Versuch 233 Fourieroptik - Heidelberg University

Physikalisches Anfangerpraktikum der Universitat Heidelberg - Praktikum II Versuch 233 Fourieroptik

Versuch 233

Fourieroptik

Diodenlaser

Objekt

Analysierspalt

Strahlteiler-Würfel

Abbildung 1: Versuchsaufbau: optische Bank.

I Messaufbau

• Singlemode Glasfaser-gekoppelter Diodenlaser mit regelbarer Stromversor-gung und Justieroptik fur einen Parallelstrahl

• Ein Satz Beugungsobjekte: Spalte (fest/mit veranderlicher Breite), Dop-pelspalt, Gitter, Kreuzgitter, Spalt mit gaussformigem Transmissionsprofil

• Verschiedene spharische und Zylinder-Linsen

• Strahlteiler

Abbildung 2: Versuchsaufbau: Zeilenkamera mit Zylinderlinse.

• Graufilter

• Spiegel

• Verschiedene Fest-Reiter

• Feinjustierbare Verschiebereiter

• Symmetrisch offnender Analysierspalt

• Verschiedene schmale Metallstreifen als Modenblende

• SCCD-Zeilenkamera mit PC und Monitor zur Aufnahme von Beugungs-bildern und

”Objektbildern“, sowie Drucker

II Literatur

• Hecht,”Optics“, Addison-Wesley Publishing Company

• Klein-Furtak,”Optik“, Springer Verlag

• Demtroder,”Experimentalphysik 2“, Springer Verlag

• Homepage des Praktikumshttp://www.physi.uni-heidelberg.de/Einrichtungen/AP/info/Software.php

c© Dr. J. Kowalski, Dr. J.Wagner - Physikalisches Anfangerpraktikum - V. 1.0 Stand 03/2010

1


III Motivation

Der vorliegende Versuch soll zu einem vertieften Verstandnis der Theorie deroptischen Abbildung beitragen. Es wird dabei die Rolle der Beugung am Ob-jekt, also des abzubildenden Gegenstandes, beim Zustandekommen des Objekt-bildes untersucht. Das Beugungsbild des Objektes entsteht zum ersten Mal inder Brennebene einer Linse, die hinter dem Objekt aufgestellt ist. Es heißt–aus Grunden, die im Lauf der Lekture verstandlich werden sollen– auch

”Fou-

rierbild“, die Brennebene, in der es entsteht, nennt man”Fourierebene“. Ernst

Abbe, der Jenaer Physiker, der sich 1873 mit den Fragen der prinzipiellenAuflosung eines Mikroskopes befaßte, nannte das Beugungsbild das

”primare

Bild“ und das ubliche Bild des Objektes das”sekundare Bild“. In der Betrach-

tungsweise der Fourieroptik ist ein Bild, das von einer Linse entworfen wird,die Summe– das Integral– aller am Objekt gebeugten Teillichtbundel. Die Linseerfullt dabei nur die Funktion, diese Teilbundel im Endlichen– der Bildebene–zusammenzufuhren. Um zu untersuchen, welchen Beitrag die verschiedenenBeugungsordnungen zum entstehenden Bild liefern– also dessen Helligkeits-verteilung, Bildscharfe– erlaubt es der Aufbau, u.a. gezielt in der Fourierebeneeinzelne Beugungsordnungen auszublenden bzw. zuzulassen und am Bild zuverfolgen, wie sich dabei dessen Struktur andert.An dem formal besonders einfach zu behandelnden aber auch als Modell be-sonders wichtigen Objekt

”Spalt“ wird zunachst die Intensitatsverteilung uber

die Spaltbreite bei Zulassung einer zunehmenden Zahl von Beugungsordnun-gen zum Spaltbild mit einer empfindlichen CCD-Zeilenkamera gemessen. Diejeweils beobachtbaren charakteristischen Bildstrukturen konnen mit den Ergeb-nissen einer theoretischen Analyse verglichen werden, in welcher das Bild ausden jeweils zur Abbildung zugelassenen Beugungsordnungen wieder mehr oderminder vollstandig zusammengesetzt wird. Diese theoretische Analyse wird mitHilfe des Programms“Mathematica“ auf einem PC durchgefuhrt, wobei mit we-nigen Programmzeilen Fourierintegrale bestimmt und damit errechnete Spalt-bilder geplottet werden konnen. An dem etwas komplexeren aber immer nochmathematisch genau und einfach zu behandelnden Doppelspalt werden analo-ge Untersuchungen durchgefuhrt. Daruberhinaus wird an diesem Modellobjektdas Problem der Auflosung der Doppelstruktur experimentell sowie durch Si-mulationsrechnungen mit Mathematica untersucht.

IV Vorbereitung

Machen Sie sich vertraut mit den Themen der geometrischen Optik, der opti-schen Abbildung (Linsenformel, Abbildungsmaßstab), der Fraunhoferbeugungund den mathematischen Regeln der Fouriertransformation. Schauen Sie sichauch nochmals den Versuch

”Optische Abbildung“ an, den Sie im Praktikum I

durchgefuhrt haben.

V Aufgaben

Ein einfacher optischer Aufbau mit wenigen Linsen, einem Strahlteiler sowieeinem kleinen Diodenlaser als spektral schmale, intensive Parallellichtquelleermoglicht es, simultan sowohl das Beugungsbild des Objektes (hier Spalte,Gitter, Kreuzgitter etc.) als auch das ubliche Bild des Objektes selbst darzu-stellen. Durch Eingriffe in der

”Fourierebene“– das ist die Ebene, in der die

Beugungsstruktur erstmals auftritt– werden gezielt die Beitrage der einzelnenBeugungsordnungen zum Objektbild sichtbar gemacht und konnen quantitativverfolgt werden.Folgende Aufgaben sollen bearbeitet werden:

1. Aufbau der benotigten optischen Anordnung.

2. Registrierung und Ausmessung der Beugungsfigur eines Einfachspaltes miteiner CCD-Kamera.

3. Registrierung und Ausmessung des Spaltbildes mit der CCD-Kamera beigezielten Manipulationen (Ausblenden/Zulassen verschiedener Beugungs-maxima) in der

”Fourier-Ebene“ (Fouriersynthese).

4. Zu Aufgabe 2 und 3 analoge Untersuchungen an einem Doppelspalt. Auf-suchen von Beugungsfigur und Objektbild, zunachst mit dem Auge, dannmit der Kamera. Messungen zur Grenze der Auflosung der Doppelstruktur.

5. Quantitativer Vergleich der bei 2.) bis 4.) gemessenen Strukturen mit dentheoretisch zu erwartenden Intensitatsprofilen (u.a. Verwendung des Pro-grammes Mathematica). Simulation des Grenzfalles

”Verschwinden der

Doppelstruktur“ beim Doppelspalt mit Hilfe von Mathematica und Ver-gleich mit dem Experiment.


2


6. Qualitative Beobachtung verschiedener Beugungsobjekte bei Manipu-lationen in der Fourierebene (Liniengitter, Kreuzgitter, beugungsfreierSpalt,...).

VI Grundlagen

Die”klassische“ Theorie der Beugung

Prinzipiell gibt es zwei Versuchsanordnungen, mit denen sich Beugungserschei-nungen untersuchen lassen. Bei der Fresnelschen Beugung (Abbildung 3a), dieden allgemeinen Fall der Beugung beschreibt, befinden sich die Lichtquelle unddie Beobachtungsebene in einem endlichen Abstand zum beugenden Objekt.Diese Anordnung fuhrt dazu, dass die im Punkt A interferierende Lichtbundelunter verschiedenen Winkeln gebeugt werden. Die mathematische Behandlungdieser Beugungserscheinung ist daher außerst kompliziert. Einfacher gestaltetsich der Fall, wenn nur parallele Lichtbundel vorhanden sind. Bei diesersogenannten Fraunhoferschen Beugung (Abbildung 3b) befindet sich dieLichtquelle im Unendlichen, so dass das beugende Objekt von parallelemLicht beleuchtet wird. Da alle Lichtbundel parallel sind, interferieren diese imUnendlichen. Will man die Intensitatsverteilung in einem endlichen Abstandbeobachten, so ist dies mit einer Sammellinse hinter dem beugenden Objektmoglich. Die Beugungsstrukturen lassen sich dann in der Brennebene der Linsebeobachten (Denken Sie an die elementaren Linsengesetze: Parallelstrahlenwerden zu Brennpunktstrahlen). Uberlegen Sie sich, dass die Große derBeugungsstruktur von der Brennweite der verwendeten Linse abhangt.Wir wollen hier nur auf die Fraunhofersche Beugung eingehen und als Beispieldie Beugung an einem Spalt untersuchen.Ein Spalt (Abbildung 4) wird von einem parallelen und monochromatischenLichtstrahl der Wellenlange λ beleuchtet. Wir konnen infolgedessen sagen, dassalle Punkte des Spaltes mit gleicher Amplitude E0 und Phase ϕ = ωt erregtwerden:

E(Spalt) = E(y) = E0eiωt (1)

