1 EINFÜHRUNG

Die Erdbebensicherheit bestehender Betonbautenkann gemäss des neuen Merkblatts SIA 2018 “Über-prüfung bestehender Gebäude bezüglich Erdbeben”entweder anhand eines kräftebasierten oder eines ver-formungsbasierten Berechnungsverfahrens überprüftwerden.

Bei dem kräftebasierten Berechnungsverfahrenwerden die Schnittkräfte im Bauteil infolge Erdbebenmit dem Widerstand des Bauteils verglichen. Einwir-kungen und Widerstände werden prinzipiell wie beiNeubauten anhand der entsprechenden Vorschriftenaus den SIA Normen 260, 261 und 262 (2003)bestimmt. Diese Vorschriften sind zum Teil neu gegen-über der vorherigen Normengeneration. Sie wurdenallerdings bereits von verschiedenen Autoren gründ-lich diskutiert (siehe zum Beispiel SGEB (2004), SIAD0181 (2003), SIA D0182 (2003), SIA D0191 (2004)).

Bei dem verformungsbasierten Berechnungsver-fahren wird hingegen der vom Erdbeben im Bauteilhervorgerufene Verformungsbedarf mit dem Verfor-mungsvermögen (oder auch: “Verformungsangebot”)des Bauteils verglichen. Dieses Verfahren ist in denneuen Tragwerksnormen nicht explizit erwähnt undwird erstmals im Merkblatt SIA 2018 (2004) eingeführt.Auch im Eurocode 8 Teil 3 “Beurteilung und Ertüchti-gung von Gebäuden” wird die Erdbebensicherheitbestehender Gebäude anhand eines verformungsba-sierten Berechnungsverfahrens beurteilt (EC8-3(2004)). Die Anwendung verformungsbasierter Verfah-ren ist in Ländern höherer Seismizität recht verbreitetund entsprechende Hilfsmitteln sind zum Beispiel inFEMA 356 (2000), FEMA 440 (2004) und Fajfar (1999)zu finden.

Das verformungsbasierte Verfahren ist ein moder-nes Verfahren des Erdbebeningenieurwesens underlaubt eine wirklichkeitsnähere Erfassung des seismi-schen Verhaltens von Tragwerken. Dieses Verfahrenist anspruchvoller und aufwendiger als die kräfteba-sierten Verfahren, liefert jedoch meistens eine günsti-

gere Beurteilung der Erdbebensicherheit desTragwerks. Vor allem bei bestehenden Bauten, beidenen durch eine günstigere Beurteilung der Erdbe-bensicherheit gegebenfalls teure Ertüchtigungsmass-nahmen vermieden werden können, ist dieAnwendung des verformungsbasierten Verfahrensbesonders zu empfehlen.

In diesem Beitrag wird auf eine ausführlicheBehandlung des kräftebasierten Verfahrens verzichtetund der Schwerpunkt auf die Diskussion wesentlicherAspekte des verformungsbasierten Verfahrens gelegt.Zuerst werden wichtige Grundlagen des verformungs-basierten Verfahrens, wie z.B. die Ermittlung des linea-ren und nichtlinearen Verformungsverhaltens vonStahlbetonbauteilen, kurz angesprochen. Anschlies-send werden die bereits gewonnenen Erkenntnissezur Untersuchung der Erdbebensicherheit eines 5-stöckigen Beispielgebäudes verwendet.

2 KRÄFTEBASIERTES VERFAHREN

Bei bestehenden Betonbauten ist unter Erdbebenein-wirkung im Allgemeinen ein nicht-duktiles Tragwerks-verhalten im Sinne der Norm SIA 262 Ziffer 4.3.9 zuerwarten. Dies resultiert vor allem daraus, dass in derVergangenheit die Verwendung duktilitätsfördernder,konstruktiver Massnahmen im Sinne von Ziffer 5.7 dergleichen Norm nicht üblich war.

Aus diesem Grund soll bei der kräftebasiertenBeurteilung von Betonbauten ein Verhaltensbeiwert von 1.5 bzw. 2.0 in Abhängigkeit von den vorhandenenBaustoffen angenommen werden (Ziffer 4.3.9.2.2 derNorm SIA 262).

Der Verhaltensbeiwert wird verwendet, um dieam elastischen Berechnungsmodell des Tragwerksermittelten Erdbebenkräfte zu reduzieren. Durch ihnwird die günstige Wirkung der inhärenten Überfestig-keit und des inelastischen Verformungsvermögens desTragwerks berücksichtigt.

Unter Berücksichtigung der Überfestigkeit, bedeu-tet ein Verhaltensbeiwert , dass das Tragwerk

q

q

q 1.5=

Tragfähigkeit von Betonbauten

Alessandro DazioInstitut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich

Tragfähigkeit von Betonbauten

während eines Erdbebens sich grundsätzlich elastischverhält (siehe Dazio (2004a) und Dazio (2004b)). EinVerhaltensbeiwert ruft eine minimale Plastifizie-rung des Tragwerks hervor. Viele nicht-duktile Trag-werke, die mit Betonstählen der Duktilitätsklassen Bund C gebaut sind, besitzen ein inhärentes plastischesVerformungsvermögen, welches sogar die Annahmeeines grösseren Verhaltensbeiwerts als 2 erlaubenwürde. Die Annahme eines höheren Verhaltensbei-werts ist grundsätzlich möglich, es muss jedoch nach-gewiesen werden, dass das notwendige plastischeVerformungsvermögen vorhanden ist. Dieser Nach-weis ist implizit erbracht, wenn bei allen wesentlichenBauteilen eines Tragwerks duktilitätsfördernde kon-struktive Massnahmen im Sinne von Ziffer 5.7 derNorm SIA 262 vorhanden sind. Fehlen die konstrukti-ven Massnahmen, soll das plastischen Verformungs-vermögen berechnet werden.

Das verformungsbasierte Berechnungsverfahren,das in den nachfolgenden Kapiteln präsentiert wird,hat die Berechnung des plastischen Verformungsver-mögens eines Tragwerk zum Ziel. Dieses Verfahrenkann somit als ein Werkzeug interpretiert werden, beider Überprüfung bestehender Tragwerke höhere Ver-haltensbeiwerte zu rechtfertigen.

Bei der kräftebasierten Überprüfung von Betonbau-ten ist besonders wichtig, dass eine realistische undvernünftige Schätzung bzw. Berechnung der Grund-schwingzeit des Gebäudes durchgeführt wird. Dabeimuss der Einfluss der Rissebildung in den Bauteilenberücksichtigt werden. Ausführliche Hinweise dazusind in Dazio (2004b) und in SIA D0171 (2002) zu fin-den.

3 GRUNDLAGEN ZUM VERFORMUNGSBASIER-TEN VERFAHREN

3.1 Anwendbarkeit

Das verformungsbasierte Berechnungsverfahren darfzur Überprüfung von verformungsfähigen Tragwerkenverwendet werden. Ein Tragwerk ist, pro Hauptrich-tung, nur dann verformungsfähig, wenn alle seine tra-genden Bauteile und Verbindungen dies sind. EinBauteil ist verformungsfähig, wenn es ein stabileszyklisch-plastisches Verformungsverhalten aufweistund ein sprödes Versagen ausgeschlossen werdenkann (SIA 2018 Ziffer 2.2).

Typische spröde oder beschränkt-verformungsfä-hige Versagensmechanismen bei Stahlbetonbauteilensind u.a:• Das Schubzug- bzw. Schubdruckversagen von Bau-

teilen. Die zyklische Natur der Erdbebeneinwirkung,die hervorgerufenen plastischen Verformungen und

die damit verbundenen grossen Rissbreiten führenzu einer Reduktion des Widerstands der Druckdia-gonalen und zu einer Abnahme der Wirksamkeit derRissverzahnung (“Aggregate interlocking”) (siehez.B. Park & Paulay (1975)). Diese Effekte führen zueinem schlechteren Schubverhalten des Bauteils imVergleich zu monotonen Beanspruchungen.

• Das Biegeversagen mit Betonbruch vor Stahlflies-sen, das bei stark bewehrten Querschnitte oder v.a.bei Querschnitten mit hoher Drucknormalkraft auftre-ten kann. Stützen, die eine bezogene Normalkraft

grösser etwa 0.4 aufweisen und nichtumschnürt sind, besitzen ein beschränktes Verfor-mungsvermögen.

