IV. Uritersuchung ii6er den Druck und die Heiburig des Sandes;

Porn Ober - Buurath H a g e n. ( s c h 1 u cs. )

tj. 3. Uniersucilung des Seilendruckes einer Sand- rnasse, die zwischen zwei nahe beisammen stehenden verlicalen Wanden,aufgesciliitlet ist.

Es war bisher vorausgesetzt worden, d a t die Sand- masse, deren Seitendruck man untersuchte, so weit aus- gedelint war, dafs das drciseitige Prisma des stzrkstcn Bruckes sich vollsthdig biiden konnte. Ich will jetzt versuchen den Seitcndruck zu bestimmen, wenn die Sand- masse so wenig Tiefc hat, dafs sich jenes Yrisma nicht vollstsndig bilden kann , und vielrnelir -in einer Entfer- nung von B , die geringer ist als BC (Fig. 3 Taf. I), sich eine zweite verticale Wand parallel znr ersten be- findet, welche die Sandmasse riickvviirts begranzt. Diese zweite Wand sey D E (Fig 6 Taf. I).

Die einfachste Art zur Aufliisung dieser Aufgabe scbeint diese, dafs man mit Einfuhrung des noch unbe- stinlinten Werthes von dem Winkel B A F = sp den Querschnitt und den horizontalen Druck des vierseitigen Prima’s AB D F berechnet, und durch eine Differentia- tion in Beziehung auf sp ‘denjenigea Werlh fur cp be- stimnlt, der dem Maximum jenes Druckes entspricht. I5 sey die Hirhe der beiden verticalen Wande AB und DE=a, wahrend ihr Abstand von einander =C und ihre Breite = b ist. Es bezeichne ferner y wieder das Gewicht der Raumeinheit des Sandes und sp’ den Win- kel, den der Sand bei der steilsten Aufschuttung gegen das Loth bildet. Setzt man n h :

298 -=tang c q, 2a

so folgt aus der eben angedeuteten Rechnung der Win- kel, den die Trennungsebene des am stjirksten driickeu- den Sandprisma’s gegen die verticale bildet, oder:

und der cntsprechende starkste horizontale Druck, oder: sp=: (~ ’+~) ,

Dieser Druck wirkt aber in einem- Abstanie von A g&h a2--2;c2 b- cot0 c ,

Indem ich diese Resultate init den Beobachtungen, die ich hieriiber anstellte, verglich, zeigte es sich, dal‘s der Druck wirklich schr bcdeutend stArker ausfiel. In eineni speciellen Falle, wo er nacli dcr vorstehenden Reclinung nur halb so grol‘s seyn sollte, als der Druck, den eine weit ausgcdehnte Sandschicht nusgeiibt hztte, war cr nach den Versuchen nur uuluerklich kleiner als der letzte.

Man iibeneugt sich aucl: leicht, dafs die Sandmasse beiin Zuriickdriingen der Wand A B keinesweges nur dicjenige Bewegung cinzugehen geneigt ist, welche dcni eben berechneten Drucke cntspricht; dabei wiirde nSm- lich das Prisma nur kings Fd4 herabgleiten, und ail der Wand D F entstande ein leerer Zwischenraum. Zur Ausfiillung dieses Raumes wird sich in der Wirklichkeit offenbar sogleich von dein vierseitigen Prisma ein drei- seitigcs C; D F trenncn , welches kings G F herabzuglei- ten strebt. Dieser zweiten Bewegung i d s die Wand AB eben so gut wie der ersten widerstehen, und der Uruck, den sie erleidet, ist daher durch beide bedingt. Der horizontale Druck des zweiten Prima’s G D F ge- gen die Wand D F wiirde aber offenbar, wenn keine Reibung Ijings D1.’ ,eintrcte, vollstandig auf das letzte Prisma tibergehen uud dessen Druck um so vie1 vernieh-

a- 20-c . cotg 9

299

ren. Zum Beweise denke man die beiden Wznde AB und EF mit dem Boden verbunden, und SO aufgestellt, dafs dieser ganze kastenYhnliche Apparat in horizcintaler Richtung beweglich ist, wahrend der obere Theil der zweiten Wand, oder D P absolut fest ist. Dann wird der horizontale Druck des Prima's D F G sich durch die Sandmasse, die er zunachst beriihrt, auf die vordcre Wand AB nebst den dainit verbundeuen Theilen fort- setzen .und dieselben zuriickdrsngen. Es wiirde demnach, wenn keine Reibung kings der Ruckwand stattfande, der Druck gegen AB durch das Prisma G D F dieselbe Ver- starkung erleiden, die er bei einer weiteren Rusdehniiiig der Sandschuttung durch das Prisma B F C erlitten hatte, und der Seitendruck des Sandes wiirde daher in beiden Fallen sich gleich bleiben. Ganz dasselbe ware auch der Fall, wenn sich nach der Bewegung des zweiten Pris- ma's noch ein drittes, und nach dicsein vielleicht ein vier- tes gelfist batte u. s. w. Es wiirde also, wenn zwischen dem Sande und der Vorder- und Riickwand keine Rei- bung stattfhde, die Entfernung der letzteren yon einan- der gar keinen Einflufs auf den Seitendruck haben. Ganz anders ist es aber, wenn diese Keibung wirklich stattfin- det, ihr Einflufs auhert sich dann in der folgenden Art. Das dreiseitige Prima G D F strebt schrag langs GJ' herabzusinken ; in dieser Richtung wird auch die zunachst an der Wand D F befindliche Schicht desselben gedriickt werden. Dieser Druck zerlegt sich, wenn man den Win- kel GIPD=y setzt, in einen horizontalen und einen verticaIen Druck. Der erste ist gIeich:

=+ DF' . b . Y . tang cos y--sin y s inq ( n l ) der zweite:

=& DF2 . b y tang y Der erste wirkt ungeschwgcht zuriick von der Wand auf dieselbe Sandschicht, die man zugleich als Theil des vier-

300 seitigen Prisrna’s ansehen kann; die Riclitigkeit diescr An- nahme ergiebt sich aus der fruher angedeuteten hbiinde- rung in der Aufstellung des Apparates. Der zwejte Tlieil oder der verticale Druck vermindert sich dagegen u m die Reibung, die langs der W a n d stattfindet; diese Reibung ist gleich:

+ . - 1 D F2 b y tang tp (cos v--1 sin ?/.I) sin 1/1, V R

daher der iibrigbleibcnde verticale Druck:

1 ivenn - den Coefficient der Reibung zwischen der W a n d

und dcm Sande bezeichnet. Die horizontale Pressung, die auf diese Art das grii-

fsere vierseitige Prisina von dcr Riickwand aus erleidet, kann bci der losen Lage der Sandtheilclien sich keines- weges durcli sie hindurch in seiner Richtung bis zur vor- deren Wand AB forfpflanzcn, weil die Kiirnchen in den horizontalen Schichlen niclit gcschlossen liegen, und sie vielmelir beim Ausscliiittc~~ sich nur in dcr Art lagerten, dafs sic gegen das €Icrabsinlien gesichcrt warcn. Beim Einwirken des horizontalen Druckes gegen diese lockerc Masse mub daher entweder mit cinem grofsen Kraft- verluste ein nalieres Zusamni0nriicken der Theilchen irn Inneren der Snndmosse erfolgen, odhr der Druck kann xiur die allgcmeine Bewegung des Sandprisma’s befijrdern. Das letzte geschieht wirlrlicb, weil dieses altein dem Ma- ximum des Druckes auf die Wand beiin Eintritt der Be- wegung entspricht, denn sollte der erste Fall hier staft ha- ben, so miifsten zuerst die Theilchen iin Inneren der Sand- masse in Bewegung gerathcn, bevor das Maximum des Seitendruckes, und daher das Ueberweichen der W a n d eintritt, was gar nicht maglich ist. Es befiirdert dahcr der horizontale Druck des dreiseitigen Prismas nur das Herab$eiten des vierseitigen kings der TrennungsflYchc

2,

301

AI;: Dasselbe gescliiebt auch mit der verticalen Pres- sung, und man kann dalicr mit Beriicksichtigung beider dell ganzen Druck finden, wolnit das vierseitige Prisina lzngs AI.' herabzugleiten strcbt, so wie auch den hori- zontalen Druck gegen die verticale W a n d AB. Mittelst einer Differentiation dieses Ausdruclres mulste aber noch dejenige Werth von y erinittelt werden, bei dem der horizontale Druck ein Maximuin mird.

Die eben angedcutete Rechiiring Iiifst sich indessen iiur in deiu Falle bcquein ausfuhren, wcnn man die All- gemthinheit der Aufpbe etwas beschrsnkt. W u r d e inan n3mlich die Reibuog zwischen dcrn Sande und der Iliick- wand ganz vernachlassigen, so ficlc die angegebene Ver- iiiinderung des verticalen Druckes fort, und das Prisrna D G F wiirde dieselbe Wirkung 3 u h - n wie das Prisrna D CF, und die a m stiirkstcn driickende Sandmasse wiirde in beiden Fsllen sich in dersclben Ebciie AP trennen, so daCs der Winkel 9 die oben bestimmte Griifse bei- hehaltc und die Trennungsfliiche eine Ebene bliebe. Bci lierucksichtigung jener Keibung veriindert sich der hori- zontale Druclr gegen die Riickwand gar nicht, und tIer verticale auch nicht bedeutend, dalicr bleiben die TJm- stande ungefshr diesclben, und man wird nocli keinc gar zu grolse Abweichung voni Ilesultate erwarten durfen, wenn man dem Wirikel y noch den fruheren Wer th

i~n~rp=~(secrp'+tallgrp')--9(secrp'-ian~y') giebt, und aufserdern y uiid alle Neigungen der folgen- den Trennungsebenen gleich y setzt. Aulserdem i d s nian auch die Voraussetzung inaclirn, dafs AJ', so wie alle folgenden Trennungsflachen Ebencn sind.

Rieraus ergiebt sicli nun: 1 ) der schrsge Druck, den das Prisina AB D F austibt

=$by( AB? - D F 2 )tang 'p (cos 'p-? silt 'p) ; I1

2) der scbrage Druck, der aus der horizontalen Prcs- sl1llg des Yrismas GDF entsteht

302

3) der schrzge Druck aus der verticaIen Yressung des Ietzten Prisnia's

1 sp ---sin 1 ~p) (COS (p2 --sin 1 (p cos sp ,

1 =:by tg 9 (,,, y -:sin 1 y ) (ABQ -;sin 1 sp cos s p p ~ ~ a .

( n l )

=+byDFzfg n V

folglich der ganze schriige Druck:

Dagegen wlre bei einer breiteren Aufschuttung, wo die Ebene AF nicht die Riickwand trsfe, der entsprechende schrlge Druck:

= + b y fang 9 cos sp-- sin sp ABZ.

Die Pressungen, die horizontal gegen die Wdnde gerich- tet sind, stehen in deinselben Verhiiltnisse zu einander, wie die berechncten schriigen Pressungen : man wird da- her irn vorliegenden Falle den horizontalen Druck K' des Sandes bei der schlnaIen Aufschuttung finden:

1 . A132 ---SLIZ . cos 9 . DDF' K , --- V

AB* K'=

wo K, wie oben, den horizontalen Druck fur die wei- tere Aufschiittnng bedeutet.

Rucken die beiden Winde noch nlher zusan~inen, so d a b die zweite Trennungsebene GF (Fig. 6 Taf I) die Oberfliiche noch nicht trifft, und inan dalier cin drit- tes und vielleicht eben so ein viertes, fiinftes Prisina u. s. w. in Betrachtung ziehen mufs, wie in (Fig. 7 Taf.I), SO kann man leiclit den Druck gegen die ganze Vorder- wand finden, wenn nian ruckwzrts von den kleineren Prismen anfiingt, und deren Druck auf die griifseren iibertrtigt. Nennt man die Hahen der verschiedenen Prismen:

303

A B =a I) F=B = a - c cofg y BG=C=a-2c.cotggp DH=D=a-3c .co tgcp

1 . 1 - s i n y . cosgp=-sin2cp=1-NN, 2, 2 . v

so erhilt man den horizontalen Druck K' gegen die W a n d AB:

K' = bvo 1- wieder die friihere Bedeutiing hat.

Wi l l man die Richtigkeit dieses Resiiltates durch Beobachtungen priifen, so kann man die Benutzung ei- lies Kastens, und daher die Reibung gegen die Seiten- wiinde nicht fiiglich umgehen. Es mufs daher noch un- tersucht werden, welchen Einflufs die Ietztere in diesem Falle Yukert.

