a t h . N ~ h r . 188 (1988) 263-270

(Eing%gangen am 30.7.1986)

Es sei X ein reefler, =parabler bIiDLT-Raum rnit dem Skabrprodukt ( a , . ) und A : D(A) + X ein nkhtllnearer Operator. Wir fragen nun nach der lokalen Auflihbar- keit der nichtlinearen Gleichung

(1.1) Au= f,

d. h. mch der Existem einer Liisung u = a(/) E X von (1.1) bei gegebenem f E X rnit hinreichend Bcleiner Norm Ilfllx. Ala grundJegende ~~rbi tmoraussetzung m6ge eine Koerzitivitsbbedingmg in der Form

(1.2) (% A 4 I 0 Iltrtt2Xs 6 > 0

fiir alle u E D(A) erfiillt win. In vielen Anwendungen lieg& nun der Defhitionsbereich D(A) nur dicht in e.ine.r offenen Menge von X. Bus der Koerzitivitiitsforderung (1.2) und Stetigkeitsforderungen an A allein lassen sich dam noch keine L6sbarkcitsawsagen fiir (1.1) gewinnm. Nech einem Reaultat von T. Ibm (Theorem I in (21) kann man aber folgende Situation behandeln. EB moge zwei reelle, separable, reflexive BANACH- RIume llr, I mit W 4 X 4 P (Einbettungen stetig und dicht) geben, SO daB (-, .) auch eine stetige, nichtentartete Bilinearform auf W x I ist. Ferner sei A: U --f Y schwach folgenstetig, wobei U e k e Nullumgebung in X ist. Die Bedingung (1.2) gelte fur alle u E U n W. Dam ist (1.1) lokal eufBsbr. Man 0&& dersus natiidich einen enbpmhden Existenasstz air Auflosung von

(1.1) in eher Umgebmg eher Ausgangelijsung %, f,, mit Au,, = fr E X und ~0 E W, falls die Koerzitivitiltsbedingung die Fom

(1.3)

hat. In der vorliegenden Arbeit sollen diem Betrachtungen in dreifwher Hinsicht er- g&mt weden, und zwar wobn wir Bedingungen weben, anbr denen man a) die lokale Aufl6sbarkeit von (1.1) sichern kann, wenn die Ausgangsl6eUng q,, f0 im

(u - %, A% - A.o> 2 c lb - %llh, c > 0

Raum X lie& ;

254 Math. Nachr. 136 (1988)

b) die Stetigkeit in der Norm von X der Abbildung f H u(f) in eincr Umgebung yon fo

c) die Reguleritiit der Liisung erhalt. erhiilt ;

Als eine typische Voraussetzung nehnien wir dazu anstelle von (1.3) etwa an:

(1.4) (u - u, Au - Av) 2 c 11% - uI& - c' liullr Ilu - u11$ fur alle u, v E U n W ;

dies kann in einein gewissen S i n a h eine nichtlineare GaRDmasche Ungleichung an- gesehen werden. Es mussen nun weitere Bedingungen erfullt sein, dainit wir den Ein- flu5 des ungiinstigen Terms c' IIullri. I I u - vllt suf der rechten Seite yon (1.4) kontrollieren kannen. Wir beschriinken unsere Betrachtungen auf HmmT-RBume uncl benutzen Skalarprodukte 81s Bilinearformen, da wir zur Konstruktion spezieller GALERKW- Schemata die Spektraldarstellung selbstadjungierter, linearer Operatoren benutzen. Unsere Ergebnisse sind in den Theorenien 2.1, 2.3 zusammengefaat und beficden sich nebst einigen ergiinzenden Beinerkungen im Abschnitt 2. Die zugehorigen Beweise wer- den im Abschnitt 3 gefuhrt. Als eine Anwendung unserer abstrakten Siitze bttrachten wir wie in [2] noch einmal die allgemeine, partielle Differentislgleichung erster Ordnung

und suchcn ycriodischeLosungen u E H8(T.:) bei gegebeiien f E H*(T"); dabei seien Tn der ndimenaionale, reelle TONS und Ha(Tn) die SoBoLm-Raume. Als entscheidende Usbarkeitsvora,uussetzungen kommen gewisse Positivitatsforderungen hinzu, siehe (4.3). Dieses Problem wurde friiher bereits yon J, Mosm [S] mittels eines verallgemeinerten Satzes uber implizite Funktionen (MOSXR-NASli-Technik) behmdelt. Unsere Ergebnisse in den Theoremen 4.1,4.7 stellen eine Verschiirfung des R e d t a t s aus [2], Theorem 3.1 dar; insbesondere zeigen wir die stetige Abhiingigkeit der Lijsung u(f) von f in der Korm von LlS(Tm).

