This article was downloaded by: [University of Chicago Library]On: 14 November 2014, At: 16:41Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH,UK

Scandinavian Actuarial JournalPublication details, including instructions for authorsand subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/sact20

Über die Grundformeln derInvaliditätsversicherungWilliam Simonsen aa Kopenhagen , DenmarkPublished online: 22 Dec 2011.

To cite this article: William Simonsen (1936) Über die Grundformeln derInvaliditätsversicherung, Scandinavian Actuarial Journal, 1936:1-2, 27-51, DOI:10.1080/03461238.1936.10405436

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Uber die Grundformeln der Invaliditatsversicherung.

Von 'rilliam Simonsen (Koponhagon).

1. Zweck diesel' Arbeit ist die Entwicklung des Formel­bestandes del' biometrischen Griissen del' Invalidihitsversicheruug­unter moglichst allgemeinen, sogleich naher zu priizisierendeu Voraussetzung·en. Bekallntlich hat die Invalidihitsversicherung' in seinen verschiedellen Formen (Pensions- und SoziaJver­sicherung, Mitversicherung zusatzlicher Invaliditatsrente odeI' Priimienfreiheit im Invaliditatsfall bei Kapitalversicherungen n. a. m.) mit vielen Schwierig-keiten zu kampfen, und zwar Bowohl in praktischer als auch in theoretischer Hinsicht. Auf die praktischen Schwierigkeiten solI hier nicht naher einge­gang-en werden, es geniigt auf die diesbezugliche sehr um­fangTeiche Literatur zu verweisen; im folgendell wird voraus­gesetzt, dass bestimmte Konventionen hinsichtlich solcher Be­griffe wie Aktivitat (Enverbs- odeI' Dienstfiihigkeit) und Inva­lidittit festgelegt worden sind.

Die theoretischen Sch wierigkeiten del' Invaliditiitsvel'­sicherung' waren uberwiegend dadurch entstanden, dass man Begriffe benutzte, die zu U nklarheiten Anlass g·aben. Wiihrend man im aHgemeinen in del' Lebensversicherung' mit einer Ge­samtheit von Individuen zu tun hat, die nul' infolge einer Abgang'sursache, des Todes, abnimmt, so liegen die Verhalt­nisse andel'S in del' Invaliditatsversicherung', in welcher sich die Gesamtheit del' Aktiven allmiihlich durch zwei einander ausschliessende Abgangsursachen: Invaliditat und Tod im Zu­stande del' Aktivitiit mindert; wird auch die Moglichkeit del' Reaktivierungmit in Betracht gezogen, so werden Reaktivie­l'lUlg' und Tod im Zustande del' Invaliditat die Gesamtheit del' Invaliden lichten. Diese Verhiiltnisse hat man anfiinglich

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dadureh zu besehreiben versueht, dass man die sogenannten abhangigen Wahrseheinliehkeiten eingefiihrt hat; z. B. istwie bekannt die abhiingige Invaliditatswahrseheinliehkeit eines x-jiihrig'en Aktiven die Wahrseheinliehkeit, in del' Altersstreeke ,c, x + 1 invalid zu werden, und zwar unter Beriieksiehtigllng' del' gleiehzeitig auftretenden Magliehkeit des tadliehen Ab­g'anges im Zustande del' Aktivitl1t. Dureh die Anwendung' diesel' Wahrseheinliehkeiten entstanden viele Sehwierig'keiten und Unklarheiten, und dies um so mehr, als man in vielen Fiillen die Anderungen del' Gesamtheiten von Aktiven und Invaliden dureh populare, abel' oft unzureiehende Annahmen iiber die Verteilung' des Abganges auf das Versieherung'sjahr ohne Zuhilfenahme infinitesimaler Methoden darzustellen ver­suehte.

Ein wesentlieher Fortsehritt war die Einfiihrung dureh J. KARUpl von den Ausseheideintensitiiten und den damit in Verbindung stehenden unabhl1ngigen (reinen, absoluten odel' partiellen) Wahrseheinliehkeiten, bei denen die betreffende Abgangsursaehe von den ubrigen isoliert erseheint; beispiels­weise ist die unabhiingige Invaliditiitswahrseheinliehkeit eines x-jl1hrigen Aktiven die Wahrseheinliehkeit, in del' Altersstreeke :C, x + 1 unter alleiniger Berii.eksiehtigung del' Invalidittit als Ausseheideursaehe invalid zu werden; es wird also fingiert, dass jedes dureh Tod im Zustande del' Aktivitl1t in del' genannten Altersstreeke ausgesehiedene Individuum sofort dureh ein aktives Individuum desselben Alters ersetzt werde.

Dureh die Anwendung del' Ausseheideintensitaten in Ve1'­bin dung mit del' Infinitesimalreehnung als notwendigem Hilfs­mittel wird eine durehaus bef1'iedigende und alle Einzelheiten beriieksiehtigende Darstellung del' Anderungen del' Gesamtheiten von Aktiven und Invaliden maglieh; die oben besproehenen (abhangigen und unabhangigen) Wahrseheinliehkeiten sind daIlll im wesentliehell als Hilfsgrassell aufzufassen. Es liegell be­kanntlieh mehrere das Problem del' Besehreibung del' Ande-

1 In einem illl Jahre 1875 verfertigt('n Gntachten iiLer Invaliden- und Witwenpensionsverhiiltnisse der Heichsbeamten; s. auch MASIUS' Rundschan der V crsicherungen (1876-1878) n.: Finanzlage der Gotbaischen Htaats­dienerwitwensozietiit am 31. Dezember 1890 (1893).