Die Breite des Spaltes d werde in y-Richtung gemessen, der Nullpunkt liege inder Mitte des Spaltes. Zudem soll die Lange sehr groß gegenuber der Breitesein, so dass das einfallende Lichtbundel nur in einer Dimension begrenzt wird.Gemaß dem Huygens- Fermat’schen Prinzip geht von jedem Punkt des Spalteseine Elementarwelle aus, deren Uberlagerung zu einer bestimmten Intensitats-

Beobachtungsebene

fparalleles

Licht

Linse

a

parallelesLicht

a

Beobachtungsebeneim Unendlichen

Beugungsobjekt

aLichtquelle

a2

1

Beobachtungsebene

a) b)

a1 a2=

Fresnelsche Beugung Fraunhofersche Beugung

A

A

Abbildung 3: a) Fresnelsche Beugung. b) Fraunhofersche Beugung. Die Beob-achtungsebene lasst sich mit Hilfe einer Linse aus dem Unendlichen auf einenendlichen Abstand verlegen.

verteilung im Unendlichen, bzw. in der Brennebene einer Linse, fuhrt. Wirmussen dazu alle Teilbundel untersuchen, die parallel zueinander in einer be-stimmten Richtung α laufen. Mathematisch bedeutet dies die Aufintegrationebener Wellen aus den Quellpunkten des Spaltes:

E∞(α) =

+d/2∫

−d/2

E0ei(ωt−kl)dy. (2)

Hierbei ist k = 2π/λ der Betrag des Wellenvektors. Aus Abbildung 4b istzu erkennen, dass ein bei y ausgehendes Lichtbundel gegenuber einem vomMittelpunkt des Spalts ausgehenden Lichtbundel einen Gangunterschied vony sinα aufweist. Fur die Weglange l gilt dann:

l = R+ y sinα. (3)


3


d2

+

d2

-

Spalt

d2

+

d2

-

l

Spalt

R

y

aa

y sin a

Schirm

a) b)

a

fy

D

D= a af tan ~ f sin

Abbildung 4: a) Fraunhofersche Beugung am Spalt. Das in Richtung α gebeug-te Parallellichtbundel wird auf einen Punkt in der Brennebene der Linse, imAbstand ∆ von der optischen Achse abgebildet. b) Detailansicht zur Ermittlungdes Gangunterschiedes eines von y ausgehenden Lichtbundels.

Einsetzen dieses Ausdrucks in Gleichung (2) und Ausfuhren des Integrals ergibt:

E∞(α) =E0ei(ωt−kR) e

−ik sinα d/2 − eik sinα d/2

−ik sinα(4)

=E0ei(ωt−kR) sin

(

πd sinα/λ)

π sinα/λ, (5)

wobei wir die Beziehunge±iδ = cos δ ± i sin δ (6)

benutzt haben. Setzen wir zur Abkurzung

x =d

λπ sinα (7)

so erhalten wir

E∞(x) = E0ei(ωt−kR) sinx

xd. (8)

Zur Bestimmung der Intensitat muss Gleichung (8) noch quadriert werden:

I∞(x) ∝sin2 x

x2d2 ∝ I0

sin2 x

x2, (9)

Spalt Linse Brennebeneder Linse

fx

I(x)

Abbildung 5: Intensitatsverteilung I(x) = I0 sin2(x)/x2 der Beugungsstruktur

eines Spalts in der Brennebene der Linse (Fourier- Ebene).

wobei I0 ∝ d2 ist.

Die Intensitatsverteilung ist in Abbildung 5 dargestellt.

Exkurs: Fourierreihen und Fourierintegrale

Aus der linearen Algebra ist Ihnen bekannt, dass ein Vektor durch eineLinearkombination von Basisvektoren dargestellt werden kann. Ahnlichesist Ihnen sicherlich auch schon in der Analysis begegnet. Auch hier gibtes Basissysteme, in denen sich Funktionen durch Linearkombination von

”Basisfunktionen“ darstellen lassen. Am bekanntesten ist wohl die Taylorreihe.Dabei handelt es sich um eine Potenzreihe, die eine Funktion f(x) um einenbestimmten x-Wert approximiert. Die Basisfunktionen sind in diesem Fall diePotenzfunktionen xn.

Ein weiteres Basissystem stellen die trigonometrischen Funktionen Sinus undKosinus dar. Nach dem Fourier-Theorem lassen sich periodische Funktio-

nen durch eine Linearkombination dieser trigonometrischen Basisfunktionen ineiner Fourierreihe entwickeln. Man bezeichnet dies als Fourierzerlegung, Fou-rieranalyse oder auch als harmonische Analyse.

Sei f(x)eine periodische Funktion mit der Periode L, d.h. f(x+L) = f(x). Fur


4


f(x)

x-L/2

- /2l

L/2

l/2

-0,5 0,0 0,5-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

f(x)

x [L]

a = 1/20

n=1, Amplitude: 2/p

n=5, Amplitude: 2/5p

n=3, Amplitude: -2/3p

-0,5 0,0 0,5-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

f(x)

x [L]

a)

b)

c)

Abbildung 6: a): Rechteckfunktion mit der Periode L. b): Gleichanteil a0/2,sowie die ersten drei Fourierterme. c): Summe aus Gleichanteil und den erstendrei Gliedern.

die Fourierdarstellung dieser Funktion gilt:

f(x) =a02

+

∞∑

n=1

an cos

(

2πn

Lx

)

+ bn sin

(

2πn

Lx

)

(10)

mit den Fourierkoeffizienten

an =2

L

∫ L/2

−L/2

f(x) cos

(

2πn

Lx

)

dx (11)

und

bn =2

L

∫ L/2

−L/2

f(x) sin

(

2πn

Lx

)

dx. (12)

Wir wollen hier nicht auf die Herleitung dieser Gleichungen eingehen, sondernderen Aussagen an einem konkreten Beispiel diskutieren. Betrachten wir dazueine Rechteckfunktion mit der Periode L, wie sie in Abbildung 6 a) dargestelltist. Die Funktion f(x) ist definiert durch:

f(x) =

{

1, −l/2 < x < l/2

0, l/2 > |x| < L/2.(13)

Um diese Funktion in einer Fourierreihe gemaß Gleichung (10) darzustellen,mussen wir die Fourierkoeffizienten berechnen. Da die Rechteckfunktion geradeist, d.h. f(x) = f(−x), verschwinden, wie Sie leicht nachrechnen konnen, alleKoeffizienten bn. Wir mussen daher nur die Koeffizienten an bestimmen. Fura0 berechnen wir:

a0 =2

L

∫ l/2

−l/2

dx =2l

L. (14)

Fur die restlichen Koeffizienten an gilt:

an =2

L

∫ l/2

−l/2

cos

(

2πn

Lx

)

dx =1

πnsin

(

2πn

Lx

)∣

∣

∣

∣

l/2

−l/2

=2

πnsin

(

πnl

L

)

(15)

Betrachten wir als konkretes Beispiel eine Rechteckfunktion mit einem Tast-verhaltnis von L : l = 2 : 1 (Abbildung 6 a). Aus Gleichung (10) und den obenberechneten Koeffizienten folgt dann fur die Fourierreihe:

f(x) =1

2+

2

πcos

(

2π

Lx

)

−2

3πcos

(

6π

Lx

)

+2

5πcos

(

10π

Lx

)

− ... (16)


5


In Abbildung 6 b) sind die ersten drei Glieder der Fourierreihe sowie der Gleich-anteil a0/2 grafisch dargestellt, darunter im Teilbild 6 c) die Summe dieser Ter-me. Zusatzlich zeigt Abbildung 7 noch die Fourierreihen bis hin zu n = 27. Jemehr Summanden (Ordnungen) in der Fourierreihe

”mitgenommen“ werden,

desto genauer nahert sich die Reihe der Rechteckfunktion an.Die Fourieranalyse ist von außerordentlicher Bedeutung in vielen Bereichen derPhysik. Ein anschauliches Beispiel findet sich fur Funktionen, die ein zeitperi-odisches Signal beschreiben, z.B. einen akustischen Ton oder ein elektrischesSignal. Ersetzen wir in Gleichung (10) die Variable x durch die Zeit t undwahlen fur die Periode L, die Periodendauer T , wobei gilt:

T =2π

ω, (17)

so ergibt sich fur die Fourierreihe einer periodischen, zeitabhangigen Funktion:

f(t) =a02

+

∞∑

n=1

an cos(nωt) + bn sin(nωt). (18)

Dieser Ausdruck stellt eine Uberlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen mitunterschiedlichen Frequenzen und Amplituden dar. Die Fourieranalyse gibtsomit Auskunft uber das Frequenzspektrum, aus dem sich ein zeitperiodischesSignal zusammensetzt. In Abbildung 8 ist das Spektrum eines zeitperiodischenRechtecksignals dargestellt. Entlang der Abszisse ist die Frequenz aufgetragen.Die jeweiligen Amplituden entsprechen den Koeffizienten an.Das Spektrum eines periodischen Signals ist stets diskret. Neben der Grund-frequenz ω (Grundton) treten auch Vielfache nω auf, die als Obertone odern-te Harmonische bezeichnet werden.In einer Fourierreihe lassen sich nur periodische Funktionen entwickeln. Aberauch nichtperiodische Funktionen lassen sich mit Hilfe der trigonometrischenFunktionen darstellen. Eine nichtperiodische Funktion erhalt man aus einerperiodischen Funktion fur den Grenzfall, dass die Periode gegen unendlich geht.In Abbildung 9 ist dies fur einen Rechteckpuls, der sich aus einer periodischenRechteckfunktion ableiten lasst, dargestellt. Bild a) zeigt das Spektrum beieinem Tastverhaltnis von L : l = 2 : 1. Vergroßert man die Periode L beigleich bleibender Pulsbreite l, so treten im Spektrum zusatzliche Moden auf.Die Teilbilder b) und c) zeigen dies fur ein Tastverhaltnis von 4 : 1 bzw. 8 : 1.Fur den Grenzfall L → ∞ geht die Anzahl der Moden gegen unendlich und sindunendlich dicht gepackt (Abbildung 9 d). Es ist einleuchtend, dass in diesem

n=1

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

f(x)

x [L]-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

f(x)

x [L]

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

f(x)

x [L]-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

f(x)

x [L]

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

f(x)

x [L]-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

f(x)

x [L]

n=3

n=5 n=7

n=19 n=27

Abbildung 7: Fourierentwicklung eines Rechtecksignals.


