 0 · x4 = 0

Zeile 2: x2 = 3− 3 · x3 − 0 · x4 = 3

Zeile 1: x1 = 43 − 1 · x2 − (−2

3) · x3 − 43 · x4 = −5

3 −43 · x4

Vertauschungen ruckgangig machen:

Wir mussen noch x2 und x4 zurucktauschen, somit ergibt sich:

x1 = −5

3− 4

3· x2 , x2 beliebig , x3 = 0 , x4 = 3




Vektorschreibweise:

~x =

x1x2x3x4

=

−5

3 −43 · x2

x203

=

−5

3003

+ x2 ·

−4

3100

Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Losungen, je einefur jede Belegung von x2 mit einer reellen Zahl.




Beispiel 2 (noch einmal):

x1 + 2 · x2 = 3

−2 · x1 − 4 · x2 = 1

Anfangssituation:

1 2 3−2 −4 1




1. Schritt: Das Pivotelement ist bereits Eins. Rechne

”(Zeile 2) − (−2) · (Zeile 1)“.

1 2 30 0 7

2. Schritt: Fallt sehr kurz aus, wegen des”Null-Blocks“.

Existenz der Losung?Zum unteren nur aus Nullen bestehenden A-Block gehort einb-Element ungleich Null. Daher existiert keine Losung.



Multiplikatives Inverses einer Matrix

Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens kann man nun dasmultiplikative Inverse einer quadratischen Matrix bestimmen(sofern es existiert).

Gegeben sei:

A =

A1,1 . . . A1,n

.... . .

...An,1 . . . An,n

Man stellt sich vor, dass das multiplikative Inverse A−1 ausSpaltenvektoren ~a1, . . . , ~an zusammengesetzt ist und schreibtA−1 =

(~a1 · · · ~an

).

(Siehe auch den Abschnitt uber Erzeugendensysteme und BasenInvertierbare Matrizen und Basen .)




Damit A−1 das Inverse von A ist, muss gelten:

A · A−1 = A ·(~a1 · · · ~an

)=(A · ~a1 · · · A · ~an

)= En =

1 . . . 0...

. . ....

0 . . . 1

=(~e1 · · · ~en

)

Also gilt fur jedes i ∈ {1, . . . , n}: A · ~ai = ~ei

Dabei ist ~ei der i-te Einheitsvektor.

Man musste also n Gleichungssysteme mit jeweils n Gleichungenlosen. Existieren fur alle Gleichungssysteme Losungen, so erhaltman die Inverse A−1. Anderenfalls gibt es keine Inverse.




Beispiel: Wir bestimmen das multiplikative Inverse folgenderMatrix in R.

A =

(3 41 −3

)

Wir setzen zunachst ~a1 =

(x1x2

)und losen das Gleichungssystem

A · ~a1 = ~e1:

3 · x1 + 4 · x2 = 1

x1 − 3 · x2 = 0

Das ergibt die Losungen x1 = 313 und x2 = 1

13 .




Wir setzen nun ~a2 =

(y1y2

)und losen das Gleichungssystem

A · ~a2 = ~e2:

3 · y1 + 4 · y2 = 0

y1 − 3 · y2 = 1

Das ergibt die Losungen y1 = 413 und y2 = − 3

13 .

Insgesamt erhalt man folgende Matrix A−1:

A−1 =(~a1 ~a2

)=

(x1 y1x2 y2

)=

(313

413

113 − 3

13

)




Gauß-Jordan-Verfahren:

Es gibt eine effizientere Methode, um das Inverse einerquadratischen Matrix zu bestimmen. Man kann insbesondere alle nGleichungssysteme

”gleichzeitig“ losen.

Dafur schreibt man die zu invertierende Matrix und dieEinheitsmatrix wie folgt nebeneinander:

3 4 1 01 −3 0 1

Dann formt man die linke Matrix durch

Zeilentausch (nicht Spaltentausch!),

indem man Zeilen mit einem Wert ungleich 0 multipliziert, und

indem man Vielfache von Zeilen zu anderen Zeilen addiert,

zur Einheitsmatrix um.