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rungen del' erwlihnten Gesamtheiten behandelnde Arbeiten VOl', von denen insbesondere die Abhandlungen von L. G. Du PAKQUIER lund E. SCHOENRAUllI 2 hir das folgende von Interesse sind, weil darin das Problem unter sehr allgemeinen Voraus­setzungen untersucht wird. Du PASCtUIER betrachtet (1. c.) Gesamtheiten von Aktiven und Invaliden, bei denen ausser Tod (im Zustande del' Aktivitat odeI' Invaliditat) auch Invaliditat und Reaktivierung wirksam sind, und nimmt an, dass slimt­liche Intensitaten nul' vom erreichten Alter des betrachteten Indi viduums abhangig seien. SCHOENBA UllI hat 3 die Losung des Problems unter del' wesentlichen Verallgemeinerung del' Voraussetzungen hinsichtlich del' Intensiti'iten durchgefiihrt, dass die Sterbens- und Reaktivierungsintensitiiten del' Invaliden llicht nul' vom erreichten Alter des Invaliden, sondern auch von dessen letzter Invaliditlitsdauer abhangig seien. SCHOE1\:­lU. Dr skizziert ferner 4 unter Beibehaltullg" del' genannten Vor­aussetzungen hinsichtlich del' Invaliden die Losung in dem allgellleinen Falle, dass die Sterbens- und Invaliditatsintensi­tiiten del' Aktiven yom erreichten Alter und yon del' gesamten Dienstdaner des betreffenden Aktiven abhiingig seien, nilllmt abel' keine Rucksicht darauf, dass die yerschiedenen Intensi­tiiten auch davon abhiing'en konnen, ob das behachtete Indi­viduum ein odeI' mehrere Male aktiv bzw. invalid gewesen sei.

1m folgenden soll clie Losnng des Problems unter del' Annahme durchg'efUhrt werden, dass die Sterbensintensihiten aktiver bzw. invalider Personen sowie clie Invaliclitiitsintensitiit aktiver und clie Reaktivierungsintensihit inyalicler Personen sowohl yom erreichten Alter des betreffenden Individuums als auch von dessen lctztcr Aktivitats- bzw. Invaliditiitsclauer ab­hangen. 5 Es wird dabei anfangs (§ 2) vorausgesetzt, class diese

1 Mathematischc TheOl'ie cler lnvaliditiitsversieherung. }Iitt. d. Yerein. sell\\'eiz. Yers. nwth. 8. Heft ,) Ill3'. -

" An\Ycndung der YOLTEHRA'schen Intcgralgleiehungen in <ler mathe, matischen Statistik, Hkand. Aktnarietidskr. VII - YIII (1024-1025).

" Skand, A ktuarietidskr. VII (1924\ p. 25\)-265 u. VIII (I025:, p. 1-8. , Skand, Aktuarietidskr. VIn (1025), p, 14-15 u, 17-22. 5 ,Yir ,veiehen also yon del' SCIIoEKBATnr'schen Darstellnng in dn

Hinsieht ab, dass wir hei den Aktivcn die Hterbens- und Im'ali(litatsintensi­tiHen nicht durch die tobIe, sondern dureh die znletzt ahgelanfpne Aktivi­tiitsdallel' charaktcrisieren, wodul'ch cinc einlleitliehp RehancUllngsweise der Intcnsitiiten el'reirht ,,,il'd ..

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Intensitaten davon unabhangig seien, wie oft das Individuum, der betrachteten Gesamtheit angehol't hat; spater (§ 3) werden WIr diese Voraussetzung fallen lassen.

2. Wir betrachten jetztl eine gemischte Gesamtheit ;r;­

jahriger Individuen 7"" von denen l~ vollaktiv (d. i. nie invalid

g>ewesen), l~ reaktiviert und l{ invalid sind; die Gesamtheit del'

Aktiven ist dann l~ = l~ + l~; fiir x = Xo seien l,~ = 0 und

l~ = 0, also lxo = 7;'0 = l~~o' Wir nehmen fiir die beiden Gesamt­

heiten del' Reaktivierten und del' Invaliden an, dass alle lndi­viduen, die in eine diesel' Gesamtheiten im gleichen Alter eingetreten sind (einerlei ob zum ersten, zweiten u. s. w. 1fale) nnd danach ununterbrochen in del' gleichen Zeitdauer del' Gesamtheit angehort haben, derselben Moglichkeit des Aus­scheidens aus del' Gesamtheit nnterworfen seien.

Es seien dann .ui~(i], !L~:'il die Sterbens- bzw. Invalidit~its-

intensitiit x-]·iihriz. er Vollaktiven, u[£rll _ /lJi_rl _ (I: ~ a:) die '-' • L;J+::r-.;' I L;J+;C~; :, -

Sterbens- bzw. Reaktivierungsintensihit x-jahriger lnvaliden, die nach Invalidisiernng im Alter g im ununterbrochenen Zu­stande del' Invalidit~it das Alter x erlebt haben, und ju[~r~""<,

,ui~{~x-; (; ;;:;: x) die Sterbens- bzw. Invaliditatsintensitiit 2 x­jiihriger Reaktivierten, die nach Reaktivierung im Alter ~ 1m unnnterbrochenen Zustande del' Aktivitiit das Alter x erlebt haben; ferne1' seien:

1 Hinsiehtlich del' im folgenden vorkommenden Bezpichnungen sci he­merkt, dass ieh cine mit den von J. F. STEFFENSEN in del' Ahhandlung: Some remarks on invalidity functions (Berichte d. IX internat,. c\.ktuarkon­gresses in Stockholm (1930), Bd. 3, p. 68--77) vorgesehlagenen Pril1zipien iiller­f'illstimmende Bezeichnnngsw<,ise benutzt habe, jcdoch mit del' Modifikation, dass ieh statt der 1. c. (p. 70) al1gefiihrtell Indizes CG und f'l die Doppelindizes [ael] und [aiJ bzw. (wenn es sich um Ansscheiden aus der Gesamtheit Reak­tivierter handelt) [rdl und [riJ benutze. Die Indizes il, II, i und l' gelten als ,\. bkiirzungen fiir b,nv. »death", »activity", »invalidity" nnd »re-aetiyity", nnd die gcnanntcll Doppelindil'cs dentcn wie anch die Doppelindizes [i rlJ nnd 'i 1'J den thergang von dem dnrch den ersten Index angedeuteten Znstande zu dem dnrch den zweiten bezeiehneten an. Die 1. c. (p. 69) vorgeschlagcne Kon­vention, wonach Symhole, die durch eillen einzelnell hoehgestellten Index z. B. a, i, r) bezeichnet sind, in dersdben 'Veise ,,-ie die entsprecbendcll Symbole in der Lebensversicberungsmathematik hehandelt wcrden ~ollen, lassen wir anch fiir Symbole gelten, die mittels in eckigm Klammern ge­s('briebener hochgestellter Doppelindil'es bezeichnet sind.

