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von Prof. Dr.‐Ing. Dirk RabeHochschule Emden/Leer

Differentiation:Differentiation:Tangente einer Funktiong

Definition: Lateinisch „tangens“ – berührenT G d di i Obj k / i G f i Tangente = Gerade, die ein Objekt/einen Graf einer Funktion berührt – also nicht schneidetBeispiele:

Tangente am Kreis: Tangente imPunkt einerFunktion:t

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 126.10.2010

Differentiation: Beispiel Tangentep gt(x) berührt Graph von f(x)im Punkt (0 5;0 53)

f(x)=x3

im Punkt (0,5;0,53)(und schneidet den Grapheni P kt ( ))im Punkt (‐1;‐1))


Bestimmung Tangentengleichungg g g gGerade eindeutig bestimmt durch 2 Punkte auf der Geraden:Geraden:

Punkt1: PP k ?Q?Punkt2: ?Q?


Bestimmung Tangentengleichungg g g gGerade für Sekante eindeutig definiert:

P k PPunkt1: PPunkt2: Q1

Idee Tangente:durch Sekante

hannähern


Bestimmung Tangentengleichungg g g gAnnäherung Tangente durch Sekante:

P k PPunkt1: PWahl Punkt2: Q1d b Qoder besser: Q2


Bestimmung Geradengleichung( ) ( ) ( )xfxx

xyxs +−⋅

ΔΔ

= 00

g g gTransformation von g(x)=x∙(Δy/Δx)• um f(x0) in y‐Richtung und • um x0 in Richtung x‐Achse

( ) ( ) ( )xfxxxyxs +−⋅

ΔΔ

= 00

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )ffff

xfxxxx

xfxf+−⋅

−−

= 0001

01

um x0 in Richtung x Achse( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )ffff

xfxxxx

xfxf+−⋅

−−

= 0001

01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxx

xfxfxfxxx

xfxf⋅

−−

−+⋅−−

=

Achse-ymitktSchnittpun

001

010

01

01

4444 34444 21=m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxx

xfxfxfxxx

xfxf⋅

−−

−+⋅−−

=

Achse-ymitktSchnittpun

001

010

01

01

4444 34444 21

( ) xmxfxm ⋅−+⋅=Achse-ymit kt Schnittpun

00

Achseymit kt Schnittpun

4434421( ) xmxfxm ⋅−+⋅=

Achse-ymit kt Schnittpun

00

Achseymit kt Schnittpun

4434421

( ) ( ) ( ) ( )x

xfxxfxx

xfxfxym

bmx

Δ−Δ+

=−

=ΔΔ

=

+=

000131 Δy

( ) ( ) ( ) ( )x

xfxxfxx

xfxfxym

bmx

Δ−Δ+

=−

=ΔΔ

=

+=

000131 xxxx

xxxΔ−Δ

Δ+=0101

321

Δx

Δyxxxxxxx

Δ−ΔΔ+=01

01

321

Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 6

x0 x1

26.10.2010

Bestimmung Tangentensteigungg g g g( ) ( )

( ) ( )Achse-ymit kt Schnittpun

00

ff

xmxfxmxt

Δ

⋅−+⋅=4434421

( ) ( )

( ) ( )Achse-ymit kt Schnittpun

00

ff

xmxfxmxt

Δ

⋅−+⋅=4434421

( ) ( )

( ) 3322333

00

0

33

lim

xxxxxxxxxxx

xfxxfmx

−Δ+Δ+Δ+−Δ+Δ

−Δ+=

→Δ

( ) ( )

( ) 3322333

00

0

33

lim

xxxxxxxxxxx

xfxxfmx

−Δ+Δ+Δ+−Δ+Δ

−Δ+=

→Δ

( )

322

0000

0

00

0

limlim3lim3

33limlim

xxxxxm

xxxxxxxx

xxxxm

xx

Δ+

Δ+

ΔΔ

−Δ+Δ+Δ+=

Δ−Δ+

=→Δ→Δ

( )

