Vol. XXIII, 1972 449

Verbandsisomorphismen endlicher auflSsbarer Gruppen

Herrn Professor Dr. REINHOLD BAwa zum 70. Geburtstag

Von

ROLAND SCHI~IDT

DaB die Klasse ~ der endliehen aufl6sbaren Gruppen unter Verbandsisomorphis- men abgesehlossen ist, ist bekannt [10, Theor. 10, S. 46]. Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen, dab eine Reihe yon Teilklassen yon | ebenfalls invariant unter Verbands- isomorphismen sind, n/~mlieh (Bezeiehnungen s. Abschnitt 1) die Klassen

(1) ~r , r = (rl . . . . . rn) ein ungeordnetes n-tupel natfirlieher Zahlen ri, der Grup- pen in 6 , bei denen die n Haupffaktoren einer Hauptreihe die Dimensionen rz . . . . . rn haben (Gruppen vom Rang r);

(2) 9~ k der Gruppen G in | mi t Fittingl~nge h(G) <= k ffir k _--> 2; (3) .~ der Sylowturmgruppen. Die Aussage (1) verallgemeinert den Satz yon Iwasawa [4, Satz 1, S. 173], dab die

Klasse der endiichen fiberauflSsbaren Gruppen, d .h . der Gruppen mit Rang r = (1 . . . . . 1), invariant unter Verbandsisomorphismen ist. Haupthflfsmittel beim Beweis yon (1) ist ein Satz fiber Bilder yon Normalteilern unter Verbandsisomor- phismen beliebiger endlicher Gruppen, der in Abschnitt 2 bewiesen wird und der die bisher bekannten S/itze dieser Art [10, Theor. 14, S. 50] verbessert:

(4) I s t N ein Normalteiler und a ein Verbandsisomorphismus der endlichefl Grup pe G, so existieren Normaltefler H und K yon G mit H ~ N ~ K, deren Bilder H a und K a normal in G o shad, so dab H/K und Ha/K ~ iiberaufl6sbar in G bzw. G a ein- gebettet sind.

Unmittelbare Folge dieses Satzes ist, dab ein nicht zyklischer minimaler Normal- teller einer endliehen Gruppe durch jeden Verbandsisomorphismus auf einen mini- malen Normalteiler der Bildgruppe abgebfldet wird.

Die Aussage (2) ist f/Jr k = 1 bekanntlich falsch. Wit folgern (2) aus dem etwas sch/irferen Ergebnis, dab ffir jeden Verbandsisomorphismus a einer beliebigen end- lichen Gruppe G gilt ~-k (G) a ---- ~-g (G ~ ffir k ~ 2 ; ist G keine S-Gruppe, so grit diese Gleiehung auch ffir k = 1 (Satz 4.1 and 4.3).

Die Aussage (3) folgt leicht aus den Suzukischen S~tzen fiber singul/~re Verbands- isomorphismen in [9]; der Beweis yon (4) stfitzt sich wesentlieh auf die Ergebnisse des Autors fiber modulare UntergTuppen endlicher Gruppen in [7] and [8].

1. Bezeiehnungen und u Wir betrachten nur endliche Gruppen. Seien G eine Gruppe, H ~ K Normalteiler und U eine Untergruppe yon G. Dann be- zeichnen wir mit

Archiv der Mathematik XXIIl ~9

450 R. SCHMIDT AI~.GH. MA'IH.

[G/U] den Verband aller X mit U ~ X --<_ G, U ~ die normale Hiille yon U in G, d.h. U ~ = <UzlxeG>, UG das Herz yon U in G, d.h. Uc = ( ~ { Ux [ x e G}, ~- (G) ---- ~ I (G) die Fittinggruppe, d.h. das Produkt aller nilpotenten Normalteiler

yon G, ~ (G) das vollst/~ndige Urbfld yon ~ (G/Jk-1 (G)). H / K heist fiberauflSsbar in G eingebettet, wenn die zwischen H und K gelegenen Hauptfaktoren yon G zyklisch sind.

I s t G auflSsbar, so ist h (G) die Fittingl~nge yon G, d.h. die kleinste Zahl h mit ~ h (G) ~ G, r(G) der Rang yon G, d.h. t(G) ---- (rl, . . . , rn) das ungeordnete n-tupel der Dimen-

sionen r~ der n Hauptfaktoren in einer Hauptreihe yon G. Die Gruppe G ist eine

Sylowturmgruppe,wenn j edes epimorphe Bild yon G eine normale Sylowgruppe besitzt; P-Gruppe (s. [10], S. 11), wenn G entweder eine elementarabelsche p-Gruppe ist

oder yon Elementen at . . . . . an und b erzeugt ~4rd mit a~ - - bq = 1, a~ aj ~- aj a~, __ r mit rq = 1 (p), r ~ 1 (p), p und q Primzahlen; b a~ b-1 a i

S-Gruppe (s. [10], S. 44), wenn G ---- S • T m i t einer nichtzyklischen P-Gruppe S und ( I S ] , I T I ) = 1.

