Unabhängigkeit von zwei Ereignissen – Ein … · in erster Linie um einen gut verständlichen...

Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen F. 5 1

Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

Unabhängigkeit von zwei Ereignissen – Ein ausführlicher Einstieg

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Stoffverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Themen der Unterrichtsstunden

1 Wiederholung der bedingten Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B . . . . . . . . . . . . . 7

3 Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . 11

4 Sonderfälle bei der Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Der „Übertragungssatz“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Material

1 Lungenkrebs durch Rauchen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kompetenzprofil

Niveau: Oberstufe, grundlegend Fachlicher Bezug: – Kommunikation: begründen, diskutieren Problemlösen: Probleme erkunden, Lösungsstrategie entwickeln Modellierung: – Medien: – Methode: Einzelarbeit, Gruppenarbeit, Partnerarbeit Inhalt in Stichworten: Baumdiagramm, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, unverein-bare Ereignisse, Vierfeldertafel

Autor: Helmut Lerche Quellen: S. 25: Krebsinformationsdienst, Deutsches Krebsforschungszentrum, http://www.krebsinformationsdienst.de/tumorarten/lungenkrebs/index.php S. 26: Spielkarten: © Jean Scheijen/www.vierdrie.nl; Dodekaeder: © Grum_l - Fotolia.com; S. 28: © Boris Ryaposov | Dreamstime.com; S. 29: © IckeT - Fotolia.com; S. 30: © iconshow - Fotolia.com

F. 5 2 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen


Stoffverteilung

Unterrichtsstunde Thema der Stunde und Unterrichtsverlauf Unterrichtsmittel

1. Stunde 1 Wiederholung der bedingten Wahrscheinlichkeit Wiederholung: Die Definition für die bedingte Wahrscheinlichkeit wird wiederholt und anhand einer Aufgabe zu einer fiktiven Rau-cher- / Lungenkrebs-Statistik angewandt.

2 Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B Neudurchnahme: Ausgehend von der Aufgabe zur Raucher- / Lun-genkrebs-Statistik wird zuerst die Definition der Unabhängigkeit eines Ereignisses B von einem Ereignis A und dann die allgemeine Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B behan-delt. Diese allgemeine Definition wird anhand eines einfachen Skat-karten-Beispiels ausführlich eingeübt. Anschließend wird anhand des Raucher- / Lungenkrebs-Beispiels gezeigt, dass aus „Ereignis B ist abhängig von einem Ereignis A“ nicht gefolgert werden kann „Aus A folgt B“. Hausaufgabe: Aufgaben 3 und 4 von MA 2

MA 1: Lungenkrebs durch Rauchen? MA 2: Aufgaben-blatt

MA 2 MA 2

2. Stunde Besprechung der Hausaufgabe

3 Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit Neudurchnahme: Anhand des Skatkarten-Beispiels werden die Un-terschiede zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit deutlich gemacht. Für zwei Ereignisse mit von null verschiedener Wahr-scheinlichkeit wird bewiesen, dass aus ihrer Unvereinbarkeit ihre Abhängigkeit folgt, und auch die zugehörige Kontraposition wird behandelt.

4 Sonderfälle bei der Unabhängigkeit Es wird untersucht, wann ein Ereignis von sich selbst unabhängig ist, und es wird bewiesen, dass das unmögliche und auch das sichere Ereignis von jedem Ereignis unabhängig sind. Hausaufgabe: Aufgaben 5 und 6 von MA 2

MA 2 MA 2

3. Stunde Besprechung der Hausaufgabe 5 Der „Übertragungssatz“

Neudurchnahme: Ausgehend von einer Vierfeldertafel zu bereits besprochenen unabhängigen Ereignissen des Skatkarten-Beispiels wird allgemein gezeigt, dass bei zwei unabhängigen Ereignissen die zugehörige Vierfeldertafel eine Multiplikationstabelle ist und sich die Unabhängigkeit von zwei Ereignissen A, B auf A, B bzw. A, B bzw. A, B „überträgt“. Die im Unterricht behandelten Aufgaben 7 bzw. 8 von MA 2 verwenden Vierfeldertafel bzw. Baumdiagramm. Hausaufgabe: Aufgaben 9, 10 und 11 von MA 2

MA 2 MA 2 MA 2

4. Stunde Besprechung der Hausaufgabe 6 Anwendungsaufgaben

Neudurchnahme: Nun werden im Unterricht die Aufgaben 12, 13 und 14 von MA 2 behandelt, bei denen idealisierend die Unabhän-gigkeit von Ereignissen jeweils vorausgesetzt wird.

MA 2

MA 2



Vorbemerkungen

Nach der Behandlung der bedingten Wahrscheinlichkeit ist es sinnvoll, die Unab-hängigkeit von zwei Ereignissen einzuführen, da deren Definition über die Gleich-heit einer bedingten Wahrscheinlichkeit mit einer absoluten Wahrscheinlichkeit gut zu motivieren ist. Im Anschluss an diese Unterrichtseinheit könnte (z. B. für Seminararbeiten) die Un-abhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen behandelt werden. Auch für die Un-abhängigkeit von Zufallsgrößen würde die vorliegende Abhandlung die Grund-lagen liefern. Reizvoll am Thema „stochastische Unabhängigkeit“ ist, dass deren Definition sehr anschaulich über bedingte Wahrscheinlichkeit zu motivieren ist, dass dann bei der Prüfung der Produktbedingung sehr exakt formal vorgegangen werden muss und dass viele wirklichkeitsnahe Anwendungsaufgaben behandelt werden können, welche die Unabhängigkeit als idealisierende Modellannahme voraussetzen. So bietet diese Unterrichtseinheit eine gewisse Vielfalt, welche der Lehrer steuern kann, je nachdem ob er mehr die abstrakten oder mehr die anwendungsmäßigen Aspekte vermitteln will. Die Verwendung von Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen trägt zur Anschaulichkeit und Verständlichkeit der Thematik bei. In der ersten Stunde demonstriert eine (fiktive) Statistik über die Raucher und Lungenkrebskranken einer 100 000-Einwohner-Stadt, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ein Lungenkrebskranker wird zufällig ausgewählt“ vom Ereignis „ein Raucher wird zufällig ausgewählt“ beeinflusst wird, dass also das erste Ereignis vom zweiten „abhängig“ ist. Damit ist der Boden bereitet für die Definition der Un-abhängigkeit von zwei Ereignissen.

Bemerkungen: • Beim Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel sollten natürlich auch die gesundheitlichen

Probleme des Rauchens angesprochen werden. • Bei der vorgegebenen Statistik ist weder der Begriff „Raucher“ noch der Begriff

„lungenkrebskrank“ klar definiert. Auch wäre eigentlich zu hinterfragen, wie solch eine Statistik überhaupt zustande kommen kann. So ist die Angabe der An-zahl der momentanen Lungenkrebskranken schon deswegen problematisch, weil diese noch gar nicht alle diagnostiziert sein müssen. Bei dem Beispiel geht es aber in erster Linie um einen gut verständlichen und realitätsnahen Einstieg in die The-matik der Unterrichtseinheit.