322

0000

0

00

0

limlim3lim3

33limlim

xxxxxm

xxxxxxxx

xxxxm

xx

Δ+

Δ+

ΔΔ

−Δ+Δ+Δ+=

Δ−Δ+

=→Δ→Δ

20

00000

3

limlim3lim3

xmxx

xx

xmxxx

=Δ

+Δ

+Δ

=→Δ→Δ→Δ

20

00000

3

limlim3lim3

xmxx

xx

xmxxx

=Δ

+Δ

+Δ

=→Δ→Δ→Δ

gilt für jedes x0 (x0∈Df)Tangentensteigung für t(x) an (x0,f(x0)): f(x)=x3 m=3x02

dy/dx soll die Grenzwertbildung des

allgemein: für Potenzfunktion f(x)=c∙xn erhält man m=c∙n∙x0n‐1

Ersetzt man den Bezeichner x0 durch x: m=c∙n∙xn‐1

m bezeichnet man als 1 Ableitung von f(x): f ‘(x) m c n xn‐1

Differenzenquotienten ∆y/∆x mit ∆x 0 symbolisieren

m bezeichnet man als 1. Ableitung von f(x): f (x)=m=c∙n∙xn 1

Leibniznotation: Alternative Schreibweise für f ‘(x): Analysis – Prnof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 726.10.2010

( ) ( )dxdy

dxxdfxf =='

Bestimmung Tangentengleichungg g g gBeispielaufgabe: f(x)=x3

G h T l i h i P k ( ) fü Gesucht: Tangentengleichung im Punkt (x0; x03) für x0=0,5

435,033 22

0 =⋅== xm4

( ) ( )41

43

21

43

21

43 3

AchseymitktSchnittpun

00 −=⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⋅−+⋅= xxxmxfxmxt

4434421Achse-ymit kt Schnittpun


Zusammenfassung: 1.Ableitungg gGeometrische Deutung: Steigung der Geraden, die die Funktion f(x) an der Stelle (x ;f(x )) berührtFunktion f(x) an der Stelle (x0;f(x0)) berührtBestimmung der Steigung durch Grenzwertbestimmung:

( ) ( )ffd Δ( ) ( ) ( ) ( )x

xfxxfmxfdxdxf

x Δ−Δ+

===→Δ 0

lim'

Wenn Grenzwert an der Stelle x0 nicht definiert ist, so ist die 1. Ableitung dort nicht definiert g


Beispiel: f(x)=|x|, gesucht f‘(0)p ( ) | | g ( )( ) ( )lim)0('

0 xxfxxfmxf

x

⎧Δ

−Δ+===

→Δ

( )

( ) ( )00

xxfxxfxfürxxfürx

xf

Δ−−Δ+⎩⎨⎧

≥<−

=

( ) ( )

( ) ( ) 1limlim

1limlim00

xxfxxfxx

xxfxxf

xx

=ΔΔ

=Δ

−Δ+

−=ΔΔ

=ΔΔ+

→Δ→Δ

+

−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) definiertnicht limlimlim000

00

xxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

xx

xxx

xx

Δ−Δ+

⇒Δ

−Δ+≠

Δ−Δ+

ΔΔ

→Δ→Δ→Δ

→Δ→Δ

+−

−+


Rechenregeln DifferentiationgAdditions‐ undSubtraktionsregel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ff ''' ±±Subtraktionsregel:

Konstantenregel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxfxvxuxf ''' ±=⇒±=

( ) ( ) ( ) ( )xucxfxucxf '' ⋅=⇒⋅=

Produktregel:

( ) ( ) ( ) ( )ff

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxvxuxfxvxuxf ''' ⋅+⋅=⇒⋅=

Quotientenregel: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )2'''

xvxvxuxvxuxf

xvxuxf ⋅−⋅

=⇒=

Kettenregel: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxfxgfxf ''' ⋅=⇒=


Herleitung Differentiationsregelng gAnwendung DifferenzenquotientAddi i d S b k i lAdditions‐ und Subtraktionsregel:( ) ( ) ( )xvxuxf ±=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )x

xvxuxxvxxuxfx

lim'0 Δ

±−Δ+±Δ+=

→Δ

Konstantenregel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxux

xvxxvx

xuxxuxfxx

''limlim'00

±=Δ

−Δ+±

Δ−Δ+

=→Δ→Δ

Konstantenregel:( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xucxf

Δ+Δ+⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xucx

xuxxucx

xucxxucxfxx

'limlim'00

⋅=Δ

−Δ+⋅=

Δ⋅−Δ+⋅

=→Δ→Δ


Herleitung Produktregelg gAnwendung Differenzenquotient:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxxuxvxxuxvxuxxvxxuxf

xvxuxf

lim' ⋅Δ+−⋅Δ++

⋅−Δ+⋅Δ+⋅=( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxxuxvxxuxvxuxxvxxuxf

xvxuxf

lim' ⋅Δ+−⋅Δ++

⋅−Δ+⋅Δ+⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

xxxf

xlim'

0

0 Δ+

Δ=

=

→Δ44444 344444 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

xxxf

xlim'

