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Theoretische Physik III (Elektrodynamik) Andreas Knorr [email protected], PN 742 Technische Universität Berlin Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/38

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Theoretische Physik III(Elektrodynamik)

Andreas Knorr

[email protected], PN 742

Technische Universität Berlin

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/38

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I: Einführung: Geschichte/Vorkenntnisse

Elektrodynamik: Beschreibung des elektromagnetischen Felds,dessen Erzeugung, Ausbreitung und Wechselwirkung mit Ladungen

1. Geschichte / Vorkenntnisse

C.A. Coulomb (1736-1806) Kraftgesetz für elektrischen Ladungen

J.P Biot (1774-1862), S.Savart (1791-1841)Magnetfeld um stromdurchflossenen Leiter

M.Faraday (1791-1867) Induktionsgesetz:Elektrisches Feld wird durch zeitliche Änderung des Magnetfelds erzeugt

J.C.Maxwell(1831-1879) magnetische und elektrische Effektevereinheitlicht

H.A.Lorenz (1853-1928) Kraft auf Ladung im elektromagnetischen Feld

H.Hertz (1857-1894) Nachweis elektromagnetischer Wellen

A.Einstein (1879-1955) Elektrodynamik bewegter Körper

N.Bohr (1885-1962), W.Heisenberg (1901-1976), ... Quantisierung derLadungsträger

N.Basov, C.Schawlow, C.Townes: Ausnutzung der stimulierten Emissionfür Laser (1954-58) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.2/38

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Geschichte/Vorkenntnisse

Grundgleichungen der Elektrodynamik sind :

selbstkonsistentes System

(Felder resultierenaus Ladung, Strom)

für bewegte LadungenBewegungsgleichungenMaxwellgleichungen

für die Felder

(Beschleunigung der Ladungsträger

resultiert aus WW mit Feldern)

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Ladungen und Ströme

2. Ladungen und Strome2.1 Klassische mikroskopischen Punktladungen

�� �� �

ist die Bahnkurve der i-ten Punktladung

ri(t)Bahnkurve des i−ten Teilchenmit Ladung q

i

a) Ladungsdichte: � � ��� � � � � � � � � � � � �� � �

(Ladung pro Volumen)

b) Stromdichte:

� � ��� � � � � � ��� �� � � � � � � � �� � �

(Geschwindigkeit mal Ladung / Volumen)

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Ladungen und Ströme

Strom und Ladung sind über die Kontinuitätsgleichung verbunden:

��� � � ��� � � �

�� � ����

� � � � � � �� � � ��� � � �� �

� ��

� � ���

� � � � �� �� � � ��� � � �� �

� � �� �

�� �� �� � � � � � �� �� � � � � ��� �

� � � � � �

� � � ��� � � � ��� �

� � ��� � � �

Kontinuitätgleichung

Die zeitliche Änderung der Ladungsdichte ist durch die Quellen der elektrischen

Stromdichte bestimmt.

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Ladungen und Ströme

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt das Gesetz von Erhaltung der Ladung.Integration über Volumen V:

��� �

� ��� � � ��� � �

�� �� �

�� �� �� �

� � ��� � � � �

� � �� � � ��� � �

Änderung der Ladg. in V � � Stromdichtefluss durch die Oberfläche

V dQdt =−I

(V)

Kontinuitätsgleichung beschreibt die Veränderungder Ladung Q im Volumen V durch Transportdurch die Oberfläche (V),negatives Vorzeichnen beschreibt Dichtever-ringerung bei Strom I (Stromdichtefluß) durch dieOberfläche nach aussen

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Ladungen und Ströme

2.2 Räumliche Mittlung

bisher : mikroskopische Adressierung einzelner Punktladungeni.a. aber sehr viele

�� � � �

Teilchen in makroskopischen Volumina

� nicht allgemein lösbar

Reduktion der Information nötig

Ansatz: Felder (typische Wellenlänge

) variieren schwach gegen denTeilchenabstand (z.B. Bohrradius �� im Angströmbereich als typische atomareLänge)

�� � � � �

atomare mesoskopische WellenlängeSkala “Längenskala” Feldvariation

davon abstrahieren behalten als Grobraumskala

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Ladungen und Ströme

dazu Einführung einer Mittelungsfunktion � � � �

Symmetrie: � � � � � � �� � �

ri

ri−1 ri+1

g( )r’−r

r’

r

mittlere Ladungsdichte :

� � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � �

Damit wird � � � � �

durch mitteln über eine Raumbereich um die Stelle � derAusdehnung von � � � � �

aufgesammelt und eine Gesamtladung am Punkt �

gebildet.

