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Vergleichsarbeiten 2010 8. Jahrgangsstufe (VERA-8)

Mathematik – DIDAKTISCHE HANDREICHUNG zu Testheft II

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Liebe Kollegin, lieber Kollege, die vorliegende „Handreichung Vergleichsarbeiten – Vera-8 (2010)“ enthält die Aufgabenstellungen, Lösungen und didaktischen Kommentierungen der „Vergleichsarbeiten Mathe 8. Klasse (2010)“ Testheft II wie sie vom Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen der Humboldt-Universität zu Berlin (IQB) für die Länder erstellt wurden. Ergänzend finden Sie zudem kurz gefasste allgemeine Erläuterungen zu den Zielen, den Verwendungsmöglichkeiten und der Konstruktionsweise von Vergleichsarbeiten. Diese „Handreichung Vergleichsarbeiten“ soll auf diese Weise nicht nur ganz konkret über die Bildungsstandards Mathe und einen entsprechenden kompetenzorientierten Unterricht informieren, sondern sie soll vor allem Sie als Lehrkraft in Ihrem täglichen Bemühen um einen solchen Unterricht unterstützen. Die Handreichung wendet sich daher nicht ausschließlich an diejenigen unter Ihnen, die im März 2010 mit ihren Klassen diese Arbeiten (als „Lernstandserhebung“, „Kompetenztest“ o. ä.) geschrieben haben, sondern an alle interessierten Kolleginnen und Kollegen. Auch Eltern sowie Schülerinnen und Schüler oder an Unterrichtsqualität interessierte Dritte finden hierin möglicherweise nützliche Anregungen. Denn es kommt Ihnen als Lehrkraft im Unterricht zwar eine zentrale Rolle bei der Umsetzung der Bildungsstandards zu, doch ohne entsprechende Rahmensetzungen durch Schulpolitik und Schulverwaltung wie auch ohne eine breite Unterstützung durch Eltern, Schüler und Bevölkerung ist eine solche Aufgabe nicht zu bewältigen. Aus diesem Grund werden in dieser Handreichung zunächst fachübergreifend Ziele, Möglichkeiten, Konstruktion und Abläufe von Vera erläutert.1 In einem folgenden fachbezogenen Teil werden das fachspezifische Kompetenzmodell und Charakteristika eines kompetenzorientierten Unterrichts erläutert. In einem dritten Teil werden die im Vera-8-Durchgang 2010, Testheft II eingesetzten Aufgaben mitsamt ihren jeweiligen Lösungen und didaktischen Kommentierungen wiedergegeben. Ein abschließender vierter Teil widmet sich exemplarisch der Kompetenzentwicklung im Unterricht. Die Handreichung enthält somit keine Ergebnisse aus der eigentlichen Testdurchführung im März 2010; diese liegen ausschließlich den Ländern bzw. deren Behörden und Schulen vor. Sie können diese Handreichung für Ihre persönlichen (Unterrichts-) Zwecke in gewohnter Weise vervielfältigen und weitergeben. Die Aufgaben enthalten teilweise urheberrechtlich geschütztes Material (Fotografien, Grafiken, Texte etc.). Das IQB hat für die Länder bzw. deren Behörden, Schulen, Lehrkräfte, Schüler und Eltern für April 2010 bis März 2011 die nicht-kommerziellen, räumlich und medial unbeschränkten Nutzungsrechte erworben.2 Ab April 2011 dürfen die Aufgaben der Testhefte 2010 nicht mehr für den allgemeinen Gebrauch vervielfältigt oder elektronisch verteilt werden.3 Wir wünschen Ihnen viel Erfolg und auch viel Spaß im Unterricht mit unserer „Handreichung Vergleichsarbeiten Vera-8 (2010)“. Ihr Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen 1 Weitere grundsätzliche Informationen zu Vera finden sich auch unter http://www.iqb.hu-berlin.de/vera; dort auch Links zu den Informationsangeboten der Länder. 2 Trotz intensiver Bemühungen war es leider nicht für alle Materialquellen möglich, die Rechteinhaber ausfindig zu machen und zu kontaktieren, um erforderliche Veröffentlichungsrechte einzuholen. 3 Eine kommerzielle Verwendung der Aufgaben – etwa im Rahmen von Verlagspublikationen – muss bei den Rechteinhabern gesondert vereinbart werden.

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1. Fachübergreifende Erläuterungen ................................................................................................ 4 2. Fachallgemeine Erläuterungen ..................................................................................................... 7 3. Testaufgaben Vera-8/2010 ......................................................................................................... 13

Übersichtstabelle......................................................................................................................... 13 Aufgabe 1: Außenthermometer ................................................................................................... 14 Aufgabe 2: Größer-Kleiner .......................................................................................................... 15 Aufgabe 3: Handykauf................................................................................................................. 17 Aufgabe 4: Schultaschen ............................................................................................................ 19 Aufgabe 5: Fußballtabelle ........................................................................................................... 23 Aufgabe 6: Kreisdiagramme........................................................................................................ 28 Aufgabe 7: Bälle ziehen .............................................................................................................. 29 Aufgabe 8: Durchschnittslinie...................................................................................................... 34 Aufgabe 9: Handball.................................................................................................................... 37 Aufgabe 10: Fehler in der Gleichung........................................................................................... 43 Aufgabe 11: Yardstick ................................................................................................................. 46 Aufgabe 12: Zahlenaussagen ..................................................................................................... 49 Aufgabe 13: Spiegeleien ............................................................................................................. 53 Aufgabe 14: Ungewöhnlicher Mittelwert...................................................................................... 56 Aufgabe 15: Zug von Paderborn ................................................................................................. 60 Aufgabe 16: Vier Spiegelungen................................................................................................... 63 Aufgabe 17: Superman ............................................................................................................... 65 Aufgabe 18: Würfelnetz mit Buchstaben ..................................................................................... 68 Aufgabe 19: Milchmenge............................................................................................................. 70 Aufgabe 20: Winkel an Geraden ................................................................................................. 71

4. Kompetenzentwicklung im Mathematik-Unterricht: Argumentieren ............................................ 74 5. Literaturhinweise......................................................................................................................... 91

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1. Fachübergreifende Erläuterungen Vera-8 – Vergleichsarbeiten in 8. Klassen (auch "Lernstandserhebung", "Kompetenztest", o.ä.) Anfang März 2010 wurden in den meisten 8. Klassen der allgemein bildenden Schulen in Deutschland parallel Arbeiten in Mathematik, Deutsch und/oder Erster Fremdsprache (Englisch / Französisch) geschrieben. Dieses Vorhaben – übergreifend „Vera-8“ genannt – geht auf einen Beschluss der Kultusministerkonferenz zurück, schließt an ähnliche Erhebungen einzelner Bundesländer in den Vorjahren an und soll fortan jährlich durchgeführt werden. Zuständig sind jeweils die Länder. Sie organisieren den Ablauf wie auch die Auswertung in je eigener Verantwortung und haben dabei teilweise unterschiedliche Regelungen getroffen: So werden zum einen die Arbeiten teilweise nicht in allen Fächern verpflichtend geschrieben; zum anderen unterscheidet sich die Form der Ergebnisrückmeldung und -berücksichtigung. Auch die Bezeichnung für Vera variiert - so z. B. als „Kompetenztest“ oder „Lernstandserhebung“. Es gibt jedoch Rahmendaten, Materialien und Abläufe, die für alle Länder weitgehend gleich sind. Hier sind vorrangig die Testhefte und Ergänzungsmaterialien für die Vera-8-Arbeiten zu nennen, die die Länder zentral über das Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB) der Humboldt-Universität zu Berlin entwickeln lassen. Die Testdurchführung und meist auch die erste Auswertung liegen bei den Lehrkräften; spezielle Testleiter kommen nicht zum Einsatz. Im Unterschied zu den Schulleistungsuntersuchungen „PISA“, „IGLU“ oder „TIMSS“ ist Vera kein Stichproben-gestütztes „System Monitoring“, mit dem die Entwicklung der Leistungsfähigkeit von Teilen des Bildungssystems überwacht wird. Vera ist vielmehr ein Instrument der Unterrichtsentwicklung, mit dem die Lehrkräfte an allen Schulen die Leistungsfähigkeit ihrer Schülerinnen und Schüler über den Bezugsrahmen ihrer Klasse und Schule sowie des konkreten Lehrplans hinaus beurteilen können. Diese vor allem klassenbezogenen kompetenzorientierten Diagnosen stellen den Lehrkräften in Ergänzung ihrer unterrichtspraktisch-professionellen Erfahrungen Ansatzpunkte für den Unterricht bereit. Zudem soll das zentrale Einbeziehen der Lehrkräfte den Anstoß für eine fachdidaktische Diskussion und Kooperation in den Kollegien und Fachkonferenzen geben, die im idealen Fall die Form einer internen Evaluation und eines kontinuierlichen Optimierungsprozesses annehmen. Die hierfür hilfreiche Auswertung der Tests (s. u.) und die Rückmeldung der Ergebnisse an Schulen und Lehrkräfte übernehmen die Länder, wie oftmals auch eine zentrale schriftliche Unterrichtung der Schülerinnen und Schüler bzw. deren Eltern. Vera-Testhefte und Bildungsstandards Für jedes der vier Fächer wurden jeweils drei Testhefte erstellt, die zwar jeweils einige Aufgaben gemeinsam haben, sich untereinander aber in ihrem Gesamt-Schwierigkeitsgrad unterscheiden: Das Heft A (oder „I“) ist als „leicht“, das Heft B (bzw. „II“) als „mittel“ und das Heft C (bzw. „III“) als „schwer“ eingestuft. Die unterschiedliche Gesamtschwierigkeit der Hefte kommt durch die jeweilige Zusammenstellung aus unterschiedlich schweren Aufgaben zustande. In allen Heften sind jedoch sowohl einfache als auch mittlere und schwierige Aufgaben zu finden, so dass individuelle Leistungsunterschiede auch innerhalb von Klassen angemessen berücksichtigt werden. Die Testhefte wurden jeweils für einen 2 x 40-minütigen Testdurchgang entwickelt. Die Kompetenzorientierung des Tests ergibt sich durch die Entwicklung der einzelnen Testaufgaben auf Basis der länderübergreifenden Bildungsstandards, die von den Kultusministern als Zielvorgabe für Schülerleistungen und als Grundlage von Lehrplanentwicklung und Lehrerfortbildung ab dem Schuljahr 2004/2005 verbindlich eingeführt worden sind. Bildungsstandards sind bekanntlich fachdidaktisch begründete und auf mittlerem Abstraktionsgrad formulierte Leistungserwartungen an die Schülerinnen und Schüler. Sie nehmen damit eine Mittelstellung zwischen sehr allgemeinen Bildungszielen einerseits und konkreten Aufgabenstellungen andererseits ein und setzen diese untereinander in Bezug. Sie sind dadurch sowohl zukunfts- und verwendungsoffen als auch gesellschaftlich konsensfähig. Die erwarteten

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Leistungen bestehen im Nachweis des Könnens seitens der Schülerinnen und Schüler, fachbezogene Problemaufgaben zu lösen.4 Bildungsstandards bestehen dreidimensional aus einer generalisierten inhaltsbezogenen Komponente („Leitidee“, „Basiskonzept“), die am ehesten den Inhalten traditioneller Lehrpläne entspricht, einer prozessual-formalen Komponente (allgemeine fachbezogene Kompetenzen) und einer eher kognitiven Komponente (Anforderungsbereiche, z. B. Anwendung / Übertragung / Kritik). Sie fokussieren auf den Kernbereich des jeweiligen Faches und zielen kumulatives, d.h. systematisch vernetztes Lernen an. Ihre Schwerpunkte legen sie stärker auf die prozessbezogenen und weniger auf die inhaltsbezogenen Kompetenzen. Die Bildungsstandards der Ersten Fremdsprache werden zudem, soweit sinnvoll, auf den „Gemeinsamen Europäischen Referenzrahmen für Sprachen“ des Europarates (GER) bezogen. Wie dies im Einzelnen aussieht, wird in Teil II dieser Handreichung fachbezogen ausgeführt. Die Bildungsstandards Mathe sind aufgrund eines Beschlusses der Kultusministerkonferenz seit dem Schuljahr 2004/2005 bzw. 2005/2006 verbindliche Zielvorgaben für die Lehrplanentwicklung und die Lehrerbildung. Sie differenzieren nach angestrebtem Schulabschluss (HSA / MSA). Sie werden vom IQB in konkrete Testaufgaben umgesetzt („operationalisiert“). Entscheidend für das Konzept der Bildungsstandards ist damit erstens, dass diese zwar auf eine (kumulativ zu erweiternde) Basis des theoretischen Fachwissens aufbauen, aber – aufgrund ihres Fokus auf der Lösung von fachlichen Problemen – v. a. dem tatsächlichen Handeln (-Können) und dem reflexiv-kritischen Bewerten (-Können) den entscheidenden Stellenwert einräumen, angestrebt über einen langfristigen Kompetenzaufbau. Entscheidend für das Konzept der Bildungsstandards ist zweitens, dass diese Output-orientiert sind, also Zielformulierungen enthalten und lediglich Hinweise für die Lehrkräfte geben, wie diese erreicht werden können. Jede Schule bzw. Fachkonferenz soll in Form eines Schul-Curriculums einen eigenen, den jeweiligen Schülern angepassten, fördernden und differenzierenden Weg zu diesem Ziel finden. Die den Vera-8-Arbeiten zugrundeliegenden Bildungsstandards beziehen sich auf die neunte bzw. die zehnte Klasse. Der relativ frühe Testzeitpunkt – vier Monate vor Ende der achten Klasse – ist mit Absicht gewählt, da auf diese Weise den Schülern und Lehrkräften genügend Zeit bleibt, dem Standort der Klasse im Hinblick auf den Haupt- bzw. Mittleren Schulabschluss Rechnung tragen und rechtzeitig Fördermaßnahmen einleiten zu können. Der Aufbau der Vera-8-Testaufgaben Die Testaufgaben bestehen aus einer Anleitung, einem (Lese- oder Hör-) Text bzw. einer Abbildung (dem „Stimulus“) und aus teilweise mehreren Aufgabenstellungen (den „Items“). Die Items sollen möglichst unabhängig voneinander lösbar sein. Die Lösung kann in Form einer Ankreuzaufgabe, als Lücken- bzw. Kurzantwort oder mit ausführlicher Darlegung des Lösungswegs abgefordert werden. Die in den Vera-Testheften eingesetzten Aufgaben wurden von erfahrenen Lehrkräften aus allen Schulformen und allen Bundesländern entwickelt und erprobt, von mit den Bildungsstandards vertrauten Wissenschaftlern aus den jeweiligen Fachdidaktiken bewertet und überarbeitet sowie schließlich ein Jahr vor ihrem Einsatz an einer Stichprobe von ca. 3.000 Schülern erprobt und normiert. Dieser aufwändige, statistisch ausgewertete Vortest soll zum einen sicherstellen, dass die auf ihre fachdidaktische Güte überprüften Aufgaben fair (also z. B. geschlechterneutral, Minderheiten nicht benachteiligend etc.) und „trennscharf“ sind (d.h., dass schwierigere Aufgaben eher von stärkeren Schülern eher als von schwächeren gelöst werden). Zum anderen werden über diesen Vortest realistische „Schwierigkeitswerte“ gewonnen, die die Grundlage für die Zusammenstellung der Testhefte und die Ergebniswertung der Vergleichsarbeiten bilden. Die statistischen Berechnungen, die die Aufgabeneignung prüfen und den Schwierigkeitswert ergeben, erfordern eine für manche Lehrkräfte ungewohnte Auswertung: Es wird nur „richtig“ oder „falsch“ gewertet; eine Teilrichtigkeit ist ebenso wie eine Gewichtung mit unterschiedlich hohen Punktzahlen nicht vorgesehen, und es wird eine oft als eng empfundene zeitliche Taktung 4 Das Kompetenz-Konzept der Bildungsstandards unterscheidet sich dementsprechend von den sog. „Schlüsselkompetenzen“ (fachliche, methodische, soziale und personale Kompetenz) der berufspädagogischen Diskussion. Zum Konzept der Bildungsstandards s. die sog. Klieme-Expertise, zugänglich u. a. beim BMBF (http://www.bmbf.de/pub/zur_entwicklung_nationaler_bildungsstandards.pdf).

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vorgegeben. Der Verzicht auf unterschiedliche Punktzahlen liegt in der Berücksichtigung der empirisch ermittelten Schwierigkeit begründet (s.o.). Bezüglich des „Alles-oder-Nichts-Prinzips“ der Wertung der einzelnen Items sei darauf verwiesen, dass dieses zum einen durch die Kleinteiligkeit der Teilaufgaben und zum anderen durch deren Anordnung nach Schwierigkeit kompensiert wird (zu Beginn des Testheftes stehen tendenziell die eher leichten, zum Schluss die eher schwierigen Aufgaben). Auch erlaubt dieses Prinzip eine zeitökonomische Korrektur. Bei den in Vera verwendeten Aufgaben ist schließlich zu beachten, dass es sich um Testaufgaben handelt; sie sollen für Überprüfungszwecke einzelne Aspekte der Bildungsstandards möglichst trennscharf, isoliert und kleinschrittig abprüfen. Für den Kompetenzerwerb im Hinblick auf die umfassenden Bildungsstandards sind spezifische Lernaufgaben jedoch grundsätzlich besser geeignet. Durch die hiermit vorliegende Handreichung soll es aber möglich werden, auch die Testaufgaben kompetenzfördernd und lernwirksam im Unterricht einzusetzen. Testauswertung und Ergebnisinterpretation Eine einfache Form der Ergebnisrückmeldung ist die Angabe, wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler eine (Teil-) Aufgabe korrekt gelöst haben (Lösungshäufigkeit). Wenn die Lehrkräfte hierzu Vergleichswerte erhalten (z. B. Ergebnisse anderer Schulen des gleichen Typs), ist ihnen eine näherungsweise Einschätzung ihrer Klassen oder von Schülergruppen möglich. Da jedoch von den meisten Aufgaben die Schwierigkeitsgrade bekannt sind, kann durch eine statistische Berechnung auch ein Punktwert zurückgemeldet werden. Diese Werte (wie sie auch von PISA bekannt sind) werden inhaltlich illustriert durch Beschreibungen der Kompetenzniveaus, die den Stand der Schülerinnen und Schüler verallgemeinernd charakterisieren. Das Testergebnis bezogen auf einzelne Schüler/-innen bedarf ergänzender diagnostischer Informationen, z. B. zum individuellen Lernfortschritt. Klassenergebnisse sind hingegen als zuverlässig und von hohem Wert zu betrachten. Um diesen Wert, der den Ausgangspunkt für eine kompetenzorientierte Unterrichtsentwicklung bilden kann, nicht zu gefährden, sind verengende Vorbereitungsmaßnahmen („teaching to the test“) sowie unzulässige Hilfestellungen bei der Testdurchführung zu vermeiden.

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2. Fachallgemeine Erläuterungen Kompetenzorientiertes Unterrichten von Mathematik Zuerst werden die wesentlichen Komponenten der Bildungsstandards Mathematik sowie die hierzu empirisch konstruierten Kompetenzstufen kurz dargestellt. Danach werden einige allgemeine Überlegungen skizziert, wie das Fach Mathematik so unterrichtet werden kann, dass gute Chancen auf die Erreichung der durch die Standards vorgegebenen Ziele bestehen. 1. Die Bildungsstandards Mathematik Wie – fächerübergreifend – in Abschnitt I ausgeführt worden ist, beschreiben Bildungsstandards die fachbezogenen Kompetenzen, die Schüler bis zu gewissen Zeitpunkten ihrer Schullaufbahn erworben haben sollen. Kompetenzen sind kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, die nur in aktiver Auseinandersetzung mit substantiellen Fachinhalten erworben werden können. Illustriert und konkretisiert werden solche Kompetenzen durch Aufgaben, zu deren Lösung diese Kompetenzen benötigt werden. Das wesentliche Ziel von Bildungsstandards ist es, die Qualität des Unterrichts zu steigern (siehe II.3) und dadurch die Leistungen und fachbezogenen Einstellungen aller Schüler zu verbessern. Daneben sollen die Standards eine Orientierung über verbindliche Zielerwartungen bieten ebenso wie Möglichkeiten zur Überprüfung, inwieweit diese Ziele bis zu definierten Punkten in Bildungsgängen erreicht worden sind. Konkret werden bei den Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Schulabschluss drei „Dimensionen“ unterschieden, die man als „Prozess“-, „Inhalts“- und „Anspruchs“-Dimension bezeichnen kann: 1. Die „Prozess“-Dimension besteht aus den allgemeinen mathematischen Kompetenzen, deren Erwerb im Mittelpunkt des Unterrichts stehen soll; im Einzelnen sind dies5:

• Mathematisch argumentieren (K1), • Probleme mathematisch lösen (K2), • Mathematisch modellieren (K3), • Mathematische Darstellungen verwenden

(K4), • Mit symbolischen/formalen/technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), • Mathematisch kommunizieren (K6).

Diese Aufschlüsselung von „mathematischer Kompetenz“ in einzelne Kompetenzen soll eine gezielte Entwicklung dieser Fähigkeiten und Fertigkeiten ermöglichen. Dabei ist es weder möglich noch beabsichtigt, die einzelnen Kompetenzen scharf voneinander abzugrenzen. Vielmehr ist es geradezu typisch für mathematisches Arbeiten, dass mehrere Kompetenzen im Verbund benötigt werden und sich die verschiedenen Kompetenzen gegenseitig durchdringen. Parallel zum Erwerb von Kompetenzen sind im Unterricht auch mathematisches Grundwissen sowie Grundvorstellungen von mathematischen Begriffen und Methoden langfristig aufzubauen. 2. Die „Inhalts“-Dimension wird bestimmt von den inhaltsbezogenen Leitideen, anhand derer die Kompetenzen erworben werden sollen; im Einzelnen sind dies:

• Leitidee Zahl (L1), • Leitidee Messen (L2), • Leitidee Raum und Form (L3), • Leitidee funktionaler Zusammenhang (L4), • Leitidee Daten und Zufall (L5).

