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Vorkurs: Mathematik für InformatikerTeil 1

Wintersemester 2017/18

Steven Kö[email protected]

mathe.stevenkoehler.de

� 2 c© 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

Inhaltsverzeichnis

I Teil 1I MengenI ZahlenbereicheI Rechnen mit BrüchenI Wurzeln, Potenzen & LogarithmenI Rechengesetze

I Teil 2I IntervalleI Grundlegende RechengesetzeI Binomische FormelnI Potenz-, Wurzel-, Exponential- & LogarithmusfunktionenI Trigonometrische FunktionenI Das Summenzeichen


Inhaltsverzeichnis

I Teil 3I PolynomeI Gleichungen & GleichungssystemeI Logische Verknüpfungen, Quantoren & BedingungenI Beweistechniken

I Teil 4I VektorenI GeradenI Wiederholungen


Kapitel I: Mengen


Kapitel I: Mengen

Definition

Eine Menge ist eine ungeordnete Ansammlung von Elementen:I Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle.I Jedes Element ist genau einmal enthalten.

Dürfen die Elemente mehrfach vorkommen, so spricht man voneiner Multimenge.

Enthält die Menge keine Elemente, so nennt man sie die leere Men-ge und bezeichnet sie mit ∅.


Kapitel I: Mengen

Endliche & unendliche Mengen I

Enthält die Menge eine endliche Anzahl an Elementen, so sprichtman von einer endlichen Menge.

Analog: Enthält die Menge eine unendliche Anzahl an Elementen,so spricht man von einer unendlichen Menge.


Kapitel I: Mengen

Endliche & unendliche Mengen II

Beispiele für endliche Mengen:

I A ={1, 2, 3, 4

}I B =

{a, b, c

}I C =

{x ∈ N

∣∣ 23 ≤ x ≤ 42}

Beispiele für unendliche Mengen:

I D ={1, 2, 3, . . .

}I E =

{x ∈ Z

∣∣ x ist gerade}


Kapitel I: Mengen

Elemente einer Menge

Ist das Element a in der Menge A enthalten, so schreibt man:

a ∈ A.

Ist das Element a nicht in der Menge A enthalten, so schreibt man:

a 6∈ A.


Kapitel I: Mengen

Mächtigkeit einer Menge

Unter der Mächtigkeit |M| einer (endlichen) Menge M verstehtman die Anzahl der in M enthaltenen Elemente. Die Mächtigkeiteiner Menge wird auch als Kardinalität bezeichnet.

Für die Mächtigkeit einer unendlichen Menge schreibt man häufig∞.

Beispiele:

A ={11, 13, 17, 19

}∣∣A∣∣ = 4

B ={. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .

}∣∣B∣∣ =∞


Kapitel I: Mengen

Vergleichen von Mengen I

Mengen können miteinander verglichen werden.

I Inklusion: A ⊆ B

Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Es istaußerdem möglich, dass A und B identisch sind.Sprechweise: A ist eine Teilmenge von B .

I Gleichheit: A = B

Die Mengen A und B sind identisch. Dies ist genau dann derFall, wenn sowohl A ⊆ B als auch B ⊆ A gilt.Sprechweise: A ist gleich B .


Kapitel I: Mengen

Vergleichen von Mengen II

I strenge Inklusion: A ⊂ B

Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. DieMengen A und B sind jedoch nicht identisch. Jedes Elementa ∈ A ist folglich in B enthalten, es gibt jedoch mindestensein Element b ∈ B , dass nicht in der Menge A enthalten ist.Sprechweise: A ist eine echte Teilmenge von B .

Trifft keine der genannten Eigenschaften zu, so sind die Mengenunvergleichbar.


Kapitel I: Mengen

Operationen auf Mengen I

I Vereinigung : A ∪ B

In der Menge A ∪ B sind alle Elemente enthalten, die entwe-der in der Menge A, in der Menge B oder in beiden Mengenvorkommen:

A ∪ B ={x∣∣ x ∈ A oder x ∈ B

}.