Die Matrix, die dabei rechts entsteht, ist dann die Inverse.Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 277



Gauß-Jordan-Verfahren:

Sollte es wahrend Durchfuhrung dieses Verfahrens passieren, dassin einem i-ten Schritt (mit i ≤ n) alle Aj ,i mit j ≥ i den Wert 0haben, dann ist die ursprunglich gegebene Matrix nicht invertierbar.

Außerdem ist zu beachten: Nachdem man die”normalen“ n

Gauß-Schritte durchgefuhrt hat, und die Situation dann so ist:

1 A1,2 . . . A1,n B1,1 . . . B1,n

0 1 . . . A2,n B2,1 . . . B2,n

.... . .

. . ....

.... . .

...0 . . . 0 1 Bn,1 . . . Bn,n

sind weitere maximal n − 1 Schritte notig (von unten nach oben,nur noch Additionen von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen),um links wirklich eine Einheitsmatrix herzustellen.




Beispiel fur Gauß-Jordan-Verfahren:

Ausgangssituation:

1 2 3 1 0 00 1 5 0 1 05 6 0 0 0 1

1. Schritt: Pivotelement ist bereits 1. Rechne”(Zeile 3) − 5 · (Zeile 1)“.

1 2 3 1 0 00 1 5 0 1 00 −4 −15 −5 0 1

2. Schritt: Pivotelement ist bereits 1. Rechne”(Zeile 3) + 4 · (Zeile 2)“.

1 2 3 1 0 00 1 5 0 1 00 0 5 −5 4 1




3. Schritt: Zeile 3 mit 15 multiplizieren, um Pivotelement zu 1 zu

machen.1 2 3 1 0 00 1 5 0 1 00 0 1 −1 4

515

4. Schritt: Rechne”(Zeile 2) − 5 · (Zeile 3)“ und

”(Zeile 1) − 3 ·

(Zeile 3)“.1 2 0 4 −12

5 −35

0 1 0 5 −3 −10 0 1 −1 4

515

5. Schritt: Rechne”(Zeile 1) − 2 · (Zeile 2)“.

1 0 0 −6 185

75

0 1 0 5 −3 −10 0 1 −1 4

515



Kombinatorik: Einfuhrung

Es folgt eine Einfuhrung in die abzahlende Kombinatorik.

Dabei geht es darum, die Elemente einer endlichen Menge zuzahlen. Die Große der Menge ist aber nicht fest (sonst ware dasja einfach!), sondern abhangig von bestimmten Parametern (oftnaturliche Zahlen).

Typischerweise ist die durchzuzahlende Menge gebildet perAuswahl / Anordnung / Kombination von Objekten einer zuGrunde liegenden Menge oder Struktur.

Anwendungsbeispiele:

Anzahl der Zustande bzw. Anzahl der Ablaufe in einemSystem zahlen. (wichtig fur Systeme der Informatik, in denendiese Anzahlen sehr groß werden konnen)

Wahrscheinlichkeiten fur das Eintreten eines Ereignissesberechnen. (wichtig fur Statistik)



Ziehen aus Urnen

Viele Zahlprobleme lassen sich mit Hilfe der Metapher des Ziehensaus Urnen erfassen:

Angenommen, wir haben eine Urne (einen großen Behalter), in dern durchnummerierte (und daher unterscheidbare) Kugeln liegen.

2

. . .

. . .1

n

Aus dieser Urne werden k Kugeln gezogen.

Die Frage ist: Wie viele verschiedene Moglichkeiten gibt es dafur?

Die Antwort ist: Das kommt drauf an . . .



Ziehen aus Urnen

Die Antwort ist: Das kommt drauf an . . .