Fig. 7 Taf. I stelle wieder den Querschnitt der Sand- masse dar, die zwischen zweien nahe zusammengeriickten Wanden eingeschlossen ist, und die uberdiefs durch zwei Seitenwsude begrsozt wird , gegen welche bei eintreten- der Bewegung Reibung eneugt wird. Es gelte auch bier die friihere Voraussetzung, d a t die am stirksten driik- kende Sandmasse unter dem Winkel y sich von der ru- lienden Sandmasse trenut; unter deinselben Winkel trenne sicli aber auch jede folgende Sandmasse, die auf die zu- gehbrige W a n d DF, B G u. s. w. den starksten Druck ausubt. Diese Wande bezeichne man-der Kiirze wcgen in folgender Art, dafs man die letzte, oder BI= T, die nachste DH=S u. S. w. benennt, so dafs die zweite oder D F wieder B, und die erste AB=a heifst. D a m wird, bei Beriicksichtiguug der Reibung gegen die Sei- tenwlndc der schriige Druck des letzten dreiseitigen Pris- ma's gegen die Wand T seyn:

u. S. f., und setzt man auterdem:

a2-(1-N)(BT+N. C2+N2. D2+N3 .I??+. - . . )K , a2

304

-- 1 1 - . . . y t a n g y 2 ( c o s c p - ~ s i n ~ ) T3, 3 ' v n

wofiir ich wieder schreibe: ( T ) = m T 2 - p T3;

in derselben Art wird der schrsge Druck des nschsten vierseitigen Prisrna's gegen die Wand S betragen:

m ( S 2 - T 2 ) - p ( S 3 - T3), dam kommt aber noch ein Theil des gegen die W a n d T ausgeiibten Driickcs niimlich:

N m T 2 - N p T 3 ,

wo N wieder 1-- sin2y bedeutet. Daher der Drtick 2 . v gegen S:

( S ) = m S Z - p S 3 - ( l - - N ) ( m T2-pT3) , eben so der ganze schrage Druck gegen die folgende Wand :

( R ) = m n 2 - - R ~ ~ - - ( i - - ) ( m S * - ~ ~ 3 ) - i V ( l - N ) ( m T 2 - p T 3 3 .

Das Gesetz, nach dem die Glieder dieses Ausdruckes fortschreiten, ist augenscheinlich, , und man findet den schrYgen Druck, den die Sandmasse gegen die lctzte Wand , oder gegen ct ausiibt: K = m a 2 - - p a 3 -( 1 - N ) ( m B z - p B 3 )

-( 1 - N) N ( m C2 -p C3 ) - ( 1 - N ) N 2 ( m D2 - p 0 3 ) - etc. Dagegen ware der schrYge Druck des Sandes in demsel- ben Kasten, wenn die Ruckwand so weit entfernt wYre, dafs sie von der Trennungsebcne des am stzrksten driik- kenden Sandprism's niclit getroffen wiirde, oder:

K= rn a2 - p a3 , folglich das Verbaltnifs beider, welches zugleich das Verhaltuifs der horizontaleu Pressungen gegen dieselbe W a n d ist: x x

1-E.c 7n N - - C 2 - . . a . . 1 - N - --

a? k 1 - - a 111

fiihrt man dic Divisiou der Factoren

wirklich aus, so erltiilt man:

E+aFL'+a2FlJ+. . . . rn Tn2 m3

Dieser Ausdruclq ist noch einer bedeutenden Vereinfa- Annd.d.Physik.Bcl.104.St.2.J.1833.St.6. 20

306 clinng hhig, wcnn inan den Hbhenunterschied zweier zu- nachst liegendcr WYndc, oder FE=+AG=+HF= .... --g setzt. Der Werth von e lafst sich dann aus dein geincssenen Ahstande der Wande oder c=AE=B D herlciten, denn g=c . cotg p Man erhalt also a-BB=p, a-C=2e, a -0=3p u. s. w., wodurch der erste Factor des dritten Gliedes etwas einbcher nird. Dnge- gen ist der zweite Factor eine uneiidliclle convergirende geometrische Keihe,. und die Sumine clerselben ist:

P -a 1 m -- - .-, a 1 - e a

m nher :

daher wird die Sumine der geoinetrischen Reihe - 2 a . tangy - 3 v b --i a tang cp ' man erhiilt deninnch:

. (B2+2NC2+3N2D2 C' 2 a tang 40 a ' 3 v b - 2 a tang sp -k- -

Wollte man noch B, C, D, E. . . durch e und a aus- drucken, so wiirde dadurch an Einfachheit nichts gewon- nen, indem die Summation dicser von zweien verlnder- lichen Griifsen abhangigen Keilien zu keinetn bequeinen Ausdrucke fuhrt, und dagegen die Rechnung nach der vorstehenden Formel sebr leicht ist, indexn die Glieder der zweiten Reihe unmitteIbar aus denen der ersten her- geleitet werden kUnnen.

Die Versuchc Btellte ich zuerst mit dem erwlbnten schwarzen Sande an; ich schuttete ihn in einen Kasten

307

von 4,98 Zoll Rrcite und 4,91 Zoll Hiihe. Die Riick- wand konnte beliebig nlher gestellt werden, und die Vorderwand, gegen welche der Druck beobachtet wurde, bildete die bewegliche Wand des in den Fig. 4 und 5 Taf. I dargestellten Apparates. Die Beobaclitungen ga- ben die folgenden horizontalen Pressungen :

fiir c=5,5 Zoll. c = 3 Zoll. c = 2 Zolt. c=I,45 Zolt. K'= 45,o 42,5 39,7 3Y,5

454 423 30,4 38,5 44,4 43,O 40,3 39,7 45,2 433 40,5 37,7 45,2 41,2 40,s 35,9

im Mittel 44,96 42,50 40,(J8 3S$G fiir c=1,01 Zoll. c=0,43 2011. c=0,26 Zull.

K'=34,0 21,5 13,s

33,s 20,s 14,o 33,s 21,5 13,2

32,3 22,3 13,4 32,s 22,2 13,5

im Mittel 33,28 21,60 13,58

Der mit - bezeichnete Reibungs-Colt'ffcient zwischen

Sand und polirtem Birkeuholze, woraus die Wande des Kastens bestanden, wurde durcli besondere Versuche er- mittelt, indem Brettchen dieses Holzes init verschiedenen Gewichten beschwert iiber einer kegelfiirmigen Sandauf- schiittung in horizontale Beweguug gesetzt warden.

