TU Dortmund · Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler Vorname:...

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Fakultät Maschinenbau

Institut für Mechanik

Prof. Dr.-Ing. A. Menzel

Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

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Matr.-Nr.:

Aufgabe 1 (Seite 1 von 2)

a) Das dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird, wie gezeigt,durch drei Einzelkräfte belastet.

3√3L

1√3L

L

1

2

3

4

5

6

7

√3F

2F

2F

A

B

60◦

x

y

Geben Sie sämtliche Auflagerreaktionen sowie sämtliche Stabkräfte in Abhängigkeit von Fals auch die Länge l7 des Diagonalstabes 7 an. Dabei gelte die Konvention, dass Zugkräftepositiv anzunehmen und die Auflagerkräfte positiv in positiver Koordinatenrichtung zudefinieren sind. (7,0 Punkte)

Ax = Ay = B =

l7 =

S1 = S2 =

S3 = S4 =

S5 = S6 =

S7 =

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b) Das folgende Fachwerk ist wie dargestellt durch vier Einzelkräfte belastet.

.

.

LLLLLL

L

L

L

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30

31 32 33

F F

4F√2

4F√2

A B

x

y

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B bezüglich der durch dasvorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (3,0 Punkte)

Ax =

Ay =

B =

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Die nebenstehend abgebildeten Balken sindin den Punkten A und B gelenkig gelagertund in Punkt C durch ein weiteres Gelenkmiteinander verbunden. Auf den oberen Bal-ken wirkt auf dem Abschnitt AD eine kon-stante Streckenlast q unter dem Winkel α. A

B

C D

α

l

l2 l

q

x

z

a)

Ergänzen Sie die folgenden Abbildungen zu vollständigen Freikörperbildern unter eindeu-tiger Bezeichnung sämtlicher Reaktionskräfte.Hinweis: Fassen Sie die Streckenlast dabei nicht zu einer Ersatzkraft zusammen.

(1,0 Punkte)

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in Punkt A. (2,0 Punkte)

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b)

Die Balkenverbindung in Punkt C sei nundurch eine Schiebehülse realisiert. Zusätzlichsei das Auflager in Punkt B wie abgebildetdurch eine in vertikaler Richtung beweglicheEinspannung ersetzt worden.

A

B

C D

α

l

l2 l

q

x

z

Zeichnen Sie qualitativ den Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverlauf des horizon-talen Trägers in Abhängigkeit des angegebenen Koordinatensystems. Geben Sie darüberhinaus den jeweiligen Polynomgrad p der Schnittgrößenfunktionen sowie die Werte derentsprechenden Schnittgrößen an den Punkten A, C und D an. (6,0 Punkte)

A C D

N(x)

Q(x)

M(x)

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Für beide Balken wird ein zulässiges Biegemoment Mb,max vorgegeben. Alle weiterenVersagenskriterien können vernachlässigt werden. Geben Sie für α = 0 den größtmöglichenWert qmax an, welchen die Streckenlast annehmen darf, damit das zulässige Biegemomentin keinem Punkt überschritten wird. (1,0 Punkte)

qmax =

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a)

Bestimmen Sie für die nebenstehende Geo-metrie die x-Koordinate des Flächenschwer-punktes bezüglich des vorgegebenen Koordi-natensystems. (1,0 Punkte)

a/2 a

a

b b

2 b

y

x

xs =

In die oben genannte Geometrie wird nuneine rechteckige Aussparung, wie nebenste-hend dargestellt, eingebracht. Der neue Flä-chenschwerpunktsabstand bezüglich des ge-gebenen Koordinatensystems beträgt

xs =3

5a

Bestimmen Sie den Abstand c zwischen demMittelpunkt der Aussparung und der y-Achse.(1,0 Punkte)

c

a/2

a

a

b/3a/6

b b

2 b

y

x

c =

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b)

Die dargestellte Scheibe besteht aus zweiHalbscheiben (Radius r, Massen m1 undm2) die formschlüssig miteinander verbun-den sind. Die Abstände der jeweiligen Masse-schwerpunkte S1 und S2 zum geometrischenMittelpunkt der Scheibe sind mit a gegeben.Am äußeren Radius ist eine Feder mit derSteifigkeit c angebracht, die in der dargestell-ten Lage ungespannt ist und in jeder Lagedes Systems vertikal ausgerichtet ist, d.h.,die Feder rollt nicht auf dem äußeren Randder Rolle ab. Das System unterliegt der Erd-schwere g.

c

NN

r ϕS1

S2

a

a

m1

m2

g

Bestimmen Sie bezüglich des dargestellten Nullniveaus (NN) das GesamtpotentialΠ alsFunktion der Koordinate ϕ für beliebig große Auslenkungen des Systems. (3,0 Punkte)

Π(ϕ) =

Bestimmen Sie die Gleichgewichtsbedingung des Systems ohne konkrete Angaben mögli-cher Gleichgewichtslagen. (1,0 Punkte)

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c)

Das dargestellte Getriebe besteht aus zweimasselosen Scheiben (Radien r1 = 2 r undr2 = r) die schlupffrei aufeinander abrollen.Die Scheiben weisen an den äußeren Radi-en Umwuchten der Masse m auf, welche derErdschwere g unterliegen. Das dazugehörigeGesamtpotential lautetΠ :

Π(ϕ) = mg

[

r1 [1 + sinϕ] + r2 [1 + cos(2ϕ)]

]

ϕr1

r2

m

m

g

Bestimmen Sie die Gleichgewichtslage(n) des Systems für den Bereich: −π

2≤ ϕ ≤

π

4.

(Hinweis: sin(2ϕ) = 2 sinϕ cosϕ) (2,0 Punkte)

Begründen Sie mit Angabe expliziter Werte, welcher Art die vorgegebene Gleichgewichts-

lage ϕ =3

2π für das dargestellte System ist. (2,0 Punkte)

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Fakultat Maschinenbau

Institut fur Mechanik



Fruhjahr 2016

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Fruhjahr 2016


Das dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie dargestelltdurch die zunachst nicht weiter spezifizierten Einzelkrafte F1 und F2 belastet.

1 2 3 4

56

78 9

10

11 12

13

14

15

16

17

A

B

F1

F2

αl

l

llll

x

y

a)Nennen Sie samtliche Nullstabe, welche auf Grund gangiger Kriterien fur α ∈]0, π/2[direkt als solche identifiziert werden konnen (keine Rechnung). (2,0 Punkte)

Hinweis: Das Nennen falscher Stabnummern fuhrt zu Punktabzug.

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Fruhjahr 2016


b)Berechnen Sie samtliche Auflagerreaktionen in den Punkten A und B in Abhangigkeitder Großen F1, F2 und α bezuglich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positivdefinierten Richtungen. (3,0 Punkte)

Es gelte nun fur die angreifenden Krafte F1 = 2F und F2 = F , der Winkel sei α =90◦. Daraus ergeben sich die Auflagerreaktionen gemaß der durch das Koordinatensystemvorgegebenen positiven Koordinatenrichtungen zu Ax = −5F , Ay = 2F und Bx = 6F .Berechnen Sie die Krafte in den Staben 2, 8, 10, 13 und 16 in Abhangigkeit von F .

(5,0 Punkte)

Hinweis: Zugkrafte sind mit positivem Vorzeichen anzugeben.

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Fruhjahr 2016


Das nebenstehende Balkensystem ist in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertund in Punkt E durch eine Einzelkraft Fsowie im Bereich CD durch eine lineareStreckenlast mit dem Maximalwert q0 bela-stet. Der System-Abschnitt DE ist in PunktD mittels eines Vollgelenks an das restlicheSystem gekoppelt, ferner sind beide Teilsy-steme uber einen starren Stab verbunden.

A B

CD

EF

l

l

l/2

l/2

l/2

q0

xy

a)Erganzen Sie die folgende Abbildung zu vollstandigen Freikorperbildern unter eindeutigerBezeichnung samtlicher Reaktionskrafte. (1,0 Punkte)

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Fruhjahr 2016


Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B sowie die Stabkraft S.(2,0 Punkte)

b)Das nebenstehende Balkensystem ist in denPunkten A, B und D wie dargestellt gela-gert und im Bereich CD durch eine konstan-te, schrag unter dem Winkel α = 30◦ an-greifende Streckenlast q0 belastet. Im Ab-schnitt BC greift des Weiteren eine linearveranderliche Streckenlast mit demMaximal-wert q0 an. Die beiden Teilsysteme I und IIsind in Punkt C mittels eines Vollgelenks an-einander gekoppelt. Die Auflagerreaktion inPunkt D wurde bereits gemaß des vorgege-benen globalen x, y-Koordinatensystems zuDy =

√3/4 q0 l bestimmt. Die in Teilsystem

II wirkende Gelenkkraft in Punkt C ist durchdie beiden Komponenten Cx = −1/2 q0 l undCy = −

√3/4 q0 l vorgegeben.