� � � � �

hat eine Ausdehnung gross gegen atomare Abstände, kleine gegen dieWellenlänge

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Ladungen und Ströme

2.3 Klassische makroskopische Landungen und Ströme

a) Mittelung der Ladungsdichte :

� � � � �� � � � � � � � � �� ��

Einteilung der Ladungen in gebundene und freien Ladungen:

rm (t)

freibeweglich Index "m"

r

rnj

rnj(n)

(t)

(t)

(t)

n−tes Molekül1) 2)

zeigt auf "Mitte" (SP) des Molekülsrn

j−tes Teilchen des n−ten Moleküls Index "j(n)",

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Ladungen und Ströme

Zeitargument unterdrückt

� � � � ��

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � �� ���� � ��

� � � � � � � � � � � �� �

beschreibt ein verschmierte makroskopische Ladung,z.B. homogen geladenen Kugel (Einführung in die Theoretische Physik)Für gebundenen Ladungen :

� � � � � � angenommen

� � � � �� � � ��� � �� � �� � �

� � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � �

� �

� �� �

� �� �� � � � � � � � � � � � � � �

=0, da Moleküle elektrisch neutral sind

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Ladungen und Ströme

� � � � � � �� �� � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � partielle Integration

�� � �

� � � � �

� �� �

���

� � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � �

��

� �� �� � � � � � � � � � � � Dipolmoment des n-ten Moleküls

� �

�� �� �� � � � � � � �

� � �� �

�� � � � � � � � �

� �� �� � �� �

� � ��� � �

Summe aller Dipolmomente am Grobraumpunkt �

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Ladungen und Ströme

� � ��� � �

ist eine Dipoldichte (Dipolmoment/Volumen)

r

in Dielektrika ist

� � ��� � �

ohne angelegte E-FeldNull, im Feld

� � ��� � � � �

.in Ferroelektrika ist

� � ��� � � � �

Wenn die Dipolmomente der Moleküle verschwindet,so muß man bis zur Quadrupoldichte entwickeln,die gemittelte Ladungsdichte ist:

� � � � � � � � � � � �� � � � � � ��

� �� � � � � �

� � � � ist der Quadrupoltensor, für das n-te Molekül gilt:

� ��� � � �

� � � � ��� � ��

� �

� �� �

kartesische Koordinaten ����

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Ladungen und Ströme

Durch der Mittelungsprozeß ist es möglich,die Materie durch räumlich lgs. veränderliche Größe zu beschreiben,solange die Längenskalen der beteiligten elektromagnetischen Feldernoch die Mittlung über viele Teilchen erlauben, Bsp. Kugel:

� � �� � � � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � �

� �� � � �� � � � � ��

stellt homogen geladene Kugel dar, wenn � � �� � ��� � � �

gewählt wirdN: Teilchenzahl im mesoskopischen Volumen V,

� � : Radius

b) Mittelung der Stromdichte

� � � � ��

frei

��

� � � � �� � � � � � � � �

� �� �

� � � � �

� � � ��� � �ist verschmierter makroskopischer Strom.

z.B. homogener Linienstrom (Einf. f. Theor. Phys.)Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/38

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Ladungen und Ströme

� � � � ��

gebunden

�� � �

� � � � � � � � � � � � � �� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � �

Annahme ruhender Moleküle

�� � �

� � � � � � � � � � � � � ��

�� � � ��� � �

Zeitableitung der Dipoldichte

� � � � � �

� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

� �� �

��

� � � � � � � � � � ��� �

� �� �

Quadrupolanteil

��

�� � � � � � � � ��� � �

�� � � � � � � � �� �� �� �

� �� �

� � � � � � � � � � � �

man erhält einen Anteil des Polarisationsstroms, einen Quadrupolanteil undeinen Anteil der mit dem Drehimpuls der Teilchen zusammmenhängt

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Ladungen und Ströme

� � ��� � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � ��

� �

� � � � � � � �

� � � makroskopischer Ladungsstrom

� � Dipoldichte

Magnetisierungsdichte:

� ��

����� � � � � � � � �

��� ��

� � �� �

� � � � � �� � � � � � � �� � � � ��

� � � �

� � � �� � �

wobei l den Drehimpuls des ensprechenden Teilchens bezeichnet

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Ladungen und Ströme

2.4 Quantisierung von Ladungsträgern und makroskopische Mittlung

Bestes Konzept: Zweite Quantisierung, führt zu weit, verwenden einedidaktische Vereinfachung:

� �� � � �

über Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen

� �� � � � � � � � � � � � � � ��� � �

mit

� � � � � �� ��� � �� �

, wobei:

� � ��� �� �

� �

El-Feld� �� ��

�� � � � � �� � (z.B. H-Atom Lösungen)

freie Elektronen u. El-Feld W.W.in Molekülen

gebundenen Elektronen

� � � � ��

� � � � � �� �� � � � � � � ��� � �

� � � �� � � � � �� � � ��

� � � � � � � � �

für Teilchensorte “i” mit Ladung q

Mittelung:

� � � ��� � �� � �� � �

� � � �� � � � �� � � �� �� � � � � � � � ��

� � � � � � �� � � �

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Ladungen und Ströme

Mittlung am Bsp. gebundener Ladungen:

Wellenfunktion � � �� �

(Einelektronenorbital)

� mittelt über ein MolekülElektronenkoordinate wird dargestellt als

��� � � �

, wobei

�� der Ort des i-ten Moleküls ist:

ϕm

(R i + r’)R i

r’

� � � ��� � �� � �� � �

� � � � � � � �� �� � � � � � �

�� ��

� � � � �� � � � �� � � � �� �

� �� � � � �

� � � � � � � �� �� � � � � � � �� � � ��

� � � � � � �� � � �

� � � ��

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Ladungen und Strömen

� �� � � � �

� � � � � � � ��� � � ��

� � � � � � �� � � �

� �� �

� � � �

� � �� � � �

� �� �

�� �

� � �

� � �� � � � �

makroskopische El-Dichte am Ort �

� �� � � � �

� � � � � � � �� � � ��

� � � � � � � � �� � � �� �� � � �� � � �

� �� �

� �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � �

� � � � � � � � � �� � � � ��� � �+ Quadrupolanteile

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Ladungen und Ströme

� � � � � � �� � � ��

� � � � � � � � �� � � �

Dipolmoment des Moleküls/Atoms zwischen Zustand m, m’.

physikalisch: quantenmechanische Übergangsamplitude erzeugt Dipoldichte P

� � quantenmechanische Dipoldichte

�� � �� � �

� � � �� � � � ��� � � �� � � � � �� � � �

als Summe über alle Atome an den Positionen� �

mit Dipolmomenten

� � � � und den zeitabhängigenWahrscheinlichkeitsamplituden � � � � �

� die Zeitverlauf der ÜbergängebeschreibenzB: 1 Atom bei

� � �

und g als stark lokalisiert auf mesoskopischer Ebene:

� �� � � � � � � �� �

Analog kann der Strom beschrieben werden:

� � � � � � � � �

Magnetisierung/QuadrapolanteileTheoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.19/38

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

3. Bewegungsgleichungen fur die Ladungen

3.1 Klassische BewegungsgleichungenDie Kraft, die auf geladenden Teilchen � � �� �

im elektromagnetische Feld

� � ��� � � � � � ��� � �

wirkt, ist die Lorenzkraft :

L

� � � � � � �� � � � � � � �� � � � �� �� � � � � �

Die Lorenzkraft kann genutzt werden, um die E, B-Felder vermittels einerPunktladung zu vermessen.Klassische Bewegungsgleichung für Ladungen im em. Feld :

� � �� � �

L bzw. relativistisch:

���

� � � � � � � � �� � � �

L

Gemeinsam mit den Maxwellgln. stellen sie ein geschlossenes System dar.

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

3.2 Quantenmechanische Bewegungsgleichungen für ED der MoleküleIn klassischer Beschreibung wird � �� �

durch Newtongl. gegeben.In quantenmechanischer Beschreibung: � � �� �

(m: 1-N Niveaus) gesucht

� � � � � � � � mit

� � �� � �

ww � �� � � � � � � � � ��� � � � �� � �� �

Ansatz:

� ��

�� � � �� � � � � � � � N-Niveau System am Ort

� � �

� ��

� � � � � � � � ��

� � �� � � � � � � �

Multipl. mit

� � � � � � und Int. über den Raum

� � �� �

� � � � � �� � ��

� � �� � � � �

� � � � � �� � � � � � � ��� � � � � �

� � �� � � � � � � �� � � � � �

� �� �

� � � � �

� � �� � � � � � � � � � � � �� � � �

� �� �

� � �� � � � �

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � Dipolmoment des Atoms/moleküls