0

0 Δ+

Δ=

=

→Δ44444 344444 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x

xuxxuxvx

xvxxvxxuxfx

lim'0

ΔΔΔ

−Δ++

Δ−Δ+

Δ+=→Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x

xuxxuxvx

xvxxvxxuxfx

lim'0

ΔΔΔ

−Δ++

Δ−Δ+

Δ+=→Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xuxxuxvxxvx

xuxxuxvx

xvxxvxxuxfxxx

limlimlim'000

Δ+Δ+Δ

−Δ+⋅+

Δ−Δ+

⋅Δ+=→Δ→Δ→Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xuxxuxvxxvx

xuxxuxvx

xvxxvxxuxfxxx

limlimlim'000

Δ+Δ+Δ

−Δ+⋅+

Δ−Δ+

⋅Δ+=→Δ→Δ→Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxfx

xuxxuxvx

xvxxvxuxfxx

'''

limlim'00

⋅+⋅=Δ

−Δ+⋅+

Δ−Δ+

⋅=→Δ→Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxfx

xuxxuxvx

xvxxvxuxfxx

'''

limlim'00

⋅+⋅=Δ

−Δ+⋅+

Δ−Δ+

⋅=→Δ→Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxf ⋅+⋅=( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxf ⋅+⋅=


3 Erklärungen zur Kettenregelg g( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxfxgfxf ''' ⋅=⇒=

Frage:Warum kann man nicht einfach die innere Funktion ( ( ))(durch g(x)) substituieren, dann nach g ableiten und zurück substitutieren?d d foder anders gefragt:

Warum muss man noch mit der Ableitung der inneren F kti ( ( )) lti li i di Abl it Funktion (g(x)) multiplizieren, um die Ableitung von f(g(x)) zu erhalten?


3 Erklärungen zur Kettenregelg gBeispiel:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )

xggfggfxgxxgxxf

1122

12

1'2'22 ======

1. Erklärung:( ) ( ) ( )

xxxggfxf

212

221''' =⋅=⋅=⇒

gf(x) kann auch algebraisch umgeformt werden

( ) ( )ff 112'22

E klä Abl it l i d L ib i t ti

( ) ( )xx

xfxxxf21

212'22 =⋅=⇒⋅==

2. Erklärung: Ableitungsregel in der Leibniznotation

( ) ( )ddg

ddf

dxdfxf ⋅=='


dxdgdx

3 Erklärungen zur Kettenregelg gBeispiel: E klä hi h

( ) xxf 2=

3. Erklärung: graphisch

/2


3 Erklärungen zur Kettenregelg g3. Erklärung: graphisch

∆y=1/2

∆x=1∆g=2∆g=2


xg2 4 6 8

BeispielpLeiten Sie mit der Ketten‐ und Produktregel die Quotientenregel her:Quotientenregel her:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1xvxuxuxf ⋅== −( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1xvxuxuxf ⋅== −( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2

21 '':lKettenrege xvxvxvxvdxv

f

−=⋅−= −−

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2

21 '':lKettenrege xvxvxvxvdxv

f

−=⋅−= −−( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 11

2

'':elProduktreg

g

xvdxuxvxuxf

xvdx

⋅+⋅= −−

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 11

2

'':elProduktreg

g

xvdxuxvxuxf

xvdx

⋅+⋅= −−( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )2222

'''''''

:elProduktreg

xvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxf

xvdx

xuxvxuxf

⋅−⋅=

⋅−

⋅=⋅−=

+( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )2222

'''''''

:elProduktreg

xvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxf

xvdx

xuxvxuxf

⋅−⋅=

⋅−

⋅=⋅−=

+

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2222 xvxvxvxvxv

f ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2222 xvxvxvxvxv

f


Ableitung von bekannten Funktionengc,d: KonstantenHi i H l i i F b

f(x) f ‘ (x)

Hinweise zur Herleitung in grauer Farbe

f(x) f ‘ (x)f(x) f (x)

xc c∙xc‐1

sin(x) cos(x)

f(x) f (x)

xc c∙xc‐1

sin(x) cos(x)

cos(x) ‐sin(x)

tan(x) =sin(x)/cos(x) 1/cos2 (x) ( =(sin2(x)+cos2(x))/cos2(x) )

cos(x) ‐sin(x)

tan(x) =sin(x)/cos(x) 1/cos2 (x) ( =(sin2(x)+cos2(x))/cos2(x) )

ex (e=Eulersche Zahl=2,7182818…) ex

cx (c=ed => d=ln(c) => cx=ex∙ln(c)) ln(c)∙cx ( f ‘(x)=ln(c)∙ex∙ln(c) =ln(c)∙cx )

ln(x) 1/x

ex (e=Eulersche Zahl=2,7182818…) ex

cx (c=ed => d=ln(c) => cx=ex∙ln(c)) ln(c)∙cx ( f ‘(x)=ln(c)∙ex∙ln(c) =ln(c)∙cx )

ln(x) 1/xln(x) 1/x

logc(x) 1/(x∙ln(c)) ( logc(x)=ln(x)/ln(c) )

ln(x) 1/x

logc(x) 1/(x∙ln(c)) ( logc(x)=ln(x)/ln(c) )