5 Genauer werden die Kompetenzen im Buch „Bildungsstandards Mathematik: konkret“ (Hrsg. W. Blum u.a., Cornelsen-Scriptor 2006) beschrieben.

Abb. II.1: Kompetenzmodell

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Innerhalb dieser Leitideen gibt es konkrete Inhalte, die sogenannten inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen, die typischerweise zum mathematischen Schulcurriculum gehören und mit deren Hilfe die allgemeinen mathematischen Kompetenzen erworben werden sollen. Die – eher „phänomenologisch“ orientierten – Leitideen sind nicht identisch mit den klassischen Stoffgebieten der Schulmathematik (Zahlen und Größen, Geometrie, Algebra, Stochastik), es gibt aber offensichtliche enge Beziehungen zwischen Leitideen und Stoffgebieten. Die Strukturierung der Inhalte nach Leitideen soll stärker als bisher die Verbindungen zwischen den verschiedenen Stoffgebieten betonen (z.B. funktionale Beziehungen im geometrischen Kontext). 3. Die „Anspruchs“-Dimension ergibt sich aus den Anforderungsbereichen, die den kognitiven Anspruch kompetenzbezogener mathematischer Tätigkeiten – vor allem beim Bearbeiten von Aufgaben – auf theoretischer Ebene beschreiben sollen. Bei den Mathematik-Standards unterscheidet man pragmatisch drei solche Anforderungsbereiche (d.h. Anspruchsniveaus), die kurz mit

• - „Reproduzieren“ (AB I), • - „Zusammenhänge herstellen“ (AB II), • - „Verallgemeinern und reflektieren“ (AB III)

überschrieben sind. Natürlich sind die Übergänge zwischen diesen Bereichen fließend. Je nachdem, wie viele Kompetenzen auf welchen dieser Anspruchsniveaus gefordert sind, werden Aufgaben einem der drei Anforderungsbereiche zugeordnet6. Dieses theoretische Anspruchsniveau einer Aufgabe darf keinesfalls mit der empirischen Schwierigkeit der Aufgabe verwechselt werden (wobei kognitiv anspruchsvollere Aufgaben natürlich tendenziell auch schwieriger sind; mehr dazu im folgenden Abschnitt). Bildungstheoretische Grundlage dieses dreidimensionalen „Kompetenzmodells“ ist der Allgemeinbildungsauftrag des Unterrichtsfachs Mathematik, wie er prägnant von Heinrich Winter beschrieben worden ist (Winter, 2003). Hierauf beziehen sich die von der KMK verabschiedeten Bildungsstandards Mathematik in ihrer Präambel ausdrücklich: Schüler sollen im Mathematikunterricht drei Grunderfahrungen kennenlernen, nämlich Mathematik

• als Werkzeug, um Erscheinungen der Welt um uns in einer spezifischen Weise wahrzunehmen und zu verstehen,

• als geistige Schöpfung und Welt eigener Art, • als Hilfsmittel zum Erwerb fachbezogener und fachübergreifender Fähigkeiten.

Selbstverständlich kann und soll Bildung nicht auf fachbezogene kognitive Leistungen eingeschränkt werden; vielmehr schließt eine umfassende schulische Bildung u.a. auch soziale Kompetenzen sowie motivationale und emotionale Faktoren mit ein. Dies wird in Abschnitt IV exemplarisch deutlich, wenn es um die Förderung von Modellierungskompetenz geht. 2. Kompetenzstufen im Fach Mathematik Die im vorangegangenen Abschnitt dargestellte Konzeption der Bildungsstandards Mathematik ist theoretischer Natur. Interessant ist nun natürlich zu wissen, wie schwierig einzelne Aufgaben tatsächlich sind und was Schüler verschiedener Altersstufen und verschiedener Bildungsgänge in Bezug auf diese Aufgaben tatsächlich „können“; hierfür braucht man empirische Daten. Damit kann man dann sowohl die Aufgaben – nach Schwierigkeit – als auch die Schüler – nach Leistungsfähigkeit – gewissen „Stufen“ zuordnen, was allen Beteiligten hilfreiche Orientierungen geben kann. Wie bereits in Abschnitt I ausgeführt worden ist, ist der Vera-8-Test aus Aufgaben zusammengesetzt, die an einer repräsentativen Stichprobe von annähernd 3000 Achtklässlern getestet worden sind. Die Ergebnisse sind dann aus rein technischen Gründen mithilfe gängiger statistischer Verfahren auf eine Skala mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 100 transformiert worden7. Jeder Aufgabe ist hierdurch also ein solcher Kennwert, der ein Maß für die relative Schwierigkeit der Aufgaben ist, zugeordnet. Leichte Aufgaben haben somit auf dieser Skala Kennwerte von 400 und darunter, schwierige Aufgaben Kennwerte von 600 und darüber.

6 Siehe die Tabelle am Anfang des Abschnitts III. 7 Diese Transformation ist im Grunde willkürlich und wurde unter pragmatischen Gesichtspunkten gewählt (Anschlussfähigkeit an PISA).

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Selbstverständlich stellt das, was als „leicht“ oder „schwer“ eingestuft wird, nur eine Momentaufnahme dar, die zu einem späteren Zeitpunkt – je nach unterrichtlichen Schwerpunktsetzungen – auch anders ausfallen kann. Wie ebenfalls in Abschnitt I ausgeführt, kann man die mathematische Kompetenz von Schülern in direkte Beziehung zur Schwierigkeit von Aufgaben setzen und auf derselben Skala abbilden8. Auf diese Weise ist eine inhaltliche Beschreibung von bestimmten Intervallen auf dieser Skala, Kompetenzstufen genannt9, und damit auch eine Setzung von Standards aufgrund inhaltlicher Kriterien möglich. Sowohl für den Mittleren Schulabschluss als auch für den Hauptschulabschluss ist die Skala – jeweils abschlussspezifisch – in fünf solche Intervalle eingeteilt worden (Kompetenzstufen I bis V), wobei das erste nach unten und das letzte nach oben offen sind. Die folgende Abbildung zeigt die Stufen, wie sie für den mittleren Schulabschluss definiert worden sind; die „Perzentile“ geben dabei an, wie viel Prozent der Aufgaben bzw. der Schüler bei idealer Verteilung bis zu den entsprechenden Skalenwerten vorhanden sind.

I II III IV V

Abb. II.2: Zusammenhang der Perzentile und Kompetenzstufen

8 Genauer wurde die Skala der Bildungsstandards so normiert, dass ein Schüler mit einem bestimmten Personen-(Fähigkeits-)Kennwert eine Aufgabe mit demselben Aufgaben-(Schwierigkeits-)Kennwert mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa zwei Drittel lösen kann. 9 Dieser Begriff könnte insofern missverständlich sein, als Stufen der mathematischen Kompetenz von Schülern gemeint sind, nicht Stufungen der einzelnen Kompetenzen. Man könnte vielleicht besser – bezogen auf die Aufgaben – von „Schwierigkeitsstufen“ sprechen. Genauere Erläuterungen und detaillierte Beschreibungen zu den Kompetenzstufen für den Mittleren Schulabschluss einschließlich vieler illustrierender Beispiele finden sich im Buch „Bildungsstandards: Kompetenzen überprüfen. Mathematik Sekundarstufe I“ (Hrsg. M. Katzenbach u.a., Cornelsen-Scriptor 2009, Kap. 3.4, S. 15ff).

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In der folgenden Abbildung sind Beispielaufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit den einzelnen Stufen zugeordnet worden (wieder für den mittleren Schulabschluss).

Abb. II.3: Kompetenzstufen mit Beispielaufgaben

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Als Ausgangswert für diese Stufen-Einteilungen wurde jeweils das obere Ende von Kompetenzstufe I gewählt und zwar so, dass alle Aufgaben mit Kennwerten unterhalb dieses Schwellenwerts nur solche Anforderungen stellen, deren einigermaßen sichere Erfüllung von allen Schülern des jeweiligen Bildungsgangs erwartet werden muss; man spricht hier vom Mindeststandard des Bildungsgangs. Schüler, die diesen Mindeststandard nicht erfüllen, haben ganz besonderen Förderbedarf. Der Regelstandard, den die Schüler des betreffenden Bildungsgangs zumindest im Durchschnitt erfüllen sollen, ist höher angesetzt. Wer den Regelstandard für den mittleren Schulabschluss erfüllt, soll über „Sekundarstufe I-typische“ mathematische Kompetenzen verfügen. Hierzu gehört eine mathematische Grundbildung10, die u.a. elementare Begründungen, basale Begriffsbildungen und Standardmodellierungen einschließt und die einen Beitrag dazu leistet, dass Jugendliche in Alltag und Beruf als „mündiger Bürger“ handeln können. Der entsprechende Schwellenwert liegt etwa in der Mitte von Kompetenzstufe III. Für den Hauptschulabschluss sind die Anforderungen geringer angesetzt; in jedem Fall soll mathematische Grundbildung hier das Arbeiten mit Standardmodellen sowie basale arithmetische und geometrische Begriffsbildungen mit einschließen. 3. Unterrichtsqualität Aufgaben wie die im Vera-Test enthaltenen können nicht nur zur Feststellung von Leistungsständen, sondern auch zur unterrichtlichen Förderung von Kompetenzen dienen. Dabei sei betont, dass nicht die Aufgaben per se bei den Schülern zur Ausformung, Festigung und Weiterentwicklung der zu ihrer Lösung benötigten Kompetenzen führen, sondern nur eine den Schülerfähigkeiten angepasste Auswahl von Aufgaben und deren adäquate Behandlung im Unterricht. Die Lernenden müssen – so sagen alle empirischen Untersuchungen – ausreichend viele Gelegenheiten haben, die entsprechenden kompetenzbezogenen Tätigkeiten (wie Argumentieren oder Modellieren) selbst zu vollziehen, mehr noch, über diese Tätigkeiten zu reflektieren, Lösungswege zu begründen, verschiedene Wege zu vergleichen, Ergebnisse kritisch zu diskutieren u. v. a. m. Die Ergebnisse von nationalen und internationalen Leistungsvergleichen weisen darauf hin, dass im Mathematikunterricht noch bewusster und noch konsequenter als bislang die umfassende Kompetenzentwicklung der Schüler im Mittelpunkt der Arbeit stehen sollte. In einem so verstandenen „kompetenzorientierten Unterricht“ achtet die Lehrkraft noch mehr als bisher auf die individuellen Kompetenzstände der Schüler und macht Aufgabenangebote für verschiedene Leistungsniveaus. Einige diesbezügliche Anregungen sind in Abschnitt IV zu finden; viele weitere Vorschläge für kompetenzorientiertes Unterrichten sind enthalten z.B. in Bruder/Leuders (2008) oder in Blum u.a. (2006). Die eben stichwortartig genannten Aspekte sind kennzeichnend für „Unterrichtsqualität“ im Fach Mathematik. Etwas systematischer kann man dabei drei Komponenten unterscheiden11:

• Eine fachlich gehaltvolle Unterrichtsgestaltung, die Schülern immer wieder vielfältige Gelegenheiten zu kompetenzbezogenen Tätigkeiten bietet (zum mathematischen Modellieren, zum Argumentieren, zum Kommunizieren, usw.) und bei der auch immer vielfältige Vernetzungen hergestellt werden sowohl innerhalb der Mathematik als auch zwischen Mathematik und Realität.

• Eine konsequente kognitive Aktivierung der Lernenden, wo der Unterricht geistige Schülertätigkeiten herausfordert, selbständiges Lernen und Arbeiten ermöglicht und ermutigt, lernstrategisches Verhalten (heuristische Aktivitäten) fördert und ein stetes Nachdenken über das eigene Lernen und Arbeiten (metakognitive Aktivitäten) stimuliert.

• Eine effektive und schülerorientierte Unterrichtsführung, bei der verschiedene Formen und Methoden flexibel variiert werden, Stunden klar strukturiert sind, eine störungspräventive und fehleroffene Lernatmosphäre geschaffen wird, Lernen und Beurteilen erkennbar getrennt sind, u. a. m.

Es gibt sicher keinen universellen Königsweg zum Unterrichtserfolg. Man weiß aber aus vielen empirischen Untersuchungen, dass Unterricht nur dann positive Effekte haben kann, wenn hinreichend viele dieser Qualitätskriterien erfüllt sind (vgl. u a. Helmke (2003), Baumert u.a. (2004)). Ein naheliegender Weg zur Realisierung eines solchen Unterrichts im Fach Mathematik ist

10 Zu diesem Begriff vergleiche man auch die Ausführungen in Neubrand u. a. (2001). 11 Man vgl. dazu das einleitende Kapitel in Blum u. a. (2006).

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die Verwendung eines breiten Spektrums kompetenzorientierter Aufgaben, darunter auch „selbstdifferenzierende“ (d.h. Aufgaben, die Zugänge auf unterschiedlichen Niveaus ermöglichen und dadurch für stärkere wie schwächere Schüler gleichermaßen geeignet sind). Gerade offenere Aufgabenvarianten sind hier besonders gut geeignet, indem sie Schülern ermöglichen, entsprechend ihren Fähigkeiten eigene Wege zu gehen und selbständig Lösungen zu finden. Die Lehrkraft kann dabei versuchen, möglichst viele dieser Lösungswege zu beobachten und im Bedarfsfall unterstützend einzugreifen, und sie kann nach der Bearbeitung unterschiedliche Schülerlösungen präsentieren und diskutieren lassen. In Abschnitt IV geben wir etwas konkretere Hinweise, wie Kompetenzen (hier speziell: die Modellierungskompetenz) im Unterricht gefördert werden können.

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3. Testaufgaben Vera-8/2010 Übersichtstabelle

Kompetenz Leitidee Nr. Name der Aufgabe Item K1 K2 K3 K4 K5 K6 L1 L2 L3 L4 L5

AB

1.1 Außenthermometer M1512601_Außenthermo-meter x x I

1.2 Außenthermometer M1512602_Außenthermo-meter x x I

2 Größer-Kleiner M1500401_Größer-Kleiner x x x I 3.1 Handykauf M1502701_Handykauf x x x II 3.2 Handykauf M1502702_Handykauf x x x x x I 4.1 Schultaschen M1501502_Schultaschen x x x x I 4.2 Schultaschen M1501503_Schultaschen x x x x I 5.1 Fußballtabelle M1504301_Fußballtabelle x x x I 5.2 Fußballtabelle M1504302_Fußballtabelle x x x x II 5.3 Fußballtabelle M1504304_Fußballtabelle x x x III 6 Kreisdiagramme M5402901_Kreisdiagramme x x x x I 7.1 Bälle ziehen M5500601_Bälle ziehen x x x x II 7.2 Bälle ziehen M5500602_Bälle ziehen x x x x II 7.3 Bälle ziehen M5500603_Bälle ziehen x x x x x II 8.1 Durchschnittslinie M5501201_Durchschnittslinie x x x II 8.2 Durchschnittslinie M5501202_Durchschnittslinie x x x x II 9.1 Handball M5551101_Handball x x II 9.2 Handball M5551104_Handball x x x x x III

10.1 Fehler in der Gleichung

M4512701_Fehler in der Gleichung x x II

10.2 Fehler in der Gleichung

M4512702_Fehler in der Gleichung x x I

11.1 Yardstick M4502401_Yardstick x x x x II 11.2 Yardstick M4502402_Yardstick x x x x x II 12 Zahlenaussagen M4402801_Zahlenaussagen x x III 13.1 Spiegeleien M4502802_Spiegeleien x x x I 13.2 Spiegeleien M4502803_Spiegeleien x x x II

14.1 Ungewöhnlicher Mittelwert

M4502301_Ungewöhnlicher Mittelwert x x x II


M4502302_Ungewöhnlicher Mittelwert x x x x x II


M4502308_Ungewöhnlicher Mittelwert x x x x x III

15.1 Zug von Paderborn M2514001_Zug von Paderborn x x I

15.2 Zug von Paderborn M2514002_Zug von Paderborn x x I

15.3 Zug von Paderborn M2514003_Zug von Paderborn x x x I

16 Vier Spiegelungen M3502801_Vier Spiegelungen x x x I

17 Superman M2501101_Superman x x x x x x III

18 Würfelnetz mit Buchstaben

M3510701_Würfelnetz mit Buchstaben x x x II

19 Milchmenge M2513901_Milchmenge x x x I

20 Winkel an Geraden M3503101_Winkel an Geraden x x x III

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Aufgabe 1: Außenthermometer Aufgabentext Teilaufgabe: 1.1

Teilaufgabe: 1.2

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 1.1 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 5 Anforderungsbereich: I

Teilaufgabe: 1.2 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 5 Anforderungsbereich: I

Auswertung Teilaufgabe: 1.1

RICHTIG

Teilaufgabe: 1.2

RICHTIG

10 ODER 10 °C ODER -10 °C ODER -10 ODER minus 10 ODER 10 Grad runter ODER um mindestens 10 °C gesunken ODER um ≥ 10 °C gesunken (verändert)

Anmerkung: Alternative Kombinationen hiervon sind möglich. Aufgabenbezogener Kommentar Obwohl es in dieser Aufgabe um Größen geht, rechnen die Schüler mit negativen Zahlen, die in einem ihnen vertrauten Kontext vorkommen, und nutzen dabei auch inhaltliche Vorstellungen von diesen Zahlen. Diese Aufgabe gehört daher zur Leitidee Zahl (L1) und nicht zur Leitidee Messen (L2).

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Während in Teilaufgabe 1 aus der Anfangstemperatur und der Temperaturänderung die Endtemperatur zu bestimmen ist, ist in Teilaufgabe 2 die Temperaturänderung gesucht. In beiden Fällen wenden die Schüler ihnen vertraute Routineverfahren an (K5) oder gelangen anschaulich über ihre Vorstellungen von der Temperaturanzeige eines Thermometers zum Ergebnis. Diese Aufgabe wird dem Anforderungsbereich I zugeordnet, da die Ermittlung der Lösungen durch die direkte Anwendung grundlegender Verfahren möglich ist. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]:

• (1. und 4. Antwortalternative): Nur die Beträge der beiden Temperaturangaben werden addiert, und ihre Vorzeichen werden missachtet (Fehllösungen: -4 °C + (-6 °C) = - 10 °C bzw. 4 °C + 6 °C = 10 °C) (Defizit bzgl. K5).

• (2. Antwortalternative): Die Vorzeichen beider Temperaturangaben werden verwechselt (Fehllösung: 4 °C - 6 °C = -2 °C) (Defizit bzgl.K5).

Zu [02]: • Beim Rechnen mit den Temperaturangaben werden die Vorzeichen nicht beachtet oder

falsch verwendet, so dass die Differenz der Beträge ermittelt wird (Fehllösung: 6 °C) (Defizit bzgl.K5).

Bei Aufgaben des Typs „Anfangszustand – Änderung – Endzustand“ bereiten sowohl die Deutung der Vor- und Rechenzeichen der Zahlen als auch der rechnerische Umgang damit oft Schwierigkeiten. Eine Deutung und das anschließende Rechnen mit diesen Zahlen können beispielsweise durch Kontextwechsel gefördert werden. Zwei naheliegende Kontexte sind Konto- sowie Wasserstände (Pegelstände), in denen die einzelnen Zustände und ihre Veränderungen anschaulich interpretiert werden können. So lässt sich z. B. die Aufgabe +8 + (-3) = ?, bei der der Anfangszustand und die Änderung gegeben sind und der Endzustand gesucht ist, im Kontext Kontostand folgendermaßen interpretieren: Der Anfangszustand +8 bedeutet, dass sich auf einem Konto anfangs ein Guthaben von 8 € befindet. Die Kontostandsänderung beträgt +(-3), d. h. es kommen 3 € Schulden (-3) hinzu (+). Inhaltlich kann man zunächst überlegen, dass der neue Kontostand (Endzustand) niedriger als dessen Anfangszustand sein muss. Dies kann die Kontrolle der Rechnung erleichtern, bevor die eigentliche Rechnung ausgeführt wird. In diesem Sinne lassen sich unabhängig vom Anfangs- und Endzustand alle Variationen der Addition und Subtraktion positiver und negativer Zahlen deuten. Zudem können im Sinne des operativen Durcharbeitens solcher Fragestellungen jeweils der Anfangs- oder der Endzustand oder die Änderung ermittelt werden. Skizzen von Skalen können diese Rechnungen ebenfalls unterstützen. Aufgabe 2: Größer-Kleiner Aufgabentext

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 2.1 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 2, 5 Anforderungsbereich: I

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RICHTIG

Angabe einer beliebigen Zahl, die größer als – 2 und kleiner als –1 ist. Z.B.: -1,5

Aufgabenbezogener Kommentar Die Bearbeitung dieser Aufgabe erfordert die Anwendung sinntragender Vorstellungen von rationalen Zahlen, weshalb diese Aufgabe der Leitidee Zahl (L1) zugeordnet wird. Zur Lösung dieser Aufgabe können Schüler ein geeignetes Verfahren wie die Mittelwertbildung anwenden (K5). Um eine Zahl zu finden, die beiden Anforderungen genügt, lassen sich die Vorgaben „größer als“ und „kleiner als“ z. B. auf dem Zahlenstrahl deuten. Dies kann auch experimentell geschehen (K2). Die geforderte Zahl kann direkt angegeben werden, so dass diese Aufgabe dem Anforderungsbereich I zugeordnet wird. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]:

• Obwohl zu beiden Bedingungen eine jeweils passende Zahl gefunden wird, gelingt die Verknüpfung beider Bedingungen nicht, wie die Schülerlösung zeigt (Defizit bzgl. K5).

