Übertragungskanal

7/26/2019 bertragungskanal

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SNT-bertragungskanal/10.2.2001/Gys 1

ZHW, Departement Informatik, Kommunikation und ElektrotechnikNachrichtentechnikProf. Dr. U. Gysel

Signale der Nachrichtentechnik

5. bertragungskanal und Rauschen5.1 Der bertragungskanal

5.1.1 Metallische Leitungen

Leitungen kann man als Strassen fr Nachrichtensignale betrachten. Je nach Ausfhrung haben sieeine mehr oder weniger grosse bertragungskapazitt und fhren zu mehr oder weniger grossenVerzerrungen bei der bertragung. Von den vielen Anordnungen, die sich als bertragungsmediumfr elektromagnetische Wellen eignen, seien zuerst nur Leitungen mit zwei getrennten metallischenLeitern bercksichtigt. Dazu gehrt die gewhnliche Zweidrahtleitung, wie sie in der Telefonie frden Teilnehmeranschluss noch fast ausschliesslich bentzt wird oder welche im LAN-Bereich(10Base-T, 100Base-T) eine grosse Rolle spielt. Die Koaxialleitung wurde frher in derMehrkanaltelefonie eingesetzt. Heute sind ihre Hauptanwendungsgebiete im Kabelfernsehbereich,fr LANs und andere Datenverbindungen, aber auch als Verbindungsleitung in unzhligen sonstigenNachrichtensystemen.

In der Nachrichtentechnik betrachten wir Leitungen primr als Vierpole (oder Zweitore). Aus denVierpolparametern lassen sich alle wichtigen Grssen wie Betriebsdmpfung und -phase oder Refle-xionen berechnen. Hufig sind die Leitungen sogar beidseitig angepasst, so dass keine Reflexionenauftreten. Die Theorie der Leitungen (siehe Elektrizittslehre oder Herter und Lrcher, Nachrichten-technik, Kapitel 4) gibt auf diese Fragen Antworten (ev. kennen Sie aus der Elektrizittslehre nur dieTheorie der verlustlosen Leitungen).

Von zentraler Bedeutung in der Nachrichtentechnik sind die Verzerrungen, welche mglicherweisedurch eine bertragungsleitung verursacht werden. In Abschnitt 3.2 haben wir gesehen, welche Be-dingungen ein bertragungssystem erfllen muss, damit ein Signal unverzerrt bertragen wird: kon-stanter Amplitudengang und linearer Phasengang. Wie verhalten sich die gngigen Leitungen bezg-lich dieser Kriterien? Dieser Frage wollen wir hier vornehmlich nachgehen.

Fig. 5.1 zeigt eine Leitung mit angeschlossener linearer Quelle am Eingang und Last am Ausgang.Quelleninnenwiderstand und Last seien rein ohmisch, was in einer Mehrzahl der nachrichtentechni-schen Flle zutrifft, oder zumindest nherungsweise angestrebt wird.

RL

Ri

Uq

Leitung

Zwund ,Lnge l

U1 U2

z0 l

U(z)

I(z)

Fig. 5.1 Leitung mit Quelle und Last

Fr eine rein sinusfrmige Anregung arbeitet man auch bei Leitungen fr Strom und Spannung ent-lang der Leitung mit komplexen Zeigern. Die Festzeiger, also die Zeiger ohne den frequenzabhngi-


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gen Term exp(jt), sind gegenber normalen Netzwerken bei Leitungen zustzlich Funktionen desOrtes z entlang der Leitung. Fr rein fortschreitende Wellen, der Index a bezeichnet jene in Vorwrts-richtung, b jene in Rckwrtsrichtung, gilt

Ua (z)

Ia (z) =

Ub(z)

Ib(z) = Z w (5.1)

Das Minuszeichen bei der Rckwrtswelle stammt von der Bezugsrichtung fr den Strom, die frbeide Wellen in positiver z-Richtung positiv gewhlt ist. Die Beziehung zwischen Spannungen oderStrmen (Festzeiger!) einer rein fortschreitenden Welle an unterschiedlichen Stellen entlang einerLeitung lauten

U(z) = U1 exp(mz) (5.2a)

I(z) = I1 exp(mz) (5.2b)

mit = +j= Ausbreitungskonstante

= Dmpfungskonstante

= Phasenkonstante

Das Minuszeichen gilt fr die Vorwrts- und das Pluszeichen fr die Rckwrtswelle. Im Falle derverlustbehafteten Leitung ergeben sich folgende Ausdrcke fr die Wellenimpedanz und die Aus-breitungskonstante:

Zw = R' +jL'G' +jC'

(5.3)

= R' +jL'( ) G' +jC'( ) (5.4)

mit R' = Widerstandsbelag der LeitungL' = Induktivittsbelag der Leitung

G' = Ableitungsbelag der Leitung

C' = Kapazittsbelag der Leitung

Nur im verlustlosen Fall vereinfacht sich die komplexe Impedanz Zwzum reellen Wellenwiderstand

Rw = L' /C' und aus der komplexen Ausbreitungskonstante wird die rein imaginrePhasenkonstante j =j/v, welche die Phasendrehung pro Lngeneinheit angibt. Der Realteil von stellt die Dmpfung der Welle pro Lngeneinheit dar. Normalerweise wird in dB/m oderdB/km angegeben. Will man die Dmpfungskonstante direkt in die Ausdrcke von Gl.(5.2)einsetzen, muss sie in Neper (1 Neper = 20/ln(10) dB = 8.686 dB) ausgedrckt werden.Unter der Annahme, die Leitung von Fig. 5.1 sei beidseitig angepasst, breitet sich eine einzige, inihrer Amplitude abnehmende Welle in Richtung Last aus. Zeichnet man die Ortskurve der Zeiger vonU (z) und I (z) in Funktion von z, so ergibt sich eine logarithmische Spirale, Fig. 5.2. Ist die Leitungnicht angepasst, so kann man diese als Vierpol betrachten und mit einer geeigneten Matrix beschrei-ben. So gilt fr die Leitung der Lnge ldie A-Matrix:

[A] = cosh l Zw sinh lsinhl

Zwcosh l

(5.5)


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Im

Re

z

U(z)

U1

U2

Fig. 5.2 Ortskurve von U (z) bzw. I (z)

Daraus kann bei beliebiger Abschlussimpedanz ZLbeispielsweise die Eingangsimpedanz berechnetwerden:

Z1 = Z LZL + Zw tanhl

Zw + ZL tanhl(5.6)

Im Folgenden interessieren uns vor allem die bertragungseigenschaften der angepasstenLeitung,wenn sie ber einen grsseren Frequenzbereich betrachtet wird.

Man unterscheidet dabei drei Flle, die wir genauer ansehen wollen.

a) Die stark gedmpfte Leitung

Sie ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass

G' C' und R' L' (5.7)

Dieser Fall tritt auf bei Zweidrahtleitungen bei tiefen Frequenzen, nmlich dort, wo der ohmsche Wi-derstand der Leitung im Verhltnis zum induktiven Lngsimpedanzanteil noch dominiert. Die kapazi-

tiven Verluste, welche sich im G' niederschlagen, sind hingegen gering. Dieser Fall gilt typischer-weise fr alle Zweidrahtleitungen, welche in der Telefonie beim Teilnehmeranschluss verwendetwerden. Mit Gl.(5.7) knnen die Ausbreitungskonstante und die Wellenimpedanz nherungsweiseberechnet werden. Man findet:

jC'R'

oder = = C'R'

2(5.8)

sowie Zw R'

jC' =

R'

C'/ 45 (5.9)


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Die Dmpfungs- und Phasenkonstante fr die stark gedmpfte Leitung wie auch fr die weiterenFlle sind in Fig. 5.3a) dargestellt.

HF-Leitung

fg= R'/(4L')

Dmpfungszunahmeinfolge Skineffekt

f

,

R'

2

C'

L'

stark gedmpfte

Leitung

schwach gedmpfte Leitung

fgs

fg= R'/(4L') fgs

2

"verlustfrei"

()

a)

b)

Fig. 5.3 a) Dmpfungs- und Phasenkonstante fr Leitungen mit zwei metallischen Leitern und

b) Dmpfung einer Leitung der Lnge in Funktion der Frequenz

Diese Leitungen besitzen eine Dmpfungs- wie auch eine Phasenkonstante welche nichtlinear sind

Beide sind betragsmssig identisch und nehmen mit der Wurzel von zu. Dies bedeutet, dass eine

Telefonleitung keine verzerrungsfreie bertragung gewhrleisten kann, da insbesondere auch diePhase in Funktion von nichtlinear ist. Auch die Wellenimpedanz ist nicht konstant und nicht reinreell. Sie weist, bei einem Betrag, der mit der Wurzel von abnimmt, eine konstante Phase von -45auf. Ein solches Verhalten ergibt sich bei einer konzentrierten Impedanz aus R, L und C nie exakt.Jeder Telefonapparat braucht jedoch als Abschluss der Gabelschaltung (ob mit einem Transformatoroder elektronisch realisiert) eine Nachbildung der Wellenimpedanz der Zweidrahtleitung, welche n-herungsweise mit R's und C's realisiert wird.

Die nichtlineare Phasenkonstante bedeutet, dass die Leitung dispersiv ist. Berechnet man die Grup-

penlaufzeit pro Lngeneinheit ' g, so erhlt man

' g =

gl =

1

2

R'C'

2 (5.10)


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Hhere Frequenzen besitzen also eine krzere Laufzeit. Die Leitung verursacht eindeutig lineare Ver-zerrungen.