Aufgaben Differentiationsregeln( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxexf xx sinlnlog6ln6 +⋅+⋅+−=

g g( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxexf xx sinlnlog6ln6 +⋅+⋅+−=( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx

exexf

xxxxexfx

xx cos1ln7ln

log066ln)('

sinlnlog6ln6

7

7

+++⋅

+⋅++⋅=

+⋅+⋅+−=( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx

exexf

xxxxexfx

xx cos1ln7ln

log066ln)('

sinlnlog6ln6

7

7

+++⋅

+⋅++⋅=

+⋅+⋅+−=

( )x 7ln

( ) ( ) ( ) ( )5,2227

2 sin1lnlog6ln6 xx

xxexxg xxx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅+−= ⋅( ) ( ) ( ) ( )5,222

72 sin1lnlog6ln6 x

xxxexxg xxx +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅+−= ⋅

( )x 7ln

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,22

72

5,2127

2

sinlnlog26ln6

sinlnlog26ln65,1

5,1

xxxxexxg

xxxxexxgxx

xx

+⋅−⋅+−=

+⋅+⋅+−= −( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,22

72

5,2127

2

sinlnlog26ln6

sinlnlog26ln65,1

5,1

xxxxexxg

xxxxexxgxx

xx

+⋅−⋅+−=

+⋅+⋅+−= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,25,1

72

7

cos5,2ln27ln

2log36666ln2)('

g5,1

5,1

xxxxxx

exexx

xg

gx

xx ⋅⋅+−−⋅

+⋅+−⋅⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,25,1

72

7

cos5,2ln27ln

2log36666ln2)('

g5,1

5,1

xxxxxx

exexx

xg

gx

xx ⋅⋅+−−⋅

+⋅+−⋅⋅= ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,25,1

5,15,2

5,2

cos52'''5,2'

sin

dudhhhxxuxxu

xxh

⎬⎫⋅==

=


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,5,

5,2cos5,2'''

coscos'sinxx

dxduxuuhxh

xuuhuuh⋅⋅=⋅=⋅=

⎭⎬

===

Anwendungen Differentialrechnungg gHier 3 Anwendungen:

R l d L‘H i lRegel de L‘HospitalKurvendiskussionExtremwertaufgabenLineare Approximation


Regel de L‘Hospitalg pgesucht: Fäll

( ) ( )( )xnxzxf

cxcx →→= limlim

2 Fälle:1. ( ) ( ) 0limlim ==

→→xnxz

cxcx

2.In beiden Fällen Grenzwertbestimmung problematisch

( ) ( ) ∞==→→

xnxzcxcx

limlim

Regel de L‘Hospital anwendbar:

( ) ( ) ( )xzxzf 'lilili

Hinweis 1: Regel de L‘Hospital ggf mehrfach anwenden

( ) ( )( )

( )( )xnxn

xfcxcxcx '

limlimlim→→→

==

Hinweis 1: Regel de LHospital ggf. mehrfach anwendenHinweis 2: Regel de L‘Hospital gilt NUR für obige 2 Fälle!


Beispiele Regel De L‘Hospitalp g p( ) ( )lim :gesuchtsin

0=

→xf

xxxf

x

0limsinlim00

==→→

xxx

xx

sin xd sin xd

2

( ) 11

coslimsin

limlim000

===→→→

x

xdxd

xdxxf

xxx( ) 1

1coslim

sinlimlim

000===

→→→

x

xdxd

xdxxf

xxx

( ) ( )

0limsinlim

lim :gesuchtsin

22

02

2

=→

xgx

xxgx

dxdx

( ) cos2sin 22

xxxdd

( ) cos2sin 22

xxxdd

0limsinlim00

==→→

xxxx

( ) 1coslim2cos2limlimlim 2

00200====

→→→→x

xxx

xdxd

dxxgxxxx

( ) 1coslim2cos2limlimlim 2

00200====

→→→→x

xxx

xdxd

dxxgxxxx


Beispiele Regel De L‘Hospitalp g p( ) ( )lim :gesuchtsin

02=→

xfx

xxhx

0limsinlim 2

00==

→→xx

xx

xd sin xd sin( ) ±∞===

±±± →→→ xx

xdxd

xdxxh

xxx 2coslim

slimlim

0200( ) ±∞===

±±± →→→ xx

xdxd

xdxxh

xxx 2coslim

slimlim

0200


Beispiele Regel De L‘Hospitalp g p( ) ( )