Es hangt insbesondere davon ab, wie die Regeln festgelegt werden:

1 Werden die Kugeln nach dem Ziehen wieder in die Urnegelegt?(also: mit oder ohne Zurucklegen)

2 Wird die Reihenfolge des Ziehens gewertet?(also: mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge)

Beispiel: Ist die Sequenz 1, 5, 7 gleichbedeutend mit 7, 1, 5 ?



Ziehen aus Urnen

Beispiel 1: Lottoziehung (6 aus 49)

Bei der Ziehung der Lottozahlen werden die Kugeln nichtzuruckgelegt und die Reihenfolge nicht beachtet.Jede Zahl kann nur einmal gezogen werden, und es ist egal, ob einebestimmte Zahl vor oder nach einer anderen Zahl gezogen wird.

Die Parameter sind n = 49 und k = 6.

Beispiel 2: Wurfeln mit drei identischen Wurfeln (drei mal W6)

Das kann man als das Ziehen von k = 3 Kugeln aus einer Urne mitn = 6 Kugeln interpretieren. Hierbei werden die Kugeln zwarzuruckgelegt, aber (wie oben) die Reihenfolge nicht beachtet.

Beim Ziehen mit Zurucklegen kann eine Zahl mehrfach auftreten,und dieses mehrfache Auftreten spielt im Unterschied zu Mengeneine Rolle. Das Wurfelergebnis 3, 3, 6 etwa ist verschieden von3, 6, 6 (aber 3, 3, 6 ist nicht verschieden von 3, 6, 3).



Ziehen aus Urnen (mit Zurucklegen, mit Reihenfolge)

Wir beginnen mit folgendem Fall:

Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln,

mit Zurucklegen (daher konnte durchaus k > n sein) und

mit Beachtung der Reihenfolge.

Angenommen, die Urne enthalt n = 3 Kugeln: 31 2

Dann gibt es folgende neun Moglichkeiten, k = 2 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

1

1

1 1

3

2 1 3 1

2 3

2 2

3 3

3 22




Diese neun Moglichkeiten kann man auch als Entscheidungsbaumdarstellen:

1 2 3

2

3

2

311

2

31

Drei Entscheidungsmoglichkeiten auf der ersten Ebene, ergibtdreimal drei Entscheidungsmoglichkeiten auf der zweiten Ebene.

Damit hat man schließlich 3 · 3 = 32 = 9 Moglichkeiten.




Im allgemeinen Fall:

... ......

...

...

... ... ...

1 2 n

2

1 n

2

1 n

2

1 n

Auf der ersten Ebene: n EntscheidungsmoglichkeitenAuf der zweiten Ebene: n · n Moglichkeiten· · ·Auf der k-ten Ebene: n · n · . . . · n︸︷︷︸

k-fach

= nk Moglichkeiten




Ziehen mit Zurucklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne mit Zurucklegen und mit Beachtungder Reihenfolge ergeben sich

nk Moglichkeiten,

falls sich n verschiedene Kugeln in der Urne befinden und k Kugelngezogen werden.

Bemerkung: Die Formel ergibt sinnvolle Aussagen auch fur

”Sonderfalle“ wie n ∈ {0, 1} oder k ∈ {0, 1}.




Anwendungen:

Gegeben seien zwei endliche Mengen A und B.Wie viele Funktionen von A nach B gibt es?

Beispiel:

Sei A eine Menge von Personen und B eine Menge von Raumen.Wie viele Moglichkeiten gibt es, jeder Person einen Raumzuzuordnen? (Dabei mussen nicht notwendigerweise alle Raumeverwendet werden, und mehreren Personen kann der gleiche Raumzugeteilt werden.)




Wie viele Funktionen von A nach B gibt es? (Fortsetzung)

Wir nehmen an, dass A = {a1, . . . , ak} mit k = |A|, und n = |B|.Wir konnen B als Urne betrachten, aus der nacheinander kElemente gezogen werden (mit Zurucklegen; und mit Beachtungder Reihenfolge, damit wir spater noch wissen, welches Elementaus B zum i-ten Element aus A gehort).