Am Ende der ersten Stunde wird ein einfaches (Skatspiel-)Beispiel zur Unabhängig-keit behandelt und anhand des Raucher- / Lungenkrebs-Beispiels gezeigt, dass aus „Ereignis B ist abhängig von Ereignis A“ nicht gefolgert werden kann: „Aus A folgt B“. In der zweiten Stunde wird es ziemlich abstrakt-theoretisch, aber eigentlich nicht schwierig: Es werden Unterschiede und Zusammenhänge zwischen Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit und Sonderfälle zur Unabhängigkeit besprochen.

Fachwissen-schaftliche Einordnung

Methodisch-didaktische Hinweise



In der dritten Stunde wird beim Skat-Beispiel die Vierfeldertafel als Multiplika-tionstabelle erkannt und dann der sogenannte Übertragungssatz allgemein bewie-sen. Zum Schluss der Stunde wird eine Textaufgabe („Ehepaar mit drei Kindern“) behandelt, bei der die Unabhängigkeit vom „gesunden Menschenverstand“ her nicht unbedingt erwartet werden kann. Besonders verblüffend ist dann, dass sich bei einer sehr ähnlichen Aufgabe („Ehepaar mit zwei Kindern“) statt Unabhängigkeit nun Abhängigkeit beweisen lässt. In der vierten Stunde wird in Anwendungsaufgaben nun nicht mehr die Unabhän-gigkeit mit der Produktbedingung bewiesen, sondern umgekehrt die Unabhängig-keit, d. h. die Produktbedingung, als idealisierende Annahme vorausgesetzt. Über die Berechtigung dieser Idealisierung sollte bei jedem der Beispiele (Technisches System, Wettervorhersage, Glücksspiel mit zwei Zufallsgeräten) diskutiert werden. Beim letzten dieser Beispiele wird die Unabhängigkeit am Baumdiagramm behan-delt.

Voraussetzungen • Laplace-Formel • Baumdiagramm, Vierfeldertafel • Bedingte Wahrscheinlichkeit



1. Unterrichtsstunde

Für jeden Schüler eine Kopie von MA 1 und MA 2 erstellen. Der Lehrer sollte sich vorab zum Thema „Lungenkrebs durch Rauchen“ informieren (z. B. im Internet auf der folgenden Seite: http://www.krebsinformationsdienst.de/tumorarten/lungenkrebs/index.php).

1 Wiederholung der bedingten Wahrscheinlichkeit

Der Lehrer zeichnet an der Tafel einen Pfad eines Baumdiagramms und wiederholt mit den Schülern die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

AP(A) P (B)A B AP(A B) P(A) P (B)∩ = ⋅ (1. Pfadregel)

Für P(A) ≠ 0 folgt somit: P(A B)

A P(A)P (B) ∩=

Die Elemente dieses Quotienten können auch mit einer Vierfeldertafel veranschau-licht werden:

A A

B P(A ∩ B)

B

P(A) Der Lehrer verteilt das Arbeitsblatt MA 2. Im Unterrichtsgespräch wird nun eine Aufgabe zum Rau-cher / Lungenkrebs behandelt.

Aufgabe

Siehe Aufgabe 1 von Material MA 2

Vorbereitung

Neudurchnahme

Material MA 2



Lösung: a) L L R 80 24 920 25 000 R 20 74 980 75 000 100 99 900 100 000

b) Aufgrund der Laplace-Formel müssen alle absoluten Zahlen durch 100 000 divi-diert werden, z. B.:

R L 80100 000P(R L) 0,0008| |∩

| |Ω∩ = = =

L L R 0,0008 0,2492 0,25 R 0,0002 0,7498 0,75 0,001 0,999 1

c) P(R L) 0,0008R P(R) 0,25P (L) 0,0032 0,32 %∩= = = =

P(L) = 0,0010 = 0,10 % Dem Ereignis „ein zufällig ausgewählter Einwohner dieser Stadt hat Lungen-krebs“ weist man also eine mehr als dreifach so große Wahrscheinlichkeit zu, wenn man weiß, dass man einen Raucher ausgewählt hat.

Bei dieser Gelegenheit teilt der Lehrer das Informationsblatt „Lungenkrebs durch Rauchen?“ aus und macht einige Ausführungen zu diesem Thema. Insbesondere sollte darauf hingewiesen werden, dass laut Krebsinformationsdienst (siehe die angegebene Internetadresse) etwa jeder zehnte Raucher im Lau-fe seines Lebens an Lungenkrebs erkrankt und in Deutschland jedes Jahr 110 000 bis 140 000 Menschen an den Folgen des Rauchens, davon schätzungsweise 36 000 Menschen an Lungenkrebs durch Rauchen, sterben.

Material MA 1



2 Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B

Der Lehrer verdeutlicht zum Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel noch einmal den folgenden Sachverhalt. Das Eintreten des Ereignisses R hat Einfluss auf das Eintreten des Ereignisses L: das Ereignis L ist vom Ereignis R „abhängig“. Wäre PR(L) = P(L), würde das Ereignis R das Ereignis L nicht beeinflussen: das Ereignis L wäre vom Ereignis R „unabhängig“. Im Unterrichtsgespräch wird eine vorläufige Definition der Unabhängigkeit eines Ereignisses B von einem Ereignis A aufgestellt. Vorläufige Definition:

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω und zwei Ereignissen A und B. Die Wahrscheinlichkeit von A sei von null verschieden. B heißt (stochastisch) unabhängig von A, wenn gilt: PA(B) = P(B) Der Lehrer stellt den Schülern dazu folgende Frage.

Aufgabe

Warum ist hier die Voraussetzung P(A) ≠ 0 nötig?

Lösung: Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A B)A P(A)P (B) ∩= ist nur für einen von null ver-

schiedenen Nenner P(A) definiert. Die obige Definition wird weiter verallgemeinert. Durch Einsetzen des Definitionsterms für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A B)A P(A)P (B) ∩= in die Definitionsgleichung für die Unabhängigkeit erhält man:

P(A B)P(A) P(B)∩ =

Auflösen nach P(A ∩ B) ergibt dann: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Um den Sonderfall P(A) = 0 nicht ausschließen zu müssen, verallgemeinert man nun die obige Definition.

Allgemeinere vorläufige Definition:

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω und zwei beliebigen Ereignissen A und B. Das Ereignis B heißt (stochastisch) unabhängig von dem Ereignis A, wenn die soge-nannte „Produktbedingung“ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) gilt. Ist diese Gleichung nicht erfüllt, so heißt B (stochastisch) abhängig von A.



Die Schüler lösen die folgende Aufgabe in Partnerarbeit.

Aufgabe

Kann aus der Unabhängigkeit eines Ereignisses B von einem Ereignis A umgekehrt die Unabhängigkeit des Ereignisses A von dem Ereignis B gefolgert werden?

Lösung: Sei B unabhängig von A. Dann gilt P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B). Wegen der Kommutativi-tät der Schnittmengenbildung und der Multiplikation gilt: P(B ∩ A) = P(B) ⋅ P(A) Also ist auch das Ereignis A von B unabhängig. Somit ist die zu untersuchende Folgerung richtig. Nun ist folgende allgemeine Definition naheliegend, die der Lehrer an der Tafel notiert.