A

B

C

D

I

II

α

l

l

q0

q0

x

y

x1

z1

x2

z2

x3

z3

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Fruhjahr 2016


Spezifizieren Sie die Funktionen der Schnittgroßen Normalkraft, Querkraft und Biegemo-ment im Bereich 0 ≤ x3 ≤ l in Abhangigkeit der gegebenen Großen und unter Verwendungdes vorgegebenen x3, z3−Koordinatensystems. (3,0 Punkte)

N(x3) =

Q(x3) =

M(x3) =

Stellen Sie die Funktionen des Biegemomenten-Verlaufs fur die Bereiche 0 ≤ x1 ≤ l und0 ≤ x2 ≤ l in folgender Vorlage unter Nennung der Werte in den Punkten A, B und Cgrafisch dar. Nennen Sie fur jeden Bereich den Polynomgrad p der jeweiligen Funktion.

(4,0 Punkte)

Hinweis: Zur Losung dieser Teilaufgabe sind gegebenenfalls Nebenrechnungen notwendig.

M

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Fruhjahr 2016


Der unten dargestellte, im Schwerefeld der Erde befindliche Korper (Masse M) weist einekreisrunde Aussparung (r = l/2) auf und wird in Punkt A durch ein Festlager gehalten.Daruber hinaus wird der Korper in Punkt B durch eine Feder (Federkonstante c) gestutzt,welche in der dargestellten Lage (ϕ = 0) bereits um die Lange a > 0 gestaucht ist.

x

y

8 l

8 l

5 l

4 l

3

2l

g

c

M

r

NN

ϕA B

a)Berechnen Sie unter Bezugnahme auf das gegebene Koordinatensystem die Schwerpunkt-Koordinaten des Korpers in Abhangigkeit von ϕ. (2,0 Punkte)

xS = yS =

b)Geben Sie das Gesamtpotential Π in Abhangigkeit des Freiheitsgrades ϕ unter Beruck-sichtigung des vorgegebenen Nullniveaus (NN) an. Die Schwerpunkt-Koordinaten xS, ySsind als bekannt vorauszusetzen und sollen NICHT aus Aufgabenteil a) ubernommenwerden. (2,0 Punkte)

Π(ϕ) =

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Fruhjahr 2016


c)Fur das unten dargestellte System lautet das Gesamtpotential

Π(ϕ) = −mg l sin(ϕ) +1

2c l2 sin2(ϕ) + 4c l2 sin2(ϕ) .

x

y gc

2 c

m

l

2 l

ϕ

NN

h > 2 l

Berechnen Sie die Winkel ϕ ∈ [0, π/2], fur die eine Gleichgewichtslage vorliegt.(2,0 Punkte)

Berechnen Sie die erforderliche Masse m des Balkens, damit fur den Winkel ϕ = 30◦ eineGleichgewichtslage vorliegt. (2,0 Punkte)

Untersuchen Sie diese spezielle Gleichgewichtslage hinsichtlich Stabilitat. (2,0 Punkte)

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Herbst 2015

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Herbst 2015


Das dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie gezeigtdurch die Einzelkrafte F1, F2 und F3 belastet.

lll

l

l

l

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

13

14 15

F1

F2

F3

A Bα

45◦

x

y

a) Geben Sie die Nummern der Stabe an, die auf Grundlage gangiger Kriterien direkt alsNullstabe identifiziert werden konnen. (1,5 Punkte)Hinweis: Die Angabe falscher Antworten fuhrt zu Punktabzug.

b)Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B in Abhangigkeit der KrafteF1, F2 und F3 bezuglich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definiertenRichtungen. (4,5 Punkte)Hinweis: Die Richtung von A ergibt sich aus der Zerlegung in die einzelnen Komponentenentsprechend der positiven Richtungen des vorgegebenen Koordinatensystems.

A = Bx = By =

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Herbst 2015


c)Die gleiche Stabkonstruktion ist nun wie dargestellt gelagert. Die externe Belastung istebenfalls verandert worden. Die Auflagerreaktionen sind bezuglich der durch das vorge-gebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen als

Ax = −1√2F1 − F2 , Ay = −

1√2F1 −

2

3F3 , B = −

1

3F3

vorgegeben.

l

l

l

lll

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

13

14 15

F1

F2

F3

A

B

45◦

x

y

Berechnen Sie die Stabkrafte S3, S4, S5 und S6 sowie S8, S11, S13 und S14 unter derVorraussetzung, dass Zugkrafte positiv sind. (4,0 Punkte)

S3 = S8 =

S4 = S11 =

S5 = S13 =

S6 = S14 =

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Herbst 2015


a)Bestimmen Sie die Lage des SchwerpunktsrS = xS ex + yS ey der rechts darge-stellten Scheibe mit Loch in Bezug auf dasvorgegebene Koordinatensystem. Die Mas-senverteilung ist als homogen anzunehmen.(3,0 Punkte)

2a aa

2a

2a

a

x

y

xS = yS =

b)Gegeben ist nun das auf der nachsten Seite dargestellte und aus einer rechteckigen Scheibe(i), einem Block (ii) und einer Umlenkrolle (iii) bestehende System. Samtliche relevantenGroßen wie Abmessungen, Massen und Lagerungen sind der Zeichnung zu entnehmen.Der Block (ii) befindet sich auf einer rauhen Ebene (Haftreibungskoeffizient µ0).

Vervollstandigen Sie die im unteren Kastchen zur Verfugung gestellte Skizze der dreiTeilkorper des Systems zu einem kompletten Freikorperbild. Nehmen Sie dabei an, dassder Block (ii) bei Verlust der Haftung die Ebene hinab gleiten wurde. (2,0 Punkte)

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S1

A

B

C

(iii)

(ii)

(i)

µ0

g m1

m2

2a a

β

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Herbst 2015


Tragen Sie in das nachfolgende Kastchen die Bedingung fur die Masse m2 ein, damit dasSystem im Gleichgewicht bleibt. (2,0 Punkte)Hinweis: Die Annahme, dass bei Verlust der Haftung der Block die Ebene hinab gleitet,bleibt bestehen. Zudem gelte tan(β) > µ0.

c)Ein Klotz der Masse m2 soll in nebenstehen-dem System durch die Kraft F auf einem rei-bungsbehafteten Untergrund in Ruhe gehal-ten werden. Der Klotz ist zudem durch einSeil uber eine Umlenkrolle mit einem schragstehenden Hebel der Masse m1 verbunden.Die vertikale Position des Auflagers A (Ab-stand x vom Seil) sei variabel, wobei das ho-rizontal verlaufende Seil stets in horizontalerLage bleibt.

F

x

µ0

g

l

m1

m2

> l

A

Leiten Sie die Bedingung fur das Verhaltnis zwischen l und x her, sodass der Korper imGleichgewicht verweilt und nicht nach oben gezogen wird. (3,0 Punkte)

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Herbst 2015


Der unten dargestellte Balken (Massendichte ρ, Querschnittsflacheninhalt A) ist linksseitigfest eingespannt und wird ausschließlich durch sein Eigengewicht belastet. Die Abmessun-gen des Systems sind der Zeichnung zu entnehmen.

x1z

1

x2

z2

l

2 l

α

g

P

x

y

ρ, A

a)Berechnen Sie die Funktionen der Normalkraft-, Querkraft- sowie Biegemomentenverlaufeim gesamten System entsprechend der vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme {xi, zi}in Abhangigkeit der gegeben Großen. (6,0 Punkte)

N1(x1) =

Q1(x1) =

M1(x1) =

N2(x2) =

Q2(x2) =

M2(x2) =

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Herbst 2015


b)Das folgende Balkentragwerk ist wie dargestellt gelagert und belastet. Dessen Abmes-sungen sind ebenfalls der Zeichnung zu entnehmen. Bezuglich der vorgegebenen, lokalenKoordinatensysteme wurden folgende Werte fur externe und interne Reaktionskrafte und-momente berechnet:

Ax = −1/6 q0 l , Ay = −4 q0 l , Bx = −1/3 q0 l , By = 8 q0 l ,

Q(x1 = l) = −5 q0 l , M(x1 = l) = −9/2 q0 l2 .

x1

z1

x2

z2

l

l

3 l

A

B

G

q0

q0

x

y

Zeichnen Sie fur das gesamte System die Verlaufe der Querkraft und des Biegemomentesin die auf der nachsten Seite gegebene Vorlage ein. Geben Sie dabei den im jeweiligenAbschnitt gultigen Polynomgrad p sowie die Werte der Schnittgroßen an relevanten Stellenan. (4,0 Punkte)

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Herbst 2015


Q

M

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Fruhjahr 2015

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Fruhjahr 2015


Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A, B und C gelagert und wird in denKnoten III und VIII durch Einzelkrafte F1 und F2 belastet. Zudem ist das Fachwerk inden Punkten I und II mit einem Balken der Lange l verbunden, welcher durch eine unter45◦ geneigten Einzelkraft F3 in dessen Mitte belastet wird.

l

l

l

l/2 l/2

x

y

F1

F2

F3

45◦

I II

III IV V

VIVII VIII

A B

C

1 2 3

4 5

6 7 8 9 10

11 12

a)Nennen Sie fur den Fall F2 = 0 samtliche Nullstabe, welche auf Grund gangiger Kriteriendirekt als solche identifiziert werden konnen (keine Rechnung). Dies gilt auch fur Nullsta-be, die sich eventuell erst als Konsequenz anderer identifizierter Nullstabe ergeben.Hinweis: Das Nennen falscher Stabnummern fuhrt zu Punktabzug. (2,5 Punkte)

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Fruhjahr 2015


b)Berechnen Sie fur den allgemeinen Fall F2 6= 0 die Auflagerreaktionen in den PunktenA, B und C bezuglich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definiertenRichtungen. (1,5 Punkte)

c)Fur nicht naher spezifizierte Krafte F1(F ), F2(F ) und F3(F ) ergeben sich die Auflagerre-aktionen gemaß des vorgegebenen Koordinatensystems zu

Ay = −F , By =5

2F , Cx = 2F .