2 Es ware vielleicht korrekter von »l{e·in Yalidisiernngsintensitiit" zn sprechen.

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:31

(1)

(2)

und (:3 )

,u~~, ,uin+x-; und ,ll[';]+,"_; sind dann die totalen Ausscheidein­

tensitiiten del' dl'ei Teilgesamtheiten. Die dl'ei zugehol'ig'en Ausscheideol'dnungen sind dul'ch

und

:r

-.fln~rlH pll = e Xu = III Ita

.t'u: ;i' :r .l"u'

;1' -.r ,nr~l+o-; rI fj

1{';::t. = c :; = l!;j +," _;ll!;]

~r

- /"'[";1+11

J{;: ,.1 = e .; .dO -,

= 11" Ill" ,''+<_, i'] l"'J • ':> c""

(4)

(;) )

(G)

bestimmt; p~:(),. ist die Wahrscheinlichkeit eines xo-jiihrigen

Vollaktiven, das Alter x in demselben Zustallde zu erleben, wiihrend ph].l' (bzw. P e.;] ,x) die Wahrscheinlichkeit eilles im

Alter ~ invalidisiertell (reaktivierten) Illdividuums olme Unter­bl'echung des Zustandes del' Invaliditat (Aktivitat) das Alter ;J;

zu erleben ist. Wil' werden bei den folgenden Entwicklungen von den

lntegralgleichungen yom VOLTERRA'schen Typus Gebrauch machen miissen und erwiihnen deshalb ganz kurz das von del' allgemeinen TheOl'ie diesel' Gleichungen \ was wir spiiter brauchen werden. Es geniigt fiir un sere Zwecke die V OL­'l'ERRA'sche Integralgleichung zweiter Gattung mit clem Kern K(x,y):

:r

f(x)=cp(x) + IK(x,Y)f(Y)d!l (7)

1 Einc ansfiihrliche Darstellnng giht z. B. ]~. GOURSAT: ('ours d'analysc mathemati(lue. Tome JTr (ilerne ed. 1923), Chap. XXX, p. 323-:341.

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~u betrachten, wo j(x) die unbekannte Funktioll ist, und wo rp ee) und K (x, y) bekannte Funktionen sind,. die flir x ;::;; a bzw. im Bereiche x;::;; {{, ({ ~ y ~ x definiert und stetig sind.

Die eindeutig bestimmte Losung del' Gleichul1g Ci) ist clurch

or

j(x) = rp (x) + I r(x, y) rp (y) ely (8) (/

gegebel1, wo del' resol vierende Kern r (x, y) durch

r(x, y) = 11.1 (;x:, y) + "K2 (x, y) + ... (9)

defil1iert ist; die iterierten Kerne ltv (:e,.I/) (v = 1,2, ... ) sind rekursiv durch

.t

11.1(;;c,y)=K(x,y), IC+d:e,y) = IK(X,O)]{, (O,y) dO (v;::;;l) (10) /1

~n bereclmen; sie haben denselben Definitionsbereich wie ]((:/;, y), und die Reihel1entwicklung' in (9) konverg'iert gleich~ mtissig in jedem durch ([ ~ ,7: ~ b, a ~ y ~ x (b belie big' ;::;; (I) begrenztcn Bereich.

Es seien nun l['{l bzw. l{~] zwei Hilfsfnnktionen, die dadurch

definiert sind, dass 'i'i] dx die Menge del' aktiven (vollaktiven

odeI' reaktivierten) Individuen, die in del' Altersshecke x, x + dx invalic1isiert werden, wahrend 'l;:] dx die Menge del' invalid en

lndividuen, die in del' Altersstrecke x,:r + !Ix reaktiviert wer~ den, sind; es ist dann, wie eine einfache Uberleg'ul1g ~eigt:

(11)

x

l{,~ = I 1~1]1{;! . ,. ,H[~r~x-; II ~ (12)

;1'0

und

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( 13)

·l'u

:l~

r;, = r 'ldl 1{" •. 1: d ~ . (14) '('0

El'setzt man in (11) unc1 (12) :f: unc1 g c1urch ~ bzw. Yj, unc1 seht man c1ie resultierenc1en Ausdrilcke fill' l~lJ unc1 lt~J in (12) bzw. (11) ein, bekommt man:

.l'

li'~ = f'l l' {l[!' iJ 1/- gU.rJ. d 2 + I,I'J ~; [:;J. J: I [~l+x~~ •

:1"

+ r II ~ I 7!;,j pi,'}. ; /If:;iL-,) pb. I: ,fliH'~;i'-; rill (16) :1'0 ;cu

odeI' unter Benutzung del' DIRICHLET'schen Integralformel:

h:1" b 1)

IdxIF(X,y) dy= IdxIF(y,X)rfY (17) (/

durch U mfol'mung del' Doppelintegrale:

:1' J;

7/') =l" U[I,'iJ + j'Z/li d<=j'1/" ll[~rJ -11" fl[riJ dl) [xJ ,I' I .r [;]:' [;J .,)' [;;+1;-; [I,J •. )' [';J+:l'-'; , (18)

:Co .;

.1:

1),' = f' ll~ Il[u iJ 1)i, Il[l:rJ, cl t + [.r] ~;I",; -[.;]:xt'[;]+:I'-.; :,

;1' :r

..L j'UR ltj' ,r 1/[1::'] _1)' U[irJ lit)' (19) I Ln ( :,. P[;].,; 1"'[;J+1;-; , [l;J::l' I [>;J+,(-1i" •

:i'o ,;

:1- 36:301. 8kandinavisk Aktuarietidskri/t 1936,

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setzt man: ,,'

}ii =/1/ '['1: x ['1 ':-~ .,..~

(20)

;

,I'

i.['E: x = I1{]:); ,ui~]i~,;_; p~';J : x .u[:;l'~,/,-)' d r; (21)

und (22)

erhalt man aus (IS) und (19) zur Bestimmung- del' Funktionen 7/;) und li" die VOLTERRA'schen InteQ'ral!deichung-en zweiter [,,] [x] ~ co co

Gattung: ,('

lhi = 1", u[a il + j'l",j Ifi ,d'C [;/'J .1" .r , [,] [;J: ,l' " ,

:r r

lj,' = J lr: Ill."i] A/~' d'C + f t is )"" 1/' ,c [xl ; ~, [,]:" " • (i] Til" ".