Ein Zahlenbeispiel mge diese Verhltnisse veranschaulichen. Eine Zweidrahtleitung habe die Daten:

R' = 0.1 /m, L' = 260 nH/m und C' = 42 pF/m. Bei 4 kHz ist damit L' = 6.5 m/m und damiteindeutig kleiner als R'. Der Betrag der Wellenimpedanz bei f = 1kHz betrgt Zw= 615 und nimmt

proportional zu ab.Es erstaunt vielleicht, wenn man die Begriffe starke Dmpfung und schwache Dmpfung mit dem

Verlauf von in Fig.5.3a) vergleicht. Sie werden erst verstndlich, wenn man die Dmpfung einerLeitung fr eine ganze Wellenlnge berechnet, wie dies in Fig. 5.3b) gemacht wurde. Dann sind dieVerluste der NF-Leitung sehr hoch, whrend sich die HF-Leitung praktisch der verlustlosen Leitungnhert.

b) Die schwach gedmpfte Leitung

Im Frequenzbereich der schwach gedmpften Leitung berwiegt L' gegenber R'. Die Grenze zwi-schen den beiden Bereich ist bei fg= R'/4L'. ber dieser Grenzfrequenz geht Zwallmhlich in denkonstanten Wert der verlustlosen Leitung ber. Eine genauere Analyse ergibt:

Zw = Z w exp(jz ) (5.11)

mit Zw L'

C'und z

R'

2L'(5.12)

Die Dmpfungs- und Phasenkonstante nhern sich den Werten

R'

2Zw(5.13)

und L'C' (5.14)

Die schwach gedmpfte Leitung nhert sich damit dem verzerrungsfreien bertragungssystem. Die

Phase verluft proportional zu und die Dmpfung bleibt konstant. Leider gilt letzteres nur bis zurFrequenz fgs. Ab dieser Grenzfrequenz nimmt die Dmpfung infolge des Skineffektes, der denStrom auf einen immer kleineren Querschnitt auf den Leitern zurckdrngt, wieder zu. Die Dmp-

fungszunahme erfolgt mit . Da die Wellenlnge aber umgekehrt proportional zu abnimmt, wirdtrotzdem mit 1/ immer kleiner. Wir erreichen schliesslich die

c) HF-Leitung

Bei dieser nhern sich die Verluste eines Leitungsstcks der Lnge dem Wert null. Solche Leitun-gen verhalten sich deshalb fr kleine Lngen praktisch wie verlustlose Leitungen. Es gilt mit sehr

guter Genauigkeit: 0 (5.15)

= L'C' (5.16)

Zw = L'

C'(5.17)

Neben den vernachlssigbaren Verlusten, die einen konstanten Amplitudengang garantieren, ist die

Phasenkonstante, wie erwnscht, proportional zu . Damit sind bei dieser Leitung die Anforderun-gen an eine verzerrungsfreie bertragung gewhrleistet. Zustzlich ist der Wellenwiderstand reinreell und konstant. In der Praxis machen sich die endlichen Leitungsverluste aber doch bemerkbar,

vor allem dann, wenn ein grosses Frequenzband, das mehrere Oktaven oder sogar Dekaden ber-streicht, ber grssere Distanzen bertragen werden muss. Diese trifft z.B. fr Fernsehsignale, Fre-


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quenzmultiplexsignale oder digitale Signale zu, wenn die Leitungslnge grsser als einige 10 Meterist. Dann ergibt sich infolge des Skineffektes eine Zunahme der Leitungsdmpfung l ~ , alsoein zu hheren Frequenzen abfallender Amplitudengang. Dieser muss mit einem geeigneten Entzerrerkorrigiert werden.

5.1.2 Funkkanle und AntennenDie Ausbreitung einer Welle im freien Raumunterscheidet sich ganz wesentlich von derjeni-gen auf einer Leitung. Wir betrachten, um den Unterschied erkennen zu knnen, eine Antenne, dieeine Welle nur in einen begrenzten Raumwinkel abstrahlt (Fig. 5.4). Der Raum, in dem sich dieWelle ausbreitet, absorbiere nicht, was fr Vakuum (Weltraum) immer und die Atmosphre teilweisezutrifft. Vereinfacht nehmen wir einmal an, ausserhalb des Raumwinkels werde nicht abgestrahlt.In diesem Raumwinkel sieht die Welle aus wie ein Ausschnitt aus einer sich in alle Richtungen kugel-frmig ausbreitenden Welle.

Fig. 5.4 Abstrahlung eines Senders in der Raumwinkel

Mit zunehmendem Abstand r nimmt die Leistungsdichte der Welle ab, weil sich dieselbe Leistung aufeine immer grssere Flche verteilt. Diese Flche nimmt mit r2zu, wenn r den Abstand von der An-tenne darstellt. Die Leistungsdichte Se(Leistung pro Flcheneinheit) nimmt daher mit r2ab. Sie istnatrlich noch direkt proportional zur Sendeleistung Ps.

Se ~Psr2

(5.18)

Eine Empfangsantenne einer bestimmten Grsse empfngt eine Leistung Pe, welche direkt propor-tional zur Leistungsdichte an ihrem Ort ist. Daraus folgt, dass auch das Verhltnis vonEmpfangsleistung Pezu Sendeleistung Pseiner Funkverbindung proportional zu 1/r2ist. Drckt mandie Dmpfung in Dezibel aus, zeigt obige Beziehung, dass die Dmpfung mit 20log r ansteigt. Sobedeutet jede Verdoppelung der bertragungsdistanz eine Dmpfungszunahme um 6 dB,unabhngig davon, ob diese Verdoppelung von 100 auf 200 m oder von 10 auf 20 Mrd. km erfolgt.Nur dieser Zusammenhang macht Funkverbindungen zu Raumsonden bis zu den entferntestenPlanten unseres Sonnensystems berhaupt mglich.

Ganz anders verhlt es sich bei der Abschwchung einer Welle auf einer Leitung, die immer aufVerluste zurckzufhren ist. Dort nimmt die Leistung pro Lngeneinheit um dasselbe Verhltnis ab,z.B. 20 dB/km, unabhngig davon, ob es sich um den ersten oder den letzten Kilometer einer Lei-tung handelt.

Sender

Ausbreitungsrichtung

r

0


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Die Berechnung der Dmpfung einer Funkverbindung ist relativ einfach. Man bentigt dazu aller-dings einige Begriffe aus der Antennentheorie, welche kurz erklrt sein sollen. Antennen sind dieBindeglieder zwischen den auf Leitungen gebundenen Wellen und jenen im freien Raum. Die einerAntenne zugefhrte Leistung wird von dieser immer nur in einen begrenzten Raumwinkel abge-strahlt. Denn man kann zeigen, dass es den perfekten Kugelstrahler fr elektromagnetische Wellennicht gibt. Man beschreibt die Abstrahlcharakteristik einer Antennen mit dem sog. Strahlungsdia-gramm(Fig. 5.5).

Fig. 5.5 Strahlungsdiagramm einer Richtantenne

Dieses zeigt die relative abgestrahlte Leistungsdichteim sog. Fernfeldder Antenne bezogenauf die Leistungsdichte in der Hauptstrahlrichtung (meist in dB angegeben). Man spricht vom Fern-feld, wenn die Wellenausbreitung jene einer rein fortschreitenden Kugelwelle im Raum angenommenhat, was in unmittelbarer Nhe der Antenne nicht der Fall ist. Wo das Fernfeld beginnt, hngt vonder Wellenlnge und der Bndelung der Antenne ab. Je strker die Antenne den Strahl bndelt, umsoweiter entfernt von der Antenne beginnt das Fernfeld, ausgedrckt in Anzahl Wellenlngen.

Genau genommen msste man das Antennendiagramm im dreidimensionalen Raum zeichnen. In derRegel begngt man sich, dieses in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen anzugeben. Dieseenthalten immer die Hauptabstrahlrichtung. Man stelle sich dazu die Antenne horizontal ausgerichtetvor. Dann kann man ein Diagramm, wie es Fig. 5.5 zeigt, fr die Abhngigkeit vom Azimuth ange-ben, ein zweites gilt dann fr die Abhngigkeit von der Elevation. Die beiden Diagramme sind in der

Regel nicht identisch. Als ffnungswinkel oder Strahlbreite bezeichnet man jenen Winkel,fr welchen die abgestrahlte Leistung um 3 dB abgefallen ist. Neben der Abstrahlung in die Haupt-strahlrichtung der sog Hauptkeulezeigen praktische Antennen auch weniger stark ausgeprgte Ab-strahlungen in andere Richtungen. Man spricht von den sog. Nebenkeulen oder Nebenzipfelnder Antennencharakteristik.

Fr die Berechnung einer bertragungsstrecke ist die effektiv in die Hauptstrahlrichtung abgestrahlteLeistung wichtig. Man beschreibt die Eigenschaft einer Antenne, die zugefhrte Leistung mehr oderweniger gebndelt in eine Richtung abstrahlen zu knnen, mit dem Antennengewinn G oder G max.Als Referenz zur Angabe des Antennengewinns verwendet man einen fiktiven Rundstrahler, welcherdie Energie gleichmssig kugelfrmig abstrahlt. Man nennt diesen auch isotropen Strahler. EineAntenne mit G = 10 dB strahlt somit die zehnfache Leistung in ihrer Hauptstrahlrichtung ab wie derfiktive Rundstrahler bei gleicher zugefhrter Leistung. Diese grssere abgestrahlte Leistung in

Hauptstrahlrichtung geht verstndlicherweise auf Kosten einer kleineren abgestrahlten Leistung in

1

0.25

0.5

0.05

Abstrahlrichtung

Hauptkeule

ffnungswinkel Nebenkeulen

relativer AntennengewinnG/Gmax=

Azimuth oder Elevation


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den Grossteil des brigen Raumwinkels. Es verwundert deshalb nicht, dass zwischen Strahlbreite

(in rad) und Antennengewinn ein direkter Zusammenhang besteht:

2 Gmax = 4 (5.19)

Der Gewinn praktischer Antennen schwankt in grossen Bereichen. Einfache Rundstrahlantennen wie

Monopole (/4 Stabantennen auf unendlich grosser leitender Ebene) und Dipole haben Antennenge-winne von 4.5 und 1.5 dB. Ersterer hat einen um 3 dB grsseren Gewinn, da er seine Leistung theo-retisch nur in den Raum einer Halbkugel statt einer ganzen Kugel abstrahlt. Monopol wie Dipol ha-ben in einer Ebene senkrecht zu ihrer Stabachse ein kreisfrmiges Strahlungsdiagramm, zeigen alsowie erwartet keine Richtwirkung. In Richtung der Stabachse stahlen sie dafr berhaupt nicht ab.Deshalb sind alle Antennen an mobilen Funkgerten, welche nherungsweise Monopolantennensind, vertikal montiert, damit sie rundum empfangen oder senden knnen.

