XXII. Jahrgang. Jull 1902. Strehl, Lufschlieren und Zonenfehler. 213

Ueber Luftschlieren und Zonenfehler. Von

K a r l Strehl in Erlangen.

Die Anregung zu der folgenden Arbeit verdanke ich einer Abhandlung von K. Exner : „Erklärung der Szintillation" (Sitzungsber. d. Akad. d.Wiss., Wien. 110, IIa. S. 90. 1901), sowie einem Gespräch mit Hrn. Dr. R. Steinheil.

1. Luftschlieren. Wenn ich mich zu ersterer wende, so führe ich zunächst die belangreichen

Stellen wörtlich an und zwar S. 93: „Die ursprünglich ebenen, von den Fixsternen kommenden Wellenflachen gewinnen beim Durchgang durch die Atmosphare unregel-mässige und mit der Bewegung der Luft stets wechselnde Aus- und Einbiegungen. Die Höhe und Tiefe einer solchen Verkrümmung ist im Allgemeinen von der Grössen-ordnung einer Lichtwellenlänge, der Durchmesser oder die Erstreckung einer Kon-kavität oder Konvexität längs der Wellenfläche von der Grössenordnung eines Dezi-meters und der Minimalwerth des Krümmungsradius kann beispielsweise 4000 m betragen" und S. 92: „ . . . kleinste Werthe während der Beobachtungszeit 1817 bis 19380, und im Mittel 4733 m ...". Indem ich nun zur Verwerthung dieser Beob-achtungen schreite, kann ich nebenbei die Verwunderung nicht unterdrücken, dass noch immer die einseitige und unrichtige Berechnung der Auflösung von Doppel-sternen von Foucaul t verwendet wird, während doch längst die Trennung von selbstleuchtenden oder beleuchteten Punkten, Geraden, Halbebenen auf dunklem Grand oder umgekehrt von dunklen Objekten auf hellem Grand auf das Genaueste nach richtigen Grundsätzen ermittelt ist; bezüglich der uns hier interessirenden Stellen gebe ich zwar gerne zu, dass die Normalen einer z. B. wellblechartig ver-bogenen Wellenfläche eine parallele Ebene in entsprechendem Abstand streifenweise in grösserer bezw. kleinerer Dichte durchsetzen, halte es aber für ein Problem der Beugungstheorie — nicht der geometrischen Optik — über die Lichtvertheilung in dieser Ebene Zuverlässiges und Genaues auszusagen. Bei meinen Berechnungen nun sah ich mich gezwungen, wollte ich nicht unangemessene Zeit aufwenden, mich auf die einfachsten Verhaltüisse zu beschränken. Einmal zog ich aus eben genanntem Grand nur Wellenflächen mit wellblechartiger Verbiegung, nicht solche, welche zwar eben sind, aber eine unregelmässige Lichtvertheilung zeigen1), in Betracht, in der wohl zulässigen Annahme, dass bei waagerechten Luftschlieren verschiedener Temperatur diese entstehen und dieser Fall mindestens ebenso berechtigt ist wie der von Wellen­flachen mit beulenförmigen bezw. napfförmigen Verbiegungen bei unregelmässigen Luftmischungen. Zum Anderen wählte ich für die Form der wellenförmigen Ver­biegung die Sinuskurve, weil diese künstliche Annahme in vielen Fällen eine natür-liche ist. Endlich beschränkte ich mich auf eine (d. h. die hellste, mithin ausschlag-gebende) Farbe und wählte die Pfeilhöhe der Durchbiegung weit kleiner, als sie Exner im Mittel gefunden hat, nämlich gleich l/6, weil ich die Wirkung eines Luft-zustandes studiren wollte, bei welchem kleine und grosse Fernrohre noch leistungs-fähig erscheinen. Die Länge der Sehne nahm ich mit Exner zu 1 dm an, doch ist diese Annahme deshalb gleichgültig, weil man nur die Oeffnung des Objektives

1) Uebrigens Iehrt eine einfache Ueberlegung, dass in diesem Falle der Einfluss grosser Ob-jektive ganz zurücktritt.

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proportional zu ändern braucht, um die Gültigkeit des Resultates aufrecht zu halten.