D.h., zunachst wird ein Element aus B gezogen, das a1 zugeordnetwird, dann wird ein weiteres Element gezogen, das a2 zugeordnetwird, etc.

Insgesamt erhalt man nk Moglichkeiten. Jede entspricht genaueiner Funktion von A nach B. Also gibt es nk solche Funktionen.




Bemerkung: Beim Zahlen von Moglichkeiten erhalt man leicht sehrgroße Zahlen (sogenannte Zustandsexplosion).

Beispiel: Eine Bedienoberflache enthalt 10 Elemente (Widgets, wiebeispielsweise Radio Buttons, Drop-down Lists, . . . ), von denensich jedes in 5 verschiedenen Zustanden befinden kann, dieunabhangig voneinander einstellbar sind.

In wie vielen Zustanden kann sich die Oberflache insgesamtbefinden?

Antwort: Ziehen von 10 Kugeln aus einer Urne mit 5 Kugeln (mitZurucklegen, mit Beachtung der Reihenfolge).

Insgesamt erhalt man 510 = 9 765 625 Moglichkeiten.

Es ist sehr schwierig, diese fast 10 Millionen Zustande alledurchzuprobieren, um festzustellen, ob sich die unter derBenutzeroberflache liegende Software immer korrekt verhalt.



Ziehen aus Urnen (ohne Zurucklegen, mit Reihenfolge)

Wir betrachten nun folgenden Fall:


ohne Zurucklegen und

mit Beachtung der Reihenfolge.

Dieser Fall macht nur Sinn falls k ≤ n.


Dann gibt es folgende sechs Moglichkeiten, k = 3 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

2

2

1

1

1

3 3

2 3

3

3

1

3 1 2

2 12




Diese kann man wieder als Entscheidungsbaum darstellen:

1 2 3

32 1 1 2

3 2 1 23 1

3

3 Entscheidungsmoglichkeiten auf der ersten Ebene,3 · 2 Moglichkeiten auf der zweiten Ebene und3 · 2 · 1 Moglichkeiten auf der dritten Ebene.

Damit hat man schließlich 3 · 2 · 1 = 6 Moglichkeiten.Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 293



Im Fall allgemeines n, aber zunachst noch k = n:

...

......

...

...

...

...

...

...

...

1 2

n

2

1 n

n

1 n

2

12

3

3

3

3

Auf der ersten Ebene: n EntscheidungsmoglichkeitenAuf der zweiten Ebene: n · (n − 1) Moglichkeiten· · ·Auf der n-ten Ebene: n · (n − 1) · . . . · 1 = n! Moglichkeiten




Definition: Fakultatsfunktion

Die Funktion, die n ∈ N0 auf n · (n− 1) · . . . · 2 · 1 abbildet, wird alsFakultatsfunktion bezeichnet. Man schreibt:

n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!

Fur n = 0 wird 0! = 1 festgelegt.

Wertetabelle:

n n! n n!

0 1 5 1201 1 6 7202 2 7 5 0403 6 8 40 3204 24 9 362 880




Im allgemeinen Fall (k ≤ n) hat man beim letzten Ziehen nochn − k + 1 Kugeln ubrig:

...

......

...

...

...

...

...

...

...

1 2

n

2

1 n

n

1 n

2

12

3

3

3

3

Auf der ersten Ebene: n Entscheidungsmoglichkeiten· · ·Auf der k-ten Ebene: n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) Moglichkeiten




Beispiel:

Es sind n = 3 Kugeln in der Urne, von denen k = 2 gezogenwerden.

1 2 3

32 1 1 23

Im letzten Schritt stehen n − k + 1 = 2 Kugeln zur Auswahl.




Definition: n hoch k fallend

Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Ausdruck

nk = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)

wird”n hoch k fallend“ genannt.

Fur den Fall k = 0 setzt man n0 = 1.

Es gilt:

n!