Sobald eine Antenne einen grsseren Gewinn aufweisen soll, muss sie auch geometrisch grssereAbmessungen haben. Man kann sich nmlich eine Empfangsantenne auch folgendermassen vorstel-len. Das von der Sendeantenne abgestrahlte Feld ist am Empfangsort ein homogenes, ebenes elek-tromagnetisches Feld mit einer Leistungsdichte Se. Die Empfangsantenne fngt nun mit ihrer Anten-nenflche die Leistung Pe= SeAeauf. Dabei ist A edie effektive Antennenflche, welche fr Anten-

nen mit grosser Richtwirkung etwa 2/3 der mechanisch sichtbaren Antennenflche entspricht. DiesesKonzept der effektiven Antennenflche ist fr Parabolspiegel, wie sie heute an vielen Hauswndenfr den Satellitenempfang zu finden sind, leicht einzusehen. Etwas schwieriger ist es, bei einem Di-pol von einer effektiven Antennenflche zu sprechen. Aber es ist auch dort mglich, diese zuberechnen. Es ist bestimmt einleuchtend, dass eine grssere Antennenflche bei gleicher Wellenlngeeinem grsseren Antennengewinn entsprechen muss. Der Zusammenhang von Ae und Gmax isteinfach (ohne Beweis):

Ae = G max 2/4 =

2

(5.20)

Der Zusammenhang von Aemit folgt dabei aus Gl.(5.19). Als Beispiel sei der Antennengewinneines blichen Parabolspiegels fr den Satellitenheimempfang berechnet. Die blichen Durchmesser

der Parabolreflektoren (diese zhlen hier fr die Antennenflche, da er die Leistungsdichte am Emp-fangsort sammelt und im Fokus, wo der Empfnger sitzt, bndelt) betrgt 60 cm. Damit erhalten wir

fr die Frequenz f = 12 GHz bzw. = 2.5 cm, mit Ae= 0.660.32m2= 0.19 m2(Ae= 2/3 dergeometrischen Flche) den Gewinn Gmax= 35.7 dB und die Strahlbreite = 0.057 rad = 3.3.

Schliesslich sei noch erwhnt, dass es keinen Unterschied macht, ob eine Antenne als Sende- oderEmpfangsantenne betrieben wird. Sie hat in beide Richtungen denselben Gewinn. Funkverbindun-gen mit zwei vllig unterschiedlichen Antennen auf beiden Seiten sind bertragungssymmetrisch,weisen also in beide Richtungen dieselbe Dmpfung auf.

Mit diesen Kenntnissen knnen wir uns noch an die Berechnung der Dmpfung von Funkverbin-dungen machen. Das einzige was uns noch fehlt, ist die Dmpfung einer Verbindung zwischen zweiisotropen Strahlern im Abstand D, die sog. Freiraumdmpfung Af. Diese betrgt (ohne Beweis)

PsPe

= 4r

2(5.21a)

und A f = 10 log(PsPe

) = 20log 4D2

2

(5.21b)

Dank des Antennengewinns Gsder Sendeantenne ist die abgestrahlte Leistung um den Betrag Gsgrsser als die des isotropen Strahlers, welcher der Gl.(5.21) zugrunde liegt. Empfangsseitig ge-schieht wiederum dasselbe, indem die Empfangsseite aus dem Feld die Ge-fache Leistung herausholtim Vergleich zur isotropen Empfangsantenne. Dabei ist Geder Gewinn der Empfangsantenne. Damiterhlt man fr das neue Verhltnis von P

s/P

ebzw. die Streckendmpfung A:


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PsPe

= 1

Gs Ge4

D

2(5.22)

oder in dB A = 10 log(Gs) 10 log(Ge ) + 20 log(D

) + 22 dB (5.23)

Als Beispiel fr eine Streckendmpfung nehmen wir wieder die Satellitenverbindung. Mit D =36`000 km, G s 30 dB und Gewie oben erhalten wir a = 139 dB. Wir werden dann nach der Be-handlung des Kapitels ber das Rauschen sehen, wie es trotz dieser riesigen Dmpfung mglich ist,eine brauchbare Verbindung fr den Empfang von Fernsehbildern zu realisieren. Als zweites Beispielbetrachten wir eine Natel-D-Verbindung. Die Sendeleistung des Mobilgerts betrgt ca. 1 W. DerGewinn der Sendeantenne ist realistisch kaum grsser als 0 dB, da diese infolge der unvollstndigenleitenden Halbebene eher wie eine Dipolantenne abstrahlt. Die Empfangsantenne der Basisstation istnormalerweise eine Rundstrahlantenne, deren vertikales Strahlungsdiagramm recht stark gebndeltist. Wir rechnen mit Ge= 8 dB. Die Zellen beim Natel D haben einen Durchmesser von rund 10 km.

Am Rand dieser Zelle ist die Streckendmpfung bei= 33 cm (f = 900 MHz) somit a = 104 dB oderdie Empfangsleistung betrgt noch Pe= -76 dBm. Abschattungen durch das Gelnde oder Gebudeerhhen diesen Wert sofort um 10 bis 30 dB. Gerade bei einer Natelverbindung treten zur Dmpfung

noch weitere Effekte auf, welche eine problemlose bertragung vereiteln knnen.Als nchstes wenden wir uns wiederum den bertragungseigenschaften des Funkkanals zu.Die Ausbreitung im freien Raum selber erfolgt verzerrungsfrei. Sofern die Abstrahlung und der Emp-fang mittels der Antennen im bentzten Band mit konstanter Amplitude und linearer Phase gelingt,erfolgt die ganze bertragung verzerrungsfrei. Dabei hilft in der Praxis der Umstand, dass Funkver-bindungen normalerweise nur ein schmales Frequenzband berstreichen.

In der Praxis macht das Phnomen der MehrwegausbreitungFunkverbindungen sehr zu schaf-fen. Um was geht es dabei? Erreichen mehrere Signalanteile vom gleichen Sender auf verschiedenenWegen die Empfangsantenne, so fhrt dies dort zu Interferenzen. Solche unterschiedlichen Wegeknnen auf Beugungen in der Atmosphre infolge der Dichteschwankungen oder Reflexionen anBergen oder Husern etc. zurckgefhrt werden. Es sei

S1= Signalanteil, der auf direktem Weg zur Empfangsantenne gelangtS2= Signalanteil, der auf einem Umweg zur Empfangsantenne gelangt

Der Umweg entspreche einem Laufzeitunterschied von t0, die Amplitude des Anteils S2sei um kleiner als S1. Dann gilt fr das Empfangssignal Se

Se = S1 + S1ej t0 = S1(1 + e

jt 0 ) (5.24)

Der Ausdruck in der Klammer hat keine konstante Amplitude und keine lineare Phase mehr (Fig.5.6). Beide werden periodisch mit einem Frequenzabstand f =1/t0.

Fr = 1 kommt es fr gewisse Frequenzen zu totalen Zusammenbrchen des Empfangs, d.h. zu-stzlichen Dmpfungen von 50 dB oder mehr. Dieses Phnomen ist vor allem im Kurzwellenfunkbekannt. Es tritt aber in fast allen Frequenzbndern auf. Ist das bentzte Frequenzband klein gegen-ber dem Abstand zweier Minima f, so beeintrchtigt der Mehrwegschwund primr die Amplitude.Ist hingegen die bentzte Bandbreite nicht mehr klein gegenber f, so machen sich auch die Pha-senverzerrungen bemerkbar, vor allem bei digitalen bertragungen. Abhilfe schaffen in diesen Fllenzwei Empfnger, die in einem definierten Abstand, normalerweise mehrere Wellenlngen, aufgestelltwerden. Die Signale der beiden Antennen weisen dann meist nicht gleichzeitig ein Minimum auf.Kombiniert man ihre Signale auf geeignete Art, so lassen sich die Ausflle infolge Mehrwegschwunddrastisch reduzieren. Das Verfahren heisst Raummehrfach- oder Raum-Diversity-Empfang.

Bei der einfachsten Art der Auswertung werden beide Signale getrennt empfangen. Anschliessendwird ein Vergleich angestellt und das bessere ausgewhlt. Als Alternative kann man die beiden Emp-fangssignale vor der Demodulation phasenrichtig addieren. Damit werden Amplituden- und Phasen-

verzerrungen im kombinierten Signal stark reduziert und damit auch die Beeintrchtigung des infor-mationstragenden Modulationssignals.


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-40

-20

0

20

-100

-50

0

50

100

Amplitudengang

Phasengang (Abweichung gegenber einem linearen Phasengang)

dB

f

Fig. 5.6 Amplituden- und Phasengang einer Funkverbindung bei Mehrwegschwund(= 0.8)

5.1.3 Glasfasern

Seit etwa 10 Jahren werden neue Installationen bei kabelgebundenen bertragungen ber grssereDistanzen fast ausschliesslich mit Glasfasern realisiert. Glasfasern gehren in die Klasse der Leitun-gen, sie haben also ein Dmpfungsverhalten wie Leitungen mit metallischen Leitern. Der grosse Un-terschied von Glasfasern gegenber Zweidraht- oder Koaxialleitungen liegt in ihren wesentlich nied-rigeren Dmpfungswerten. Whrend eine Koaxialleitung mit einem Aussendurchmesser von 7 mmbei 100 MHz auf Dmpfungen von 60 dB/km kommt, hat eine gute Glasfaser bei der optischen Wel-lenlnge von 1300 nm (infrarot) nur eine solche von ca. 0.3 dB/km. Dank dieser niedrigen Dmp-fungswerte sind Verbindungen ohne Zwischenverstrker ber 50 bis mehr als 100 km bei Bitratenbis in den Gbit/s-Bereich mglich.