,ro

(23)

(2-1)

Dureh Betraehtung- del' Formeln (20), (21) und (22) erkennt man sofort, dass )'U]:", d x (bzw. ){'j, x d x) die Wahrseheinliehkeit

ist, dass ein im Alter ~ (zum ersten, zweiten u. s. w. Male) invalidisiertes (reaktiviertes) Individuum zum naehsten Male in del' Altersstreeke x, x + dx wieder invalidisiert (reaktiviert) werde, wiihrend AifJ x d:r: die Wahrscheinliehkeit ist, dass ein

im Alter ~ (zum ersten, zweiten u. s. w. Male) invalidisiertes Individuum, nach ununterbrochener Invaliditiit bis zum Alter x, in del' Altersstrecke x, x + dx reaktiviert werde.

Die Gleichungen (23) und (24) lassen eine eillfache Deutung­zu; (23) driickt namlich aus, dass die Menge del' in del' Altersstrecke x, x + dx invalidisierten Individuen 7fl1 dx die in

del' genannten Altersstrecke invalidisierten Vollaktiven samt den Invaliden umfasst, die nach Invalidisierung in einem Alter zwischen Xo und .x zum nlLchsten Male in del' Altersstrecke x, ::c + d x wieder invalidisiert werden, wiihrend (24) besagt,

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dass die Menge del' in del' Altel'sstrecke :c, x + dx l'eakti­vierten Individuen ll;~] dx aus den ursprl'tnglich Vollaktiven, die

nach vorausg'ehendel' Invaliditat zum ersten Male in del' ge­nannten Altel'sstrecke reaktiviert werden, und aus den Reak­tivierten, die nach Reaktiviel'ung in einem Alter zwischen Xo

und x zum nachsten Male in del' Altersstl'ecke :x:, x + dx wieder reaktiviert werden, besteht.

Setzt man nun in (7)-(10): f(x) = l~:t], rp (x) = l~~ ,u}"'],

K(x,Y)=}-L~]x' a=xo, r(,x,y)=AUJr und K,(x,y)=).U]J:O el'halt man als Losung von (23):

wo

.r

[llj = 1" u[a i] + j'l" u[!' i] Ai.,! 1 I: [ .... ] .1:' ;r .;' .; [;] : x ( ~,

A ii - )'ii + ,ii -+ [n;x - 1 '[~];x "'-[;]::r'

(25)

(v;::; 1), (26)

(27)

Um die Losung' von (24) zu bekommen, setzt man in (7)-(10): ;1:

f( :c) = 1.1" m (x) = j'lll uri'i] i_i./, ell: K (c,Y' 11) = J~.r/' 'I 'I' [:r]' 'Y .; '.; [;J;,. ", '-', J [!I]:X'" = 'A'O,

r(x,y)=AC;;;x und K , (x,y)=,l.r!:;x; man hat dann:

wo

i//' d1J 'I [r,]: x

(v;::; 1),

(28)

(29)

(30)

wird das Doppelintegral in (28) mittels (17) umge£ol'mt, e1'­halt man:

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x X

l.i"=f'lafl[lIiJ(}.i'~ +j'j/:~ Al'l'dn)dE [.1'] ;,; [;J:X l;J: I; ['1;_ :.1: ~ J ~

(31 )

.1'0 .;

oder, wenn man :"1'

Ai'.~ = }il' + f' }il' AI'I' 7 [':;J: t '[;] : .r • TiJ :,; [';J :"' ( 1] (32)

setzt: ;I'

lis = j'la dill] Air iii:.. [,!,] ':;' ;[.:;J:.1: ~

(33) J'o

Die in den Formeln (25)-(33) eing'ehenden GrossenJUJ:""

A[iJ:t' JUi.T' A['8:'" und A!;ix haben trotz ihrem kompliziertell Aufbau recht eillfache Bedeutungen. Durch Rekursion erhellt zunttchst aus (26) und (29), dassJHJx If.x (bzw. Jriix dx) die

,Vahrscheinlichkeit dafiir ist, dass ein im Alter ~ (zu irgend einem Male) invalidisiertes (reaktiviertes) Individuum, nach gerade y·maliger Reaktivierung (Invalidisierung) in del' Alters­strecke ~,x, wieder in del' Altersstrecke :.c, x + d.x invalidisied (reaktiviert) werde. Aus (27) und (30) geht dann hervor, dass A~iJ:1' dx: (bzw. A[ljl' dx) die Wahrscheinlichkeit dafii.r ist, dass

ein im Alter ~ (IIU irgend einem Male) invalidisiertes (reak­tiviertes) Individuum, nach mindestells eillmaliger Reaktivierung (Invalidisierung) in del' Altersstrecke ~, x, wieder in del' Alters­shecke :x:, x + dx illvalidisiert (reaktiviert) werde. Endlich drii.ckt (32) aus, dass AiFJx dx die Wahrscheinlichkeit dafi.'tr

ist, dass ein im Alter ~ (zu irgelld einem Male) invalidisiertes Individuum in del' Altersstrecke x, x + dx reaktiviert werde.

Aus diesen Bemerkullgen erhellt nun leicht die Bedeutung del' Gleichullgen (25) und (33), die als die defillitivell Ausdrucke fiir lUl und li,:] auftreten; diese Ausdriicke sind ausschliesslich

mittels l~: ,lt~ail und del' obenerwiihnten nur von den Ausscheide­

illtensitatell Illvalider und Reaktivierter abhiingigen Grossen AU],!' und AUi", aufgebaut. Man sieht, dass die Losung del'

Integralgleichungen (23) und (2-1) fi.i.r l~i; bzw. 't,:] sozusagen

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automatisch einen detaillierten Einblick in die Wanderungs­verhiiltnisse zwischen den drei Teilgesamtheiten l~~, l{ und l:~

gibt, so dass man im Stande ist, die Anderungen diesel' Ge­samtheiten dmch Wanderung und Tod im Laufe del' Zeit voll­shindig zu verfolgen, wie dies aus den Gleichungen:

d -l" = - u" l" dx x •. J: .J:'

(34)

(:36 ) .ro

(36)

die aus (4) bzw. aus (13) und (14) unter Benutzung von (5) und (6) durch Differentiation nach x hervorgegangen sind, erhellt.

