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Vorlesungsnotizen: Thermische Verfahrenstechnik von: Prof. Dr.-Ing. habil. Evangelos Tsotsas Lehrstuhl für technische Verfahrenstechnik Literatur: - Thurner, F., Schlünder, E.U.: Destillation, Absoption, Extraktion, Thieme Verlag, Stuttgart- New York, 1986 - Schlünder, E.U.: Einführung in die Stoffübertragung, 1. Auflage, Thieme Verlag, Stuttgart- New York, 1984 - Seader, J.D., Henley E.J.: Separation process principles, John Wiley & Sons, Inc., 1998 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg (Version: Sommer 2004)

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Vorlesungsnotizen:

Thermische Verfahrenstechnik

von:

Prof. Dr.-Ing. habil. Evangelos Tsotsas Lehrstuhl für technische Verfahrenstechnik

Literatur: - Thurner, F., Schlünder, E.U.: Destillation, Absoption, Extraktion, Thieme Verlag, Stuttgart-

New York, 1986 - Schlünder, E.U.: Einführung in die Stoffübertragung, 1. Auflage, Thieme Verlag, Stuttgart-

New York, 1984 - Seader, J.D., Henley E.J.: Separation process principles, John Wiley & Sons, Inc., 1998

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

(Version: Sommer 2004)

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

1 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Destillation

Trennung eines flüssigen Gemisches durch Verdampfung.

Die Verdampfung muss selektiv sein.

Trennfaktor:

=x~,x flüssige Phase

=y~,y gasförmige Phase

Ausführung:

Berechnung: Absatzweise, Zweistoffgemisch .const12 =ω

Gesamtbilanz Blase: gl N0

dtdN

−=

Blase, Komponente 1: ( )

1g1l y~N0

dtx~Nd

−=

21

2112 x~x~

y~y~=ω

( )21l x~x~,N

Destillat Rückstand

Destillierblase

Kondensator

KQ

HQ

( )21g y~y~,N

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Eliminieren gN , Trennen: 11

1

l

l

x~y~x~d

NdN

−=

Eliminieren 1y~ aus:

21

2112 x~x~

y~y~=ω ; 1x~x~ 21 =+ ; 1y~y~ 21 =+

mit: ( ) 112

1121 x~11

x~y~⋅−ω+

⋅ω=

Integrieren ( )10,1l0,l x~x~,NN →→ Beispiel: 42,212 =ω Benzol (1), Toluol (2)

1

1

101

1

10

1

0,l

l 12

12

12

x~1x~1

x~x~

NN −ω

ω−ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Der letzte Flüssigkeitstropfen ist Toluol (2)

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Trennfaktor (Selektivität) woher?

Aus Dampf-Flüssig-Gleichgewicht → Thermodynamik

Trennfaktor (ωij) → Relative Flüchtigkeit

Ideale Gemische:

Die Komponenten merken nichts voneinander!

( )Tpx~p *111 ⋅=

( )Tpx~p *222 ⋅=

py~p 11 ⋅=

py~p 22 ⋅=

*12α : “ideal”

Clausius-Clapeyron: ( ) R~

h~

T1dplnd v

* ∆−=

*12α : temperaturunabhängig

Beispiel: T [°C], *ip [mbar]

Benzol (1) 79.220T51.27881885.16pln *

1 +−=

Toluol (2) 48.219T52.30963014.16pln *

2 +−=

ji

jiij x~x~

y~y~=α

Raoult ( )Tp*j : Sattdampfdruck

Dalton (gültig für ideale Gase) = weitentfernt vom kritischen Punkt

( )( )Tp

Tp*2

*1*

12 =α

Antoine

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T *1p *

2p *12α

[°C] [mbar] [mbar] [-]

80.1 1013 390 2.60

90 1361 542 2.51

100 1801 742 2.43

110.6 2378 1013 2.35

Gleichgewicht darstellen? ( ) 0p,T,y~,x~f 11 =

p TT=const. p=const.

1y~

1x~11 y~,x~

p=const.T=?

Druckdiagramm 11 y~,x~

Temperaturdiagramm Zusammensetzungs-Diagramm

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Druckdiagramm

( )Tpx~p *111 ⋅=

( )Tpx~p *222 ⋅=

21 ppp += 1x~x~ 21 =+

( ) ( )Tppy~

Tppx~ *

11*

1

11 ⋅==

( ) ( )Tppy~

Tppx~ *

22*

2

22 ⋅==

1x~x~ 21 =+ 1y~y~ 21 =+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]TpTpy~Tp

TpTpy~p *2

*11

*1

*2

*1

1 −−⋅

= Taulinie

liquid

vapour

2

1

0

0

B

A

p [bar]

11 y~,x~0.2 0.4 0.6 0.8 1

( )11 x~p

( )12 x~p

2-phase region

T=100°C

A: Erstes Destillat in Benzol (1) angereichert

B: letzter Tropfen reines Toluol (2)

( ) ( )Tpy~

Tpy~

1p*2

2*1

1 +=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]TpTpx~Tpx~p *2

*11

*21 −⋅+=

Siedelinie

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Temperaturdiagramm

( )1x~p

( ) ( )( ) ( )TpTp

TppTx~ *2

*1

*2

1 −−

=

( ) ( )pTpTy~

*1

1 = ( )Tx~1

Siedelinie

Taulinie

vapour

liquid

70

80

90

100

110

T[°C]

130

0 0.2 0.4 0.6 0.8 111 y~,x~

A

B

p=1.013 bar

A: Erstes Destillat in Benzol (1) angereichert

B: letzter Tropfen reines Toluol (2)

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Zusammensetzungsdiagramm

21

21*12 x~x~

y~y~=α

1x~x~ 21 =+ 1y~y~ 21 =+

Reale Gemische: Fremde Moleküle werden anders behandelt als

gleichartige! Realverhalten in der Flüssigkeit.

)T(px~p 1111∗⋅⋅γ=

)T(px~p 2222∗⋅⋅γ=

( ) ( ) 1*12

1*12

11 x~11x~x~y~

⋅−α+⋅α

=

Gleichgewichtslinie

0.2

1y~

0.6

0.4

1.0

0.2 0.4 0.6 1.00 0

A

B 1x~

1*12 >α

1*12 =α

1*12 <α

Gleichgewichtskurve

p=1.013 bar; T= veränderlich

A: Erstes Destillat in Benzol (1) angereichert

B: letzter Tropfen reines Toluol (2) McCabe-Thiele-Diagram

Raoult, erweitert um Aktivitätskoeffizienten.

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1lim1x~

11

=γ→

1lim

1x~2

2

=γ→

γ i >1, positive Abweichung (fremdenfeindlich)

γ i <1, negative Abweichung (fremdenfreundlich)

γ i =1, ideal (indifferent)

γ i aus Messung und Anpassung, z.B. nach

2

12

12

221

1

x~CCx~

x~Cln

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+

⋅=γ

2

21

21

212

2

x~CCx~

x~Cln

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+

⋅=γ

Es muss erfüllt werden:

Gibbs-Duhem

I. d. R. Idealverhalten in der Gasphase.

id,1

11 P

P=γ

id,2

22 P

P=γ

0x~d

lnd)x~1(x~d

lndx~1

21

1

11 =

γ⋅−+

γ⋅

Van Laar

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Beispiel: n-Propanol(1) / Wasser(2) T=87.8°C 60.2C1 = 13.1C2 =

1.Fall

Gemisch verdampft leichter als seine Bestandteile.

z.B Gemisch aus Methanol (1) und Tetrachlorkohlenstoff (2)

11

2

5

10

1.00.51x~

Taulinie

Siedelinie

A: Azeotrop

positive Abweichung

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2.Fall

Gemisch verdampft schwerer als seine Bestandteile.

z.B. Gemisch aus Aceton (1) und Chloroform (2)

Beispiel: n-Propanol(1) / Wasser(2) T=87.8°C mbar699p*

1 = mbar644p*2 =

60.2C1 = 13.1C2 = ( )Tpx~py~p 11111

∗⋅⋅γ=⋅= ( )Tpx~py~p 22222

∗⋅⋅γ=⋅=

( )( ) 2

1*12

2

1*2

*1

2

112 085.1

TpTp

γγ

⋅=α⋅γγ

=⋅γγ

( ) 112

1121 x~11

x~y~⋅−α+

⋅α=

negative Abweichung

( )( )TpTp

x~x~

y~y~

*2

*1

2

1

2

1

2

1 ⋅⋅γγ

=

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1x~ 12α 1y~

0.00 14.61 0.000 0.05 8.47 0.308 0.10 5.39 0.374 0.20 2.66 0.400 0.30 1.59 0.405 0.40 1.08 0.418 0.50 0.80 0.443 0.60 0.63 0.485 0.70 0.52 0.547 0.80 0.44 0.640 0.90 0.39 0.778 0.95 0.37 0.875 1.00 0.35 1.000

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Aktivitätskoeffizienten: Van Laar-Gleichung:

( )[ ]21212

221

1 x~ccx~x~cln

⋅+⋅

( )[ ]22121

212

2 x~ccx~x~cln

⋅+⋅

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Dampfdrücke der reinen Stoffe Antoine-Gleichung (p* in mbar ,T in °C)

CTBAplog *

+−=

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Wenn sich die Stoffe bereichsweise überhaupt nicht vertragen:

Mischungslücke zwei flüssige Phasen Druck additiv Gaszusammensetzung anteilig Beides unabhängig von x~ .