2. Ein abstdder Existenzsatz

Ea sei W 4 X 4 Y 4 Z

eine Skale von reellen, separablen &BEET-Raumen ; die Einbettungen seien also injek- tiv, stetig und dicht. Die Skalarprodukte und Normen bezeichnen wir mit (-, -)w, . .. baw. I[.iiwl . , , Wir formulieren nun die notwendigen Vorausset.zungen fur unseren Existenzsatz.

(i) Es existiert eine stetige, nichtentartete Bilinearform (., . )w ,y auf W x Y mit

( U l u ) ~ * y = ( u , v ) ~ V U E w, V V E X .

(ii) Es sei U E X eine offene Menge in X und A eine schwach folgenstetige Abbil- dung von U X nach Y mit

(2.1) (U - 8, AU - A v ) ~ 2 CI I[ZL - 01l; V U, v E U ,

Giinther, ?her eke Klesae 255

(2.2) (0 - %

Vu,vE w n v

IT sei ein hearer Untermum von W mit

(21 E W I SUP I(u, v ) a l l llvlly < 09 2 V .

- m w , Y 2 c, Ilu - UII; - ca(lMlw + 1)” Ilu - vlib, Ilu - vll‘;@

undRonstantenci ,~ ,c ,>O,a>0,2 hp>O. (3) V

(2.3) O+seW I

(iv) Fur slle u E F n U sei Au t W, und es gelte

(2.4) (u, A 4 w 2 --c4 liullrp ( I l 4w + 1) 3

lim #a,, - a& = 0,

c4 > 0.

(P) Zu jedem u E X existiert eine Folge {u,,).~~, a,, E W mit

lim I~all~,, IIu,, - .all$ = 0. R”00 -

Th~rem2.1.EsseiendieVornPcssetzu~~fi)-(v)e7f4intModu,E U m i t f o : = A% E X . Dann ezdstiert ein E > 0, 80 dap es zu jedem f E X mit Ilf - folJx < e genau ein u(f) t U mit Au(f) = f gibt. r)apiiber himus ist die Abbildunq f n u(f) stet4 in der N m urn X, d. h., aus f,, --t f in X fdgc u(f,) + u(f) in X.

Bemerknngen 2.2. a) Aas (2.1) folgt sofort die Eindeutigkeit der Losung von Au = f und die LrPsmm-Stetigkeit der Abbildung f w u(n in der Narni von 2.

b) 1st die Norm in X &@dent zur Norm von (a, W)Q mit u/(m + fl) 5 19 < lr 1 5 p < 00, 90 ist (v) erNlt. Dabei bezeichnet (2, W)@-P wie ublich den nach de, J-Methode k6mtruierten Interpolstionsraum ewischen 2 und W ; vgI.[4], 1.6.Ist niim- lich Y (53, W)’*p, SO existiert eine stetige Abbildung ZI: (O> bo) 4 W mit

dabei bezeichnet J(t, u) das J-Funktiond

Wir setzen &nn OD

n = 1,2, ... dt t ’

sowie unter Benutzung der HomxRachen Ungleichung

256 Math. Nachr. 136 (1988)

mit q = p / ( p - 1). Wegen 8 ;1 a/(a + p) folgt aber damus sofort, d a B die Folge ( u , , ) , , ~ ~ die Bedingungen von (v) erfiillt.

c) 1st V ein reeller HaBERT-Raum, der stetig und dicht in W eingebettet ist und gilt

llullr 2 c sup I ( % v)wl/ llvllr v E w, O*rEV

90 ist (2.3) erfiillt. Denn unter dieser Vomussetzung kann man V 4 W zu einem Evo- lutionstripel V 4 W 4 V' mit J" 4 P ergiinzen, und es gibt den RIEszschen Isomor- phismus R: J" --f V mit

(Ru, w)w = (u, v ) p v v E w, v u E v'.

Deshalb ist

'LL E W SUP I(%, ~ ) w l / Ilvllp < 00 = RV' = V { I OCoEW 1 und wegen llwllu 2 C IMlv folgt damus sofort (2.3).

d) Durch eine stiirkere Ausnutzung der lokalen Monotoniebedingung (2.1) im Beweis von Theorem 2.1 im Abschnitt 3 kann man die Stetigkeitsforderung an A abschwiichen. Da dies fiir unsere Anwendung jedoch nicht notwendig ist, haben wir darauf velzichtet.