6


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

Am

plit

ude

Frequenz w

w

3w

5w

7w

9w

11w

p2

3p-2 7p

-211p-2

5p2

9p2

Abbildung 8: Frequenzspektrum eines Rechtecksignals. Bei den ersten sechs Mo-den sind die Frequenzen und Amplituden mit angegeben.

Fall die Fourierreihe in ein Integral ubergeht und die Fourierkoeffizienten nichtmehr diskret sind, sondern durch eine kontinuierliche Funktion beschrieben wer-den. Dies fuhrt zur sogenannten Fouriertransformation eines nichtperiodischenSignals.

Die kontinuierliche Fouriertransformation1 ist definiert durch:

f(x) =

∫ ∞

−∞

F (k) eikxdk. (19)

Wegen

eikx = cos(kx) + i sin(kx) (20)

stellt auch die Fouriertransformation die Entwicklung einer Funktion nach tri-gonometrischen Funktionen dar. F (k) heißt Fouriertransformierte der Funk-tion f(x).

1In der Literatur finden sich verschiedene Definitionen der Fouriertransformation, die sichdurch einen Normierungsfaktor unterscheiden.

0 10 20 30 40 50 60 70 80

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

Am

plit

ude

L = 8l

x

0 10 20 30 40 50 60 70 80

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Am

plit

ude

x

Ll

L = 2l

0 10 20 30 40 50 60 70 80

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Am

plit

ude

x

L = 4l

0 20 40 60 80

Am

plit

ude

L 0 0

10 30 50 70

a)

c)

b)

d)

x

L2p

L2p

L2p

L2p

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

Abbildung 9: Verdeutlichung des Ubergang zur Fouriertransformation einernichtperiodischen Funktion.

Fur die Rucktransformation gilt:

F (k) =1

2π

∫ ∞

−∞

f(x) e−ikxdx. (21)

Handelt es sich bei f(t) um eine Funktion, die von der Zeit abhangt, so stellt dieFouriertransformierte F (ω) (wir schreiben nun ω anstatt k) das kontinuierlicheFrequenzspektrum dieser Funktion dar. Fur den Fall, dass x eine Ortsvaria-ble ist, schreiben wir fur die Fouriertransformierte F (k) und bezeichnen k alsRaumfrequenz (Ortsfrequenz). Wir werden im nachsten Abschnitt ausfuhrlichdarauf eingehen.


7


VI.1 Herleitung der Fourierdarstellung der Fraunhofer-

schen Beugung

Wir wollen im Folgenden das Thema der Fraunhoferschen Beugung in etwas all-gemeinerer Gestalt formulieren, um den Ubergang zu der hier interessierendenBeschreibung mit Hilfe der Fouriertheorie vorzubereiten.Wir betrachten nach Abbildung 10 eine Offnung S von willkurlicher Gestalt inder yz - Ebene, die mit monochromatischem Licht bestrahlt werde und wollendie elektrische Feldstarke im Aufpunkt P bestimmen.

y

z

0

dS

P(X,Y,Z)

x

r

R

Y

Z

X

Abbildung 10: Zur Geometrie bei der Beugung an einer beliebigen Offnung.

Dazu greifen wir ein differentielles Flachenelement dS(x = 0, y, z) heraus undbetrachten eine davon ausgehende Kugelwelle (Elementarwelle) eikr/r. Mit ǫals Quellstarke pro Einheitsflache, die zunachst als konstant uber der Flache Sangenommen wird, ist die elektrische Feldstarke am Ort P durch

dE = ǫeikr

rdS (22)

gegeben.

Fur den Abstand von dS zu P(X,Y,Z) erhalten wir

r =√

[

X2 + (Y − y)2 + (Z − z)2]

. (23)

Wenn die beugende Offnung klein gegenuber dem Abstand OP ist, so kannman im Amplitudenterm ǫA/r statt r den Abstand OP=R verwenden. DieseNaherung fur r darf im Phasenterm hingegen nicht ohne weiteres angewendetwerden, da kr = (2π/λ)r eine große Zahl darstellt. (Sie entspricht dem AbstandOP in Wellenlangen ausgedruckt). Mit Hilfe von

R =√

[

X2 + Y 2 + Z2]

(24)

erhalten wir durch Einsetzen in Gleichung (23) und einigen Umformungen:

r = R√

[

1 + (y2 + z2)/R2 − 2(Y y + Zz)/R2]

. (25)

Im Fernfeld ist R groß gegenuber den Dimensionen der Offnung, so daß derTerm

(y2 + z2)/R2 ≪ 1 (26)

vernachlassigbar wird. Es verbleibt:

r = R√

[

1− 2(Y y + Zz)/R2]

. (27)

Auch der Ausdruck in der eckigen Klammer kann mit Hilfe der Relation√

1− ξ = 1− ξ/2. (28)

fur ξ ≪ 1 vereinfacht werden:

r = R[

1− (Y y + Zz)/R2]

. (29)

Setzen wir nun diese Naherung fur r in den Phasenterm in Gleichung (22) einund integrieren uber die gesamte Offnung S, so erhalten wir fur die elektrischeFeldstarke am Ort P:

E(R) = ǫeikR

R

∫ ∫

e−ikR(Y y+Zz)dy dz. (30)

Beschranken wir nun unsere Betrachtung auf einen kleinen Bereich um R. Wirkonnen dann davon ausgehen, dass der Term eikR/R vor dem Integral eine


8


Konstante darstellt. Auch ǫ wurde bisher als konstant angesehen. Das entsprichtaber nicht dem allgemeinen Fall! Denken Sie an eine Offnung die z.B. von einemetwas schmutzigen und zusatzlich nicht sehr gleichmaßig dickem Glas uberdecktwird. Die daraus resultierende

”Inhomogenitat der Transmission“ fuhrt dazu,

dass das elektrische Feld sowohl vom Betrag als auch von der Phase vom Ort(y, z) abhangen wird. Wir berucksichtigen dies, in dem wir eine explizite Orts-und Phasenabhangigkeit der Quellstarke ǫ einfuhren:

ǫ(y, z) = A(y, z) = A0(y, z)eiϕ(y,z). (31)

A(y, z) wird in der Literatur auch als Offnungsfunktion (engl. aperture functi-on) bezeichnet. A(y, z)dydz ist dann proportional zu dem Feld der vom Flachen-element dydz ausgehenden Welle. Entsprechend konnen wir dann das elektri-sche Feld im Aufpunkt (X,Y, Z) als Integral uber die gesamte emittierendeOffnung S darstellen als

E(Y, Z) =

∫∫

S

A(y, z)e−ikR

(Y y+Zz)dy dz. (32)

wobei der Vorfaktor eikR/R wie oben erwahnt als Konstante und damit unwe-sentlich fur das Folgende weggelassen wird.

Das Differential

dE(Y, Z) = A(y, z)e−ikR(Y y+Zz)dy dz (33)

stellt den Beitrag der vom Flachenelement dydz ausgehenden ebenen Wellezum elektrischen Feld am Ort P dar, die sich in Richtung des Wellenvektors ~kausbreitet. Wir definieren die Raumfrequenzen (Abbildung 11):

ky = kY

R= k sinφ (34)

kz = kZ

R= k sin θ. (35)

Es ist fur das Verstandnis nutzlich, anzumerken, daß im Photonenbild die hiereingefuhrten

”Raumfrequenzen“ bis auf den Faktor ~ den durch die Beugung

erzeugten Transversalimpulsen

py = ~ky (36)

pz = ~kz (37)

q

y

Y

Z

z

f

kky

P (Y,Z)

R

O

kz

q

f

Abbildung 11: Erlauterung zur Definition der Raumfrequenzen ky, kz.

der Photonen entsprechen! Besitzen die Photonen ursprunglich nur einen Im-puls in x-Richtung, so erhalten Sie bei Durchgang durch die Offnung einezusatzliche transversale Komponente in y- und z-Richtung!Jedem Punkt (Y, Z) in der Bildebene wird also eine Raumfrequenz zugeordnet.Gleichung (32) lasst sich dann umschreiben gemaß

E(ky, kz) =

∫∫

S

A(y, z)e−i(kyy+kzz)dy dz. (38)

Dieser Ausdruck stellt nichts anderes dar, als die zweidimensionale Fourier-transformation (vergleiche Gleichung (21)) der Offnungsfunktion A(y, z). Da-mit lasst sich das wichtige Ergebnis dieser Analyse wie folgt formulieren:

Die Feldverteilung der Beugungsstruktur bei der Fraunhofer-

schen Beugung an einer Offnung ist die Fouriertransformierte

der Feldverteilung uber die beugende Offnung.