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Für Mehrstoffgemische?

∑=

=n

1ii 1y~

iii x~Ky~ ⋅= mit: Ki=Gleichgewichtskonstante

ideal: ( )pTpK

*i

i =

∑=

=n

1ii 1x~

iii x~Ky~ ⋅=

ideal:

Beispiel: p=5 bar, [bar; K]

i ix~ Ai Bi

1 Ethan 0.10 781.6 4.242

2 Propan 0.40 995.5 4.321

3 n-Butan 0.30 1194 4.391

4 n-Pentan 0.20 1381 4.470

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0pTpx~Tpx~Tpx~Tpx~Tf *44

*33

*22

*11 =−⋅+⋅+⋅+⋅=

iterativ → T S=2.4°C

∑=

=⋅n

1iii 1x~K

Siedelinie, beliebig geformt

( )∑=

=⋅n

1ii

*i px~Tp

Siedelinie, linear

∑=

=n

1i i

i 1Ky~ Taulinie, beliebig

geformt

( )∑=

=n

1i*i

i

p1

Tpy~ Taulinie,

linear

ii*

i BTAplog +=

Siedepunkt?

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Darstellung für Dreistoffgemische

56% Toluol

28% m-Xylol

16% Benzol

Benzol 1

Toluol 2 3 m-Xylol

1x~2x~

3x~

Dreiecksdiagramm

Ideal! Siede- u. Taulinie linear!

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Zuordnung der Punkte aus: 1ii x~Ky~ ⋅=

Für ideal: ii

i x~p

)T(py~ ⋅=

Somit, AB (Nassdampfisotherme): Gerade Geometrische Konstruktion:

.constp

)T(pBCAC

x~y~ i

i

i ===∗

Für reale Gemische:

Alle Linien gekrümmt,

Binäre und ternäre Azeotrope

A

B

C

Dampf

Flüssigkeit

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Berechnung: Absatzweise Destillation, Mehrstoffgemisch.

Gesamtbilanz Blase: gl N0

dtdN

−=

Blase, Komponente i: igil y~N0

dt)x~N(d

−=

Eliminieren ( )gN , Trennen:

ii

i

l

l

x~y~x~d

NNd

−=

Eliminieren ( )iy~ aus: jj

iiij x~y~

x~y~=ω

iil

i x~y~Nlnd

x~d−=

l

i

i

i

Nlndx~lnd1

x~y~

+=

jijilij x~lndx~lndNlnd)1( ⋅ω−=⋅−ω Integrieren mit .constij =ω

0,j

jij

o,i

i

0,l

lij x~

x~ln

x~x~ln

NNln)1( ⋅ω−=⋅−ω

)1(

o,l

l

0,j

j0,ii

ijij

NN

x~x~

x~x~−ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

l

j

l

i

ij

Nlndx~lnd

1

Nlndx~lnd

1

+

+=ω

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Entflechten (i und j),

∑=

=n

1ii 1x~ (!)

n Gleichung, n Unbekannten )x~( j

Lösung der einen Gleichung genügt!

Umrechnen, j

iijji x~

x~y~y~ ω=

Entflechten (i und j),

1y~n

1ii =∑

= (!)

jy~ = momentane Dampfzusammensetzung.

Akkumulierte Dampfzusammensetzung =

Zusammensetzung des Destillats D,ix~ .

l0,lD NNN −= ; il0,i0,lD,iD x~Nx~Nx~N −=

n,...,2,1j;1NN

x~x~

x~)1(

0,l

ln

1i 0,j

j0,i

ijij

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ωω

=∑

j

in

1iij

j x~x~

y~1 ∑

=

ω= ; j = 1,2,……n

i0,ll

0,ll0,i

0,llD,i x~

NN1NN

x~NN1

1x~−

−−

=

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Übungsbeispiel: Absatzweise Destillation eines Dreistoffgemisches

Kurven invariant gegenüber Verschiebung des Anfangspunktes,

solange die Anfangszusammensetzung darauf liegen.

Kurven auf ∞→0,l

l

NN

rückextrapolierbar!

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

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Auf Dreiecksdiagramm durchgehende Prozesslinien!

Alle Gemische, die darauf liegen, machen die gleiche Destillation

durch!

Einschränkung bei der Berechnung:

ωij=const. Ideale Gemische

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

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Berechnung: stetige Destillation, Mehrstoffgemisch

Gesamtbilanz Blase: gl NNN +=

Blase, Komponente: igili y~Nx~Nz~N ⋅+⋅=⋅

Früher gesucht: ( ) ( )0,lli0,lli NNy~;NNx~

Nun neuer Parameter:

Schnitt (cut)

Gesucht: ( ) ( )νν ii y~;x~

Es gilt: ( ) iii y~x~1z~ ⋅ν+⋅ν−=

Eliminieren )y~( i aus:

Zulauf

Produkt

Rückstand

iz~,N

il x~,N

ig y~,N

NNg=ν

jj

iiij x~y~

x~y~=ω

)1(x~z~

)1(x~z~

j

j

i

i

ij

ν−−

ν−−=ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−−

ν= )1(

x~z~1

x~y~

i

i

i

i

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

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Entflechten (i und j)

(!)

Lösung einer dieser Gleichungen genügt!

Umrechnen:

Entflechten (i und j)

(!)

wie gehabt!

Für binäre Gemische auch analytisch lösbar (quadratische Gleichung).

( ) ( )ν−⋅−ω−⋅ω=

11x~z~

z~x~

ijj

jij

ii

1x~n

1ii =∑

=

( ) ( )n,...,2,1j;1

11x~z~

z~n

1iij

j

jij

i ==ν−⋅−ω−⋅ω

∑=

j

iijji x~

x~y~y~ ⋅ω⋅=

1y~n

1ii =∑

=

n,...,2,1j;x~x~

y~1 n

1i j

iij

j

=⋅ω= ∑=

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Beispiel: Zweistoffgemisch

Darstellung im Zusammensetzungsdiagramm

0,5

1,0

0,5 1,00 0

1x~

1y~ 1y

1x

ν

312 =ω5,0z~1 =

0=ν Der Bescheidene

0.1=ν Der Gierige

5.0=ν Der Realist

1y~

1x~

5,0=ν

1

00 1

0=ν

1=ν

1=ω5,1=ω

3=ω5=ω

Zulauf

( ) 112

1121 x~11

x~y~⋅−ω+

⋅ω=

Gleichgewichtslinie (Trennkurve)

( ) 111 y~x~1z~ ⋅ν+⋅ν−=

11 z~1x~1y~ ⋅ν

+⋅ν

ν−−=

Stufenbilanzlinie mit der Steigung: ( ) νν−−= 1q

Vollständige Trennung nur wenn: )!(!12 ∞→ω ; 1z~=ν

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Was nun?

Trennkaskade, Rektifikation

Rückführung

Produkt

PN (product)

Rückstand

WN (waste)

Was machen wir damit?

Verstärkungsteil

Abtriebsteil

11F y~x~z~:0 −+ ==

20 x~y~:1 +=+

31 x~y~:2 ++ =+

Allerdings: Rückführung=Vermischung=Entropieerzeugung= schlechtere Trennwirkung

Sei denn:

Gleiche Zusammensetzung aller Ströme, die in eine Stufe reingehen.

Idealkaskade

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

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Darstellung einer Idealkaskade sehr einfach!

Am Ende:

Was bedeutet das für die übrigen, internen Betriebsgrößen der

Kaskaden?