Setzt man nun in (13) und (14) die durch (26) bzw. (33) gegebenen Ausdriicke fill' lf11 und ltil ein, erh1:llt man unter

Benutzung von

1.,. = 1:: + l{ + 7::.: (37)

.,.

+ Id~ I1:~llfl"il[AI~1.:;Pb x +Ai~J.:;p[·n.Jd1]. (38)

Wird das Doppelintegral 111 (38) gemass (17) umgefol'mt, bekommt man:

;1:

xd~ + IAiFl"ipc·'il.:cd1JJ d~. (39) ;

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Aus (39) ersieht man, dass 7.,. und demgemtiss die ge­mischte Sterbensintensitlit

(-W)

durch die iibrigen sechs Ausscheideintensitaten (nach Fest­legung von l.,,) vollstandig bestimmt sind. Man sieht un­schwer ein, dass die in (39) auftretenden Glieder pf~x = pb:" +

~ ~.

+ f' A[i~J' p[';.J ." elr) und p[i~]'. v = J A[i~J • p[rJ . x. d 1] die Wahr-~ .1i Ji .• 1 ':> •• u ." . '1, '1/ ••

- -

scheinlichkeiten dafur sind, dass ein im Alter ~ invalidisiertes Individuum das Alter x im Zustande del' Invaliditiit bzw. Aktivitiit erlebe.

Aus (39) erkennt man ferner, dass. die Intensitliten fh', u[aiJ u[i:rlJ. u[f'·J. Il[~dJ ~ und ,,[~iJ _ eindeutig (nach Fest-.. ,' ,. [;J+.'-;" [;J+"-;' r- [;J+x-; r[;J+,r-;

legung von l~,~o = l:rol l~~ und damit fl~ und die Sterbensintensitat

vollaktiver Individnen f-l~"(J bestimmen; denn lx ist in dies em

FaIle eine gegebene Funktion, wahrend die jetzt unbekannte Funktion l:~ durch die VOLTERRA'sche Integralgleichung zweiter

Gattullg (39) bestimmt wird. Man sieht also, dass nicht widerspruchslos libel' aIle sieben Intensitaten verfugt werden kann, da sie in allen Fallen (39) zu erfullen haben.

Betrachten wir den von Du P ASQUIER untersuchten :E'all, wo die Ausscheideintensitaten nul' yom erreichten Alter des Indivicluums abhangen, uncl wo zwischen Vollaktiven und Reaktivierten kein Unterschied hinsichtlich del' Moglichkeit des Ausscheiclens (clurch Invaliditiit odeI' Tod im Zustancle del' Aktivitat) besteht, haben wir in den Formeln (2) und (3) einfach die Indizes r~l + x - ~ durch x und}' durch a zu e1'­setzen 1., in cliesem Fane ist lhj = ,,[aiJ lli ri.' = Il[iaJ li. pll. =

[l"J r--,r :c' [.rJ r-" .,.' [o;J:"

= l,,~/l~ und pb.c = l;jlJ- Aus (13) und (14) bekommen wir dann:

,;

l~ = l~(~ + ':~ = l~ + l~ J (l1.ll~a]/l'J) d~, (-1,1 )

:1'0

1 "'l'r h'b 1" t t [iaJ t tt [i,·] Be reI en a so Je.z fl., sa· flm+J:-;'

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( 4:!)

Differenziert man (41) bzw. (42) nach x, erhiilt man:

.r

c.l , lli = - ,u". l(~ r 1 + J' (li ,ali "]jl'_,.') d ~J- + ,U[i 0] 7i , (43) d;r.l .' . .1 ", .1.(

·1'0

:r

zi~ 1::' = - i<. 1;' I (1~ ft~'i]jlD (I"; + It~Oi] 1~; (44) ;:t'li

eliminiert man die in (41)-(44) auftl'etenden Integrale, hat man zur Bestimmung del' Funktionen 1'; und 7:; die zwei simul­

tanell linearen Differentialgleichungen erster Ordnung:

If - 7" = - fta 1" + !L.[,i"] 7 . .1,:, !Ix .r .,. .1:

(45)

cl l' . l' I·; 7' - .J = - ft' .J + ItJ"J ' dx .1: ,/" .r .r .r) (+G)

die sich auch leicht durch einfache Uberlegung ableiten lassen. Setzt man in (45) und (46) ,U\~/('l, ,n~(( i], ,It.~ "] und It\i aJ (und

dam it auch ,u~(~ und Il;.) als bekannt voraus, kann die Liisung

diesel' Gleichungen, wie Du PASQUIER 1 gezeigt hat, auf die L6sung einer RICATTI'schen Gleichung zuri.lckg·efiihrt werden. Durch die Substitution 2

l!: = t., . 1':. (47)

g'ehen (46) und (46) in die Gleichungen erster Orclnung mit den Unbekannten t;r und I:: libel':

1 1. e. R 26. 2 Von SCHO:ENBAD[ (1. c. VIII, p. Il) angegeben. Du l'ASQUIER be-

lllltzt die Rllhstitution H (. = - !i 1"11') . , dJJ .,' x

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d - t. + u[ia] t2 + (U i . - /1") t. = (l[ai] (1 X x i;C .c I .1' .f.l I X '

d lb + (ua _ Il[ial t.) I" = 0 cZ:,c ,/: I.r (",!~ ;\, a.: , (49)

von denen (48) eine RICATTI'sche Gleichung ist, deren Lasung im allgemeinen nicht explizite angegeben werden kann. 1st (48) in besonderen Fallen explizite lasbar, ergibt sich sofort aus (49):

X

l" f' [ia] t (8 "' . 1'0 0 (

(~ ·1'0

oder, weil ja 7" = la : • ;('0 ·t'o

x r [i"] t (" 1'0 0 ( "

l~: = l~~' e':l\1 ,

und l~. ist dann auch durch (47) und (50) bestimmt.