( )( ) ( ) ( )xrxrxnxz

xxxxxr

xx 112

23

lim und lim :gesucht14

1036−→→

=−

−++=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ±∞===++

=

−=−====−→−→→→

xrxxxr

zxzxnxnxzxxxx

21111

lim12183123limlim

8)1(lim0limlimlim ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ±∞===++

=

−=−====−→−→→→

xrxxxr

zxzxnxnxzxxxx

21111

lim12183123limlim

8)1(lim0limlimlim

( ) ( ) ±∞====±−→→→

xrx

xrxxx 111lim

42

88limlim ( ) ( ) ±∞====

±−→→→xr

xxr

xxx 111lim

42

88limlim

Zur Erinnerung: Abspaltung Linearfaktoren:( )( ) ( )10710711036 2223 ++++++ xxxxxxxx


( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )14107

1141071

141036

2 +++

=+−++−

=−

−++=

xxx

xxxxx

xxxxxr

26.10.2010

Überblick KurvendiskussionÜberblick KurvendiskussionFunktion bzw. Gleichung bezüglich charakteristischer Punkte analysiert:Punkte analysiert:Nullstellen (Schnittpunkt mit der x‐Achse)Extremstellen: ‐ lokale bzw. relative und absolute bzw. globale Extrema

d‐Maxima und MinimaSattelstellenWendestellenPolstellen und AsymptotenPolstellen und Asymptoten

26.10.2010Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HochschuleEmden/Leer 26

NullstellenSchnittpunkte mit x‐Achse des Funktions‐/Gleichungsgraphen bestimmen/Gleichungsgraphen bestimmenBeispiel: f(x)=2x4+19x3+61x2+74x+24

( ) ( )( )( )( )Abspaltung von Linearfaktoren: f(x)=(x+4)(x+3)(x+2)(2x+1)Nullstellen von f(x) (f(x)=0): xNullstellen={‐4;‐3;‐2;‐1/2}

Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HochschuleEmden/Leer 2726.10.2010

NullstellenNullstellen von f(x) (f(x)=0): xNullstellen={‐5;‐2;1}


Zusammenfassung ExtremstellengGraph von f ‘(x) schneidetfür x=xE x‐Achse E

Extremstelle f(xE)Graph von f ‘(x) berührtGraph von f (x) berührtfür x=xE x‐Achse

Sattelstelle f(xE)( E)(also: f ‘(x) hat bei x=xENullstelle & Extremstelle) )Minimum/Maximum:

f ‘(xE)=0 undf (xE)=0 undMinimum: f ‘‘(xE)>0Maximum: f ‘‘(xE)<0Maximum: f (xE)<0oder Sattelstelle von f ‘(x)…

Mathematik II – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – HochschuleEmden/Leer 29

Vorgehen: Suche Sattel‐/Extremstelleng /

f‘‘(x=a)>0? f‘‘(x=a)<0?ja nein neinf‘(x=a)=0? f (x=a)>0? f (x=a)<0? nein

4 Möglichkeiten:f‘(x=a) Maximum

ja janein

( )=> f(x=a) Sattelstelle monoton fallend

f‘(x=a) Minimumf( ) S tt l t ll

f(x=a) istkein Extremumkeine Sattelstelle

f(x=a) istein Minimum

f(x=a) istein Maximum

=> f(x=a) Sattelstelle monoton steigend

f‘(x=a) Sattelstelle mono-ton fallendkeine Sattelstelle ton fallend=> f(x=a) Maximum

f‘(x=a) Sattelstelle mono-ton steigend=> f(x=a) Minimum

nächster Schritt: rekursives Überprüfen von f‘(x=a) auf ein Extremum


ein Extremum

26.10.2010

Beispiel: i(x)=x7p ( )Ableitung Folgerung

1 1. Ableitung: i‘(0)=0 i(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf

2 2. Ableitung: i‘‘(0)=0 i‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf

3 3. Ableitung: i‘‘‘(0)=0 i‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf

4 4. Ableitung: i‘‘‘‘(0)=0 i‘‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf

5 5. Ableitung: i‘‘‘‘‘(0)=0 i‘‘‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf

6 6. Ableitung: i‘‘‘‘‘‘(0)=0 i‘‘‘‘‘(x) weist für x=0 Sattelstelle oder Extremum auf