Der Schnitt für 0 vorgegeben

11F y~x~z~:0 −+ ==

20 x~y~:1 +=+

31 x~y~:2 ++ =+ usw.

Alle Zusammensetzungen durch die Forderung der Idealität fixiert!

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Gesamtbilanz: WPF NNN += WWPPFF x~Ny~Nz~N ⋅+⋅=⋅ Bilanzen im Verstärkungsteil: P2,l1,g NNN += ++

PP22,l11,g y~Nx~Ny~N ⋅+⋅=⋅ ++++

(Eliminieren PN ):

2,1,R2P

1P

1,g

2,l Px~y~y~y~

NN

+++

+

+

+ =−−

=

Bilanzlinie im Verstärkungsteil, mit der Steigung: PV,+1,+2 Generell:

λ−λλ

−λ

−λ

λ =−

−= ,1,R

P

1P

1,g

,l Px~y~

y~y~

NN

für Stufe λ.

Bilanzlinien mit unterschiedlichen Steigungen.

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

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Außerdem definiert man das Rücklaufverhältnis.

λ−λ −= ,l1,gP NNN

λ−λ−λ

λ = ,1,V1,g

,l PNN

Idealkaskade variables Rücklaufverhältnis

Für die oberste Stufe gilt: 0PP P,,V,1,V == λλ−λ

01,V =υ +λ

Ferner:

Schnitt für Stufe λ: 1,g1,l

,g

NNN

−λ+λ

λλ +

=υ (Definition)

1,g

,l,1,V N

NP

−λ

λλ−λ =

λ

+λ+λλ =

,g

1,l1,,V N

NP (Definition)

Bilanz für Stufe λ: 1,l1,g,l,g NNNN +λ−λλλ +=+

und

P

,l,V N

N λλ =υ

λ−λ

λ−λλ −

=υ,1,V

,1,V,V P1

P

λ

λλ−λ υ+

υ=

,V

,V,1,V 1

P

λ−λ

+λλ+λλ

λ −−

+=υ ,1,V

1,,V1,,V P1

P1P1

1,V,V

1,V

11

+λλ

+λλ υ+υ+

υ+=υ

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Im Abtriebsteil erhält man analog:

λ−λλ

−λ

−λ

λ =−

−= ,1,S

W

1W

1,g

,l Px~x~

y~x~

NN

Bilanzlinie und ihre Steigung

W

,l,S N

N λλ =υ Definition Rücklaufverhältnis

1PP

,1,S

,1,S,S −

=υλ−λ

λ−λλ Zusammenhang RLV ↔ SBL

1P

,S

,S,1,S −υ

υ=

λ

λλ−λ Zusammenhang SBL ↔ RLV

1P1P

P1

,1,S

1,,S1,,S −

−+=

υ λ−λ

+λλ+λλ

λ Zusammenhang Schnitt ↔ SBL

11

,S1,S

1,S

−υ+υ−υ

=υλ+λ

+λλ Zusammenhang Schnitt ↔ RLV

In einer Idealkaskade

muss auch der Schnitt

veränderlich sein!

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Stufenzahl einer Idealkaskade.

Gleichgewicht: 0

012

0

0

x~1x~

y~1y~

−⋅ω=

20 x~y~ += 0

012

2

2

x~1x~

x~1x~

−⋅ω=

− +

+

Gleichgewicht: 2

212

2

2

x~1x~

y~1y~

+

+

+

+

−⋅ω=

42 x~y~ ++ = 2

212

4

4

x~1x~

y~1x~

+

+

+

+

−⋅ω=

0

0212

4

4

x~1x~

y~1x~

−⋅ω=

− +

+

Allgemein: 0

0r12

r2

r2

x~1x~

y~1x~

−⋅ω=

Mit: W0 x~x~ =

P1nr2 y~x~x~ == + (2r=n+1)

W

W21n

12P

P

x~1x~

y~1y~

−⋅ω=

+

1ln

x~x~1

y~1y~ln

2n12

W

W

P

P

−ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅

−⋅=

1.0x~W = 9.0y~P = n=7 0.312 =ω

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Konstruktion einer Idealkaskade sehr aufwendig, deswegen

Normalkaskade.

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−

λ

−λ

Vg

lV

P

1P

NNP

x~x~y~y~ const. Verstärkungsgerade

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−

λ

−λ

Ag

lA

W

1W

NNP

x~x~y~y~ const. Abtriebsgerade

Entsprechendes gilt für die Rücklaufverhältnisse und für die Schnitte,

z.B.

.constP1

PNN

V

V

VP

lV =

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡=υ

.const1P

PNN

A

A

AW

lA =

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡=υ

Abtrieb

Verstärkung

A: Gemeinsamer

Schnittpunkt,

Erfüllung der

Gesamtbilanz

Nun jedoch vermischen

sich Ströme mit

unterschiedlicher

Zusammensetzung

z.B. 13 y~,x~ ++

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unendlich viele Stufen

Mindestrücklaufverhältnis

(max. Investitionskosten)

∞→υV

Totaler Rücklauf

Mindeststufenzahl nmin

(min. Stufenzahl)

Berechnung von nmin graphisch oder analytisch

( )!x~y~ 1+λλ =

In der Praxis: ! !

P

Pmin,V x~y~

y~y~P−−

=

00

0P

min,V

min,Vmin,V x~y~

y~y~

P1P

−−

=−

1P max,V = , 1PA =

0NP = , 0NW =

12

W

W

P

P

min lnx~

x~1y~1

y~lnn

ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅

−=

( ) min,VV 5.25.1 ν⋅÷=υ

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Ausführung: Mehrere Stufen für stetige Destillation

Kopplung zwischen Verdampfung und Kondensation?

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Verstärkungslinie?

PV,lV,g NNN +=

PPV,lV,g x~Nx~Ny~N ⋅+⋅=⋅

PV,l

PP

PV,l

V,l

NNx~Nx~

NNN

y~+⋅

+⋅+

=

P

V,l

NN

Verstärkungslinie

0NP = ∞→υ 1atan =

(totaler Rücklauf)

x~;N V,l y~;N V,g

PP x~;N

1x~x~

1y~ P

+υ+⋅

+υυ

=

1NN

atanV,g

V,l

+υυ==

Gültig wenn:

j,vi,v h~h~ ∆=∆

0h~Misch =∆ Keine Wärmeverluste

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Abtriebslinie?

WA,lA,g NNN +=

WWA,lA,g x~Nx~Ny~N ⋅+⋅=⋅

Zulaufboden?

x~;N A,l y~;N A,g

WW x~;NA,g

WW

A,g

A,l

Nx~Nx~

NN

y~ ⋅−⋅=

A,g

A,l

NN

tan =β

0V,g y~;N 1V,l x~;N +

1A,g y~;N − 0A,l x~;N

FF x~;N

FN;q

FV,lA,l NqNN ⋅+=

( ) FA,gV,g Nq1NN ⋅−+=

q: Anteil siedender Flüssigkeit im Zulauf

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( ) gS,FF h~q1h~qh~ ⋅−+⋅=

VS,Fg h~h~h~ ∆+=

0V,g0A,l1A,g1V,lFF y~Nx~Ny~Nx~Nx~N ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅ −+ (Bilanz)

Am Schnittpunkt zwischen Verstärkungs- und Abtriebsgerade:

x~x~x~ 10 == + y~y~y~ 01 ==−

( ) y~

Nq1NN

x~NqNN

x~NF

A,gV,g

F

A,lV,lFF ⋅

⋅−−

=⋅⋅−−

+⋅

Schnittpunktgerade

WP x~,x~ gegeben…

V

FS,F

h~h~h~

1q∆

−+=

1qx~x~

1qqy~ F

−+⋅

−=

Verstärkungsgerade,

Schnittpunktgerade,

Schnittpunkt,

Abtriebsgerade

vollständiges Betriebsdiagramm

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WPF NNN += FWP

WFP N

x~x~x~x~N ⋅

−−

=

WWPPFF x~Nx~Nx~N ⋅+⋅=⋅ WWP

FPW N

x~x~x~x~N ⋅

−−

=

Abzuführender Wärmestrom KQ ? lPlRggK h~Nh~Nh~NQ ⋅−⋅−⋅=

PRg NNN +=

lgV h~h~h~ −=∆

P

R

NN=υ

Zuführender Wärmestrom VQ

(keine Wärmeverluste)

gg h~,N

lP h~,NlR h~,N

KQ

( ) VPK h~1NQ ∆⋅υ+⋅=

FF h~;N

KQ

VQ

WW h~;N

PP h~;NFFWWPPKV h~Nh~Nh~NQQ ⋅−⋅+⋅+=

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q>1 unterkühlte Flüssigkeit

q=1 Flüssigkeit im

Siedezustand

0<q<1 Nassdampf

q=0 Sattdampf

q<0 überhitzter Dampf

Annahme: Gleichgewicht

1212 α=ω (!)