Setzt man dagegen voraus, dass !lx, !l~'i], ,u~'dl und ,u~i!l]

(und damit !l;,) bekannt, wahrend !l~ad] (und damit ,u;~ und ':n ZIl bestimmen seien, ein Fall, del' am haufigsten in der Praxis auf tritt, gelingt es leicht, die Lasung von (4-5) und (46) in expliziter Form anzugeben, Ersetzt man ntimlich in (-16) l';. durch Ix - l{, erhult man zur Bestimmung der unbekanntell

Funktion l:~ die lineare Gleichung erster Ordnung':

d l.i + (u i + u[ai]) U = 7. u[ai] d x;r I X . I X J" '.l j;r ' (51)

deren Lasung (unter Beriicksichtigung von It = 0)

;c

1{ = I 1; ,uY'i] W, l;~"']/l~ ly'i;) dg (62)

;1'0

ist; Z:2 iJ ist durch

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:r - f' n[al] dO

[ '1 l' '] .' /I ( [ " ) 111 /, = cal C .r" lal] beliebi!! > 0 X '(0 ·1'0 '-'

(53)

definiert. Ersetzt man nun III (;">2) l:~ durch l." - lZ, hat man als

.A usdruck fiir l'" .t:'

:1:

1':. = 1.1' - 1~, l.~11 i] I (l; ,U~II i]!l1'~"1) d ~ . (5-1)

.to

Differenziert man la, = l~:, + Z{ nach x, bekommt man:

- ,u.,,7., ' {d 1':. + ltl l{ oder, wenn man (-15) und (-16) heranzieht: (X' (X

Il.Z. = ,l[II11] 1') + u lid1 U .C .{; X .1' '.0 .c' (;')5)

deren Bedeutung umuittelbar einleuchtend ist; lost man (55) nach Il~l(I] auf, erhiilt man nach Addition von Il\:'iJ und unter

Benutzung von l.r = l~ + l:~:

[ .] " I] L· ( ,. /1) IlII = U ll1 + ult! + --' u. - Illl( J j.1.: l.-c j .1.: lb j.t r- .1;

.1'

(5G)

und schliesslich 111 mittels x

Die Formeln (54), (5G) und (57) gestatten sehr leicht ellle praktische Verwendung unter Benutzung von Formeln fill' numerische Integration 1 .

3. Wil' geben nun die zum Anfang des vorigen Para­gl'aphen erwiihnte Voraussetzung auf, nehmen also an, dass die Moglichkeit des Ausscheidens eines Individuums aus del'

1 Siehe z. B. .J. F. MTEFFENSEN: Interpolation, Baltimore '1927,. RR 12 &. 14.

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Gesamtheit, del' es angehart, ausser von den dort ang'eg'ebenen Argumentell auch davon abh~ingen kanne, wie viele Male es del' Gesamtheit angehart hat. Wir behalten die im vorigell Paragraphen eingefiihrten Bezeichnungen fllr die Ausscheide­intensitiiten, jedoch mit dem Unterschied, bei, dass wir durch einen hochgestellten in Klammern gesetzten Index angeben, wie viele Male das. Individuum invalidisiert bzw. reaktiviert geworden ist.

Es sind sodann !ti~l~;'2-..' und !tt~i~;~~.' die Sterbens- bzw.

Reaktivierungsintensitat v-maliger Invalidisierten, !tI1Jt·;~.' uncl

u'~iJJ'~~; die Sterbens- bzw. Invaliditiitsintensitat v-malig'er Reak-, ''''.''[ ."

tivierten; wir haben analog (2), (3), (6) und (6) die Relationen:

;t~

( ). -J P ~' =(' :; [;]; x .

;l'

i +e_:;r!o

f' (I'I r -, It~;l+{I_;dH

1~(1') l' = e ; [;1 :.r

= l(vl i j'z!I" i :;]+.t-; [.'] ,

(6tl)

(59)

(60)

(61)

Bezeichnen wir die Meng'e del' aktiven Individuen, die in del' Altersstreeke x, x + d.:c zum v-ten Male invalidisiert werden, mit I!j !lx, und diejenige Menge del' invaliden Individuen,

die in del' Altersstrecke x, x + d X Z11m v-ten Male reaktiviert

werden, mit lf~.j-i"dx, sind:

lbj = "'.., l',l hj [x] ~ [:rJ ' (62)

1'=1

(63)

BeriicksichtiQ,t man die BedeutunQ' del' Funktionen l(r', iJj '-' LJ l.rJ

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und ' (I' ~= 1, :.?, ... ), kann lllan die folg-enc1en Rekursions-

formeln aufstellen:

r1' II) = la u[1l i] [.1'] .1' i ,I" '

(v ~ 1), (ti-J.)

·1'0

(65)

'ersetzt man in (65) ; und x durch r; bzw. ;, und setzt man den resultierenden Ausdruck in die zweite Formel (64) ein, el'hiilt man:

.ro :1'0

el'setzt man ferner in (65) v durch I' + 1 und in del' zweiten Formel (64) ; und x durch r; bzw. ;, und setzt man den er­haltenen A usdruck f1ir l[~t' Ii) in die SOdfUlll modifizierte For­mel (65) ein, bekommt man:

Formen Wir (66) und (G7) mittels (17) UIll, erhalten WIr die Rekursionsformeln:

or J.'

