[ Jeber d i e z w e c k m g s s i g s t e L a g e , G e s t a l t u n d G r S s s e

d e r S c h u l z i m m e r f e n s t e r .

Von

Dr. Mori tz , Kreisphysicus in Soliugen.

In der vom u der Medieinalbeamten des Regierungsbezirkes Dfisseldorf im verflossenen Jahre herausgegebenen Jubil~umsfestschrift habe ieh kurz die Ergebnisse yon mathematischen Untersuehungen be- richtet, welehe ieh fiber den Leuehtwerth eines Fensters yon bestimmter Lage, Gestalt und GrSsse fiir einen bestimmten , ,P la tz" 1 angestellt hatte~ und die auf den Versuch hinausliefen, rein theoretisch die Grunds~tze zu entwickeln, die fiir die Fensteranlage bei Schulneubauten massgebend sein miissten. In den nachfolgenden Ausfiihrungen bin ich bestrebt gewesen, eine kurze Darstellung meiner weiteren, denselben Gegenstand betreffen- den Bereehnungen zu geben, so weir ich mit denselben zu einem gewissen Absohluss gelangt bin.

Um das Verst~ndniss des Folgenden zu erleiehtern, muss ich in Kfirze den Inhalt meiner damaligen Mittheilung referiren. Dem Referate sehicke ich die Aufz~ihlung derjenigen beleuehtungstheoretischen Grund- s~tze voraus, die dem Nachfolgenden zu Grunde liegen.

1. Ein leuchtendes Centrum erhellt einen n~heren Platz starker als einen entfernteren; die Helligkeit eines beleuchteten Platzes ist umgekehrt proportional dem Quadrate seines Abstandes yon dem leuchtenden "Centrum.

2. Der senkreeht einfallende Strahl wirkt starker erleuchtend als der schr~g einfallende, und die Helligkeit nimmt in demselben Verh~ltniss ab wie der Sinus des Einfallswinkels.

1 Unter ,,Platz" verstehe ich einen unendlieh kleinen Theil (ein Element) einer Horizontalebene.

202 MOXlTZ:

Zuerst habe ieh nunmehr fo]gende Frage zu beantworten: Welchen Beleuchtungswerth hat ein Fenster yon (dutch Coordinaten) bestimmter Lage und yon bestimmten Dimensionen ffir einen (ebenso) bestimmten ,,Platz"?

Die ausffihrliehere Beantwortung dieser Frage bildet den Gegenstand meiner friiheren 1 Publication, deren Grundzfige ich im Folgenden mit einigen nicht unbetriichtlichen Modificationen wiederhole.

Es sei O (Fig. 1) ein ,Platz", der yon der Fensterwand A B C/) den senkrechten Abstand O C =-c hat. Bei A befinde sich ein das Aussen-

licht hindurehlassendes ~ (unendlich kleines) Fl~chenelement yon der

A GrSsse (~h. (~b. Dasselbe hat yon O Entfernung ---- r. ieh die AO Nekme

�9 , J t ~ e. nun - - eine Annahme, die man stets ~ / ~ / ~ machen kann, ohne der Allgemein- I / I ~ / ! ~ heit zu sehaden - - c als Entfernungs-

_ t / i I ~ .? '~ einheit, so dass also eine F1/iche 1 o

~ ~ ~ ~ ffir diesen den Leuchtwerth 1 und ct ;w~,~'/ c ! ,~ r w ~ O das Element 6h. 86 den Leuehtwerth

Fig. 1. 8 b . a h h~tte, so hat, nach Satz 1 (s. 0.)7 dasselbe Element in der Ent-

0 2 O fernung r den Leuchtwerth ~ ab. Oh, oder da r = ist, den Werth cos (~

eos~9~ 6h. 0b. Da nun das Element A zu r um den Winkel ~- - - r

geneigt ist, und der Einfallswinkel des Strahles fl betr/igt, so ver~ndert sieh die Formel ffir den Leuchtwerth 0l yon A ffir 0 zu

6l = cos a q~ sin t3 Oh 6b. (1)

Nun ist ferner, naeh bekannten Lehrs~tzen der ebenen und sph~- risehen Trigonometrie,

cos ep = cos t3 cos ee tg fl = tg v cos a

h = c tg~ b = tgu .

Dutch Einsetzen dieser Werthe in Gleichung (1) erhalte ieh naeh einigen Umformungen:

1 Siehe oben a. a. O. 2 Bei Annahme des Selbstleuchtens der Yl~iche wiirde die Rechnung und ihr

Ergebniss erheblich anders ausfallen.