1 Y

Die Versuche waren folgende: Gewicht des Breltchens nii.hige zug, Reibungs-

incl. der Gewichte. Coefficient. 3; Loth 1; Loth 0,560 74- - 4; - 0,579

l l+ - 6; - 0,596 19; - 10; - 0,555 354 - 19; - 0,566 67; - 88 - 0,566

20 *

308 Ich nehme den in den letzten beiden Beobachtungen,

.vvelche die grijfste Sicherheit gewghren , wiedcrholten Wertl i des Reibungs-Cocffcienten fur den richtigel1 an,

1 nsmlicli -=0,566. Ferner ist n=-1,91; b=d,9S; y=45" 15'3, und aus der ersten Beobachtiingsreilie folgt :

Hieraus findet inan nach der Ietzten Gleichung fiir c=3 K'=42,55

e=2 K'=YS,88 ~ = I , 4 5 K'=36,59 c=l,OL K'=32,10 c=O,.15 K'=20,54

1'

K=44,96.

c=0,2G K'=13,19 mas init den beobaclitcten Wertlien genau genug iiber- einstimmt.

Icli stellte liicrauf auch noch Beobachtungen init Schrot an, indcin icli den Kasten und den ganzen eben beschriebcnen Apparat beibehielt ; es gelang inir dnbei aber kcinesweges, die l\esulhte der l'\echnung init denen dcr Beobachlung in Uebweinstimmung zu bringen. Die lctzteren waren jedcrzcit griifscr, und wenn icli die Ruck- wand bis auf 0,2G Zoll dcr beweglichen Wand n8hcrte, Wurde der Druck gegen Ictzterc ungefiihr noch eininal SO g r o t , als er nach dern entwickelten Ausdrucke seyii sollte. Der Grund dieser auffallenden Erscheinung ist leicht zu errathen. J e scliixidler nsinlich die Sclirotmasse wird, oder je -geringer die Anzahl der hinter einander liegenden Kiirnchen ist, urn so leichtcr werden dieselben in eiue roliende Bewcgung iibergehen ktinnen, sobald die W a n d etwas zuriickweicht, und daher wird in diesein

1 Falle die Rcibung, oder - auch weit geringer werden,

als sie friiher gefunden wurde. l3ei Anstellung der Beob- achtungen zeigte es sich auch wirklich, dafs hier eine ganz andere Art der Bewegung eintrat, als bei weiteren

72

309

Aufschuttungcn des Schrotes, und als bei Versuclieu tnit dem Saiide; dcnn soust pflegte, sobald der Druck den Widerstand uherwaiid , pliitzlicli eine heftige Bewegung zu erfolgcn, wobei die Wand gewaltsain zuriickgestofsen wurde. Bei den schinnlen Aufscliuttungen des Sclirotes dagegen ging bei der allnriiligcn Verminderung der Ge- wiclite aucli die Wand ganz allindig iiber, und nur diircli angestrcngte Aufinerksainkeit konnte man den Ein- iritt dcr Ccwegung walirnehinen. - Der Erfolg dieser Ieiscn Bewegung w i r hierbei der, dafs in dem Maafse, wie die Wand sich entfernte, auch die Hohe der Auf- schiittong unmerklicli abnahm, wodurch der Druck des Schotes sicli init dein verininderten Widerstande der W a n d ausglicli , und sogleicli wieder dns Gleicligewiclit eintrat. - Eiii Ausfiiefsen des Schrotes konnte aber niclit friiher statifinden, als bis die Spalte zwischen dem Bo- den des ‘Kastens und der Wand bis auf ein Zchntheil Zoll sich crweitert hatte, indein die Schrotkgrnchen nur wenig klcirier waren. Es bewegte sicli deinnach bei die- sen schinalen Anfschiittungen niclit inelir das ganze Prisnia schrag abwiirts, sondern ehe dieses gescliehen konute, ge- riethen die sph:rischen, leicht beweglicheu Kiirnchen scboii in eine rollende Bcwegung, und dadurch iinfserte der Bruck sic11 starker, als er es nacli der in Kechnung ge- stellten Voraussetzung uber die Beweguug kitte seyli kiinnen.

Unfersuchung iiber die Rez’bung, die prisma- iische Kiirpcr an ihren Seifen erleiden, wenn sie bei smkrechfer Slelkurig mit Sand beschutlet werden.

Wenn ein prismatischer KiSrper aufreclrt gestellt wird, so daG seine Seitcn verticale Ebeiien bilden, und man eiue Sandrnasse darum horizontal aufschuttet, so kann jede eiiizelne Seite des Prisma’s als Wand betrachtet wer- den, wclche der Sand fortzudraagcn strebt, und der frii- her gefiindene Ausdruck fiir den horizontalen Druck des Sandes wird auch bier gelten. Diescr Druck steht aber

8. 4.

310 wieder iin besti~niuteu Verhdtnisse zu der Reibiuig, und die gestellte Aufgabe reducirt sich daher nur auf die Be-. stimmung der zwischcii dein Sande uiid den verschiede- llcn Flechen stnllliridenden Reibungs-Coef~icienteu. Nichts &to weiiiger liiiniite es vielleicht zweifelhaft scheinen, ob bei einem prisinatischen liiirper , der von verhlllnifs- mafsig sehr schuialcn Seiteu gebildet ist, der Druck ge- gen dieselben wirlilich durch die friiher entwickelten uiid n i t (B) und ( c ) bezeichneten Formeln dargestellt wird, oder ob vielleicht dic gcgen die Kaiiteii des Prisnia’s tref- feriden pyramidalischen Sandinassen (die keinen I)ruck ausiiben) jcne crsteii auf die Seiten des l’risma’s treffen- clcn Sandinassen auf Bhnliche Art zuruckhalten , wic die- ses die festeii Seitenw~ndc in cinem Kastcn thnten. Jene iiuf die Kauten treffendeii Pyramiden sind jcdocb kcines- weges fest, sonderii auch sie werdeii herabgleiten, sobald h i d e anstofscndcn Scitcii des Prisma’s ausweichen , und wenu sie dalicr dcii Druck der prismatisclien Sandinas- sen auch nicht vcriiichren , SO kbnnen sie ihn eben so wenig vermindern. Es ist daher walrrscheinlich, d a h der gesaniinte Druck, den der prismatische, in dein Sande eingelauchte Kiirper erleidct, und folglich auch die ge- sainmte Reibung von cler Form seiner (’rrundfl~che un- abli%ngig, und iiur dein Udange dcrselben proportioiid seyn wird, vorausgesetzt, dafs keine einspringende scharfe Ecken vorkoinmen. Die angestellten Beobachtungen best%- tigen diese Vermuthung; denn sie zeigen, wie bei pris- inatischen Kiirpern, deren Querschnilt ein lang ausgezo- genes Recliteck ist, der Keibungs- Coefficient derselbe bleibt, wie bei Cylindcni, die aus deinselben Materiale bestehen und gleich bearbeitete Oberflachen haben.