Glasfasern bestehen aus einem zylindrischen Faden aus Quarzglas von ca. 125 m Durchmesser(Fig. 5.7). Der Kern der Glasfaser erhlt durch Dotieren mit einem geeigneten chemischen Elementeinen um ca 1 % hheren Brechungsindex. In Fig. 5.7a mit dem sog. Stufenindexprofil weist derganze Kern einen hheren Brechungsindex auf. Dadurch werden Strahlen, welche nur wenig in ihrerAusbreitungsrichtung von der Faserachse abweichen, am bergang zum Mantel mit der kleineren

Brechzahl total reflektiert.


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Fig. 5.7 Glasfasern, a)Stufenindexfaser und Gradientenindexfaser. Rechts ist jeweils dasProfil des Brechungsindex' angegeben.

Die verwendeten Wellenlngen liegen bei 850 nm, 1300 nm und 1550 nm. Sie liegen damit alle imInfrarotbereich. Diese Wahl ist auf die kleinen Dmpfungen zurckzufhren, welche man bei diesenWellenlngen, besonders bei den beiden grsseren, erreichen kann. Die Dmpfungen im sichtbarenWellenlngenbereich liegen wesentlich hher als im Infrarotbereich, wie Fig. 5.8 zeigt. Die heuteerreichbaren geringen Dmpfungen wurden erst mglich als es gelang, im Quarzglas normalerweisevorhandene Verunreinigungen zu entfernen, speziell Metall- und OH-Ionen. Die noch vorhandeneDmpfung entspricht beinahe dem theoretisch mglichen minimalen Wert. Die ersten Systeme arbei-teten bei 850 nm. Dies hing mit den Lichtquellen und den Empfngern zusammen, die anfnglich frdie beiden grsseren Wellenlngen nicht zur Verfgung standen.

Fig. 5.8 Dmpfungsverlauf von Glasfasern in den drei Wellenlngen-Fenstern

Die ersten kommerziell erhltlichen Glasfasern hatten einen Kerndurchmesser von 50 oder 62 m.Man nennt sie Multimode-Fasern. Es waren Stufenprofilfasern, da der ganze Kern die hhereBrechzahl aufweist (Fig. 5.7a). Der Kerndurchmesser war damit wesentlich grsser als die ver-wendete Wellenlnge. Die Ausbreitung des Lichts kann man nherungsweise strahlenoptisch be-trachten. Eine Vielzahl von Strahlen mit unterschiedlichen Winkeln gegenber der Faserachse sindausbreitungsfhig. Zu stark geneigte Strahlen werden am bergang zum Mantel nicht mehr reflektiertund treten damit aus dem Kern aus und gehen verloren.

Bei genauerer Betrachtung zeigt es sich, dass nicht beliebige Strahlen ausbreitungsfhig sind,sondern nur Strahlen unter bestimmten Winkeln, sog. Modi. Ihre Zahl ist endlich (einige Hundert).Diese unterschiedlichen Modi weisen, je nach Winkel gegenber der Faserachse, unterschiedlicheAusbreitungswege und damit unterschiedliche Laufzeiten auf. Dies fhrt am Empfangsort zuInterferenzen und insbesondere zu Laufzeitverzerrungen (Dispersion), da die Wellen der einzelnenModi nicht gleichzeitig eintreffen. In einem ersten Schritt zur Reduktion der Laufzeitverzerrungenwurden sog. Gradientenindexfasern(siehe Fig. 5.7b) entwickelt, bei welchen die Brechzahlvom Zentrum in Richtung Mantel graduell abnimmt. Damit laufen diejenigen Strahlen, welche schrg

zur Faserachse starten, in Bereiche mit kleinerer Brechzahl und damit grsserer Ausbreitungsge-schwindigkeit. Als Folge davon werden sie kontinuierlich in Richtung Fasermitte zurckgebogen.


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Auf diese Weise entstehen die wellenfrmigen Bahnen um die Achse herum. Bei geeigneter Wahl desBrechungsindexprofils, nherungsweise ist es parabolisch, haben alle Strahlen die gleiche Laufzeitwie der Strahl entlang der Faserachse, womit die Laufzeitunterschiede drastisch reduziert werden.Alle praktisch verwendeten Multimode-Fasern sind heute Gradientenindexfasern.

In einem nchsten Schritt wurden dann sog. Singlemode- oder Monomode-Fasernentwickelt.Ihr Kerndurchmesser betrgt fr die Wellenlnge von 1300 nm noch 9

m (Stufenprofil). In diesen

Fasern breitet sich nur noch ein Modus aus. Die Probleme der Laufzeitunterschiede verschiedenerModi sind damit beseitigt. Es bleibt allerdings noch ein Rest an Laufzeitverzerrungen, der primr aufdas Material zurckzufhren ist. Die Brechzahl der Faser selber ist nmlich noch wellenlngenabhn-gig, was sich bei sehr grossen Distanzen und sehr grossen Bandbreiten des zu bertragenden Signalsauswirken kann. Trotzdem sind mit Singlemode-Fasern Distanzen von ber 50 km bei Bitraten von2.5 bis 10 Gbit/s mglich. Der kleinere Kern der Singlemode-Fasern hat den Nachteil, dass die Ein-kopplung des Lichts in die Faser beim Sendeelement (Halbleiterlaser oder Leuchtdiode) und die Ver-bindungstechnik von Faser zu Faser mit Steckern oder mit geschweissten ev. auch geklebten Verbin-dungen (sog. Splice) schwieriger und damit teurer sind. Trotz dieser Nachteile berwiegen dieVorteile der Singlemode-Faser bei weitem, und sie wird heute bei der Swisscom und anderenNetzbetreibern fast ausschliesslich eingesetzt.

5.2 Rauschen

5.2.1 Einfhrung

Bei der bertragung einer Nachricht kann bei gegebener Sendeleistung die bertragungsdistanznicht beliebig vergrssert werden, indem das schwache Empfangssignal immer wieder verstrktwird. Dem informationstragenden Signal werden im bertragungspfad immer wieder Strsignalehinzugefgt. Dazu gehren Rauschen, aber auch durch andere technische Einrichtungen erzeugteStrsignale (sog. man-made-noise), die nicht mehr entfernt werden knnen Bei der bertragunganaloger Signale ist das Qualittsmass der

Strabstand S/N(normalerweise in dB)mit S = Signalleistung in W oder dBm

und N = Rausch- oder Strleistung in W oder dBm

Auch bei der bertragung digitaler Signale ist vor der Detektion der digitalen Information das Emp-fangssignal analog und das S/N ist das richtige Mass fr die Beschreibung des Einflusses von St-rungen auf den Empfang. Nach der Detektion ist dann die Fehlerwahrscheinlichkeit Pe, d.h. dieWahrscheinlichkeit, dass ein empfangenes Bit falsch ist, das richtige Mass, um die Qualitt einerbertragung zu beurteilen.

Ist der Strer nur Rauschen, so spricht man beim S/N vom Signal-zu-Rauschverhltnis. Rausch-signale sind typische stochastische Signale. Die Beeintrchtigung einer Nachrichtenbertragung

durch Rauschen kann gut beschrieben werden. Schwieriger wird die Sache bei Bschelstrungen(bursts), bersprechen und weniger gut erfassbaren Einflssen. Wir beschrnken uns hier auf Rau-schen als Strfaktor.

Bevor wir auf die Beschreibung von Rauschsignalen nher eingehen knnen, mssen wir eine Er-gnzung zum Kapitel Signalbeschreibung einfgen, nmlich die Theorie der stochastischen Signale,die wir im Kapitel 2 weggelassen haben.

5.2.2 Die Beschreibung zuflliger Signale, insb. Rauschen

Fr zufllige Vorgnge mssen teilweise ganz andere Verfahren zur Beschreibung herangezogenwerden als fr periodische und aperiodische. Bei zuflligen Vorgngen kann ein allgemein gltiger

Signalverlauf nicht mehr angegeben werden. Man kann hchstens von einem zuflligen Signal einMuster nehmen, das dieses whrend einiger Zeit beschreibt. Wie immer bei zuflligen Vorgngen


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kann man bei zuflligen Signalen nur noch etwas ber die Wahrscheinlichkeiteines bestimmtenEreignisses aussagen.

Nehmen wir an, wir haben einen Generator, der zufllig in Sekundenintervallen eine der 5 Spannun-gen -2, -1, 0, 1 oder 2 V abgibt. Wir mchten nun etwas aussagen ber diesen Generator. Wir beob-achten die Ausgangsspannung ber einen gewissen Zeitraum und zhlen die Sekundenintervalle fr

jede Spannung. Daraus knnen wir die Hufigkeit berechnen, mit der die einzelnen Spannungswerte

anzutreffen waren. Wenn wir lange genug beobachten und die Eigenschaften des Generators wh-rend der Beobachtungszeit nicht ndern, dann werden wir daraus ein sehr genaues Bild dieses Gene-rators bekommen. Wenn also whrend 35 % der Zeit die Spannung -1 V abgegeben wird, dann kn-nen wir auch sagen, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ausgangsspannung in irgend einem Zeitpunkt -1 V ist, betrgt 35 %. Einen solchen Zusammenhang kann man mit einem Balkendiagramm oder Hi-stogramm darstellen ( siehe Fig. 5.9).