Wir wollen nun noch eine Regularitlitsaussage fur die L6sung von Au = f erhalten. Dazu miissen wir anstelle von (2.4) starker fordern:

(vi) Es gelte fur elle u E V n U

(2.5) (u, w w 2 cs IP112W - co Il4lv mit c5, c6 > 0.

Theorem 2.3. Es seien (i)-(vi) erfiillt. 1st dann u E U mit Au E W , so ist auch u E W .

3. Beweis der Theoreme 2.1, 2.3

Wir formulieren zunachst ein Lemma, dessen Aussage sich z. B. als Spezialfall von Theorem I und seinem Beweis in [2] ergibt.

Lemma 3.1. Es sei (-, -) eane nichtentccrtete, stetige Bilinearfomn auf W x I' und {Afn}nal ein GALEREIN-8Chema in W . Weiter sei F eine achwach folgenstetige Abbddung won (u E X I llullx 5 r} t X, r > 0 nach P rnit

(w, Fw) 2 0 V w E W mit I [ w ] ~ = = 7 .

Dann ezistiert eine Folge {v,,}~~., v, E bl,, n {u E X I llulh 5 r} mid (w, FV.) = 0 V w E M,, und n = 1,2, ... Ferner enthdlt die Folge { v ~ } , , ~ ~ eine Teilfolge, die in X schwa& gegen ein Element w E X mit llvlk 5 r und Fv = 0 konvergiert.

Ganther, b r eine U s e 257

&rnerhng 3.9. Unter einem GaLlurm&hema in einem beliebigen B ~ ~ ~ m - R a u r n 9 veratehen wir eine Folge ( L V ~ } ~ ~ , endlichdimemiomlerTeilriiunsa von X, 80 daS m

u N, dicht in X ist und Bn E iffwl gilt. n-1 h niichste Lemma benutzen wir zur Konstruktion 8pezieUer GamKw&hernata.

hums 3.3. E8 mi 8: D -+ w ein h e a m , e e M j % ~ * e r t w Operator im &BERT- R a m W snit cfioftrcnr Definitionabereieh D S W. hm &ti& zu idem C > 0 ein G~~mt~nr-1Schemu {Mn}n21 in W mi: hf, E D und

(3.1) lulinllf&-ul~rpsCltuIl~ V U E H , , n = l , 2 , ... e€M.

Beweis. 1. Wir nehmen zungchst ail, da8 S: W + W ein beaehriinkter, hearer, eelbetedjur+$er& O p t o r ist. Bus der Spektmldamtellung fiir solche Operatoren folgt dam, daB es zu jedem C > 0 Projektoren Pl, ..., P, auf paarweise orthogomle Teilriiume El, ..., H,,, E W und reelle Zahlen A,, .. ., 1, gibt, mit

n und W = @ H i . Wir wiihien nun GatERm-Schemata fbli,j)iL1 in H i , d = 1, ..., m

i = l

( W ist separ&l!) und setzen

Hm:= @ Mi,j, n = 1 , 2 ,... if j- I+ 1.i. jr 1

(3.2)

Dann ist (fK,),+, offensichtlich ein Ga~gag~~schema in W, fiir das (3.1) gilt. 2. Es sei nun 8: D + f ein beliebiger, hearer, seb&t.djun@erter Operator. Dam

existiert eine Zerlegung W = Q E, in paarweise orthogode TeiLiiume Hi mit Hi E D, Sffi E nnd &e Ebchriinkung von 9 auf Hi iat ein beachriinltter, selbstadjongierter Operator in Hi. Nach unaerem 1.Beweisschritt gibt ea daher GaLEagnu-Schemata (d4,,j)il, in H,, i = 1,2, ... mit

00

i = l

Min IF% - VlIw I c l l~l lw v u E xi,j- DEM1.I

Definieren wir bp, wieder durch (3.2), dann ist (Hn}mal ein G m m - S c h e m a in W und Hm E D. Sei u E MI, also u = ui, ui E Dann ist flui E Hi, und es gibt

v; E Mi,*+i mit llSui - vJR S C lluillrP; daher gdt:

I

i-1

258 Hath. Nachr. 136 (1988)

Beweis. Bus dem Rncszachen Dmstellungsaatz folgt die Existene eines linearen, beschriingten Operators L: Y 3 W mit