I s t G = S x T eine S-Gruppe and a ein Verbandsisomorphismus yon G, so ist wegen [10, Theor. 4, S. 5] G a = S a • T ~ mit (I S~ I, I Ta I) = 1 und S ~ eine P-Gruppe [1, Theor. 11.2, S. 23], also auch G a eine S-Gruppe. Diese Bemerkung wird h/~ufig benutzt werden.

Die fibrigen in der Arbeit verwandten Bezeichnungen sind allgemein fiblich; siehe etwa [3] oder [7].

2. Normaltefler und Verbandsisomorphismen. Die U n t e r ~ u p p e M der Gruppe G heis t modular in G (kurz: MmG), wenn gilt (s. [7]):

( U u M ) n V - - - - U u ( M n V ) fiiralle U , V < G mit U < V und

(U u M) n V = (U n V) u M fiir alle U, V <__ G mit M <= V .

_~I heii3t quasinormal in G (kurz : M q~ G), wenn M mit jeder Untergruppe yon G vertauschbar ist.

Bekanntlich ist jeder Normalteiler quasinormal und j eder Quasinormalteiler modular in G. I s t /V ein ~qormalteiler mad a ein Verbandsisomorphismus yon G, so ist daher 2V* modular in G ~. Deshalb betrachten wit, um die Aussage (4) zu beweisen, zun~chst gewisse modulare Unter~uppen, ngmlich solche, die verbandsisomorph zu elementar- abelschen Gruppen, also P-Gruppen sind.

Hilissatz 2.1. Sei M eine modulare Untergruppe der Gruppe G. (a) 1st M eine P-Gruppe, so ist M n M x maximal in M sowie M maximal in M u M x

/iir ]edes x e G \ N a (M). (b) Ist M elementarabelsch und quasinormal in G, so ist M~/MG elementarabelsch.

Bewei s . (a) !qach [7, (2.1)] und wegen M u M x _--< M u (x> ist [Mx/M n M x] ~_- [M u .Mx/M] ein Intervall in [M w <x>/M] _~ [<x>/(x> n M], und dieser letzte

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Verband ist als UntergTuppenverband einer zyklischen Gruppe distributiv. Da M x eine P-Gruppe ist, ist also M n M x maximal in M x (und somit auch in M) sowie M maximal in M k) M x.

(b) Sei p der Primtefler von ]M]; dann ist M a ein T-Normalteiler yon G. BTaeh (a) ist M maximal, also normal in M u M z fiir jedes x ~ G\NG (M). Folglieh ist M normal in M e, und M e / M wird yon Quasinormalteilern M w M z / M der Ordnung p erzeugt. Zwei solche Quasinormalteiler erzeugen eine Gruppe der Ordnung p2, zentralisieren sich also. Dami t ist M e / M elementarabelseh, d.h. die Fratt inigruppe # (M e) in M enthalten. Da # (M G) normal in G i s t , ist schlieBlich ~ (M e) ~ Me, also Me~Me elementarabelsch.

Wir kSrmen nun u_user Hauptergebnis fiber modulare P-UntergTuppen beweisen.

Lemma 2.2. Ist die P-Gruppe M eine modulate Untergruppe der Gruppe G, so ist M e / M e iiberau]16sbar in G eingebettet.

Bewe i s . Sei G ein minimales Gegenbeispiel zu Lemma 2.2 und sei M maximal unter den modularen Untergamppen yon G, fiir die das Lemma falsch ist. Da mit G und M auch G/Me und M / M e Gegenbeispiel zu Lemma 2.2 sind, folgt

(I) M e = I ,

wegen der 1Y[inima]itgt yon G. Iqaeh [7, Satz 2, S. 371] ist M nilpotent, also elementarabelseh. Ware M nicht

quasinormal in G, so ware naeh [8, Theor. 3, S. 349] G = M e • K mit einer P-Gruppe M e, also M e fiberauflSsbar in G eingebettet. - - Es ist daher

(2) M quasinormal in G

und nach Hilfssatz 2.1, (b)

(3) M e elementarabelsch.