7 7. Ableitung: i‘‘‘‘‘‘‘(0)>0 i‘‘‘‘‘‘(x) (6. Ableitung) ist bei x=0 monoton steigend => i‘‘‘‘‘(x) (5. Ableitung) weist für x=0 ein Minimum auf

i‘‘‘‘‘‘‘(x)=7!=7∙6 ∙5 ∙4 ∙3 ∙2 ∙1=5040


Beispiel: i(x)=x7p ( )Ableitung Folgerung

7 7. Ableitung: i‘‘‘‘‘‘(x) (6. Ableitung) ist bei x=0 monoton steigend => i‘‘‘‘‘(x) (5. Ableitung) weist für x=0 ein Minimum auf

8 4. Ableitung da 5.Ableitung Extremum=> 4.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend)

9 3 Ableitung da 4 Ableitung Sattelstelle (monoton steigend)9 3. Ableitung da 4.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend) => 3.Ableitung Minimum

10 2. Ableitung da 3.Ableitung Extremumg=> 2.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend)

11 1. Ableitung da 2.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend) > 1 Abl it Mi i=> 1.Ableitung Minimum

12 Ausgangsfunktion da 1.Ableitung Extremum=> Ausgangsfunktion Sattelstelle (monoton steigend)


Ausgangsfunktion Sattelstelle (monoton steigend)

26.10.2010

Alternatives Verfahrenwenn f ‘(x=a)=0 ist

f ‘(x) oder f(x) in der Umgebung” von x a überprüfenf (x) oder f(x) in der „Umgebung von x=a überprüfen.


Alternatives VerfahrenÜberprüfung von f(x) in der

Umgebung von x=aÜberprüfung von f‘(x) in der

Umgebung von x=akritischer Punkt von f(x)

ist

f(x)>f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)>f(a) für x>a ∧ x∈U(a)

f‘(x)<0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)>0 für x>a ∧ x∈U(a)

Minimum

8

10f(x)=(x+1)^2+1

f‘(x)=2(x+1)

2

4

6

4

-2

0

-8

-6

-4

a=-1

x>ax<a

x - x +


-10-4 -3 -2 -1 0 1 2

a 1a a +

26.10.2010




ist

f(x)<f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)<f(a) für x>a ∧ x∈U(a)

f‘(x)>0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)<0 für x>a ∧ x∈U(a)

Maximum

6

8

10f(x)=-(x+1)^2+1

f‘(x)=-2(x+1)

2

4

6

-4

-2

0

-8

-6

a=-1

x>ax<a

xa - x

a +


-10-4 -3 -2 -1 0 1 2

26.10.2010




ist

f(x)<f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)>f(a) für x>a ∧ x∈U(a)

f‘(x)>0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)>0 für x>a ∧ x∈U(a)

Sattelstelle monoton steigend

6

8

10f(x)=(x+1)^3+1f‘(x)=3(x+1)^2

2

4

6

-4

-2

0

-8

-6

a=-1

x>ax<a

xa - x

a +


-10-4 -3 -2 -1 0 1 2

26.10.2010




ist

f(x)>f(a) für x<a ∧ x∈U(a) und f(x)<f(a) für x>a ∧ x∈U(a)

f‘(x)<0 für x<a ∧ x∈U(a) und f‘(x)<0 für x>a ∧ x∈U(a)

Sattelstelle monoton fallend

6

8

10f(x)=-(x+1)^3+1f‘(x)=-3(x+1)^2

2

4

6

-4

-2

0

-8

-6

a=-1

x>ax<a

xa - x

a +


-10-4 -3 -2 -1 0 1 2

26.10.2010

Umgebung von ag gIm Intervall (xa‐;xa+), das die Umgebung U(a) begrenzt, muss folgendes gelten:muss folgendes gelten:

f ‘(x) darf keine weitere Nullstelle als f ‘(a) aufweisen undf ‘( ) i I ll i if ‘(x) muss im gesamten Intervall stetig sein.

In dieser Umgebung kann beliebiger x‐Wert für die d k h ll d dBewertung der kritischen Stelle verwendet werden


Extrema wenn f‘(x) unstetig( ) gAnalysen in Umgebung U(x) anwendbar, um Minima und Maxima an Unstetigkeitsstelle von f ‘(x) zu überprüfenMaxima an Unstetigkeitsstelle von f (x) zu überprüfenBeispiel: f(x)=|x|

10k(x)=|x|=sqrt(x^2)

k´(x)=|x|/x=sqrt(x^2)/x

6

8

4

0

2


-2-10 -5 0 5 10

26.10.2010

WendestellenEine Wendestelle liegt dort vor,

d Z h d S i d T f( ) i h wo der Zuwachs der Steigung der Tangenten von f(x) sich umkehrt bzw.f ‘( ) i E t t ll f i tf ‘(x) eine Extremstelle aufweist