• Das Biegeversagen infolge Reissen der Längsbe-wehrung bei kleiner plastischer Dehnung. DieserVersagensmechanismus tritt dann auf, wenn ineinem Querschnitt Bewehrungsstäbe mit ungenü-genden Duktilitätseigenschaften vorhanden sind. Esist dabei zu bemerken, dass auch eine kleine Mengean nicht-duktilem Betonstahl zu einem frühzeitigenVersagen führen kann. Dies ist insbesondere beiWänden zu beachten, bei denen die dünnere Steg-bewehrung im Allgemeinen schlechtere Duktilitätsei-genschaften aufweist als die dickere Endbewehrung(siehe Wand WSH1 in Dazio et al. (1999)).

• Das Versagen von Übergreifungsstössen oder Ver-ankerungsbereichen. Bei modernen Bemessungs-methoden für seismische Einwirkungen sindÜbergreifungsstösse in Bereichen, in denen dieLängsbewehrung ins Fliessen kommen kann, verbo-ten (SIA 262 Ziffer 5.7.3). Bei bestehenden Bautenkönnen hingegen Übergreifungsstösse in plasti-schen Bereichen oft vorkommen. Ein typischer Fallsind die Übergreifungsstösse der Längsbewehrungim Erdgeschoss einer Stahlbetontragwand. Dortmuss beurteilt werden, ob die vorhandene Übergrei-fungslänge und die vorhandene Umschnürungsbe-wehrung ausreichen, um grosse plastischeDehnungen der Längsbewehrung zu erlauben.Gegebenfalls solle die maximale Dehnung desBetonstahls konservativ angenommen werden(siehe Kapitel 3.7).

Alle Bauteile, die eine lokale Duktilität kleiner zwei auf-weisen, müssen beim verformungsbasierten Berech-nungsverfahren kritisch beurteilt werden. Mit lokalerDuktilität sind hier die Rotations- bzw. Krümmungsduk-tilität im Bauteil gemeint (siehe Bachmann (2002)).

3.2 Sehnenverdrehung

Beim verformungsbasierten Verfahren besteht dieUntersuchung der vorhandenen Erdbebensicherheiteines Bauteils aus dem Vergleich der Auswirkung

q 2=

n N Agfc( )⁄=

Tragfähigkeit von Betonbauten

(Verformung) infolge normgemässer Erdbebeneinwir-kung mit dem Verformungsvermögen des Bauteils.

Für Stahlbeton werden Sehnenverdrehungen aufBauteilniveau verglichen. Die Sehnenverdrehung(“Chord rotation”) wird gemäss Abbildung 1 als Winkelzwischen der Tangente der Bauteilachse am Ort desmaximalen Moments und der Sehne, die diesen unddas Ende der Schubspannweite beim Momentennull-punkt verbindet, definiert.

Die Sehnenverdrehung ist somit ein Mass für dieBeanspruchung des Bauteils. Es ist daher wichtig,dass bei der Bestimmung der Sehnenverdrehung all-fällige Starrkörperbewegungen herausgefiltert wer-den. Bei der Berechnung der Sehnenverdrehung einerStütze aus der Stockwerksschiefstellung soll z.B. dieStarrkörperverdrehung der Stütze infolge der Verfor-mungen in den unteren Stockwerken abgezogen wer-den; dieser Fall ist in Abbildung 1 dargestellt.

Bei der verformungsbasierten Tragwerksanalysesoll die Berechnung der Auswirkungen an einem nicht-linearen Tragwerksmodell erfolgen (SIA 2018 Ziffer4.3.1). In den nächsten Abschnitten wird deshalb dieBerechnung sowohl der elastischen als auch der inela-stischen Sehnenverdrehung diskutiert.

3.3 Elastische Sehnenverdrehung

Trotzt Nichtlinearitäten infolge progressiver Rissent-wicklung wird angenommen, dass, bis ein Bauteil dieSehnenverdrehung beim nominellen Fliessbeginn erreicht hat, sein Verhalten linear elastisch ist. BeimErreichen des nominellen Fliessbeginns beträgt dieKrümmung am Anfang der Schubspannweite dieGrösse (= nominelle Fliesskrümmung) und die Ver-teilung der Krümmung entlang der Schubspannweiteist linear (siehe Abbildung 2).

Anhand der Beziehungen aus Abbildung 2 kann dieSehnenverdrehung beim nominellen Fliessbeginn als Verhältnis zwischen der nominellen Fliessverschie-bung und der Schubspannweite berechnet wer-den und beträgt:

(1)

Wobei die nominelle Fliesskrümmung ist, derenBerechnung in Abschnitt 3.6 diskutiert wird.

Per Definition kann daher die nominelle Fliessver-schiebung eines Bauteils mittels Gleichung (2)berechnet werden.

(2)

3.4 Inelastische Sehnenverdrehung

Abbildung 3 zeigt rechts die Krümmungsverteilungeines Kragarms, der plastisch verformt wird.

An der Fusseinspannung des Kragarms entsteht einBereich, entlang dessen tatsächliches Fliessen derLängsbewehrung auftritt und plastische Verformungenhervorgerufen werden. Dieser Bereich hat eine Aus-dehnung und wird als plastischer Bereich bezeich-net. Wenn die Längsbewehrung fliesst, dringenplastische Dehnungen auf einer Länge von bis indas Fundament ein (“Strain penetration”) und erzeu-gen eine Rotation des Kragarms im Einspannungs-querschnitt. Die tatsächliche Krümmungsverteilungentlang eines plastifizierenden Bauteils ist deshalbrecht kompliziert. Sie wird für Berechnungszwecke

Abb. 1: Darstellung der Sehnenverdrehung θ bei verschie-denen Bauteilen.

V

V

M

θ

M

M

θV

V

Starrkörper-Verdrehung

θ

Vl

Ml

Vr

Mr

Wand Stütze Balken

= Sehne= Tangente der Bauteilachse= Momentennullpunkt

θy

Lvφy

θy

∆y Lv

Abb. 2: Sehnenverdrehung θy bei Fliessbeginn eines Bau-teils.

Abb. 3: Verlauf der Krümmung φ entlang eines plastifizie-renden Bauteils (nach Paulay & Priestley (1992)).

Fy

Vy

My

θy

Lv

Moment

My φy

Krümmung Fy

Vy

My

∆y

θy∆yLv-----

FyLv3

3EI-----------

Lv----------- My

EI------ Lv

3-----⋅ φy

Lv3-----⋅= = = =

φy

∆y

∆y θy Lv⋅=

Fu

Vu

Mu

θu

Lv

Moment

Mu φyφp

φu

Krümmung

Lpl

hpl

hsp

Lpl = Plastisches Gelenkhpl = Plastischer Bereichhsp = „Strain penetration“

hpl

hsp

Tragfähigkeit von Betonbauten

vereinfacht angenommen, indem das Konzept des pla-stischen Gelenks eingeführt wird. Das plastischeGelenk ist eine fiktive Grösse, welche die einfacheBerechnung der Verformungen eines plastifizierendenBauteils ermöglicht.

Im plastischen Gelenk wird eine konstante plasti-sche Krümmung angenommen. wird als Diffe-renz zwischen der maximal vorhandenen Krümmung

und der nominellen Fliesskrümmung definiert.Wenn Versagen erreicht wird, entspricht der Bruch-krümmung . Die Länge des plastischen Gelenkswird so gewählt, dass die Integration der plastischenKrümmung innerhalb des plastischen Gelenks diegleiche plastische Verformung des Kragarmsergibt, wie die Integration der tatsächlichen Krümmun-gen.1

In der Literatur sind viele Ansätze vorhanden, umdie Länge des plastischen Gelenks zu schätzen. Fürdas Merkblatt SIA 2018 wurde mit Gleichung (3) einAnsatz nach Priestley gewählt (Paulay & Priestley(1992)) und zur Berücksichtigung des reduzierten Ver-festigungsvermögens europäischer Stähle mit demBeiwert modifiziert. Der erste Teil von Gleichung(3) berücksichtigt mit die Verfestigung desQuerschnitts an der Einspannung und die Ausbreitungder plastischen Dehnungen infolge geneigter Biege-Schubrisse (“shear spread of plasticity”). Der zweiteTeil berücksichtigt mit das Eindringen derplastischen Dehnungen in das Fundament und ist pro-portional zur Fliessgrenze und zum Durchmesser

der Längsbewehrung. Mit steigendem Durchmes-ser und steigender Festigkeit wird die Verankeruns-länge im Fundament grösser und die darausresultierende Rotation im Einspannquerschnitt wirdebenfalls grösser.