Die Vereinigungsmenge von n ≥ 2 Mengen A1, . . . ,An kannauch wie folgt geschrieben werden:

n⋃i=1

Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

={x∣∣ x ∈ A1 oder x ∈ A2 oder . . . oder x ∈ An

}.


Kapitel I: Mengen

Operationen auf Mengen II

I Schnitt: A ∩ B

In der Menge A ∩ B sind alle Elemente enthalten, die sowohlin der Menge A als auch in der Menge B vorkommen:

A ∩ B ={x∣∣ x ∈ A und x ∈ B

}.

Die Schnittmenge von n ≥ 2 Mengen A1, . . . ,An kann auchwie folgt geschrieben werden:

n⋂i=1

Ai = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An

={x∣∣ x ∈ A1 und x ∈ A2 und . . . und x ∈ An

}.


Kapitel I: Mengen

Operationen auf Mengen III

I Exklusion: A \ B

In der Menge A \ B sind alle Elemente enthalten, die in derMenge A, aber nicht in der Menge B vorkommen:

A \ B ={x∣∣ x ∈ A und x /∈ B

}.

I Symmetrische Differenz : A4B

In der Menge A4B sind alle Elemente enthalten, die entwedernur in der Menge A oder nur in der Menge B vorkommen:

A4B =(A \ B

)∪(B \ A

).


Kapitel I: Mengen

Operationen auf Mengen IV

I Potenzmenge: P(A)

Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen derMenge A. Enthält die Menge A insgesamt |A| = n Elemente,so enthält die Potenzmenge P(A) insgesamt |P(A)| = 2n

Elemente.


Kapitel I: Mengen

Operationen auf Mengen V

Es seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt dieserMengen ist wie folgt definiert:

A× B ={(a, b)

∣∣ a ∈ A und b ∈ B}.

Es seien A, B und C drei Mengen. Das kartesische Produkt dieserMengen ist wie folgt definiert:

A× B × C ={(a, b, c)

∣∣ a ∈ A, b ∈ B und c ∈ C}.

Analog definiert man das kartesische Produkt für eine beliebigeAnzahl von Mengen M1, . . . ,Mn:

M1 × . . .×Mn ={(m1, . . . ,mn)

∣∣ m1 ∈ M1, . . . , mn ∈ Mn

}.


Kapitel I: Mengen

Operationen auf Mengen VI

Beispiel:

Es seien die Mengen A ={1, 2, 3

}und B =

{2, 3, 4

}gegeben.

Dann gilt:

A ∪ B ={

1, 2, 3, 4}

A ∩ B ={

2, 3}

A \ B ={

1}

A4B ={

1, 4}

A× B ={(

1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 2),(3, 3),(3, 4)}

P(A) ={∅,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3

}}


Kapitel I: Mengen

Aufgaben

Aufgabe I-1

Es seien die folgenden Mengen A = {5, 7, 9}, B = {5, 6, 7} undC = {1, 3, 5, 7, 9} gegeben. Bestimme:a) A ∪ B , A ∩ C , C \ A sowie A4B

b) A ∩ B ∩ C

c) P(B)d) A× B

Aufgabe I-2

Bestimme die Mengen P(∅) sowie P(P(∅))!


Kapitel II: Zahlenbereiche



Natürliche Zahlen

Man definiert die Menge{1, 2, 3, . . .

}als die Menge der natürlichen

Zahlen und bezeichnet diese mit N.

Achtung: Je nach Lehrbuch/Dozent wird die 0 zu den natürlichenZahlen gezählt oder nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt. Fragtdeshalb am besten noch einmal nach.



Ganze Zahlen I

Ausgehend von den bereits definierten natürlichen Zahlen N defi-niert man die Menge der ganzen Zahlen und bezeichnet diese mitZ:

I Für jede natürliche Zahl n ∈ N fügt man der Menge Z sowohln als auch −n hinzu.

I Außerdem fügt man der Menge Z die Zahl 0 hinzu.

Es ergibt sich die folgende Menge Z:

Z ={. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

}.



Ganze Zahlen II

Frage:

Gibt es mehr natürliche oder mehr ganze Zahlen?