Die Beobachtungen wurden in der Art angestellt, dafs der zu untersuchende prismatische K6rper in seiner Axe aufgeliangt, und an einem Waagebalken balancirt wurde, so dafs er in einern gerhmigen Gefafse frei schwebte. Er wurde d a m 1; 2, 3, 4, 5 und 6 Zoll

31 1

]loch ],lit dem schwarzen Streusaiide oder wit Schrot be- schuttet, und durch allmaligc Vermehrung der Gewichte in der gegenuber hangenden Waagschale das kleinste Ge- wicht ermittelt, welclies ihn zu liebeu vermochte. - Die gefundenen Kesultate bestatigten im hllgemeinen iininer die Kichtigkeit der ausgesyroclieuen Ansiclit uber diese Reibung; es zeigten sich jedoch haufig manche Abwei- cliungen, die bis ein Sechstheil des ganzen Werthes be- trugen, uiid die bei den Aufscliiittungen von 1 und 2 Zoll Hiilie noch bedeutender wurden. Sie waren aber bei ihrer Unregelmiikigkeit offcnbar nur Beobachtungs- fehler, die Iiauptsachlich davon Iierziiruhren schienen, dafs die Reibungs-Co~r~cietiten in so holiem Grade von der Politur der Oberflache abhZngig sind, und dahcr verschie- dene Flachen desselben Kiirpers, zwisclien denen man sonst keinen Unterscliied beixierkt, scliou eine sehr ver- schiedene Reibung zeigen kiiiineu, wie die& z. B. die Beobachtungen No. 2 und 3, No. 4 und 5, No. 11 uud 12 der nachstehenden Tabelle beweisen. Es konnte da- her auch nicht Cehlen, dafs dasselbe Pristna ziiweilcn in verschiedenen Hiiheii auch eine andere Politur haben, und daher a6ch eine abweichcnde Eeibung erleiden sollte, so wie man ahnliche Unregelinafsigkeiten auch bei allen Beobachlungen uber die Reibung zwischen festen Kiir- pern lindet.

Die vollstlndige Mittheilung der angesteIlten Beob- achtungen unterlasse ich, und fuhre dagegen nur die dar- aus hergeleiteten Reibungs-Coefiicieuten, oder die Wer-

1 tbe fur - hier an; sie sind jedeneit das arithmetische

Mittel aus den liesultaten der einzclnen Beobachiongeii, doch babe iclr dabei die Beohachtungen niit Aufschuttun- gen von 1 und 2 Zollen nicht -beriicksichtigt, indem diese augenscheinlich eine weit geringere Sicherheit, als die je- desmal folgenden vier Beobachtungen hatten:

Y

31’2 u) B e s c l i i i t t e t m i t s c h w a r z c m S t r e u s a n d e .

Beschreibung der Prismen.

No. 1) rauhgcfeilte Scheibe v. Zuckerkistei 2) glatt gel) obclt e Schcibe v. Zuckerlt ist

4) glatt gchobcltc Scheibe von Linda

6) matt gcschlilfenc Glasscheibe . . . 7) Glasscheibe von Spiegelglas . . . S) Cylind. v. Ciichcnholz glatt gedreht 9) Cyliiiclcr von Messiog, stark befafst

10) desgleiclicn sorgnilfig polirt . . . .

3) desgleichen . . . . . . . . . . . . . 5) dcsglcicl~en . . . . . . . . . . . . .

11) Gloscylintler . . . . . . . . . . . . 12) desgleicbcn . . . . . . . . . . . . .

I ) l e s c l i i c t t c t m i t S c h r o t

13) die Glasschcibc voii No. 7 . . . . 14) der mcssingcne Cylinder v. No. 1( 15) Sclieibe von Messing . . . . . . . . 1G) Cylinder van I~irkcnliolz . . . . . 17) die rauh gefeilte Schcibe von No. 1

4’: 1 5 7 ,I5 1 )15 8 27 4 , 6

10 ,o 6 98 2,76 2,67 5,5 3 $4 6?6

6 78 5,5 2,16 2,76 4,15

Nerth

on -. 1 Y -

0,88 0,74 04.33 0,65 0,71 0,G7 0,4 G 0,84 0,s 1 0,42 0,55 0) 4 0

0,45 0,47 0,511 0,57 0,‘is

Es ergiebt sicli hieraus, dafs die Reibung bei glat- ten nnd liarten Oberfliichen vie1 gcriiigcr ist als bei rau- heren, ouch ist sic fur Scbrot etwas geringcr als fiir Sand; im Verbaltiiifs zii dcr Rcibung zwischen festen Kiirpcrn erscheint sic aber sehr bedeutend, was sich durcb ein ge- naueres Anschmiegen des Sandes an die beriihrten Flii- chen erkliiren lafsst.

Es schien mir endlich noch ngthig, mich durch di- recte Versuche davon zu iiberzeugen, ob der eben beob- achtete Widerstand, den prismatische Korper dem Her- ausziehen aus dein Sandc entgegensetzen, auch wirklicb iiur von der Reibuog herrubrt, oder ob vielleicht die zu- nlchst liegenden Kiirnchen, oder sogar cine ganze kegel- formige, oder pyramidale Sandmasse, die den eingetanch-

313 ten Karper umgiebt, zugleich gehoben werdeii ids. ZU diesem Zwecke wurdcn die Beobachtungeii so abgean- dert, dafs das P r i sm nicht mehr in verticaler, sondern in einer andern Riclitung seine Bewegung erhielt. Ich anderte daher den Versuch zuerst in der Art ab, dafs ich die Kraft messen konnte, welche nathig war, einen init Sand beschiitteten Cylinder in drehende Bewegung zu versetzen. Dieser Cylinder bestand aus Buchcnholz, und hatte in beiden Seiten seiner Axe messingene Buch- sen, wozwischcn er auch abgedreht war. Wurde der- selbe daher zwisclien zwei stahlerne Spitzen vertical auf- gestellt, so zeigte er cine so geringe Axenrcibung, dafs dieselbe keiue Beriicksichtigung erfordcrte. Ein iiin ilin geschlungener dunner Faden, der iiber eine l'iolle p z o - gen war, und eine WaagschaIe trug, gab daher Gelegen- heit, unmittelhar die Kraft zu inesscn, dic an seinein Um- fange angcbracht werden mufste, um ihn zu drchen, odcr um die lieibung des in verschiedenen Nijhen angescliiit- tcten Sandes zu iibcrwiiiden. Es zeigte sich, dafs der Reibungs-Co~f~~cient hier im Mittel aus den vier Ihob- achtungen bei den Beschiittungen von 3 bis 6 Zoll gleich 0,YO gefunden wurde; was bei den sonst vorkommenden Abweichungen als iibereinstimmend mit der Beobachtuns No. 8 angesehcn werden kana