• Es wird irrtümlich angenommen, dass das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss, und es wird

geschlussfolgert, dass die Aufgabe nicht lösbar ist (z. B. Fehllösung: „geht nicht, es gibt keine Zahl“) (Defizit bzgl. K5).

Bereitet das Lösen dieser Aufgabe Schwierigkeiten, kann eine informative Figur wie der Zahlenstrahl als heuristisches Hilfsmittel hinzugenommen werden. Auf einem Zahlenstrahl können einzeln jene Bereiche markiert werden, in denen Zahlen liegen, die größer als -2 bzw. kleiner als -1 sind. Dabei lässt sich die Beschreibung „kleiner als -1“ als „liegt links von -1“ deuten, „größer als -2“ analog als „liegt rechts von“. Der gemeinsame Bereich auf dem Zahlenstrahl veranschaulicht jene Zahlen, die als mögliche Lösungen in Betracht kommen. Alternativ zum Anfertigen einer informativen Figur können beide Bedingungen dieser Aufgabe zunächst in aufzählender Form umgesetzt werden, um so mögliche Zahlen zu ermitteln, die beiden Bedingungen genügen.

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Aufgabe 3: Handykauf Aufgabentext Teilaufgabe: 3.1

Teilaufgabe: 3.2

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 3.1 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 3, 5 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 3.2 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 2, 3, 5, 6 Anforderungsbereich: II

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RICHTIG 22,80 ODER 22,8 ODER 22,80 € oder andere korrekte Angabe

Teilaufgabe: 3.2

RICHTIG

„X-World“ ist angekreuzt. UND in der Begründung wird eine passende Vergleichsgröße (z.B. der Brutto- bzw. der Nettopreis des jeweils anderen Handys oder der jeweilige Mehrwertsteuerbetrag) errechnet. Anmerkung: Der Größenvergleich, z.B. 75,00 € < 77,30 €, muss nicht explizit erfolgen. Z.B.: 89,25 € : 1,19 = 75,00 € Nettopreis: 75,00 € (75,00 € < 77,30 €) ODER 89,25 € - 89,25 € : 1,19 = 14,25 € Nettopreis: 75,00 € (75,00 € < 77,30 €) ODER 77,30 € · 1,19 ≈ 91,99 € (89,25 € < 91,99 €) ODER 77,30 € · 0,19 ≈ 14,69 € 89,25 € - 89,25 € : 1,19 = 14,25 € (14,25 € < 14,69 €)

FALSCH Alle anderen Antworten, insbesondere mit fehlender Begründung. Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Zahl (L1), da bei ihrer Bearbeitung die Prozentrechung sachgerecht angewendet wird. In Teilaufgabe 1 wird die gegebene Realsituation (Verkaufspreis einschl. Mehrwertsteuer) zunächst in ein passendes mathematisches Modell übersetzt (K3). Mit dessen Hilfe kann die Höhe der Mehrwertsteuer, beispielsweise durch geeignete Anwendung des „Dreisatzes“, rechnerisch ermittelt werden (K5). In Teilaufgabe 2 werden dem Text zunächst die relevanten Informationen entnommen (K6). Das Anwenden der Problemlösestrategie „Zerlegen in Teilprobleme“ erleichtert diese Informationsentnahme sowie die anschließenden Rechnungen (K2). Die Schüler können ein Modell aufstellen (K3), mit dessen Hilfe sie die gegebenen Preise bezüglich einer Vergleichsgröße miteinander in Beziehung setzen können (K5, K3). Je nach Rechenweg vergleichen die Schüler beispielsweise die Netto- oder Bruttopreise oder die Höhe der Mehrwertsteuer. Vor diesem Hintergrund verlangt diese Teilaufgabe eine Entscheidung, welches Handy günstiger verkauft wird. Diese ist abschließend mit Bezug zur Rechnung darzulegen (K6).

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Obwohl bei der Bearbeitung von Teilaufgabe 2 mehr Kompetenzen benötigt werden als bei Teilaufgabe 1, werden beide dem Anforderungsbereich II zugeordnet, da alle Kompetenzen lediglich auf reproduzierendem Niveau erforderlich sind. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]:

• Grund- und Prozentwert werden verwechselt. Der gegebene Bruttopreis wird als Grundwert gedeutet, für den 19 % Mehrwertsteuer errechnet werden (Fehllösung: 27,13 €) (Defizit bzgl. K3).

• Grund- und Prozentwert werden verwechselt und zusätzlich bereitet der rechnerische Umgang mit einem Prozentsatz Probleme. Statt durch 0,19 wird lediglich durch 19 dividiert (Fehllösung: ca. 7,50 €) (Defizit bzgl. K3, K5)

• Anstelle der Höhe der Mehrwertsteuer wird die Höhe des Nettopreises ermittelt (Fehllösung: 120 €) (Defizit bzgl. K3).

Zu [02]: • Das Ermitteln einer gemeinsamen Vergleichsgröße für beide Angebote gelingt nicht,

möglicherweise, da der Text nicht hinreichend verstanden wird (Defizit bzgl. K6). • Der Text wird nicht ausreichend sorgfältig gelesen. Beispielsweise wird nicht erkannt, dass

im Angebot des Anbieters „X-World“ die Mehrwertsteuer bereits enthalten ist, so dass der angegebene Bruttopreis um weitere 19 % erhöht wird. Es wird auch nicht erkannt, dass dieser Bruttopreis ohnehin schon höher als der andere Nettopreis ist. (Fehllösung: 106,21 €) (Defizit bzgl. K6, K3).

• Die Ermittlung des Nettopreises für den Anbieter „X-World“ geschieht, indem vom gegebenen Bruttopreis, der falsch als 100 % interpretiert wird und 19 % subtrahiert werden (Fehllösung: Nettopreis „X-World“ = 0,81 ⋅ 89,25 € ≈ 72,29 €) (Defizit bzgl. K3).

Aufgabe 4: Schultaschen Aufgabentext

Teilaufgabe: 4.1

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Teilaufgabe: 4.2

Eine Schultasche wiegt gefüllt 7,5 kg. Das Mädchen, das diese Schultasche trägt, wiegt 53 kg.

Ist diese Schultasche „gut gepackt“?

Kreuze an.

Ja Nein

Begründe.


Teilaufgabe: 4.2 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 3, 5, 6 Anforderungsbereich: I


RICHTIG 6 ODER ca. 6 ODER 6 kg

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Teilaufgabe: 4.2

RICHTIG

„Nein“ ist angekreuzt UND in einer Begründung wird auf den Anteil des Gewichts dieser Schultasche relativ zum Gewicht dieses Mädchens Bezug genommen. Z.B.: Der Ranzen ist nicht „gut gepackt“, denn sein Gewicht beträgt mehr als 12 % des Körpergewichts, nämlich (etwa) 14,15 %. ODER Der Ranzen ist nicht „gut gepackt“ (wiegt zu viel), denn sein Gewicht beträgt etwa 14 % des Körpergewichts des Mädchens. ODER Der Ranzen des Mädchens dürfte höchstens 6,36 kg (oder ca. 6,4 kg oder „etwas mehr als 6 kg“) wiegen! Da er mehr wiegt, ist der Ranzen nicht „gut gepackt“! ODER Das Mädchen müsste mindestens 62,5 kg (etwa 62 kg oder etwa 63 kg) wiegen, damit der Ranzen „gut gepackt“ wäre. ODER (Grenzfall) Lediglich eine Rechnung wird notiert, aber eine Antwort wird nicht formuliert. Z.B. 7,5 : 53 = 0,14 … Anmerkung: Es ist offensichtlich, dass 14 % > 12 %.

FALSCH

Alle anderen Antworten. Z.B.: „Nein“ ist angekreuzt und die angegebene Rechnung ist falsch, z. B. 7,5 : 53 = 1,4.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Zahl (L1), da bei ihrer Bearbeitung die Prozentrechung sachgerecht angewendet wird. In beiden Teilaufgaben entnehmen die Schüler in einem ersten Schritt die für das Modellieren relevanten Angaben aus der Situationsbeschreibung. Dabei ist insbesondere das für eine „gut gepackte“ Schultasche ausschlaggebende Kriterium (max. 12 % des Körpergewichts eines Kindes) zu erkennen (K6). In Teilaufgabe 1 können sie mit diesen Angaben das passende einfache Standardmodell aufstellen (K3) und den gesuchten Prozentwert berechnen (K5). Das errechnete Ergebnis ist im Kontext schließlich als angemessenes Gewicht einer Schultasche zu deuten (K3). In Teilaufgabe 2 kann im zweiten Bearbeitungsschritt durch Aufstellen eines Proportionalmodells (K3) jener Anteil errechnet werden (K5), den das Gewicht der Schultasche am Gewicht dieses Mädchens einnimmt. Alternativ kann bei dieser lösungswegoffenen Teilaufgabe ermittelt werden, wie hoch das Gewicht einer „gut gepackten“ Schultasche im vorliegenden Beispiel höchstens sein oder wie viel ein Kind, das diese Schultasche trägt, wiegen sollte. Das jeweilige Ergebnis ist dem

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Kontext angemessen zu runden (K5). Abschließend wird dieses Ergebnis im Rahmen des Modellierens mit der Vorgabe für „gut gepackte“ Schultaschen in Beziehung gesetzt (K3) und - mit Bezug zur vorgenommenen Modellierung - dargelegt, ob die Vorgabe erfüllt ist (K6). Teilaufgabe 1 gehört dem Anforderungsbereich I an, da ihre Bearbeitung die Anwendung grundlegender Verfahren verlangt. Auch die etwas komplexere Teilaufgabe 2 gehört diesem Anforderungsbereich an. Die zu ihrer Lösung anzuwendenden Kompetenzen beruhen auf Routinen und direkt erkennbaren Verfahren. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]:

• Grund- und Prozentwert werden verwechselt und es wird dividiert statt multipliziert (Fehllösungen: 4 kg oder 4,16 kg oder 61,4 kg) (Defizit bzgl. K3).

• Der Text wird nicht sorgfältig gelesen und infolgedessen wird die Situation fehlgedeutet, z. B. dass ein Kind eine Schultasche von 12 kg trägt. Zudem wird die erhaltene Lösung nicht im Kontext validiert, wie die folgende Schülerlösung zeigt (Fehllösung: 62 kg) (Defizit bzgl. K3).

Zu [02]:

• Die Abhängigkeit des Gewichtes der Schultaschen vom Körpergewicht wird falsch (additiv) gedeutet, wie diese Schülerlösung zeigt (Defizit bzgl. K3).

• Die folgende Schülerlösung zeigt, dass zwar eine Abschätzung vorgenommen wird, jedoch

nicht erkennbar ist, ob bzw. wie modelliert wurde (Defizit bzgl. K3).

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Aufgabe 5: Fußballtabelle Aufgabentext

Für den Abdruck eines Teiles des Aufgabenstimulus ist das Nutzungsrecht nicht erteilt worden. Quelle: http://www.bundesliga.de/de/liga/tabelle/

Teilaufgabe 5.1

Teilaufgabe 5.2

Begründe, warum eine Mannschaft nach drei Spielen nicht acht Punkte haben kann.

Teilaufgabe 5.3

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Teilaufgabe: 5.2 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 1, 2, 6 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 5.3 Leitidee: 1. Zahl Allgemeine Kompetenz: 5, 6 Anforderungsbereich: I

Auswertung Teilaufgabe: 5.1 RICHTIG Angabe aller Möglichkeiten: 0, 1, 2, 3, 4 oder 6 Punkte.

FALSCH

Alle fehlerhaften, falschen oder unvollständigen Antworten. Z.B.: 1, 2, 3, 4 oder 6 Punkte

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Teilaufgabe: 5.2

RICHTIG

Richtige Begründung, in welcher erläutert wird, warum eine Mannschaft nach drei Spielen nicht 8 Punkte haben kann. Dabei muss deutlich werden, dass das Problem erkannt wurde. Z.B.: Die Mannschaft kann mit nur einem Sieg 8 Punkte nicht erreichen. Mit drei Siegen hätte sie bereits mehr als 8 Punkte erhalten. Die Mannschaft könnte also zwei Spiele gewonnen haben. Dann blieben für das dritte Spiel noch 2 Punkte übrig. Diese können in einem Spiel jedoch nicht erreicht werden. ODER Bei einem Sieg erhält eine Mannschaft 3 Punkte. Die fünf noch fehlenden Punkte kann man in zwei Spielen nicht erreichen. Bei zwei gewonnenen Spielen erhält die Mannschaft 6 Punkte. Für die zwei noch fehlenden Punkte benötigt die Mannschaft noch mindestens zwei weitere Spiele, die unentschieden ausgehen müssten. Das sind aber vier statt drei Spiele. Bei einem weiteren Sieg hätte die Mannschaft bereits neun Punkte erreicht. ODER Alle möglichen Spielausgänge bei drei Spielen mit den zugehörigen Gesamtpunktzahlen werden angegeben, um zu zeigen, dass bei keiner dieser (neun) Möglichkeiten 8 Punkte insgesamt erzielt werden können. (GGG 9, GGV 6, GGU 7, VVV 0, VVU 1, VVG 3, UUU 3, UUG 5, UUV 2) ODER Bei zwei gewonnenen Spielen hätten sie 6 Punkte. Dann müssten sie noch zweimal unentschieden gespielt haben. ODER 3 + 3 + 3 = 9 3 + 3 + 1 = 7. Es geht nicht. Anmerkung: Diese Lösung zeigt, dass alle jene Spielausgänge betrachtet wurden, die außer zwei notwendigen gewonnenen Spielen noch den Punktestand hätten erhöhen können. ODER 3 ⋅ 3 = 9 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 = 8. Aber 2 Punkte pro Spielausgang gibt es nicht.

FALSCH

Alle fehlerhaften, falschen oder unvollständigen Antworten. Z.B.: Nach drei Spielen kann eine Mannschaft nicht 8 Punkte haben, da 8 kein Vielfaches von 3 ist.

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Teilaufgabe: 5.3 RICHTIG Angabe aller Möglichkeiten: 6 oder 7 oder 8 Spiele.

FALSCH

Alle fehlerhaften, falschen oder unvollständigen Antworten. Z.B.: Die Mannschaft muss 8 Spiele gewonnen haben. ODER Weil es für jeden Sieg 3 Punkte gibt und für Unentschieden einen Punkt. Anmerkung: Hier wird nicht erkennbar auf die Höchstzahl der Spiele Bezug genommen.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe wird der Leitidee Zahl (L1) zugeordnet, da in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen angestellt werden. Zur Bearbeitung aller drei Teilaufgaben ist der Vortext jeweils interpretierend zu lesen. In Teilaufgabe 1 werden dem Text zunächst die relevanten Informationen über die Anzahl der Spiele, die vom betreffenden Spielausgang abhängige Punktzahl sowie der Hinweis auf die erforderliche Addition aller erzielten Punkte entnommen (K6). Anschließend ist eine elementare Strategie zu entwickeln, die sicherstellt, dass alle möglichen Fälle von Spielausgängen bei zwei Spielen erfasst werden (K2). Diese verschiedenen Fälle können z. B. in einer Tabelle notiert werden, die hier als heuristisches Hilfsmittel dienen kann. Zwar findet in dieser Aufgabe eine Übersetzung zwischen Realität und Mathematik statt, d. h. zwischen Punkten und Spielen, aber für eine Lösung der Aufgabe ist dies nicht explizit erforderlich, sodass nicht im eigentlichen Sinne modelliert, d. h. der vollständige Modellierungskreislauf durchlaufen wird. Schließlich sind die bei allen denkbaren Kombinationen von Spielausgängen erreichbaren Punktzahlen zu addieren und abschließend aufzulisten (K6). Zur Bearbeitung der Teilaufgaben 2 und 3 sind dem Text zunächst ebenfalls die relevanten Informationen zu entnehmen (K6). Die gestellten (Umkehr-)Fragen können durch systematisches Variieren der beiden gegebenen Bedingungen (Anzahl der Spiele bzw. Anzahl der insgesamt erzielten Punkte) gelöst werden (K2). Dabei sind nur einfache Rechnungen auszuführen. Bei Teilaufgabe 2 ist zusätzlich mit Bezug auf die vorangegangenen Variationen explizit zu begründen, dass eine Mannschaft in drei Spielen nicht acht Punkte erzielt haben kann (K1). In Teilaufgabe 1 wird ein einfaches Problem mit bekannten – auch experimentellen – Verfahren gelöst, so dass diese dem Anforderungsbereich I zugeordnet wird. Teilaufgabe 2 lässt sich dem Anforderungsbereich II zuordnen, da das Lösen des gestellten Problems die Anwendung heuristischer Strategien erforderlich macht. Teilaufgabe 3 kann bereits dem Anforderungsbereich III zugeordnet werden, da die verwendete Strategie komplexer ist und der gewählte Lösungsweg geeignet zu reflektieren ist, um sicherzustellen, dass alle Möglichkeiten berücksichtigt wurden. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]:

• Nur gleichartige Spielausgänge, z. B. zwei Siege, werden berücksichtigt, und nicht alle Kombinationen werden durch systematisches Variieren ermittelt (Defizit bzgl. K2).

• Alle Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6 werden unkritisch als mögliche Spielstände aufgelistet. Dabei wird im Kontext außer Acht gelassen, dass eine Mannschaft nach zwei Spielen nicht fünf Punkte haben kann, wie die nachstehende Schülerlösung zeigt. Ein solcher Fehler zeigt Defizite im systematischen Variieren (Defizit bzgl. K2).

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Zu [02]:

• Nur gleichartige Spielausgänge, z. B. zwei Siege, werden berücksichtigt, und nicht alle Kombinationen werden - zumindest gedanklich - durch systematisches Variieren ermittelt (Defizit bzgl. K2).

• Der Kontext wird falsch verstanden und die Anzahl der Spiele (hier: drei) wird mit der Information verwechselt, dass jede Mannschaft im Verlauf einer Saison zweimal gegen jede andere spielt (Defizit bzgl. K6).

Zu [03]: • Nur eine der beiden Bedingungen (14 Spiele, 26 Punkte) wird berücksichtigt. Die

Spielbedingungen werden nicht passend variiert und eine Kontrolle der Antwort mit Bezug zum Aufgabentext unterbleibt (Defizit bzgl. K2, K6).

• Es wird missachtet, dass alle Möglichkeiten anzugeben sind. Stattdessen wird wie in der folgenden Schülerlösung z. B. nur ermittelt, dass maximal acht Siege bei 26 Punkten möglich sind (Defizit bzgl. K2, K6).

Die Aufgabe Fußballtabelle eignet sich, um das systematische Variieren in kombinatorischen Situationen zu üben. Ebenfalls hierfür geeignet ist z. B. die Aufgabe „31 Cent“:

Die Aufgabe „31 Cent“ kann durch systematisches Variieren so gelöst werden, dass man zunächst versucht, die Anzahl der verwendeten Münzen möglichst gering zu halten, um dann schrittweise die großen Münzen durch die nächst kleineren Münzen zu ersetzen („systematisches Herunterarbeiten von Groß nach Klein“). Alternativ kann der Teilbetrag von 11 Cent systematisch konstant gehalten werden, denn dieser lässt sich ausschließlich mit einer 5- und drei 2 Cent-Münzen legen, so dass nur die verbleibenden 20 Cent noch zu betrachten sind. Die erforderlichen Rechnungen sind sehr elementar. Die Schwierigkeit besteht in der Komplexität der Argumentation und einer Einsicht und Begründung, dass tatsächlich alle Fälle betrachtet wurden. Um dies zu unterstützen, kann zusätzlich explizit die Verwendung einer Tabelle als heuristisches Hilfsmittel verlangt werden, in der die durchgeführten Variationen strukturiert notiert werden und so auch besser reflektiert werden können.

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Aufgabe 6: Kreisdiagramme Aufgabentext

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 6.1 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 4, 5, 6 Anforderungsbereich: I


RICHTIG Keine Geschwister: 12 Einen Bruder / eine Schwester: 6 Zwei Geschwister: 6

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Daten und Zufall (L5), da die Schüler sich mit den Ergebnissen einer statistischen Umfrage auseinandersetzen. Zunächst werden dem Text die für die Arbeit mit dem Kreisdiagramm relevanten Informationen entnommen, wobei Begriffe wie „oder“ und „keine“ mathematisch richtig zu erfassen sind (K6). Anschließend werden aus dem Kreisdiagramm die gesuchten Anteile durch Ablesen ermittelt (K4) und diese Anteile werden zum gegebenen Stichprobenumfang in Beziehung gesetzt, um die absoluten Häufigkeiten zu berechnen (K5). Hierzu müssen zumindest Ansätze einer geeigneten Anteils-Vorstellung vorhanden sein. Der Umgang mit einem den Schülern vertrauten Diagrammtyp und einem einfachen mathematikhaltigen Text, aber auch die rein reproduktiven Anforderungen an den Umgang mit

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technischen Elementen der Mathematik rechtfertigen die Einordnung dieser Aufgabe in den Anforderungsbereich I. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Die Prozentwerte werden richtig abgelesen, die Anteile jedoch falsch berechnet (Defizit bzgl. K5).

• Die folgende Schülerlösung zeigt, dass der Schüler nicht die absoluten Häufigkeiten, sondern die Anteile in Prozent oder die Größe der Winkel der einzelnen Kreissektoren angibt (Defizit bzgl. K5, K6).