Theoretische Stufenzahl: Treppenkonstruktion auf Zusammensetzungsdiagramm

Verdampfer: Eine Stufe

Kondensator: Teilkondensation → Eine Stufe

Totalkondensation → Kein Trenneffekt

Theoretische Bodenzahl: n

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Beispiel:

Totalkonden- sation!

Theoretische Stufenzahl:

Verstärkung: 4

Abtrieb: 5

9

Theoretische Bodenzahl:

Verstärkung: 4

Abtrieb: 4

8 Böden

(da Verdampfer als erste Stufe zählt)

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Mindestrücklaufverhältnis minυ

Schnittpunkt auf Gleichgewichtslinie

Unendlich viele Stufen(!)

mit:

Underwood-Gleichung

bzw. für Gleichgewichtslinien

mit Wendepunkt aus der Tangente.

Beispiel: q=1

1atan

min

min

+υυ

=

( )

FP

F*

P

x~x~x~y~x~

−−

=

( )( ) FF

*F

*P

min x~x~y~x~y~x~

−−

=υ→

( ) ( ) F12

F12F

*

x~11x~x~y~

⋅−α+⋅α

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⋅α−⋅−α

=υF

P12

F

P

12min x~1

x~1x~x~

11

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Welches ν in der Praxis?

Was wenn ?h~h~ 2,V1,V ∆≠∆

Variables Rücklaufverhältnis

Darstellung im Enthalpie- Zusammensetzungs-

Diagramm

(Ponchon- Savarit- Diagramm)

Andererseits:

Totaler Rücklauf

Minimale theoretische

Stufenzahl, jedoch kein

Produkt.

für α12=const.

12

W

W

P

P

min,th lnx~

x~1x~1

x~lnn

α

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅

−=

Betriebskosten $/kg (x Durchsatz)

Gesamtkosten

Kapitalkosten $

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Eliminieren( )V,gN mit

( ) ( )y~y~Nx~y~N PPV,g +⋅=−⋅

( ) ( )RR,gP,gPV,lV,gV,g qh~h~Nh~h~N +−⋅=−⋅

Somit:

Alle Querschnittsgeraden gehen durch den Pol!

V,lV,l h~;x~;N V,gV,g h~;y~;N

P,gPP h~;y~;NRQ

Dephlegmator: Kondensation nur des Rücklaufs

PV,lV,g NNN +=

PPV,lV,g y~Nx~Ny~N ⋅+⋅=⋅

rP,gPV,lV,lV,gV,g Qh~Nh~Nh~N +⋅+⋅=⋅

P

RR N

Qq =

( ) V,gRP,g

P

V,lV,g h~qh~y~y~

h~h~x~y~

−+−=

−−

G V: Zustand des Dampfes

L V: Zustand der Flüssigkeit

L VG V: Querschnittsgerade

im Verstärkungsteil

P V: Pol der

Verstärkungskolonne

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Rücklaufverhältnis

( )ba

h~h~h~qh~

NN

V,lV,g

V,gRP,g

P

V,l =−

−+==υ

d.h. variables Rücklaufverhältnis.

Im Abtriebsteil:

( ) ( )WWA,g x~x~Nx~y~N +⋅=−⋅

( ) ( )HWA,lWA,lA,gA,g qh~h~Nh~h~N +−⋅=−⋅

mit spezifische Heizenergie

Somit:

A,lA,l h~;x~;N A,gA,g h~;y~;N

W,gWW h~;x~;N

HQ

WA,gA,l NNN +=

WWA,gA,l x~Ny~Nx~N ⋅+⋅=⋅

W,gWA,gA,gHA,lA,l h~Nh~NQh~N ⋅+⋅=+⋅

Eliminieren( )A,lN

W

HH N

Qq =

( )HWA,l

W

A,lA,g qh~h~x~x~

h~h~x~y~

+−−=

−−

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Ferner aus den Gesamtbilanzen:

Hauptgerade, verbindet:

PV: Pol der Verstärkungskolonne

PA: Pol der Abtriebskolonne

F: Zustandpunkt des Zulaufs

G A: Zustand des Dampfes

L A: Zustand der Flüssigkeit

L AG A: Querschnittsgerade

des Abtriebteils

P A: Pol der Abtriebskolonne

WPF NNN +=

WWPPFF x~Ny~Nx~N ⋅+⋅=⋅

RWWPPHFF Qh~Nh~NQh~N +⋅+⋅=+⋅

( ) ( )HWF

WF

FRP,g

FP

qh~h~x~x~

h~qh~x~y~

−−−=

−+−

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( ) ( )HWF

WF

FRP,g

FP

qh~h~x~x~

h~qh~x~y~

−−−

=−+

PV: Pol der Verstärkungskolonne

PA: Pol der Abtriebskolonne

F: Zustand des Zulaufs

W: Zustand des Rückstands

P: Zustand des Produkts

→ auf Taulinie: Dephlegmator

→ auf Siedelinie: Totalkondensator

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Stufenkonstruktion:

Die Isothermen werden mit Hilfe einer Hilfslinie auf dem Diagramm

konstruiert.

Isotherme

Querrschnitts-gerade

Hauptgerade

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Mindestrücklaufverhältnis

Unendlich viele Stufen

Querschnittsgerade// Isotherme

Totaler Rücklauf

Beide Pole im Unendlichen.

Minimale Stufenzahl

Hauptgerade für vmin

Höchster Schnittpunkt

Niedrigster Schnittpunkt

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Praktische (nicht theoretische) Stufen

Abweichung von Gleichgewicht

Stufenwirkungsgrad (Murphree)

wenn Gleichgewichtslinie und Bilanzlinie Geraden:

1*

1,M y~y~

y~y~E−λλ

−λλλ −

−=

EM,λ=0.6 bis 0.8, meistens ≈0.8

λy~ auf Beharrungslinie

Beharrungskurve

Gleichgewichts- kurve

Stufenkonstruktion entsprechend

möglich

Außerdem :

Kolonnenwirkungsgrad

.prakt

.theoro n

nE =

( )[ ]Sln1SE1lnE Mo −+=

gl

*

NNx~dy~dS =mit: Abstreiffaktor

wenn Gleichgewichtskurve und Bilanzlinie parallel: S=1

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Auslegung nach HETS

Height Equivalent to one Theoretical Stage

HETS ca.. 2cm to 15cm

Jedoch von allen möglichen Einflussgrößen abhängig.

Für Auslegung besser:

Alternativ zur Bodenkolonne

Füllkörperko-lonne

Kondensator

Verdampfer

Füllkörperschüttung

Gegenströmer

statt

Rührkesselkaskade

HETSnH th ⋅=

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Bilanz Gas: dAny~dN 1g ⋅=⋅

Kinetik Gas: ( )y~y~~n Phgg1 −⋅β⋅ρ=

Gleichgewicht: { }Ph*

Ph x~y~y~ =

Geometrie: a=A/V (Volumenbezogene Austauschfläche)

( ) dzfay~y~~y~dN Phggg ⋅⋅⋅−⋅β⋅ρ=⋅

nach Chilton/Colburn

Somit:

∫=

= −⋅

⋅⋅β⋅ρ=

P

W

x~y~

x~y~ Phgg

g

y~y~y~d

fa~N

H

HTUg NTU g

Height of a transfer unit Number of transfer unit

gg NTUHTUH ⋅=

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Analog für die Flüssigkeit:

Bilanz Flüssigkeit: dAnx~dN 1l ⋅=⋅

Kinetik Flüssigkeit: ( )Phll1 x~x~~n −⋅β⋅ρ=

Somit:

mit:

βg: gasseitiger Stoffübergangskoeffizient , [m/s]

βl: flüssigseitiger Stoffübergangskoeffizient, [m/s]

f: Kolonnenquerschnitt, [m²]

Annahme: HTUg bzw. HTUl aus Messungen bekannt.

Woher NTUg bzw. NTUl?

Graphische Lösung

∫=

= −⋅

⋅⋅β⋅ρ=

P

W

x~x~

x~x~ Phll

l

x~x~x~d

fa~NH

HTUl NTUl

ll NTUHTUH ⋅=

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Man braucht die Kontaktlinie KL:

atan~~

x~x~y~y~

gg

ll

Ph

Ph =β⋅ρβ⋅ρ

−=−−

Damit und mit bekanntem HTUg (βg) wäre auch die numerische

Auflösung möglich.