".+l.l)j = f·l".~! I)) d'c: f'piJ~' i I(J~" fir] -1/':' I' I((.ri [ril d11 (v ~ 1) '. ((is) ~.(~ __ l.;::] :-, ~_ [;j :'1; I' l;]+'l1-'; [,til :.1" I ~'lJ]+.r-I. "j

:ro .;

x :r

7' ',+1' j' =J'll'~1 j S d t:J'l/:~ I' U(l) [l'1: -1/"'+ Ii i U;d 1! JrJ (rl] [.I'J [.;]::' l.; .. : lj j l;j +lj-'; ~l;;:;C • l'll] +X-l; (v~l) (69)

;ru .;

oder, wenn Wll'

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,!C

l'I"'U=j 'J'l'li U("I[ir] 'il'll' Ui")[l'i] d ':;] ocr _ 1 [;] :'1' [;]+1;-;1 [Iii :.1" [,:I+;r-Ij 1] (I';:;; I), (70)

,;

," AIVirr=j'i','ll' (,l[d] (1'+lli ,lv+I)[irI7 '[;1:.1: P[::1:11 fL[;1+11-;:P[,;] ocr ,U[1;I+x-lj ( 1] (71)

,;

setzen: ;e

l ,v+l)ilj= f'li~)bj}.,(:iiifll: (~' 1) ["I [~I -I,] ,," U " V ~ , (7:! )

Dureh (72) und (73) in Verbindung mit den Relationen:

7(1) hj = In urn i] [.1:] .1" 'i: , (7 -!)

;I'

li l ,)} S = j' l(~ uln i] lil) i l' d l: [;r] ';'; 1;1:"" , (75)

wo

(7 (i)

ist, werden die FUllktionen It;jilj und l'[~r (v = l, 2, ... ) rekur­

soriseh vollstandig bestimmt. Man sieht leicht ein, dass },t~li,~ dx (bzw. }'i~j ~.~ dx) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein iIll

Alter ~ zuml'-ten Male invalidisiertes (reaktiviertes) Individuum zum nachsten Male in del' Altersstrecke x, x + dx wieder in­validisiert (reaktiviert) werde, ferner, dass lm ~~ dx die Wahr-

scheinlichkeit eines im Alter ~ illvalidisierten Vollaktiven in del' Altersstrecke .x, x + dx zum ersten Male reaktiviert zu werden ist.

Definieren wir rekursorisch die Funktionen l.ll[~11 ~~ und

,).[w.~ (v=l, 2, ... ) mittels:

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:r

j<liii=}lllii },l)ii= /' ~Il)ii}il+liidr; 1 T,oJ:o, "[';1 'x ' vi"! "[;1 ,," /' ':,,1, 'i "[1,1,·(, (v ~ 1), (77)

(v ~l), (71-1)

ist }"'~I ii dx (bzw. J,'1,1 rr dx) die Wahrscheinlichkeit dafi'tr, dass J I,J,:( 1 [;J "c

ein im Alter ~ zum ersten Male inva1idisiertes (reaktiviertes) Individuum in del' Altersstl'ecke x, x + d:r: zum (v + 1)-ten ::VIale invalidisiert (reaktiviert) \Verde. Wil' erhalten dann die Formeln:

;1'

l'1'Illj = /' Zl llhj },niidt I.t] I;J 1'-1 "I;jx s (/' > 1), (7D)

(80)

cleren Richtigkeit leicht durch eine einfache Ubedegung- ein­znsehen ist; wir wollen sie indessen auch rechnerisch mittels Rekursion beweisen. .B'iir v = 2 hat man ja nach (72) und del' ersten Formel m (77) bzw. nach (73) und del' ersten Formel in (78):

;:-

Z)2i II) = J' l'll I)) Jyi if d t [x] [;1 1 [,;J: ,I' " ,

;ro

"0

so dass (79) und (80) fliT v = 2 richtig sind, und nimmt man (79) und (80) als fiir Index v 2) bewiesen au, liefern die Formeln (72) und (73):

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JG

:t ~

7,,·-'-1).i.< =c f' eF j'I'I!)8 Air'"':),":'l'l'd11 [.).] " [I;J 1'-1 [1;1:; :;I:x 'J . .

.I'U .to

oder, nach Umformung gemilss (17) uud unter Berii.cksichtig·Ullg· von (77) und (78):

womit (79) und (80) bewiesen sind. Wir fonnen zwecks sofortiger Allwendullg den Ausdruck

(80) flir l[~':JJ 8 folgeudermassen um) iudem wir (75) und (74) be­

Butzen:

odeI' mittels (17):

:1" ;1'

li'·".i 8 = f' 1'1) I)j de j' A'~I ;1'_ i,l)ll'l' cz,r) [,r] [;] ~ [;] :1; 1 1 [1)]:,~ (v> 1); . .

,to .;

setzell WU':

;r

A,I""I'=A(l'iil' A,l"il'== j'},(~lil' ,_},i1il'l'd11 1 [';]:,1' [-'l:,c' l' [-'l:.r [.;J:1;' 1 [1)J:,r 'J

(v> 1),

(81 )

(82)

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ist r A[1l ~:,: d.1,' die Wahrscheinlichkeit dafiir, dass ein im Alter ~

zum erst en :Male invalidisiertes Individuum in del' Altersstrecke X, ;r; + dx zum v-ten :Male reaktiviert werde; wir bekommen dann miHels (7-1), (76), (81) und (82):

,,.

(",IJ,'=, f'l'~III),),'llirdt (JI;:;; 1). [.!'] [;]) [;J:;r ., (8:3)

Benutzt man nun (G2) nnd (63), hat man mit Berilck­sichtigung von (79) u11(l (813):

,r

11)) = ~ 1'1,,11) = 1,1'11) -L ~ /' 7'1. 11)_ X~I i i d t =. 1'IIIJ) + ["J ~ [.1'J l.r]' ~ [;] I 1 [;]:.,." [xJ

'l'=1 1'-"----'] ~ .tll

+ f'~ 7111 {I) de ~ A,ll,ii [;1 '" ~,. [;];1"

~ l'=l ·1'0

setzt man:

( 8-1)

(86)

ist A,l'iidx (bzw. All\ird;r) die vVahrscheinlichkeit dafllr, class [;]: .I' [;] :.T

ein im Alter g zum ersten :Male invalidisiertes Individuum ill del' Altersstrecke x, x + dx zu irgend einem Male wieder in­validisiert (reaktiviert) werde; man hat dann fiir l~~l u11(l li;~] mit Benutzullg von (7-1), (84) und (86):

l'

1IJj = la, a[a i] + J' l': u[!' i] A(l) i i rU= [.r] :t' .G ';' .; L';]::/.' ~,

( 80)

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;1'

V' = J' l~ u r.(/ i] A'~' iT de. [,r] ;. ; [;J ;cr " , (87)

diese Formeln bringen die Formeln (26) und (33) des vorIgell Paragraphen in Erinnerung, haben jedoch eine ganz andere Struktur, weil AiW; und Al~l;;: nur an Invaliden gekniipft sind,

die zum erst en Male in validisiert sind. Urn Ausdriicke fiir z.~, und Z:~, abzuleiteu, benutzen wir die

leicht einzusehendell Relationen:

OC J< 7i = '" l":")ip(:'i, d':. .r ...::...J [;] [;] :.1' ~,

'1',--,---1 .