[mm] (3)

Wobei:Stahlqualitätsbeiwert. für Beton-stähle mit und fürBetonstähle mit Schubspannweite in [mm]Fliessgrenze der Längsbewehrung in [MPa]Zugfestigkeit der Längsbewehrung in [MPa]Durchmesser der Längsbewehrung in [mm]

Die Verschiebung , die beim Versagen eines Bau-teils auftritt, kann anhand des Konzepts des plasti-schen Gelenks und der Beziehungen aus Abbildung 4einfach berechnet werden. Im Merkblatt SIA 2018wird, um konsistent mit Angaben in der Literatur zu

sein, angenommen, dass die plastische Verdrehung auf halber Höhe des plastischen Gelenks stattfin-

det. Die Verschiebung kann somit anhand von Glei-chung (4) als Summe der elastischen Verschiebung

und der plastischen Verschiebung berechnetwerden.

(4)

Die plastische Verdrehung kann aus der Integrationder plastischen Krümmung im plastischen Bereichberechnet werden. Gleichung (4) wird somit zu:

(5)

Das Dividieren durch liefert dann die Gleichung zurBerechnung der Sehnenverdrehung beim Versagen:

(6)

Wobei die Bruchkrümmung ist, deren Berechnungin Abschnitt 3.6 diskutiert wird. Gleichung (6) wirdsinngemäss zur Berechnung der Sehnenverdrehungvon Stützen und Balken verwendet.

3.5 Nichtlineare Kraft-Verformungs-Beziehungen

Die genaue Erfassung des nichtlinearen Kraft-Verfor-mungs-Verhaltens von Stahlbetonbauteilen ist rechtaufwendig und nicht immer notwendig. In den meistenFällen genügt eine bilineare Approximation dieses Ver-formungsverhaltens .

Abbildung 5 zeigt die wirkliche und die approxi-mierte nichtlineare Kraft-Verformungs-Beziehungeines schlanken Kragarms. Die bilineare Approxima-tion ist grundsätzlich durch zwei Punkte charakteri-siert: (1) das nominelle Fliessen ( , ) und (2) dasVersagen ( , ). Die Kräfte und werden mitGleichung (7) aus dem Biegewiderstand des Bauteilsim Einspannquerschnitt berechnet. Es ist dabei zubemerken, dass der nominelle Widerstand anhand

1. Bei Neubauten ist wichtig, dass die duktilitätsfördernden konstruk-tiven Massnahmen im Sinne von Ziffer 5.7 der Norm SIA 262 im ge-samten plastischen Bereich hpl und nicht nur im plastischen GelenkLpl angeordnet werden.

φp φp

φm φyφm

φu Lpl

φp∆p

ast0.08Lv

0.022fsdbl

fsdbl

Lpl ast 0.08Lv 0.022fsdbl+( )=

ast ast 0.8=ft fs⁄( ) 1.15< ast 1.0=

ft fs⁄( ) 1.15≥Lvfsftdbl

∆u

Abb. 4: Sehnenverdrehung θu beim Versagen eines Bau-teils.

Fu

VuMu

∆y ∆p

∆uφyφp

φu

Lpl Lpl

θy

Lv

θp

θu

θp∆u

∆y ∆p

∆u θuLv ∆y ∆p+ θyLv θp LvLpl2

------–⎝ ⎠⎛ ⎞+= = =

θuLv θyLv φu φy–( )Lpl LvLpl2

------–⎝ ⎠⎛ ⎞+=

Lv

θu θy φu φy–( )Lpl 1 0.5LplLv

--------------–⎝ ⎠⎛ ⎞+=

φu

Fy ∆yFu ∆u Fy Fu

Fy

Tragfähigkeit von Betonbauten

des nominellen Biegewiderstands (siehe Abschnitt3.6) berechnet wird. Dabei ist die Verwendung unter-schiedlicher Indizes historisch bedingt.

(7)

Die Verschiebungen und werden anhand vonGleichungen (2) bis (6) aus der Krümmung am Ein-spannquerschnitt berechnet.

Daran kann man erkennen, dass die Momenten-Krümmungs-Beziehung des Bauteils am Einspann-querschnitt eine wesentliche Rolle bei der Berechnungdes nichtlinearen Verformungsverhaltens von schlan-ken Stahlbetonbauteilen spielt.

In der wirklichen nichtlinearen Kraft-Verformungs-Beziehung tritt nach Erreichen des maximalen Wider-stands Entfestigung ein. In Abhängigkeit des Versa-gensmechanismus und der Beschaffenheit desQuerschnitts kann der Gradient der Entfestigung mehroder weniger ausgeprägt sein. Die Entfestigung ruftVerformungskonzentrationen hervor, was in der Regelzu einem baldigen Totalversagen führt.

Bei den bilinearen Approximationen auf Bauteilni-veau wird deshalb die Entfestigungsphase meist ver-nachlässigt und das Versagen entspricht demmaximalen Widerstand des Bauteils.

3.6 Momenten-Krümmungs-Beziehung

Die wirkliche Momenten-Krümmungs-Beziehung einesQuerschnitts kann am Besten mittels eines der vielenvorhandenen Querschnittsprogramme unter Annahmeder Spannungs-Dehnungs-Beziehungen der Bau-stoffe gemäss Kapitel 3.7 berechnet werden.

Das Diagramm in Abbildung 6 zeigt mit der stetiggekrümmten Kurve die Momenten-Krümmungs-Bezie-hung eines Wandquerschnitts.

Die bilineare Approximation wird anhand folgenderSchritte konstruiert:1) Es wird entlang der wirklichen Momenten-Krüm-

mungsbeziehung der Punkt gesucht, welcher demerstmaligen Fliessen des äussersten Bewehrungs-stabs entspricht (“first yield”). Bei Bauteilen mit

grosser Normalkraft - typischerweise Stützen - wirdFliessen als jener Zustand definiert, bei dem entwe-der die Stahldehnung die Fliessdehnung erreicht oder die Betonstauchung zwei Promilleüberschreitet. Was zuerst eintritt ist massgebend.Dieser Punkt liefert die Fliesskrümmung unddas Fliessmoment , welche die Berechnung derelastischen Steifigkeit erlauben.

(8)

2) Es wird entlang der wirklichen Momenten-Krüm-mungsbeziehung der Punkt gesucht, bei welchementweder eine Stahldehnung oder eineBetonstauchung erreicht wird. Waszuerst auftritt ist massgebend. Dieser Punkt liefertden nominellen Biegewiderstand (“NominalStrength”), der die Berechnung der nominellenFliesskrümmung erlaubt, und zwar wie folgt:

(9)

3) Der Punkt des nominellen Fliessens (“NominalYield”) liegt nicht auf der wirklichen Momenten-Krümmungs-Kurve und ist durch die Grössen und charakterisiert.

4) Es wird entlang der wirklichen Momenten-Krüm-mungs-Beziehung der Punkt gesucht, bei welchementweder eine Stahldehnung oder eineBetonstauchung erreicht wird. Waszuerst auftritt, ist massgebend. und sind die maximal anzunehmenden Stauchungenbzw. Dehnungen in den Baustoffen und werden imKapitel 3.7 diskutiert. Durch diesen Punkt wird dasVersagen des Bauteils (“Ultimate Limit State”) defi-niert und die Bruchkrümmung sowie der Bruch-widerstand charakterisiert.

Die zuvor beschriebene Prozedur zur Bestimmung derbilinearen Approximation ist allgemein anerkannt und

Abb. 5: Nichtlineare Kraft-Verformungs-Beziehung einesschlanken Kragarms.