Bevor wir dieses ins Auge fassen, müssen wir einen Blick auf die Art und Weise der Rechnung werfen. Wenn vor einem fehlerfreien Objektiv eine zu diesem parallele ebene Wellenflache ankommen würde, dann wären alle Lichtwege von dieser bis zum Brennpunkt gleich lang, mithin würden sammtliche Elementar-schwingungen in diesem mit gleicher Phase zusammenwirken und das Resultat wäre eine Definitionshelligkeit von 100%. Wenn jedoch die Wellenfläche vor dem fehler­freien Objektiv verbogen ist oder die ebene Wellenfläche auf ein Objektiv mit Zonenfehlern trifft, dann treten in (unserem) ersteren Falle längs der Sehnen, im letzteren längs der Zonen des Objektives Verfrühungen bezw. Verspätungen auf, welche bewirken, dass die Definitionshelligkeit im Brennpunkt unter 100% sinkt. Allgemein hat man das Verhältniss von der Verkürzung oder Verlängerung des Lichtweges zu der Wellenlänge in Winkelmaass auszudrücken, von diessem den cos oder sin zu nehmen und über sämmtliche Flächenelemente des Objektives zu summiren. Die Summe, dividirt durch die Gesammtfläche des Objektives, giebt die Durchschnitts-amplitude und deren Quadrat die Definitionshelligkeit. Da es sich nicht nur um einen bestimmten Schwingungszustand der Wellenfläche vor dem Objektiv handelt, vielmehr um die Resultante sämmtlicher, so hat man nicht nur den cos oder den sin, vielmehr cos und sin und nach dem Satz cos2 + sin2 = 1 die Summe der Resultate zu nehmen. (Näheres hierüber z. B. in meiner „Theorie des Fernrohrs" S. 30.) Ein Beispiel möge dies zeigen.

D 0

l/6

(n)

cos + 100 + 87 + 62 + 50 + 62 + 87

96%

sin + 0 + 50 + 79 + 87 + 79 + 50

, = 2 6 3 :

s 0

89 113 120 113 89

524 : 275

sc + 0 + 77 + 70 + 60 + 70 + 77

354 125

ss + 0 + 45 + 89 + 104 + 89 + 45

372 138

D l/6

0

(g)

cos + 50 + 62 + 87 +100 + 87 + 62

66%

sin + 87 + 79 + 50

0 - 50 - 79

= 181 :

s 0

89 113 120 113 89

524 276

sc + 0 + 55 + 98 +120 + 98 + 55

426 181

ss + 0 + 7 0 + 5 7

0 - 57 - 70

0 0

Es behandelt den Fall gleicher Grösse (= 1 dm) von Durchbiegung der Wellenflache und Objektivdurchmesser, wobei entweder (m) die Mittellinie einer Durchbiegung oder (g) die Grenzlinie zwischen einer Ausbiegung und einer Einbiegung durch die Achse des Objektives geht. Es bedeuten D die lineare Verbiegung (es sind nur die Grenzwerthe angegeben), die Werthe unter cos und sin die entsprechenden Funk-tionen von D : l (wobei D : l = 1 dem Werth 2 p entspricht), s die Längen (und wegen gleicher Breite auch Flächen der Streifen) der Sehnen des Objektives, sc bezw. ss die Produkte aus s mal cos bezw. sin, die Werthe 524 u. s. w. die Summen und die Werthe 275 u. s. w. deren Quadrate, wobei alle früheren Werthe mit 100 erweitert oder gekürzt, die Quadrate mit 1000 gekürzt wurden, um die Genauigkeit in zweck-mässigen Grenzen zu halten.

Gleich bei diesem Beispiel will ich darauf hinweisen, dass die Definitions­helligkeit im Fall (g) nur scheinbar auffallend gering zu sein braucht gegenüber dem Fall (m); denn wegen der unsymmetrischen Lage der Wellenfläche wird sich der Schwerpunkt des Beugungsbildes merklich aus der optischen Achse verschieben und der Brennpunkt nicht mehr der hellste Punkt sein. Da aber beim Vorüberziehen der Luftschlieren der Lichtschwerpunkt abwechselnd nach beiden Seiten sich ver-schiebt, der Stern mithin um den Brennpunkt oszillirt (vgl. eine Bemerkung über

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das Beobachten am Meridiankreis in der alten Astronomie von Lamont) und weitere Berechnungen zu langwierig gewesen wären, so begnügte ich micb mit der Bezug-nahme anf den Brennpunkt1).