Berechnen Sie die Stabkrafte S1, S2, S3 sowie S5, S8, S11 in Abhangigkeit der Großen F ,F1, F2 und F3 unter der Voraussetzung, dass Zugkrafte positiv sind. (6,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


Die rechts dargestellte Scheibe mit einerkreisformigen Aussparung (Radius r) weistdie in der Skizze angegebenen Maße sowiedie Masse m auf. Sie ist in Punkt A freidrehbar gelagert und stutzt sich zudem inPunkt B an einer reibungsfreien Wand(µ0 = 0) ab. Die Dichte des Korpers isthomogen verteilt.

x

y

45◦

m

µ0 = 0

a

a

2 a

2 a

4 a

r

A

B

g

a)Berechnen Sie die Koordinaten xS und yS des Schwerpunktes der Scheibe bezuglich desvorgegebenen x, y-Koordinatensystems. (3,0 Punkte)

xS = yS =

b)Fur einen anderen nicht naher spezifizierten Korper, welcher identisch zu oben gezeigtemSystem gelagert ist und auch die Masse m aufweist, sind die Koordinaten des Schwer-punkts durch xS = 2 a, yS = 2 a vorgegeben. Berechnen Sie die Reaktionskrafte in denAuflagern A und B. Tragen Sie dazu zunachst die von Ihnen (frei) gewahlten Kraftkom-ponenten in obige Skizze ein. (2,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


c)Gegeben sei nun das nebenstehend abgebil-dete System mit den angegebenen Abmes-sungen. Der in Punkt A frei drehbar gelagertehomogene Stab der Masse m2 stutzt sich inPunkt B auf einem rechteckformigen Korperab, wobei diese Kontaktstelle reibungsbe-haftet (Haftreibungskoeffizient µ0) ist. DesWeiteren hat der Rechteck-Korper Kontaktzu einer glatten Wand (µ0 = 0).

l

A

Bm1

m2

α x

yb

h/2

h/2

µ0 = 0

µ0 6= 0

g

Vervollstandigen Sie die im folgenden Kastchen dargestellte Skizze der beiden Teilkorperdes Systems zu einem kompletten Freikorperbild. (1,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


Berechnen Sie die von Ihnen eingefuhrten Komponenten der Reaktionskraft in Punkt B.(2,0 Punkte)

Wie lautet die Bedingung fur m2, sodass Haftung gewahrt ist? (1,0 Punkte)

m2

Kann bei diesem System Selbsthemmung auftreten und falls ja, wie lautet die zugehorigeBedingung? (1,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


a)Das dargestellte Balkentragwerk besteht aus zwei Teilelementen (je ein Balken zwischenden Punkten A und C sowie D und E) und wird im Bereich BE mit einer linear ver-anderlichen sowie im Bereich AB mit einer konstanten Streckenlast beaufschlagt. DasSystem ist wie dargestellt in Punkt A gelagert und die beiden Teilelemente sind in PunktB gelenkig miteinander verbunden. Daruber hinaus ist in den Punkten C und D ein Stabgelenkig an das jeweilige Balkenelement angeschlossen.

A

B

C

DE

x

y

l

l

l/2

l/2

q0

q0

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Fruhjahr 2015


Erganzen Sie die folgende Abbildung zu einem vollstandigen Freikorperbild.(1,0 Punkte)

Bestimmen Sie die in Punkt A wirkenden Auflagerreaktionen, die in Punkt B wirkendeninneren Reaktionskrafte sowie die im Stab CD wirkende Stabkraft S. (3,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


b)Der horizontale Balken des Tragwerks wird nun zusatzlich zu der linear veranderlichenStreckenlast in Punkt E durch eine Einzelkraft F/2 belastet. Die zuvor wirkende kon-stante Linienlast zwischen den Punkten A und B ist in diesem Aufgabenteil nicht mehrvorhanden. Die Abmessungen des Systems sind unverandert.

A

B

C

DE

F/2

x

z

x

y

l

l

l/2

l/2

q0

Die Auflagerreaktionen in A sowie die Kraft S im Stab DC sind bezuglich des vorgegebe-nen x, y-Koordinantensystems und unter der Annahme, dass Zugkrafte in Staben positivsind, wie folgt vorgegeben:

S = −4√2

3q0 l , Ax = 0 , Ay = q0 l , MA =

2

3q0 l

2 .

Daruber hinaus gilt F = q0 l. Bestimmen Sie die Biegemomentenfunktion fur den ho-rizontalen Balken im Bereich l/2 ≤ x ≤ 3/2 l bezuglich des vorgegebenen lokalen x, z-Koordinatensystems. (2,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


Zeichnen Sie qualitativ die Verlaufe des Biegemomentes M(x) und der Querkraft Q(x) furden horizontalen Balken unter Angabe der jeweiligen Werte an den Punkten D, B und Ebezuglich der Koordinate x in die folgende Vorlage. Nennen Sie zudem fur jeden Bereichden Polynomgrad p der jeweiligen Funktion. (4,0 Punkte)

M©

Q©

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Herbst 2014

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Herbst 2014


a)Gegeben ist das folgende, in den Punkten A und B gelagerte und durch eine Kraft F wiedargestellt belastete Fachwerk.

A

B

l

l

l

ll

F

F

1

2 3

4 5

6

7

8

9 10

11

Nennen Sie samtliche Nullstabe, welche auf Grund gangiger Kriterien direkt als solcheidentifiziert werden konnen (keine Rechnung). Das Nennen falscher Stabnummern fuhrtzu Punktabzug. (2,0 Punkte)

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Herbst 2014


b)Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie gezeigtdurch Einzelkrafte belastet.

x

y

A B

llllll

l

l

l

F

2F

2F

3F

4F1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22

23 24

25 26 27

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B bezuglich der durch dasvorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (3,0 Punkte)

Ay =

Bx =

By =

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Herbst 2014


c)An dem selben Fachwerk greifen nun die aus nachfolgender Zeichnung zu entnehmendenKrafte an.

x

y

A B

llllll

l

l

l

1

2F

1

3F

√2F

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22

23 24

25 26 27

Die Auflagerreaktionen sind dabei gemaß des vorgegebenen Koordinatensystems zu

Ay =3

4F , Bx = −

1

2F , By =

7

12F

vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkrafte S1, S13, und S18 sowie S11 und S17 unter derVoraussetzung, dass Zugkrafte positiv sind. (5,0 Punkte)

S1 = S13 = S18 =

S11 = S17 =

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Herbst 2014


Die dargestellte homogene Lochscheibe A (Gesamtmasse m, Radius r = a) ist auf derlinken Seite fest gelagert, wahrend die rechte Seite reibungsfrei (µ0 = 0) auf einem alsmasselos anzusehenden Keil B aufliegt. Der Keil selbst ruht auf einer reibungsbehaftetenEbene (Haftreibungskoeffizient µ0).

2a

3a

4a 5a

6a

a

A

B

rµ0 = 0

µ0

x

y

α

g

a)Bestimmen Sie die Koordinaten xS und yS des Schwerpunktes der abgebildeten Lochschei-be A bezuglich des angegebenen Koordinatensystems. (2,0 Punkte)

xS =

yS =

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Herbst 2014


b)Die Lochscheibe wird nun durch einen massiven, homogenen Korper (Gesamtmasse m)mit identischen Außenabmessungen ersetzt. Gleichzeitig greift eine horizontale Kraft F inder unten dargestellten Weise an dem Keil an. Erganzen Sie die unten gegebene Vorlagezu einem vollstandigen Freikorperbild. (3,0 Punkte)

F

Bestimmen Sie die von Ihnen im Freikorperbild definierten Kraftkomponenten zwischendem Korper und dem Keil sowie dem Keil und dem Fundament. (3,0 Punkte)

Wie groß muss die Kraft F > 0 sein, sodass sich der Keil nach rechts zu bewegen beginnt?(2,0 Punkte)

F

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Herbst 2014


Das dargestellte Balkentragwerk besteht aus zwei Teilelementen und wird durch eine KraftF sowie eine veranderliche Streckenlast

q(x2) = q0

(

1−(x2

L

)2)

, 0 ≤ x2 ≤ L

belastet. Die Teilelemente 1 und 2 sind im Punkt B gelenkig miteinander verbundenund im Punkt A und D wie dargestellt gelagert. Die Ecke im Punkt C ist als biegestarranzusehen.