Den aufgeführten Schwierigkeiten im Umgang mit Anteilen und der Ermittlung absoluter Häufigkeiten bei gegebener Grundmenge kann durch operative Übungen (siehe dazu Büchters & Leuders, 2005), entgegengewirkt werden. Neben der Variation der angegebenen Werte, bieten sich insbesondere Umkehraufgaben an, bei denen vom Ergebnis ausgehend gearbeitet und beispielsweise die Mächtigkeit der Grundmenge angegeben werden muss. Auch Nachbaraufgaben oder das Übersetzen in andere Handlungen oder Darstellungen sind denkbar. Im vorliegenden Aufgabenbeispiel können die Schüler beispielsweise durch Kugeln dargestellt werden, mit denen konkret gearbeitet werden kann. Haben die Schüler Schwierigkeiten beim Umgang mit dem Diagramm bietet es sich an, die dargestellten Informationen in Form eines anderen Diagrammtyps (z. B. Säulendiagramm) zu präsentieren, die Schüler die Umfrageergebnisse beschreiben oder in Form einer Wertetabelle darstellen und anschließend ein Kreisdiagramm anfertigen zu lassen. Alternativ kann eine entsprechende Umfrage in der eigenen Klasse durchgeführt und die gewonnen Ergebnisse grafisch dargestellt werden. In diesem Rahmen können leicht verschiedene Diagrammtypen genutzt, ihr Verwendungszweck diskutiert und Möglichkeiten bestimmte Botschaften zu transportieren thematisiert werden. Aufgabe 7: Bälle ziehen Aufgabentext

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Teilaufgabe 7.1

Finde heraus, ob Evelyn den ersten gezogenen Ball wieder zurücklegt oder nicht.

Kreuze an.

Evelyn legt den ersten gezogenen Ball wieder zurück.

Evelyn legt den ersten gezogenen Ball nicht zurück.

Erkläre, woran du dies erkannt hast.

Teilaufgabe 7.2

Teilaufgabe 7.3

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 7.1 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 3, 4, 6 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 7.2 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 2, 3, 4 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 7.3 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 2, 3, 4, 5 Anforderungsbereich: II

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RICHTIG

Angekreuzt wird „Evelyn legt den ersten gezogenen Ball wieder zurück.“ UND Eine Erklärung wird gegeben, die Bezug zu den im Baumdiagramm angegebenen, gleich bleibenden Pfadwahrscheinlichkeiten nimmt. Mögliche Erklärungen: Der Ball wird wieder zurückgelegt, denn bei beiden Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, einen weißen Ball zu ziehen, gleich groß. ODER Der Ball wird wieder zurückgelegt, denn beim ersten und beim zweiten Zug liegen jeweils 7 Bälle in der Urne (Nenner der angegebenen Wahrscheinlichkeiten einen gelben Ball zu ziehen). ODER (Grenzfall) Da sonst die Wahrscheinlichkeit nicht gleich wäre. ODER

Weil wieder73

da steht.

Anmerkung: RICHTIG ist auch zu vergeben, wenn nichts angekreuzt wurde, aber aus der Erklärung ersichtlich ist, dass so entschieden wurde.

FALSCH

Alle anderen Antworten. Z.B.: Der Ball wird wieder zurückgelegt. Das kann man anhand des Baumdiagramms ablesen.

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Teilaufgabe: 7.2

RICHTIG

Richtige und vollständige Ergänzung des Baumdiagramms. Z.B.:

Die einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten können auch in Form von Prozentsätzen oder Dezimalzahlen (mit korrekter Rundung) angegeben werden.

Teilaufgabe: 7.3

RICHTIG

4916

ODER ein Dezimalbruch aus dem Intervall [0,32; 0,33], auch Angaben mit dem Zusatz ca. oder Angaben als Prozentsatz werden als RICHTIG gewertet. Z.B.: ca. 0,33 ODER ca. 33% Anmerkungen: • Das Ergebnis kann als Bruch, als Dezimalbruch oder als Prozentsatz dargestellt werden. • Rundungsfehler oder -ungenauigkeiten sollen nicht negativ bewertet werden, sofern der Rechenweg – falls erkennbar - inhaltlich korrekt ist. • Wird ausgehend von einer in Teilaufgabe 2 falsch bestimmten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis folgerichtig ermittelt, wird Code 1 vergeben. • Wird diese Teilaufgabe als Ziehen ohne Zurücklegen bearbeitet und die

zugehörige Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis richtig errechnet ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

63

74

, wird

Code 1 vergeben.

FALSCH

Alle anderen Antworten. Z.B.:

4912

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Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Daten und Zufall (L5), da die Schüler sich mit einem Zufallsexperiment auseinandersetzen. Zur Lösung aller drei Teilaufgaben ist zunächst der Aufgabentext inhaltlich zu erfassen und das angegebene Baumdiagramm als Darstellung des Verlaufs des Zufallsexperiments sowie seines Ergebnisraums zu erfassen (K6, K3). In Teilaufgabe 1 ist dann dem Baumdiagramm zu entnehmen, dass es sich hier um Ziehen mit Zurücklegen handelt. Dazu werden die bei der zweiten Ziehung im Stoffbeutel enthaltenen Bälle betrachtet. Den Hinweis hierauf liefern und jene Äste des Baumdiagramms, die den zweiten Zug veranschaulichen (K4). Diese Äste sind mit Brüchen beschriftet, die als Wahrscheinlichkeiten zu deuten sind. Die notwendigen Übersetzungsaktivitäten zwischen Realität und Modell (K3) setzen eine gut ausgebildete Grundvorstellung zur Laplace-Wahrscheinlichkeit voraus. Abschließend ist die gewonnene Erkenntnis zu erläutern (K6). Zur Lösung der Teilaufgabe 2 und 3 bedarf es zusätzlich der Kompetenz des Problemlösens. So kann das Baumdiagramm - als informative Figur zur Darstellung des Zufallsexperiments und dessen möglicher Ergebnisse - zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit genutzt werden. Auch das Analogieprinzip, d. h. der Bezug zu Lösungswegen bereits gelöster und vergleichbarer Aufgaben, kann hilfreich sein (K2). Die Rechnungen selbst sind einfach und beschränken sich auf die Multiplikation zweier Brüche (K5). Aufgrund des verständnisorientierten Umgangs mit dem Baumdiagramm als mathematische Darstellung können alle drei Teilaufgaben dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: [Zu 01, 02]

• Anhand der auf der zweiten Baumebene angegebenen Wahrscheinlichkeiten wird nicht erkannt, dass Evelyn den Ball nicht wieder in den Stoffbeutel zurücklegt, d. h. die Deutung der Brüche an den Ästen des Baumdiagramms bereitet Probleme, wie diese Schülerlösung zeigt. Wird missachtet bzw. ist nicht bekannt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten bei einem Zug jeweils 1 ist, werden die Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm in Teilaufgabe 2 möglicherweise falsch ergänzt.

• In der Erklärung wird richtigerweise auf die Wahrscheinlichkeiten beim Durchführen des

Zufallsexperiments ohne Zurücklegen verwiesen. Diese werden jedoch falsch angegeben, so wie in folgender Schülerlösung, in der nicht erkannt wird, dass sich in diesem Fall nicht nur die Anzahl weißer Bälle auf 2, sondern auch die Gesamtzahl der Bälle auf 6 verringert. Derartige Fehler deuten darauf hin, dass dem Schüler die Bedeutung des Zählers und des Nenners nicht bekannt ist (Defizit bzgl. K3).

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[Zu 03]

• Das Ergebnis wird in Prozent angegeben, wobei Umwandlungsfehler auftreten (Fehllösung z. B.: 0,33%) (Defizite bzgl. K5).

• Aufgrund von falsch ergänzten Wahrscheinlichkeiten entlang der einzelnen Äste des Baumdiagramms kommt es zu fehlerhaften Berechnungen (Fehllösung: z. B.: 34 2

7 6 7⋅ = ). • Es wird nicht erkannt, dass die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander zu multiplizieren

sind, stattdessen werden diese fälschlicherweise addiert (Fehllösung: 47 + 4

7 = 87 ).

Aufgabe 8: Durchschnittslinie Aufgabentext

Teilaufgabe: 8.1

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Teilaufgabe: 8.2

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 8.1 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 4, 5 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 8.2 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 2, 4, 5 Anforderungsbereich: II


RICHTIG

Durchschnittslinie: Toleranz ± 1 mm

Teilaufgabe: 8.2

RICHTIG

Säulenhöhe: Toleranz ± 1 mm

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Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Daten und Zufall (L5), da sie die Auseinandersetzung mit Mittelwerten und deren grafischer Darstellung zum Gegenstand hat. Zur Lösung der Teilaufgabe 1 sind zunächst die Höhen der Säulen im Diagramm zu analysieren (K4), um davon ausgehend den zugehörigen Mittelwert zu bestimmen. Dies kann entweder auf bildlicher Ebene durch geschicktes Teilen und Umschichten der Säulen geschehen (K4) oder aber auf rechnerischer Ebene unter Nutzung der abgelesenen Säulenhöhen (K5). Der erhaltene Mittelwert („5 Kästchen“) ist dann in das Diagramm einzuzeichnen (K4). Teilaufgabe 2 erfordert neben der Anwendung der bereits genannten Kompetenzen zusätzlich das Problemlösen (K2), beispielsweise in Form der Strategie des Rückwärtsarbeitens. So kann mittels der Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels die Höhe der fehlenden vierten Säule berechnet werden. Alternativ kann man auch die Abweichungen der einzelnen Säulen vom arithmetischen Mittel, welches hier durch eine waagrechte Linie veranschaulicht ist, ablesen und addieren. Anschließend kann man die Waagerechte durch das Hinzufügen einer weiteren Säule gedanklich so verändern bzw. verschieben, dass sich die Abweichungen gleichmäßig auf beide Seiten der Parallelen verteilen (K2, K4). Der verständige Umgang mit Mittelwerten und die Verbindung von algebraischen und geometrischen Kenntnissen legt eine Einordnung beider Teilaufgaben in den Anforderungsbereich II nahe. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: [Zu 01, 02]

• Bei dieser Schülerlösung könnte das arithmetische Mittel mit dem Median (Zentralwert), verwechselt worden sein, weshalb eine weitere Säule mit einer Höhe von 3. Kästchen eingezeichnet wurde.

[Zu 02]

• Die Anwendung falscher Strategien kann zu unterschiedlichen Fehlern führen. Einen möglichen Fehler veranschaulicht die folgende Schülerlösung. Die eingezeichnete Säule ist 5 Kästchen hoch, so dass die Abweichung der 2. Säule von der durchschnittlichen Höhe (2 Kästchen niedriger als die durchschnittliche Höhe) „aufgehoben“ wird. Die Abweichung der 1. Säule von der durchschnittlichen Höhe (1 Kästchen höher als die durchschnittliche Höhe) bleibt unberücksichtigt.

Um einen Beitrag zur Festigung eines inhaltlichen Verständnisses vom Mittelwert zu fördern, kann die geometrische Deutung dieses Konzeptes genutzt werden. Dazu kann im vorliegenden Beispiel die Hochachse mit einer geeigneten Skalierung eingezeichnet werden, um das Ablesen der Säulenhöhen und die anschließende Mittelwertbildung zu erleichtern. Wird der Mittelwert durch

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eine Waagerechten im Diagramm veranschaulicht, kann dessen Bedeutung als Ausgleichende aufgezeigt und durch das „Umsortieren/ Umlegen“ von Kästchen handelnd nachvollzogen werden. Aufgabe 9: Handball Aufgabentext

© FOCUS (Quelle: 2/2008)

Teilaufgabe: 9.1

38

Teilaufgabe: 9.2

Das nachfolgende Diagramm stellt einen Ausschnitt des Diagramms aus Teilaufgabe 1 dar. Zusätzlich wurde es um den eingekreisten Punkt erweitert: Dieser Punkt stellt dar, wie viele Tore Ivano Balic aus Kroatien allein während der EM 2008 geworfen hat.

Beurteile die Torjäger-Leistung von Ivano Balic im Vergleich zu den anderen dargestellten Spielern.

Schreibe deine Überlegungen auf.

Handballtore

0100200300400500

600700800900

1000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Anzahl der Spiele

Anza

hl d

er T

ore

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 9.1 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 4 Anforderungsbereich: II

39

Teilaufgabe: 9.2 Leitidee: 5. Daten und Zufall Allgemeine Kompetenz: 2, 3, 4, 6 Anforderungsbereich: III


RICHTIG

Hinweis: Beide Namen müssen stimmen.

Torjäger im Handball

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300 400

Anzahl der Spiele

Anza

hl d

er T

ore

Hauck

Fraatz

40

Teilaufgabe: 9.2

RICHTIG

Eine richtige Lösung umfasst die Beurteilung der Spielerleistung UND eine Darstellung der Überlegungen. Akzeptiert werden folgende Beurteilungen: Die Leistung von Ivano Balic wird im Vergleich zu der Leistung der anderen Spieler als besser oder gleich gut eingeschätzt. Dies wird durch den Verweis auf seine Torquote (etwa: 4 bis 5 Tore pro Spiel) und die Torquoten der anderen Spieler begründet. ODER

Es wird darauf verwiesen, dass die Leistung von Ivano Balic aufgrund der geringen Anzahl an Spielen nicht beurteilt und somit auch nicht mit der Leistung der anderen Spieler verglichen werden kann. Anmerkung: Die Beurteilung kann unter Verwendung der Grafik erfolgen. Dies ist jedoch nicht zwingend erforderlich. Z. B.: Die Punkte von Spielern mit gleicher Torquote würden sich auf der eingezeichneten Ursprungsgeraden befinden. Da jedoch alle Punkte der anderen Spieler darunter liegen, ist Ivano Balic der Torjäger mit den meisten Toren pro Spiel und somit der Spieler mit der besten Leistung.

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ODER (Grenzfall) „Er ist gut, denn wenn er so weitermachen würde, würde er besser als die anderen sein.“ Anmerkung: Die Idee einer Ursprungsgerade ist erkennbar. ODER Da Ivano Balic nur an etwa 10 Spielen teilgenommen hat, kann seine Leistung nicht mit der Leistung der anderen Spieler verglichen werden. Diese haben wesentlich mehr Spiele absolviert. ODER Ivano Balic hat pro Spiel etwa fünfmal getroffen. Wenn er diese Torquote auch in den nächsten Spielen beibehält, ist er der beste Spieler. Da dies aber nicht sicher ist, ist es schwierig, seine Leistung mit denen der anderen Spieler zu vergleichen. ODER Man kann die Leistung von Ivano Balic nicht unbedingt mit der Leistung der anderen Spieler vergleichen, da die Leistungen sich auf unterschiedliche Wettkampfsituationen beziehen (Leistungen in Liga- und in Europameisterschaftsspielen sind nicht unbedingt vergleichbar).

FALSCH

Alle anderen Antworten. Z.B.: Balic ist besser als die anderen Spieler. Anmerkung: Hier ist keine Begründung erkennbar. ODER „Die anderen hatten ja auch mehr Spiele und dadurch auch mehr Tore.“ Anmerkung: Die Idee der Ursprungsgerade „nur rein nach Augenmaß“ bzw. der lediglich geschätzten Torquoten reicht nicht aus. ODER „Er ist ein prima Spieler, aber bei ihm wurde nur die EM 2008 gewertet.“ Anmerkung: Ein Bezug zu seiner Leistung in „vielen“ Spielen wird nicht deutlich.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Daten und Zufall (L5), da die Auseinandersetzung mit statistischen Daten im Mittelpunkt steht. Zur Lösung von Teilaufgabe 1 ist erforderlich, die tabellarisch gegebene Zuordnung der Spieler zur Anzahl der Spiele zu ihrer jeweiligen Anzahl der Tore zu erfassen und eine Beziehung zur Grafik herzustellen (K4), um die beiden Spieler zu benennen. Um in Teilaufgabe 2 die Leistung von Ivano Balic im Vergleich zu den anderen Spielern bewerten zu können, werden zunächst die Anzahl der geschossenen Tore sowie die Zahl der absolvierten Spiele verschiedener Spieler aus der Tabelle bzw. dem Graphen abgelesen (K4). Anschließend kann dann beispielsweise das Modell der „Torquote“ zum Vergleich der Leistungen herangezogen werden (K3). Dies erfordert adäquat entwickelte Grundvorstellungen zum arithmetischen Mittel. Die dabei erforderlichen Rechnungen (K5) sind vertraut.

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Alternativ kann Teilaufgabe 2 auch zeichnerisch gelöst werden. Die Leistung von Ivano Balic kann als lineare Zusammenhänge modellieren (K3) und mittels einer Ursprungsgerade dargestellt werden (K4). Da die Leistungen der anderen Spieler (jeweils durch einen Punkt visualisiert) unterhalb der eingezeichneten bzw. gedachten Geraden liegen, kann die Leistung von Ivano Balic als besser bewertet werden. Die Anwendung von Lösungsstrategien, z. B. eine Unterteilung in Teilprobleme, kann die Bearbeitung dieses Problems strukturieren. So können beispielsweise nur die Leistungen einiger Spieler miteinander verglichen werden oder die Leistung von Ivano Balic kann bei angenommener gleich bleibender Trefferquote mittels einer Tabelle untersucht werden (K2). Ein Verweis auf die geringe Anzahl seiner absolvierten Spiele, aufgrund derer seine Leistung nicht so wie die der anderen Spieler bewertet werden kann, ist ebenso möglich (K3). Unabhängig von der Art des Lösungsweges ist dieser abschließend verständlich darzulegen (K6). Der mit der Teilaufgabe 1 verbundene Wechsel zwischen den beiden mathematischen Darstellungen Tabelle und Graph rechtfertigt ihre Einordnung in den Anforderungsbereich II. Die im Zuge der Leistungsbewertung des Ivano Balic zu erbringenden Anforderungen hinsichtlich des Modellierens legt es nahe, die zweite Teilaufgabe dem Anforderungsbereich III zuzuordnen. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Siehe folgende Schülerlösung: Es wird vernachlässigt, dass die einzelnen Spieler eine unterschiedliche Anzahl von Spielen absolviert haben. Die Beurteilung der Leistung von Ivano Balic erfolgt somit lediglich durch Betrachtung der absoluten Zahlen (Defizit bzgl. K4, K3).

• Die folgende Schülerlösung zeigt, dass die unterschiedlichen Einteilungen der x- und y-

Achse nicht wahrgenommen werden. Hierdurch kommt es zu Fehlern beim Ablesen von Informationen aus dem Diagramm (Defizit bzgl. K4).

• Ungenaues Ablesen der Anzahl der Spiele und/ oder der Anzahl erzielter Toren resultieren in

unterschiedlichen Bewertungen. So wird die Leistung von Borchardt bei abgelesenen 150 Spielen und 750 Toren beispielsweise als besser bezeichnet als die Leistung von Ivano Balic bei abgelesenen 5 Spielen und 20 erzielten Toren (Defizit bzgl. K4).

• Die Leistung von Ivano Balic wird nur mit einem der anderen Spieler verglichen.

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Aufgabe 10: Fehler in der Gleichung Aufgabentext

Teilaufgabe: 10.1

Teilaufgabe: 10.2

Löse diese Gleichung richtig.

4x + 2 = 3x – 5

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 10.1 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 5 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 10.2 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 5 Anforderungsbereich: I


RICHTIG

In der zweiten Zeile wurde vergessen, auf der rechten Seite 2 zu subtrahieren.

Anmerkung: Dieser Fehler sollte „in irgendeiner passenden Weise“ kenntlich gemacht bzw. markiert werden (z.B. durch Einkreisen oder Unterstreichen von „5" bzw. „-5" in der zweiten Zeile).

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Teilaufgabe: 10.2

RICHTIG

4x + 2 = 3x – 5 | – 2 4x = 3x – 7 | – 3x x = – 7

ODER 4x + 2 = 3x – 5 x = - 7

Anmerkung: Die einzelnen Rechenoperationen (z. B. „- 2“ etc.) müssen nicht explizit notiert werden.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4), da das Lösen einer Gleichung im Mittelpunkt steht. Bei Teilaufgabe 1 müssen die Schüler den dargelegten Lösungsalgorithmus nachvollziehen, um den Fehler – die fehlende Subtraktion von 2 auf der rechten Seite der Gleichung – als solchen zu erkennen. Alternativ kann dieser Lösungsalgorithmus von unten nach oben gelesen werden, so dass es in der ersten Zeile zum Widerspruch mit der Vorgabe kommt und eine Korrektur vorgenommen wird (K5). In Teilaufgabe 2 ist die Gleichung selbständig zu lösen (K5). Aufgrund der vorzunehmenden Kontrolle und Bewertung der vorliegenden Lösung kann die Teilaufgabe 1 bereits dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden. Teilaufgabe 2 gehört aufgrund der Durchführung eines einfachen Routineverfahrens zum Anforderungsbereich I. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]

• Siehe folgende Schülerlösung: Irrtümlich wird angenommen, dass die Reihenfolge der einzelnen Umformungsschritte eindeutig festgelegt ist, und es wird festgestellt, dass man zunächst -3x rechnen muss und dann erst -2 subtrahieren darf (Defizit bzgl. K5).

Zu [01 und 02]

• Aufgrund von Schwierigkeiten beim Rechnen mit negativen Zahlen wird der Fehler nicht erkannt bzw. die Gleichung falsch gelöst (Defizite bzgl. K5). So wird z. B. in der folgenden Schülerlösung -5 – 2 = -3 gerechnet.

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[Zu 02] • Es gibt viele mögliche Fehler beim Umgang mit Variablen, z. B. dieser: Es ist nicht bewusst,

dass 1x und x gleichbedeutend sind. Infolgedessen versuchen Schüler im letzten Rechenschritt die 1 vor dem x „loszuwerden“ und subtrahieren irrtümlich 1 (Defizit bzgl. K5). Dieser Fehler wird durch die folgende Schülerlösung veranschaulicht.