Dazu müssten PhPh y~,x~ eliminiert werden.

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Alternativ dazu

Bilanz Gas: dAny~dN 1g ⋅=⋅

Kinetik: ( )y~y~~n S,PhOV,gg1 −⋅β⋅ρ=

Als wäre der gesamte Stoffübergangswiderstand auf der Gasseite

Gleichgewicht: { }x~y~y~ *S,Ph = nicht mehr von Phx~ abhängig!

Somit haben wir Phx~ eliminiert!

Somit:

oder:

fa~NHTUOV,ll

lOV,l ⋅⋅β⋅ρ

=

{ }∫=

= −⋅

⋅⋅β⋅ρ=

P

W

x~y~

x~y~*

OV,gg

g

y~x~y~y~d

fa~N

H

HTUg,OV NTU g,OV

OV,gOV,g NTUHTUH ⋅=

OV,lOV,l NTUHTUH ⋅=

{ }∫=

= −=

P

W

x~x~

x~x~*OV,l y~x~x~

x~dNTU

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

54 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Trennung von Benzol (1)-Toluol (2) mit α12=2.42 in einer

Füllkörperkolonne mit HTUg,OV=0.5m, 50.0x~F = .

Gefordert: 02.0x~W = , 98.0x~P = . Rücklaufverhältnis: υ=3. Feed im

Siedezustand.

Gleichgewicht:

{ } ( ) x~x~1x~x~y~

12

12

⋅−α+⋅α

=

Graphische

Berechnung von

NTUg,OV

oder auch

analytisch

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

55 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Verstärkungslinie: RR qx~Py~ +⋅=

Daraus: x~dPy~d V ⋅=

{ }( )

( )∫∫

+⋅−⋅−α+

⋅α⋅

=−

==

=

Px~

Fx~VV

12

12

VPx~y~

Fx~y~*V,OV,g

qx~Px~x~1

x~x~dP

y~x~y~y~dNTU

Integration: NTUg,OV,V=7.08 , H V=3.54 m

Abtriebslinie: AA qx~Py~ +⋅=

( )( )

∫+⋅−

⋅−α+⋅α

⋅=

Fx~

Wx~AA

12

12

AA,OV,g

qx~Px~x~1

x~x~dPNTU

Integration: NTUg,OV,A=5.92 , H A=2.96 m

Es folgt schließlich: H=H V+H A=6.50 m

1+υυ

1x~P

WF

WF

x~x~x~y~

−− FAF x~Py~ ⋅−

VFR qx~P +⋅

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

56 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Und den verschiedenen kritischen Ansätzen folgt:

bzw.:

Ähnlich für βl,OV und HTUl,OV.

d.h.: Reihenschaltung der Widerstände unter Berücksichtigung

des Gleichgewichtes.

Für eine vollkommen prediktive Berechnung braucht man wohl βl und

βg!

Gleichgewicht Bilanz

mit:

{ } =− y~x~y~*

{ }( ) ( )y~y~y~x~y~ PhPh* −+−

{ } ( )PhPh* x~x~my~x~y~ −⋅=−

m: Steigung der

Gleichgewichtslinie

ggllOV,gg~

1~

m~

1β⋅ρ

+β⋅ρ

=β⋅ρ

gll

gOV,g HTUHTU

NN

mHTU +⋅⋅=

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

57 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Ausführung

Glocken

Ventile

Löcher

Bodenkolonne

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

58 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Oder „Strukturpackungen“

Auswahlkriterien:

economic evaluation

Typisches Belastungsdiagramm

Trennwirkung

Druckverlust

Belastungsbereich

Verschmutzung

Korrosion

Entrainment

Flutung

Durchregnen Pulsieren

schlechte Verteilung der Flüssigkeit

Belastungs-bereich

gV

lV

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

59 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Wie trenne ich azeotrope Gemische?

Zweidruck-Rektifikation.

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

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Heteroazeotrop- Rektifikation

für Gemische mit Mischungslücke

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Thermische Verfahrenstechnik Destillation

61 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Extraktiv- Rektifikation

Mit schwerflüchtigem Hilfsstoff (Schleppmittel). Der Hilfsstoff soll mit keiner Komponente selbst ein Azeotrop bilden. Er wird im Kreis gefahren.

Mit Hilfsstoff

Ohne Hilfsstoff

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

62 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Absorption Auflösung von Gasen in Flüssigkeiten

z.B.: -Rauchgasbehandlung

-Bei der Fermentation in Bio-VT muss O2 in Nährstoff

Desorption

Entfernung von gelöstem Gas aus einer Flüssigkeit

z.B.: -Wasserbehandlung, Desodorierung

-Bakterien oder Viren leben von Desorption bei Fermentation

Absorber: (Wäscher, Scrubber)

Desorber: (Stripper)

Reingas

Rohgas

Beladenes Waschmittel

Regeneriertes Waschmittel

Vor- kühler

Nach- Kühler

Abgetrenntes Gas

Absorber Desorber

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

63 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Was ist in einem H2O-O2-Gemisch anders als z.B. in einem H2O-

Alkohol-Gemisch?

Idealverhalten:

O2-Moleküle sehen nur ihresgleichen, d.h.:

1x~i → Raoult: { } i*ii x~TPP ⋅=

Sonst

Realverhalten:

{ } { } i*iiii x~TPT,x~P ⋅⋅γ=

Grenzfall:

O2-Moleküle sehen nur H2O-Moleküle, d.h.:

0x~i → { } { }TT,x~ iii γ≡γ

Definition: { } { } { }TPTTH *iii ⋅γ=

und somit: iii x~HP ⋅= Hi: Henry-Koeffizient

Gasphase, generell ideal:

Dalton: iii y~HP ⋅= , somit:

1x~i → i

*i

i x~PPy~ ⋅= Raoult

0x~i → ii

i x~P

Hy~ ⋅= Henry

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

64 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Ansonsten: iii

i x~P

Py~ ⋅⋅γ

=

iii x~HP ⋅= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅

=kmol

barkmolN

PNHi,g

ili

Andere Definition für die Löslichkeit:

“Bunsenscher” Absorptionskoeffizient αi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=αbarm

NmPV

V3

3

il

Oi,g

i

i,g

ili N

PNH ⋅=

l

lll M~

VN ⋅ρ=

l

Oi,g

i,g V~V

N =

kmolNm4.22V~

3

= : Avogadro-Volumen

Doch was ist anders als im H2O-Alkohol-Gemisch. Warum wurde Hi

überhaupt eingeführt?

l

l

ii M~

V~1H ρ⋅⋅

α=

l

l

ii M~

V~H1 ρ

⋅⋅=α

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

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T=30°CPi [bar] Hi=48347bar

*iP =780bar

Henry

real

Raoult

ix~

Berechnung

T200.273757.37011477.7Plog *

O2 +−= [mbar; °C]

T=30°C *O2

P = 780 bar

T=30°C αi = 0.02574 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ barm

Nm3

3

1810004.22

02574.01

M~V~1H

l

l

ii ⋅⋅=

ρ⋅⋅

α= Hi = 48347 bar

0 1

Sehr großer Abstand zwischen den Siedepunkten. Uns interessiert nur

der - markierte Bereich!

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Physikalische Absorption, z.B. O2/H2O

Schlechte Löslichkeit, ca. 20cm³ in 1l H2O/Raum

Chemische Absorption: z.B. CO2/H2O/NO2CO3

NH3/H2O

gute Löslichkeit, ca. 700l NH3 in 1l H2O/Raum

Wie die Kondensation, so ist auch die Absorption exotherm:

Absorptionsenthalpie.

Alternative Darstellung mit molaren Beladungen!

i

i

l

ii x~1

x~

NNX~

−==

i

i

g

ii y~1

y~

NNY~

−==

40°C

20°C

P=constant

ix~

iy~

0

0

T ↑ 1 bar

2 bar

T=constant

ix~

iy~

0

0

P ↓

iY~

iX~ 0

0

Beladungsdiagramm

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

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Bilanz: ausglgl Y~NX~NY~NX~N ⋅+⋅=⋅+⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+⋅= ein

g

laus

g

l X~NNY~X~

NNY~

Gleichgewicht:

ii x~my~ ⋅= i

ii x~1

x~X~−

=

PHm i=

i

ii y~1

y~Y~−

=

ausg Y~,N

X~,Nl

einl X~,N

eing Y~,N

Y~,N g

ausl X~,N

Bilanzraum

Ausführung

z.B. in Bodenkolonne,

jedoch ohne Unterteilung

in Verstärkung- und

Abtriebsteil.