Anders ausgedrückt:Der Graph ändert am Wendepunkt seine Krümmung:

konvex: „nach oben geöffnet“k k h ff “konkav: „nach unten geöffnet“

Anmerkung: Jede Sattelstelle ist auch ein Wendepunkt


WendestellenEine Wendestelle liegt dort vor,

d Z h d S i d T f( ) i h wo der Zuwachs der Steigung der Tangenten von f(x) sich umkehrt bzw.,f ‘( ) i E t t ll f i tf ‘(x) eine Extremstelle aufweist(also f ‘‘(x) notwendigerweise eine Nullstelle hat…)


Wendepunkt: Beispielfunktionp pWendestelle:Hi fälli iHier zufälligerweisegleichzeitig Nullstelle

i( )konkav

von i(x)

k


konvex

PolstellenStrebt der Grenzwert für x xP gegen ±∞, so

i i d G i hexistiert der Grenzwert nicht,der Funktionswert ist oft für x= xP nicht definiert undder Funktionsgraph besitzt dort eine senkrechte Asymptote

Betrachtung links‐ und rechtsseitiger Grenzwert:Ziel: Verlauf des Funktionsgraph erkennenOft liefert die Grenzwertbetrachtung für den links‐ und grechtsseitigen Grenzwert unterschiedliches Verhalten( ±∞)


Polstellen ‐ BeispielepNenner strebt gegen 0:

B i Si di P l llBestimmen Sie die Polstelleund skizzieren Sie den Graph!

( ) −=

12xxf ( )

( ) ±∞==

−

±± 23limlim

2

xf

xf

( )−±± →→ 222 xxx


Polstellen ‐ BeispielepFunktion weist Polstellen auf:

f( ) lf(x)=log10xf(x)=tan(x)


ExtremwertaufgabegTypische Aufgabe:

Ph ik li h G öß ll i i d i i i dPhysikalische Größe soll maximiert oder minimiert werdenPhysikalische Größe ist durch Mathematische Funktion (H tb di ) b h i b(Hauptbedingung) beschriebenHauptbedingung hängt typischerweise von 2 Größen ab, di i d üb i N b b di i d die wiederum über eine Nebenbedingung voneinander abhängenDurch Einsetzen der Nebenbedingung in die Durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung erhält man eine Funktion einer Veränderlichen die maximiert oder minimiert werden sollVeränderlichen, die maximiert oder minimiert werden sollVorgehen:

1 Ableitung bilden und 0 setzen1. Ableitung bilden und 0 setzenPolarität der 2.Ableitung überprüfen (Bedingung für Min/Max)


Extremwertaufgabe: Beispielg pZylinderförmige Dose mit geg. Volumen G h /h d M i l f d ( Ob flä h ) Gesucht: r/h, so dass Materialaufwand (~Oberfläche) minimalHauptbedingung:Definitionsmenge: r,h∈R+

rhrAAhrA SeiteDeckelDose ππ 222),( 2 +=+=

VNebenbedingung: Nebenbed Haupbed :

22

rVhhrV Dose

Dose ππ =⇒=

VrrA Dose22)( 2 += πNebenbed. Haupbed.: r

rrADose 22)( += π

02424)(' 222 =⋅−=⋅−= −− rhrrrVrrA DoseDose πππ

i i044)(''2

2

3

=⇒=

A

hrhr


Minimum044)('' 3 ⇒>⋅+= −rVrA DoseDose π26.10.2010

Lineare ApproximationppIdee: Approximation einer Funktion f(x) durch dessen Tangente im Punkt P (a;f(a))Tangente im Punkt P=(a;f(a))Beispiel:

( )Bestimmen Sie die Geradengleichung für die Tangente t(x), die die Funktion im Punkt P=(4;2) berührt!A i i f( ) d h ( ) d b i Si

( ) xxf =

Approximieren f(3,98) durch t(3,98) und bestimmen Sie den Approximationsfehler!A i i f( ) d h ( ) d b i Si Approximieren f(4,05) durch t(4,05) und bestimmen Sie den Approximationsfehler!I l h I t ll i i t t( ) di F kti f( ) In welchem Intervall approximiert t(x) die Funktion f(x) mit einem maximalen absoluten Fehler von 0,1?