Definition:

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω und zwei beliebigen Ereignissen A und B. Die Ereignisse A und B heißen (voneinander) (stochastisch) unabhängig, wenn Folgendes gilt: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Gilt diese Gleichung nicht, so heißen die Ereignisse (voneinander) (stochastisch) abhängig.

Bemerkung: Die Gleichung P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) wird als Produktbedingung, Produktregel, Pro-duktgleichung oder Multiplikationssatz bezeichnet. Der Lehrer verdeutlicht die Sprechweisen. Bei zwei Ereignissen A und B sind folgende Sprechweisen gleichwertig: A und B sind (voneinander) unabhängig, d. h. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B). B und A sind (voneinander) unabhängig, d. h. P(B ∩ A) = P(B) ⋅ P(A). A ist von B unabhängig. B ist von A unabhängig. Im Unterrichtsgespräch soll nun die Überprüfung der Produktbedingung bei einem einfachen Beispiel ausführlich behandelt werden.

Aufgabe

Siehe Aufgabe 2 von Material MA 2 Material MA 2



Lösung: Es muss gezeigt werden, dass die Produktbedingung P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) erfüllt ist. Schritt 1: Berechnung von P(A ∩ B) Da es genau ein Herz-Ass gibt, gilt aufgrund der Laplace-Formel:

132P(A B)∩ =

Schritt 2: Berechnung von P(A) Da es genau 4 Ass-Karten gibt, folgt wegen der Laplace-Formel:

4 132 8P(A) = =

Schritt 3: Berechnung von P(B) Da es genau 8 Herz-Karten gibt, gilt aufgrund der Laplace-Formel:

8 132 4P(B) = =

Schritt 4: Berechnung von P(A) ⋅ P(B) 1 1 18 4 32P(A) P(B)⋅ = ⋅ =

Schritt 5: Überprüfung der Produktbedingung und Schlussfolgerung 132P(A B) P(A) P(B)∩ = = ⋅

Die Produktbedingung ist also erfüllt. Die beiden Ereignisse A und B sind somit unabhängig. In Einzelarbeit betrachten die Schüler noch einmal das Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel (Aufgabe 1 von MA 2).

Aufgabe

Zeigen Sie mithilfe der Produktbedingung, dass die Ereignisse L und R nicht unab-hängig sind.

Lösung: Linke Seite der Produktbedingung: P(L ∩ R) = 0,0008 Rechte Seite der Produktbedingung: P(L) ⋅ P(R) = 0,001 ⋅ 0,25 = 0,00025 Es gilt also: P(L ∩ R) ≠ P(L) ⋅ P(R) Die Ereignisse L und R sind folglich nicht unabhängig. Man kann auch formulieren: Das Ereignis L ist vom Ereignis R nicht unabhängig, d. h., das Ereignis L ist vom Ereignis R abhängig. Im Unterrichtsgespräch wird die folgende Aufgabe diskutiert.

Aufgabe

Kann man dies auch so formulieren? „Das Ereignis R zieht das Ereignis L nach sich“ (kurz: „aus R folgt L“)?

Material MA 2



Lösung: Nein. Wäre die Formulierung richtig, müsste R ⊂ L gelten, d. h., jeder Raucher der 100 000-Einwohner-Stadt müsste auch lungenkrebskrank sein. Aus der Vierfelder-tafel ist aber ersichtlich, dass 24 920 Raucher (noch) nicht lungenkrebskrank sind. Bemerkung: Der Lehrer sollte an dieser Stelle darauf hinweisen, dass in der stochastischen Termino-logie die Aussage „aus R folgt L“ bedeuten würde, dass es sich um eine sichere Prognose, also um eine Wahrscheinlichkeit von 100 %, handelt. Tatsächlich liegt hier aber nur eine Wahrscheinlichkeit vor, die kleiner als 100 % ist. Aufgaben 3 und 4 von MA 2 Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:

Raucher (R) / Lungenkrebskranke (L) einer Stadt

P(R L) 0,0008R P(R) 0,25P (L)

0,0032 0,32 %P(L) 0,10 %

∩= =

= => =

1 Wiederholung der bedingten Wahrscheinlichkeit

AP(A) P (B)A B AP(A B) P(A) P (B)∩ = ⋅ (1. Pfadregel)

Für P(A) ≠ 0 folgt somit: P(A B)

A P(A)P (B) ∩=

Die Elemente dieses Quotienten können auch mit einer Vierfeldertafel veranschaulicht werden:

2 Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω und zwei beliebigen Ereignissen A und B. Die Ereignisse A und B heißen (vonei-nander) (stochastisch) unabhängig, wenn Folgendes gilt: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Gilt diese Gleichung nicht, so heißen die Ereignisse (voneinander) (stochastisch) abhängig.

Hausaufgabe

Hausaufgabe Material MA 2

Tafelbild

L L R 80 24 920 25 000

R 20 74 980 75 000

100 99 900 100 000

L L R 0,0008 0,2492 0,25

R 0,0002 0,7498 0,75

0,001 0,999 1

A A

B P(A ∩ B)

B

P(A)




Aufgabe 3 von Material MA 2 Untersuchung der Produktbedingung: Linke Seite:

3 112 4P(A B) P(1, 2, 3)∩ = = =

Rechte Seite: 6 6 1 1 1

12 12 2 2 4P(A) P(B)⋅ = ⋅ = ⋅ =

A und B sind also unabhängig.

Aufgabe 4 von Material MA 2 Siehe Vierfeldertafeln beim Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel.

a) P(L ∩ R) = 0,0008 (Vierfeldertafel für die Wahrscheinlichkeiten) bzw. 80

100 000P(L R) 0,0008∩ = = (Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten)

b) P(L R) 0,0008L P(L) 0,001P (R) 0,8 80 %∩= = = = (Vierfeldertafel für die Wahrscheinlichkeiten)

bzw. 80

L 100P (R) 0,8 80 %= = = (Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten)

c) Linke Seite: P(R L) 0,0002∩ = Rechte Seite: P(R) P(L) 0,75 0,001 0,00075⋅ = ⋅ = Wegen 0,0002 ≠ 0,00075 sind also R und L nicht unabhängig, sondern abhängig.

3 Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit

Der Lehrer hebt anhand der Aufgabe zum Skatspiel den Unterschied zwischen „Unabhängigkeit“ und „Unvereinbarkeit“ deutlich hervor. Für die Unabhängigkeit muss die Produktbedingung erfüllt sein, bei der drei Wahr-scheinlichkeiten vorkommen. Bei der Unvereinbarkeit spielen Wahrscheinlichkeiten hingegen gar keine Rolle. Zwei Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können, d. h., wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist: A ∩ B =

Für unabhängige Ereignisse A und B gilt die Produktbedingung: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

Besprechung der Hausaufgabe Material MA 2

Neudurchnahme



Für unvereinbare Ereignisse A und B gilt die Summenregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Allgemein gilt für das „Oder-Ereignis“ A ∪ B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Wenn A und B unabhängig sind, folgt hieraus speziell: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) ⋅ P(B)

Die beiden Ereignisse A und B des Skatspiel-Beispiels der letzten Stunde sind we-gen der nachgewiesenen Produktbedingung unabhängig, sie sind aber (wegen ihres gemeinsamen Elements Herz-Ass) nicht unvereinbar, sondern vereinbar. Die Beziehungen zwischen Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit zweier Ereignisse werden im Unter-richtsgespräch behandelt.