Rationale Zahlen

Den nächsten Zahlenbereich bilden die mit Q bezeichneten ratio-nalen Zahlen. Diese sind wie folgt definiert:

Q ={mn

∣∣ m, n ∈ Z mit n 6= 0}.

Die rationalen Zahlen stellen folglich die Menge aller Brüche dar,deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind.



Reelle Zahlen I

Es gibt (unendlich viele) Zahlen, die nicht in der Menge der ra-tionalen Zahlen enthalten sind. Um diese beschreiben zu können,werden die mit R bezeichneten reellen Zahlen eingeführt.

Diese können als Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulichtwerden. Wie diese genau definiert sind, wollen wir an dieser Stellenicht besprechen.

Beispiele:I alle natürlichen, ganzen und rationalen ZahlenI die Kreiszahl πI viele Wurzeln wie

√2,√3,√5 oder 3

√4



Reelle Zahlen II

Die reellen Zahlen R können durch Axiome beschrieben werden:I Die reellen Zahlen sind ein Körper.I Die reellen Zahlen sind total geordnet, d.h., für alle a, b, c ∈ R

gilt:I Es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a.I Aus a < b und b < c folgt a < c .I Aus a < b folgt a+ c < b + c .I Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc.

I Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h., jede nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Su-premum in R.



Irrationale Zahlen

Reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind (z.B.√2, π oder e),

werden irrationale Zahlen genannt und können mit R\Q bezeichnetwerden.

Einen Beweis, dass√2 eine irrationale Zahl ist, werden wir uns

später im Kapitel über Beweistechniken näher ansehen.



Komplexe Zahlen

Viele technische oder physikalische Vorgänge können im Bereichder reellen Zahlen R nicht beschrieben werden.

Um dies dennoch zu ermöglichen, wurden die komplexen Zahlen Ceingeführt. Diese definieren u.a. die Konstante i , die der folgendenEigenschaft genügt:

i2 = −1.

Damit ist es möglich, physikalische/technische Systeme mit mathe-matischen Mitteln exakt zu beschreiben. Komplexe Zahlen werdenim Laufe des Studiums behandelt.


Kapitel III: Rechnen mit Brüchen



Kürzen I

Im Folgenden seien a, b, c ∈ Z und es gelte c 6= 0.

Es ist möglich, gemeinsame Faktoren (ungleich 0), die sowohl imZähler als auch im Nenner eines Bruchs vorkommen, zu kürzen.Allgemein gilt:

c · ac · b

=a

b(für c 6= 0).

Beispiele:24

=2 · 12 · 2

=12

1421

=7 · 27 · 3

=23

a2b

ab2 =ab · aab · b

=a

b



Kürzen II

Es dürfen ausschließlich gemeinsame Faktoren gekürzt werden, je-doch nicht Differenzen oder Summen. Diese müssen, sofern mög-lich, vor dem Kürzen in ein Produkt überführt werden.

Beispiele:ac + 2bccd − ce

=c · (a+ 2b)c · (d − e)

=a+ 2bd − e

a2 + 2ab + b2

a2 − b2 =(a+ b)(a+ b)

(a+ b)(a− b)=

(a+ b)

(a− b)

Merke:I „Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.“



Kürzen III

Kürzen von 0 führt zu „interessanten“ (und falschen!) Ergebnissen,wie das folgende Beispiel zeigt:

00=

100− 100100− 100

=10 · 10− 10 · 1010 · 10− 10 · 10

=102 − 102

10 · (10− 10)

=(10+ 10) ·��(10− 10)

10 ·��(10− 10)

=10+ 10

10= 2



Erweitern

Im Folgenden seien a, b, c ∈ Z und es gelte c 6= 0.

Es ist möglich, den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit demsel-ben Faktor ungleich 0 zu multiplizieren („den Bruch zu erweitern“),ohne den Wert des Bruchs zu verändern. Allgemein gilt:

a

b=

c · ac · b

(für c 6= 0).