LAGE~ GESTALT UND GR()SSE DER SCHULZIMIKERFENSTER. 2 0 3

~7 = ~'~ o o ~ , . a tg~ ~ ~t~ ~ (2) 2 - (t + t g 2vcos ~a) 2

und c '~ ~ cos 4 ~ atg~v 0 t g a

l= ~ - j j (~ +t~o~ ~ (3)

Das Doppelintegral (3) wird zweckm~ssig zuerst naeh v integrirt.

Es ergiebt sich:

Ffir v = o soll l----- o werden; hieraus berechnet sich C = cos 2 e~ und somit:

c~f ( c ~ ) 6 t g ~ (5) l = ~- c0s 2 t~ - - t + t ~ ~ co~ ~

und weiter:

c ~ f tg 2vcos 2a 0 tgce l ~ ~ 1 + tg 2 v Cos '~

c 2 ~ " ~g~ v cos 2 ce

= 2 J l + ~g2v c o s ~ oez

----- 0lz -- 1 + t g ~vcos 2

= y 0e~ - - c o s ~ 0 t g ~ c o s , (6) 1 + (tg a cos v)~

Die LSsung dieses Integrales ist endlich (die Constante wird zu Null): C2 ~2

l = ~ - a - - cos v . y arc tg ( = tg ~ cos ~), (7)

oder, da tg 7 = tg a cos v ist, c 2 c ~

l = ~ - ~ - - c o s v . ~ 7. (8)

c 2 Da nun ~-r den Sector C 0 E

und c 2

y 7 ,, ,, .FOG

bezeichnet (welche beide aus einer Kugel mit dem Radius c, und zwar aus einem grSssten Kreise derselben geschnitten sind), cos v abet der

c 2 Neigungswinkel des Sectors F 0 G gegen den Horizont ist, • 7 . cos v so-

mit der Projection des Sectors .FOG auf die Horizontalebene entsprioht, so ist, nachdem man aus h und 5, tier HShe und Breite des Fensters, und aus seiner Lage die Grenzen des Integrals und damit die Lage der Sectoren hergeleitet hat, aus dem Ergebniss ersichtlich, class l gleich der Differenz der Projectionen beider Seetoren auf die ttorizontalebene ist.

204 Mom~z:

Ich komme also zu folgendem Resultat ffir den Leuehtwerth eines Fensters ffir einen Platz 0:

Die Ebene, die den oberen Fensterrand mit 0 verbindet, und ebenso die Ebene, die den unteren Rand mit 0 verbindet, schneiden aus einer mit der Einheit (c) als Radius um den Platz 0 geschlagenen Kugel (die ich ,,Maasskugel" nennen will) grSsste Kreise, deren Projectionen Ellipsen fiber gemeinsehaftlicher grosser Axe (2 c, mit dem Mittelpunkt in O, und parallel der Fensterwand in der tIorizontalebene gelegen) sind. Die

~7~27b

sichelfSrmige FI~che zwischen diesen Ellipsen wird durch die senkrechten, die Fensterseiten mit 0 verbindenden Ebenen geschnitten. Jedes Fenster schneidet so das Maass seiner Helligkeit aus dem sichelfSrmigen Streifen. -- Der Zusammenhang zwisohen der Lage des Fensters und seinem Be- leuchtungswerth ist hieraus sofort entnehmbar und dfirfte auch aus tier obenstehenden Fig. 2 unschwer zu ersehen sein. Man sieht fe'rner, dass theilweise Verdeckung des Fensters (dutch B~ume u. s. w.) zwar dessen Gestalt, sowie die Gestalt seiner Centralprojection (auf die Maasskugel- oberfl~che) und deren Horizontalprojection entsprechend ~ndert, dass sie aber keinerlei Einfluss auf das eben entwiekelte Gesetz haben kann.

IJAGE~ ~:ESTALT UND GROBS:E DER SCHULZI:~MEI~EIWSTE:R,. 205

Was die MSgliehkeit betrifft~ die Projection des Fensters auf die Pl&tzebene direct sichtbar zu machen und den Lichtwerth des Fensters instrumentell direct abzulesen, so verweise ich --- ebenso wie in Bezug auf einige sonstige merkwfirdige Einzelheiten - - auf meine frfihere Publication.

