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Und man braucht sie doch!

Nützlichkeit von Mathematik erfahrbar machen

Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg

Wien, 27.2.08

Gliederungp Nützlichkeit von Mathematikn Wozu braucht man Mathematik?n Relevanzparadoxonn Ebenen der Nützlichkeit

p Nützlichkeit im Unterricht erfahrbar machen

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Wozu braucht man Mathematik?

Wozu braucht man Mathematik?p Mathematik ist wichtig – sagt der Lehrerp Kommt diese Botschaft bei den Schülern

auch an?

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Wozu braucht man Mathematik?p „Ich finde das richtig [dass Mathematik nach

Klasse 6 abgeschafft wird], weil man nach der sechsten Klasse alles Wichtige im Leben weiß.“(Schüler, Klasse 7)

p „[Mathematik hat] für die gesamte Gesellschaft keine große [Bedeutung], da nur die elementarsten mathematischen Dinge von Nutzen sind. Zum Beispiel um den Zahlungsverkehr mit Geld zu gewährleisten, und dazu bracht man nun keine exponentiellen Gleichungen.“ (Studentin, 1. Semester)

Braucht man Mathematik überhaupt?

Mathematik Realität

nicht exakt

oft unkalkulierbar

komplex

selten in Formeln erfassbar

abstrakt

logisch

sehr exakt

formal

eindeutig

Unvereinbare Gegensätze?

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Wozu braucht man Mathematik?p Nützlichkeit ist einsichtig für die Inhalte

bis Klasse 6 oder 7, danach wenigerp Mathematik zwischen diffusem „wichtig“

und subjektiv empfundener Nutzlosigkeitp Was meint man eigentlich mit „nützlich“ in

Bezug auf die Mathematik?n Inwiefern ist sie nützlich für einen Menschen?n Wann ist sie nützlich für alle Menschen?

pà verschiedene Perspektiven sind nötig!

Nützlichkeit von Mathematikp Direkter Nutzen für das Individuum:n Extreme Position: Nur die Mathematik ist

nützlich, die man im Alltag unbedingt benötigtn Das ist wenig!

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Nützlichkeit von Mathematikp Indirekter Nutzen:p Fundamentale Rolle für viele Wissenschaften p Fundamentale Rolle für Errungenschaften des

Alltagsn Geld- und Geschäftsanlegenheitenn Graphische Darstellungenn Verschlüsselungenn Landkartenn Wahlsystemen Politische Entscheidungen basieren auf

Modellierungen und Statistik

Relevanzparadoxonp Alltag basiert zunehmend mehr auf Mathematikp Mathematik „verschwindet“ zunehmend hinter

der Technikp Mathematischen Grundlagen sind vielfach zu

komplexp Bedeutung von Mathematik wird vielen Menschen

nicht klarp Beispiel:

n Waagen GPS

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Relevanzparadoxonp Herausforderung im Unterricht:

n Paradoxon nicht unter den Teppich kehrenn Sonst werden Schüler in ihrem Glauben bestätigtn „Mathe wird meiner Meinung nach viel zu hoch

bewertet! Die große Allgemeinheit profitiert zwar indirekt von Mathe durch Wissenschaft, kaum einer kann aber wirklich etwas damit anfangen (wenn sie/er nicht gerade im Mathebereich tätig ist).“ (Studentin, 1. Semester, 2003)

n Nützlichkeit: Individuelle Nützlichkeit; Nützlichkeit für verschiedene Lebensbereiche und Berufsfelder

n Lebensvorbereitung – Weltorientierung (Heymann 1996)

n Wo ist Mathematik überall „nützlich“?

Ebenen der Nützlichkeitp „Rechnen“ im Alltagp Leichter kommunizierenp Mittel zum kritischen Hinterfragenp Einsicht in Lebens- und Berufsfelder

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„Rechnen“ im Alltagp Umgang mit Zahlen und Beherrschen

grundlegender Rechenoperationenp Grundrechenarten, Zinsrechnen, Bruchrechnen,

Prozentrechnen und proportionale Zuordnungenp à Rechnerp Rechnungen kontrollieren, überschlagen,

schätzen, runden, Größenordnungen einschätzenp In welchen Situation genau muss man noch

rechnen, überschlagen, etc.?