F/Jr jedes x e G \Ne(M) is* somit M w M x elementarabelsch, ferner modular in G [7, (2.7)]; wegen der Maximalitat yon M i s t also (M w Mx)e/(M u M~:)e ----- Me / (M (J Mx)a fiberauflSsbar in G eingebettet. Nach Hilfssatz 2.1, (a) ist M maximal in M u M x. Existierte ein y e G\IVG (M) mit M ~3 M Y . M u M z, so ware M = (M w MY) n (M w M ~) und somit dann M e / M e iiberauflSsbar in G eingebettet. - - Des ist nicht der Fall; es ist daher M u M x = M e, d.h. M maximal in M e, also

(4) ]MC[ = pn+l, I M ] = pn, p eine Primzahl.

Wir wollen nun zeigen, dab M c einen Normalteiler der Ordnung p yon G enthalt. Sei dazu IV ein in M e enthaltener minimaler Normalteiler yon G. I s t ] IV I ---- P, so sind wir fertig; sei also ] iV ] > T-

])a IV ein mlrdmaler Normalteiler yon G ist, ist die Fitt inggruppe ~ (G) in Ca (IV) enthalten. Nach [7, Satz 5, S. 375] ist G/Ce (M e) auflSsbar, also aueh G/CG (IV). Ware Ca(IV) <= q)(G), so ware daher G auflSsbar nnd aul3erdem ~ ( G ) _--< r ein ~Vider- spruch [3, Satz 4.2, S. 277]. - - Es ist also Ce(IV) nicht in ~5(G) enthalten, d.h. es existiert eine maximale Untergruppe S yon G mi t SCe(IV) ~ G.

29*

4 5 2 R . SCHMIDT AI~CH. MATH.

I s t M (~ S = 1, so ist wegen (3) M G ~ S <]/] '/GS = G und wegen (4) und der Modularit~it yon M auBerdem [M e (~ S[ = p ; wir haben somit den gewiinschten Normaltei ler gefunden.

Sei also M n S �9 1. D a n n ist M n Se ine elementarabelsche modulare Untergruppe von S [7, (2.2)]. Wegen der Minimalit~it yon G i s t daher (M n S)S / (M n S)s iiber-

T O" auf l6sbar in S eingebettet. ~ 'e~en (1) und (4) ist M (~ 2V maximal in 2V. W~re N =< S, so folgte, dab N / N ~ (M n S)s = N / ( M n •)s i iberaufl6sbar in S, und wegen S Ce (N) = G auch in G eingebettet w~re. Des widerspr~che der Wahl yon N. - - Es ist also ~" nicht in S enthalten, d.h. b ' S = G. Da (M n S) s <= M e wegen (3) von h z zentralisiert wird, ist dann (M n S )S / (M n S)s i iberaufl6sbar in G eingebettet und folglich (M n S)s = 1 wegen (1). Da (M ~ S) s . 1 ist, haben wir auch hier den g e ~ i n s c h t e n Normalteiler der Ordnung p gefunden. Wir haben gezeigt:

(5) M e enth~It einen Normalteiler 2V yon G mit [ N I = T-

Sei g ein i f -E lement yon G. Wir wollen zeigen, dab g einen Potenzautomorphismus auf M e be~drkt, also alle UntergTuppen yon M e normalisiert. Sei ,u = ( t ) ; dann ist tg = tr fiir ein r mi t 0 < r < p. Sei m e M . I s t M z zu M konjugiert, so gilt wegen (1) und (4) M e = M z • N . Es existiert also ein t~ ~ IY mit mF e M x. Da g ein i f -E lemen t und M x ein p-Quasinormaltefler yon Gist , wird M z yon g normalisiert [5, S. 169]. Es ist somit (m t~)~ = m g t i re M x, ebenso tort it, also auch m e - r e M x. Dies gilt fiir alle x e G; es folgt ma-r e M e = 1, d.h. ma = m r. D a m beliebig aus M war, wird also jedes Element aus M e auf seine r-re Potenz abgebfldet. Wir haben gezeigt:

(6) Is t U _--< M e und g ein i f -E lement yon G, so ist g e N e (U).

Nach (6) besteht der durch M e verlaufende Teil einer I Iaupt re ihe einer p-Sylow- ~ u p p e yon G aus Normaltei lern yon G; M e ist also iiberauflSsbar in G eingebettet . M_it diesem Widerspruch ist das Lemma bewiesen.

Norollar 2.3. Ist die P-Gruppe M eine modulate Untergruppe der Gruppe G, so ist G/Ce ( M e / M e ) i~berau/16sbar.

B e w e i s . Das Korollar folgt aus L e m m a 2.2 mit Hilfe eines Satzes yon Baer [3, Hilfssatz 9.8, S. 719].