A

BC

Dx1

z1

x2

z2

q(x2)

L

L

LL

L

2

F

1

2

a)Erganzen Sie die folgende Abbildung zu einem vollstandigen Freikorperbild. Ersetzen Siedie Streckenlast durch eine noch nicht naher zu spezifizierende Resultierende. (1,0 Punk-te)

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Herbst 2014


b)Bestimmen Sie die aus der veranderlichen Streckenlast resultierende Gesamtkraft Fres undgeben Sie den Angriffspunkt x∗

2 der Resultierenden auf dem Balken an. (2,0 Punkte)

Fres = x∗

2 =

c)Das zuvor gezeigte System ist nun hin-sichtlich Geometrie und Belastung gean-dert worden. Der abgewinkelte Balkenwird nun mit einer konstanten Linienlastq0 belastet wohingegen der horizontaleBalken einer linear veranderlichen Lini-enlast

q(x2) = q0

(

1−x2

L

)

ausgesetzt wird.

A

B

C

Dx1

z1

x2

z2

q0q0

L

LL

x

y

z

I©II©

Die Auflagerreaktionen sind bezuglich des {x, y}-Koordinantensystems wie folgt vorgege-ben:

Ax =1

6q0L , Ay =

1

6q0L , MA = −q0L

2 , Dx = −7

6q0L , Dy =

4

3q0L

Geben Sie die Funktion M II(x2) fur 0 ≤ x2 ≤ L sowie die Werte der Schnittgroßen furdie folgenden Positionen an. (4,0 Punkte)

M II(x2) =

N I(x1 = 0) = N II(x2 = L) =

QI(x1 = 0) = QII(x2 = 0) =

QI(x1 =√2L) = QII(x2 = L) =

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Herbst 2014


Zeichnen Sie qualitativ die Schnittgroßenverlaufe unter Angabe der jeweiligen Werte anden Punkten A, B, C und D bezuglich der Koordinaten xi, yi und unter Angabe desjeweiligen Polynomgrades p. (3,0 Punkte)

N(xi) →

Q(xi) →

M(xi) →

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Fruhjahr 2014

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Fruhjahr 2014


Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie ge-zeigt durch Einzelkrafte F1, F2 und F3 belastet. Die Lange der schragen Stabe betragtjeweils l.

x

y

A

B

F1F2

F3

l

l

l

l

l

1

8

9

10

11

2

3 4

67

5

a)Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B bezuglich der durch dasvorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (4 Punkte)

Ax = Bx =

Ay = By =

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Fruhjahr 2014


b)Geben Sie die Nummern aller Stabe an, die auf Grundlage gangiger Kriterien direkt alsNullstabe identifiziert werden konnen (keine Rechnung). (2 Punkte)Hinweis: Die Angabe falscher Stabe fuhrt zu Punktabzug.

c)An dem selben Fachwerk greifen nun die aus nachfolgender Zeichnung zu entnehmendenKrafte an.

x

y

A

B2F

F

F

l

l

l

l

l

1

8

9

10

11

2

3 4

67

5

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Fruhjahr 2014


Die Auflagerreaktionen sind dabei gemaß des vorgegebenen Koordinatensystems zu

Ax = 0 , Ay = −1

2F , Bx = F , By =

3

2F

vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkrafte S2, S3, S4 und S8. (4 Punkte)

S2 = S3 =

S4 = S8 =

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Fruhjahr 2014


a)Das dargestellte System besteht aus einemBalken (Masse m1), welcher im Punkt Cgelenkig mit einem weiteren Stab (Massem2) verbunden ist und sich im Punkt Aan einer reibungsbehafteten Wand (Haftrei-bungskoeffizient µ0) abstutzt. Des Weiterenist am oberen Ende des Balkens eine drei-eckformige Scheibe (Masse m3) starr mitdiesem verbunden.

Berechnen Sie die Lage rS = xS ex+yS ey desMassen-Schwerpunktes des Systems bezug-lich des vorgegebenen Koordinatensystems.(3,0 Punkte)

m1

m2

m3

ga

b b

b

b

b

xy

A B

Cµ0

xS = yS =

b)Das vorherige System ist nun dahingehendgeandert worden, dass eine Kugel der Massem3 mittels einer Bohrung uber das Ende desBalkens geschoben wurde. Die Lage des Mas-senschwerpunktes der Kugel kann dabei alsidentisch mit ihrem Mittelpunkt angenom-men werden. Die Masse m2 ist in diesem Fallals vernachlassigbar gegenuber m1 und m3

anzusehen (m2 ≪ m1, m3).

Erweitern Sie die nachfolgende Zeichnungzu vollstandigen Freikorperbildern unter derVoraussetzung, dass sich das Balkenende ander Kontaktstelle A bei Verlust der Haftungnach oben bewegen wurde. (1,0 Punkte)

m1

m2 ≈ 0

m3

g

b b

b

b

x

yA B

Cµ0

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Fruhjahr 2014


Berechnen Sie die von Ihnen angetragenen Reaktionskrafte. (3,0 Punkte)

Geben Sie die Bedingung fur die Masse m3 an, so dass sich das Balkenende an der Kon-taktstelle A nicht nach oben bewegt. (2,0 Punkte)

m3

Lasst sich fur diesen Fall eine Bedingung fur Selbsthemmung ableiten und falls ja, wielautet diese? (1,0 Punkte)

eja

enein

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Fruhjahr 2014


a)Der dargestellte Rahmen ist in den PunktenA und B wie dargestellt gelagert und wirddurch die veranderliche Flachenlast mit derFunktion

q(x1) = 3 q0

[

1−(x1

l

)2

+2

3

(x1

l

)3]

belastet. Die Rahmenecke im Punkt C istbiegestarr und der Winkel α ist als α = π/4gegeben.

l l/2

x2

y2

z2

x1

y1

z1

A

B

C

α

q(x1)

Die vertikale Komponente der Auflagerkraft im Punkt A ist bezuglich des angegebenenKoordinatensystems durch Az1 = −26

15q0 l gegeben. Berechnen Sie die Funktionen der

Schnittgroßen Q(x1) und M(x1) im Bereich 0 ≤ x1 ≤ l. (2,0 Punkte)

Q(x1) =

M(x1) =

Berechnen Sie die Auflagerreaktion Bz1 im Punkt B in Richtung der vorgegebenen z1-Koordinate. (1,0 Punkte)

Bz1 =

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Fruhjahr 2014


b)Das rechts dargestellte System besteht auseinem geraden und einem abgewinkeltenBalken, wobei die Ecke im Punkt D als bie-gestarr anzusehen ist. Das System ist in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertund die beiden Balken sind im Punkt C ge-lenking miteinander verbunden. Der geradeBalken wird mit einer konstanten Linienlastq0 belastet, wohingegen der abgewinkelteBalken einer linear veranderlichen Linienlastmit dem Maximalwert q0 ausgesetzt wird.

+

ll l/2

x

y

x1

y1

z1

x2

y2

z2

A

B

C

D q0

q0

Die Auflagerreaktionen sind bezuglich des {x, y}-Koordinantensystems wie folgt gegeben:

+

ll l/2

x

y

x1

y1

z1

x2

y2z2

Ax

MA

Bx

By

C

D q0q0

Ax =5 q0 l

6

MA = −q0 l

2

2

Bx = −1 q0 l

3

By = q0 l

Geben Sie die Randwerte der Schnittgroßen im Punkt D bezuglich beider Bereiche an.(3,0 Punkte)

N I(x1 = 3/2 l) = N II(x2 = l) =

QI(x1 = 3/2 l) = QII(x2 = l) =

M I(x1 = 3/2 l) = M II(x2 = l) =

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Fruhjahr 2014


Zeichnen Sie qualitativ die Schnittgroßenverlaufe unter Angabe der jeweiligen Werte anden Punkten A, B, C und D bezuglich der Koordinaten xi, yi und unter Angabe desjeweiligen Polynomgrades p. (4,0 Punkte)

N(xi) →

Q(xi) →

M(xi) →

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Herbst 2013

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Herbst 2013


Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wiegezeigt durch Einzelkrafte F1 bis F2 belastet. Die vertikale und horizontale Einheitslangedes Fachwerks betragt l.