„Rechnen“ im Alltagp Urlaub und Währungenp Kontostand überschlagenp Kredit und Bedeutung des Zinssatzesn Sondertilgung

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„Rechnen“ im Alltagp Umrechnen von

Rezeptangaben auf n Andere Personenanzahlenn Andere Größe einer Backform

p Maschenprobep Farbe zum Streichen der

Wohnung

Ebenen der Nützlichkeitp „Rechnen“ im Alltagp Leichter kommunizierenp Mittel zum kritischen Hinterfragenp Einsicht in Lebens- und Berufsfelder

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Leichter kommunizierenp Lesen von Karten und Fahrplänen

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Leichter kommunizierenp Lesen von Karten und Fahrplänenp Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber)

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Leichter kommunizierenp Lesen von Karten und Fahrplänenp Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber)p Statistischen Angaben in Medienn „Die Heilungschancen von Leukämie bei

Kindern sind gestiegen: Vorher wurde nur jedes 7. Kind geheilt, jetzt 80%“

n Graphiken

Leichter kommunizieren

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Leichter kommunizierenp Lesen von Karten und Fahrplänenp Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber)p Statistischen Angaben in Medien

n „Die Heilungschancen von Leukämie bei Kindern sind gestiegen: Vorher wurde nur jedes 7. Kind geheilt, jetzt 80%“

n Graphiken

p Formeln können Berechnungsvorschriften kurz darstellen (Bsp. Bremsweg)

Leichter kommunizierenp Mathematische Begriffe können die

Kommunikation präzisieren (Rechteck, parallel, Kegel…)

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Leichter kommunizierenp Lesen von Karten und Fahrplänenp Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber)p Statistischen Angaben in Medien

n „Die Heilungschancen von Leukämie bei Kindern sind gestiegen: Vorher wurde nur jedes 7. Kind geheilt, jetzt 80%“

n Graphiken

p Formeln können Berechnungsvorschriften kurz darstellen (Bsp. Bremsweg)

p Mathematische Begriffe können die Kommunikation präzisieren (Rechteck, parallel, Kegel…)

Leichter kommunizierenp Mathematik nutzen heißt auch, gestützt

durch Mathematik zu kommunizierenp Mathematikhaltige Botschaften

entschlüsselnp Allerdings:n Mathematische Sprache kann auch

unverständlich sein!

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Nützlichkeit von Mathematikp „Rechnen“ im Alltagp Leichter kommunizierenp Mittel zum kritischen Hinterfragenp Einsicht in Lebens- und Berufsfelder

Mittel zum kritischen Hinterfragen

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Mittel zum kritischen Hinterfragenp Finanzierungsangebote

in der Werbung –Beispiel PKW-Kauf

p Angegebene Genauigkeitn (SWR 3, 17.10.05): Jeder

Bundesbürger liest pro Tag 28 Minuten und schaut 126 Minuten TV

Beispiel: Eierverbrauch

p Statistik „Zahlen 83“: 1983 hat jeder Bundesbürger durchschnittlich 272 Eier gegessen.

p Zu genau?p Gegenargument: Wenn es nur ein Ei weniger oder mehr gewesen

wäre, dann hätte man sich um ca. 60 Millionen verzählt. Das ist nicht möglich!

p Volkswirtschaftliche Statistiken sind aber viel ungenauer. Die Zahl der Eier, die wir essen, wird nämlich „aus nationalen Versorgungsbilanzen berechnet, also nicht durch repräsentative Erhebungen.“ (BM für Ernährung, Landwirtschaft und Forsten).

p Um die Anzahl der Eier zu bestimmen, die ein Bundesbürger durchschnittlich im Jahr verzerrt, werden „Erzeugung, Lagerbestandsänderungen und Außenhandel saldiert … Durch Division des Verbrauchs durch die Bevölkerungszahl ergibt sich der Je-Kopf-Verbrauch .

p Dieser Verbrauch entspricht allerdings nicht dem menschlichen Verzehr (Marktverluste, Zubereitungs- und Schälverluste, Abschnitte, Verderb usw. sind nicht quantifiziert). (Schornstein1998)

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Mittel zum kritischen Hinterfragenp Finanzierungsangebote in der Werbung –