Wir beweisen nun ein Ergebnis, das eigentlich leicht aus Satz 2.5 folg~e, mi t dessen tIilfe wir aber den Beweis dieses Satzes vereinfachen wollen.

Iiilfssatz 2.4. Seien H >= K Normalteiler der Gruppe G, so daft H / K i~berau/16sbar in G eingebettet ist, und sei (~ ein Verbandsisomorphismus von G, [iir den H ~ und Ka Normalteiler yon G ~ sired. Dann ist auch H ~ / K a i~berau/lSsbar in G ~ eingebettet.

B e w e i s . Wir machen Induk t ion nach IGI und kSnnen K----1 annehmen. Sei L = ( M I M m G, M _--< H, I M] Pr imzahl) . Da H fiberauflSsbar in G eingebettet ist, ist L <:] G und L . 1. Wegen H ~ <~ G a ist offenbar

L a = (QI QmG% Q <=H a , [Q] Pr imzahl) =

= (Qe I QmG% Q <= H'~,IQ[ Primzahl)

ein Normalteiler yon Ga. der nach Lemma 2.2 fiberauflSsbar in G a eingebettet ist.

Vol. XXIII, 1972 Verbandsisomorphismen auflSsbarer Gruppen 453

Nach Indukt ionsannahme ist auch Ha/L~, also schlieBlich H a fiberaufl6sbar in G a eingebettet. Das war zu zeigen.

Wit k6nnen nun das Hauptergebnis dieses Abschnittes beweisen.

Satz 2.5. Ist N ein Normalteiler und (rein Verbandsisomorphismus der endlichen Gruppe G, so existieren Normalteiler H und K von G mit

(a) K ~ 2 r

(b) Ha und K ~ normal in G ~,

(c) H / K und H~/K ~ iiberau]16sbar in G bzw. G ~ eingebettet.

B e w e i s . Sei G ein minimales Gegenbeispiel zu Satz 2.5 und sei/V minimal unter den Normalteilern yon G, ftir die der Satz falsch ist. Dann ist natiirlich N ~ nicht normal in G ~. Wegen der Minimalit~t yon G grit sogar:

(i) I s t R :~ 1 ein in 2V enthaltener Normalteiler yon G, so ist /~a nicht normal in G ~.

Sei R :~ 1 ein in _~ enthaltener elementarabelscher Normalteiler yon G. Dann ist R ~ eine P-Gruppe [1, Theor. 11.2, S. 23]. I s t x e G a mit R ~ ~ R~, so ist nach Hilfs- satz 2.1, (a) d a h e r / ~ c~ R az maximal in R a und folglich R c~ S maximal in R, wenn S = R az*-I gesetzt wird. Nach Lemma 2.2 ist S~/S~ tiberauflSsbar in G eingebettet, also auch B I B n SG. Da R c~ S~ < R ist, folgt durch wiederholte Anwendung des Be~desenen:

(2) I s t R e i n in N enthaltener elementarabelscher Normalteiler yon G, so ist R iiberaufl6sbar in G eingebettet.

Die Minimalitat yon G liefert mi t [10, Theor. 4, S. 5] sofort:

(3) Der Untergruppenverband $/" (G) ist direkt unzerlegbar.

Insbesondere ist weder G noch G ~ eine S-Gruppe. Mit [8, Theor. 3, S. 349] folgt

(4) I s t M modulare Untergruppe yon Primzahlordnung in G oder G ~, so ist M quasinormal.

Sei nun R ein in 2V enthaltener minimaler Normalteiler yon G. Da R ~ nicht normal in G a ist, ist R nach [10, Theor. 14, (3), S. 50] elementarabelsch. Wegen (2) ist R zyklisch ; nach (4) ist also R ~ ein Quasinormalteiler yon Primzahlordnung p yon G ~.

Sei L ~ = < M I M qnG a, [M[ = p>. Da sich zwei Quasinormalteiler der Ordnung p zentralisieren, ist L a ein elementarabelscher Normalteiler yon G a, undes ist [La I > p2, weft R a nicht normal in G a ist. Dami t ist L eine P-Gruppe, deren Ordnung durch p geteflt und die nach (4) yon Quasinormalteilern erzeugt wird, also ebenfalls eine elementarabelsche p-Gruppe. Dasselbe Argument zeigt, dab L ---- (Q [ Q qn G, I Q] = P> ist. Zqach Lemma 2.2 ist L ~- ( Q~ l Q q~ G, I Q I - - P> iiberauflSsbar in G eingebettet. Wir haben gezeigt:

(5) Es gibt einen elementarabelschen in G fiberaufl6sbar eingebetteten p-Normalteiler L :~ 1 yon G mit L a <~ G a.