Das Entdecken von Fehlern stellt neben dem vorwärts gerichteten Lösen von Gleichungen ein Aufgabenformat dar, das geeignet ist, Reflexionen bei Schülern zum Umgang mit Gleichungen und deren Lösung anzuregen. Hierzu können die Schüler aufgefordert werden, in mehreren (möglicherweise) fehlerhaft gelösten Gleichungen die Fehler zu markieren und die fehlerhafte Umformung zu korrigieren. In einem weiteren Schritt können solche fehlerhaft gelösten Gleichungen dann in Abhängigkeit von der Art des Fehlers sortiert werden. Bei dem vorgegebenen Beispiel können dies Fehler im Umgang mit rationalen Zahlen, nicht auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführten Rechenoperationen oder die Angabe falscher Rechenarten (z.B. + 2 statt -2) sein. Die Gruppierung kann anschließend als Ausgangspunkt verwendet werden, bestimmte Inhalte, wie beispielsweise die Rechenregeln zur Arbeit mit rationalen Zahlen oder die Vorstellungen zu Gleichungen mit Hilfe eines Waagemodells, zu festigen bzw. zu wiederholen. Neben der Art der Fehler kann auch die Gleichung selbst und somit die zur Lösung nötigen Schritte ein Kriterium zur Gruppenbildung sein. So können beispielsweise lineare und ggf. einfache quadratische Gleichungen angegeben oder innerhalb der linearen Gleichungen zwischen Gleichungen mit Plus-, Minusklammern und Gleichungen mit einfachen Produkten unterschieden werden. Alternativ können die Schüler auch gebeten werden, fehlerhafte Gleichungen so abzuändern, dass die einzelnen Umformungsschritte richtig sind. Im vorliegenden Beispiel könnte die Zahl ´5´ in der ersten Zeile durch die Zahl ´3´ersetzt werden.

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Aufgabe 11: Yardstick Aufgabentext

Teilaufgabe: 11.1

Lucias Boot „Seemöwe" hat die Yardstickzahl 120.

Bei der letzten Regatta „Rund um die Trauminsel" hat sie für die ganze Strecke zwei Stunden gebraucht.

Wie groß war die berechnete Zeit?

Kreuze an.

120 Minuten 1 Stunde, 40 Sekunden

1 Stunde, 40 Minuten

2 Stunden, 24 Minuten

Teilaufgabe: 11.2

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Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 11.1 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 3, 5, 6 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 11.2 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 1, 3, 5, 6 Anforderungsbereich: II


RICHTIG

Teilaufgabe: 11.2

RICHTIG

Es muss auf die Abhängigkeit von der Yardstickzahl verwiesen werden. Die Erklärung kann auch beispielgebunden erfolgen. Mögliche Antworten: Gewonnen hat, wer die höhere Yardstickzahl hat. ODER Verloren hat, wer die niedrigere Yardstickzahl hat. Anmerkungen: • Da laut Aufgabenstellung die gesegelte Zeit identisch ist, genügt dieser Hinweis. • Der Fall „gleiche Yardstickzahl“ muss nicht erwähnt werden.

FALSCH

Alle anderen Antworten. Z.B.: Das sieht man an der Formel. ODER Einer von beiden hat die kleinere Yardstickzahl. Anmerkung: Der Einfluss auf die berechnete Zeit bleibt unklar. ODER Mit der Yardstickzahl können sie sofort entscheiden, wer gewonnen hat, Anmerkung: Es bleibt unklar wie.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese realitätsbezogene Aufgabe gehört zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4), da die Schüler funktionale Zusammenhänge auf der Grundlage einer gegebenen Formel untersuchen. Zur Lösung beider Teilaufgaben sind zunächst die erforderlichen Informationen dem Aufgabentext zu entnehmen (K6) und das als Formel dargestellte Modell inhaltlich zu erfassen (K3). Bei

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Teilaufgabe 1 müssen die tatsächlich gesegelte Zeit sowie die Yardstickzahl dem Text entnommen (K6) und in die ihrem Aufbau nach vertraute Formel eingesetzt werden (K5). Schließlich ist das Ergebnis im Kontext zu deuten (K3). Teilaufgabe 2 erfordert zusätzlich die Anwendung der Kompetenz Argumentieren (K1). So ist anhand der Formel zu erklären, dass bei gleicher gesegelter Zeit derjenige gewonnen hat, der die höhere Yardstickzahl aufweist, da der Quotient zweier Zahlen bei wachsendem Divisor kleiner wird (K5). Die folgende - an Anna und Bernd gerichtete - Erläuterung der Argumentation, erfordert abschließend noch einmal die Kompetenz Kommunizieren (K6). Die Arbeit mit einem Text, der unbekannte und neu definierte Begriffe enthält, legt die Einordnung der Teilaufgabe 1 in den Anforderungsbereich II nahe. Bei Teilaufgabe 2 beruht diese Einordnung zusätzlich auf den Anforderungen an das Argumentieren, welches mit Bezug zur Formel erfolgt. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: [Zu 01]

• Antwortalternative 1 (120 Minuten): Die gesegelte Zeit (2 Stunden) wird lediglich in Minuten umgerechnet. Das angegebene mathematische Modell wird nicht verwendet.

• Antwortalternative 2 (1 Stunde, 40 Sekunden): Unsicherheiten im Umgang mit den Zeiteinheiten erklären diese Fehllösung.

• Antwortalternative 4 (2 Stunden, 24 Minuten): Zähler und Nenner werden vertauscht. [Zu 02]

• Die folgende Schülerlösung zeigt, dass lediglich mit Alltagswissen argumentiert wird. Eine Mathematisierung der Sachsituation erfolgt nicht (Defizit bzgl. K3).

• Wie die folgende Schülerlösung verdeutlicht, wird nur das bloße Vorgehen zur Berechnung

der gesegelten Zeit beschrieben. Die gestellte Frage bleibt unbeantwortet.

Derartige Fehler beruhen meist auf fehlender Validierung der Ergebnisse im jeweiligen Kontext und treten bei Modellierungsaufgaben häufig auf. Ihnen kann durch einen stärkeren Bezug zu einer vereinfachten Form des Modellierungskreislaufs entgegengewirkt werden (vgl. Handreichung Vera 8 Mathematik 2009, Kap. 4). Dabei sind insbesondere Fragen wie „Wurde die gestellte Frage mit der durchgeführten Rechnung beantwortet?“ oder auch „Kann das Ergebnis stimmen?“ denkbar, um die Schüler zum Nachdenken anzuregen. Solche Plausibilitätsüberlegungen können auch durch vor Beginn einer Rechnung durchgeführte Schätzungen unterstützt werden.

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Aufgabe 12: Zahlenaussagen Aufgabentext

Thilo behauptet: Für jeden Bruch a gilt a² > a. Hat Thilo Recht?

Kreuze an.

Begründe deine Antwort.

Ja Nein

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 12.1 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 1 Anforderungsbereich: III

50


RICHTIG

„Nein“ ist angekreuzt

UND Angabe einer zutreffenden Begründung. Dabei kann • der Bereich für a angegeben werden, für den diese Aussage nur gilt oder • die Aussage durch die Angabe eines Gegenbeispiels widerlegt werden oder • es kann ein Bereich angegeben werden, für den diese Aussage nicht gilt.

Mögliche Begründungen: Diese Aussage gilt nicht für Brüche, die zwischen 0 und 1 liegen. ODER Diese Aussage gilt nur, wenn a < 0 oder wenn a > 1 ist. Anmerkung: Beide Bereiche müssen genannt sein. ODER

Diese Aussage gilt nicht für alle Brüche. Z. B. gilt sie nicht für a = 21

. Anmerkung:

Es muss nicht explizit der Wert für a² angegeben werden. ODER Überprüfung anhand paradigmatischer Zahlenbeispiele für a mit |a| < 1, |a| = 1, und |a| > 1. ODER Andere angemessene Begründung. Anmerkungen: • Der Bereich, für den die Aussage nur gilt (bzw. nicht gilt) kann auch z. B. anhand eines Zahlenstrahls dargestellt werden. • Wird nicht explizit festgestellt, dass die Aussage falsch ist, geht aber aus der Begründung hervor, dass dies erkannt wurde, ist die Antwort als RICHTIG zu werten.

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FALSCH

Alle anderen Antworten, insbesondere wenn lediglich „Nein“ angekreuzt ist. Z.B.: Nein, denn bei negativen Zahlen ist der Wert geringer. ODER (Grenzfall) Die Aussage gilt nicht für a < 1. ODER (Grenzfall) Die Aussage gilt nicht für a > 0.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4), da eine Ungleichung mit Variablen allgemein untersucht wird. In einem ersten Bearbeitungsschritt ist der Inhalt als All-Aussage zu erfassen (K1), was durch eine gut entwickelte Vorstellung zu Variablen begünstigt wird. Anschließend kann die Gültigkeit der Aussage beispielsweise durch die Betrachtung verschiedener konkreter Beispiele untersucht und auf dieser Grundlage dann entweder durch die Angabe eines Gegenbeispiels oder durch eine begriffliche Argumentation widerlegt werden (K1). Aufgrund der Anforderungen an das Argumentieren, welches auf allgemeiner Ebene erfolgt, kann diese Aufgabe dem Anforderungsbereich III zugeordnet werden. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Siehe folgende Schülerlösung: Eigenschaften, die für natürliche Zahlen (größer 1) und deren Multiplikation gelten, werden möglicherweise unkritisch auf das Rechnen mit Brüchen übertragen und die Aussage wird ohne nähere Überprüfung als richtig bewertet. In typischer Weise fehlt im vorliegenden Beispiel eine Fallunterscheidung, ob die betrachtete Bruchzahl kleiner oder größer als 1 oder gleich 1 ist.

• Die folgende Schülerlösung zeigt eine Verwechslung von a2 mit 2a, sodass in der Folge die

Aussage fälschlicherweise als richtig beurteilt wird (Defizit bzgl. K5).

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• Zwar wird richtig angekreuzt, dass die Aussage falsch ist, doch wird eine falsche

Begründung gegeben. Ein Beispiel für diesen Fehler veranschaulicht die folgende Schülerlösung (Fehlvorstellung hier: (-a)2 = -a2) (Defizit bzgl. K5).

• Siehe folgende Schülerlösung: Es wird nicht erkannt, dass eine All-Aussage vorliegt,

vielmehr wird die Aussage aufgrund der Existenz eines einzigen Positivbeispiels als richtig ausgewiesen (vgl. Kap. 4) (Defizit bzgl. K1).

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Aufgabe 13: Spiegeleien Aufgabentext Teilaufgabe:13.1

Teilaufgabe: 13.2

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 13.1 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 4, 5 Anforderungsbereich: I

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Teilaufgabe: 13.2 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 4, 5 Anforderungsbereich: II


RICHTIG

Angabe der Geradengleichung = +1 12

y x oder einer dazu äquivalenten Gleichung.

Z.B.: y = 1 + 0,5x

FALSCH

Alle anderen Antworten, insbesondere wenn nur ein Term statt einer Gleichung angegeben wird oder die Variable fehlt. Z.B.:

121

+x ODER = +1 12

y

Teilaufgabe: 13.2

RICHTIG

Angabe der Geradengleichung y = 2x - 2 oder einer dazu äquivalenten Gleichung. Z.B.: y = -2 + 2x Anmerkung: Das Einzeichnen der gespiegelten Gerade ist nicht verlangt.

FALSCH

Alle anderen Antworten, insbesondere wenn nur ein Term statt einer Gleichung angegeben wird oder die Variable fehlt.

Z.B.:

-2 + 2x ODER y = -2

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört primär zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4), da die Schüler sich mit unterschiedlichen Darstellungsformen linearer Funktionen auseinandersetzen. Zusätzlich spielen bei Teilaufgabe 2 aufgrund der durchzuführenden Spiegelung im Koordinatensystem inhaltsbezogene Kompetenzen der Leitidee Raum und Form (L3) eine Rolle. Die Bearbeitung von Teilaufgabe 1 verlangt, eine gegebene Gerade mittels einer Gleichung zu beschreiben. Dazu sind der y-Achsenabschnitt sowie der Wert der Steigung aus der Darstellung abzulesen (K4) und in eine geeignete Form einer Geradengleichung einzusetzen (K5). Die rein reproduktiven Anforderungen legen es nahe, Teilaufgabe 1 in den Anforderungsbereich I einzuordnen. Die Lösung von Teilaufgabe 2 erfordert zusätzlich eine nicht unmittelbar nahe liegende Spiegelung. Daher ist es plausibel, diese Teilaufgabe dem Anforderungsbereich II zuzuordnen.

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Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01, 02]

• Siehe folgende Schülerlösung: Die Gerade wird nur durch die (korrekte) Angabe zweier Punkte beschrieben, die Geradengleichung wird aber nicht notiert.

• Steigung und y-Achsenabschnitt werden verwechselt (Fehllösung, Teilaufgabe 1:

y = 0,5x + 1; Teilaufgabe 2: y = -2x + 2) (Defizit bzgl. K5). • Die allgemeine Form einer Geradengleichung (z. B. y = mx + b) sowie die Bedeutung der

Parameter m und b ist bekannt und der y-Achsenabschnitt wird richtig bestimmt. Nur der Wert der Steigung kann nicht ermittelt werden.

Zu [02]

• Die Gerade g wird an einer falschen Achse gespiegelt, in der folgenden Schülerlösung beispielsweise an einer Parallelen zur x-Achse, oder auch an der x-Achse selbst.

• Die Gerade wird richtig gespiegelt, die Geradengleichung jedoch falsch angegeben

(z.B.: y = x + 12 ).

• Die Gerade g wird als Spiegelachse verwendet. Schwierigkeiten und Fehlern im Umgang mit Geradengleichungen kann durch operative Übungen (siehe dazu Büchter/ Leuders, 2005), deren Bearbeitung nicht nur die Anwendung wichtiger Fähigkeiten und Fertigkeiten, sondern auch das Erkennen von Zusammenhängen ermöglicht und Kommunikationsanlässe bietet, entgegengewirkt werden. Hierzu können neben häufigen Wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen funktionaler Zusammenhänge (Tabelle, Graph, Gleichung) stets auch Fragen der Art: „Wie verändert sich die Steigung einer Geraden bei einer Parallelverschiebung?“ oder „Welche Auswirkungen hat die Addition einer bestimmten Zahl auf die Lage der Geraden?“ gestellt und die Schüler so beispielsweise zum Nachdenken über die Bedeutung der einzelnen Parameter angeregt werden. Das Ablesen charakteristischer Werte linearer Funktionen sowie das Aufstellen von Geradengleichungen kann z. B. gut in Partnerarbeit geübt werden, indem Schüler mittels Folienstreifen abwechselnd Geraden in ein Koordinatensystem „legen“ und deren Gleichung vom jeweiligen Partner angeben lassen (und umgekehrt).

56

Aufgabe 14: Ungewöhnlicher Mittelwert Aufgabentext

32 msP +⋅

=

Teilaufgabe: 14.1

Teilaufgabe: 14.2

Teilaufgabe: 14.3

57

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 14.1 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 3, 6 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 14.2 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 2, 3, 4, 6 Anforderungsbereich: II

Teilaufgabe: 14.3 Leitidee: 4. Funktionaler Zusammenhang Allgemeine Kompetenz: 1, 2, 5, 6 Anforderungsbereich: III

Auswertung Teilaufgabe: 14.1 RICHTIG 11

Teilaufgabe: 14.2

RICHTIG

sPunktzahl

schriftlicher Prüfungsteil

mPunktzahl mündlicherPrüfungsteil

PGesamtpunkt-

zahl

Schüler 1 9 6 8Schüler 2 14 8 12 Werden die Werte richtig berechnet, aber nicht in die Tabelle eingetragen, wird Code 1 vergeben.

58

Teilaufgabe: 14.3

RICHTIG

Richtige Begründung, in welcher vor dem Hintergrund des Terms gezeigt wird, dass die Punktezahl aus dem mündlichen Prüfungsteil gerade sein muss. Dies kann auf algebraischer oder auf inhaltlicher Ebene erfolgen. Z.B.:

⋅ += ⇔ = −

2 3 23

s mP m P s

P ist gerade, also ist auch 3P gerade. 2s ist gerade (egal ob s gerade oder ungerade). Da 3P und 2s beide gerade sind, ist auch 3P-2s gerade. (Also ist m gerade.)

ODER

⋅ += ⇔ = −

2 3 23

s mP m P s

Da 2|P und 2|2 gelten, gelten auch 2|3P und 2|2s und somit auch 2|(3P – 2s). Also gilt ebenfalls 2|m.

FALSCH

Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten. Z.B.: Die Punktezahl des mündlichen Prüfungsteils muss ebenfalls gerade sein, dass habe ich durch Probieren herausgefunden. ODER Da m = 3P – 2s ist und P gerade sein soll, ist auch m gerade.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe ist der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet, da sich die Schüler mit einer Formel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge auseinandersetzen. Teilaufgabe 3 erfordert außerdem die Nutzung geeigneter Zahlvorstellungen, also zusätzlich inhaltliche Kompetenzen der Leitidee Zahl (L1). Zur Bearbeitung aller drei Teilaufgaben müssen die Schüler dem Aufgabentext zunächst die benötigten Informationen zur Formel und zu den verwendeten Variablen entnehmen (K6). Bei Teilaufgabe 1 ist mit Hilfe des in Form der Formel angegebenen Modells die Gesamtpunktzahl zu berechnen, was voraussetzt, dass die Schüler mit Variablen umgehen können. Der errechnete Wert ist schließlich im Kontext zu deuten (K3). Zur Lösung der Teilaufgabe 2 ist es zusätzlich notwendig, die relevanten Informationen bzw. gegebenen Werte der Tabelle zu entnehmen (K4) und hierauf aufbauend die jeweils fehlende Punktzahl zu berechnen. Die Anwendung der Problemlösestrategie „Rückwärtsarbeiten“ – unter Verwendung der angegebenen Formel – liegt hier nahe (K2). Die Bearbeitung der Teilaufgabe 3 erfordert vor allem die Kompetenz Argumentieren (K1). Ausgehend von einer geraden Gesamtpunktzahl P ist zu zeigen, dass dann auch die im mündlichen Prüfungsteil erreichte Punktzahl m gerade sein muss. Die Formel nach der Variablen m umzuformen und anschließend die einzelnen Glieder 3p und 2s bezüglich ihrer Teilbarkeit durch 2 zu betrachten (K1), ist ein möglicher Weg. Dieser Lösungsprozess wird von verschiedenen Problemlösestrategien gesteuert (K2): das Untersuchen von Beispielen sowie das Zusammenstellen von zur Lösung der Aufgabe notwendigen Teilbarkeitsregeln und Kenntnissen zur Umformung von Formeln. Insbesondere wegen der Anforderungen an das Kommunizieren können die Teilaufgaben 1 und 2 dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden. Bei Teilaufgabe 2 erscheint diese Einordnung

59

zusätzlich aufgrund der Nutzung einer Problemlösestrategie in Verbindung mit der Mehrschrittigkeit des Lösungsweges gerechtfertigt. Die Teilaufgabe 3 gehört zum Anforderungsbereich III, da die eingeforderte Argumentation auf allgemeiner Ebene erfolgt und zudem sehr anspruchsvoll ist. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: [Zu 01 und 02]

• Die Gesamtpunktzahl wird lediglich durch Addition der Einzelpunktzahlen, ohne diese im Sinne des Modells zu gewichten, ermittelt. Das gegebene Modell wird also nicht angewendet. Mögliche Ursachen können Defizite beim sinnentnehmenden Lesen oder mangelnde Kenntnisse bzw. Vorerfahrungen mit gewichteten Mittelwerten sein (Fehllösung 01: 21 Punkte; Fehllösung 02: s = 2 Punkte, m = 2 Punkte) (Defizit bzgl. K3).

[Zu 02] • Die folgende Schülerlösung zeigt systematisch Umformungsfehler beim Umgang mit der

Tabelle und der Formel und lässt erkennen, dass die Lösung nicht richtig validiert wurde. Bei der Ermittlung der bei Schüler 1 fehlenden Punktzahl wurde nicht reflektiert, dass die Summe der beiden Teilpunktzahlen sogar kleiner als die Gesamtpunktzahl ist. Bei der Ermittlung der bei Schüler 2 fehlenden Punktzahl hingegen wurde anscheinend erkannt, dass die Punktzahl im mündlichen Prüfungsteil nicht negativ sein kann, weshalb das Minuszeichen des Endergebnisses weggelassen wurde.

[Zu 03]

• Siehe folgende Schülerlösung: Es ist nicht bewusst, dass die Angabe eines einzelnen Beispiels zur Begründung einer allgemeinen Aussage nicht ausreicht (Defizit bzgl. K1). So wird zur Begründung der Aussage lediglich ein konkretes Beispiel notiert. Dies lässt jedoch vermuten, dass die zu beweisende Aussage zumindest verstanden wurde (Defizit bzgl. K1). Vermutlich wurde angenommen, dass die Division durch eine ungerade Zahl auch (hier 3) zu einem ungeraden Ergebnis führt. Des Weiteren lässt diese Schülerlösung vermuten, dass der Schüler Schwierigkeiten beim Umformen von Termen hat, denn nur der Wert des Nenners beträgt 15, nicht aber der des Terms (Defizit bzgl. K5).

60

• Die folgende Schülerlösung zeigt, dass Voraussetzung und Behauptung verwechselt

werden, so dass die Schlussrichtung der Argumentation falsch ist. Des Weiteren bleiben der Einfluss von m sowie die Division durch 3 unberücksichtigt (Defizit bzgl. K1).

Aufgabe 15: Zug von Paderborn Aufgabentext

32 k

m21

km

25 k

m30

km

61

Teilaufgabe: 15.1

Teilaufgabe: 15.2

Teilaufgabe: 15.3

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 15.1 Leitidee: 2. Messen Allgemeine Kompetenz: 4 Anforderungsbereich: I

Teilaufgabe: 15.2 Leitidee: 2. Messen Allgemeine Kompetenz: 4 Anforderungsbereich: I

Teilaufgabe: 15.3 Leitidee: 2. Messen Allgemeine Kompetenz: 4, 5 Anforderungsbereich: I


RICHTIG

2 ODER 2 min

Die entsprechende Angabe der Zeit in anderer Einheit ist zulässig, sofern dann die gewählte Einheit angegeben ist (Z. B.: 120 Sekunden)

Teilaufgabe: 15.2

RICHTIG

25 ODER 25 min

Die entsprechende Angabe der Zeit in anderer Einheit ist zulässig, sofern dann die gewählte Einheit angegeben ist.