∆

F

∆y ∆u

Fy

Fu

F

V

M

θ

Lv

∆

Wirklichkeit

Nährung

Mn

F M Lv⁄=

∆y ∆u

Abb. 6: Momenten-Krümmungs-Beziehung eines Wand-querschnitts.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7

Krümmung [10-3 m-1]

Bie

gem

omen

t [M

Nm

]

200

4000 36 Ø8

2 Ø20

2 Ø20

N = -1099kN

Wand

„First yield“εs = εyεc = 0.002

„Nominal strength“εs = 0.015εc = 0.004

„Ultimate“εs = εs,max, εc = εc,max

φy‘ φy φu

Mn

My‘

„Nominal yield“

εs εyεc

φy'My'EIy

EIyMy'φy'-------=

εs 0.015=εc 0.004=

Mn

φy

φy φy'Mn

My'-------⋅ Mn

EIy-------= =

Mn

φy

εs εs max,=εc εc max,=

εc max, εs max,

φuMu

Tragfähigkeit von Betonbauten

wurde deshalb im Merkblatt SIA 2018 übernommen.Sie wurde jedoch ursprünglich für duktil gestalteteQuerschnitte entwickelt, so dass sie bei nicht-duktilenQuerschnitten zu nicht optimalen Resultate führenkönnte. In Abbildung 6 ist zum Beispiel zu bemerken,dass der resultierende nominelle Biegewiderstand eher zu hoch ausfällt und dementsprechend die plasti-sche Steifigkeit sehr gering ist. Es sind deshalb fol-gende zusätzliche Punkte zu bemerken:• Die Berechnung der elastischen Steifigkeit gemäss

Punkt 1 hat sich auch bei nicht-duktilen Tragwerkenbewährt.

• Bei nicht-duktilen Tragwerken kann die Bestimmungdes nominellen Biegewiderstands gemäss Punkt 2zu offensichtlich zu hohen Werten von führen. Istdies der Fall, soll ein neuer Wert von geschätztwerden, so dass der plastische Teil der bilinearenApproximation eine bessere Nährung der wirklichenMomenten-Krümmungs-Beziehung darstellt. EinBeispiel dieser Anpassung ist in Abbildung 7 darge-stellt. Diese nachträgliche Anpassung ist besondersbei Tragwerken, bei denen die Ausbildung zahlrei-cher plastischer Gelenke zu erwarten ist, besonderswichtig.

Ziffer 6.2.9 des Merkblatts SIA 2018 enthält Gleichun-gen, um die Fliesskrümmung von einfachen Bauteilenzu schätzen. Die Gleichungen erlauben somit einer-seits die Überprüfung der Resultate aus Momenten-Krümmungs-Berechnungen andererseits die schnelleSchätzung der Fliessverschiebung des Bauteilsanhand von Gleichungen (1) und (2).

3.7 Mechanische Eigenschaften der Baustoffen

Zur Bestimmung des Verformungsvermögens vonBauteilen werden charakteristische Werte der Materi-aleigenschaften verwendet (SIA 2018 Ziffer 6.2.4). Nurdie Berechnung des Querkraftwiderstands eines Bau-

teils wird unter Berücksichtigung der Bemessungs-werte der Materialeigenschaften bestimmt (SIA 2018Ziffer 6.2.15.4).

Die Überprüfung eines Gebäudes anhand des ver-formungsbasierten Verfahrens strebt eine realistischeErfassung seines Verformungsverhaltens an. DiesesZiel kann nur erreicht werden, wenn für die Berech-nungen mechanische Eigenschaften angenommenwerden, die den im Tragwerk tatsächlich vorhandenenEigenschaften ähnlich sind. Die Verwendung vonBemessungswerten der Materialeigenschaften zurBestimmung des Verformungsvermögens ist nicht ver-tretbar, weil vor allem der grosse Widerstandsbeiwert

für Beton zur Annahme unrealistischer Dehnungs-ebenen führen würde. Die somit berechnete Momen-ten-Krümmungs-Beziehung würde zu eineroffensichtlich falschen Schätzung des Verformungs-vermögens führen. Bei der Verfassung des MerkblattsSIA 2018 wurde ebenfalls die Möglichkeit untersucht,das verformungsbasierte Verfahren anhand von mittle-ren Werten der Materialeigenschaften durchzuführen.Aufgrund der Schwierigkeiten, die mit der Bestimmungglaubwürdiger Mittelwerte verbunden sind, wurdediese Möglichkeit jedoch nicht weiter verfolgt.

Das Verformungsvermögen wird mit charakteristi-schen Werten der Materialeigenschaften berechnet,d.h. ohne Berücksichtigung der Widerstandsbeiwerte.Die somit berechnete Sehnenverdrehung beim Ver-sagen darf für die Beurteilung der Erdbebensicherheitnicht verwendet werden. Die Beurteilung der Erdbe-bensicherheit erfolgt statt dessen anhand des maxi-malen Verformungsvermögens , das mitGleichung (10) bestimmt wird.

(10)

ist der Partialfaktor für das Verformungsvermögen.Er kompensiert die günstigeren Annahmen durch Ver-wendung der charakteristischen Materialeigenschaftenund beträgt für Stahlbeton:

(11)

Abbildung 8 zeigt materialspezifische, idealisierteSpannungs-Dehnungs-Diagramme zur Untersuchungvon Betonbauten, die in den nächsten Abschnittenkurz diskutiert werden.

3.7.1 Beton

Gleichung (8) des Merkblatts SIA 2018 (2004) schreibtdie Form des Spannungs-Dehnungs-Diagramms zurverformungsbasierten Untersuchung von Betonbau-ten vor. Sie weicht von der Form aus Gleichung (26)der Norm SIA 262 (2003) bewusst ab. Die Gleichungim Merkblatt sieht nach Erreichen des maximalen

Abb. 7: Anpassung der berechneten Momenten-Krüm-mungs-Beziehung, um die wirkliche Momenten-Krümmungs-Beziehung besser zu approximieren.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7

Krümmung [10-3 m-1]

Bie

gem

omen

t [M

Nm

]

200

4000 36 Ø8

2 Ø20

2 Ø20

N = 1099kN

Wand

φy‘ φy φu

Mn

My‘

Ursprüngliche Approximation

Modifizierte Approximation

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7

Krümmung [10-3 m-1]

Bie

gem

omen

t [M

Nm

]

200

4000 36 Ø8

2 Ø20

2 Ø20

N = -1099kN

Wand

φy‘ φy φu

Mn

My‘

Ursprüngliche Approximation

Modifizierte Approximation

Mn

Mn

Mn

γc

θu

θmax

θmaxθuγD-----=

γD

γD 1.3=

Tragfähigkeit von Betonbauten

Widerstands eine Entfestigung vor; sie erlaubtzugleich jedoch die Annahme einer grösseren Bruch-stauchung gegenüber der Norm. Beide Gleichun-gen führen bei einem gegebenen Querschnitt zumpraktisch gleichen rechnerischen Bruchbiegewider-stand. Die Gleichung des Merkblatts führt jedoch zueinem leicht höheren, realistischeren Verformungsver-mögen.

Bei den meisten bestehenden Betonbauten ist dieBiegedruckzone der Bauteile nicht umschnürt. DieBruchstauchung, die dabei angenommen werdenkann, beträgt somit . Falls doch eineUmschnürung vorhanden ist, können grössere Wertefür angenommen werden. Ansätze zur Berech-nung der Bruchstauchung und der Druckfestigkeit vonumschnürtem Beton sind zum Beispiel in Priestley etal. (1996) und in SIA D0171 (2002) zu finden.

Bei der Berechnung des Momenten-Krümmungs-Diagramms eines Querschnitts beträgt die maximalanzunehmende Betonstauchung :

(12)

Die Erhöhung der Betondruckfestigkeit mitzunehmendem Betonalter ist gemäss Ziffer 3.2.1.3 desMerkblatts SIA 2018 zu berücksichtigen. Die Erhöhungder Betondruckfestigkeit wirkt sich günstig auf den Bie-gewiderstand und auf das Verformungsvermögeneines Querschnitts aus, vor allem wenn Versagen derBiegedruckzone zu erwarten ist.

3.7.2 Betonstahl

Das charakteristische Spannungs-Dehnungs-Dia-gramm von Betonstahl ist grundsätzlich durch dieFliessgrenze , die Zugfestigkeit und die Bruch-dehnung definiert. Die Werte sind entweder ausTabelle 6 des Merkblatts SIA 2018 zu wählen odergemäss Tabelle 4 der Norm SIA 262/1 experimentellzu ermitteln.

Bei der Berechnung des Momenten-Krümmungs-Diagramms wird empfohlen den typischen Verlauf desSpannung-Dehnungs-Diagramms des Betonstahlsgemäss Kurve 3 in Abbildung 8 zu verwenden. AlsAlternative kann eine bilineare Approximation entspre-chend Kurve 2 in Abbildung 8 angenommen werden.

Die maximale Stahldehnung , die bei derFestlegung der Bruchkrümmung bzw. des Bruchwi-derstands angenommen werden kann (sieheAbschnitt 3.6), ist durch Gleichung (13) definiert.