Wenn wir jedoch die allgemeine Gleichung der Durchbiegungswelle y = (l/n)*sin (2px/200) oder nach Differentiation dy = (l/n)*(2p/200)*cos(2px/200)*dx betrachten and den Fall des Beobachtens mit blossem Ange studiren, wobei in jedem Angenblick nur ein so gut wie ebenes Stück Wellenfläche zur Wirkung kommt, dann finden wir, dass im Fall (g) für eine einseitige Durchbiegung D = l die ein-seitige Sternschwankung 3,27" (für D = l/6 nur noch 0,55") beträgt, ein mit den Beobacbtungen gut übereinstimmender Werth. Da zwei Beobachter mehr als 2 dm Abstand baben, so kann das Sternscbwanken sehr wohl für beide gegensatzlich und docb eine objektive Erscheinung sein. Die „Subjektivität" liegt in diesem Fall im gegenseitigen Abstand.

Nunmehr wende ich micb zu den allgemeinen Resultaten. Die Oeffhung des Objektives ist ans praktischen Gründen in Sechsteln von der Sehne der Durcbbiegung (mithin durcbschnittlich in Secbsteln von 1 dm) angegeben, die Definitionsbelligkeit in %, stets bezogen auf den Brennpunkt2); (m) und (g) sind bereits erklärt.

Oeffnung: 6 8 10 12 16 24 30 48 Lage (m) 96 71 71 63 54 57 56 55 Lage (g) 66 55 51 52 59 55 55 57.

Beide Intensitätskurven verlaufen wellenförmig, kommen einander immer näber und greifen merkwürdigerweise über einander; weitaus am Wichtigsten ist jedocb:

Der Verlust an Definitionshelhigkeit in Folge von Luftschlieren geringen Grades wächst rasch bis zu einem für grosse Objektive fast konstanten Werth. Wenn wir mithin in astrono-mischen Schriften lesen, dass die Verschlechterung der Bildgüte zum Kubus der Oeffnung proportional set, dann müssen wir im Sahmen vnserer Berechnung entschieden widersprechen.

2. Zonenfehler. Indem ich nun zur Besprechung der Wirkung des Kugelgestaltfehlers übergehe,

kann ich mich unter Beschränkung auf Fernrobrobjektive der üblichen Anschaaung nicbt anschliessen. Wenn behauptet wird, der Fehler kommt von dem Umstand, dass man keine anderen als nur Kugelflächen schleifen kann, so bin ich der Ansicht:

Der Uebelstand ist der, dass man alle möglichen, nur keine Kugelflächen bekommt. Bereits früher habe ich nachgewiesen, dass man mit mathematisch genauen

Kugelflächen die reine sphärische Aberration und im Allgemeinen auch die rechnerisehen Zonenfehler bis zur Unmerklichkeit klein machen kann und dies nach streng beugungs-theoretischen Grundsätzen. Der Feind, gegen den es gilt mit allen Mitteln zu kämpfen, sind die mechanischen Zonenfehler3). Freilich darf man nicht in der Wirkung beide verwechseln. Hierauf wurde von R. Steinheil und mir schon früher hingewiesen. Vor Allem kommt es auf den Besitz einer genügend empflndlichen Methode an, um Zonenfehler überhaupt untersuchen zu können; die alten Methoden taugen nichts. Neuerdings existirt glücklicherweise eine solche. Die Hauptsache ist am Ende, die Zonenfehler beseitigen zu können; hierin hat Hr. R. Steinheil günstige Resultate

1) Gleiehes gilt von der Verschiebung des Lichtschwerpunktes lüngs der optischen Achse. 2) Je kleiner die Definitionshelligkeit, um so grösser ist die sichtbare Flöche des Beugungs-

bildes (m). 3) Nach Steinheil auch die Aenderung des Brechungsindex mit der Zone.

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erzielt, über die unängst berichtet wurde1). Ich wende mich nnn zum rein Theoreti-schen, wobei ich mich wieder auf die einfachsten Fälle beschränke, weil dies genügt.