9


Zur Vertiefung dieser Aussage werden wir in den nachsten Kapiteln zweiSpezialfalle, namlich die Beugung am Spalt und am Doppelspalt, detailliertuntersuchen.

Das Beugungsbild des Spaltes als Fouriertransformierteder Spaltoffnung

Wir wollen im Folgenden diese Betrachtungsweise anwenden, um dieBeugung am Spalt nunmehr im Rahmen der Fouriertheorie zu behandeln.

+d2

- d2

Spaltfunktion:(”Aperture function”)

f(y)=1 für |y| d/2

0 für |y| d/2

f(y)

y

1

Abbildung 12: Spaltfunktion eines einfachen Spalts.

Ein Spalt wird durch folgende Spaltfunktion (aperture function, hier eindimen-sional: A(y, z) → f(y), E(ky, kz → F (ky)) beschrieben (Abbildung 12):

f(x) =

1, |y| ≤ d/2

0, |y| > d/2.(39)

Die Fouriertransformierte (wir schreiben nun F statt E, um den Aspekt zubetonen, dass das elektrische Feld der Beugungsfigur nun einfach als Fourier-

transformierte berechnet werden kann) ergibt sich zu:

F (ky) =

+∞∫

−∞

f(y) e−ikyydy (40)

Einsetzen obiger Spaltfunktion ergibt:

F (ky) =

d/2∫

−d/2

e−ikyydy = −1

ikye−ikyy

∣

∣

∣

∣

d/2

−d/2

=1

iky

(

eikyd/2 − e−ikyd/2

)

. (41)

Unter Berucksichtigung der Eulerschen Formel

e±iδ = cos δ ± i sin δ, (42)

erhalten wir

F (ky) = dsin(kyd/2)

(kyd/2)≡ sinc(kyd/2) d (43)

mit den Nullstellen

ky = 2πn/d. (44)

Gemaß dem Fouriertheorem erhalt man mit dieser Funktion ruckwarts wiederdie Spaltfunktion durch Bildung des Integrals (Fouriersynthese):

f(y) =1

2π

+∞∫

−∞

F (ky) eikyydky . (45)

Einsetzen des von oben berechneten F (ky) und Verwendung der Symmetrie derFunktion bezuglich des Vorzeichens (F (ky) = F (−ky)) fuhrt zu

f(y) =d

π

+∞∫

0

[

sin(kyd/2)/(kyd/2)]

cos(kyy) dky. (46)

Dieses Integral ist analytisch nicht losbar, so dass eine numerische Integrationnotwendig wird. Mit der oberen Grenze +∞ fuhrt dies Integral wieder zuruckzur Spaltfunktion, d.h. zu dem unverfalschten rechteckigen Spaltbild.


10


Es stellt sich die Frage, wie anhand der Formel F (ky) fur die Fouriertrans-formierte der Spaltfunktion die gesuchte Beugungsstruktur, also Intensitatin Richtung α, abgelesen werden kann. Dazu muss man sich lediglich ver-gegenwartigen, daß ja uber ky = k0 sinα unmittelbar die gewunschte Win-kelabhangigkeit der Beugungsstruktur sichtbar wird.Will man nun untersuchen, wie die- nun rudimentare- Spaltfunktion aussieht,wenn man gezielt nur eine kleinere Zahl von gebeugten Teilstrahlen durch Aus-blenden in der Fourierebene zur Abbildung zulasst (unser Experiment), so istals obere Integrationsgrenze nun offenbar der ky-Wert zu wahlen, der geradenoch zur Abbildung zugelassen wird (Abbildung 13).

Spalt Fourier-Ebene

Analysier-spalt

1a 2a

k0

Abbildung 13: Manipulation der Beugungsstruktur durch Ausblenden von Beu-gungsordnungen mit Hilfe eines Analysierspaltes.

Die obere Integrationsgrenze sei die n-te Nullstelle von F (ky):

ky,n = k0 sinαn = k0nλ/d = 2nπ/d (47)

Fur das Fourierintegral folgt damit dann:

fmodifiziert(y) =d

π

ky,n∫

0

[

sin(kyd/2)/(kyd/2)]

cos(kyy)dky (48)

Damit kann obiges Integral fur unterschiedliche ky-Werte an z.B. jeweils 200Stellen von y zwischen yi = −d bis + d, also 100 Punkte pro Spaltbreite,berechnet werden. Wir verwenden dazu z.B. das Programm Mathematica. Umdie Berechnungen mit den beobachteten Spaltbildern vergleichen zu konnen,mussen die Ergebnisse noch quadriert werden2. Das Ergebnis konnen Sie aus-drucken und den beobachteten Strukturen gegenuberstellen. Die nachfolgendeBilderserie (Abbildung 14) zeigt Ihnen, was Sie erwarten sollten, wenn Sie,jeweils von links nach rechts gezahlt, nur das zentrale Hauptmaximum bzw. dieBeugungsordnungen bis zum 1./2./6./10./14. Nebenmaximum zur Abbildungdes Spaltes verwenden.

Die Fouriertransformierte des Doppelspaltes

Mit den oben gewonnenen Ergebnissen zur Fouriertransformation desEinfachspaltes bzw. zur Rucktransformation (Fouriersynthese) gelangt man ineinfacher Weise zu den entsprechenden Ausdrucken fur den Doppelspalt.

Die Offnungsfunktion f(y) ist in Abbildung 15 dargestellt:

Die zugehorige Fouriertransformierte hat wieder die Gestalt

F (ky) =

+∞∫

−∞

f(y) e−ikyydy (49)

wobei Beitrage nur von den Integrationswegen 1 → 2 sowie 3 → 4 herruhrenkonnen. Berechnen wir obiges Integral zunachst uber den nach rechts verscho-benen Einzelspalt. Aus der Abbildung erhalt man:

F (ky, rechts) =

4∫

3

f(y)eikyydy = −1

ikye−iky

∣

∣

∣

∣

∣

4

3

= e−ikyg/2 dsin(kyd/2)

(kyd/2), (50)

wobei g den Spaltabstand beschreibt. Entsprechend ergibt sich fur den nachlinks verschobenen Einzelspalt:

F (ky, links) =

2∫

1

f(y)eikyydy = −1

ikye−iky

∣

∣

∣

∣

∣

2

1

= eikyg/2 dsin(kyd/2)

(kyd/2)(51)

2Berechnet wird die Feldstarke. Um die Intensitat zu erhalten muss diese quadriert werden.


11


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 0, 1-+

0, 1, 2-+

-+ 0, 1, ..., 6-

+-+

0, 1, ..., 10-+

-+ 0, 1, ..., 14-

+-+

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

Abbildung 14: Spaltfunktion unter Beruchsichtigung unterschiedlicher Beu-gungsordnungen.

f(y)

y

1

1 2 3 4

g

Abbildung 15: Spaltfunktion eines Doppelspalts. Die Große g beschreibt denSpaltabstand.

Damit ergibt sich schließlich fur die Fouriertransformierte des Doppelspaltes:

F = F (ky, rechts) + F (ky, links) = 2 cos(kyg/2) dsin(kyd/2)

(kyd/2)(52)

Wir erkennen in dem rechts stehenden Term dieses Ausdrucks wieder die Fou-riertransformierte des Einzelspaltes, der Vorfaktor beschreibt die Interferenzder von beiden Spalten ausgehenden Wellen. Fuhren wir wieder wie beim Ein-zelspalt die Substitution ky = k0 sinα = 2π/λ sinα durch und quadrieren denAusdruck, so erhalten wir als Beugungsfigur des Doppelspaltes schließlich

I = 4 cos2(kyg/2)d2 sin

2(kyd/2)

(kyd/2)2= 4 cos2(πg/λ sinα)d2

sin2(πd/λ sinα)

(πd/λ sinα))2. (53)

Der Ausdruck entspicht dem Produkt der Gitterfunktion cos2(πg/λ sinα) undder Spaltfunktion, die wir bereits beim Einzelspalt abgeleitet haben. Abbil-dung 16 zeigt die hiermit berechnete Beugungsfigur fur den von uns verwen-deten Doppelspalt zusammen mit der Beugungsstruktur, wie sie nur einer derSpalte ergibt.