Beispiele:13

=2 · 12 · 3

=26

24

=8 · 28 · 4

=1632

a2

b=

ab2 · a2

ab2 · b=

a3b2

ab3



Addition & Subtraktion I

Im Folgenden seien a, b, c , d ∈ Z und es gelte c 6= 0 sowie d 6= 0.Es können 2 mögliche Fälle auftreten:

I Fall 1: gleiche Nenner

Die beiden Brüche haben denselben Nenner; es gilt:

a

c± b

c=

a± b

c



Addition & Subtraktion II

I Fall 2: verschiedene Nenner

Die beiden Brüche haben nicht denselben Nenner, sie müs-sen vor der Addition/Subtraktion gleichnamig gemacht wer-den („auf denselben Nenner gebracht werden“). Es gilt:

a

b± c

d=

ad

bd± bc

bd=

ad ± bc

bd

Oft wird beim gleichnamig machen das kleinste gemeinsameVielfache (kgV ) der Nenner als gemeinsamer Nenner verwen-det; selbstverständlich kann auch jedes andere gemeinsameVielfache verwendet werden.



Multiplikation

Im Folgenden seien a, b, c, d ∈ Z und es gelte b 6= 0 sowie d 6= 0.

Beim Multiplizieren zweier Brüche werden sowohl die Zähler alsauch die Nenner der beiden Brüche miteinander multipliziert. Esgilt:

a

b· cd=

a · cb · d

.



Division

Im Folgenden seien a, b, c , d ∈ Z und es gelte b 6= 0, c 6= 0 undd 6= 0.

Die Division von Brüchen wird auf die Multiplikation von Brüchenzurückgeführt. Hierzu wird der erste Bruch (der Divident) mit demUmkehrwert (dem Reziproken) des zweiten Bruchs (dem Divisor)multipliziert. Es folgt

a

b:c

d=

a

b· dc=

a · db · c

.



Aufgaben

Aufgabe III-1

Berechne die folgenden Werte. Gib die Ergebnisse in vollständiggekürzter Form an!

a)13+

14

b)18− 1

24+

1012

c)14· 15− 3

10d)

(67:1210

)· 2+ 3

−7



Aufgaben

Aufgabe III-2

Gib die folgenden Ausdrücke in vollständig gekürzter Form an.

a)3x5

2x3 b)a5

4a4 c)−(ab)2

(−6ab)2d)

10x2y3

(−2xy)2

e)(−ab)4

ab4 f)−a3b7

(ab)7g)

x2(ty)3

xt3yh)

a3(b2c)5

(a3c)2



Aufgaben

Aufgabe III-3

Vereinfache die folgenden Ausdrücke. Gib die Ergebnisse, sofernmöglich, in vollständig gekürzter Form an!

a)32a2 −

4ab − 14ab

+ 2

b)x

x2 − xy− y

x2 + xy− x

x2 − y2

c)a− 3b5a+ 1

· 25a2 − 1a2 − 6ab + 9b2

d)2x − 35x

:4x2 − 910x2


Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen &Logarithmen


Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen

Definition von Potenzen I

Ist a ∈ R (eine reelle Zahl) und n ∈ N (eine natürliche Zahl), sodefiniert man die n-te Potenz von a wie folgt:

an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n Faktoren

a−n =1an

Ferner definiert man:a0 = 1.

Durch diese Definition ist ebenfalls der Fall abgedeckt, dass n ∈ Zgilt – dass n also eine ganze Zahl ist.



Definition von Potenzen II

Wie zuvor sei a eine reelle Zahl und r = pq sei eine rationale Zahl.

Ohne Beweis setzen wir voraus, dass die q-te Wurzel q√a von a

existiert. Dann definiert man:

ar = apq =

(q√a)p.



Beispiel zu Potenzen I

Potenzen finden immer dann Anwendung, wenn ein exponentiel-les Wachstum beschrieben werden soll; bekannte Beispiele aus derSchule sind der Zinseszins oder Zerfallsprozesse.