62

Teilaufgabe 15.3

RICHTIG

53 ODER 53 km

Die entsprechende Angabe der Länge in anderer Einheit ist zulässig, sofern dann die gewählte Einheit angegeben ist. (Z.B.: 53 000 m)

Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe erfordert einen Umgang mit den zwei Größen Zeitspanne und Länge in einem realitätsbezogenen Kontext und gehört somit zur Leitidee Messen (L2). In allen drei Teilaufgaben wenden die Schüler die Kompetenz Darstellungen verwenden (K4) an, da sie dem Reiseplan, der als eine besondere Form einer Tabelle als mathematische Darstellung angesehen werden kann, Zeitpunkte bzw. Entfernungen entnehmen müssen. In Teilaufgabe 2 ist zusätzlich die zugehörige Zeitspanne zu berechnen und in Teilaufgabe 3 sind zwei Entfernungsangaben zu addieren (K5). Zwar ist ein Reiseplan der Bahn für Schüler keine notwendigerweise vertraute Darstellung, die erforderlichen Informationsentnahmen bzw. Rechnungen sind jedoch fast unmittelbar möglich, so dass alle Teilaufgaben dem Anforderungsbereich I zugeordnet werden können. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]:

• Es wird nicht zwischen Zeitpunkt und Zeitspanne unterschieden (Fehllösungen: z. B. 20.08 oder 20.10) (Defizit bzgl. K4).

Zu [02]: • Die Differenz zwischen den Ankunftszeiten in Paderborn Hbf und Soest wird ermittelt

(Fehllösung 27 min) (Defizit bzgl. K4). • Der Berechnung werden falsche Orte zugrunde gelegt, z. B. Lippstadt statt Soest

(Fehllösung 14 min) (Defizit bzgl. K4). Zu [03]:

• Irrtümlich wird die Entfernung von Soest nach Hamm in die Addition einbezogen (Fehllösung 78 km) (Defizit bzgl. K4).

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Aufgabe 16: Vier Spiegelungen Aufgabentext

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 16.1 Leitidee: 3. Raum und Form Allgemeine Kompetenz: 4, 5 Anforderungsbereich: I

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RICHTIG

Aufgabenbezogener Kommentar In der vorliegenden Aufgabe ist zu untersuchen, ob die Figurenpaare jeweils achsensymmetrisch zur gegebenen Geraden sind. Daher wird diese Aufgabe der Leitidee Raum und Form (L3) zugeordnet. Zur Lösung der Aufgabe überprüfen die Schüler wie bzw. ob sich der eine Teil eines Figurenpaares in den anderen überführen lässt. Um festzustellen, ob es sich dabei jeweils um eine Achsenspiegelung handelt, können Kontrollverfahren angewendet werden und man kann sich beispielsweise gedanklich eine Bewegung oder eine Abbildung vorstellen (K5). Die Aufgabe gehört zum Anforderungsbereich I, da die Prüfung auf Achsensymmetrie ein Standardverfahren darstellt. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten: Zu [01]:

• (Fehllösung: ja ist angekreuzt): Die vorliegende Punktsymmetrie der Figuren F und G wird mit Achsensymmetrie verwechselt (Defizit bzgl. K4, K5).

• (Fehllösung: ja ist angekreuzt): Die vorliegende Verschiebungssymmetrie der Figuren F und G wird mit Achsensymmetrie verwechselt (Defizit bzgl. K4, K5).

• (Fehllösung: ja ist angekreuzt): Es wird nicht erkannt, dass die Achse s nicht Symmetrieachse des Figurenpaares F und G ist, da F und G bei einer Spiegelung an s nicht zur Deckung kommen (Defizit bzgl. K4, K5).

• (Fehllösung: nein ist angekreuzt): Die vorliegende Achsensymmetrie wird nicht erkannt, möglicherweise, da F und G Kreise sind und der Begriff der Achsensymmetrie häufig nur anhand von Vielecken erworben wird (Defizit bzgl. K4, K5).

Im Unterricht bietet es sich an, die verschiedenen Symmetrien und Spiegelungen kontrastierend zu behandeln. Insbesondere die Unterscheidung von Punkt- und Achsenspiegelungen kann Schwierigkeiten bereiten. Um dieser Problematik entgegen zu wirken, können Schüler verschiedene Figurenpaare auf enaktiver Ebene durch konkrete Handlungen untersuchen. Dies kann durch konkretes Spiegeln, durch Falten oder durch Ausschneiden und Verschieben sowie durch Drehen der entsprechenden Figuren geschehen. Im Sinne des operativen Durcharbeitens kann dabei die Spiegel- oder Symmetrieachse gegeben oder gesucht sein oder der Drehpunkt kann gegeben oder gesucht sein.

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Aufgabe 17: Superman Aufgabentext

Die Gemeinde Metropolis verehrt den Comic- und Spielfilmhelden Superman. 120 000 Dollar wurden in seine Statue investiert (siehe Foto).

Wie groß ist die Superman-Statue ungefähr?

Notiere deinen Lösungsweg.m

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 17.1 Leitidee: 2. Messen Allgemeine Kompetenz: 2, 3, 4, 5, 6 Anforderungsbereich: III

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RICHTIG

Angabe eines Ergebnisses im Intervall von 3 m bis 7 m (Der ermittelte Wert sollte maximal auf dm-Genauigkeit angegeben werden.). UND eine Darlegung des Lösungsweges, der eine (mehrschrittige) Modellierung und ihre Mathematisierung erkennen lässt. Darin müssen eine Vergleichsgröße (z. B. die Größe des Mädchens oder die Höhe des Hauses) und ein Faktor erkennbar sein, mit denen ein Bezug zur Größe der Statue hergestellt wird. Anmerkung: Die Lösung wird auch als richtig gewertet, wenn das Ergebnis für die Höhe der Statue eine im Kontext unangemessene Genauigkeit aufweist. Der Lösungsweg sowie die Größenordnung der Lösung stehen allerdings im Fokus dieser Aufgabe. Z.B.: Das Mädchen ist sicherlich 1 Meter groß. Auf dem Foto ist es 2,4 cm groß und Superman 8,2 cm. 2,4 cm 1 m 1 cm 0,4 m 8,2 cm 3,4 m

Superman ist also etwa 3,4 m groß. ODER Superman ist ca. 3,5 mal so groß wie das Mädchen. Wenn das Mädchen einen Meter groß ist, so ist Superman ca. 3,5 Meter groß.

FALSCH

Alle anderen Antworten. Z.B.: Das Mädchen ist 1 Meter groß. Somit könnte Superman ca. 4 Meter groß sein. Anmerkung: Hier ist keine Mathematisierung erkennbar.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Messen (L2), da die ungefähre Höhe der Statue mit Bezug zu einer Vergleichsgröße ermittelt wird. Die Schüler müssen geeignete Annahmen treffen, mit den ermittelten Größen Berechnungen durchführen und die erhaltenen Ergebnisse in Bezug zur Sachsituation interpretieren. Es ist zur Lösung der Aufgabe also notwendig, den Modellierungskreislauf (siehe hierzu: Didaktische Kommentare, Kapitel „Modellieren“ (vgl. Handreichung Vera 8 Mathematik 2009, Kap. 4) vollständig zu durchlaufen (K3). Vor Beginn der eigentlichen Modellierung sind die überflüssigen Angaben im Aufgabentext (Kosten für die Statue) zu identifizieren (K6). Die anschließende Wahl eines geeigneten Modells setzt eine adäquat entwickelte Vervielfachungsvorstellung sowie Verhältnisvorstellungen voraus. Der nach erfolgter Mathematisierung nötige Umgang mit technischen Elementen der Mathematik beschränkt sich, ausgehend von der Größe des Mädchens, auf eine verhältnisgemäße Berechnung der Höhe der Statue; dies kann unter Rückgriff auf den Dreisatz oder eine Verhältnisgleichung erfolgen (K5). Die hierzu in Beziehung zu

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setzenden Daten sind dem Foto zu entnehmen (K4) oder – z.B. im Falle der realen Größe des Mädchens oder des Hauses im Hintergrund – abzuschätzen. Begleitet und gesteuert wird dieser Modellierungsprozess durch die Anwendung einfacher heuristischer Hilfsmittel und Strategien wie dem Einzeichnen von Hilfslinien oder der Zerlegung des Lösungsweges in einfache Teilschritte (K2). Die Bearbeitung der Aufgabe schließt mit einer nachvollziehbaren Darlegung des Lösungsweges ab (K6). Die Anforderungen der Aufgabe an das Modellieren rechtfertigen insgesamt ihre Einordnung in den Anforderungsbereich III. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Die in der Abbildung bestimmte Höhe der Statue wird ohne Berücksichtigung des Maßstabs der Abbildung in die Realität übertragen. Dabei werden die Einheiten Zentimeter und Meter gleichgesetzt. Dieses Vorgehen offenbart Schwierigkeiten bei der Mathematisierung der Realsituation (Defizit bzgl. K3) sowie Probleme im Umgang mit Größen.

• Die Aufgabe wird aufgrund fehlender Daten als nicht lösbar bezeichnet wird, obwohl die

Fragestellung offenbar verstanden wurde. Ein Treffen von Annahmen unterbleibt, auch Abschätzungen werden nicht vorgenommen (Defizit bzgl. K3).

• Defizite in der Lesekompetenz können dazu führen, dass überflüssige Informationen im

Aufgabentext nicht als solche erkannt werden. Beispielsweise wirr die Investition von 120 000 Dollar fälschlich zur Berechnung der Höhe der Statue verwendet. Weitere Indikatoren hierfür sind Verwechslungen von Begriffen (Supermarkt statt Superman) (Defizit bzgl. K6).

Diese Aufgabe ist eine offene Aufgabe, bei der weder der Lösungsweg noch das Ergebnis eindeutig bestimmt ist, sodass sehr unterschiedliche Schülerlösungen denkbar sind. Im Unterricht können diese verglichen und bewertet werden, um den Schülern die Abhängigkeit des

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Ergebnisses von den getroffenen Annahmen bzw. dem gewählten Lösungsweg aufzuzeigen12. Dies ermöglicht es auch, die einzelnen Schritte des Modellierens herauszuarbeiten, einen Bezug zum Modellierungskreislauf herzustellen und das bei Modellierungsaufgaben hilfreiche Metawissen über den Lösungsprozess bei den Schülern weiter zu entwickeln (ebd.)13. Aufgabe 18: Würfelnetz mit Buchstaben Aufgabentext

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 18.1 Leitidee: 3. Raum und Form Allgemeine Kompetenz: 2, 4 Anforderungsbereich: II

12 Weitere Hinweise zur Arbeit mit offenen Aufgaben können dem Heft „Aufgaben öffnen“ (Heft 100) der Zeitschrift „mathematik lehren“ entnommen werden. 13 Die wichtigsten Aspekte der Kompetenz Modellieren sowie Möglichkeiten zu deren Förderung im Unterricht unter Einsatz geeigneter Materialien können dem Kapitel zum Modellieren in den didaktischen Kommentaren zu den Lernstandserhebungen 2008 entnommen werden.

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RICHTIG

Anmerkung: Alle vier Ecken H, F, H, G müssen korrekt bezeichnet sein.

Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Raum und Form (L3), da ihre Bearbeitung das gedankliche Operieren mit ebenen und räumlichen Figuren erfordert. Um die fehlenden Beschriftungen zu ermitteln, ist das Aufklappen des Würfels nachzuvollziehen (K2, K4) oder das Würfelnetz gedanklich zusammenzufalten (K4) und somit zumindest mental zwischen dem gegebenen Würfelnetz und dem Würfel zu wechseln. Dieser Wechsel zwischen den beiden Darstellungen und der hiermit verbundenen Transfer von ebenen zu räumlichen Konfigurationen legt eine Einordnung der Aufgabe in den Anforderungsbereich II nahe. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Siehe folgende Schülerlösung: Das Netz des Würfels wird entlang der Symmetrieachse gefaltet, so dass zwei der fehlenden Ecken fälschlich mit den Buchstaben G und E beschriftet werden (Defizit bzgl. K4).

A B

C D

E

E

H G

F

G

H G

F

H

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Aufgabe 19: Milchmenge Aufgabentext

Britta stellt die Zutaten für einen Kuchen zusammen.

Im Rezept steht, dass sie l Milch benötigt.

Sie hat bereits Milch in einen Messbecher geschüttet (siehe Foto), jedoch ein bisschen zu viel Milch genommen.

Wie viel cm³ Milch muss Britta wieder zurückschütten?

cm³

cm³

14

Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 19.1 Leitidee: 2. Messen Allgemeine Kompetenz: 4, 5 Anforderungsbereich: I


RICHTIG

Angaben aus dem Intervall [30; 70] Z.B.:

50 ODER 50 ccm ODER 50 cm³ ODER mit Zusatz „ca.“

Anmerkung: Die von der Skala des Messbechers abgelesene Milchmenge muss im Intervall [280 cm³; 320 cm³] liegen. Die zurück zu schüttende Milchmenge wird folgerichtig kodiert.

FALSCH

Alle anderen Antworten. Z.B.:

„Ich schütte soviel Milch zurück, bis nur noch ¼ l im Becher ist.“

Anmerkung: Hierfür wird FALSCH vergeben, da in der Aufgabenstellung explizit nach der zurück zu schüttenden Menge (in „cm³“) gefragt wird.

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Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört der Leitidee Messen (L2) an, da die Schüler hier mit den Volumenmaßen Liter und Kubikzentimeter umgehen. Die benötigten Angaben werden von der Skala des abgebildeten Messbechers abgelesen (K4). Anschließend wird die Angabe 1

4 l in Kubikzentimeter umgewandelt und der Unterschied zur abgefüllten Milchmenge von ca. 300 cm3 ermittelt (K5). Da es zur Lösung der Aufgabe ausreichend ist, erlernte Verfahren anzuwenden bzw. mit einer Standarddarstellung umzugehen, gehört diese Aufgabe dem Anforderungsbereich I an. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Die Schüler geben die Höhe des überschüssigen „Milchzylinders“ an (z.B.: 1,5 cm Milch). • Die Schüler nehmen mit Bezug zur Skala des Messzylinders eine Abschätzung vor

(Fehllösung z.B.: weniger als 18 Liter bzw. weniger als 100 ml).

Soll der Kontext der Aufgabe weiter ausgelotet werden, können die Schüler im Unterricht aufgefordert werden, zu einer vorgegebenen Milchmenge die richtige Füllhöhe im Foto des Messbechers einzuzeichnen. Hierdurch können insbesondere der Umgang mit mathematischen Darstellungen (K4) sowie die Strategie des Rückwärtsarbeitens (K2) gefördert werden. Aufgabe 20: Winkel an Geraden Aufgabentext

Sind die beiden Geraden a und b parallel?

Kreuze an.

Ja Nein

Begründe deine Antwort.

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Aufgabenkennwerte Teilaufgabe: 20.1 Leitidee: 3. Raum und Form Allgemeine Kompetenz: 1, 4 Anforderungsbereich: III


RICHTIG

„Nein" ist angekreuzt UND eine angemessene Begründung wird gegeben.

Anmerkung: In den Begründungen müssen die Fachbegriffe für Winkel an geschnittenen Parallelen (Stufen-, Wechselwinkel, …) nicht verwendet werden. Die Antwort ist auch als richtig zu kodieren, wenn kein Kreuz bei "Nein" gesetzt wurde, aus der Begründung jedoch erkennbar ist, dass die Frage mit "Nein" beantwortet wurde.

Mögliche Begründungen: Wenn zwei parallele Geraden a und b von der Geraden c geschnitten werden, muss der 145° große Winkel mit dem Stufen- bzw. Wechselwinkel des 36° großen Winkels den Wert von 180° ergeben. Das ist nicht der Fall.

ODER

Wenn zwei parallele Geraden a und b von der Geraden c geschnitten werden, muss der 36° große Winkel mit dem Stufen- bzw. Wechselwinkel des 145° großen Winkels den Wert von 180° ergeben. Das ist nicht der Fall.

ODER

Die Geraden a und b sind nicht parallel, weil sonst der Winkel "rechts neben" 145° wie der "untere" auch 36° wäre (Wechselwinkel). Beide Winkel (145° + 36°) zusammen wären dann aber nicht 180°!

ODER

Eine zeichnerische Lösung, die die oben angegebenen Sachverhalte illustriert.

ODER (Grenzfall) 145° + 36° = 181°. Anmerkung: Es bleibt unklar, dass beide Winkel zusammen 180° ergeben müssen.

ODER (Grenzfall) Weil es keine 180° ergibt. Anmerkung: Es bleibt unklar, welche beiden Winkel zusammen 180° ergeben sollen.

ODER Eine andere richtige Begründung.

FALSCH

Alle anderen Antworten, insbesondere solche ohne Begründung.

Weitere Beispiele für falsche Lösungen: Eine Lösung, bei der die Abstände zwischen den Geraden a und b gemessen wurden.

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Aufgabenbezogener Kommentar Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Raum und Form (L3), da zu ihrer Lösung die Lagebeziehungen geometrischer Objekte in der Ebene analysiert und einfache geometrische Sätze zu Winkelbeziehungen an parallelen Geraden angewendet werden. Zunächst muss geprüft werden, welche Hinweise für bzw. gegen die Parallelität der Geraden a und b vorliegen. Dabei wird sinnvollerweise auf die beiden angegebenen Winkeln 145° und 36° bzw. ihre Nebenwinkel zurückgegriffen (K4). Unter der Annahme, dass die beiden Geraden parallel verlaufen, kann z. B. geprüft werden, ob es sich bei den beiden berechneten Nebenwinkeln tatsächlich um Stufenwinkel zu den angegebenen Winkel 145° bzw. 36° handelt. Der hierbei auftretende Widerspruch widerlegt die Annahme (K1). Alternativ kann mit Nebenwinkeln und deren Eigenschaften argumentiert werden. Die Anforderungen an das Argumentieren, das hier unter Bezug auf die Winkelsätze an geschnittenen Parallelen und damit im Kern auf allgemeiner begrifflicher Ebene erfolgt, rechtfertigt eine Einordnung dieser Aufgabe in den Anforderungsbereich III. Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Siehe folgende Schülerlösung: Ein Verfahren zum Zeichnen zueinander paralleler Geraden wird – in umgekehrter Richtung – zur Überprüfung der Parallelität angewendet. Die Abweichung von einem Grad wird bei der Bearbeitung der Aufgabe durch Messen nicht als solche wahrgenommen, so dass die Annahme als richtig ausgewiesen und durch Bezug zum Messergebnis begründet wird (Defizit bzgl. K2).

• In der Begründung wird nur die Annahme berücksichtigt, wie folgende Schülerlösung zeigt.

Dabei wird die Annahme basierend auf der richtigen Vorstellung, dass sich zwei parallel verlaufende Geraden niemals schneiden, ohne weitere Begründung als richtig ausgewiesen, d. h. lediglich die geometrische Eigenschaft paralleler Geraden wird beschrieben (Defizit bzgl. K1).

Anhand der beiden Lösungen wird deutlich, dass den Schülern der Anspruch an eine mathematische Argumentation hinsichtlich ihres Allgemeinheitsgrades nicht klar zu sein scheint. So verweisen sie lediglich auf ein Messergebnis oder auf die Eigenschaften paralleler Geraden. Um derartigen Fehlern entgegen zu wirken, ist es im Unterricht wichtig, den Aufbau und die Charakteristika einer Argumentation anhand von Aufgaben zu erarbeiten und den Schülern transparent zu machen (siehe dazu: Kap. 4).

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4. Kompetenzentwicklung im Mathematik-Unterricht: Argumentieren Einleitung Mathematisches Argumentieren ist eine der sechs in den Bildungsstandards Mathematik formulierten Kompetenzen. Ihre zielgerichtete Entwicklung und Förderung ist eine zentrale und herausfordernde Aufgabe für Lehrkräfte. Nachfolgend sollen Anregungen gegeben werden, wie die Kompetenz Argumentieren im Unterricht gefördert werden kann und wie man Schülern die Bedeutung des Argumentierens aufzeigen sowie ein Bedürfnis hierfür bei ihnen wecken kann. Empirische Untersuchungen belegen, dass Lernende jener Klassen bessere Leistungen erbringen, in denen das Argumentieren einen höheren Stellenwert einnimmt (siehe dazu: Baumert et al, 2009). Das Kapitel beginnt mit einer genaueren Begriffsbestimmung der Kompetenz Argumentieren. Anschließend werden typische Schülerschwierigkeiten und Fehler dargelegt und Bedingungsfaktoren für einen langfristigen Kompetenzaufbau angegeben. Hiermit ist auch die Hoffnung verbunden, dass das Argumentieren (bis hin zum Beweisen) wieder eine stärkere Beachtung im Unterricht erfährt. Die Kompetenz Argumentieren Unter Argumentieren wird die Kompetenz verstanden, mathematische Aussagen zu einer schlüssigen Argumentationskette zu verbinden sowie gegebene mathematische Argumentationen zu verstehen und zu bewerten (vgl. u.a. Hanna, 2000). Zu mathematischen Argumentationen gehören Erläuterungen, Begründungen (auch von Lösungswegen) und Beweise. Hierzu sind vorab meist Fragen zu stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind, wie beispielsweise „Gibt es …?“, „Weshalb ist das so …?“ oder „Ist das immer so …?“, sowie begründete Vermutungen zu formulieren. In den Bildungsstandards Mathematik werden beim Argumentieren wie bei jeder Kompetenz drei verschiedene Anforderungsbereiche unterschieden (vgl. KMK, 2004):

• Zum niedrigsten Anforderungsbereich „Reproduzieren“ gehört hier das Wiedergeben bzw. Ausführen von einfachen, oft einschrittigen Routineargumentationen unter Rückgriff auf vertraute Rechnungen, Verfahren, Herleitungen und Sätze oder unter Zuhilfenahme von Alltagswissen.