Satz:

Seien A und B zwei Ereignisse, die beide eine von 0 verschiedene Wahr-scheinlichkeit haben. Dann folgt aus der Unvereinbarkeit von A und B ihre Abhängigkeit.

Im Unterrichtsgespräch wird der Satz bewiesen. Da A und B unvereinbar sind, gilt: A ∩ B = ⇒ P(A ∩ B) = 0 Da laut Voraussetzung P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0 folgt: P(A) ⋅ P(B) ≠ 0 Damit folgt: P(A) ⋅ P(B) ≠ P(A ∩ B) Die Produktbedingung ist also nicht erfüllt. A und B sind daher abhängig. Die zugehörige Kontraposition (weiterhin unter der Voraussetzung P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0) sollen die Schüler möglichst selbstständig aufstellen und neu beweisen.

Satz:

Seien A und B zwei Ereignisse, die beide eine von 0 verschiedene Wahr-scheinlichkeit haben. Dann folgt aus der Unabhängigkeit von A und B ihre Vereinbarkeit.

Beweis: Da A und B unabhängig sind, gilt: P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B) Da laut Voraussetzung P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0 folgt: P(A ∩ B) ≠ 0 Damit sind A und B vereinbar.



4 Sonderfälle bei der Unabhängigkeit

Je nach Leistungsstand der Klasse lässt der Lehrer die folgende Aufgabe in Einzelarbeit oder im Unterrichtsgespräch bearbeiten.

Aufgabe

Gibt es ein Ereignis, das von sich selbst unabhängig ist?

Lösung: Um die Unabhängigkeit eines Ereignisses A von sich selbst zu prüfen, ist die Pro-duktbedingung P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) für den Spezialfall B = A zu untersuchen. Wegen A ∩ A = A lässt sich diese Gleichung kürzer schreiben: P(A) = P(A)2 Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn P(A) = 0 oder P(A) = 1 ist. Leistungsschwächeren Schülern dürfte an dieser Stelle die Substitution P(A) = x helfen, die zu der Glei-chung x = x2 bzw. x ⋅ (1 – x) = 0, also zu x = 0 oder x = 1, führt. Die quadratische Gleichung x = x2 könnte notfalls auch durch Probieren oder durch den Schnitt von Graphen gelöst werden. Ein Ereignis ist also genau dann von sich selbst unabhängig, wenn es die Wahr-scheinlichkeit 0 oder die Wahrscheinlichkeit 1 hat. Somit ist das unmögliche Ereignis von sich selbst unabhängig, ebenso das sichere Ereignis Ω. Jetzt wird in arbeitsteiliger Gruppenarbeit gezeigt, dass diese beiden Ereignisse auch von jedem an-deren Ereignis unabhängig sind. Die Schüler beschäftigen sich mit einer der folgenden beiden Aufga-ben und präsentieren anschließend ihre Beweise.

Aufgabe

1. Beweisen Sie, dass das unmögliche Ereignis und jedes (beliebige) Ereignis B (voneinander) unabhängig sind.

2. Beweisen Sie, dass das sichere Ereignis und jedes (beliebige) Ereignis B (von-einander) unabhängig sind.

Lösung: 1. Die linke Seite der Produktbedingung lässt sich folgendermaßen umformen:

P( ∩ B) = P() = 0 Die rechte Seite der Produktbedingung ergibt: P() ⋅ P(B) = 0 ⋅ P(B) = 0 Die Produktbedingung ist also erfüllt, d. h., und B sind unabhängig.

2. Linke Seite der Produktbedingung: P(Ω ∩ B) = P(B) Rechte Seite der Produktbedingung: P(Ω) ⋅ P(B) = 1 ⋅ P(B) = P(B) Die Produktbedingung ist also erfüllt, d. h. Ω und B sind unabhängig.



Der Lehrer fasst die gefundenen Sätze an der Tafel zusammen.

Satz:

• Das unmögliche Ereignis und jedes (beliebige) Ereignis B sind (voneinander) unabhängig.

• Das sichere Ereignis Ω und jedes (beliebige) Ereignis B sind (voneinander) unabhängig.

Aufgaben 5 und 6 von MA 2 Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:

Seien A und B zwei Ereignisse, die beide eine von 0 verschiedene Wahr-scheinlichkeit haben. Dann folgt aus der Unvereinbarkeit von A und B ihre Abhängigkeit bzw. aus ihrer Unabhängigkeit ihre Vereinbarkeit.

3 Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können, d. h., wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist: A ∩ B = Für unabhängige Ereignisse A und B gilt die Produktbedingung: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Für unvereinbare Ereignisse A und B gilt die Summenregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Allgemein gilt für das „Oder-Ereignis“ A ∪ B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Wenn A und B unabhängig sind, folgt hieraus speziell: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) ⋅ P(B)

4 Sonderfälle bei der Unabhängigkeit Ein Ereignis ist genau dann von sich selbst unabhängig, wenn es die Wahr-scheinlichkeit 0 oder die Wahrschein-lichkeit 1 hat. Somit ist das unmögliche Ereignis von sich selbst unabhängig, ebenso das sichere Ereignis Ω. Das unmögliche Ereignis und das siche-re Ereignis sind jeweils von jedem (be-liebigen) Ereignis B unabhängig.

Hausaufgabe


Tafelbild




Aufgabe 5 von Material MA 2 a) Die Ereignisse L und R von Aufgabe 1 sind bekanntlich abhängig.

Wegen L R 80 0| |∩ = ≠ sind sie aber nicht unvereinbar, sondern vereinbar.

b) Die Ereignisse R und R von Aufgabe 1 haben beide eine von null verschiedene Wahr-scheinlichkeit (0,25 bzw. 0,75). Sie sind abhängig, wie die Prüfung der Produktbedingung ergibt: Linke Seite: P(R R) P() 0∩ = = Rechte Seite: P(R) P(R) 0,25 0,75 0,1875 0⋅ = ⋅ = ≠ Ferner sind sie nicht vereinbar, sondern unvereinbar (R R ).∩ =

Aufgabe 6 von Material MA 2

R R L Ω

unvereinbar unabhängig





R vereinbar abhängig

unvereinbar abhängig

vereinbar abhängig*)

vereinbar unabhängig

R vereinbar abhängig

vereinbar abhängig**)


L vereinbar abhängig


Ω vereinbar

unabhängig

*) Untersuchung der Produktbedingung für R und L : Linke Seite: P(R L) 0,2492∩ = Rechte Seite: P(R) P(L) 0,25 0,999 0,24975⋅ = ⋅ = R und L sind also nicht unabhängig, sondern abhängig.

**) Untersuchung der Produktbedingung für R und L : Linke Seite: P(R L) 0,7498∩ = Rechte Seite: P(R) P(L) 0,75 0,999 0,74925⋅ = ⋅ =

R und L sind also nicht unabhängig, sondern abhängig.

Bemerkung: Die Relation „ist unabhängig von“ ist nicht transitiv, d. h., aus „A ist unab-hängig von B“ und „B ist unabhängig von C“ muss nicht folgen „A unabhängig von C“. Begründung (siehe obige Tabelle): Man nehme A = R, B = Ω und C = R. R ist von Ω unabhängig, Ω ist von R unabhängig, aber R ist von R nicht unabhängig, sondern abhängig.




