Physikalisches Praktikum

Versuch 23

Prismen- und Gitterspektrometer

Praktikanten: Johannes Dorr Gruppe: 14mail@johannesdoerr.dephysik.johannesdoerr.de Datum: 29.09.2006

Katharina Rabe Assistent: Sebastian Geburtkathinka1984@yahoo.de

1 Einleitung

Dieser Versuch besteht aus zwei Teilen, namlich der Spektroskopie mit Hilfe eines Prismas sowie der mit einemGitter. Teilweise baut dieser Theorieteil auf dem des Protokolls zu Versuch 26, ”Beugung und Interferenz”, auf.

Spektroskopie ist ein sehr interessantes Thema, da es sowohl in der freien Natur vorkommt, beispielsweise beiden Reflektionen auf einer Seifenblase, aber auch in der Wissenschaft und Technik große Anwendung findet.

2 Theorie

2.1 Brechungsindex und Dispersion

Die Geschwindigkeit, mit der sich Licht fortbewegt, ist abhangig vom Medium, in dem es sich befindet. ImVakuum betragt sie 299.792.458ms−1, beispielsweise in Wasser ist sie hingegen rund ein Drittel langsamer. DerBrechungsindex (oder auch Brechzahl) beschreibt diese Eigenschaft des Mediums und ist definiert durch:

n =c0

c. (1)

1

Dabei ist c0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und c die im betreffenden Medium.

In der Regel ist der Brechungsindex frequenzabhangig, denn die Ausbreitungsgeschwindigkeit variiert mit ver-schiedener Wellenlange. Diesen Effekt nennt man Dispersion. Wahrend Vakuum dispersionsfrei ist und sichalso alle Frequenzen des weißen Lichts gleichschnell bewegen, lasst sich dieses beispielsweise mit Glasprismen insein Spektrum zerlegen, worauf im Folgenden eingegangen wird.

2.2 Prismenspektrometer

Figure 1: Brechung an einer Grenzflache

Wir betrachten zunachst eine Wellenfront, die Schrag auf ein zweites Medium auftrifft (Abbildung 1). Dabeihabe das erste Medium einen kleineren Brechungsindex als das zweite, also n1 < n2.

Da die Wellenfront schrag auftrifft, treten die Teile der Wellenfront nicht gleichzeitig in das zweite Mediumein. Am Beispiel der außersten Strahlen erkennt man leicht, dass in dem Zeitraum t zwischen dem Eintritt desersten und dem des zweiten Stahls beide Strahlen unterschiedliche Weglangen a bzw. b zurucklegen, da sich dieLichtgeschwindigkeiten unterscheiden. Hierbei entsteht eine Ablenkung der Richtung der Wellenfront, die sichnach Passieren der Trennschicht wieder geradlinig ausbreitet.

2.2.1 Snelliussche Brechungsgesetz

Das Snelliussche Brechungsgesetz gibt das Verhaltnis zwischen Einfalls- und Austrittswinkel an. Es ergibt sichaus den folgenden geometrischen Uberlegungen:

a = cos(π

2− α

)· S = sin (α) · S (2)

b = cos(π

2− β

)· S = sin (β) · S . (3)

Sei t definiert wie oben beschrieben, dann gilt:

a = c1 · t =c0

n1· t (4)

b = c2 · t =c0

n2· t . (5)

Hiermit ergibt sich schließlich das gesuchte Brechungsgesetz:

n2

n1=

sinα

sinβ. (6)

Die Formel gilt auch fur den Fall n1 > n2, dann ist der Austrittswinkel β großer als α. In Abbildung 1 hat mansich dies einfach als Umkehrung der Strahlrichtung vorzustellen.

2

Figure 2: Brechung an einem Prisma

2.2.2 Fraunhofersche Formel

Bei einem Prisma folgt nach der ersten Brechung noch eine zweite, bei der die Wellenfront wieder in dasAusgangsmedium ubergeht.