Meine zweite Frage ist eine doppelte:

a) Welche ist die am meisten zweekentsprechende Gestalt und Lage, die ein Fenster yon bestimmter GrSsse ffir einen bestimmten ,,Platz" haben muss?

b) Wo liegt das Wandelement, das ffir einen bestimmten P]atz den gr0ssten Leuchtwerth hat?

Zur Beantwortung der Frage a) gelange ich auf einigen Umwegen.

Iflh betrachte vorl~ufig die Fensterwand als eine ununterbroehene lichtdurchliissige Ebene und be- stimme diejenigen Elemente dieser Ebene, die ffir einen bestimmten Platz 0 den gleichen Leuchtwerth .a haben.

Man denke sich (Fig. 3) in A

ein lichtdurchl~ssiges Fl~chenelement, A7 c und die Ebene des Platzes 0 in senkrechte Lage zu AO gebracht. Dann empf~ngt 0 durch A hindurch eine Lichtmenge, die, wenn man mit C o u die GrSsse des Elementes A be-

e~ Fig. 3. zeichnet, dutch 1. u . ~ cos ~,

c ist, durch I. e~. cos 8 cp ausgedrfickt wird. Diese Licht- oder, da O A - cos~

menge sei graphisch dargestelIt durch eine bestimmte Liinge OR----r, die man yon 0 auf OA abschneidet. Ebenso empf~ngt 0 yon einem belie- bigen anderen Elemente R 1 eine Lichtmenge l. a cos3~l. Auch diese kann man sich durch eine entsprechende L~nge O~1 = r 1 dargestellt denken. Wiederholt man diese Construction ftir alle Punkte auf CA und seiner u so erhalt man eine Reihe yon Punkten /~, B 1 u. s. w., die eine Curve yon der Formel

r = c cos 3 cp (9)

bilden. Dutch diese Formel finder man ffir jedes 9~ den zugehSrigen, die Beleuchtungsstfirke ausdrfickenden Werth r unter der Voraussetzung~ dass die Platzebene 0 jedes Mal senkrecht zu r gedreht gedacht ist.

206 ~IoRITZ:

Da nun aber factisch die Ebene yon 0 um den Winkel cp schr~g gegen r gestellt ist, ist die wirkliche Lichtmenge, die 0 yon den Elementen ~, ,41 u. s. w. erh~lt, nicht r, sondern r sin cp. Errichtet man daher in O auf CO ein Loth ON und f~llt yon den Punkten 1~,/~1 u. s. w. auf ON die Lethe RE, ]~IF,~ u. s. w., so ist jedes 0 /~ '= rsinqg, und OE ist so- mit alas Maass ffir die wi rk l iohe Lichtmenge, die 0 dutch A empf~ngt.

Diese Formel gilt wie ffir den senkrechten Streifen CA, so auch ffir alte yon C nach beliebiger (schr~ger) Richtung ausgehenden Streifen, mit dem Unterschiede, dass dann der Neigungswinkel v nicht mit q~ zusammen- f~llt. Dreht man also die durch die Formel r = c cos3~ ausgedrtickte Curve (eine sogen. ,,0valo~de") um ihre Axe OC, so erh~lt man eine Ro- tationsfl~che, deren - - yon 0 ausgehende - - Leitstrahlen OR u. s. w. jedes Mal den Leuchtwerth des yon ihrer Verl~ngerung getroffenen Wand- elementes (A u. s. w.) ohne B e r i i c k s i o h t i g u n g der Neigung: aus- drficken.

Man trage nun eine einen bestimmten wirklichen Leuchtwerth re- pr~sentirende Streeke O~ auf 0 ab

[

Fig. 4.

(Fig. 4) und lege durch E eine znr Platzebene parallele Ebene; diese schneidet yon der Rota- tionsfl~che eine Haube ab, und schneidet sie in einer Curve, deren Leitstrahlen, bis zur Wand verl~ngert, letztere in Elementen yon gleichem Leuchtwerth, n~m- lich dem duroh O~ repr~sen- tirten, treffen, also auf der Wand eine Isophote bilden.

Ich bezeichne die Coordi- naten der auf der Rotationsfl~ehe dutch &bschneiden der Haube entstandenen Curve mit x (OF), y (GH), z ( 0 ~ , oder letzteres,

da es als constant angenommen werden sell, mit a; - - und die Coordi- naten der Wandisophote mit ~ (CF) und ~ (F])). Dann ist die Formel der erstgenannten Curve, in 0rthogonalcoordinaten ausgedrtiekt, folgende:

Da nun aus der Aehnliohkeit der Dreieoke OG.E mit OFC und OGH mit OF]) die Gleichungen sich ergeben:

a e

LAGE~ GESTALT UND GROSS~E DER SCHULZIMMERFENSTER. 207

a~

so erh~lt man durch Einsetzen dieser Werthe in obige Gleiehung, naeh mehreren Umformungen, die Formel:

~2+ 72+ c~= c~ l//~_ ~ (11)

als Formel der Wandisophote.