5 Der „Übertragungssatz“

Die Hinführung zu diesem Satz wird im Unterrichtsgespräch behandelt. Dazu wird das Skat-Beispiel aus der 1. Unterrichtsstunde aufgegriffen.

Aufgabe

Erstellen Sie eine Vierfeldertafel zum Skat-Beispiel (Aufgabe 2 von MA 2) zu den bereits als unabhängig bewiesenen Ereignissen A: „ein Ass wird gezogen“ und B: „eine Herzkarte wird gezogen“.

Lösung: A A

B 132 7

32 14

B 332 21

32 34

18 7

8 1

Im Unterrichtsgespräch werden die Besonderheiten dieser Vierfeldertafel besprochen. Aufgrund der Unabhängigkeit von A und B gilt: P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B) ⇒ 1 1 1

8 4 32⋅ =

Die (untere) „Randwahrscheinlichkeit“ 18 der (senkrechten) A-Spalte multipliziert

mit der (rechten) Randwahrscheinlichkeit 14 der (waagrechten) B-Zeile ergibt also

die Wahrscheinlichkeit 132 des entsprechenden „Kreuzungsfelds“.

Entsprechendes gilt für alle (senkrechten) Spalten und (waagrechten) Zeilen. Der Lehrer stellt dazu den allgemeinen Satz vor, der im Unterrichtsgespräch bewiesen wird.

Satz:

Sind A und B zwei beliebige unabhängige Ereignisse mit den Wahr-scheinlichkeiten a bzw. b, so ist die zugehörige Vierfeldertafel eine Multiplikationstabelle.

Beweis: Wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit von A und B kann man folgendermaßen starten:

A A

B a b b

B 1 – b

a 1 – a 1

Neudurchnahme



Die noch nicht eingetragenen Wahrscheinlichkeiten können nun durch Differenz-bildungen berechnet werden:

A A

B a ⋅ b b – a ⋅ b = (1 – a) ⋅ b b

B a – a ⋅ b = a ⋅ (1 – b) 1 – b

a 1 – a 1

Die restliche noch nicht eingetragene Wahrscheinlichkeit kann z. B. folgendermaßen bestimmt und umgeformt werden: P(B A) (1 a) (1 a) b (1 a) (1 b)∩ = − − − ⋅ = − ⋅ −

Aus der folgenden Tabelle ist nun klar ersichtlich, dass eine Multiplikationstabelle vorliegt.

A A

B a ⋅ b (1 – a) ⋅ b b

B a ⋅ (1 – b) (1 – a) ⋅ (1 – b) 1 – b

a 1 – a 1 Im Unterrichtsgespräch werden die Folgerungen daraus hergeleitet. Wenn A und B unabhängig sind, dann gelten also außer der bekannten Gleichung P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) noch drei weitere Gleichungen: P(A B) P(A) P(B)∩ = ⋅ P(A B) P(A) P(B)∩ = ⋅ P(A B) P(A) P(B)∩ = ⋅ Die Unabhängigkeit der Ereignisse A, B „überträgt“ sich also.

Satz:

„Übertragungssatz“: Sind zwei Ereignisse A und B unabhängig, so sind auch die folgenden Ereignisse jeweils unabhängig: • A und B

• A und B • A und B

Zum Einüben der Multiplikationstabelle bzw. des Übertragungssatzes dient die folgende Aufgabe, wel-che die Schüler in Einzelarbeit lösen.

Aufgabe




Lösung: Die zugehörige Vierfeldertafel ist wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit eine Multiplikationstabelle, die z. B. folgendermaßen erstellt werden kann:

A A

B 3 2 25 3 5⋅ = 2 2 4

5 3 15⋅ = 23

B 3 1 15 3 5⋅ = 2 1 2

5 3 15⋅ = 13

35 2

5 1

25P(C) P(A B) 0,4 40 %= ∩ = = = 2

15P(D) P(A B) 0,133 13,3 %= ∩ = ≈ = 71 4

5 15 15P(E) P(A B) P(A B) 0,467 46,7 %= ∩ + ∩ = + = ≈ = 3 1345 15 15P(F) P(A B) P(A) P(A B) 0,867 86,7 %= ∪ = + ∩ = + = ≈ =

oder z. B. kürzer 132

15 15P(F) 1 P(D) 1 0,867 86,7 %= − = − = ≈ =

Nun folgt eine etwas komplexere Aufgabe, die in Partnerarbeit gelöst wird.

Aufgabe


Lösung: a) Aufgrund der Pfadregeln

ergibt sich: 6 38 4P(A) 75 %= = = 4 18 2P(B) 50 %= = =

b) Linke Seite der Produkt-bedingung:

38P(A B)∩ =

Rechte Seite der Produkt-bedingung:

3 314 2 8P(A) P(B)⋅ = ⋅ =

Somit ist die Unabhängigkeit von A und B bewiesen.

Der Lehrer weist nun darauf hin, dass bei der Hausaufgabe auf die nächste Stunde eine „Ehepaar mit Kindern“-Aufgabe mit einer fast identischen Aufgabenformulierung dabei sein wird. Einziger Unter-schied wird sein: Das Ehepaar hat jetzt nur zwei Kinder. Dann werden die Ereignisse A und B nicht mehr als unabhängig, sondern als abhängig zu beweisen sein. Den Schülern soll damit bewusst werden, dass ähnliche Aufgabenstellungen nicht immer ähnliche Lösungen haben. Zur Beurteilung, ob zwei Ereignisse unabhängig sind oder nicht, ist daher eine genaue rechnerische Überprüfung der Produktbedingung nötig.

Material MA 2



Aufgaben 9, 10 und 11 von MA 2 Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:

5 Der „Übertragungssatz“ Sind A und B zwei beliebige unabhängige Ereignisse, so ist die zuge-hörige Vierfeldertafel eine Multiplikationstabelle. Sind zwei Ereignisse A und B unabhängig, so sind auch die folgenden Ereignisse jeweils unabhängig: • A und B

• A und B • A und B

Hausaufgabe


Tafelbild





a) A A B 0,14 0,61 0,75

B 0,06 (0,19) (0,25)

0,20 (0,80) (1,00) Wegen (z. B.) 0,20 ⋅ 0,75 = 0,15 ≠ 0,14 ist die Vierfeldertafel keine Multiplikationstabelle. Also sind A und B abhängig.

b) C C

D 18 % 42 % 60 %

D 12 % 28 % 40 %

30 % 70 % 100 % P(„weder C noch D“) P(C D) 28 %= ∩ =

c) E E

F 45 % 30 % 75 %

F 15 % 10 % *) 25 %**)

60 % 40 % 100 %

*) P(G) P(E F)= ∩ = 1 – P(E ∪ F) = 1 – 90 % = 10 % **) Wegen der Unabhängigkeit von E und F muss eine Multiplikationstabelle vorliegen.