Mit dem oben stehenden Ausdruck fur die Fouriertransformierte des Doppel-spaltes konnen wir dann auch leicht wieder angeben, wie das

”modifizierte“ Bild

Fmodifiziert des Doppelspaltes aussieht, wenn man in der Fourierebene mit demAnalysierspalt wieder die Zahl der zur Abbildung zugelassenen Fourierkompo-


12


0 10 20 30 40

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

Einhüllende desEinzelspalts

Abbildung 16: Beugungsfigur eines Spalts und eines Doppelspaltes.

nenten gezielt begrenzt:

Fmodifiz.(y) ∝ [fmodifiz.(y)]2 =

[

2d/π

ky,n∫

0

cos(kyg/2)sin(kyd/2)

(kyd/2)cos(kyy)dky

]2

.

(54)Ausfuhrung dieser Integrale Fmodifiziert(y) und deren Auftragung durch Ma-thematica ergibt (obere Integrationsgrenze ky,n = 2πn/d) fur n = 1, 2, 3, 6 dienachfolgend wiedergegebenen Spaltbilder (Abbildung 17). Der Bezug zu denanalogen Bildern des Einzelspaltes ist offensichtlich.Ein weiterer, auch experimentell von uns untersuchter Aspekt, kann an die-sen Formeln mit Mathematica untersucht werden, namlich die Frage nach derAuflosung:

”Welcher Anteil der Fourierkomponenten des Beugungsbildes ist notwendig, umnoch die Doppelstruktur unseres Objektes im modifizierten Bild zu sehen?“ Furdas Experiment bedeutet dies:

”Bei welcher Spaltweite des Analysierspaltes

verschwindet die Doppelstruktur?“Fur die Auflosung der Doppelstruktur ist nun der Spaltabstand g maßgebend.Das Maximum 1. Ordnung erscheint unter sinα = λ/g. Diese Beugungsordnungmuß mindestens noch zur Abbildung zugelassen werden, um die Doppelstruktur

0 20 40 60 80 100

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

Abbildung 17: Spaltbild eines Doppelspaltes unter Berucksichtigung unter-schiedlicher Beugungsordnungen.

zu erkennen. Wenn Sie also den zugehorigen Wert k0 sinα = k0λ/g als Ober-grenze fur die Integration verwenden und kontinuierlich verkleinern, werdenSie zu Bildern kommen, wie sie nachstehend gezeigt sind (Abbildung 18). Der

”Dunkelbereich“ zwischen den Einzelspalten hellt zunehmend auf, bis schließ-lich nur noch ein flaches Plateau die ursprunglichen Einzelspaltbilder verbindet:Die Doppelstruktur ist verschwunden! Vergleichen Sie den rechnerisch gefunde-nen Grenzwert fur ky mit dem experimentell aus der entsprechenden Spaltbreitedes Analysierspaltes bestimmten Wert fur die Auflosung.

VII Durchfuhrung des Versuchs

Der optische Aufbau zu unseren Versuchen ist in Abbildung 19 dargestellt. Ersoll als erstes von Ihnen mit den vorhandenen Komponenten erstellt werden.


13


0 20 40 60 80 100

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

0 20 40 60 80 100

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

Inte

nsi

tät[b

.E.]

y [b.E.]

Abbildung 18: Auflosung eines Doppelspalts bei Beschneidung des Maximum1. Ordnung.

Als Lichtquelle dient ein Diodenlaser mit einer Wellenlange von 635 nm undeiner Leistung von maximal 1 mW, einstellbar uber ein Potentiometer, des-sen Licht fest in eine

”single-mode“-Lichtfaser eingekoppelt wird und an deren

Ausgang uber einen Faserstecker zur Verfugung steht. Das unter einem Off-nungswinkel u von ca. 14 Grad austretende Licht wird uber eine kurzbrenn-weitige Linse ins Unendliche abgebildet, wobei der austretende Parallelstrahlnun einen Durchmesser D von D = fu = 7 mm besitzt. Durch Wahl der Lin-se kann man sich damit einen gut kollimierten Laserstrahl von gewunschtemDurchmesser verschaffen. Nehmen Sie nun als erstes den Diodenlaser in Be-trieb. Er wird uber eine Schutzschaltung, die in einem kleinen Kastchen mitmA-Meter untergebracht ist, eingeschaltet und der Strom uber das Potentio-meter auf den fest eingestellten Maximalstrom von 67 mA hochgeregelt. Beietwa 40 mA beginnt die Laseraktivitat, bei dem Maximalstrom erhalten wireine Laserleistung von ca. 1 mW. Hinter dem Laserauskoppelteil wird das zuuntersuchende Objekt zentrisch in den Laserstahl justiert, dahinter wieder-um eine Linse L1 von 80 mm Brennweite derart, daß Sie das Objekt scharfauf den Schirm im Abstand von ca. 1 m abbildet. Nun wollen wir simultanmit dem Objektbild die von dem Objekt erzeugten Beugungsstrukturen– dasFourierbild– auf dem Schirm sichtbar machen: Die Beugungsstrukturen ent-stehen zunachst in der Brennebene der abbildenden Linse. Halten Sie da malein Papierzettelchen hinein und uberzeugen sich davon! Mit einer zweiten Lin-se wollen wir nun diese Fourierebene (die Beugungsstrukturen in dieser Ebenebilden also den Gegenstand fur diesen zweiten Abbildungsweg) ebenfalls aufden Schirm abbilden, aber getrennt vom ersten Abbildungspfad.

FourierEbene

f1

L1

L2

Spaltblende/Modenblende

Objekt

Strahlaufweitung

Diodenlaser mitSinglemode-Lichtfaser

Beugungsbild

Objektbild

Strahlteiler

Schirm(Wand)

Spiegel

Abbildung 19: Schematische Darstellung des optischen Aufbaus.

Dazu wahlen wir einen Strahlteiler, der uns ca. 50 Prozent des Lichtes heraus-spiegelt. Die dahinter aufgestellte Linse L2 muss nun so positioniert werden,daß sie uber den nachfolgenden Spiegel, der den weiterlaufenden Strahl wiederparallel zum ersten Strahl bringt, die Beugungsstruktur stark vergroßert nebendem Bild des Objektes, auf der Wand entwirft. Durch feine Verschiebungender Linse konnen Sie nun auch das Bild der Beugungsstruktur scharf stellen.Schauen Sie sich die Bilder fur die Spalte A,B,C zunachst ohne Kamera auf derWand an.Auf diese Weise erhalten wir also Bild und Fourierbild des Objektes nebenein-ander auf der Wand sichtbar und konnen nun studieren, wie sich Manipulatio-nen in der Fourierebene- d.h. gezieltes Zulassen und Wegblenden bestimmterBeugungsordnungen- auf das Bild auswirken.Fur diese Manipulationen stehen ein fein justierbarer symmetrisch offnenderSpalt und Modenblenden (schmale Streifenblenden) zur Verfugung. Da dieseElemente genau in der Fourierebene (zur Erinnerung: = Brennebene der ab-bildenden Linse L1) untergebracht werden mussen, sollten Sie also vor demStrahlteiler genugend Platz fur den notwendigen Reiter mit Justierbuhne las-sen. Es wird ein bisschen eng, aber es geht! Montieren und justieren Sie alsohier zunachst den symmetrisch offnenden Spalt auf dem Verschiebetisch, der


14


wiederum die Mitte des Spaltes genau auf die Mitte der Beugungsstruktur ein-zustellen gestattet.

1. Quantitative Beobachtungen am Einfachspalt

Wir wollen zunachst die Beugungsstruktur des Spaltes bestimmen:Zur Messung steht eine CCD-Zeilenkamera zur Verfugung, die uber eineUSB-Schnittstelle auf einen PC ausgelesen wird und die es erlaubt, dieLichtintensitat als Funktion des Ortes darzustellen Der lichtempfindlicheTeil besteht aus 2048 Pixel von jeweils 14 µm Breite und 56 µm Hohemit einer Gesamtlange von 28,7 mm. Justieren Sie zunachst L2 aufein scharfes Beugungsbild in der Ebene der Kamera. Sie ist durcheinen Doppelpfeil auf dem Kameragehause gekennzeichnet. Schieben Siediese dazu zunachst ein wenig zur Seite und und schauen Sie sich dasBeugungsbild auf einem daneben gehaltenen Blatt Papier an. SchiebenSie nun die Zeilenkamera mittig uber die Beugungsstruktur und sehensich das Ergebnis auf dem PC-Monitor an. Sie werden zunachst i.a. nichtsVernunftiges sehen! Der Grund dafur ist, dass das Beugungsbild aus einerlinearen, symmetrischen Anordnung von hellen Punkten besteht, derenIntensitat nach außen stark abnimmt, und diese Punktlinie muß ja mitder Pixel-Zeile der Kamera zur Deckung gebracht werden - kein leichtesUnterfangen, wenn man bedenkt, daß diese Zeile nur 56 µm hoch ist! Wasalso tun? Suchen Sie mal unter den zur Verfugung stehenden optischenBauteilen nach einer Zylinderlinse. Wie konnte man’s damit machen,ohne die zu bestimmende Intensitatsverteilung zu verandern? ReduzierenSie vor allem stark die Laserintensitat weit unter die Sichtbarkeitsgrenze!Die verwendete Zeilenkamera ist sehr empfindlich und wird sehr raschubersteuert, was zu vollig

”wilden“ Strukturen fuhrt, die nichts mit der

tatsachlichen Intensitatsverteilung zu tun haben.