454 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

Wegen der Minimalitgt von G existieren Normalteiler H1 und K1 yon G mit L =< K1 _--< 3"L =< H I , H~ und K~ normal in G * und H1/K1 fiberaufl6sbar in G ein- gebettet. W~re K1 * 3"J5, also 3" nicht in K1 enthalten, so existierten wegen der Minimalit~t yon 3" Normaltefler H2 und K~ yon G mi t K2 _--< 3" n K1 --_< H2, H~ und K~ normal in G z und H2/K2 fiberauflSsbar in G eingebettet. Wegen K1 = L (3" (~ K1) und (5) w~ire aueh K1/3" (~ K1, also schlieBlieh H1/K2 iiberauflSsbar in G eingebettet. Naeh Hilfssatz 2.4 h~itten H = H1 und K = K~ alle in Satz 2.5 geforderten Eigen- sehaften; ein Widerspruch. - - Es ist also K1 = 3"L, d.h.

(6) (3"L)a normal in G z.

Wegen (3) ist G keine S-Gruppe. Nach [10, Prop. 2.14, S. 48] ist also Tz <3 G% wenn T der kleinste Normaltefler mit p-Faktorooamppe von 3"L ist. Wegen (5) ist T =< 3", and aus (1) folgt T = 1; d.h. 3"L ist eine p-Gruppe. Dasselbe Argument mi t ~b(3"L) start T zeigt

(7) 3"L ist elementarabelseh.

Insbesondere ist 3" elementarabelsch. Nach (2) ist 3" iiberauflSsbar in G eingebettet. Da 3"Z/3" wegen (5) fiberauflSsbar in G eingebettet ist, ist es schlieBlich auch 3"L. Wegen (6) und tiilfssatz 2.4 haben H -~ 3"L und K ---- 1 alle geforderten Eigenschaf- ten. M_it diesem Widerspruch ist Satz 2.5 bewiesen.

Das folgende Korollar verbessert Aussage (2) und (3) yon [10, Theor. 14, S. 50].

Korollar 2.6. Is t 3" ein 3"ormalteiler der Gruppe G derart, daft

(a) G/3" keinen zyklischen 3"ormalteiler besitzt oder

(b) 3" keinen Normalteiler M yon G mit 3"/M zylclisch enthiilt,

so ist 3"~ normal in G ~ /i~r ]eden Verbandsisomorphismus a yon G.

Bewei s . Gilt (a), so muB (mit den Bezeichnungen des Satzes) H ~- 3" sein; gilt (b), so folgt K ---- 3". In jedem Falle ist ~ <3 G a-

Korollar 2.7. Ist 3" ein nicht zylclischer minimaler 3"ormalteiler und a ein Verbande- iso'morphismus der GruTl~e G, so ist 3"~ ein minimaler 3"ormalteiler yon G a.

B e w e i s . ~ a c h Korollar 2.6, (b) ist 3"~ <3 G ~. Wegen Satz 2.5, angewandt auf in 3"~ enthaltene :Normalteiler yon G ~, (oder wegen [6, S. 321]) ist ~V~ minimaler Nor- malteiler.

Wir sehliel]en diesen Absehnitt mi t einer Frage. Wir haben gezeigt, dal3 MG/Ma fiberauflSsbar in G eingebettet ist, welm M eine modulare Untergruppe der Gruppe G ist, die entweder eine P-Gruppe (Lemma 2.2) oder Bild eines Normalteilers unter einem Verbandsisomorphismus ist (Satz 2.5). I s t MG/Ma fiir eine beliebige modulare Untergruppe M yon G fiberauflSsbar in G eingebettet 1) ?

1) Zusatz bei der Korrektur am 26.8.1972: :Die Antwort ist: ja. :Die Beweismethode dieses Satzes ist ~hnlich der im Beweis yon Lemma 2.2 angewandten. Damit ist insgesamt ein einfa- cherer und kfirzerer Beweis yon Satz "2.5 mSglich.

Vol. XXlII, 1972 Verbandsisomorphismen auflSsbarer Gruppen 455

3. lnvarianz des Ranges. Wir kSrmen nun zeigen, dab der Rang (Definition s. Ab- sehnitt 1) einer auflSsbaren Gruppe invariant unter Verbandsisomorphismen ist, und damit das in der Einleitung angekiindigte Ergebnis (1) beweisen.

Satz 3.1. Ist G eine auflSsbare Gruppe undcr ein Verbandaisomor29hismus yon G, so ist r. (G) = ~ (G~).