Aufgabe:

Bei der Geburt ihres Kindes legen die Eltern einen Betrag von 2.500Euro auf einem Konto an. Der jährliche Zinssatz beträgt 3,5%. Wieviel Geld befindet sich nach einem, nach zwei bzw. nach 18 Jahrenauf dem Konto?



Beispiel zu Potenzen II

Lösung:

Es gilt, dass das Guthaben auf dem Konto jedes Jahr um 3,5%wächst. Der Betrag auf dem Konto wächst also jedes Jahr umden Faktor 1,035. Nach n Jahren hat sich der Betrag wie folgtverändert:

Betrag = 2.500 Euro · 1, 035n

Es folgt:n Betrag in Euro0 2500, 001 2587, 502 2678, 06...

...18 4643, 72



Aufgaben

Aufgabe IV-1

Berechne die folgenden Potenzen. (Ohne Taschenrechner!)

a) 33 b) (−7)2 c) (−5)3

d) −24 e) (−3 · 2)2 f) −(5 · 3)2



Definition von Wurzeln

Es sei a eine positive reelle Zahl oder 0. Unter der n-ten Wurzelvon a versteht man den (positiven) Wert n

√a, für den die folgende

Eigenschaft gilt: (n√a)n

= a.

Gibt es sowohl eine positive als auch eine negative Lösung, so istdie Wurzel stets die positive Lösung.

Häufig wird die Quadratwurzel verwendet. Anstelle von 2√a schreibt

man typischerweise nur√a.

Beispiele: √2,√4, 3√8, 5√π



Aufgaben

Aufgabe IV-2

Vereinfache so weit wie möglich:a) 7√x +√2√8y −

√16x − 4

√y

b)√

1160 ·

√1255

c)√0, 1 ·

√0, 121

d) (a−√b)(a+

√b)



Definition von Logarithmen I

Die Anwendung des Logarithmus, das Logarithmieren, ist eine wei-tere Umkehrung des Potenzierens.

Mithilfe des Logarithmus lässt sich bestimmen, mit welchem Ex-ponenten c man eine gegebene Basis a potenzieren muss, um denWert b zu erhalten:

loga b = c .

Die beiden nachfolgenden Aussagen sind äquivalent:

ac = b

loga b = c .



Definition von Logarithmen II

Beispiele für Logarithmen:

I log2 8 = 3I log3 243 = 5I ln e−2 = −2

Typische Vertreter:

I binärer Logarithmus, logarithmus dualis: log2, lb, ldI natürlicher Logarithmus, logarithmus naturalis: loge , lnI dekadischer Logarithmus: log10



Definition von Logarithmen III

Frage:

Sind Potenzen und Logarithmen nur eine „mathematische Spielerei“oder haben sie in der Natur eine praktische Relevanz?

Antwort:

Nein! Es ist keine mathema-tische Spielerei. Sie kommenin der Natur häufig vor (z.B.als logarithmische Spiralen).



Logarithmische Spiralen I

Schnitt einer Nautilus-Schale[Quelle: Wikipedia]



Logarithmische Spiralen II

Schnitt einer Nautilus-Schale[Quelle: Wikipedia]



Logarithmische Spiralen III

Tiefdruckwirbel über Island[Quelle: Wikipedia]



Logarithmische Spiralen IV

Whirlpool-Galaxie (NGC 5194/5195)[Quelle: Wikipedia]



Beispiel zu Logarithmen I

Aufgabe:

Ernst gewinnt in einem Preisausschreiben 5.000 Euro. Er entschei-det sich, das Geld anzulegen und bekommt jährlich 4% Zinsen.Nach wie vielen Jahren hat sich sein Geld verdoppelt?



Beispiel zu Logarithmen II

Lösung:

Es gilt, die folgende Gleichung zu lösen:

5.000 · 1, 04n = 10.000.

Hieraus ergibt sich direkt:

1, 04n = 2n = log1,04 2.



Umrechnen von Logarithmen

Hier stößt man sofort auf das nächste Problem: Wie berechnet manden Logarithmus zur Basis 1,04?

Die Lösung ist einfach, denn jeder Logarithmus lässt sich durcheinen (anderen) Logarithmus mit einer beliebigen Basis darstellen.Es gilt die folgende allgemeine Formel:

logb a =logc a

logc b.