Hat man ein kontinuierlich nderndes, zuflliges Signal n(t)1vor sich, so wird die Sacheetwas schwieriger. Wir knnen nicht mehr Wahrscheinlichkeiten diskreter Amplitudenwerte ange-ben. Statt dessen unterteilen wir den gesamten Amplitudenbereich des Signals n(t) in kleine Ab-schnitte der Breite n. Jetzt bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, dass der Signalwert im Intervallzwischen n und n+n liegt, P(n,n). Je kleiner nun der Stufenschritte n gewhlt wird, umso gerin-ger wird diese Wahrscheinlichkeit. Geht man mit dem Stufenschritt zur infinitesimalen Breite dn

ber, so geht P(n, n) asymptotisch gegen null. Man kommt trotzdem zu brauchbaren Resultaten,wenn man neu die sog. Verteilungsdichte p(n)definiert,

-3 -2 -1 0 1 2 3 V0

0.05

0.10.15

0.2

0.25

0.3

0.35

P(u)

u

Fig. 5.9 Balkendiagramm der Wahrscheinlichkeiten P(u) der Ausgangsspannung u eines Ge-nerators, der nur die diskreten Spannungen -2, -1, 0, 1 und 2 V liefert.

p(n) = limn0

P(n, n)

n

(5.25)

welche wieder eine von null verschiedene Grsse wird. Dieses Vorgehen ist brigens ganz analog zujenem beim bergang von den diskreten Spektrallinien zum Amplitudendichtespektrum.

Fig. 5.10a zeigt ein Signal, das im Amplitudenbereich von -1 und +1 zufllig variiert, wobei diekleineren Amplitudenwerte hufiger auftreten als die grossen. Die zugehrige Verteilungsdichte ist inFig. 5.10b dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Signalwert im Intervall n liegt, findet man,wenn man Gl. (5.25) nach P(n,n) auflst, nmlich

P(n, n) = p(n) n (5.26)

1Wir bezeichnen hier zufllige Signale mit n(t) statt s(t) in Anlehnung an das englische Wort Noise fr Rauschen.


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-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

t

n n

p(n)

nn+n

P(n,n)

a) b)

Fig. 5.10 Verteilungsdichte bei zuflligen Signalen, a) Zeitfunktion n(t) und b) zugehrigeVerteilungsdichte p(n)

Noch allgemeiner ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Amplitude des zuflligen Signals im Bereichvon n1bis n2liegt:

P(n1 n n2) = p(n)dnn1

n2

(5.27)

Sie entspricht also der Flche unter der Verteilungsdichte zwischen den Ordinatenwerten n1und n2.2

Bilden wir das Integral ber den gesamten Wertebereich unseres zuflligen Signals, so muss dieWahrscheinlichkeit P = 1 sein, denn irgendwo in unserm Wertebereich liegt unser Signal. Die Folgedavon ist, dass die Flche unter der ganzen Kurve von p(n) 1 sein muss. Eine berschlagsmssigeAbschtzung von p(n) in Fig. 5.10 besttigt diesen Zusammenhang.

Ein Spezialfall von Gl.(5.27) ergibt sich fr n1= nminbzw. -und n2= n. Man erhlt dann:

P(n' n) = F(n) = p(n' ) dn'

n

(5.28)

die sog. Summenverteilung oder die kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung.F(n) ist eine monoton ansteigende Funktion. Kennt man F(n), so erhlt man als Umkehrung vonGl.(5.28)

2 Man beachte, dass in Fig. 5.10b die Abszisse mit der abhngigen Variablen p(n) und die Ordinate mit der unabhngigenVaribalen n bezeichnet wurde. Damit kann die Verteilungsdichte besser mit der in der linken Bildhlfte dargestelltenZeitfunktion n(t) verglichen werde, in welcher n(t) die abhngige Variable darstellt. Dies hat zur Folge, dass fr diegrafische Interpretation des Integral von Gl. (5.27) als Flche unter einer Kurve die Begrenzungsgeraden horizontal undnicht wie blich vertikal gezogen werden mssen.


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p(n) = dF(n)

dn(5.29)

Auch fr zufllige Signale kann man die frher angetroffenen Grssen Mittelwert und Effektivwertoder quadratischer Mittelwert angeben. Wir betrachten zuerst den Fall unserer diskreten Spannungs-quelle. Angenommen, jede einzelne Spannung uiaus der Gesamtzahl mglicher Wert M (in unserm

Beispiel von Fig. 5.9) haben wir in mi Sekundenintervallen beobachtet. Die Gesamtzahl dergemessenen Spannungen, d.h. der beobachteten Sekundenintervalle, sei N. Dann gilt nachbekannten Regeln fr Mittelwerte

u = u1m1 + u2m2 + u3m3 + u4m4 + ...... + uMmM

N(5.30)

Wegen P(u i ) = m iN

(5.31)

gilt u = ui P(u i)i=1

M (5.32)

Fr den Effektivwert (im Quadrat) findet man in analoger Weise

U2 = U eff2 = u 2 = ui

2 P(u i)i=1

n (5.33)

Handelt es sich um ein kontinuierliches Signal n(t) mit der Verteilungsdichte p(n), so mssen obigeAusdrcke modifiziert werden. Wir ersetzen in Gl. (5.32) und (5.33) P(ui) durch Gl. (5.26) undmachen den Grenzbergang n 0 . Dabei wird aus der Summe ein Integral.

n = limn0

n P(n, n)nmin

nmax = n

+ p(n) dn (5.34)

In gleicher Weise finden wir fr den Effektivwert (im Quadrat)

n2 = n2

+ p(n) dn (5.35)

Bedeutsam ist noch, wie stark die Werte von n vom Mittelwert abweichen. Man definiert die Va-rianz 2

2 = (n n

+ )2 p(n) dn = n2 (n )2 (5.36)

Die Grsse selber nennt man auch Streuung oderStandardabweichung.Die Verteilungsdichte p(n) und die daraus ableitbaren Grssen sind die wichtigsten Angaben, dieman zu einem zuflligen Signal machen kann. In sehr vielen nachrichtentechnischen und anderenAnwendungen spielt die sog. Gauss'sche oder Normalverteilung eine grosse Rolle. Sie wird be-schrieben durch

p(n) = 1

2e

n2

22 (5.37)

Fig. 5.11 zeigt die zugehrige glockenfrmige Kurve fr die Streuung = 1und den Mittelwert null.Die Streuung gibt die Breite der Glockenkurve an. Sie entspricht im Fall eines zuflligen Signals mit

dem Mittelwert null gerade seinem Effektivwert. Typische zufllige Signale, welche eine Normal-


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verteilung oder wenigstens nherungsweise eine solche aufweisen, sind Rauschen aber auch Sprach-signale.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.30.35

0.4

p(n)

n

0.606 p(0) 2

Fig. 5.11 Gauss'sche oder Normalverteilung mit der Streuung = 1

Die bisher gemachten Aussagen ber zufllige Signale gelten auch fr andere Zufallsprozesse, beiwelchen die zuflligen Ereignisse nicht zeitlich hintereinander folgen, sondern gleichzeitig auftreten(z.B. Werfen vieler Wrfel). Da unsere hier betrachteten Zufallsgrssen aber Zeitsignale sind, lassensich die Mittelwerte auch direkt aus den Zeitsignalen ohne Umweg ber die Verteilungsdichte be-rechnen. Es gilt:

n = limT

1

2Tn(t)

T

+ T dt (5.38)

Neff2 = n 2 = lim

T

1

2Tn2(t )

T

+T dt (5.39)

2 = limT

1

2T(n(t)

T

+T n )2 dt = n2 (n)2 (5.40)

ber den zeitlichen Verlauf zuflliger Signale lassen sich, wie bereits erwhnt, keine genauen Aus-sagen machen. Ausser der Verteilungsdichte kann man trotzdem noch weitere Angaben machen.Nimmt man ein zuflliges, kontinuierliches Signal wie jenes von Fig. 5.10a, so erkennt man, dasskaum ein Zusammenhang besteht zwischen den Signalwerten zweier beliebiger Zeitpunkte, ausser sie

seien sehr nahe beieinander. Da das betrachtete Signal immer noch kontinuierlich ist, vollfhrt eskeine Sprnge. Wenn wir zwei nahe genug nebeneinander liegende Punkte auf der Kurve betrachten,so liegen diese nicht beliebig weit auseinander. Je nher wir die beiden Punkte whlen, umso hnli-cher mssen sich die Signalwerte sein. Diese anschauliche Aussage kann man mathematisch exakter

mit der sog. Autokorrelationsfunktion R( ) beschreiben. Sie liefert eine Aussage ber die hn-

lichkeit des Signals mit einer um die Zeit - verschobenen Kopie seiner selbst. Fr Signale mitendlicher Energie (Energy Signals) gilt

R() = s(t) s(t + ) dt

+ (5.41)

Fr Signale mit unendlicher Signalenergie (Power Signals) muss man Gl. (5.41) etwas anders

schreiben:


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R() = limT

1

2Ts(t) s(t + ) dt

T

+T (5.42)

Fr = 0 geht fr die Version von Gl. (5.41) R() in die Energie W des Signals ber. Bei der Ver-

sion von Gl. (5.42) wird R(0) = s2(t) , entspricht also dem Quadrat des Effektivwerts. Besteht garkeine hnlichkeit zwischen dem Original und der verschobenen Kopie mehr, so wird R() = 0. Jerascher mit zunehmendem die hnlichkeit abnimmt, umso schneller konvergiert R() gegen null.Fig. 5.12 zeigt zwei Beispiele fr Signale, deren Autokorrelationsfunktionen ungleich schnell ab-klingen. Zuerst fllt noch auf, dass die Autokorrelationsfunktion gerade ist, was leicht einsehbar ist.