(13)

Im Allgemeinen gilt , weil infolge zyklischerBeanspruchung der Verbund zwischen Bewehrungund Beton weitgehend zerstört wird. In schwachbewehrten Querschnitten, bei denen nur einebeschränkte Rissebildung möglich ist (siehe Priestleyet al. (1996)) soll jedoch angenommen werden.Im Merkblatt SIA 2018 wird empfohlen anzu-nehmen, wenn der nominelle Biegewiderstand desQuerschnitts kleiner als das doppelte Rissmoment ist. In dieser Hinsicht entspricht dem Verbundkoeffi-zient nach Bachmann (1991). Hier kann jedochauch verwendet werden, um die maximale Stahldeh-nung in Fällen zu begrenzen, in denen zum Beispieldie Längsbewehrung im plastischen Bereich gestos-sen wird, aber aufgrund ausreichender Übergreifungs-länge und Querbewehrung trotzdem dasverformungsbasierten Verfahren angewendet werdenkann. In einem solchen Fall ist vorsichtig anzuneh-men.

3.8 Tragfähigkeit des Tragwerks mit dem verfor-mungsbasierten Verfahren

Das Vorgehen zur Überprüfung der Erdbebensicher-heit eines bestehenden Gebäudes geht aus Ziffer 2.4des Merkblatts SIA 2018 hervor. Dabei sind die Ana-lyse und die Bestimmung der Tragfähigkeit des Trag-werks notwendig und, sofern diese verformungsbasiertstattfinden, können sie folgendermassen durchgeführtwerden.1) Charakterisierung des nichtlinearen Verformungs-

verhaltens jedes Bauteils.2) Bestimmung des modalen Einmassenschwingers

äquivalent zur Grundschwingungsform des Trag-werks. Dabei sind die modale Masse , der Parti-zipationsfaktor und der Eigenvektor zubestimmen (siehe SIA D0171). soll beim ober-sten horizontalen Freiheitsgrad auf 1 normiert wer-den.

3) Berechnung der nichtlinearen Kraft-Verformungs-Beziehung des Tragwerks. Zur Berechnung dersogenannte “pushover” Kurve ist eine horizontale

Abb. 8: Beispiel von idealisierten Spannungs-Dehnungs-Diagramme zur Untersuchung von Betonbauten.

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50

Dehnung [‰]

Span

nung

[MPa

]

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

Stauchung [‰]

Span

nung

[MPa

]

a) Beton BH300, SIA 168/68

1) fcd gem. SIA 262 2) fck gem. SIA 2018 3) fck(t) gem. SIA 2018

1)

b) Betonstahl IIIa, SIA 168/68

2)

3)

1) fsd gem. SIA 262 2) fsk approximiert3) fsk typisch

1)

2)3)

εuk

ftk

fsk

εcu

fck(t)

εcu

εcu 0.004=

εcu

εc max,

εc max, εcu=

fck t( )

fsk ftkεuk

εs max,

φuMu

εs max, α εsu⋅=

α 1=

α 1<α 0.5=

Mn

Mcr

ακ α

α

m*Γ φ1

φ1

Tragfähigkeit von Betonbauten

Ersatzkraft unter konstanten Schwerelastenschrittweise zu steigern bis Versagen des Trag-werks eintritt. Die Verteilung von über die Höhedes Tragwerks ist affin zu . Die “pushover” Kurvestellt die Beziehung zwischen und der horizon-talen Verschiebung des Gebäudes dar.

4) Berechnung der Kapazitätskurve. Die Kapazitäts-kurve wird aus der “pushover” Kurve berechnet,indem durch und durch dividiert wird.

5) Schätzung des Verformungsbedarfs infolgeErdbeben. Dies geschieht am Besten anhand vonelastischen Bemessungsspektren im ADRS-For-mat. Diesbezüglich wird auf die Beiträge “Trag-werksanalyse” und “Erdbebeneinwirkung” in SIAD0211 (2005) verwiesen.

6) Überprüfung des Querkraftwiderstands der Bau-teile, wenn die horizontale Verschiebung das Trag-werks entweder das Verformungsvermögen oder den Verformungsbedarf erreicht. Quer-kraftversagen ist spröde und muss unbedingt ver-mieden werden. Aus diesem Grund soll dievorhandene Querkraft gemäss Ziffer 6.2.15 desMerkblatts SIA 2018 zur Berücksichtigung der obe-ren Eigenschwingungsformen und der Biegeüber-festigkeit der Querschnitte auf erhöht werden.Der Querkraftwiderstand des Bauteils wirdnach Norm SIA 262 (2003) unter Berücksichtigungder Bemessungswerte der Materialeigenschaftenberechnet. Der Widerstand wird bewusst mitBemessungswerten der Materialeigenschaften undnicht mit deren charakteristischen Werten berech-net, um genügend Sicherheit gegen ein Querkraft-versagen zu gewährleisten. Kann dieser Nachweisnicht erbracht werden, so ist das Bauteil alsbeschränkt verformungsfähig zu betrachten unddas Tragwerk mit dem kräftebasierten Verfahren zuuntersuchen.

Das zuvor in den Schritten 1 bis 6 beschriebene Vor-gehen wird im nächsten Kapitel anhand eines Bei-spiels kurz erläutert.

4 ANWENDUNGSBEISPIEL

In diesem Kapitel wird die verformungsbasierte Unter-suchung der Erdbebensicherheit eines Gebäudesnach Ziffer 2.4.2.1. des Merkblatts SIA 2018 in einerverkürzten Version vorgestellt. Das untersuchteGebäude ist in Abbildung 9 dargestellt. Es handelt sichum ein 5-stöckiges Gebäude aus den sechziger Jah-ren. Das Gebäude ist fiktiv und wurde so konzipiert,dass es unterschiedliche Tragsysteme in den beidenHauptrichtung aufweist. Dies erlaubt die Diskussionverschiedener Aspekte des verformungsbasierten Ver-fahrens. Es werden nicht alle Berechnungsschritte

explizit durchgeführt, jedoch werden alle Informationengegeben, um eine exakte Nachrechnung des Gebäu-des durchführen zu können.

4.1 Das Beispielgebäude

4.1.1 Abmessungen, Tragsystem und Lastannahmen

Die Abmessungen des Gebäudes gehen aus Abbil-dung 10 hervor. In Querrichtung ist das Gebäudedurch zwei gleiche Tragwände ausgesteift, weshalbdiese Richtung im Weiteren als “Wandrichtung”bezeichnet wird. In Längsrichtung erfolgt die Ausstei-fung hingegen durch drei Stahlbetonrahmen. DieLängsrichtung wird nachfolgend als “Rahmenrichtung”bezeichnet. Alle Decken bestehen aus monolithischemStahlbeton. Jedes vertikale Tragelement im Grundrissdes Gebäudes ist nummeriert und die drei Rahmenwerden mit Grossbuchstaben gemäss Abbildung 10bezeichnet. Bezüglich der Lasten wurden folgendeAnnahmen getroffen:

Eigengewicht: (14)

Wohnungsauflasten: (15)

Dachauflasten: (16)

Wohnungsnutzlasten: , (17)

Fd

Fdφ1

Fdw

w Γ Fd m*wd

wR d,wd

Vd

Vd+VRd

Abb. 9: 5-stöckiges Stahlbetongebäude.

Abb. 10: Abmessungen und Stockwerksmassen des unter-suchten Gebäudes (Abmessungen in [mm]).

γk 25kN/m3=

qk 5kN/m2=

qk 1kN/m2=

qk 2kN/m2= ψ2 0.3=

m5=213t

m4=380t

m3=380t

m2=380t

380t

A

B

C

1 2 3 4 5

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

6

7 8 9

10

mtot = 1733t

Tragfähigkeit von Betonbauten

4.1.2 Querschnitte und Bewehrung

Alle Decke haben eine konstante Dicke von. Die vorkommenden Wand-, Stützen- und

Riegelquerschnitte sind in Abbildung 11 dargestellt. Esist dabei folgendes anzumerken: • Beide Wände haben den gleichen, konstanten Quer-

schnitt über die gesamte Höhe des Gebäudes.• Alle Stützen sind vom Typ A bis auf die Stützen 7, 8,

9, 12, 13, und 14 im Erdgeschoss, die vom Typ Bsind.

• Obwohl die Rahmen A und C am Deckenrand lie-gen, wird die mitwirkende Deckenbreite vereinfa-chend bei allen Riegeln gleich angenommen. Siegeht aus Abbildung 11 hervor und wurde gemässSIA 262 Ziffer 4.1.3.3.3 bestimmt.