(u, v)w,y = (u, Lv)w

(u, J w w = (a, 4 W , Y = (v, 4 W . Y = (v, h > W = (h, @)w,

v u E w, v v E r. Ferner gdt offenbar fur alle u, v E W

d. h. die Einschrllnkung LW des Operators L auf W ist ein selbstadjungierter, linearer, beschriinkter Operator in W. Weiter ist

I(& v)wl/ llvllv = I(% V ) W , Y l / Ilvlly s Cl llullw v u, 21 E w, 21 * 0, und wegen (iii) folgt LWVW E 8. Bus der Nichtenhrtung der Bilinearform (., - )w,y und der Dichtheit der Einbettung W 4 Y lafit sich leicht schluflfolgern, da13 Lw injektiv ist und LwW dicht in W liegt. Daher ist 5:= L;' ein linearer, selbstadjungierter Operator in W mit einem dichten Definitionsbereich D 5 V . Wir wahlen nun ein GALERKDT- Schema (M,,},,rl in W mit den Eigenschaften aus Lemma 3.3. Es gilt dann

Min I(v, W)W,U - (a, ~ W I = M.in I(v, ~ W , Y - (xu, W ) W , Y ~ vEM. VfM.

s c, I I 4 l Y fifin Ilflu - 4 lw 5 CG IIWIIY I l ~ I l W OEM.

fur alle u E Ma und n, = 1,2, . . . Bemerkung 3.6. 1st die Einbettung W 4 Y sogar kompakt, d a m konnen wir in

Folgerung 3.4 auch C = 0 zulassen. In diesem Fall ist Lw vollstetig, und man kann das GALmcxm-Schema aus den Eigenvektoren von & zusammensetzen.

Im weiteren sei { J W ~ } , , ~ ~ immer ein GaLmmm-Schema niit den Eigenschaften aus Folgerung 3.4., wobei C = 1 gewLhlt wird. Ferner benutzen wir die abkiirzende Be- zeichnung

1

B,(u) := {v E x I 1124 - vll.€ s r } , u E x, r > 0.

Lemma 3.6. E8 gelte (i), (ii). Weiter sei ?i E W n U mit AZ E X und r > 0 sei 80

g m Z h l t , dap B,(Z) G U gi l t . Ist dann f E X mit

so eristiert genau sin u(f) E Br(E) mit Au(f) = f.

Beweis. Wegen (i) wird durch

{u, v)a := (u, q w , y + 424, w)z

:= - c:-218 ue c3 (IPlfw + l)2='fl

v u E w, v w E Y mit

C1

eine stetige, nichtentartete Bilinearform auf W x P gegeben. Fur alle w E W mit llwllx = T

und alle f E X mit (3.4) erhalten wir aim (2.1), (2.2) unter Benutaung der bekannten Ungleichung

(3-5) ap bq a b S - + - P P

V o , b > O und 1 1 P P

l < p , q < w , - + - - = l

269

folgende Abschakmng :

z 3 r ( 3 r - 2 7 - - - - 2 2 =o. '1 Nrtch Lemma 3.1 existieren daher v,,(f) E iWn rnit \lvn(j)llx -< 3r und

(3.8) (w, A,(G + V , ( j ) ) - ' f )w,y = 0 V w E H,, ?L = 1,2, ... 17'

260 Math. Nachr. 136 (19138)

Ferner konvergiert die Folge { W n ( f ) ) , , r l in X schwach gegen ein v ( f ) E X mit A$ + ~ ( f ) ) = f . (Wegen der eindentigen Ldsbltrkeit von A,u = f nach (2.1) bmuchen wir nicht zu Teilfolgen iiberzugehen.) 1st nun f E Blr( j ) n W, dann ergibt sich wegen A,(a + v,(f)) E W aus (3.3) und (3.8):

(wi Ap(c + vmV)) - f), S I M I W IIAp(c + W n W ) - /II~ v w E an *

Als schwsch folgenstetige Abbildung von U E X nach Y mu13 A beschriinkt sein; also gibt es eine Konstante C, mit

IiAp4IY 5 C, v 11 E > 0 S p 5 po.

Fur n >= no ist nun ti + w, E Mn. Unter Beachtung von (2.4) folgt daher

(3.9) Also gilt mit einer geeigneten Konstanten C:

(1 - PC4) IF + vncnll', I IF + vm(f)IIw (llfl[w + llfllr + pc4 + QJ.

llc + vn(f)llw 5 2(llAlw + C) fur f E &r(f) n W und 0 5 p 5 yo.