Beispiel PKW-Kaufp Angegebene Genauigkeitn Jeder Bundesbürger liest pro Tag 28 Minuten

und schaut 126 Minuten TVn à Beispiel

p Kreditwesen

Mittel zum kritischen Hinterfragenp PRO Sicherheitp Kreditsumme: ab 50.000 €p Zinssatz: 5,4 %, 10 Jahre

fest, ohne Tilgung.p Gleichzeitiges Ansparen

eines Bausparvertrages über die Kreditsumme, der Bausparvertrag löst nach 10 Jahren den Kredit ab.

p Vorteile: Zinssicherheit bis zur vollständigen Tilgung, Tilgung ist nach ca. 20 Jahren fertign Angebot einer Bank aus

Süddeutschland, 2001

p BauFinanzierungLEICHT GEMACHT

p Kreditsumme: ab. 50.000 €

p Zinssatz 5,4 %, 10 Jahre fest Tilgung: 1 %, 2 %, …nach Wahl

p Übliche Annuitätenfinanzierung

p

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Nützlichkeit von Mathematikp „Rechnen“ im Alltagp Leichter kommunizierenp Mittel zum kritischen Hinterfragenp Einsicht in Lebens- und Berufsfelder

Einsicht in Lebens- und Berufsfelderp Wie entstehen eigentlich

Computertomogramme?n Strahlenmessung – lineares

Gleichungssystem

p Welches Potential können regenerative Energien für eine bestimmte Region in der Zukunft haben?

p Aidstests: Treffsicherheit: 99%. Was bedeutet es, wenn der Test positiv ausfällt?

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Aidstest (Boer 1997)p Wahrscheinlichkeit für eine Aidsinfektion: 0,1 %p Wahrscheinlichkeit für richtige Positiv-Diagnose:

99,8%p Wahrscheinlichkeit einer richtigen Negativ-

Diagnose: 99 %

A+

A-

T -

T+

T+

T -

0,1%

99,9%

99,8%

0,2%

99 %

1 %

9,98 · 10-4

2 · 10-6

9,99 · 10-3

98,901 · 10-2

Aidstest

%1,91099,91098,9

1098,9)T(P

)TA(P)TA(P 34

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≈⋅+⋅

⋅=

++∩+

=++ −−

−

d. h. ist das Textergebnis positiv, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine tatsächliche Infektion nur 9,1 %.

Beispiel:

100.000 Personen getestet

Davon wären dann 100 Personen infiziert

Der Test würde fast alle Infizierten erfassen.

Von den 99.800 Nicht-Infizierten werden 1% also ca. 1.000 irrtümlich erfasst.

Von 1100 positiven Testergebnissen stimmen nur 100, das sind rund 9 %.

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Einsicht in Lebens- und Berufsfelderp Weltorientierungp Besseres Verständnis von

Zusammenhängen, Geräten und Prozessen

p Metaebene: Wie funktioniert das Anwenden von Mathematik, die Modellbildung? Welche Art Aufklärung kommt dadurch zustande?

Und im Unterricht?p Geeignete Lernanlässep Nicht nur Textaufgabenn Sachverhalt ist häufig viel zu künstlich

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Zähneputzenp Nach dem Zähneputzen ist auf einem

Backenzahn ein Bakterium übrig geblieben. Diese Bakterienart vermehrt sich so, dass die Anzahl der Bakterien nach eine Stunde verdoppelt wird. Wie viele Bakterien sind nach 1,2,3 oder 4 Stunden vorhanden? Stelle eine Funktionsgleichung auf.

Boot fahrenAm Ende einer Bootsfahrt auf einem kreisrunden See wird ein Urlauber von einem knurrenden Hund daran gehindert, in sein am Ufer geparktes Auto zu steigen. Durch Anwendung einer mathematischen List ist es ihm dennoch möglich, unversehrt zu seinem Fahrzeug zu kommen. Welche Strategie wendet der Urlauber an?