(n − k)!=

n · . . . · (n − k + 1) · (n − k) · . . . · 1(n − k) · . . . · 1

= n · . . . · (n − k + 1)

= nk




Ziehen ohne Zurucklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne ohne Zurucklegen und mitBeachtung der Reihenfolge ergeben sich

nk =n!

(n − k)!Moglichkeiten,

falls sich n verschiedene Kugeln in der Urne befinden und k ≤ nKugeln gezogen werden.

Bemerkungen:

Rechnerisch ist nk = n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1) oft gunstigerzu bestimmen als die obige Angabe mittels Fakultatsfunktion.

Es gilt, jeweils fur n > 0, n1 = n und nn = nn−1 = n!.




Anwendungen:

Gegeben seien zwei endliche Mengen A und B.Wie viele injektive Funktionen von A nach B gibt es?

Beispiel:

Sei A eine Menge von Personen und B eine Menge von Raumen.Wie viele Moglichkeiten gibt es, jeder Person einen Raum sozuzuordnen, dass sich in jedem Raum hochstens eine Personbefindet?




Wie viele injektive Funktionen von A nach B gibt es? (Fortsetzung)

Wir nehmen an, dass A = {a1, . . . , ak} mit k = |A|, und n = |B|.Wir konnen B als Urne betrachten, aus der nacheinander kElemente gezogen werden (ohne Zurucklegen, denn kein Elementim Wertebereich darf mehr als einem Element im Definitionsbereichzugeordnet werden; jedoch mit Beachtung der Reihenfolge).

Insgesamt erhalt man nk Moglichkeiten. Jede entspricht genaueiner injektiven Funktion von A nach B. Also gibt es nk solcheFunktionen.




Beispiel:

Gegeben seien n Stadte, die alle der Reihe nach besucht werdensollen (Problem des Handlungsreisenden).Wie viele Moglichkeiten gibt es, die Stadte zu besuchen?

Wir legen n mit den Namen der Stadte beschriftete Kugeln in eineUrne und ziehen nacheinander n Kugeln.

Insgesamt hat man nn = n! Moglichkeiten.



Ziehen aus Urnen (ohne Zurucklegen, ohne Reihenfolge)

Wir betrachten nun folgenden Fall:


ohne Zurucklegen und

ohne Beachtung der Reihenfolge.

Dieser Fall macht wieder nur Sinn falls k ≤ n.


Dann gibt es folgende drei Moglichkeiten, k = 2 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

311 322, ,,




Diese drei Moglichkeiten entstehen dadurch, dass von den sechsMoglichkeiten beim Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge (aberauch ohne Zurucklegen) jeweils immer zwei zusammenfallen:

1 2

2 1

1 3 2 3

3 1 3 2

Bei k gezogenen Kugeln fallen jeweils k! Moglichkeiten zusammen,denn das ist die Anzahl der Moglichkeiten, k verschiedene Kugelnbeliebig anzuordnen. (Dies folgt aus fruheren Betrachtungen!)




Also:Wenn man ohne Zurucklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolgezieht, so erhalt man

nk Moglichkeiten.

Damit hat man jedoch die Anzahl der Moglichkeiten ohneBeachtung der Reihenfolge um den Faktor k! uberschatzt.Durch diese Zahl muss daher noch geteilt werden.

Insgesamt ergeben sich damit

nk

k!=

n!

(n − k)! · k!

Moglichkeiten.




Definition: Binomialkoeffizient

Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Ausdruck(n

k

)=

n!

(n − k)! · k!

wird Binomialkoeffizient genannt.

Er ist immer eine naturliche Zahl!

Sprechweise:”n uber k“,

”k aus n“

Bemerkung: Es gilt fur alle n, k ∈ N0 mit k ≤ n:(n

k

)=

(n

n − k

)




Binomialkoeffizienten als Pascalsches Dreieck:(00

)(10

) (11

)(20

) (21

) (22

)(30

) (31

) (32

) (33

)(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)(50

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1




Bemerkung: Die Werte im unteren und im oberen Dreieckentsprechen einander, es sind nur verschiedene Darstellungenangegeben: einmal der Binomialkoeffizient, einmal der berechneteWert des Binomialkoeffizienten.