Nachstdem veriinderte ich den unter No, 1 G angc- fiihrtcn Versuch noch in der Art, daL ich im Boden des Gefgfses, worin das Schrot geschiittet wurde, eine krcis- fijrmige Oeffnung anbrachte, deren Durchinesser etwas grij ler als der des Cylinders war, so daL also der letz- tere durch sie liindurch gefiihrt werden konnte, ohne an Beweglichkeit zu verlieren. Auf dime Art konnte ich durch Reschwerung des Cylinders an seinein unteren Endc dasjenige Gewicht beobachten, melclies nijthig war, urn ihn herabzuziehen. Es zeigte sich aber auch hier, dak dieses lnit &in friiher (beim Heben) beobachteten sehr

314 genau iibereinstinimte; denn das Mittei aus diesen Beob- achtungen gab den Heibungs - Coefficienten gleich 0,53, wahrend er friiher gleicli 037 gefunden war.

Ich inub hierbei noch einiger Beobachtungen Erwah- nung thun, die sich auf einen etwas verschiedenen Fall beziehen, und die ich um so weniger iibergehen kann, als sie mit groker Uebereinstimmung sarnintlich ein Ke- sultat ergeben, das, wenn es anch keiiiesweges unerkliir- lich ist, docli immer p n z anders ausfallt, als man es bei fliichtiger Betrachtung erwarten sollte. - Ueberdiefs kom- men bei lnanclien Bau- Constructionen, z. B. bei Befe- stigung der Spannket ten einer Kettenbriicke gerade die- selben UiiistZnde vor, wie hier.

Die Versuche waren diese: eine kreisrunde Scheibe von Messingblech sclirob ich an einen starken Draht au, so dafs dersclbe in ihre Axe fiel, und er bei freier Auf- h~ngung die Sclieibe in horizontaler Lage trug. In die- ser Art befestigte ich ilin an eineii Waagebalken und beschiittete die Scheibe in verschiedenen Hbhen mit Sand ocler Schrot, und bcobaclitcte dabei das Gewicht, wel- ches nblliig war, inn die Erhcbung hervorzubringen. W a r die Schcibc vorlier gehbrig in’s Gleicligewiclit gesetzt wor- den, so muCslc das beobachtete niithige Uebergcwicht nicht nur deui Gewichte des auf der Scheibe ruhenden CyIinders gleich komrnen , sondern auch dessen Reibung iiberwinden, und da man das Erstere leicht berechnen konnte, so ergaben sich daraus auch die hier zwischen Sand und Sand stattlindenden Reibungs - Coefficienten. Uni dieseu Versuclien einige Ausdehnung zu geben, ver- ;inderte ich nicht nur die Hiihen der Aufschiittung, son- dern auiserdem auch die Durchmesser der Scheiben, in- dern ich solche von 1, 1+ und 2 Zoll anwandte. Die Resultate waren foigende:

a) Bei Beschiittung mit schwarzeln Streusande 1 - = 2,07 fur die Scheibe voii 1” Durchmesser n

315 1 -= 2,26 fiir die Scheihe von 1”,5 Durchmesser n 1 - = 2,25 n

8 ) Bei Bescliuttung mit Schrot 1 -= 2,59

1

1 n

n fur die Sclieibe von 1” Durchmcsser

- - -= 2,44

- - 2 - -= 2,61 Diese Werlhe fur die Reibungs- Coefficienten sind

1 1 ~ ~ aufserordentlich verschiedeii von denen, die sich aus den Beobachtungen in 3. 2 ergaben. Es land sich nkiiu- lich danials:

125 n - . -

1 fur Streusand - oder cotgrp’=O,4937

1 fur Schrot - oder cotg rp’=0,4098.

n

n Die Abweichungen erklaren sich aber dadurch, dafs

1 diese Werthe von - in beideii Fellen die CoZfficienten

vbn ganz verschiedenen Heibungen bezeichnen; denii in dein fj. 2 naher betrachtetea FalIe konnte die sicli lii- seiide Sand- oder Schrot-Masse uber die stufenfiirlnigen TJiiebenheiten des darunter liegenden Kornerhaufens frei herabgleiten, wabrend kein Driick sie in die Vertiefun- gen zwischen den einzelnen Kornchen hineindriingte, und darin festhielt. Bei dem Emportreten eines Sandcylin- ders aus einer Sandniasse werdeu dagegen die Kiirnchen des einen in die Unebenheiten dcs anderen lnit dem ent- sprechende~~ Drucke hineingedrangt, uud sie k8nnen na- tiirlich nur dam sich daraus lasen, wenn sie die vorste- henden Karncben seitwarts fortschieben.

n

316

Urztcrsuchuzzg des Druclies, den eine Sand- niasse, die in ein cylindrisches Gt$&ys gcschiittet ist, gcgcn deii Boden desselben ausiibt.

Fiillt inan eiii cylindrisches, vertical gestelltes Ge- fsfs init Sand, so werden die inneren Winde desseIbcn, bei gleich lioher Aufschiittung, aucli denselben Druck, und folglicli dicselbc Reibung erIeiden, dein die YuCseren Seiteiiwiiiide voii gleicher Ausdehiiung bei eilier iiufseren Uinschiittung des Cylinders ausgesetzt gewesen waren. l)er Druck, und folglich die Reibung, wird nur in dcin Falle geringer werden, wenn, wegen der gerinqen Wei te des Cylinders in Vcrglcicli zu seiner Hiihe, die Vermin- derung einlrilt, deren in $. 3 ausfiihrlich ErwShnung ge- schelien ist.