Geometrisch ist ein Prisma von der Seite betrachtet ein gleichschenkliges Dreieck. Die beiden Seiten, die dieWelle durchlauft, werden brechende Kanten genannt, sie schließen den brechenden Winkel ε ein. Wir stellen nunwieder ein paar geometrische Uberlegungen an:

π = ε +(π

2− β1

)+(π

2− β2

)⇒ ε = β1 + β2 . (7)

Fur δ, dem Ablenkungswinkel, ergibt sich:

δ = (α1 − β1) + (α2 − β2) = α1 + α2 − ε . (8)

Uns interessiert nun der Fall, bei dem der Ablenkungswinkel minimal ist, da in diesem Spezielfall leicht Aussagenuber den Brechungsindex gemacht werden konnen. Auf Grund des Minimus von δ gilt also:

dδ

dα1= 0 ⇒ 1 +

dα2

dα1= 0 ⇒ dα2

dα1= −1 . (9)

Eine ahnliche Formel erhalten wir fur die β-Winkel mit (7) und ε = const.:

β1 = ε− β2 ⇒ dβ1

dβ2= −1 . (10)

Mit dem Brechungsgesetz von Snellius (6) ergibt sich:

sin(α1) = nP · sin(β1) ⇒ cos(α1) dα1 = nP · cos(β1) dβ1 (11)sin(α2) = nP · sin(β2) ⇒ cos(α2) dα2 = nP · cos(β2) dβ2 , (12)

wobei wir fur den Brechungsindex der Luft nahern: nL ≈ 1. Durch Division von (11) mit (12) erhalten wir:

cos(α1)cos(α2)

· dα1

dα2=

cos(β1)cos(β2)

· dβ1

dβ2⇒ cos(α1)

cos(α2)=

cos(β1)cos(β2)

. (13)

Durch Quadrieren und weiteres Umformen von (13) erhalt man mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz (6):

cos2(α1)cos2(α2)

=1− sin2(α1)1− sin2(α2)

,cos2(β1)cos2(β2)

=1− sin2(β1)1− sin2(β2)

=n2

P − sin2(α1)n2

P − sin2(α2)(14)

⇒ 1− sin2(α1)1− sin2(α2)

=n2

P − sin2(α1)n2

P − sin2(α2). (15)

Fur den Brechungsindex eines Prismas gilt naturlich in der Regel nP 6= 1, weshalb die Gleichung nur furα1 = α2 =: α und dem entsprechend β1 = β2 =: β erfullt werden kann.

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Mit (8) und wiederum (6) ergibt sich dann:

α =δ + ε

2, β =

ε

2(16)

⇒ sin(

δ + ε

2

)= nP sin

( ε

2

)(17)

⇒ nP =sin(

δ+ε2

)sin(

ε2

) . (18)

Die Gleichung (18) ist die Fraunhofersche Formel. Sie gilt, um noch einmal zusammenzufassen, fur den Fall,in dem der Strahlengang symmetrisch ist, also Ein- und Ausfallswinkel gleich sind, und erlaubt dann denRuckschluss von dem Ablenkungswinkel auf den Brechungsindex des Prismas.

2.2.3 Dispersion

Figure 3: Brechung an einem Prisma

Die bereits angesprochene Dispersion D ist definiert als:

D =dn

dλ(19)

und gibt anschaulich an, wie sich der Brechungsindex eines Materials bei variierender Wellenlange andert.Als normal bezeichnet man die Dispersion, wenn D > 0, also langwelligeres Licht starker gebrochen wird.Dementsprechend bezeichnet man den Fall D < 0 als anormal.

Man definiert zusatzlich die Winkeldispersion DW , die die Abhangigkeit zwischen Ablenkungswinkel δ des Lichtsund seiner Wellenlange angibt:

DW =dδ

dλ. (20)

Mit (18) konnen wir fur die Winkeldispersion folgendermaßen umformen:

DW =dδ dn

dn dλ=

(dn

dδ

)−1dn

dλ=

(cos(

δ+ε2

)2 sin

(ε2

) )−1dn

dλ=

2 sin(

ε2

)cos(

δ+ε2

) dn

dλ. (21)

2.2.4 Auflosungsvermogen

Um ein moglichst scharfes Spektrum hinter dem Prisma beobachten zu konnen, wird die Strahlbreite d moglichstklein gewahlt, was durch einen Spalt am Anfang des Strahlenganges gewahrleistet wird. Als Bild erhaltenwir schließlich mehrere Abbildungen des Spalts in den Spektralfarben, da die verschiedenen Wellenlangen vomPrisma unterschiedlich stark gebrochen werden. Nun tritt jedoch auf Grund des Spalts der Effekt der Interferenz

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auf, weshalb noch weitere Abbildungen des Spalts, namlich weitere Haupt- und Nebenmaxima der Beugung,das Bild uberlagern.