• Die Querschnittshöhe , die obere Bewehrung und die untere Bewehrung der verschiedenenRiegel sind in Tabelle 1 angegeben.

• Wenn nichts anderes gesagt wird, wurde die Abmin-derung der Steifigkeit der Betonquerschnitte infolgeRissebildung gemäss Tabelle G3 aus SIA D0171vorgenommen.

4.1.3 Materialeigenschaften

Das Gebäude ist aus Beton BH300 gebaut. GemässSIA 2018 Tabelle 5 und SIA 262 Ziffer 3.1.2.2.4 darfdie Druckfestigkeit daher folgendermassen angenom-men werden:

(18)

(19)

(20)

Das Spannungs-Stauchungs-Diagramm des Betonsentspricht Kurve 3 in Abbildung 8 links. Die Bewehrungbesteht aus Betonstahl IIIa und gemäss SIA 2018Tabelle 6 werden folgende Eigenschaften angenom-

, , (21)

(22)

Duktilitätsklasse B, (23)

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Beton-stahls entspricht Kurve 3 in Abbildung 8 rechts.

4.1.4 Erdbebenzone, Bauwerks- und Baugrundklasse

Die Untersuchung der Erdbebensicherheit wird für fol-gende Bedingungen durchgeführt:

Erdbebenzone: Z3b, (24)

Bauwerksklasse: BWK I, (25)

Baugrundklasse: BGK C (26)

4.2 Analyse des Gebäudes in “Wandrichtung”

Die Analyse folgt den Arbeitsschritten 1 bis 6 aus Kapi-tel 3.8. Jeder Schritt wird nachfolgend in einem eige-nen Unterkapitel behandelt.

4.2.1 Nichtlineares Verformungsverhalten des Bauteils

Die Berechnung des Momenten-Krümmungs-Dia-gramms für den Einspannquerschnitt der Wand 6erfolgt auf Basis nachstehender Bedingungen:

( OK!) (27)

(keine Umschnürung) (28)

(Übergreifungsstoss!) (29)

Das somit berechnete Diagramm ist in Abbildungen 6und 7 dargestellt und seine bilineare Approximationgemäss Abbildung 7 ist durch folgende Eckgrössendefiniert:

, (30)

(31)

, (32)

, (33)

Die Wände 10 und 6 besitzen die gleichen Eigenschaf-ten.

Abb. 11: Querschnitte der Bauteile (Abmessungen in [mm]).

Wandquerschnitt

Riegel in Feldmitte Riegel im Stützenbereich

Stütze Typ A Stütze Typ B

d 200mm=

h As'As

fck 1.25 19.2⋅ 24MPa= =

fcd 24 1.5⁄ 16MPa= =

Ec 24GPa=

Typ & Ort[mm] [-] [-]

1: Rahmen A+C, Feldmitte, generell: 0.40 2Ø20 3Ø142: Rahmen A+C, Stützenbereich, generell: 0.40 3Ø20 2Ø143: Rahmen A+C, Feldmitte, Dach: 0.30 2Ø14 3Ø124: Rahmen A+C, Stützenbereich, Dach: 0.30 3Ø14 2Ø125: Rahmen B, Feldmitte, generell: 0.45 2Ø22 3Ø226: Rahmen B, Stützenbereich, generell: 0.45 3Ø22 2Ø227: Rahmen B, Feldmitte, Dach: 0.30 2Ø18 3Ø148: Rahmen B, Stützenbereich, Dach: 0.30 3Ø18 2Ø14

Tabelle 1: Höhe und Bewehrung der Riegel.

h As' As

fsk 450MPa= ftk 550MPa= ft fs⁄( )k 1.22=

fsd 390MPa=

εuk 0.050=

agd 1.6m/s2=

γf 1.0=

Nd 1099kN–= n N Agfck( )⁄ 0.057= =

εc max, 0.004=

εs max, 0.5εuk 0.025= =

My' 4100kNm= φy' 0.750 3–×10 m 1–=

EIy My' φy'⁄ 5.49 6×10 kNm2= =

Mn 4450kNm= φy 0.814 3–×10 m 1–=

Mu 4950kNm= φu 6.896km 1–=

Tragfähigkeit von Betonbauten

4.2.2 Modaler Einmassenschwinger

In “Wandrichtung” weist das Gebäude ein ausgespro-chen einfaches Tragverhalten auf. Der gesamteWiderstand gegen Horizontalkräfte resultiert alleineaus den beiden Stahlbetontragwänden. Die Umfor-mung des wirklichen Tragwerks erfolgt wie in Abbil-dung 12 dargestellt und die genauen modalenGrössen lassen sich gemäss Anhang 2 aus SIAD0171 leicht berechnen. Sie betragen:

(34)

Partizipationsfaktor: (35)

Modale Masse: (36)

Modale Höhe: (37)

4.2.3 Kraft-Verformungs-Beziehung des Tragwerks

Um das Verformungsverhalten des Gebäudes zubeschreiben, wird nicht direkt dessen Kraft-Verfor-mungs-Beziehung, d.h. die - -Kurve, berechnet,sondern die entsprechende Beziehung des äquivalen-ten modalen Einmassenschwingers (EMS) (sieheAbbildung 12 rechts). Diese Kraft-Verformungs-Bezie-hung des äquivalenten modalen EMS wird durch die

- -Kurve beschrieben. Die beiden Kurven unter-scheiden sich lediglich durch den Faktor und diezweite lässt sich in diesem Fall einfacher berechnen.Hierfür ist zunächst die Länge des plastischenGelenks zu bestimmen:

(38)

Anschliessend ist die nichtlineare - -Kurveeiner Wand wie folgt zu ermitteln:

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Die nichtlineare Kraft-Verformungs-Beziehung desäquivalenten modalen EMS ergibt sich aus derSumme der - -Kurven der beiden Wände undist in Abbildung 13 dargestellt. Die Eckgrössen dernichtlinearen Kraft-Verformungs-Beziehung des äqui-valenten modalen EMS sind:

, (45)

, (46)

Damit kann die Grundschwingzeit des äquivalentenmodalen EMS berechnet werden, die per Definitionder Grundschwingzeit des Tragwerks entspricht:

(47)

4.2.4 Berechnung der Kapazitätskurve

Die Kapazitätskurve des Tragwerks ergibt sich durchDivision der Kraft in der Kraft-Verformungs-Beziehungdes äquivalenten Einmassenschwingers durch diemodale Masse des Tragwerks. Die Kapa-zitätskurve des Tragwerks in “Wandrichtung” ist inAbbildung 14 dargestellt.

4.2.5 Schätzung des Verformungsbedarfs

Der Verformungsbedarf entspricht der spektra-len Ordinate des elastischen Bemes-sungsspektrums der Verschiebung gemäss Ziffer 5.3.2aus SIA 2018. Die Ordinate wird berechnet für Z3b,

Abb. 12: Modellierung des Gebäudes in “Wandrichtung”(MMS = Mehrmassenschwinger, EMS = Einmas-senschwinger).

Fd

m*=1163t

Fd

h*=1

1.95

m

k*

w/Γw

Wirkliches Tragwerk

m1

m2

m3

m4

m5

Fd

wMMS EMS

kMMS=ΣkWände

φ1 0.063 0.2271 0.4573 0.7224 1=

Γ 1.507=

m* 1163t=

h* 11.95m=

Fd w

Fd w Γ⁄Γ

Lpl 1.0 0.08 11950 0.022 450 20⋅ ⋅+⋅( )⋅1154mm

==

Fd w Γ⁄

Fy Mn h*⁄ 4450 11.95⁄ 372kN= = =

θy φyh*

3-----⋅ 0.814 3–×10 11.95

3-------------⋅ 3.242 3–×10= = =

Abb. 13: Kraft-Verformungs-Beziehung des modalen Ein-massenschwingers äquivalent zur Grundschwin-gungsform des Gebäudes in “Wandrichtung”.

wy Γ⁄ θy h*⋅ 3.242 3–×10 11.95⋅ 0.039m= = =

Fu Mu h*⁄ 4950 11.95⁄ 414kN= = =

θu θy φu φy–( )Lpl 1 0.5Lplh*

--------------–⎝ ⎠⎛ ⎞+

9.922 3–×10

=

=

wu Γ⁄ θu h*⋅ 9.922 3–×10 11.95⋅ 0.119m= = =

Fd w Γ⁄

Fy 2 372⋅ 744kN= = wy Γ⁄ 0.039m=

Fu 2 414⋅ 828kN= = wu Γ⁄ 0.119m=

T 2π m*

Fy wy Γ⁄( )⁄--------------------------- 2π 1163

744 0.039⁄-------------------------- 1.55s= = =

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20Horizontale Verschiebung, w/Γ [m]

Tota

le H

oriz

onta

lkra

ft F d

[kN

m] Fu=828kN

Fu=414kN

Wand

„Gebäude“Fy=744kN

Fy= 372kN

wy/Γ=0.039m wu/Γ=0.119m

m* 1163t=

wd

wd Γ⁄Sud T 1.55=( )

Tragfähigkeit von Betonbauten

BWK I, BGK C sowie eine Grundschwingzeit von und beträgt:

(48)

Das maximale Verformungsvermögen des Tragwerksbeträgt:

OK! (49)

Der Erfüllungsfaktor gemäss Ziffer 9.1.2 von SIA2018 folgt somit zu:

(50)

Das angenommene elastische Bemessungsspektrumund die Kapazitätskurve des Gebäudes in “Wandrich-tung” sind in Abbildung 14 dargestellt.