F1

F2

l

l

ll ll

1

2 3 4

5 6

78 9

10 1112

13

14 15 16 17

45◦

A B

x

y

a)

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B fur F1 = F2 = F bezuglichdes vorgegebenen Koordinatensystems. (4 Punkte)

Ax = Ay =

Bx = By =

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Herbst 2013


b)

Geben Sie die Nummern aller Stabe an, die auf Grundlage gangiger Kriterien direkt alsNullstabe identifiziert werden konnen (keine Rechnung). (2 Punkte)Hinweis: Die Angabe falscher Stabe fuhrt zu Punktabzug.

c)

Die außeren Krafte sind nun zu

F1 = F, F2 = 2F

sowie die daraus resultierenden Auflagerreaktionen zu

Ax = −1

2F, Ay = −

1

2F, Bx = −

3

2F, By =

3

2F

vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkrafte S5, S6, S9 und S15. (4 Punkte)

S5 = S6 =

S9 = S15 =

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Herbst 2013


Die dargestellte Lochscheibe mit den Radien r1 = 0.2 cm and r2 = 0.15 cm besteht auszwei unterschiedlichen, jeweils homogenen Werkstoffen A und B. Die Massen sind furWerkstoff A mit m und fur Werkstoff B mit 2m angegeben. Die schiefe Ebene weist denReibungskoeffizienten µ0 auf, wahrend die andere Ebene links als reibungsfrei angesehenwerden kann (µ0 = 0).

2 cm2 cm

α

x

y

A B

0.5 cm0.5 cm

µ0

µ0 = 0

1 cm

1 cm

0.4 cm

g

r1r1

r2

a)

Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes SA von Teilkorper A unter Verwendung desvorgegebenen Koordinatensystems (2 Punkte)

xSA=

ySA=

Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes S des gesamten Korpers unter Verwendungdes vorgegebenen Koordinatensystems. (2 Punkte)

xS =

yS =

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Herbst 2013


b)

Die Lochscheibe wird nun durch einen massiven Korper (Gesamtmasse m) gleicher Geo-metrie und homogener Masseverteilung ersetzt. Zudem lagert dieser Korper zum einenreibungsfrei (µ0 = 0) auf einem als masselos anzunehmenden Klotz, zum anderen befin-det sich nun links ein Festlager. Der Klotz ruht auf einer um den Winkel α geneigten,rauhen Ebene (Haftreibungskoeffizient µ0) und wird wie gezeigt durch eine Einzelkraft Fbelastet.

2 cm 2 cm

α

x

y

µ0

µ0 = 0

1 cm

1 cm

g

m

F

c)

Erganzen Sie die folgende Abbildung des Klotzes unter der Bedingung, dass dieser dieschiefe Ebene hinauf zu gleiten droht, zu einem vollstandigen Freikorperbild. Geben Siedes Weiteren samtliche Reaktionskrafte dieses Teilsystems rechts neben der Skizze an.(2 Punkte)

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Herbst 2013


Geben Sie die Bedingung fur die Kraft F in Abhangigkeit der Großen m, g, µ0 und α an,damit das System im Gleichgewicht verweilt und der Klotz die schiefe Ebene nicht hinaufgleitet. (2 Punkte)

F

Geben Sie die Bedingung fur die Masse m in Abhangigkeit der Großen F , g, µ0 und αan, damit das System im Gleichgewicht verweilt und der Klotz die schiefe Ebene nichthinunter gleitet. (2 Punkte)

m

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Herbst 2013


Der dargestellte Rahmen bestehend aus den Teilelementen 1 und 2 ist statisch bestimmtgelagert und wird durch zwei konstante Streckenlasten mit Betrag q0 wie dargestellt be-lastet.

q0

q0l

l

l/2

α

A

B

1

2

C

D

x1z1

x2

z2

a)Erganzen Sie folgende Abbildung zu einem vollstandigen Freikorperbild zur Bestimmungaller Auflagerreaktionen.

0,5 P.

Stellen Sie die Momentensumme bezuglich des Punktes C fur den abgewinkelten Teilstab1 auf. Einzelne Summanden mussen nicht zusammengefasst werden.

1,5 P.

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Herbst 2013


b)Die Belastung des Systems und die Lange des horizontalen Teilstucks von Teilelement 1werden nun geandert. Im Bereich 0 ≤ x2 ≤ l greift nun eine linear-veranderliche Strecken-last q(x2) = q0(1− x2

l) an.

q0

q0l

ll

l/21

2A

α

B C

D

x1z1

x2

z2

Geben Sie fur die gegebene Belastung den Zusammenhang (keine Werte) zwischen denSchnittgroßen im abgewinkelten Teil und der Querkraft im horizontalen Teil des Rahmen-teils 1 im Punkt B (Ecke) an. Geben Sie ebenfalls fur diesen Punkt den Zusammenhangzwischen den Biegemomenten im abgewinkelten und horizontalen Teil des Rahmenteils 1an.

Q(x2 = 0) = (x1 = l) M(x2 = 0) =

1,0 P.

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Herbst 2013


c)Die aus der geanderten Belastung resultierenden außeren Auflagerreaktionen des obigenSystem sind nun wie folgt vorgegeben:

q0

α

1

4√

3q0 l

1

8√

3q0 l

2

5/12 q0 l7/6 q0 l

x1z1

x2

z2

Geben Sie die Randbedingungen zur Losung der Schnittgroßen-Differentialgleichungen inForm von konkreten Werten fur die folgenden Stellen an:

N(x1 = 0) = N(x2 = 0) =

Q(x1 = 0) = Q(x2 = 2l) =

M(x1 = 0) = M(x1 = l) =

3,0 P.

Komplettieren Sie schließlich die folgenden Graphiken zu vollstandigen Verlaufen derSchnittgroßenfunktionen uber den gesamten Rahmen. Geben Sie auch die Polynomgradep der Verlaufe sowie die Funktionswerte an markanten Stellen an.

Verwenden Sie dabei die vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme sowie die Ergebnisseaus den vorherigen Aufgabenteilen b) und c).

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Herbst 2013


q

ll

x1

x1

x1

z1

z1

z1

x2

x2

x2

z2

z2

z2

N(xi)

M(xi)

Q(xi)

4,0 P.

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Fruhjahr 2013

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Fruhjahr 2013


Das dargestellte Fachwerk mit gegebener Einheitslange l ist in den Punkten A und Bstatisch bestimmt gelagert und wird durch zwei Einzelkrafte F1 und F2 wie dargestelltbelastet. Es gelte die Konvention, dass Zugkrafte positiv sind.

F1

F2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415l

l

l l lA

B

x

y

a)Geben Sie die Nummern aller Stabe an, die auf Grundlage gangiger Kriterien direkt alsNullstabe identifiziert werden konnen (keine Rechnung).Hinweis: Die Angabe falscher Stabe fuhrt zu Punktabzug.

Geben Sie fur weiterhin die Nummern derjenigen Nullstabe an, welche aus der Kon-struktion entfernt werden konnen, ohne die kinematische Bestimmtheit des Fachwerks zubeeintrachtigen.

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Fruhjahr 2013


b)Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B sowie die Stabkraft S3 inAbhangigkeit von F1 und F2 bezuglich des vorgegebenen Koordinatensystems.

Ax = Bx =

Ay = S3 =

c)Die außeren Krafte sind nun zu F2 = 3F1 =: F sowie die daraus resultierenden Auflager-reaktionen zu

Ax = 2F , Ay = F , Bx = −7/3F

vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkrafte S6, S7 und S8.

S6 = S8 =

S7 =

Als Ingenieur vom Fach(werk) wissen Sie, dass auf Zug belastete Stabe bei gleichem Pro-filquerschnitt stets “stabiler” sind als Druckstabe, da bei letzteren die Gefahr des Knickensbesteht.Welcher der drei obigen Stabe wird dementsprechend unter der Gegebenheit identischerQuerschnitte bei zu großer Belastung F des Fachwerks zuerst versagen?

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Fruhjahr 2013


a)Bestimmen Sie die Koordinaten xS und yS des Schwerpunktes S der abgebildeten gelochtenhomogenen Scheibe (Gesamtmasse m) bezuglich des angegebenen Koordinatensystems.

x

y

αµ0

A

g

10a

12a

20a

a4a

a

xS =

yS =

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Fruhjahr 2013


b)Zeichnen Sie fur das oben stehende System ein vollstandiges Freikorperbild.

Ermitteln Sie alle durch das Eigengewicht des Korpers (Erdbeschleunigung g) hervorge-rufenen Reaktionskrafte in Abhangigkeit von m, g, a und der nun als allgemeine GroßexS gegebenen x-Koordinate des Schwerpunkts.Hinweis: Rechnen Sie hier nicht mit dem Wert fur xS, den Sie ggf. in Teil a) berechnethaben.