Die Betrachtung der Interferenz ermoglicht es, sehr einfach das Auflosungsvermogen des Spektrometers zubestimmen. Dieses gibt anschaulich an, welcher Wellenlangenunterschied zweier Spektrallinien noch erkanntwerden kann, also welche Spektrallinien noch als getrennt wahrgenommen werden konnen. Definiert ist sie als:

A :=λ

∆λ, (22)

dabei ist ∆λ die Differenz von zwei Wellenlangen λ und eben λ + ∆λ, deren getrennte Beobachtung geradenoch moglich ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Hauptmaximum der Wellenlange λ gerade in das ersteMinimum der Wellenlange λ + ∆λ fallt.

Die Winkelposition des ersten Minimums beim Einzelspalt mit der Dicke d ergibt sich allgemein aus (sieheProtokoll 26, ”Beugung und Interferenz”):

αmin ≈ sinαmin =λ

d⇔ λ = αmin · d . (23)

Dieser Winkel wird immer von der optischen Achse gemessen, und ist damit auch die Winkeldifferenz zumnullten Maximum. Diese Winkeldifferenz, wir nennen Sie ∆α, verandert sich bei der Brechung am Prismanicht, da gleiche Wellenlangen gleich stark gebrochen werden.

Eine zweite Wellenlange λ+∆λ wird nun vom Prisma um ∆δ starker bzw. schwacher gebrochen. Dieser Winkelmuss nun mindestens so groß sein wie ∆α, also

∆δ ≥ ∆α , (24)

damit der Wellenlangenunterschied noch auflosbar ist. Mit der Winkeldispersion konnen wir den Wert von ∆δnahern:

∆δ = DW ·∆λ ⇔ ∆δ

DW= ∆λ . (25)

Es ergibt sich dann durch Einsetzten von (23) und (25) in (22):

A =d ·∆α ·DW

∆δ, (26)

und da im Extremfall ∆α = ∆δ gilt (gerade noch unterscheidbar), ergibt sich fur das Auflosungsvermogen:

A = d ·DW

(=

2 sin(

ε2

)cos(

δ+ε2

) dn

dλ

). (27)

Die Winkeldispersion ist von der Form des Prismas abhangig. Um diese in eine quantitative Form zu bringen,verwenden wir die effektive Basisbreite. Sie ist im Prisma die Grundseite B des in Abbildung 3 gezeigtenDreiecks. Sie hangt nur von der Geometrie des Prismas und der Breite d des Lichtstrahls ab und ist damit einegut handhabbare Große. Fur die Seitenlange S, also die Lange des vom Licht durchwanderten Seitenabschnittsdes Prismas, gilt:

S =d

sin (ϕ)=

d

sin(

π2 − α

) =d

cos (α)=

d

cos(

δ+ε2

) . (28)

Fur die effektive Basisbreite B ergibt sich damit:

B = 2 · sin( ε

2

)· S = 2d ·

sin(

ε2

)cos(

δ+ε2

) . (29)

Hiermit ergibt sich dann fur das Auflosungsvermogen (27) in Abhangigkeit von der effektiven Basisbreite undder Dispersion des Materials:

A = Bdn

dλ. (30)

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2.3 Gitterspektrometer

Figure 4: Interferenz am Gitter

Ausfuhrlichere Beschreibungen und Herleitungen der Phanomene Beugung und Interferenz am Gitter sind imProtokoll 26, ”Beugung und Interferenz” zu finden.

Nach dem Huygens-Prinzip kann man jeden Punkt innerhalb einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuenElementarwelle auffassen. Trifft so eine Wellenfront beispielsweise auf ein Gitter, so nehmen wir vereinfachendan, dass sich auf dessen Ruckseite, ausgehend von den Lochern, mehrere Elementarwellen ausbreiten. Auf einemin einiger Entfernung montierten Schirm sind nun Interferenzmuster zu beobachten, die durch die Phasenun-terschiede, die wegen der unterschiedlichen Weglangen der Lichtstrahlen zu einem bestimmten Punkt auf demSchirm zu Stande kommen, entstehen. An einigen Stellen sind Intensitatsmaxima zu erkennen, wahrend ananderen Stellen vollkommene Dunkelheit herrscht.