4.2.6 Überprüfung des Querkraftwiderstands

Die Wände müssen für die erhöhte Querkraft über-prüft werden. Gemäss Ziffer 6.2.15.2 von SIA 2018und Ziffer 4.3.9.4.4 von SIA 262 beträgt :

(51)

Bei der Überprüfung des Querkraftwiderstands sollsowohl das Versagen der Querbewehrung als auchder Druckdiagonalen überprüft werden:1) Überprüfung der Querbewehrung gemäss SIA 262

Ziffer 4.3.3.4.3:

(52)

2) Überprüfung der Druckdiagonale gemäss SIA 262Ziffer 4.3.3.4.5:

(53)

4.3 Analyse des Gebäudes in “Rahmenrichtung”

Die Analyse folgt den Arbeitsschritten 1 bis 6 aus Kapi-tel 3.8. Jeder Schritt wird in einem eigenen Unterkapi-tel behandelt.

4.3.1 Nichtlineares Verformungsverhalten des Bauteils

Jeder Rahmen wird in einem Finite-Elemente-Pro-gramm mit nichtlinearen Berechnungsmöglichkeitenmodelliert. Sowohl Stützen als auch Riegel werdengemäss Abbildung 15 durch lineare Stabelemente mitkonzentrierten nichtlinearen Endgelenken (“lumpedplasticity elements”) abgebildet.

Die elastische Steifigkeit des Stützenele-ments ergibt sich durch Multiplikation der Steifigkeit imungerissenen Zustand mit dem Abminderungsfak-tor zur Berücksichtigung der Rissebildung. wirdaus den geometrischen Eigenschaften der Stütze(Abbildung 11) und den Materialeigenschaften ausKapitel 4.1.3 bestimmt. wird unter Berücksichtigungder Normalkraft in den Stützen infolge Schwerelastenaus Tabelle G3 von SIA D0171 abgelesen. Die Steifig-keit wird in jeder Stütze während der gesamtenBerechnung (siehe Kapitel 4.3.3) konstant gehalten,auch wenn die Normalkraft in den Stützen infolge Rah-menwirkung eigentlich variiert.

Die nichtlinearen Eigenschaften der Endgelenke inden Stützenelementen werden durch starr-plastischeMomenten-Verdrehungs-Beziehungen beschrieben.Diese Beziehungen sind folgendermassen zu bestim-men:1) Berechnung der Momenten-Krümmungs-Bezie-

hung des Stützenquerschnitts unter Berücksichti-gung der vorhandenen Normalkraft. Abbildung 16zeigt die Momenten-Krümmungs-Beziehungen der

Abb. 14: Beurteilung der Erdbebensicherheit des Gebäudesin “Wandrichtung”.

0

1

2

3

4

5

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20Sud, w/Γ [m]

S ad,

Fd/

m* [

m/s

2 ]

Elastisches Bemessungsspektrum (Z3b, BWK I, BGK C)

T=1.55s

wd/Γ wu/ΓwR,d/Γ

86.0w

w

d

d,Reff ==α

Kapazitätskurve

T 1.55s=

wd Γ⁄ Sud T 1.55=( ) 0.106m= =

wR d,Γ

---------- wuγD Γ⋅------------- 0.119

1.3------------- 0.092m 3

wyΓ-----<= = =

αeff

αeffwR d,wd

---------- 0.0920.106------------- 0.87= = =

Vd+

Vd+

Vd+ κ Vd⋅ 0.9 n

10------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ Fu⋅

0.9 510------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 414⋅ 580kN

= =

= =

VRd s,Asws

------- z fsd αcot⋅ ⋅ ⋅

2 50.3⋅200

------------------ 0.9 3970⋅( ) 390 45cot⋅ ⋅ ⋅

700915N=701kN 580kN OK!>

=

=

=

Abb. 15: Modellierung des Gebäudes in “Rahmenrichtung”.

VRd c, bw z kc fcd α αcossin⋅ ⋅ ⋅ ⋅200 0.9 3970⋅( ) 0.4 16 45 45cossin⋅ ⋅ ⋅ ⋅2246400N 2246kN 580kN OK!>

=== =

Stützenelement

Riegelelement

Lpl Lpl

L

αEIg (var.)

Lpl

Lpl

L αEIg

αEIg

EIgα EIg

α

αEIg

Tragfähigkeit von Betonbauten

Stützen vom Typ A für vier verschiedene Normal-kräfte, die den gesamten Bereich der zu erwarten-den Stützennormalkräfte abdecken. In diesem Fallist zu bemerken, dass bei der grössten Normalkraft

(entsprechend einer bezogenen Nor-malkraft von ) das vorhandene Krüm-mungsduktilitätsangebot nur etwa beträgt.

2) Bilineare Approximation der soeben berechnetenMomenten-Krümmungs-Beziehung gemäss Kapi-tel 3.6 bestimmen.

3) Berechnung der Momenten-Verdrehungs-Bezie-hungen des Querschnitts für eine Länge des plasti-schen Gelenks von:

(54)

4) Berechnung der starr-plastischen Momenten-Ver-drehungs-Beziehung in den Gelenken. Entsprichtdem plastischen Teil der unter Punkt 3 berechnetenKurven. Für die Stützen vom Typ A sind dieseBeziehungen in Abbildung 16 dargestellt.

Für die Riegelelemente erfolgt die Bestimmung derEigenschaften auf ähnliche Art und Weise. Nur im ela-stischen Teil des Elements werden unterschiedlicheBiegesteifigkeiten berücksichtigt, um die unterschiedli-chen Querschnitte in Feldmitte und im Stützenbereichzu berücksichtigen (siehe Abbildung 11). Die nichtli-nearen Eigenschaften der Riegelgelenke sind in Abbil-dung 17 dargestellt.

Die nichtlinearen Eigenschaften der Stützen undRiegel wurden im vorliegenden Fall unter Annahmefolgender maximaler Dehnungen bestimmt:

(55)

(56)

Die Flexibilität der Rahmenknoten wurde in diesemBeispiel nicht explizit berücksicht. Sie wurde nurbehelfsmässig berücksichtigt, indem die frei Länge der

Stützen und Riegel gleich dem Achsabstand zwischenden angrenzenden Elemente gesetzt wurde.

4.3.2 Modaler Einmassenschwinger

Die genauen modalen Eigenschaften des Tragwerkssollten aus einer 3D-Modellierung des Gebäudes miteinem Finite-Elemente-Programm bestimmt werden.Im Rahmen dieses Beispiels werden jedoch als erstegrobe Näherung die modalen Eigenschaften einesregelmässigen Rahmentragwerks verwendet. DieseEigenschaften können anhand von Bild G.6 undTabelle G2 aus SIA D0171 berechnet werden. Siebetragen:

(57)

Partizipationsfaktor: (58)

Modale Masse: (59)

Modale Höhe: (60)

4.3.3 Kraft-Verformungs-Beziehung des Tragwerks

Das Beispielgebäude ist in Rahmenrichtung leichtasymmetrisch. Die Belastung durch im Massenzen-trum jeden Stockwerks wirkender Horizontallastenwürde daher eine Verdrehung des Gebäudes hervor-rufen. Rahmen A würde dabei die grössten Verformun-gen erfahren. Die Behandlung dieser Torsionseffektewürde den Rahmen dieses einfachen Beispiels spren-gen, weshalb sie hier vernachlässigt wird. Für ihreBehandlung wird auf Kapitel G.8 aus SIA D0171 oderauf Kapitel 3 aus FEMA 356 verwiesen.