Deshalb mu13 die Folge { v , , ( / ) ) , , ~ ~ such in W schwach konvergieren, und es ist somit v(f) E W. Ferner gilt dann offenhar (3.6). 211 b): Aus (2.5) erhalten wir jetzt anstelle von (3.9)

(1 + pc5) 116 + % ( f ) l i f r f vm(f)llW (Ilfllw + IlfllY f pc6 + C I ) .

Daraus ergibt sich aber dann (3.7).

{ u . } , ~ ~ mat um E U n W und

(3.10) u,--tti, Au,+Aii in X f i i r n - t w ,

(3.11) liru I{u& IIAu, - AGl$ = 0.

Folgemng 3.8. Es gelte (i)-(v) c c n d es sei E E U mit A3 E Y. Dann exi.stiert eine Folgc

n+co

Beweis. Es sei f , := AM?i E 9. Dabei wiihlen wir ein p > 0 gemiiS Lemma 3.7 so klein, daB die Gleichung Apu = f fur allc f in einer Unigebung von f, in X eine eindeutig be- stimmte Losung besitzt und die Abschatzung (3.6) gilt. Nach (v) gibt es eine Folge (fn)nml f n E W ~ n d

IVn - i p I L = lim IIfnIib Ilfn - fpIIP, = 0 . - )HQ)

Fur n no existieren u, E U n W mit A,un = fn und

IIunIiw 5 V I I f n I b + C), IIun - WZ I_ IIfn - ipIIz- Daher ist

lim Max {IIA,u, - ApCl/xy IIu,,I~> I[dpu, - Apfill$] =1 0. n-Poa

Wenden wir Lemma 3.6 auf die Abbildung A,, an, so folgt daraus u, - t J in X fiir n -+ w. Wegen Bun = (f, - un)/p ergeben sich dann (3.10), (3.11).

Beweis von Theorem 2.1. 1. Wir wiihlen ein r > 0 rnit .&(ao) E U und nach Folgerung 3.8 ein zi E Br(uo) n W niit Azi E X und

Giinther, Uber eine Klesse 26 1

Wahlen wir E > 0 hinreichend klein, dann gilt fur alle f E X mit Ilf - f o l l H < E :

Nach Lemma 3.6 gibt es deshalb genau ein u(f) E B,(ii) mit Au(f) = f. 2. Wir zeigen nun die Stetigkeit derAbbildung f H u(f) in der Norm von X. Es seien

also us, u E U niit Au,, Au E X und Au, --f A u in X TL --f 00. Aus (2.1) folgt daraus sofort u, --f u in 2. Nach Folgerung 3.8 existiert eine Folge v,, + u in X , v, E W n U mit Av, E X und

lim \ivn/l~v IlAv, - Aulli = lirn I[Av, - = 0 . n+m n-uo

Nach eventuellern Ubergang zu einer Teilfolge von { u " } , , ~ ~ konnen wir annehmcn

lim I[v,,Il> lIAun - Aul[$ = 0. n+w

Damit ist dann

lim Max \(\Awn - Au,((~~- , Ilv,(\> \\Awn - Au,\l$} = 0 n+oo

und aus Lemma 3.6 folgt

lim IJv, - ~~11.1. = 0 n-

und drtmit u, 3 u in X . Also enthalt jede Folge (u,,],~,, u, E U niit Au, --+ Au in X eine Teilfolge, die in X gegen u konvergiert. Daraus folgt aber die Konvergenz dcxr ganzen Folge.

Beweis von Theorem 2.3. Es sei ;iz E U mit Aii E W. Wir wghlen ein r > 0 mit B4r(ii) 2 U und nach Lemma 3.7 ein ,LA > 0, so daB

P IIA.iillw I 1, P llA.iillx 5 rP gilt und die Gleichung A,u = f fur alle f E B,(ii) n W eine eindeutig bestimmte Losung u E B4,(fi) n W besitzt. Da existiert fur alle v E B7,*(ii) n W eine Losung u, E Bbr(fi) n W von A,uv = v + pAii, und es gilt nach (3.7)

(3.12) (1 + PCd lluullw 5 llvllm + c. Wir wiihlen nun ein C , 2 1 so groB, daB gilt

c + (1 + pc,)-P'Za c, I c, . Aus (2.1) folgt fur die Losung u, von A,u, = v + pAii die AbschBtzung