Beispiel zu Logarithmen III

Für unser Beispiel bedeutet dies:

log1,04 2 =ln 2

ln 1, 04

= 17, 672987...

Das Vermögen von Ernst wird sich also in etwa 17,67 Jahren ver-doppeln.



Beispiel zu Logarithmen IV

Ein alternativer Lösungsweg ist der folgende:

5000 · 1, 04n = 10000

1, 04n = 2

ln 1, 04n = ln 2

n · ln 1, 04 = ln 2

n =ln 2

ln 1, 04

= 17, 672987...



Beispiel zu Logarithmen V

Dasselbe für einen Zinssatz von 0,15%:

5000 · 1, 0015n = 10000

1, 0015n = 2

ln 1, 0015n = ln 2

n · ln 1, 0015 = ln 2

n =ln 2

ln 1, 0015

= 462, 444607...



Aufgaben

Aufgabe IV-3

Bestimme ohne Taschenrechner:

a) r = log8 64 b) logr 125 = 3

c) log10 r = 3 d) log2 r = −4

Aufgabe IV-4

Bestimme ohne Taschenrechner:

a) r = log7 343 b) ln e−1 = r

c) r = log2 32− log2 16+ log2 8 d) r = log2√8



Aufgaben

Aufgabe IV-5

Die Halbwertszeit von Radium 88 beträgt 1600 Jahre. Wie langedauert es, bis 10g zu 1,25g zerfallen sind? Erstelle zunächst eineentsprechende Funktionsgleichung.


Kapitel V: Rechengesetze



Rechenregeln für Brüche

a

b± c

d=

ad ± bc

bd

a

b· cd=

a · cb · d

a

b:c

d=

a

b· dc=

a · db · c

a

b=

c · ac · b

(c 6= 0)



Rechenregeln für Potenzen I

an · am = am+n

an

am= an−m

an · bn = (a · b)n

an

bn=(ab

)n(am)n = am·n



Rechenregeln für Potenzen II



Rechenregeln für Potenzen IIIMissachtung der Anwendbarkeit der jeweiligen Potenzgesetze kannzu „interessanten“ Ergebnissen führen:

2 + 2 = 4 − 92+

92=

√(4 − 9

2

)2

+92

=

√42 − 2 · 4 · 9

2+

(92

)2

+92

=

√16 − 36 +

(92

)2

+92

=

√25 − 45 +

(92

)2

+92

=

√52 − 2 · 5 · 9

2+

(92

)2

+92

=

√(5 − 9

2

)2

+92= 5 − 9

2+

92= 5



Rechenregeln für Wurzeln I

√a ·√b =√a · b

√a√b=

√a

b

(√a)m

=√am

am2 =√am

a−m2 =

1√am



Rechenregeln für Wurzeln II

n√a · n√b =

n√a · b

n√a

n√b= n

√a

b

(n√a)m

=n√am

m

√n√a = m·n√a

amn =

n√am

a−mn =

1n√am



Rechenregeln für Wurzeln III



Rechenregeln für Logarithmen

loga (n ·m) = loga n + loga m

loga

( n

m

)= loga n − loga m

loga (nm) = m · loga n

loga(

m√n)=

1m· loga n

loga n =logb n

logb a

loga n = loga b · logb n



Aufgaben

Aufgabe V-1Vereinfache die folgenden Terme:

a) a7 · a4 b) 5x · 4x6

c) (−3z4) · (−3z5) d) 20x5 · (−x3) · x−2


a) a−3xa2x b)x2−b

xb

c) 3x0y−2 d)a2−xb6+y

a6−xb



Aufgaben


a) 3√x3 · 6√x18 b)

3√

5√x9 c) 7

√a10 :

4√a5


a) log( a

2b

)b) log

(a2c + ac

ab− c

b

)

c) log(

3√a2)− log a+ 2 log

(17a

)d) log

(a2b−1c

ac−3b

)e) log

(a3)+ log

(√b)− log

(ab2)


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