Somit gilt:

P(F E) P(F) P(E)∩ = ⋅ ⇒ P(F E) 10 % 10 140 % 40 4P(E)

P(F) 25 %∩= = = = =

Für die Ereignisse H und I gilt: P(H) P(E F) 30 %= ∩ =

P(I) P(E F) P(E F) 30 % 15 % 45 %= ∩ + ∩ = + = Aufgabe 10 von Material MA 2

a) Aufgrund der Pfadregeln ergibt sich: 2 14 2P(A) 50 %= = = 34P(B) 75 %= =

b) Linke Seite der Produktbedingung: 2 14 2P(A B)∩ = =

Rechte Seite der Produktbedingung: 3 31

2 4 8P(A) P(B)⋅ = ⋅ = Es gilt also: P(A ∩ B) ≠ P(A) ⋅ P(B) Somit ist die Abhängigkeit von A und B bewiesen.





a) Aufgrund der Pfadregeln ergibt sich: 1

10P(A B) 0,1∩ = =

( ) ( )3 31 110 10 10 104 4

10 1016100

P(A) P(B)

0,16

⋅ = + ⋅ +

= ⋅

=

=

Wegen 0,1 ≠ 0,16 sind A und B somit abhän-gig.

b) Falls das erste Los vor dem zweiten Ziehen

wieder zurückgelegt würde (was natürlich sehr unrealistisch wäre), wären A und B unabhängig.

425P(A B)∩ =

( ) ( )6 64 425 25 25 25

10 1025 252 25 5425

P(A) P(B)⋅ = + ⋅ +

= ⋅

= ⋅

=

Es würde also gelten: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) ⇒ A, B unabhängig

6 Anwendungsaufgaben

Der Lehrer gibt einen Einstieg in diese Stunde. An mehreren Beispielen haben wir gesehen, dass die Untersuchung von zwei Ereig-nissen auf ihre Unabhängigkeit mithilfe der Produktbedingung zu überraschenden Ergebnissen führen kann. Bei den folgenden Aufgaben wollen wir den Spieß umdrehen und die Unabhängig-keit nicht beweisen, sondern ihre Gültigkeit voraussetzen. Wir werden also jetzt die Produktbedingung nicht nachweisen, sondern sie voraussetzen.

Neudurchnahme



Mit den Schülern wird nun diskutiert, wann dieses Vorgehen gerechtfertigt erscheint. Natürlich sinkt mit diesem Vorgehen der Aufwand. (Für das vollständige Ausfüllen der Vierfeldertafel benötigt man z. B. nur eine untere und eine rechte Randwahr-scheinlichkeit). Zu akzeptierende Situationen für die – allerdings oft idealisierende – Unabhängigkeits-Annahme könnten z. B. sein: • Zwei verschiedene Würfel werden gleichzeitig geworfen, die sich nicht gegensei-

tig stören können, die also z. B. nicht durch eine Schnur miteinander verbunden sind.

• Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen und es wird angenommen, dass nach dem ersten Wurf keine Abnutzungserscheinung auftritt.

• Bei einem Glücksspiel werden nacheinander mehrere verschiedene Zufallsgeräte (z. B. Würfel und Glücksrad) benutzt, die nichts miteinander zu tun haben.

• Bei einem Herstellungsverfahren oder bei einem Kontrollverfahren arbeiten zwei völlig getrennte, verschiedene Geräte, die sich in ihrer Wirkungsweise gegenseitig nicht beeinflussen.

Die erste Aufgabe wird im Unterrichtsgespräch gelöst.

Aufgabe


Lösung: a) Mögliche Antworten:

• Antriebssystem eines zweimotorigen Flugzeugs mit den Geräten 1. Motor und 2. Motor, wenn diese unabhängig voneinander arbeiten.

• Datensicherungssystem eines Computers mit den Geräten 1. externe Festplatte und 2. externe Festplatte, wenn auf diesen jeweils alle Dateien unabhängig voneinander gespeichert werden.

b) P(A B) 1 P(A B) 1 a b∩ = − ∩ = − ⋅

c) P(A B) (1 a) (1 b)∩ = − ⋅ −

d) Für das Risiko aus Teilaufgabe b gilt: 1 – 90 % ⋅ 95 % = 1 – 0,9 ⋅ 0,95 = 0,145 = 14,5 % Bei einem sicherungskritischen System dürfte dieses Risiko viel zu hoch sein.

Für das Risiko aus Teilaufgabe c gilt: (1 – 90 %) ⋅ (1 – 95 %) = (1 – 0,9) ⋅ (1 – 0,95) = 0,1 ⋅ 0,05 = 0,005 = 0,5 % Das Risiko ist erheblich gesunken.

Das folgende Beispiel wird in Partnerarbeit gelöst.

Aufgabe


Lösung: Es werden die folgenden Ereignisse definiert: M: „Wettermann hat recht.“ F: „Wetterfrosch hat recht.“

Material MA 2

Material MA 2



Damit gilt:

M M

F 72 % 8 % 80 %

F 18 % 2 % 20 %

90 % 10 % 100 %

a) P(M F) 72 %∩ =

b) P(M F) 2 %∩ =

c) 100 % P(M F) 100 % 2 % 98 %− ∩ = − =

d) P(M F) P(M F) 18 % 8 % 26 %∩ + ∩ = + =

e) P(M F) 18 %∩ =

f) Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(F M) 18 % 18 9

F 20 % 20 10P(F )P (M) 90 %∩= = = = =

g) Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(M F) 8 %

M 10 %P(M)P (F) 80 %∩= = =

Bemerkung: Bei den Teilaufgaben f und g kann die Wahrscheinlichkeit leichter berechnet werden, wenn die Unabhängigkeit von F und M berücksichtigt wird:

FP (M) P(M) 90 %= =

MP (F) P(F) 80 %= =

Der Lehrer regt eine Diskussion an, ob bei diesem Beispiel die Unabhängigkeitsannahme gerechtfertigt ist. Als mögliche Aspekte der Diskussion sind denkbar: • Den beiden Unternehmen könnten zum Teil gleiche Daten vorliegen, sodass keine

komplette Unabhängigkeit vorliegen würde. • Die von den beiden Unternehmen angewandten Vorhersage-Theorien könnten

ähnlich sein, sodass keine vollständige Unabhängigkeit gegeben wäre. • Die von den beiden Unternehmen benutzte Hardware könnte aus ähnlichen Teilen

bestehen, sodass keine totale Unabhängigkeit gegeben wäre. Bei der nächsten Aufgabe ist die Unabhängigkeits-Annahme gerechtfertigt. Weil dabei Zufallsexperi-mente nacheinander durchgeführt werden, sind Baumdiagramme bzw. Baumdiagramm-Ausschnitte besonders anschauliche Hilfsmittel. Die Aufgabe wird in Partnerarbeit gelöst.

Aufgabe




Lösung: Der rote Sektor wird mit der Wahrscheinlichkeit

45 1360 8

°°= gedreht.

