Tobias Koch 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität...

Tobias Koch 1

HEINZ NIXDORF INSTITUTUniversität Paderborn

Algorithmen und Komplexität

Vergleichende Evaluation zweier Methoden zur Berechnung von Inverser Kinematik

Abschlussvortrag zur Studienarbeit

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Algorithmen und KomplexitätEinleitung

Struktur des Vortrags

• Motivation• Algorithmen• Evaluationsergebnisse• Zusammenfassung• Ausblick

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Algorithmen und KomplexitätMotivation

• Projektgruppe SoSe 2004 / WiSe 2004/05„Wege und Bewegung in virtuellen Produktionsumgebungen“

• derzeit keine Roboter• dazu notwendig:

Raumkoordinaten ↔ Gelenkwinkel• Gelenkwinkel → Raumkoordinaten

(„Direkte Kinematik“)– einfach: Vektoraddition

• Raumkoordinaten → Gelenkwinkel(„Inverse Kinematik“)– komplex: nicht eindeutig, Abhängigkeiten der Gelenke

• verschiedene Ansätze zur Lösung

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Algorithmen und KomplexitätAlgorithmen

Übersicht

• Jacobi-Matrizen• Abwandlung von Cyclic Coordinate Descent (CCD)

• iterativ• liefern zur Laufzeit Ergebnisse• relativ allgemein anwendbar• gut vergleichbar

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Jacobi-Matrizen1. Matrix erstellen (3 x Gelenkanzahl)

2. Spalte i füllen mit Vektor:

3. Pseudoinverse der Matrix bilden

4. Fehlervektor berechnen:

5. Fehlervektor skalieren

6. Pseudoinverse mit Fehlervektor multiplizieren

7. Ergebnis ist Vektor mit Winkeländerungen

8. falls Zielpunkt nicht erreicht wurde, wiederholen

ip

t

e

s

)( ii psv

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Cyclic Coordinate Descent (CCD)

Iteration:1. Rotationsebene berechnen

2. dem Ziel nächsten Punktin der Ebene bestimmen

3. Rotationspunkt in derEbene bestimmen

4. Vektor vom Rotationspunkt zum Endeffektor berechnen

5. Vektor vom Rotationspunkt zum Ziel in der Ebene berechnen

6. Winkel zwischen den beiden Vektoren bestimmen

7. Segmentgelenk um den berechneten Winkel verändern

8. falls Zielpunkt nicht erreicht wurde, nächstes Gelenk ändern

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ip

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Algorithmen und KomplexitätEvaluation

Algorithmen-Parameter

• beide Algorithmen haben Parameter, die das Ergebnis beeinflussen können

• Untersuchung dieser Parameter hinsichtlich Geschwindigkeit und Berechnungserfolg

• alle Untersuchungen wurden auf mehreren simulierten Robotern durchgeführt

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Länge des Fehlervektors

• Jacobi-Matrix liefert nur für infinitesimal kleine Fehlervektoren exakte Ergebnisse

• Abschätzung zwischen Aufwand und Fehler

• beste Trefferquote zwischen 0,7 und 0,9• Aufwand in diesem Bereich am geringsten• je komplexer die kinematische Kette, desto weniger

drastisch verändern sich die Ergebnisse

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Iterationsrichtung bei CCD

• CCD kann Iteration bei beliebigem Gelenk beginnen• frühe Gelenke bewirken starke Positionsänderungen

• keine allgemeingültige Aussage möglich• Unterschiede im Aufwand relativ gering• deutliche Unterschiede bei Trefferquote

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Erfolgsquote

• Jacobi-Matrizen:– allgemein recht schnell– nach einigen Iterationen nur noch geringe Verbesserung– abnehmende Erfolgsquote bei komplexeren Ketten

• CCD:– langsamer, aber bessere Erfolgsquote– allmählicher Anstieg der Quote– herausragende Ergebnisse beim PUMA 560

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Veränderung der Distanz

• Jacobi-Matrizen:– anfangs deutliche Verringerung des Abstandes– vorläufiges Minimum innerhalb von 10 Iterationen– später leichter Anstieg

• CCD:– Verringerung der Distanz unter 20% nach 2 Iterationen– logarithmischer Verlauf

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Berechnete Gelenkwinkel• Jacobi-Matrizen:

– errechnet geringere Winkelunterschiede– resultiert in natürlicheren Winkelstellungen– neigt bei langen Ketten zur Änderung früher und später

Gelenke

• CCD:– größerer Aufwand– extremere Winkelstellungen– neigt bei langen Ketten zur Änderung früher Gelenke

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Algorithmen und KomplexitätZusammenfassung

• basierend auf der Arbeit der PG WuBiviPu• Vorstellung zweier iterativer Algorithmen

– Jacobi-Matrix-Algorithmus– Cyclic Coordinate Descent

• Evaluation der Parameter• Vergleichende Evaluation der Algorithmen

– Geschwindigkeit– Erfolgsquote– Distanzveränderungen– berechnete Winkeländerungen

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Algorithmen und KomplexitätAusblick

• Verbesserung der Abbruchbedingungen(insbesondere bei CCD)

• Gelenkgewichtung kann durch künstliche Gewichtung vermieden werden

• Verschlechterung der Ergebnisse beobachten

• Verwendung in PG-Software(derzeit u.a. keine XML-Schnittstelle, Modelle, etc.)

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Algorithmen und Komplexität

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Januar 2007

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