Wie groß darf der Neigungswinkel α der schiefen Ebene bei gegebenem Haftreibungsko-effizienten µ0 zwischen der Scheibe und der schiefen Ebene hochstens sein, damit Gleich-gewicht moglich ist?

α

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Fruhjahr 2013


Der dargestellte Rahmen mit gegebener Einheitslange l ist in den Punkten A, B und Cstatisch bestimmt gelagert und wird durch eine konstante Streckenlast mit Betrag q0 wiedargestellt belastet.

q0

G

l l

l

A

B C

x1

z1

x2

z2

a)Erganzen Sie folgende Abbildung zu einem vollstandigen Freikorperbild inklusive externerLasten. Tragen Sie auch Reaktionen ein, die direkt als “null” identifiziert werden konnen.

Analysieren Sie die statische Bestimmtheit des Systems und geben Sie die notwendigeAnzahl von Bereichen an, welche zur Berechnung der Schnittgroßenfunktionen notig ist.

� statisch bestimmt

� statisch unbestimmtAnzahl Bereiche:

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Fruhjahr 2013


b)Das System wird nun auf folgende Weise geandert:

q0

G

ll l

l

A

BC

x1

z1

x2

z2

Geben Sie den allgemeinen Zusammenhang (keine Werte) zwischen den Querkraften undBiegemomenten an verschiedenen Schnittufern im Punkt B (Ecke) sowie den konkretenWert des Biegemoments an der Stelle x2 = 2 l an.

Q(x1 = l) = (x2 = 0) M(x2 = 2 l) =

M(x1 = l) = (x2 = 0)

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Fruhjahr 2013


Die aus der Streckenlast resultierenden Auflagerreaktionen des obigen System sind nunwie folgt vorgegeben.

G

7/6 q0 l

B

2 q0 l2

5/2 q0 l

7/6 q0 l

Geben Sie auf Grundlage dieser Kraftgroßen die folgenden Werte der jeweiligen Schnitt-großen an den vorgegebenen Stellen an.

N(x1 = 0) = N(x2 = 3 l) =

Q(x1 = 0) = Q(x2 = 3 l) =

M(x1 = 0) = M(x2 = 3 l) =

Komplettieren Sie schließlich die folgenden Graphiken zu vollstandigen Verlaufen derSchnittgroßenfunktionen uber den gesamten Rahmen. Geben Sie auch jeweils den Po-lynomgrad p der Verlaufe sowie die Funktionswerte an markanten Stellen an.

Verwenden Sie dabei die vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme. Beachten Sie, dasseinzelne Werte vonQ(x) undM(x) sowie ein Ausschnitt des Verlaufs von N(x) vorgegebensind.

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Fruhjahr 2013


ll l

x1

x1

x1

z1

z1

z1

x2

x2

x2

z2

z2

z2

p = 0

−7/6 q0 l

q0 l2

−1/2 q0 l

N(x)

Q(x)

M(x)

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Herbst 2012

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Herbst 2012


Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie gezeigtdurch vertikale Einzelkrafte F1 bis F7 belastet. Die vertikale und horizontale Einheitslangedes Fachwerks betragt l.

3 5 6

11 12 13 14 15 16 1718

19 20 21 22

23 24 25 26

1 2 4

78

9 10

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

A Bx

y

a)Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B fur F1 = F2 = F3 = F4 =F5 = F5 = F6 = F7 = F bezuglich des vorgegebenen Koordinatensystems.

Ax = Ay =

Bx = By =

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Herbst 2012


b)Geben Sie die Nummern von genau 2 Nullstaben an, die auf Grundlage gangiger Kriteriendirekt als solche identifiziert werden konnen (keine Rechnung).

c)Die außeren Krafte sind nun zu F1 = F2 = F3 = F und F4 = F5 = F6 = F7 = 2F sowiedie daraus resultierenden Auflagerreaktionen zu Ax = 15/4F , Ay = 9/2F , Bx = −15/4Fund By = 13/2F vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkrafte S23 und S24 sowie S2, S10 undS20 unter Berucksichtigung der Konvention, dass Zugstabe positiv sind.

S23 = S24 =

S2 = S10 =

S20 =

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Herbst 2012


a)Berechnen Sie die Lage des Schwerpunkts S des aus einer Halbkreisscheibe (Radius r =3a/

√π) und einer quadratischen Scheibe (Kantenlange a) zusammengesetzten Korpers.

Geben Sie dessen Lage bezuglich des dargestellten x-y Koordinatensystems sowohl furα = 0 als auch fur allgemeine Winkel α an. Die Verteilung der Massendichte ist homogen.

O O

α = 0 α 6= 0

aa

rrα

x x

y y

Gegeben: a, r = 3a√π, α

xS(a, α = 0) = yS(a, α = 0) =

xS(a, α) = yS(a, α) =

Die dargestellte homogene Halbkreisscheibe(Masse m1) ist uber ein horizontales, dehn-starres Seil mit einer Masse m2 auf einerschiefen Ebene verbunden. Das System be-findet sich im Schwerefeld der Erde. DerHaftreibungskoeffizient zwischen den Kor-pern und ihrer jeweiligen Auflagerflache be-tragt µ0.

O

r

µ0

µ0

g

α

m1m2

β

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Herbst 2012


b)Es soll des Weiteren untersucht werden, fur welche Bedingungen Teilkorper 2 fur ein gege-benes α > 0 die schiefe Ebene nicht herunter rutscht. Vervollstandigen Sie dazu zunachstdas hier dargestellte Freikorperbild. Tragen Sie alle fur das Aufstellen der Gleichgewichts-bedingungen relevanten Großen deutlich ein. Fur den Abstand |OS| des Schwerpunkts Svom Punkt O gilt die Vorgabe |OS| = ls.

s

ls

x1

y1

x2

y2

Teilkorper 1 Teilkorper 2

Stellen Sie die zur Losung der Aufgabe unbedingt notwendigen Gleichgewichtsbedingun-gen fur die Teilkorper 1 und 2 auf Grundlage Ihres Freikorperbildes auf. Verwenden Siedie fur den jeweiligen Teilkorper angetragenen Koordinatensysteme.

Teilkorper 1

Teilkorper 2

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Herbst 2012


Geben Sie die Bedingung fur die Masse m2 an, damit Teilkorper 2 die schiefe Ebene nichtherunter rutscht.

Gegeben: sinα = 1

2, cosα =

√

3

2, sin β =

√

3

2, cos β = 1

2, ls

r= 1

2, µ0 =

1

2, m1

m2

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Herbst 2012


Ein rechtwinkliger Rahmen, welcher in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertist, wird durch eine lineare Streckenlast derFunktion

q(x1) = q0

[

1−2 x1

l

]

belastet. Die Rahmenecken in den PunktenB und C sind biegestarr und das Eigenge-wicht des Rahmens ist zu vernachlassigen.

A B

C

x1

z1

x2

z2

l

l

q0

q0

a)Berechnen Sie die Funktionen der Schnittgroßen Q(x1) und M(x1) im Bereich 0 ≤ x1 ≤ l.

Q(x1) =

M(x1) =

Betrachten Sie nun den Punkt C und geben Sie die allgemeinen Zusammenhange zwischenden Schnittgroßen N , Q, M fur x1 = l (Bereich 1) und den Schnittgroßen N , Q, M furx2 = l (Bereich 2) an. Hinweis: Es ist nicht nach den Funktionswerten gefragt.

N(x1 = l) =

Q(x1 = l) =

M(x1 = l) =

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Herbst 2012


Wie groß ist die aus der Streckenlast resultierende Gesamtkraft Fres und welchen Werthat die Reaktionskraft By des Lagers im Punkt B?

Fres = By =

b)Das rechts abgebildete Tragwerk ist in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertund wird im rechten Bereich durch eine kon-stante Streckenlast q0 wie gezeigt belastet.Die im Punkt C befindliche Ecke des Rah-mens ist biegestarr, das Eigengewicht desTragwerks ist zu vernachlassigen. A

B

C

ll

√2 l

q0

45◦45◦

Die Auflagerreaktionen des Systems sind wie folgt in Abhangigkeit des unten angegebenenglobalen x-y-Koordinatensystems vorgegeben.

C

l

l

q0x

y

Ax

AyBy

x1

z1

x2z2

Ax = 1√2q0 l

Ay =

√24 q0 l

By = Ay =

√24 q0 l

Geben Sie die Schnittgroßen im Punkt C des Rahmens bezuglich beider Bereiche an.

N(x1 = l) = N(x2 = 0) =

Q(x1 = l) = Q(x2 = 0) =

M(x1 = l) = M(x2 = 0) =

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Herbst 2012


Geben Sie die Werte der Schnittgroßen (Randbedingungen) in den Punkten A und B an.

N(x1 = 0) = N(x2 = l) =

Q(x1 = 0) = Q(x2 = l) =

M(x1 = 0) = M(x2 = l) =

Zeichnen Sie qualitativ die Schnittgroßenverlaufe unter Angabe der Randwerte, Vorzeichenund des Polynomgrades p.