Wenn Sie schließlich die Beugungsstruktur in voller Schonheit auf dem Mo-nitor haben (Abbidung 20), sollten Sie durch Feinjustieren des optischenAufbaus (Hoheneinstellung der Zylinderlinse, L2, transversale Position desSpaltes auf der optischen Bank) eine optimale Symmetrie der beobachtetenBeugungsstruktur herstellen. Mit Hilfe des von der Bedienungssoftware zurVerfugung gestellten Cursor konnen Sie nun (Betriebsmode view der Ka-mera) die Lage und Intensitaten der verschiedenen Beugungsmaximaund -minima bis zur typischerweise 5. Ordnung sowie auch den Unter-

grund (jeweils rechts und links!) bestimmen und protokollieren. Drucken

Sie die gemessene Beugungsstruktur aus und tragen Sie die gemessenen La-gen und Intensitaten der verschiedenen Ordnungen in den Ausdruck ein.Wegen des hohen Intensitatsabfalles zu steigender Ordnung der Beugungs-maxima mussen Sie zur besseren Vermessung der hoheren Beugungsord-nungen ein 2. Bild bei hoherer Intensitat des Diodenlasers aufnehmen,die Sie uber den Strom regeln konnen. Das zentrale Maximum darf dabeiruhig in Sattigung gehen. Das Maximum 1. Ordnung muss allerdings aufbeiden Bildern gut zu sehen sein. Sie konnen hieruber alle Intensitatenrelativ zur Intensitat des 0-ten Maximums angeben! Tragen Sie auch hierwieder Ihre Messwerte in den Ausdruck ein.

Die Eichung der Abszisse (d.h. wieviel Pixel auf der Kamera entsprechen1 mm in der Fourierebene) erhalten Sie bequem, indem Sie in der Fou-rierebene den Analysierspalt auf verschiedene Weiten einstellen und diezugehorigen Abstande in Pixel auf dem Monitor ablesen. (Die Ablesungder Spaltbreite erfolgt mit dem integrierten Meßfuhler. Beachten Sie, dassder Messfuhler die Verschiebung nur einer Spaltschneide registriert. Dieandere bewegt sich dabei gegenlaufig, so dass die Spaltweite dem doppel-ten Ablesewert entspricht). Wiederholen Sie dies fur mehrere gut ablesbarePunkte des Beugungsbildes und protokollieren Sie die Daten. Speichern Siedanach die Bilder ab und drucken Sie sie fur Ihr Protokollheft aus.

2. Beugungsstruktur des Doppelspaltes

Ersetzen Sie den Einzelspalt durch das Rahmchen mit dem Doppel-spalt ohne den Reiter zu verschieben. Verschaffen Sie sich zunachstwieder durch Feinjustieren des neuen Objektes ein scharfes Bild derBeugungsstruktur des Doppelspaltes an der Wand. Schauen Sie sich dieStrukturen fur die verschiedenen Doppelspalte in dem Dia-Rahmen an.Fertigen Sie eine Skizze der Struktur an und versuchen Sie die Strukturenzu interpretieren. Quantitative Messungen werden im Folgenden an demmittleren Doppelspalt

”B“ des Dia-Rahmchens durchgefuhrt. Zur Beob-

achtung der Beugungsstruktur verwenden wir wieder die CCD-Kamera.Wie bei der vorangegangenen Vermessung des Einzelspaltes, mussen Sieauch hier wieder das Beugungsbild in die Ebene der Kamerazeile scharfeinstellen und sich dann mit Hilfe von Zylinderlinse und Einregeln derLaserintensitat ein brauchbares Bild der Intensitatsverteilung auf demMonitor verschaffen. Justieren Sie wieder auf Symmetrie und optimalenKontrast. Versuchen Sie vorab schon einmal den beobachteten Maxima


15


Abbildung 20: Bedienoberflache der Kamera- Software. Dargestellt ist oben dasBeugungsbild eines Spaltes und unten das Beugungsbild eines Doppelspaltes.

und Minima, Beugungsordnungen der Spalt-und Gitterfunktion zuzuord-nen. Fur die Auswertung zu Hause bestimmen Sie wie beim Einzelspaltmit Hilfe der Cursor Lage und Hohe der Maxima und Minima im Bereichzwischen den 1. Minima (links-rechts) der Spaltfunktion, sowie desUntergrundes und drucken zum Schluß das Bild aus.

Die Eichung der Abszisse auf dem Monitorbild, konnen Sie von der ent-sprechenden Messung am Einzelspalt (Messung 1) ubernehmen. Es wur-de ja lediglich das Rahmchen mit dem Einzelspalt gegen den Doppelspaltausgetauscht. Gegenstandsweite und Bildweite bleiben unverandert. WennSie versehentlich doch an den die Vergroßerung bestimmenden Positionenvon Objekt (Dia-Rahmen), Fourierebene, L2 oder die Position der Kameranachjustiert haben, mussen Sie die Eichung fur diese Messung wiederholen.

3. Das Objektbild als Fouriersynthese des Beugungsbildes

Am Beispiel des Spaltes soll nun die Auswirkung der Manipulatio-nen in der Fourierebene auf die Struktur des Bildes quantitativ untersuchtwerden. Die zunachst nur qualitativ mit dem Auge feststellbaren Ande-rungen am Bild, etwa:

”Die Rander erscheinen scharfer, wenn man die

Beugungsordnungen hoherer Ordnung mit zur Abbildung zulaßt“ , werdennun quantitativ gemessen.

Wir bestimmen die Intensitatsverteilung des Spaltbildes wieder mit Hil-fe der CCD-Zeilenkamera. Offnen Sie zunachst den Analysierspalt inder Fourierebene und stellen Sie die Laserintensitat am Steuergerat aufMaximun ein. In den Strahlengang zur Kamera stellen Sie dicht hinterdem Strahlteiler ein Graufilter (Abschwachung 10−2). Ohne das Graufil-ter wurde die Kamera ubersteuern! Man beobachtet eine zunachst mehroder weniger gut ausgepragte Rechteckfunktion mit einer großen Zahl von

”wiggles“. Das wollen wir ganz sauber sehen! Also: Nachjustieren!

Bei diesem Nachjustieren muss man nun aufpassen: Sie wollen ja nachwie vor das Fourierbild scharf auf der Wand beibehalten, wozu ja wieder-um die Gegenstandsweite fur diesen Abbildungszweig (=Abstand hintereBrennebene von L1 zu Linse L2) unverandert bleiben muss! Man mussalso die Linse L1 stehen lassen und vielmehr das Objekt selbst bzgl. die-ser Linse nachjustieren, bis dessen Bild in der Ebene des Photodetektorsscharf erscheint. Letzteres wird dadurch kenntlich, daß Sie nun eine zu-nehmend ideale Rechteckfunktion auf dem Monitor beobachten konnen.Stellen Sie auf großtmogliche Steilheit der Kanten des Spaltbildes


16


ein. Dazu den Spalt sehr feinfuhlig verrucken, es geht um Bruchteile einesmm! Bei diesem Vorgehen bleibt dann die Lage der Fourierebene und da-mit das Beugungsbild an der Wand unverandert. Nun die Laserintensitatgeeignet einstellen!

Um sich zunachst einen Uberblick uber die sukzessiv auftretenden Struk-turen zu verschaffen drehen Sie den Analysierspalt nun langsam zu undbeobachten simultan die Veranderungen der Beugungsstruktur an derWand und des Spaltbildes auf dem Monitor. Die einfachste Struktur desSpaltbildes erhalten Sie offenbar, nachdem Sie bis auf das zentrale Ma-ximum alle Nebenmaxima ausgeblendet haben. Symmetrisieren Sie dasFourierbild gleichzeitig durch Nachjustieren des Verschiebereiters, der denAnalysierspalt tragt, bzgl.der 0-ten Ordnung des Beugungsbildes.

Mit dieser Einstellung beginnend suchen Sie nun der Reihe nach beigroßer werdender Offnung des Spaltes die charakteristischen Bild-strukturen auf, die sich einstellen, wenn Sie der Reihe nach genau die 0-te,±1-te, ±2-te Ordnung etc. zur Abbildung zulassen. Bis zu welcher Ord-nung konnen Sie deutliche Strukturen beobachten? Auch hier konnen Sienochmals auf die genaue Justierung der Abbildung achten. Zum Beispielspielt die genaue vertikale Stellung der abbildenden Linse L1 eine Rollesowie die transversale Position des Spaltes. Hier sollten Sie die optimaleJustage durch Ausprobieren herausbekommen.

Sicher ist Ihnen aufgefallen, dass die Kurven nicht so glatt sind, wie Siees erwartet haben. Entfernen Sie deshalb das Graufilter und reduzierengleichzeitig die Laserleistung: Sie werden im Allgemeinen eine wesentlichbessere Signalqualitat beobachten. Der Grund: Die verwendeten Graufiltersind optisch nicht absolut homogen und beeinflussen Amplitude und Phaseder durchlaufenden Teilbundel. Dies fuhrt zu Storungen der Intensitat inder Ebene der Kamera, in die ja die Linse L1 letztlich alle Bundel zum -modifizierten - Bild des Spaltes zusammenfuhrt.