(1 + P I ) / I % - 4lz 5 llv - iillz

(IlUbllW f c1)2a'8 Iluu - 41; 5 (1 + p c J 2 112, - fill; (llvllw + c + C,)z='fl

und daher

(3.13)

5 (1 + kd-1 112) - 41; (llvllw + CdSa'fl-

262 Math. Nachr. 138 (1988)

Dabei haben wir zuletzt wieder die Ungleichung (3.5) benutzt., c := Min {c , , cp} gesetzt und mit C, eine geeignete, von c, c3 und /I abhiingige Konstlrnte bezeichnet. Aus (3.13), (3.14) folgt fur alle u E Bt12(Q) n W :

(3.15) (1 + p c / 2 ) (I[%! - 'iilr?, + c2( lk l lw + c1)2E's 11% - a2 s in. - a: + C2(lldIw + ClY'p Ilv - 4l:l -

"0 - .iilf, + C S ( l l ~ 0 l l W + Cl)*"'fl lk - 4 < T2/4.

Wir wihlen nun ein v, E W nach (v) init

Dam foigt aus (3.15), ds8 wir sukzessive Elemente v, E Br,z(C) n K mit

A,,v,+, = v, + pkl'ii, n = 0, 1, ... bestimmen konnen, und es gilt v,, --c Q in X fur n + bo. Andererseits ist aus (3.12) leicht zu ersehen, daB Ibnllw unabhiingig von n beschriinkt ist und daher konvegiert die Folge { v , , } , ~ ~ auch schwach in W. Also ist ii 6 W.

Bemerkung 3.9. Unter stlrkeren Stet,igkeit,sforderungen an A sind einfachere Beweise fur Theorem 2.3 nioglich.

E

4. Periodische Lbsungen nichtlinearer Different ia l~leichun~e~ erster Ordnung

Wir wollen Differentialgleichungen der Form

(4.1)

behandeln. Dabei sei .Tm der n-dimensionale Torus (den wir uns im ublichen Sinne durch einen Wiirfel im R* repriisentiert denken), 8; := a/axi bezeichnen die Ableitungen, nnd

a(z, ~ ( z ) , alu(s), .. ., a,u(z)) = f(z), 2 E T'

Giinther, vber eine Kbse 263

a; = ..., z,, a, A, ..., pn) sei eine gegebene, d l e finktion auf Tfl x Rmcl. Zur Abkiirzung schreiben w b im weiteren fiir die W e Seite yon (4.1) einfach a(%, u, h). Unter Ht r: Bt((TD), t = 0, 1, , , ., veratehen wir die m k n SoBoLm-Riiume, versehen mit den SblilrproduHten

(a, ??)I := (21, t7)a + (u, .)I, (u, It); := (ail ... a p , aia ... ajp)o

und den entsprechenden Normen JJujl~ := (u, uf2. Dabei haben wir die Summen- konvention benutzt, und die hdizes i,, , , ., il laden von 1 bis n. Femer ist ( 8 , .)o &s ubliche Skdarprodukt irn &. SchlieBich vembreden wir noch folgende Bezeichnungen

8a , ap,:= - aa a,, := -

au 8Pi'

(4.2) +,4, = f o b ) ,

(4.3) bfirol (z) > 0 , (5) I + sB[?4,] (z) ist p&iu definit.

(I = (n x n)-Einkeitsmarbriz.) Dann exktieren e, 6 > 0, 80 dQB a 2% j edm f E 6 1 8 mit lif - f & < t g ~ u e h e UWW u( f ) E E8 d e ~ Gkichw# (41) mit I[u(f) - < 8 gibt. Die A W u n g f M u(f) bt stetig in der H a - N m .

Bemerkung 4.2. Im Spezialfall fo = 0, ~0 = 0 &immt die Existenzaumqe von Theo- rem 4.1 v6lLig mit der von Theorem 3.1 aus E2] 5bmin. Der &ll einer beliebigen Aus- gangslijsung %,f0 E HI liiSt sich aber nicht ohne weiterea darauf zuruckfiihren. Die Stetigkeit der Abbildung f I+ u(j) in der H8-Non.n blieb in 121 offen.

Bevor wir das Theorem beweisen, fiihren wir einige HiIfsbtwchtungen durch. Dabei werden wir zur Verehfachung in den A h c u t w e n auch venchiedene Kon- stanten einheitlich mit C bemichnen. Diese Konatanten hiingen nur yon den gegebenen Funktionen a, uo, f0, sowie von 5 und n ab.