Davon unabhängig wird eine gerade Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit 3 16 2=

geworfen.

a) Wegen der Unabhängigkeit gewinnt man das Spiel mit folgender Wahrscheinlich-keit: 1 1 18 2 16⋅ =

b) i) 1256 0,004 0,4 %≈ =

ii) 15 15 311256 256 256 256 0,121 12,1%+ + = ≈ =

Kürzer: 225 31256 2561 0,121 12,1%− = ≈ =

Bemerkung: Beim Baumdiagramm erkennt man die Unabhängigkeit daran, dass bei den Pfadabschnit-ten des 2. Spiels die gleichen Wahrscheinlichkeiten vorkommen wie bei den Pfadabschnitten des 1. Spiels. Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:

6 Anwendungsaufgaben Bei diesen Aufgaben wird der Spieß umgedreht und die Unabhängig-keit nicht bewiesen, sondern ihre Gültigkeit vorausgesetzt. Zu akzeptierende Situationen für die Unabhängigkeits-Annahme könnten z. B. sein: • Zwei verschiedene Würfel werden gleichzeitig geworfen, die sich

nicht gegenseitig stören können, die also z. B. nicht durch eine Schnur miteinander verbunden sind.

• Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen und es wird angenommen, dass nach dem ersten Wurf keine Abnutzungs-erscheinung auftritt.

• Bei einem Glücksspiel werden nacheinander mehrere verschiedene Zufallsgeräte (z. B. Würfel und Glücksrad) benutzt, die nichts mit-einander zu tun haben.

• Bei einem Herstellungsverfahren oder bei einem Kontrollverfahren arbeiten zwei völlig getrennte, verschiedene Geräte, die sich in ihrer Wirkungsweise gegenseitig nicht beeinflussen.

Tafelbild



Material

Lungenkrebs durch Rauchen? Was ist Lungenkrebs?

Lungenkrebs ist ein bösartiger Tumor, der im Lungengewebe oder den tieferen Atem-wegen (Bronchien) entsteht. Oft wird er erst in fortgeschrittenem Stadium erkannt. Ob er heilbar ist oder nicht, hängt unter anderem davon ab, wie weit sich der Tu-mor im Körper ausgebreitet hat.

Welche Risikofaktoren für Lungenkrebs gibt es?

Der größte Risikofaktor ist Tabakrauch (durch Zigaretten, Zigarren, Pfeife oder Wasserpfeife). Auch Passivrauchen erhöht das Risiko. Es können aber auch Men-schen, die immer Nichtraucher waren und auch nicht Passivraucher waren, an Lun-genkrebs erkranken. Es gibt nämlich z. B. auch folgende Risikofaktoren: • „Asbest“ aus älteren Gebäuden oder

am Arbeitsplatz • das Edelgas Radon, das in bestimmten

Gegenden Deutschlands in natürlichem Gestein vorkommt und über den Boden in die Wohnungen gelangen kann

• Strahlenbelastung durch medizinische Untersuchungen

• Dieselruß und andere Luftschadstoffe Eine gesunde Lebensweise (z. B. an Früchten und frischem Gemüse reiche Er-nährung und körperliche Aktivität) kann sich auf das Lungenkrebsrisiko positiv auswirken. Wer sich für sein persönliches Lungen-krebsrisiko interessiert, sollte mit seinem Hausarzt sprechen – er kennt die indivi-duelle Situation und kann auch über mög-liche weitere Risikofaktoren informieren.

Hauptrisikofaktor Tabakrauch

Der Tabakrauch enthält Hunderte schäd-licher Substanzen. Männliche Raucher haben ein zwanzig bis dreißigmal so großes Risiko, an Lungen-krebs zu erkranken, wie Nichtraucher. Rau-cherinnen haben ein neunmal so großes Risiko, an Lungenkrebs zu erkranken, wie Nie-Raucherinnen. Etwa jeder zehnte Rau-cher erkrankt im Laufe seines Lebens an Lungenkrebs, im Durchschnitt 30 bis 40 Jahre nach Beginn des Tabakkonsums. Jedes Jahr sterben in Deutschland schät-zungsweise 36 000 Menschen an Lungen-krebs durch Rauchen. Das Risiko hängt stark davon ab, wie viel ein Mensch geraucht hat. Je früher Jugend-liche zur Zigarette greifen, desto höher ist das Risiko für ihre Gesundheit. Auch Pas-sivrauchen erhöht das Risiko. 260 Nicht-raucher sterben in Deutschland jährlich an Lungenkrebs, weil sie Tabakrauch ausge-setzt waren.

Lohnt es sich, mit dem Rauchen aufzuhören?

Ja! Nach Ende des Tabakkonsums sinkt das Risiko, an Lungenkrebs zu erkranken. Der Effekt zeigt sich schon nach wenigen Jahren. Allerdings dauert es 20 bis 30 Jah-re, bis sich das Lungenkrebsrisiko eines Ex-Rauchers an das eines Nie-Rauchers angeglichen hat. Am besten gar nicht mit dem Rauchen anfangen, zumal das Rau-chen neben Lungenkrebs auch viele andere Krankheiten hervorrufen kann. In Deutsch-land sterben jedes Jahr 110 000 bis 140 000 Menschen an den Folgen des Rauchens!

MA 1 Kopiervorlage



Aufgaben

1. Eine Stadt hat 100 000 Einwohner. 25 000 Einwohner sind Raucher (R), 100 Ein-wohner sind an Lungenkrebs (L) erkrankt. 80 Einwohner sind lungenkrebskranke Raucher.

a) Füllen Sie die zugehörige Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten voll-ständig aus.

L L

R

R

Nun wird folgendes Zufallsexperiment betrachtet: Ein Einwohner dieser Stadt wird zufällig ausgewählt. R bezeichnet jetzt das Ereignis „Ein Raucher wird aus-gewählt“ und L das Ereignis „Ein Lungenkrebskranker wird ausgewählt“.

b) Erstellen Sie die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

c) Berechnen Sie nun die bedingte Wahrscheinlichkeit PR(L) und vergleichen Sie diese mit der absoluten Wahrscheinlichkeit P(L).

2. Beim Skatspiel wird mit 32 Karten gespielt. Es gibt 4 Farben (Karo, Herz, Pik, Kreuz) und von jeder Farbe 8 Karten (Sieben, Acht, Neun, Zehn, Bube, Dame, König, Ass). Aus dem Kartenstapel wird eine Karte zufällig gezogen. Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse A: „ein Ass wird gezogen“ und B: „eine Herzkarte wird gezogen“ (voneinander) unabhängig sind.

3. Gegeben ist ein ideales Dodekaeder (Zwölf-flächner) mit den Aufschriften 1, 2, 3, ... , 11, 12 und das Zufallsexperiment „einmaliges Werfen dieses Dodekaeders“ mit dem Ergebnisraum Ω = 1, 2, 3, …, 11, 12. Untersuchen Sie, ob die folgenden Ereignisse voneinander unabhängig sind: A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 und B = 1, 2, 3, 10, 11, 12

MA 2 Arbeitsblatt



4. Beziehen Sie sich bei den Berechnungen auf die Werte aus Aufgabe 1.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Einwoh-ner dieser Stadt ein lungenkrebskranker Raucher ist?

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Lungen-krebskranker dieser Stadt Raucher ist.

c) Anschaulich ist klar, dass sich auch die Ereignisse R und L gegenseitig beein-flussen. Beweisen Sie nun, dass die Ereignisse R und L voneinander abhängig sind.

5. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Ereignisse betrachtet, von denen keines die Wahrscheinlichkeit 0 hat. Dann folgt bekanntlich aus ihrer Unverein-barkeit ihre Abhängigkeit.

a) Zeigen Sie, dass man daraus nicht schließen kann, dass aus ihrer Abhängigkeit ihre Unvereinbarkeit folgen muss. Tipp: Suchen Sie ein Gegenbeispiel bei dem Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel aus Aufgabe 1.

b) Zeigen Sie, dass aus der Abhängigkeit zweier Ereignisse mit jeweils von null verschiedener Wahrscheinlichkeit auch nicht ihre Vereinbarkeit folgen muss. Tipp: Suchen Sie ein Gegenbeispiel bei dem Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel aus Aufgabe 1.

6. Beziehen Sie sich bei der folgenden Einfüll-Aufgabe auf die Bezeichnungen von Aufgabe 1 und die hierzu bereits gewonnenen Erkenntnisse. Tragen Sie in der folgenden Tabelle jeweils unvereinbar /vereinbar und unab-hängig /abhängig ein.

R R L Ω

R

R

L

Ω

7. Bei einem Zufallsexperiment seien A und B unabhängige Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten

35 bzw.

23 .

Berechnen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: C: „sowohl A als auch B“ D: „weder A noch B“ E: „entweder A oder B“ F: „A oder (auch) B“



8. Sie sind demnächst bei einem Ehepaar ein-geladen, von dessen Kindern Sie nur wis-sen, dass es drei sind. Sie nehmen ferner an, dass bei diesem Paar die Wahrschein-lichkeit für die Geburt eines Jungen immer genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens war. Nun interessieren Sie sich für die folgen-den Ereignisse: A: „Die Kinder haben nicht alle das gleiche Geschlecht.“ B: „Das Ehepaar hat höchstens eine Tochter.“

a) Welche Wahrscheinlichkeiten ordnen Sie den Ereignissen A und B zu?

b) Zeigen Sie, dass dann die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.

9. a) Zu zwei Ereignissen A und B gehöre die folgende nur teilweise ausgefüllte Vierfeldertafel:

A A

B 0,61 0,75

B 0,06

Untersuchen Sie die beiden Ereignisse auf Unabhängigkeit.

b) Zu zwei unabhängigen Ereignissen C und D gehöre die folgende nur teilweise ausgefüllte Vierfeldertafel:

C C

D

D 40 %

30 %

Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel und bestimmen Sie die Wahrschein-lichkeit, dass weder C noch D eintritt.

c) Gegeben ist ein Zufallsexperiment mit den unabhängigen Ereignissen E und F. Das Ereignis E tritt mit 60 %iger Wahrscheinlichkeit ein. Die Wahrschein-lichkeit, dass das Ereignis E oder das Ereignis F eintritt, beträgt 90 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: G E F= ∩ H: „Von den beiden Ereignissen tritt nur das Ereignis F ein.“ I: „Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein.“ Tipp: Erstellen Sie die zugehörige Vierfeldertafel (Multiplikationstabelle).



10. Sie sind demnächst bei einem Ehepaar eingeladen, von dessen Kindern Sie nur wissen, dass es zwei sind. Sie nehmen ferner an, dass bei diesem Paar die Wahr-scheinlichkeit für die Geburt eines Jungen immer genau so groß wie die Wahr-scheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens war. Nun interessieren Sie sich für die folgenden Ereignisse: A: „Die Kinder haben nicht alle das gleiche Geschlecht.“ B: „Das Ehepaar hat höchstens eine Tochter.“

a) Welche Wahrscheinlichkeiten ordnen Sie den Ereignissen A und B zu?

b) Zeigen Sie, dass dann die Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.

11. Kurz vor Ende eines Festes sind im Loskorb eines Glückshafens noch zwei Gewinnlose (g) und drei Nieten (n). Jonas zieht hintereinander zwei Lose (zufällig) heraus. A sei das Ereignis „Jonas gewinnt (mindestens) mit seinem ersten Los“. B sei das Ereignis „Jonas gewinnt (mindestens) mit seinem zweiten Los“.

a) Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse abhängig sind.

b) Wie müsste das Zufallsexperiment abgeändert werden, damit die obigen beiden Ereignisse unabhängig werden?

Tipp: Baumdiagramme

12. Gegeben sei ein technisches System mit zwei voneinander „unabhängig“ funk-tionierenden wichtigen Geräten I und II. A sei das Ereignis „Gerät I funktioniert einwandfrei“. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit werde mit a abgekürzt. B sei das Ereignis „Gerät II funktioniert einwandfrei“. Die zugehörige Wahrschein-lichkeit werde mit b abgekürzt. Die zugehörige Vierfeldertafel schaut dann ge-nauso wie die Multiplikationstabelle der 3. Unterrichtsstunde aus:

A A

B a ⋅ b (1 – a) ⋅ b b

B a ⋅ (1 – b) (1 – a) ⋅ (1 – b) 1 – b

a 1 – a 1

a) Welche Beispiele fallen Ihnen hierzu ein? Um welche technischen Geräte könnte es sich handeln?

b) Das System funktioniere nur dann einwandfrei, wenn beide Geräte einwand-frei funktionieren. Wie groß ist das Risiko, dass das System ausfällt?

c) Das System funktioniere genau dann einwandfrei, wenn mindestens eines der beiden Geräte einwandfrei funktioniert. Wie groß ist nun das Risiko, dass das System ausfällt?

d) Berechnen Sie für a = 90 % und b = 95 % die Risiken aus Teilaufgabe b und c. Vergleichen Sie die Werte.



13. Als eifriger Wetterbeobachter wis-sen Sie: Das meteorologische Insti-tut „Wettermann“ irrt sich bei der Wettervorhersage für den nächsten Tag nur in etwa 10 % aller Fälle. Ein Konkurrenzunternehmen, das mit etwas älterer Software arbei-tende Institut „Wetterfrosch“, liegt dabei in ca. 20 % aller Fälle falsch. Sie nehmen an, dass beide Firmen völlig unabhängig voneinander arbeiten. Nun schauen Sie sich im Internet die Vorhersagen der beiden Institute für den nächsten Tag an. Wie groß ist die Wahrscheinlich-keit dafür, dass

a) beide Unternehmen ins Schwarze treffen?

b) sich beide Unternehmen irren?

c) wenigstens ein Unternehmen richtig liegt?

d) genau ein Unternehmen richtig liegt?

e) nur der „Wettermann“ recht hat?

f) der „Wettermann“ recht hat, wenn der „Wetterfrosch“ irrt?

g) der „Wetterfrosch“ recht hat, wenn der „Wettermann“ irrt?

Tipp: Vierfeldertafel als Multiplikationstabelle

14. Bei einem Glücksspiel muss man zuerst ein (ideales) Glücksrad drehen (roter Sektor: 45°) und dann noch einen (idealen) Würfel werfen. Man gewinnt genau dann, wenn man den roten Sektor dreht und eine gerade Zahl würfelt.

a) Wie groß ist die Gewinnchance, wenn man das Spiel einmal durchführt?

b) Nun wird das Spiel zweimal hintereinander gespielt. i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man jedes Mal? ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man mindestens einmal?

Unabhängigkeit von zwei Ereignissen – Ein … · in erster Linie um einen gut verständlichen...

Documents

Transcript of Unabhängigkeit von zwei Ereignissen – Ein … · in erster Linie um einen gut verständlichen...