Bewei s . Wir machen Indukt ion nach I GI. Sei 2V ein minimaler Normalteiler yon G. I s t 2Va ein mirrimaler Normalteiler yon G a, so ist offenbar d i m N = d i m N a. Da nach Induktionsannahme r (G/~V) = ~ (GAIN a) ist, folgt r (G) = r (Ga).

I s t 2Va kein minimaler Normalteiler yon G a, so ist 2 / n a c h Korollar 2.7 zyklisch, und naeh Satz 2.5 existiert ein Normalteiler H yon G mi t 2V ~ H, H a <3 G a und H so~4e H a fiberauflSsbar in G bzw. G a eingebettet. Die Dimensionen der in H bzw. H a enthaltenen I-Iauptfakt~ren yon G bzw. G a sind also alle gleieh 1, und die Zahl dieser I taupt faktoren ist in beiden Gruppen gleich (n/~mlich gleieh der maximalen Ketten- l/inge in 3:f (H) bzw. 39" (Ha)). Da naeh Induktionsarmahme r (G/H) = r(Ga/H a) ist, folgt auch hier r (G) = r (Ga), was zu zeigen war.

Korollar 3.2. F//r ~'edes ungeordnete n-tu29el ~ = (rl . . . . . rn) natiirlicher Zahlen ri ist die Klaase ~ der aufl6sbaren Gru2929en vom Rang r invariant unter Verbandsisomor- phismen.

Bemerkung 3.3. Der Beweis yon Satz 3.1 zeigt, dab nieht nur die Dimensionen, sondern aueh die Ordnungen der t taupt faktoren der Dimension > 2 bei Verbands- isomorphismen invariant bleiben.

4. Die Fittinggruppen. Wir wollen in diesem Abschnitt untersuehen, was mit den ~it t inggruppen ~ (G) einer (nieht notwendig aufl6sbaren) endlichen Gruppe G bei Verbandsisomorphismen geschieht.

I s t G eine .S-Gruppe, also G = S • T mit (1S I, ] T I) = 1 und einer P-Gruppe S der Ordnung pn+l oder pnq, 79 > q, n >= I, und ist G1 = $1 • T mit einer P-Gruppe $1 der Ordnung pnq, so existiert wegen [10, Theor. 4, S. 5] offenbar ein Verbands- isomorphismus yon G auf G1, der : - ( S ) nicht auf ~ ' ($1) und damit auch ~ (G) nicht auf ~(G1) abbildet. I s t G keine S-Gruppe, so ist die Situation besser.

Satz 4.1. S'ei G keine S-Grup29e und ~r ein Verbandsisomorphismus yon G. Dann gilt:

(a) Ist 29 eine Primzahl und O~(G) der maximale 29-Normalteiler yon G, so ist Or (G) ~ = Oq (G G)/iir eine Primzahl q.

(b) ~ ( G ) ~ = ~ (Ga ) .

Bewe i s . Sei P = Or(G ). Wir zeigen zuerst, dab p a eine q-Gruppe ist ffir eine Primzahl q.

Angenommen, das w/~re nicht so. Nach [10, Theor. 12, S. 12] w~re dann P eine elementarabelsche 29-Gruppe und p a eine niehtabelsche P-Gruppe der Ordnung pnr, /9 > r, r Prirnzahl ; insbesondere w~re a singaal/ir bei p [10, S. 42]. Da G keine S-Gruppe ist, bes~tBe G naeh [10, Prop. 2.8 trod 2.9, S. 43 trod 44] ein normales 29-Komplement K. 0ffenbar w/s K < C~(P); da die p-Sylowgz~appen yon G abelsch w~ren, folgte P < Z(G). Ffir R < P mit R a r-SylowgTuppe yon p a w/~re daher R a modular in G a.

456 R. SCHMmT ARCH. MATH.

Da G keine S-Gruppe ist, ware nach [8, Theor. 3, S. 3 4 9 ] / ~ quasinormal in G ~, also auch in P~; ein Widerspruch. -- Wir haben gezeigt:

(1) P~ ist eine q-Gruppe, q Primzahl.