(88)

" 0

(8£))

Beriicksichtigen WIr die Relatiollen (79) und (83), haben WIr mit Benutzung von (17):

benutzen Wll' (74), bekommen wir:

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(90)

(91 )

Setzen WH zur A bkiirzung:

(92)

(93)

ist pJl i.: bzw. pal:,:: die Wahrscheinlichkeit dafiir, dass em llli

Alter ~ ZUIl1 ersten Male invalidisiertes Individuum das Alter I' 1111 Zustande del' Invalidihit bzw. Aktivitiit erlebe; wir haben sodann:

.,.

l.i = J' In. uf!l ilJPi ii d ;: ,0 .;''; [;] :;r :"

( 9-1)

.,.

7-' = J' l(~ u[rl ilJP! ir If t. .r .; j.; , [.;] ::1' :, (95)

"Vir bekoll1men nun schliesslich mit Hilfe del' Relation:

(96)

unter Beriicksichtigung von (94) und (95):

x

l. = 1" -l- J' 1"; 1/[." iJ [1P,) if + 'Yl(~) irj IF. .1 .t·· ;r'; ["l;x 1'[;J,'" " (~)7)

4-36301. Skandinavisk Aktuarietidskrift 1936.

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[")0

Nehmen WIr an, dass !l[~:ilJ, ,U;~(i] und die Intensitiiten u':! lid] _ u(v.! [i1'] _ Il':' [I'd] _ una u '':) [ri] _ fiirv = 1 2 ... bekannt , [;]+,r-;' , [;]-1-:1-;' ~ [;]+x-; I [;]+x-; , ,

seien, bestimmt (97) nach Festlegung von 1"'0 eindeutig Z.e und damit lUX' 1st statt ,LL~( d] die Intensit~it ,ll.r bekannt, liefert (~)7)

zur Bestimmung von l~ eine VOLTERlu'sche Integralgleichung

zweiter Gattung, so dass l~ und damit !l~: und ,U~ldl nach Fest­

lecruncr von 1" = 1· eindeuticr bestimmt sind. ~ b J'I);10 b

-1. In den zwei vorigen Paragraphen ist die Darstellung' del' Grundlagen del' Invaliditatsversicherung unter sehr allge­me in en V oraussetzungen durchgefiihrt; diese Voraussetzungen sind so weit gefasst, dass sie aIle in Betracht kommende ziffern­Ill~issig ausdrnckbare U mstiinde beri:icksiehtigen diirften. Obwohl das auf diesem Gebiet bis jetzt vorliegende Beobaehtungsmaterial li.berwiegend noch zu sparsam odeI' zu unzuverliissig sein moge, um die Bedeutung einiger diesel' U mstande erkennen zu lassen,l durften zukunftige Amvendungen des iIll vorigen entwiekelten Formelapparates nicht ausgesehlossen sein; jedenfalls hat es, wie die in del' Einleitung erliluterten theoretisehen Sehwiel'igkeiten gezeigt haben, grossen Wert an sieh, li.bel' die zu beobachtenden Gl'ossen im vol'aus iIll Klaren zu sein, um die Beobachtungen del'al't anstellen zu konnen, dass sie so unmittelbal' wie miiglieh diese Gl'ossen lief ern.

Die gewonnenen Resultate haben, wenn man passende U mdeutungen del' Ausscheideintensittiten vornimlIlt, ein wei teres Anwendnngsgebiet als die InvalidWitsversieherung·. Wie man leieht einsieht, sind sie auf aIle Gesamtheiten anwendbar, die sich im Laufe del' Zeit in zwei Teilgesamtheiten, analog del' Gesamtheiten von Aktiven (Vollaktiven und Reaktivierten) und Invaliden, sralten, zwischen denen wechselseitig Wanderungen stattfinden, wiihrend del' Tod beide Teilgesamtheiten gleieh­zeitig liehtet. Wir el'wahnen von del'artigen Anwendungs­gebieten beispielsweise die in del' Bevolkerungsstatistik vor­kommenden Ausscheideordnungen Lediger bzw. Verheirateter (Manner odeI' Frauen); es ware hier ein Leiehtes, nach den im

1 Vergleiche z. 1>. die Bemerkungen SCHOENEAUM'S, 1. c. VII, p. 246-255.

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Paragraph en :3 benutzten Methoden auch den Fall zu unter­suchen, in welchem die Gesamtheit del' verheiratet Gewesenen in zwei Gesamtheiten: die Gesamtheit Venvittweter und die Gesamtheit Geschiedener gespaltet werde, fiir die verschiedene A usscheideverhiiltl1isse gelten mogen, die iiberdies von del' An­zahl del' vorausg'egangenen Ehen abhiingen konnen, Ein prak­tisch bedeutnngsvolles Anwendungsgebiet ist (eventuell unter simplifizierenden Voranssetzungen) zweifellos die Krankenver­sicherung, weil darin die Bedeutung del' im vorigen betrach­teten Umstiinde Idarer als in del' lnvaliditiitsversichel'ung hel'Yortritt, Beispielsweise sind die Gesundungs- und Stel'bens­intensitaten kranker Personen bekanntlich in weit grosserem Masse yon del' Krankheitsdauel' als yom erreichten Alter ab­hKngig, und es diirfte sehr plausibel sein, dass die Ausscheide­intensihiten sowohl Gesunder als auch Kranker von del' Allllahl del' yorausgegangenell KrankheitsHille beeinfiusst seien.

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