N(x) → p = p =

Q(x) → p = p =

M(x) → p = p =

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Fruhjahr 2012

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Fruhjahr 2012


Das dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und durch die EinzelkrafteF1, F2, F3, F4, F5 6= 0 in den Knoten IV , VI, IIX , IX und X belastet.

A B

l

l

llll

F1

F2

F3

F4

F5

x

y

I II

IIIIV V VI

VII

IIX IX X

1 2 34

5 67

8 9 10 11

1213 14

15 1617

a)Nennen Sie die durch entsprechende Kriterien direkt als Nullstabe zu identifizierendenStabe des Systems anhand der in der Zeichnung angegebenen Stabnummern.

Die eingepragten Krafte sind nun als F1 = 2F , F2 = F , F3 = 5F , F4 = 3F undF5 = F gegeben. Berechnen Sie die vertikalen Komponenten der Auflagerreaktionen inden Punkten A und B in Abhangigkeit von F , wobei diese positiv gemaß der Richtungendes vorgegebenen Koordinatensystems anzutragen sind.

Ay = By =

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Fruhjahr 2012


b)Fur die alternativ wirkende außere Belastung F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F ergeben sichdie Auflagerreaktionen zu Ay = By = 5/2F . Berechnen Sie fur diesen Fall die StabkrafteSi in den Staben 6, 11 und 17 sowie 3, 9 und 14 in Abhangigkeit von F .

S6 = S3 =

S11 = S9 =

S17 = S14 =

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Fruhjahr 2012


a)Gegeben sind die zwei rechts abgebildetenKorper mit homogener Massendichte ρ undder Dicke t. Der dreieckformige Korper II(Offnungswinkel α = 60◦) weist eine kreisfor-mige Aussparung mit dem Radius r auf. DerKorper I ist aus einem Quadrat der Kanten-lange R sowie einem Viertelkreis mit RadiusR zusammen gesetzt.

Hinweis: Die Zeichnung istNichtmaßstab-lich!

α

r

R

R

I

II

r2

r2

l

x1

y1

x2

y2

Berechnen Sie die Flacheninhalte beider Korper I und II und geben Sie die x-Koordinatedes Schwerpunkts beider Flachen bezuglich des jeweils vorgegebenen Koordinatensystemsan.

Teilsystem I: Teilsystem II:AI = AII =

xSI

1 = xSII

2 =

b)Das rechts dargestellte System besteht ausdem im Punkt A frei drehbar gelagerten,halbkreisformigen Korper I (Massendichte ρ,Dicke t) sowie dem im Punkt B frei drehbargelagerten, dreieckformigen Korper II (Mas-sendichte ρ, Dicke t, Offnungswinkel α =60◦). Die Kantenlange l des Korpers II seistets ausreichend groß, sodass beide Korpereinen Kontaktpunkt C in der dargestelltenKonfiguration aufweisen. Der Haftreibungs-koeffizient an der Beruhrstelle C betragt µ0.Die Lage des Schwerpunktes des Korpers Iist mit xSI

1= 4R/(3 π) und ySI

1= R vorge-

geben.

Hinweis: Die Zeichnung istNichtmaßstab-lich!

A

B

C

α

µ0

R

I

II

g

l

x1

y1

x2

y2

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Fruhjahr 2012


Erganzen Sie die folgenden Abbildungen der Teilsysteme I und II zu vollstandigen Frei-korperbildern.

Berechnen Sie die Betrage der Haftkraft H und der Normalkraft N an der KontaktstelleC. Gehen Sie dabei davon aus, dass der Abstand |BC| zwischen dem Beruhrpunkt C unddem Lager B durch die Große d gegeben ist.

H = N =

Geben Sie den Wertebereich fur die Lange l des rechten Korpers an, so dass zwischenbeiden Korpern Haftung besteht.

l ≥

Berechnen Sie nun den Abstand d := |BC| zwischen dem Beruhrpunkt C und dem LagerB des Teilkorpers II.

Hinweis: tan(15◦) = 2−√3, cot(15◦) = 2 +

√3

d =

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Fruhjahr 2012


Ein rechtwinkliger Rahmen, welcher in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertist, wird durch eine symmetrische Strecken-last der Funktion

q(x1) = 4 q0

[

−x21

l2+

x1

l+

1

16

]

belastet. Die Rahmenecke im Punkt C istbiegestarr und das Eigengewicht des Rah-mens ist zu vernachlassigen. A

BC

x1

z1

x2

z2

l

l

q0

a)Die horizontale Komponente der Auflagerkraft im Punkt A ist durch Az1 = −11/12 q0 lgegeben. Berechnen Sie die Funktionen der Schnittgroßen Q(x1) und M(x1) im Bereich0 ≤ x1 ≤ l.

Q(x1) =

M(x1) =

Geben Sie die allgemeinen Zusammenhange zwischen den Schnittgroßen N , Q, M imPunkt C fur x1 = l (Bereich 1) und den Schnittgroßen N , Q, M fur x2 = 0 (Bereich 2)an.

N(x1 = l) =

Q(x1 = l) =

M(x1 = l) =

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b)Das rechts abgebildete Tragwerk ist in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertund wird durch eine dreieckformige Strecken-last mit dem Maximalwert q0 belastet. Derobere Teil des Rahmens ist gegenuber derHorizontalen um den Winkel α = 30◦ ge-neigt. Die im Punkt C befindliche Ecke desRahmens ist biegestarr, das Eigengewicht desTragwerks ist zu vernachlassigen.

A

B

Cα

q0

l

l

x1

z1

x2

z2

Die Auflagerreaktionen des Systems sind wie folgt in Abhangigkeit des unten angegebenenglobalen Koordinatensystems vorgegeben.

+

x

y

Ax

Ay

BAx = 1

2 q0 l

Ay = − 13√3q0 l

B = 13√3q0 l

Geben Sie die Schnittgroßen im Punkt C des Rahmens bezuglich beider Bereiche an.

N(x1 = l) = N(x2 = 0) =

Q(x1 = l) = Q(x2 = 0) =

M(x1 = l) = M(x2 = 0) =

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Geben Sie die Werte der Schnittgroßen (Randbedingungen) in den Punkten A und B an.

N(x1 = 0) = N(x2 = l) =

Q(x1 = 0) = Q(x2 = l) =

M(x1 = 0) = M(x2 = l) =

Zeichnen Sie die Schnittgroßenverlaufe unter Angabe der Randwerte, Vorzeichen und desPolynomgrads.

N(x) Q(x) M(x)

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Herbst 2011

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Herbst 2011


Auf einer rauen, schiefen Ebene (Anstellwin-kel α) ruht ein Block (Massem2) im Schwere-feld (Erdbeschleunigung g). Eine vertikal rei-bungsfrei gefuhrte Stange (Masse m1) stutztsich auf dem Block ab. Der Haftreibungskoef-fizient zwischen Stange und Block bzw. zwi-schen Block und schiefer Ebene ist µ01 bzw.µ02.

g m1

m2

α

µ01

µ02

x1

y1x2

y2

a)Erganzen Sie die folgenden Abbildungen der Teilsysteme I und II zu vollstandigen Frei-korperbildern.

I II

Stellen Sie fur Teilsysteme I und II die Kraftegleichgewichtsbedingungen bezuglich desjeweils vorgegebenen Koordinatensystems x1, y1 bzw. x2, y2 auf.

Teilsystem I:

∑

Fx1=

∑

Fy1 =

Teilsystem II:

∑

Fx2=

∑

Fy2 =

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Herbst 2011


Leiten Sie fur den Sonderfall µ02 = 0 die Bedingung fur die Masse m2 her, so dass Haftungbesteht.

b)Die reibungsfrei vertikal gefuhrte Stange(Masse m1) stutzt sich nun auf einer homo-genen Kreisscheibe (Masse m2, Radius r) wiedargestellt ab. Fur die Haftreibungskoeffizi-enten an den beiden Kontaktstellen soll gel-ten

µ01 = µ02 6= 0.

m1

m2

α

α

µ01

µ02

r

g

Welche Stelle ist fur die Haftung des Systems maßgebend?

Maßgebend ist die Kontaktstelle zwischen Walze und

[ ] Stange

[ ] schiefer Ebene

Geben Sie die maßgebende Bedingung fur die Masse m1 an, so dass Haftung besteht.

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Gegeben ist das dargestellte, in den Punkten A und B gelagerte sowie durch eine Einzel-kraft F belastete Fachwerk.

A B

α ββ

ββ

h

F

1

234

5

4/√3h 1/

√3h

a)Geben Sie die Werte der Stabkrafte an. Halten Sie sich an die Konvention, dass Zugkraftepositiv und Druckkrafte negativ sind.