• Der mittlere Anforderungsbereich „Zusammenhänge herstellen“ umfasst das Entwickeln von wenigschrittigen Argumentationen sowie das Beschreiben und Begründen von überschaubaren Lösungswegen.

• Zum höchsten Anforderungsbereich „Verallgemeinern und Reflektieren“ gehören das Entwickeln oder Erläutern komplexer Argumentationen sowie das Vergleichen und Bewerten vorgegebener Argumentationen.

Aufgaben, die die Schüler zum Argumentieren auffordern, weisen meist Formulierungen auf wie „Begründe ...“, „Widerlege …“, „Welche Bedingungen müssen eintreten, damit ...“ oder „Warum ist das so? Erläutere …“. Bei der Entwicklung einer (hinreichend komplexen) Argumentation kann man idealtypisch die sechs folgenden, aufeinander aufbauenden Schritte unterscheiden: 1. Erforschen einer Problemstellung und Formulierung einer Vermutung 2. Untersuchen der Vermutung und Sammeln von Argumenten 3. Auswahl von Argumenten durch Überprüfung auf ihre Brauchbarkeit und Stichhaltigkeit 4. Verknüpfen von Argumenten zu einer Argumentationskette 5. Überprüfen der Argumentation auf Standfestigkeit 6. Ggf. Formulierung der Argumentation Diese Schrittfolge kann den Schülern zumindest in Ansätzen transparent gemacht werden, wozu man auch präformale Beweise und Begründungen verwenden kann, die Schüler vor allem in jüngeren Jahrgangsstufen bereits ausführen können (siehe die nachfolgenden Beispiele).

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Hinsichtlich des formalen Beweisens können diese Schritte noch einmal leicht modifiziert werden (siehe hierzu: Reiss, 2006). Grundlage für jegliche Argumentationen stellen eine kritische Fragehaltung der Schüler bzw. ihr Bedürfnis dar, ein gegebenes Argumentationsproblem auch zu lösen. Darüber hinaus benötigen sie ein breites Faktenwissen. Allerdings ist dies noch keine hinreichende Bedingung. Wie Untersuchungen zeigen, müssen die Schüler auch über ein adäquates Metawissen verfügen, um ihr Faktenwissen zur Formulierung einer Argumentation bzw. eines Beweises nutzen zu können (vgl. zu allem Reiss, 2006). Zu diesem Metawissen zählen insbesondere:

• ein adäquates Begriffsverständnis zur Unterscheidung von mathematischen Aussagen, Definitionen und Sätzen,

• die Fähigkeit, zwischen Vorraussetzungen und Behauptungen zu unterscheiden, • der Umgang mit „…wenn, dann…“ und „…genau dann, wenn…“ Formulierungen, • die Fähigkeit zu logisch korrekten Schlussfolgerungen, • ein Einblick in die Bedeutung von Beispielen beim Argumentieren und Beweisen, • die Kenntnis verschiedener Argumentationsmuster bzw. Beweisformen, • die Kenntnis von Problemlösestrategien und die Fähigkeit, diese zur Exploration einer

Problemstellung sowie zur Auswahl wichtiger Argumente und deren Verbindung zu einer Kette logischer Schlüsse zu nutzen.

Die meisten Formen des Argumentierens werden im Rahmen innermathematischer Problemstellungen ausgeführt. Die Argumentation selbst und ihre Funktion hinsichtlich des Bestätigens oder Widerlegens einer Aussage ist dabei der Kern der Aufgabenstellung. Zu unterscheiden ist hierbei, ob eine Argumentation nur rein mental ausgeführt oder ob sie zusätzlich schriftlich oder mündlich dargelegt wird. Erfolgen Argumentationen im Rahmen außermathematischer Problemstellungen (siehe dazu: Leuders, 2006), können sie als Teil des Modellierens aufgefasst werden, sie stehen hier also im Dienste der Modellierung und Aufklärung einer Sachsituation (vgl. Büchter/ Leuders, 2005). Es geht dann meist um das begründete Treffen von Annahmen, das Vornehmen von Vereinfachungen, die Auswahl bzw. Bildung eines geeigneten Modells oder das Aussprechen einer Empfehlung aufgrund der durchgeführten Überlegungen oder Berechnungen (siehe dazu: ebd.). Während die drei Anforderungsbereiche der Argumentationskompetenz theoretischer Natur sind, liegen dem im Folgenden erläuterten und hinsichtlich der Kompetenz Argumentieren konkretisierten Kompetenzstufenmodell empirische Daten zugrunde. Zu dessen Konstruktion wurden zunächst Aufgaben, die das Spektrum der Bildungsstandards abdecken, von einer repräsentativen Stichprobe von Schülern bearbeitet. Die erhaltenen Schwierigkeitswerte wurden durch Anwendung eines geeigneten statistischen Verfahrens mit den Fähigkeitswerten der Schüler auf einer gemeinsamen Skala abgebildet. Diese wurde dann in fünf Stufen unterteilt, Kompetenzstufen genannt, wobei sich innerhalb einer Stufe Aufgaben mit ähnlichen Schwierigkeitswerten bzw. Schüler mit ähnlichen Fähigkeitswerten befinden. Im Folgenden werden die fünf Stufen kurz beschrieben. Die Anforderungen in der ersten Kompetenzstufe sind so einfach, dass sie von den meisten Schülern einigermaßen sicher erfüllt werden können. Die Anforderungen ab der zweiten Kompetenzstufe verdeutlichen den Mindeststandard, der von Schülern des Mittleren Bildungsabschlusses erwartet werden muss. Schüler, die hierzu nicht in der Lage sind, die also auf der ersten Kompetenzstufe verbleiben, bedürfen einer besonderen Förderung. Der Regelstandard, der von Schülern des mittleren Bildungsgangs im Durchschnitt erwartet wird, beginnt mit der dritten Kompetenzstufe. Ab der vierten Kompetenzstufe kann man von einem „Regelstandard plus“ sprechen, und in der fünften Stufe beginnt der Optimalstandard (genauer siehe in: Katzenbach u.a., 2009). Die folgende Tabelle zeigt unterschiedliche Ausprägungen der Kompetenz des Argumentierens auf den fünf Kompetenzstufen, jeweils charakterisiert durch typische Argumentationstätigkeiten.

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Kompetenzstufe Anforderung hinsichtlich der Kompetenz Argumentieren

1 Einfachste Standardargumentationen nachvollziehen

2 Einfache Standardargumentationen durchführen Mindeststandard

3 Überschaubare eigene Argumentationen durchführen Regelstandard

4 Mehrschrittige Argumentationen selbst entwickeln Regelstandard plus

5 Komplexe Argumentationen entwickeln und bewerten Optimalstandard

Der Einsatz eines solchen Kompetenzstufenmodells bietet neue Chancen zur Unterrichtsentwicklung und zur individuellen Förderung von Lernenden. Hierzu bedarf es der Ergebnisse eines geeichten Tests (siehe dazu: Katzenbach u.a., 2009), mit deren Hilfe die durchschnittliche Leistung der Lerngruppe wie auch deren Verteilung über das Leistungsspektrum im Kompetenzstufenmodell verortet werden können. So können zusätzliche Anhaltspunkte für die Gestaltung der eigenen Unterrichtspraxis gewonnen, Aussagen zum Entwicklungsstand einzelner Kompetenzen in der Lerngruppe getroffen und Prognosen für den weiteren Verlauf des Kompetenzaufbaus (bei sonst unveränderten Rahmenbedingungen) abgeleitet werden. Eine Verwendung der Testergebnisse zu Diagnosen auf Individualebene bedarf zudem einer detaillierten aufgabenbezogenen Auswertung der Testergebnisse. Analyse von Beispielen Im Folgenden werden die vorstehenden, eher theoretischen Ausführungen anhand der beiden Aufgaben „Zahlensumme_1“ (Anforderungsbereich III) und „Ergebnis kleiner als Null“ (Anforderungsbereich II) exemplarisch verdeutlicht14.

Aufgabe Zahlensumme_1 Inga behauptet: „Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer durch fünf teilbar!“ Hat Inga Recht? Begründe deine Antwort.

Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Zahl (L1). Ihr Anspruch liegt in der vollständigen Formulierung eines mathematischen Beweises, worauf bereits der Zusatz „immer“ im Aufgabentext hinweist. Die Beweisstrategie, die Summe von fünf aufeinander folgenden beliebigen natürlichen Zahlen in geeigneter Weise auf ihre Teilbarkeit durch 5 zu untersuchen, muss erkannt werden und bedingt letzten Endes eine mehrschrittige komplexe Argumentation. Die Kompetenz Argumentieren steht somit im Mittelpunkt. Der Komplexitäts- und Allgemeinheitsgrad der Aufgabe rechtfertigt ihre Einordnung in den Anforderungsbereich III. Zur Bearbeitung dieser Aufgabe müssen die Begriffe „natürliche Zahl“, „Summe“, „aufeinanderfolgend“ und „teilbar“ bekannt sein und muss die Technik des Addierens angewendet werden. Je nach Lösungsansatz kann mit der Betrachtung der kleinsten dieser fünf Zahlen oder auch z. B. mit der mittleren Zahl begonnen werden. Im Zusammenhang mit der Frage nach der Allgemeingültigkeit der Aussage ist darüber hinaus eine elaborierte Vorstellung vom Variablenbegriff nötig (Variable als Platzhalter, hier für natürliche Zahlen). Das verstehende Lesen der Aussage unter besonderer Berücksichtigung der vorkommenden Begriffe wie „Summe“ und „immer“ sowie das Darlegen der komplexen Argumentation aktiviert zudem die Kompetenz Kommunizieren. In Abhängigkeit von der gewählten Lösungsvariante kann auch die Kompetenz Umgang mit mathematischen Darstellungen auf einfachem Niveau hinzukommen. Die zur Lösung der Aufgabe „Zahlensumme_1“ erforderliche Argumentation kann durch verschiedene Ansätze auf unterschiedlichen Darstellungsebenen entwickelt werden. Dies ermöglicht Schülern unterschiedlichen Leistungsniveaus wie auch unterschiedlicher Lerntypen einen Zugang zur Aufgabenstellung. Die verschiedenen Argumentationen können im Unterricht präsentiert und gegenübergestellt werden. Die folgenden Schülerlösungen veranschaulichen jeweils einen Lösungsansatz. Wir unterscheiden idealtypisch fünf Lösungsansätze. 14 Weitere Beispiele werden in Meyer/ Prediger (2009) vorgestellt.

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(1): Paradigmatischer Ansatz

Bei dieser Lösungsvariante wird zwar mit einem konkreten Zahlenbeispiel operiert, durch das Setzen der Klammern bzw. durch eine zusammenfassende multiplikative Darstellung wird aber deutlich, dass die zugrundeliegende allgemeine Struktur erfasst wird und keine spezielle Eigenschaft der gewählten konkreten Zahl benutzt wird. Die Zahl wird somit faktisch als Variable verwendet, was entscheidend für eine paradigmatische Begründung ist. Allerdings kann dies meist kaum alleine aus einer schriftlichen Schülerlösung gefolgert werden kann. Die Aussage „Das gilt immer so, egal was die erste Zahl ist.“ und ein Zusatz wie „z. B.“ bei der gewählten Beispielzahl unterstreichen, dass dem Schüler klar ist, dass dies auch bei allen weiteren Beispielen gilt. (2): Algebraischer Ansatz

Dieser Schüler hat die Aufgabe algebraisch gelöst, mit der kleinsten der fünf Zahlen als Variable. (3): Zeichnerischer Ansatz

Bei dieser Lösungsvariante werden die fünf Zahlen durch ein Punktmuster repräsentiert, anschließend werden Punkte nach Bedarf geschickt „umgeschichtet“, sodass man auf einen Blick sieht, dass die Summe durch fünf teilbar ist. Auch bei dieser Variante liegt – wie beim paradigmatischen Ansatz – eine konkrete Beispielzahl zugrunde (hier: n = 5), die aber wie eine Variable verwendet wird.

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(4): Inhaltlich-verbaler Ansatz

Bei dieser Lösungsvariante handelt es sich um eine verbale Begründungsform. Variablen werden dabei nur implizit benötigt. Sie werden zwar nicht konkret ausgewiesen, sind in der Formulierung „Eine der drei Zahlen …“ jedoch mit enthalten. (5): Iterativer Ansatz

Diese Schülerlösung illustriert eine Lösungsvariante, die als Vorform der vollständigen Induktion betrachtet werden kann. Denn zunächst wird die Gültigkeit der Aussage an der kleinstmöglichen Summe (1 + 2 + 3 + 4 + 5) nachgewiesen, und dann wird aufgezeigt, dass die verschiedenen Summen schrittweise immer um 5 wachsen, wodurch die Gültigkeit stets beibehalten wird.

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Ein weiteres Beispiel zum mathematischen Argumentieren ist die Aufgabe „Ergebnis kleiner als Null“.

Auch diese Aufgabe gehört zur Leitidee Zahl (L1). Der Anspruch der Aufgabe liegt in der Formulierung einer Erklärung, die darlegende und begründende Teile aufweist. So sind vor allem die Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren zur Lösung der Aufgabe von Bedeutung. Die Aufgabe gehört dem Anforderungsbereich II an, da die Schüler zu ihrer Lösung den Zusammenhang zwischen der Anzahl negativer Vorzeichen im Term und dem Vorzeichen des Endergebnisses erkennen müssen (vgl. Didaktische Handreichung zu TH III, Kap. 3, Aufgabe 4). Hierfür ist, wie folgende Schülerlösung verdeutlicht, ein Verweis auf die entsprechenden Regeln ausreichend.

Alternativ und stärker inhaltlich kann die Aufgabe auch unter Bezug auf die geometrische Bedeutung des Minuszeichens als Vorzeichen im Sinne einer Spiegelung am Nullpunkt der Zahlengerade gelöst werden, wie die folgende Schülerlösung illustriert.

Argumentieren als Ziel des Mathematikunterrichts Obwohl das Argumentieren schon immer – in Anbindung an verschiedene Themengebiete – in den Lehrplänen verankert ist, wurde dies im Mathematikunterricht oft nicht gebührend berücksichtigt. Dies liegt sicherlich vor allem daran, dass das Begründen und Beweisen häufig auf formale Aspekte reduziert wird, womit wiederum die Angst verbunden ist, dem verständnisorientierten inhaltlichen Arbeiten nicht den nötigen Raum gewähren zu können (vgl. Reiss, 2002). Aus dieser einseitigen Betrachtung des Argumentierens resultieren häufig auch einzelne isolierte

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„Beweisstunden“, die aufgrund des fehlenden langfristig angelegten systematischen Kompetenzaufbaus nicht den erwünschten Lerneffekt erzielen. Tatsächlich ist die Kompetenz des Argumentierens sehr facettenreich und somit aus verschiedenen Gründen im Mathematikunterricht von Bedeutung. So kann der Mathematikunterricht durch eine langfristig angelegten Aufbau des Argumentierens dazu beitragen, die Schüler zu mündigen Bürgern zu erziehen, indem er allgemein die Entwicklung einer angemessen Begründungshaltung unterstützt, so dass die Schüler Aussagen kritisch hinterfragen, sachlich richtig begründen oder widerlegen. Dies ist ein wesentliches Element einer angemessenen Allgemeinbildung. Auch aus kulturhistorischer und wissenschaftstheoretischer Sicht ist das Argumentieren zentral, da es den Schülern einen Einblick in die innere, deduktiv geordnete Welt der Mathematik gewährt. Es lässt nicht nur eine charakteristische Denkweise der Mathematik sichtbar werden, sondern verdeutlicht den Schülern auch, dass die Gewissheit mathematischer Kenntnisse auf ihrer spezifischen Begründung beruht. Hierdurch kann ein Beitrag zum Aufbau eines ausgewogenen Mathematikbildes geleistet werden. Gleichzeitig fördern Begründungen das Verstehen und Behalten mathematischer Zusammenhänge und Begriffe sowie das sachgebietsübergreifende und vernetzte Denken (siehe dazu: Hanna/ de Villiers, 2008; Meyer/ Prediger, 2009). Typische Schülerschwierigkeiten und Fehler beim Argumentieren Bekanntlich haben viele Schüler Schwierigkeiten, in einem mathematischen Problemkontext sachlogisch rational zu argumentieren, Zusammenhänge zu begründen oder gar einen mathematischen Beweis zu formulieren. Naturgemäß liegen die Schwierigkeiten vor allem auf den höheren, kognitiv anspruchsvolleren Kompetenzstufen. Die Ursachen hierfür sind vielfältig. Sie werden im Folgenden anhand verschiedener Schülerlösungen zur Aufgabe „Zwei Kreise“ illustriert. Die Aufgabe „Zwei Kreise“ verknüpft inhaltliche Kompetenzen der Leitideen Raum und Form (L3) und Messen (L2) miteinander, da es hier im Kern darum geht, die Flächeninhalte verschiedener Dreiecke miteinander zu vergleichen. Hierzu sind die Höhen und Grundseitenlängen der in der Figur gegebenen Dreiecke zu analysieren, bevor die angegebene Behauptung unter Bezug auf die Flächeninhaltsformel für Dreiecke oder auf adäquate Flächeninhaltsvorstellungen begründet zu bestätigen ist. Da die in der Aufgabe geforderte Argumentation auf allgemeiner Ebene stattfindet, wird die Aufgabe dem Anforderungsbereich III zugeordnet (vgl. Didaktische Handreichung zu TH III, Kap. 3, Aufgabe 7).

AB

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Potentielle Schwierigkeiten der Schüler können auf fehlendem bzw. nicht anwendungsbereitem mathematischen Wissen beruhen. Eine andere Ursache kann in ungenügend ausgebildeten Grundvorstellungen hinsichtlich des Flächeninhalts liegen. Im Folgenden analysieren wir einige Schülerlösungen.

Schülerantwort 1

Bei dieser Schülerlösung ist die getroffene Entscheidung falsch, und deren Begründung ist entsprechend unvollständig, da nur die Höhen nicht aber die Grundseiten der Dreiecke berücksichtigt werden. Für den Unterricht bedeutet dies, dass dem Schüler die Abhängigkeit des Flächeninhalts von der Grundseitenlänge und der Höhe einsichtig gemacht werden sollte. Dies kann besonders einfach durch den Einsatz einer dynamischen Geometriesoftware erfolgen, indem jeweils eine der beiden Größen variiert und ihr Einfluss auf die Größe des Flächeninhalts thematisiert wird. Anschließend können die Schüler Aufgaben wie beispielsweise „Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn die Länge der Grundseite verdreifacht wird? Begründe deine Antwort.“ selbständig bearbeiten. Da solche Aufgaben Lösungsansätze auf handelnder, zeichnerischer oder auch symbolischer Ebene ermöglichen, können Schüler unterschiedlichen Leistungsniveaus einen Zugang finden.

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Schülerantwort 2

Zwar hat der Schüler den Kern der Argumentation erkannt, verwendet in der weitergehenden Argumentation jedoch nicht die zugehörigen Höhen, um die übereinstimmenden Flächeninhaltsgrößen vollständig zu begründen. Zudem fehlt in der vorliegenden Schülerantwort die Feststellung, warum der Flächeninhalt des Dreiecks DFH dreimal so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks ABH. Daher ist es (wie auch bei der ersten Schülerantwort) naheliegend, sich diagnostisch zu vergewissern, inwieweit dem Schüler die Abhängigkeit des Flächeninhalts eines Dreiecks von dessen Grundseitenlänge und der Höhe bekannt ist. Es ist auch denkbar, dass dieser Schüler die Vorgehensweise beim Vergleich der Flächeninhalte von Rechtecken unkritisch anwendet und somit fälschlich schlussfolgert, dass bei zwei übereinstimmenden Seitenlängen auch die Flächeninhaltsgröße der Figuren (hier: Dreiecke) identisch ist. Für den Unterricht bedeutet dies, dass einem solchen Schüler die Tragweite von mathematischen Überlegungen bewusst zu machen ist. Hierzu bietet es sich an, anhand verschiedener Figuren zu hinterfragen, ob die zum Vergleich des Flächeninhalts von Rechtecken verwendbare Methode auch bei anderen Figuren genutzt werden kann, und die Schüler zu einer Begründung ihrer Entscheidung aufzufordern. Hinsichtlich der Arbeit mit Dreiecken können dabei auch die charakteristischen Merkmale besonderer Dreiecke (gleichschenkliger, gleichseitiger Dreiecke), die Kongruenz von Dreiecken oder Winkelbeziehungen am Dreieck wiederholt werden (vgl. Didaktische Handreichung zu TH III, Kap. 3, Aufgabe 17). Weitaus häufiger sind Schwierigkeiten, die sich auf noch nicht genügend ausgebildetes Metawissen hinsichtlich des Argumentierens (siehe oben) sowie auf Schwierigkeiten in der Verfügbarkeit allgemeiner Heuristiken zurückführen lassen (vgl. Reiss, 2002). So bereiten Schülern wesentliche mathematische Tätigkeiten, wie systematisches Denken, das Aufstellen von Vermutungen oder das geordnete Zusammenfügen von Fakten oft Schwierigkeiten. Auch das induktive Arbeiten, bei dem vom Einzelfall ausgehend auf allgemeine Zusammenhänge geschlossen wird, fällt Schülerinnen und Schülern häufig schwer. Dabei ist oft zu beobachten, dass mathematische Zusammenhänge nach dem Betrachten weniger zutreffender Beispiele vorschnell als allgemeingültig ausgewiesen werden. Ähnliche Probleme bereitet oft auch das deduktive und damit eher hypothesenprüfende Arbeiten, bei welchem spezielle Einzelerkenntnissen aus allgemeinen Zusammenhängen gefolgert werden. Bei formalen Beweisen führt auch die ungenügende Transparenz der verschiedenen Beweisformen (z. B. Beweis durch Widerspruch) bzw. deren charakteristischer Schrittfolge zu Schwierigkeiten. Sie zeigen sich in typischer Weise in lückenhaften Argumentationsketten, einer fehlenden Unterscheidung zwischen gegebenen Voraussetzungen und der Behauptung sowie Zirkelschlüssen. Die folgenden Schülerantworten zur Aufgabe „Zwei Kreise“ illustrieren typische Schülerfehler, die auf Schwierigkeiten beim Metawissen über den Charakter von Beweisen zurückgeführt werden können.