Beispiele: (5

3

)=

5!

(5− 3)! · 3!=

5!

2! · 3!=

120

2 · 6= 10

(5

0

)=

5!

(5− 0)! · 0!=

5!

5! · 0!=

120

120 · 1= 1

Im letzten Fall zieht man 0 Kugeln (aus einer Urne mit 5 Kugeln).Dabei kann es nur eine mogliche entstehende Sequenz von Kugelngeben: die leere Sequenz.




Ziehen ohne Zurucklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne ohne Zurucklegen und ohneBeachtung der Reihenfolge ergeben sich(

n

k

)=

n!

(n − k)! · k!Moglichkeiten,

falls sich n verschiedene Kugeln in der Urne befinden und k ≤ nKugeln gezogen werden.




Beispiel: Lottoziehung (6 aus 49)

Bei der Ziehung der Lottozahlen werden k = 6 Kugeln aus n = 49gezogen, die Kugeln werden nicht zuruckgelegt, die Reihenfolgewird nicht beachtet.

Daher gibt es insgesamt(49

6

)= 13 983 816

mogliche Ziehungsergebnisse.




Beispiel: Mannschaftspaarungen

Aus einem Topf mit Kugeln, die mit den Namen von n = 18Basketballmannschaften beschriftet sind, werden k = 2 Kugelngezogen, um eine Paarung zu ermitteln.

Es gibt dabei (18

2

)= 153

mogliche Ziehungsergebnisse. (Das ist genau die Anzahl derPre-Playoff Hinrundenspiele einer BBL-Saison.)



Ziehen aus Urnen (mit Zurucklegen, ohne Reihenfolge)

Wir betrachten nun noch den letzten Fall:


mit Zurucklegen und

ohne Beachtung der Reihenfolge.


Dann gibt es folgende sechs Moglichkeiten, k = 2 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

311 322

1 332 2, ,,1

, ,,




Hier braucht man eine gute Idee, um die Anzahl der Moglichkeitenzu bestimmen. Sie entstehen anscheinend nicht einfach dadurch,dass die neun Moglichkeiten des Ziehens mit Reihenfolge (und mitZurucklegen) in gleich große Blocke zusammengefasst werden.

1 2

2 1

1 1 3 32 2

3 2

2 3

1 3

3 1

?




Die sechs Moglichkeiten kann man aber dadurch darstellen, dassman drei Facher (eines fur jede Farbe) einrichtet. Die Anzahl derMoglichkeiten ist die Anzahl der Moglichkeiten, zwei Kugeln aufdiese drei Facher zu verteilen.

1 2

1 3

11

2 3

2 2

3 3

Dabei bestimmt die Farbe des Fachs die Farbe der erlaubtenKugeln.




Die Farben kann man weglassen und nur noch zwischen erstem,zweitem und drittem Fach unterscheiden.

Wir benutzen eine Notation, in der die Kugeln durch kleine Kreiseund die Trennwande zwischen den Fachern als Striche dargestelltwerden (siehe rechte Spalte).

1 2

1 3

11

2 3

2 2

3 3

◦ | ◦ |◦ | | ◦| ◦ | ◦◦ ◦ | || ◦ ◦ || | ◦ ◦




Wir mussen also in einer vierelementigen Zeichenfolge daruberentscheiden, wo die beiden Striche und wo die beiden Kreiseplatziert werden.

Man kann entweder die zwei Striche wahlen:(42

)= 6 Moglichkeiten,

oder die zwei Kreise wahlen: ebenfalls(42

)= 6 Moglichkeiten

Bemerkung: Aufgrund der Beziehung(mk

)=( mm−k

)erhalt man

auch dann in beiden Fallen das gleiche Ergebnis, wenn die Anzahlder Kreise (k) und der Striche (m − k) unterschiedlich ist.