Fur Ihr Protokoll sollen die von Ihnen als optimal gefundenen Bilder fur diefunf ersten Einstellungen des Analysierspaltes auf das 1. bis 5. Minimumder Beugungsfigur ausgedruckt werden. Zum quantitativen Vergleich mitden spater auch zu berechnenden Bildern wollen wir jedoch beispielhaftan den ersten drei Bildern auch die Intensitatsverhaltnisse zahlenmaßiguberprufen und protokollieren dazu (verwenden Sie wieder den Cursor)die Intensitaten der Maxima, Minima und des Untergrundes.

Die Zahl der beobachtbaren”Wiggels“ konnen Sie aber bis zu wesentlich

hoheren Beugungsordnungen (ca. n=15) verfolgen. Bestimmen Sie an solcheinem Bild mit hohem n die Abstande der Maxima und Minima (x-Achsevernunftig strecken und die Cursor verwenden) und uberprufen Sie aufAquidistanz. Sehen die Bilder so aus, wie Sie’s erwarten? Was fallt Ihnenauf? Entnehmen Sie weiterhin diesem Bild, das einer rechteckigen Spalt-funktion am nachsten kommt, die Breite in Pixel (14µm). Sie entsprichtder Spaltbreite, die hier gemaß der optischen Abbildung (L1) vergroßerterscheint. Die Vergroßerung ist aus Brennweite f der Linse und Bildweite bbestimmbar, letztere messen Sie mit einem Zollstock, dessen Messgenauig-keit hierzu vollig ausreicht. Vergleichen Sie den hieraus bestimmten Wertmit dem weiter oben (Auswertung zu 1) gefundenen Wert. Drucken Siezum Schluss dieses Bild aus.

4. Fourierbild des Doppelspaltes

Als nachstes schauen Sie sich nun das Bild des Doppelspaltes mit derCCD-Kamera an. Justieren Sie wieder auf optimale Kantensteilheit derSpaltbilder und Symmetrie! Bestimmen Sie Breite und Abstand derbeiden Einzelspalte auf dem Monitor (wie immer bisher in Pixel- Einhei-ten). In derselben Weise wie bei den Messungen am Einzelspalt konnen Sieaus der aktuellen Bildweite und Brennweite die Vergroßerung bestimmenund auf die Abmessungen des Doppelspaltes (Spaltweite und Spaltab-

stand siehe Abbildung 15) ruckschließen. Diese Werte werden spater beider Interpretation des gemessenen Beugungsbildes benotigt! BeobachtenSie im Folgenden auch hier wieder die schon beim Einzelspalt untersuchtenBeitrage der einzelnen Beugungsordnungen der Spalte, indem Sie nun denAnalysierspalt in der Fourierebene auf- und zudrehen. Uberlegen Sie sichhierzu die wichtige Frage: Wie liegen eigentlich die Beugungsbilder derindividuellen Spalte in der Brennebene (Fourierebene) relativ zueinander?Drucken Sie ein Bild zu niedriger Beugungsordnung (≤ 5) fur Ihr Protokollaus.

Als letztes drehen Sie nun langsam den Analysierspalt zu (Wichtig: schau-en Sie sich dabei gleichzeitig immer auch das Beugungsbild an der Wandan und verfolgen, was da geschieht!) und beobachten, wie die beiden recht-eckigen Spaltprofile zu zwei gaussahnlichen Profilen verschwimmen (Fall a:nur noch die 1-ten Beugungsmaxima beider Spalte tragen zur Abbildungbei), wie sich zunehmend auch der Zwischenraum aufhellt und schließ-lich die Doppelstruktur endgultig verschwindet und nur noch ein flaches


17


Plateau (Fall b: auch die dem Doppelspalt zuzuordnenden 1. Gittermaxi-ma werden abgeschnitten) sichtbar bleibt. Notieren Sie die zu a) und b)gehorenden Einstellungen des Analysierspaltes und drucken die zugehori-gen Bilder aus.

VIII Auswertung

Zu Aufgabe 1:

Vergleichen Sie die Lage der Maxima und Minima sowie die gemessenenIntensitatsverhaltnise der einzelnen Beugungsordnungen mit den theoretischzu erwartenden Werten. Tragen Sie zunachst den Abstand der Minima n-terOrdnung (jeweils in Pixel angegeben) gegen die Ordnungszahl n auf. Es solltesich eine Gerade ergeben, deren Steigung die Spaltweite des verwendetenBeugungsspaltes zu bestimmen gestattet (Herleitung!) In dasselbe Diagrammtragen Sie nun die gemessenen Werte fur die Lage der Beugungsmaxima einund entnehmen der Geraden die Werte fur n. Liegen diese genau zwischen denentsprechenden Werten der Minima bei 1,5, 2,5 etc.? Wo sollten sie liegen?Schatzen Sie die Fehler ab. Als nachstes ermitteln Sie die Intensitatsverhalt-nisse der gemessenen Nebenmaxima relativ zum Maximum 0-ter Ordnung undvergleichen Sie diese mit den theoretisch erwarteten Werten. Fehler angeben!

Zu Aufgabe 2:

Berechnen Sie mit Hilfe von Mathematica oder mit dem Onlinescript3 einBild der theoretisch zu erwartenden Beugungsstruktur des Doppelspaltes.Benutzen Sie dabei fur die Spaltweite und den Abstand der Spalte die Werteaus Aufgabe 4. Vergleichen Sie diese mit der experimentell bestimmten Struk-tur: Welche Minima entsprechen den Nullstellen der Spaltfunktion, welchedenen der Gitterfunktion? Vergleichen Sie fur die zwischen den 1. Minimader Spaltfunktion gemessenen Nebenmaxima die relativen Intensitaten be-zogen auf das zentrale Maximummit den entsprechenden theoretischenWerten.

Zu Aufgabe 3:

Berechnen Sie mit dem Programm Mathematica oder dem Onlinescript fur dieersten drei spezifischen Einstellungen des Analysierspaltes die entsprechenden

3Falls Sie mit der Software Mathematica nicht vertraut sind und Sie sich in diesenicht einarbeiten wollen, konnen Sie die Berechnungen auch auf der Praktikumshomepagedurchfuhren.http://www.physi.uni-heidelberg.de/Einrichtungen/AP/info/Software.php

Bilder (die Formeln werden im Kapitel”Grundlagen“ diskutiert).

•Vergleichen Sie:a) Zahl und Lage der

”Wiggels“ (der Maxima).

b) Intensitaten der Maxima und Minima der ersten drei Bildkurven, normiertauf das Maximum des zur 0-ten Beugungsordnung gehorenden modifiziertenSpaltbildes.• Uberlegen Sie sich warum bei einem fast geschlossenem Analysierspalt (d.h.nur die 0-te Ordnung wird durchgelassen) die Intensitat in der Bildmitte hoherist, als wenn dieser weit geoffnet ist.

Zu Aufgabe 4:

Im Kapitel Grundlagen sind die Formeln fur die Fouriertransformierte des Dop-pelspaltes sowie die durch Fouriersynthese ruckwarts wieder gewonnene Dar-stellung des Doppelspaltbildes mit einigen gerechneten Beispielen angegeben.Auch hier erhalt man wieder in einfacher Weise die

”rudimentare“ Spaltfunk-

tion, so wie sie experimentell beobachtet wird, indem man als obere Integra-tionsgrenze die Zahl der fur die Abbildung zugelassenen Beugungsordnungen -also deren ky- Wert - einsetzt.Vergleichen Sie die rechnerisch gewonnenen Bilder mit den oben experimentellbeobachteten Fallen. Fall a) entspricht dem 1. Spaltminimum als obere Integra-tionsgrenze. Um Fall b) zu simulieren, mussen Sie sich fur verschiedene Wertevon ky nahe demWert ky = k0 sinα = k0λ/g die zugehorigen Bilder verschaffenund durch Iteration auf einen Wert hinarbeiten, der gerade die experimentellbestimmte Struktur wiedergibt. Dieses mit Mathematica erstellte Bild mit demzugehorigen Grenzwert fur ky der Auswertung beifugen. Aus der gemessenenBreite des Analysierspaltes beim Experiment (Fall b) konnen Sie sich zusam-men mit der Kenntnis der Brennweite von L1 den experimentell bestimmtenGrenzwert fur ky verschaffen und vergleichen.

IX Anhang

IX.1 Anleitung zum Gebrauch des Programms”Mathe-

matica“

Der Gebrauch des Programms”Mathematica“ soll im Zusammenhang mit dem

vorliegenden Versuch”Fourieroptik“ gezielt anhand zweier hier in Vordergrund

stehenden Anwendungen erlautert werden:


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1. Funktionen numerisch und als Grafik darstellen. In unserem Fall werdendies Funktionen sein, die die Beugungsstrukturen von Einzel- und Doppel-spalt beschreiben (Gleichungen (9) und (53)).

