Transformation (Umformung rechtwinkliger Koordinaten)

Als Transformation bezeichnet man die Überführung von rechtwinkligen Koordinaten (Quellsystem) in ein anderes Koordinatensystem (Zielsystem)

Beispiel:

Örtliche Koordinaten (Quellsystem) Gauß-Krüger Koordinaten (Zielsystem)

Notwendig sind mindestens zwei identische Punkte in beiden Systemen, d.h., es müssen für mindestens zwei Punkte in beiden Systemen Koordinaten gegeben sein.

Folgende Bezeichnungen sind auch üblich:

Quellsystem : Altes System

Zielsystem : Neues System

Identische Punkte : Stützpunkte

+ y

+ x

Pa

Pe

Pi

+ Y

+ X

Gegeben : Koordinaten von Pa, Pe und Pi im Quellsystem und Pa und Pe im Zielsystem

Gesucht : Koordinaten von Pi im Zielsystem

Gegebene Koordinaten im Quellsystem

Gegebene Koordinaten im Zielsystem

Gesuchte Koordinate im Zielsystem

+ y

+ x

Pa

Pe

Pi

+ Y

+ X

Einpassen des Quellsystems in das Zielsystem

Der Punkt Pa des Quellsystems wird in den Punkt Pa des Zielsystems verschoben und die Strecke Pa – Pe des Quellsystems um den Winkel gedreht. Alle Punkte Pi des Quellsystems machen diese Parallelverschiebung und die Drehung um den Winkel mit.

Mit Hilfe eines Maßstabsfaktors kann nach der Drehung des Punkt Pe des Quellsy-stems mit dem Punkt Pe des Zielsystems zur Deckung gebracht werden.

Pe

y = ye - y

a

Berechnung des Drehwinkels und des Maßstabsfaktors m

aus den Koordinaten der identischen Punkte im Quell- und Zielsystem

+y

+ x

Pa

+ X

tT

x =

xe - x

a

X =

Xe

- X

a Y = Ye - Ya

berechnen t t inkelRichtungsw 1. ea

XY/ t tan

berechnen T T inkelRichtungsw 2. ea

XY / T tan

T- t : Drehwinkel 3.

alt

neus m : ktorMaßstabsfa .4s

2 Δ2 Δ alt XYs

2 ΔX2ΔY sneu

+ y

+ x

Pa

Pe

Pi

+ Y

+ X

T

i

ti

s i

Yi

X

i

Berechnung der Koordinaten im Zielsystem

iai

iai

22

ii

i

t cos m X X

t sin m Y Y.4

)( )( .3

Tt .2

)(/)( T tan .1

i

i

aiaii

aiai

s

s

xxyys

xxyy

x=(x

i – x

a)

y=(yi – y

a )

Zusammenfassung:

Die Berechnung sollte programmgesteuert durchgeführt werden. Diese Formelableitung soll in erster Linie das Verständnis für die Transformation wecken.

iiai

iiai

ii

altneu

ea

ii a

ea

t cos m X X

t sin m Y Y

Zielsystem im nKoordinate Gesuchte .5

T t

Pi Neupunkten den zu inkelRichtungsw .4

/s m ktorMaßstabsfa

T - t Drehwinkel 3.

berechnen. t t inkelRichtungsw

die und Strecken die sich lassen sZielsystem des nKoordinate den Aus2.

berechnen. Strecken die und T T T,T

inkelRichtungsw die sich lassen msQuellsyste des nKoordinate den Aus1.

s

s

s