Durcli diese Seitenreibung wird offcnbar cin Tlicil der eingeschiittctcn Saiidinasse gehalten, und der Lfruck des Sandcs gegco deli Boden . wird nur gleichkomineii deiii Unterschicdc zmischen dem Gewiclite des FUI1un;;s- Matcriales und der Seitciireibung desselben. Neniit man r deii inneren IIalbincsscr dcr Riilire, a die Iliihe der Aufschiittung, y das Gcwicht dcr Rauineinlicit dcs San-

cles, - desscn Reibungs - CoClficient gcgcn die inncre

Wandfliiche, und behzlt cndlicli, A seineu in der For- inel ( D ) entwickelteri Werth, so hat inan den Druck dcs Sandcs auf den Boden, oder

1 D=r2my. a - - r n y A . az.

Diese Formel stellt jedoch den Druck auf den 330- deli der Riihrc iiicht allgemein dar, sondern vielmehr nur bis zu ciner gewisscn GrYnze. W e n n namlich a iinmer inehr zunimmt, so miirde nach dieser Formel der Wcrtli von D in einem gewissen Punkte gleich ISuIl, und so- daiin gar nept iv werden. In der Wirklichkeit kann aber weder das Eine, noch das Andere vorkommen, denn weiiii iiian die Aufschiittung immer erhiiht, so wird zwar der

3. 5.

1 V

V

31 7

Dru& auf den Boden nicht in gleichem VerIdItnisse zu- lie11,nen , sondern vielinehr wird diese Zunahme immer geriiiger werden, nnd zuletzt ganz aufhiiren; aber der ejlimal erreichte Druclr auf den Roden kann bei hiihe- ren Aufschiittnngen nie vermiiidert werden, indein bei dem fehleuden Zusammenhange der Masse sich der Thcil, welrher den starksteri Druck auf den Boden iibt, immer liisen kann, und daher dieser Druck auch hei allen 116- heren Aufscliiittungen unvermindert hleibt. UIn diejenige Ilohe x zu fiuden, melche dem stiirksten Drucke ent- spricht, rnufs die Bedingung eingefulirt werden, dafs der zur Hohe x geliiirige Druck glcich ist dcm Druckc, der zur Hiihe x+dx gehiirt. Man er1iSlt dadurch:

r 1 2 . - . A

x=--

Y

und den zugcliilrigcn Wer th von D , odcr: r3 rn;. D'=--

1 ' 4 . - . A 1,

Der Druck des Sandes gcgen den noden nird also bei geringen Aufschiittiingen durch die obige Gleichung f u r D gegehen werden, uiid zwar wird dieselbe gebraucht werdcn konnen, bis D den Werth von D' erreicht, oder a=x wird, Voii dieser Grliiize an wird dagegen der Druclr auf den Boden c~nstaiit, und zwar gleich D' blei- ben, so weit mail die Aufschiittung aucli imuier fort- sctzen mag.

Uiii die Richtigkeit dieses Resultates durch Beob- achtungcn zu prufen, befestigte ich cylindrische Rohren sehr solide und in verticaler Richtung an einem Gestelle in der Art, dafs sowohl ihre obere, als ihre untere Oeffnung frei war; d a m verlnderte ich die Aufhlngcing einer Waagschale so, dafs dieselbe unter der Riihre frei spielen konnte, oline dafs die Scbniire irgend wo die Rahre oder das Gestelle beriihrten. Eine besondere Auf-

318 merksamkeit mufste aber noch darauf verwandt werclen, dafs der Schwerpnnkt der Schale in die Axe des Cylin- ders fiel, und zugleich auch die Schale sich iiberalI ge- nau an den Cylinder anschlofs. Nachdem die Schale nun volletsudig balancirt war, wurde sie durch ein star- kes Gegengewicht an den Cylinder gedriickt, und der- selbe ganz oder theiIweise gefiillt, worauf durch allms- lige Veriiiinderung jenes Gegenwichtes sich der Druck der Aufschiittung gegen die Schale ergab.

Ich wendete zrierst scbwarzen Streusand und eine glliserne Riilire an, deren Halbmesser sich aus dem Ge- wichte der eingeschutteten Sandmasse ergab r=1,021 Zoll.

Fur - nahin ich das Mittel aus den 3. 4 angefuhrtcn

Bcobachtuiigsreihen No. 7 , 11 und 12, nsmlich 0,48. - Ferner war y , wie friiher, 2,82 und A=0,2534. Die Beobachtungen zeigten folgende Werthe for I):

1 Y

bei a=l D= 7,9 a = 2 D=14,8 a=3 D=~t3 ,7 a=4 D=22,1

~ a=5 0=20,5.

fur a = l I)= 8,13 a=2 0=14,07 a=3 I)=27,80 a=P 0=19,34.

Dagegen giebt die Rechnung

I) erreicht das Maximum bei a=4,20 und es wird danti U'=19,38, weiches also auch der Druck auf den Bo- den bei der 5 Zoll hohen Aufschiittuiig ware.

Hierauf fiillte ich eine andere in ahnlicher Art auf- gestellte Glasrohre mit Schrot: bei derselben war r=0,57;

1=0,45 (nach Beobacht. No. 13 5. 4), y=8,245 und

A=0,3012. Es ergab sich der grafste Werth fur 0, oder Y

319 D’=8,847 bei a-2,127. rechneten Pressungin gegen den Boden waren:

Die beobachfeten und be-

Werthe r o n D nach der H6he d. Aufschiittung. Beobaclrtuag. Berechnung.

0,4 Zoll 3,l Loth 3,05 079 571 5,95 171 5,9 6,83 175 790 8,02

5,67

} 8885

Auf gleiche Art wurde eine Glasriihre von 1,06 ZolI innerem Halbmesser mit Schrot gefiillt. Fur dieselbe er- gaben sich der gt-ijfste Werth von D , oder D’=56,91 fiir a=3,911. Die beobachteten und berechneten Pres- sungen gegen den Boden waren wieder :

Werthe von D nach der Beohachtung. Recinung.

14,9 Loth 16,13 22,8 26,39 24,s 27,52 27,7 32,52 31,5 35,30 39,75 43,33 36,3 44,72 38,O 46,68 48,O 54,47 57,5 64,O 69,O 67,O

56,91 1

320 In dieser letzten Reihe kommen sehr bedcutendc

und regelmSfsigc Bbweichungen zwischen den beobachte- ten und bereclincten Kesultaten vor. Dieses darf indes- sen keinesweges befremden, indem, wie friiher schon be- merkt morden , die Rcibungs - Coiifficicnten von vielen Zufiilligkeitcn abhiingig sind, und man hier in der That eine weit bessere Ucbereinstimmung erreicht haben wiirde,

wcnn man - kleiner angenommen hatte.

Icli fullte ferncr eine halzerne, selir glatt ausgebohrte Riihre von 1,625 Zoll Weitc und 6,95 Zoll Lange init Schrot. Der beobachtete Druck auf den Boden betrug ein Ma1 24,5 und dann 247, also im Mittcl 24,6 Loth.