Bilanzlinie

( ) X~m11X~mY~ *

⋅−+⋅

=

Gleichgewichtslinie

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a

1

3

2

X~

Y~

einY~

ausY~

einX~ ausX~

Bilanz

Gleichgewicht

g

l

NNatan =

min,lN : Mindestwaschmittelstrom

Y~

X~ausY~

einX~ max,ausX~

einY~

aminmingmin,l atanNN ⋅=

nth → ∞

Bilanz

Gleichgewicht

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ausX~

einY~

ausY~

einX~

Y~

X~

Bilanzlinie

Gleichgewichtslinie

nichtisotherme Absorption

l

Astst c~

h~x~T ∆⋅∆=∆

Erwärmung des Waschmittels

nth ↑

X~

Y~

λX~

Stufenwirkungsgrad *1

1,M Y~Y~

Y~Y~Eλ−λ

λ−λλ −

−=

Oft recht klein….!

Gleichgewichtslinie

Bilanzlinie

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

70 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Apparate für Gas-Flüssig-Kontakt

Oberflächenabsorber

Fallfilm

Füllkörperkolonne

Bodenkolonne

Düsenstrahl

CSTR Begaster Rührkessel

Blasensäule

Beide Phasen zusammenhängend

Gas dispers Flüssig. zusammenh.

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

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Leistung Druckverlust bzw.

Energieverbrauch

Flüssigkeit dispers Gas zusammenhängend

Sprühturm Venturi

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

72 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

In Füllkörperkolonnen:

Bilanz Gas: dAnY~dN 1g ⋅−=⋅

Bilanz Flüssigkeit: dAnX~dN 1l ⋅−=⋅

Kinetiken:

Richtig (weil nicht äquimolar):

y~1y~1ln~n Ph

gg1 −−

⋅β⋅ρ=

Phll1 x~1

x~1ln~n−−

⋅β⋅ρ=

Mit Beladungen: Y~1Y~y~+

= , X~1X~x~+

=

Ph

gg1 Y~1Y~1ln~n

−−

⋅β⋅ρ= X~1X~1ln~n Ph

ll1 −−

⋅β⋅ρ=

Y~,Nl

X~,Ng

gN ,

ausY~

lN , ausX~

lN

einX~

gN

einY~

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

73 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Linearisiert (an sich falsch)

( )PhOgg1 Y~Y~~n −⋅β⋅ρ= ( )X~X~~n Ph

Oll1 −⋅β⋅ρ=

Zusammenhänge:

( )( )

gPh

PhOg Y~Y~

Y~1Y~1ln

β⋅−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

( )( )

gPh

Ph

Ol X~X~

X~1X~1ln

β⋅−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

für: 1X~ ⟨⟨ , 1Y~ ⟨⟨ gOg β=β , l

Ol β=β

Gleichgewicht: { }Ph*

Ph X~Y~Y~ =

Es folgt:

{ } { }∫∫ −⋅

⋅⋅β⋅ρ=

−⋅

⋅⋅β⋅ρ=

ausX~

einX~ Ph*O

ll

leinY~

ausY~ Ph*O

gg

g

X~Y~X~X~d

fa~N

X~Y~Y~Y~d

fa~N

H

Ol

Ol

Og

Og NTUHTUNTUHTUH ⋅=⋅=

Ähnlich wie bei der Rektifikation!

Für die numerische oder graphische Auswertung brauch man PhX~

bzw. PhY~ .

Berechenbar bei bekanntem:

Oll

Ogg

Ph

Ph

Ph

Ph

ll

gg~~

Y~Y~X~X~

Y~1Y~1ln

X~1X~1ln

~~

β⋅ρ

β⋅ρ−=

−−

+++

+

=β⋅ρ

β⋅ρ−

≈ Bei kleinen Beladungen!

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

74 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Oder entlang der horizontalen oder vertikalen gehen und den

gesamten Widerstand einer der Phasen zuordnen.

Dann:

{ } { }∫∫ −⋅

⋅⋅β⋅ρ=

−⋅

⋅⋅β⋅ρ=

ausX~

einX~*O

OV,ll

leinY~

ausY~*O

OV,gg

g

X~Y~X~X~d

fa~N

X~Y~Y~Y~d

fa~N

H

OOV,l

OOV,l

OOV,g

OOV,g NTUHTUNTUHTUH ⋅=⋅=

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Thermische Verfahrenstechnik Absorption, Desorption

75 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Dies ist eine Eliminierung! Es gilt weiterhin:

Og

Ol

OOV,g HTUHTUSHTU +⋅=

mit: gl

*

NNX~dX~dS = Abstreichfaktor

Gemessene OOV,gHTU gelten für ein Gemisch, eine Packung und einen

engen Bereich der Betriebsparameter.

Für bessere Übertragbarkeit Ogβ , O

lβ / gβ , lβ

Bei Desorption:

a

amax

X~

Y~

max,ausY~

ausY~

einY~

ausX~ einX~

maxlmin,g atanNN +=Mindestinertgasstrom

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

76 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Extraktion insbesondere Flüssis-Flüssig-Extraktion.

Wenn Rektifikation zu aufwendig, z.B.:

• Eng siedende oder azeotrope Gemische,

• Gemische mit kleinem Anteil an höhersiedendem Wertstoff,

• Temperaturempfindliche Gemische usw.

Abgeber + Wertstoff

+ Lösungsmittel

Anforderungen:

• Selektivität: Lösungsmittel/Wertstoff

• Mischungslücke: Lösungsmittel /Abgeber

zwecks nachfolgender Abtrennung

Extrakt (viel Wertstoff)

Raffinat (wenig Wertstoff)

Feed: Abgeber+ Wertstoff

Lösungsmittel (Solvent)

Extrakt

Raffinat

Mischer (Mixer)

Abschneider(Settler)

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

77 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Dreiecksdiagramm

MER NNN =+

AMMAEEARR z~Nz~Nz~N ⋅=⋅+⋅

ER NMENRM ⋅=⋅ Hebelgesetz

Wertstoff

Lösungsmittel

Extraktphase

Raffinatphase

Konnode

Einphasengebiet (homogen)

Löslichkeitskurve

kritischer Punkt

Zweiphasengebiet (heterogen)

Schichtenzuordnungskurve

Anreicherung

P,T=const

ER

AEEARRAM NN

z~Nz~Nz~+

⋅+⋅=

( ) ( ) EAMAERARAM Nz~z~Nz~z~ ⋅−=⋅−

Abgeber

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

78 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Einfluss des Drucks: i.d.R. unwesentlich

Einfluss der Temperatur:

T4=binäre kritische Lösungstemperatur

T4=ternäre kritische Lösungstemperatur

Mit steigender Temperatur wird die Mischungslücke kleiner!

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

79 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

••

Oder auch “Jänecke-Diagramm”

Vorteilhaft:

Streckung der

Koordinate

BRAR

SR

BRAR

SR

z~z~z~

NNNV~

+=

+=

BEAE

SE

BEAE

SE

z~z~z~

NNNW~

+=

+=

BRAR

AR

BRAR

AR'

z~z~z~

NNNX~

+=

+=

BEAE

AE

BEAE

AE'

z~z~z~

NNNY~

+=

+=

10 0

E

KR

'' Y~,X~'Y~'X~

W~,V~

W~

V~

0< V~ < ∞

0< W~ < ∞

Lösungs-mittel

0< 'X~ < ∞

0< 'Y~ < ∞Wertstoff

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

80 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Beladungsdiagramm

SRAR

AR

BR

AR

z~z~1z~

NNX~

−−==

BEAE

AE

SE

AE

z~z~1z~

NNY~

−−==

Sinnvoll bei

• Abgeber und Lösungsmittel kaum ineinander löslich

• Wertstoffkonzentration klein

Dreiecksdiagramm Gleichgewichtsdiagramm

X~

Y~

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

81 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

M muss im Zweiphasengebiet sein!

Zwei Grenzfälle

1.)

2.)

Geizig an Lösungsmittel!

minimale Lösungsmittelmenge min,SN :

FASAD

ADAFmin,S N

z~z~z~z~N ⋅

−−

=

Nur Raffinat!

Zu großzügig an

Lösungsmittel!