Zur besseren Interpretation : 2-Niveaus

Zweiniveausysteme

2

1

� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� �

� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� �� �

� � ���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � � � � � Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude von 1 nach 2

1.Term: freie Bewegung, 2.Term: Felder als Quellen des Übergangs

� � � � � � Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands 1, 2 analog

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.22/38

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

Verallgemeinerung für viele Atome an Positionen

� �

� � ��� � � ��

� � �� ��� � � � � � �� � � ��� � �

� � ����

� �

����

� � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � �

�� � Mittlungsvolumen� � � �� � � �

�� � Zahl der atomaren Systeme in��

� � Anzahldichte der atomaren Systeme� � � �� ��

also für Ortsabhängigkeiten (phänomenologisch):

� � � �� � � � � � ��� � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � �� � � � �

Interpretation von �� � (Gleichungen später)als Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands ientspricht Pauli-Blocking (Fermionen!)für Gleichbesetzung ergibt sichkeine Ankopplung an das Lichtfeld

(induzierte Emission und Absorption sind gleich!)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.23/38

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

Grenzfall der linearen Optik, oBdA:

�� � ��� � � � �� �� � � �

Real, Imaginärteil:

�� � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �

��� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � �

stellt die Gleichung für die Dipoldichte P darentspricht klassischem Oszillatorergebnis(nur im Grenzfall linearer Optik)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.24/38

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

Definition der linearen Suszeptibilität � im Frequenzraum

� �� � � � � �� � �� � � �� � � �

� �� � �� � � � � � �

��

� � � � � � � � �� ��

erinnert an klassischen harmonischen Oszillator

Ergebnis wird aber mit

� � � � � � � also der Inversion multipliziert (Rech-

nung ohne Probleme wenn diese zeitlich konstant), dieser Faktor ist nichtklas-

sisch und bewirkt bei stärkerer Besetzung des oberen Niveaus im vergleich des

oberen Niveaus einen Vorzeichenwechsel und damit den Wechsel von Absorp-

tion zu Verstärkung (stimulierte Emission), siehe späteres Kapitel

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.25/38

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

3.3 Quantenmechanische Bewegungsgleichungen für ED der MetalleValenzelektronen sind freibeweglich, die Wellenfunktion daher

��� �� � � � � � ��� �

,

also in nullter Näherung freie Teilchen

� � �� ��

� �� � �� � �� � �� �

� �� ��

� �� � ��

�� � � �� � �� � � �� �� ��

� �� � � �� � � � � � � � �

in einem räumlich homogenen System darf der Strom nicht vom Ortabhängen, also

� � � �

.

� � � ��

�� � � �

der Strom ist gegeben als Summe über die Wahrscheinlichkeit den Zustand

k besetzt zu haben ( �� �

), gwichtet mit dem Impuls

� �

(Geschwindigkeit) des

Elektrons in diesem ZustandTheoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.26/38

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Bewegungsgl. f. die Ladungen

Berechnung der Übergangsamplituden �� fürt auf:

� � � � � � � ��� � ��� �� � �� � �

und auf die Leitfähigkeit und Suszeptibilität:

� �� � � � � �

� �� �

� �� � � �� ��� �

� �

die Plasmafrequenz ist: � ��� � � � � ��� � �

Diskussion in Übungsaufgabe

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.27/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

4. Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen��� �� � �� � � � � � �� ��� � � ��� �� � � � � ��� � � � � � �� � �� � � � � � ��� � � �

� � � � � ! � � � � � " �� � � � # $ �� � �% & � � �' �� � � �� � � �� � � ( � ) * � + ,� � � � � � .-

� � � # � � � �/ � � � � � � � � �� � � � � � ��� �� $ �� � � � 0� �� &21

31 4 � � 5� � � � � � � ' � � � � � � � , �� � � � � � 6 � � � , , ��

� & ( � � � � � � � � � � � " �� � � � 0� �� � �

� � 01 � � � � � # � 78 9�: �

�� �

� � # � � � � � � �' � � � � � , � � �

φ( )

r+dx e xφ( )

rV Koordinaten

in kartesischeBerechnung

r

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.28/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

grad

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aus dem vollständigen Differential folgt :

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Interpretation : Der Gradient beschreibt den Zuwachs

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von

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wenn man sichim Raum um

� � fortbewegt.