1 Setz miin fur dicsen Fall -=0,50, so folgt der griifstc

Werth von D, oder 0'=23,06 fur a=2,70.' Auf dieselbe Art fullte ich auch cine 1,SOS Zoll

weite und 8,75 Zoll Iangc ahnliche hiilzerne Riihre init Schrot, und beobachtete wiederholentlich den Druck auf den Boden gleicli 27,s-31,7-31,7 und 38,0, also im Mitlcl 30,7 Loth. - Untcr Beibchaltung der fruheren Annahme des Reibimgs- Coiifficientcn ergicbt dic Rcch- nung, dafs dcr Druck auf den Boden ein Mariinuin wird bei a=3,00, und sein Wer th betrsgt dnnn 0'=31,76.

Die mehresten von diescn Beobachtungcn sridiefsen sich demnacli.an die Resultate der Rechnung ziemlich gut an, und w o dieses nicht Seschieht, hfst sich nach der friiheren Bernerkung der gefundenc Unterschicd dadurch erklzren, dafs die Constanten nicht genau gcnug bekannt warcn.

1 2,

V

Eerichtigungen zur erstcn Hiilfte dieser Abhandlung. Seite 29 Z. 8 von unten, st. Iiier, lies frci. - 33 - G V. u. st. Abweichungen, 1. Abwigungen. - 36 - 7 V. oben, st. 51,0, 1. 61,O. - 46 - 6 Y. 0. st. RIagniel, 1. Mayniel. - 47 - 16 V. 0. st. dcn, 1. drci.

T a-

321

00 I 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Annal.d.Phyrik

T a b e l I e v o n d e n i n 9. Z d u r c h d i e F o r m e l n ( B ) und ( D ) b e s t i m m t e n W e r t h e n fur sp und A.

00 0',0 0 40,O 1 20,o 2 0,o 2 40,o 3 20,o 4 0,o 4 40,l 5 20,2 6 0,s 6 40,h 7 20,6 8 0 , s 8 41,O 9 21,3

10 1,6 10 41,9 11 22,3 12 2,7 12 43,2 13 27,7 14 4,3 14 41,9 15 26,6 16 6,4 16 47,3 17 28,3 18 9,4 18 50,5 19 31,7

, 20 13,O Bd. 104

9' 1 'p I Ou 40',0

40,O 40,O 40,O 40,O 40,O 40,l 40,l 40,l 40,1 40,2 40,2 40,2 40,3 40,3 40,3 40,4 40,4 40,5 40,5 40,6 40,6 40,7

1 40,s 40,9

1 4 1 , O I 41,l ' 41,1

41,2 41,3 41,4 . :

3t. 2. J. 1833. St.6.

Diffcrcnr. I A I Dirfereoz.

0,00000 00005 0,00005 00013 0,00018 00022 0,00040 00031 0,00071 OOOi0 0,001 11 00049 0,00160 00058 0,00218 00067 0,00255 00076 0,00361 00086 0,00447 00096 0,00343 00106 0,00649 00116 0,00765 00126 0,00891 00136 0,01027 00146 0,01173 00156 0,01329 00166 0,01495 00175 0,01670 00185 0,01855 00196 0,02051 00207 0,02255 00218 0,02476 00229 0,02705 00210 0,02945 00252 0,03197 00263 0,03460 00276 0,03736 00288 0,04024 00301 0,04325 I 00313

21

ff ' 30° 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 41 45 46 47 48 49 50 51 52 53 64 55 56 57 58 . 59 60 61 ! 62 63

111 ~~

20° 13',0 20 54,4 21 35,9 22 17,5 22 59,3 23 41,2 24 23,2 25 5,2 26 47,5 26 29,9 27 124 27 55, l

29 21,1 30 4,4 30 47,9 31 31,6 32 15,5 32 59,6 33 43,9 34 25,5 35 13,d 35 58,6 36 41,1 37 29,9 38 16,O 3s 2,4 39 49,l 40 36,2 41 23,7 42 11,G 42 59,9 43 48,7 44 38,2

28 35,o

322 Differenz.

4 l',d J1,5 41,6 41,s 41,9 42 ,O 42 ,l 42,2 42,4 42,5 42,7 42,9 43 ,L 43,3 43,5 43,7 43,9 44,l 44,3 44,6 44,9 45,2 45,5 45,s 46,l 46,4 46 ,'7 47 ,I 47,5 47,9 48,3 48,s 493 50 ,O

A J.D;fTerenz.

0,04325 0,04633

0,05308 0,05659 0,06028 0,064 11 0,06809 0,07222 0,07651 0,08097 0,08559

0,09537 0,10034

0,111 15 0,11721 0,123 19 0,12938 0,13980 0,14247 0,14938 0,15695 0, 16398 0,17171 0,17972 0,18804 0,19669 0,20567 0,21500 0,22472 0,23480 0,24529

0,04965

0,09039

0,10589

003 13 00327 00340 00354 00369 00383 00398 004 13 00129 00446 00462 00180 00498 0951 7 00535 00356 00575 00598 00619 00642 00667 00G91 00717 00743 00773 00801 00832 00865 00898 00933 00972 01005 01019 01093

'p' 7

63 O

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

01093 01141

I 01189 01240 01294 01352 01415 01483 01554 01632 01714 0 1 805 0 1904 0201 1 02181 02263 02-1 13 02579 02776 02994 03261 03581 03987 04523 05303 06659 12176

323 Q 1 Differear.

s0:o 50,6 51,2 51,9 52,7 53,5 54 ,4

1 55,5

57,9 I 56,7

59,2 lo 0,6 1 2,3

1 6,O 1 8,l 1 10,8 1 14,L

1 23,O 1 29,2 1 37,2 1 48,7 2 3,6 2 30,6 3 23,6

12 8,3

1 4 , l

1 18,O

44O 38',2 45 28,2 46 18,8 47 10,o 48 1,9 48 54,6 49 48,l 50 42,5 51 38,O 52 34,7 53 32,6 5.1 31,s 55 32,4 56 34,7 57 38,s 58 44,s 59 52,9 61 3,7 62 17,s 63 35,s 64 58,s 66 2h,0 68 5,2 69 53,9 71 57,5 74 28,l 77 61,7 90 0,o

A 1Differear.

0,24529 0,23622 0,26763 0,27952 0,29 192 0,30486 0,31838 0,33253 0,36 735 0,36289 0,37921 0,39636 0,41440 0,43344 0,45355 0,47486 0,49748 0,52161 0,56740 0,57516 0,605 10 0,63771 0,67352 0,7 1339 0,75862 031 165 0,87824 1,00000

21 *