Geg.: F , α = 30◦, β = 60◦

S1 = S2 =

S3 = S4 =

S5 =

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b)Gegeben ist das folgende, durch zwei Einzelkrafte F belastete und in den Punkten A undB gelagerte Fachwerk.

A B

aaaa

a

F

F

x

y

1

2

3

Markieren Sie in der obigen Skizze zur Aufgabenstellung samtliche Nullstabe durch ein“X” auf dem jeweiligen Stab gemaß der Nullstabkriterien.

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B bezuglich des angegebenenKoordinatensystems.Geg.: F , a

Ay =

Bx =

By =

Berechnen Sie die Krafte in den Staben 1, 2, 3.Geg.: F , a

S1 =

S2 =

S3 =

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a)Ein wie dargestellt gelagerter Balken der Lange 4 l wird bereichsweise durch konstanteStreckenlasten q0 belastet. Im Punkt G befindet sich ein Gelenk.

A

B C

Gx

z

I

2 l ll

q0q0

Bestimmen Sie die folgenden Auflagerreaktionen bezuglich des angegebenen Koordinaten-systems.Geg.: q0, l

Az = Bz = Cz =

Geben Sie die Funktionen der Schnittgroßenverlaufe Qz(x) und My(x) fur den vorgegebe-nen Bereich I (0 < x < 2l) an.

Qz(x) = fur 0 < x < 2l

My(x) = fur 0 < x < 2l

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b)Fur die unten dargestellte Rahmenkonstruktion sind die Auflagerreaktionen bezuglich derim Bild angegebenen Koordinatensysteme zu

Az3 =1

4q0 l , Ax3

=5

4q0 l , Bz1 = −

3

4q0 l , Bx1

= −1

4q0 l

vorgegeben.

A B

CD

E

l

llllllllllllllllll

q0l

q0

x1

x2

x3

z1

z2

z3

Geben Sie zunachst den jeweiligen Betrag des Biegemomentes in den Punkten D und Ean.Geg.: q0, l

|MDy | = |ME

y | =

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Skizzieren Sie die Funktionen des Biegemomentes My unter Angaben der Werte an denPunkten A, B, C, D und E bezuglich der angegebenen Koordinaten xi, zi.

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Fruhjahr 2011

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Fruhjahr 2011


Ein starrer, als masselos anzunehmenderBlock ruht auf einem reibungsfreien Funda-ment (µF = 0) und wird durch eine Einzel-kraft F belastet. Zwischen dem Block und ei-ner schragen Ebene ist eine Walze (Radius r,Masse m) geklemmt. An den jeweiligen Kon-taktstellen A und B herrsche Reibung (Haft-reibungskoeffizient µ0).

Geg.: F , α, m, g, µ0, µF = 0

��

��

��

��

A

B

F

r

m

g

α

µ0

µ0

µF = 0

x

y

a)Zeichnen Sie das vollstandige Freikorperbild des Blocks (linkes Kastchen) und geben Siedas Ergebnis der Berechnung fur die Horizontalkomponente der Kraft zwischen Block undWalze im Punkt A an (rechtes Kastchen).

=

b)Stellen Sie zunachst das vollstan-dige Freikorperbild der Walze dar.Der Betrag der Horizontalkompo-nente der Kraft zwischen Block undWalze im Punkt A sei dabei nundurch HA vorgegeben.

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Berechnen Sie gemaß des Freikorperbildes die unbekannten Krafte in Abhangigkeit dergegebenen Großen.

Geg.: HA, m, g, α

Geben Sie die Bedingung fur den Haftreibungskoeffizienten µ0 an, so dass im Punkt BHaftung besteht.

c)Die Komponenten der Kraft an der Kontaktstelle A seien nun durch HA = K in horizon-taler und NA = mg + K cot

(

α2

)

in vertikaler Richtung vorgegeben. Bestimmen Sie dieBedingung fur den Term cot

(

α2

)

derart, dass im Punkt A fur beliebig große BelastungenK → ∞ immer Haftung besteht.

cot(

α2

)

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a)Ein im Punkt A frei drehbar gelagerter, horizontaler Balken der Lange 2 l wird durch einekonstante Streckenlast q0 = const. belastet. Zusatzlich wird dieser durch einen im PunktB gelagerten Stab wie dargestellt im Punkt C abgestutzt.

A

B

C

l

ll

q0

x

z

Fur das vorgegebene System wurden die Auflagerkrafte im Punkt A bezuglich des vor-gegebenen x, z–Koordinatensystems bereits zu Ax = −3

2q0 l sowie Az = 1

2q0 l berechnet.

Berechnen Sie zunachst die Normalkraft im Stab, welcher die Punkte B und C verbindet.

Geg.: q0, l

NStab =

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Berechnen Sie die Funktionen samtlicher Schnittgroßen des horizontalen Balkens bezuglichdes vorgegebenen x, z–Koordinatensystems. Machen Sie eindeutige Angaben zum jeweilsbetrachteten Bereich.

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b)Fur den hier dargestellten, abknickenden Balken sind die Schnittgroßenfunktionen

N I(x1) = −2 q0 l, QIz(x1) = −q0 x1, M I

y (x1) = −1

2q0 x

2

1,

bezuglich des x1, z1–Koordinatensystems fur den Bereich I gegeben. Die Auflagerreaktio-nen im Punkt B bezuglich des x2, z2–Koordinatensystems lauten

Bx2= −q0 l, Bz2 =

1

2q0 l, MB =

1

2q0 l

2.

A

B

CD

l

ll

q0

F = 3/2 q0 l

x1

z1

x2

z2

I

II

Skizzieren Sie die Schnittgroßenfunktionen fur Qz und My in der jeweiligen Vorlage (siehenachste Seite) unter Angabe der Werte an den Stellen A, B, C und D. Verwenden Siedazu die eingetragenen Hilfslinien.

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Qz

My

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a)Das dargestellte System besteht aus zweistarren Staben (Lange l) sowie einer Feder(Federsteifigkeit c, ungespannte Lange l0).Am Punkt C wird eine Einzelkraft F ein-gepragt.

Geg.: F , l, c

Hilfestellung:sin(γ + δ) = sin(γ) cos(δ) + cos(γ) sin(δ)cos(γ + δ) = cos(γ) cos(δ)− sin(γ) sin(δ)

x

y

c, l0

ϕ

F

l

l

A

B

C

Geben Sie die kinematisch vertraglichen virtuellen Verruckungen δrA, δrB und δrC derPunkte A, B und C bezuglich des vorgegebenen Koordinatensystems als Vektor an. Ver-wenden Sie dazu als Freiheitsgrad den Winkel ϕ.

δrA = ex + ey

δrB = ex + ey

δrC = ex + ey

Geben Sie die virtuelle Arbeit an, welche durch die virtuelle Zustandsanderung δϕ ver-richtet wird.

δW (δϕ) =

Welchen Wert muss die ungespannte Lange l0 der Feder aufweisen, damit fur den Winkelϕ = 45◦ eine Gleichgewichtslage besteht?

l0 =

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b)Ein abgeknickter Balken ist wie dargestelltim Punkt A gelagert. Des Weiteren sind imPunkt A eine Drehfeder (DrehfedersteifigkeitcT ), im Punkt B eine Wegfeder (Federsteifig-keit c) sowie im Punkt C eine Masse m mitdem Balken verbunden. Die Federn sind inder dargestellten Lage (ϕ = 0) ungespannt.

Geg.: m, g, l, c, cT

c

cT

m

2 l

l

gϕ

NNx

y

A

B

C

Geben Sie das Gesamtpotenzial Π in Abhangigkeit des Freiheitsgrades ϕ an. Berucksich-tigen Sie dabei die Lage des vorgegebenen Nullniveaus “NN”.

Π(ϕ) =

Bestimmen Sie die Bedingung fur die Existenz einer Gleichgewichtslage basierend aufΠ(ϕ). Spezifizieren Sie diese Bedingung fur das obige System. Losen Sie dabei nicht nachdem Freiheitsgrad auf!

Wie lauten die Gleichgewichtslagen bezuglich ϕ im Bereich ϕ ≥ 0 fur den SonderfallcT = 0?

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Anhand welcher Bedingung lasst sich fur den Fall cT 6= 0 die Stabilitat der Gleichge-wichtslagen dieses Systems untersuchen? Spezifizieren Sie diese Bedingung fur das obigeSystem.

Fur den allgemeinen Fall mit cT 6= 0 und den Werten m = 100 kg, g = 9.81 m/s2,l = 1.00 m, c = 2500 N/m und cT = 500 Nm seien die Gleichgewichtslagen durch ϕ = 0◦

und ϕ = 56.778◦ vorgegeben. Untersuchen Sie die Stabilitat der beiden vorgegebenenGleichgewichtslagen und kreuzen Sie das jeweilige Ergebnis an.

ϕ = 0◦ :e

stabile

instabile

indifferentϕ = 56.778◦ :

estabil

einstabil

eindifferent

TU Dortmund · Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler Vorname:...

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