Dank dieser Vereinfachung kann die Kraft-Verfor-mungs-Beziehung des Tragwerks hier als Summe derKraft-Verformungs-Beziehungen der drei Rahmenberechnet werden. Die Verteilung der Horizontalkraft

über die Höhe ist bei jedem Rahmen affin zumEigenvektor aus Gleichung (57).

Abb. 16: Eigenschaften der in Abbildung 11 dargestelltenStützenelemente vom Typ A.

0

100200

300400

500

0 5 10 15

Plastische Verdrehung [10-3]

Mom

ent [

KN

m]

0

100200

300400

500

0 10 20 30 40

Krümmung [10-3 m-1]

Mom

ent [

KN

m]

M

MV

VLpl/2

= M/θ Plastisches Gelenk(Starr-plastisch mit Entfestigung)

Lpl/2

N

N

-1000kN

N=-1500kN

N=0kN

-1000kN-500kN

0kN

-500kN

-1500kN

N 1500kN=n 0.35=

µφ 2≅

Lpl 1.0 0.08 1600 0.022 450 18⋅ ⋅+⋅( )⋅306mm

==

εc max, 0.004=

εs max, εuk 0.050= =

Abb. 17: Eigenschaften der Riegelelemente. Die angegebe-nen Typen beziehen sich auf Tabelle 1.

-400

-300

-200

-100

0

100

200

-100 -50 0 50 100 150 200Krümmung [10-3 m-1]

Mom

ent [

KN

m]

= M/θ Plastisches Gelenk(Starr-plastisch mit Entfestigung)

Typ 2Typ 8

Typ 6

Typ 4

V

M

V

M

Lpl/2 Lpl/2

-400-300-200-100

0100200

-20 0 20 40 60

Plastische Verdrehung [10-3]

Mom

ent [

KN

m]

Typ 2Typ 8

Typ 6

Typ 4

2

Typ 8

6

4

2

6

4Typ 8

φ1 0.2846 0.5462 0.7635 0.9190 1=

Γ 1.252=

m* 0.879 mtot⋅ 1523t= =

h* 0.703 htot⋅ 11.25m= =

Fdφ1

Tragfähigkeit von Betonbauten

Die Kraft-Verformungs-Beziehung der Rahmen Aund B sowie des gesamten Tragwerks in “Rahmen-richtung“ sind in Abbildung 18 dargestellt. Die Versa-gensverschiebung des Gebäudes wird erreicht,wenn drei Stützen (Stützen 12, 13 und 14 in Abbildung10) im Erdgeschoss von Rahmen B versagen.

Eigentlich ist schon vor dem Erreichen diesesZustands ein Abfall der Kraft-Verformungs-Beziehungerkennbar. Bei einer Verschiebung von versagen drei Riegelgelenke im 2. OG (siehe Abbil-dung 18). Solange der Kraftabfall kleiner als 20% derMaximalkraft ist, kann normalerweise ein solches loka-les Versagen in Kauf genommen werden (siehe Pau-lay & Priestley (1992)). Das Versagen derBiegegelenke in den Riegeln erzeugt eine Umlagerungder Schnittkräfte, die nicht zum Einsturz führt, solangediese Biegegelenke noch in der Lage sind, die Riegel-querkräfte infolge Schwerelasten und Erdbeben zuübertragen. Diese Fähigkeit wird im Rahmen des vor-liegenden Beispiels angenommen, weil beim Versagendes Biegegelenks (Versagen der Biegedruckzone) diekräftige Längsbewehrung des Riegels noch intakt ist.

Das Versagen der drei Stützen führt zu einemAbfall der Kraft bis auf . Dies entspricht86% der maximal erreichten Kraft von und wäre gemäss des zuvor erwähnten Versagenskri-teriums noch akzeptabel. Das Versagen von schwerbelasteten Stützen kann hingegen nicht in Kaufgenommen werden, da ihre Fähigkeit grosse Normal-kräfte zu tragen, nicht mehr sichergestellt wäre.

Aus der bilinearen Approximation der Kraft-Verfor-mungs-Beziehung des ganzen Tragwerks lässt sichdie Grundschwingzeit des Gebäudes schätzen:

(61)

4.3.4 Berechnung der Kapazitätskurve

Die Kapazitätskurve des Tragwerks ergibt sich durchDivision der Kraft in der Kraft-Verformungs-Bezie-hung durch die modale Masse und durchDivision der Verschiebung durch den Partizipations-faktor . Die Kapazitätskurve des Tragwerksin “Rahmenrichtung” ist in Abbildung 20 dargestellt.

4.3.5 Schätzung des Verformungsbedarfs

Der Verformungsbedarf , berechnet für Z3b,BWK I, BGK C sowie für eine Grundschwingzeit von

, beträgt:

(62)

Das maximale Verformungsvermögen des Tragwerksbeträgt:

OK!(63)

Der Erfüllungsfaktor gemäss Ziffer 9.1.2 von SIA2018 folgt somit zu:

(64)

Das angenommene elastische Bemessungsspektrumund die Kapazitätskurve des Gebäudes in “Rahmen-richtung” sind in Abbildung 20 dargestellt.

4.3.6 Überprüfung des Querkraftwiderstands

Der Querkraftwiderstand der Stützen und Riegel sollgemäss Ziffer 6.2.15.3 SIA 2018 und nach Norm SIA262 unter Berücksichtigung der Bemessungswerte derMaterialeigenschaften ermittelt werden. Die Rahmen-knoten wurden im numerischen Modell des Tragwerksnicht berücksichtigt und müssen im Zusammenhangmit diesem Schritt überprüft werden.

Beide Nachweise werden hier aus Platzgründennicht durchgeführt.

Abb. 18: Kraft-Verformungs-Beziehung des Gebäudes in“Rahmenrichtung”.

Abb. 19: Verformungsfigur von Rahmen “B” beim Versagen.

0

500

1000

1500

2000

2500

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Horizontale Verschiebung Wd [m]

Tota

le H

oriz

onta

lkra

ft F d

[kN

]

Rahmen A

Rahmen B

Gebäude = 2 x Rahmen A + 1 x Rahmen B

Fy=2032kN

wy=0.098m wu=0.182m

Anfang Entfestigungder Stützengelenke

Fd

wd

= Gelenk= Gelenk (Versagt)

wu

w 0.16m=

Fd 1808kN=Fd 2112kN=

T 2π m*

Fy wy Γ⁄( )⁄---------------------------

2π 15232032 0.098 1.252⁄( )⁄--------------------------------------------------- 1.52s

=

= =

Fdm* 1523t=

wΓ 1.252=

wd

wd Γ⁄

T 1.52s=

wd Γ⁄ Sud T 1.52=( ) 0.106m= =

wR d,Γ

---------- wuγD Γ⋅------------- 0.182

1.3 1.252⋅------------------------- 0.112m 3wy

Γ-----<= = =

αeff

αeffwR d,wd

---------- 0.1120.104------------- 1.07= = =

Tragfähigkeit von Betonbauten

5 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK

Das verformungsbasierte Verfahren erlaubt eine wirk-lichkeitsnähere Erfassung des seismischen Verhaltensvon Tragwerken und führt deshalb im Allgemeinen zueiner günstigeren Beurteilung der Erdbebensicherheitbestehender Gebäude.

Wichtige Aspekte dieses neuen Verfahrens wurdenbehandelt, und die Abläufe anhand eines stark verein-fachten Beispiels veranschaulicht.

Die Anwendung des verformungsbasierten Verfah-rens ist für Länder mässiger Seismizität, wie dieSchweiz, neu, und entsprechende Erfahrungen fehlennoch. Seine Anwendung in den kommenden Jahrensoll zu einer Überprüfung und Verbesserung der vor-geschlagenen Regeln führen.

6 LITERATUR

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Abb. 20: Beurteilung der Erdbebensicherheit des Gebäudesin “Rahmenrichtung”.

0

1

2

3

4

5

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20Sud, wd/Γ [m]

S ad,

Fd/

m* [

m/s

2 ]

Elastisches Bemessungsspektrum (Z3b, BWK I, BGK C)

T=1.52s

wd/Γ wu/ΓwR,d/Γ

07.1w

w

d

d,Reff ==α

Kapazitätskurve