Maximale Lösungsmittelmenge max,SN :

FASAG

AGAFmax,S N

z~z~z~z~N ⋅

−−

=

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

82 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Einstufige Extraktion (eine theoretische Stufe)

MSF NNN =+

AMMASSAFF z~Nz~Nz~N ⋅=⋅+⋅

ERM NNN +=

AEEARRAMM z~Nz~Nz~N ⋅+⋅=⋅

Stufe

Raffinat R

Extrakt E

Zulauf F

Lösungsmittel

0AFF X~,z~,N

1AEE Y~,z~,N0ASS Y~,z~,N

1ARR X~,z~,N

F+S→MFMMSNN SF =

SF

ASsAFAFAM NN

z~Nz~Nz~+

⋅+⋅=

M→R+E

RMMENN ER =

MARAE

AMAER N

z~z~z~z~N ⋅

−−

=

MARAE

ARAME N

z~z~z~z~N ⋅

−−

=

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

83 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Auf dem Beladungsdiagramm:

1S1B0S0B Y~NX~NY~NY~N ⋅+⋅=⋅+⋅

Für nicht ineinander mischbare Abgeber- und

Lösungsmittelphase!

BR

AR

NNx~ =

SE

AE

NNy~ =

( ) 001S

B1 Y~X~X~

NNY~ +−⋅−=

S

B

NNatan −=

Gleichgewicht

Bilanzgerade

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

84 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Mehrstufige Kreuzstromextraktion

Punkt “S“

bleibt konstant

Gleichgewichtskurve

Bilanzgerade

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

85 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Mehrstufige Gegenstromextraktion

Gesamt: RSn,R1,EF NNNNN ∆=−=−

Unt. Kolonnenende: R1m,Em,R1,EF NNNNN ∆=−=− +

Ob. Kolonnenende: RSn,Rm,E1m,R NNNNN ∆=−=−−

Stufe m: R1m,Em,Rm,E1m,R NNNNN ∆=−=− +−

Bilanzgeraden schneiden sich zum gemeinsamen Pol P!

Stufenkonstruktion:

Hier 6 Stufen! F,S und Rn: bekannt!

Konnode

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

86 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Lösungsmittelverhältnis:

SN ↓ ν ↓ M→F Bilanzgeraden steiler

irgendwann ist Bilanzgerade parallel zur Konnode.

n→ ∞ , minν → Mindestlösungsmittelverhältnis

(graphisch): P≡Pmin

Pmin= entferntester Schnittpunkt Konnode / SR n

MSFM

NN

F

S ==ν

Konnode

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

87 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

mit Beladung

(Abgeber schwer löslich in Lösungsmittel)

mSausBeinS1mB Y~NX~NY~NX~N ⋅+⋅=⋅+⋅ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+⋅= − aus

S

Bein1m

S

Bm X~

NNY~X~

NNY~

Bilanzgerade

Gleichgewichtskurve

Bilanzgerade

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

88 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

weitere Trennung

des Extrakts notwendig

Jedoch: Durch Extraktion keinereinen Phasen! Extrakt: Bestenfalls ein Gemisch vom Wertstoff A und vom Lösungsmittel S.

• Rektifikation

• Kristallisation

• Eindampfung

Gleichgewichts-kurven

Bilanz-geraden

n→∞

min,SN (Mindestlö-sungsmittelmenge)

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

89 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Für schnellere Phasentrennung:

Zentrifugalextraktoren

leichte Phase schwere Phase

Teller

“Podbielniak”

leichte Phase schwere Phase

Phasentrennfläche

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

90 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Kolonnen:

• Ohne Energieeintrag

• mit rotierenden Einbauten

• pulsierend

Siebböden

Füllkörper

“Scheibel”

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

91 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

“Kühni” Rotating Disc-Contactor (RDC)

Graesser-Contactor

Asymmetrical RDC (ARDC)

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Thermische Verfahrenstechnik Extraktion

92 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

pulsierte Füllkörperkolonne pulsierte Siebbodenkolonne

Schwingplattenkolonne

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Thermische Verfahrenstechnik Trocknung

93 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

ll ;H ϑ;Ml

Grundlagen der Konvektionstrocknung Verdunstung einer Flüssigkeit z.B.: Wasser(1) in Luft(2)

Zunächst gemeinsam:

Massenbilanz für Wasser, gesamter Apparat:

aus,12ein,12

l YMYMdt

dM⋅−⋅= (1)

Energiebilanz, gesamter Apparat:

aus,g2ein,g2

l hMhMdt

dH⋅−⋅= (2)

2M aus,gϑ

aus,1Y

ein,gein,1ein,g2 h;Y;;M ϑ2M

ein,gϑ

ein,1Y

ein,gh

2M aus,gϑ

aus,1Y

aus,gh

lll ;H;M ϑ

2

Ph1,g2,g1,g M

ANTU

⋅β⋅ρ=

1,gNTU ∞ 1,gNTU 0

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Thermische Verfahrenstechnik Trocknung

94 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Definition, Enthalpie der Gasphase:

( )gg,1POPh1g2Pg chYch ϑ⋅+∆⋅+ϑ⋅= (3)

Definition, Enthalpie der Flüssigphase:

ll,1Pll cMH ϑ⋅⋅= (4)

1. Grenzfall: Sättigung (Gleichgewicht)

ASlaus,g ϑ≡ϑ=ϑ Gleichgewicht ist erreicht (5a)

{ }AS*

1aus,1 YY ϑ= (5b)

)1()2(

aus,1ein,1

aus,gein,g

l

l

YYhh

dMdH

−−

=

(4) =ϑ

⋅⋅+ϑ⋅l

lll,1Pll,1P dM

dMccaus,1ein,1

aus,gein,g

YYhh

−−

(3) =ϑ

⋅⋅+ϑ⋅l

lll,1Pll,1P dM

dMcc

( ) ( )aus,1ein,1

aus,gg,1POPhaus,1aus,g2Pein,gg,1P

OPhein.1ein,g2P

YYchYcchYc

−ϑ⋅+∆⋅−ϑ⋅−ϑ⋅+∆⋅+ϑ⋅

1,gNTU ∞

ASϑ : Adiabatische Sättigungstemperatur

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Thermische Verfahrenstechnik Trocknung

95 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

5) =ϑ⋅ ASl,1Pc

{ }

{ } 1PP

M~M~

Y

AS*

1

2

1

AS*

1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ϑ

{ } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϑ+

+⋅=ϑAS

0AS*

1 CBAexpPP

2. Grenzfall:

ein,gaus,g ϑ=ϑ (5a)

ein,1aus,1 YY = (5b)

WBl ϑ=ϑ (=constant) (5c)

Ungleichgewicht, Kinetik

( ) { } ( ){ }AS

*1ein,1

ASg,1POPhAS

*1AS2Pein,gg,1P

OPhein,1ein,g2P

YYchYcchYc

ϑ−ϑ⋅+∆⋅ϑ−ϑ⋅−ϑ⋅+∆⋅+ϑ⋅

( ) { }( )ein,1*

1g,1Pein,12P

ASl,1Pg,1POPh

ASein,g YYcYc

cch−ϑ⋅

⋅+ϑ⋅−+∆

+ϑ=ϑFormel für die adiabatische Sättigungstemperatur

mit:

1,gNTU 0

WBϑ : Adiabatische Beharrungstemperatur

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Nun:

Kinetik für Wärmeübertragung

( )laus,gPhg AQ ϑ−ϑ⋅⋅α= ⊗ (1)

Kinetik für Stoffübertragung

{ }( )aus,1l*

1Ph1,g2,g1 YYAM −ϑ⋅⋅β⋅ρ= ⊗ (2)

Wärmeübertragung um Phasengrenzfläche

( )( )ll,1Pg,1POPh1 cchMQ ϑ⋅−+∆⋅= (3)

(1)+(2) in (3)

( )( ) { }( )aus,1l*

1ll,1Pg,1POPh

g

1,g2,glaus,g YYcch −ϑ⋅ϑ⋅−+∆

αβ⋅ρ

+ϑ=ϑ ⊗

(5)

( ) { }( ) ( )( )ll,1Pg,1POPhaus,1l

*1Ph1,g2,glout,gPhg cchYYAA ϑ⋅−+∆⋅−ϑ⋅⋅β⋅ρ=ϑ−ϑ⋅⋅α ⊗⊗

( )( ) { }( )ein,1B*1Bl,1Pg,1P

OPh

g

1,g2,gBein,g YYcch −ϑ⋅ϑ⋅−+∆

αβ⋅ρ

+ϑ=ϑ ⊗

Formel für adiabatische Beharrungstemperatur

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Analogie zwischen Stoff- und Wärmeübertragung:

31m ScReaSh ⋅⋅=

31m PrReaNu ⋅⋅=

mit:

κυ

=Pr δυ

=Sc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

δκ

=PrScLe

12,g

1,g LSh

δ

⋅β=

g

g LNu

λ

⋅α=

313

1

LePrSc

NuSh

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

12,g

g

g

1,g

NuSh

δ

λ⋅

α

β= ⊗

( )g,1Pein,12P2,ggg cYc ⋅+⋅ρ⋅κ=λ

( )g,1Pein,12P12,g

g

g

1,g2,g cYcNuSh ⋅+⋅

δκ

⋅α

β⋅ρ= ⊗

( ) 31

g,1Pein,12Pg

1,g2,g LecYcLe =⋅+⋅⋅α

β⋅ρ⊗

( ) 32

g,Pein,12Pg

1,g2,g

LecYc

1

⋅⋅+⋅

αβ⋅ρ

( )( )

{ }( )ein,1WB*

13

2

g,1Pein,12P

WBl,1Pg,1POPh

WBein.g YYLecYc

cch−ϑ

⋅⋅+

ϑ⋅−+∆+ϑ=ϑ

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Thermische Verfahrenstechnik Trocknung

98 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Ähnliche Formeln für physikalisch entgegengesetzte Grenzfälle:

Sättigung Behaarung

ASϑ WBϑ Gleichgewicht Kinetik

Le>1 WBϑ > ASϑ

Le<1 WBϑ < ASϑ

Le=1 WBϑ = ASϑ

(stimmt ungefähr für H2O, Le=0.87)

Statischer Beobachter:

111 y~NNN ⋅+=

222 y~NNN ⋅+=

1,gNTU 0 1,gNTU ∞

Was bedeutet ⊗β 1,g ?

S

Flüssigkeit

Grenzschicht

turbulenter Kern ∞,1y~

{ }l*1Ph,1 y~y~ ϑ=

Teilstrom Diffusionsstrom

Gesamtstrom

Schleppstrom

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Thermische Verfahrenstechnik Trocknung

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binäre Diffusion 0NN 21 =+

Somit: 21 NNN +=

Jedoch: 0N 2 = Wasseroberfläche für Luft undurchlässig

Es folgt: 1NN =

111 y~NNN ⋅+=

Für 1N der “Fick’sche Ansatz ”.

Somit:

( )dSy~dnAy~1N 1

12,gg11 ⋅δ⋅⋅−=−⋅

( )dS

y~1lndnAN ,1

12,gg1∞−

⋅δ⋅⋅=

{ }⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϑ−

−⋅

δ⋅⋅= ∞

l*1

,112,gg1 y~1

y~1ln

SnAN

mit: 1,g12,g

Sβ=

δ (“Filmtheorie”)

Einseitige Diffusion

( ) 111 Ny~1N =−

{ }⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϑ−

−⋅β⋅⋅= ∞

l*1

,11,gg1 y~1

y~1lnnAN

korrekter Ansatz

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100 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Mit Beladung und mit aus.1Y für ∞.1Y folgt:

{ }

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⋅+

ϑ⋅+⋅⋅⋅β⋅ρ= ⊗

aus,11

2

l*

11

2

2

1Ph1,g2,g1

YM~M~1

YM~M~1

lnM~M~AM

Wir haben hingegen geschrieben:

{ }( )aus,1l*

1Ph1,g2,g1 YYAM −ϑ⋅⋅β⋅ρ= ⊗

Es folgt:

{ }

{ }( )aus,1l*

11

2

aus,11

2

l*

11

2

1,g

1,g

YYM~M~

YM~M~1

YM~M~1

ln

−ϑ⋅

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅+

ϑ⋅+

=ββ⊗

Nur für kleine Beladungen (Y1→0), d.h. kleine

Temperaturen ϑl ist ⊗β 1,g → 1,gβ

Ansonsten macht man immer einen Fehler, wenn man den

linearisierten Ansatz mit Beladungen verwendet, ohne den β-Wert

entsprechend zu korrigieren!

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101 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Darstellung feuchter Luft für P=const.

( )gg,1POPh1g2Pg chYch ϑ⋅+∆⋅+ϑ⋅=

hg in [J/kg trockener Luft]

Das h-Y- oder Mollier-Diagramm

kgkJ2500hO

Ph =∆

KkgkJ005.1c 2P ⋅=

KkgkJ842.1c g,1P ⋅=

h

Y

ϑ=const.>0 cP1,g

.ϑg

cP2,g.ϑg

OPh1 hY ∆⋅

ϑ=0

h=0

h=const.

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102 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

ϑ=const.

Sättigung: 1PP

*1

1 ==ϕ

für: *1

*1

2

1*1 PP

PM~M~Y

−⋅=

Linien mit φ=const <1

*1

*

2

11 PP

PM~M~Y 1

⋅ϕ−

⋅ϕ⋅=

Somit:

Was macht die Isotherme im Nebelgebiet?

Nebel

φ=1

φ=0.2

Y

h Ungesättigte Luft

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103 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

ϑ=const. ϑ

Die Enthalpie der Wassertröpfchen muss berücksichtigt werden.

( ) ϑ⋅−⋅+= *l,1P

* YYchh KkgkJ187.4c l,1P ⋅

=

(Nebelisotherme)

Jedoch daraus:

Zurück zu der Ableitung der adiabatischen Sättigungstemperatur:

!

φ=1

Y

Ungesättigte Luft

Y*

cP,l.(Y-Y*).ϑ

h

ϑ⋅=−−

l,1P*

*

cYYhh

ASl,1P*1ein,1

*gein,g c

YYhh

ϑ⋅=−−

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Thermische Verfahrenstechnik Trocknung

104 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

ϑAS

ϑAS

h ϑg,ein

Sättigungszustand

Daher:

Luftzustände, die zur gleichen adiabatischen Sättigungstemperatur

führen, liegen im Mollier-Diagramm auf der Verlängerung einer

Nebelisotherme.

Wie schnell verdunstet die Flüssigkeit bei NTU g,1→∞ ?

Y

h

ϑAS=const.

ϑAS

YY1* Y1,ein

Lufteintrittszustand

( )lM5.0

lein,1

*12 dt

dMYYM −=−⋅

( )∫ ∫−=⋅−⋅%50t

0

5.0,lM

0,lMlein,1

*12 dMdtYYM

( ein.1*

12

0,l%50 YYM

M5.0t

−⋅⋅

=

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105 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

Wie schnell verdunstet die Flüssigkeit bei NTU g,1→0 ?

ϑWB ist auf dem Mollier-Diagramm grundsätzlich nicht darstellbar,

jedoch wie abgeleitet berechenbar.

Es gilt: dtdMM l

1 −=

1

0,l%50 M

M5.0t

⋅=

mit: { }( )ein,1WB*

1Ph1,g2,g1 YYAM −ϑ⋅⋅β⋅ρ= ⊗

Somit:

Die dazwischen liegenden Fälle müssen gesondert berechnet werden!

{ }( ein,1WB*

1Ph1,g2,g

0,l%50 YYA

M5.0t

−ϑ⋅⋅β⋅ρ⋅

= ⊗

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106 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

m [kgH2O/s/m2]

crXeqX

Konvektionstrocknung Trocknungskurve des Einzelkörpers

Xcr: kritische Feuchte, Ende des 1. Abschnitts

XGl: Feuchte am hygroskopischen Gleichgewicht

1. Abschnitt

• Widerstände nur gasseitig.

• Körper trocknet wie das Wasser aus dem Becherglas!

• 1m wie dargestellt berechenbar.

2. Abschnitt

• Widerstände im Inneren des Körpers.

• { }Xm aus Messung, jedoch abhängig von den

Trocknungsbedingungen.

Ph

111 A

MmM =→

1. Abschnitt 2. Abschnitt

1m

m =drying rate

X [kgH2O/kgdry solid]

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107 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Prof. Dr.-Ing. habil. E. Tsotsas

normierte Trocknungskurve

1mm

=ν normierte Trocknungsgeschwindigkeit

Glcr

Gl

XXXX

−−

=η normierte Feuchte

{ }ην normierte Trocknungskurve, unabhängig von

Trocknungsbedingungen!

leicht zu trocknen

schwer zu trocknen

1

1

ν

η

1. Abschnitt