Die obere Funktion in Fig. 5.12 ndert rascher und hat deshalb ein R(), das schon fr Werte ab ca. 0.05 s hchstens noch 1/5 von R(0) erreicht. Die untere Signalform hingegen ndert langsamerund ihre Autokorrelationsfunktion klingt deshalb langsamer ab. Zustzlich erkennt man, dass dasSignal eine gewisse Periodizitt aufweist, die sich dann auch in einer Periodizitt der Autokorrelati-onsfunktion ussert. Fr ein rein sinusfrmiges Signal s(t) = s sin(t + ) lautet die Autokorrela-tionsfunktion nach Gl. (5.42)

R() = s2

2cos() 5.43),

ist also selber periodisch mit derselben Periodendauer wie s(t). An diesem Beispiel erkennt man

schn, dass R(0) = s2(t) ist.

0 0.5 1s-2

0

2

-1 -0.5 0 0.5 1s-100

0

100

200

0 0.5 1s-4

-2

0

2

-1 -0.5 0 0.5 1s-200

0

200

400

t

t

s

s

R()

R()

Fig. 5.12 Autokorrelationsfunktion fr zwei Signalausschnitte

Man spricht im Zusammenhang der Autokorrelationsfunktion auch von "Gedchtnis". Die Funktions(t) "erinnert sich" nur beschrnkt an ihre Vergangenheit, nmlich nur ungefhr whrend einer Zeit,

welche der halben Breite der Keule von R() um den Nullpunkt herum entspricht.

Neben der Autokorrelationsfunktion R(), die auch Rxx() geschrieben wird, gibt es noch dieKreuzkorrelationsfunktion Rxy( ) . Bei dieser werden zwei verschiedene Signale sx(t) und sy(t)miteinander verglichen. Die Kreuzkorrelationsfunktion gibt dann die nhlichkeit zweier Signale in


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funktion ihrer zeitlichen Verschiebung an. Ihre Schreibweise lautet sinngemss zu den Gl. (5.41)und (5.42) fr Energiesignale

Rxy() = sx(t) sy(t + ) dt

+

(5.44)

und fr Leistungssignale

Rxy() = limT

1

2Tsx(t ) sy(t + ) dt

T

+T

(5.45)

Die Kreuzkorrelationsfunktion ist sehr wichtig, wenn es darum geht, aus einem Signal ein bekanntesStck herauszusuchen. Dies ist vor allem bei digitalen Signalen der Fall, wo beispielsweise auf derEmpfangsseite im Empfangsdatenstrom nach einem bekannten Bitmuster (Rahmensynchronwort)gesucht wird.

Schliesslich knnen zufllige Signale als letzte Mglichkeit auch im Frequenzbereich, d.h. mit einemSpektrum charakterisiert werden. Da man den genauen Zeitverlauf stochastischer Signale nicht kennt,

ist es nicht mglich, ein Amplituden- und Phasendichtespektrum wie bei einem aperiodischen, aberdeterminierten Signal anzugeben. Jedoch kann man die in einen Frequenzbereich f fallende LeistungP(f) messen (praktisch geschieht dies mit einem selektiven Empfnger, z.B. einemSpektrumanalysator). Man bezeichnet die auf f bezogene Leistung P(f) als spektraleLeistungsdichteoder als Leistungsdichtespektrum.

Le(f) = limf0

P(f)f

(5.46)

Der Index "e" bedeutet hier, dass es sich bei Le(f) um das einseitige Leistungsspektrum handelt. Beistochastischen Signalen ist das Leistungsdichtespektrum dieKenngrsse im Frequenzbereich. Le(f)ist nahe verwandt mit dem Leistungsspektrum periodischer Signale (siehe Abschnitt 2.2.4) und derEnergiedichte E(f) von Einzelimpulsen (siehe Abschnitt 2.3.2). Im Folgenden benutzen wir be-

vorzugt das zweiseitige Leistungsdichtespektrum L(f).Fig. 5.13 zeigt zwei Beispiele von Leistungsdichtespektren. Das erste ist das Leistungsdichtespek-trum einer beliebigen Folge von "0" und "1" Impulsen der Breite Ti, wie wir sie schon frher be-trachtet haben. Das zweite gehrt zu sog. weissem Rauschen. Dieses zeichnet sich dadurch aus,dass die Leistungsdichte unabhngig von der Frequenz konstant ist. Seinen Namen hat man ihm inAnlehnung an weisses Licht gegeben, welches alle Frequenzen (Farben) des sichtbaren Lichtes ent-hlt.3

Die Einheit von Le(f) ist W/Hz. So gibt beispielsweise ein ohmscher Widerstand bei Umgebungstem-

peratur weisses Rauschen mit einer Leistungsdichte von 410-21W/Hz ab. Dies scheint sehr wenigzu sein. Aber in der Nachrichtentechnik gibt es oft Situationen, wo die Empfangsleistungsdichtenicht viel grsser ist.

Zu einer Rauschleistung gelangt man mit Hilfe der Leistungsdichte erst, wenn man ein Frequenzbandangibt und ber dieses Band die Leistungsdichte aufintegriert. So ist die Rauschleistung PN, welchein Fig. 5.13 im Band von f1bis f2liegt, PN= A(f2- f1). Sie entspricht der schraffierten Flche inder Figur. Dieser Zusammenhang ist sehr wichtig bei allen Empfngern. Dort stellt der Frequenzbe-reich (f2- f1) das Durchlassband des Empfngers dar. Je grsser dieses Band ist, umso mehrRauschleistung gelangt bei gleicher Rauschleistungsdichte in den Empfnger. Man ist deshalb immerbestrebt, die Empfangsbandbreite nur gerade so gross zu whlen, dass das Nutzsignal gerade nochdurchgelassen wird. Dadurch wird das Verhltnis von Nutz- zu Rauschsignal maximal.

3 Man beachte, dass die Leistungsdichte von weissem Rauschen nicht bis f = konstant bleiben kann, da sonst die Energieim Rauschsignal unendlich wre. Bei gengend hohen Frequenzen fllt L(f) ab. Bei Frequenzen, die in derNachrichtentechnik praktisch eine Rolle spielen ist hingegen L(f) konstant.


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0

Le(f)

f

Le(f)

f1 f2

1/Ti 3/Ti2/Tia)

b)

A

Fig. 5.13 Leistungsdichtespektren. a) Einer zuflligen Impulsfolge der Breite T und b) vonweisem Rauschen

In der Praxis gibt es keine Filter, welche unendlich steile Flanken besitzen, wie dies in Fig. 5.13angedeutet ist. Die korrekte Rauschleistung am Ausgang des Filters erhlt man, indem man zuerst dieRauschleistungsdichte nach dem Filter berechnet und diese dann ber die Frequenz aufintegriert. Be-sitzt das Filter die bertragungsfunktion G (f), so ndert sich die spektrale Leistungsdichte desRauschsignals am Eingang Le1(f) zu jener am Ausgang Le2(f) gemss der Beziehung

Le2(f) = G(f)2 Le1(f) (5.47)

Die Integration von Le2(f) ber die Frequenz ergibt dann

PN = Le2 (f) df0

(5.48)

Hufig definiert man fr Filter eine quivalente Rauschbandbreite BN. Dazu denke man sichein Filter der Bandbreite BN mit ideal steilen Flanken und der konstanten bertragungsfunktion

Gmax, wobei Gmaxdem Maximum von G(f) im Durchlassband des Filters entspricht. Bei einemBandpassfilter liege das Durchlassband zudem symmetrisch bezglich der Mittenfrequenz. Die qui-valente Rauschbandbreite ist nun definiert durch

PN = BN G max2 Le1 mit L e1 = konst. (5.49)

Fr weisses Rauschen am Eingang entspricht die quvivalente Rauschbandbreite somit der Band-breite eines perfekten Rechteckfilters, das dieselbe Rauschleistung passieren lsst wie das reale Fil-ter. In der Praxis ist BNnicht allzu weit von der 3-dB-Bandbreite eines Filters entfernt.

Von Wiener und Khintchine stammt der wichtige Zusammenhang des Leistungsdichtespektrums mitder Autokorrelationsfunktion (ohne Beweis):

R() L(f) (5.50)


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Dank dieser Beziehung kann man Aussagen machen ber die Autokorrelationsfunktion eines stocha-stischen Signals vor und nach einem linearen bertragungssystems. So sei L2(f) die Leistungsdichteeines stochastischen Signals nach der bertragung durch ein Filter. Durch Rcktransformation vonL2(f) findet man wieder die Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals. Als Beispiel untersuchenwir den Einfluss, welchen ein Tiefpassfilter auf weisses Rauschen hat. Das weisse Rauschen habeein konstantes Leistungsdichtespektrum der Grsse A. Nach dem Fouriertransformationspaar von

Gl.(2.45) gehrt zu diesem die Autokorrelationsfunktion (siehe Fig. 5.14).R() = A() (5.51)

Diese Autokorrelationsfunktion in der Form eines Diracstosses bedeutet nichts anderes, als dassFunktionswerte, welche um eine infinitesimale Zeitdifferenz verschieden sind, bereits keine hnlich-keit mehr miteinander haben. Nach der Tiefpassfilterung mit der Grenzfrequenz B/2 ist das Lei-stungsdichtespektrum bandbegrenzt. Die Rcktransformation liefert eine Autokorrelationsfunktionder Form

R() = ABsin(B)

B(5.52),

Diese bestens bekannte sin(x)/x-Funktion hat eine Hauptkeule der halben Breite 1/B. Durch das Filter

sind die theoretisch unendlich raschen Signalnderungen geglttet worden und das gefilterte Rau-schen kann nicht schneller ndern, als die Anstiegszeit des Tiefpassfilters dies zulsst. Deshalb sindnun Signalwerte, die zeitlich nher als die halbe Keulenbreite nebeneinanderliegen, d.h. t < 1/B,noch korreliert (siehe Fig. 5.14b).