Fur die Winkelposition eines Intensitatsmaximums gilt:

δmax ≈ sin δmax =k · λ

d, (k = 0, 1, 2, ...) . (31)

Fur die Minima gilt:

δmin ≈ sin δmin =k · λNd

, (k = 1, 2, 3, ...) . (32)

Offenbar sind die Positionen der Extremstellen der Intensitat von der Wellenlange λ des Lichts abhangig. Hintereinem Gitter kann demnach ein Spektrum beobachtet werden, da großere Wellenlangen starker gebrochen werdenals kleinere. Naturlich gilt dies nur fur Maxima mit einer Ordnung großer 0, denn das nullte Hauptmaximumliegt fur alle Wellenlangen auf der optischen Achse.

2.3.1 Auflosungsvermogen

Auch fur das Gitter konnen wir mit (31) eine Winkeldispersion errechnen:

DW =dδ

dλ=

k

d. (33)

Sie hangt von der Ordnung k der betrachteten Maxima ab.

Wir betrachten nun wieder zwei Wellenlangen λ und λ + ∆λ. Erstere wird um δ abgelengt, die zweite um ein∆δ starker. Naherungsweise konnen wir wieder angeben:

∆δ = DW ·∆λ ⇔ ∆λ =∆δ

DW. (34)

Dieses ∆δ muss großer oder gleich dem Winkel ∆α sein, der die Winkeldifferenz zwischen dem Ablenkungswinkelder Wellenlange λ und ihrem benachbarten Minimum angibt (siehe Abbildung 5). Da die Differenzen der

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Figure 5: Gitterspektrometer

Winkelpositionen der Intensitats-Extremstellen bei jeder Ordnung gleich ist (also die absolute Winkelpositionist proportional zu k), konnen wir auf Grund von (32) fur ∆α direkt angeben:

∆α =λ

Nd⇔ λ = ∆α ·N · d . (35)

Einsetzen von (34) und (35) in (22), Ersetzen mit (33) und das Betrachten des Extremfalls ∆δ = ∆α liefertschließlich fur das Auflosungsvermogen:

A(k) =∆α ·N · d ·DW

∆δ= N · k . (36)

Bei den vorangehenden Betrachtungen des Gitters als Speltrometer wurden nicht die Effekte des Einzelspalts be-trachtet. Diese verursachen, dass die Maxima mit steigender Ordnung an Intensitat abnehmen und somit immerschwerer zu beobachten sind, obwohl das Auflosungsvermogen rein mathematisch steigt. Beliebig hohe Ordnun-gen und damit beliebig große Auflosungen kann man zudem aus dem Grund nicht erreichen, dass naturlich nurMaxima mit Winkeln kleiner als 90◦ beobachtet werden konnen.

3 Durchfuhrung

3.1 Prismenspektrometer

1. Zunachst wird der Spektralapparat justiert; dabei wird mit der ersten Linse das Licht der Hg-Lampeauf den Spalt fokussiert. Hinter dem Spalt wird mit einer zweiten Linse paralleles Licht erzeugt, indemsie genau im Abstand ihrer Brennweite angebracht wird. Die dritte Linse wird nun so eingestellt, dassder Spalt im Okular scharf abgebildet wird. Die Positionen aller Linsen sind festzuhalten, da sie in derAuswertung benotigt werden.

2. Das Fadenkreuz des Okulars wird so eingestellt, dass es genau den Spalt markiert.

3. Nun wird das Prisma in den Strahlengang gebracht. Dieses ist so zu positionieren, dass derAblenkungswinkel minimal ist. Dies ist beim Drehen des Prismas daran zu erkennen, dass sich dortdie Bewegungsrichtung des Spalts im Okular gerade umkehrt. Dann wird der gesamte Schwenkarm aufeine der gelben Linien eingestellt.

4. Nun wird mit Hilfe des Feintriebs und des Fadenkreuzes der Abstand zur grunen Linie bestimmt. Dabeibleibt der Schwenkarm unbewegt.

5. Mit Hilfe eines zweiten Spalts wird die Breite des Lichtstrahls, der auf das Prisma fallt, so weit verkleinert,bis die beiden gelben Linien gerade noch getrennt wahrgenommen werden konnen.