Lineare ApproximationppBestimmen Sie die Geradengleichung für die Tangente t(x), die die Funktion im Punkt P=(4;2) berührt!( ) xxf =die die Funktion im Punkt P=(4;2) berührt!( ) xxf =

1( )

12

1'

xxx

xf =


( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

14

12441244'4 xxxxffxt +=+−=−⋅+=−⋅+=

Lineare ApproximationppApproximieren f(3,98) durch t(3,98) und bestimmen Sie den Approximationsfehler!den Approximationsfehler!Approximieren f(4,05) durch t(4,05) und bestimmen Sie d A i ti f hl !den Approximationsfehler!

x f(x) t(x) ε(x)=t(x)‐f(x) r(x)=ε(x)/f(x)

8 6 * 6 * 4%3,98 1,9949937 1,995 6,3*10‐6 3,1*10‐4%

4,05 2,0124612 2,0125 38,8*10‐6 1,9*10‐3%


Lineare ApproximationppIn welchem Intervall approximiert t(x) die Funktion f(x) mit einem maximalen absoluten Fehler von 0 1?einem maximalen absoluten Fehler von 0,1?( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Krümmung)untersucheoder Grafik (siehe weil

1,0

≥−=−

≤−

xfxtxfxtxfxt

xfxt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1,04

1

g)(

≤−+ xxfff

( ) 6,342

6,342

−≤−−

−≤−

x

xxAlso: Im Intervall [1,87;6,93] kann die Funktion f(x)durch dessen lineare Approximation t(x) angenähert

( )4,02

4,022

≤−

≤−

x

xpp ( ) g

werden, ohne dass der maximale Fehler von 0,1 über-schritten wird.

42422

⎩⎨⎧

<−≥−

=−xfürxxfürxx


( ) ( ) 87,14,0293,64,0222≈−≥∧≈+≤

⎩

xx

f

Lineare Approximation: Differentialepp

( ) ( ) dxafdyafdy⋅=⇒= ''( ) ( )

( ) ( )afxafy

dxafdyafdx

−Δ+=Δ

⇒

( ) ( )ffy


Anmerkung: hier nur Verwendung der Differentiale dx und dy – inhaltlich entsprichtdies der vorherigen Diskussion zur linearen Approximation

Lineare Approximation: DifferentialeppZurück zu unserem vorherigen Beispiel:

( )fGesucht f(3,98) und f(4,05) als lineare Approximation mit A f kt b i P ( )

( ) xxf =

Aufpunkt bei P=(4;2)f(3,98):d ∆dx=∆x=‐0,02dy=f ‘(a)∙dx=1/4 ∙(‐0,02)=‐0,005≈∆yalso: um 0 005 kleiner als f(4)=2also: um 0,005 kleiner als f(4)=2f(4,05):dx=∆x=0 05dx=∆x=0,05dy=f ‘(a)∙dx=1/4 ∙(0,05)=0,0125≈∆yalso: um 0,0125 größer als f(4)=25 g 4


Lineare Approximation: DifferentialeppZusammenfassung:

d ∆ fü kl i ∆dy≈∆y für kleine ∆x

dyyΔlidxdy

xy

x=

ΔΔ

→Δ 0lim

Weitere Aufgaben: jeweils absolute/relative Toleranz gesuchta) Scheibe wird mit r=24cm±0,2cm gefertigt4 g g

gesucht: Toleranz Flächeb) Würfel wird mit Kantenlänge 30cm±0,1cm

gesucht: Toleranz Oberfläche und VolumenLösen Sie die Aufgaben unter Anwendung von Differentialen (lineare Approximation)!


Differentiale: Funktionen von 2 VeränderlichenFunktionen von 1 Veränderlichen:

( ) dy

Funktionen von 2 Veränderlichen:

( ) dxdxdydxxfdy =⋅= '

Funktionen von 2 Veränderlichen:( )( ) ( )yxfyxfyxfz

∂∂=

;;;

Spezialfall z=0: Deutung Schnittkurve von f(x;y) mit Ebene z=0

( ) ( ) dyy

yxfdxx

yxfdz ⋅∂

∂+⋅

∂∂

=;;

Spezialfall z=0: Deutung Schnittkurve von f(x;y) mit Ebene z=0

( ) ( )( )x

yxfdydyyxfdxyxfdz ∂

∂

⇒∂

+∂

;;;0 ( ) ( )

( )y

yxfx

dxdy

ydx

xdz

∂∂∂−=⇒⋅

∂+⋅

∂== ;0

Bekannte Form der impliziten Ableitung☺Analysis – Prof. Dr.‐Ing. Dirk Rabe – Hochschule Emden/Leer 55

y

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe HochschuleEmden/Leerrabe/Downloads/Mathe1/... · Funktion f(x) an der...

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