0

R()

B

1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

f-B/2 B/2

0

A

L(f)

L(f)

f

A

R()

AB

A()

a)

b)

Fig. 5.14 Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum von a) breitbandigemweissem Rauschen und b) nach einer Tiefpassfilterung


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5.2.3 Rauschquellen

Im vorhergehenden Abschnitt ber zufllige Vorgnge haben wir bereits erwhnt, dass Rauschen einzuflliges Signal ist, welches nur mittels Wahrscheinlichkeitsdichte und Leistungsdichtespektrumbeschrieben werden kann. Fr weisses Rauschen ist die Leistungsdichte bis zu sehr hohen Frequen-zen frequenzunabhngig, angegeben wird sie normalerweise in W/Hz oder dBm/Hz.

Rauschen entsteht in Widerstnden und elektronischen Bauteilen oder wird mit Antennen empfangen.Im Widerstand wird das Rauschen durch die zufllige thermische Bewegung der Elektronen verur-sacht. In Dioden und Transistoren ist es der quantisierte Ladungstransport durch die Elektronen undLcher, welcher fr das Rauschen verantwortlich ist.

Nachfolgend untersuchen wir kurz einige wichtige Rauschquellen und geben passende Ersatzschalt-bilder dazu an, mit denen die rauschbehafteten Schaltungen analysiert werden knnen.

a) Widerstandsrauschen. Das Rauschen eines Widerstandes entsteht infolge der thermischenBewegung der Elektronen. Viele kleine Einzelbewegungen erzeugen kleine Spannungsimpulse, wel-che sich zu einer Spannung addieren, die an den Klemmen des leerlaufenden Widerstandes gemessenwerden kann. Fig. 5.15 zeigt das Ersatzschaltbild fr einen rauschenden Widerstand R, welches auseinem rauschfreien Widerstand R und einer Rauschspannungsquelle uN oder einem rauschfreien

Leitwert G = 1/R und einer Rauschstromquelle iNbesteht.

Fig. 5.15 Rauschender Widerstand mit Ersatzschaltungen

Die Rauschspannung uNist gaussverteilt und weist ein konstantes Leistungsdichtespektrum auf.

p(uN) = 1

2UNeffexp(

uN2UNeff

)2 (5.53)

Die Streuung entspricht dem Effektivwert der Rauschspannung. Physikalische berlegungen zeigen,dass UNeffdem Zusammenhang gehorcht:

UNeff2 = 4kTBR = PN 4R (5.54a)

bzw. INeff2 = 4kTBG = PN 4G (5.54b)

mit k = BoltzmannkonstanteT = Temperatur des Widerstandes in Kelvin, normalerweise wird T0= 290 K

(Raumtemperatur) angenommen

B = Bandbreite

PN= kTB = maximal vom rauschenden Widerstand bei Anpassung abgegebene Leistung

Da die Leistungsdichte Le(f) von weissem Rauschen konstant ist, kann man diese aus PNherleiten:

Le(f) = PNB

= kT (5.55)

PN

kann man fr T = T0auch in logarithmischer Form und damit in dBm angeben:

PN= -174dBm + 10 log(B) dB

R

rauschendeWiderstand

rauschfreieWiderstand

uN

R

=

rauschfreieLeitwert

i

=


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Ebenso kann man fr T = T0den Effektivwert der Rauschspannung auch als Zahlenwertgleichungschreiben:

UNeff = 0.13 VR

k

B

kHz(5.56)

Fr B msste PNunendlich werden, was aus energetischen Grnden nicht mglich ist. Quan-tenphysikalisch kann man zeigen, dass die Rauschleistungsdichte ab der Frequenz f = kT/h = 20.8GHzT/K (also bei ca. 6000 GHz) gegen null abfllt; h ist das Planksche Wirkungsquantum.

b) Stromrauschen. In elektronischen Bauelementen entsteht ein weisses, d.h. gauss'sches Strom-rauschen, das dem Gleichstrom I0(z.B. dem Diodenstrom oder dem Kollektorstrom) berlagert ist.Es gilt:

iN2 = 2eI 0B (5.57)

mit e = Elementarladung und B = Bandbreite.

c)Weitere innere Rauschquellen. Neben dem Stromrauschen gibt es in Halbleitern und Rhrenauch noch Stromverteilungsrauschen (weiss) und Funkel- oder 1/f-Rauschen. Letzteres hateine Leistungsdichte, welche zu tieferen Frequenzen ansteigt und deshalb sog. rosa ist. Das 1/f-Rau-schen wird durch Oberflcheneffekte bei Rhren und Halbleitern verursacht. Es wirkt sich besondersnegativ bei sehr kleinen Modulationsfrequenzen aus, welche Seitenbnder sehr nahe beim Trgerergeben.

d) Funkrauschen bezeichnet jenes natrliche Rauschen, das mit Antennen empfangen und denEmpfngern zusammen mit den Nutzsignalen zugefhrt wird, Fig. 5.14. Zu diesen gehren dasgalaktische Rauschen, das von Fixsternen der Galaxien stammt. Es nimmt mit 1/f ab und erreichtim GHz-Bereich so tiefe Werte, dass es dort nicht mehr strt. Unterhalb 20 MHz ist atmosphri-sches Rauschen dominant (Blitzentladungen). Je nach Gebiet auf der Erde und Jahreszeitschwankt dieses in weiten Grenzen. Schliesslich muss man noch das industrielle Rauschen, welchesdurch viele technische Einrichtungen verursacht wird, miteinbeziehen (man-made-noise): Elek-tromotoren mit Kollektoren, Zndfunken und Schaltvorgnge. Diese Strungen sind hnlich in der

Grssenordnung wie die atmosphrischen.

Fig. 5.16

Medianwerte der verschiedenen Rausch-intensitten bzw. Rauschtemperaturen inAbhngigkeit von der Frequenz. A undB atmosphrisches Rauschen (Maximal-bzw. Minimalwert), C1 und C2industrielles Rauschen (lndliche bzw.stdtische Gegend), D galaktischesRauschen, E ruhige Sonne (mit Antennemit 0.5 Keulenbreite gemessen), FRauschen infolge Sauerstoff undWasserdampf (in Klammer Elevation derAntenne), G Strahlung des kosmischenHintergrunds mit 2.7 K. (ausMeinke/Gundlach, Taschenbuch derHochfrequenztechnik)


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Alle diese Rauschleistungen PNwerden in Fig. 5.16 in hnlicher Weise wie thermisches Rauschenangegeben, wie wenn sie von einem Widerstand mit der Temperatur TN, der sog. Rauschtempe-ratur, abgegeben wrden. Man schreibt daher PN = kTNB. Die Rauschintensitt sNin Fig. 5.16entspricht der Grsse

sN = 10log(TN/T0) mit T0 = 290 K (5.58)

In der Figur findet man am rechten Bildrand auch direkt die Angaben fr TN. Bei 1 MHz ist die miteiner Antenne "aufgelesene" Rauschleistung pro Hertz Bandbreite bis zu 100 dB grsser als bei5 GHz. Aus dieser Darstellung wird auch deutlich, warum Satellitenfunk nur oberhalb 1 GHz ver-nnftig betrieben werden kann. Umgekehrt ist bei Frequenzen im MW- und KW-Bereich das Eigen-rauschen des Empfngers gegenber dem Funkrauschen vllig belanglos, da das Funkrauschen ummehrere Grssenordnungen grsser ist als das Empfngerrauschen. Dies gilt aber nicht mehr, sobaldman sich der 1-GHz-Grenze nhert. Nun fehlt uns noch ein Verfahren zur Beschreibung desRauschbeitrags rauschender Verstrker, generell rauschender Vierpole.

5.2.4 Rauschkenngrssen von rauschenden VierpolenWir haben gesehen, dass Widerstnde und Halbleiterbauelemente selber Rauschquellen sind. Diesemachen sich insbesondere dort bemerkbar, wo rauschende Bauteile in kritischen Anwendungen wieVerstrker und Mischer in Empfngern eingesetzt werden. Die Analyse des Rauschens in einemVerstrker ist ziemlich aufwendig. Fr die Berechnung des Beitrags eines Empfngers an das ge-samte Rauschen im Empfangskanal gengt es meist, wenn man diesen mit einer globalen Kenngrs-se fr den Empfnger beschreiben kann. Diese Kenngrsse nennt man Rauschzahl oder Rausch-mass. Sie eignet sich immer dann zur Beschreibung rauschender Vierpole, wenn eingangs undausgangsimpedanz klar definiert sind, was in der Nachrichtentechnik bei hheren Frequenzen immerder Fall ist. Bei tiefen Frequenzen, z.B. im Audiobereich, arbeitet man hingegen eher mitRauschspannungsquellen und stromquellen.

Um die Definition der Rauschzahl kennenzulernen, betrachten wir den Vierpol von Fig. 5.17.

rauschenderVierpol

GB

Ri

RL

UN

Us

Pse

PNe

Psa

PNaPNVe

Fig. 5.17 Rauschender Vierpol mit Signal- und Rauschleistungen am Ein- und Ausgang,GB= Betriebsbertragungsfunktion des Vierpols4

Der Vierpol, z.B ein Verstrker, sei ein- und ausgangsseitig angepasst, d.h. geeignet fr hhereFrequenzen. Am Eingang befindet sich die Signalquelle Us. Die Quelle habe den Innenwiderstand Rimit der zugehrigen Rauschquelle

4 Genau genommen msste man statt der Betriebsbertagungsfunktion (GB)2, den verfgbaren Leistungsgewinn (GA)2

verwenden. (GA)2ist definiert als (verfgbare Leistung am Ausgang)/(verfgbare Leistung der Quelle). Fr ausgangsseitiggut angepasste Zweitore, und mit solchen hat man es meistens zu tun, sind GBund GApraktisch identisch.