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Und im Unterricht?p Geeignete Lernanlässep Nicht nur übliche Textaufgabenn Sachverhalt ist häufig viel zu künstlichn Schüler gewöhnen sich daran und zweifeln

Sachverhalte nicht mehr an…

Problem

p Eingekleidete Aufgaben können den Lernenden den Eindruck vermitteln, dass Mathematik und die Realität nichts miteinander zu tun haben und sich sogar widersprechen.

p Aufgabe: Die Klasse 8a bekommt ihre Mathematikarbeit zurück, für die 45 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung stand. Milena war schon nach 15 Minuten fertig, ihre Arbeit wurde mit 1 beurteilt. Rudi brauchte 30 Minuten und schrieb eine 2. Kannst du sagen, welche Note Tanja erhielt, die ihre Arbeit erst nach 45 Minuten abgab? Begründe deine Antwort!

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Und im Unterricht?Man sollte

p Aufgaben aus allen Bereichen der Nützlichkeit von Mathematik Beachtung schenken und sich nicht auf das „Rechnen im Alltag“ beschränken

p auch fächerübergreifende Themen behandelnp sich nicht scheuen, längere Texte einzusetzenp offene Problemstellungen im Unterricht behandeln, denn

realistische Probleme sind in der Regel offen p Aufgaben auswählen, deren mathematischer Inhalt nicht

direkt vor der Aufgabe behandelt wurde.p Aufgaben mit realistischem Sachkontext auswählenp Dem Sachkontext einen angemessenen Stellenwert

einräumen.p Sorgfältige Analyse des Sachkontextes, der Aufgabe und

der damit verfolgten Zielsetzungen.

Aufgabenanalysep Sachkontextn Authenzitätn Schülernähen Zielsetzung

p Offenheit und Komplexitätp Mathematischer Inhalt

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Authenzitätp Eine authentische Situation ist eine

außermathematische Situation, die in ein bestimmtes Gebiet eingebettet ist und sich mit Phänomenen und Fragen beschäftigt, die für dieses Gebiet bedeutsam sind und von den entsprechenden Fachleuten auch als solche erkannt werden. Dabei gilt auch der Alltag als „Gebiet“ und hier die Menschen, die in ihm leben, als „Fachleute“.

p Eine Situation wird auch als authentisch angesehen, wenn sie im Unterricht nur simuliert wird.

Authenzität des Sachkontextesp Eingekleidete Textaufgabe:

n Kontext ist nicht relevantn Kontext wurde extrem vereinfacht oder ist künstlich

p Realitätsnahe Aufgabe:n Aufgabe hat Bezug zur Realität, wurde aber vereinfacht

p Realistischer Kontext – Fragestellung?n Mit einer didaktisch relevanten Fragestellungn Mit einer interessanten Fragestellung, die Einblick in ein

bestimmtes Gebiet gibt.n Mit einer authentischen Fragestellung, die auch von

Experten dieses Gebietes als authentisch angesehenwird.

n Authentische Fragestellungen von allen Ebenen derNützlichkeit von Mathematik

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Schülernähep Wann ist ein Sachkontext schülernah?n Rechnen im Alltagn Kommunizieren im Alltagn Kritisches Hinterfragenn Aber auch: Einblicke

p Verständlich für die Schüler

Zielsetzungp Einfaches Anwenden eines bestimmten

mathematischen Inhaltesp Heuristische Strategienp Mathematik flexibel anwenden? p Einblick in den Nutzen von Mathematik

bekommen?

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Offenheit und Komplexitätp Eindeutige Lösung?p Ein Lösungsweg?p Alle Angaben vorhanden?p Viele Lösungen möglich?p Mehrere Lösungswege?p Angaben müssen erst ermittelt werden?

Modellierungsprozess

Reales

Problem

MathematischeLösung

Realmodell

Mathematisches

Modell

vereinfachen

mathematisieren

mathematischarbeiten

interpretieren,

validieren

Realität

Mathematik

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Beispiel 1

Dieses Angebot für Berliner gab es in Freiburg am 22.10.05. Ein einzelner Berliner kostete an dem Tag 0,80 €. Würdest du die Preise für die Sonderangebote bei den Berlinern genauso festlegen? Begründe!