Wir wollen nun zeigen, dab P~ quasinormal in G r ist, und nehmen dazu an, das w~re nicht so. Setzen wir D ~ ---- P~c~, so gilt naeh [8, Theor. 3, S. 349] G~/D ~ = = SaID ~ x Tcr/D ~ mit einer P-Gruppe SG/D ~ der Ordnung umq, u Primzahl mit u > q, und (I Sa/Da ], ITa/Da 1) = 1. I s t V = G, so dab Ua/D a die u-SylowgTuploe yon SaID a ist, so ist D a = U a (~ pa, also D = U n P normal in U. Genauso ist D <~ T, ferner D ~ P a l s maximale Untergruppe der p-Gruppe P, also schlieglich D <~ G. Naeh [10, Theor. 4, S. 5] ist G/D = S/D x T/D mit (I S/D], ] T/D I) = 1. P/D ist ein Normalteiler der Ordnung T der P-Gruppe S/D der Ordnung umv, u ~= v; es ist also u = p. Da P = Op (G) ist, ist P die p-Sylowgruppe yon S, also auch yon G. Wegen p = u > q und (1) ist ~ singulSr bei p. Da G keine S-Gruppe ist, existiert wieder ein normales p-Komplement K in G. Es s G = P • K, also G ~ = Pz • K 6, d.h. Pz <3 G a. Mit diesem Widerspruch haben wir

(2) Pz ist quasinormal in G a.

Nach (1) und (2) ist die normale ttfille yon Pa in G 6 ein q-Normaltefler yon G~, also P~ = O~(G) a ~= Oq(Ga). Da mit G auch G a keine S-Gruppe ist (s. Abschnitt 1), kSnnen wir dieses Ergebnis auf Oq (G ~) und a-1 anwenden und erhalten schlieBlich Op (G ~) = Oq (G~). Damit ist (a) bewiesen; (b) folgt tmmittelbar aus (a).

SVir wollen nun die hSheren FittinggTuppen betrachten und brauchen dazu einen ttilfssatz, der yon unabh/~ngigem Interesse ist. Er behandelt die Struktur der Gruppen mit einem Verbandsisomorphismus, der singxfi/~r yon 1. Art bei p ist [10, S. 42], p eine Primzahl, und zei~, dab die p-Sylowgruppen auf dem normalen p-Komple- ment yon G nur eine zyklisehe Automorphismeng-cuppe induzieren.

Lemma 4.2. Sei a ein Verbandsisomorphismus, S e i n e ,p-Sylowgruppe und K ein normales p-KomTlement der GrupTe G. Ist S ~ eine nichtabelsche P-Gruppe und Pa die p-Sylowgruppe yon S ~, so ist P ~ C~ (K), d.h. G = S • K oder G ---- (P x K) Q mit

IQI =p- Bewe i s . Wir maehen Indukt ion nach I G[ und kSnnen folglich offenbar IS[ = p2

annehmen. Nach [9, Theor. 5, S. 354] ist

(1) K ~ ein I-Iallscher Normaltefler yon G ~.

Ffir jede Untergruppe U yon S gilt sicherlich UCK(U) = U x C K ( U ) mit (I U[, [CK(U)]) = 1. Nach [10, Theor. 4, S. 5] fo l~ (UCK(U)) ~ = V G • C~:(U) ~, also CK(U) ~ ~= CK~(Ua). Dasselbe Argument ist wegen (1) auf U a und K a anwendbar. Wir erhalten:

(2) F/Jr alle U ~ S ist CK~(U~.) = CK(U) a.

Sei nun IS a ] ---- pq, p > q, und Q ~ S, so dab Qz eine q-Sylowgruppe yon S ~ ist. Da P Q = S abelseh ist, wird C~(Q) yon P normalisiert, d.h. es ist PCK(Q) n K = ----C~(Q). Wegen (1) und (2) ist somit Ct:~(Q 6) = CK(Q) a = (Pa u CK(Q) ~) n K z

Vol. XXIII, 1 9 7 2 Verbandsisomorphismen auflSsbarer Gruppen 457

normal un te r P~. I s t x e pG mi t Q~x :~ Qa, so ist Q~ w Q~z = S ~ und folglich CK~(S ~) = CK~(Qa) (~ CK~(Q~) x = CK~(Q~). Mit (2) erhal ten wir:

(3) CK(Q) = CK(S) ffir alle Q ~ S mi t [Qa] = q.

W~re P nicht in Cs(K) enthal ten, so folgte wegen (3) offenbar Cs(K) ---- 1. Nach [2, Theor. 2.4, S. 225] erhielten wir erneut mi t (3) K ---- <CK (x) [ 1 ~: x e S> = CK (P) ; ein Widerspruch. - - Es ist also P doch in Ca (K) entha l ten und das L e m m a bewiesen.

Wir k6nnen nun das Haupte rgebnis dieses Abschni t tes beweisen.

Satz 4.3. Ist a ein Verbandsisomorphismws der Gruppe G, so gilt ~ k (G) ~ = ~'~ (G ~) [iir k ~ 2.

B e w e i s . Sei G ein minimales Gegenbeispiel zu Satz 4.3 und sei k ~ 2 die kleinste Zahl, fiir die ~-k(G)r ~ : ~ ( G a) ist.