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UN = UNeff = 4kT0BRi (5.59)

Die von diesem Widerstand an den Vierpol abgegebene Rauschleistung ist, da Anpassung besteht,nach Gl.(5.54)

PNe = kT0B

Die von der Signalquelle abgegebene Leistung betrgt

Pse = Us

2

4R i(5.60)

Die an die Last abgegebene Signal- und Rauschleistung betragen

Psa = G B2 Pse (5.61)

und PNa. Es zeigt sich nun, dass

PNa = GB2 PNe + PNVa (5.62)

grsser ist als das verstrkte Rauschen des Quelleninnenwiderstandes. Es kommt noch ein Anteil desVerstrkers hinzu, den wir mit PNVabezeichnen. Man definiert nun die Rauschzahl Fals

F = Pse/PNePsa/PNa

= (S/N) e(S/N)a

(5.63)

Die zweite Schreibweise entspricht einer verkrzten, allgemeinen Darstellung. Die Rauschzahl F gibtalso die Verschlechterung des Signal-zu-Geruschverhltnisses von Eingang zu Ausgang an. Setztman in Gl.(5.63) die Gl.(5.61) und (5.62) ein, so findet man weiter:

F = Pse(PNe GB

2 + PNVa)PNe Pse GB

2 = 1 +PNVa

PNe GB2 (5.64)

Man definiert nun die fiktive, auf den Eingang bezogene Rauschleistung des Vierpols alleinmit

PNVe = PNVaGB

2 (5.65)

Zusammen mit Gl. (5.64) kann man diese Rauschleistung auch als

PNVe = PNVaGB

2 = PNe F 1)( ) (5.66)

Mit dieser Eingangsrauschleistung lsst sich die Ausgangsrauschleistung auch schreiben als

PNa = (PNe + PNVe) GB2 = PNe GB2 F (5.67)Die Rauschzahl F gibt also den Faktor an, um welchen das Rauschen am Ausgang des Vierpols grs-ser ist, als das um die Leistungsverstrkung vergrsserte Eingangsrauschen. Ein rauschloser Vierpolhat die Rauschzahl 1. Es gibt noch eine alternative Interpretation der Rauschzahl. Man kann diefiktive gesamte Rauschleistung am Eingang des Vierpols, nmlich PNe+ PNVeauch interpretieren alsRauschleistung des Quelleninnenwiderstandes Ri, der aber eine hhere Temperatur Teanstelle vonT0aufweist. Diese quivalente Rauschtemperatur Teberechnet sich zu

Te = F T0 (5.68)

Dieser Ansatz ist identisch mit jenem zur Beschreibung des Funkrauschens in Fig. 5.16 mit einerRauschtemperatur TN. Sehr hufig gibt man die Rauschzahl in Dezibel an. Man spricht dann genauer

vom Rauschmass.


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FdB = 10log(F) (5.69)

Oft ist man hier in der Bezeichnung ungenau und spricht auch bei FdBvon der Rauschzahl. Das Ar-beiten mit Rauschzahlen ist trickreich. Wer sich nicht genau auskennt, macht leicht Fehler, vor allembei Messungen und beim Rauschen von Mischern. Bei Satellitenempfngern muss man ganz beson-ders aufpassen mit dem Begriff der Rauschzahl. Er ist dort in der vorliegenden Form nicht brauch-bar, da das Eingangsrauschen wesentlich kleiner ist als kT

0B. Denn die Antenne ist in den Himmel

gerichtet und sieht dort nur das kosmische sowie Sauerstoff- und Wasserdampfrauschen. Wer mehrber das Gebiet wissen will, nehme die zahlreiche einschlgige Literatur zur Hand.

In der Praxis muss man sehr hufig das Rauschverhalten kaskadierter Vierpole oderZweitore bestimmen, wie sie in jedem Empfnger vorkommen (z.B. Filter, gefolgt von einemVorverstrker, einem weiteren Filter, einem Mischer etc.). Fig. 5.18 zeigt zwei Vierpole mit be-kannten Rauschzahlen und Verstrkungen, die in Kaskade geschaltet sind. Gesucht ist nun dieRauschzahl der Kettenschaltung.

GB1 GB2

F1 F2

Pse

PNe

Psa

PNa

Fig. 5.18 Kettenschaltung zweier rauschender Vierpole

Wir bestimmen getrennt die Signal- und Rauschleistung am Ausgang. Es gilt:

Psa = Pse GB12 GB2

2 (5.70)

PNa = PNe GB12 GB2

2 F1 + PNVe2 GB22

= PNe GB12 GB2

2 F1 + PNe (F2 1) GB22 (5.71)

Bei diesem Ausdruck beachte man den zweiten Summanden. Er beinhaltet nur gerade den Beitrag deszweiten Vierpols zum Eingangsrauschen. Man darf dort nicht mehr mit dem ganzen Beitrag

PNe GB22 F2 rechnen, da die Eingangsrauschleistung beim zweiten Vierpol schon mit dem ersten

Summanden bercksichtigt wird. Setzt man nun die Gl. (5.70) und (5.71) in (5.63) ein, so erhltman

Ftot = F1 +F2 1GB1

2 (5.72)

In der Gesamtrauschzahl wiegt also der Rauschbeitrag des ersten Vierpols (Verstrkers) am strk-sten. Je grsser seine Verstrkung, umso geringer wird der Beitrag der nachfolgenden Stufen.Darauf beruht die Tatsache, dass in jedem empfindlichen Empfnger der erste Verstrker besonders

sorgfltig bezglich Rauschen und Verstrkung ausgelegt oder ausgewhlt werden muss. In derRegel muss ein Kompromiss zwischen kleiner Rauschzahl und grosser Verstrkung gemachtwerden. Rauscharme Verstrker haben normalerweise keine grosse Sttigungsleistung, da sie beikleinen Strmen arbeiten. Ein Beispiel mge den Einfluss der Verstrkung der ersten Stufe auf F totverdeutlichen.

1. Verstrker: GB1= 13 dB, F1= 1.8 dB

2. Verstrker: GB2= 30 dB. F2= 5 dB

Ftot= 1.51 + (3.16-1)/20 = 1.62 bzw. 2.1 dB

Die Gesamtrauschzahl dieser Verstrkerkaskade wird durch den strker rauschenden zweiten Ver-strker nur unwesentlich verschlechtert. Man beachte noch, dass in Gl.(5.72) die Rauschzahlen undnicht die Rauschmasse eingesetzt werden mssen.


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SNT b t k l/10 2 2001/G 26

Ein besonders interessanter Fall ist noch der Einfluss eines beidseitig auf Rw = Ri angepasstenDmpfungsgliedes oder eines angepassten, nur Verluste verursachenden Vierpols (z.B. eines Filters)in einer Empfangskette. Wir berechnen dazu die Rauschzahl eines solchen Vierpols. Er habe die Be-triebsdmpfung DB= 1/GB. Mit Bezug auf Fig. 5.16 gilt:

Psa = Pse/DB2 (5.73)

Heikel wird es bei PNa. Die von der Quelle gelieferte Rauschleistung PNewird im Vierpol ebenfallsabgeschwcht. PNafindet man, indem man fr den Ausgang des Vierpols mit angeschlossenemQuelleninnenwiderstand aber ausgeschalteter Quellenspannung einen Ersatzzweipol bestimmt. Unterder Annahme, der Vierpol befinde sich ebenfalls bei Raumtemperatur und er sei beidseitig angepasst,fhrt dies auf einen Widerstand Rwauf der Temperatur T0. Die von diesem Ersatzzweipol abgege-bene Rauschleistung ist aber genau PNa= kT0B = PNe. Man kann dieses Resultat so interpretieren:die am Eingang eintretende Rauschleistung wird im verlustbehafteten Vierpol teilweise vernichtet,aber exakt wieder durch Rauschen in den internen Widerstnden ersetzt. Damit ergibt die Rauschzahldes verlustbehafteten Vierpols

F = Pse

Pse/D B2

PNePNe

= D B2 =

1

GB2 (5.74)

Sein Rauschmass entspricht also gerade seiner Dmpfung (in dB).

Schliesslich sind wir jetzt in der Lage, das Signal-zu-Geruschverhltnis am Ausgang eines Empfn-gers, genauer gesagt unmittelbar vor der Demodulation anzugeben. Die Gesamtverstrkung von Ein-gang bis Demodulator sei GBtot. Das externe Rauschen am Eingang sei PNe, Wir nehmen also einenFall an, bei welchem das Funkrauschen keine grosse Bedeutung hat. Andernfalls wre zur Berech-nung von PNenicht T0sondern TNzu verwenden. Aus Gl.(5.64) erhlt man PNa

PNa = PNe GBtot2 Ftot (5.75)

Zur Berechnung von PNeist dabei die quivalente Empfngerbandbreite BNdes schmalsten Fil-tersin der ganzen Empfangskette bis vor den Demodulatoreinzusetzen. In der Regel ist

dies die Bandbreite des letzten ZF-Filters vor der Demodulation. Beim Synchrondemodulator ist essogar erst das Tiefpassfilter nach dem Multiplizierer.

Der Signalpegel vor dem Demodulator wird nach Gl.(5.61) berechnet unter Verwendung der Ge-samtverstrkung GBtot. Bildet man jetzt das Verhltnis von Psa/PNa, so erscheint in Zhler und

Nenner der Faktor GBtot2 , der gekrzt werden kann. Das heisst nichts anderes, als dass man das

Signal-zu-Geruschverhltnis auch auf den Eingang des Empfngers bezogen bilden kann:

S

N =

PsaPNa

= Pse GBtot

2

PNe GBtot2 Ftot

= Pse

PNe Ftot =

PsekT0BN Ftot

(5.76)

Den Nenner in diesem Ausdruck gewinnt man, ausgedrckt in dBm, elegant nach der Formel

PNe Ftot 174 dBm + 10log(BN) + FtotdB in dBm (5.77)

Beispiel: Natel D (GSM): BN140 kHz, Ftot 10 dB ergibt PNe Ftot = 112 dBm oder ca.610-15W. Obwohl dies eine sehr kleine Leistung ist, muss sie im Verhltnis zu den ebenfalls sehrkleinen Empfangsleistungen gesehen werden.

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