Es sei

(4.4) U := {U E Ha 1 1 1 ~ - u&, < T ) , 0 < 7 I; 1.

Wegen so - [t] f 3 erhalten wir aua den Sosowschen Einbettungsslitzen und der

Vorausaetzwg a E C6+1

(4.5) IJN!c*, Il(@a\ I*, u, h)Jjcl , I](a'+'a) ( - 9 U, &)fJp S C, V u E U, v 1 5 8

264 ibth. Nachr. 136 (1988)

und aus dem Mittelwertsatz fur alle U, v E U

Wir definieren nun eine Abbildung A : U + HI-1 durch (Au) (2) := a(%, u, au).

Lemma 4.3. Fur alle u, v E U gilt

(U - V , AU - A w ) ~ 2 7 I I u - all?, - C 11. - vll; IIu - tlfla..

Beweis. Wir schreiben

u(z, U, au) - 42, v , av) = a,(%, a, av) (u - a ) n

i=l + ,Z a p , ( ~ , V, av) ai(a - v ) + R(s)

und schLtzen das Restglied nach dem TAYLosschen Setz unter Bcachtung van (4.5) ah:

IR(z)l 2 C Max {I+) - 441, Iaiu(z) - aia(z)lI'. i=l . ..., n

Also ist I I R I I ~ s c nu - viiCl IIU - .iil s c IIU - VIL*-~ 11% - VII,

d C" lb - 41ae Ib - 410

und deehalb

(U - V , AU - A v ) ~ n

u - V , a,(-, V, 8v) (U - a) + Cup,(-, V , av) ai(u - i=1

Giinther, ober eine Klaese 265

Dabei w i d die Summe iiber alle Systeme vonYultiindizes u, (xl, . , ., at und k = 1, . . ., I erstreckt, die den Bedingtmgen

k

i-1 161 = 2 , 1 5 b l i d I4 + 1, E fail S 1 ~ 1 + k

geniigen. 4.. sind Linearkombinationen ausAbleitungen von a ns-ch xlr.. . ,X* ,U,~, , . , .,pn von einer Ordnuxtg 4 101; uu sind Linearkombimationen ~ l s Ableitungen von a nsch x,, ..., 2, von der ordnung lul. Indem wir nun noch die Terme, bei denen ein cq mit lai] 2 101 anftritt, gemndert mfschreiben, erhdten wir folpnde Formel (es wird dabei wieder die Summedconvention benutzt) :

(4.10) (u, A Y ) ~ = r: (Pu, au,a aa12c - .. . . i3=%)o -i (Pw, u.J0 QIS Iel=l

Jetzt wird die Summe iiber alle u, all . . ., at und b = 1, . . ., Z ecstreckt, die den Bedin- gungen la1 = 1 und

k

i-1 (4.11) 1 I /ail S 101 - 1, E IQiI S IUl + k geniigen.

Mdtiindizes, I,, . . ., Z, ganze Zahlen mit 0 5 Z i

Wir werden mehrfmh folgende, einfache AbschStzung benutzen. Ea mien a,, . . ., a, Iail und I := C (!ail - li). Sind dam

m

i s 1 fi E al+li n C'i, i = 1, ..., m, 90 gilt :

Zum Beweis schreibt man br = erhak nach einer bekannten Abschiitzung (z. B. Lemma A 1 in (21):

8% mit Mukiin&es ti mit ti 5 oci, Irii = Zi und

) II)

IIWl * . - * * W m l b 5 C Z IlWilt n Ila''!jll~~ t i=1 " ( j=l.j+i

womus aofort (4.12) folgt.

Lemma 4.4. Sind Y, w E Ha+' n U Y& u, al, , . ., a, Mdtiindizes mit luI = s und (4.11), so s;lt:

I~o~,.(., U, &) Pu * . . . - P ~ u - G,~( - , U, a0) Pq - . . . - Z%lb s Q(llY - 4-1 (11.11+1 + 1) + 11% - dla Ib - 41,).

IP.YI - . . . - awi0 5 c i i a + , IMF I c nuiL+l-

Beweis. Wegen (4.11) erhaltsn wir mittela der Abschiitzungen (4.12) und (4.5)

Bertchten w i r (4.6), (4.7), 80 genugt ea daher zum Beweis des Lemmas, wem wir noch

IIPW - . . . * a% - a% - . . , a%~lo s qlb - 41-1 (Ilulk1 + 1) + IN - all 11% - "IL.)