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Schülerantwort 3

Die Schülerantwort 3 deutet darauf hin, dass dem Schüler die Bedeutung eines Beispiels beim Beweisen in unterschiedlichen Beweissituationen (allgemeine Verifikation versus Falsifikation durch Angabe eines Gegenbeispiels) nicht bewusst ist. Um dieser Fehlerquelle entgegenzuwirken, ist es denkbar, im Unterricht verschiedene Formen von Aussagen durch das Betrachten verschiedener Beispiele explizit gegenüberzustellen und dabei wichtige Signalwörter (z. B. eine, immer, alle) herauszuarbeiten.

Schülerantwort 4

Diese vierte Schülerantwort lässt vermuten, dass die Argumentation aus der Anschauung heraus gewonnen wurde. Denn ausgehend von einer prinzipiell zielführenden dynamischen Herangehensweise, den Punkt H um ein Kästchen nach rechts bzw. nach links zu verschieben und auf dieser anschaulichen Ebene festzustellen, dass die beiden Dreiecke DAH und BFH zusammen doppelt so groß sind wie das Dreieck ABH, ist kein Bezug zu den Höhen und Grundseiten der drei Dreiecke hergestellt worden. Für den folgenden Unterricht bedeutet dies, dass dem Schüler eine Einsicht in den Aufbau einer stichhaltigen Begründung (u.a. in die Bedeutung von Argumentationsbasen) ermöglicht werden sollte. Dies kann man beispielsweise durch die Gegenüberstellung dieser Schülerantwort mit richtigen Argumentationen erreichen. Ähnlich wie beim Bearbeiten von Modellierungsaufgaben (vgl. Handreichung Vera 8 Mathematik 2009, Kap. 4) ist es empfehlenswert, die Vorgehensweise beim Begründen auf einer Metaebene zu reflektieren, dabei den bisherigen Lösungsweg zu beleuchten und weitere mögliche Schritte (ggf. unkommentiert als Ideenpool) zu sammeln. In diesem Zusammenhang können auch allgemeine heuristische Strategien herausgestellt werden, um die Schüler in der weiteren Arbeit zu unterstützen. Eine weitere zentrale Schwierigkeit liegt in der Unterscheidung zwischen gegebenen Voraussetzungen und zu begründenden/ beweisenden Behauptungen. Dabei besteht ein immer wieder anzutreffender Fehler darin, die Behauptung als Voraussetzung zu verwenden und aus dieser eine wahre Aussage zu folgern. Dies kann sowohl bei rechnerischen als auch bei begrifflichen Ansätzen auftreten, wie anhand der folgenden beiden Schülerantworten 5 und 6 deutlich wird.

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Schülerantwort 5

Schülerantwort 6

Bei derartigen Fehlern bietet es sich an, im Unterricht den korrekten Aufbau einer Begründung zu verdeutlichen und hierbei insbesondere auch den Unterschied zwischen einer Aussage und ihrer Umkehrung herauszustellen. Dies kann gut unter Bezug auf nicht-mathematische Beispiele erfolgen, wie z. B. mit Aussagen der Art „Wenn es regnet, werde ich nass.“ im Kontrast zu „Wenn ich nass bin, hat es nicht notwendig geregnet.“ Konsequenzen für den Mathematikunterricht Der Aufbau der Kompetenz Argumentieren ist ein langfristig und systematisch anzulegender Prozess, der bereits in der Grundschule beginnt und in der Sekundarstufe I und II fortgeführt wird (siehe dazu: Bruder, 2006). Dazu ist es sehr wichtig und notwendig, das Argumentieren durch immer wiederkehrende Fragen der Art „Warum ist das so?“ oder der Aufforderung „Begründe, warum…“ zu einer immanenten Aktivität im Mathematikunterricht zu machen und somit Teil des „Alltagsgeschäfts“ werden zu lassen (vgl. Reiss, 2009). Im Rahmen einer derartigen „Begründungskultur“ im Unterricht kann der Aufbau der Kompetenz Argumentieren in der Sekundarstufe 1 beispielsweise folgendermaßen strukturiert werden (angelehnt an: Niedersächsisches Kultusministerium, 2006):

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Ende des 6. Schuljahr Zusätzlich Ende des 8. Schuljahres

Zusätzlich Ende des 10 Schuljahres

Schüler… Schüler… Schüler… Schüler…

…hinterfragen mathematische Aussagen

stellen mathematische Vermutungen an, ziehen mathematische Vermutungen in Zweifel, stellen Fragen wie „Gib es…?“, „Ist das immer so...?“ oder „Was passiert, wenn…?“.

präzisieren Vermutungen, um sie mathematisch prüfen zu können, stellen Fragen wie „Gibt es Gegenbeispiele?“ oder „Wie lautet die Umkehrung der Aussage?“.

unterscheiden zwischen experimentell gewonnenen Vermutungen und logischen Schlussfolgerungen, stellen Fragen wie „Gibt es Spezial- oder Extremfälle?“.

…argumentieren

geben Beispiele an, um eine Behauptungen zu stützen, belegen die Allgemeingültigkeit von Aussagen anhand von typischen Beispielen, führen realitätsbezogene Beweise, stellen kombinatorische Überlegungen zur Sicherung der Vollständigkeit an, widerlegen falsche Aussagen durch ein Gegenbeispiel.

unterscheiden zwischen Aussagen, Definitionen und Sätzen, unterscheiden bei „Wenn-dann-Aussagen“ zwischen Voraussetzung und Behauptung, kehren Sätze um und überprüfen deren Gültigkeit, finden Fehler in falschen oder Lücken in unvollständigen Argumentationen und korrigieren diese, wählen richtige Argumentationen aus, begründen Aussagen in begrenzten Inhaltsbereichen durch vorliegende Sätze.

führen Fallunterscheidungen durch, suchen und untersuchen Spezial- und Extremfälle,arbeiten mit Variablen, um die Allgemeingültigkeit von Aussagen zu zeigen, führen ausgewählte direkte und indirekte Beweise durch, bewerten Argumentationen hinsichtlich ihrer Schlüssigkeit.

Die verschiedenen Darstellungsformen einer mathematischen Argumentation (handlungsbezogen, zeichnerisch, symbolisch) machen das Argumentieren in jeder Schulstufe bei allen Schülern in „intellektuell ehrlicher Form“ möglich. So können sich Argumentationen insbesondere in den niedrigeren Jahrgangsstufen vor allem auf Handlungen, Bilder, Realitätserfahrungen oder Ähnliches beziehen oder können beispielbezogen erfolgen. In höheren Jahrgängen können dann Definitionen und Sätze als Argumentationsbasen herangezogen werden. Dabei ist es wichtig, neben der Begründung selbst auch ihre typische Schrittfolge bzw. Strategie zu thematisieren, um den Schülern den Aufbau des für mathematische Argumentationen grundlegenden Metawissens zu ermöglichen. In diesem Rahmen kann den Schülern insbesondere der Unterschied zwischen Voraussetzungen und Behauptungen deutlich gemacht und können logische Schlussfolgerungen sowie verschiedene Argumentationsmuster bzw. Beweisformen näher gebracht werden15. Nur wenn der Prozess selbst zum Unterrichtsinhalt gemacht wird, können die Schüler flexibles, d. h. in anderen Situationen anwendbares Wissen und adäquate Problemlösestrategien erwerben (vgl. Reiss, 2002). Ein langfristig angelegter Kompetenzaufbau bedarf ohnehin nicht nur geeigneter Aufgaben und Materialien, sondern auch einer kompetenzorientierten Unterrichtskultur, die gewissen Qualitätskriterien genügt (siehe hierzu: HKM, 2007; Blum, 2006). Insbesondere ist es notwendig, den Schülern immer wieder eine eigenständige und intensive Auseinandersetzung mit den Problemstellungen zu ermöglichen und dabei Irrwege und Fehler, die wiederum vielfältige Möglichkeiten des Begründens bieten, zuzulassen (siehe hierzu: Herget, 2006). Die folgenden Aufgaben-Beispiele sollen mögliche Stationen eines systematischen Aufbaus der Kompetenz Argumentieren im Verlauf der Schulzeit veranschaulichen. Sie stammen alle aus dem

15 Eine Möglichkeit, dieses Metawissen von den Schülern weitgehend selbstständig erarbeiten zu lassen, bietet die Mathewelt „Beweisen lernen“ In: mathematik lehren, Heft 155, Seelze 2009.

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Stoffgebiet der Geometrie; dies ist der Bereich, in dem das Argumentieren im Mathematikunterricht meist zum ersten Mal eine bedeutendere Rolle spielt. Des Weiteren ermöglichen geometrische Fragestellungen häufig ein Argumentieren auf unterschiedlichen Darstellungsebenen, wodurch verschiedenen Lerntypen und unterschiedlich leistungsstarken Schülern geeignete Lernangebote gemacht werden können. Die folgende Aufgabe „Punktsymmetrie“ eignet sich für das frühe Stadium des Kompetenzaufbaus und kann bereits in der Jahrgangsstufe 5 behandelt werden, da sie den Schülern die Möglichkeit gibt, durch Ausschneiden und Bewegen der Figuren zu überprüfen, ob diese punktsymmetrisch sind oder nicht. Auf diese praktischen Erfahrungen kann auch im Rahmen der Begründung verwiesen werden, wodurch die Aufgabe auch lernschwächeren Schülern die Möglichkeit gibt, Erfahrungen im Argumentieren zu sammeln. Die Anforderungen an das Argumentieren bewegen sich auf eher reproduktivem Niveau. Durch Aufforderungen wie beispielsweise „Verändere die nicht punktsymmetrischen Vierecke so, dass punktsymmetrische Figuren entstehen“, „Ergänze weitere punktsymmetrische Vierecke“ oder Fragen der Art „Welche der Vierecke sind sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch?“ können weitere Kompetenzen trainiert und differenzierende Lernangebote geschaffen werden.

Das folgende Aufgabenbeispiel soll illustrieren, wie mit Schülern bereits in der Jahrgangsstufe 5 ausgelotet werden kann, ob und inwieweit Beispiele oder Gegenbeispiele beim Beweisen herangezogen werden dürfen16. Hierbei sind All-Aussagen und Existenz-Aussagen zu unterscheiden. Während bekanntlich bei All-Aussagen die Angabe eines Beispiels nicht genügt, wohl aber die Angabe eines Gegenbeispiels zur Widerlegung, genügt bei einer Existenz-Aussage die Angabe eines Beispiels zu deren Begründung. Die vorliegende Aufgabe fordert zur Untersuchung einer All-Aussage auf.

Die typische Lösungsstrategie „Angabe eines Gegenbeispiels“ kann den Schülern anhand eines solchen Beispiels gut nahe gebracht werden. Kontrastierend können in diesem Zusammenhang auch richtige Existenz-Aussagen, zu deren Beweis ein Beispiel ausreicht, wie beispielsweise „Es gibt eine gerade Zahl, die auch Primzahl ist.“ betrachtet werden. Der Unterschied zwischen All-Aussagen und Existenz-Aussagen kann anhand weiterer Beispiele herausgearbeitet werden, wobei es sich anbietet, Schüler auch selbst solche Aussagen formulieren zu lassen. Die folgende Aufgabe „Rechteck“ kann in der Jahrgangstufe 7 – beispielsweise im Rahmen einer Unterrichtssequenz zum Thema Zuordnungen – behandelt werden. Sie ermöglicht nach einer Heranführung an den Problemkontext durch die Teilaufgabe a) eine einfache Argumentation anhand der Graphik oder einer Rechnung (vgl. Didaktische Handreichung zu TH I, Kap. 3, Aufgabe 13).

16 Informationen zur Bedeutung von Beispielen beim Beweisen können dem Artikel Krumsdorf (2009) entnommen werden.

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a)

b)

Neben der Arbeit mit der Grafik sowie Rechnungen können (nicht nur bei Schwierigkeiten) auf einem Geobrett (Steckbrett) verschiedene flächeninhaltsgleiche Rechtecke gespannt werden. Ordnet man diese so an, dass sie „links unten“ alle einen gemeinsamen Eckpunkt haben, liegen die diagonal gegenüberliegenden Eckpunkte alle auf einer Hyperbel. Eine derartige Auseinandersetzung mit der Problemstellung ermöglicht den Schülern auch einen handelnden Zugang zur Problematik und erleichtert ihnen so das Finden von Argumenten. Alternativ ist auch ein zeichnerischer Zugang über das Umlegen von Teilflächen eines gezeichneten Rechtecks mit dem vorgegebenen Flächeninhalt zu einem Rechteck mit einer Länge von 40 cm denkbar, so dass Schüler unterschiedlichen Lerntyps angesprochen werden können.

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Sollen die Schüler sukzessive an schwierigere Argumentationen eines höheren Abstraktionsniveaus bis hin zu formalen Beweisen herangeführt werden, bietet sich die Arbeit mit gegebenen Beweisbeispielen an. So können die Schüler aufgefordert werden, verschiedene vorgegebene Begründungen eines Sachverhalts zu bewerten und ggf. zu korrigieren. Hierbei kann das Augenmerk sowohl auf die methodische Komponente einer Begründung (z. B. Schlüssigkeit) als auch auf die fachliche Komponente gelegt werden. Letzteres wird durch die Aufgabe „Parallelogramm ohne Symmetrieachse“ illustriert. Sie erfordert es, die Eigenschaften von Parallelogrammen hinsichtlich ihrer Bedeutung für das Vorhandensein einer Symmetrieachse (und somit von zwei Symmetrieachsen) zu überprüfen und dabei die auf allgemeiner Ebene angegebenen Begründungen zu bewerten. Dabei muss bedacht werden, dass es sich bei Rauten, Rechtecken und Quadraten um besondere Parallelogramme handelt.

Um den Aufbau des für mathematische Argumentationen und Beweise nötigen Metawissens zu fördern, ist es wie schon gesagt wichtig, den Schülern den Gesamtprozess des Führens einer mathematischen Argumentation bzw. eines Beweises immer wieder näher zu bringen. Hierzu bietet es sich an, den Prozess in einzelne Sequenzen selbständigen Arbeitens zu teilen und wichtige Arbeitsschritte sowie gesammelte Ergebnisse in Plenumsphasen zusammenzutragen und zu diskutieren. Dies kann beispielsweise anhand einer noch stärker geöffneten Form der Aufgabe „Zwei Kreise“ (siehe oben) geschehen, indem den Schülern der Problemkontext präsentiert wird und sie dann aufgefordert werden, den Zusammenhang zwischen den Größen der Flächeninhalte der Dreiecke DFH und ABH selbstständig zu erforschen. Wird hierbei ein dynamisches Geometrieprogramm eingesetzt, können die Schüler verschiedene Beispiele erzeugen und die Vermutung über den Zusammenhang der Flächeninhalte selbständig aufstellen und sammeln. Dabei gilt es zunächst zu klären, was man über den Flächeninhalt eines Dreiecks und dessen Berechnung weiß, hier beispielsweise dessen Abhängigkeit von der Länge der Grundseite und der Höhe. Auftretenden Schwierigkeiten in Bezug auf die hier wesentlichen Variablen kann mit zielführenden Leitfragen (z. B.: Was kannst du über die Höhen der Dreiecke aussagen? Welche Eigenschaften haben diese Dreiecke? etc.) seitens der Lehrkraft oder aber der pauschalen Angabe von wichtigen wie auch unwichtigen Formeln, Sätzen und Definitionen begegnet werden. Werden diese Hilfen (beispielsweise in Form von Tippkarten) im Klassenraum zur Verfügung gestellt, können die Schüler selbstständig über ihre Nutzung entscheiden. Gleichzeitig entstehen hierdurch Freiräume für gezielte, diagnostisch verwertbare Unterrichtsbeobachtungen seitens der Lehrkraft. Der Abgleich der gesammelten Aussagen und der Ergebnisse des experimentellen Arbeitens (z. B.: Voraussetzungen, fachliche Hintergründe, Argumentationsschritte) kann dann zu einer Argumentationsidee führen. Die Schüler können die Ergebnisse dieser Unterrichtsphase dann selbständig verschriftlichen. Treten bei der Notation der Argumentation Schwierigkeiten auf, kann

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den Schülern auch eine Art Lückentext oder ein Argumentationsanfang zur Verfügung gestellt werden. Ergänzend ist es ebenfalls denkbar, fehlerhafte Schülerantworten (Beispiele siehe oben) im Unterricht aufzugreifen und mit den Schülern zu diskutieren. Dies ermöglicht es, Heuristiken hervorzuheben und verschiedene Argumentationsformen vorzustellen. So stellt das Messen von Längen in verschiedenen Dreiecken mit anschließenden Flächeninhaltsberechnungen (vgl. Schülerantwort 3, S. 79) natürlich keine angemessene Argumentation auf allgemeiner Ebene dar, wohl aber eine Möglichkeit, sich die gegebene Situation klar zu machen und die gegebene spezifische Problemstellung zu verstehen. Auch das Arbeiten mit Skizzen, das Untersuchen von Folgerungen mit Hilfe verschiedener Beispiele und das systematische Probieren als mögliche Heuristiken können anhand dieser Aufgabe geübt werden. Für einen langfristig und systematisch angelegten Aufbau der Kompetenz Argumentieren ist es natürlich notwendig, deren Entwicklungsstand regelmäßig zu erheben. Hierzu sind neben zentral gestellten Tests wie Vera vor allem gezielte Unterrichtbeobachtungen notwendig. Sie erfordern nicht nur den Einsatz geeigneter Aufgaben, sondern auch die Wahl von Methoden und Organisationsformen, die der Lehrkraft genügend Freiräume für Beobachtungen gewähren (siehe hierzu: Sjuts, 2006). Dies kann beispielsweise durch den Einsatz von Partnerdiagnosebögen erreicht werden (siehe hierzu: Reiff, 2008). Ein solcher Bogen beinhaltet verschiedene Behauptungen, die von den Schülern zunächst in Einzelarbeit begründet als richtig oder falsch auszuweisen sind. Anschließend können die Lösungen in Paaren ausgetauscht und diskutiert sowie selbstständig korrigiert werden. So werden in natürlicher Weise zahlreiche Kommunikations- und Argumentationsanlässe geschaffen. In einer abschließenden Kontrolle der Bögen kann die Lehrkraft den Schülern gezielte Hilfestellungen geben und mögliche Ansatzpunkte für die weitere Arbeit gewinnen. Der folgende Partnerdiagnosebogen kann in der Jahrgangsstufe 7 oder 8 zum Thema „Dreiecksgeometrie“ eingesetzt werden. Die im Rahmen seiner Bearbeitung erforderlichen Argumentationen erstrecken sich von der Analyse aufgetretener Rechenfehler und deren Erläuterung über die Angabe von Gegenbeispielen bis hin zu begrifflichen Argumentationen.

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Partneraufgaben zur Dreiecksgeometrie Name: ____________________________Partner:____________________________

• Bearbeite die Aufgaben zunächst alleine. • Suche dir einen Partner und vergleicht eure Lösungen. Berichtige Fehler mit einer

anderen Farbe. Benutze keinen Tintenkiller.

Behauptung richtig falsch Begründung/ Nachweis

Ein Dreieck, dessen Grundseite 6 cm lang ist und dessen Höhe 3 cm beträgt, hat einen Flächeninhalt von 18 cm2.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt 10 cm2. Wenn die Grundseite dieses Dreiecks 4 cm lang ist, dann muss das Dreieck 5 cm hoch sein.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Maßen g = 3 cm und h = 8 cm ist halb so groß wie der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten a = 3 cm und b = 8 cm.

Die Höhe eines Dreiecks zerlegt dieses immer in zwei rechtwinklige Teildreiecke.

Bei einem Dreieck mit einem rechten Winkel handelt es sich immer um ein gleichschenkliges Dreieck.

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein besonderes gleichschenkliges Dreieck.

Ein Dreieck mit den Winkeln α = 45°, β = 80° und γ = 70° kann es nicht geben.

Um ein Dreieck zu zeichnen, reicht es aus, die Längen der drei Dreiecksseiten zu kennen.

Sind die drei Winkel eines Dreiecks bekannt, ist dieses Dreieck eindeutig bestimmt.

Schlusswort Der hohe Stellenwert der Kompetenz Argumentieren beruht sowohl auf ihrer Bedeutung als ein Wesenszug des Faches Mathematik als auch auf ihrem Beitrag zum Verstehen von mathematischen Aussagen und Begriffen. Daher ist der Aufbau dieser Kompetenz eine zentrale Aufgabe im Mathematikunterricht aller Schulformen und Jahrgangsstufen. Die Bandbreite an Repräsentationsebenen und Argumentationsmustern bzw. Beweismethoden ermöglicht dabei alters- und schulformgemäße Vorgehensweisen. Die Wahl geeigneter Argumentationsformen wird durch eine regelmäßige Erhebung des Entwicklungsstands dieser Kompetenz auf Individual- oder Klassenebene erleichtert, wozu auch die zentralen Lernstandserhebungen einen Beitrag leisten sollen und können. Beim Gestalten des Lernprozesses sollte – wie immer so auch hier – auf eine möglichst selbständige Auseinandersetzung der Schüler mit den gegebenen Problemstellungen geachtet werden, weil nur so nachhaltiges Lernen erwartet werden kann. Neben dem nötigen Fachwissen ist das Augenmerk dabei vor allem auch auf den Aufbau von Metawissen zu richten, indem Argumentationen nicht nur durchgeführt werden, sondern auch zum Thema von Reflexionen gemacht werden.

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