Alle Punkte dieser Curve haben gleichen Leuehtwerth fiir den Platz O. Zugleieh ist aus der Figur und ihrer Entstehung ersichtlich, class jedes innerhalb der Isophote gelegene Wandelement yon grSsserem, jedes ausserhalb gelegene Wandelement yon kleinerem Leuchtwerth ffir O ist. Jedes Verlegen eines beliebigen Stiiekes aus dem Inneren der Isophote naeh aussen (bei gleichbleibender GrSsse), d.h. also jede GestaltverKnde- rung derselben, wfirde somit den Leuchtwerth des yon ihr umsehlossenen Wandstfickes verringern. Mit anderen Worten: Eine Fens te r f l~ehe yon b e s t i m m t e r GrSsse miisste, um den t hun l i ch g rSss ten L e u e h t w e r t h ffir e inen b e s t i m m t e n P la tz zu haben, t h u n l i e h s t die Ges ta l t und Lage der dieser GrSsse en t sp rechenden Iso- phote yon der Fo~:mel

~2 + 72+ c2= c~Va~ haben.

In praxi wfirden die Dimensionen dieser Isophotenfl~ehe fiir die gfinstigste Auswahl der L~nge und Breite der Fenster und ihrer HShen- lage zu verwerthen sein.

Da endlieh in dem senkrecht vom Platz aus gesehenen, also dem Platze n~chsten senkrechten Wandstreifen jedes Wande lement - und das fiihrt zur Beantwortung des zweiten Theiles dieser Frage - - den Leueht- werth r = c eos~q~ sin q~ hat, so berechnet sieh die Lage des Elementes yon maximalem Leuchtwerth, wenn man die Bedingungen des Maximums: Verschwinden des ersten und ~qegativwerden des zweiten Differential- quotienten beriicksiehtigt, aus den Gleiehungen:

O = ~r 3~ = c ( - - 3 sin S ~ cos ~ ~ + cos ~ ~)

~ r = ( ) ~ - - e 3 s i n 2 q v c o s 2 ~ + 4 s i n ~ c o s 8 ~ .

Ist, wie aus der ersten dieser Gleichungen hervorgel~t, 3 s i n ~ eos~'~---

cos ~ ~, oder tg q~ ---- ~-, so wird bei Einsetzen dieses Werthes in die

zweite Gleiehung deren reehte Seite negativ, es handelt sieh also faetiseh

208 MORITZ: LAGE, GESTAT,T UN:D GR~)SSE DER SCHU]JZIMMERPENSTER,

um ein Maximum. Der diesem zugehSrige Werth yon ~ ist, da tg ~---

gloioh 3oo .asjo igo Wandolomo.t , wolo os yon dem

Pla tz O aus u n t e r einem Winkel yon 300 e r sche in t , und in der durch die Normale OC geleg ten senkrech ten Ebene liegt, hat somit ffir den P la t z O den grSss ten Leuch twer th .

Wenn nun die F e n s t e r a n l a g e grunds~tz l ioh eine solche sein soll, dass das F e n s t e r auch ffir die wei tes t en t f e rn ten Piktze noch das Maximum der L e u c h t k r a f t en tw icke l t , muss sie die F o r d e r u n g erff i l len, dass tier um 30 o fiber den Hor izont sioh e rhebende , in tier s enkrech t zur Hor i zon ta l - und zur Wand- ebene l i egenden Ebene gezogene S t rah l e inen P u n k t t r i f f t , der mi t se ine r - - ebenfa l l s noch r e l a t iv l i c h t s t a r k e n - - n~ohs ten U m g e b u n g n i ch t (dutch gegenf iber l iegende Geb~ude oder dergl.) ve rdunke l t ist.

Aus dieser t h e o r e t i s c h e n Forderung ergeben sich mfihelos die For- derungen, die in praxi an die Fensteranlagen zu stellen sind, wenn man berficksichtigt, dass das Bestreben dahin gehen muss, der theoretischen Forderung mSgl ichs t nahe zu kommen.