2. Fourierintegrale berechnen (Gleichungen (48) und (54) fur Einzel- bzw.Doppelspalt). Diese Integrale enthalten einen Parameter y, der einenPunkt in Richtung

”quer zum Spalt“ charakterisiert (Abbildung 12 und

15). Diesem Parameter y werden diskrete Werte yi zugeordnet- am Beispieldes Einzelspaltes vielleicht 200 aquidistante Werte zwischen −d und +d(d=Spaltweite)-, so dass man letztlich vor der Aufgabe steht, 200 Integra-le der Form fmodifiziert(yi) (Gleichung (48)) von Mathematica ausrechnenund darstellen zu lassen.

Auf das Programm Mathematica konnen sie im Rechenzentrum, INF 293 oderim CIP-Pool des Fortgeschrittenen Praktikums INF 501 bzw. im Kirchhoff-Institut, zugreifen. Eine Lizenz ist auch im Anfangerpraktikum vorhanden.Gehen Sie bei Ihren Berechnungen folgendermaßen vor:

• Programm Mathematica starten

• Es erscheint ein Fenster”untitled“

• Klicken Sie in der Menuleiste”Help“ und in dem aufgehenden Fenster auf

”Help Browser“

Es erscheint das Fenster, das in Abbildung 21 dargestellt ist.Klicken Sie auf

”The Mathematica Book“ und Sie erhalten in der linken Spalte

dessen Grobgliederung. Durch Anklicken des Sie gerade interessierenden Teils–z.B.

”A Practical Introduction to Mathematica“–geht daneben ein weiteres

Fenster auf, in dem Sie nun speziellere Anwendungen finden und studierenkonnen- nach Lust und Zeit.Wer sich gezielt sofort der ersten Aufgabe der numerischen und graphischenDarstellung einer Funktion zuwenden will, kann durch Einfugen der entspre-chenden Kapitel-Nr. 1.9.9 (in der Version 4.x) in das Feld

”GoTo“ sich einen

Einblick verschaffen, in welcher Weise und mit welcher Syntax Mathematicadas Gewunschte leistet. Stellen Sie die Große des Hilfefenster so ein, dass Siesowohl dieses als auch Ihr Arbeitsfenster

”Untitled 1“ sehen, so konnen Sie

bequem”abschreiben“.

Sie wollen einerseits ein Bild der Beugungsfigur des Einzel- bzw. Doppelspal-tes erhalten und z.B. im Fall des Doppelspaltes sehen, wie sich unterschiedliche

Abbildung 21: Auschnitt des”Help Browser“ des Programms Mathematica.

Werte fur Spaltweite d und Spaltabstand g auf die Struktur auswirken. Anderer-seits wollen Sie auch gerne die Hohe der auftretenden Maxima numerisch erhal-ten, um sie mit den experimentell bestimmten Werten vergleichen zu konnen.Sie brauchen daher die Funktionswerte aufgelistet. Mit dem Mathematica- Be-fehl

t = Table[f(x), {x, xmin, xmax, δx}]

wird eine Tabelle erzeugt, die Ihnen die Funktionswerte f(x) im Intervall[xmin, xmax] fur die Werte x, x + δx, x + 2δx, ... mit der Schrittweite δx an-gibt. Wahlen Sie zur Einstimmung fur f(x) eine einfache Funktion, wie z.B.sinx:

t = Table[Sin[x], {x, 0, 6.3, 0.1}].

Durch gleichzeitiges Drucken der Tasten”Shift“ und

”Enter“ werden die Werte

berechnet und erscheinen auf dem Monitor.

Geben Sie zusatzlich den Befehl

ListPlot[t,PlotJoined− > True].

ein, so erhalten Sie zusatzlich zu der gewunschten Auflistung der Zahlen auchdie grafische Darstellung der Funktion mit durchgezogener Linie (dank des


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Zusatzes”PlotJoined− >True“). Durch zusatzliche Erweiterung des Befehls in

der Form

ListPlot[t,PlotRange− > {0,2},PlotJoined− > True].

konnen Sie bei Bedarf den y-Bereich vorgeben - hier im Beispiel 0 bis 2.

Abbildung 22: Ausgabe der Befehle Table und ListPlot.

Geben Sie nach dieser Vorubung nun fur f(x) die die Beugungsstruktur vonEinzel- und Doppelspalt beschreibenden Funktionen ein und verschaffen Siesich die fur die Auswertung gewunschten Zahlen und Grafiken.In analoger Weise konnen Sie sich nun auch Zahlenwerte und grafische Darstel-lungen der Fourierbilder fur den Einzel- und Doppelspalt (Gleichungen (48)und (54)) verschaffen. dazu mussen Sie zunachst lernen, wie man bestimmteIntegrale (definite integrals) berechnet.Geben Sie dazu im Feld

”GoTo“ die Kapitelnummer 3.5.8 ein und es offnet

sich ein Fenster (Abbildung 23), dem Sie alles uber die Berechnung bestimmter

Integrale entnehmen konnen.

Abbildung 23: Informationen zu bestimmten Integralen (definite integrals).

Unsere Integrale haben die Form

fmodifiziert(yi) =

∫ ky,n

0

f(ky, yi)dky . (55)

Die Integrationsvariable ist also ky (wir haben diese Bezeichnung im Anlei-tungstext durchgehalten, um zu untersreichen, dass diese Große etwas mit demtransversalen Photonenimpuls in y-Richtung zu tun hat. Sie werden diese Großebei der Berechnung der Integrale naturlich einfach mit x bezeichnen). Nun giltes, dieses Integral bei jeweils fester Obergrenze ky,n fur z.B. 200 Werte von yi


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zwischen −d und +d auszurechnen und grafisch darzustellen. der Parameter ytaucht in Gleichung (48)) nur in dem Term cos kyy auf. Die Werte yi generierenwir z.B. durch

yi = i(1/100)d mit i = −100, ..., 100.

Die zu berechnenden Integrale bzw. deren Quadrate (wir brauchen die Inten-sitaten I ∝ (f2

modifiziert)) haben dann die Struktur

f2modifiziert = (Integrate[f(x, yi)], {x, xmin, xmax})

2, {i, imin, imax, 1}

Da wir ja in unserem Beispiel 200 solcher Integrale berechnen wollen, fertigenwir wieder eine Tabelle an:

t = Table[(Integrate[f(x, yi)], ...siehe oben)

und verschaffen uns mit dem ListPlot[t,...]- Befehl, wie oben die Intensitats-verlaufe als Zahlen und grafische Darstellung.Durch unterschiedliche Werte fur ky,n simulieren Sie schließlich Ihre Messun-gen zu den Fourierbildern, die Sie mit einer unterschiedlichen Zahl der zurBildgebung zugelassenen Beugungsmaxima aufgenommen haben.Die zuletzt gemachten Ausfuhrungen gelten naturlich unverandert fur analogeRechnungen zum Doppelspalt. Sie mussen ja lediglich das Integral von Glei-chung (48) durch den fur den Doppelspalt gultigen Ausdruck (54) ersetzen.Damit konnen Sie sich dann die unterschiedlichen Fourierbilder (siehe Abbil-dung (17)) verschaffen und schließlich auch die Studie zur Auflosungsgrenzedes Doppelspaltes durchfuhren.

IX.2 Beispiele

Die folgenden Bilder zeigen Fotografien von Objekt- und Beugungsbilder, dieim Praktikum aufgenommen wurden. Bei allen Teilbildern ist neben dem Beu-gungsbild auch das resultierende Objektbild eingeblendet. Abbildung 24 zeigtdie Beugung an einem Spalt. Im Teilbild a) tragen alle Beugungsordnungen zurAbbildung bei, so dass ein

”scharfes Spaltbild“ erkennbar ist. Bei den Bildern b)

bis e) wurden einzelne Moden des entsprechenden Beugungsbildes ausgeblen-det, so dass nur einzelne Ordnungen zur Bildentstehung beitragen (Tiefpassfil-ter). Deutlich ist die Intensitatsverteilung gemaß Abbildung 14 zu erkennen.Das Teilbild f) zeigt zusatzlich das Spaltbild bei Ausblendung des Hauptmaxi-mums (Hochpassfilter).

In Abbildung 25 ist das Beugungsbild eines Kreuzgitters zu sehen. Im obe-ren Bild tragen alle Ordnungen zur Bildentstehung bei und man erhalt ein

”unverfalschtes“ Objektbild. Im Bild darunter sind alle horizontalen Modenbeschnitten. In diesem Fall geht die vertikale Information des Strichgitters ver-loren, so dass sich das Objektbild zu einem horizontalen Gitter verandert. Dievertikalen Striche sind im Objektbild nicht mehr vorhanden!


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Beugungsbild

Objektbild

0-, 1- Ordnung+- 0-, 1, 2- Ordnung+- +-

0-, 1, 2, 3- Ordnung+- +-

0- Ordnung

0- Ordnung ausgeblendet+-

alle Ordnungena) b)

c) d)

e) f)

Abbildung 24: Beugung am Spalt.

Objektbild

Objektbild

Beugungsbild

Beugungsbild

Abbildung 25: Beugung am Kreuzgitter.


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Versuch 233 Fourieroptik - Heidelberg University

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