Beispiel 2

Bodenseep Der Bodensee ist ein großer See in Baden-

Württemberg, er gehört zum Teil zu Deutschland, zum Teil zu Österreich und der Schweiz.

p Er dient auch als Trinkwasserreservoir, und sogar Stuttgart wird noch aus dem Bodensee versorgt. Aufgefüllt wird der Bodensee durch den Zufluss von Flüssen, das Grundwasser und den Regen. Man kann den Bodensee, außer vielleicht in extremen Trockenzeiten, also nicht leer trinken.

p Dennoch, nur damit wir uns eine Vorstellung von der Größe des Sees machen können: Wie lange bräuchte eine Stadt wie Stuttgart, um mit ihrem normalen Wasserverbrauch den Bodensee zu leeren (wenn er eben nicht nachgefüllt würde)?

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Vogelgrippep Die Vogelgrippe ist eine

Viruserkrankung, die von Vogel zu Vogel übertragbar ist und bei V ögeln zum Tode führt. Die Krankheit auch von Vogel zu Mensch übertragbar und für die Menschen meistens tödlich.

p Besonders gefährlich wird die Situation jedoch, wenn der Vogelgrippevirus so mutiert, d. h. sich so verändert, dass er von Mensch zu Mensch übertragbar ist. Dann besteht die Gefahr einer Pandemie

p Besonders problematisch ist die rasche Geschwindigkeit, mit der sich eine Pandemie verbreiten kann.

p Ein Modell zeigt, wie schnell sich die Vogelgrippe in Asien ausbreiten kann:

p In Thailand hat sich 30 Tage nach dem ersten Fall ein lokaler Krankheitsherd gebildet. Nach 60 Tagen ist der Vormarsch des Erregers selbst durch entschlossene Maßnahmen kaum noch zu stoppen.

p Eine Chance, die Seuche zu stoppen, hat man also lediglich im ersten Monat. Wie kommen die Forscher zu einem solchen Modell? Stelle ein einfaches Modell für die Ausbreitung der Vogelgrippe in Deutschland auf.

p(vgl. Stollorz, Volker: Vogelgrippe: Lokal handeln, global stoppen. In: FAZ, 7.8.2005)

Monatskartenp Sandra Meinert wohnt in Göttingen-

Weende und fährt mit dem Bus von Weende zu ihrer Arbeitsstelle Grone. Die Bürgerkarte kostet im Monat 37,00 €, im Jahresabonnement 372 €. Ein Einzelfahrschein kostet 1,70 €, eine Viererkarte 5,40 €.

p Lohnt sich der Kauf einer Bürgerkarte?p Unter welchen Umständen lohnt sich der

Kauf einer Jahreskarte?p Hole Informationen über die Kosten des

öffentlichen Personennahverkehrs in deinem Wohnort ein. Welche Fahrkartenvariante ist für dich die günstigste?

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Schwangerschaftp Frau Müller ist im März dieses Jahres

wieder schwanger geworden. Es ist ihr viertes Kind. Das Erste wurde am 1.1. geboren, das Zweite am 2.2. und das Dritte am 3.3. In welchem Monat kommt das vierte Kind zur Welt?

Aus der Zeitung…

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Im Unterrichtp Schüler reduzieren Nützlichkeit häufig auf

das Rechnen im Alltag

Im Unterrichtp Schüler reduzieren Nützlichkeit häufig auf das Rechnen im

Alltagn Albert

p Ich habe nicht verstanden, was das Thema [Porsche] bringt. p […] aber ich würde es nicht noch mal machen, weil das Thema

[Stau] mich nicht interessiert.n Elli

p Außerdem interessieren mich Autos nicht und es ist mir eigentlich egal, wie groß die Oberfläche eines Porsche ist

n Gundap Das Thema Handy [war] nicht sehr interessant …, weil ich kein

Handy habe.p Ich finde es recht interessant, weil ich mit meiner Mutter das so

ähnlich für Leinfelden in dem Verein LE Solar mache. Mich hat nichts gestört.

n Carstenp Die Einheit zum Thema „Sonnenenergie“ hat mir sehr schlecht

gefallen, weil es eine Realitätsaufgabe war.“

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Im Unterrichtn Britta

p Sehr interessant….Außerdem fand ich noch interessant, dass unsere Methoden auch in der Medizin genutzt werden, um auf z.B. Formeln wie diese zu kommen.

p Interessant war, dass dieser Stau wirklich war und es wird bestimmt interessant, sich die nötigen Informationen zu beschaffen.

n Dorop Ich fand die Einheit Handy sehr gut, weil

realitätsverbunden, besser als rechnen, interessant, zwar lang, aber hat mich nicht gestört, gut fürs zukünftige Leben.

p Eigentlich fand ich sie gut, sie wissen ja, ich liebe Realitätsaufgaben! War auch mal gut zu sehen, dass Sonnenenergie viel besser und billiger ist. Hab es auch meinen Eltern erzählt, aber sie haben abgelehnt, weil es doch einige Nachteile gibt...