In der Mechanik konnte mit� � � � #

ein konservatives Vektorfeld dargestellt

werden, in der Elektrostatik das elektrische Feld.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.29/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

b) Divergenz eines Vektorfelds :

div% � ��� � � � 78 9�: �

�� �

� �� % � � �Interpretation : Fluß/Volumen durch die Oberfläche (V) eines infinitisimalenVolumens V

ist also Maß für entstehende Feldlinien in diesemPunkt (Oberflächenelement nach außen),(Divergenz eines Felds � “Quellstärke”)

( + )r ∆rV

r=(x,y,z)

V( )r

dx

dz

dy1 2

div r( ,t)=v

Berechnung inkartesischen Koordinaten

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.30/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

�� / ��

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Quellstärke (Divegenz) eines Vektorfelds in kartesischen Koordinaten.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.31/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

c) Rotation eines Vektorfelds :

Def. : rot

/ � 78 9�: �

�� �

� � � / � � �Interpretation : Zirkulation/Volumen auf der Oberfläche eines infinitisimalenVolumens V

ist also Maß für die Wirbel, die in diesem Punkt vorliegen(Rotation eines Felds

� Wirbelstärke)

rot =V

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.32/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

rot

/ � � �

�� ��� � ��� ��� �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� � � � ��

�� ��� � ��� ��� �� �� ��� � ��� � �� � � � � �� �� ��� � ��� � �� � � �

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� �� �� � � �� � � � � / � �

rot

/ � � � /

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.33/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

4.2 Die mikroskopischen Maxwellgleichungen

Die Felder

und

werden durch die Maxwellgleichungen bestimmt.

�� � � � �� Die Quelldichte des elektrischen Felds ist gegeben durch die

Ladungsdichte. Feldlinien können entstehen und vergehen.

�� � �

Die Quelldichte des magnetischen Felds ist Null. Die Feldliniensind geschlossen.

� � � � � � �� � Die Wirbeldichte des elektrischen Felds ist gegeben durch

die zeitlichen Änderung des Magnetfelds. Das negative Vorzeichnenspiegelt die Lenzsche Regel.

� � � � � � � � � �

��� � Die Wirbeldichte des magnetischen Felds ist

gegeben durch die zeitliche Änderung des elektrischen Felds und durchdie Stromdichte.

Maxwellgleichungen und klassischen Bewegungsgleichungen (mit Lorenzkraft)

beschreiben alle klassischen elektromagnetischen “Phänomene”Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.34/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

Bemerkungen

1. QED: Ladungen und Felder werden quantenmech. beschrieben.“vollquantentheoretische Beschreibung”

2. Wenn nur Ladungsträger quantenmechanisch, die Felder klassischbeschrieben werden : “halbklassisch”, “semiklassisch”

3.

und � sind noch nicht räumlich gemittelt. Daher heißt das obige Systemmikroskopische Maxwellgleichungen.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.35/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

4.3 Die makroskopischen Maxwellgleichungen

Eingehen von

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� �

a)

�� � � ���

��

Mittelung und Ableitung vertauschen miteinander

��

� �� � � �� ��

��

� �� ��

��� � � � �� � �

��

� � �� �

���

� ��

���

m

��

� �� � �� � �

� �� �� � �

m

� � dielektrisches Verschiebungsfeld

�� � � � �

Quelle des dielektrischen Verschiebungsfelds sind makroskopische Ladungen.

b)

��

� �� �

Das magnetische Feld hat keine Quelle.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.36/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

c)

� � � �� � � � � � ��

Die Wirbel des elektrischen Felds sind durch ein sich zeitlich veränderndes

Magnetfeld gegeben.

d)

� � � � � � � ��

� �� � �

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� � � ��

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � �

� �

��

� ��� �

� �

� �� ��

� � � � � � � �

neues Feld

(magnetische Feldstärke)

� � � �� � � � � �

m

� � � �

Die Wirbel der magnetischen Feldstärke sind durch den makroskopischen

Strom und zeitlich veränderndes

gegeben. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.37/38

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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen

4.4 Zusammenfassung und Gegenüberstellung

Mikroskopisch

� � � Makroskopisch

� � � �

ohne

� �

�� � � �� � �

�� � � � ��

�� � � �

m oder

�� � � �

m

���

��

�� �

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � �

� � � � �m

� � � �

oder

� � � � � � � �

m

� � � � � � � � � � � �

� � �

a) Mit

� � � als mikroskopische Ströme � volle Dynamik auf allenLängenskalen enthalten

b) Mit

m � � � �

als gemittelte Größe (mesoskopische Skalen)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.38/38