W/ire G eine S-Gruppe , also G ---- S • T m i t einer nicht zyldischen P -Gruppe S und (I S l, I T I ) = 1, so f o l ~ e nach [10, Theor. 4, S. 5] und wegen der Minimal i ta t yon G offenbar

~(G) ~ = (S x ~(T)) ~ = S ~ • ~(T ~) = ~(Ga),

ein Widerspruch. -- Folglich gilt:

(i) Gist keine S-Gruppe.

Nach Satz 4.1 ist also 5~(G) a ----~(Ga). Damit ist ~k(G):~ ~(G) und folglich F : = ~ ( G ) �9 1. Wegen der Minimalit/ i t yon G i s t also/c = 2, und wegen Satz 4.1 ist G/F eine S-Gruppe, d .h . G/F = S /F • T / F mi t einer nicht zyklischen P -Gruppe S /F und (] S / F I, I T / F I) ---- 1. Wieder wegen der lYIinimalitat yon G ist S ---- G, d .h .

(2) G / ~ (G) ist eine nicht zyklische P-Gruppe .

W a r e n G/F und Ga/F ~ nicht abelsch, also IG/FI = pnq, IGa/F ~ ] = pnr, p > q, p > r, so folgte aus ~ 2 ( G ) a % ~2(Ga) , dab a sing~ls bei p ist. Nach [10, Prop. 2.8 und 2.9, S. 43 und 44] bess G, also auch G/F wegen (1) ein normales p -Komplemen t , was nicht der Fall ist. - - Es ist also o.B.d.A. G/F abelsch und Ga/F ~ nicht abelsch; sei I G : F I ----- pn. D a n n ha t G ein ni lpotentes normales p -Komplemen t . Nach L e m m a 4.2 ist daher ] G : . ~ ( G ) I = p, im Widerspruch zu (2). Dami t ist Satz 4.3 bewiesen.

KoroUar 4.4. Ist G eine au/lSsbare Gruppe mit FittinglSnge h (G) >= 3 und (r ein Ver- bandzisomorphismus yon G, so ist h (G a) = h (G).

Korol lar 4.5. F/~r 1~ >_-- 2 ist die Klasse ~ der au/16sbaren Gruppen mit Fittingldnge k invariant unter VerbandsisomorThismen.

5. Sylowtarmgruppen. Wir beweisen in diesem Abschni t t , dab die Klasse $ der Sy lowtu rmgruppen invar ian t un te r Verbands isomorphismen ist.

Satz 5.1. Ist G eine Sylowturmgruppe und (r ein Verbandsisomorphismus yon G, so ist auch G ~ eine Sylowturmgruppe.

B e w e i s . Wir machen Induk t ion nach ]G I. I s t G ----S x T m i t S P -Gruppe und ([ S I, [ T] ) ----- 1, so sind S ~ als P - G r u p p e und T a nach Induk t ionsannahme Sylow- tu rmgruppen , also wegen (] S a I, I Ta ] ) = 1 auch G a ---- S a • T a.

458 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

I s t G keine S-Gruppe und P 4= 1 eine normale p-Sytowgruppe -con G, so ist nach Satz 4.1, (a) P~ : Oq(G a) fiir eine Primzahl q. I s t P~ eine q-Sylowgruppe yon G ~, so sind wir mi t Induk t ion fertig. I s t aber P~ keine ~/-Sylowgruppe yon Ga, so ist ~-1 singuliir bei q. Da G ~ keine S-Gruppe ist, existiert nach [10, Prop. 2.8 und 2.9, S. 43 und 44] ein normales q-Komplement C a in G ~. Nach Induk t ionsannahme ist C a, also auch G ~ eine Sylowturmgruppe.

Bemerkung 5.2. Der Aufbau der Sylowtiirme in G ~ karm sich s tark yon dem der Sylowtiirme in G unterscheiden. Die Zahl der verschiedenen Primteiler yon I G ~ ] karm doppelt so grol3 sein wie die der Primteiler yon [GI, etwa wenn G das direkte P r o d u k t yon nicht zyklischen elementarabelschen P-Gruppen teilerfremder Ordnung ist. Auch wenn G keine S-Gruppe ist, kann sich die Zahl der verschiedenen Primtefler ver~oxSBern, ~4e m a n an dem Beispiel der nichtabelschen Gruppe G der Ordnung 63 und der Diedergruppe G a der Ordnung 42 sieht.

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Eingegangen am 12. 11. 1971

Anschrift des Autors: Roland Schmidt Mathematisches Seminar der Universitgt 23 Kiel