6. Nun wird das Prisma aus dem Strahlengang entfernt und an die Stelle des erseten Spalts der zweite Spaltgestellt. Mit vorgesetztem Rotfilter wird sein Bild mit dem Okular vermessen.

Die beschrieben Punkte werden fur die Prismen aus Kronglas, leichtem und schweren Flintglas durchgefuhrt.

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3.2 Gitterspektrometer

1. Die Justierung gestaltet sich wie beim Prismenspektrometer (siehe oben).

2. Danach wird das Gitter in den Strahlengang gebracht. Es ist so zu montieren, dass es sich beim Bewegendes Schwenkarms nicht mitbewegt.

3. Es sind die Ablenkungswinkel der gelben, grunen und violetten Linie (Doppellinie) fur die 1., 4., und 8.Ordnung zu bestimmen.

4. Mit verschiedenen Spaltblenden wird diejenige bestimmt, bei der die beiden gelben Linien gerade nichtmehr getrennt wahrgenommen werden konnen. Dies ist ebenfalls fur die 1., 4., und 8. Ordnungdurchzufuhren.

4 Auswertung

4.1 Prismenspektrometer

Figure 6: Strahlengang beim Prismenspektrometer

4.1.1 Berechnung der Winkel (2.)

Der Winkel δ der Aperatur setzt sich aus dem der Dreheinrichtung und dem des Feintriebs am Okular zusammen.Den Feintrieb justierten wir bei Beginn des Versuchs mittig, sodass ein Gesamtwinkel von δ = 0◦ ebenfalls 0Grad an der Dreheinrichtung (also α = 0◦) und f0 = 25mm am Feintrieb entspricht. Allgemein gilt fur dengemessenen Winkel δ die Formel:

δ = α + arctan(|f − f0|

l

), (37)

wobei l die Entfernung des Okulars zum Prisma und f der abgelesene Wert am Feintrieb ist.

Die folgende Tabelle zeigt die verschiedenen gemessenen Ablenkungswinkel an verschiedenen Prismen:

Prisma Ablenkwinkel Gelb ∆δGelb−Gruen

Kronglas 41,8(1)◦ 0,12(5)◦

Schweres Flintglas 51,1(1)◦ 0,35(5)◦

Leichtes Flintglas 47,5(1)◦ 0,17(5)◦

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4.1.2 Winkelabstand der gelben Linien (3.)

Da wir davon ausgehen, dass die Winkeldispersion konstant ist, gilt fur die Differenzen der Wellenlangen undAblenkungswinkel der drei verschiedenen Spektrallinien (grun, gelb und gelb’):

∆δgelb−gruen

∆λgelb−gruen=

∆δgelb−gelb′

∆λgelb−gelb′. (38)

Anhand der Messsung der Winkeldifferenz ∆δgelb−gruen zwischen der gelben und der grunen Spektrallinie konnenwir mit Kenntnis uber die Wellenlangen (siehe Skript) auf den Abstand der beiden gelben Linien schließen.

Wir erhalten die folgenden Werte:

Kronglas: ∆δgelb−gelb′ = 0,008(3)◦

Schweres Flintglas: ∆δgelb−gelb′ = 0,023(3)◦

Leichtes Flintglas: ∆δgelb−gelb′ = 0,012(3)◦

Fur den Vergleich unserer errechneten Winkeldispersion konsultierten wir den Hersteller, der auf seinerInternetseite angibt, wie groß die Differenz der Ablenkungswinkel der Spektrallinien von 480nm und 643,8nmist. Damit erhalten wir die Herstellerangabe der Winkeldispersion der verschiedenen Prismen.