Allgemeiner Fall:

Wir ziehen k Kugeln die Anzahl der Kreise ist k .

Wir haben n Kugeln in der Urne die Anzahl der Farben bzw.Facher ist n. Damit ist die Anzahl der Trennstriche n − 1.

Die Lange der Zeichenfolge ist die Summe beider Zahlen:m = n + k − 1.

Damit ergeben sich (n + k − 1

k

)Moglichkeiten.

Bemerkung: Diese Betrachtung geht so nur falls n > 0.




Ziehen mit Zurucklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne mit Zurucklegen und ohneBeachtung der Reihenfolge ergeben sich, im Fall n > 0,(

n + k − 1

k

)Moglichkeiten,

falls sich n verschiedene Kugeln in der Urne befinden und k Kugelngezogen werden.

Fur n = 0 ist die Anzahl einfach 1 falls auch k = 0, andernfalls 0.




Beispiel: Wurfeln

Wenn mit drei identischen Wurfeln gewurfelt wird, so entsprichtdas dem Ziehen von k = 3 Kugeln aus einer Urne mit n = 6Kugeln, mit Zurucklegen und ohne Beachtung der Reichenfolge.

Insgesamt haben wir(n + k − 1

k

)=

(8

3

)=

8!

5! · 3!= 56

verschiedene Wurfelergebnisse.

Es folgt die Aufzahlung aller 56 Moglichkeiten . . .




1, 1, 1 1, 1, 2 1, 1, 3 1, 1, 4 1, 1, 5 1, 1, 61, 2, 2 1, 2, 3 1, 2, 4 1, 2, 5 1, 2, 61, 3, 3 1, 3, 4 1, 3, 5 1, 3, 61, 4, 4 1, 4, 5 1, 4, 61, 5, 5 1, 5, 61, 6, 62, 2, 2 2, 2, 3 2, 2, 4 2, 2, 5 2, 2, 62, 3, 3 2, 3, 4 2, 3, 5 2, 3, 62, 4, 4 2, 4, 5 2, 4, 62, 5, 5 2, 5, 62, 6, 63, 3, 3 3, 3, 4 3, 3, 5 3, 3, 63, 4, 4 3, 4, 5 3, 4, 63, 5, 5 3, 5, 63, 6, 64, 4, 4 4, 4, 5 4, 4, 64, 5, 5 4, 5, 64, 6, 65, 5, 5 5, 5, 65, 6, 66, 6, 6



Ziehen aus Urnen

Zusammenfassung der vier Falle:

Ziehen mit Zurucklegen ohne Zurucklegen

mit Reihenfolge nk nk = n!(n−k)!

ohne Reihenfolge(n+k−1

k

) (nk

)= n!

(n−k)!·k!

Dabei werden k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln gezogen (undin einigen Fallen gelten bestimmte Forderungen an n und/oder k).



Ziehen aus Urnen

Ein paar konkrete Instanzen:

n = 3 und k = 2 mit Zurucklegen ohne Zurucklegen

mit Reihenfolge 9 6

ohne Reihenfolge 6 3


mit Reihenfolge 216 120

ohne Reihenfolge 56 20


mit Reihenfolge 13 841 287 201 10 068 347 520

ohne Reihenfolge 25 827 165 13 983 816



Zusammenfassung

Themen der Vorlesung

Grundlagen: Mengenlehre, Relationen und Funktionen

Analysis: Grenzwert, Stetigkeit, Ableitung, Kurvendiskussion

grundlegende Zahlentheorie: Teilbarkeit und verwandteBegriffe, diophantische Gleichungen, Eulersche ϕ-Funktion

Algebraische Strukturen: Monoide / Gruppen / Korper,Vektorraume und Matrizen, Gaußsches Eliminationsverfahren

Kombinatorik: Ziehen aus Urnen, Fakultat, Binomialkoeffizient



Stichwortsammlung: Grundlagen

Mengenlehre, Relationen und Funktionen:

Menge M, Element einer Menge: a ∈ M

Teilmenge: M ′ ⊆ M, Vereinigung/Schnitt: M1 ∪M2, M1 ∩M2

Potenzmenge P(M), Kreuzprodukt M1 ×M2

Relationen und ihre Eigenschaften: Reflexivitat, Transitivitat,Symmetrie, Antisymmetrie

spezielle Relationen: Funktionen, Aquivalenzrelationen (undihre Aquivalenzklassen), Ordnungen (und Hasse-Diagramme)

Funktionen und ihre Eigenschaften: Injektivitat, Surjektivitat,Bijektivitat, Umkehrfunktion, Funktionsverkettung,Bild/Urbild einer Menge



Stichwortsammlung: Analysis

Grenzwert, Stetigkeit:

Steigung von Geraden

Tangenten an Kurven

Berechnung der Tangentensteigung mit Hilfe einesGrenzwertes

Grenzwertbegriff

Stetigkeit von Funktionen

Rechnen mit Grenzwerten



Stichwortsammlung: Analysis

Ableitung, Kurvendiskussion:

Differenzierbarkeit, Definition der Ableitung (basierend aufGrenzwerten)

Bestimmung der Ableitung bei konkreten Funktionen

Ableitungen bekannter Funktionen (Tabelle zum”Merken“)

Ableitungsregeln (Faktorregel, Summenregel, Produktregel,Kettenregel, Kehrwert- und Quotientenregel)

n-te Ableitungen und ihre jeweilige Bedeutung

Kurvendiskussion (Achsenabschnitte, Minima, Maxima,Sattelpunkte, Wendepunkte)



Stichwortsammlung: Grundlagen

Zahlentheorie:

Teilbarkeit, Division mit Rest, Modulo-Rechnung

Primzahlen, Primfaktorzerlegung

Großter gemeinsamer Teiler ggT , Teilerfremdheit

Euklidischer Algorithmus

Diophantische Gleichungen

Die Eulersche ϕ-Funktion




Stichwortsammlung: Algebraische Strukturen

Monoide / Gruppen / Korper:

Operatoren und ihre Eigenschaften: Assoziativitat,Kommutativitat, Distributivitat

Existenz von neutralen Elementen (0, 1) und Inversen(additiv, multiplikativ)

der endliche Korper (Zp,+p, ·p) fur Primzahl p




Vektorraume und Matrizen:

Vektoren, Vektor-Addition ~v + ~u, Vektorraum als Gruppe

Multiplikation mit einem Skalar k · ~vMatrizen A und lineare Abbildungen ψA

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor A · ~vMatrizenaddition A + B, entsprechende additive Gruppe

Matrizenmultiplikation A · BEinheitsmatrix En

inverse Matrix A−1, insbesondere fur quadratische Matrix A




Basen, Gaußsches Eliminationsverfahren und inverse Matrizen:

Erzeugendensystem, Linearkombinationen

lineare Unabhangigkeit

Begriff der Basis, Einheitsvektoren

Invertierbarkeit quadratischer Matrizen

lineare Gleichungssysteme


Anzahl der moglichen Losungen

inverse Matrix bestimmen



Stichwortsammlung: Kombinatorik

Ziehen aus Urnen:

Varianten mit/ohne Zurucklegen, und mit/ohne Beachtungder Reihenfolge

Berechnungen mittels Potenzen,”n hoch k fallend“,

Fakultatsfunktion, Binomialkoeffizienten

Anwendungen, zum Beispiel fur Anzahl der Permutationen,aber etwa auch fur Anzahl der (injektiven) Funktionenzwischen zwei Mengen


Theoretische Informatik · im Anschluss an die Vorlesung im Web als PDF bereitgestellt und regelm...

Documents

Transcript of Theoretische Informatik · im Anschluss an die Vorlesung im Web als PDF bereitgestellt und regelm...