Die meisten rechnerischen und typische mechanische Zonenfehler haben die Eigenthümlichkeit, dass die Längsabweichung für Achse und Rand nahe 0, für etwa die Zone 0,707R ein Maximum ist; dieser Fall liegt mathematisch besonders bequem. Wir setzen in meiner Studie "Zonenfehler und Wellenflächen" (diese Zeitschr. 20. S. 267. 1900) den Oeffnungshalbmesser = R, die Brennweite = p, im Uebrigen die Verbiegung der Wellenfläche D = 0 fur R = R bezw. d für r =R√2 = 0,707R, erhalten M = 4d: R2 bezw. R = 4d: R4 und fur eine beliebige Zone r =qR, wobei q ein echter Bruch ist, die Verbiegung der Wellenfläche gegen die Kugelfläche von gleicher Krümmung mit Bezug auf die optische Achse (mathematische Schmiegungskugel) dz = (- q 4 + 2q6:3)*d*(R:p)2. Wir dürfen jedoch nicht in den Fehler verfallen, die Definitionshelligkeit im Krümmungszentrum der achsialen Region zu suchen, wir müssen das optische Maximum, d. h. das Krümmungszentrum der optischen Schmiegungs­kugel zu Grande legen. Nach Analogie des Falles bei der reinen sphärischen Ab­erration werden wir als Optimum die „Schmiegungskugel" (im Sinne der Differenzen-rechnung statt der Differentialrechnung) ansehen durfen, welche die verbogene Wellenfläche in der Achse, der Zone 0,707 R und der Bandzone trifft. Für diese ist dz = - (q2 : 3) *d*(B : p)2. Genauere Untersuchungen hatten allzuweit geführt. Wir erhalten mithin für die Verlängerung bezw. Verkürzung des Lichtweges längs der Zone (q) den Differenzausdruck dz (verbogene Wellenfläche) — dz (optische Schmiegungskugel) = (q 2:3 -q 4+2q 6:3)*d*(R:p)2.

Wir sehen, dieser Ausdruck wird 0 für q=0 bezw. q = 0,707 bezw. q = 1. Diese Veränderungen der Lichtwege sind nach obigen Grundsatzen zu behandeln. Ein Beispiel:

1) H. Lehmann, Anwendung der Har tmann ' schen Methode u. s. w. Diese Zeitschr. 22, S. 103. 1902.

Während oben der Oeffnungshalbmesser gleich 60 war, ist er hier 20; z sind die (unter Weglassung von p) verhältnissmässigen Flächen der Zonen mit den mittleren Radien q = 0,1; 0,2 u. s. w. bis 0,9; 1. Auf diese Weise wurde folgende Tabelle gewonnen (l= 500 mm vorausgesetzt).

q 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

D : l 0

+ 0,050 + 0,034 — 0,003 — 0,034 — 0,049 — 0,048 — 0,035 — 0,019 — 0,005

0

f 0°

+ 18° + 12° — 1° — 12° —17 1/2 ° — 17° —12 1/2 ° — 7° — 2°

0°

cos + 100 + 95 + 98 + 100 + 98 + 95 + 96 + 98 + 99 + 100 + 100

95%

sin + + + — — — — — — — —

=

0 31 21 02 21 30 29 22 12 03 0

152 :

z 39 72 64 56 48 40 32 24 16 08 01

400 160

zc + 39 + 68 + 63 + 56 + 47 + 38 + 31 + 23 + 16 + 08 + 01 + 390

152

zs 0

+ 22 + 13 — 01 — 10 — 12 —09 — 05 — 02 — 00

0 — 04

00

Oeffnung: ± d in cm ± d in cm ± d in cm ± d in cm .

Brennweite für die Zone 0,707 R d Achse = 0 d Rand = 0

1:10 1/4 1/8 1/16 1/32

1:14,14 1/2 1/4 1/8 1/16

1:20 1 cm 1/2 1/4 1/8

B 01 45 82 95

(U)

(55) (87) (97)

XXII. Jahrgang. Jull 1902. Referate

Unter B stehen die Werthe für die Definitionshelligkeit im günstigsten Punkt, falls sich d auf die Zone 0.707R bezieht, unter (U) die für reine sphärische Aberration geltenden, falls sich d auf die Randzone beziehen würde. Wir seben, der Unterschied ist auffallend gering. Wir kommen mithin zu dem wichtigen Schluss:

Die Hauptfehler mittlerer und grösserer Fernrohre sind chromatische Aberration der Ver-einigungeweiten emerteits (dies habe ich schon früher berechnet) und mechanische Zonenfehler andererseits.

Bei meinen Berechnungen wurde mir eine ausgiebige Unterstützung seitens Hrn. Karl Hirschmann in liebenswürdigster Weise zu Theil; ich hätte die Arbeit allein nicht zu bewältigen vermocht. Ihm gebührt deshalb ein wesentlicher Antheil an obigen Resultaten und mein verbindlichster Dank auch an dieser Stelle.

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