266 Math. Nachr. 186 (1988)

aanthsr, Wer eine Klslge 257

268 Math. Nachr. 136 (1988)

Gilt u, -L u in Ha fur n + 00 und U, U, E U, dam folgt am der Kompaktheit der Ein- bettung He 4 H8-l Sofort*, + u in H*-l. Wegen (4.7) ergibt sich aber daraus 8% + Au in 80. Andererseits ist ~~u,,Il, umbhiingig von n beschrlinkt und dahalb auch IIAaufill,-l. Also muB Au,, - Au in Ha-' gelten, d. h. A ist eine schwach folgenstetige Abbildung von U E Ea nach BJ-1 und damit ist auch (ii) erfiillt.

Bemichnet A den LaPLacE-Operator und ist v E o + 0, so gilt offenbar

(v - dv, v),+1 - - (v , v)o + (v, @l + (% @:+I + (v, .,:+2 Ilvllu+2 IlvlL+r

2 Ilvll,+2 2 C 119 - d$, C > 0- Da sich alle u E P + 1 in der I?om u = v - dv mit v E Ba+s darstellen lassen, haben wir

nullo 5 c-1 SUP I (u, ~ta+, I / I~VIL~, v u E I P + ~ O*UEH"'

und nach Bemerkung 2 . 2 ~ ) gilt daher (2.3). Ferner folgt am Lemma 4.3, 4.6 fur alle u E Hean U:

(u, A*)u+, 2 --C IlUlL1 W l l a + l + 1) * Also sind auch die Voraussetzungen (S), (iv) erfiillt.

Wir zeigen nun noch, daB such (v) erfiiUt ist. Man kann dazu die Interpolations- eigenschaften der Rauiume Ha und Bemerkung 2.2b) benutzen oder direkt wie folgt schlieBen. Jedes u E Ha besitzt eine Few-Reihenentwicklung

(4.18) u(z) = 5 k e'(k*.')J V s E TI

mit ktZm

n

1-1 k = ( k 1 , . . . , k n ) , (k,z):=ZKIzry a t € c .

Da die Funktion u reell ht, gilt uk = Wegen 8 2 80 konvergiert die Reihe (4.18) absolut und gleichmiilig fur alle x E Z'm. Ferner sind die Normen l [ . l l l Lquivalent 211 den lhnumz-Reihennomen

Wir setzen nun

Dann gilt offenbar

269

s cz IWL ( .z l4' (1 + l k l 9 y . k€Za.lY x n

Also ist lim Ilu, - ulls = lim ll%,llHl Ilu, - u#' = 0. 8 )wp m-xe

Theorem 4.7. Es sa' s 2 so + 1 u d a E O(!P x R*+l). Feruw aei uo E €I=* und es mdqe j+ir dk 2 E Tn gcken: 4*0](2) > 0, b[%] (2) I + s&u~] (2) ist p&iv &finit. 1st d a m a(-, %, h) E Ha, 90 mub ouch u, 6 Ha sein.

Beweis. Wir wollen Theorem 2.3 anwenden, und zwar mit den Raumen V=H*+', W = € I a , X=H*, Y=Hk-l , z = H O

und U = ( 2 ~ E Ha* I 11% - .~lol[~. < 7).

Indem wir r hinreichend klein wahlen, konnen wir wider annehmen, daB (4.81, (4.9) fur alie u E 117 gelten. Nstiiriich bleibt (4.9) auch erfiillt, wenn wir 8 durch so ersetzen. Die BiIinearform (., .)WJ definieren wir durch (4.17) mit s = 8,. Nach evtl. erneuter Vergleinerung von r erhalten wir aus Lemma 4.1 mfort (2.4, sowie &us Lemma 4.5:

(U - V, Atb - AS)%

270 Math. Nachr. 136 (1988)

Wie beim Beweis von Lemma, 4.6 ergibt sich aus (4.10) unter Beachtung von (4.19) fur alle ZG E U n H*+l:

(u, m: 2 "/% 4: - c 1141: (. llulls + C(4)

(% An), h 4 IlUlC - c llulls;

Bei hinreichend kleinem E haben wir daher

Y

es gilt also eine AbschLtzung der Porm (2.5).

Folgernng 4.8. Es sei a E P ( T m x Rnfl) und uo E Ha#, so dap fur alle x E T* gilt:

b[u,,] (2) > 0, B[uO] (5) ist positiv semidefinit.

Dann folgt au-s a(., uo, 8%) E Cm(Tn), dap auch uo E Coo(T*) ist. E

Literatur

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