Prisma Berechnete Winkeldispersion Herstellerangabe AbweichungKronglas: 0,0038(16)◦nm−1 0,0044◦nm−1 14%Schweres Flintglas: 0,0109(16)◦nm−1 0,0183◦nm−1 40%Leichtes Flintglas: 0,0059(16)◦nm−1 0,0104◦nm−1 49%

4.1.3 Berechnung der Spaltbreite (4.)

Figure 7: Messung der Spaltbreite

Da das Auflosungsvermogen, das wir weiter unten bestimmen wollen, sowohl von der Dispersion des Prismasals auch von der effektiven Basislange, die sich ja aus der Breite S des Lichtflecks ergibt, die wiederum aus derSpaltoffung (=Breite der Wellenfront) d resultiert, wahlt man diesen minimal. Dazu wurde der zweite Spaltso weit geschlossen, bis die beiden gelben Linien gerade noch als getrennt beobachtet werden konnten. Um dieso eingestellte Spaltbreite d zu erhalten, wurde dieser im Strahlengang ohne Prisma vermessen (siehe Durch-fuhrung). Durch das Versetzen des Spalts konnen wir diesen vergroßert im Okular betrachten und vermessen.Mit der folgenden Formel berechnen wir aus der Große b′ der Abbildung die wirkliche Große b:

b =f2

f3· b′ , (39)

wobei f2 und f3 die Brennweiten der Linsen sind. Wir erhalten die folgenden Werte fur die Spaltoffnnungen:

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Prisma SpaltoffnungKronglas: 9,72(57)mmSchweres Flintglas: 3,97(23)mmLeichtes Flintglas: 3,55(21)mm

Die Fehlerangabe berechnet sich wie folgt:

σb =

√(b′ · σf2

f3

)2

+(

b′ · f2 · σf3

f23

)2

+(

f2 · σb′

f3

)2

, (40)

4.1.4 Auflosungsvermogen (5.)

Das tatsachliche Auflosungsvermogen errechnet sich aus:

Atat. =λgelb

λgelb − λgelb′. (41)

Mit den Angaben aus dem Skript fur die Wellenlangen λgelb und λgelb′ erhalten wir:

Atat. = 274,4

Fur das theoretische Auflosungsvermogen gilt:

Atheo. = B ·∣∣∣∣dn

dλ

∣∣∣∣ , (42)

wobei B die effektive Basisbreite und dndλ die Dispersion ist. Da die drei Seitenlangen des Prismas gleich lang

sind, ist die effektive Basislange gleich der Breite S des Lichtflecks auf dem Prisma. Fur die Umrechnungzwischen Dispersion D und Winkeldispersion DW gilt:

D =dn

dλ=

DW · cos( δ+ε2 )

2 · sin( ε2 )

. (43)

Da das Auflosungsvermogen sowohl von der Dispersion des Prismas als auch von der effektiven Basislange, diesich ja aus der Breite S des Lichtflecks ergibt, die wiederum aus der Spaltoffung (=Breite der Wellenfront) dresultiert, haben wir letztere minimal gewahlt. Dazu wurde der zweite Spalt so weit geschlossen, bis die beidengelben Linien gerade noch als getrennt beobachtet werden konnten. Um die so eingestellte Spaltbreite d zuerhalten, wurde dieser im Strahlengang ohne Prisma vermessen (siehe Durchfuhrung). Fur die d ergibt sich ausden optischen Gesetzen (b=Bildweite, g=Gegenstandsweite):

4.1.5 Maximales Auflosungsvermogen (6.)

Das maximal erreichbare Auflosungsvermogen ergibt sich mit der maximalen geometrischen Basislange. Daes bei unserem Prisma in der Strahlenebene um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ist diese also genau sogroß wie eine Seitenlange a, also gilt: Bmax = a = 6cm. Mit (42) und (43), den Werten aus 4.1.2 sowie denHerstellerangaben fur die Winkeldispersion DW ergeben sich somit die folgenden Werte (ε = 60◦):

Prisma max. AuflosungsvermogenKronglas: 0,0000(00) · 10−0

Schweres Flintglas: 0,0000(00) · 10−0

Leichtes Flintglas: 0,0000(00) · 10−0

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4.2 Gitterspektrometer

4.2.1 Berechnung der Winkel (1.)

Die Ablenkungswinkel ergeben sich aus den Einstellungen am großen Arm und denen am Feintrieb:

Ordnung ∆α (Abstand gelb-gelb) ∆β (Abstand gelb-grun)1. 2,868◦ 0,1◦

4. 2,870◦ 1,7◦

8. 2,910◦ 1,5◦

4.2.2 Berechnung der Gitterkonstanten (2.)

Bei der Interferenz an einem Gitter gilt fur die Position αmax des k-ten Maxima:

α ≈ sinαmax =k · λ

g⇒ g =

k · λsinαmax

≈ k · λαmax

. (44)

Die Gitterkonstante lasst sich also anhand der gemessenen Winkel errechnen. Dazu verwenden wir die jeweiligenWinkeldifferenzen zwischen den beiden gelben sowie zwischen den gelben und den grunen Linien:

g =k ·∆λgelb−gelb

∆α(45)

g =k ·∆λgelb−gruen

∆β. (46)

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse fur die Gitterkonstante:

Ordnung Betrachtete Linien Gitterkonstante g1. gelb-gelb 7,6034 · 10−6m

gelb-gruen 1,890 · 10−5m4. gelb-gelb 1,771 · 10−5m

gelb-gruen 1,080 · 10−5m8. gelb-gelb 1,441 · 10−5m

gelb-gruen 1,009 · 10−5m

Der erste Wert tanzt ein wenig aus der Reihe. Dort waren die beiden Linien kaum zu unterscheiden,weshalb wir schatzen mussten, was uns offenbar nur maßig gelungen ist. Aus diesem Grund ignorieren wirdiesen Wert. Der Mittelwert der restlichen Werte betragt:

g = 1,438(177) · 10−5m

4.2.3 Auflosungsvermogen (3. und 4.)

Das theoretische Auflosungsvermogen A eines Gitters ergibt sich aus:

A = N · k , (47)

dabei ist N die Anzahl der beleuchteten Spalte und k das betrachtete Maximum, bei denen zwei Wellenlangenmit der Differenz ∆λ gerade nicht mehr als getrennt wahrgenommen werden konnen. Fur die Maxima 1.,

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4., und 8. Ordnung haben wir jeweils verschiedene Spaltblenden probiert und damit die Breite der auf dasGitter auftreffenden Wellenfront varriiert, bis die oben stehende Bedingung erfullt war. Um von der passendenSpaltoffnung dmin auf die Anzahl der beleuchteten Spalte N zu schließen, rechnen wir einfach: N = dmin

g .

Fur die erste Ordnung konnten wir keine Messung durchfuhren, da wir dort die zwei gelben Linien (auch ganzohne Blende) nicht als zwei zu sehen waren. Fur die beiden anderen Ordnungen ergeben sich die folgendenAuflosungsvermogen:

Ordnung Auflosungsvermogen A4. A = 347(43)8. A = 417(51)

Der Fehler ergibt sich hier bei aus:

σA =dmin · k

g2· σg , (48)

wobei sich der Fehler σg aus der Angabe oben ergibt.

Fur das tatsachliche Auflosungsvermogen gilt:

Atat. =λgelb

λgelb − λgelb′. (49)

Hierfur erhalten wir einen Wert von:

Atat. = 274,44

Das maximale Auflosungsvermogen erreicht man mit einem komplett ausgeleuchteten Gitter. Dieses hateine Große von 1,5cm. Damit ergibt sich:

Amax. = 1043(128)

4.2.4 Wellenlange der violetten Linie (5.)

Aus der errechneten Gitterkonstante g sowie den gemessenen Winkeln ϕ der violetten Linie konnen wir nun ihreWellenlange bestimmen:

λ =g · sinϕ

k. (50)

Hierfuhr erhalten wir die folgenden Werte:

Ordnung Winkel ϕ Wellenlange λ1. 1,0◦ 250, 00(30)nm4. 10,3◦ 642,79(79,11)nm8. 21,6◦ 661,70(84,44)nm

Der gewichtete Mittelwert ergibt:

λ = 335,39(14,44) · 10−5m

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5 Diskussion

Trotz interessanter Thematik ist dies einer der nervenaufreibendsten Versuche, speziell in der Auswertung.Dieser Versuch leistet sicherlich seinen Beitrag dazu, dass Optik bei vielen Studenten verhasst ist.

Bei der Durchfuhrung sind die gefragten Linien teilweise sehr schwer zu erkennen. Die Justierung des Prismaskonnte durch eine spezielle Fassung auf der Drehscheibe stark vereinfacht werden. Die Auswertung ist sehraufwandig und bietet so gut wie keinen Lerneffekt. Diesen bietet nur das Schreiben des Theorieteils, motiviertdurch die Ratsel, die einem das gewohnt luckenhafte Praktikumsskript aufgibt.

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