Im Unterrichtp Schüler reduzieren Nützlichkeit häufig auf

das Rechnen im Alltagp Schrittweise zum Denken und Reflektieren

in diesen Bereichen anregenn Was nützt dir das Bearbeiten des Problems?n Ist es realistisch?n Welche Einsichten gewinnst du daraus?n In welcher Weise ist Mathematik hier nützlich?

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Im Unterrichtp Am Anfang nicht zu viel erwartenp Mit eventueller Ablehnung ruhig umgehenp Langsam anfangen p Bei Aufgaben mit unrealistischen

Sachkontexten: n „Intellektuelle Ehrlichkeit“n Bewusst diskutieren

Boot fahrenAm Ende einer Bootsfahrt auf einem kreisrunden See wird ein Urlauber von einem knurrenden Hund daran gehindert, in sein am Ufer geparktes Auto zu steigen. Durch Anwendung einer mathematischen List ist es ihm dennoch möglich, unversehrt zu seinem Fahrzeug zu kommen. Welche Strategie wendet der Urlauber an?

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Boot fahren

Am Ende einer Bootsfahrt auf dem Titisee wird ein Urlauber von einem gefährlich aussehenden Kampfhund daran gehindert, in sein am Ufer geparktes Auto zu steigen. Welche Möglichkeiten hat er, an sein Auto zu gelangen?Inwieweit hilft ihm die Strategie, die in der vorherigen Aufgabe entwickelt wurde?

Aufgaben – woher?p Aufgaben aus Büchern verändern

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Zähneputzenp Nach dem Zähneputzen ist auf einem

Backenzahn ein Bakterium übrig geblieben. Diese Bakterienart vermehrt sich so, dass die Anzahl der Bakterien nach eine Stunde verdoppelt wird. Wie viele Bakterien sind nach 1,2,3 oder 4 Stunden vorhanden? Stelle eine Funktionsgleichung auf.

Zähneputzenp Zahnärzte empfehlen, die Zähne mindestens morgens und

abends zu putzen, am besten jedoch nach jeder Mahlzeit, da sich mit jeder Speise Bakterien auf den Zähnen absetzen, die sich anschließend vermehren. Welche Konsequenzen hat es, wann man nach einer Mahlzeit 6, 12, 24, 48 Stunden die Zähne nicht putzt? Entwickele ein geeignetes mathematisches Modell, das zeigt, wie schnell sich Bakterien vermehren und somit zu Zahnproblemen führen können.

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Modellierungsprozess

Reales

Problem

MathematischeLösung

Realmodell

Mathematisches

Modell

vereinfachen

mathematisieren

mathematischarbeiten

interpretieren,

validieren

Realität

Mathematik

Aufgaben – woher?p Aufgaben aus Büchern verändernp Die Welt durch die „mathematische Brille“

sehenp Didaktische Literatur

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Aufgaben – woher?p Maaß, Katja (2007): Mathematisches

Modellieren im Unterricht – Aufgaben für die Sekundarstufe I

p Istron-Bände 0-11: www.istron-gruppe.de, www.franzbecker.de

p Praxis der Mathematik, Februar 2007p Praxis der Mathematik, August 2005p Mathematik lehren, Heft 111, April 2002p Mathematik lehren, Heft 113, Juni 2002

Weitere Informationenp EU-Projekt LEMA: Internationale

Fortbildung zu Realitätsbezügen und zum Modellieren (www.lema-project.de), ab Ende 2009 wird die ganze Fortbildung im Netz sein, wichtige Informationen bereits jetzt

p Projekt Stratum: Realitätsbezogene Aufgaben für die Hauptschule (Homepage ab Mitte 2008, google)

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Katja.maass@ph-freiburg.de

Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg

Wien, 27.2.08

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!